Контрольная работа по действительным числам: Контрольная работа по математике на тему “Действительные числа”

Содержание

Контрольная работа по математике на тему “Действительные числа”

Контрольная работа по теме «Действительные числа»

Вариант №1

Уровень А

1. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:

1) 0,7 =

2) 2,09 =

3) 0,(7) =

2. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных дробей:

1) =

2) 3 =

3) 8 =

3. Сравните дроби:

1) 0,2 и 2) 1,5 и 1

4. Запишите процент в виде десятичной дроби:

1) 30% =

2) 328% =

5. Вычислите:

1) 0,9 + =

2) 4,1 – 2 =

3) 2,4 · =

4) 3,6 : 5 =

6. Найдите среднее арифметическое чисел: 4; 21; 9,4; 15,6.

7. Найдите:

1) 9% от 600 м;

2) 25% числа, если его 2% равны 67р.

Уровень В

8.

Найдите среднее арифметическое трёх чисел, если первое из них равно 80, второе – в 1,5 раза больше первого, а третье составляет 20% суммы первого и второго.

Оценочный лист по теме

Кол-во

баллов

Моя оценка

Оценка учителя

Уровень А(9)

1) Умение переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот

1

2

1

1

2) Умение сравнивать десятичную и обыкновенную дроби

3

1

3) Умение осуществлять совместные арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями

5

2

4) Умение находить среднее арифметическое нескольких чисел

6

1

5) Умение выражать число процентом и процент числом

4

1

6) Умение решать задачи на проценты

7

2

Уровень В(4)

7) Умение решать задачи на проценты и среднее арифметическое

8

4

13

Контрольная работа по теме «Действительные числа»

Вариант №2

Уровень А

1. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:

1) 0,3 =

2) 5,07 =

3) 0,(5) =

2. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных дробей:

1) =

2) 2 =

3) 4 =

3. Сравните дроби:

1) 0,3 и 2) 2,5 и 2

4. Запишите процент в виде десятичной дроби:

1) 70% =

2) 268% =

5. Вычислите:

1) 0,7 + =

2) 5,1 – 3 =

3) 3,6 · =

4) 5,6 : 4 =

6. Найдите среднее арифметическое чисел: 5; 23; 7,4; 14,6.

7. Найдите:

1) 6% от 900 м;

2) 25% числа, если его 2% равны 75р.

Уровень В

8. Найдите среднее арифметическое трёх чисел, если первое из них равно 60, второе – в 1,5 раза больше первого, а третье составляет 40% суммы первого и второго.

Оценочный лист по теме

Кол-во

баллов

Моя оценка

Оценка учителя

Уровень А(9)

1) Умение переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот

1

2

1

1

2) Умение сравнивать десятичную и обыкновенную дроби

3

1

3) Умение осуществлять совместные арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями

5

2

4) Умение находить среднее арифметическое нескольких чисел

6

1

5) Умение выражать число процентом и процент числом

4

1

6) Умение решать задачи на проценты

7

2

Уровень В(4)

7) Умение решать задачи на проценты и среднее арифметическое

8

4

13

Контрольная работа по теме “Действительные числа” в форме ЭГЕ, алгебра и начала анализа, 10-й класс.

Контрольная работа по теме “Действительные числа” в форме ЭГЕ,

алгебра и начала анализа, 10-й класс.

Нуждина Е.Н.

ВАРИАНТ 1

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 49 2. 3. 4. – 49.

А2. Вычислите ;

1. 2. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 2. 2. 3. 4. x = – 2.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 1 < x < 2 ;

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 2. 36. 3. – 4. – 36.

А2. Вычислите ;

1. 5. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. x = 9. 3. x = 6. 4. x = 3.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

 ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 3 < x < – 1.

ВАРИАНТ 3

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 25; 2. 3. 4.

А2. Вычислите .

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение

1. ; 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. 3. ; 4. 5.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 34 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

ВАРИАНТ 4

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 2. 7. 3. 4. 49.

А2. Вычислите

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение .

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение

1. – 2. 3. 4.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 248 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

Ответы к контрольной работе.

Контрольная работа по теме “Действительные числа” в форме ЭГЕ, алгебра, 10-й класс

ВАРИАНТ 1

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 49. 2. . 3. 4. – 49.

А2. Вычислите ;

1. 2. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 2. 2. 3. 4. x = – 2.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 1 < x < 2 ;

С2. Упростите выражение .

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 2. 36. 3. – 4. – 36.

А2. Вычислите ;

1. 5. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. x = 9. 3. x = 6. 4. x = 3.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

 ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 3 < x < – 1.

С2. Упростите выражение .

ВАРИАНТ 3

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 25; 2. 3. 4.

А2. Вычислите .

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение

1. ; 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. 3. ; 4. 5.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 34 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

С2. Упростите выражение

ВАРИАНТ 4

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 2. 7. 3. 4. 49.

А2. Вычислите

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение .

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение

1. – 2. 3. 4.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 248 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

С2. Упростите выражение

Ответы к контрольной работе.

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 4
ЧАСТЬ А ЧАСТЬ А ЧАСТЬ А ЧАСТЬ А
А1 1 А1 1 А1 2 А1 1
А2 2 А2 1 А2 1 А2 2
А3 4 А3 3 А3 1 А3 2
А4 2 А4 1 А4 3 А4 2
А5 2 А5 2 А5 4 А5 3
ЧАСТЬ В ЧАСТЬ В ЧАСТЬ В ЧАСТЬ В
1. 1. 1. 1.
2. знак больше 2. знак меньше 2. знак меньше 2. знак больше
3. 8 3. 3 3. 2 3. 4
ЧАСТЬ С ЧАСТЬ С ЧАСТЬ С ЧАСТЬ С
1. 9 1. –3х – 5 1. а 1. 1
2. 2. – 2 2. – 3 2. 2

Самостоятельная работа по теме: «Действительные числа»

Самостоятельная работа. Действительные числа.

Вариант 1

Уровень 1 – оценка «3»

Выполнить действия:

а) + б) – в) ∙ г) :

2. Вычислить: (1 + 0,4)

3. Сформулируйте определение натуральных чисел.

4. Приведите примеры целых чисел.

Уровень 2 – оценка «4»

Выполнить действия:

а) + б) – в) ∙ г) :

2. Вычислить:

3. Сформулируйте определение рациональных чисел.

4. Приведите примеры иррациональных чисел.

Уровень 3 – оценка «5»

Выполнить действия:

2. Вычислить:

3. Изобразите схему построения множества действительных чисел.

4. Какие из данных утверждений верны?

Число -3Q

Число 5I

Число N

Число I

Число =2,6457513110646…R

.

Самостоятельная работа. Действительные числа.

Вариант 2

Уровень 1 – оценка «3»

Выполнить действия:

а) + б) – в) ∙ г) :

2. Вычислить: (2,5 + 8) :

3. Сформулируйте определение целых чисел.

4. Приведите примеры натуральных чисел.

Уровень 2 – оценка «4»

Выполнить действия:

а) + б) – в) ∙ г) :

2. Вычислить:

3. Сформулируйте определение иррациональных чисел.

4. Приведите примеры рациональных чисел.

Уровень 3 – оценка «5»

Выполнить действия:

2. Вычислить:

3. Какие множества входят в множество действительных чисел? Перечислите их по порядку, начиная с самого маленького множества.

4. Какие из данных утверждений верны?

Число Q

Число 55,006 I

Число 0 Z

Число R

Число =1,7320508075689…Q

Что такое действительное число? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определение действительного числа

Определение

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .

Например.  $\frac{2}{3} ; 0,754 ;-23 ;-\frac{5}{4} ; 113 ;-\sqrt[3]{2} ;-2,34 ; \frac{1}{\pi}$ – все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом

Свойства операции сложения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

    $$a+b=b+a$$

  2. Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

    $$(a+b)+c=a+(b+c)$$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$

    $$a+0=0+a=a$$

  4. Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что

    $$a+(-a)=(-a)+a=0$$

    число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается

Пример

Задание. Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$

Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$

Разность: $23-12,4=10,6$

Ответ.

$23+12,4=35,4$

$23-12,4=10,6$

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

    $$a \cdot b=b \cdot a$$

  2. Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

    $$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$

    $$a \cdot 1=1 \cdot a$$

  4. Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что

    $$a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$$

    число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$

$$c=a \cdot \frac{1}{b}$$

называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$

Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 \cdot 5=6$

Частное: $1,2 : 5=1,2 \cdot \frac{1}{5}=1,2 \cdot 0,2=0,24$

Ответ.

$1,2 \cdot 5=6$

$1,2 : 5=0,24$

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$$

Читать дальше: что такое четное число.

Урок 15. действительные числа – Алгебра и начала математического анализа – 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №15. Действительные числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) множество иррациональных чисел;

2) множество рациональных чисел;

3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Глоссарий по теме

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m — целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Иррациональные числа– это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m —целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Пример: -3; -0,5; .

Иррациональные числа– это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Пример: π=3,141592…; 0, 113456… .

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

.

Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.

при или

Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если при или

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

.

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

Рисунок 1

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, ;

n=20, ;

n=21, .

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Рисунок 2

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)

Рисунок 3

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности

Например, для прогрессии , где ,

имеем

Так как то

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1:

Воспользуемся калькулятором:

Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.

Округлим полученные результаты до десятых:

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.

Округлим полученные результаты до сотых:

3

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.

Округлим полученные результаты до тысячных:

32

Тогда получаем:

и т.д.

Пример 2.

Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:

а) ; б)

Решение:

. Найдем q.

;;

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б)

Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Контрольная работа по теме “Причастие”

Запитання 1

Причастие – это…

варіанти відповідей

особая форма глагола, обозначающая признак предмета по действию

 

 особая форма глагола, обозначающая признак предмета

 

 часть речи, обозначающая признак предмета по действию

  

часть речи, обозначающая действие предмета

Запитання 2

Найдите строку, в которой все слова – причастия

варіанти відповідей

 быстрый, смеющийся, белый, сыгранный

  

редеющие, необычный, чрезвычайный

  

  беспечный, приятный, напряженный, уставший

  

рваный, сшитый, бегущий, изгнанный

Запитання 3

Укажите признак, который не относится к причастию.  

варіанти відповідей

возвратность

 

род, число, падеж наклонение

 

вид: совершенный и несовершенный

Запитання 4

Укажи словосочетания с действительными причастиями:

варіанти відповідей

мечтающий мальчик;

 

разгаданный кроссворд.

 

 остановившийся автомобиль;

огороженный участок.

Запитання 5

Укажи предложения со страдательными причастиями:

варіанти відповідей

Село расположено на высоком берегу реки.

   

 Чуть показавшееся сзади солнце озаряло золотом вершины берёз.

  

В густой кроне деревьев на ветках сидят поющие скворцы.

  

Ветер гнал по дорожкам сорванные с деревьев листья.

Запитання 6

Страдательные причастия образуются при помощи…

варіанти відповідей

·суффиксов -ащ, -ящ, -ущ, -ющ/ -нн-, -т-

 

 суффиксов -им, -ем/ -вш-, -ш-

 

суффиксов -вш, -ш/ -нн, -енн (-ённ), -т

 

 суффиксов -нн, -енн (-ённ), -т/ -ем-. -им-, -ом-

Запитання 7

Свойства каких частей речи имеет причастие? 

варіанти відповідей

глагола и наречия. 

 

 прилагательного и существительного. 

 глагола и прилагательного. 

 

Запитання 8

Каким членом предложения бывают полные причастия?

варіанти відповідей

 дополнением

 

 определением

обстоятельством

  

Запитання 9

Укажите неверное утверждение 

варіанти відповідей

Причастие обозначает признак предмета по его действию. 

Причастия изменяются по числам, родам и падежам.

 

Причастия имеют настоящее, прошедшее, будущее время.

 

Полные причастия обычно выполняют в предложении роль определения.

Запитання 10

Укажите строку, где все словосочетания с причастиями

варіанти відповідей

расчётливый человек, бесценная вещь, загаданное желание  

 

 выросший цветок, дремучий лес, летучий газ

 

 разбитая ваза, построенное здание, сшитое платье

   

 удивлённый взгляд, пёстрая листва,  бесчисленные звёзды

Запитання 11

Укажите причастие, в окончании которого нужно вставить букву “Е 

варіанти відповідей

 к подъехавш. .м машинам

  смеющ..яся девочка

  

 заросли цветущ..й сирени

 

 от расцветающ..х тюльпанов

 

Запитання 12

Укажите причастие, в окончании которого нужно вставить букву “И”

варіанти відповідей

 в движущ..мся поезде

   

   о выступавш..м актёре

  

 с цветущ..ми тюльпанами

 

для пришедш..го человека

Запитання 13

Выберите ряд слов, в котором все слова – причастия.

варіанти відповідей

читающий, сидя, нарисованный.

  

  темный, посветлевший, синеющий.

 

 надвигавшаяся, обнимающий, накормленный.

Запитання 14

 Укажите причастие с окончанием –ИМ (ЫМ)

варіанти відповідей

с приехавш…м товарищем

запущенн…м саду

в обезлюдевш…й деревне

о расстилающ…мся растении

Запитання 15

Страдательные причастия прошедшего времени образуются при помощи. ..

варіанти відповідей

суффиксов -ащ, -ящ, -ущ, -ющ

 

суффиксов -вш, -ш

 

 суффиксов -им, -ем

 

суффиксов -нн, -енн (-ённ), -т

Запитання 16

Страдательные причастия настоящего времени образуются при помощи

варіанти відповідей

суффиксов -ащ, -ящ, -ущ, -ющ

 

 суффиксов -вш, -ш

суффиксов -им, -ем-(-ом)

 

суффиксов -онн, -енн, -ан, -ин

Запитання 17

Найдите лишний признак. 

Признаки глагола у причастия : 

варіанти відповідей

Вид- совершенный и несовершенный. 

 

 Время- настоящее и прошедшее.

 

 Возвратность – невозвратность. 

  

  Переходность – непереходность. 

 

Форма полная и краткая. 

Запитання 18

Чем является в предложении краткое причастие?

варіанти відповідей

 определением

обстоятельством

Запитання 19

Укажите словосочетание со страдательным причастием.

варіанти відповідей

 белеющий парус

 

 сломанные стулья

 

 разрушившийся дом

 лечащий врач

Запитання 20

Укажите предложение, в котором есть краткая форма причастия.

варіанти відповідей

Бледна как тень, с утра одетаТатьяна ждёт: когда ж ответ? 

  

Песня, спетая Машей, глубоко меня поразила.

 Разбитая чашка валялась на полу.

Запитання 21

Укажи причастия, в суффиксе которых пишется –и-:

варіанти відповідей

  слыш…мый,

  

 подгоня…мый,

Запитання 22

Укажи словосочетания с действительными причастиями:

варіанти відповідей

 остановившийся автомобиль;

  

разгаданный кроссворд.

мечтающий мальчик;

огороженный участок.

Створюйте онлайн-тести
для контролю знань і залучення учнів
до активної роботи у класі та вдома

Створити тест

Натисніть “Подобається”, щоб слідкувати за оновленнями на Facebook

Извините! – Страница не найдена

Пока разбираемся, возможно, поможет одна из ссылок ниже.

Дома Назад
  • Класс
  • Онлайн-тесты
  • Ускоренный онлайн-курс JEE
  • Двухлетний курс для ЕГЭ 2021
  • Класс
  • Онлайн-курс NEET
  • Серия онлайн-тестов
  • Фонд CA
  • CA Промежуточный
  • Финал CA
  • Программа CS
  • Класс
  • Тестовая серия
  • Книги и материалы
  • Тестовый зал
  • Умный взломщик BBA
  • Обучение в классе
  • Онлайн-коучинг
  • Тестовая серия
  • Интеллектуальный взломщик IPM
  • Книги и материалы
  • ГД-ПИ
  • CBSE Класс 8
  • CBSE класс 9
  • CBSE класс 10
  • CBSE Класс 11
  • CBSE класс 12
  • Обучение в классе
  • Онлайн-классы CAT
  • Серия тестов CAT
  • МВА Жилой
  • Умный взломщик CAT
  • Книги и материалы
  • Онлайн-классы без CAT
  • Серия испытаний без CAT
  • Тестовый зал
  • ГД-ПИ
  • Обучение в классе
  • Тестовая серия
  • Гражданские интервью
  • Класс
  • Онлайн-классы
  • Серия испытаний SSC
  • Корреспонденция
  • Практические тесты
  • Электронные книги SSC
  • Пакет исследований SSC JE
  • Класс
  • RBI класс B
  • Серия тестов банка
  • Корреспонденция
  • Банковские электронные книги
  • Банк ПДП
  • Онлайн-коучинг
  • Коучинг в классе
  • Тестовая серия
  • Книги и материалы
  • Класс
  • Программа моста GRE
  • Онлайн-обучение GMAT
  • Консультации по приему
  • Коучинг GMAT в классе
  • Стажировка
  • Корпоративные программы
  • Студенты колледжа
  • Работающие специалисты
  • Колледжи
  • Школы

Действительные числа — Алгебра 1

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Тесты сходимости для серий положительных действительных чисел

//Эта страница предназначена для центра комплексного анализа и представляет собой лишь краткий обзор многих тестов сходимости для положительных рядов действительных чисел. n}}$ сходится по корневому признаку.

SCERT 10-й пробный тест по математике 2021 г. для практического онлайн-теста «Действительные числа» (глава 1) Реальные числа для учащихся средних школ страны

Обновите страницу, чтобы изменить онлайн-экзамен по математике 10-го класса «Настоящие числа». Предмет «Настоящие числа» на основе программы SCERT

1500

 

Мы разработали пробный тест по математике для 10-го класса 2021 на основе темы программы SCERT « Реальные числа » с полным вопросом с несколькими вариантами ответов. Глава для среднего среднего образования Студент, обучающийся в любом государственном совете страны, с набором вопросов, предложенных экспертами в предметной области, и нет необходимости создавать макет ст-1, макет-тест-2, макет-тест-3 и другие.

1 Глава-1 “ Настоящие номера ” 9020 5
Узел 10-го класса Математика ( Real Chumbers ) Mock Test 2021 Среднее образование Математика онлайн-практики экзамен 2021 для Настоящие номера
Название доски Все Совет по среднему образованию страны
Тип учебной программы Государственный совет по исследованиям и обучению в области образования ( SCERT )
Название курса/класса Сертификат 10-й средней школы ( 10-я средняя школа)
Название темы Математика
Средний Telugu, английский, а другие
Название главы
Количество вопросов 25 вопросов MCQ
Время экзамена 25 минут
Категории
Категории Глава-1, класс-10, математика, реальные номера, stand-10,
SCERT 10th Mathematics Mock Test 2021 для “ Настоящие номера

Накрытые темы главы

  • Дивизия Евклида Лемма / Алгоритм.
  • Изучение рациональных чисел, иррациональных чисел и действительных чисел.
  • Основная теорема арифметики.
  • Рациональные числа и их десятичные разложения.
  • Подробнее об иррациональных числах.
  • Свойства иррациональных чисел.
  • Свойства действительных чисел.
  • Введение в логарифмы.
  • Повторное посещение экспонентов.
  • Запись показателей в виде логарифмов.
  • Законы логарифмов.
  • Стандартные основания логарифмов.

Банк вопросов для 10-го класса Математика Вещественные числа Вещественные числа

  • вопрос_ответ 1)

    L.C.M. и H.C.F. оценок, выставленных Аджитом и Амаром в тесте по математике, составляют 5040 и 12 соответственно. Если у Амара 144 балла, то какой у Аджита?

    A)

     288                                               сделано прозрачный

    Б)

     132 выполнено прозрачный

    C)

     564                        сделано прозрачный

    D)

            420 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 2)

    «p» — это остаток от деления полного квадрата на 3. Каково значение «п»?

    А)

     1 выполнено прозрачный

    Б)

     0 выполнено прозрачный

    C)

     Либо [a], либо [b]. сделано прозрачный

    D)

     Ни [a], ни [b]. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 3)

    Факторное дерево показывает простую факторизацию числа 1314. Найдите соответствующие значения ‘a’ и ‘b’.

    A)

     3, 37                      сделано прозрачный

    Б)

            3, 73 выполнено прозрачный

    C)

     73, 3                      сделано прозрачный

    Г)

            9, 73 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 4)

    Ниже приведены первый и последний шаги в поиске H. С.Ф. 408 и 1032 с использованием алгоритма Евклида.
    Шаг 1: \[\text{1}0\text{32}=\text{4}0\text{8}\times \text{2}+\text{216}\]
    Шаг 2: ___________
    Шаг 3: ___________
    Шаг 4: \[\text{192 }=\text{24}\times \text{8}+0\]
    Выберите шаги 2 и 3.
    (I) 408 = 2161 + 1921
    (II) 408 = 216 + 180 + 12
    (III) 216 = 192 1 + 24
    (IV) 192 = 24 8 + 0

    A)

     (i) и (ii)            выполнено прозрачный

    B)

     (i) и (iii) выполнено прозрачный

    C)

     (ii) и (iii)      выполнено прозрачный

    D)

            (iii) и (iv) выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 5)

    При каком значении ‘x’ 6x оканчивается на 5?

    А)

     0 выполнено прозрачный

    Б)

     1 выполнено прозрачный

    В)

     5 сделано прозрачный

    D)

     Никогда не заканчивается на 5. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 6)

    Если 1728 делится на 4, какое из следующих утверждений верно?

    А)

     4 делит 12. сделано прозрачный

    B)

            6 делит 1728. готово прозрачный

    C)

     2 делит 1728. готово прозрачный

    D)

           4 делит 144. готово прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 7)

    Размеры прямоугольника:\[({{2}^{5}}\x 7)см\]и\[(\text{2}\times {{\text{5) }}^{\text{2}}}\times {{\text{7}}^{\text{3}}})см\]. {2}}\] сделано прозрачный

    C)

     \[\sqrt{9}-\sqrt{4}\]      выполнено прозрачный

    D)

            \[\sqrt{2}-\sqrt{3}\] выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 9)

    Дано\[a=3-\sqrt{2}\].и \[b=3+\sqrt{2}\], что из следующего верно?

    A)

     a + b иррационально. сделано прозрачный

    Б)

    а – б рационально. сделано прозрачный

    C)

    ab рационально. сделано прозрачный

    D)

     \[\frac{a}{b}\]рационально. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 10)

    Лемма Евклида о делении: для любых двух положительных целых чисел ‘a’ и ‘b’ существуют уникальные целые числа ‘q’ и ‘r’ такие, что \[\text{a}=\text{ bq}+\text{r}\].Какому условию должно удовлетворять ‘r’?

    A)

     \[0\le r\le b\]                                   сделано прозрачный

    B)

     \[0 выполнено прозрачный

    C)

     \[0\le r сделано прозрачный

    D)

           \[0 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 11)

    Какое из следующих чисел является неконечным повторяющимся десятичным числом?

    A)

     \[\frac{24}{1600}\]                               сделано прозрачный

    B)

     \[\frac{171}{800}\] сделано прозрачный

    C)

     \[\frac{123}{{{2}^{2}}\times {{5}^{3}}}\]               сделано прозрачный

    D)

            \[\frac{145}{{{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times {{7}^{2}}}\] сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 12)

    Выберите завершающий десятичный знак.

    A)

     \[\frac{141}{1000}\]       выполнено прозрачный

    B)

            \[\frac{17}{30}\] сделано прозрачный

    C)

     \[\frac{271}{90}\]                           сделано прозрачный

    D)

            \[\frac{53}{343}\] сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 13)

    Найдите число, которое при делении на 43 дает в остатке 32 и дает в частном 25.

    A)

     1045                                            сделано прозрачный

    Б)

     1107 выполнено прозрачный

    C)

     1150                                     сделано прозрачный

    Г)

     1105 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 14)

    На какое число нужно разделить 1789, чтобы получить частное 29 и остаток 49?

    A)

     60                          сделано прозрачный

    Б)

            61 выполнено прозрачный

    C)

     59                                                сделано прозрачный

    Г)

     52 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 15)

    Что такое Л. СМ. из 140 и 605, если их H.CF. это Х?

    A)

     8000                      выполнено прозрачный

    Б)

            5500 выполнено прозрачный

    C)

     8400                                     сделано прозрачный

    Г)

     7700 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 16)

    910 синих ручек и 1001 красная ручка раздаются ученикам X класса таким образом, чтобы каждый ученик получил одинаковое количество ручек каждого вида.Какова максимальная сила класса?

    A)

     91                          сделано прозрачный

    Б)

            80 выполнено прозрачный

    C)

     94                          сделано прозрачный

    Г)

            86 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 17)

    Книги в библиотеке сложены таким образом, чтобы они хранились по предмету, и стопки были одного размера. Если в библиотеке 144 книги по географии, 384 книги по истории и 240 книг по экономике, в скольких стопках можно разложить книги?

    A)

     18                          сделано прозрачный

    B)

            14 выполнено прозрачный

    C)

     16                          сделано прозрачный

    D)

            12 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 18)

    Что такое Л.СМ. из\[\frac{6}{14}\]и\[\frac{2}{7}\]?

    A)

     \[\frac{3}{7}\]                          сделано прозрачный

    B)

            \[\frac{6}{7}\] сделано прозрачный

    C)

     \[\frac{4}{7}\]                   сделано прозрачный

    D)

            \[\frac{5}{7}\] сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 19)

    Какое из утверждений неверно?

    A)

     Если \[\sqrt{a}+\sqrt{b}\]является иррациональным числом, то \[\sqrt{ab}\]также является иррациональным числом. сделано прозрачный

    B)

     Обратное число к иррациональному числу всегда является иррациональным числом. сделано прозрачный

    C)

     Между любыми двумя иррациональными числами лежит бесконечно много рациональных чисел. сделано прозрачный

    D)

     \[\text{7}\times \text{13}+\text{13}\] — простое число. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 20)

    Что из следующего верно для двух взаимно простых чисел?

    A)

     Их H.С.Ф. 1. сделано прозрачный

    B)

     Их L. CM. 1. сделано прозрачный

    C)

     Их H.C.F. равно их произведению. сделано прозрачный

    D)

     Их L.C.M. вдвое больше их H.C.F. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 21)

    Отличие Л.{\текст{3}}}\]?

    A)

     361                        сделано прозрачный

    Б)

            19 выполнено прозрачный

    C)

     55                          сделано прозрачный

    D)

            6859              сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 22)

    Выберите методы, которые можно использовать для поиска H. С.Ф. из любых двух чисел.
    (I) Дивизион Евклида Лемма
    (II) Prime Factorization
    (III) Отдел номеров
    (IV) Продукт номеров

    A)

     только (i) и (iv)   выполнено прозрачный

    B)

                             (i), (ii) и (iii) только сделано прозрачный

    C)

     (i), (iii) и (iv) только                                сделано прозрачный

    D)

     (ii), (iii) и (iv) только выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 23)

                            Положительное число n при делении на 8 дает остаток 5. Чему равен     остаток при делении \[\text{2n}+\text{4}\] на 8?

    A)

     8                             сделано прозрачный

    B)

            1                           сделано прозрачный

    C)

     6            сделано прозрачный

    Г)

            0 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 24)

    Остаток при делении числа на 143 равен 31.Какой остаток при делении этого же числа на 11?

    A)

     5                             сделано прозрачный

    Б)

            7 сделано прозрачный

    C)

     6                             сделано прозрачный

    Г)

            9 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 25)

    Три веревки длиной 7 м, 12 м 95 см и 3 м 85 см. Какова наибольшая возможная длина, которой можно измерить эти веревки?

    A)

     35 см                   сделано прозрачный

    B)

            55 см готово прозрачный

    C)

     1 м                        сделано прозрачный

    D)

            65 см готово прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 26)

    Три лампочки соединены таким образом, что они светятся каждые 24 секунды, 36 секунд и 54 секунды соответственно.Все они светятся сразу в 8 утра. Когда же они снова будут светиться одновременно?

    А)

    8:30:36 выполнено прозрачный

    B)

            8:03:36 выполнено прозрачный

    C)

    8:36:03 сделано прозрачный

    D)

            8:36:30 а. м. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 27)

    Найти Наибольшее число, на которое делятся числа 120, 224 и 256.

    A)

     8            выполнено прозрачный

    Б)

            6 выполнено прозрачный

    C)

     4            сделано прозрачный

    Г)

            5 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 28)

    Продавец книг купил 117 книг, из которых 45 книг по математике, а остальные 72 книги по физике. Каждая книга имеет одинаковый размер. Книги по математике и физике должны быть упакованы в отдельные пачки, и в каждой пачке должно быть одинаковое количество книг. Найдите наименьшее количество связок, которые можно составить из этих 117 книг.

    A)

     8                                   сделано прозрачный

    B)

            11 выполнено прозрачный

    C)

     13                                                сделано прозрачный

    Г)

     9 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 29)

    Сандип пожертвовал 75 глюкозных бисквитов и 45 монакских бисквитов учащимся класса. Они должны быть упакованы в одинаковые пакеты. Два вида печенья должны быть упакованы отдельно и содержать одинаковое количество печенья. Найдите наименьшее количество пакетов с глюкозой и печеньем монако соответственно.

    A)

     5, 15                      сделано прозрачный

    Б)

            5, 3 выполнено прозрачный

    C)

     2, 3                                       выполнено прозрачный

    Г)

     3, 2 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 30)

    Армейский контингент численностью 616 человек должен пройти парадом вслед за армейским оркестром численностью 32 человека. Две группы должны идти в одинаковом количестве колонн. Каково максимальное количество колонн, в которых они могут маршировать?

    A)

     3                             сделано прозрачный

    Б)

            8 выполнено прозрачный

    C)

     12                          сделано прозрачный

    Г)

            4 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 31)

    96 книг по английскому языку, 240 книг по хинди и 336 книг по математике должны быть упакованы в пачки, каждая из которых содержит равное количество книг по каждому предмету. В чем разница между наибольшим количеством книг, которые можно упаковать в каждую связку, и наименьшим числом связок, которые можно составить?

    A)

     1                             сделано прозрачный

    Б)

            3 выполнено прозрачный

    C)

     34                          сделано прозрачный

    Г)

            48 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 32)

    Что из следующего верно относительно \[\text{17}\times \text{41}\times \text{43}\times \text{61}+\text{43} \]?

    A)

     Это простое число. сделано прозрачный

    B)

     Это составное число. сделано прозрачный

    C)

     Это нечетное число. сделано прозрачный

    D)

     И [a] и [b] выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 33)

    Круговое поле имеет длину окружности 360 км.Два велосипедиста Сумит и Джон стартуют вместе и едут со скоростью 12 км/ч и 15 км/ч соответственно, объезжая круговое поле. Через сколько часов они снова встретятся в исходной точке?

    A)

     100 часов           выполнено прозрачный

    B)

            171 час сделано прозрачный

    C)

     120 часов                          сделано прозрачный

    D)

     140 часов выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 34)

    Найдите кодек H. С.Ф. из 6930 и 8085.

    A)

     1155                      сделано прозрачный

    Б)

            2205 выполнено прозрачный

    C)

     1515                      сделано прозрачный

    Г)

            2025 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 35)

    Если 0.{m}}\]каковы значения ‘m’ и ‘n’ соответственно?

    A)

     4 и 3                 выполнено прозрачный

    B)

           4 и 5 выполнено прозрачный

    C)

     4 и 4                 выполнено прозрачный

    D)

           3 и 4 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 36)

    Если 0. 737373….. выражается в виде \[\frac{p}{q}\], где “p” и “q” взаимно просты, каковы простые множители “q”?

    A)

     4 и 7                 выполнено прозрачный

    B)

            3 и 11 выполнено прозрачный

    C)

     7 и 11              выполнено прозрачный

    D)

           4 и 3 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 37)

    Что из следующего верно относительно \[\frac{41}{37500}\]

    A)

     Это повторяющееся десятичное число без конца. сделано прозрачный

    B)

     Это завершающая повторяющаяся десятичная дробь. сделано прозрачный

    C)

     Это завершающая и неповторяющаяся десятичная дробь. сделано прозрачный

    D)

     Это непрерывающееся и неповторяющееся десятичное число. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 38)

    Найти L.C.M. из 3465 и 5460.

    A)

     181080                                сделано прозрачный

    Б)

     180180 выполнено прозрачный

    C)

     108108                 сделано прозрачный

    Г)

            108801 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 39)

    Если НОК из (480 672) = 3360, найти H. С.Ф. из (480 672).

    A)

     75                                                 сделано прозрачный

    Б)

     69 выполнено прозрачный

    C)

     67                                                сделано прозрачный

    Г)

     96 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • question_answer 40)

    Найдите соответствующие значения H.С.Ф. и Л.К.М. из 5474, 9775 и 11730.

    А)

     391 и 410550 выполнено прозрачный

    Б)

     319 и 401550 выполнено прозрачный

    C)

     410550 и 319 выполнено прозрачный

    D)

     405150 и 193 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 41)

    Окружности переднего и заднего колес трехколесного велосипеда составляют 120 см и 90 см соответственно. Прежде чем начать ездить на трехколесном велосипеде, Рут отмечает точки, где шины касаются земли, как A и B соответственно на передних и задних колесах. Сколько оборотов сделают переднее и заднее колеса, если А и В снова одновременно коснутся земли?

    А)

     6, 8     выполнено прозрачный

    B)

                                         3, 4 сделано прозрачный

    C)

     9, 12                      сделано прозрачный

    Г)

            1, 4 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 42)

    Какое из следующих утверждений является правильным

    A)

     \[\pi \] — натуральное число. сделано прозрачный

    B)

     \[\pi \]является иррациональным числом. сделано прозрачный

    C)

     \[\pi \]не определено. сделано прозрачный

    D)

     Значение \[\pi \] равно \[\frac{22}{7}\]. сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 43)

    Произведение Л.СМ. и H.C.F. из двух чисел 88288. Если одно из чисел равно 248, найдите другое число.

    A)

     356                        выполнено прозрачный

    Б)

            635 выполнено прозрачный

    C)

     365                        сделано прозрачный

    Г)

            653 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 44)

    Л. СМ. из 318 и 477 выражается как \[\text{159}\times \text{p}+\text{318}\]. Каково значение ‘p’?

    A)

     2                             сделано прозрачный

    Б)

            4 выполнено прозрачный

    C)

     3                             сделано прозрачный

    Г)

            0 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 45)

    Прямоугольный кусок металла размерами 360 см на 280 см разрезан на несколько одинаковых квадратиков.Если сторона каждого квадрата имеет наибольшую возможную длину, найдите количество образованных квадратов.

    A)

     126                        сделано прозрачный

    Б)

            20 сделано прозрачный

    C)

     40                          сделано прозрачный

    Г)

            63 сделано прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • вопрос_ответ 46)

    В школе продолжительность периода в младшей секции 40 минут, в старшей секции 60 минут.Если первый звонок для каждой секции прозвенит в 9 часов утра, когда два колокола снова зазвонят вместе?

    A)

     10:45     сделано прозрачный

    B)

            10:15 выполнено прозрачный

    C)

    12:00 сделано прозрачный

    D)

            11:00 a. {\text{3}}}\times \text{17}\]. Что из следующего является общим делителем чисел?

    A)

     1683                                            сделано прозрачный

    Б)

     5831 выполнено прозрачный

    C)

     1089                      сделано прозрачный

    Г)

            539 выполнено прозрачный

    Посмотреть решение play_arrow
  • 1.1 Вещественные числа: Основы алгебры — Колледж Алгебра 2e

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Классифицировать вещественные числа как натуральные, целые, целые, рациональные и иррациональные числа.
    • Выполнение расчетов в порядке операций.
    • Используйте следующие свойства действительных чисел: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, инверсию и тождественность.
    • Вычисление алгебраических выражений.
    • Упростить алгебраические выражения.

    Часто говорят, что математика — это язык науки. Если это так, то существенной частью языка математики являются числа. Самое раннее использование чисел произошло 100 веков назад на Ближнем Востоке для подсчета или перечисления предметов. Фермеры, пастухи и торговцы использовали жетоны, камни или маркеры для обозначения одного количества — например, снопа зерна, головы скота или фиксированной длины ткани. Это сделало возможной торговлю, что привело к улучшению коммуникаций и распространению цивилизации.

    Три-четыре тысячи лет назад египтяне ввели дроби. Сначала они использовали их, чтобы показать взаимность. Позже они использовали их для представления количества, когда количество было разделено на равные части.

    Но что, если бы не было скота для торговли или весь урожай зерна был потерян во время наводнения? Как кто-то может указать на существование ничего? С самых ранних времен люди думали об «базовом состоянии» при подсчете и использовали различные символы для обозначения этого нулевого состояния.Однако только примерно в пятом веке нашей эры в Индии ноль был добавлен к системе счисления и использовался в качестве числа в расчетах.

    Ясно, что цифры также были необходимы для представления убытков или долгов. В Индии в седьмом веке нашей эры отрицательные числа использовались для решения математических уравнений и коммерческих долгов. Противоположности счетных чисел еще больше расширили систему счисления.

    Благодаря эволюции системы счисления мы теперь можем выполнять сложные вычисления, используя эти и другие категории действительных чисел.В этом разделе мы рассмотрим наборы чисел, вычисления с различными типами чисел и использование чисел в выражениях.

    Классификация реального числа

    Числа, которые мы используем для счета или перечисления предметов, являются натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в системе обозначений как {1,2,3,…}{1,2,3,…}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами .Всякий раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3,…}.{0,1,2,3,…}.

    Множество целых чисел добавляет противоположности натуральных чисел к множеству целых чисел: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.{… ,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел.В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом состоит в том, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.

    …,−3,−2,−1,отрицательные целые числа0,ноль1,2,3,⋯положительные целые числа…,−3,−2,−1,отрицательные целые числа0,ноль1,2,3,⋯положительные целые числа

    Набор рациональных чисел записывается как {mn|mand — целые числа и n≠0}.{mn|mand — целые числа и n≠0}. Обратите внимание на то, что рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0.Мы также можем видеть, что каждое натуральное, целое и целое число является рациональным числом со знаменателем 1.

    Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число можно представить как:

    1. ⓐконечный десятичный знак: 158=1,875, 158=1,875 или
    2. ⓑ повторяющееся десятичное число: 411=0,36363636…=0,36¯411=0,36363636…=0,36¯

    Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо многократного написания группы.

    Пример 1

    Запись целых чисел в виде рациональных чисел

    Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.

    1. ⓐ7
    2. ⓑ0
    3. ⓒ–8
    Решение

    Запишите дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе.

    1. ⓐ 7=717=71
    2. ⓑ 0=010=01
    3. ⓒ −8=−81−8=−81

    Попытайся #1

    Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.

    1. ⓐ11
    2. ⓑ3
    3. ⓒ–4

    Пример 2

    Идентификация рациональных чисел

    Запишите каждое из следующих рациональных чисел либо как завершающую, либо как повторяющуюся десятичную дробь.

    1. ⓐ −57−57
    2. ⓑ 155155
    3. ⓒ 13251325
    Решение

    Запишите каждую дробь в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

    1. ⓐ −57=−0.714285———,—57=—0,714285———, повторяющееся десятичное число
    2. ⓑ 155=3155=3 (или 3,0), завершающее десятичное число
    3. ⓒ 1325=0,52, 1325=0,52, завершающее десятичное число

    Попытайся #2

    Запишите каждое из следующих рациональных чисел либо как завершающую, либо как повторяющуюся десятичную дробь.

    1. ⓐ 68176817
    2. ⓑ 813813
    3. ⓒ −1720−1720
    Иррациональные числа

    В какой-то момент в далеком прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единицей стороны равна не 2 и даже не 32,32, а чему-то другому. Или швейник мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани чуть больше 3, но все же это не рациональное число. Такие числа называются иррациональными , потому что их нельзя записать в виде дробей. Эти числа составляют множество иррациональных чисел. Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби от двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно не рационально. Итак, мы пишем это, как показано.

    {h|это нерациональное число}{h|это нерациональное число}

    Пример 3

    Дифференциация рациональных и иррациональных чисел

    Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если оно рационально, определите, является ли оно завершающим или повторяющимся десятичным числом.

    1. ⓐ 2525
    2. ⓑ 339339
    3. ⓒ 1111
    4. ⓓ 17341734
    5. ⓔ 0.3033033303333…0,3033033303333…
    Решение
    1. ⓐ 25:25: можно упростить как 25=5,25=5. Поэтому 2525 рационально.
    2. ⓑ 339:339: Поскольку это дробь целых чисел, 339339 является рациональным числом. Далее упрощайте и делите. 339=331193=113=3,6¯339=331193=113=3,6¯

      Таким образом, 339339 является рациональным и повторяющимся десятичным числом.

    3. ⓒ 11:11: Дальнейшее упрощение невозможно. Следовательно, 1111 — иррациональное число.
    4. ⓓ 1734:1734: 17341734, поскольку это дробь целых чисел, является рациональным числом. Упростить и разделить. 1734=171342=12=0,51734=171342=12=0,5

      Таким образом, 17341734 является рациональным и завершающим десятичным числом.

    5. ⓔ 0,3033033303333…0,3033033303333… не является завершающим десятичным числом. Также обратите внимание, что нет повторяющегося шаблона, потому что группа из 3 увеличивается каждый раз. Следовательно, оно не является ни конечным, ни повторяющимся десятичным числом и, следовательно, не рациональным числом. Это иррациональное число.

    Попытайся #3

    Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если оно рационально, определите, является ли оно завершающим или повторяющимся десятичным числом.

    1. ⓐ 777777
    2. ⓑ 8181
    3. ⓒ 4,27027002700027…4,27027002700027…
    4. 113
    5. ⓔ 3939
    Действительные числа

    Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально.Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел. Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа. Каждое подмножество включает дроби, десятичные числа и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или –). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.

    Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой прямой с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем используется фиксированное единичное расстояние, чтобы отметить каждое целое число (или другое основное значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции на числовой прямой. Обратное также верно: каждая позиция на числовой строке соответствует ровно одному вещественному числу. Это известно как переписка один на один. Мы называем это линией действительных чисел, как показано на рисунке 190–202.

    Фигура 1 Реальная числовая линия

    Пример 4

    Классификация действительных чисел

    Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное.Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?

    1. ⓐ −103−103
    2. ⓑ 55
    3. ⓒ −289−289
    4. ⓓ -6π−6π
    5. ⓔ 0,615384615384…0,615384615384…
    Решение
    1. ⓐ −103−103 отрицательно и рационально. Он лежит слева от 0 на числовой прямой.
    2. ⓑ 55 положительно и иррационально. Он лежит правее 0,
    3. ⓒ −289=−172=−17−289=−172=−17 отрицательно и рационально.Он лежит слева от 0,
    4. .
    5. ⓓ −6π−6π отрицательно и иррационально. Он лежит слева от 0,
    6. .
    7. ⓔ 0,615384615384…0,615384615384… — это повторяющаяся десятичная дробь, поэтому она рациональна и положительна. Он лежит правее 0,

    Попытайся #4

    Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?

    1. ⓐ 7373
    2. ⓑ −11.411411411…−11,411411411…
    3. ⓒ 47194719
    4. ⓓ −52−52
    5. ⓔ 6.2107356.210735
    Наборы чисел как подмножества

    Начав с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать больший набор, а это означает, что между наборами чисел, с которыми мы сталкивались до сих пор, существует отношение подмножества. Эти взаимосвязи становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы, такой как рис. 2.

    Фигура 2 Наборы чисел
    N : множество натуральных чисел
    W : набор целых чисел
    I : набор целых чисел
    Q : множество рациональных чисел
    Q ´: множество иррациональных чисел

    Наборы чисел

    В набор натуральных чисел входят числа, используемые для счета: {1,2,3,…}.{1,2,3,…}.

    Множество целых чисел — это множество натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3,…}.{0,1,2,3,…}.

    Множество целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к множеству целых чисел: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.{…,− 3,−2,−1,0,1,2,3,…}.

    Множество рациональных чисел включает дроби, записанные в виде {mn|man и n являются целыми числами и n ≠ 0}. {mn|man и n являются целыми числами и n ≠ 0}.

    Множество иррациональных чисел — это множество чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и непрерывными: {h|это не рациональное число}.{h|это не рациональное число}.

    Пример 5

    Дифференциация наборов чисел

    Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и/или иррациональное число ( Q′ ).

    1. ⓐ 3636
    2. ⓑ 8383
    3. ⓒ 7373
    4. ⓓ −6−6
    5. ⓔ 3,2121121112…3,2121121112…
    Решение
    Н Вт я Q К’
    а. 36=636=6 х х х х
    б. 83=2,6¯83=2,6¯ Х
    в. 7373 Х
    д. –6 Х х
    эл.3.2121121112… Х

    Попытайся #5

    Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и/или иррациональное число ( Q′ ).

    1. ⓐ −357−357
    2. ⓑ 00
    3. ⓒ 169169
    4. ⓓ 2424
    5. ⓔ 4.763763763…4,763763763…

    Выполнение расчетов с использованием порядка операций

    Когда мы умножаем число само на себя, мы возводим его в квадрат или возводим в степень 2. Например, 42=4⋅4=16,42=4⋅4=16. Мы можем возвести любое число в любую степень. В общем, экспоненциальное обозначение anan означает, что число или переменная aa используется в качестве множителя nn раз.

    an=a⋅a⋅a⋅…⋅anfactorsan=a⋅a⋅a⋅…⋅anfactors

    В этих обозначениях anan читается как n -й степени числа a,a или aa до nn, где aa называется основание и nn называется показателем степени . Термин в экспоненциальной записи может быть частью математического выражения, представляющего собой комбинацию чисел и операций. Например, 24+6⋅23−4224+6⋅23−42 — это математическое выражение.

    Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Используем порядок действий. Это последовательность правил для вычисления таких выражений.

    Вспомните, что в математике мы используем круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки { } для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется внутри символов, рассматривается как единое целое.Кроме того, столбцы дробей, радикалы и столбцы абсолютных значений обрабатываются как символы группировки. При вычислении математического выражения начните с упрощения выражений внутри группирующих символов.

    Следующим шагом является обращение ко всем экспонентам или радикалам. Затем выполните умножение и деление слева направо и, наконец, сложение и вычитание слева направо.

    Давайте посмотрим на полученное выражение.

    24+6⋅23−4224+6⋅23−42

    Символов группировки нет, поэтому переходим к экспонентам или радикалам.Число 4 возведено в степень 2, поэтому упростите 4242 до 16.

    24+6⋅23−4224+6⋅23−1624+6⋅23−4224+6⋅23−16

    Затем выполните умножение или деление слева направо.

    24+6⋅23−1624+4−1624+6⋅23−1624+4−16

    Наконец, выполните сложение или вычитание слева направо.

    24+4−1628−161224+4−1628−1612

    Следовательно, 24+6⋅23−42=12,24+6⋅23−42=12.

    Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть подкоренное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением круглых скобок.Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упростит одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.

    Порядок операций

    Операции в математических выражениях должны оцениваться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру PEMDAS :

    P (круглые скобки)
    E (множители)
    M (умножение) и D (размножение)
    A (дополнение) и S (вычитание)

    Как

    Упростите математическое выражение, используя порядок операций.

    1. Шаг 1. Упростите любые выражения внутри группирующих символов.
    2. Шаг 2. Упростите любые выражения, содержащие экспоненты или радикалы.
    3. Шаг 3. Выполняйте любое умножение и деление по порядку, слева направо.
    4. Шаг 4. Выполняйте любое сложение и вычитание по порядку, слева направо.

    Пример 6

    Использование порядка операций

    Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.

    1. ⓐ (3⋅2)2−4(6+2)(3⋅2)2−4(6+2)
    2. ⓑ 52−47−11−252−47−11−2
    3. ⓒ 6−|5−8|+3(4−1)6−|5−8|+3(4−1)
    4. ⓓ 14−3⋅22⋅5−3214−3⋅22⋅5−32
    5. ⓔ 7(5⋅3)−2[(6−3)−42]+17(5⋅3)−2[(6−3)−42]+1
    Решение

    1. (3⋅2)2−4(6+2)=(6)2−4(8)Упростить скобки.=36−4(8)Упростить показатель степени.=36−32Упростить умножение.=4Упростить вычитание. (3⋅2 )2−4(6+2)=(6)2−4(8)Упростить скобки.=36−4(8)Упростить показатель степени.=36−32Упрощение умножения.=4Упрощение вычитания.

    2. 52-47-11-2=52-47-9Упрощение группировки символов (радикал).=52-47-3Упрощение радикала.=25-47-3Упрощение показателя степени.=217-3Упрощение вычитания в числителе.=3-3Упрощение деления. = 0 Упрощение вычитания. 3Упростить деление.=0Упростить вычитание.

      Обратите внимание, что на первом шаге радикал рассматривается как символ группировки, как и круглые скобки.Кроме того, на третьем этапе черта дроби считается символом группировки, поэтому числитель считается сгруппированным.


    3. 6−|5−8|+3(4−1)=6−|−3|+3(3)Упрощение внутри группирующих символов.=6−3+3(3)Упрощение абсолютного значения.=6−3+ 9Упрощение умножения.=3+9Упрощение вычитания.=12Упрощение сложения.6−|5−8|+3(4−1)=6−|−3|+3(3)Упрощение внутри группирующих символов.=6−3+3 (3) Упростить абсолютное значение. = 6−3 + 9 Упростить умножение. = 3 + 9 Упростить вычитание. = 12 Упростить сложение.

    4. 14−3⋅22⋅5−32=14−3⋅22⋅5−9Упростить показатель степени.=14−610−9Упростить произведения.=81Упростить различия.=8Упростить частное.14−3⋅22⋅5−32=14−3⋅22⋅5−9Упростить показатель степени.=14−610−9Упростить произведения.=81Упростить различия.= 8Упростите частное.

      В этом примере дробная черта разделяет числитель и знаменатель, которые мы упрощаем отдельно до последнего шага.


    5. 7(5⋅3)−2[(6−3)−42]+1=7(15)−2[(3)−42]+1Упростить внутри скобок.=7(15)−2(3−16) +1Показатель упрощения=7(15)−2(−13)+1Вычитание=105+26+1Умножение=132Сложение.7(5⋅3)−2[(6−3)−42]+1=7(15)−2[(3)−42]+1Упростить внутри скобок.=7(15)−2(3−16) +1Показатель упрощения=7(15)−2(−13)+1Вычитание=105+26+1Умножение=132Сложение.

    Попытайся #6

    Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.

    1. ⓐ 52−42+7(5−4)252−42+7(5−4)2
    2. ⓑ 1+7⋅5−8⋅49−61+7⋅5−8⋅49−6
    3. ⓒ |1,8−4,3|+0,415+10|1,8−4,3|+0,415+10
    4. ⓓ 12[5⋅32−72]+13⋅9212[5⋅32−72]+13⋅92
    5. ⓔ [(3−8)2−4]−(3−8)[(3−8)2−4]−(3−8)

    Использование свойств действительных чисел

    Для некоторых выполняемых нами действий порядок определенных операций не имеет значения, но имеет значение порядок других операций. Например, не имеет значения, надеваем ли мы правый ботинок раньше левого или наоборот. Однако имеет значение, надеваем ли мы сначала обувь или носки. То же самое верно и для операций в математике.

    Коммутативные свойства

    Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не изменяя суммы.

    Мы можем лучше увидеть эту связь, используя действительные числа.

    (−2)+7=5и7+(−2)=5(−2)+7=5и7+(−2)=5

    Точно так же коммутативное свойство умножения гласит, что числа можно умножать в любом порядке, не затрагивая произведение.

    Снова рассмотрим пример с вещественными числами.

    (−11)⋅(−4)=44и(−4)⋅(−11)=44(−11)⋅(−4)=44и(−4)⋅(−11)=44

    Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не являются коммутативными. Например, 17–517–5 — это не то же самое, что 5–17,5–17. Аналогично, 20÷5≠5÷20,20÷5≠5÷20.

    Ассоциативные свойства

    Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем переместить символы группировки, чтобы упростить вычисления, а произведение останется прежним.

    Рассмотрим этот пример.

    (3⋅4)⋅5=60и3⋅(4⋅5)=60(3⋅4)⋅5=60и3⋅(4⋅5)=60

    Ассоциативное свойство сложения говорит нам о том, что числа можно группировать по-разному, не влияя на сумму.

    а+(б+в)=(а+б)+са+(б+в)=(а+б)+в

    Это свойство может быть особенно полезным при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример.

    [15+(-9)]+23=29и15+[(-9)+23]=29[15+(-9)]+23=29и15+[(-9)+23]=29

    Ассоциативны ли вычитание и деление? Просмотрите эти примеры.

    8−(3−15)=?(8−3)−1564÷(8÷4)=?(64÷8)÷48−(−12)=5−1564÷2=?8÷420≠−1032 ≠28−(3−15)=?(8−3)−1564÷(8÷4)=?(64÷8)÷48−(−12)=5−1564÷2=?8÷420≠− 1032≠2

    Как видим, ни вычитание, ни деление не являются ассоциативными.

    Распределительное свойство

    Распределительное свойство утверждает, что произведение множителя, умноженного на сумму, равно сумме множителя, умноженного на каждый член суммы.

    а⋅(б+в)=а⋅б+а⋅са⋅(б+в)=а⋅б+а⋅в

    Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и является единственным свойством, которое делает это).Рассмотрим пример.

    Обратите внимание, что число 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем число 4, умножая его на 12, умножая на -7 и добавляя произведения.

    Чтобы быть более точным при описании этого свойства, мы говорим, что умножение распределяет над сложением. Обратное неверно, как мы можем видеть на этом примере.

    6+(3⋅5)=?(6+3)⋅(6+5)6+(15)=?(9)⋅(11)21≠996+(3⋅5)=?(6+3) ⋅(6+5)6+(15)=?(9)⋅(11)21≠99

    Частный случай распределительного свойства возникает при вычитании суммы членов.

    а-б=а+(-б)а-б=а+(-б)

    Например, рассмотрим разность 12−(5+3).12−(5+3). Мы можем переписать разницу между двумя членами 12 и (5+3)(5+3), превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания (5+3),(5+3) мы прибавляем обратное.

    12+(-1)⋅(5+3)12+(-1)⋅(5+3)

    Теперь распределите −1−1 и упростите результат.

    12−(5+3)=12+(−1)⋅(5+3)=12+[(−1)⋅5+(−1)⋅3]=12+(−8)=412−(5 +3)=12+(−1)⋅(5+3)=12+[(−1)⋅5+(−1)⋅3]=12+(−8)=4

    Кажется, это много проблема для простой суммы, но он иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины.Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.

    12−(5+3)=12+(−5−3)=12+(−8)=412−(5+3)=12+(−5−3)=12+(−8)=4
    Идентификационные свойства

    Свойство идентичности сложения утверждает, что существует уникальное число, называемое аддитивной идентичностью (0), которое при добавлении к числу дает исходное число.

    Свойство тождества умножения утверждает, что существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством (1), которое при умножении на число дает исходное число.

    Например, у нас есть (−6)+0=−6(−6)+0=−6 и 23⋅1=23,23⋅1=23. Для этих свойств нет исключений; они работают для каждого действительного числа, включая 0 и 1.

    Обратные свойства

    Обратное свойство сложения утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемым (− a ), которое при добавлении к исходному числу приводит к аддитивной идентичности, 0,

    Например, если a=-8,a=-8, аддитивный обратный равен 8, так как (-8)+8=0.(−8)+8=0.

    Свойство, обратное умножению, выполняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. Свойство утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое мультипликативным обратным (или обратным), обозначаемое 1a,1a, которое при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность 1.

    Например, если a=−23,a=−23, обратная величина, обозначенная 1a,1a, равна −32−32 потому что

    а⋅1а=(-23)⋅(-32)=1а⋅1а=(-23)⋅(-32)=1

    Свойства действительных чисел

    Следующие свойства выполняются для вещественных чисел a , b и c .

    Дополнение Умножение
    Коммутативная собственность а+б=б+аа+б=б+а а⋅б=б⋅аа⋅б=б⋅а
    Ассоциативная собственность а+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c а(бк)=(аб)са(бк)=(аб)к
    Распределительная собственность а⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
    Личность Существует уникальное действительное число, называемое аддитивной идентичностью, 0, такое, что для любого действительного числа a Существует уникальное действительное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, такое, что для любого действительного числа есть
    Обратная собственность Каждое действительное число a имеет аддитивную обратную или противоположную, обозначенную -a , такую, что Каждое ненулевое действительное число a имеет обратное или обратное мультипликативное число, обозначаемое 1a, 1a, такое, что

    Пример 7

    Использование свойств действительных чисел

    Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение. Укажите, какие свойства применяются.

    1. ⓐ 3⋅6+3⋅43⋅6+3⋅4
    2. ⓑ (5+8)+(-8)(5+8)+(-8)
    3. ⓒ 6-(15+9)6-(15+9)
    4. ⓓ 47⋅(23⋅74)47⋅(23⋅74)
    5. ⓔ 100⋅[0,75+(-2,38)]100⋅[0,75+(-2,38)]
    Решение

    1. 3⋅6+3⋅4=3⋅(6+4)Распределительное свойство.=3⋅10Упрощение.=30Упрощение.3⋅6+3⋅4=3⋅(6+4)Распределительное свойство.=3⋅10Упрощение.= 30Упрощение.

    2. (5+8)+(-8)=5+[8+(-8)] Ассоциативное свойство сложения.=5+0Обратное свойство сложения.=5Идентификационное свойство сложения.(5+8)+(−8)=5+[8+(−8)]Ассоциативное свойство сложения.=5+0Обратное свойство сложения.=5Тождество свойство добавления.

    3. 6−(15+9)=6+[(−15)+(−9)]Распределительное свойство.=6+(−24)Упрощение.=−18Упрощение.6−(15+9)=6+[(− 15)+(−9)]Распределительное свойство.=6+(−24)Упрощение.=−18Упрощение.

    4. 47⋅(23⋅74)=47⋅(74⋅23)Переместительное свойство умножения. =(47⋅74)⋅23Ассоциативное свойство умножения.=1⋅23Обратное свойство умножения.=23Тождественное свойство умножения.47⋅(23⋅74)=47⋅(74⋅23)Коммутативное свойство умножения.=(47⋅74)⋅23Ассоциативное свойство умножения.=1⋅23Обратное свойство умножения.=23Identity свойство умножения.

    5. 100⋅[0,75+(-2,38)]=100⋅0,75+100⋅(-2,38)Распределительное свойство.=75+(-238)Упростить.=-163Упростить.100⋅[0,75+(-2,38)]=100⋅ 0,75+100⋅(-2,38)Распределительное свойство.=75+(-238)Упрощение.=-163Упрощение.

    Попытайся #7

    Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применяются.

    1. ⓐ (−235)⋅[11⋅(−523)](−235)⋅[11⋅(−523)]
    2. ⓑ 5⋅(6,2+0,4)5⋅(6,2+0,4)
    3. ⓒ 18−(7−15)18−(7−15)
    4. ⓓ 1718+[49+(-1718)]1718+[49+(-1718)]
    5. ⓔ 6⋅(−3)+6⋅36⋅(−3)+6⋅3
    Вычисление алгебраических выражений

    До сих пор математические выражения, которые мы видели, включали только действительные числа. В математике мы можем встретить такие выражения, как x+5,43πr3,x+5,43πr3 или 2m3n2.2м3н2. В выражении x+5,x+5 число 5 называется константой, поскольку оно не изменяется, а x называется переменной, поскольку изменяется. (При именовании переменной игнорируйте любые показатели степени или радикалы, содержащие эту переменную.) Алгебраическое выражение представляет собой набор констант и переменных, соединенных вместе алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.

    Мы уже видели несколько примеров экспоненциальной записи действительных чисел, сокращенного метода записи произведений одного и того же множителя.Когда используются переменные, константы и переменные обрабатываются одинаково.

    (−3)5=(−3)⋅(−3)⋅(−3)⋅(−3)⋅(−3)x5=x⋅x⋅x⋅x⋅x(2⋅7)3=(2 ⋅7)⋅(2⋅7)⋅(2⋅7)(yz)3=(yz)⋅(yz)⋅(yz)(−3)5=(−3)⋅(−3)⋅(−3 )⋅(−3)⋅(−3)x5=x⋅x⋅x⋅x⋅x(2⋅7)3=(2⋅7)⋅(2⋅7)⋅(2⋅7)(yz)3 =(yz)⋅(yz)⋅(yz)

    В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.

    Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или быть присвоена другим значениям. Когда это происходит, значение алгебраического выражения изменяется.Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для заданного значения каждой переменной в выражении. Замените каждую переменную в выражении заданным значением, затем упростите полученное выражение, используя порядок операций. Если алгебраическое выражение содержит более одной переменной, замените каждую переменную ее присвоенным значением и упростите выражение, как и раньше.

    Пример 8

    Описание алгебраических выражений

    Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.

    1. х + 5
    2. ⓑ 43πr343πr3
    3. ⓒ 2м3н22м3н2
    Решение
    Константы Переменные
    а. х + 5 5 х
    б. 43πr343πr3 43,π43,π рр
    в. 2м3н22м3н2 2 м,нм,н

    Попытайся #8

    Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.

    1. ⓐ 2πr(r+h)2πr(r+h)
    2. ⓑ2( Д + Ш )
    3. ⓒ 4y3+y4y3+y

    Пример 9

    Вычисление алгебраического выражения при различных значениях

    Вычислите выражение 2x-72x-7 для каждого значения x.

    1. ⓐ х=0х=0
    2. ⓑ х=1х=1
    3. ⓒ х=12х=12
    4. ⓓ х=-4х=-4
    Решение
    1. ⓐ Подставьте 0 вместо х. Икс. 2x−7=2(0)−7=0−7=−72x−7=2(0)−7=0−7=−7
    2. ⓑЗамените x.x на 1. 2x−7=2(1)−7=2−7=−52x−7=2(1)−7=2−7=−5
    3. ⓒ Замените 1212 на х.х. 2x−7=2(12)−7=1−7=−62x−7=2(12)−7=1−7=−6
    4. ⓓЗамените x.x на −4−4. 2x−7=2(−4)−7=−8−7=−152x−7=2(−4)−7=−8−7=−15

    Попытайся #9

    Вычислите выражение 11-3y11-3y для каждого значения для y.

    1. ⓐ у=2у=2
    2. ⓑ у=0у=0
    3. ⓒ у=23у=23
    4. ⓓ у=-5у=-5

    Пример 10

    Вычисление алгебраических выражений

    Оценить каждое выражение для заданных значений.

    1. ⓐ x+5x+5 для x=−5x=−5
    2. ⓑ t2t-1t2t-1 для t=10t=10
    3. ⓒ 43πr343πr3 для r=5r=5
    4. ⓓ a+ab+ba+ab+b для a=11,b=−8a=11,b=−8
    5. ⓔ 2m3n22m3n2 для m=2,n=3m=2,n=3
    Решение
    1. ⓐ Подставьте −5−5 вместо x. x. х+5=(-5)+5=0x+5=(-5)+5=0
    2. ⓑ Замените 10 на t.t. t2t−1=(10)2(10)−1=1020−1=1019t2t−1=(10)2(10)−1=1020−1=1019
    3. ⓒ Замените 5 на r.r. 43πr3=43π(5)3=43π(125)=5003π43πr3=43π(5)3=43π(125)=5003π
    4. ⓓ Подставьте 11 вместо aa и –8 вместо b.б. a+ab+b=(11)+(11)(-8)+(-8)=11-88-8=-85a+ab+b=(11)+(11)(-8)+(- 8)=11−88−8=−85
    5. ⓔ Замените 2 на mm и 3 на n.n. 2m3n2=2(2)3(3)2=2(8)(9)=144=122m3n2=2(2)3(3)2=2(8)(9)=144=12

    Попытайся #10

    Оценить каждое выражение для заданных значений.

    1. ⓐ у+3у-3у+3у-3 для у=5у=5
    2. ⓑ 7−2t7−2t для t=−2t=−2
    3. ⓒ 13πr213πr2 для r=11r=11
    4. ⓓ (p2q)3(p2q)3 для p=−2,q=3p=−2,q=3
    5. ⓔ 4(m−n)−5(n−m)4(m−n)−5(n−m) для m=23,n=13m=23,n=13
    Формулы

    Уравнение — это математическое выражение, указывающее, что два выражения равны. Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является по своей сути истинным или ложным, а только предложением. Значения, которые делают уравнение истинным, решения, находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение 2x+1=72x+1=7 имеет решение 3, потому что, когда мы заменяем xx на 3 в уравнении, мы получаем истинное утверждение 2(3)+1=7,2(3)+1=7. .

    Формула – это уравнение, выражающее отношение между постоянными и переменными величинами.Очень часто уравнение является средством нахождения значения одной величины (часто одной переменной) через другую или другие величины. Одним из наиболее распространенных примеров является формула для нахождения площади круга AA через радиус круга rr: A=πr2.A=πr2. Для любого значения r,r площадь AA можно найти, вычислив выражение πr2.πr2.

    Пример 11

    Использование формулы

    Прямой круговой цилиндр радиусом rr и высотой hh имеет площадь поверхности SS (в квадратных единицах), определяемую формулой S=2πr(r+h). S=2πr(r+h). См. рис. 3. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в терминах π.π.

    Фигура 3 Правый круговой цилиндр

    Решение

    Вычислите выражение 2πr(r+h)2πr(r+h) для r=6r=6 и h=9.h=9.

    S=2πr(r+h)=2π(6)[(6)+(9)]=2π(6)(15)=180πS=2πr(r+h)=2π(6)[(6)+( 9)]=2π(6)(15)=180π

    Площадь поверхности составляет 180π180π квадратных дюймов.

    Попытайся #11

    Фотография длиной L и шириной W помещается на коврик шириной 8 сантиметров (см).Площадь коврика (в квадратных сантиметрах или см 2 ) равна A=(L+16)(W+16)−L⋅WA=(L+16)(W+16)−L⋅ В. См. рис. 4. Найдите площадь коврика для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.

    Фигура 4

    Упрощение алгебраических выражений

    Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы его было легче вычислить или использовать другим способом. Для этого воспользуемся свойствами вещественных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, поскольку они содержат алгебраические выражения.

    Пример 12

    Упрощение алгебраических выражений

    Упростите каждое алгебраическое выражение.

    1. ⓐ 3x−2y+x−3y−73x−2y+x−3y−7
    2. ⓑ 2r−5(3−r)+42r−5(3−r)+4
    3. ⓒ (4т-54с)-(23т+2с)(4т-54с)-(23т+2с)
    4. ⓓ 2мн-5м+3мн+n2мн-5м+3мн+н
    Решение

    1. 3x−2y+x−3y−7=3x+x−2y−3y−7Коммутативное свойство сложения.=4x−5y−7Упрощение.3x−2y+x−3y−7=3x+x−2y−3y−7Коммутативное свойство дополнения.=4x−5y−7Упростить.

    2. 2r−5(3−r)+4=2r−15+5r+4Распределительное свойство.=2r+5r−15+4Коммутативное свойство сложения.=7r−11Упрощение.2r−5(3−r)+4=2r− 15+5r+4Распределительное свойство.=2r+5r−15+4Переместительное свойство сложения.=7r−11Упростить.

    3. (4t−54s)−(23t+2s)=4t−54s−23t−2sРаспределительное свойство. =4t−23t−54s−2sПереместительное свойство сложения.=103t−134sУпрощение.(4t−54s)−(23t+2s)= 4t−54s−23t−2sРаспределительное свойство.=4t−23t−54s−2sПереместительное свойство сложения.=103t−134sУпростить.

    4. 2mn−5m+3mn+n=2mn+3mn−5m+nПерестановочное свойство сложения.=5mn−5m+nSimplify.2mn−5m+3mn+n=2mn+3mn−5m+nПерестановочное свойство сложения.=5mn−5m+ nУпрощение.

    Попытайся #12

    Упростите каждое алгебраическое выражение.

    1. ⓐ 23y−2(43y+z)23y−2(43y+z)
    2. ⓑ 5т-2-3т+15т-2-3т+1
    3. ⓒ 4p(q−1)+q(1−p)4p(q−1)+q(1−p)
    4. ⓓ 9r−(s+2r)+(6−s)9r−(s+2r)+(6−s)

    Пример 13

    Упрощение формулы

    Прямоугольник длиной LL и шириной WW имеет периметр PP, равный P=L+W+L+W.П=Д+Ш+Д+Ш. Упростите это выражение.

    Решение
    P=L+W+L+WP=L+L+W+WКоммутативное свойство добавленияP=2L+2WSупрощатьP=2(L+W)Распределительное свойствоP=L+W+L+WP=L+L+W+WКоммутативное свойство дополненияP=2L+2WSimplifyP=2(L+W)Распределительное свойство

    Попытайся №13

    Если сумма PP депонирована на счет с выплатой простых процентов rr на время t,t, общая стоимость депозита AA определяется как A=P+Prt. A=P+Prt. Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в ходе курса.)

    1.1 Секционные упражнения

    Устный
    1 .

    Является ли 22 примером рационального завершающегося, рационально повторяющегося или иррационального числа? Расскажите, почему он подходит под эту категорию.

    2 .

    Каков порядок операций? Какая аббревиатура используется для описания порядка операций и что она означает?

    3 .

    Что позволяют нам делать ассоциативные свойства, следуя порядку операций? Поясните свой ответ.

    Цифровой

    Для следующих упражнений упростите данное выражение.

    4 .

    10+2×(5−3)10+2×(5−3)

    5 .

    6÷2−(81÷32)6÷2−(81÷32)

    7 .

    −2×[16÷(8−4)2]2−2×[16÷(8−4)2]2

    11 .

    12÷(36÷9)+612÷(36÷9)+6

    18 .

    9-(3+11)×29-(3+11)×2

    24 .

    (15−7)×(3−7)(15−7)×(3−7)

    25 .

    2×4−9(−1)2×4−9(−1)

    Алгебраический

    В следующих упражнениях вычислите выражение, используя заданное значение переменной.

    28 .

    8(х+3)–648(х+3)–64 для х=2х=2

    29 .

    4y+8–2y4y+8–2y для y=3y=3

    30 .

    (11a+3)−18a+4(11a+3)−18a+4 для a=–2a=–2

    31 .

    4z−2z(1+4)–364z−2z(1+4)–36 для z=5z=5

    32 .

    4y(7−2)2+2004y(7−2)2+200 для y=–2y=–2

    33 .

    −(2x)2+1+3−(2x)2+1+3 для х=2х=2

    34 .

    Для 8(2+4)−15b+b8(2+4)−15b+b для b=–3b=–3

    35 .

    2(11с-4)-362(11с-4)-36 для с=0с=0

    36 .

    4(3−1)x–44(3−1)x–4 при x=10x=10

    37 .

    14(8w-42)14(8w-42) для w=1w=1

    Для следующих упражнений упростите выражение.

    39 .

    2у-(4)2у-112у-(4)2у-11

    40 .

    а23(64)-12а÷6а23(64)-12а÷6

    42 .

    5л÷3л×(9−6)5л÷3л×(9−6)

    44 .

    4×3+18x÷9−124×3+18x÷9−12

    47 .

    6+12б-3×6б6+12б-3×6б

    48 .

    18y−2(1+7y)18y−2(1+7y)

    50 .

    8(3−м)+1(−8)8(3−м)+1(−8)

    51 .

    9x+4x(2+3)−4(2x+3x)9x+4x(2+3)−4(2x+3x)

    Реальные приложения

    Для следующих упражнений рассмотрим следующий сценарий: Фред зарабатывает 40 долларов в общественном саду. Он тратит 10 долларов на подписку на стриминг, половину оставшейся суммы кладет на сберегательный счет и получает еще 5 долларов за то, что выгуливает соседскую собаку.

    53 .

    Напишите выражение, представляющее количество долларов, которое Фред хранит (и не кладет на свой сберегательный счет).Запомните порядок действий.

    54 .

    Сколько денег у Фреда?

    Для следующих упражнений решите данную задачу.

    55 .

    По данным Монетного двора США, диаметр четверти составляет 0,955 дюйма. Окружность четверти будет равна диаметру, умноженному на π. π. Является ли длина окружности четверти целым, рациональным или иррациональным числом?

    56 .

    Джессика и ее соседка по комнате Адриана решили разделить банку для мелочи на совместные расходы.Сначала Джессика положила мелочь в банку, а затем Адриана положила мелочь в банку. Мы знаем, что не имеет значения, в каком порядке изменение было добавлено в банку. Какое свойство сложения описывает этот факт?

    Для следующих упражнений рассмотрите следующий сценарий: В карьере имеется насыпь из gg фунтов гравия. В течение дня в насыпь добавляют 400 фунтов гравия. Два заказа по 600 фунтов проданы, и гравий удален из насыпи. В конце дня насыпь содержит 1200 фунтов гравия.

    57 .

    Напишите уравнение, описывающее ситуацию.

    Для следующего упражнения решите данную задачу.

    59 .

    Рамон руководит отделом маркетинга в своей компании. Их отдел получает бюджет каждый год, и каждый год они должны тратить весь бюджет, не выходя за рамки. Если они тратят меньше бюджета, то в следующем году отдел получает меньший бюджет. В начале этого года Рамон получил 2,5 миллиона долларов на годовой маркетинговый бюджет.Они должны потратить бюджет так, чтобы 2 500 000 – x = 0,2 500 000 – x = 0. Какое свойство сложения говорит нам, каким должно быть значение x ?

    Технология

    В следующих упражнениях используйте графический калькулятор для решения x . Округлите ответы до сотых.

    60 .

    0,5(12,3)2−48x=350,5(12,3)2−48x=35

    61 .

    (0,25−0,75)2x−7,2=9,9(0,25−0,75)2x−7,2=9,9

    Расширения
    62 .

    Если целое число не является натуральным числом, то каким оно должно быть?

    63 .

    Определите, является ли утверждение истинным или ложным: мультипликатив, обратный рациональному числу, также является рациональным.

    64 .

    Определите, истинно или ложно утверждение: Произведение рационального и иррационального числа всегда иррационально.

    65 .

    Определите, является ли упрощенное выражение рациональным или иррациональным: −18−4(5)(−1).−18−4(5)(−1).

    66 .

    Определите, является ли упрощенное выражение рациональным или иррациональным: −16+4(5)+5.−16+4(5)+5.

    67 .

    Какой тип числа всегда получается при делении двух натуральных чисел?

    68 .

    Какое свойство действительных чисел упростило бы следующее выражение: 4+7(x−1) ?4+7(x−1) ?

    Важные вопросы по математике для 10 класса, глава 1. Вещественные числа

    Важные вопросы по математике для 10 класса, глава 1. Вещественные числа

    Реальные числа Класс 10 Важные вопросы Очень короткий ответ (1 балл)

    Вопрос 1.{ 5 } }\)
    Решение:
    Непрерывное неповторяющееся.

    Вопрос 3.
    Найдите наибольшее число, на которое делятся 398, 436 и 542, а в остатках соответственно 7, 11 и 15.
    Решение:
    Алгоритм
    398 – 7 = 391, 436 – 11 = 425, 542 – 15 = 527
    HCF из 391, 425, 527 = 17

    Вы можете больше практиковаться в общих основных вопросах и ответах на тему действительных чисел 8 класса, чтобы получать хорошие оценки на экзаменах.

    Вопрос 4.
    Выразите 98 как произведение своих простых чисел.
    Решение:
    2 × 7 2

    Вопрос 5.
    Если HCF чисел 408 и 1032 выражается в виде 1032 × 2 + 408 × p, то найдите значение p.
    Решение:
    HCF из 408 и 1032 равно 24.
    1032 × 2 + 408 × (p) = 24
    408p = 24 – 2064
    p = -5

    Реальные числа Класс 10 Важные вопросы Краткий ответ-I (2 балла)

    Вопрос 6.
    HCF и LCM двух чисел равны 9 и 459 соответственно. Если одно из чисел равно 27, найдите другое число.(2012)
    Решение:
    Мы знаем,
    1-е число × 2-е число = HCF × LCM
    ⇒ 27 × 2-е число = 9 × 459
    ⇒ 2-е число = \(\frac {9\times 459}{27}\) = 153

    Вопрос 7.
    Найдите HCF и LCM чисел 13 и 17 методом простой факторизации. (2013)
    Решение:
    13 = 1 × 13; 17 = 1 × 17
    HCF = 1 и LCM = 13 × 17 = 221

    Вопрос 8.
    Найдите НОК чисел, простая факторизация которых выражается как 3 × 5 2 и 3 2 × 7 2 . (2014)
    Решение:
    LCM (3 × 5 2 , 3 2 × 7 2 ) = 3 2 × 5 2 × 7 2 = 9 × 25 × 49 = 11025

    Вопрос 9.
    Найдите НОК 96 и 360, используя основную теорему арифметики. (2012)
    Решение:
    96 = 2 5 × 3
    360 = 2 3 × 3 2 × 5
    НОК = 2 5 × 5 = 2 × 9

      1 2 2 1440

      Вопрос 10.
      Найдите HCF (865, 255), используя лемму Евклида о делении.(2013)
      Решение:
      865 > 255
      865 = 255 × 3 + 100
      255 = 100 × 2 + 55
      100 = 55 × 1 + 45
      55 = 45 × 1 + 10
      44 = 15
      10 = 5 × 2 + 0
      Остаток равен 0.
      HCF = 5

      Вопрос 11.
      Найдите наибольшее число, которое делится на 70 и 125, оставляя в остатке соответственно 5 и 8. (2015)
      Решение:
      Дано, что при делении 70 на нужное число получается остаток 5.
      Это означает, что 70 – 5 = 65 точно делится на нужное число.
      Аналогично, 125 – 8 = 117 также точно делится на нужное число.
      65 = 5 × 13
      117 = 3 2 × 13
      HCF = 13
      Необходимое количество = 13

      Вопрос 12.
      Найдите простую факторизацию знаменателя рационального числа, выраженного как \(6.\bar { 12 }\) в простейшей форме. (2014)
      Решение:
      Пусть x = \(6.\bar { 12 }\) …(i)
      100x = 612.\(\bar { 12 }\) …(ii)
      …[Умножая обе части на 100]
      Вычитание (i) из (ii),
      99x = 606
      x = \(\frac { 606 }{ 99 }\) = \(\frac { 202 }{ 33 }\)
      Знаменатель = 33
      Простое число факторизация = 3 × 11

      Вопрос 13.
      Заполните следующее дерево множителей и найдите составное число x. (2014)

      Решение:
      y = 5 × 13 = 65
      x = 3 × 195 = 585

      Вопрос 14.
      Докажите, что 2 + 3√5 — иррациональное число. (2014)
      Решение:
      Предположим противное, что 2 + 3√5 рационально.
      Чтобы мы могли найти целые числа a и b (b ≠ 0).
      Такие, что 2 + 3√5 = \(\frac { a }{ b }\), где a и b взаимно просты.
      Преобразовав вышеприведенное уравнение, мы получим

      Поскольку a и b целые числа, мы получаем, что \(\frac { a }{ 3b } -\frac { 2 }{ 3 }\) рационально, поэтому √5 рационально.
      Но это противоречит тому, что √5 иррационально.
      Итак, мы заключаем, что 2 + 3√5 иррационально.

      Вопрос 15.
      Докажите, что 3√7 — иррациональное число. (2016)
      Решение:
      Предположим противное, что 3√7 рационально.
      То есть мы можем найти взаимно простые числа a и b (b ≠ 0) такие, что 3√7 = \(\frac { a }{ b }\) 3b }\)
      Поскольку 3, a и b — целые числа, \(\frac { a }{ 3b }\) рационально, а значит, √7 рационально.
      Но это противоречит тому, что √7 иррационально.
      Итак, мы заключаем, что 3√7 иррационально.

      Вопрос 16.
      Объясните, почему (17 × 5 × 11 × 3 × 2 + 2 × 11) является составным числом? (2015)
      Решение:
      17 × 5 × 11 × 3 × 2 + 2 × 11 …(i)
      = 2 × 11 × (17 × 5 × 3 + 1)
      = 2 × 11 × (255 + 1)
      = 2 × 11 × 256
      Число (i) делится на 2, 11 и 256, оно имеет более 2 простых делителей.
      Следовательно, (17 × 5 × 11 × 3 × 2 + 2 × 11) — составное число.

      Вопрос 17.
      Проверить, может ли 4n оканчиваться цифрой 0 для любого натурального числа n.(2015)
      Решение:
      4 n = (2 2 ) n = 2 2n
      из 4 n = 2 2n
      (по единственности основной теоремы арифметики).
      5 не встречается при простой факторизации 4 n ни для какого n.
      Следовательно, 4 n не оканчивается цифрой ноль ни для какого натурального числа n.

      Вопрос 18.
      Могут ли два числа иметь 15 в качестве HCF и 175 в качестве LCM? Назови причины. (2017 OD)
      Решение:
      Нет, LCM = Произведение наивысшей степени каждого фактора, участвующего в числах.
      HCF = Произведение наименьшей степени каждого общего множителя.
      Мы можем заключить, что LCM всегда кратно HCF, т. е. LCM = k × HCF
      Нам дано, что
      LCM = 175 и HCF = 15
      175 = k × 15
      ⇒ 11,67 = k
      Но в этом случае , LCM ≠ k × HCF
      Следовательно, два числа не могут иметь LCM как 175 и HCF как 15. { 2 } }\)
      ⇒ 5q 2 = p 2 …(i)
      ⇒ 5 делит p 2
      5 делит p
      Итак, пусть p = 5r
      Подставляя значение p в (i) , мы получаем
      5Q 2 = (5R) 2
      ⇒ 5Q 2 = 25R 2
      ⇒ Q 2 = 5r 2
      ⇒ 5 делится Q 2
      5 Деливки Q
      Таким образом, p и q имеют по крайней мере 5 в качестве общего делителя.
      Но это противоречит тому, что p и q не имеют общего делителя.
      Итак, наше предположение неверно, иррационально.
      √5 — иррациональное число, 3 — рациональное число.
      Итак, мы заключаем, что 3 + √5 иррационально.

      Вопрос 20.
      Докажите, что 3 + 2√3 — иррациональное число. (2014)
      Решение:
      Предположим противное, что 3 + 2√3 рационально.
      Чтобы мы могли найти целые числа a и b (b ≠ 0).
      Такие, что 3 + 2√3 = \(\frac { a }{ b }\), где a и b взаимно просты.
      Переставляя уравнения, мы получаем

      Поскольку a и b целые числа, мы получаем, что \(\frac { a }{ 2b } -\frac { 3 }{ 2 }\) рационально, поэтому √3 рационально.
      Но это противоречит тому факту, что √3 иррационально.
      Итак, мы заключаем, что 3 + 2√3 иррационально.

      Вопрос 21.
      Три колокола бьют с интервалом 9, 12, 15 минут соответственно. Если они начнут звонить вместе, через какое время они в следующий раз будут звонить вместе? (2013)
      Решение:
      9 ​​= 3 2 , 12 = 2 2 × 3, 15 = 3 × 5
      НОК = 2 2 × 3 2 × 5 = 4 × 19 × 90 минут или 3 часа
      Они будут звонить вместе через 3 часа.

      Вопрос 22.
      В двух цистернах 850 литров и 680 литров бензина. Найдите максимальную вместимость контейнера, в который можно точное число раз отмерить бензин каждой цистерны. (2012)
      Решение:
      Чтобы найти максимальную вместимость контейнера, который может отмерить бензин каждой цистерны точное количество раз, мы находим HCF 850 ​​и 680.
      850 = 2 × 5 2 × 17
      680 = 2 3 × 5 × 17
      HCF = 2 × 5 × 17 = 170
      Максимальная вместимость контейнера = 170 литров.

      Вопрос 23.
      Длина, ширина и высота комнаты равны 8 м 50 см, 6 м 25 см и 4 м 75 см соответственно. Найдите длину самого длинного стержня, которым можно точно измерить размеры комнаты. (2015)
      Решение:
      Чтобы найти длину самого длинного стержня, который может точно измерить размеры комнаты, мы должны найти HCF.
      L, длина = 8 м 50 см = 850 см = 2 1 × 5 2 × 17
      B, ширина = 6 м 25 см = 625 см = 5 4
      H, высота = 4 м 75 см = 475 см = 5 2 × 19
      HCF L, B и H 5 2 = 25 см
      Длина самого длинного стержня = 25 см

      Вопрос 24.
      Три будильника звонят с интервалом в 4, 12 и 20 минут соответственно. Если они начнут звонить вместе, через сколько времени они будут звонить вместе в следующий раз? (2015)
      Решение:
      Чтобы найти время, когда часы будут звонить в следующий раз,
      , мы должны найти LCM 4, 12 и 20 минут.
      4 = 2 2
      12 = 2 2 × 3
      20 = 2 2 × 5

      МОК из 4, 12 и 20 = 2 2 3 × 60 минут.
      Итак, часы снова зазвонят через 60 минут или через час.

      Вопрос 25.
      В школе есть две секции A и B класса X. В секции A учатся 48 учащихся, а в секции B 60 учащихся. Определить наименьшее количество книг, необходимое для библиотеки школы, чтобы книги могут быть распределены поровну между всеми студентами каждой секции. (2017 OD)
      Решение:
      Поскольку книги должны быть распределены поровну между учащимися секции A и секции B, следовательно, количество книг должно быть кратно 48, а также 60.
      Следовательно, требуемое количество книг равно НОК 48 и 60.
      48 = 2 4 × 3
      60 = 2 2 × 3 × 5
      НОК = 2 4 × 3 × 5 = 16 × 15 = 240
      Следовательно, необходимое количество книг равно 240.

      Вопрос 26.
      Используя алгоритм Евклида, найдите наибольшее число, которое делит 650 и 1170. (2017 OD)
      Решение:
      Даны числа 650 и 1170.
      1170 > 650
      1170 = 650 × 1 + 520 650798 520 × 1 + 130
      520 = 130 × 4 + 0
      HCF = 130
      Требуемое наибольшее число равно 130.

      Вопрос 27.
      Найдите HCF чисел 255 и 867 с помощью алгоритма деления Евклида. (2014)
      Решение:
      867 больше 255. Применим лемму о делении к 867 и 255, чтобы получить
      867 = 255 × 3 + 102
      Продолжаем процесс, пока остаток не станет равным нулю
      255 = 102 × 2 + 51
      102 = 51 × 2 + 0, остаток равен нулю.
      ХКФ = 51

      Вопрос 28.
      Используя алгоритм деления Евклида, найдите, являются ли пары чисел 847, 2160 взаимно простыми или нет.
      Чтобы узнать минимальное (наименьшее) время, когда колокола будут звонить вместе, мы найдем НОК 9, 12, 15.
      Решение:

      Реальные числа Класс 10 Важные вопросы Подробный ответ (4 балла)

      Вопрос 29.
      Докажите, что 3 + 2√5 иррационально. (2012, 2017 D)
      Решение:
      Предположим, наоборот, что 3 + 2√5 рационально
      Так что мы можем найти целые числа a и b (b ≠ 0), такие, что
      3 + 2 √5 = \(\frac { a }{ b }\), где a и b взаимно просты.
      Преобразовав это уравнение, мы получим

      Поскольку a и b — целые числа, мы получаем, что \(\frac { a }{ 2b }\) – \(\frac { 3 }{ 2 }\) рационально, поэтому √5 является рациональным.
      Но это противоречит тому, что √5 иррационально.
      Итак, мы заключаем, что 3 + 2√5 иррационально.

      Вопрос 30.
      В школе 104 ученика X класса и 96 учеников IX класса. На домашнем экзамене учащиеся должны сидеть равномерно в параллельных рядах так, чтобы никакие два соседних ряда не принадлежали к одному и тому же классу. (2013)
      (a) Найдите максимальное количество параллельных рядов каждого класса для рассадки.
      (b) Кроме того, найдите количество учеников IX класса, а также X класса подряд.
      (c) Какая цель администрации школы стоит за таким устройством?
      Решение:
      104 = 2 3 × 13
      96 = 2 5 × 3
      HCF = 2 3 = 8

      }{ 8 }\) = 13
      Максимальное количество строк IX класса = \(\frac { 96 }{ 8 }\) = 12
      Общее количество строк = 13 + 12 = 25
      (b) Количество учащихся класс IX подряд = 8
      Количество учеников класса X подряд = 8
      (c) Целью администрации школы, стоящей за таким расположением, является честный и чистый экзамен, чтобы ни один ученик не мог получить помощь от другого ученика своего класса.

      Вопрос 31.
      У Дуднатха есть два сосуда, содержащие соответственно 720 мл и 405 мл молока. Молоко из этих емкостей разливают в стаканы равной вместимости до краев. Найдите минимальное количество стаканов, которые можно наполнить. (2014)
      Решение:
      1-й сосуд = 720 мл; 2-й сосуд = 405 мл
      Находим HCF 720 и 405, чтобы найти максимальное количество молока, которое нужно налить в один стакан.
      405 = 3 4 × 5
      720 = 2 4 × 3 2 × 5
      HCF = 3 2 × 5 = 45 мл = емкость стекла
      №стаканов, наполненных из 1-го сосуда = \(\frac { 720 }{ 45 }\) = 16
      Количество стаканов, наполненных из 2-го сосуда = \(\frac { 405 }{ 45 }\) = 9
      Общее количество стаканов = 25

      Вопрос 32.
      Амита, Снеха и Рагхав начинают готовить карточки для всех лиц дома престарелых. Для того, чтобы заполнить одну карту, требуется 10, 16 и 20 минут соответственно. Если все начали вместе, то через какое время они вместе начнут готовить новую карту? (2013)
      Решение:
      Чтобы найти самое раннее (наименьшее) время, они вместе начнут готовить новую карту, находим НОК 10, 16 и 20.
      10 = 2 × 5
      16 = 2 4
      20 = 2 2 × 5
      LCM = 2 4 × 5 = 16 × 5 = 80 минут
      минут Они начнут готовить новую карту вместе через 80 минут .

      Вопрос 33.
      Найдите ИНК чисел 134791, 6341 и 6339 по алгоритму деления Евклида. (2015)
      Решение:
      Сначала находим ВКФ 6339 и 6341 методом деления Евклида.

      6341 > 6339
      6341 = 6339 × 1 + 2
      6339 = 2 × 3169 + 1
      2 = 1 × 2 + 0
      HCF 6341 и 6339 равно 1.
      Теперь мы находим HCF 134791 и 1
      134791 = 1 × 134791 + 0
      HCF 134791 и 1 равно 1.
      Следовательно, HCF данных трех чисел равен 1.

      Вопрос 34.
      Если два натуральных числа x и y выражаются через простые числа как x = p 2 q 3 и y = p 3 q, что вы можете сказать об их LCM и HCF. Является ли LCM кратным HCF? Объяснять. (2014)
      Решение:
      x = p 2 q 3 и y = p 3 q
      LCM = p 3 q 3
      HCF2 = p 21521
      HCF2 = p 93 93. (i)
      Теперь LCM = p 3 q 3
      ⇒ LCM = pq 2 (p 2 q)
      ⇒ LCM = pq 2 q)
      ⇒ LCM = pq 2 Да, 9CM 8 кратно ХКФ.
      Объяснение:
      Пусть a = 12 = 2 2 × 3
      b = 18 = 2 × 3 2
      HCF = 2 × 3 = 6 …(ii)
      LCM = 2 2 × 2 1 9350 = 36
      LCM = 6 × 6
      LCM = 6 (HCF) …[Из (ii)]
      Здесь LCM в 6 раз больше HCF.

      Вопрос 35.
      Докажите, что одно и только одно из n, (n + 1) и (n + 2) делится на 3, где n — любое натуральное число.(2015)
      Решение:
      Пусть n, n + 1, n + 2 — три последовательных натуральных числа.
      Мы знаем, что n имеет вид 3q, 3q + 1 или 3q + 2.
      Случай I. Когда n = 3q,
      В этом случае n делится на 3,
      но n + 1 и n + 2 равны не делится на 3.
      Случай II. Когда n = 3q + 1,
      В этом случае n + 2 = (3q + 1) + 2
      = 3q + 3
      = 3(q + 1), (n + 2) делится на 3,
      но n и n + 1 не делятся на 3.
      Случай III.
      Когда n = 3q + 2, в этом случае
      n + 1 = (3q + 2) + 1
      = 3q + 3 = 3 (q + 1 ), (n + 1) делится на 3,
      но n и n + 2 не делятся на 3.
      Значит, одно и только одно из n, n + 1 и n + 2 делится на 3.

      Вопрос 36.
      Найдите HCF и LCM чисел 306 и 657 и убедитесь, что LCM × HCF = произведение двух чисел. (2016 г)
      Решение:
      306 = 2 × 3 2 × 17
      657 = 32 × 73
      HCF = 3 2 = 9
      LCM = 2 × 3 2 × 17 × 73 = 22338
      л.с. = LCM × HCF = 22338 × 9 = 201042
      R.H.S. = Произведение двух чисел = 306 × 657 = 201042
      L.H.S. = R.H.S.

      Вопрос 37.
      Покажите, что любое положительное нечетное целое число имеет форму 41 + 1 или 4q + 3, где q — натуральное число. (2016 OD)
      Решение:
      Пусть a — положительное нечетное целое число
      По алгоритму деления Евклида:
      a = 4q + r … [где q, r — положительные целые числа и 0 ≤ r < 4]
      a = 4q
      или 4q + 1
      или 4q + 2
      или 4q + 3
      Но 4q и 4q + 2 оба четны
      a имеет вид 4q + 1 или 4q + 3.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.