0 в степени бесконечность неопределенность – Раскрытие неопределённостей — Википедия

Содержание

Неопределенности пределов

Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.

Виды неопредлённостей

  • $\frac{0}{0}$ — деление нуля на нуль;

  • $\frac{\infty}{\infty}$ — деление бесконечности на бесконечность;

  • $0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;

  • $1^{\infty}$ — единица, возведённая в степень бесконечности;

  • $(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;

  • $0^0$ — нуль в нулевой степени;

  • $\infty^0$ — бесконечность в степени 0.

Неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.

Раскрытие неопределенностей

Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.

Например, выражение вида $\frac{x^2}{x}$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:

$lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=lim_{x\to 0} x=0$.

Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.

В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.

Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.

Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений

Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

$x~sin x$;

$x~arcsin x$;

$x ~ tg x$;

$x ~ arctg x$;

$x ~ ln(1+x)$;

$1-cos x ~ \frac{x^2}{2}$;

$ a^x-1 ~ x ln a$;

$e^x-1 ~ x$;

$(1+x)^a-1 ~ ax$.

Пример 1

Вычислите предел: $lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)$.

Решение:

$lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)=lim_{x \to 0}\frac{e^{xln \frac{2+cosx}{3}}-1}{x^3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln \frac{2+cosx}{3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln (\frac{cosx-1}{3}+1=lim_{x \to 0}\frac{cosx-1}{3x^2}=-\frac{1}{6}$

Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе

Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.

Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе

При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей

Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:

$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}$

Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.

С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.

Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя

Пример 2

Вычислите предел, используя правило Лопиталя:

$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}$

Решение:

$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}= lim_{x \to 0} \frac{(x^2+5x)’}{(3x)’}=lim_{x \to 0}\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$

Разложение неопределённостей в ряд Тейлора

Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида $0^0$, $1^{\infty}$, и $\infty^0$ вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:

$0^0=e^{0 \cdot (- \infty)}$

$1^{\infty}= e^{\infty \cdot ln1}= e^{\infty \cdot 0}$

$\infty^0=e^{0 ln \infty}= e^ { 0 \cdot \infty}$

Выражения, не являющиеся неопределённостями

Выражения вида $\frac{1}{0}$ не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.

Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это $0^{\infty}$. Выражение вида $0^{+\infty}$ стремится к нулю, тогда как выражение $0^{-\infty}$ эквивалентно выражению $\frac{1}{0}$.

spravochnick.ru

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть
функция f(x)
и g(x)
имеют производные в окрестности точки
хо тогда:
1)если lim
f(x)=
lim
g(x)=бесконечность,
то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)=
lim
f’(x)/g’(x),
при условии что последний предел
существует. 2)если lim
f(x)=lim
g(x)=0,
то lim
f(x)/g(x)=
(0/0)=
lim
f’(x)/g’(x),
при условии что последний существует.

Следовательно если
мы имеем неопределённости
бесконечность/бесконечность, 0/0,
воспользоваться правилом Лопиталя
означает найти производные числителя
и знаменателя, а затем вычислить новый
предел.

Пример
lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность,
пусть f
стремиться к 0, g
стремиться к бесконечности, тогда fg=f/
(1/g)=
(0/0)=g/(1/f)=
(бесконечность/бесконечность), т.е. мы
свели данную неопределённость к 0/0 или
бесконечность/бесконечность, после
чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность
.
Пусть f
стремиться к бесконечности, g
стремиться к бесконечности, тогда
f-g=1/(1/f)-
1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1бесконечность,00,
бесконечность
0.
Данные неопределённости также сводятся
к неопределённостям бесконечность/бесконечность
или 0/0 . для этого можно воспользоваться
формулой fg=einfg=eglnf,
f>0.
Так, если f
стремиться к 1, g
стремиться к бесконечности, то получаем
неопределённость 0*бесконечность (так
как ln1=0),
после чего можно получить
бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
х0,
если ее приращение в этой точке можно
представить в виде дельта
y=f(x0+дельтаx)-f(x0)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы
функция f(x)
была дифференцируемой в точке х0,
необходимо и достаточно, чтобы в точке
х0
существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x0+дельтаx)-f(х0)=f’(x0)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x0)*дельтаx
есть главная линейная часть приращения
функции f(x)
в точке х0.Эту
главную линейную часть приращения
функции f(x)
и называется дифференциалом функции
f(x)
в точке х0 и
обозначают df(x0)=f’(x0)*дельтаХ,
в частности для f(x)=x
имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ,
следовательно df(x0)=f’(x0)dx

Для дифференциалов
функций f
и g
справедливы формулы, подобные формулам
для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g2

Данные формулы будут
широко применяться при вычислении
интегралов функций. С помощью дифференциала
можно также приближенно вычислить
значения функции f
для ч, близких к x0,
Так как отбросив бесконечно малую
функцию в формуле 2, получаем:
f(x0+дельтаХ)=f(x0)+f’(x0)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция
y=f(x)
на множестве Х и х0-внутренняя
точка множества Х.

Обозначим через
U(x0)
окрестность точки х0
точке х0
функция f(x)
имеет локальный максимум, если существует
такая окрестность U(x0)
точки х0,
что для всех х из этой окрестности
выполнено условие f(x)<=f(x0).

Точки локальных
максимума и минимума называются точки
локальных экстремумов, а значения
функции в них-локальными экстремумами
функции.Пусть функция f(x)
определена на отрезке[a,b]
и имеет локальный экстремум на каком0то
из концов этого отрезка.Тогда такой
экстремум называется локальным
односторонним или краевым экстремумом.
В этом случае соответствующая окрестность
является правой для точки а и левой для
точки b
полуокрестностью.

Критическими
точками
, т.е.
точки подозрительные на экстремум
функции на интервале [a,b]
, являются точки,в которых производная
существует и равна 0 либо она не существует
или равна бесконечности.

Первое достаточное
условие экстремума-
пусть
непрерывная функция диффиринцируема
в некоторой проколотой окрестности
U(x0)
точки х0,
тогда: 1)если f’(x)>0
при х<x0,
х принадлежит
U(х0)
и f’(x)<0
при х>x0,
x
принадлежит U(x0),
то в точке х0-локальный
максимум

2)если
f’(x)<0
при x<x0
х принадлежит U(x0)
и f’(x)>0при
x>x0
x
принадлежит U(x0),
то в точке х0
локальный минимум.

Функция называется
n
раз непрерывно-дифференцируемой на
некотором промежутке, если на этом
промежутке она имеет непрерывные
производные до порядка n
включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное
условие экстремума-
пусть
функция f(x)
дважды непрерывно-дифференцируема.
Если х0-стационарная
точка (f’(x0)=0)
в которой f’’(x0)>0,
то в точке х0
функция имеет локальный минимум. Если
же f’’(x0)<
0 то в точке х0
функция имеет локальный максимум.

studfiles.net

Виды и правила раскрытия неопределенностей (Таблица)

Вид неопределенности

Правило раскрытия

1.       

1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.

1.2. Для раскрытия неопределенности вида ,

заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

 

2.        

2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные  нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные  нулю при x → a, то надо произвести повторное деление на x — a.

2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула

a2 – b2 = (a – b)(a + b) .

В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2).

 

3.     

3.1. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a2 – b2 = (a – b)(a + b) .

В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2).

3.2. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2  путем приведения дробей к общему знаменателю.

Пусть:

, .

Тогда:

4. Замечательные пределы

 4.1. Первый замечательный предел  (неопределенность ).

В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность , используется первый замечательный предел:

.

Его различные формы:      ,     ,     ,

  ,          ,

  ,          .

4.2. Второй замечательный предел (неопределенность ):   

.

Его различные формы:

,    ,      , ,    

 

5.       

5.1. Неопределенность вида  

сводится либо к неопределенности типа 1 , либо к неопределенности типа 2  путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей.

Пусть

, .

Тогда:

 

6.      ,

6.1. Неопределенности вида ,  

сводятся к неопределенности типа 5  путем логарифмирования.

infotables.ru

Ответы@Mail.Ru: А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность

Мистер Бонд, прочтите первый том «Курса дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца. Ноль * Бесконечность — это неопределенность. Она сводится к неопределенности типа 0 / 0 или Бесконечность / Бесконечность, которые дальше можно раскрыть, например, применяя правила Лопиталя.

Не хотите открывать Фихтенгольца — суньтесь в Яндекс. Вот ссылочка первая же по запросу «Неопределенность, Правило Лопиталя» <a rel=»nofollow» href=»http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm» target=»_blank»>http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm</a>

Успехов в решении! И не забывайте о том, что Джеймс Бонд всегда находил решения самых трудных задач.

ноль…
т.к. если любое число из этого бесконечного ряда чисел умножать на ноль, все равно будет 0…

к сожалению только ноль…

А что у нас «ноль»? Ноль величина абстрактная и в природе не имеющая места быть вообще.

А это смотря как умножать…

нуль. Нуль деленная на беск-ть=неопред-ть.

не слушай троечников — неопределенность, разумеется! И может получиться любое число в результате.

Иногда так хочется,чтоб ноль стал бесконечностью…

Это вы предел не доразложили. Непонятно какой ноль и какая бесконечность.
Например:
1. Lnx/x при x стремящемся к бесконечности — 0
2. e^x/x при x стремящемся к бесконечности — бесконечность
3. sin2x/x при x стремящемся к 0 равно 2

Поэтому, прежде чем считать предел типа f(x)/g(x) при x стремящемся к x0 надо провести разложение в окрестности x0 обоих функций и после сокращения в числителе или знаменателе у вас останется константа — а далее все просто.

Это неопределенность.

Это неопределенность. Одна сорокомиллионная — это практически ноль, а сорок миллионов — почти бесконечность,их перемножить, что получится?Если мы не знаем точно о сорока миллионах или о восьмидесяти идет речь? Неопределенность.

Это неопределенность типа ноль умножить на бесконечность.

Сколько раз ни складывай ноль с нулем, ноль никогда не сдвинется с места, даже если бесконечное число раз. Это очевидно, поэтому результат всегда равен нулю.
Другие числа могут получиться, если считать предел произведения функций, одна из которых стремится к нулю, а другая к бесконечности, в этом случае все зависит от их скоростей стремления к нулю или к бесконечности.

0 на бесконечность умножать нельзя
т. к возьмем 0 0/0=бесконечность
А 1/0= тоже бесконечность любое число даже 0 деленное на 0 будет бесконечность и число умножая на бесконечность будет неопределимость бесконечностью не имеет значения поэтому 0 * бесконечность нельзя а 0 на себя можно

touch.otvet.mail.ru

1 в степени бесконечность | Научные парадоксы Wiki

Это — материал о парадоксах.
Это — материал собственного авторства.

$ 1^\infty $ — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс заключается в том, что любая степень единицы равна самой единице: $ 1^a=1 $. Следовательно, и $ 1^\infty=1 $. Таким образом, это не должно быть неопределённостью. Дополнить парадокс автора филосовской  фразой можно так, «ква! хрю!кря!», это и есть та самая определенность …

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? Править

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) $ \lim_{x\to \infty}{1^x}=\lim_{x\to \infty}{x \cdot 1^{x-1}} $. Но поскольку $ x=\infty $ (по условию), то одним из множителей второго предела является $ \infty $, что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, $ 1^\infty $ является неопределённостью, и это доказано.

scienceparadoxes.fandom.com

Ответы@Mail.Ru: Бесконечность в степени бесконечность

Два примера показывают, что здесь нет неопределенности:

n^n —&gt; oo, если n —&gt; +oo,

n^(-n) —&gt; 0, если n —&gt; +oo.

В общем случае тоже либо 0, либо бесконечность.

Смотри, бывает «минус бесконечность». Любое конечное число в степени «минус бесконечность» — это будет ноль.
Поэтому если у тебя не определён знак бесконечности — то это неопределённость.

Любое число в степени бесконечность даст бесконечность. А бесконечность в степени бесконечность и подавно.
Уточняю. Число более 1)).

Ясно, что бесконечность! Что-то вроде континуума по сравнению со счётным множеством.
А вот «единица в степени бесконечность» — это условное обозначение неопределённости!

Это бесконечность. Потому что бесконечность в любой степени, кроме нулевой — всегда бесконечность. Есть классификация бесконечностей, введенная Георгом Кантором, но для вычисления пределов это неважно.

Бесконечности в числовом понимании — предельные понятия.
Таким макаром, вопрос сводится к следующему: «чему равен lim xn^yn, если lim xn = бесконечность, lim yn = бесконечность».
Можно доказать этот факт и увидеть, что получится снова бесконечность. Впрочем, доказательство может быть нетривиальным.

touch.otvet.mail.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о