Бесплатно решить предел онлайн с подробным решением: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

“>ababexp456×

стереть

()|a|ln789–↑↓ √3√Cloga0.+←→
TRIG:sincostancotcscsecназад
INVERSE:arcsinarccosarctanacotacscasec

стереть

HYPERB:sinhcoshtanhcothxπ
OTHER:,y=<>
Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

Данный калькулятор по вычислению пределов онлайн построен на основе системы

WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Содержание

Вычисление пределов функций онлайн

Предел функции

Решение пределов функции онлайн. Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису – вычислить предел функции онлайн. Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн

вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн, достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции. Вычисляя пределы онлайн, можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.matematikam.ru, что приведет с успешному выполнению задачи – вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и
www.matematikam.ru
вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы. С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода, пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для

решения лимитов онлайн, каковым является matematikam.ru.

Похожие сервисы:

Вычисление предела онлайн
Calculate limit online

Правило Лопиталя – вычисление пределов функций с примерами

Общие сведения

Важным понятием в высшей математике является определение бесконечности. Эта неопределённость обозначается символом ∞. Когда её упоминают, то имеют в виду как бесконечно малое число, так и большое. Для записи предела функций используется знак лимита, например, lim 0k (y). В нижней части указывается аргумент со стрелочкой, обозначающей, к чему именно стремится неопределённость. Если предел известный, то он называется конечным, в ином случае — бесконечным.

Когда нельзя установить, является ограничение бесконечным или конечным, то говорят, что предела для рассматриваемой функции не существует.

Это возможно, например, когда ограничение тригонометрической функции стремится к бесконечности. Существует несколько способов вычисления пределов: правило Лопиталя, формулы Тейлера, графический метод, подставление неизвестного в функцию.Указанные способы можно применять для нахождения того или иного предела, но для неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, а также вычисления отношений бесконечно малых или больших выражений лучше всего использовать закон Лопиталя. Состоит он из двух правил:

  • Для бесконечно малых величин. Когда функции k (y) и d (y) можно дифференцировать в некоторой области точки, исключая саму её, при этом в этой окрестности производная выражения неравна нулю, а пределы этих функций равны нулю, то отношение ограничения этих функций будет равно пределу отношения их производных.
  • Для бесконечно больших значений. Если две функции k (y) и d (y) можно дифференцировать по окрестности взятой точки, но при этом её саму исключить, учитывая, что в рассматриваемой окрестности производная d (y) не равняется нулю, то когда функции в этой точке равны бесконечности, предел отношения этих выражений тождественен отношению их производных.

Другими словами, смысл теоремы Лопиталя заключается в том, что когда нужно найти ограничение для двух функций, отношение которых даёт неопределённость 0/0 или ∞/∞, то можно взять производные этих выражений и найти их отношение. Это действие приведёт к получению искомого ответа. Метод позволяет упростить вычисление сложных показательных степенных функций. Его можно применять и при умножении неопределённостей или их вычитании. Например, 0 * ∞, ∞ – ∞.

Доказательство правила

Лопиталь после знакомства с Бернулли смог систематизировать метод Иоганна и издать в 1696 году книгу «Анализ бесконечно малых», где подробно изложил способы решения задач с неопределённостями. Математически его описание состоит из четырёх пунктов:

  • lim k (y) = lim d (y) = 0 (∞).
  • Графики k (y) и d (y) приближаются к линейному виду.
  • d (y)’ ≠ 0.
  • lim k (y)’ / d (y)’ = lim k (y) / d (y).

Пусть имеется два дифференцируемых выражения, при этом d (y) во всех точках имеет не нулевую производную. При y, стремящемся к a, d стремится к бесконечности. Если предел отношения производных конечного предела или бесконечного равняется числу L, тогда ограничение отношений производных этих функций также будет тождественно этому числу. То есть lim k (y) / d (y) = L, при y → a. Исходя из определения Гейне и Коши, рассматривать можно только монотонные последовательности, которые стремятся к a.

Взяв произвольный ряд, который может расти yn → a, верно утверждать, что в соответствии со следствием теоремы Дарбу и условием d (y)’ ≠ 0, рассматриваемая функция будет строго монотонной. А это означает, что последовательность d (yn) будет такой же. В тоже время из условия lim d (y) = ∞ следует, что d (yn) → ∞. При этом бесконечность может быть как со знаком минус, так и плюс.

Рассмотрим теорему Штольца, а именно отношение: (k (yn+1) — k (yn)) / (d (yn+1) — d (yn)) = k'(Cn) / d'(Cn) = L.

Из неё следует, что k (y) / d (y) → L. То есть всегда найдётся такая точка Cn, которая будет принадлежать множеству (Yn+1,Yn). Так как множество стремится к L, то и точка, принадлежащая ему, тоже будет приближаться к L. Поэтому можно утверждать, что и выражение lim k (y) / d (y) → L.

Аналогичным образом первому доказывается и второй случай, когда lim k (y) = lim d (y) = 0. Если предел отношения производных будет L, то ограничения отношений функций будет также равняться этому числу. Из теоремы Дарбу и монотонности получим, что d (Yn) → 0, кроме того k (Yn) → 0. Используя правило Штольце, можно будет утверждать, что k (y) / d (y) → L.

Но на практике часто для решения примеров правило Лопиталя оказывается недостаточным. Это справедливо для заданий, в которых y стремится не к конечному числу, а к бесконечному. Поэтому для таких задач используется следствие из теоремы. Согласно ему, при k → 0 и d → 0, а y → + ∞. Тогда существует предел lim k'(y) / d'(y) = AЄR и предел отношений lim k (y) / d (y) = A.

Этот вспомогательный закон очень важен и то же может быть доказан.

Следствие из утверждения

Перед доказательством следствия нужно условиться, что в выражении a будет всегда больше либо равно единице. Это возможно исходя из того, что если a будет меньше единицы, то доказывать нужно будет правило только от единицы до плюс бесконечности. Кроме этого, необходимо ввести замену вида t = 1/y. Она необходима, так как во многом облегчает сведение доказательства к теореме Лопиталя.

Пусть имеется функция K (t), равная k, и D (t), равная d. При этом аргумент последней будет 1/t. Так как по условию правила функции k и d определены на интервале от a до плюс бесконечности, то можно сказать, что функции K и D известны на интервале от нуля до единицы, делённом на a. Это верно из-за того, что если в исходной функции k и d икс подходил достаточно близко к плюс бесконечности, то в силу сделанной ранее замены t будет приближаться к нулю. Если же икс близок к a, то t будет приближаться к значению 1/a.

Так как a больше либо равняется единице, то интервал от нуля до единицы, делённой на a, будет определён корректно. Чтобы воспользоваться теоремой Лопиталя, нужно доказать, что предел lim K'(t) / D'(t) при t, стремящемся к нулю, равняется A. В силу того, что K (t) = k (1/t) и D (t) = d (1/t), можно написать: lim K'(t) / D'(t) = lim k'(1/t)’ / d'(1/t)’ .

Теперь нужно воспользоваться теоремой о производной композиции, условия которой выполнены. Вначале нужно взять производную внутренней функции, а затем внешней. Должно получиться следующее выражение: lim -1/ t

2 k ‘(1/ t) / (-1/ t 2) * d ‘ (1/ t) = lim K ‘(t) / D ‘(t) = lim k ‘(y)/ d (y) = A.

Отсюда можно утверждать, что предел отношений K'(t) / D'(t) будет равняться A. Все условия теоремы Лопиталя выполнены. А это значит, что существует предел отношения функций при t, стремящемся к нулю, равный A. Теперь можно снова применить теорему о пределе композиций и от переменной t перейти обратно к иксу: lim K (t)/D (t) = lim k (y)/(d (y) = A.

Таким образом можно сделать вывод, что требуемое утверждение верно. Использование правила и следствия позволяет выполнить быстрый расчёт неопределённости 0/0 или ∞/∞. При этом другого вида выражение можно свести к этой неопределённости. Это намного упрощает работу, особенно если необходимо логарифмировать или возводить в степень.

Решение примеров

Закрепить правило лучше всего на соответствующих примерах. Существуют типовые задания, чаще всего встречающиеся на контрольных работах. Например, требуется найти предел отношения натурального логарифма от тангенса икс к котангенсу два икс, когда неизвестное стремится к p /4. Помощь в решении окажет правило Лопиталя, которое при сравнении с альтернативными методами окажется на порядок проще.

Для того чтобы понять, какого вида неопределённость в задании, нужно в числитель и знаменатель подставить p/4. Тогда: ln td p /4 = ln 1 = 0 и ctd p /2 = 0. По правилу можно свести нахождение предела функций к вычислению их производных. Искомый предел: A = lim (lntdy ‘) / (ctd 2 y)’ = lim (ctdy * 1/ cos 2 y) / 2 (-1/ sin 2 2 y) = lim (-sin 2 y)(2 * siny * cosy) = (-½) * lim (sin 2 2 y / siny * cosy) = – ½ * 1/½ = -1. Таким образом, решение будет равняться минус единице.

Пусть есть выражение вида: lim y½ (p — 2 arctd √ y) = A. Нужно определить предел при иксе, стремящемся к плюс бесконечности. Чтобы воспользоваться правилом, исходное выражение нужно привести к дробному виду. Для этого выражение можно переписать как lim (p — 2 arctd √ y) / y½. В этом случае имеет место неопределённость 0/0. Поэтому можно рассматривать отношение производной делимого на делитель: A = lim (2 *(1/1+ y) * ½ * y ) / ½ * y -3/2 = lim 2y/(1+y) = 2 lin 1 /(1+ 1/ y) = 2.

Замечательным случаем является неопределённость вида ∞/∞. Например, требуется найти предел lim k (y) при иксе, стремящемся к бесконечности, где функция k (y) = y /ey. По теореме Лопиталя A = lim (y)’ / (ey)’, а это выражение есть не что иное, как lim 1/ey, равняющийся нулю. Теперь можно рассмотреть пример сложнее.

Пусть дано выражение нормальной функции со степенью: lim yy = A, где A = lim k (y). Проэкспоненцируя эту функцию, выражение можно привести к виду: yy = ey *lny. Если найти, к чему стремится показатель экспоненты, то это и будет решением рассматриваемого примера. Можно записать: lim y * lny = lim lny /1/ y = lim (1/ y)/(-1/ y 2 ) = 0. Если предел в показателе экспоненты стремится к нулю, то можно написать, что он будет равняться e0, то есть единице. А это и будет искомый предел: lim k (y) = 1 при иксе, стремящемся к плюс бесконечности.

Закон Лопиталя является хорошим помощником при вычислении особо экзотических пределов. При этом можно попробовать составить выражение, отвечающее условиям правила и из неявного вида функции. Для этого можно использовать раскрытие скобок, дополнительно умножить или разделить функцию на однородный многочлен.

Использование онлайн-калькулятора

Не всегда задания, попадающиеся на практике, довольно легко привести к условию, отвечающему правилу. Да и нередко сама функция настолько умудрённая, что для определения производной понадобится не только проявить внимание и усидчивость, но и затратить довольно много времени. Поэтому в таких случаях есть резон решать задания на онлайн-калькуляторе с подробным решением. Правило Лопиталя отлично поддаётся автоматизированному вычислению.

Такую услугу предлагают более десятка специализированных на математических расчётах сайтов. Доступ к вычислениям предоставляется полностью бесплатно. От пользователя даже не требуется регистрации и указания персональных данных. Работают они на основе алгоритмов, заложенных в программный код используемого онлайн-приложения. Пользователю нужно лишь только подключение к интернету и любой веб-обозреватель.

Все его действия сводятся к введению в предложенную форму условия примера и нажатия кнопки «Рассчитать». После этого программа автоматически вычислит ответ и выведет его на дисплей. При этом в большинстве случаев вместе с ответом приложение отобразит пошаговый расчёт с комментариями. Это позволит потребителю не просто получить готовый ответ, но и разобраться в решении.

Из наиболее популярных сайтов можно выделить следующую пятёрку:

  • Math.semestr.
  • Kontrolnaya-rabota
  • Planetcalc.
  • Math34.
  • Webmath.

Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке. Кроме предоставления услуги онлайн-калькулятора, на их страницах содержится вся необходимая теория, помогающая понять, как происходит нахождение ответа. А также приведены несколько типовых примеров с подробным решением.

Пользоваться такими сайтами сможет даже пользователь, ничего не понимающий в математическом анализе. Но решая различные примеры, со временем он поймёт суть идеи правила и сможет самостоятельно вычислять пределы функций. При этом такие сайты являются отличным подспорьем как инженерам, проводящим сложные вычисления, так и студентам, проверяющим свои навыки.

Калькулятор рівнянь 8 клас – proto-online.ru

Скачать калькулятор рівнянь 8 клас txt

Онлайн калькуляторы с подробным решением по высшей математике, теории вероятностей, математическому программированию, экономической статистике. Помощь в решении типовых примеров онлайн – нужно просто ввести числовые данные задачи.  Введите данные вашей задачи, и вы получите подробное решение. Используются лучшие онлайн-калькуляторы интернета.

Математический анализ. Предел. При помощи калькулятора можно решать уравнение с дробями. Для этого просто введите заданные дроби и быстро получите результат. Калькулятор простой в использовании и выдаёт только точный ответ. Калькулятор. Инструкция. Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().  Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

Что такое уравнение с дробями. Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Математические калькуляторы для решения задач онлайн расположены по классам. Внутри классов калькуляторы рассортированы по алфавиту.

Ждём ваших предложений о том, какие виды калькуляторов онлайн вы бы ещё хотели видеть на нашем сайте. © – Разработка — Борис Гуров. Бесплатный Калькулятор онлайн со скобками для расчетов на работе, учёбе или дома. Калькулятор работает на компьютерах, планшетах и смартфонах. Онлайн Калькулятор быстро загружается, считает онлайн, имеет встроенную память.  Описание Инструкции Примеры FAQ Из истории Комментарии Все калькуляторы Популярные разделы.

Удобный Калькулятор онлайн для расчетов на работе, учёбе или дома. Калькулятор выполняет как простые арифметические действия, так и расчет процентов, вычисление квадратного корня, решает онлайн сложные выражения со скобками.

Калькулятор вирішує системи лінійних рівнянь з двома невідомими. Введіть його в зазначеному загальному вигляді в шаблон. У разі наявності в рівнянні знака «мінус», введіть відповідну змінну у вигляді від’ємного числа. Графік. Калькулятор.  Ми будемо раді дізнатися про Ваші пропозиції та зауваження. [email protected] proto-online.ru Рівняння.

Лінійне рівняння. Квадратне рівняння.

Дробный инженерный калькулятор онлайн – ¼ + ½ = ¾, решение уравнение, поддержка математических функций и констатнт.  Инженерный калькулятор онлайн.

Цель сайта Рассчитать Онлайн РУ — дать возможность пользователю произвести расчет бесплатно, находясь в любой точке мира. Мы активно работает над внедрением калькуляторов, но если у Вас есть идея и Вы хотите что бы она появилась на нашем сайте, воспользуйтесь формой обратной связи, мы будем благодарны за любые идеи по улучшению и расширению сервиса. Удачного использования! Инструкция. Решение уравнений онлайн. Алгебраические, тригонометрические, трансцендентные уравнения онлайн.

Линейные, квадратные, кубические уравнения онлайн.   Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт proto-online.ru, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн, тригонометрических уравнений онлайн, а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса proto-online.ru вполне достаточно.

Калькулятор решает заданное математическое выражение по модулю с отображением пошагового решения. Можно просто ввести целое число – калькулятор вычислит его остаток от деления по модулю.

Также можно использовать следующие операции: + сложение по модулю.

PDF, txt, doc, EPUB

Похожее:

  • Відповіді біологія 6 клас князева
  • Ольга березан органічна хімія навчальний посібник 2015
  • Н.м.поліщук біологія 8 клас відповіді
  • 1 клас музика навколо нас 2 семестр
  • Урок 6 клас відмінювання кількісних числівників
  • Урок позакласного читання 4 клас як не любить той край
  • Текст на 100 слів 5 клас
  • Гдз англійської мови 5 клас
  • Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

    Несобственные интегралы

    Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн – определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой – и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 – это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку “Решение”. Неправда ли – это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь – это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию – сайт – самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

    Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

    В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежутка
    и ограниченной функции
    (см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.

    1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности
    ,
    , то придем к интегралу от неограниченной функции:

    , где
    .

    2. Пусть тело массой
    движется по инерции в среде с силой сопротивления
    , где
    – скорость тела. Используя второй закон Ньютона (
    , где
    ускорение), получим уравнение:
    , где
    . Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функция
    Если нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда
    , то придем к интегралу по бесконечному промежутку:

    I Определение

    Пусть функция
    определена и непрерывна на промежутке
    . Тогда для любого
    она интегрируема на промежутке
    , то есть существует интеграл
    .

    Определение 1 . Конечный или бесконечный предел этого интеграла при
    называют несобственным интегралом 1-го рода от функции
    по промежутку
    и обозначают символом
    . При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (
    или не существует) – расходящимся.

    Итак, по определению

    Примеры

    2.
    .

    3.
    – не существует.

    Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

    II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

    Пусть
    – некоторая первообразная для функции
    (сущест-вует на
    , т.к.
    – непрерывна). Тогда

    Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела
    . Если этот предел обозначить
    , то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:

    , где
    .

    Примеры .

    5.
    .

    6. Более сложный пример:
    . Сначала найдем первообразную:

    Теперь можем найти интеграл , учитывая, что

    :

    III Свойства

    Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:


    IV Другие определения

    Определение 2 . Если
    непрерывна на
    , то

    .

    Определение 3 . Если
    непрерывна на
    , то принимают по определению

    (– произвольное),

    причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.

    Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.

    Пример 7 .

    §2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода

    Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство

    (для больших ).

    Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.

    I Интегралы от положительных функций

    Пусть
    на
    . Тогда определенный интеграл
    как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).

    Теорема 1 . Несобственный интеграл 1 го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция
    остается ограниченной при увеличении.

    Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.

    Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции
    и
    непре-рывны на
    и удовлетворяют неравенству
    . Тогда:

    1) если интеграл
    сходится, то и
    сходится;

    2) если интеграл
    расходится, то и
    расходится.

    Доказательство . Обозначим:
    и
    . Так как
    , то

    . Пусть интеграл
    сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
    ‒ ограничена. Но тогда и
    ограничена, а значит, интеграл
    тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.

    Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от
    или сходимости интеграла от
    . Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.

    Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции
    и
    непрерывны и неотрицательны на
    . Тогда, если
    при
    , то несобственные интегралы
    и
    сходятся или расходятся одновременно.

    Доказательство . Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:

    , ,


    .

    Пусть, например,
    . Тогда:

    Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.

    В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция
    ,
    . Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл

    сходится при
    и расходится при
    .

    Примеры . 1.
    .

    Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке
    :

    ,
    .

    Интеграл
    сходится, ибо
    . По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл
    , а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.

    2.
    .

    Так как
    , тоcуществует
    такое, что при

    . Для таких значений переменной:

    Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.

    ,

    а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

    .

    Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и
    . Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл
    сходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.

    Определенный интеграл как предел интегральной суммы

    может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий


    Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a ; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины
    , которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точкес [a ; b ] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать=с , поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными .

    Определение.

    Пусть функция
    определена на промежутке [a ; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a ; b ], т.е. существует
    для любого b > a . Предел вида
    называютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают
    .

    Таким образом, по определению,
    =
    .

    Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл
    называютсходящимся . Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится .

    Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции
    по промежутку (–; b ]:

    =
    .

    А несобственный интеграл от функции
    по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:

    =
    +
    ,

    где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

    С геометрической точки зрения, интеграл
    ,
    , определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
    , слева – прямой
    , снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой
    .

    На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница :

    =
    =F(+ ) – F(a ),

    где F(+ ) =
    . Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

    Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

    Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

    Определение

    Пусть функция
    определена на промежутке [a ; b ), неограниченна в некоторой окрестности точки b , и непрерывна на любом отрезке
    , где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е.
    существует). Предел вида
    называетсянесобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается
    .

    Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

    =
    .

    Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся . Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

    Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции
    имеющей бесконечный разрыв в точкеа :

    =
    .

    Если функция
    имеет бесконечный разрыв во внутренней точкес
    , то несобственный интеграл определяется следующим образом

    =
    +
    =
    +
    .

    Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

    С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

    Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

    Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости . Признаки сходимости несобственных интегралов:

    1) Признак сравнения .

    Пусть для всех х

    . Тогда, если
    сходится, то сходится и
    , причем

    . Если
    расходится, то расходится и
    .

    2) Если сходится
    , то сходится и
    (последний интеграл в этом случае называетсяабсолютно сходящимся ).

    Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.

    Примеры решения задач.

    Пример 1.

    а)
    ; б)
    ; в)

    г)
    ; д)
    .

    Решение.

    а) По определению имеем:

    .

    б) Аналогично

    Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

    в) По определению
    =
    +
    , причем,а – произвольное число. Положим в нашем случае
    , тогда получим:

    Данный интеграл сходится.

    Значит, данный интеграл расходится.

    д) Рассмотрим
    . Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:

    Поскольку ни
    , ни
    не существуют, то не существует и

    Следовательно, данный интеграл расходится.

    Пример 2.

    Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п .

    Решение.

    При
    имеем:

    Если
    , то
    и. Следовательно, интеграл расходится.

    Если
    , то
    , а
    , тогда

    =,

    Следовательно, интеграл сходится.

    Если
    , то

    следовательно, интеграл расходится.

    Таким образом,

    Пример 3.

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

    а)
    ; б)
    ; в)
    .

    Решение.

    а) Интеграл
    является несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функция
    не ограничена в точке

    . Тогда, по определению,

    .

    Интеграл сходится и равен .

    б) Рассмотрим
    . Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке
    . Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,

    Следовательно, интеграл расходится.

    в) Рассмотрим
    . Подынтегральная функция
    терпит бесконечный разрыв в двух точках:
    и
    , первая из которых принадлежит промежутку интегрирования
    . Следовательно, данный интеграл – несобственный второго рода. Тогда, по определению

    =

    =

    .

    Следовательно, интеграл сходится и равен
    .

    Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

    Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода..gif”>.

    Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

    Мы рассмотрим самый популярный случай https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif”>? Нет, не всегда. Подынтегральная функция https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif”>

    Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

    Несобственный интеграл https://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif”>», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится .

    2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: .. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

    А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси?.gif”>.

    : .

    Пример 1

    Подынтегральная функция https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif”>, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

    Применение нашей формулы https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif”>

    То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

    При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

    Пример 2

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Выполним чертеж:

    Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд..gif”>

    (1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

    (2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

    (3) Указываем, что https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif”> (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

    Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

    Пример 3

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Подынтегральная функция непрерывна на .

    Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл).

    На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

    Проведем замену:

    Всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

    Теперь находим несобственный интеграл:

    (1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

    (2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница..gif”>? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

    (3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

    Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

    Подынтегральная функция непрерывна на https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif”>

    Пример 4

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    ! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата.

    Пример 5

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала..

    Несобственные интегралы от неограниченных функций

    Иногда такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: ..gif”>, 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

    Сразу пример, чтобы было понятно: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif”>, то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

    Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования ..jpg” alt=”Несобственный интеграл, точка разрыва в нижнем пределе интегрирования”>

    Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
    Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

    Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif”> справа .

    Пример 6

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

    Сначала вычислим неопределенный интеграл:

    Замена:

    Вычислим несобственный интеграл:

    (1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

    (2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

    (3) Разбираемся с https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif”>. Как определить, куда стремиться выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

    В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу.

    Пример 7

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Пример 8

    Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Если подынтегральной функции не существует в точке

    Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:

    Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif”> мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева .

    ‎App Store: Photomath

    Научитесь решать математические задачи, проверять домашние задания и готовиться к предстоящим экзаменам и экзаменам ACT / SAT с помощью самого популярного в мире учебного ресурса по математике. Более 100 миллионов загрузок и миллиарды решенных задач каждый месяц!

    КАК ЭТО РАБОТАЕТ
    С помощью камеры своего устройства мгновенно отсканируйте печатный текст И рукописные математические задачи или введите и отредактируйте уравнения в нашем научном калькуляторе. Каждую математическую задачу Photomath разбивает на простые, понятные шаги, чтобы Вы могли хорошо понять основные концепции и уверенно отвечать на вопросы.

    КЛЮЧЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
    Сканирование (печатного) учебника И рукописных задач
    Научный калькулятор
    Пошаговые объяснения для каждого решения
    Несколько методов решения
    Поддержка более 30 языков
    Интерактивные графики

    МАТЕМИЧЕСКИЕ ТЕМЫ
    Базовая математика / начала алгебры: арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, степени, корни, факторы
    Алгебра: линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики, полиномы
    Тригонометрия / начала математического анализа: тождества, конические сечения, векторы, матрицы, комплексные числа, последовательности и ряды, логарифмические функции
    Исчисления (математический анализ): пределы, производные, интегралы, построение кривых
    Статистика: комбинации, факториалы

    Наша собственная команда ветеранов преподавателей математики также сотрудничает с учителями по всему миру, что дает возможность гарантировать использование наиболее эффективных методик обучения в наших математических системах.

    Представлено в Huffington Post, Forbes, TIME, CNN, EdSurge, Guiding Tech, The Verge, TechCrunch и других.

    Предложения, комментарии или вопросы? Напишите нам по адресу [email protected]

    Подписывайтесь на нас!
    Facebook: facebook.com/Photomathapp
    Twitter: @Photomath

    Photomath есть и всегда будет бесплатным, но Вы можете улучшить свое обучение, перейдя на Photomath Plus. Photomath Plus предлагает решения для всех задач и примеров из учебников! В настоящее время предложение действительно только для США и для конкретных учебников.

    Оплата будет снята с Вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки. Подписка продлевается автоматически, если она не отменена как минимум за 24 часа до окончания текущего периода. За 24 часа до окончания текущего периода с Вашего счета будет снята плата за продление. Вы можете управлять своими подписками и отменять их, перейдя в настройки своей учетной записи в App Store после покупки. Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

    Дополнительная информация:
    Условия использования: https://photomath.com/en/termsofuse
    Политика конфиденциальности: https://photomath.com/en/privacypolicy

    Сумма ряда онлайн с подробным решением. §4. Приближенное вычисление суммы числового ряда

    Доказательство .

    Заметим, что . После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности .

    Теорема .

    Если ряд сходится, то.

    Доказательство .

    Из свойств пределов следует, что . Отсюда следует, что.

    40. Эталонные ряды для установления сходимости

    Геометрический ряд

    Обобщеный гармонический ряд

    В частности, при к=1 получаем гармонический ряд

    Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.

    41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена

    Пусть функции Un(x),n∈N, определены в области D. Выражение U 1 (x ) + U 2 (x ) +… + U n (x )+…= U n (x ), где х D , наз. функциональным рядом. Каждому значению x 0 ∈D соответствует числовой ряд U n (x 0 ) . Этот ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если для x 0 D числовой ряд U n (x 0 ) сходится, то говорят, чтo функциональный ряд сходится в точке x 0 , и точку x 0 наз. точкой сходимости .Если функциональный ряд сходится в каждой точке x E D , то этот ряд наз. сходящимся на множестве Е , а множество Е наз. областью сходимости ряда. Если множество Е пусто, то ряд расходится в каждой точке множества D .

    Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится. Ряд вида а 0 + а 1 х + а 2 х 2 + … а n х n + … = называетсястепенным рядом, а – некот. числа, х – переменная.

    Коэффициентами степенного ряда называются числа а 0 , а 1 , … , а n .

    Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен Р n (х) = f(х 0) +Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

    R n (x)= =f(x) – P n (x)

    Т.о., многочлен Тейлора Р n (х) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора R n (х).

    Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х 0 = 0: f(x)= f(0) +

    где с – некоторая точка из интервала (0, х).

    С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд – это последовательность чисел (либо функций – для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов – принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

    Найти сумму ряда онлайн

    На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн . Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

    Поскольку точное значение суммы ряда удается вычислить далеко не всегда (такие задачи были нами рассмотрены), возникает проблема приближенного вычисления суммы ряда с заданной точностью.

    Напомним, что -ый остаток рядаполучается из исходного рядаотбрасыванием первыхслагаемых:

    Тогда, поскольку для сходящегося ряда
    ,

    остаток сходящегося ряда равен разности между суммой ряда и -ой частичной суммой:

    ,

    и для достаточно больших имеем приближенное равенство

    .

    Из определения остатка ряда следует, что абсолютная погрешность при замене точного неизвестного значения суммы его частичной суммойравна модулю остатка ряда:

    .

    Таким образом, если требуется вычислить сумму ряда с заданной точностью , то нужно оставить сумму такого числаслагаемых, чтобы для отброшенного остатка ряда выполнялось неравенство:

    .

    Метод приближенного вычисления суммы выбирается в зависимости от вида ряда:

    если ряд положительный и может быть исследован на сходимость по интегральному признаку (удовлетворяет условиям соответствующей теоремы), то для оценки суммы используем формулу

    ;

    если это ряд Лейбница, то применяем оценку:

    .

    В других задачах можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

    Задача №1. Сколько нужно взять слагаемых ряда
    , чтобы получить его сумму с точностью 0,01.

    Решение. Прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Рассмотрим-ый остаток ряда, который и является погрешностью вычислений суммы ряда:

    Оценим этот ряд с помощью бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Для этого заменим в каждом слагаемом множитель на, при этом каждое слагаемое увеличится:

    После вынесения общего множителя за скобку, в скобке остался ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумму которого мы и вычислили по формуле

    .

    Заданная точность будет достигнута, если будет удовлетворять условию

    .

    Решим неравенство, учитывая, что – целое.

    При
    имеем

    .

    При
    имеем

    .

    В силу монотонности функции
    , неравенство
    будет выполняться для всех
    .

    Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (или более) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.

    Ответ:
    .

    Задача №2. Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда
    суммой первых 100 слагаемых.

    Решение. Заметим, что данный ряд является сходящимся и знакопеременным. Оценивать будем ряд
    , состоящий из модулей исходного ряда, что сразу увеличивает погрешность вычислений. Кроме того, нам придется перейти (используя признак сравнения) к большему, более простому сходящемуся ряду:

    .

    Рассмотрим ряд . Поскольку этот ряд удовлетворяет условиям теоремы – интегрального признака сходимости, то для оценки погрешности вычисления суммы используем соответствующую формулу:

    .

    Вычислим несобственный интеграл:

    погрешность вычислений можно оценить по формуле

    ,

    по условию
    , тогда.

    Ответ:
    .

    Задача №3. Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда
    суммой первых 10 слагаемых.

    Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеет смысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правилом изменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулей данного ряда:

    .

    Используя тот факт, что
    при любом значении аргумента, имеем:

    .

    Оценим остаток ряда:

    .

    Мы получили ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

    ,

    его сумма равна:

    ,

    .

    Ответ:
    .

    Задача №4. Вычислить сумму ряда
    с точностью 0,01.

    Решение. Данный ряд является рядом Лейбница. Для оценки погрешности верна формула:

    ,

    другими словами, погрешность вычислений меньше модуля первого отброшенного слагаемого. Подберем номер так, чтобы

    .

    При
    имеем

    .

    При
    имеем

    .

    Погрешность
    , если в качестве значения суммы возьмем сумму первых четырех слагаемых:

    Ответ:
    .

    Калькулятор Пределов – Решение Пределов Онлайн

    Этот калькулятор пределов вычисляет положительные или отрицательные пределы для заданной функции в любой точке. Вы должны попробовать этот решатель пределов, чтобы определить, как легко решать пределы. Кроме того, калькулятор правил l’hopital помогает вычислять предельные задачи \ (\ frac {0} {0} \) и \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \) и поддерживает вычисление пределов онлайн на положительной и отрицательной бесконечности. Что ж, читайте дальше, чтобы понять, как найти предел онлайн функции с помощью этого решение пределов онлайн. Начнем с основ!

    Что такое предел (математика)?

    Обозначение пределов представляет собой математическое понятие, основанное на идее близости. Его также можно определить как значение, к которому функция «приближается», когда вход «приближается» к некоторому значению. Необходимо оценить Предел в исчислении и математическом анализе, чтобы определить непрерывность, производные и интегралы. калькулятор пределов онлайн присваивает значения определенным функциям в точках, где значения не определены, таким образом, чтобы они согласовывались с ближайшими или близкими значениями. В большинстве курсов по исчислению мы работаем с пределом, что означает, что легко начать думать, что предел исчисления существует всегда. С другой стороны, это также помогает решить предел по правилу Лопиталя, согласно которому предел, когда мы делим одну функцию на другую, остается таким же после того, как мы берем производную каждой функции.

    Что ж, пределы онлайн калькулятор производной – лучший способ вычислить предел производную функции по заданным значениям и показывает дифференцирование.

    Что такое формула предела?

    Формула предела будет следующей:

    $$ \ lim_ {x \ to a} f (x) = L $$

    Пример:

    Если у вас есть функция «\ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \)», тогда необходимо найти пределы, когда \ (x \) равно \ (1 \), как деление по нулю не является законной математической операцией. С другой стороны, для любого другого значения \ (x \) числитель может быть учтен, а также разделен на \ ((x – 1) \), чтобы получить \ (x + 1 \). Таким образом, это частное будет равно \ (x + 1 \) для всех значений \ (x \), за исключением 1, которая не имеет значения. Хотя, 2 можно присвоить функции \ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \) как ее предел, когда \ (x \) приближается к 1. Если предел \ (x \) приближается к 0 или бесконечности, такие вычисление пределов онлайн упростить с помощью калькулятор пределов онлайн правил Лопиталя.

    Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Кроме того, бесплатный пределы онлайн калькулятор интегралов позволяет вам определить интегралы функции, соответствующие задействованной переменной, и показать вам пошаговую работу.

    Лимитные законы:

    Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Эти законы можно использовать для оценки предела полиномиальной или рациональной функции. Кроме того, для некоторых правил существуют определенные условия, и если они не выполняются, то правило не может использоваться для проверки оценки лимита. Однако использование оценщика пределов – лучший способ оценить пределы функции в любой момент.
    В следующей таблице приведены вычислить предел законы и некоторые основные свойства.

    Предельный закон в символах Предел закон на словах
    1  \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)\) Сумма Лимитов равна лимиту суммы.
    2  \(\lim_{x \to a}[ f(x) – g(x)]= \lim_{x \to a} f(x) – \lim_{x \to a} g(x)\) Разница лимитов равна лимиту разницы.
    3 \( \lim_{x \to a} cf (x) = c \lim_{x \to a} f (x) \) Постоянный предел функции равен пределу постоянного времени функции.
    4  \(\lim_{x \to a}[ f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) × \lim_{x \to a} g(x)]\) Произведение лимитов равно лимиту продукта. 2} $$

    мы можем найти предел онлайн 0, Inf, -Inf или вычисление пределов онлайн коэффициентам.

    Формальный метод:

    Речь идет о доказательстве того, как мы можем максимально приблизиться к ответу, сделав «\ (y \)» близким к «\ (a \)».

    Как калькулятор лимитов вычисляет лимиты?

    Этот калькулятор лимитов позволяет вам оценить лимит данных переменных. Что ж, искатель решение пределов онлайн помогает найти пределы, выполнив следующие действия:

    Вход:

    • Прежде всего введите уравнение или функцию.
    • В раскрывающемся списке выберите переменную, для которой необходимо оценить предел. Это может быть \ (x, y, z, a, b, c, \) или \ (n \).
    • Укажите число, по которому вы хотите рассчитать лимит. В этом поле вы также можете использовать простое выражение, например «\ (inf = ∞ \) или pi = \ (π \)».
    • Теперь выберите направление ограничения. Он может быть как положительным, так и отрицательным.
    • После того, как вы введете значения в указанные поля, калькулятор предоставит вам предварительный просмотр уравнения.
    • Нажмите кнопку “Рассчитать”.

    Выход:

    • Прежде всего, он отобразит данный ввод.
    • Он покажет предельные значения для данного ввода.

    Часто задаваемые вопросы:

    Как узнать, что лимит не существует?

    Чтобы найти предел на графике, если существует вертикальная асимптота, и одна сторона идет в сторону бесконечности, а другая – в направлении отрицательной бесконечности, тогда предел не существует. Точно так же, если на графике есть дыра при значении x c, то двусторонний предел не будет существовать. Тем не менее, поиск пределов может помочь вам более точно оценить пределы.

    Каковы правильные обозначения пределов?

    По сути, предельная запись – это способ сформулировать тонкую идею, чем просто сказать \ (x = 5 \) или \ (y = 3 \). \ (\ lim_ {x \ to a} f (x) = b \). С другой стороны, калькулятор пределов онлайн избавляет от беспокойства об обозначении пределов, поскольку он определяет пределы и указывает их неточное форматирование.

    Можно ли применить правило L‘Hopital к каждому пределу?

    Правило L’Hôpital используется с неопределенными пределами, имеющими форму \ (0/0 \) или бесконечность. Он не решает всех ограничений. Иногда даже повторяющиеся применения правила не могут помочь найти предел онлайн значения. Итак, для удобства калькулятор правил l’hopital – лучший способ решить бесконечные вычислить предел функций.

    Может ли 0 быть пределом?

    Если мы просто оцениваем уравнение, предел \ (0/0 \) будет неопределенным. Однако, если мы получим \ (0/0 \), то может быть серия ответов. Теперь единственный способ определить точный ответ – это использовать решатель пределов для точного определения проблем с предельными значениями.

    Как используются лимиты в расчетах?

    Пределы определяют, как функция будет действовать рядом с точкой, как альтернатива в этой точке. Эта идея лежит в основе исчисления. Например, предел «\ (f \)» при \ (x = 3 \) и \ (x = 3 x = 3 \) – это значение f по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 3 \). .

    Конечное примечание:

    Этот пределы онлайн калькулятор пределов находит пределы и специально предназначен для определения пределов в отношении переменной. Пределы можно оценивать как с положительной, так и с отрицательной стороны. Он обслуживает все вычислить предел задачи, которые невозможно решить алгебраически. Таким образом, здорово помочь студентам и профессионалам решить и проверить ваши ограничения в мгновение ока.

    Other Languages: Limit Calculator, Limit Hesaplama, Kalkulator Limit, Grenzwertrechner, Kalkulačka Limit, Calculadora De Limites, Calculateur De Limite, Calculadora De Limites, Calcolatore Limiti.

    Онлайн-решение математических задач

    Абсолютно бесплатный универсальный инструмент для решения математических задач:

    Онлайн-решение математических задач

    Решайте свои математические задачи в Интернете. Бесплатная версия дает вам только ответы. Если вы хотите увидеть полную решения, вам необходимо подписаться на бесплатную пробную учетную запись.

    Базовый математический план

    Basic Math Solver предлагает вам решение онлайн-задач с дробями, метрических преобразований, степенных и радикальных задач.
    Можно найти площадь и объем прямоугольников, кругов, треугольники, трапеции, коробки, цилиндры, конусы, пирамиды, сферы.
    Вы можете упрощать и оценивать выражения, множить / множить многочлены, комбинировать выражения.

    Онлайн-решатель предварительной алгебры (геометрии)

    Вы можете решать все задачи из основного математического раздела, а также решать простые уравнения, неравенства и задачи с координатной плоскостью.
    Вы также можете оценивать выражения, факторные полиномы, выражения объединения / умножения / деления.

    Онлайн-решатель алгебры

    Я советую вам подписаться на этот решатель алгебры.
    Вы можете шаг за шагом решать свои задачи по алгебре онлайн – уравнения, неравенства, радикалы, строить графики, решать полиномиальные задачи.
    Если ваша домашняя работа по математике включает уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, это правильный пробный счет.

    Онлайн-решатель тригонометрии

    Решите все типы тригонометрических (sin, cos, tan, sec, scs, cot) выражений, уравнений, неравенств.
    Граф тригонометрических функций.
    Тригонометрия прямоугольного треугольника.

    Онлайн-программа для предварительного вычисления

    Включите все вышеперечисленное плюс нахождение пределов (lim), сумм, матриц.

    Онлайн-решение для вычислений

    Решайте интегральные задачи – определенные, неопределенные интегралы.

    Решатель онлайн-статистики

    Решите свои проблемы вероятности, комбинации, перестановки. Статистика – найти медиану, среднее (арифметическое, геометрическое, квадратичное), моду, дисперсию, нормальные распределения, t-распределение.
    Решатель успешно выполняет статистическую проверку гипотез

    Онлайн-решатель химии

    Вы можете решать уравнения химии онлайн.

    Другие калькуляторы:
    Калькулятор

    Calculus | Пошаговый калькулятор

    Изучение математики – определенно одно из самых важных дел в жизни.По мнению экспертов, это должно быть в чьем-либо контрольном списке «основных навыков».

    Подсчет имеет решающее значение, равно как и умножение и проценты. Но насколько важен расчет, этот страшный монстр, который преследует мечты многих старшеклассников?

    Следует ли вам действительно посещать занятия по исчислению, алгебре, тригонометрии и всем остальным вещам, которые большинство людей никогда больше не собираются использовать в своей жизни?

    По иронии судьбы, многие физики и ученые не используют математические вычисления после окончания колледжа.Но то, что они не используют его напрямую, не означает, что его не стоит изучать.

    Навыки взаимозаменяемы

    Проще говоря, вычисление – это предсказание изменений. Вы получаете множество серий математических алгоритмов, которые собраны вместе, чтобы показать вам, как все будет меняться в течение заданного периода времени.

    Именно эта концепция используется во многих отраслях. Его часто используют экономисты для оценки максимальной прибыли путем расчета будущих затрат и доходов, а ученые – для оценки динамического роста.

    Еще в школьные годы я знал, что мне суждено было стать либо физиком, либо математиком. Но это не помешало мне брать уроки драмы. Если вы подумаете о логике с чистой точки зрения выгоды, то мое решение сняться в драме было довольно насмешкой.

    Я не планировал становиться экспертом по актерскому мастерству, и для этого мне не понадобились годы, которые я потратил на сценическое мастерство и уроки вокала и привыкание к своим чувствам. Я не жалею о том, что взял уроки драмы, потому что они научили меня демонстрировать свои эмоции и овладевать искусством общения, что помогало мне на протяжении всей моей жизни.

    Навыки взаимозаменяемы, независимо от того, в какой области они изучаются. Когда я ходил на уроки драмы, я много узнал о голосе и языке тела, я научился правильно произносить слова и заставлять других верить именно в то, во что я хочу, чтобы они верили. По общему признанию, я не стал мастером ни в чем из этого, но они поставили меня на заманчивую дорогу.

    Тогда я этого не осознавал, но на самом деле эти уроки научили меня тому, как стать адекватным коммуникатором. Он показал мне, как не рухнуть перед большой толпой, как быть оратором, как говорить и убеждать различную аудиторию.Это также дало мне много вдохновения и творчества как человека науки.

    Одна из многих вещей, которые говорят о людях науки, заключается в том, что они не знают, как правильно общаться, а некоторым даже трудно обсудить со своими сверстниками. Если бы не мои занятия драматургией, я бы не смог развить коммуникативные навыки и обладать таким же мужеством, как сегодня.

    Итак, не бойтесь стать мастером на все руки, но обязательно станьте мастером в некоторых областях.

    Численное мышление

    Если вернуться к расчету, это практически то же самое.Мы всегда можем вдохновиться уроками математического анализа, даже не используя их напрямую. Один из многих замечательных уроков, которые преподает математика более высокого уровня, такая как исчисление, заключается в том, что вы получаете способность мыслить о вещах численно; преобразовывать слова в числа и представлять, как эти числа изменятся в течение определенного времени.

    Несколько месяцев назад я играл в глупую настольную игру с парой моих друзей. Один из заданных вопросов был: «Как вы думаете, сколько денег люди тратят в год на корм для домашних животных?» Если вы плохо разбираетесь в числах, вы, вероятно, скажете что-нибудь иррациональное и нелепое, как человек, сидящий рядом со мной, который сказал: «Я бы сказал, что это около 20000 долларов».

    Я подумал об этом на короткое время и попытался проанализировать ситуацию, сказав, что если вы тратите 20000 долларов в год на корм для домашних животных, это означает, что вы платите около 60 долларов в день. Я имею в виду, я слышал много сумасшедших историй о людях, чрезмерно любящих своих домашних животных, но я считаю очень странным, что средний человек тратит столько дня исключительно на корм для домашних животных. Итак, я сделал более логичное предположение и сказал 600 долларов при оценке 2 доллара в день. Т

    Правильный ответ, я полагаю, составлял от 300 до 500 долларов в год, но эй, я был очень близок к этому.

    Это правда, что это был немного странный пример, но есть множество реальных примеров, которые имеют более глубокие последствия. Попробуйте подумать о ежемесячных расходах среднего человека, когда он должен учитывать ипотеку, топливо, страхование автомобиля, питание, воду, счета за электричество и другие расходы, которые нужно знать, как покрывать за счет своей ежемесячной зарплаты.

    Расходы меняются изо дня в день как из-за внешних факторов (например, цены на бензин и процентные ставки), так и из-за внутренних факторов (как часто вы используете свой автомобиль, качество продуктов, которые вы покупаете, и т. Д.)).

    Знание того, как обращаться с числами, которые меняются с течением времени, несомненно, является полезным навыком, и именно здесь проявляется важность изучения математического анализа. Конечно, мы не можем определить предел, поскольку X приближается к бесконечности. Тем не менее, мы определенно можем дать адекватную оценку суммы денег, которую следует откладывать на корм для кошек каждый день, и это позволит мне планировать свою жизнь так, чтобы я мог делать с деньгами все, что захочу.

    Иногда, когда мы говорим об обучении исчислению.Мы часто говорим о прекрасных возможностях трудоустройства, которые вы можете получить в результате. Но если студенты ненавидят вычисления, зачем им тратить на это всю жизнь.

    Может быть, если мы подойдем к этому с несколькими реальными результатами, студенты станут более восприимчивыми. Они могут даже перестать использовать старое доброе слово «какой цели это служит; Я все равно не собираюсь его использовать ».

    Навыки взаимозаменяемы, а время – нет. Итак, давайте научим наших детей кое-чему об исчислении.Поверьте, это не так уж и сложно, особенно если вы используете многочисленные инструменты, доступные сегодня, в том числе наш калькулятор оценок AP, уникальное приложение для помощи в расчетах, разработанное, чтобы научить студентов выявлять свои ошибки и исправлять их, чтобы создать прочную основу для их будущего обучения. .

    Исчисление не так сложно, как все думают. Сочетание проверенного подхода с непрерывной практикой может дать отличные результаты в освоении этого предмета. Итак, чтобы облегчить себе жизнь, вот как вы можете выучить математический анализ за 5 простых шагов:

    Начните с понимания основ математики

    Математика – это непрерывный процесс.Другими словами, это здание, в котором каждый блок необходим как фундамент для следующего. В результате вы не сможете начать заниматься математическим анализом, не разбираясь сначала в других частях математики, включая арифметику, алгебру, тригонометрию и геометрию. Хотите хороших новостей? Вам повезло, так как наш калькулятор вычислений может решать и другие математические задачи, что значительно упрощает занятия математикой в ​​целом.

    2. Изучение различных формул и операций

    Математика подчиняется фиксированному набору правил.Излишне говорить, что то же самое и с расчетом. Прежде чем приступить к практике, вам нужно сначала понять каждую формулу. Расшифруйте их один за другим и попытайтесь понять, как мы их вообще получили. Таким образом, вы не только будете готовы к задачам по исчислению, но также будете готовы к хитросплетениям и вопросам с подвохом.

    3. Освоить концепцию пределов

    Пределы являются фундаментальной частью исчисления. Собственно, они и лежат в основе этого предмета. Чтобы действительно справиться с ограничениями и их применением, вам необходимо попрактиковаться в решении проблем, упрощая сложные функции и разбивая их на более мелкие.Если вы застряли, не стесняйтесь прибегать к помощи нашего калькулятора.

    4. Понимание основной теоремы исчисления

    Первая теорема исчисления, также называемая первой фундаментальной теоремой исчисления, является важной частью этого предмета, над которой вам нужно серьезно поработать, чтобы добиться большого успеха в вашем путешествии по изучению математики.

    5. Практика, практика и практика!

    Практика ведет к совершенству. Если вы действительно хотите научиться правильному исчислению, вам нужно практиковаться в решении проблем ежедневно, поскольку это единственный способ совершенствоваться и становиться лучше.

    Начните с задач с производными, затем переходите к целым. Если вы обнаружите, что не можете преодолеть определенное препятствие, помните, что наш калькулятор здесь, чтобы вам помочь.

    По той или иной причине вы можете остро нуждаться в онлайн-калькуляторе. Будь то вы потеряли свой научный калькулятор, забыли его дома, не можете нанять репетитора и т. Д.

    Итак, мы рекомендуем использовать наш интуитивно понятный вспомогательный калькулятор, если:

    • Вам нужен калькулятор с шагами

    Давайте проясним здесь на мгновение; математика – это не получение правильного ответа на каждый вопрос, чтобы похвастаться перед одноклассниками, это обучение правильному процессу, который приводит к каждому результату или решению.К сожалению, стандартные научные калькуляторы не могут научить вас этому. Они запрограммированы только на то, чтобы дать вам правильный ответ, а все остальное вы должны выяснить сами. Знание результата, не требующее усилий, может показаться привлекательным, но на самом деле оно может нанести вред вашему прогрессу, так как самому трудно определить и исправить свои ошибки.

    Однако не паникуйте, поскольку наш калькулятор вычислений разработан, чтобы дать вам пошаговый процесс за каждым результатом. Таким образом вы не только получите правильный результат, но также сможете узнать свои недостатки и сосредоточиться на них, пока вы практикуетесь в решении проблем.

    • Вам нужно измерить площадь поверхности калькулятор исчисления

    Зачем использовать научный калькулятор для выполнения такой простой операции, как измерение площади поверхности, в то время как вы можете просто сделать это, следуя четким инструкциям в нашем приложении калькулятора?

    Да, верно. Наш инструмент не только решает любую проблему, с которой вы можете столкнуться, но он также может показать вам, как решить проблему, чтобы вы могли решить ее самостоятельно.

    • Вам необходимо использовать калькулятор онлайн

    Прошли те времена, когда инструмент всегда носили с собой.Сегодня все находится всего в нескольких щелчках мыши, так как практически любую задачу можно выполнить с помощью вашего смартфона или планшета. Итак, если вы ищете эффективное онлайн-приложение, которое можно было бы использовать для решения своих математических задач и проверки домашней работы, вы просто сорвали джекпот.

    • Вам нужен калькулятор AP Calculus BC

    Как и любой другой экзамен, вычисление AP требует подготовки и практики, и для них наше приложение является оптимальным калькулятором, поскольку оно может помочь вам определить свои ошибки и научиться правильно решать проблемы.

    • Вам нужен калькулятор Calculus 2

    Как упоминалось выше, научный калькулятор может быть слишком сложным в использовании, особенно если вы ищете определенные операции, например, операции исчисления 2. Разработчики имели это в виду, когда создавали калькулятор исчисления, и поэтому они предварительно загрузил в него несколько полезных примеров для каждой области исчисления.

    • Вам нужен калькулятор для бизнес-расчетов

    Представьте, что вы идете на встречу и тянете за собой громоздкий научный калькулятор, чтобы решить проблему или сделать простой расчет.Насколько это было бы непрофессионально? С помощью нашего приложения вы можете сохранить свой престиж, просматривая веб-страницу со своего смартфона незаметно для всех и удивляя всех своими навыками быстрого решения проблем. Мы не расскажем, не волнуйтесь.

    • Вам нужен калькулятор серии исчислений

    Калькулятор Mathway не только способен обрабатывать простые операции и уравнения, но также может решать ряды и другие сложные математические задачи.Итак, независимо от того, на каком уровне или в каком классе вы находитесь, мы вам поможем.

    • Вам нужен калькулятор дифференциального исчисления

    Дифференциальное исчисление может быть сложным разделом математики, и дифференциальные задачи может быть трудно решить с помощью обычного калькулятора, но не с помощью нашего приложения. Что делает наш калькулятор оптимизационного исчисления уникальным, так это тот факт, что он охватывает все подразделы исчисления, включая дифференциал. Поэтому не забывайте пользоваться его различными функциями, когда работаете над домашним заданием.

    Вы не ослышались. Математические задачи не всегда могут быть такими простыми, как нам хотелось бы. Даже удовольствие от испытания может быть потеряно со временем, поскольку задачи занимают слишком много времени и становятся утомительными. Всегда лучше, когда домашнее задание не сильно сказывается на ученике, так как это испортит радость от учебного процесса.

    К счастью, у нас может быть решение для этого – инструмент, который поможет справиться с более утомительными домашними заданиями. Его можно использовать для выявления слабых мест и работы над их преодолением, чтобы достичь лучшего уровня решения проблем, когда дело доходит до расчетов.Мы представляем бесплатный калькулятор очков AP Calculus BC для всех ваших математических задач.

    Как насчет инструмента для решения чего-либо, что может предложить ваша книга по математике? Справедливо? Это приложение нельзя сразу отвергать из-за того, что оно является бесплатным онлайн-сервисом, потому что, когда вы потратите время, чтобы попробовать, вы обнаружите, что оно может обеспечить то, чего вы ожидали, и многое другое. Чтобы дать вам более четкое представление, вы должны знать, что это приложение работает как:

    • Основная теорема вычислительного калькулятора
    • Основная теорема исчисления часть 1 калькулятор
    • Калькулятор интегрального исчисления
    • Калькулятор Ap исчисления ab
    • Калькулятор оптимизации расчетов
    • Калькулятор центра масс
    • Графический калькулятор Calculus
    • Калькулятор для расчета площади поверхности
    • Калькулятор по методу Ньютона
    • Калькулятор расчета средней скорости
    • Калькулятор с несколькими переменными
    • Калькулятор производной исчисления
    • Расчет длины дуги
    • И даже калькулятор предварительного расчета

    Разнообразие задач, в которых может помочь этот калькулятор, делает его одним из лучших вариантов среди всех других калькуляторов.Скажем так, как есть; это не калькулятор для исчисления, это лучший калькулятор для исчисления.

    Приложение действительно говорит само за себя. Если вы посмотрите на пользовательский интерфейс на нашей веб-странице, вы будете счастливы увидеть все знакомые символы, которые вы найдете на любом обычном калькуляторе. Что еще круто, так это то, что он поставляется с некоторыми другими функциями, добавленными исключительно командой, создавшей его.

    Обилие инструментов, доступных в распоряжении пользователя, – это все, о чем можно мечтать.У вас есть квадратные корни, скобки, дроби, абсолютное значение, равное или меньшее, трапеция, треугольник, прямоугольная пирамида, цилиндр и знак деления, чтобы назвать несколько – это лишь одна из причин, по которым это приложение является лучшим. калькулятор исчисления ap, который вы можете иметь.

    Будь то проверка результатов, тестирование решения или выполнение домашних заданий, это приложение всегда будет работать, поскольку оно было создано с целью обеспечения многофункциональности. Мы настоятельно рекомендуем вам открывать его всякий раз, когда у вас есть свободное время, чтобы проверить свои способности и улучшить себя в решении проблем.Его можно использовать где угодно на вашем смартфоне, и вам не нужно обязательно вводить свои собственные задачи по исчислению, поскольку он поставляется с библиотекой уже существующих

    Никому не потребуется много усилий, чтобы понять, как пользоваться калькулятором, но вам все равно нужно знать несколько вещей, конкретно относящихся к конструкции этого калькулятора и его расположению.

    Не волнуйтесь; Вам не нужно будет переходить на какую-либо другую веб-страницу в поисках руководства для этого приложения. У нас есть все, что вам нужно, и это немного.Вот несколько простых советов, которые следует знать перед началом работы:

    Перво-наперво вам нужно ввести математическое выражение, над которым вы хотите работать. Вы можете сделать это либо с помощью уже существующих примеров, либо с помощью входных символов.

    Теперь у вас есть кнопка «Показать», которая позволит вам проверить введенное вами выражение в понятном математическом формате. На случай, если у вас возникнут проблемы с этим, вы всегда будете иметь знак «?» кнопку для справки.

    Когда выражение введено, калькулятор автоматически попытается определить тип проблемы, с которой он имеет дело.Если он дает неправильное предложение, он может быть изменен пользователем вручную через интерфейс. Просто выберите нужный тип из раскрывающегося меню.

    Нажмите кнопку ответа, и программа сделает за вас вычисления.

    Наконец, когда у вас есть ответ, вы можете сравнить его с решением, которое вы пытались придумать, и найти области, в которых вы не смогли этого сделать. Это поможет вам избежать ошибок в будущем. Пошаговая функция доступна после регистрации в Mathway.Довольно просто, правда?

    Как бы мы ни хотели отдать должное этому чудесному приложению, мы всего лишь платформа, чтобы сделать его доступным для всех во всем мире. Калькулятор – плод кропотливой работы, проделанной в Mathway. Калькулятор уже сейчас отлично справляется с решением повседневных задач по математике. Но если вы действительно хотите получить максимальное удовольствие от использования приложения, вам следует зарегистрироваться в Mathway. Процесс ни в коем случае не утомительный; это просто быстрая и простая регистрация.Если вам меньше 18 лет, перед регистрацией получите одобрение родителей.

    Больше нечего сказать об этом приложении. Если вы хотите доказать свою ценность среди сверстников и учителей и думаете, что вам нужно дополнительное повышение, чтобы отточить свои навыки и достичь следующего уровня решения математических задач, то мы хотели бы предоставить вам лучший инструмент для этого. . Он бесплатный, простой в использовании и может многое предложить. Вы находитесь всего в одном клике от следующего важного фактора, который изменит правила игры, и от единственной помощи по расчетам в колледже, в которой вы когда-либо будете нуждаться.

    Онлайн-калькулятор лимитов Пошаговый (100% бесплатный)

    Лимитный калькулятор используется для оценки функций лимита по указанной переменной. Переменная может быть x, y, или z. Калькулятор пределов решает пределы с шагами и показывает каждый этап расчета.

    Ниже вы найдете определение пределов, способы их расчета без использования средства поиска пределов, формулу пределов и некоторые примеры для понимания пределов.

    Какие ограничения?

    Идея предела функции жизненно важна для изучения исчисления. Он используется при описании некоторых важных теорий в исчислении, таких как определенный интеграл функции, производная функции и непрерывность.

    Предел функции f (x) определяет поведение функции вблизи определенного значения x . По сути, он не обеспечивает значение функции x .

    lim⁡x → cf (x) = L−− \ lim_ {x \ rightarrow c} f (x) = L –limx → c f (x) = L−−

    Его можно читать как предел f x , поскольку x приближается к c равно L.

    Решатель пределов выше может оценивать как правые, так и левые пределы. Проверка, существует ли предел

    Чтобы проверить, существует ли предел для f (x) при x = a, , мы проверяем,

    Левый предел = Правый предел = f (a)

    Правило госпиталя

    Где,

    f (a) = 0

    g (a) = 0

    Тогда,

    Правило суммы пределов

    Правило произведения пределов

    Правило предельного отношения

    Правило предельной мощности

    Постоянное правило пределов

    Предел постоянной функции равен константе.

    Как оценить лимиты?

    Оценщик пределов разработан специально для оценки пределов. Но мы объясним ручной метод оценки пределов. Пример ниже иллюстрирует метод из справочника с пошаговыми инструкциями.

    Пример:
    Evluate:

    lim⁡x → cf (x) = L−− \ lim_ {x \ rightarrow c} f (x) = L –limx → c f (x) = L−−

    Решение:

    Шаг 1: Запишите значение. 2-5x + 2) limx → 2 (x3 + 2×2−5x + 2)

    Шаг 2: Примените функцию ограничения к каждому элементу.2) – 5 \ lim_ {x \ rightarrow 2} (x) + \ lim_ {x \ rightarrow 2} (x) + 2 –1limx → 2 (x3) + 2limx → 2 (x2) −5limx → 2 (X) + limx → 2 (x) + 2−−

    Вы можете использовать калькулятор правил l’hopital , приведенный выше, чтобы проверить ответ любой предельной функции.

    Вот график, построенный для указанной выше функции.

    Как решать мои математические задачи

    Когда студентов спрашивают о том, какой предмет они больше всего ненавидят, большинство из них ответят «Математика».В вычислении чисел, нахождении неизвестных и составлении графиков уравнений есть что-то, что учащиеся находят почти невозможным для понимания. Независимо от того, насколько они слушают учителя, учебные пособия, в которых объясняются пошаговые решения, изучают математические концепции и практикуются вне класса, кажется, что некоторые математические уравнения и неравенства просто невозможно решить.

    Но, конечно, всегда есть решение, если знать, где искать. В наши дни вы сделаете себе одолжение, уклоняясь от устаревших методов и обращаясь к службам помощи по математике в Интернете, чтобы сделать вашу математику более увлекательной, получив шаги и подробные инструкции.Возможно, вам не так весело решать математические задачи, как при изучении других предметов, по крайней мере, вам не придется бояться каждый раз, когда ваш учитель математики дает вам домашнее задание, и вы научитесь решать математические задачи.

    Как решать математические задачи

    Один из лучших способов начать работу – это познакомиться с некоторыми из самых полезных математических калькуляторов. В цифровую эпоху эти веб-калькуляторы постепенно заменяют свои портативные аналоги.Теперь у вас есть возможность решать сложные уравнения всего за несколько кликов. И что самое приятное, вам будет предоставлено пошаговое объяснение того, как решается проблема, так что вы будете знать, что делать во время экзамена.

    Вот краткое изложение лучших приложений-калькуляторов, которые должны быть в вашем арсенале:

    1) Калькулятор пределов

    Иногда бывает трудно понять математические концепции, если вы не понимаете определения наиболее распространенных используемых терминов. Например, слово «предел» определяется как граница, за которую не может выйти количество, идея или вещь.Во время движения ваша скорость не должна превышать установленную. В математике понятие предела практически такое же. Но если быть более точным, термин «предел» в математических терминах говорит о том, что происходит, когда вы приближаетесь к условию или границе. Минимальные и максимальные значения здесь не главное. Фактически, эти значения могут быть абстрактными в математической концепции предела.

    Калькулятор пределов – полезный инструмент для вычисления предела заданной функции в заданной точке.Лучше всего использовать калькулятор, который поддерживает как односторонние, так и двусторонние ограничения. Просто подключив функцию ввода и ограничение, вы получите решение своей проблемы в кратчайшие сроки.

    Калькуляторы лимита можно найти по адресу:

    2) Калькулятор производных

    В математике термин производная означает скорость изменения функции по отношению к переменной. Производные играют важную роль в решении задач исчисления и дифференциальных уравнений, включая поиск локальных экстремумов, решение задач оптимизации, поиск точек перегиба и описание движения объектов.Геометрически вы можете интерпретировать производную функции в точке как наклон касательной к этому графику функции в этой точке, это также предел отношения изменения y к изменению x как изменение x стремится к нулю.

    Все это может быстро запутать, но вы можете сделать вещи более управляемыми, используя калькулятор производных. Он позволяет вычислять производную функции по переменной, используя пошаговые решения. Если вам нужно вычислить производную многочлена, общие производные, производные сумм, производные разностей, производные продуктов или цепочку производных правил, калькулятор производных окажется удобным инструментом.

    Производные калькуляторы можно найти по адресу:

    3) Графический калькулятор

    Если у вас когда-либо было задание по математике, требующее построения графиков для сложных уравнений, то вы знаете, насколько это сложно. К счастью, вы можете использовать графический калькулятор, чтобы ускорить процесс. Это устройство более мощное, чем базовый калькулятор, позволяя обрабатывать несколько уравнений, выполнять более сложные вычисления и отображать результаты на графике, такие как параболы.

    Графические калькуляторы впервые появились в 1980-х годах.Сегодня вы можете пользоваться теми же функциями и возможностями, просто используя онлайн-программу для решения математических задач. Многие графические калькуляторы на базе Интернета позволяют учащимся составлять графики сложных уравнений одним щелчком мыши. Что еще более впечатляюще, вы можете получить учебное пособие, которое расскажет вам точные шаги, чтобы прийти к правильному решению. Большинство графических калькуляторов теперь предоставляют учебные пособия для различных типов алгебраических задач, включая квадратные уравнения, линейные уравнения, линейные неравенства и одновременные уравнения.

    Графические калькуляторы можно найти по адресу:

    4) Калькулятор алгебры

    Для многих студентов первым серьезным препятствием на пути к математике является алгебра. Это знаменует собой то время, когда вам нужно думать не только об основных операциях, но и изучать способы решения основных уравнений. Но даже самые простые уравнения могут оказаться непростыми. Хорошей новостью является то, что вы можете использовать калькулятор алгебры, чтобы быстро решать уравнения и понимать все шаги, поэтому вы знаете, как прийти к решению самостоятельно.

    Независимо от того, какая у вас задача по алгебре, этот калькулятор даст ответ, который вы ищете. Просто введите проблему в текстовое поле, нажмите «Рассчитать» и просмотрите руководство по расчетам. Прежде чем вы это узнаете, у вас будет рабочее понимание того, как решать даже сложные уравнения.

    Вы всегда можете обратиться к калькулятору алгебры , чтобы быстро проверить свое домашнее задание по математике по адресу:

    5) Фотоматематический калькулятор

    Photomath – это самое популярное приложение для решения математических задач со словами – и на то есть веская причина! Это приложение использует дополненную реальность, позволяя вам просто навести камеру мобильного устройства на лист бумаги с любой арифметической задачей, и оно немедленно найдет решение.На данный момент приложение работает только с печатными задачами, а это означает, что вам нужно сначала распечатать математическое задание, прежде чем вы сможете успешно использовать приложение. Это небольшая плата за все преимущества калькулятора Photomath.

    Помимо решения проблемы, приложение показывает решения на вашем устройстве. Щелчок по «Шагам» дает подробное объяснение того, как решается проблема. Существует также журнал истории, в котором хранятся все решенные уравнения, что позволяет вам просматривать их в любое время.

    Несомненно, Photomath незаменим для любого студента, который хочет получить более высокие оценки по математике. Он бесплатный для Android и iOS, поэтому нет причин не попробовать его.

    6) Калькуляторы, встроенные в операционные системы

    В Windows 7, 8, 10 калькулятор имеет стандартный, научный, программный, статистический режимы. И, безусловно, есть выход для пользователей Mac .

    7) Прочие калькуляторы

    Существуют калькуляторы для конкретных расчетов.

    Калькуляторы комплексных чисел
    Статистические калькуляторы
    Интегральные калькуляторы
    Калькулятор треугольников
    Финансовые калькуляторы
    Обыкновенные дифференциальные уравнения
    Калькуляторы линейной алгебры
    Калькуляторы линейного программирования
    Калькуляторы для численных методов
    Логические калькуляторы

    Какие услуги могут помочь мне в решении математических задач

    Теперь, когда вы знаете самые полезные приложения-калькуляторы, вы, вероятно, меньше беспокоитесь о выполнении своих математических заданий.Но что бы вы делали в то время, когда у вас практически нет времени уделять домашнее задание? Практически все студенты в тот или иной момент окажутся в этой ситуации, поэтому стоит подготовиться заранее.

    Лучше всего нанять настоящих экспертов по математике, которые сделают за вас домашнее задание. Это дает те же преимущества, что и упомянутые математические калькуляторы, но не поднимая пальца самостоятельно. Каким бы ни было ваше домашнее задание по математике, вы можете отдыхать спокойно, зная, что есть эксперт, который может сделать ваше домашнее задание и выполнить его вовремя.

    Помимо очевидного преимущества скорости и удобства, вы также можете узнать об уроках математики прямо от профессионалов. Вам будет предоставлено подробное руководство, в котором вы сможете шаг за шагом изучить решения. Это гарантирует, что вы не останетесь в неведении, помогая решать математические задачи, если вы столкнетесь с ними на экзаменах.

    Единственное, что осталось сделать, – это обратиться к Эксперту по заданиям за лучшей службой поддержки домашних заданий по математике . Убедитесь сами, как им за эти годы удалось получить 98% удовлетворенности от своих клиентов.AssignmentExpert.com – это веб-сайт, который решает любые математические задачи, и здесь вы даже можете бесплатно получить ответы на домашние задания по математике.

    Исчисление I (практические задачи)

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Вот набор практических задач для заметок по исчислению I.Щелкните ссылку « Solution » для каждой проблемы, чтобы перейти на страницу, содержащую решение.

    Обратите внимание, что в некоторых разделах будет больше проблем, чем в других, а в некоторых будет более или менее разнообразных проблем. Большинство разделов должны иметь различные уровни сложности задач, хотя они будут варьироваться от раздела к разделу.

    Вот список разделов, для которых были написаны практические задачи, а также краткое описание материала, содержащегося в примечаниях к этому конкретному разделу.

    Обзор – в этой главе мы даем краткий обзор избранных тем из алгебры и триггера, которые жизненно важны для продолжения курса математического анализа. Включены функции, триггерные функции, решение триггерных уравнений и уравнений, экспоненциальные / логарифмические функции и решение экспоненциальных / логарифмических уравнений. Функции – в этом разделе мы рассмотрим обозначение / оценку функций, определение области и диапазона функции и композиции функции.
    Обратные функции – В этом разделе мы определим обратную функцию и обозначение, используемое для обратных функций.Мы также обсудим процесс поиска обратной функции.
    Триггерные функции – В этом разделе мы дадим краткий обзор триггерных функций. Мы рассмотрим основные обозначения, отношения между триггерами, определение триггерных функций в виде прямоугольного треугольника. Мы также рассмотрим оценку триггерных функций, а также единичный круг (одна из самых важных идей из триггерного класса!) И то, как его можно использовать для оценки триггерных функций.
    Решение триггерных уравнений – В этом разделе мы обсудим, как решать триггерные уравнения.Все ответы на уравнения в этом разделе будут одним из «стандартных» углов, которые большинство студентов запомнили после занятия триггером. Однако процесс, используемый здесь, можно использовать для любого ответа, независимо от того, является ли он одним из стандартных углов или нет.
    Решение триггерных уравнений с помощью калькуляторов, часть I. В этом разделе мы обсудим решение триггерных уравнений, когда ответ (как правило) потребует использования калькулятора (, то есть , это не один из стандартных углов). Обратите внимание, однако, что процесс, используемый здесь, идентичен тому, когда ответ представляет собой один из стандартных углов.Единственная разница в том, что ответы здесь могут быть немного запутанными из-за необходимости калькулятора. Включено краткое обсуждение обратных триггерных функций.
    Решение триггерных уравнений с помощью калькуляторов, часть II – В этом разделе мы продолжим обсуждение решения триггерных уравнений, когда для получения ответа необходим калькулятор. Уравнения в этом разделе, как правило, немного сложнее, чем «нормальное» тригонометрическое уравнение, и не всегда охватываются тригонометрическим классом.
    Экспоненциальные функции – В этом разделе мы обсудим экспоненциальные функции.{x} \), а также свойства и графики экспоненциальных функций.
    Логарифмические функции – В этом разделе мы обсудим функции логарифма, вычисление логарифмов и их свойства. Мы обсудим многие из основных манипуляций с логарифмами, которые обычно происходят в классах исчисления (и выше). Включено обсуждение натурального (\ (\ ln (x) \)) и десятичного логарифма (\ (\ log (x) \)), а также изменения базовой формулы.
    Экспоненциальные и логарифмические уравнения – в этом разделе мы обсудим различные методы решения уравнений, которые включают экспоненциальные или логарифмические функции.
    Common Graphs – В этом разделе мы сделаем очень быстрый обзор многих наиболее распространенных функций и их графиков, которые обычно появляются в классе Calculus.
    Пределы – В этой главе мы вводим понятие ограничений. Мы обсудим интерпретацию / значение предела, способы оценки пределов, определение и оценку односторонних пределов, оценку бесконечных пределов, оценку пределов на бесконечности, непрерывность и теорему о промежуточном значении. Мы также дадим краткое введение в точное определение лимита и как его использовать для оценки лимитов. Касательные линии и скорость изменения – в этом разделе мы представим две проблемы, которые мы будем видеть снова и снова в этом курсе: скорость изменения функции и касательные линии к функциям.Обе эти проблемы будут использоваться для введения концепции пределов, хотя мы не будем формально давать определение или обозначения до следующего раздела.
    Предел – В этом разделе мы введем обозначение лимита. Мы также концептуально рассмотрим ограничения и попытаемся понять, что они собой представляют и что они могут нам сказать. Мы будем оценивать значение ограничений в этом разделе, чтобы помочь нам понять, что они нам говорят. Фактически мы начнем вычислять ограничения в нескольких разделах.
    Односторонние ограничения – В этом разделе мы познакомимся с концепцией односторонних ограничений. Мы обсудим различия между односторонними пределами и лимитами, а также то, как они связаны друг с другом.
    Свойства пределов – в этом разделе мы обсудим свойства пределов, которые нам нужно будет использовать при вычислении пределов (в отличие от их оценки, как мы делали до этого момента). В этом разделе мы также вычислим несколько основных ограничений. Пределы вычислений
    – В этом разделе мы рассмотрим несколько типов ограничений, которые требуют некоторой работы, прежде чем мы сможем использовать свойства limit для их вычисления.Мы также рассмотрим вычисление пределов кусочных функций и использование теоремы сжатия для вычисления некоторых пределов.
    Бесконечные пределы – в этом разделе мы рассмотрим пределы, которые имеют значение бесконечности или отрицательной бесконечности. Мы также кратко рассмотрим вертикальные асимптоты.
    Пределы на бесконечности, часть I. В этом разделе мы начнем рассматривать пределы на бесконечности, , то есть пределы , в которых переменная становится очень большой в положительном или отрицательном смысле. В этом разделе мы сосредоточимся на многочленах и рациональных выражениях.Мы также кратко рассмотрим горизонтальные асимптоты.
    Пределы на бесконечности, часть II – В этом разделе мы продолжим рассматривать пределы на бесконечности. В этом разделе мы рассмотрим экспоненты, логарифмы и арктангенсы.
    Непрерывность – В этом разделе мы познакомимся с концепцией непрерывности и ее отношением к ограничениям. В этом разделе мы также увидим теорему о промежуточном значении и то, как ее можно использовать, чтобы определить, есть ли у функций решения в заданном интервале.
    Определение предела – В этом разделе мы дадим точное определение некоторых ограничений, рассматриваемых в этом разделе.Мы рассмотрим несколько основных примеров, иллюстрирующих, как использовать это точное определение для вычисления предела. Мы также дадим точное определение непрерывности.

    Деривативы – В этой главе мы представляем Деривативы. Мы охватываем стандартные формулы производных, включая правило произведения, правило частного и правило цепочки, а также производные многочленов, корни, триггерные функции, обратные триггерные функции, гиперболические функции, экспоненциальные функции и функции логарифма. Мы также рассматриваем неявное дифференцирование, связанные ставки, производные более высокого порядка и логарифмическое дифференцирование.Определение производной – в этом разделе мы определяем производную, даем различные обозначения для производной и решаем несколько задач, демонстрирующих, как использовать определение производной для фактического вычисления производной функции.
    Интерпретация производного инструмента – В этом разделе мы даем несколько наиболее важных интерпретаций производного инструмента. Мы обсуждаем скорость изменения функции, скорость движущегося объекта и наклон касательной к графику функции.
    Формулы дифференцирования – В этом разделе мы даем большинство общих формул производных и свойств, используемых при взятии производной функции. Примеры в этом разделе в основном посвящены многочленам, корням и более общим переменным в степенях.
    Правило произведения и частного. В этом разделе мы дадим две наиболее важные формулы для дифференцирования функций. Мы обсудим правило продукта и правило частного, позволяющее различать функции, которые до этого момента мы не могли различать.
    Производные триггерных функций – в этом разделе мы обсудим дифференцирование триггерных функций. Даны производные всех шести триггерных функций, и мы показываем, как производные от \ (\ sin (x) \) и \ (\ tan (x) \).
    Производные от экспоненциальных и логарифмических функций – В этом разделе мы выводим формулы для производных от экспоненциальных и логарифмических функций.
    Производные обратных триггерных функций – В этом разделе мы даем производные всех шести обратных триггерных функций.Мы показываем вывод формул для обратного синуса, обратного косинуса и арктангенса.
    Производные гиперболических функций – В этом разделе мы определяем гиперболические функции, приводим отношения между ними и некоторые основные факты, касающиеся гиперболических функций. Мы также даем производные каждой из шести гиперболических функций и показываем вывод формулы для гиперболического синуса.
    Цепное правило – в этом разделе мы обсуждаем одну из наиболее полезных и важных формул дифференцирования – Цепное правило.Имея в руках цепное правило, мы сможем различать гораздо более широкий спектр функций. Как вы увидите в остальных курсах обучения математике, многие производные инструменты, которые вы изучаете, будут включать правило цепочки!
    Неявная дифференциация – в этом разделе мы обсудим неявную дифференциацию. Не каждую функцию можно явно записать в терминах независимой переменной, например y = f (x), но нам все равно нужно знать, что такое f ‘(x). Неявное дифференцирование позволит нам найти производную в этих случаях.Знание неявной дифференциации позволит нам сделать одно из наиболее важных приложений деривативов, связанных курсов (следующий раздел).
    Связанные ставки – В этом разделе мы обсудим единственное применение деривативов в этом разделе, Связанные ставки. В задачах связанных скоростей нам задают скорость изменения одной величины в задаче и просят определить скорость одной (или нескольких) величин в задаче. Часто это один из самых сложных разделов для студентов. В этом разделе мы прорабатываем довольно много проблем, поэтому, надеюсь, к концу этого раздела вы получите хорошее представление о том, как эти проблемы работают.
    Производные высшего порядка – в этом разделе мы определяем концепцию производных высшего порядка и даем быстрое применение производной второго порядка и показываем, как неявное дифференцирование работает для производных более высокого порядка.
    Логарифмическое дифференцирование – В этом разделе мы обсудим логарифмическое дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование дает альтернативный метод дифференцирования продуктов и частных (иногда проще, чем использование правила продукта и частного). Однако более важным является тот факт, что логарифмическое дифференцирование позволяет нам различать функции, которые находятся в форме одной функции, возведенной в другую функцию, i.е. есть переменные как в основании, так и в экспоненте функции.

    Применение производных финансовых инструментов – В этой главе мы рассмотрим многие из основных приложений производных финансовых инструментов. Включенные приложения включают определение абсолютных и относительных минимальных и максимальных значений функции (как с ограничениями, так и без них), построение эскиза графика функции без использования вычислительной помощи, определение линейного приближения функции, правило L’Hospital (позволяющее вычислить некоторые ограничения, которые мы не могли до этого сделать), метод Ньютона (позволяющий приближать решения уравнений), а также несколько основных бизнес-приложений.Темпы изменения – в этом разделе мы рассмотрим основное применение / интерпретацию производных финансовых инструментов из предыдущей главы (то есть скорости изменения), которые мы будем использовать во многих приложениях в этой главе.
    Критические точки – В этом разделе мы даем определение критических точек. Критические моменты будут обнаружены в большинстве разделов этой главы, поэтому будет важно понять их и как их найти. Мы проработаем ряд примеров, иллюстрирующих, как их найти для самых разных функций.
    Минимальные и максимальные значения – в этом разделе мы определяем абсолютные (или глобальные) минимальные и максимальные значения функции и относительные (или локальные) минимальные и максимальные значения функции. Важно понимать разницу между двумя типами минимальных / максимальных (вместе называемых экстремумами) значений для многих приложений в этой главе, поэтому мы используем множество примеров, чтобы помочь в этом. Мы также приводим теорему об экстремальном значении и теорему Ферма, которые очень важны для многих приложений, которые мы увидим в этой главе.
    Поиск абсолютных экстремумов – В этом разделе мы обсуждаем, как найти абсолютные (или глобальные) минимальное и максимальное значения функции. Другими словами, мы будем находить наибольшее и наименьшее значения, которые будет иметь функция.
    Форма графика, часть I. В этом разделе мы обсудим, что первая производная функции может рассказать нам о графике функции. Первая производная позволит нам определить относительные (или локальные) минимальное и максимальное значения функции, а также то, где функция будет увеличиваться и уменьшаться.Мы также проведем тест Первой производной, который позволит нам классифицировать критические точки как относительные минимумы, относительные максимумы или ни минимум, ни максимум.
    Форма графика, часть II – В этом разделе мы обсудим, что вторая производная функции может сказать нам о графике функции. Вторая производная позволит нам определить, где график функции вогнут вверх и вогнут вниз. Вторая производная также позволит нам идентифицировать любые точки перегиба (т.е. где изменяется вогнутость), которую может иметь функция. Мы также дадим второй тест производной, который даст альтернативный метод для определения некоторых критических точек (но не всех) как относительных минимумов или относительных максимумов.
    Теорема о среднем значении – В этом разделе мы дадим теорему Ролля и теорему о среднем значении. С помощью теоремы о среднем значении мы докажем пару очень хороших фактов, один из которых будет очень полезен в следующей главе.
    Проблемы оптимизации – в этом разделе мы будем определять абсолютный минимум и / или максимум функции, которая зависит от двух переменных с учетом некоторого ограничения или отношения, которому эти две переменные всегда должны удовлетворять.Мы обсудим несколько методов определения абсолютного минимума или максимума функции. Примеры в этом разделе, как правило, сосредоточены вокруг геометрических объектов, таких как квадраты, квадраты, цилиндры и т. Д.
    Дополнительные проблемы оптимизации – В этом разделе мы продолжим работу с проблемами оптимизации. Примеры в этом разделе, как правило, немного сложнее и часто включают ситуации, которые легче описать с помощью наброска, в отличие от «простых» геометрических объектов, которые мы рассматривали в предыдущем разделе.
    Правило и неопределенные формы L’Hospital – В этом разделе мы еще раз рассмотрим неопределенные формы и ограничения и рассмотрим правила L’Hospital. Правило L’Hospital позволит нам оценить некоторые ограничения, которые мы не могли установить ранее.
    Линейные приближения – в этом разделе мы обсуждаем использование производной для вычисления линейного приближения к функции. Мы можем использовать лиенарную аппроксимацию функции для аппроксимации значений функции в определенных точках. Хотя это может показаться бесполезным, когда у нас есть функция, на самом деле есть причины, по которым кто-то может захотеть это сделать.Мы приводим два способа, которыми это может быть полезно в примерах.
    Дифференциалы – В этом разделе мы вычислим дифференциал для функции. В этом разделе мы дадим применение дифференциалов. Однако об одном из наиболее важных применений дифференциалов мы поговорим в следующей главе, и, к сожалению, мы не сможем обсуждать его до тех пор.
    Метод Ньютона – В этом разделе мы обсудим метод Ньютона. Метод Ньютона – это применение производных, позволяющее приближать решения уравнения.Есть много уравнений, которые нельзя решить напрямую, и с помощью этого метода мы можем получить приближения к решениям многих из этих уравнений.
    Business Applications – В этом разделе мы кратко обсудим некоторые основные приложения производных финансовых инструментов в сфере бизнеса. Мы вернемся к поиску максимального и / или минимального значения функции и определим функцию предельных затрат, среднюю стоимость, функцию дохода, функцию предельного дохода и функцию предельной прибыли.Обратите внимание, что этот раздел предназначен только для ознакомления с этими концепциями, а не для обучения вас всему о них.

    Интегралы – В этой главе мы дадим введение в определенные и неопределенные интегралы. Мы обсудим определение и свойства каждого типа интеграла, а также способы их вычисления, включая правило подстановки. Мы дадим основную теорему исчисления, показывающую связь между производными и интегралами. Мы также обсудим проблему площади, важную интерпретацию определенного интеграла.Неопределенные интегралы – в этом разделе мы начнем главу с определения и свойств неопределенных интегралов. В этом разделе мы не будем вычислять много неопределенных интегралов. Этот раздел посвящен простому определению того, что такое неопределенный интеграл, и описанию многих свойств неопределенного интеграла. Фактически вычисление неопределенных интегралов начнется в следующем разделе.
    Вычисление неопределенных интегралов – В этом разделе мы вычислим некоторые неопределенные интегралы.Интегралы в этом разделе, как правило, будут такими, которые не требуют большого количества манипуляций с функцией, которую мы интегрируем, чтобы фактически вычислить интеграл. Как мы увидим в следующем разделе, многие интегралы действительно требуют некоторых манипуляций с функцией, прежде чем мы действительно сможем выполнить интеграл. Мы также кратко рассмотрим применение неопределенных интегралов.
    Правило замещения для неопределенных интегралов – в этом разделе мы начнем использовать один из наиболее распространенных и полезных методов интеграции – правило замещения.С помощью правила подстановки мы сможем интегрировать более широкий спектр функций. Все интегралы в этом разделе потребуют некоторых манипуляций с функцией перед интегрированием, в отличие от большинства интегралов из предыдущего раздела, где все, что нам действительно нужно, это основные формулы интегрирования.
    Дополнительные правила замены – в этом разделе мы продолжим рассмотрение правила замены. Проблемы в этом разделе, как правило, будут немного сложнее, чем в предыдущем разделе.
    Проблема с областью – В этом разделе мы начнем с мотивации определенных интегралов и дадим одну из интерпретаций определенных интегралов. Мы будем аппроксимировать площадь, которая находится между функцией и осью \ (x \). Как мы увидим в следующем разделе, эта проблема приведет нас к определению определенного интеграла и будет одной из основных интерпретаций определенного интеграла, которую мы рассмотрим в этом материале.
    Определение определенного интеграла – В этом разделе мы формально определим определенный интеграл, дадим многие из его свойств и обсудим несколько интерпретаций определенного интеграла.Мы также рассмотрим первую часть фундаментальной теоремы исчисления, которая показывает очень тесную взаимосвязь между производными и интегралами.
    Вычисление определенных интегралов – В этом разделе мы рассмотрим вторую часть фундаментальной теоремы исчисления. Это покажет нам, как мы вычисляем определенные интегралы без использования (часто очень неприятного) определения. Все примеры в этом разделе могут быть выполнены с базовыми знаниями неопределенных интегралов и не требуют использования правила подстановки.В примеры этого раздела включены вычисления определенных интегралов от кусочных и абсолютных функций.
    Правило подстановки для определенных интегралов – В этом разделе мы еще раз рассмотрим правило подстановки, поскольку оно применяется к определенным интегралам. Единственные реальные требования к умению выполнять примеры в этом разделе – это умение выполнять правило замены для неопределенных интегралов и понимание того, как вычислять определенные интегралы в целом.

    Приложения интегралов – В этой главе мы рассмотрим некоторые приложения интегралов.Мы рассмотрим среднее значение функции, площадь между кривыми, объем (как твердые тела вращения, так и другие твердые тела) и работу. Среднее значение функции – в этом разделе мы рассмотрим использование определенных интегралов для определения среднего значения функции на интервале. Мы также дадим теорему о среднем значении для интегралов.
    Площадь между кривыми – в этом разделе мы рассмотрим одно из основных применений определенных интегралов в этой главе. Определим площадь области, ограниченную двумя кривыми.
    Объемы тел вращения / Метод колец – В этом разделе, первом из двух разделов, посвященных нахождению объема тела вращения, мы рассмотрим метод колец / дисков, чтобы найти объем объекта, который мы получаем. путем вращения области, ограниченной двумя кривыми (одна из которых может быть осью \ (x \) или \ (y \)) вокруг вертикальной или горизонтальной оси вращения.
    Объемы тел вращения / Метод цилиндров – В этом разделе, втором из двух разделов, посвященных нахождению объема тела вращения, мы рассмотрим метод цилиндров / оболочек, чтобы найти объем объекта, который мы получаем. путем вращения области, ограниченной двумя кривыми (одна из которых может быть осью \ (x \) или \ (y \)) вокруг вертикальной или горизонтальной оси вращения.
    Еще проблемы с объемом – В предыдущих двух разделах мы рассматривали твердые тела, которые можно было найти, рассматривая их как твердые тела вращения. Не все твердые тела можно рассматривать как тела вращения, и, фактически, не со всеми телами вращения можно легко справиться, используя методы из предыдущих двух разделов. Итак, в этом разделе мы рассмотрим определение объема некоторых твердых тел, которые либо не являются телами вращения, либо их нелегко определить как твердые тела вращения.
    Работа – В этом разделе мы рассмотрим определение объема работы, необходимой для перемещения объекта, подверженного действию силы, на заданное расстояние.

    8 лучших математических приложений для Android

    Множество доступных сегодня приложений может потребовать длительного процесса проб и ошибок, чтобы найти подходящее приложение. Чтобы помочь, мы собрали 8 наших лучших математических приложений для Android.

    Математика может быть заведомо сложным предметом, поэтому, если учащийся может решить задачу, не прилагая усилий, это может стимулировать лучшие из них в процессе обучения. К счастью, есть несколько отличных математических приложений, предназначенных для объяснения и изучения различных методов, позволяющих понять сложность вычислений, уловок тригонометрии и головоломок в Pythagoras.

    Мы изучили некоторые из лучших математических приложений для устройств Android и выбрали те, которые, несомненно, сделают решение проблем интересным и легким для понимания, охватывая приложения для всех возрастных групп. От основ до серьезного построения графиков и многого другого !.

    Наши лучшие математические приложения для Android:

    1. MalMath

    Это приложение, которое берет математические задачи и решает их с подробными инструкциями, помогая студентам переходить от задачи к ответу к пониманию с помощью простых, хорошо объясненных шагов.Одна из лучших особенностей бесплатного приложения – мощные возможности автономного режима, то есть учащиеся могут продолжать учиться, не беспокоясь о том, что у них нет Интернета.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    2. GeoGebra Classic

    Он занимается геометрией, электронными таблицами, цифровой алгеброй и вероятностью и аккуратно объединяет их в простой, удобный для пользователя пакет. Основное внимание в этом приложении уделяется графикам, которые позволяют учащимся наносить координаты и практически анализировать точки на декартовой плоскости.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    3. Графический калькулятор Mathlab

    Вы знаете эти громоздкие графические калькуляторы, которые всегда есть в школьном списке? С приложением Graphing Calculator они больше не являются необходимыми расходами. Умное приложение Mathlab объединяет технологию научного графического калькулятора и объединяет алгебру в простой в использовании инструмент, совместимый практически с любым устройством Android.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    4. Photomath

    Photomath – отличное приложение для Android, которое помогает объяснять сложные математические наборы, охватывая диапазон от базовой математики до исчисления и тригонометрии. Он использует камеру смартфона, направленную на математическую задачу, анализирует информацию и дает подробные пошаговые ответы и объяснения. Это бесплатный инструмент, который обладает фантастической функциональностью, позволяющей работать в автономном режиме при использовании базовой базовой службы.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    5. Мозг

    «Студентам. Студентами ». Это девиз этого фильма, и он верен! Это приложение, в котором социальные сети сочетаются с математической поддержкой, чтобы предложить удобную платформу, где учащиеся могут задавать вопросы о своих заданиях по математике, а другие учащиеся могут помочь с ответами. Студентам это нравится, потому что в нем есть социальный аспект, а учителя ценят то, что он предлагает студентам форум для углубления собственного обучения, обучая других.Поскольку это бесплатное приложение, служба поддержки также очень позитивна: агенты готовы помочь в случае возникновения проблемы.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    6. Komodo Maths

    Это приложение предназначено для семей и детей младшего школьного возраста. Разработанный учителями, Komodo стремится создать прочную основу математики с помощью индивидуальных планов, составленных квалифицированными учителями. Благодаря игровым механизмам вознаграждений изучение математики становится увлекательным занятием и избавляет от проблем! Комодо также фокусируется на фундаментальном понимании, чтобы дети усвоили основы, прежде чем они перейдут к более сложным математическим задачам.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    7. Ракетная математика

    Запуск детей к успеху, Rocket Math – это забавное приложение, в основе которого лежит развлечение. Подход, основанный на играх, предлагает детям фантастический способ быстро выучить математику, не расстраиваясь, если они сталкиваются с препятствием при решении задачи. Благодаря простой механике это простое в использовании приложение, которое помогает учащимся оттачивать и углублять свои математические навыки.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    8. Вундеркинд

    Еще одно забавное приложение, которое пробуждает азарт в обучении. Это бесплатная игра по математике, основанная на фэнтези, для детей, где они могут практиковать основы. Одной из лучших функций этого приложения является система отчетности, позволяющая учителям и родителям легко определять области, с которыми сталкивается учащийся, и ориентироваться в них. Приложение, ориентированное на учащихся начальных классов, предлагает широкий спектр уровней навыков в приложении, согласованном с учебной программой, что делает его подходящим для 1-8 классов.

    [vcex_divider color = “# dddddd” width = “100%” height = “1px” margin_top = “20” margin_bottom = “20”]

    Мы надеемся, что эта статья помогла вам найти еще несколько и получить представление о лучших математических приложениях, доступных для Android.

    Используете устройства Android в классе?

    Mobile Guardian упростит управление ими. Наши простые в использовании инструменты позволяют учителям управлять своим цифровым классом, устранять отвлекающие факторы и повышать концентрацию учащихся. Чтобы узнать больше о Mobile Guardian, подпишитесь на бесплатную 14-дневную пробную версию или посетите нашу страницу Mobile Guardian для школ, чтобы узнать больше.

    OpenSolver for Excel – Решатель оптимизации с открытым исходным кодом для Excel

    OpenSolver использует механизм оптимизации COIN-OR CBC

    Добро пожаловать в OpenSolver , линейный, целочисленный и нелинейный оптимизатор с открытым исходным кодом для Microsoft Excel.

    Для загрузки доступна последняя стабильная версия , OpenSolver 2.9.3 (1 марта 2020 г.); это добавляет поддержку использования Gurobi 9.0 в качестве решателя. Версия OpenSolver 2.9.4 Beta Release теперь также доступна для загрузки.Обратитесь к блогу о выпуске, чтобы узнать о новых улучшениях 2.7, 2.8, 2.8.3, 2.8.4, 2.8.5, 2.8.6, 2.9.0, 2.9.3 и 2.9.4. Просмотреть все выпуски.

    OpenSolver также доступен для Google Sheets

    OpenSolver для Google Sheets ; см. нашу специальную страницу OpenSolver для Google Sheets для получения дополнительной информации о версиях OpenSolver для Google Sheets.

    COIN-OR Cup Победитель: Мы рады сообщить, что OpenSolver стал победителем конкурса INFORMS COIN-OR Cup 2011, спонсируемого IBM.Спасибо, COIN-OR, за эту честь.

    OpenSolver – это надстройка Excel VBA, которая расширяет встроенный решатель Excel более мощными решателями. Он разработан и поддерживается Эндрю Мэйсоном и студентами факультета технических наук Оклендского университета, Новая Зеландия. Последние разработки любезно предоставлены Джеком Данном из Массачусетского технологического института.

    OpenSolver предоставляет следующие возможности:

    • OpenSolver предлагает ряд решателей для использования в Excel, включая превосходный механизм оптимизации COIN-OR CBC с открытым исходным кодом, который может быстро решать большие линейные и целочисленные задачи.
    • Совместим с вашими существующими моделями Solver, поэтому нет необходимости изменять ваши электронные таблицы
    • Никаких искусственных ограничений на размер задачи, которую вы можете решить – используйте столько переменных и ограничений, сколько позволяет память вашего компьютера (но имейте в виду, что большие проблемы могут быть медленными для решения)
    • OpenSolver – бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом.

    Помимо замены механизмов оптимизации, OpenSolver предлагает:

    • Встроенный визуализатор модели, который выделяет переменные решения, цель и ограничения вашей модели прямо в вашей электронной таблице
    • Быстрый режим QuickSolve, который значительно ускоряет повторное решение вашей модели после внесения изменений
    • Алгоритм построения и обновления модели только с использованием информации, представленной на листе
    • Инструмент моделирования, который, по нашему мнению, улучшает встроенное окно решателя

    OpenSolver был разработан для Excel 2007/2010/2013/2016 (включая 64-разрядные версии), работающего в Windows, и поддерживает Excel для Mac 2011 в Mac OS X с ограниченной поддержкой Excel для Mac 2016.В настоящее время мы тестируем Excel 2010/2013/2016 в Windows 7 и Windows 10 и Excel 2011/2016 в OS X 10.7–10.11. Обратите внимание, что мы не сравниваем наш код с другими версиями Excel или Windows / Mac, кроме этих. Это означает, что мы не можем гарантировать, что последний выпуск будет работать со старыми версиями. Однако, пожалуйста, дайте нам знать о любых проблемах, чтобы мы могли их исправить.

    Вы можете загрузить OpenSolver.zip (который размещен на нашем сайте Open Solver Source Forge). Детали версии (и даты обновлений) показаны на странице блога.

    SolverStudio – это бесплатная альтернатива OpenSolver, которая лучше подходит для более крупных задач. Доступный для бесплатной загрузки, SolverStudio позволяет использовать Excel для редактирования, сохранения и решения моделей оптимизации, построенных с использованием таких языков моделирования, как PuLP на основе Python, AMPL, GAMS, GMPL, COOPR / Pyomo и интерфейс Python от Gurobi. Последняя версия позволяет решать модели GAMS и AMPL в облаке с использованием отличных бесплатных серверов NEOS. Интерфейс SolverStudio полностью основан на Excel, при этом модель редактируется и запускается из Excel и сохраняется в файле Excel.Этот подход обеспечивает гораздо лучшее решение для моделирования сложных задач оптимизации. Посмотрите снимки экрана, чтобы увидеть, как это работает. SolverStudio намного лучше и быстрее для больших задач. Однако OpenSolver по-прежнему остается отличным инструментом для более простых моделей или электронных таблиц, которые должны быть совместимы со встроенным решателем.

    OpenSolver разрабатывается Эндрю Мэйсоном из Департамента инженерных наук Оклендского университета и Иэном Даннингом. Кэт Гилберт также внесла ценный вклад в код, работая летним студентом.Текущую разработку возглавляет Джек Данн из Массачусетского технологического института. Разработка OpenSolver упрощается благодаря превосходному диспетчеру имен Excel, который отображает все скрытые имена рабочих листов, используемые для хранения модели оптимизации.

    OpenSolver выпущен как открытый исходный код под лицензией GPL. Эта программа распространяется в надежде, что она будет полезна, но без каких-либо гарантий; даже без подразумеваемых гарантий товарной пригодности или пригодности для определенной цели. OpenSolver использует ряд решателей, информация о которых доступна здесь.

    Цитирование OpenSolver: Продолжение разработки OpenSolver возможно только в том случае, если мы сможем продемонстрировать его влияние. Если вы публикуете работу, в которой используется OpenSolver, процитируйте этот веб-сайт opensolver.org и этот документ:

    Мейсон, А.Дж., «OpenSolver – надстройка с открытым исходным кодом для решения линейных и целочисленных программ в Excel», Operations Research Proceedings 2011, ред. Клатте, Дитхард, Люти, Ханс-Якоб, Шмеддерс, Карл, Springer Berlin Heidelberg
    , стр. 401-406, 2012 г., http: // dx.doi.org/10.1007/978-3-642-29210-1_64, http://opensolver.org

    Латекс Артикул

    @INCOLLECTION {OpenSolver,
    author = {Mason, AndrewJ},
    title = {OpenSolver – надстройка с открытым исходным кодом для решения линейных и целочисленных программ
    в Excel},
    booktitle = {Operations Research Proceedings 2011}, издатель
    = {Springer Berlin Heidelberg},
    год = {2012}, редактор
    = {Клатте, Дитхард и Лати, Ханс-Якоб и Шмеддерс, Карл}, серия
    = {Протоколы исследования операций},
    страниц = {401-406} ,
    note = {http: // opensolver.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *