Диф уравнения 1 порядка: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Содержание

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися

переменными

Преподаватель естественнонаучных дисциплин Даниленко С.В.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у и её производные или дифференциалы.

 

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, y, y’)=0, F(x, y, y’’)=0, …, F(x, y, y (n) )=0.

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Определение: Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входят столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Определение: Дифференциальным уравнением 1–го порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Определение: Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем проинтегрировать обе части уравнения

Пример 1.  Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла – табличные, следовательно

Пример 2.   Найти общее решение дифференциального уравнения (1+y)dx=(x-1)dy

Решение . Разделив переменные, имеем

 

ln (x-1)=ln (1+y)+C → ln (x-1)=ln (1+y)+ln C

Общее решение: x-1=C (1+y)

Пример 3.  Найти частное решение дифференциального уравнения y dу = x dх; удовлетворяющее начальным условиям у=4 при х = – 2

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

 

16=4 +C C = 12

 

.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение . Разделив переменные, имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения:

Потенцируя последнее равенство, получим

х 2 =С(1+у 2 ).

Это и есть общее решение данного уравнения.

где f(x) и (х) – функции от х, называются линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка. В частном случае f(x) и (х) могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=u z, где u и z – новые функции от х.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

 

Определение. Уравнение вида или

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

а)

б)

2. Найти частное решение дифференциального уравнения (1+ y) dx = (1-x) dy; удовлетворяющее начальным условиям у=3 при х = – 2

Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема Коши | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема Коши

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение вида

F(x,y,y’)=0 (3)

где х – независимая переменная; у – искомая функция; у’ – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (3) можно разрешить относительно у’, то оно принимает вид:

y’=f(x,y) (4)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (4) первого порядка удобно записывать в форме:

dy/dx=f(x,y) (4′)

или в форме:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (5)

где Р(х,у) и Q(x,y) – известные функции. Форма (5) удобна тем, что здесь переменные х и у равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Под решениями уравнения (5), в общем случае, понимаются функции x=φ(t), y=ψ(t), заданные параметрически (t – параметр) и удовлетворяющие уравнению (5).

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из них которых дается свой особый способ решения.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (4) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (4) и является основной теоремой в теории дифференциальных уравнений.

ТЕОРЕМА.(теорема Коши). Если функция f(х,y) и ее частная производная f’y(х,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения у’=f(x,у), удовлетворяющее условиям:

у =у0 при х =х0 (6)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (4) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение. Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x

0,y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (4) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (6), в силу которых функция у=φ(х) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения и записывают обычно так:

y|x=x0=y0 (7)

Отыскание решения уравнения (4), удовлетворяющего начальным условиям (7), – одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений.

Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (x0,y0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

2 Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

Поле направлений. Изоклины

     Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной . Задавая координаты x,y произвольной точки на плоскости,  можно определить значение производной в этой точке  то есть найти направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений на плоскости. В каждой точке плоскости известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. Геометрическое место точек, в которых касательные  к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

     Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, . Построив семейство изоклин, можно приближенно найти семейство интегральных кривых данного уравнения.

     Знание изоклин  позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных  уравнений,  выявить  характер интегральных кривых.

     Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения

                       

            

проходящую через заданную точку M(0;1).

Рекомендуемые материалы

     Уравнение изоклин получим, полагая  следовательно,             

                 или  

    Таким образом,  изоклинами данного уравнения  являются  концентрические окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым  равен радиусу этих окружностей С.   Для построения поля направлений даем постоянной С различные определенные значения:  C = 0,5;  1;

1,5;  2,…  Для изоклины, соответствующей, например, C=1,  следовательно, окружность радиуса C=1 интегральные кривые  пересекают под одним и тем же углом,  составляющим  с положительным направлением оси OX. Поле направлений на плоскости изображается штрихами.  После этого уже можно приближенно провести искомые интегральные кривые,  в частности, через заданную точку (см.рис.).

                               y

                                ¦

                                ¦

Рекомендация для Вас – АГС-17.

                                ¦

                                ¦

                   ————-+————— x

                                ¦

                                ¦

                                ¦

Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения

Содержание:

Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям:

Понятие дифференциального уравнения является одним из основных математических понятий. на

т. е. мы получили уравнение, которос содержит производную неизвестной функции К и саму функцию. Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Таким образом, мы рассмотрели задачу о нахождении функции издержек производства по известным предельным издержкам, которая сводится к решению дифференциального уравнения.

Пример:

Пусть эластичность спроса q относительно цены р на некоторый товар описывается функцией , т. с. известен закон изменения спроса на данный товар, если цена изменяется на 1%. Определим по данному закону функциональную зависимость между спросом на данный товар и его ценой.

Решение:

Поскольку изменению цены на , соответствует изменение спроса на , то величины характеризуют относитсльное изменение спроса и цены.

Предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены называется эластичностью спроса относительно цены:

Поэтому если эластичность является известной функцией

, то получим уравнение , содержащее неизвестную функцию и ее производную, т. е. дифференциальное уравнение.

Таким образом, мы рассмотрели экономические задачи, приводящие к уравнениям, содержащим вместе с неизвестной функцией ее производную.

Сформулируем теперь определение таких уравнений и рассмотрим методы их решения.

Понятие о дифференциальном уравнении и его решении

Определение 22.2.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида:

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области; х – неизвестная переменная; у – функция переменной х, подлежащая определению; – ее производные.

Заметим, что некоторые из величин или даже все могут и не входить в соотношение (22.2.1), но обязательно входит n-ая производная , так как иначе соотношение (22.2.1) уже не будет дифференциальным уравнением n-го порядка.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, фигурирующей в уравнении.

Решением дифференциального уравнения (22. 2.1) называется такая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:

Вначале мы рассмотрим уравнение

называемое дифференциальным уравнением первого порядка, частным случаем которого является уравнение, разрешенное относительно производной :

где функция f(x, у) задана в некоторой области D плоскости хОу. Тогда будем говорить, что и дифференциальное уравнение (22.2.3) задано в области D. Кривая, соответствующая решению уравнения (22.2.2) или (22.2.3) называется интегральной кривой.

Например, дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение

Изменение производительной силы труда может быть описано дифференциальным уравнением первого порядка:

где – показатель, характеризующий производительность труда в период времени t; абсолютный прирост производительности труда в единицу времени (например, за год) или скорость абсолютного роста в единицу времени; • относительная скорость роста производительности труда в единицу времени; – функция зависящая от времени, характеризующая относительную скорость роста.

Простейшая модель воспроизводства национального дохода описывается уравнением:

где В – капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода), В – называют акселератором; c(t) – динамика национального дохода, определяется траекторией c(t): национальный доход направляется на расширение производства и на потребление.

Задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, а процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Часто решение находят в неявном виде:

Равенство (22.2.4) и определяет функцию , являющуюся решением уравнения (22.2.3).

Заметим еще, что иногда интегральную кривую получают в параметрическом виде:

где вспомогательный параметр t изменяется в некотором промежутке и выполняется тождество:

Пример:

Пусть дано дифференциальное уравнение

Покажем, что равенство

определяет решение уравнения (22. 2.6).

Решение:

Действительно, дифференцируя (22.2.7) получим

и подставляя в это равенство из (22.2.6), получим тождество 1 х-еу

в силу (26.2.7).

Итак, мы показали, что существует решение дифференциального уравнения первого порядка заданное в неявном виде.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Частный случай уравнения

(22.3.1)

изучается в интегральном исчислении, именно там рассматривается уравнение

(22.3.2)

По заданной производной ищется функция, производная которой равна Известно из интегрального исчисления, что решения этого уравнения задаются формулой

(22.3.3) где С – произвольная постоянная. Отсюда видим, что уравнение (22.3.2) имеет бесконечное множество решений, отличающихся на постоянную величину С. Далее мы увидим, что и для уравненияпервого порядка при довольно общих предположениях относительно существует бесконечное множество решений, именно семейство решений содержащее произвольную постоянную С . Решение вида (22.3.4) с произвольной постоянной С называют общим решением уравнения (22.3.1), которое может быть найдено и в неявном виде:

Всякое же решение, полученное из общего при конкретном значении постоянной С, называется частным решением.

Пример №1

Пусть дано дифференциальное уравнение: (22.3.5)

Общим решением этого дифференциального уравнения будет функция:

(22.3.6)

Пологая С = 1, получим частное решение Но является также решением (22.3.5), хотя его нельзя получить из (22.3.6) ни при каком значении С.

Решение, которое нельзя получить из общего при конкретном значении С, называется особым решением.

Часто, особенно в приложениях, требуется найти решение задачи Коши (начальной задачи), т.е. требуется найти решение уравнения (22.3.1) обладающее свойством

(22.3.7)

где наперед заданные числа, которые называются начальными значениями. Таким образом, в задаче Коши требуется найти решение которое проходило бы через наперед заданную точку в которой функция определена. Теперь можно уточнить определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка, т.е. справедливо опрсделе-26.3.1.

Определение 22.3.1. Общим решением дифференциально уравнения первого порядка, определенного в области D, называется функция удовлетворяющая условиям:

а) при любом конкретном значении постоянной величины С она определяет частное решение;

б) для любых начальных условий принадлежащих области определения дифференциального уравнения, существует знчение С* такое, что выполняется равенство:

Рассмотрим теперь геометрическую интерпретацию дифферциального уравнения первого порядка. Пусть на плоскости зада прямоугольная система координат Тогда решению или или уравнения (22.3.1), как уже говорили, будет соответствовать интегральная кривая. Предложим, что правая часть уравнения (22.3.1) определена и конечна каждой точке некоторой области D плоскости Проведем через каждую точку (рис 22.1), этой области, отрезок Т, составляющий с осью уголТангенс этого угла равен значению правой части уравнения (22. 3.1) в точке т. е. Отметим, что оба направления указанного отрезка для нас безразличны. Таким образом, можно считать, что уравнение (22.3.1) определяет некоторое поле направлений или поле линейных элементов. Ясно, что дифференциальное уравнение (22.3.1) выражает геометрически тот факт, что направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке.

Из выше сказанного вытекает, что всякое дифференциальное уравнение первого порядка выражает некоторое общее свойство касательных всех его интегральных кривых. И задача состоит в том, чтобы по этому свойству касательных к интегральным кривым восстановить само семейство интегральных кривых.

Пример №2

Пусть дано уравнение

Его решением является семейство функций гдеИнтегральные кривые семейства парабол обладают общим свойством: в каждой точке области определения уравнения угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен удвоенной абсциссе этой точки:

Теоремы существования и единственности

Выше мы говорили о решении уравнения предполагая, что оно существует.

Сформулируем теперь теоремы (без доказательства), которые гарантируют существование и единственность решения.

Теорема Пеано (теорема существования). Для того, чтобы уранение имело хотя бы одно решение достаточно, чтобы его правая часть была непрерывна.

Теорема Пикаро (теорема единственности). Пусть дано уравнение (22.4.1) и поставлено начальное условие при Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки – заданные положительные числа) и удовлетворяет в ней следующим двум условиям:

  1. Функция непрерывна и. следовательно, ограничена т. е. – любая точка
  2. Функция имеет ограниченную частную производную по т. е.

Тогда уравнение (22.4.1) имеет единственное решение удовлетворяющее начальному условию Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в интервале В последующих параграфах рассмотрим частные виды дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению неопределенных интегралов (или их интегрирование приводится к квадратурам).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида (22.3.1) записанное в дифференциальной форме:

(23.1.1)

в котором коэффициенты при представляют собой произведения функций от на функции от Такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Относительно функций будем предполагать, что они непрерывны при всех рассматриваемых значениях Разделим это равенство на произведение получим уравнение:

(23.1.2) которое называется уравнением с разделенными переменными, так как коэффициент при зависит только от а коэффициент при

зависит только от Интегрируя уравнение (23.1.2), получаем выражение:

где С = const, называемое общим решением уравнения (23.1.1) в неявном виде (общим интегралом).

Пример №3

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Заданное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как при записаны функции, зависящие отсоответственно. Разделим каждый член уравнения на произведение множителей Получим уравнение с разделенными переменными: интегрируя которое, последовательно получаем:

Функция определяет общее решение заданного уравнения. При делении на произведение мы можем потерять решение заданного уравнения. Поэтому проверим, являются ли решения частными решениями. Решение получаем из общего яри Это означает, что оно является частным решением. Решение sinx = 0 получаем из общего решения, которое можно переписать в виде

Следовательно, sinx = О также является частным решением заданного уравнения.

Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными является одним из основных типов уравнения первого порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в квадратурах.

Пример №4

Предположим что, эластичность объема валовой продукции от объема капитальных вложенийвыражается формулой:

Определить зависимость объема валовой продукции у от объема капитальных вложений если при

Решение:

Указанная в примере эластичность описывается, как легко следует из определения эластичности функции, дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

так как при dy записано произведение функций, зависящих от Разделив левую и правую части на получим уравнение:

с разделенными переменными, интегрируя которое, последовательно, получим:

Функция определяет общее решение. Определим значение произвольной постоянной С воспользовавшись начальными условиями. Подставим в общее решение Получим равенство:

откуда находим Подставив значение С в общее решение получим функцию которая описывает зависимость объема валовой продукции от объема капитальных вложений

Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

(23.2.1)

Коэффициент при у’, ибо в противном случае (23.2.1) не является дифференциальным уравнением.

Приведем уравнение (23.2.1) к каноническому виду. Для этого разделим все члены уравнения на Обозначим полученные отношения

Тогда уравнение (23.2.1) примет вид: (23.2.2) Умножая левую и правую часть уравнения (23.2.2) на множитель, получатель, называемый интегрирующим, получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя это равенство, найдем общее решение уравнения (23. 2.2) в виде: где С = const.

Пример №5

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Заданное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Умножая его на интегрирующий множитель

получим: Применив к левой части уравнения формулу производной произведения, преобразуем уравнение к виду: интегрируя которое находим общее решение:

Заметим, что интегрирование линейного дифференциального уравнения можно производить при помощи замены – неизвестные функции. Действительно, подставляя в уравнение (23.2.1) получим: или и, выбирая функциютакой, чтобы получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрирование которого показано в пункте 23.1.

Пример №6

Предположим, что размер предложения сельскохозяйственного продукта в году есть функция цены в году: а спрос на этот продукт является функцией цены в данном году:

Определить цену равновесия, т. е. когда спрос равен предложению: s = q.

Решение:

По условию примера приравниваем функцию цены к функции предложения:

Приведя подобные, получаем линейное дифференциальное уравнение:

которое проинтегрируем подстановкой Подставляяи производя элементарные преобразования, получим уравнение вида: (23.2.3) Определим функцию такой, чтобы (23.2.4)

Уравнение (23.2.4) – уравнение с разделяющимися переменными. Его частным решением является функция: В качестве решения уравнения с разделяющимися переменными (23.2.4), выбирается функция, аналитическая запись которой самая простая.

Представляя найденное значение функции в (23.2.3), снова получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Запишем его в дифференциальной форме: Интегрируя левую и правую часть этого уравнения, получим его общее решение:

Тогда общее решение заданного уравнения записывается в виде:

Замечание. Линейные уравнения вида: приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи замены

Действительно, Тогда исходное уравнение примет вид или а это и есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения Бернулли

Обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли: (23.3.1)

причем показатель степени можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Разделим каждый член уравнения (23.3.1) на

(23.3.2)

Введем новую искомую функцию по формуле:

(23.3.3)

После подстановки в (23.3.2) выражений (23.3.3), уравнение

(23.3.2) примет вид:

или

или

(23.3.4)

где

Уравнение (23.3.4) линейное относительно искомой функции и оно интегрируется аналогично уравнению (23.2.2).

Пример №7

Проинтегрировать уравнение:

Решение:

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Показатель степени в правой части равен двум: . Разделим обе части заданного уравнения на

и введем новую искомую функцию по формуле:

При этом уравнение приведется к виду:

Полученное уравнение является линейным относительно новой искомой функции Умножая его на интегрирующий множитель

получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя обе части полученного уравнения, будем иметь:

Для вычисления интеграла в правой части равенства, применим формулу интегрирования по частям:

Подставив значение интеграла, получим:

Выполнив обратную замену находим общее решение заданного уравнения в виде:

Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

Определение 23. 4.1. Однородной функцией степени называется функция если

Пологая получим

Определение 23.4.2. Дифференциальное уравнение вида

(23.4.1)

называется однородным, еслиоднородные функции степени

В силу однородности функций уравнение (23.4.1) можно записать в виде:

(23.4.2) Выполняя в (23.4.2) подстановку: или

получим

или (23.4.3)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя в уравнении (23.4.3) переменные и интегрируя, найдем его общее решение:

Возвращаясь к старой переменной, семейство интегральных кривых запишем в виде:(23.4.4)

Из (23.4.4) следует, что все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат:

Пример №8

Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

Решение:

Заданное уравнение записано в дифференциальной форме, где однородные функции второй степени. Следовательно, заданное уравнение однородное. Разрешим его относительно производной и разделим числитель и знаменатель правой части на

Подставив получим уравнение: Приведя к общему знаменателю в правой части, получим уравнение с разделяющимися переменными: (23.4.5) Разделив в (23.4.5) переменные, преобразуем его к уравнению с разделенными переменными: проинтегрировав которое, найдем общее решение в виде: или, возвращаясь к у, получим:

Это окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси Оу, касающиеся оси Ох в точке (0,0).

К однородному дифференциальному уравнению преобразуется также уравнение (23.4.6)

если Если жето (23.4.6) преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это. Для этого введем новые переменные по формулам: где удовлетворяют системе алгебраических уравнений:

Тогда, если то получим однородное уравнение

Если же то и уравнение (23.4.6) примет вид:

которое подстановкой приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

К однородному уравнению приводится также уравнение подстановкой

Пример №9

Предположим, что динамическая функция предложения товара описывается зависимостью: где х, – запас товара, — – тенденция формирования цены, р, – цена товара в данный момент времени t. Требуется определить зависимость цены от количества товара, если динамическая функция предложения товара будет равна скорости увеличения запаса товара.

Решение:

Из условия примера следует, что динамическая функция предложения товара равна скорости увеличения запаса товара, т.е.

Подставив выражение для динамической функции предложения товара, получим уравнение:

Это однородное дифференциальное уравнение, которое интегрируем при помощи подстановки Выполнив подстановку, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделив переменные

и вычислив интегралы от обеих частей уравнения с разделенными переменными, найдем общее решение в виде:

Получим функцию цены р в зависимости от запаса товара

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида:

(23.5.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция что

(23. 5.2)

Тогда (23.5.2) можно переписать в виде: откуда находим общее решение в неявном виде:

Отметим, что необходимым и достаточным условием существования функции удовлетворяющей условию (23.5.2), является равенство:

(23 5 3)

Пример №10

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение:

Для данного уравнения выполняется условие (23.5.2) во всей плоскости, кроме точки (0,0). Легко заметить, что функция имеет вид: и, следовательно, заданное уравнение можно записать в виде:

Тогда общее решение имеет вид:

Дифференциальные уравнения первого порядка – презентация онлайн

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (лекция №11 мен)

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

План
1. Основные понятия
2. Решение дифференциальных уравнений
I-го порядка
3. Решение дифференциальных уравнений IIго порядка
4. Задачи на составление диф.уравнений

3.

1. Основные понятия Определение:
Уравнения,
содержащие
неизвестную
функцию, аргумент этой функции и ее
производные
или
дифференциалы,
называются дифференциальными.
В общем виде Д.У. можно записать так:
F ( x, y, y , y ,…, y
(n)
) 0
• Решить дифференциальное уравнение
• Решить Д.У. значит найти функцию, которая
при подстановке в Д,У., обращает его в
тождество, т.е. найти у(х)
• Например, решением дифференциального
уравнения радиоактивного распада
dN
N
dt
будет функция:
N(t) =N0e- t

5. Виды уравнений:

• Обыкновенное Д.У. – если искомая
функция есть функция одного аргумента.
• Д.У. в частных производных – если
искомая функция зависит от нескольких
аргументов и дифференциальное
уравнение содержит ее частные
производные по этим аргументам

6. например

x 3 dy y 3 dx 0;
xy y (2 x xy) y
2
y 6 y 8 y 0;
2
y
1
4 y
2 2 2 8 2m
2 2 2 E E p 0
2
х
y
z
h
S
1 S
2
2
2
х
v t
2
2
• Порядок дифференциального уравнения
• Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной
или дифференциала, содержащегося в этом
уравнении.
i

dt
2
d s
m 2 F
dt
• Процесс нахождения решений
дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального
уравнения.
• Поэтому решение Д.У. иногда называют
общим интегралом

9. Виды решений Д.У.

• Различают общее и частное решения
дифференциального уравнения.
• Общим решением дифференциального
уравнения (ОРДУ) называется такое его
решение , которое содержит столько
независимых произвольных постоянных ,
каков порядок этого уравнения.
• Если общее решение дифференциального
уравнения получают в неявном виде , то оно
называется общим интегралом.
• Чтобы найти частное решение Д.У. (ЧРДУ),
должны быть известны так называемые
начальные условия.
• Например, для дифференциального
y y
уравнения
• ОРДУ будет :
y Ce
x
y ( 0) 2
• а ЧРДУ будет при условии
y 2e
x

11. 2. Решение дифференциальных уравнений I-го порядка

• Расмотрим решение некоторых видов Д. У.:
• – уравнения I –го порядка с
разделяющимися переменными
• – однородные Д.У. I –го порядка

12. Д.У. I-го порядка с разделяющимися переменными

• К таким уравнениям относятся уравнения
вида
f1 ( x) 1 ( y)dx f 2 ( x) 2 ( y)dy 0
Путем алгебраических преобразований
данное уравнение приводят к уравнениям
вида
Ф( y ) dy F ( x) dx
• После интегрирования уравнения
Ф( y ) dy F ( x) dx
• находим общее решение дифференциального
уравнения или общий интеграл
Ф
(
y
)
dy
F
(
x
)
dx
• откуда выражаем
• где ОРДУ:
y f ( x, c )
y f ( x, c )

14. Например: xydx + (x + 1)dy = 0.

• Разделим переменные
(x + 1)dy = – xydx
dy
xdx
y
x 1
• проинтегрируем обе части уравнения
dy
xdx
y
x 1
dy
( x 1 1)dx
y x 1
dy
1
x 1
y x 1 x 1 dx
dy
1
y x 1 1 dx
ОИДУ:
ОРДУ:
ln y ln( x 1) x ln C
y C ( x 1)e
x

16.

Запишем алгоритм решения Д.У. 1 порядка с разделяющимися переменными: • 1. Выразить производную из уравнения
• 2. Записать производную через
дифференциалы
• 3. Разделить переменные (с функцией
налево, с аргументом направо)
• 4. Проинтегрировать обе части Д.У.
• 5. Из вида первообразных выразить
функцию – это будет ОРДУ

17. Д.У. I-го порядка однородные

• Однородными Д.У. называются уравнения,
в которых производная является функцией
y
от y . То есть
х
y ` f ( )
x
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
y ux
• u y
Отсюда
x
• Тогда
du
y u x x u
x u
dx
• После такой подстановки уравнение
превращается в уравнение с
разделяющимися переменными

19. Например:

x y
y
x y
Например:
• Это однородное уравнение, т.к.
1 y / x
y
1 y / x
• Обозначим
y
u
x
Отсюда
du
y u x x u
x u
dx
• Тогда
• Уравнение будет иметь вид
du
1 u
x u
dx
1 u
y ux

20.

Решаем уравнение du
1 u
x
u
dx
1 u
du
1 u u u2
x
dx
1 u
(1 u ) du
dx
2
1 u
x
du
2
1 u
udu
2
1 u
dx
x
du
1 u
x u
dx
1 u

21. Теперь интегрируем

1
2
arctg (u ) ln( 1 u ) ln x C
2
y
arctg
x
1
ln( 1 ( y / x) 2 ) ln x C
2
Т.к.выразить «У» невозможно, то мы
получили ОИДУ

22. ДУ первого порядка линейные неоднородные

y p( x) y q( x)
Используем замену переменной
y uv
y u v uv .
Подставив значения y и y в уравнение, получим:
u v uv p( x)uv q( x)
u v u v p( x)v q( x)
u v u v p( x)v q( x)
• Если выбрать v(x) так, чтобы выражение,
стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.
v p( x)v 0
• то для второй функции u(x) получится
уравнение
u v ( x ) q( x ).
• После этого найдем
y v( x) u( x, C).

24. ДУ в полных дифференциалах

P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
Если предположить, что это полный
дифференциал какой-то функции U(x,y),
То
u
u
P ( x, y )
x
Причем, U(x,y)=const и
P Q
y
x
Q ( x, y )
y

25.

алгоритм • Проверить P Q
y
x
• Из области определения выбрать x0
• Вычислить Q ( x 0, y )
• Найти
x
y
x0
y0
y0
u ( x, y ) P( x, y )dx Q( xo , y )dy
• Приравнять найденное значение константе

Дифференциальное уравнение первого порядка – Решение, Задача с начальным значением, Примеры, Формула

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0, где y – зависимая переменная, а x – независимая переменная, а y’ явно появляется в дифференциальном уравнении. Его также можно записать как F(t, f(t), f'(t)) = 0, где f(t) — решение дифференциального уравнения.Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение с производной первого порядка и степенью уравнения, равной единице.

В этой статье мы рассмотрим концепцию дифференциальных уравнений первого порядка, способы нахождения их решений, дифференциальные уравнения начальной задачи первого порядка и их приложения. Мы решим несколько примеров для лучшего понимания концепции.

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка обычно записывается как F(x, y, y’) = 0, где y’ — это производная первого порядка, которая явно присутствует в уравнении, x — независимая переменная, а y — функция от x. .Говорят, что функция f(t) является решением дифференциального уравнения первого порядка F(t, f(t), f'(t)) = 0 при всех значениях t. Реальным примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение охлаждения Ньютона, определяемое как y’ = k(M – y), и его можно выразить как F(t, y, y’) = k(M – у) – у’. Приведем еще несколько примеров дифференциальных уравнений первого порядка:

  • у’ = т 2 + 1 ⇒ F(t, у, у’) = т 2 + 1 – у’
  • у’ = 2(25 – у) ⇒ F(t, у, у’) = 2(25 – у) – у’
  • mv'(t) = -mg ⇒ F(t, v, v’) = -mg – mv'(t)

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x , а y’ – производная первого порядка от y. Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Мы можем решить такие уравнения, используя метод интегрирования множителей.

Решение дифференциального уравнения первого порядка

Теперь мы можем решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя различные методы, такие как разделение переменных, метод интегрирования факторов, варьирование параметров и т. д. Мы можем определить частное решение p(x) и общее решение g(x), соответствующее однородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = 0, и тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = Q(x) задается выражением y(x) = р(х) + г(х).Давайте решим несколько примеров, используя разные методы, чтобы понять применение каждого метода.

Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка

Общая форма сепарабельного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид dy/dx = f(y). g(x). Здесь мы можем разделить переменные с двух сторон уравнения, т. е. dy/dx = f(y).g(x) также можно записать как dy/f(y) = g(x) dx, разделив переменные и тогда мы можем решить уравнение интегрированием. Рассмотрим пример дифференциального уравнения первого порядка и найдем его решение методом разделения переменных.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = (5y + 4)x.

Сохраняя переменную y в левой части уравнения и x в правой части уравнения, мы имеем

dy/dx = (5y + 4)x

⇒ dy/(5y + 4) = xdx

Теперь, интегрируя обе части уравнения, мы имеем

∫dy/(5y + 4) = ∫ x dx

⇒ (1/5) пер |5у + 4| = х 2 /2 + С

⇒ пер |5у + 4| = 5 (х 2 /2 + С)

⇒ пер |5у + 4| = 5x 2 /2 + 5С

⇒ 5y + 4 = e 5x 2 /2 + 5C

⇒ y = (1/5) [e 5x 2 /2 + 5C – 4]

⇒ y = (1/5)e 5x 2 /2 e 5C – 4/5

⇒ y = Ke 5x 2 /2 – 4/5, где K = (1/5)e 5C

Следовательно, y = Ke 5x 2 /2 – 4/5 является общим решением дифференциального уравнения первого порядка dy/dx = (5y + 4)x.

Решение дифференциального уравнения первого порядка с использованием интегрирующих коэффициентов

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dx + y P(x) = Q(x) может быть решено методом интегрирующих факторов. Мы можем выполнить данные шаги, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:

  • Шаг 1: Упростите дифференциальное уравнение первого порядка и запишите его как dy/dx + y P(x) = Q(x)
  • Шаг 2: Определите интегрирующий коэффициент, заданный I.F.= е ∫P(x) dx
  • Шаг 3: Умножьте дифференциальное уравнение dy/dx + y P(x) = Q(x) на I.F. чтобы получить d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F.
  • Шаг 4: Теперь проинтегрируйте обе части уравнения d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F. чтобы получить общее решение.

Давайте решим дифференциальное уравнение первого порядка, используя метод интегрирующих коэффициентов, чтобы понять его применение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение xy’ + 3y = 4x 2 – 3x.

Сначала запишем данное дифференциальное уравнение первого порядка в виде y’ + y P(x) = Q(x)

Разделим xy’ + 3y = 4x 2 – 3x на x, получим

у’ + (3/х) у = 4х – 3

Здесь P(x) = 3/x и Q(x) = 4x – 3

Теперь интегрирующий коэффициент I.F. = e ∫P(x) dx = e ∫(3/x) dx = e 3ln x = x 3

Умножение дифференциального уравнения первого порядка y’ + (3/x) y = 4x – 3 на I.F. = х 3 , мы имеем

х 3 (у’ + (3/х) у) = х 3 (4х – 3)

⇒ х 3 у’ + 3х 2 у = 4х 4 – 3х 3

⇒ d(yx 3 )/dx = 4x 4 – 3x 3

Интегрируя обе части уравнения по x, получаем

⇒ ∫[d(yx 3 )/dx] dx = ∫(4x 4 – 3x 3 ) dx

⇒ ух 3 = (4/5)х 5 – (3/4)х 4 + С

⇒ у = (4/5)х 2 – (3/4)х + Сх -3

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy’ + 3y = 4x 2 – 3x с использованием метода интегрирующих множителей: y = (4/5)x 2 – (3/4)x + Cx -3

Задача с начальным значением Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение задачи с начальным значением первого порядка имеет форму F(x, y, y’) = 0 и начальное значение y(x 0 ) = y 0 , где x 0 – фиксированное значение x и y 0 является соответствующим значением y и (x 0 ,y 0 ) удовлетворяет общему решению y(x). Начальное значение дифференциального уравнения помогает найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как определить решение дифференциального уравнения, используя начальное значение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y’ = x 2 + 1, y(1) = 4

Сначала мы оценим общее решение данного дифференциального уравнения. У нас есть dy/dx = x 2 + 1, которое можно решить, разделив переменные.

dy/dx = х 2 + 1

⇒ dy = (x 2 + 1) dx

Интегрируя обе части уравнения, мы получаем

∫ dy = ∫ (x 2 + 1) dx

⇒ y = x 3 /3 + x + C, что является общим решением данного дифференциального уравнения первого порядка.

У нас есть y(1) = 4. Подставьте это в общее решение, чтобы определить значение C и, следовательно, частное решение.

4 = 1 3 /3 + 1 + С

⇒ С = 4 – 1/3 – 1

= 3 – 1/3

= 8/3

Следовательно, y = y = x 3 /3 + x + 8/3 является частным решением дифференциального уравнения начальной задачи y’ = x 2 + 1, y(1) = 4.

Важные замечания по дифференциальному уравнению первого порядка

  • Некоторые из важных применений дифференциального уравнения первого порядка относятся к закону охлаждения Ньютона, моделям роста и распада и электрическим цепям.
  • Дифференциальные уравнения первого порядка могут быть решены с использованием метода разделения переменных, интегрирования и вариации параметров.

Связанные темы по дифференциальному уравнению первого порядка

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка в исчислении?

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении.Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0,

.

Что такое линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x , а y’ – производная первого порядка от y. Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Что такое однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется однородным, если и M(x, y), и N(x, y) однородны.Мы можем написать однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y’ + p(x)y = 0,

.

Как найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка может быть оценено с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего фактора.

Как найти интегрирующий коэффициент дифференциального уравнения первого порядка?

Коэффициент интегрирования дифференциального уравнения первого порядка dy/dx + y P(x) = Q(x) можно рассчитать по формуле I. F. = e ∫P(x) dx .

Что такое дифференциальное уравнение первой степени первого порядка?

Дифференциальное уравнение первой степени первого порядка — это дифференциальное уравнение, содержащее производную первого порядка, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении, а степень производной равна единице.

Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено с использованием различных методов, таких как разделение переменных, интегрирование множителей или изменение параметров.

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Методы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интегрирующие факторы. Уравнение Бернуллиса.

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Методы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интегрирующие факторы. Уравнение Бернуллиса.
SolitaryRoad.com
Владелец сайта: Джеймс Миллер
 

[ Дома ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степень.Методы решения. Разделение переменных. Однородные, точные и линейные уравнения. Интеграция факторы. Уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Любое дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени можно записать в виде

Пример. Дифференциальное уравнение

также может быть записано как

.

            (x – 3y)dx + (x – 2y)dy = 0

 

Наличие решения.Общее решение уравнения dy/dx = g(x, y), если оно существует, имеет форма f(x, y, C) = 0, где C — произвольная постоянная. При каких обстоятельствах общее решение существует? У нас есть следующая теорема.

Теорема 1. Общее решение dy/dx = g(x, y) существует над некоторой заданной областью R точек (x, y), если выполняются следующие условия:

а) g(x, y) непрерывна и однозначна над R

б) ∂g/∂y существует и непрерывна во всех точках R

Общее решение f(x, y, C) = 0 дифференциального уравнения dy/dx = g(x, y) в некоторой области R состоит из семейства кривых, называемых интегральными кривыми дифференциального уравнения (одна кривая для каждого возможного значения C, каждая кривая представляет собой конкретное решение), так что через через каждую точку R проходит одна и только одна кривая семейства f(x, y, C) = 0.

Дифференциальное уравнение

 

ассоциируется с каждой точкой (x 0 , y 0 ) в области R направление

Направление в каждой точке R совпадает с направлением касательной к этой кривой семейства f(x, y, C) = 0 который проходит через точку.

Область R, в которой направление связано с каждая точка называется полем направления. На рис. 1 есть показано поле направлений и интегральные кривые для дифференциальное уравнение dy/dx = 2x.Генерал решение этого уравнения есть y = x 2 + C. интегральные кривые являются параболами.

                                                                   

Методы решения дифференциала уравнения первого порядка и первая степень

I Разделение переменных. Если уравнение

 

            M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

можно привести в форму

            P(x) dx + Q(y) dy = 0 ,

переменные считаются разделенными. Общее решение тогда дается

Пример. Решить

            (1 + x 2 )dy – xy dx = 0

Раствор. Делим на y(1 + x 2 ) и транспонируем получаем

Интегрируя обе части, получаем

            ln y = ½ ln (1 + x 2 ) + ln C

или

            ln y = ln C(1 + x 2 ) ½

Взятие экспонент

            y = C(1 + x 2 ) ½

Произвольная константа была добавлена ​​в виде «ln C» для облегчения окончательного представления.

Однородные многочлены, функции и уравнения

По умолчанию Однородный многочлен. Многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень по всем переменным вместе взятым. Таким образом,

 

            x 2 + 2xy – 2y 2              однородно степени 2

            2x 3 y + 3 x 2 y 2 + 5y 4   однороден степени 4

            2x + 5y                      – однородный степени 1

Понятие однородности распространяется на общие функции следующим образом:

По умолчаниюОднородная функция. Функция такая, что при замене каждой из переменных на k умножить на переменную, k можно полностью исключить из функции, если k ≠ 0. Степень k, которое может быть вынесено из функции, является степенью однородности функции. Таким образом,

 

            2x 2 ln x/y + 4y 2           однороден степени 2

            x 2 y + y 3 sin y/x          однородно степени 3

II Однородные дифференциальные уравнения.Дифференциальное уравнение вида

            M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Число

называется однородным, если M(x, y) и N(x, y) — однородные функции одного и того же степень. Такое уравнение можно преобразовать в уравнение, в котором переменные разделенные заменой  y = vx (или x = vy), где v – новая переменная.

Примечание. Дифференцирование y = vx дает dy = v dx + x dv, количество, которое необходимо заменить на dy когда vx заменяет y.

Пример. Решить

            (x 2 – y 2 )dx + 2xy dy = 0

Раствор. Мы не можем разделить переменные, но M(x, y) и N(x, y) — однородные функции степени 2. Подставляя

 

            y = vx             и      dy = v dx + x dv

получаем

            (1 – v 2 )dx + 2v(v dx + x dv) = 0

Разделение переменных дает

Интегрируя получаем

            ln(v 2 + 1) = – ln x + ln C

Взяв экспоненты, мы получим

            x(v 2 + 1) = C

Наконец, поскольку v = y/x, получается

            x 2 + y 2 = Cx

Причина, по которой замена y = vx преобразует уравнение в уравнение, в котором переменные разделимы.Причина, по которой замена y = vx превращает уравнение в одно в котором переменные разделимы, можно увидеть, если данное уравнение записать в виде

Если M(x, y) и N(x, y) — однородные функции одной степени и вместо y подставляется vx обнаруживается, что все x сокращаются в правой части 2), и правая часть становится функцией только в v, т. е. уравнение принимает вид

 

3)        dy/dx = g(v)

Замена dy = v dx + x dv дает

 

4)        v dx + x dv = g(v) dx

, где переменные можно разделить как

III Точные дифференциальные уравнения

По умолчаниюТочное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение, которое получается, если задать полный дифференциал некоторой функции равен нулю.

Полный дифференциал функции u(x, y) по определению равен

, а точное дифференциальное уравнение, связанное с функцией u(x, y), равно

.

Примитив 5) равен u(x, y) = C.

Если в данном дифференциальном уравнении

6)        M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

количество

            M(x, y) dx + N(x, y) dy

оказывается в точности полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) i.е. если существует какой-то функция u(x, y) такая, что

, затем 6) является точным дифференциальным уравнением и его примитивной является u(x, y) = C.

Поскольку обычно нельзя определить путем проверки, является ли данное уравнение точным, нужен тест на точность. Этот тест дается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть M(x, y), N(x, y), ∂M/∂y и ∂N/∂x — непрерывные функции от x и y. потом необходимое и достаточное условие того, что дифференциальное уравнение

            M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

а точнее

Доказательство

Если дифференциальное уравнение является точным, следующим шагом является получение функции u(x, y), для которой M(x, y) dx + N(x, y) dy — полный дифференциал.Иногда это можно определить при осмотре. Чаще не может. Следующий пример иллюстрирует обычный метод решения.

Пример. Проверьте следующее уравнение на точность и найдите решение, если оно точное.

7)        (3x 2 y – y)dx + (x 3 – x + 2y)dy = 0

Раствор.

 

            M = 3x 2 – y                 N = x 3 – x + 2y

 

            ∂M/∂y = 3x 2 – 1          ∂N/∂x = 3x 2 – 1

Поскольку ∂M/∂y = ∂N/∂x, уравнение является точным i. е. существует функция u(x, y), левая часть которой сторона 7) и есть полный дифференциал. Чтобы найти эту функцию, мы интегрируем ∂u/∂x = M = 3x 2 – y относительно x, сохраняя y постоянным. Получаем

8)        u(x, y) = ∫M ∂x = ∫(3x 2 – y)∂x = x 3 y – yx + φ(y)

, где φ(y) состоит из слагаемых, свободных от x ( ∫M ∂x обозначает интегрирование по x, удерживая y постоянным). Таким же образом интегрируем ∂u/∂y = N = x 3 – x + 2y по y, удерживая х постоянным.Получаем

9)        u(x, y) = ∫N ∂y = ∫( x 3 – x + 2y)∂y = x 3 y – xy + y 2 + ψ(x)

, где ψ(x) состоит из терминов, не содержащих y (т. е. термов, содержащих только x или константы).

Сравнивая 8) и 9) мы видим, что общее решение равно

            x 3 y – xy + y 2 = C

                                                                    Пример из Middlemiss.Дифференциальное и интегральное исчисление. п. 443

Существует формула, по которой можно получить решение. Это:

Формула общего решения точного уравнения M dx + N dy = 0. Общее решение: предоставлено

            ∫ M ∂x + ∫f(y)dy = C

, где f(y) состоит из всех членов N, не содержащих x (т. е. всех членов, не содержащих x — члены, содержащие только y или константы), а ∫M ∂x обозначает интегрирование по x, сохраняя у постоянным.

Альтернативная формула:

            ∫N ∂y + ∫f(x)dx = C

, где f(x) состоит из всех членов M, свободных от y.

Приведенные выше формулы дадут правильный результат в подавляющем большинстве случаев, но они не безошибочен и в исключительных случаях может дать неверный результат. Следовательно, решение должно всегда проверяйте, подставляя его в исходное уравнение.

Есть еще одна более сложная формула, которая также дает общее решение:

Формула общего решения.

, где ∫M ∂x обозначает интегрирование по x при сохранении y постоянным.

Производная

IV Интегрирующие коэффициенты. Если дифференциальное уравнение не является точным, его можно составить точное, умножая его на некоторую функцию. Например, уравнение

11)      y dx + 2x dy = 0

не является точным, поскольку ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x. Однако умножение его на y дает точное уравнение

            y 2 dx + 2xy dy = 0

, в котором левая часть в точности равна дифференциалу xy 2 .Функция, которая при умножении в дифференциальное уравнение, делает его точным, называется интегрирующим фактором. В этом примере y является интегрирующий коэффициент для 11).

Теорема 3. Пусть уравнение

12)      M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

имеют решение f(x, y, C) = 0, где C — произвольная константа. Тогда, если уравнение 12) не точным, его всегда можно сделать точным, умножив его на некоторую правильную функцию x и y т. е. существует некоторый интегрирующий множитель µ(x, y), который сделает его точным. Более того, если µ(x, y) является интегрирующий множитель для 12), то a · µ(x, y) также является интегрирующим множителем, где a – произвольный постоянный.

Таким образом, если 12) разрешима, то она либо точна, либо может быть сделана точной с помощью некоторого интегрирующего множителя. Там Однако общего правила для нахождения этого интегрирующего фактора нет. Теорема просто уверяет нас, что точная версия уравнения существует.

Условия разрешимости 12) не очень жесткие. Они сформулированы в теореме 1 выше.

Есть много уравнений, которые не являются интегрируемыми в их нынешнем виде, но становятся интегрируемыми. при умножении на правильный коэффициент. Не существует общего метода нахождения правильного фактора, но во многих простых случаях его можно найти путем осмотра. Возможность сделать это во многом зависит от признание некоторых общих точных дифференциалов и на опыте. Один использует изобретательность методом проб и ошибок путем манипулирования, возможного преобразования переменных и некоторых коэффициент умножения, преобразовать уравнение в такое, которое можно проинтегрировать. Например, если один замечает группы членов «x dy – y dx» или «x dy + y dx» в уравнении, он может быть в состоянии преобразовать уравнение в уравнение, которое можно интегрировать с использованием множителя, который создает один из следующих точных дифференциалов:

 

 

 

Пример.Решите уравнение

            (x 2 + y 2 + y)dx – x dy = 0

Раствор. Запишем уравнение как

            (x 2 + y 2 )dx + y dx – x dy = 0

Вспоминая формулу

мы решили умножить уравнение на коэффициент 1/(x 2 + y 2 ), чтобы получить

или

Затем мы интегрируем, чтобы получить решение

Теорема 4.Дифференциальное уравнение вида

можно преобразовать в форму

с помощью интегрирующего коэффициента

Его примитив

Пример. Решите уравнение

            (3x 2 y – xy) dx + (2x 3 y 2 + x 3 y 4 ) dy = 0

Раствор. Перепишем уравнение как

            y(3x 2 – x) dx + x 3 (2y 2 + y 4 ) dy = 0

и умножить на коэффициент 1/yx 3 , что дает

Интегрируя, получаем примитив

Теорема 5.

а) Необходимое и достаточное условие для того, чтобы µ(x, y) была интегрирующим фактором уравнения

13)      M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

состоит в том, что оно удовлетворяет уравнению

б) Если количество

является функцией только от x, т.е.

, затем

— интегрирующий коэффициент для уравнения

.

            M dx + N dy = 0.

c) Если количество

является функцией только от y, т.е.

, затем

— интегрирующий коэффициент для уравнения

.

            M dx + N dy = 0,

Доказательство

Пример. Решите y dx + (3 + 3x – y) dy = 0

Раствор.

                       M = y              N = 3 + 3x – y

                       ∂M/∂y = 1       ∂N/∂x = 3

Сейчас

 

не является функцией только x, а

является функцией только y.Следовательно, интегрирующий коэффициент равен

.

Если умножить уравнение на y 2 , можно убедиться, что оно становится точным и его решение равно

            xy 3 + y 3 – y 4 /4 = C

 

V Линейные уравнения первого порядка. Линейным уравнением первого порядка является уравнение типа

Это уравнение имеет

в качестве интегрирующего фактора.Общее решение дано

Доказательство

Пример. Решить

Раствор.

            P = 2/x

Умножив обе части уравнения на этот коэффициент и проинтегрировав, мы получим

или

            x 2 y = x 6 + C

Уравнение Бернулли. Уравнение

известно как уравнение Бернулли. Его можно преобразовать в линейное уравнение с помощью трансформация

14)      y – n+1 = v

, где v — новая переменная.

Разделим 13) на y n , чтобы получить эквивалентное уравнение

Если теперь мы возьмем производную от 14) по x, мы получим

Замена 14) и 16) на 15) дает

или

, которое представляет собой линейное уравнение относительно переменной v.Теперь мы можем решить это уравнение методом линейные уравнения.

Общее решение уравнения Бернулли:

Ссылки

1. Росс Р. Миддлмисс. Дифференциальное и интегральное исчисление. Глава. XXIX

2. Джеймс/Джеймс. Математический словарь.

3. Мюррей Р. Шпигель. Прикладные дифференциальные уравнения.

4. Джеймс Б. Скарборо. Дифференциальные уравнения и приложения.

5. Фрэнк Эйрес. Дифференциальные уравнения (Шаум).

6. Эшбах. Справочник по основам инженерии.

7. Эрл Рейнвилл. Элементарные дифференциальные уравнения.

Еще от SolitaryRoad.com:

Путь Истины и Жизни

Божье послание миру

Иисус Христос и Его Учение

Мудрые слова

Путь просветления, мудрости и понимания

Путь истинного христианства

Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна

О честности и ее отсутствии

Критерием христианства человека является то, что он есть

Кто попадет в рай?

Высшее лицо

О вере и делах

Девяносто пять процентов проблем, с которыми большинство людей пришли от личной глупости

Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния

Желание причинить вред, мотив поведения

Учение это:

О современном интеллектуализме

О гомосексуализме

О самодостаточной загородной жизни, приусадебном хозяйстве

Принципы жизни

Тематические пословицы, поучения, Цитаты. Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.

Америка сбилась с пути

Действительно большие грехи

Теория формирования характера

Моральное извращение

Ты то, что ты ешь

Люди как радиотюнеры – они выбирают и слушать одну длину волны и игнорировать остальные

Причина черт характера — по Аристотелю

Эти вещи идут вместе

Телевидение

Мы то, что мы едим — живем по дисциплине диеты

Избегание проблем и неприятностей в жизни

Роль привычки в формировании характера.

Истинный христианин

Что такое истинное христианство?

Личные качества истинного христианина

Что определяет характер человека?

Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны

Прогулка по одинокой дороге

Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках

Инструменты сатаны.Тактика и Уловки, используемые Дьяволом.

О реакции на обиды

Настоящая христианская вера

Естественный путь – неестественный путь

Мудрость, Разум и Добродетель тесно связаны

Знание одно, мудрость другое

Мои взгляды на христианство в Америке

Самое главное в жизни это понимание

Оценка людей

Мы все примеры — хорошо это или плохо

Телевидение — духовный яд

Перводвигатель, который решает, «Кто мы есть»

Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?

Грех — дело серьезное. 2-x)/(x+1)=x/(x+1)(x+lnx-1)#

Дифференциал первого порядка и первой степени – Пример решенных задач с ответом, Раствор, формула

Дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени можно записать в виде f(x, y, dy/dx) = 0.

Первый заказ и дифференциал первой степени

Дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени может быть записывается как f(x , y , dy/dx) = 0,

Здесь мы обсудим решение нескольких типов

Общее решение и частное решение

Для любых дифференциальных уравнений можно найти общее решение и конкретное решение.

Дифференциал Уравнение, в котором переменные являются разделимыми

Если в уравнении можно собрать все члены х и dx с одной стороны и все члены y и dy с другой стороны, то переменные называются сепарабельными. Таким образом, общий вид такого уравнения

f ( x ) dx = г ( y ) dy (или) f ( x ) + г ( y ) dy = 0

Путем прямой интеграции мы получаем решение.

 

Пример 4.6

Решите: ( x 2 + x +1) dx + ( y 2 – y + 3)dy = 0

Решение:







Пример 4.12

Функция предельных затрат на производство перчаток размером x равна 6 + 10 x − 6 x 2 . Общая стоимость изготовления пары перчаток составляет ₹ 100. Найдите функцию общих и средних издержек.

Решение:


 

Пример 4.13

Линии нормали к заданной кривой в каждой точке ( x , y ) на проходе кривой через точку (1,0).Кривая проходит через точку (1,2). Сформулировать дифференциальное уравнение, представляющее задачу, и, следовательно, найти уравнение кривой.

Решение:


 

Пример 4. 14

Сумма ₹ 2,000 начисляется непрерывно, номинальная процентная ставка составляет 5% годовых. В через сколько лет сумма будет удвоена по сравнению с первоначальной основной суммой? (журнал и 2 = 0.6931)

Решение:


Метки : Пример решенных задач с ответом, Решением, Формулой | Дифференциальные уравнения , 12-я бизнес-математика и статистика : дифференциальные уравнения

Учебный материал, конспект лекций, задание, справочник, объяснение описания Wiki, краткая информация

12-я бизнес-математика и статистика : дифференциальные уравнения : дифференциал первого порядка и первой степени | Пример решенных задач с ответом, решением, формулой | Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка в химии

Датчики измеряют физическую или химическую величину и преобразуют ее в выходной сигнал, который считывается, контролируется или сохраняется. Возможными физическими величинами являются температура, давление, лучистый поток, напряженность магнитного поля и т. д. Химические величины в основном представляют собой концентрации и активности молекул, атомов и ионов. Записанные сигналы обычно представляют собой напряжения или токи. Наиболее типичной особенностью сигнала является то, что результаты являются одномерными, т.е. выходной сигнал представляет собой одну величину, т. е. измеряется только этот сигнал, а не зависимость этого сигнала от другой заданной величины. Большинство устройств для химического анализа производят двумерные показания, например.грамм. оптические спектры, в которых поглощение отображается как функция длины волны (\( E = f(\lambda ) \)), вольтамперограммы, в которых токи отображаются как функция потенциала электрода, или рентгеновские дифрактограммы, в которых интенсивность дифрагированных лучи отображаются как функция угла дифракции и т. д. В современной аппаратуре даже расширили размерность до трех, когда, например, оптические спектры (\( E = f(\lambda ) \)) (или масс-спектры, т. е. интенсивность ионов в зависимости от отношения массы ионов к заряду) отображается как функция времени элюирования хроматограммы.На рисунке 3 показано сравнение общих размерностей аналитических измерений.

Рис. 3

Сравнение трех общих размерностей аналитических устройств

Поскольку любое измерение требует времени, нет ничего лучше мгновенного установления сигнала. Это легко увидеть при использовании датчика, т.е. pH-электрод: всегда есть определенный период времени, в течение которого показания меняются, пока у нас, наконец, не сложится впечатление, что достигнуто постоянное конечное значение .То же самое верно и для двух- или трехмерных измерений, но мы не можем легко обнаружить это, потому что изменение измеренного сигнала (например, поглощение) в любом случае изменяется в зависимости от различных величин (например, длины волны) и, следовательно, со временем. . Обычно длина волны изменяется с так называемой скоростью сканирования \text{d}}t}}} \right. \kern-0pt} {{\text{d}}t}} \) (скорость записи спектра) и вообще (см.4) величина \( x \) изменяется со скоростью сканирования \( {{{\text{d}}x} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{d}}x} { {\text{d}}t}}} \right.\kern-0pt} {{\text{d}}t}} \) (также может быть равно нулю). Действительно ли мы измеряем на каждой длине волны конечное значение поглощения, можно увидеть, только если мы уменьшим скорость изменения длины волны (в крайнем случае, даже сохранив длину волны постоянной). Ссылаясь на рис. 4, это в общих чертах означает, что изменение скорости сканирования \( {{{\text{d}}x} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{d}} x} {{\text{d}}t}}} \право.\kern-0pt} {{\text{d}}t}} \) может давать воспроизводимый и идентичный ответ только ниже определенной предельной частоты \( ({{{\text{d}}x} \mathord{\left / {\vphantom {{{\text{d}}x} {{\text{d}}t}}} \right.\kern-0pt} {{\text{d}}t}})_{\ текст{лимит}} \). При превышении этой скорости сигнал не может установить свое истинное значение, а спектры искажаются (сигнал отстает) (см. рис. 4).

Рис. 4

Возможное искажение спектра при скорости изменения x со временем выше предельного значения \( {{ ( {\text{d}}x} \mathord{\left/ {\vphantom { { ( {\text{d}}x} {\text{d}}t}}} \право.\kern-0pt} {{\text{d}}t}})_{\text{предел}} \)

На рис. 4 убедительно показано, что важно знать скорость, с которой устанавливается сигнал для заданного значения \( x \). В случае датчика, то есть одномерного устройства, в котором не изменяются такие параметры, как \(x\) или \(y\), изменение сигнала во времени может быть изучено после этапа концентрации. Введение сенсора в раствор можно рассматривать как этап концентрирования. На рисунке 5 показаны два разных типа отклика датчика на этапе концентрации.

Рис. 5

a Концентрация изменяется от нуля до постоянного значения. b Сигнал детектора начинает реагировать сразу же после того, как сделан шаг, и наклон отклика с течением времени непрерывно уменьшается, пока, наконец, не приблизится к постоянному конечному значению. Кривая отклика не имеет точки поворота. c Датчик начинает медленно реагировать (но с увеличивающейся скоростью/наклоном ), и после точки поворота реакция замедляется ( уменьшающаяся крутизна ), пока не приблизится к конечному значению

На рис. 5 показаны два основных типа временных характеристик датчиков.Различное поведение датчиков, показанное на рисунках B и C, можно смоделировать с помощью различных дифференциальных уравнений. Принимая во внимание, что кривая отклика, показанная на B, может быть смоделирована дифференциальным уравнением первого порядка; кривая, показанная на C, нуждается в дифференциальных уравнениях более высокого порядка [5]. Здесь необходимо отметить, что невозможно реализовать ступень концентрации с бесконечной скоростью повышения концентрации, как показано на рис. 5а. Это означает, что при изучении свойств временного отклика сенсора это повышение концентрации должно происходить намного быстрее, чем отклик сенсора.Кроме того, реакция, показанная на рис. {{ – \frac{{a_{2}}}{{a_{1} }}t}} $$

(19)

и с уравнением.{ – 1} ) = S_{\hbox{max} } \left( {1 – \frac{1}{\text{e}}} \right) \приблизительно 0,632S _{\hbox{max} } \). Другими словами, по истечении \( \tau \) сигнал достиг 63,2 % своего «конечного значения». Уравнение 22 подразумевает, конечно, что сигнал никогда не достигнет постоянного значения, но приращения функции \( z \) в уравнении. 14 может стать бессмысленно маленьким с течением времени. Из-за e-функции уравнения. 22, можно указать простые соотношения между временем достижения 50, 63,2, 90, 99 % (и любыми другими значениями) \(S_{\hbox{max:}}\)

$$ т_{63.2\%} = \tau = 1.44t_{50\%} $$

(23)

$$ t_{50\% } = 0,69\тау $$

(24)

$$ t_{90\% } = 2,3\тау $$

(25)

$$ t_{99\% } = 4,6\тау $$

(26)

На рис.  6 показана кривая отклика, показанная на рис. 5b, со шкалой, показывающей отклик в процентах.

Рис. 6

Временная характеристика датчика, когда его можно смоделировать с помощью дифференциального уравнения первого порядка

Постоянная времени \( \tau \) является важным параметром датчика. Однако на практике гораздо больше интересует время, необходимое для достижения 90 или 99 % конечного значения, т. е. \(t_{90\%} \) и \(t_{99\%} \), поскольку сигнал, достигнутый после этого времени, часто рассматривается как хорошая оценка истинного значения сигнала. Благодаря экспоненциальной зависимости сигнала от времени (уравнение22), эти временные данные могут быть легко рассчитаны из постоянной времени \( \tau \) в соответствии с уравнениями. 25 и 26.

В случае проточных детекторов можно также рассчитать так называемый объем отклика , который представляет собой просто объем раствора, протекающего через детектор в пределах \( t = \tau \). Его можно рассчитать по формуле \(v_{{{\text{response (}}\tau)}} = \tau \cdot f \), где \(f \) – скорость потока, например. в мл с −1 [6]. Конечно, можно также рассчитать объем отклика, относящийся к 90 или 99 % сигнала, т.е.е. \(v_{{{\text{ответ (}}\tau)}} = t_{90\%} \cdot f \) или \( v_{{{\text{ответ (}}\tau)}} = t_{99\% } \cdot f \) соответственно. Объемы срабатывания проточного детектора могут быть больше или меньше геометрического объема детектора. Это зависит от их конструкции и принципа действия.

Мы уже упоминали, что тип отклика, показанный на рис. 5в, наблюдается во многих экспериментальных случаях. Для аналитических приложений наиболее важной информацией, которую необходимо знать, является то, как долго датчик должен собирать данные, например.грамм. 90 или 99 % от конечного значения. Таким образом, гораздо менее важно точно описать полную кривую отклика от начала до конца, что было бы возможно только путем решения дифференциальных уравнений более высокого порядка и характеристики отклика более чем одной постоянной времени. {{ – \frac{t}{{\tau_{2} }}}} } \right) $$

(28)

Важным моментом является то, что должна быть модель, поддерживающая использование двух или более постоянных времени, так как в противном случае подгонка такой кривой может быть математически правильной, но бессмысленной, так как не поддерживается моделью.Несколько экзотический физико-химический пример, когда подгонка отклика уравнением типа Eq. 28 основана на физической модели растекания липосомы по ртутному электроду [7]: при взаимодействии липосомы с поверхностью ртути она распадается и образует островок из адсорбированных молекул липидов. Это сопровождается изменением емкости двойного слоя, которое можно измерить как переходный ток. Интеграция текущего переходного процесса дает переходный процесс заряда по уравнению.28, а форма кривой показана на рис. 7.

Происхождение постоянных времени — очень сложная тема, требующая обширных пояснений. Здесь может быть достаточно упомянуть некоторые возможные процессы, зависящие от времени, которые могут вносить вклад в измеряемую постоянную времени: (а) диффузия частиц к чувствительной поверхности (например, в некоторых электрохимических сенсорах), (б) конвекция, когда камера датчика (кювета ) должны быть заполнены раствором (например, в оптических датчиках, используемых в хроматографии), (c) химические реакции, особенно. в биосенсорах, где ферментативные реакции могут быть довольно медленными. Несмотря на эти химические или физико-химические источники постоянных времени, никогда не следует забывать, что каждая часть измерительной системы, от усилителя до записывающего устройства, имеет свою собственную постоянную времени. Современные инструменты химического анализа обычно имеют настолько малые константы, что они не имеют отношения к измерению, для которого они были разработаны, и будут преобладать химические и физико-химические источники; однако следует помнить, что в любой измерительной системе используются постоянные времени, которые иногда могут влиять на измерение.Возвращаясь к примеру со спектроскопией (рис. 4), следует отметить, что даже современные сканирующие (!) оптические спектрометры могут выйти из строя при слишком быстрой записи.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    вернуть г / х
y1 = 1xs = np. arange(1,10,1)
ys = одеинт (f, y1, xs)
plt.plot(xs,ys,'-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
пл.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=y/x, y(1)=1')
plt.show() 


3. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.

 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    вернуть (x*y/(np.sqrt(y**2+x)))
y0 = 1xs = np.arange(0,5,0,25)
ys = одеинт (f, y0, xs)
plt.plot(xs,ys,'-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
plt.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(x*y/(np.кврт(у**2+х))')
plt.show() 
 
  4. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.  
 

из scipy.integrate импортировать odeint импортировать numpy как np из matplotlib импортировать pyplot как plt защита f(y,x): возврат (х + у) y0 = 0xs = np. arange (0,2,0,1) ys = одеинт (f, y0, xs) plt.plot(xs,ys,'-') plt.plot(xs,ys,'ro') plt.xlabel('значения x') plt.ylabel('Значения Y') plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=x+y') plt.show()

 
 
  
5.Решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка сначала с использованием уравнения. из scipy.integrate импортировать odeint импортировать numpy как np из matplotlib импортировать pyplot как plt защита f(y,x): возврат (3*у-х) y0 = 0xs = np.arange (0,3,0,1) ys = одеинт (f, y0, xs) plt.plot(xs,ys,'-') plt.plot(xs,ys,'ro') plt.xlabel('значения x') plt.ylabel('Значения Y') plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(3*y-x)') plt.show() 6. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с использованием уравнения.
 из scipy.integrate import odeint
импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
защита f(y,x):
    возврат (х**2)
у0 = 1xs = np.упорядочить(0,5,0,25)
ys = одеинт (f, y0, xs)
plt. plot(xs,ys,'-')
plt.plot(xs,ys,'ro')
plt.xlabel('значения x')
plt.ylabel('Значения Y')
plt.title('Дифференциальное уравнение: dy/dx=(x**2)')
plt.show() 
 

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка? Когда функция является решением такого уравнения?

Разделимое дифференциальное уравнение: определение и примеры

Разделимые дифференциальные уравнения используются для перестановки переменных таким образом, чтобы все члены одной переменной находились на одной стороне уравнения, таким образом «разделяя» переменные.См. шаги, связанные с распознаванием и решением этих типов дифференциальных уравнений.

Неточные уравнения: интегрирующие факторы

Метод интегрирующих множителей полезен при решении неточных линейных уравнений в частных производных первого порядка.Изучите технику метода интегрирующих факторов и его применение к основной теореме исчисления.

Полномочия комплексных чисел и нахождение основных значений

Комплексные числа можно возводить в степень и выражать как в прямоугольной, так и в полярной форме. Изучите примеры различных шагов, связанных с вычислением степеней комплексных чисел и основных значений.

Коэффициент интегрирования: метод и пример

Коэффициент интегрирования умножается на обе части дифференциального уравнения, чтобы легко найти решение.Изучите метод и примеры решения смешанной задачи и узнайте подробности и основную идею интегрирования факторов.

Неявное дифференцирование: примеры и формула

Этот урок познакомит вас с методом неявного дифференцирования.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.