Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике: Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

Содержание

Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

                                      Ивановский Фармацевтический Колледж

 

 

 

 

                                                     Реферат

                                              

                            Тема: Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

 

Дисциплина: Математика

                                                                                                                               

 

                                                                       Выполнил

                                                                       Данилова  Е.А., студент гр. 1А

                                                                       Проверил

                              

                                  Димакова И. В., преподаватель

                                                                       математики

                                                                       Оценка ___________

                                                                       Подпись_________                                                            

 

 

 

                                                               

 

 

2014-2015 уч. год

                                                 Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

Цели и задачи…………………………………………………………………….4

1. Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала…………………………………………….5

1.1 Моделирование с применением  дифференциальных уравнений…………. 6

1.2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..……10

2. Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений …………..10

2.1. Пример применения дифференциальных уравнений в медицине……….11

2.2. Уравнения старших порядков. …………………………………….………12

Заключение……………….……………………………………………………..14

Список литературы……………………………………………………………………….15   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        ВВЕДЕНИЕ

     Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.

     Неформально  говоря, дифференциальное уравнение  – это уравнение, в котором  неизвестной величиной 

является  некоторая функция. При этом в  самом уравнении участвует не  только неизвестная функция, но  и различные производные от  неё. Дифференциальным уравнением  описывается связь между неизвестной  функцией и её производными. Такие  связи обнаруживаются в самых  разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике  и других.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

                                                Цели и задачи

1.Дать подробную информацию  о дифференциальных уравнениях

2.Рассмотреть примеры  дифференциальных уравнений

3.Узнать,где они используются

4.Разобрать виды дифференциальных  уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

Глава 1. Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала.

   При выполнении своих профессиональных обязанностей медицинским работникам часто приходится производить различные математические вычисления.

От правильности проведённых расчётов зависит здоровье, а иногда и жизнь пациентов.

  В хозяйственных расчётах, во многих отраслях науки части  величин принято выражать в  процентах. Очень часто в лабораторной  практике приходится встречаться  со случаями приготовления растворов  с определённой массовой долей  растворённого вещества, смешением  двух растворов разной концентрации  или разбавлением крепкого раствора  водой.

 В медицинских приложениях  дифференциальные уравнения используются, например:

Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца, определения вязкости крови и других параметров гемодинамики.

Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография.

Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

Для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.[1]

5

1.1.Моделирование с применением дифференциальных уравнений

Скорость многих как нормальных, так и патологических процессов зависит от того, насколько далеко уже «продвинулось» развитие этих процессов за предшествующее время. Например, скорость роста объема опухоли зависит от того, какого объема опухоль уже достигла. Это объясняется тем, что скорость роста зависит от числа имеющихся опухолевых клеток, а этому числу пропорционален занимаемый ими объем. Если x(t)—зависимость результата некоторого процесса х от времени, то производная этой функции по времени х'(t) характеризует скорость этого процесса. Поскольку скорость процесса

часто находится в зависимости от его результата, в одном уравнении оказываются как x(t)так и x'(t). Подобные уравнения называются дифференциальными. В них могут входить вторые производные, характеризующие ускорения, с которыми происходят процессы, и производные еще более высоких порядков.

Таким образом, дифференциальное уравнение для функции x(t)—это уравнение, в которое входят производные этой функции по аргументу t. Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, встречающихся в этом уравнении.

  Дифференциальные уравнения  являются одним из важнейших  разделов математики, который имеет  очень большое прикладное значение. Кроме общематематического и  теоретического интереса, дифференциальные  уравнения находят широкое 

практическое  применение. Например, при решении  задач, связанных с электродинамикой, распространением тепла, радиоактивным  распадом, оптимальным управлением  и т.д. 

  Традиционным примером  прикладной задачи, приводящей к  простейшему 

6

обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, является задача о радиоактивном распаде вещества.   Дифференциальные уравнения описывают процессы распространения тепла и диффузии газов. Изучение электромагнитных полей базируется на знаменитых уравнениях Максвелла.

Фундаментальную роль в квантовой механике играет дифференциальное уравнение, называемое уравнением Шредингера. Опираясь на решение системы дифференциальных уравнений, был сконструирован автопилот. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата “искусственная почка”, поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений. А ведь этот аппарат спасает жизни многих и многих. 

  Несколько десятков лет назад нелинейные уравнения мало кого интересовали. А сейчас они переживают взлет. Одиночные волны, которые описываются этими уравнениями, сейчас играют большую роль. Просто раньше такие уравнения не умели решать. 

  Теория дифференциальных  уравнений является самым большим  разделом современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место  в современной математической  науке, прежде всего, необходимо  подчеркнуть основные особенности  теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных  областей математики: теории обыкновенных  дифференциальных уравнений и  теории уравнений с частными  производными. Для составления математической  модели в виде дифференциальных  уравнений нужно, как 

правило, знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Важно

7

отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической и т.д.) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

  Задачи различных  естественных наук снабжают теорию  дифференциальных уравнений проблемами, из которых вырастают богатые  содержанием теории. Однако бывает  и так, что математическое исследование, рожденное в рамках самой математики, через значительное время после  его проведения находит приложение  в конкретных «жизненных» проблемах  в результате их более глубокого  изучения. Таким примером может  служить задача Трикоми для  уравнений смешанного типа, которая  спустя более четверти века  после ее решения нашла важные  применения в задачах современной  газовой динамики при изучении  сверхзвуковых течений газа. Д. Гильберт  писал, что “математика сопровождала  по пятам физическое мышление  и, обратно, получила наиболее мощные  импульсы со стороны проблем, выдвигавшихся физикой”. Таким  образом, дифференциальные уравнения  находятся как бы на перекрестке  математических дорог. 

  С одной стороны, новые  важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории  функций и других областях  математики сразу же приводят  к прогрессу в теории дифференциальных  уравнений и тем самым находят  путь к приложениям. С другой  стороны, проблемы физики и техники, биологии и медицины, химии и  т.д., сформулированные на языке  дифференциальных уравнений, вызывают  к жизни новые направления  в математике, приводят к необходимости  совершенствования математического  аппарата, дают начало новым математическим  теориям, имеющим 

8

внутренние законы развития, свои собственные проблемы. Ф. Клейн в книге «Лекции о развитии математики в XIX столетии» писал: “Математика в наши дни напоминает оружейное производство в мирное время. Образцы восхищают знатока. Назначение этих вещей отходит на задний план”. Несмотря на эти слова, можно сказать, что нельзя стоять за “разоружение” математики. 

  Вспомним, например, что  древние греки изучали конические  сечения задолго до того, как  было открыто, что по ним движутся  планеты. Действительно, созданная  древними греками теория конических  сечений не находила своего  применения почти две тысячи  лет, пока Кеплер не воспользовался  ею для создания теории движения  небесных тел. Исходя из теории  Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики  и техники. Другим таким примером  может служить теория групп, зародившаяся  в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в  недрах самой математики и  нашедшая лишь в конце XIX века  плодотворное применение сначала  в кристаллографии, а позднее  в теоретической физике и других  естественных науках.  

  Многие разделы теории  дифференциальных уравнений так  разрослись, что стали самостоятельными  науками. Можно сказать, что большая  часть путей, связывающих абстрактные  математические теории и естественнонаучные  приложения, проходит через дифференциальные  уравнения. Все это обеспечивает  теории дифференциальных уравнений  почетное место в современной  науке. Таким образом, в теории  дифференциальных уравнений ясно  прослеживается основная линия  развития математики: от конкретного  и частного через абстракцию  к конкретному и частному.

  Для реализации математических  моделей в настоящее время  широко используются компьютеры. С помощью ЭВМ проводят так  называемые 

9

«машинные эксперименты», при исследовании патологических процессов в кардиологии, развития эпидемий и т.д. При этом можно легко изменять масштаб по времени: ускорить или замедлить течение процесса, рассмотреть процесс в стационарном режиме, как это предложено в модели сокращения мышцы (модель Дещеревского) и по пространству. Например, ввести локальную пространственную неоднородность параметров, изменить конфигурацию зоны патологии. Изменяя коэффициенты или вводя новые члены в дифференциальные уравнения, можно учитывать те или иные свойства модулируемого объекта или теоретически создавать объекты с новыми свойствами, так,  например, получать лекарственные препараты более эффективного действия. С помощью ЭВМ можно решать сложные уравнения и прогнозировать поведение системы: течение заболевания, эффективность лечения, действия фармацевтического препарата и т.д.

Методика изучения дифференциальных уравнений студентами

УДК 519-7. 51-76. 372.851

Боциева Нино Иосифовна1, Боциев Игорь Федорович2
1Северо-Осетинская государственная медицинская академия, кандидат педагогических наук, доцент кафедры химии и физики
2Северо-Осетинская государственная медицинская академия, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры химии и физики


Аннотация
В статье рассматривается методика изучения дифференциальных уравнений методом проблемно-развивающего обучения. В качестве средства изучения дифференциальных уравнений студентами-медиками предлагается использовать прикладные медико-биологические задания.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, практико-ориентированные, ситуационные задания


Botsieva Nino Iosifovna1, Botsiev Igor Fedorovich2
1North Ossetian State Medical Academy, candidate of pedagogical sciences, associate professor of chemistry and physics
2North Ossetian State Medical Academy, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of chemistry and physics


Abstract
This article deals with the methodology of studying the differential equations through the approach of problem-development education. In capacity of studying differential equations by the medical students it`s proposed to use applied medical and biological tasks.

Рубрика: 13.00.00 ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Боциева Н. И., Боциев И.Ф. Методика изучения дифференциальных уравнений студентами // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 12 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2015/12/60619 (дата обращения: 29.01.2022).

Теория дифференциальных уравнений имеет множество приложений в разных науках, в том числе и в медицине. При математическом описании различных физических, химических, биологических процессов и явлений часто используют уравнения, содержащие не только изучаемые величины, но и их производные различных порядков от этих величин. Например, с помощью дифференциальных уравнений описываются процессы физиологической акустики (И.Ф. Боциев, Н.И. Боциева), гемодинамики, гемодиализа, для создания искусственной почки и многие другие процессы в организме человека [2].

В тематическом планировании дисциплины «Физика, математика» для студентов лечебного педиатрического и стоматологического факультетов раздел математики «Дифференциальные уравнения» мы включили в первый модуль, так как он востребован при изучении других дисциплин. Краткая теория дифференциальных уравнений, которую мы излагаем в содержании учебного пособия, включает в себя понятие дифференциального уравнения, общее и частные решения дифференциального уравнения. Из уравнений первого порядка рассматриваем уравнение с разделяющимися переменными и однородные уравнения. Алгоритм решения дифференциального уравнения достаточно легко усваивается студентами и не вызывает трудностей, что позволяет уделить больше времени решению профессионально ориентированных задач на составление дифференциального уравнения.

На занятиях преподаватели кафедры акцентируют внимание обучающихся на актуальности изучаемого материала (Ю.В. Морозов), так как приобретенные знания и навыки будут нужны им в дальнейшей учебной и практической деятельности [4]. На занятиях решаются биологические и медицинские задачи, обучающимся демонстрируется применение математических знаний, как в медицинской практике, так и в усвоении знаний по другим разделам физики и смежным дисциплинам. Во втором семестре студенты изучают дисциплину «Биофизика и медицинская аппаратура» и на практическом занятии по теме «Моделирование биофизических процессов» им предстоит решать задачи с помощью дифференциальных уравнений. Студенты объединяются в малые группы, им предлагается исследовать по заданной схеме три различные модели: модель естественного роста численности популяции (модель Мальтуса), модель изменения численности популяции с учетом конкуренции между особями (модель Ферхюльста), модель «хищник-жертва» (модель Вольтерра). Наиболее продвинутые студенты разбирают модель «хищник-жертва», поскольку требуется хорошая математическая подготовка, нужно решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, которую в общем виде аналитически решить нельзя, и задача сводится при определенных условиях к системе алгебраических уравнений [3]. Студент изучает материал, взаимодействуя с другими обучающимися, каждая группа представляет свои модели, интерпретирует полученные результаты, возникает дискуссия по изучаемому материалу. Таким образом, обучающиеся вовлекаются в исследовательский процесс, узнают что-то новое в коллективной работе и в итоге обсуждения. По мнению А.К. Марковой, «проблемное обучение сопровождается ситуациями свободного выбора заданий, атмосферой обсуждений, что увеличивает мотивацию престижности обучения, мотивацию рвения к компетентности» [5].

Самый большой интерес у студентов вызывает разбор фармакокинетической модели, которая предполагается для описания кинетики изменения концентрации введенного в организм лекарственного препарата.  Студенты работают в группах, им предлагается рассмотреть модель для трех случаев: 1) только инъекция; 2) только инфузия, это соответствует случаю, когда пациенту поставили только капельницу; 3) комбинированное введение препарата, это соответствует случаю, когда пациенту сделали укол и одновременно поставили капельницу. Для создания этих моделей студентам дается общая схема постановки задачи и кинетическое уравнение для массы лекарства в крови. Студенты в малых группах составляют и решают дифференциальные уравнения. Затем, идет представление моделей, интерпретация полученных результатов, графиков.

В конце занятия проводится самостоятельная работа, обучающиеся решают задачу для одного из трех способов введения лекарственного препарата, так как для разных способов решение имеет разный уровень сложности.

Задание. Проанализируйте изменение массы лекарственного препарата в крови при одном из трех способов введения (на ваш выбор) и для различных параметров m0, Q и k.

Для этого:

1. Запишите закон изменения m(t) для заданных параметров.

2. Постройте серии графиков m(t).

3. Оцените из графиков характерные величины:

а) Время, когда масса препарата в крови уменьшится в 2 раза, по сравнению с первоначальной при 1-м способе введения.

Сравните с теоретическим значением.

б) Время, когда m = 0,9 mcт  при 2-м способе введения лекарства.

Сравните с теоретическим значением.

В Рабочих тетрадях для внеаудиторной работы студенты самостоятельно решают аналогичные ситуационные задачи.

Данная методика изучения дифференциальных уравнений методом проблемно-развивающего обучения является результативной, практико-ориентированные задания содействуют формированию познавательной активности, положительной мотивации к обучению, эффективному формированию профессиональных компетенций.


Библиографический список
  1. Бекоева М.И. Факторный подход к исследованию математических способностей учащихся в условиях профильного обучения //Вестник Северо-Осетинского государственного университета имени Коста Левановича Хетагурова. 2009. Т. 2. С. 28-34.
  2. Боциева Н.И., Боциев И.Ф. Преподавание физико- математических дисциплин в медицинском вузе //Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2012. №5 (69). С. 104-107.
  3. Боциева Н.И., Боциев И.Ф. Преподавание физики и математики в условиях модернизации высшего медицинского образования //Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. 2012. Т. 18. №1. С. 121-124.
  4. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2010. – 205 с.
  5. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте /[Электронный ресурс] // Психология [Сайт]. – Режим доступа: URL: http://psymania.info/raznoe/307.php. – 27.02.2013.


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Бекоева Марина Ивановна»

Урок по теме “Дифференциальные уравнения”

Министерство ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное АВТОНОМНОЕ профессиональноЕ

образовательное учреждение САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«Балашовский техникум механизации сельского хозяйства»

Методическая разработка

открытого занятия по дисциплине

«Математика»

на тему: «Дифференциальные уравнения»

Автор: преподаватель Некрасова И. Н.

Балашов 2017

Аннотация

на методическую разработку открытого занятия

на тему «Дифференциальные уравнения»

Дисциплина: математика

Автор: преподаватель Некрасова И.Н.

Учебное заведение: ГАПОУ СО «Балашовский техникум механизации сельского хозяйства»

Содержание

Объём работы 20 листов.

Работа посвящена разработке методики проведения открытого занятия по математике в форме чередования различных видов работ при обобщении и систематизации знаний. Значимость этого занятия заключается в том, чтобы студенты могли объективно оценивать свои знания и знания своих товарищей.

Открытое занятие имеет групповую и индивидуальную формы организации и строится на следующих методах и приёмах: выборочный опрос, фронтальная работа, беседа, рассказ, самостоятельная работа, самопроверка и взаимопроверка.

Актуализация опорных знаний и выявление степени готовности студентов к занятию проводится методом беседы, тестирования и фронтального опроса.

Основную часть занятия составляет самостоятельная деятельность студентов под руководством преподавателя.

Достижению поставленных целей способствует оснащение занятия.

Методическая разработка предназначена для преподавателей с целью внедрения в рабочий процесс.

Содержание

стр

1 Предисловие 3

2 Основная часть 4

3 Заключение 18

4 Литература 20

Предисловие

Знания студентов, как правило, находятся в прямой зависимости от объёма и систематичности их самостоятельной деятельности. Так профессор П.И. Пидкасистый рассматривает самостоятельную деятельность как составляющую и стержень непрерывного образования. Он подчеркивал, что самообразование – это непрерывный процесс роста и развития знаний у человека.

Тем, кто хоть раз испытал радостное чувство от решения трудной задачи, познал радость пусть маленького, но открытия, а каждая задача в математике – это проблема, к решению которой человечество шло порою долгие годы, – тот будет стремиться познать еще и использовать полученные знания в жизни. Математика неисчерпаема и многогранна, ее особенности разнообразны и привлекательны. Одного покоряет ее стройность, другого – ее абстрактный метод, третий ценит ее полезность.

Каждый человек способен мыслить, понимать, рассуждать согласно доминирующего кластера мышления. Поэтому задача педагога – развить математическое мышление по разным направлениям. В этом помогает рефлексивная работа в группах. Совместная деятельность приводит к верному решению, прочному усвоению материала – и, самое главное, происходит осмысление и понимание решаемой задачи. Китайская мудрость гласит: «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю».

Тема данного занятия «Дифференциальные уравнения». Для проведения занятия студенты делятся на группы по 4-5 человек. Группы создаются с разными структурами мышления, так как необходимо, чтобы были те, кто хорошо разбирается в теории, кто умеет применять знания на практике и те, кто хорошо считает.

Содержание данного занятия включает в себя и индивидуальную работу, что повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

Данная методическая разработка создана для преподавателей математических дисциплин.

Основная часть

Цели:

дидактическая: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения», провести диагностику усвоения знаний и умений выполнять задания стандартного уровня;

воспитательная: воспитывать ответственность за результат своего труда;

развивающая: развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, классифицировать; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения;

методическая: освоить и продемонстрировать методику проведения открытого занятия в форме групповой работы при закреплении изученного материала.

Задачи:

1 Отработать навыки решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

2 Показать значимость практических знаний и умений при изучении математики.

Содержание занятия

I Организационный момент:

1.1 Приветствие преподавателя (высказывание добрых пожеланий обучающимся), мотивация учебной деятельности

Предварительная организация группы: проверка отсутствующих, внешнего состояния помещения, рабочих мест, наличия дежурных. Создание спокойной, деловой обстановки. Проверка готовности студентов к изучению материала.

1.2 Инициирование обучающихся к формулированию темы и целей занятия

/Слайд 1/

Эпиграфы к уроку:

«Великая книга природы написана на языке математики» (Г. Галилей)

«Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества» (1267г., английский философ Роджер Бэкон)

Прием: беседа, подводящая к теме урока, к формулированию целей.

Форма организации: групповая

II Актуализация знаний:

2.1 Мотивация: пробуждение интереса и побуждение к работе

/Слайды 2/

Теория дифференциальных уравнений является заключительной темой после изучения дифференциально–интегрального исчисления. Тема эта очень сложная. Она является важной для получения фундаментального естественно-научного образования, для формирования представлений о математике, как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса
«Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой», – писал А. Н.Колмогоров (выдающийся математик современности). Сегодня мы с вами должны обобщить и систематизировать материал по теме дифференциальных уравнений, совершенствовать свои умения и навыки, которые обязательно пригодятся при изучении спецдисциплин и дальнейшем обучении в высших учебных заведениях.

Перед Вами лежат оценочные листы, в которые на протяжении всего занятия Вы будете вносить свои достижения (см. приложение 1). Впишите, пожалуйста, свою фамилию и выставите свою первую оценку: как каждый из Вас оценивает свою подготовку к уроку.

Приемы: беседа

Форма организации: групповая, индивидуальная

2.2 Сообщение целей и задач занятия

/Слайды 3-4/

Цель нашего занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения». Для достижения этой цели мы проведем предварительное тестирование с самооценкой, чтобы увидеть свои пробелы в знаниях; фронтальный опрос по тем вопросам, которые были выданы для подготовки к занятию; групповое решение уравнений с проверкой на доске и создание алгоритмов решения каждого типа уравнения. Выполним разноуровневую самостоятельную работу.

И в заключение, увидим презентации задач прикладного характера, которые студенты подготовили самостоятельно. Результаты оценивания знаний на разных этапах заносятся в лист оценки знаний каждого студента. В процессе занятия учитывается и индивидуальная, и групповая формы работы.

Приемы: беседа

Форма организации: групповая

2.3 Выявление степени готовности обучающихся к выполнению действий

/Слайд 5/

«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь»

Древняя китайская пословица

2.3.1 Тестирование

/Слайды 6-7/

Итак, каков смысл данного выражения? Чтобы овладеть знаниями и умениями мы информацию должны не только услышать и увидеть, но и вовлечь себя в работу. Я предлагаю для начала вам тест на 5 минут с самопроверкой, который оценивается по количеству правильных ответов. С его помощью мы проверяем свои знания.

Тест по теме «Дифференциальные уравнения»

1 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений:

а) 2у – x = 1
б) y’ = 3x
в) 3dy = 2xdx
г) 3y” = 5x2

2) Вид дифференциального уравнения у’ = х + 1:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Решить задачу Коши – это найти

а) общее решение дифференциального уравнения;
б) начальные условия;
в) произвольную постоянную С;
г) частное решение дифференциального уравнения.

4) Решением дифференциального уравнения у” – 9 у = 0 является функция…

а) y = e3x
б) y = x9
в) y = 9x
г) y = cos x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении 

exlnydx + xydy = 0 приведет его к виду…

а) 
б) 
в) 
г) 

Тест по теме «Дифференциальные уравнения»

2 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений 2-го порядка:

а) dy = 3dx
б) y’’ = 4x
в) y2 = 2x
г) y” – 3y = 0

2) Вид дифференциального уравнения y’ + 4y – 2 = 0:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Дифференциальное уравнение вида  решается путем…

а) введения новой переменной y = u . x
б) разделения переменных
в) непосредственного интегрирования
г) введения новой переменной y = u . v

4) Решением дифференциального уравнения у” – 8y’ + 16у = 0 является функция…

а) y = e4x + xe4x
б) y = e4x + e– 4x
в) y = e4x(cos4x + sinx)
г) y = 4x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении приведет его к виду…

а) 
б) 
в) 
г) 

Проведем самопроверку теста. Сравните ответы, отметьте знаком + или – ответы. Оцените свою работу. Ответы на слайде.

Оценка:

за 5 правильных ответов – «5»,

за 4 правильных ответа – «4»,

за 3 правильных ответа – «3»,

за 1, 2 правильных ответа – «2».

Проверьте результаты и выставите оценку в свой лист учета знаний

Прием: тестирование

Форма организации: индивидуальная, самопроверка

2.3.2 Фронтальный опрос

А сейчас проведем фронтальный опрос по теории для того, чтобы частично подкорректировать знания тем, кто не совсем добросовестно повторял дома контрольные вопросы и имеет пробелы в знаниях. За правильные ответы Вы получаете дополнительные баллы в оценочный лист.

  • Какое уравнение называется дифференциальным? (Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции).

  • Как определить порядок ДУ? (Порядок ДУ определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении).

  • Какого порядка ДУ мы изучили? (Первого и второго порядка).

  • Какие ДУ первого порядка вы знаете? (С разделяющимися переменными, однородные, линейные).

  • Какие ДУ второго порядка мы изучили? (Сводящиеся к понижению степени и ОЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами).

Составить схему классификации ДУ на доске с помощью магнитов и названий ДУ, написанных на плакатах.  (Проверяется с помощью соответствующего слайда презентации /Слайд 8/)

  • Как решить ЛДУ с разделяющимися переменными? (Разделить переменные, проинтегрировать обе части уравнения, вычислить полученные интегралы и найти общее решение; если требуется, то решить задачу Коши)

  • Что значит решить задачу Коши? (Это значит найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях)

  • Какие методы решения ЛДУ 1-го порядка вы знаете? (Метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной Лагранжа)

Прием: выделение ключевых понятий

Форма организации: групповая, фронтальная, самопроверка

III Физкультминутка

/Слайд 9/

3. 1 Профилактические упражнения для глаз.

И.П. – сидя за партой.

-Закрыть глаза, отдых 10-15 секунд. Открыть глаза. Повторить 2,3 раза.

-Движения глазными яблоками: вправо-вверх; влево-вверх, вправо-вниз, влево-вниз. Повторить 3,4 раза.

-Глаза закрыть, отдых 10-15 секунд.

3.2 Расслабление мышц плечевого пояса.

Поднимаем руки вверх, слегка наклоняемся вперед. Роняем руки. Повиснув, руки слегка качаются, пока не остановятся. Повторяется несколько раз.

3.3 Упражнения для ног.

«Шаги (степ)»: ходьба на месте, не отрывая носков от пола.

IV Систематизация знаний, умений и навыков

4.1 Решение уравнений

До начала занятия студенты разбились на 6 групп. В каждой группе есть консультант – студент, который помогает ребятам своей группы и оценивает их работу.   Для проверки своих сил в решении конкретных уравнений я предлагаю каждой группе по одному или два уравнения на 10 минут. Решаем вместе, обмениваемся опытом. Когда группа справится с заданием, представитель выходит к доске и демонстрирует свои основные выкладки. После чего, мы еще раз сформулируем алгоритм решения каждого типа уравнения.  Итак, задание: определить вид уравнения, решить его, сформулировать алгоритм решения такого типа уравнения.

1 группа 2 группа

3 группа 4 группа

5 группа 6 группа

1) 1)

2) 2)

За участие в групповом решении консультанты должны выставить каждому оценку в лист учета знаний.

Прием: репродуктивный

Форма организации: групповая, индивидуальная, взаимопроверка, самопроверка

4.2 Самостоятельная работа

Сначала еще раз повторим типы дифференциальных уравнений. /Слайд 10/

После такого повторения предлагается выполнить каждому студенту индивидуальную разноуровневую самостоятельную работу. Порядковый номер каждого задания дает количество набираемых баллов. Каждый выбирает задания для себя самостоятельно.

/Слайд 11-16/

1) Определить вид дифференциального уравнения:

а)

б)

в)

г)

2) Составить характеристическое уравнение:

а)

б)

в)

г)

3) Зная k1 и k2, записать общее решение дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами:

а) k1=2; k2= -3

б) k1=k2=6

в) k1=4+i; k2=4-i

г) k1=0; k2=7

4) Решить задачу Коши, если:

а) , y(0)=3

б) , y(0)=5

в) , y(1)=27

г) , y()=0

Проведем взаимопроверку теста. Сравните ответы, отметьте знаком + или – ответы. Оцените работу. Ответы на слайде.

Система оценки:

Если сумма баллов порядковых номеров решаемых примеров находится в пределах:

от 4 до 9 ,то оценка «3»;

от 10 до 15, то оценка «4»;

от 16 и выше, то оценка «5».

Прием: репродуктивный

Форма организации: индивидуальная, взаимопроверка

V Физкультминутка

/Слайд 17/

5.1 Профилактические упражнения для глаз.

– Закрыть глаза, отдых 10-15 секунд. Открыть глаза, повторить 2,3 раза.

– Закрыть глаза. Выполнить круговые движения глазными яблоками с закрытыми глазами вправо и влево. Повторить 2,3 раза в каждую сторону.

– Поморгать глазами. Повторить 5,6 раз.

5.2 Расслабление мышц плечевого пояса.

Трясем кистями. (И.П. – руки согнуты в локтях ладонью вниз, кисти пассивно свисают). Быстрым и непрерывным движением предплечья трясти кистями, как тряпочками.

5.3 Упражнения для ног.

«Коленками рисуем круг»: прижимаем колени плотно друг к другу, ладони рук помещаем на колени и вращаем ими, делая круги сначала в одну сторону, затем в другую.

VI Задачи прикладного характера

/Слайд 18/

«Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький»

Конфуций

6.1. Историческая справка по применению дифференциальных уравнений

При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.

Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.

Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать ее на небе. Точно в указанном месте эта планета / её назвали НЕПТУН / была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта « на кончике пера» / путем вычислений/.

Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.

6.2. Применение дифференциальных уравнений

А сейчас мы посмотрим домашние презентации, которые покажут нам применение дифференциальных уравнений в нашей жизни:

1) видеоролик «Дифференциальные уравнения и экономика»;

2) презентация «Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии»;

3) презентация «Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике».

Прием: рассказ

Форма организации: групповая

VII Задание на дом

/Слайд 19/

1) Повторить все формулы, определения и алгоритмы.

2) Решить задачу: Ускорение a материальной точки, движущейся прямолинейно в зависимости от времени t, выражается формулой a=2t+3. Найти закон движения, если v=2, s=5 при t=1.

VIII Итоговая рефлексия:

Давайте подведем итог нашему занятию.

1. Какие разделы математики мы сегодня с вами повторяли? (Степени и корни, логарифмы, функции и графики, тригонометрию, комплексные числа)

2. Какие межпредметные связи были использованы? (Литература, физика, техническая механика, экономика, биология).

Таким образом, мы видим, что в теории дифференциальных уравнений математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики. Она как бы находится на перекрестке математических дорог. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории ДУ. Классическим примером такого взаимодействия являются исследования колебаний струны, проводившиеся в середине 18 века.

А что вы мне скажите по поводу нашего урока?

(Самооценка собственной деятельности обучающихся) /Слайд 20/

Я узнал…

Я запомнил…

Я смог…

Мне понравилось…

Для меня стало новым…

Меня удивило…

У меня получилось…

Я приобрёл…

Мне захотелось…

Приемы рефлексии: незаконченное предложение.

Формы организации: фронтальная

IX Заключительная часть занятия

Сегодня на занятии мы повторили тему «Дифференциальные уравнения». Вспомнили определение, различные типы данных уравнений и способы их решения. Каждый оценил себя на отдельных этапах занятия. Итоговая оценка будет выставлена на следующем занятии. Она будет состоять из всех оценок в вашем листе плюс оценка преподавателя.

Мы также убедились, что дифференциальные уравнения используются в различных областях нашей жизни.

И закончить наше занятие хочется словами Альберта Эйнштейна: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно» /Слайд 21/

Заключение

Сегодняшний урок «Дифференциальные уравнения» является обобщающим уроком темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Основной целью занятия было обобщение и расширение знаний о различных видах дифференциальных уравнений. К образовательным задачам я отнесла обобщение и систематизацию знаний по теме «Дифференциальные уравнения», проведение диагностики усвоения знаний и умений выполнять задания стандартного уровня; к развивающим – развитие логического мышление, умения сравнивать, обобщать, классифицировать; развитие и совершенствование умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; к воспитательным – воспитание чувства ответственности за результат своего труда.

В данной группе 24 обучающихся, поэтому они были разбиты на 6 подгрупп.

Этот урок был направлен на обобщение и систематизацию знаний и включал в себя 9 этапов, главным из которых был 4. Он включал в себя групповую работу над решением уравнений с последующей демонстрацией и объяснениями на доске.

Материал урока оказался интересным для обучающихся. В ходе урока были задействованы и групповая, и индивидуальная, и фронтальная формы работы. Различные виды заданий были ориентированы на внимательность, на умение быстро ориентироваться в создавшейся ситуации.

В основном руководство преподавателя носило инструктирующий характер.

Мне удалось уложиться по времени. Распределение времени было рациональным. Темп урока средний. Урок было вести легко и интересно, так как все его участники были заинтересованы темой и достаточно быстро включались в работу. Меня порадовали Глазков Никита, Аляев Виталий и Шакин Александр, потому что они все «схватывали на лету» и при этом что-то объясняли участникам своей подгруппы.

Цель занятия была достигнута, план урока выдержанным, материал усвоенным. Все студенты справились с заключительным тестированием.

Домашнее задание не должно вызвать затруднений, так как на уроке было много повторено и усвоено много нового материала.

В целом урок можно считать удовлетворительным.

Список использованной литературы

Основные источники:

1. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2015. –

396 с. (Гриф УМО СПО)

Дополнительные источники:

1. Абанина, Т.И. Математика: справочник для студентов вузов, техникумов, колледжей / Т. И. Абанина. – Ростов н/Д: Феникс, 2014. – 376с.

2. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике : учеб. пособие для СПО/ Н. В. Богомолов. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2015. – 495 с. (Гриф УМО СПО)

Приложение 1

Лист оценки знаний студента___________________________________________

по теме «Дифференциальные уравнения»

Группа № Консультант ______________________________

Оценка знаний студента консультантом

за участие в групповом решении

Доп. баллы

Самостоятельная работа

Итоговая оценка

подго-

товка

к уроку

тест

самооценка

оценка преподавателя

самооценка

преподавателя

Математические методы в медицине: неврология, кардиология и патология

Реферат

Применение математики, естественных наук и техники в медицине набирает обороты по мере того, как взаимная выгода от этого сотрудничества становится все более очевидной. Этот тематический выпуск призван осветить тенденции в области математики. В частности, цель этого тематического выпуска состоит в том, чтобы дать общее представление о текущих исследованиях в области применения математических методов в медицине, а также показать, как математика может помочь в таких важных аспектах, как понимание, предсказание, лечение и обработка данных.С этой целью были выбраны три репрезентативные специальности: неврология, кардиология и патология. Что касается тем, 12 исследовательских работ и один обзор, включенные в этот выпуск, охватывают биологические жидкости, сердечную и вирусную динамику, вычислительную нейробиологию, обработку данных функциональной магнитно-резонансной томографии, нейронные сети, оптимизацию стратегий лечения, анализ временных рядов и рост опухоли. В заключение, этот тематический выпуск содержит коллекцию замечательных материалов на стыке математики и медицины, не как упражнение в прикладной математике, а как междисциплинарное исследование, которое интересует как сообщества, так и наше общество в целом.

Статья является частью тематического выпуска «Математические методы в медицине: неврология, кардиология и патология».

Ключевые слова: математика, неврология, кардиология, патология

1. Введение

История математики в биомедицинских науках восходит как минимум к 1798 году, когда Томас Мальтус опубликовал свой знаменитый закон роста человеческой популяции [ 1], модифицированный в 1838 году Пьером-Франсуа Ферхюльстом [2] для учета ограниченного количества доступных ресурсов в реальности.«Логистический» темп роста, предложенный Ферхюльстом, был перенесен на другие модели динамики населения, т.е. расселение животных и пространственное распространение полезного гена, в то время как его версия с дискретным временем является воплощением параметрической динамической системы с регулярным и хаотическим поведением. Дальнейшие вехи включают (i) модель «жертва-хищник» Вольтерры для объяснения сокращения рыбных запасов в Адриатическом море после Первой мировой войны [3], (ii) объяснение Тьюрингом с помощью дифференциальных уравнений реакции-диффузии того, как пространственные закономерности в морфогенах формы концентрации [4] и (iii) изучение роевого поведения и его связи с самоорганизацией, коллективным разумом, эмерджентным поведением и эволюционными моделями [5]. Среди примеров, непосредственно связанных с современной медициной, упомянем еще три: (а) модели передачи малярии сэра Рональда Росса [6], позже расширенные Кермаком и Маккендриком до так называемой модели восприимчиво-инфицированного компартмента, (б) уравнения Ходжкина-Хаксли для потенциала действия на аксоне нейрона, что знаменует собой начало вычислительной нейронауки [7], и (c) появление компьютерной томографии, ставшее возможным благодаря интегральному преобразованию Радона.

В настоящее время математика успешно применяется в ряде важных областей медицины, включая биологические жидкости, сердечно-сосудистые заболевания, клинические графики и тесты, анализ данных, разработку и открытие лекарств, эпидемиологию, генетику, обработку изображений, иммунологию, приборостроение, микробиологию, неврологию, онкология, вирусология и др.Список инструментов включает практически всю прикладную математику. Приведем наиболее известные из них: разностные уравнения и динамические системы с дискретным временем, теория информации и кодирования, теория графов и сетей, интегральные преобразования, численная и вычислительная математика, обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы с непрерывным временем, уравнения в частных производных, стохастические и дифференциальные уравнения с запаздыванием, статистика, вероятностный анализ и анализ временных рядов. Все эти исследования способствовали и продолжают способствовать как лучшему пониманию медицинских явлений, так и поиску практических способов действий.В результате этих усилий возникли новые отрасли прикладной математики, например. биоматематика и вычислительная нейробиология. Но самым важным последствием стало улучшение здравоохранения и качества жизни в результате, скажем, ранней и точной диагностики, более эффективных лекарств, борьбы с эпидемиями и биотехнологических ноу-хау.

Главной причиной повсеместного распространения математики в современной науке является необходимость математического мышления для понимания сложных явлений.Математический подход включает количественную оценку наблюдений, моделирование, классификацию, оптимизацию, обработку данных, анализ, предсказание и проверку. Юджин Вигнер, великий физик-математик, говорил о «необоснованной эффективности математики в естественных науках» [8], чтобы выразить силу математического подхода. В свою очередь верно и то, что своим вдохновением и бурным развитием математика во многом обязана естественным наукам, а также биологии, психологии, экономике, социальным наукам и медицине. Классическими примерами являются статистика, актуарная математика, стохастические дифференциальные уравнения и анализ временных рядов, а также биологически вдохновленные алгоритмы классификации, оптимизации и вычислений, такие как нейронные сети, генетические алгоритмы и вычисления ДНК. По мере развития возможностей сбора и обработки данных потенциал математики для влияния на биологические и другие «мягкие» науки будет продолжать расти. Все это подчеркивает центральную роль междисциплинарного сотрудничества в развитии науки вообще и математики в частности.

При этом должно быть ясно, что медицинские приложения математики относятся к большому количеству отраслей. Вместо того, чтобы останавливаться на каком-то конкретном, мы отобрали несколько различных вкладов в нейробиологию, кардиологию и патологию, чтобы показать возможности математического подхода и то, как он может обогатить темы разного характера. Эти три ветви не пересекаются, и их границы не являются резкими с точки зрения прикладной математики. Что действительно важно для наших целей, так это то, что они составляют основу важной исследовательской деятельности, особенно благодаря влиянию результатов.Наконец, отметим, что применение математики в медицине переживает период большого научного интереса.

2. Этот выпуск

Этот тематический выпуск о применении математики в медицине состоит из шести статей, относящихся к области неврологии [9–14], трех статей, относящихся к кардиологии [15–17], и четырех статей, принадлежащих патологии [18–21], всего 13 статей из коллабораций 55 ученых.

Далее мы кратко изложим математическое содержание всех этих статей.Вместо того, чтобы делать это по одному, мы предпочитаем собирать их (несколько произвольно) в соответствии с их математической предметной областью, чтобы обеспечить более общую перспективу. Более подробную информацию читатель найдет в ссылках на статьи.

(a) Клеточные автоматы

Отношение клеточных автоматов к биологии можно узнать уже из названия. Действительно, клеточные автоматы были введены в 1940-х Станиславом Уламом [22] и Джоном фон Нейманом [23] как простые модели машинного самовоспроизведения.Двумерные бинарные клеточные автоматы стали очень популярными в 1970-х годах, в том числе за пределами компьютерного сообщества, благодаря «Игре жизни» Джона Конвея, которая была популяризирована Мартином Гарднером в [24]. Совсем недавно публикация книги Стивена Вольфрама [25] выдвинула на первый план одномерные бинарные клеточные автоматы, что стало кульминацией двух десятилетий работы над их свойствами и классификацией. С формальной точки зрения клеточные автоматы можно рассматривать как непрерывные (топологические) динамические системы с дискретным временем.

Лопес и др. . [21] моделируют ограниченный рост питательных веществ иммуногенной опухоли с помощью гибридного клеточного автомата. Модель включает четыре типа клеток: здоровые клетки, опухолевые клетки, иммунные эффекторные клетки и мертвые клетки. В зависимости от иммуногенности опухоли переходная и асимптотическая динамика клеточного автомата демонстрирует три основных типа динамики, которые интересно тесно связаны с тремя фазами теории иммунного редактирования, а именно: элиминация, равновесие и ускользание. Показано, что иммунная система может удерживать опухоль в состоянии покоя в течение длительных периодов времени, но этот покой основан на хрупком балансе между механизмами, лежащими в основе иммунного ответа и роста опухоли. Таким образом, авторы подвергают сомнению способность клеточно-опосредованного иммунного ответа поддерживать длительные периоды покоя. Это исследование иллюстрирует, как комплексный подход, включающий числовые данные и теоретические рассуждения, может улучшить наше понимание биологически мотивированных моделей и стимулировать новые исследования возможных терапевтических стратегий.

(b) Вычислительная гидродинамика

Применение вычислительной гидродинамики в медицине вполне естественно, хотя и весьма нетривиально, в основном по следующим двум причинам. Во-первых, большинство биологических жидкостей (например, кровь, сперма, лимфа) являются неньютоновскими, т.е. в отличие от более привычных ньютоновских жидкостей, таких как вода, их поведение не описывается уравнением Навье-Стокса. Во-вторых, границы сосудов и полостей, транспортирующих и содержащих жидкости в организме человека, являются гибкими (вены и артерии), изменяющимися во времени (сердце), пористыми (желудочки головного мозга) или имеют сложную геометрию (легкие), что затрудняет численное моделирование. еще более сложной задачей.

В [20], Хименес и др. . расширить предыдущую работу по разработке вентрикулярных катетеров для лечения гидроцефалии, заболевания, характеризующегося избытком спинномозговой жидкости в желудочках головного мозга. В серии работ некоторые авторы оптимизировали геометрию и конфигурацию отверстий катетера, чтобы получить равномерную картину потока вдоль перфорированной области. Такие катетеры менее подвержены закупорке, вызванной макромолекулами и тканями, присутствующими в спинномозговой жидкости, чем используемые стандартные катетеры.По сравнению с общей гидромеханической задачей этот частный случай проще, поскольку (i) спинномозговая жидкость является ньютоновской с высокой степенью точности и (ii) влияние геометрии желудочка на его поток через катетер можно считать пренебрежимо малым. с оговоркой, что катетер был правильно установлен в желудочке. Кроме того, авторы предполагали постоянный поток на входе. В этой последующей статье авторы принимают во внимание пульсирующую природу спинномозговой жидкости из-за сердцебиения и кровотока и количественно оценивают соответствующие поправки.Таким образом, они проверяют свои конструкции катетеров в более реалистичных условиях. Как и в своей предыдущей работе, авторы используют OpenFOAM® [26], готовый вычислительный инструмент для гидродинамики [18], наряду со вспомогательными инструментами построения сетки и графическими инструментами.

(c) Обработка данных

Под обработкой данных понимается любой метод извлечения ценной информации из набора данных. В отличие от анализа временных рядов (см. § 2g), данные не обязательно должны быть наблюдениями явления, развивающегося во времени. Обработка данных — это междисциплинарная область, пересекающаяся со статистикой, анализом временных рядов, машинным обучением, искусственным интеллектом и, как мы вскоре увидим, со статистической физикой и алгеброй (например,грамм. теория графов) тоже. Благодаря потоку данных, вызванному новыми информационными технологиями, обработка данных (иногда под броским названием анализа больших данных) в настоящее время стала одной из самых активных областей прикладной математики.

Данные проанализированы Эзаки и др. . [9] представляют собой воксели, полученные с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии некоторых областей мозга. Цель состоит в том, чтобы представить эту информацию таким образом, чтобы можно было легко идентифицировать изменения в динамике мозга.Для этого авторы прибегают к модели максимальной энтропии, основной вариант которой также известен как модель Изинга и машина Больцмана. В результате авторы сопоставляют динамику мозга с движением частицы по «энергетическому ландшафту», полученному на основе записей нейровизуализации. В частности, авторы определяют значения параметров более эффективно, чем обычный метод градиентного спуска. В более общем плане модель максимальной энтропии является полезным методом для представления многомерных данных, которые неоднократно наблюдались, и получения структуры взаимодействия между переменными.

Лорд и др. [11] обеспечивают тщательный обзор интеграции и сегрегации с точки зрения коннектомики всего мозга. Важно отметить, что они отодвигают границу от статической сетевой структуры к изменяющимся во времени системам. Широкий спектр психических и нейрофизиологических состояний можно охарактеризовать по степени, в которой сигналы из разных областей мозга либо связаны, либо разделены. В этом обзоре представлен обзор того, как различные физиологические состояния можно интерпретировать с помощью вычислительных моделей всего мозга, и как эти вычислительные модели включают сегрегацию или интеграцию.Более того, они продолжают описывать, как можно количественно оценить интеграцию и сегрегацию. В заключение они предполагают, что такие меры могут дать биомаркеры или практические терапевтические цели, имеющие клиническое значение. Они ясно показывают, что приближение к пониманию поведения всего мозга с помощью вычислительных и математических моделей способствует возникновению стратифицированной нейропсихиатрии и потенциалу для персонализированной терапии.

Кластеризация — обычная задача статистического анализа данных, особенно важная при классификации и поиске информации, распознавании образов и обработке изображений.Заимствуя определение из Lorimer et al. [12], кластеризация — это разбиение множества объектов на подмножества, или кластеры, выражающие между собой и по сравнению с объектами, не входящими в кластер, повышенную степень сходства. В качестве примера подумайте об идентификации вредоносных тканей на скане позитронно-эмиссионной томографии части тела. Лоример и др. . сравните и обсудите два биологически мотивированных метода кластеризации: подход Phenograph и кластеризацию обучения Hebbian.Оба алгоритма представляют точки данных как узлы графа k ближайших соседей, с расстояниями, закодированными как веса ребер, и, что наиболее важно, не предвзяты в отношении предположения о гауссовских облаках данных или самих кластерах. С другой стороны, выбор релевантных характеристик кластеров неизбежно приводит к систематической ошибке в результатах. Ввиду своих численных результатов с синтетическими и естественными данными авторы уточняют важность выбора признаков, соответствующих искомой классификации данных.

(d) Дифференциальные уравнения/динамические системы

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных повсеместно используются в прикладной математике, поскольку они описывают явления, зависящие от времени; простой пример — демографическая эволюция, заданная уравнениями Мальтуса и Ферхюльста. В особых случаях дифференциальные уравнения должны быть дополнены, чтобы справиться с эффектами памяти (интегро-дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения с запаздыванием) и шумом (стохастические дифференциальные уравнения).Если для удобства время движется дискретно (например, от поколения к поколению в динамике населения), то речь идет о разностных уравнениях, которые представляют собой самостоятельный раздел математики и формализм, лежащий в основе теории динамических систем в дискретном времени. В то время как теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разностных уравнений (или, если на то пошло, динамических систем в непрерывном и дискретном времени) хорошо разработаны и понятны, неудивительно, что в теории (нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных до сих пор отсутствует единый подход.Этот недостаток на практике обходится численными методами; типичный пример был рассмотрен в §2b: вычислительная гидродинамика. Заметим попутно, что дискретизация дифференциального уравнения с помощью конечных разностей приводит к разностному уравнению.

В этом разделе мы рассматриваем статьи по вычислительной нейронауке [14] и по динамике сердца [15]. Другие модели, описываемые также дифференциальными уравнениями, будут рассмотрены в §2e,f. Масленников и др. [13], в котором используются разностные уравнения, также включен в §2e.

Синхронизация нейронных сетей играет важную роль в динамике мозга, типичным примером исследования является эпилепсия. В этой обстановке Реймбаев и др. . [14] анализируют взаимодействие между возбуждающими и тормозными синаптическими связями и то, как они комбинируются, чтобы создать как синхронизированную, так и несинхронизированную нейронную активность. В частности, они описывают новый механизм синхронизации в сетях связанных разрывных нейронов, основанный на комбинированной электрической и тормозной связи, который, безусловно, будет способствовать пониманию коллективной динамики колеблющихся нейронных сетей.Результаты проверяются в небольших сетях и показывают, что они сохраняются в более крупных.

В [15], Boccia и др. . иметь дело с низкоэнергетическими методами контроля (стимуляция в дальней зоне) для дефибрилляции. В частности, они численно изучают открепление и прекращение спиральных волн вокруг ишемической неоднородности, моделируемой как небольшой круговой участок в двумерном листе сердечной ткани, с помощью фазы I так называемой модели потенциала действия Луо-Руди. Исследуются и сравниваются два случая: упрощенная изотропная среда (в которой внеклеточная и внутриклеточная проводимости, параллельные и поперечные волокнам, считаются равными) и реальная анизотропная среда (в которой эти проводимости различны).В результате авторы показывают, что во втором случае диапазон стимуляции в дальнем поле, приводящий к успешному прекращению закрепленных спиральных волн, больше.

(e) Сети

В этом тематическом выпуске большое внимание уделяется статьям, посвященным методам науки о сетях. Сетевые модели — это, конечно, очень естественный способ описать динамику взаимодействия в самых разных физиологических системах. Статьи в этом выпуске посвящены сетевым подходам к моделированию взаимодействия в нейрофизиологических условиях [10,13] и при передаче заболеваний [18].Выбор этих приложений является вполне преднамеренным, потому что это случаи, когда структура сети является неотъемлемой частью интересующего динамического поведения.

В случае [10,13] мы видим два разных исследования эмерджентного поведения в нейрофизиологических моделях, которые сильно зависят от структуры самой сети. Масленников и др. . [13] изучают адаптивную сеть спайковых нейронов. Начиная с простых биологически вдохновленных элементов и небольшой базовой сети этих элементов, они описывают модель, в которой элементы реагируют на стимул, чтобы изменить свою связь.Это позволяет сети нейронов создавать сложные ответы на определенные раздражители. Они характеризуют эту структуру с точки зрения базовой сети, существующей в гиперсети.

Наоборот, в [10], Li et al. обращаются к нейронным лавинам в модели спайковой нейронной сети. Было замечено, что сети физиологически вдохновленных нейронов самоорганизуются до критического состояния, когда результирующая динамика системы может демонстрировать смесь упорядоченных и неупорядоченных паттернов.Любопытно, что критическая область, которая может демонстрировать строго упорядоченную работу, является узкой для систем нейронов спайков. В [10] у нас есть исследование этой проблемы с точки зрения автомата с жидким состоянием. Они показывают, что производительность машины с жидким состоянием оптимальна, когда пул нейронов работает в этом критическом состоянии.

Сложные сети появляются в очень широком диапазоне приложений, и это продемонстрировано в этом тематическом выпуске с нашим третьим вкладом из этой области.Фу и др. [18] исследуют проблему передачи болезней в сложных сетях. В настоящее время имеется значительный объем литературы в области болезней (и других процессов распространения) в сложных сетях. Особый вклад Chen et al. [18] заключается в рассмотрении двух конкурирующих штаммов и получении аналитических выражений для эпидемического порога и соответствующих условий эндемичной передачи. Они расширяют подход с использованием производящей функции вероятности на случай (обязательно) попарной аппроксимации по модели передачи.Конкурирующие штаммы вируса, конечно, имеют значение для широкого спектра заболеваний, а также для лечения.

(f) Оптимизация

Оптимизация является основной задачей во многих областях математики, науки и техники. По этой причине он был предметом большого интереса и труда на протяжении последних столетий. В результате возникли совершенно новые разделы математики, такие как вариационное исчисление, выпуклая оптимизация и исследование операций. В настоящее время оптимизация остается очень активной областью исследований, в которой разрабатываются новые методы для решения старых и новых задач.

Христодулидес и др. . [19] представляют интересное применение классической теории оптимального контроля для разработки лекарств и режимов лечения (в данном случае) атопического дерматита. Их статья — прекрасный пример того, как классическая прикладная математика (и в данном случае теория динамических систем) может быть применена к информированной персонализированной медицине. Как и при многих заболеваниях, реакция пациента на атопический дерматит не является постоянной, а представляет собой динамическую систему. Охарактеризовав эту систему, они могут настроить время и дозировку своего лечения, чтобы прийти к оптимальному решению.Их пример хорош тем, что он опирается на довольно простую математику для получения элегантного решения реальной проблемы.

(g) Анализ временных рядов

Анализ временных рядов является полезным инструментом при изучении изменяющихся во времени явлений, управляющие уравнения которых неизвестны или слишком сложны для детального анализа. В линейном (или статистическом) подходе обычная задача состоит в том, чтобы найти случайный процесс, который соответствует наблюдениям. В нелинейном анализе временных рядов рабочая гипотеза состоит в том, что наблюдения выводятся стационарной диссипативной нелинейной системой.На этот раз цель состоит в том, чтобы охарактеризовать аттрактор системы с помощью динамических и/или геометрических параметров, таких как показатели Ляпунова и различные фрактальные размерности. В случае многомерных временных рядов дополнительным объемом могут быть причинно-следственные связи (также называемые связями или информационными направлениями) между парами компонентов. См. [27] для общего введения в нелинейный анализ временных рядов с приложениями.

В приложениях область действия может быть более скромной. Типичным примером является различение различных динамических состояний или «режимов» исследуемой системы. Подумайте о медицинском аналитике, который хочет отличить на электроэнцефалограмме больного эпилепсией нормальное состояние здоровья от ненормального состояния (эпилептического припадка). Наблюдаемая величина, соответствующая этой задаче, иногда называется биомаркером в медицинских приложениях, независимо от ее математической природы. Так, в литературе можно найти биомаркеры, начиная от традиционной статистики, нескольких видов энтропии, подсчета каких-то символов и заканчивая даже свойствами графиков, построенных на основе данных.Конкретные реализации этой стратегии можно найти в [16,17], как мы объясним ниже.

Имея L последовательных (или, в более общем случае, равноудаленных) данных временного ряда, можно присвоить им символ. В частности, если L  > 1, этот символ может быть перестановкой, полученной путем упорядочения этих данных в соответствии с их размером. Повторяя это назначение со скользящими блоками данных, можно заменить исходный временной ряд серией перестановок, которые удачно называются порядковыми образцами и используются в анализе временных рядов, эргодической теории и динамических системах для ряда целей [28].В [16] эта процедура символизации сделана на шаг дальше, чтобы построить связанную порядковую сеть с данными следующим образом: L ! возможные порядковые шаблоны – это узлы сети, и ссылка идет от узла A к узлу B, если порядковый шаблон B следует шаблону A в символизированном ряду. Этот метод делает доступными возможности теории сетей для аналитика данных. Например, используя меры сложности, подобные энтропии, определенные из порядковой сети, McCullough et al .[16] способны различать электрокардиограммы, характеризующиеся нормальным синусовым ритмом, желудочковой тахикардией и фибрилляцией желудочков. Другие интересные приложения и числовые вопросы, связанные с анализом, также подробно обсуждаются.

Статья Порты и др. . [17] родственна [16] тем, что в ней также используется величина, подобная энтропии (переносная энтропия, популярная мера причинности), но на этот раз для оценки силы кардиального и симпатического барорефлекса.Причинно-следственный анализ обеспечивает идеальную основу для оценки силы физиологических взаимодействий, направленных на поддержание артериального давления во время ортостатической нагрузки, при наличии соответствующих нелинейных отношений и искажающих факторов, размывающих причинно-следственную связь между активностью симпатических нервов и артериальным давлением (например, прямое влияние дыхания на обе переменные). Порта и др. . [17] используют и сравнивают основанный на модели и не модельный подход к оценке переноса энтропии, основанный, соответственно, на многомерной авторегрессионной модели и методе k -ближайшего соседа, чтобы оценить силу причинно-следственной связи между симпатической активностью и артериальной кровью. давление и наоборот в многофакторной структуре, учитывающей частоту сердечных сокращений и дыхание как ковариаты.

Математические методы в медицине: неврология, кардиология и патология

Реферат

Применение математики, естественных наук и техники в медицине набирает обороты по мере того, как взаимная выгода от этого сотрудничества становится все более очевидной. Этот тематический выпуск призван осветить тенденции в области математики. В частности, цель этого тематического выпуска состоит в том, чтобы дать общее представление о текущих исследованиях в области применения математических методов в медицине, а также показать, как математика может помочь в таких важных аспектах, как понимание, предсказание, лечение и обработка данных.С этой целью были выбраны три репрезентативные специальности: неврология, кардиология и патология. Что касается тем, 12 исследовательских работ и один обзор, включенные в этот выпуск, охватывают биологические жидкости, сердечную и вирусную динамику, вычислительную нейробиологию, обработку данных функциональной магнитно-резонансной томографии, нейронные сети, оптимизацию стратегий лечения, анализ временных рядов и рост опухоли. В заключение, этот тематический выпуск содержит коллекцию замечательных материалов на стыке математики и медицины, не как упражнение в прикладной математике, а как междисциплинарное исследование, которое интересует как сообщества, так и наше общество в целом.

Статья является частью тематического выпуска «Математические методы в медицине: неврология, кардиология и патология».

Ключевые слова: математика, неврология, кардиология, патология

1. Введение

История математики в биомедицинских науках восходит как минимум к 1798 году, когда Томас Мальтус опубликовал свой знаменитый закон роста человеческой популяции [ 1], модифицированный в 1838 году Пьером-Франсуа Ферхюльстом [2] для учета ограниченного количества доступных ресурсов в реальности.«Логистический» темп роста, предложенный Ферхюльстом, был перенесен на другие модели динамики населения, т.е. расселение животных и пространственное распространение полезного гена, в то время как его версия с дискретным временем является воплощением параметрической динамической системы с регулярным и хаотическим поведением. Дальнейшие вехи включают (i) модель «жертва-хищник» Вольтерры для объяснения сокращения рыбных запасов в Адриатическом море после Первой мировой войны [3], (ii) объяснение Тьюрингом с помощью дифференциальных уравнений реакции-диффузии того, как пространственные закономерности в морфогенах формы концентрации [4] и (iii) изучение роевого поведения и его связи с самоорганизацией, коллективным разумом, эмерджентным поведением и эволюционными моделями [5].Среди примеров, непосредственно связанных с современной медициной, упомянем еще три: (а) модели передачи малярии сэра Рональда Росса [6], позже расширенные Кермаком и Маккендриком до так называемой модели восприимчиво-инфицированного компартмента, (б) уравнения Ходжкина-Хаксли для потенциала действия на аксоне нейрона, что знаменует собой начало вычислительной нейронауки [7], и (c) появление компьютерной томографии, ставшее возможным благодаря интегральному преобразованию Радона.

В настоящее время математика успешно применяется в ряде важных областей медицины, включая биологические жидкости, сердечно-сосудистые заболевания, клинические графики и тесты, анализ данных, разработку и открытие лекарств, эпидемиологию, генетику, обработку изображений, иммунологию, приборостроение, микробиологию, неврологию, онкология, вирусология и др. Список инструментов включает практически всю прикладную математику. Приведем наиболее известные из них: разностные уравнения и динамические системы с дискретным временем, теория информации и кодирования, теория графов и сетей, интегральные преобразования, численная и вычислительная математика, обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы с непрерывным временем, уравнения в частных производных, стохастические и дифференциальные уравнения с запаздыванием, статистика, вероятностный анализ и анализ временных рядов. Все эти исследования способствовали и продолжают способствовать как лучшему пониманию медицинских явлений, так и поиску практических способов действий.В результате этих усилий возникли новые отрасли прикладной математики, например. биоматематика и вычислительная нейробиология. Но самым важным последствием стало улучшение здравоохранения и качества жизни в результате, скажем, ранней и точной диагностики, более эффективных лекарств, борьбы с эпидемиями и биотехнологических ноу-хау.

Главной причиной повсеместного распространения математики в современной науке является необходимость математического мышления для понимания сложных явлений.Математический подход включает количественную оценку наблюдений, моделирование, классификацию, оптимизацию, обработку данных, анализ, предсказание и проверку. Юджин Вигнер, великий физик-математик, говорил о «необоснованной эффективности математики в естественных науках» [8], чтобы выразить силу математического подхода. В свою очередь верно и то, что своим вдохновением и бурным развитием математика во многом обязана естественным наукам, а также биологии, психологии, экономике, социальным наукам и медицине.Классическими примерами являются статистика, актуарная математика, стохастические дифференциальные уравнения и анализ временных рядов, а также биологически вдохновленные алгоритмы классификации, оптимизации и вычислений, такие как нейронные сети, генетические алгоритмы и вычисления ДНК. По мере развития возможностей сбора и обработки данных потенциал математики для влияния на биологические и другие «мягкие» науки будет продолжать расти. Все это подчеркивает центральную роль междисциплинарного сотрудничества в развитии науки вообще и математики в частности.

При этом должно быть ясно, что медицинские приложения математики относятся к большому количеству отраслей. Вместо того, чтобы останавливаться на каком-то конкретном, мы отобрали несколько различных вкладов в нейробиологию, кардиологию и патологию, чтобы показать возможности математического подхода и то, как он может обогатить темы разного характера. Эти три ветви не пересекаются, и их границы не являются резкими с точки зрения прикладной математики. Что действительно важно для наших целей, так это то, что они составляют основу важной исследовательской деятельности, особенно благодаря влиянию результатов.Наконец, отметим, что применение математики в медицине переживает период большого научного интереса.

2. Этот выпуск

Этот тематический выпуск о применении математики в медицине состоит из шести статей, относящихся к области неврологии [9–14], трех статей, относящихся к кардиологии [15–17], и четырех статей, принадлежащих патологии [18–21], всего 13 статей из коллабораций 55 ученых.

Далее мы кратко изложим математическое содержание всех этих статей.Вместо того, чтобы делать это по одному, мы предпочитаем собирать их (несколько произвольно) в соответствии с их математической предметной областью, чтобы обеспечить более общую перспективу. Более подробную информацию читатель найдет в ссылках на статьи.

(a) Клеточные автоматы

Отношение клеточных автоматов к биологии можно узнать уже из названия. Действительно, клеточные автоматы были введены в 1940-х Станиславом Уламом [22] и Джоном фон Нейманом [23] как простые модели машинного самовоспроизведения.Двумерные бинарные клеточные автоматы стали очень популярными в 1970-х годах, в том числе за пределами компьютерного сообщества, благодаря «Игре жизни» Джона Конвея, которая была популяризирована Мартином Гарднером в [24]. Совсем недавно публикация книги Стивена Вольфрама [25] выдвинула на первый план одномерные бинарные клеточные автоматы, что стало кульминацией двух десятилетий работы над их свойствами и классификацией. С формальной точки зрения клеточные автоматы можно рассматривать как непрерывные (топологические) динамические системы с дискретным временем.

Лопес и др. . [21] моделируют ограниченный рост питательных веществ иммуногенной опухоли с помощью гибридного клеточного автомата. Модель включает четыре типа клеток: здоровые клетки, опухолевые клетки, иммунные эффекторные клетки и мертвые клетки. В зависимости от иммуногенности опухоли переходная и асимптотическая динамика клеточного автомата демонстрирует три основных типа динамики, которые интересно тесно связаны с тремя фазами теории иммунного редактирования, а именно: элиминация, равновесие и ускользание.Показано, что иммунная система может удерживать опухоль в состоянии покоя в течение длительных периодов времени, но этот покой основан на хрупком балансе между механизмами, лежащими в основе иммунного ответа и роста опухоли. Таким образом, авторы подвергают сомнению способность клеточно-опосредованного иммунного ответа поддерживать длительные периоды покоя. Это исследование иллюстрирует, как комплексный подход, включающий числовые данные и теоретические рассуждения, может улучшить наше понимание биологически мотивированных моделей и стимулировать новые исследования возможных терапевтических стратегий.

(b) Вычислительная гидродинамика

Применение вычислительной гидродинамики в медицине вполне естественно, хотя и весьма нетривиально, в основном по следующим двум причинам. Во-первых, большинство биологических жидкостей (например, кровь, сперма, лимфа) являются неньютоновскими, т.е. в отличие от более привычных ньютоновских жидкостей, таких как вода, их поведение не описывается уравнением Навье-Стокса. Во-вторых, границы сосудов и полостей, транспортирующих и содержащих жидкости в организме человека, являются гибкими (вены и артерии), изменяющимися во времени (сердце), пористыми (желудочки головного мозга) или имеют сложную геометрию (легкие), что затрудняет численное моделирование. еще более сложной задачей.

В [20], Хименес и др. . расширить предыдущую работу по разработке вентрикулярных катетеров для лечения гидроцефалии, заболевания, характеризующегося избытком спинномозговой жидкости в желудочках головного мозга. В серии работ некоторые авторы оптимизировали геометрию и конфигурацию отверстий катетера, чтобы получить равномерную картину потока вдоль перфорированной области. Такие катетеры менее подвержены закупорке, вызванной макромолекулами и тканями, присутствующими в спинномозговой жидкости, чем используемые стандартные катетеры.По сравнению с общей гидромеханической задачей этот частный случай проще, поскольку (i) спинномозговая жидкость является ньютоновской с высокой степенью точности и (ii) влияние геометрии желудочка на его поток через катетер можно считать пренебрежимо малым. с оговоркой, что катетер был правильно установлен в желудочке. Кроме того, авторы предполагали постоянный поток на входе. В этой последующей статье авторы принимают во внимание пульсирующую природу спинномозговой жидкости из-за сердцебиения и кровотока и количественно оценивают соответствующие поправки. Таким образом, они проверяют свои конструкции катетеров в более реалистичных условиях. Как и в своей предыдущей работе, авторы используют OpenFOAM® [26], готовый вычислительный инструмент для гидродинамики [18], наряду со вспомогательными инструментами построения сетки и графическими инструментами.

(c) Обработка данных

Под обработкой данных понимается любой метод извлечения ценной информации из набора данных. В отличие от анализа временных рядов (см. § 2g), данные не обязательно должны быть наблюдениями явления, развивающегося во времени. Обработка данных — это междисциплинарная область, пересекающаяся со статистикой, анализом временных рядов, машинным обучением, искусственным интеллектом и, как мы вскоре увидим, со статистической физикой и алгеброй (например,грамм. теория графов) тоже. Благодаря потоку данных, вызванному новыми информационными технологиями, обработка данных (иногда под броским названием анализа больших данных) в настоящее время стала одной из самых активных областей прикладной математики.

Данные проанализированы Эзаки и др. . [9] представляют собой воксели, полученные с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии некоторых областей мозга. Цель состоит в том, чтобы представить эту информацию таким образом, чтобы можно было легко идентифицировать изменения в динамике мозга.Для этого авторы прибегают к модели максимальной энтропии, основной вариант которой также известен как модель Изинга и машина Больцмана. В результате авторы сопоставляют динамику мозга с движением частицы по «энергетическому ландшафту», полученному на основе записей нейровизуализации. В частности, авторы определяют значения параметров более эффективно, чем обычный метод градиентного спуска. В более общем плане модель максимальной энтропии является полезным методом для представления многомерных данных, которые неоднократно наблюдались, и получения структуры взаимодействия между переменными.

Лорд и др. [11] обеспечивают тщательный обзор интеграции и сегрегации с точки зрения коннектомики всего мозга. Важно отметить, что они отодвигают границу от статической сетевой структуры к изменяющимся во времени системам. Широкий спектр психических и нейрофизиологических состояний можно охарактеризовать по степени, в которой сигналы из разных областей мозга либо связаны, либо разделены. В этом обзоре представлен обзор того, как различные физиологические состояния можно интерпретировать с помощью вычислительных моделей всего мозга, и как эти вычислительные модели включают сегрегацию или интеграцию.Более того, они продолжают описывать, как можно количественно оценить интеграцию и сегрегацию. В заключение они предполагают, что такие меры могут дать биомаркеры или практические терапевтические цели, имеющие клиническое значение. Они ясно показывают, что приближение к пониманию поведения всего мозга с помощью вычислительных и математических моделей способствует возникновению стратифицированной нейропсихиатрии и потенциалу для персонализированной терапии.

Кластеризация — обычная задача статистического анализа данных, особенно важная при классификации и поиске информации, распознавании образов и обработке изображений. Заимствуя определение из Lorimer et al. [12], кластеризация — это разбиение множества объектов на подмножества, или кластеры, выражающие между собой и по сравнению с объектами, не входящими в кластер, повышенную степень сходства. В качестве примера подумайте об идентификации вредоносных тканей на скане позитронно-эмиссионной томографии части тела. Лоример и др. . сравните и обсудите два биологически мотивированных метода кластеризации: подход Phenograph и кластеризацию обучения Hebbian.Оба алгоритма представляют точки данных как узлы графа k ближайших соседей, с расстояниями, закодированными как веса ребер, и, что наиболее важно, не предвзяты в отношении предположения о гауссовских облаках данных или самих кластерах. С другой стороны, выбор релевантных характеристик кластеров неизбежно приводит к систематической ошибке в результатах. Ввиду своих численных результатов с синтетическими и естественными данными авторы уточняют важность выбора признаков, соответствующих искомой классификации данных.

(d) Дифференциальные уравнения/динамические системы

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных повсеместно используются в прикладной математике, поскольку они описывают явления, зависящие от времени; простой пример — демографическая эволюция, заданная уравнениями Мальтуса и Ферхюльста. В особых случаях дифференциальные уравнения должны быть дополнены, чтобы справиться с эффектами памяти (интегро-дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения с запаздыванием) и шумом (стохастические дифференциальные уравнения).Если для удобства время движется дискретно (например, от поколения к поколению в динамике населения), то речь идет о разностных уравнениях, которые представляют собой самостоятельный раздел математики и формализм, лежащий в основе теории динамических систем в дискретном времени. В то время как теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разностных уравнений (или, если на то пошло, динамических систем в непрерывном и дискретном времени) хорошо разработаны и понятны, неудивительно, что в теории (нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных до сих пор отсутствует единый подход. Этот недостаток на практике обходится численными методами; типичный пример был рассмотрен в §2b: вычислительная гидродинамика. Заметим попутно, что дискретизация дифференциального уравнения с помощью конечных разностей приводит к разностному уравнению.

В этом разделе мы рассматриваем статьи по вычислительной нейронауке [14] и по динамике сердца [15]. Другие модели, описываемые также дифференциальными уравнениями, будут рассмотрены в §2e,f. Масленников и др. [13], в котором используются разностные уравнения, также включен в §2e.

Синхронизация нейронных сетей играет важную роль в динамике мозга, типичным примером исследования является эпилепсия. В этой обстановке Реймбаев и др. . [14] анализируют взаимодействие между возбуждающими и тормозными синаптическими связями и то, как они комбинируются, чтобы создать как синхронизированную, так и несинхронизированную нейронную активность. В частности, они описывают новый механизм синхронизации в сетях связанных разрывных нейронов, основанный на комбинированной электрической и тормозной связи, который, безусловно, будет способствовать пониманию коллективной динамики колеблющихся нейронных сетей. Результаты проверяются в небольших сетях и показывают, что они сохраняются в более крупных.

В [15], Boccia и др. . иметь дело с низкоэнергетическими методами контроля (стимуляция в дальней зоне) для дефибрилляции. В частности, они численно изучают открепление и прекращение спиральных волн вокруг ишемической неоднородности, моделируемой как небольшой круговой участок в двумерном листе сердечной ткани, с помощью фазы I так называемой модели потенциала действия Луо-Руди. Исследуются и сравниваются два случая: упрощенная изотропная среда (в которой внеклеточная и внутриклеточная проводимости, параллельные и поперечные волокнам, считаются равными) и реальная анизотропная среда (в которой эти проводимости различны).В результате авторы показывают, что во втором случае диапазон стимуляции в дальнем поле, приводящий к успешному прекращению закрепленных спиральных волн, больше.

(e) Сети

В этом тематическом выпуске большое внимание уделяется статьям, посвященным методам науки о сетях. Сетевые модели — это, конечно, очень естественный способ описать динамику взаимодействия в самых разных физиологических системах. Статьи в этом выпуске посвящены сетевым подходам к моделированию взаимодействия в нейрофизиологических условиях [10,13] и при передаче заболеваний [18].Выбор этих приложений является вполне преднамеренным, потому что это случаи, когда структура сети является неотъемлемой частью интересующего динамического поведения.

В случае [10,13] мы видим два разных исследования эмерджентного поведения в нейрофизиологических моделях, которые сильно зависят от структуры самой сети. Масленников и др. . [13] изучают адаптивную сеть спайковых нейронов. Начиная с простых биологически вдохновленных элементов и небольшой базовой сети этих элементов, они описывают модель, в которой элементы реагируют на стимул, чтобы изменить свою связь.Это позволяет сети нейронов создавать сложные ответы на определенные раздражители. Они характеризуют эту структуру с точки зрения базовой сети, существующей в гиперсети.

Наоборот, в [10], Li et al. обращаются к нейронным лавинам в модели спайковой нейронной сети. Было замечено, что сети физиологически вдохновленных нейронов самоорганизуются до критического состояния, когда результирующая динамика системы может демонстрировать смесь упорядоченных и неупорядоченных паттернов.Любопытно, что критическая область, которая может демонстрировать строго упорядоченную работу, является узкой для систем нейронов спайков. В [10] у нас есть исследование этой проблемы с точки зрения автомата с жидким состоянием. Они показывают, что производительность машины с жидким состоянием оптимальна, когда пул нейронов работает в этом критическом состоянии.

Сложные сети появляются в очень широком диапазоне приложений, и это продемонстрировано в этом тематическом выпуске с нашим третьим вкладом из этой области.Фу и др. [18] исследуют проблему передачи болезней в сложных сетях. В настоящее время имеется значительный объем литературы в области болезней (и других процессов распространения) в сложных сетях. Особый вклад Chen et al. [18] заключается в рассмотрении двух конкурирующих штаммов и получении аналитических выражений для эпидемического порога и соответствующих условий эндемичной передачи. Они расширяют подход с использованием производящей функции вероятности на случай (обязательно) попарной аппроксимации по модели передачи.Конкурирующие штаммы вируса, конечно, имеют значение для широкого спектра заболеваний, а также для лечения.

(f) Оптимизация

Оптимизация является основной задачей во многих областях математики, науки и техники. По этой причине он был предметом большого интереса и труда на протяжении последних столетий. В результате возникли совершенно новые разделы математики, такие как вариационное исчисление, выпуклая оптимизация и исследование операций. В настоящее время оптимизация остается очень активной областью исследований, в которой разрабатываются новые методы для решения старых и новых задач.

Христодулидес и др. . [19] представляют интересное применение классической теории оптимального контроля для разработки лекарств и режимов лечения (в данном случае) атопического дерматита. Их статья — прекрасный пример того, как классическая прикладная математика (и в данном случае теория динамических систем) может быть применена к информированной персонализированной медицине. Как и при многих заболеваниях, реакция пациента на атопический дерматит не является постоянной, а представляет собой динамическую систему. Охарактеризовав эту систему, они могут настроить время и дозировку своего лечения, чтобы прийти к оптимальному решению.Их пример хорош тем, что он опирается на довольно простую математику для получения элегантного решения реальной проблемы.

(g) Анализ временных рядов

Анализ временных рядов является полезным инструментом при изучении изменяющихся во времени явлений, управляющие уравнения которых неизвестны или слишком сложны для детального анализа. В линейном (или статистическом) подходе обычная задача состоит в том, чтобы найти случайный процесс, который соответствует наблюдениям. В нелинейном анализе временных рядов рабочая гипотеза состоит в том, что наблюдения выводятся стационарной диссипативной нелинейной системой. На этот раз цель состоит в том, чтобы охарактеризовать аттрактор системы с помощью динамических и/или геометрических параметров, таких как показатели Ляпунова и различные фрактальные размерности. В случае многомерных временных рядов дополнительным объемом могут быть причинно-следственные связи (также называемые связями или информационными направлениями) между парами компонентов. См. [27] для общего введения в нелинейный анализ временных рядов с приложениями.

В приложениях область действия может быть более скромной.Типичным примером является различение различных динамических состояний или «режимов» исследуемой системы. Подумайте о медицинском аналитике, который хочет отличить на электроэнцефалограмме больного эпилепсией нормальное состояние здоровья от ненормального состояния (эпилептического припадка). Наблюдаемая величина, соответствующая этой задаче, иногда называется биомаркером в медицинских приложениях, независимо от ее математической природы. Так, в литературе можно найти биомаркеры, начиная от традиционной статистики, нескольких видов энтропии, подсчета каких-то символов и заканчивая даже свойствами графиков, построенных на основе данных. Конкретные реализации этой стратегии можно найти в [16,17], как мы объясним ниже.

Имея L последовательных (или, в более общем случае, равноудаленных) данных временного ряда, можно присвоить им символ. В частности, если L  > 1, этот символ может быть перестановкой, полученной путем упорядочения этих данных в соответствии с их размером. Повторяя это назначение со скользящими блоками данных, можно заменить исходный временной ряд серией перестановок, которые удачно называются порядковыми образцами и используются в анализе временных рядов, эргодической теории и динамических системах для ряда целей [28].В [16] эта процедура символизации сделана на шаг дальше, чтобы построить связанную порядковую сеть с данными следующим образом: L ! возможные порядковые шаблоны – это узлы сети, и ссылка идет от узла A к узлу B, если порядковый шаблон B следует шаблону A в символизированном ряду. Этот метод делает доступными возможности теории сетей для аналитика данных. Например, используя меры сложности, подобные энтропии, определенные из порядковой сети, McCullough et al .[16] способны различать электрокардиограммы, характеризующиеся нормальным синусовым ритмом, желудочковой тахикардией и фибрилляцией желудочков. Другие интересные приложения и числовые вопросы, связанные с анализом, также подробно обсуждаются.

Статья Порты и др. . [17] родственна [16] тем, что в ней также используется величина, подобная энтропии (переносная энтропия, популярная мера причинности), но на этот раз для оценки силы кардиального и симпатического барорефлекса.Причинно-следственный анализ обеспечивает идеальную основу для оценки силы физиологических взаимодействий, направленных на поддержание артериального давления во время ортостатической нагрузки, при наличии соответствующих нелинейных отношений и искажающих факторов, размывающих причинно-следственную связь между активностью симпатических нервов и артериальным давлением (например, прямое влияние дыхания на обе переменные). Порта и др. . [17] используют и сравнивают основанный на модели и не модельный подход к оценке переноса энтропии, основанный, соответственно, на многомерной авторегрессионной модели и методе k -ближайшего соседа, чтобы оценить силу причинно-следственной связи между симпатической активностью и артериальной кровью. давление и наоборот в многофакторной структуре, учитывающей частоту сердечных сокращений и дыхание как ковариаты.

Анализ дифференциальных уравнений в биомедицинских науках и технике: приложения уравнений в частных производных с R

Содержит прочную основу математических и вычислительных инструментов для формулирования и решения реальных задач в частных производных в различных областях

С пошаговым подходом к решению уравнений в частных производных (УЧП), Анализ дифференциальных уравнений в биомедицинских науках и Engineering: Partial Differential Equation Applications с R успешно применяет вычислительные методы для решения реальных задач в частных производных, которые можно найти в различных областях, включая химию, физику, биологию и физиологию. Книга предоставляет читателям необходимые знания для воспроизведения и расширения вычисленных численных решений и является ценным ресурсом для работы с широким классом линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Основное внимание автора сосредоточено на моделях, выраженных в виде систем УЧП, которые обычно являются результатом включения пространственных эффектов, так что зависимые переменные УЧП являются функциями как пространства, так и времени, в отличие от систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые относятся только ко времени.Таким образом, в книге особое внимание уделяется деталям численных алгоритмов и способам вычисления решений. В книге представлены компьютерные математические модели для решения реальных задач в биологических и биомедицинских науках и инженерии, а также:

  • Процедуры R, облегчающие непосредственное использование вычислений для решения задач дифференциальных уравнений без необходимости предварительного изучения основных концепции численного анализа и программирования для УЧП
  • Модели как системы УЧП и связанные с ними начальные и граничные условия с пояснениями по химии, физике, биологии и физиологии
  • Численные решения представленных модельных уравнений с обсуждением важных особенностей решений
  • Аспекты общего вычисления УЧП с помощью различных биомедицинских научных и инженерных приложений

Анализ дифференциальных уравнений в биомедицинских науках и технике: приложения дифференциальных уравнений в частных производных с R является отличным справочником для исследователей, ученых, клиницистов, медицинских исследователей, инженеров, статистиков, эпидемиологов и фармакокинетиков, которые заинтересованы как в клинических применениях, так и в интерпретации экспериментальных данных с помощью математических моделей для эффективного решения связанных дифференциальных уравнений. Книга также полезна в качестве учебника для выпускников курсов по математике, биомедицинским наукам и технике, биологии, биофизике, биохимии, медицине и технике.

Специальный выпуск: Применение дифференциальных уравнений в математической биологии

Специальный выпуск Mathematics (ISSN 2227-7390). Этот спецвыпуск относится к разделу «Математическая биология».

Крайний срок подачи рукописей: 31 декабря 2023 г. .

Редакторы специальных выпусков

Проф. д-р Юнхуэй Ся
Электронная почта Веб-сайт
Приглашенный редактор

Факультет математики, Чжэцзянский педагогический университет, Цзиньхуа 321004, Китай
Интересы: дифференциальных уравнений, включая теорию кватернионных дифференциальных уравнений, линеаризацию Хартмана-Гробмана и спектр; бегущие волны моделей УЧП; качественная теория ОДУ, таких как предельные циклы и периодическое решение; анализ устойчивости нелинейных систем, математическая биология, нейронные сети (включая непрерывные, дискретные и импульсные системы)

Информация о специальном выпуске

Уважаемые коллеги,

За последние несколько десятилетий теории обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных стали быстро растущей областью исследований. Привлекательность этой области связана не только с теоретическими интересами, но и с дифференциальными уравнениями, которые имеют множество приложений в нескольких явлениях, наблюдаемых в прикладных науках. В частности, математическая биология привлекла внимание многих исследователей. Мы приглашаем исследователей присылать оригинальные исследовательские статьи, а также обзорные статьи по теории обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных и их приложениям в математической биологии. Потенциальные темы включены, но не ограничиваются:

  • Специальные орбиты для обыкновенных дифференциальных уравнений и их приложения к математической биологии;
  • Устойчивость по Ляпунову для консервативных и диссипативных систем и их приложения к математической биологии;
  • Дихотомия и динамический спектр;
  • Топологическая линеаризация и топологическая сопряженность;
  • Устойчивость дифференциальных, функциональных и разностных уравнений и их приложения к математической биологии;
  • Качественная теория решений динамических систем и их приложения к математической биологии;
  • Периодические и почти периодические решения дифференциальных, функциональных, импульсных и разностных уравнений и их приложения к математической биологии;
  • Периодические и почти периодические решения нейтральных уравнений;
  • Бифуркации и хаос с их приложениями к математической биологии.

Проф. д-р Юнхуэй Ся
Проф. д-р Юхуа Цянь
Приглашенные редакторы

Информация о подаче рукописей

Рукописи должны быть представлены онлайн на сайте www.mdpi.com путем регистрации и входа на этот сайт. После регистрации нажмите здесь, чтобы перейти к форме отправки. Рукописи можно подавать до указанного срока. Все материалы, прошедшие предварительную проверку, рецензируются экспертами. Принятые статьи будут постоянно публиковаться в журнале (как только они будут приняты) и будут перечислены вместе на веб-сайте специального выпуска.Приглашаются исследовательские статьи, обзорные статьи, а также короткие сообщения. Для планируемых статей в редакцию можно отправить название и краткую аннотацию (около 100 слов) для размещения на сайте.

Представленные рукописи не должны быть опубликованы ранее или находиться на рассмотрении для публикации в другом месте (за исключением материалов конференции). Все рукописи проходят тщательную рецензирование в рамках единого процесса слепого рецензирования. Руководство для авторов и другая необходимая информация для подачи рукописей доступны на странице Инструкции для авторов. Mathematics — международный рецензируемый журнал с открытым доступом, выходящий раз в полгода, издаваемый MDPI.

Перед отправкой рукописи посетите страницу Инструкции для авторов. Плата за обработку статьи (APC) для публикации в этом журнале с открытым доступом составляет 1800 швейцарских франков (швейцарских франков). Представленные документы должны быть хорошо отформатированы и на хорошем английском языке. Авторы могут использовать MDPI Услуги редактирования на английском языке перед публикацией или во время авторских правок.

Ключевые слова

  • стабильность
  • бифуркации и хаос
  • математическая биология
  • периодических и почти периодических решений
  • дихотомия и динамический спектр
  • топологическая сопряженность

Опубликованные статьи (1 статья)

Фрактальная дробь | Специальный выпуск: Последние достижения в области дробных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с запаздыванием и их приложений

Уважаемые коллеги,

Дифференциальные уравнения как в частных производных (PDE), так и обычные (ODE) дают ключевой инструмент для понимания механизмов физических систем и решения различных проблем нелинейных явлений. В частности, укажем диффузионные процессы как задачи теории упругости и изучения пористых сред.

Дифференциальные уравнения позволяют связать математику с другими дисциплинами, такими как естествознание, медицина и инженерия, поскольку реальные проблемы в этих областях порождают дифференциальные уравнения, которые можно решить только с помощью математики. Темы, связанные с теоретическими и численными аспектами дифференциальных уравнений, на протяжении десятилетий претерпевают колоссальное развитие.В частности, численные исследования сыграли решающую роль в динамических системах, теории управления и оптимизации, и это лишь некоторые из областей. Действительно, качественное изучение дифференциальных уравнений обеспечивает соответствующую основу для разработки новых неравенств и рассмотрения различных типов уравнений. С другой стороны, эти неравенства и уравнения используются для получения полезных оценок и границ членов в конкретных дифференциальных уравнениях, а также для характеристики множества решений.

Существует большое и очень активное сообщество ученых, работающих над этими темами и сосредоточенных на их приложениях к динамическому программированию, биологии, теории информации, статистике, физике и инженерным процессам.

В этом специальном выпуске собраны идеи и значительный вклад в теории и приложения аналитических неравенств, функциональных уравнений и дифференциальных уравнений. Мы приветствуем как оригинальные исследовательские статьи, так и статьи, обсуждающие современное состояние дел.

Д-р Омар Базигифан
Приглашенный редактор

Информация о подаче рукописей

Рукописи должны быть представлены онлайн на сайте www.mdpi.com путем регистрации и входа на этот сайт. После регистрации нажмите здесь, чтобы перейти к форме отправки. Рукописи можно подавать до указанного срока. Все материалы, прошедшие предварительную проверку, рецензируются экспертами. Принятые статьи будут постоянно публиковаться в журнале (как только они будут приняты) и будут перечислены вместе на веб-сайте специального выпуска. Приглашаются исследовательские статьи, обзорные статьи, а также короткие сообщения. Для планируемых статей в редакцию можно отправить название и краткую аннотацию (около 100 слов) для размещения на сайте.

Представленные рукописи не должны быть опубликованы ранее или находиться на рассмотрении для публикации в другом месте (за исключением материалов конференции). Все рукописи проходят тщательную рецензирование в рамках единого процесса слепого рецензирования. Руководство для авторов и другая необходимая информация для подачи рукописей доступны на странице Инструкции для авторов. Fractal and Fractional — международный рецензируемый ежемесячный журнал с открытым доступом, издаваемый MDPI.

Перед отправкой рукописи посетите страницу Инструкции для авторов. Плата за обработку статьи (APC) для публикации в этом журнале с открытым доступом составляет 1600 швейцарских франков (швейцарских франков). Представленные документы должны быть хорошо отформатированы и на хорошем английском языке. Авторы могут использовать MDPI Услуги редактирования на английском языке перед публикацией или во время авторских правок.

Классификация и примеры дифференциальных уравнений и их применение

Описание книги

Классификация и примеры дифференциальных уравнений и их приложений – шестая книга в шеститомном наборе Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к траекториям и вибрациям. В виде набора они являются четвертым томом в серии Математика и физика в применении к науке и технике . Эта шестая книга состоит из одной главы (глава 10 комплекта). Он содержит 20 примеров, связанных с предыдущими пятью книгами и главами с 1 по 9 набора. Он включает в себя два сборника: первый с классификацией дифференциальных уравнений по 500 эталонам и второй со списком из 500 приложений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения классифицируются по 500 стандартам, касающимся методов решения и связанных с ними свойств, включая: (i) линейные дифференциальные уравнения с постоянными или однородными коэффициентами и уравнения в конечных разностях; (ii) линейные и нелинейные одиночные дифференциальные уравнения и одновременные системы; (iii) существование, уникальность и другие свойства; (iv) вывод общих, частных, специальных, аналитических, регулярных, нерегулярных и нормальных интегралов; (v) линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, включающие известные и новые специальные функции.

Теория дифференциальных уравнений применяется для детального решения 500 физических и технических задач, включая: (i) одномерные и многомерные осцилляторы с демпфированием или усилением, с нерезонансным или резонансным воздействием; (ii) одиночный, нелинейный и параметрический резонанс; (iii) бифуркации и хаотические динамические системы; (iv) продольные и поперечные деформации и потери устойчивости стержней, балок и пластин; (v) траектории частиц; (vi) колебания

и волны в неоднородных средах, каналах и волноводах.

  • Содержит подробное решение примеров дифференциальных уравнений типов, описанных в томах 1-5 комплекта ( Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к траекториям и вибрациям, Шеститомник)
  • Включает физические и инженерные задачи, которые расширяют задачи, представленные в томах 1-6 (Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к траекториям и вибрациям, набор из шести томов)
  • Включает классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений и их свойств по 500 стандартам, которые могут служить справочной таблицей методов решения
  • Охватывает память о 500 физических и инженерных задачах и подслучаях, связанных с решением дифференциальных уравнений
  • Представляет задачи, используемые в качестве примеров, включая формулировку, решение и интерпретацию результатов

Содержание

10. Примеры с 10.1 по 10.20. Классификация 10.1. Класс 10.2

Типов ДЭ, ОДУ, ПДЭ.

Дифференциальное уравнение — это математическое выражение, содержащее одну или несколько производных. Дифференциальные уравнения имеют множество применений в повседневной жизни. В этой статье мы собираемся изучить применение дифференциальных уравнений, различные типы дифференциальных уравнений, такие как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейные дифференциальные уравнения, нелинейные дифференциальные уравнения, однородные дифференциальные уравнения и неоднородные дифференциальные уравнения, закон Ньютона. Охлаждение, экспоненциальный рост бактерий и радиоактивный распад.

Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение является концепцией математики. Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее одну или несколько функций и их производные. Он включает производную функции или зависимой переменной по отношению к независимой переменной. Рост населения, весенняя вибрация, тепловой поток, радиоактивный распад могут быть представлены с помощью дифференциального уравнения.

Значение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение представляет связь между функцией и ее производными.Уже доказано, что дифференциальные уравнения составляют значительную часть прикладной и чистой математики. Дифференциальное уравнение показывает, как скорость изменения («дифференциал») одной переменной связана с другими переменными.

Типы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения бывают следующих типов

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
  2. Уравнения с частными производными.
  3. Линейные дифференциальные уравнения.
  4. Нелинейные дифференциальные уравнения.у\)

    Применение обыкновенных дифференциальных уравнений

    Обыкновенные дифференциальные уравнения используются для расчета движения или потока электричества, движения объекта взад и вперед подобно маятнику, для объяснения концепций термодинамики. Также, говоря медицинским языком, они используются для проверки роста заболеваний в графическом представлении.

    Уравнения с частными производными.

    Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, которое налагает отношения между различными частными производными функции многих переменных.2)=0\)

    Применение уравнений в частных производных

    Уравнения в частных производных используются для математической формулировки и, таким образом, для помощи в решении физических и других задач, связанных с функциями нескольких переменных, таких как распространение тепла или звука, поток жидкости, упругость, электростатика, электродинамика, термодинамика и т. д.

    Прочтите эту статью о пределах и непрерывности.

    Линейные дифференциальные уравнения.

    Линейное дифференциальное уравнение определяется линейным полиномиальным уравнением, которое состоит из производных нескольких переменных.2}}+10{dy\over{dx}}+9y=0\)

    Применение линейных дифференциальных уравнений

    Линейные дифференциальные уравнения используются для определения движения поднимающегося или падающего объекта с учетом сопротивления воздуха и определения тока в электрическая цепь. 2=0\)

    Приложения нелинейных дифференциальных уравнений

    Нелинейные дифференциальные уравнения широко использовались для математического моделирования многих интересных и важных явлений, наблюдаемых в космосе.2}}+10{dy\over{dx}}+9y=0\)Приложения неоднородных дифференциальных уравнений

    Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для прогнозирования амплитуд вибрирующей массы в ситуации, близкой к резонансной

    Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений в технике.

    Порядок дифференциального уравнения определяется как порядок старшей производной, которую оно содержит. Степень дифференциального уравнения определяется как степень, в которую возведена производная высшего порядка.

    Обыкновенные дифференциальные уравнения применяются в реальной жизни по разным причинам. Они используются во многих приложениях, таких как объяснение концепций термодинамики, движение объекта туда и обратно, как маятник, для расчета движения или потока электричества. Кроме того, в области медицины они используются для проверки роста бактерий и роста заболеваний в графическом представлении.

    Применение дифференциального уравнения первого порядка

    Чтобы объяснить физический процесс, мы моделируем его на бумаге, используя дифференциальные уравнения первого порядка.Многие случаи моделирования встречаются в медицинских, инженерных или химических процессах. Три наиболее часто моделируемые системы:

    Популяция

    Чтобы проиллюстрировать использование дифференциальных уравнений в отношении проблем популяции, мы рассмотрим простейшую математическую модель, предложенную для управления динамикой популяции определенного вида.

    вы также можете прочитать о матрицах здесь

    Падающие предметы

    Ускорение свободного падения постоянно (у поверхности

    земли).Итак, для падающих тел скорость изменения скорости постоянна. {dv\over{dt}}=g

    Задачи смешивания

    Задачи смешивания представляют собой приложение разделимых дифференциальных уравнений. Это текстовые задачи, которые требуют от нас создания разделимого дифференциального уравнения, основанного на концентрации вещества в резервуаре.

    Применение дифференциального уравнения второго порядка

    Дифференциальное уравнение второго порядка включает две производные уравнения. Многие технические процессы подчиняются дифференциальным уравнениям второго порядка.2}}=-кмх. Это дифференциальное уравнение для простого гармонического движения с n2=km. Следовательно, период движения равен 2πn. Можно сделать вывод, что чем больше масса, тем больше период, а чем сильнее пружина (т. е. чем больше константа жесткости), тем короче период.

    Связи между атомами или молекулами

    Химические связи — это силы, удерживающие атомы вместе для образования соединений или молекул. Химические связи включают ковалентные, полярные ковалентные и ионные связи.Они представлены с помощью дифференциальных уравнений второго порядка.

    Системы электрических цепей

    Системы электрических цепей, состоящие из индуктора и резистора, соединенных последовательно

    Цепь, содержащая индуктивность L или конденсатор C и резистор R с переменными током и напряжением, заданными дифференциальным уравнением той же формы. Дифференциальные уравнения второго порядка представляют собой производные, включающие и равные количеству элементов, накапливающих энергию, и дифференциальное уравнение считается обычным

    Общие применения дифференциальных уравнений в физике

    Мы узнали о различных типах дифференциальных уравнений и их приложениях. над.Теперь давайте кратко изучим некоторые из основных приложений. Основные области применения перечислены ниже. среда, так называемая температура окружающей среды. Пусть T(t) — температура тела, а T(t) — постоянная температура окружающей среды.

    Тогда скорость охлаждения тела обозначается \({dT(t)\over{t}}\) пропорциональна T(t) – TA. Это означает, что

    \({dT\over{t}}=k(T(t) – T_A)\)

    , где k – константа пропорциональности. Значение константы k определяется физическими характеристиками объекта.

    Если объект большой и хорошо изолированный, то он теряет или набирает тепло медленно, а константа k мала. Если объект мал и плохо изолирован, то он теряет или набирает тепло быстрее, а константа k велика.

    Предположим, что тело охлаждается, затем температура тела падает и теряет тепловую энергию в окружающую среду. Тогда у нас есть \(T>T_A\). Таким образом, \({dT\over{t}}\) < 0. Следовательно, константа k должна быть отрицательной.

    Если тело нагревается, то температура тела увеличивается и получает тепловую энергию от окружающей среды и \(T < T_A\). Таким образом, \({dT\over{t}}\) > 0, а константа k должна быть отрицательной, это произведение двух отрицаний, и она положительна.

    В соответствии с законом охлаждения Ньютона мы можем предсказать, сколько времени потребуется горячему объекту, чтобы остыть до определенной температуры.Кроме того, мы можем сказать нам, как быстро остывает горячая вода в трубах, и это говорит нам, как быстро остывает водонагреватель, если вы выключите выключатель, а также это помогает указать время смерти, учитывая вероятную температуру тела в это время. смерти и текущей температуры тела.

    Закон охлаждения Ньютона приводит к классическому уравнению экспоненциального затухания во времени

    , которое можно применять ко многим явлениям в науке и технике, включая затухание радиоактивности. {kt}\),

    Это уравнение представляет собой закон охлаждения Ньютона.

    Узнайте больше о логарифмических функциях здесь.

    Рост популяции

    Чтобы проиллюстрировать использование дифференциальных уравнений в отношении проблем популяции, мы рассмотрим простейшую математическую модель, предложенную для управления динамикой популяции определенного вида. Одна из первых попыток смоделировать рост населения с помощью математики была предпринята английским экономистом Томасом Мальтусом в 1798 году. пропорциональна общей численности населения страны в то время.В математических терминах, если P(t) обозначает общую численность населения в момент времени t, то это предположение можно выразить как

    \({dP\over{T}}=kP(t)\)

    , где k называется постоянная роста или постоянная затухания, в зависимости от ситуации.

    Решение уравнения обеспечит численность населения в любой момент времени t в будущем. Эта простая модель, которая не принимает во внимание многие факторы (например, иммиграцию и эмиграцию), которые могут влиять на рост или сокращение численности населения, тем не менее оказалась достаточно точной в прогнозировании численности населения. {kt}\)

    , где начальная популяция, т. е. \(p(0)=p_o\), и k называются константой роста или распада.

    Отсюда делаем следующий вывод:

    • если k>0, то популяция растет и продолжает увеличиваться до бесконечности, то есть

    \(\lim_{t{\rightarrow}\infty}\)

    • если k<0, то популяция будет сокращаться и стремиться к 0. Другими словами, нам грозит вымирание.

    Уравнение Бернулли

    Принцип Бернулли гласит, что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением статического давления или уменьшением потенциальной энергии жидкости.

    Принцип Бернулли можно применять к различным типам течения жидкости, что приводит к различным формам уравнения Бернулли.

    Принцип Бернулли можно вывести из принципа сохранения энергии. Это утверждает, что в стационарном потоке сумма всех форм энергии в жидкости вдоль линии тока одинакова во всех точках этой линии тока. Это требует, чтобы сумма кинетической энергии, потенциальной энергии и внутренней энергии оставалась постоянной. n\)

    Это уравнение является линейным, если n=0 , и имеет разделимые переменные, если n=1, Таким образом, в следующей разработке

    предположим, что n≠0 и n≠1.{-kt}\)

    Когда \(N_0\) положительно и k постоянно, N(t) уменьшается с уменьшением времени,

    \({dL\over{dt}}=-k\)

    R — модель экспоненциальной редукции.

    Применение дифференциальных уравнений в реальной жизни

    Дифференциальные уравнения находят применение в:

    • В области медицины для изучения роста или распространения определенных заболеваний в организме человека.
    • В предсказании движения электричества.
    • В описании различных экспоненциальных нарастаний и спадов.
    • В расчете оптимальных инвестиционных стратегий в помощь экономистам.
    • При описании уравнения движения волн или маятника.
    • Существуют различные другие применения дифференциальных уравнений в области техники (определение уравнения падающего тела, закон охлаждения Ньютона, уравнения RL-контуров и т. д.), физики, химии, геологии, экономики и т. д.

    Надеюсь, что эта статья о применении дифференциальных уравнений была информативной.Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

    Часто задаваемые вопросы по применению дифференциальных уравнений 

    Q.1 Каковы применения дифференциальных уравнений?

    Ans.1 Дифференциальные уравнения находят применение в: В области медицины для изучения роста или распространения определенных заболеваний в организме человека. В предсказании движения электричества. В описании различных экспоненциальных нарастаний и спадов.В расчете оптимальных инвестиционных стратегий помогают экономисты. При описании уравнения движения волн или маятника. Существуют различные другие применения дифференциальных уравнений в области машиностроения (определение уравнения падающего тела, закон охлаждения Ньютона, уравнения контура RL и т. д.), физики, химии, геологии, экономики и т. д.

    Q. 2 Что такое дифференциальное уравнение и его применение?

    Ответ.2 Дифференциальное уравнение – это математическое выражение, содержащее одну или несколько производных. Дифференциальное уравнение является концепцией математики. Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее одну или несколько функций и их производные. Он включает производную функции или зависимой переменной по отношению к независимой переменной. Рост населения, колебания весны, тепловой поток и радиоактивный распад можно представить с помощью дифференциального уравнения.

    Q.3 Для чего используются оды?

    Ответ.3 Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и производные этих функций. ОДУ используются во многих приложениях, таких как объяснение концепций термодинамики, движение объекта туда и обратно, как маятник, для расчета движения или потока электричества. Кроме того, в области медицины они используются для проверки роста бактерий и роста заболеваний в графическом представлении.

    Q.4 Насколько полезны дифференциальные уравнения?

    Ответ.4 Дифференциальные уравнения очень важны при математическом моделировании физических систем.

    Q.5 Какие бывают типы дифференциальных уравнений?

    Ans.5 Обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейные дифференциальные уравнения, нелинейные дифференциальные уравнения, однородные дифференциальные уравнения и неоднородные дифференциальные уравнения — это различные типы дифференциальных уравнений.

    Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

    • Получайте мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

    • Получите капсулу и PDF-файлы Daily GK и текущих событий

    • Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин


    Подпишись бесплатно У вас уже есть аккаунт? Войти

    Следующий пост

    .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.