Дифференциальные уравнения первого порядка: Курс “Обыкновенные дифференциальные уравнения”

Содержание

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте).

Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Дифференциальное уравнение первого порядка – Русские Блоги

  • порталhttps://jingyan.baidu.com/article/8065f87fb7f0652331249822.html

  • 1. Решение дифференциального уравнения для разделяемых переменных. Общий вид: g (y) dy = f (x) dx

  • Прямое решение: ∫g (y) dy = ∫f (x) dx

    Пусть исходные функции g (y) и f (x) – это G (y) и F (x) по порядку, тогда G (y) = F (x) + C – неявное общее решение дифференциального уравнения

  • 2

    2. Решение однородного уравнения общего вида: dy / dx = φ (y / x)

    Пусть u = y / x, тогда y = xu, dy / dx = u + xdu / dx,

    Таким образом, u + xdu / dx = φ (u), то есть du / [φ (u) -u] = dx / x

    Интегрируем на обоих концах, чтобы получить ∫du / [φ (u) -u] = ∫dx / x

    Наконец, замените u на y / x, чтобы получить общее решение однородного уравнения.

  • 3

    3. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка общего вида: dy / dx + P (x) y = Q (x)

    Шиллинг Q (x) = 0, затем dy / dx + P (x) y = 0

    Решите y = Ce - ∫P (x) dx, а затем пусть y = ue - ∫P (x) dx подставляется в исходное уравнение

    Решением является u = ∫Q (x) e∫P (x) dxdx + C, поэтому y = e ∫ ∫P (x) dx [Q (x) e∫P (x) dxdx + C]

    То есть y = Ce - ∫P (x) dx + e - ∫P (x) dx

    ∫Q (x) e∫P (x) dxdx – общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

  • 4

    4. Решения дифференциальных уравнений высшего порядка, которые можно привести

    ① Дифференциальное уравнение типа y (n) = f (x)

    y(n)=f(x) 

    y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 

    y(n-2)= ∫[∫f(x)dx+C1]dx+C2 

    По аналогии и интегрируя n раз подряд, мы получаем общее решение уравнения y (n) = f (x) с n произвольными постоянными.

    ②y »= f (x, y’) дифференциальное уравнение типа

    Пусть y ‘= p, тогда y ”= p’, поэтому p’ = f (x, p), а затем решите для p = φ (x, C1), т. е. dy / dx = φ (x, C1), поэтому y = ∫ φ (x, C1) dx + C2

    ③y »= f (y, y’) дифференциальное уравнение типа

    Пусть y ’= p, то y» = pdp / dy, поэтому pdp / dy = f (y, p), а затем решите для p = φ (y, C1)

    То есть dy / dx = φ (y, C1), то есть dy / φ (y, C1) = dx, поэтому ∫dy / φ (y, C1) = x + C2

  • 10 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

    Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

    Уравнения с разделяющимися переменными.

    Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

    .

    В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

    .

    Пример. . Заметим, что – решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли   решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

    Рекомендуемые материалы

    .

    Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

    .

    Обозначим  и раскроем модуль:

    .

    Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

    , где С – произвольная действительная постоянная.

    Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение  уравнения  .

    Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента  радиус-вектора в точке касания.

    – решение, . Подставляя начальные условия, получим .

    Пример. Формула Циолковского.

    Ракета вместе с топливом, массой , движется  прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени  ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

    Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

    Подставляя , получим . Отсюда

     – формула Циолковского.

    Однородное уравнение.

    Правая часть однородного уравнения зависит от отношения :

    .

    Это позволяет заменить отношение новой переменной  или .

    .

    Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если , то исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

    Пример. . , ,  

    Обобщенно-однородное уравнение.

    Обобщенно-однородное уравнение имеет вид

    .

    Возможны два случая

    1) Рекомендуется замена ,

    , получили однородное уравнение.

    2)

    Здесь вводят новую функцию  старой переменной x.

    , где определяются из пропорциональности строк определителя. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

    Пример. , случай1).

    ,      ,    

    Получили однородное уравнение.

    Пример. , случай 2).

    .

    Получили уравнение с разделяющимися переменными.

    Линейное уравнение.

    Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.

    Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.

    При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)

    Это – уравнение с разделяющимися переменными.

    .

    Затем  варьируют произвольную постоянную, полагая .

    .

    Подставляем в неоднородное уравнение:

    .

    При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.

    , где С – произвольная  постоянная.

    .

    Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.

    Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду   (если при стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.

    При решении методом подстановки  полагают

    . Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.

     . Подставляем в уравнение:

    .

    Теперь решают либо уравнение  , определяя отсюда

    , либо уравнение , определяя отсюда

    . Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции.  В первом случае, остается найти v из .

    Теперь =, как и выше.

    Во втором случае остается найти u из , .

    Теперь =, как и выше.

    Пример. .

    Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при : 

     .

    Решаем однородное уравнение  .

    Варьируем произвольную постоянную .

    Подставляем в неоднородное уравнение

    .

    Решение методом подстановки.

    .

    Уравнение Бернулли.

    Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.

    Заметим, что при n > 0  – решение уравнения.

    Решать уравнение Бернулли можно тремя способами

    1) сведение к линейному уравнению заменой

    Разделим обе части уравнения на ,

    Получили линейное уравнение относительно  .

    Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.

    2) Решение методом вариации произвольной постоянной.

    Решение проводится аналогично линейному уравнению.

    Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнения нулевой.

    .

    Затем ищем решение уравнения в виде , варьируя произвольную постоянную ,

    вычисляем  и подставляем в исходное уравнение .

    .

    Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются, получаем уравнение с разделяющимися переменными.

    Определяя отсюда функцию , подставляем ее в .

    3)Решение методом подстановки.

    Полагаем , подставляем  в исходное уравнение

    .

    Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение  . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными .

    Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .

    Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.

    Пример.

    Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной.

    ,

    ,

    Уравнение в полных дифференциалах.

    Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

     .

    Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

    Причину такого названия понять легко. Пусть – функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда  .

    Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

     , а соотношение  как раз и означает равенство смешанных производных  .

    Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию   (она называется потенциалом). Так как  на решениях дифференциального  уравнения, то  потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

    Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

    1) ,

    +.

    Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

    Сравнивая оба выражения для , находим функции  и константы.

    Если какой-либо из интегралов, например,   не берется или его вычислить сложно, то можно найти +.

    Затем, дифференцируя  частным образом по x, надо сравнить  с  и определить функции  и константы.

    2)   Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

    ..

    Пример. .

    Решим уравнение первым способом.

    Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

    ,

    .

    Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение   – это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

    Решим уравнение вторым способом.

    . Здесь принято .

    Интегрирующий множитель.

    Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

    Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель , умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

    Люди также интересуются этой лекцией: Химические свойства воды.

    Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

     .

    Оказывается, если  (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

    Пример. .

    Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

    Найдите потенциал, покажите, что он равен .

    Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — обзор

    12.2.1 Теория вращения поляризованной флуоресценции в ортогональной системе

    На рисунке 12.1 показана схема ортогональной системы координат, используемой для изучения влияния вращения молекул на затухание флуоресценции. показатель.

    12.1. Ортогональная система координат, используемая для изучения влияния вращения молекул на скорость затухания флуоресценции. Предположим, что флуоресцентная молекула находится в начале координат.Возбуждающие световые импульсы произвольной линейной поляризации под углом ϕ e распространяются вдоль направления YO , а угол ϕ d определяет поляризатор, введенный в пучок флуоресценции. μ→a и μ→e представляют собой ориентацию моментов поглощения и излучения соответственно. δ — угол между диполями поглощения и излучения.

    Молекула флуоресцентного красителя помещена в центр координат, возбуждаемый световым импульсом произвольной линейной поляризации, распространяющимся в направлении YO в момент времени t 0 .Эмиссия красителя во всех направлениях может быть определена интенсивностью трех наборов ортогональных диполей, ориентированных вдоль трех декартовых осей. Поскольку любой случайно ориентированный диполь можно физически рассматривать как три проективных субдиполя в осях X, Y и Z , мы предполагаем, что эти три ориентированных диполя являются единственными ориентациями, разрешенными для диполей, и что молекулы вращаются из из одного направления в другое по фиксированной ставке. Интенсивность флуоресценции от определенных ортогональных диполей может быть выражена как I x , I y и I z , а мгновенные скорости изменения интенсивности в момент времени a могут быть описаны как t набор линейных дифференциальных уравнений первого порядка (Spencer et al. , 1970):

    [12.1]dIx/dt=Pxt−(α+2Rxy+2Rxz)Ix+2RyxIy+2RzxIz,dIy/dt=pyt+2RxyIx−(α+2Ryx+2Ryz)Iy+2RzyIz,dIz/ dt = pzt + 2RXZIX + 2RYZIY- (α + 2RZY + 2RZX) IZ,

    где p x ( t ), p y ( t ), p z ( t ) являются функциями, определяющими совокупность диполей, соответствующих соответствующему направлению, возбуждаемому падающим светом накачки. α – скорость затухания излучения, R ij – скорость, описывающая интенсивность флуоресценции в направлении i , переходящую в направление j , а i, j – выражения для x, y z в декартовых координатах.Изменение диполя с одного направления на другое может иметь один из двух противоположных смыслов, поэтому следует учитывать фактор 2. Поскольку одной скорости вращения достаточно, чтобы охарактеризовать наблюдение флуоресцентных молекул как сфер Эйнштейна в спектроскопии с временным разрешением и изотропии среды-хозяина, установив R ij  =  R , уравнение. 12.1 можно упростить следующим образом:

    [12.2]dIx/dt=Pxt−(α+4R)Ix+2RIy+2RIz,dIy/dt=pyt+2RIx−(α+4R)Iy+2RIz,dIz/dt=Pzt +2RIx+2RIy−(α+4R)Iz.

    Известно, что распад каждой компоненты I x , I y и I z зависит от постоянной скорости вращения R и начального распределенного состояния (определяемого весовыми коэффициентами w x , W y , W Z и W x + W Z = 1) возбуждения P ( T ) (Спенсер и др., 1970). Применяя поляризатор на пути возбуждающего света и другой поляризатор в детекторе с углом поляризации к возбуждению, можно получить разные весовые коэффициенты. Будет наблюдаться деполяризация, что позволит определить скорость вращения флуоресцентных молекул от одного ортогонального компонента к другому. Чтобы решить уравнение 12.2, неизвестные I x , I y и I z перемещаются в левую сторону, чтобы получить:

    3]D+α+4R−2R−2R−2RD+α+4R−2R−2R−2RD+α+4RIxIyIz=wxPtwyPtwzPt

    , где D=ddt — оператор дифференцирования. Решение:

    [12.4]Ii=wiD+α+2RD+αD+α+6RPt.

    Умножая знаменатель с обеих сторон, получаем явное выражение: b  =  α ( α  + 6 R ).

    Настройка P ( t ) = 0 и ввод граничного условия для DI i ( 0 ) из уравнения.12.2, что такое:

    DII0 = -α + 4RIII0 + 2i0-II0R,

    где I 0 = I (0) = I x I 0 (0) + I y (0) + I z (0). Решение уравнения 12.4:

    [12.5]Iit=13I0e-αt+Ii0-13I0e-α+6Rt.

    Уравнение 12.5 описывает затухание любой ортогональной составляющей после возбуждения светового импульса. Затухание флуоресценции одного определенного направления будет зависеть не только от времени жизни флуоресценции (обратного скорости затухания α ) молекул, проявляющих простой экспоненциальный затухание, но также от постоянной скорости вращения R и начального распределенного состояния эмиссия I i (0), которая фактически определяется распределением ориентаций молекул в системе и весовыми коэффициентами w i возбуждения P (t).

    Распределение возбужденных молекул, поглощающих свет, в момент времени t 0 определяется весовым коэффициентом w i и функцией распределения ориентаций диполей. Это распределение может быть определено как r , анизотропия поляризации, которую можно получить путем измерения излучения в направлении OY возбужденным светом, поляризованным в направлении OX . Анизотропия поляризации определяется как:

    [12.6]rt=Ixt−IytIxt+Iyt+Izt.

    Установка направления поляризации луча накачки по OX , поскольку возбужденные молекулы симметричны относительно направления поляризации возбуждающего света, I y  =  I z . Поскольку I i ( i  =  x, y, z ) зависит от времени, пусть I x  =  I || , I y  =  I z  = I , уравнение12. 6 затем преобразуется более простым, но более привычным способом (Флеминг и др., 1976; Портер и др., 1977):

    [12.7]rt=I||t−I⊥tI||t+ 2I⊥т.

    В то время T 0 , весовой коэффициент W I начальной эмиссии может быть получен в терминах R 0 (значение R при T = 0 ): W x = 1/3 ( 1 + 2 R 0 ), W y = 1/3 ( 1 R 0 ).Введение флуоресцентного срока службы молекул, определенных как τ F = 1/ α ., Время вращения диполя как τ гтритель = (6 R ) – 1 8, а также w x и w y в уравнение. 12.5 заменить I i (0) =  w i I 0 , параллельную (||) и перпендикулярную (⊥) компоненты флуоресценции, I || и I , возбуждаемые линейно поляризованным светом вдоль направления OX, можно записать как:

    [12. 8]I||t=I03e−αt1+2r0e−6Rt=I03e−tτF1+2r0e−tτrot,I⊥t=I03e−αt1−r0e−6Rt=I03e−tτF1−r0e−tτrot.

    Общая интенсивность флуоресценции с временным разрешением может быть записана как:

    [12.9]It=I||t+2I⊥t=I0e-αt=I0e-tτF.

    Подставляя уравнение 12.8 в уравнение. 12.7, анизотропия поляризации флуоресценции с временным разрешением может быть записана как:

    [12.10]rt=r0e-6Rt=r0e-tτrot.

    Затухание r (t) вызвано переориентацией возбужденных молекул вследствие броуновского движения (Spencer et al., 1970; Флеминг и др., , 1976). Хотя Роберта Брауна помнят как первооткрывателя броуновского движения, именно Альберт Эйнштейн предсказал его на теоретических основаниях и сформулировал правильную количественную оценку броуновского движения (Porter et al., 1977). В простом случае флуоресцентной молекулы, претерпевающей броуновское вращение в виде сферы или сплюснутой Эйнштейна, константа вращательной диффузии определяется соотношением Стокса-Эйнштейна как: — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, η — вязкость растворителя, V — объем простой молекулы, для сферы V  = (4/3) πa 3 , где a — радиус сферы (Флеминг и др. , 1976; Porter и др., , 1977). Применяя это соотношение к флуоресцентной молекуле как к сферической вращающейся молекуле Эйнштейна (Флеминг, и др., , 1976; Портер, и др., , 1977), время вращения диполя выражается как:

    [12.11]τrot= 6R−1=ηVkT=4ηπa33kT.

    τ rot можно получить, подгоняя выражение r (t) к уравнению. 12.10, а временная эволюция r (t) может быть получена из измерений I || (t) и I (t) по уравнению12.7.

    Линейные уравнения первого порядка


    Линейные уравнения первого порядка

    Здесь мы научимся решать линейные задачи первого порядка. уравнения; это дифференциальные уравнения, которые не могут быть легко решены как разделимые уравнения, но может соответствовать форме:



           Посмотрев на это, мы имеем dy/dx сам по себе, P(x) y является некоторой функцией строго от x, умноженной на один y, и Q(x) есть некоторая функция строго от x.

           Чтобы решить эти проблемы, нам нужно выполнить следующие шаги:

    1. Убедитесь, что уравнение соответствует форме линейного уравнения первого порядка.
    2. Найдите коэффициент интегрирования и умножьте его на все уравнение.
    3. Это приводит к тому, что правило произведения находится на одной стороне; выясните, какие термины использовались для правила продукта, и запишите их как производную.
    4. Интегрируйте обе стороны.
    5. Найдите y, если оно легко разрешимо.
    Давайте пройдемся через несколько примеров:

    Пример 1:

    Найти конкретное решение дифференциального уравнения:

    Первое, нам нужно убедиться, что это соответствует форме:

    . Мы можем видеть, что он делает; dy/dx само по себе, P(x) = -4, которое умножается на один y, а Q(x) является функцией только от x.Теперь найдем наш интегрирующий множитель, который обозначается греческой буквой мю. Интегрирующий множитель для одного из этих уравнений всегда будет e возведен в интеграл от P(x):

           На данный момент мы можем опустить константу C; его привезут позже. Теперь, когда у нас есть интегрирующий коэффициент, мы умножаем его на исходное уравнение:

    Теперь, почему мы это сделали? Ну эта часть красивая интересно; что мы только что сделали, так это принудительно установили правило произведения слева сторону уравнения.Давайте посмотрим на эту часть уравнения: после умножив интегрирующий множитель, мы должны увидеть правило продукта. Напомним, что правило произведения таково: f g ‘ = g f ‘; Глядя на уравнение, мы должны увидеть, какой член есть какой:

           Зная это, мы можем переписать левую часть уравнения:

    *Кроме того, это может быть хорошей идеей, особенно с более сложными проблемами, чтобы дифференцировать уравнение, чтобы убедиться, что оно совпадает:

    Это совпадает, так что у нас все хорошо.Если это не так, это скорее всего означает, что где-то была ошибка, и нам пришлось бы вернитесь и попробуйте еще раз разобраться.

    Вернемся к тому, где мы были: теперь, когда у нас есть левая сторона, записанная как производная, мы можем интегрировать обе части. Левая сторона останется то же самое, поскольку интеграл от производной сокращается:

           Теперь мы можем найти y. Обратите внимание, что C не аннулирует все вокруг себя в этих задачах:

    Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем подключить в наших начальных условиях и получить частное решение:

    Пример 2:

           Найти частное решение дифференциального уравнения:

           Во-первых, нам нужно убедиться, что это уравнение имеет правильную форму.Похоже, это подходит; dy/dx само по себе, P(x) = 3x 2 , которое умножается на один y, а Q(x) является функцией x, не умноженной ни на что другое. Таким образом, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

           Далее мы умножаем интегрирующий коэффициент на все уравнение:

           Теперь мы можем посмотреть на левую часть уравнения и увидеть, какие члены представляют f, f ‘, г и г’. Это подскажет нам, какие термины использовать, когда мы перепишем левую часть в виде правила произведения:

           Правило произведения говорит, что fg = fg’ + gf ‘, так что теперь мы можем переписать левую часть уравнения как производную fg, что равно тому, что у нас есть сейчас:

           Теперь мы можем интегрировать обе части:

           условия для получения частного решения:

    Пример 3:

           Найти частное решение дифференциального уравнения:

    Первое, что мы должны заметить, это то, что это уравнение еще не в правильной форме. Проблема в том, что dy/dx не существует сам по себе; давайте разделим каждый член на x, чтобы изолировать его:

           Теперь это в правильной форме: y’ изолировано, P(x) умножается на один y, а Q(x) сам по себе. Поскольку у нас есть уравнение в правильной форме, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

           После сокращения e и ln и упрощения наш интегрирующий коэффициент равен x 3 . Затем мы можем умножить это на все уравнение, чтобы применить правило произведения в левой части:

    Принуждая правило произведения, мы можем определить какие члены взяты из исходного уравнения, а какие являются производными:

           Теперь мы можем переписать левую часть как производную от произведения f и g:

           Далее возьмем интеграл от обеих частей:

           Теперь нужно просто решить для y, чтобы получить общее решение:

    Теперь у нас есть общее решение; найти конкретное решение, нам нужно использовать начальные условия и решить для C:

    Пример 4: Смешивание раствора в баке

    Резервуар изначально содержит 120 галлонов чистого вода. Солевой раствор, содержащий 1 фунт соли на галлон, поступает в резервуара со скоростью 3 галлона/мин, а хорошо перемешанный раствор выходит из резервуара со скоростью 4 галлонов/мин, опорожнение резервуара через 120 минут или 2 часа. Оцените выражение для количество соли в баке через t минут, и найти, сколько соли в баке в момент t = 60 минут.

           Сначала определим некоторые переменные. Для задач с резервуаром Q(t) = количество раствора в резервуаре в любой момент времени t, а dQ/dt = скорость поступления – скорость выхода из раствора.Изначально в баке чистая вода (без соли), поэтому Q(0) = 0.

           Начнем с записи dQ/dt. Мы знаем скорость в; он задан в задаче и не меняется. Но норма, однако, меняется со временем, в зависимости от того, сколько соли в баке. Мы знаем, что в баке будет некоторое количество Q и что бак будет пустым через 120 минут; таким образом, время будет равно 120-t, и у нас останется время, оставшееся до опустошения резервуара:

           Теперь у нас есть функция, связанная с dQ/dt, которая представляет собой изменение количества соли во времени. Немного переписав это, мы получим:

           Это линейное уравнение первого порядка относительно Q и t, и мы знаем, как его решить! Сначала найдите интегрирующий коэффициент:

           Далее умножьте интегрирующий коэффициент на каждое слагаемое, чтобы применить правило произведения:

           Теперь мы можем найти f и g в результате правила произведения и переписать левую часть уравнение как производная:

           Теперь перепишем как производную от f и g:

           Далее интегрируем обе части:

     

           Наконец, мы можем использовать начальные условия для решения C для конкретного решения, которое является выражением для количество соли в баке через t минут:

    Теперь у нас есть выражение для количества соли в баке в зависимости от времени.Сколько соли в баке после 60 минут (t = 60)?

    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка | Обзор, шаги и примеры — видео и расшифровка урока

    Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

    Линейное дифференциальное уравнение первого порядка . производная порядка. Это означает, что общая форма линейного дифференциального уравнения первого порядка задается тем же уравнением, что и раньше, за исключением ограничения только членами {eq}y {/eq} и {eq}y’ {/eq}: {eq }a_0(x)y + a_1(x)y’ = b(x) {/eq}.2+4x {/экв}.

    Как решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка

    Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно просто, если предположить, что все задействованные функции легко интегрируются. Общий метод решения таких уравнений включает умножение уравнения на множитель интегрирования для упрощения задачи. Идея интегрирующего коэффициента состоит в том, чтобы воспользоваться правилом произведения для производных в следующем смысле: рассмотрим уравнение {eq}f(x)y’ + f'(x)y = g(x) {/eq}.{\int р(х)}} {/экв}.

    В общем, легче запомнить формулу для интегрирующего коэффициента и идею упрощения правила произведения, чем пытаться запомнить приведенное выше уравнение. В некоторых случаях уравнение будет представлено в форме, которая позволяет упростить правило произведения без необходимости использования интегрирующего коэффициента, поэтому обязательно проверьте это, прежде чем пытаться вычислить интегрирующий коэффициент. Ниже будет приведено несколько примеров, которые помогут увидеть, как решение этих уравнений работает на практике.3}{4} + \frac{C}{x} {/eq}.

    Один из вопросов, который может возникнуть после просмотра этого примера, заключается в том, почему в последнем интегрировании есть {eq}+C {/eq}, но не при нахождении интегрирующего множителя, для которого также требуется интеграл. Причина в том, что интегрирующий множитель — это просто произвольная функция, на которую умножается уравнение, и у нас есть свобода выбора любой функции (кроме {eq}0 {/eq}) для этого интегрирующего множителя. Единственное требование, которое мы предъявляем к этому интегрирующему фактору, состоит в том, что он должен допускать упрощение левой части уравнения с помощью правила произведения, и поэтому правильно выбрать {eq}C = 0 {/eq}.{ln(sec(x))} {/eq}, и уравнение принимает вид {eq}sec(x)y’ + sec(x)tan(x)y = 3sec(x) {/eq}. (Напомним, что {eq}sec(x) = \frac{1}{cos(x)} {/eq}). Упрощение с помощью правила произведения, а затем интегрирование обеих частей дает {eq}sec(x)y = \int 3sec(x) {/eq}. Правая часть равна {eq}ln(|sec(x) + tan(x)|) + C {/eq}, и, следовательно, решение, умноженное на {eq}cos(x) {/eq }, равно {eq}y = ln(|sec(x)+tan(x)|) + Ccos(x) {/eq}.

    Итоги урока

    В этом уроке было дано определение линейного дифференциального уравнения первого порядка , которое представляет собой уравнение вида {eq}y’ + p(x)y = g(x) {/eq }.Также было показано {\int p(x)} {/eq} вместе с парой примеров, демонстрирующих этот метод. Также была объяснена концепция интегрирующего коэффициента, которая позволяет использовать правило произведения для упрощения линейного дифференциального уравнения первого порядка, а также один пример, показывающий, что не всегда необходимо использовать интегрирующий коэффициент.

    страница не найдена – Колледж Уильямс

    ’62 Центр театра и танца, ’62 Центр
    Касса 597-2425
    Магазин костюмов 597-3373
    Менеджер мероприятий/помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
    Производство 597-4474 факс
    Магазин сцен 597-2439
    ’68 Центр изучения карьеры, Мирс 597-2311 597-4078 факс
    Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
    Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
    Приемная, Уэстон Холл 597-2211 597-4052 факс
    Позитивные действия, Хопкинс-холл 597-4376
    Африканские исследования, Голландия 597-2242 597-4222 факс
    Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
    Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence 597-3578 597-3693 факс
    Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
    Студия фотографии, Spencer Studio Art 597-2030
    Студия печати, Spencer Studio Art 597-2496
    Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101
    Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
    Видео/фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193
    Азиатские исследования, Голландия 597-2391 597-3028 факс
    Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона 597-2482 597-3200 факс
    Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
    Спортивный директор 597-3511
    Лодочная пристань, озеро Онота 443-9851
    Вагоны 597-2366
    Фитнес-центр 597-3182
    Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
    Очные занятия, Спортивный центр Чендлера 597-3321
    Физкультура 597-2141
    Мокрая линия бассейна, Спортивный центр Чендлера 597-2419
    Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
    Корты для сквоша 597-2485
    Поле для гольфа Taconic 458-3997
    Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона 597-2126
    Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
    Биология, Биология Томпсона 597-2126 597-3495 факс
    Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
    Карты доступа/Системы сигнализации 597-4970/4033
    Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400
    Офицеры и диспетчеры 597-4444
    Секретарь, удостоверения личности 597-4343
    Распределительный щит 597-3131
    Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
    Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
    Компьютерный зал 597-2522
    Вестибюль 597-4383
    Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
    Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
    Экологические исследования 597-2346
    Лаборатория ГИС 597-3183
    Центр иностранных языков, литературы и культуры, Голландия 597-2391 597-3028 факс
    Арабистика, Голландия 597-2391 597-3028 факс
    Сравнительная литература, Hollander 597-2391
    Critical Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Лингвистическая лаборатория 597-3260
    Русский, Голландец 597-2391
    Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
    Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
    Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24 597-2483
    Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Химия, Химия Томпсона 597-2323 597-4150 факс
    Классика (греческая и латинская), голландская 597-2242 597-4222 факс
    Когнитивные науки, Бронфман 597-4594
    College Marshal, Thompson Physics 597-2008
    Отношения с колледжами 597-4057
    25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
    50-я программа воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
    Отдел продвижения, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс
    Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
    Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
    Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс
    Почтовые службы для выпускников/программ развития, Мирс-Уэст 597-4369
    Девелопмент, Фогт 597-4256
    Связи с донорами, Фогт 597-3234 597-4039 факс
    Отдел планирования подарков, Фогт 597-3538 597-4039 факс
    Отдел грантов, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
    Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
    Родительский фонд, Фогт 597-4357 597-4036 факс
    Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс
    Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
    Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
    Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Веб-группа, Southworth Schoolhouse
    Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
    Информатика, Химия Томпсона 597-3218 597-4250 факс
    Конференции и мероприятия, Парески 597-2591 597-4748 факс
    Справки о доме на дереве вяза, Mt. Ферма надежды 597-2591
    Офис контролера, Хопкинс-холл 597-4412 597-4404 факс
    Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall 597-4453
    Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall 597-4396
    Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023
    Карты покупок, Хопкинс Холл 597-4413
    Студенческие кредиты, Hopkins Hall 597-4683
    Танец, ’62 Центр 597-2410
    Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
    Дом Харди 597-2129
    Дом Дженнесс 597-3344
    Райс Хаус 597-2453
    Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс
    Декан факультета Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
    Обеденные услуги, капельницы 597-2121 597-4618 факс
    ’82 Гриль, Парески 597-4585
    Пекарня, Парески 597-4511
    Питание, Дом факультета 597-2452
    Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл 597-2238
    Эко-кафе, Научный центр 597-2383
    Grab ‘n Go, Парески 597-4398
    Закусочная Lee, Парески 597-3487
    Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
    Уитменс, Парески 597-2889
    Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
    английский, голландский 597-2114 597-4032 факс
    Объекты, Сервисное здание 597-2301
    Запрос автомобиля для колледжа 597-2302
    Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации 597-4444
    Запросы на работу объектов 597-4141 факс
    Особые события 597-4020
    Склад 597-2143 597-4013 факс
    Клуб преподавателей, Дом преподавателей/Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
    Бронирование 597-3089
    Офис стипендий, Хопкинс-холл 597-3044 597-3507 факс
    Финансовая помощь, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
    Геофизические науки, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс
    немецкий-русский, голландский 597-2391 597-3028 факс
    Глобальные исследования, Холландер 597-2247
    Программа магистратуры по истории искусств, The Clark 458-2317 факс
    Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
    Санитарное просвещение 597-3013
    Услуги комплексного благополучия (консультации) 597-2353
    Экстренные ситуации, угрожающие жизни Звоните 911
    Медицинские услуги 597-2206
    История, Холландер 597-2394 597-3673 факс
    История науки, Бронфман 597-4116 факс
    Хопкинс Форест 597-4353
    Центр Розенбурга 458-3080
    Отдел кадров, здание B&L 597-2681 597-3516 факс
    Услуги няни, здание B&L 597-4587
    Преимущества 597-4355
    Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
    Занятость 597-2681
    Расчет заработной платы 597-4162
    Ресурсы для супругов/партнеров 597-4587
    Занятость студентов 597-4568
    Погодная линия (ICEY) 597-4239
    Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076
    Информационные технологии, Джесуп 597-2094 597-4103 факс
    Пакеты для чтения курса, почтовый ящик Office Services 597-4090
    Центр кредитования оборудования, Додд, приложение 597-4091
    Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected] 597-4090
    Медиа-услуги и помощь в классе 597-2112
    Служба поддержки студентов, [email protected] 597-3088
    Телекоммуникации/телефоны 597-4090
    Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552
    Международное образование и обучение вне дома, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс
    Инвестиционный офис, Хопкинс-холл 597-4447
    Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс
    Еврейские исследования, Мазер 597-3539
    Справедливость и право, Холландер 597-2102
    Латиноамериканские исследования, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Морские исследования, Бронфман 597-2297
    Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
    Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
    Concertline (записанная информация) 597-3146
    Неврология, Биология Томпсона 597-4107 597-2085 факс
    Центр Окли, Окли 597-2177 597-4126 факс
    Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс
    Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс
    Исследования производительности, ’62 Центр 597-4366
    Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Физика, Физика Томпсона 597-2482 597-4116 факс
    Планетарий/Обсерватория Хопкинса 597-3030
    Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828
    Бронирование 597-2188
    Политическая экономия, Шапиро 597-2327
    Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
    Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс
    Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
    Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House 597-2022
    Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
    Офис проректора, Хопкинс-холл 597-4352 597-3553 факс
    Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
    Недвижимость, здание B&L 597-2195/4238 597-5031 факс
    Ипотека преподавателей/сотрудников 597-4238
    Аренда жилья для преподавателей/сотрудников 597-2195
    ЗАГС, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
    Религия, голландец 597-2076 597-4222 факс
    Романские языки, голландский 597-2391 597-3028 факс
    Планировщик помещений 597-2555
    Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 House 597-3003
    Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
    Услуги доступа 597-2501
    Приобретения/Серийные номера 597-2506
    Услуги каталогизации/метаданных 597-2507
    Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
    Исследовательские и справочные услуги 597-2515
    Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
    Системы 597-2084
    Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
    Научные и технологические исследования, Бронфман 597-2239
    Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
    Магазин электроники 597-2205
    Машиностроительный/модельный цех 597-2230
    Безопасность 597-4444
    Специальные академические программы, Hardy 597-3747 597-4530 факс
    Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Студенческая жизнь, Парески 597-4747
    Планировщик помещений 597-2555
    Управление студенческими центрами 597-4191
    Планирование студенческих мероприятий 597-2546
    Студенческое общежитие, Парески 597-2555
    Участие студентов 597-4749
    Жилищные программы высшего класса 597-4625
    Студенческая почта, Почта Парески 597-2150
    Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper 597-4462
    Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
    Книжный магазин Уильямс 458-8071 458-0249 факс
    Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
    Управление траста и недвижимости, Sears House 597-4259
    Учебники 597-2580
    Вице-президент Campus Life, Hopkins Hall 597-2044 597-3996 факс
    Вице-президент по связям с колледжами, Мирс 597-4057 597-4178 факс
    Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс
    Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
    Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс 597-4008 597-4889 факс
    Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
    Подготовка музея 597-2426
    Служба безопасности музея 597-2376
    Музейный магазин 597-3233
    Уильямс Интернэшнл 597-2161
    Выездной клуб Williams, Парески 597-2317
    Аппаратная/стол для учащихся 597-4784
    Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст 597-2192
    Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс
    Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
    Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic 860-572-5359 860-572-5329 факс
    Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро 597-3143 597-4620 факс
    Написание программ, Хопкинс-холл 597-4615
    Центр экологических инициатив Зилха, Харпер 597-4462
    .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.