Дифференциальные уравнения первого порядка: Курс "Обыкновенные дифференциальные уравнения" - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых
выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения

Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте).

Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
Выбрать платежную систему.
Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Дифференциальное уравнение первого порядка – Русские Блоги

порталhttps://jingyan.baidu.com/article/8065f87fb7f0652331249822.html

1. Решение дифференциального уравнения для разделяемых переменных. Общий вид: g (y) dy = f (x) dx

Прямое решение: ∫g (y) dy = ∫f (x) dx

Пусть исходные функции g (y) и f (x) – это G (y) и F (x) по порядку, тогда G (y) = F (x) + C – неявное общее решение дифференциального уравнения

2. Решение однородного уравнения общего вида: dy / dx = φ (y / x)

Пусть u = y / x, тогда y = xu, dy / dx = u + xdu / dx,

Таким образом, u + xdu / dx = φ (u), то есть du / [φ (u) -u] = dx / x

Интегрируем на обоих концах, чтобы получить ∫du / [φ (u) -u] = ∫dx / x

Наконец, замените u на y / x, чтобы получить общее решение однородного уравнения.

3. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка общего вида: dy / dx + P (x) y = Q (x)

Шиллинг Q (x) = 0, затем dy / dx + P (x) y = 0

Решите y = Ce － ∫P (x) dx, а затем пусть y = ue － ∫P (x) dx подставляется в исходное уравнение

Решением является u = ∫Q (x) e∫P (x) dxdx + C, поэтому y = e ∫ ∫P (x) dx ［Q (x) e∫P (x) dxdx + C］

То есть y = Ce － ∫P (x) dx + e － ∫P (x) dx

∫Q (x) e∫P (x) dxdx – общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

4. Решения дифференциальных уравнений высшего порядка, которые можно привести

① Дифференциальное уравнение типа y (n) = f (x)

y(n)=f(x)

y(n-1)= ∫f(x)dx+C1

y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2

По аналогии и интегрируя n раз подряд, мы получаем общее решение уравнения y (n) = f (x) с n произвольными постоянными.

②y »= f (x, y’) дифференциальное уравнение типа

Пусть y ‘= p, тогда y ”= p’, поэтому p’ = f (x, p), а затем решите для p = φ (x, C1), т. е. dy / dx = φ (x, C1), поэтому y = ∫ φ (x, C1) dx + C2

③y »= f (y, y’) дифференциальное уравнение типа

Пусть y ’= p, то y» = pdp / dy, поэтому pdp / dy = f (y, p), а затем решите для p = φ (y, C1)

То есть dy / dx = φ (y, C1), то есть dy / φ (y, C1) = dx, поэтому ∫dy / φ (y, C1) = x + C2

10 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

Пример. . Заметим, что – решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — обзор

12.2.1 Теория вращения поляризованной флуоресценции в ортогональной системе

На рисунке 12.1 показана схема ортогональной системы координат, используемой для изучения влияния вращения молекул на затухание флуоресценции. показатель.

12.1. Ортогональная система координат, используемая для изучения влияния вращения молекул на скорость затухания флуоресценции. Предположим, что флуоресцентная молекула находится в начале координат.Возбуждающие световые импульсы произвольной линейной поляризации под углом ϕ _e распространяются вдоль направления YO , а угол ϕ _d определяет поляризатор, введенный в пучок флуоресценции. μ→a и μ→e представляют собой ориентацию моментов поглощения и излучения соответственно. δ — угол между диполями поглощения и излучения.

Молекула флуоресцентного красителя помещена в центр координат, возбуждаемый световым импульсом произвольной линейной поляризации, распространяющимся в направлении YO в момент времени t ₀ .Эмиссия красителя во всех направлениях может быть определена интенсивностью трех наборов ортогональных диполей, ориентированных вдоль трех декартовых осей. Поскольку любой случайно ориентированный диполь можно физически рассматривать как три проективных субдиполя в осях X, Y и Z , мы предполагаем, что эти три ориентированных диполя являются единственными ориентациями, разрешенными для диполей, и что молекулы вращаются из из одного направления в другое по фиксированной ставке. Интенсивность флуоресценции от определенных ортогональных диполей может быть выражена как I _x , I _y и I _z , а мгновенные скорости изменения интенсивности в момент времени a могут быть описаны как t набор линейных дифференциальных уравнений первого порядка (Spencer et al. , 1970):

[12.1]dIx/dt=Pxt−(α+2Rxy+2Rxz)Ix+2RyxIy+2RzxIz,dIy/dt=pyt+2RxyIx−(α+2Ryx+2Ryz)Iy+2RzyIz,dIz/ dt = pzt + 2RXZIX + 2RYZIY- (α + 2RZY + 2RZX) IZ,

где p _x ( t ), p _y ( t ), p _z ( t ) являются функциями, определяющими совокупность диполей, соответствующих соответствующему направлению, возбуждаемому падающим светом накачки. α – скорость затухания излучения, R _ij – скорость, описывающая интенсивность флуоресценции в направлении i , переходящую в направление j , а i, j – выражения для x, y z в декартовых координатах.Изменение диполя с одного направления на другое может иметь один из двух противоположных смыслов, поэтому следует учитывать фактор 2. Поскольку одной скорости вращения достаточно, чтобы охарактеризовать наблюдение флуоресцентных молекул как сфер Эйнштейна в спектроскопии с временным разрешением и изотропии среды-хозяина, установив R _ij = R , уравнение. 12.1 можно упростить следующим образом:

[12.2]dIx/dt=Pxt−(α+4R)Ix+2RIy+2RIz,dIy/dt=pyt+2RIx−(α+4R)Iy+2RIz,dIz/dt=Pzt +2RIx+2RIy−(α+4R)Iz.

Известно, что распад каждой компоненты I _x , I _y и I _z зависит от постоянной скорости вращения R и начального распределенного состояния (определяемого весовыми коэффициентами w _x , W _y , W _Z и W _x + W _Z = 1) возбуждения P ( T ) (Спенсер и др., 1970). Применяя поляризатор на пути возбуждающего света и другой поляризатор в детекторе с углом поляризации к возбуждению, можно получить разные весовые коэффициенты. Будет наблюдаться деполяризация, что позволит определить скорость вращения флуоресцентных молекул от одного ортогонального компонента к другому. Чтобы решить уравнение 12.2, неизвестные I _x , I _y и I _z перемещаются в левую сторону, чтобы получить:

3]D+α+4R−2R−2R−2RD+α+4R−2R−2R−2RD+α+4RIxIyIz=wxPtwyPtwzPt

, где D=ddt — оператор дифференцирования. Решение:

[12.4]Ii=wiD+α+2RD+αD+α+6RPt.

Умножая знаменатель с обеих сторон, получаем явное выражение: b = α ( α + 6 R ).

Настройка P ( t ) = 0 и ввод граничного условия для DI _i ( 0 ) из уравнения.12.2, что такое:

DII0 = -α + 4RIII0 + 2i0-II0R,

где I ₀ = I (0) = I _{x I 0 (0) + I _y (0) + I _z (0). Решение уравнения 12.4:}

[12.5]Iit=13I0e-αt+Ii0-13I0e-α+6Rt.

Уравнение 12.5 описывает затухание любой ортогональной составляющей после возбуждения светового импульса. Затухание флуоресценции одного определенного направления будет зависеть не только от времени жизни флуоресценции (обратного скорости затухания α ) молекул, проявляющих простой экспоненциальный затухание, но также от постоянной скорости вращения R и начального распределенного состояния эмиссия I _i (0), которая фактически определяется распределением ориентаций молекул в системе и весовыми коэффициентами w _i возбуждения P (t).

Распределение возбужденных молекул, поглощающих свет, в момент времени t ₀ определяется весовым коэффициентом w _i и функцией распределения ориентаций диполей. Это распределение может быть определено как r , анизотропия поляризации, которую можно получить путем измерения излучения в направлении OY возбужденным светом, поляризованным в направлении OX . Анизотропия поляризации определяется как:

[12.6]rt=Ixt−IytIxt+Iyt+Izt.

Установка направления поляризации луча накачки по OX , поскольку возбужденные молекулы симметричны относительно направления поляризации возбуждающего света, I _y = I _z . Поскольку I _i ( i = x, y, z ) зависит от времени, пусть I _x = I _|| , I _y = I _z = I _⊥ , уравнение12. 6 затем преобразуется более простым, но более привычным способом (Флеминг и др., 1976; Портер и др., 1977):

[12.7]rt=I||t−I⊥tI||t+ 2I⊥т.

В то время T ₀, весовой коэффициент W _I начальной эмиссии может быть получен в терминах R ₀ (значение R при T = 0 ): W _x = 1/3 ( 1 + 2 R ₀), W _y = 1/3 ( 1 – R ₀).Введение флуоресцентного срока службы молекул, определенных как τ _F = 1/ α ., Время вращения диполя как τ _{гтритель} = (6 R ) ^{– 1}8, а также w _x и w _y в уравнение. 12.5 заменить I _i (0) = w _i I ₀ , параллельную (||) и перпендикулярную (⊥) компоненты флуоресценции, I _|| и I _⊥ , возбуждаемые линейно поляризованным светом вдоль направления OX, можно записать как:

[12. 8]I||t=I03e−αt1+2r0e−6Rt=I03e−tτF1+2r0e−tτrot,I⊥t=I03e−αt1−r0e−6Rt=I03e−tτF1−r0e−tτrot.

Общая интенсивность флуоресценции с временным разрешением может быть записана как:

[12.9]It=I||t+2I⊥t=I0e-αt=I0e-tτF.

Подставляя уравнение 12.8 в уравнение. 12.7, анизотропия поляризации флуоресценции с временным разрешением может быть записана как:

[12.10]rt=r0e-6Rt=r0e-tτrot.

Затухание r (t) вызвано переориентацией возбужденных молекул вследствие броуновского движения (Spencer et al., 1970; Флеминг и др., , 1976). Хотя Роберта Брауна помнят как первооткрывателя броуновского движения, именно Альберт Эйнштейн предсказал его на теоретических основаниях и сформулировал правильную количественную оценку броуновского движения (Porter et al., 1977). В простом случае флуоресцентной молекулы, претерпевающей броуновское вращение в виде сферы или сплюснутой Эйнштейна, константа вращательной диффузии определяется соотношением Стокса-Эйнштейна как: — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, η — вязкость растворителя, V — объем простой молекулы, для сферы V = (4/3) πa ³ , где a — радиус сферы (Флеминг и др. , 1976; Porter и др., , 1977). Применяя это соотношение к флуоресцентной молекуле как к сферической вращающейся молекуле Эйнштейна (Флеминг, и др., , 1976; Портер, и др., , 1977), время вращения диполя выражается как:

[12.11]τrot= 6R−1=ηVkT=4ηπa33kT.

τ _rot можно получить, подгоняя выражение r (t) к уравнению. 12.10, а временная эволюция r (t) может быть получена из измерений I _|| (t) и I _⊥ (t) по уравнению12.7.

Линейные уравнения первого порядка

Здесь мы научимся решать линейные задачи первого порядка. уравнения; это дифференциальные уравнения, которые не могут быть легко решены как разделимые уравнения, но может соответствовать форме:

Посмотрев на это, мы имеем dy/dx сам по себе, P(x) y является некоторой функцией строго от x, умноженной на один y, и Q(x) есть некоторая функция строго от x.

Чтобы решить эти проблемы, нам нужно выполнить следующие шаги:

Убедитесь, что уравнение соответствует форме линейного уравнения первого порядка.
Найдите коэффициент интегрирования и умножьте его на все уравнение.
Это приводит к тому, что правило произведения находится на одной стороне; выясните, какие термины использовались для правила продукта, и запишите их как производную.
Интегрируйте обе стороны.
Найдите y, если оно легко разрешимо.

Давайте пройдемся через несколько примеров:

Пример 1:

Найти конкретное решение дифференциального уравнения:

Первое, нам нужно убедиться, что это соответствует форме:

. Мы можем видеть, что он делает; dy/dx само по себе, P(x) = -4, которое умножается на один y, а Q(x) является функцией только от x.Теперь найдем наш интегрирующий множитель, который обозначается греческой буквой мю. Интегрирующий множитель для одного из этих уравнений всегда будет e возведен в интеграл от P(x):

На данный момент мы можем опустить константу C; его привезут позже. Теперь, когда у нас есть интегрирующий коэффициент, мы умножаем его на исходное уравнение:

Теперь, почему мы это сделали? Ну эта часть красивая интересно; что мы только что сделали, так это принудительно установили правило произведения слева сторону уравнения.Давайте посмотрим на эту часть уравнения: после умножив интегрирующий множитель, мы должны увидеть правило продукта. Напомним, что правило произведения таково: f g ‘ = g f ‘; Глядя на уравнение, мы должны увидеть, какой член есть какой:

Зная это, мы можем переписать левую часть уравнения:

*Кроме того, это может быть хорошей идеей, особенно с более сложными проблемами, чтобы дифференцировать уравнение, чтобы убедиться, что оно совпадает:

Это совпадает, так что у нас все хорошо.Если это не так, это скорее всего означает, что где-то была ошибка, и нам пришлось бы вернитесь и попробуйте еще раз разобраться.

Вернемся к тому, где мы были: теперь, когда у нас есть левая сторона, записанная как производная, мы можем интегрировать обе части. Левая сторона останется то же самое, поскольку интеграл от производной сокращается:

Теперь мы можем найти y. Обратите внимание, что C не аннулирует все вокруг себя в этих задачах:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем подключить в наших начальных условиях и получить частное решение:

Пример 2:

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Во-первых, нам нужно убедиться, что это уравнение имеет правильную форму.Похоже, это подходит; dy/dx само по себе, P(x) = 3x ² , которое умножается на один y, а Q(x) является функцией x, не умноженной ни на что другое. Таким образом, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

Далее мы умножаем интегрирующий коэффициент на все уравнение:

Теперь мы можем посмотреть на левую часть уравнения и увидеть, какие члены представляют f, f ‘, г и г’. Это подскажет нам, какие термины использовать, когда мы перепишем левую часть в виде правила произведения:

Правило произведения говорит, что fg = fg’ + gf ‘, так что теперь мы можем переписать левую часть уравнения как производную fg, что равно тому, что у нас есть сейчас:

Теперь мы можем интегрировать обе части:

условия для получения частного решения:

Пример 3:

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Первое, что мы должны заметить, это то, что это уравнение еще не в правильной форме. Проблема в том, что dy/dx не существует сам по себе; давайте разделим каждый член на x, чтобы изолировать его:

Теперь это в правильной форме: y’ изолировано, P(x) умножается на один y, а Q(x) сам по себе. Поскольку у нас есть уравнение в правильной форме, мы можем найти наш интегрирующий коэффициент:

После сокращения e и ln и упрощения наш интегрирующий коэффициент равен x ³ . Затем мы можем умножить это на все уравнение, чтобы применить правило произведения в левой части:

Принуждая правило произведения, мы можем определить какие члены взяты из исходного уравнения, а какие являются производными:

Теперь мы можем переписать левую часть как производную от произведения f и g:

Далее возьмем интеграл от обеих частей:

Теперь нужно просто решить для y, чтобы получить общее решение:

Теперь у нас есть общее решение; найти конкретное решение, нам нужно использовать начальные условия и решить для C:

Пример 4: Смешивание раствора в баке

Резервуар изначально содержит 120 галлонов чистого вода. Солевой раствор, содержащий 1 фунт соли на галлон, поступает в резервуара со скоростью 3 галлона/мин, а хорошо перемешанный раствор выходит из резервуара со скоростью 4 галлонов/мин, опорожнение резервуара через 120 минут или 2 часа. Оцените выражение для количество соли в баке через t минут, и найти, сколько соли в баке в момент t = 60 минут.

Сначала определим некоторые переменные. Для задач с резервуаром Q(t) = количество раствора в резервуаре в любой момент времени t, а dQ/dt = скорость поступления – скорость выхода из раствора.Изначально в баке чистая вода (без соли), поэтому Q(0) = 0.

Начнем с записи dQ/dt. Мы знаем скорость в; он задан в задаче и не меняется. Но норма, однако, меняется со временем, в зависимости от того, сколько соли в баке. Мы знаем, что в баке будет некоторое количество Q и что бак будет пустым через 120 минут; таким образом, время будет равно 120-t, и у нас останется время, оставшееся до опустошения резервуара:

Теперь у нас есть функция, связанная с dQ/dt, которая представляет собой изменение количества соли во времени. Немного переписав это, мы получим:

Это линейное уравнение первого порядка относительно Q и t, и мы знаем, как его решить! Сначала найдите интегрирующий коэффициент:

Далее умножьте интегрирующий коэффициент на каждое слагаемое, чтобы применить правило произведения:

Теперь мы можем найти f и g в результате правила произведения и переписать левую часть уравнение как производная:

Теперь перепишем как производную от f и g:

Далее интегрируем обе части:

Наконец, мы можем использовать начальные условия для решения C для конкретного решения, которое является выражением для количество соли в баке через t минут:

Теперь у нас есть выражение для количества соли в баке в зависимости от времени.Сколько соли в баке после 60 минут (t = 60)?

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка | Обзор, шаги и примеры — видео и расшифровка урока

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка . производная порядка. Это означает, что общая форма линейного дифференциального уравнения первого порядка задается тем же уравнением, что и раньше, за исключением ограничения только членами {eq}y {/eq} и {eq}y’ {/eq}: {eq }a_0(x)y + a_1(x)y’ = b(x) {/eq}.2+4x {/экв}.

Как решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно просто, если предположить, что все задействованные функции легко интегрируются. Общий метод решения таких уравнений включает умножение уравнения на множитель интегрирования для упрощения задачи. Идея интегрирующего коэффициента состоит в том, чтобы воспользоваться правилом произведения для производных в следующем смысле: рассмотрим уравнение {eq}f(x)y’ + f'(x)y = g(x) {/eq}.{\int р(х)}} {/экв}.

В общем, легче запомнить формулу для интегрирующего коэффициента и идею упрощения правила произведения, чем пытаться запомнить приведенное выше уравнение. В некоторых случаях уравнение будет представлено в форме, которая позволяет упростить правило произведения без необходимости использования интегрирующего коэффициента, поэтому обязательно проверьте это, прежде чем пытаться вычислить интегрирующий коэффициент. Ниже будет приведено несколько примеров, которые помогут увидеть, как решение этих уравнений работает на практике.3}{4} + \frac{C}{x} {/eq}.

Один из вопросов, который может возникнуть после просмотра этого примера, заключается в том, почему в последнем интегрировании есть {eq}+C {/eq}, но не при нахождении интегрирующего множителя, для которого также требуется интеграл. Причина в том, что интегрирующий множитель — это просто произвольная функция, на которую умножается уравнение, и у нас есть свобода выбора любой функции (кроме {eq}0 {/eq}) для этого интегрирующего множителя. Единственное требование, которое мы предъявляем к этому интегрирующему фактору, состоит в том, что он должен допускать упрощение левой части уравнения с помощью правила произведения, и поэтому правильно выбрать {eq}C = 0 {/eq}.{ln(sec(x))} {/eq}, и уравнение принимает вид {eq}sec(x)y’ + sec(x)tan(x)y = 3sec(x) {/eq}. (Напомним, что {eq}sec(x) = \frac{1}{cos(x)} {/eq}). Упрощение с помощью правила произведения, а затем интегрирование обеих частей дает {eq}sec(x)y = \int 3sec(x) {/eq}. Правая часть равна {eq}ln(|sec(x) + tan(x)|) + C {/eq}, и, следовательно, решение, умноженное на {eq}cos(x) {/eq }, равно {eq}y = ln(|sec(x)+tan(x)|) + Ccos(x) {/eq}.

Итоги урока

В этом уроке было дано определение линейного дифференциального уравнения первого порядка , которое представляет собой уравнение вида {eq}y’ + p(x)y = g(x) {/eq }.Также было показано {\int p(x)} {/eq} вместе с парой примеров, демонстрирующих этот метод. Также была объяснена концепция интегрирующего коэффициента, которая позволяет использовать правило произведения для упрощения линейного дифференциального уравнения первого порядка, а также один пример, показывающий, что не всегда необходимо использовать интегрирующий коэффициент.

страница не найдена – Колледж Уильямс

’62 Центр театра и танца, ’62 Центр

Касса 597-2425

Магазин костюмов 597-3373

Менеджер мероприятий/помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс

Производство 597-4474 факс

Магазин сцен 597-2439

’68 Центр изучения карьеры, Мирс 597-2311 597-4078 факс

Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс

Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672

Приемная, Уэстон Холл 597-2211 597-4052 факс

Позитивные действия, Хопкинс-холл 597-4376

Африканские исследования, Голландия 597-2242 597-4222 факс

Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс

Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс

Читальный зал 597-4200

Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence 597-3578 597-3693 факс

Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134

Студия фотографии, Spencer Studio Art 597-2030

Студия печати, Spencer Studio Art 597-2496

Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101

Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224

Видео/фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193

Азиатские исследования, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона 597-2482 597-3200 факс

Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл 597-2366 597-4272 факс

Спортивный директор 597-3511

Лодочная пристань, озеро Онота 443-9851

Вагоны 597-2366

Фитнес-центр 597-3182

Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman 597-2433

Очные занятия, Спортивный центр Чендлера 597-3321

Физкультура 597-2141

Мокрая линия бассейна, Спортивный центр Чендлера 597-2419

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс

Корты для сквоша 597-2485

Поле для гольфа Taconic 458-3997

Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона 597-2126

Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124

Биология, Биология Томпсона 597-2126 597-3495 факс

Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс

Карты доступа/Системы сигнализации 597-4970/4033

Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400

Офицеры и диспетчеры 597-4444

Секретарь, удостоверения личности 597-4343

Распределительный щит 597-3131

Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093

Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс

Компьютерный зал 597-2522

Вестибюль 597-4383

Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс

Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380

Экологические исследования 597-2346

Лаборатория ГИС 597-3183

Центр иностранных языков, литературы и культуры, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Арабистика, Голландия 597-2391 597-3028 факс

Сравнительная литература, Hollander 597-2391

Critical Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс

Лингвистическая лаборатория 597-3260

Русский, Голландец 597-2391

Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс

Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс

Читальный зал 597-4200

Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс

Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24 597-2483

Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483

Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483

Химия, Химия Томпсона 597-2323 597-4150 факс

Классика (греческая и латинская), голландская 597-2242 597-4222 факс

Когнитивные науки, Бронфман 597-4594

College Marshal, Thompson Physics 597-2008

Отношения с колледжами 597-4057

25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс

50-я программа воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс

Отдел продвижения, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс

Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс

Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс

Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс

Почтовые службы для выпускников/программ развития, Мирс-Уэст 597-4369

Девелопмент, Фогт 597-4256

Связи с донорами, Фогт 597-3234 597-4039 факс

Отдел планирования подарков, Фогт 597-3538 597-4039 факс

Отдел грантов, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс

Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс

Родительский фонд, Фогт 597-4357 597-4036 факс

Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс

Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс

Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Веб-группа, Southworth Schoolhouse

Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278

Информатика, Химия Томпсона 597-3218 597-4250 факс

Конференции и мероприятия, Парески 597-2591 597-4748 факс

Справки о доме на дереве вяза, Mt. Ферма надежды 597-2591

Офис контролера, Хопкинс-холл 597-4412 597-4404 факс

Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall 597-4453

Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall 597-4396

Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023

Карты покупок, Хопкинс Холл 597-4413

Студенческие кредиты, Hopkins Hall 597-4683

Танец, ’62 Центр 597-2410

Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс

Дом Харди 597-2129

Дом Дженнесс 597-3344

Райс Хаус 597-2453

Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс

Декан факультета Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс

Обеденные услуги, капельницы 597-2121 597-4618 факс

’82 Гриль, Парески 597-4585

Пекарня, Парески 597-4511

Питание, Дом факультета 597-2452

Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл 597-2238

Эко-кафе, Научный центр 597-2383

Grab ‘n Go, Парески 597-4398

Закусочная Lee, Парески 597-3487

Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281

Уитменс, Парески 597-2889

Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс

английский, голландский 597-2114 597-4032 факс

Объекты, Сервисное здание 597-2301

Запрос автомобиля для колледжа 597-2302

Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации 597-4444

Запросы на работу объектов 597-4141 факс

Особые события 597-4020

Склад 597-2143 597-4013 факс

Клуб преподавателей, Дом преподавателей/Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс

Бронирование 597-3089

Офис стипендий, Хопкинс-холл 597-3044 597-3507 факс

Финансовая помощь, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс

Геофизические науки, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс

немецкий-русский, голландский 597-2391 597-3028 факс

Глобальные исследования, Холландер 597-2247

Программа магистратуры по истории искусств, The Clark 458-2317 факс

Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс

Санитарное просвещение 597-3013

Услуги комплексного благополучия (консультации) 597-2353

Экстренные ситуации, угрожающие жизни Звоните 911

Медицинские услуги 597-2206

История, Холландер 597-2394 597-3673 факс

История науки, Бронфман 597-4116 факс

Хопкинс Форест 597-4353

Центр Розенбурга 458-3080

Отдел кадров, здание B&L 597-2681 597-3516 факс

Услуги няни, здание B&L 597-4587

Преимущества 597-4355

Программа помощи сотрудникам 800-828-6025

Занятость 597-2681

Расчет заработной платы 597-4162

Ресурсы для супругов/партнеров 597-4587

Занятость студентов 597-4568

Погодная линия (ICEY) 597-4239

Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076

Информационные технологии, Джесуп 597-2094 597-4103 факс

Пакеты для чтения курса, почтовый ящик Office Services 597-4090

Центр кредитования оборудования, Додд, приложение 597-4091

Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected] 597-4090

Медиа-услуги и помощь в классе 597-2112

Служба поддержки студентов, [email protected] 597-3088

Телекоммуникации/телефоны 597-4090

Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552

Международное образование и обучение вне дома, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс

Инвестиционный офис, Хопкинс-холл 597-4447

Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс

Еврейские исследования, Мазер 597-3539

Справедливость и право, Холландер 597-2102

Латиноамериканские исследования, Hollander 597-2242 597-4222 факс

Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Морские исследования, Бронфман 597-2297

Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс

Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс

Concertline (записанная информация) 597-3146

Неврология, Биология Томпсона 597-4107 597-2085 факс

Центр Окли, Окли 597-2177 597-4126 факс

Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс

Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс

Исследования производительности, ’62 Центр 597-4366

Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс

Физика, Физика Томпсона 597-2482 597-4116 факс

Планетарий/Обсерватория Хопкинса 597-3030

Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828

Бронирование 597-2188

Политическая экономия, Шапиро 597-2327

Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс

Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс

Дом Президента 597-2388 597-4848 факс

Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House 597-2022

Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс

Офис проректора, Хопкинс-холл 597-4352 597-3553 факс

Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс

Недвижимость, здание B&L 597-2195/4238 597-5031 факс

Ипотека преподавателей/сотрудников 597-4238

Аренда жилья для преподавателей/сотрудников 597-2195

ЗАГС, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс

Религия, голландец 597-2076 597-4222 факс

Романские языки, голландский 597-2391 597-3028 факс

Планировщик помещений 597-2555

Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 House 597-3003

Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс

Услуги доступа 597-2501

Приобретения/Серийные номера 597-2506

Услуги каталогизации/метаданных 597-2507

Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс

Исследовательские и справочные услуги 597-2515

Стеллаж 597-4955 597-4948 факс

Системы 597-2084

Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс

Научные и технологические исследования, Бронфман 597-2239

Научный центр, Бронфман 597-4116 факс

Магазин электроники 597-2205

Машиностроительный/модельный цех 597-2230

Безопасность 597-4444

Специальные академические программы, Hardy 597-3747 597-4530 факс

Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс

Студенческая жизнь, Парески 597-4747

Планировщик помещений 597-2555

Управление студенческими центрами 597-4191

Планирование студенческих мероприятий 597-2546

Студенческое общежитие, Парески 597-2555

Участие студентов 597-4749

Жилищные программы высшего класса 597-4625

Студенческая почта, Почта Парески 597-2150

Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper 597-4462

Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131

Книжный магазин Уильямс 458-8071 458-0249 факс

Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс

Управление траста и недвижимости, Sears House 597-4259

Учебники 597-2580

Вице-президент Campus Life, Hopkins Hall 597-2044 597-3996 факс

Вице-президент по связям с колледжами, Мирс 597-4057 597-4178 факс

Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс

Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс

Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс 597-4008 597-4889 факс

Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс

Подготовка музея 597-2426

Служба безопасности музея 597-2376

Музейный магазин 597-3233

Уильямс Интернэшнл 597-2161

Выездной клуб Williams, Парески 597-2317

Аппаратная/стол для учащихся 597-4784

Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст 597-2192

Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс

Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345

Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic 860-572-5359 860-572-5329 факс

Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро 597-3143 597-4620 факс

Написание программ, Хопкинс-холл 597-4615

Центр экологических инициатив Зилха, Харпер 597-4462

.

Дифференциальные уравнения первого порядка: Курс “Обыкновенные дифференциальные уравнения”