Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными примеры: Страница не найдена – РЕГИОНАЛЬНЫЙ ОТКРЫТЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ

Содержание

Урок на тему “Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными”

II. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

  Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

Алгоритм решения:

1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy

2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобки

3. Разделяют переменные

4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение

5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение

   Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям

–         это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т. к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

 Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

 – верно

   Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

при у(2) = 1 получаем

Итого:  или  – частное решение;

   Проверка:  , итого

  – верно.

  

Пример 3.

Решить уравнение

  – общий интеграл

   – общее решение

 

  Пример 4. Решить уравнение

   Пример 5. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям

  Если у(1) = 0, то

   Итого, частный интеграл: .

    Пример 6. Решить уравнение .

 Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Получаем общий интеграл:

 Пример 7. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

 Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

  

Пример 8.

Решить уравнение .

;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Получаем частное решение

Задания для самостоятельной работы:

Решить дифференциальные уравнения

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Найти частное решение уравнения , если y=4 при x=1

Ответ:

6. Найти частное решение уравнения , если y=3 при x=0

Ответ:

7. Найти частное решение уравнения , если y=2 при x=0

Ответ:

Домашнее задание:

Решить дифференциальные уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Найти частное решение уравнения , если y=1 при x=2

10. Найти частное решение уравнения , если y=2 при x=0

11. Проинтегрировать дифференциальное уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-1

12. Найти частное решение уравнения , если при

13. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида: . В нем в левой части стоит функция , зависящая только от переменной , а в правой — функция , зависящая только от переменной . Такое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделенными переменными.

Для нахождения решения такого уравнения достаточно взять интеграл от обеих частей: .

Пример №38.4.

Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение:

Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

— общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения такого уравнения необходимо:

  1. Если в уравнении встречается , то представить его как .
  2. Произвести разделение переменных (в одной части при собрать выражения, содержащие только переменную ; в другой части при собрать выражения, содержащие только переменную ).
  3. Почленно проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.
Пример №38.5.

Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение:

Данное уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда или .

Будем собирать множители с в левой части, с — в правой: .

Интегрируя обе части, получим: или — общее решение.

Ответ: .

Замечание. Иногда при нахождении решения дифференциального уравнения, каждое слагаемое которого представляет собой натуральный логарифм, в качестве константы можно выбирать . Такую операцию можно было бы произвести в примере 38.5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имело бы вид: . Применим свойства логарифма: или . Откуда можно заключить, что . Этот прием особенно эффективен при решении задачи Коши.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

примеры уравнений с разделяющимися переменными

Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

1) Проинтегрировать дифференциальное уравнение:  (1+x²)dy-2xydx=0.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, записанное в виде 

   

Оставляем слагаемое с dy в левой части уравнения, с dx — переносим в правую часть:

(1+x²)dy = 2xydx

Разделяем переменные, то есть в левой части оставляем только dy и все, что содержит y, в правой dx и x. Для этого обе части уравнения делим на (1+x²) и на y. Получаем

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

В левой части — табличный интеграл. Интеграл в правой части можно найти, например, сделав замену t=1+x², тогда

dt=(1+x²)’dx=2xdx. 

   

В примерах, где есть возможность провести потенцирование, то есть убрать логарифмы, удобно брать не С, а lnC. Именно так мы и сделаем: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то ln│y│=ln│Сt│, откуда y=Ct. Делаем обратную замену,и получаем общее решение: y=C(1+x²).

Мы делили на 1+x²   и на y при условии, что они не равны нулю. Но 1+x² не равно нулю при любых x.  А y=0 при С=0, таким образом, потери корней не произошло.

Ответ: y=C(1+x²).

2) Найти общий интеграл уравнения

   

   

Переменные можно разделить.

   

Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на

   

Получаем:

   

Теперь интегрируем 

   

В левой части — табличный интеграл. Справа — делаем замену 4-x²=t, тогда dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Получаем

   

Если вместо С взять 1/2 ln│C│, можно ответ записать более компактно:

   

Умножим обе части на 2 и применим свойство логарифма:

   

Мы делили на

   

  Они не равны нулю: y²+1 — так как сумма неотрицательных чисел не равна нулю, а подкоренное выражение не равно нулю по смыслу условия. Значит, потери корней не произошло.

Ответ:

   

3) a) Найти общий интеграл уравнения  (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.

б) Найти частный интеграл  этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию y(е)=1.

Решение.

а) Преобразуем левую часть уравнения: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, затем

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Делим обе части на x²y² при условии, что ни x, ни y не равны нулю. Получаем:

   

Интегрируем уравнение:

   

Отсюда 

   

Так как разность логарифмов равна логарифму частного, имеем:

   

Это — общий интеграл уравнения. В процессе решения мы ставили условие, что произведение  x²y² не равно нулю, откуда следует, что x и y не должны быть равными нулю. Подставив x=0 и y=0 в условие:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 получаем верное равенство 0=0. Значит, x=0 и y=0 тоже являются решениями данного уравнения. Но в общий интеграл они не входят ни при каких С (нули не могут стоять под знаком логарифма и в знаменателе дроби), поэтому эти решения следует записать дополнительно к общему интегралу.

Ответ:

   

б) Так как y(е)=1, подставляем в полученное решение x=e, y=1 и находим С:

   

Ответ:

   

Примеры для самопроверки:

   

   

   

Показать решение

   

   

   

   

   

   

Ответ:

   

   

   

\

   

   

   

Ответ:

   

   

   

   

   

   

Ответ:

   

 

 

Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными: solntsevam — LiveJournal

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными – это уравнения, которые можно привести к виду:
– уравнение с разделенными переменными.

Для приведения уравнений к указанному виду, в частности, потребуется использовать определение дифференциала:

Отсюда получаем:

Используя это равенство, уравнение

можно привести к уравнению с разделенными переменными:

Далее разберем этот материал на примерах.

Примеры.
Решим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Перенесем второе слагаемое в левую часть и поделим обе части уравнения на y.

Представим производную y’ в виде dy/dx и умножим обе части уравнения на dx.

Проинтегрируем обе части уравнения и выразим y:

2. Решим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Проинтегрируем второе слагаемое в правой части по частям:

Таким образом:

3. Решим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.

4. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Сделаем замену:

Подставим z и y’ в исходное уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными.

5. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Левую часть проинтегрируем, умножив предварительно и числитель и знаменатель дроби на cos(z). Затем сделаем замену u = sin(z).

Таким образом:

6. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Сделаем замену:

Подставим z и y’ в исходное уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными.

Интеграл в левой части уравнения проинтегрируем по частям.

Таким образом,

7. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Сделаем замену:

Подставим z и y’ в исходное ДУ и получим уравнение с разделяющимися переменными.

8. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Сделаем замену:

Подставим z и y’ в исходное уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными.

9. Решим уравнение 1-го порядка. Данное уравнение нужно будет привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены.

Сделаем замену.

Подставим z и y’ в исходное уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными.

10. Решим уравнение 1-го порядка.

Данное уравнение представляет собой уравнение вида

Для решения такого уравнения нужно сначала решить систему:

То есть:

Сделаем замену:

Подставляем u и v в исходное уравнение:

Разделим числитель и знаменатель дроби на v.

Сделаем еще одну замену:

Подставляем z в уравнение:

Делаем еще одну замену.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

dy/dx=f(x)g(y) (8)

или в виде:

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 (9)

где f(x), M(x),P(x) – некоторые функции переменной х; g(y), N(y), Q(y) – функции переменной у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х, окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрируем обе части полученного равенства. Например, из (8) следует, что dy/g(y)=f(x)dx и . Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (8).

Пример 2. Решить уравнение √y2+1=dxdy

Разделив левую и правую часть уравнения на выражение x√y2+1 (при х≠0), приходим к равенству . Интегрируя, получим , (так как интеграл в левой части табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой √y2+1=t, 2ydy=2tdt и

Решение перепишем в виде ±ec1e√y2+1 или x=Ce√y2+1, где C=±ec1

Пример 3. Решить уравнение y’=y/x

Разделяя переменные, получаем: dy/y=dx/x. Интегрируя имеем или ln|y|=ln|x|+ln|C1|. Потенцируя, находим |y|=|C1||x|, что эквивалентно уравнению y=±C1x. Полагая ±С1=С, окончательно получаем у=Сх – общее решение данного уравнения, где С – произвольная постоянная, отличная от нуля которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но С≠0. Заметим, что у=0 также решение уравнения (оно было потеряно при делении на у). Это решение можно включить, если считать, что постоянная С принимает и значение С=0.

Пусть требуется выделить из общего решения частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х0=1, у0=2. Подставляя эти значения в общее решение вместо х и у, получаем 2=C•1, откуда С=2. Таким образом , искомое частное решение y=2x.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения (xy+y)dx+(xy+x)dy=0

Предположив, что x≠0, y≠0 и разделив обе части данного уравнения на xy получим уравнение с разделенными переменными . Интегрируя его, последовательно находим (произвольную постоянную можно представить в виде ln|C|:

=ln|C|, ⇒ x+ln|x|+y+ln|y|=ln|C|, ⇒ ln|xy|+lnex+y=ln|C|, ⇒ xyex+y=C

Последнее равенство является общим интегралом заданного дифференциального уравнения. При его нахождении были приняты ограничения x≠0, y≠0. Однако функции x=0, y=0 также является решениями исходного уравнения ,что легко проверяется; с другой стороны, они получаются из общего интеграла при С=0. Следовательно, x=0, y=0 частные решения исходного уравнения.

Пример 5. Найти частное решение уравнения (1+e2x)y2y’=ex, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме: (1+e2x)y2dy-exdx=0. Теперь разделим переменные: y2dy-dx=0 Проинтегрируем последнее уравнение:

dy-

Получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной: dy-

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид dy-.

Объяснение урока: Дифференциальные уравнения с разделителями

В этом объяснителе мы научимся находить и решать дифференциальные уравнения с разделителями.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее функции с их производными, то есть уравнение, выражающее отношения между функциями и скоростью их изменения. Таким образом, дифференциальные уравнения чрезвычайно распространены в технике. и физика — многие фундаментальные законы физики выражаются в терминах дифференциальных уравнений.Дифференциальное уравнение может включать несколько функций, их производные, их вторые и более высокие производные и даже их частных производных. В этом объяснении мы будем рассматривать только самый простой случай дифференциальных уравнений, который представляет собой случай одной функции в одна переменная и ее первая производная. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка .

Рассмотрим уравнение дд𝑦𝑥=2𝑥.

Это пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.имеет частное решение — функцию 𝑦=𝑥, потому что первая производная от 𝑦=𝑥 действительно равна 2𝑥. Однако это не единственное решение уравнения. Действительно, любая функция вида 𝑦=𝑥+𝐶, где 𝐶 — постоянная, удовлетворяет дифференциальному уравнению dd𝑦𝑥=2𝑥. Уравнение 𝑦=𝑥+𝐶 называется общим решением дифференциального уравнения. Он представляет собой семейство решений, параметризуется 𝐶∈ℝ.

Поскольку решение дифференциального уравнения предполагает «избавление» от производной, неудивительно, что Основным средством решения дифференциальных уравнений является интегрирование.Мы будем рассматривать класс дифференциальных уравнений, для которых применение интеграции является относительно простым. отделимых обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка – это уравнение формы дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), в котором 𝑔(𝑥) — выражение чисто в 𝑥, а ℎ(𝑦) — это выражение чисто в 𝑦. Во-первых, заметим, что существует очевидное семейство решений этого уравнения в виде любая постоянная функция 𝑦=𝑎 (подразумевая, что dd𝑦𝑥=0), такая, что ℎ(𝑎)=0 (что делает дифференциальное уравнение верным).Эти решения называются равновесием . решения дифференциального уравнения.

Чтобы найти неравновесные решения, предположим, что ℎ(𝑦)≠0, и разделим обе части на ℎ(𝑦), «разделив переменные», чтобы получить уравнение 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd

Следующим шагом в решении дифференциального уравнения является интегрирование обеих частей этого уравнения по 𝑥: 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥𝑥=𝑔(𝑥)𝑥.dddd

Напомним, что правила интегрирования подстановкой говорят нам, что 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥𝑥=1ℎ(𝑦)𝑦.dddd

Итак, мы пришли к 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd

Эта процедура выполняется, вообще говоря, для любого сепарабельного дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Резюмируем ситуацию в следующем фундаментальном факте.

Правило: общее решение разделимых дифференциальных уравнений

Если уравнение дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) верно и ℎ(𝑦)≠0, то уравнение 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥дд правда.

Теперь мы можем решить уравнение, вычислив интегралы.Давайте посмотрим на пример.

Рассмотрим уравнение дд𝑦𝑥=𝑥𝑦.

Это отделимое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с 𝑔(𝑥)=𝑥 и ℎ(𝑦)=𝑦. Заметим, что 𝑦=0 является постоянным решением уравнения ℎ(𝑦)=0. Запишем это как равновесное решение dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 и предположим, что ℎ(𝑦)≠0. Затем мы делим обе части на ℎ(𝑦)=𝑦, чтобы получить 1𝑦𝑦𝑥=𝑥.dd

По нашему общему правилу, приведенному выше, это дает интегральное уравнение 1𝑦𝑦=𝑥𝑥,дд которые мы можем вычислить.Не забывая о константах интегрирования, так как это неопределенные интегралы, имеем ln|𝑦|+𝐶=12𝑥+𝐶.

Поскольку 𝐶 и 𝐶 являются константами, мы собираемся вычесть 𝐶 с обеих сторон, чтобы сформировать новую константу 𝐶=𝐶−𝐶: ln|𝑦|=12𝑥+𝐶.

Это общее решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑥𝑦. Однако это хорошо преобразовать наше решение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) является некоторой функцией 𝑥, если мы можем. Итак, мы применяем экспоненциальную карту к обеим сторонам: |𝑦|=𝑒=𝑒𝑒.

Обратите внимание, что абсолютное значение вокруг 𝑦 указывает на то, что у нас есть два случая; а именно, 𝑦=𝑒𝑒,𝑦≥0,𝑦=−𝑒𝑒,𝑦0.

Объединим эти два случая и исключим абсолютное значение, определив новую константу 𝐴=𝑒𝑦≥0,−𝑒𝑦0,ifif давая нам общее решение 𝑦=𝐴𝑒.

Итак, дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 имеет частное равновесное решение 𝑦=0 и общее семейство решений 𝑦=𝐴𝑒, параметризованное 𝐴∈ℝ.

Давайте теперь рассмотрим немного более сложный пример.

Пример 1. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения

Решите дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥=−5𝑥√𝑦.

Ответ

У нас есть общая процедура для решения таких отделимых дифференциальных уравнений, которая выглядит следующим образом:

  1. У нас есть отделимое уравнение в виде дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), поэтому мы сначала проверяем наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
  2. Далее предположим ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
  3. Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
  4. Теперь вычислим интеграл в обе стороны, не забывая о константах интегрирования.
  5. Наконец, мы преобразуем полученное уравнение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), если это возможно.

Имеем уравнение вида дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), с 𝑔(𝑥)=−5𝑥 и ℎ(𝑦)=√𝑦. Прежде чем продолжить, мы проверяем равновесные решения в виде постоянных решений ℎ(𝑦)=0 и видим, что мы имеем одно в виде из 𝑦=0.Мы запишем это на потом, а сейчас предположим, что 𝑦≠0. Теперь мы можем разделить обе части уравнение на ℎ(𝑦)=√𝑦: 1√𝑦𝑦𝑥=−5𝑥.dd

Далее составим интегральное уравнение 𝑦𝑦=−5𝑥𝑥,дд сделав изменение обозначения 1√𝑦=𝑦 для удобства. Теперь мы интегрируем 2𝑦+𝐶=−52𝑥+𝐶, объедините константы в правой части, чтобы получить 2𝑦=−52𝑥+𝐶, и разделить на 2, чтобы получить 𝑦=−54𝑥+𝐶.

Поскольку в вопросе не указано, в какой форме приводить наше решение, можно написать 𝑦=−54𝑥+𝐶 как общее решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=−5𝑥√𝑦 и 𝑦=0 как равновесное решение. Мы также можем написать 𝑦=−54𝑥+𝐶=2516𝑥−52𝐶𝑥+𝐶 как приемлемая форма общего решения.

В предыдущем примере нам дано разделимое дифференциальное уравнение в форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Не каждый отделимый дифференциал выглядит так; некоторая перестановка может быть сначала требуется, как в следующем примере.

Пример 2. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения

Решите дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥+𝑦=1.

Ответ

Здесь мы имеем сепарабельное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка dd𝑦𝑥+𝑦=1 который не представлен нам в стандартной сепарабельной форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦).Процедура решения таких уравнений следующая:

  1. Сначала преобразуем уравнение в вид дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) и проверьте наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
  2. Теперь предположим, что ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
  3. Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥. dd
  4. Теперь вычислим интеграл в обе стороны, не забывая о константах интегрирования.
  5. Наконец, мы преобразуем полученное уравнение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), если это возможно.

Итак, наш первый шаг — преобразовать dd𝑦𝑥+𝑦=1 в форму dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Итак, давайте вычтем 𝑦 из обеих частей уравнения получить дд𝑦𝑥=1−𝑦.

Здесь имеем ℎ(𝑦)=(1−𝑦) и 𝑔(𝑥)=1. Мы видим, что 𝑦=1 решает ℎ(𝑦)=0 и является равновесным решением dd𝑦𝑥+𝑦=1.

Следующий шаг — предположить, что 𝑦≠1 и разделить на ℎ(𝑦)=(1−𝑦): 11−𝑦𝑦𝑥=1.dd

Теперь составим интегральное уравнение 11−𝑦𝑦=1𝑥дд и вычисляем неопределенные интегралы, не забывая о константах интегрирования: −|1−𝑦|+𝐶=𝑥+𝐶.ln

Мы хотим преобразовать это в форму 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) — некоторая функция из 𝑥. Во-первых, мы умножаем все на −1 и определяем новую константу 𝐶=𝐶−𝐶: ln|1−𝑦|=−𝑥+𝐶.

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам, чтобы получить 1−𝑦=𝑒, определить новых новых констант 𝐴=𝑒, чтобы получить 1−𝑦=𝐴𝑒, вычтите 1, чтобы получить −𝑦=𝐴𝑒−1, и, наконец, снова умножьте на −1, заметив, что 𝐴, будучи некоторым неопределенным числом, также может «поглотить» это −1, оставаясь неопределенным числом: 𝑦=𝐴𝑒+1. 

Таким образом, 𝑦=𝐴𝑒+1 является нашим общим решением дифференциального уравнения dd𝑦𝑥+𝑦=1, а 𝑦=1 является равновесным решением.

Иногда мы сталкиваемся с сепарабельным дифференциальным уравнением, представленным таким образом, что его удобнее сразу преобразовать в форма 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥)дд а не сначала в форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Следующие примеры продемонстрировать это.

Пример 3. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения

Решите следующее дифференциальное уравнение: (𝑒−5)𝑦′=2+(𝑥)cos.

Ответ

В этом вопросе нам дано разделимое дифференциальное уравнение в форме, в которой переменные уже разделены; то есть, 𝐻(𝑦)𝑦′=𝐺(𝑥), где 𝐻(𝑦)=(𝑒−5) и 𝐺(𝑥)=2+(𝑥)cos. Обозначение 𝑦′ — это просто лагранжево обозначение производной 𝑦′=𝑦𝑥dd. Приступаем непосредственно к интегрированию: (𝑒−5)𝑦=(2+(𝑥))𝑥𝑒𝑦−51𝑦=2𝑥+(𝑥)𝑥𝑒−5𝑦+𝐶=2𝑥+(𝑥)+𝐶. dcosddddcosdsin

Комбинируя константы в правой части, мы имеем 𝑒−5𝑦=2𝑥+(𝑥)+𝐶sin как общее решение к дифференциальному уравнению (𝑒−5)𝑦′=2+(𝑥)cos.

До сих пор мы имели дело только с общими решениями дифференциальных уравнений, т. е. с семействами решений параметризуется константой 𝐶. Однако можно вывести значение 𝐶, если нам дано пара значений, которым должно удовлетворять решение. Эти заданные значения называются граничными или начальными условиями, а полученное единственное решение, удовлетворяющее этим условиям, называется конкретным решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим снова наш пример дд𝑦𝑥=𝑥𝑦 с общим решением 𝑦=𝐴𝑒, где 𝐴 — константа. Предположим теперь, что нам даны граничные условия, что 𝑦=5, когда 𝑥=0. Мы просто подставляем эти значения в наше общее решение, чтобы найти значение константы 𝐴: 5=𝐴𝑒5=𝐴𝑒𝐴=5.

Итак, частное решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 при условии, что 𝑦=5, когда 𝑥=0, равно 𝑦=5𝑒.

Пример 4. Поиск частного решения разделимого дифференциального уравнения

Решите следующее дифференциальное уравнение, используя заданные граничные условия, чтобы найти частное решение: cossecddcscsec(𝑥)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑦)(𝑥),𝑥=0,𝑦=𝜋4. 

Ответ

как если бы мы нашли его общее решение, а затем подставили в заданные граничные условия в конце, выполнив следующие шаги:

  1. Сначала мы преобразуем уравнение непосредственно в форму 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥).dd
  2. Далее мы интегрируем это уравнение, что дает 𝐻(𝑦)𝑦=𝐺(𝑥)𝑥.dd
  3. Теперь вычислим оба интеграла, не забывая о константах интегрирования.
  4. После перестановки это даст общее решение дифференциального уравнения в виде 𝑃(𝑦)=𝑄(𝑥), где 𝑃(𝑦) — выражение в 𝑦, а 𝑄(𝑥) — выражение в 𝑥, содержащее некоторую константу, значение которой нужно определить. Подставляем заданную границу условия в это уравнение, чтобы найти значение константы.

Во-первых, мы хотим преобразовать уравнение cossecddcscsec(𝑥)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑦)(𝑥) в форму 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥)dd, то есть со всеми выражениями в 𝑦 слева и все выражения в 𝑥 с правой стороны.Заметим сначала, что присутствие sec(𝑥) на правая часть означает, что это уравнение не определено, когда cos(𝑥)=0, т. е. когда 𝑥=(2𝑛+1)𝜋2 и 𝑛∈ℤ, поэтому мы исключаем эти случаи и делим с обеих сторон на coscsc(𝑥)(𝑦), чтобы получить seccscddseccos(𝑦)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑥)(𝑥) и немного переписать, используя идентификаторы seccos=1 и cscsin=1, чтобы получить тандсек(𝑦)𝑦𝑥=(𝑥).

Теперь мы готовы к интегрированию (объединение констант интегрирования в правой части): (𝑦)𝑦=(𝑥)𝑥.tandsecd

Для вычисления левого интеграла используем тождество tansec(𝑦)≡(𝑦)−1, так (𝑦)𝑦=(𝑦)−1𝑦=(𝑦)𝑦−1𝑦,tandsecdsecdd и мы вспоминаем, что ddtansec𝑦(𝑦)=(𝑦), что дает нам тантан(𝑦)−𝑦=(𝑥)+𝐶 как общее решение нашего дифференциального уравнения.

Наконец, подставим граничные условия 𝑥=0 и 𝑦=𝜋4 в общее решение tantan(𝑦)−𝑦=(𝑥)+𝐶, чтобы найти значение для 𝐶, тантан𝜋4−𝜋4=(0)+𝐶1−𝜋4=𝐶, и конкретное решение, тантан(𝑦)−𝑦=(𝑥)+1−𝜋4.

Наконец, мы рассмотрим пример, для решения которого требуется немного больше работы.

Пример 5. Нахождение частного решения дифференциального уравнения с разделителями частное решение дифференциального уравнения (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦,дд удовлетворяющие условию 𝑦=5 при 𝑥=2.

Дайте свое решение в форме 𝑦=𝑓(𝑥).

Ответ

Мы решаем эту задачу в следующие шаги:

  1. Сначала мы преобразуем уравнение в форму дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) и проверьте наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
  2. Теперь предположим, что ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
  3. Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
  4. Теперь вычислим оба интеграла, не забывая о константах интегрирования.
  5. Преобразуем полученное уравнение в вид 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) выражение в 𝑥, содержащее некоторую неизвестную константу, которую необходимо определить.
  6. Наконец, подставим в заданные граничные условия значение неизвестной константы и запишем конкретное решение уравнения.

Сначала заметим, что у нас есть равновесное решение для (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦дд при 𝑦=0. Конкретные значения 𝑥=3 и 𝑥=74, которые делают левый сторона 0 также заставляет 𝑦=0. Таким образом, исключение 𝑦=0 также исключает эти значения 𝑥, поэтому мы можем преобразовать уравнение (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦dd в форму dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) путем деления на (4𝑥−7)(𝑥−3): дд𝑦𝑥=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦.

Здесь 𝑔(𝑥)=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3) и ℎ(𝑦)=𝑦. Поскольку мы исключили равновесное решение 𝑦=0, мы можем разделить на ℎ(𝑦)=𝑦 для 1𝑦𝑦𝑥=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3).dd

Следующим шагом является интегрирование: 1𝑦𝑦=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥.dd

Левая часть достаточно проста, 1𝑦𝑦=|𝑦|+𝐶dln.Чтобы разобраться с правой частью, нам нужно выразить (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3) в неполных дробях. Итак, ставим (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴4𝑥−7+𝐵𝑥−3.

Умножаем 𝐴4𝑥−7 на 𝑥−3𝑥−3 и 𝐵𝑥−3 на 4𝑥−74𝑥−7, так что у нас есть общий знаменатель: (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴4𝑥−7+𝐵𝑥−3=𝐴(𝑥−3)(4𝑥−7)(𝑥−3)+𝐵(4𝑥−7)(𝑥− 3)(4𝑥−7)=𝐴(𝑥−3)+𝐵(4𝑥−7)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴𝑥−3𝐴+4𝐵𝑥−7𝐵(4𝑥−7)(𝑥−3).

Глядя на числители, мы имеем уравнение 9𝑥−17=𝐴𝑥−3𝐴+4𝐵𝑥−7𝐵.

Приравнивание 𝑥-коэффициентов дает 9=𝐴+4𝐵, и приравнивание постоянных членов дает −17 = −3𝐴−7𝐵.

Мы можем решить эту пару одновременных уравнений методом исключения. Во-первых, мы умножаем 9=𝐴+4𝐵 на 3 для 27=3𝐴+12𝐵, а затем добавьте это к −17=−3𝐴−7𝐵: −17+27=−3𝐴−7𝐵+(3𝐴+12𝐵)10=5𝐵𝐵=2.

Теперь подставим 𝐵=2 обратно в 9=𝐴+4𝐵 так, чтобы 9=𝐴+8 и 𝐴=1. Таким образом, у нас есть (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=14𝑥−7+2𝑥−3.

Теперь мы готовы к интеграции: 1𝑦𝑦=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥|𝑦|+𝐶=14𝑥−7+2𝑥−3𝑥=14𝑥−7𝑥+2𝑥−3𝑥=14|4𝑥−7 |+2|𝑥−3|+𝐶.ddlndddlnln

Объединяя константы справа, имеем lnlnln|𝑦|=14|4𝑥−7|+2|𝑥−3|+𝐶, которое является общим решением дифференциального уравнения (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦dd.Для того, чтобы найти частное решение, нам нужно вычислить значение константы. Прежде чем делать это, мы преобразуем наше общее решение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), применяя экспоненту: |𝑦|=(|4𝑥−7|)(|𝑥−3|)𝑒.

Заметим, что (𝑥−3)=(3−𝑥), поэтому (|𝑥−3|) =(𝑥−3). Оставшаяся пара выражений внутри столбцов модуля дает нам возможность рассмотреть четыре случая: 𝑦=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑒𝑦≥0,𝑥>74,(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑒𝑦≥0,𝑥74,−(4𝑥−7 )(𝑥−3)𝑒𝑦0,𝑥>74,−(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑒𝑦0,𝑥74. ififififif

постоянный 𝐴=𝑒𝑦≥0,−𝑒𝑦0,ifif оставив нам общее решение 𝑦=⎧⎨⎩𝐴(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥>74,𝐴(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑥74.ifif

На рисунке показан пример двух «ветвей» общего решения, здесь взятых с параметром 𝐴=1. Обратите внимание, что функция 𝑦 может быть определена при 𝑥=74 как 𝑦=0, но там оно заведомо не дифференцируемо. Таким образом, 𝑥=74 не является частью область общего решения.

Последним шагом в поиске конкретного решения является использование граничных условий 𝑦=5 и 𝑥=2. Поскольку 2>74, мы имеем дело с функцией 𝑦=𝐴(4𝑥−7)(𝑥−3). Подставляя граничные условия в это общее решение, имеем 5=𝐴(4×2−7)(2−3)=𝐴(8−7)(−1)=𝐴×1×1=𝐴.

Наконец, подставляем значение 𝐴=5 в общее решение для частного решения 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3). Таким образом, у нас есть 2 решения: это и равновесное 𝑦=0.

На этом рисунке зеленая кривая — это решение 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3), а красная линия является равновесным решением 𝑦=0. Заметим, что решение 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3) не определено для 𝑥74 и не дифференцируемо в точке 𝑥=74. Следовательно, он действителен на открытом интервале 74,∞.Область равновесного решения – это вся ℝ.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

  • Мы признаем разделимые дифференциальные уравнения как дифференциальные уравнения, которые можно преобразовать в форму дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦).
  • Мы понимаем, что постоянные решения уравнения ℎ(𝑦)=0 представляют собой равновесные решения к дифференциальному уравнению.
  • Чтобы найти общее решение сепарабельного дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), положим ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦), чтобы получить 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥)дд и интегрировать обе стороны 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
  • Общее решение такого дифференциального уравнения представляет собой бесконечное семейство решений, параметризуемых постоянная 𝐶.
  • Чтобы найти частное решение при заданных граничных условиях 𝑥=𝑥 и 𝑦=𝑦, подставляем эти значения в общее решение, чтобы найти значение константы 𝐶.

Разделимых Уравнений – Исчисление Том 2

Введение в дифференциальные уравнения

Цели обучения

  • Использование разделения переменных для решения дифференциального уравнения.
  • Решайте приложения, используя разделение переменных.

Теперь мы рассмотрим метод решения для нахождения точных решений класса дифференциальных уравнений, известных как разделимые дифференциальные уравнения. Эти уравнения распространены в самых разных дисциплинах, включая физику, химию и инженерию. Мы проиллюстрируем несколько приложений в конце раздела.

Разделение переменных

Начнем с определения и нескольких примеров.

Определение

Разделимое дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в виде

Термин «разделимый» относится к тому факту, что правая часть уравнения может быть разделена на функцию от времени как функцию Примеры разделимых дифференциальных уравнений включают

Второе уравнение сепарабельно, а третье уравнение сепарабельно с и и правая часть четвертого уравнения может быть разложена на множители, так что оно также сепарабельно. Третье уравнение также называют автономным дифференциальным уравнением, потому что правая часть уравнения является функцией только . Если дифференциальное уравнение сепарабельно, то его можно решить методом разделения переменных.

Использование разделения переменных

Найдите общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных.

Использовать метод разделения переменных для нахождения общего решения дифференциального уравнения

Подсказка

Сначала разложите правую часть уравнения по группам, затем используйте пятиступенчатую стратегию разделения переменных.

Решение задачи с начальным значением

Методом разделения переменных решить начальную задачу

Найдите решение начальной задачи

с использованием метода разделения переменных.

Подсказка

Выполните шаги по разделению переменных, чтобы решить проблему начального значения.

Применение разделения переменных

Многие интересные задачи можно описать с помощью разделимых уравнений.Мы иллюстрируем два типа задач: концентрации растворов и закон охлаждения Ньютона.

Концентрации растворов

Рассмотрим резервуар, наполненный раствором соли. Мы хотели бы определить количество соли, присутствующей в резервуаре, как функцию времени. Мы можем применить процесс разделения переменных для решения этой и подобных задач, связанных с концентрацией растворов.

Сначала мы определим функцию, которая представляет количество соли в баке в килограммах как функцию времени.Затем представляет скорость, с которой количество соли в резервуаре изменяется в зависимости от времени. Также представляет собой количество соли в резервуаре в момент времени в килограммах.

Общая схема дифференциального уравнения, которое мы будем решать, имеет вид

СКОРОСТЬ ПРИТОКА представляет скорость, с которой соль поступает в резервуар, а СКОРОСТЬ ВЫПУСКА представляет скорость, с которой соль выходит из резервуара. Поскольку раствор поступает в резервуар со скоростью л/мин, а каждый литр раствора содержит килограмм соли, соль поступает в резервуар каждую минуту.Следовательно, СКОРОСТЬ ПРИТОКА =

Чтобы рассчитать скорость, с которой соль покидает резервуар, нам нужна концентрация соли в резервуаре в любой момент времени. Поскольку фактическое количество соли меняется со временем, меняется и концентрация соли. Однако объем раствора остается фиксированным и составляет 100 литров. Количество килограммов соли в баке в момент времени равно Таким образом, концентрация соли кг/л, а раствор выходит из бака со скоростью л/мин. Следовательно, соль покидает бак со скоростью кг/мин, а СКОРОСТЬ ВЫПУСКА равна Следовательно, дифференциальное уравнение принимает вид и начальное условие Решаемая начальная задача равна

Дифференциальное уравнение является разделимым уравнением, поэтому мы можем применить пятишаговую стратегию для решения.

Шаг 1. Настройка дает постоянное решение. Поскольку начальное количество соли в баке составляет килограмм, это решение не применимо.

Шаг 2. Перепишите уравнение как

Затем умножьте обе части на

и разделите обе части на

.

Шаг 3. Интегрируйте обе стороны:

Шаг 4. Найдите

Удалите абсолютное значение, разрешив константе быть положительной или отрицательной:

Наконец, найдите

.

Шаг 5.Решите для

Решение задачи с начальным значением: Чтобы найти предельное количество соли в баке, примите предел по мере приближения к бесконечности:

Обратите внимание, что это постоянное решение дифференциального уравнения. Если начальное количество соли в баке килограмм, то оно остается постоянным. Если он начинается с менее 50 килограммов, то со временем приближается к 50 килограммам.

Проблема с начальным значением:

Подсказка

Выполните действия, описанные на (Рисунок), и определите выражение для ПРИТОКА и ВЫПУСКА.Сформулируйте начальную задачу, а затем решите ее.

Основные понятия

  • Разделимое дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в виде
  • Метод разделения переменных используется для нахождения общего решения разделимого дифференциального уравнения.

Ключевые уравнения

  • Разделимое дифференциальное уравнение
  • Концентрация раствора
  • Закон охлаждения Ньютона

Решите следующие начальные задачи с начальным условием и нарисуйте решение.

Найдите общее решение дифференциального уравнения.

Найдите решение задачи о начальных значениях.

При следующих проблемах используйте программу или калькулятор для создания полей направления. Решите явно и нарисуйте кривые решения для нескольких начальных условий. Существуют ли какие-то критические начальные условия, которые изменяют поведение решения?

[Т]

[Т]

Большинство лекарств в кровотоке распадаются по уравнению где – концентрация лекарства в кровотоке.Если период полувыведения лекарства составляет часы, какая часть начальной дозы остается через несколько часов?

Лекарственное средство вводится пациенту внутривенно со скоростью мг/ч и выводится из организма со скоростью, пропорциональной количеству лекарственного средства, все еще присутствующего в организме. Составьте и решите дифференциальное уравнение, предполагая, что изначально лекарственного средства не было. присутствует в организме.

[T] Как часто следует принимать лекарство, если его доза составляет мг, выводится со скоростью мг/ч, а мг должен постоянно находиться в кровотоке?

[T] Для предыдущей задачи найдите, сколько соли находится в резервуаре через час после начала процесса.

килограмма

Для предыдущей проблемы определите, сколько времени требуется для опорожнения бака.

секунды

Для решения следующих задач используйте закон охлаждения Ньютона.

Жидкая основа мороженого имеет начальную температуру до того, как ее поместят в морозильную камеру с постоянной температурой Спустя час температура основы мороженого понизилась до температура мороженого.

часов минут

У вас есть чашка кофе при температуре, а температура окружающей среды в комнате равна. Предполагая скорость охлаждения, напишите и решите дифференциальное уравнение, описывающее зависимость температуры кофе от времени.

[T] У вас есть чашка кофе при температуре, которую вы поставили на улице, где температура окружающей среды Через несколько минут, насколько холоднее кофе?

У вас есть чашка кофе при температуре, которую вы охлаждаете за несколько минут, прежде чем влить такое же количество молока, как и в предыдущей задаче. Как температура по сравнению с предыдущей чашкой через несколько минут?

Решить общую задачу с начальным условием

Докажите основное уравнение непрерывного начисления сложных процентов. Предполагая, что первоначальный депозит и процентная ставка составляют и решают уравнение для постоянного начисления процентов.

Листья накапливаются на лесной подстилке со скоростью г/см 2 в год, а также разлагаются со скоростью в год.Напишите дифференциальное уравнение, определяющее количество граммов опавших листьев на квадратный сантиметр лесной подстилки, предполагая, что в данный момент на земле нет опавших листьев. Приближается ли эта сумма к устойчивому значению? Что это за ценность?

Листья накапливаются на лесной подстилке со скоростью г/см 2 /год. Эти листья разлагаются со скоростью в год. Напишите дифференциальное уравнение, определяющее количество граммов опавших листьев на квадратный сантиметр лесной подстилки. Приближается ли эта сумма к устойчивому значению? Что это за ценность?

г/см 2

Глоссарий

автономное дифференциальное уравнение
уравнение, в котором правая часть является функцией только
отделимое дифференциальное уравнение
любое уравнение, которое можно записать в виде
разделение переменных
метод решения разделимого дифференциального уравнения

разделимых дифференциальных уравнений | Блестящая математика и естественные науки вики

Многие задачи на разделимые дифференциальные уравнения представляют собой текстовые задачи.Эти проблемы требуют дополнительного шага преобразования оператора в дифференциальное уравнение.

При чтении предложения, связывающего функцию с одной из ее производных, важно извлечь правильное значение, чтобы получить дифференциальное уравнение. Ключевым моментом является поиск таких фраз, как «скорость изменения», потому что они указывают на наличие производной. Фактически, термин «производная» и фраза «скорость изменения» являются синонимами, поэтому их следует иметь в виду при построении дифференциального уравнения, моделирующего текстовую задачу.

Как мы можем записать следующие предложения в виде дифференциального уравнения?

  • Скорость роста популяции бактерий прямо пропорциональна текущей популяции бактерий.

  • Скорость изменения температуры объекта прямо пропорциональна разнице между текущей температурой объекта и температурой окружающей среды.

  • Сила, ощущаемая объектом в свободном падении, представляет собой разницу его веса и силы сопротивления, где сила сопротивления пропорциональна текущей скорости объекта.


  • Читая предложение, мы ищем слова или фразы, имеющие математическое значение. Например, фраза «Скорость роста популяции бактерий» представляет собой фрагмент слов, который можно просто выразить как dPdt\frac{dP}{dt}dtdP​. Как только мы видим «прямопропорциональное», это говорит нам ввести константу пропорциональности, обычно kkk. Кроме того, эта скорость пропорциональна «текущей популяции бактерий», а это означает, что нам нужно ввести здесь PPP.Чтобы связать все это вместе, эти две части связаны знаком «=» из-за слова «есть». Это дает скорость роста популяции бактерий ⏟dPdt ⏟= прямо пропорциональна ⏟kтекущей популяции бактерий⏟P.\underbrace{ \text{ Скорость роста популяции бактерий}} _{\frac{ dP}{ dt} } \underbrace{\text{ равно } } _{=} \underbrace{ \text{ прямо пропорционально }}_{k} \underbrace{ \text{текущей бактериальной популяции}}_{P}. dtdP Скорость роста популяции бактерий = k прямо пропорциональна P текущей популяции бактерий.

  • Это температура объекта. Скорость изменения ⏟dTdt ⏟= прямо пропорциональна ⏟k и температуре окружающей среды. к разнице текущей температуры объекта⏟(T−Ta) \underbrace{ \stackrel{\text{Скорость изменения}}{\text{температуры объекта}}}_{\dfrac{dT}{dt} } \underbrace{ \text{ равно }}_{ \Large{=} } \underbrace{ \text{ прямо пропорционально }}_{\Large{k}} \underbrace{ \stackrel{ \text{ разности текущая температура объекта}}{\text{ и температура окружающей среды. }}} _{\Large{(T – T_{a} )} } dtdTтемпература объектаСкорость изменения=k прямо пропорциональна(T−Ta​) и температуре окружающая среда. к разнице текущей температуры объекта

  • Это становится  Сила, ощущаемая объектом в свободном падении ⏟F равна ⏟=, – это разница его веса и силы сопротивления. ⏟mg−bv \underbrace{ \text{ Сила, ощущаемая объектом при свободном падении }} _{ F } \underbrace{ \text { is } }_{=} \underbrace{ \text{ есть разность его вес и сила сопротивления.}} _{mg – bv } F Сила, действующая на объект в свободном падении, = is mg−bv – это разница его веса и силы сопротивления.

dAdt=40−A2\frac{dA}{dt}=40-\frac{A}{2}dtdA​=40−2A​ dAdt=2−A40\frac{dA}{dt}=2-\frac{A}{40}dtdA​=2−40A​ dAdt=40+A2\frac{dA}{dt}=40+\frac{A}{2}dtdA​=40+2A​ dAdt=2+A40\frac{dA}{dt}=2+\frac{A}{40}dtdA​=2+40A​

Предположим, что в трубе есть вода с 0. 2 кг0,2\text{ кг}0,2 кг сахара на литр (л) поступает в бак, наполненный 400 л воды, в котором в настоящее время содержится 10 кг10\text{ кг}10 кг сахара. Кроме того, поток из трубы поступает в бак со скоростью 10 л/мин, в то время как труба с такой же скоростью опорожняет бак. Составьте дифференциальное уравнение, моделирующее количество сахара в резервуаре.

После того, как задача со словами записана в виде дифференциального уравнения, ее можно решить с помощью методов, описанных в предыдущем разделе.

Скорость, с которой вещество охлаждается в движущемся воздухе, пропорциональна разнице между температурой вещества и температурой воздуха. Если температура воздуха 290 K290\text{ K}290 K, а вещество охлаждается с 370 K370\text{ K}370 K до 330 K330\text{ K}330 K за 10 мин,10\text{ мин} ,10 мин, когда температура вещества станет 295 К?295\text{ К}?295 К?


Пусть T T T обозначает температуру, T0T_{0}T0 – начальную температуру, ttt – время, поэтому мы имеем

Скорость, с которой вещество охлаждается⏟-dTdt, ⏟= пропорциональна ⏟k разнице между температурами вещества и воздуха. ⏟(Т-Т0). \underbrace { \text{Скорость охлаждения вещества} } _{ \huge{ – \frac{ dT } { dt } } } \underbrace{\text{ is }} _{ \huge{ = } } \underbrace{ \text{ пропорциональна } } _{\huge{ k } } \underbrace{\text { разнице между температурами вещества и воздуха.}} _{\huge{ (T- T_{0} ) } }.− dtdT Скорость, с которой вещество охлаждается, равно k пропорционально разнице между температурами вещества и воздуха.

Это -dTT-T0=k dt  ⟹  ∫-dTT-T0=∫k dt  ⟹  -ln⁡(T-T0)=kt+C.- \frac{ dT }{ T – T_{ 0 } } = k \ dt \ подразумевает \int – \ frac{ dT }{ T – T_{ 0 } } = \int k \ dt \ подразумевает – \ln ( T – T_{0}) = kt + C.−T−T0​dT​=k dt⟹∫−T−T0​dT​=∫k dt⟹-ln(T−T0​)=kt+C.

Для нахождения начальных условий воспользуемся тем, что нам дано T0=290 KT_{ 0 } = 290 \text{ K}T0​=290 K. Так как T=370 KT = 370 \text{ K} T=370 K первоначально при t=0 st = 0 \text{ s}t=0 s и T=330 KT = 330 \text{ K} T=330 K при t=600 st = 600 \text{ s} t=600 s , из (1)(1)(1) имеем

{-ln⁡(370−290)=k×0+C−ln⁡(330−290)=k×600+C. \begin{случаи} -\ln (370 – 290 ) & = k \times 0 + C \\ – \ln (330 – 290) & = k \times 600 + C. \end{cases} {−ln(370−290)−ln(330−290)​=k×0+C=k×600+C.​

Из первого уравнения получаем C=−ln⁡80 C = – \ln 80 C=−ln80. Подставляя это во второе уравнение, получаем k=ln⁡2600 k = \dfrac{ \ln 2 }{ 600 } k=600ln2​. Тогда из (1)(1)(1) получаем уравнение чисто относительно T T T и t: t :t:

-ln⁡(T-290)=ln⁡2600×t-ln⁡80. – \ln ( T – 290 ) = \frac{ \ln 2 }{ 600 } \times t – \ln 80.{-t/600} + 290\подразумевается t = 600 \log_{ 2 } ( 16 ) \text{s}= 2400 \text{s} = 40 \text{мин}.295=80×2−t/600 +290⟹t=600log2​(16) s=2400 s=40 мин.

Отправьте свой ответ

Я только что снял кипяток (100∘^\circ∘C) с плиты, потому что он выкипал. \circ∘C и согласно закону охлаждения Ньютона, найдите температуру воды в градусах Цельсия, когда я оставлю ее на прилавке еще на 3 минуты.

Точно такой же подход можно использовать и для решения других задач.

Скорость роста бобового стебля пропорциональна квадратному корню из его текущей высоты. Если изначально высота 100 футов, а через 5 дней она вырастет до 400 футов, то какой высоты она будет через 20 дней?


Обозначим высоту бобового стебля (в футах) через h h h, а время (в днях) через t t t.Тогда скорость роста бобового стебля ⏟dhdt ⏟ = пропорциональна ⏟k квадратному корню из его текущей высоты. ⏟h \underbrace { \text{Скорость роста бобового стебля} } _{ \huge{ \frac{ dh }{ dt } } } \underbrace{ \text{ есть } } _{ \huge{ = } } \underbrace{ \text{ пропорционально } } _{ \huge{ k } } \underbrace{ \text { квадрат корень его текущей высоты.} } _{\huge{ \sqrt{h} } } dtdh Скорость роста бобового стебля = k пропорциональна h квадратному корню из его текущей высоты.

Сейчас, dhh=k dt  ⟹  ∫dhh=∫k dt  ⟹  2h=kt+C.\frac{ dh }{ \sqrt{ h } } = k \ dt \ подразумевает \int \ frac{ dh }{ \sqrt{ h } } = \ int k \ dt \ подразумевает 2 \sqrt{ h } = kt + C h​dh​=k dt⟹∫h​dh​= ∫k dt⟹2h​=kt+C.

Так как h=100 h = 100 h=100 при t=0 t = 0 t=0 и h=400 h = 400 h=400 при t=5 t = 5 t=5, мы имеем

{2100=k×0+C2400=k×5+C. \begin{случаи} 2 \sqrt{100} & = k \times 0 + C \\ 2 \sqrt{ 400 } & = k \times 5 + C. \end{cases} {2100​2400​=k×0+C=k×5+C.​

Из первого уравнения имеем C=20 C = 20 C=20. Подстановка этого во второе уравнение дает 40=5k+2040 = 5k + 20 40=5k+20, что означает k=4k = 4k=4.{ 2 } = 3600 \text { (футов)}. h=(2×25+10)2=602=3600 (футов).

Отправьте свой ответ

Население страны растет со скоростью, пропорциональной численности населения. Если через 50 лет население удвоится, то через сколько лет (с этого момента) оно утроится?

Округлите ответ до ближайшего года.

Разделимые уравнения


Разделимые уравнения

Здесь мы узнаем о разделимых уравнениях. А Разделимое уравнение — это дифференциальное уравнение, в котором мы думаем о dy и dx в dy/dx как о двух отдельных функциях. Если у нас есть дифференциальное уравнение, состоящее из некоторой функции, включающей x, g (x) и y, h (y), мы можем решить, разделив все x на одну сторону с dx, а все y на другую сторону с dy, а затем интегрируя обе стороны.Рассмотрим некоторые из них:

Пример 1:

       Найти общее решение дифференциального уравнения: другой:

       Теперь, когда мы разделили переменные, мы можем интегрировать обе стороны. Примите к сведению, как Dy / Y переписан слева:

Наконец, мы решаем для Y:

Пример 2:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

нужно разделить переменные:

       Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

       Наконец, мы можем найти y. Здесь все, что нам нужно, это взять арксинус обеих сторон:

Пример 3:

       Найти общее решение дифференциального уравнения:

       Сначала мы разделим переменные на разные стороны. Всегда не забывайте переписывать y’ как dy/dx, прежде чем делать что-либо еще:

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Помни когда интеграции всегда лучше переписать функцию на более

       Наконец, мы можем решить для y:

Пример 4:

       Найти частное решение дифференциального уравнения:

2 Здесь у нас есть начальное условие.Ты вероятно догадывался из более ранних задач, но даже несмотря на то, что у него есть начальный состояние, он по-прежнему начинается то же самое. Сначала разделите два Переменные:

Теперь, интегрируют обе стороны:

Далее, мы можем решить для Y:

Теперь, когда у нас есть наше общее решение, мы можем использовать наши начальные условия для решения C:

Пример 5:

       Найти частное решение дифференциального уравнения:

Во-первых, нам нужно разделить переменные. К Для этого нам нужно будет разложить на множители правую часть:

       Теперь интегрируем обе части, не забывая переписать левую часть так, чтобы dy была отдельно:

       Далее мы найдем y:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем использовать наши начальные условия для получения конкретного решения:

Пример 6: Радиоуглеродное датирование

       Углерод, взятый из исторического артефакта, содержит 4.5 X 10 6 атомов углерода-14 на грамм. Углерод, извлеченный из современного образца того же вещества, содержит 5,0 X 10 90 510 10 90 511 атомов углерода-14 на грамм. Рассчитайте примерный возраст артефакта.

       Есть формула радиоактивного распада, однако мы начнем с другой формулы:

Это математическая модель, которую можно использовать в качестве основу для самых разных приложений. Здесь мы будем использовать его для вывести уравнение радиоактивного распада. Заменив некоторые переменные на те, которые мы будем использовать, мы получим:

       Мы можем обработать это как разделимое уравнение. Во-первых, нам нужно объединить переменные с каждой стороны:

       Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

       Далее мы найдем для N:

теперь мы признаем это формулой радиоактивного распада. Как только мы получим к этому шагу мы можем подставить кое-что в уравнение и решить.Для таких типов задач, C — исходное количество атомов углерода-14 (5,0 X 10 90 510 10 90 511), N — количество атомов углерода-14, которое мы имеем в настоящее время (4,5 X 10 90 510 10 ), и k (константа пропорциональности) = 0,0001216 для углерода-14:

       Теперь нам просто нужно найти t:

       Артефесту примерно 866 лет.

Элементарные дифференциальные уравнения

Математика 340 Дом, Содержание учебника, Домашнее задание онлайн
Предупреждение: MathJax требует JavaScript для обработки математики на этой странице.
Если ваш браузер поддерживает JavaScript, убедитесь, что он включен.

Разделимые уравнения

Обсуждение
Дифференциальное уравнение первого порядка является разделимым, если две переменные могут быть разделены, то есть все $x$ с одной стороны уравнения и все $y$ с другой стороны уравнения. Затем решаем задачу, интегрируя обе части уравнения. (Это наш первый случай, когда будет удобно забыть, что $y$ — это функция, и обращаться с ней как с переменной.2}{2}+С). $$ Вы можете проверить, что это решение дифференциального уравнения. Этот процесс должен немного беспокоить. $dy/dx$ — это обозначение для производная $y$ по отношению к $x$, но члены $dy$ и $dx$ являются лишь частью обозначение и не имеют самостоятельного значения. Но мы просто манипулировали ими, как и любыми другими алгебраическая величина. Можно доказать, что данная техника будет всегда работает, но я не буду вдаваться в подробности (если вам интересно, загляните как-нибудь в мой офис). $dy$ и $dx$ называются дифференциалы . Мы будет часто находят удобным оперировать дифференциалами, а не целыми производными; вот почему предмет называется дифференциальными уравнениями, а не производные уравнения. Это манипулирование дифференциалами можно рассматривать как полезная мнемоника, чтобы помнить, как решать эти уравнения. Тот факт, что «очевидные» манипуляции дают правильные ответы — это большая часть причина почему была принята нотация $dy/dx$. Другое дело, что мы включили постоянная интегрирования $C$ для интеграла $x$, но не для интеграла $y$.Мы сделали это потому, что если бы мы включили обе константы интегрирования, то следующий шаг было бы вычесть $y$-константу интегрирования с обеих сторон уравнения, и у нас было бы такое же выражение, но с $x$-константа минус $y$-константа вместо C. Но разница двух произвольный константы – это просто еще одна произвольная константа, так зачем беспокоиться. Наконец, есть общее алгебраическая ошибка ждет, чтобы напугать неосторожных студентов в этих уравнениях. 2-1}=dx$$ а затем интегрировать обе стороны, чтобы получить неявный решение $\frac12\ln\left|\displaystyle\frac{y-1}{y+1}\right|=x+C$.C$, не должно быть случай, когда $k=0$. Это пример сингулярного решения для неявное решение снова появляется в явном решении. В основном мы потеряли решение с помощью небрежных алгебраических манипуляций при поиске неявного решения но мы вернули его, произведя небрежные алгебраические манипуляции (положив $k=0$) при нахождении явного решения. Этот счастливый случай не редкость, и я не будет комментировать это в будущем. Следует отметить, что сингулярные решения реальные решения и столь же естественны, как и общее решение.То различие между сингулярным и общим решением является просто алгебраическим различие. Теперь мы готовы дать парадигму решения разделимых уравнений.
Парадигма Найдите все решения $\displaystyle\frac{dy}{dx}=xy+\frac yx$ ШАГ 1: Разделение переменных $$ \begin{выравнивание} \frac{dy}{dx}&=(x+1/x)y \\ \frac{dy}{y}&=(x+1/x)\,dx \end{выравнивание} $$ ШАГ 2: Интегрируйте обе стороны $$\begin{выравнивание} \int\frac{dy}{y}&=\int x+1/x\,dx \\ \ln|y|&=\frac{x^2}{2}+\ln|x|+C\qquad\qquad\text{(Неявное решение)} \end{выравнивание} $$ ШАГ 3: Найдите явное решение (если возможно) $$\begin{выравнивание} |у|&=е^С|х|е^{х^2/2} \\ y&=\pm e^Cxe^{x^2/2}=kxe^{x^2/2}\qquad\qquad(k=\pm e^C) \end{выравнивание} $$ ШАГ 4: Проверка на сингулярные решения. Мы поделили на $y$, и $y=0$ явно является решением. Но это уже часть общее решение с $k=0$, поэтому особых решений нет.
Пример
Найдите все решения $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\cos(x)\cos(y)+\cos(y)$ Шаг 1: $\displaystyle\frac{dy}{\cos(y)}=(\cos(x)+1)\,dx$ Шаг 2: $\ln|\sec(y)+\tan(y)|=\sin(x)+x+C$ Шаг 3: Я не могу начать решать это за $y$, поэтому я просто оставлю это с в неявное решение. Шаг 4: Мы разделили на $\cos(y)$ и $\cos(y)=0$, когда $y=(2n+1)\pi/2$ с $n$ любое целое число.Это все решения, как вы должны проверьте, и ни один из них не является примером общего решения, поэтому все они единичные решения. Вы можете сгенерировать дополнительные примеры начального значения задачи для сепарабельных уравнений первого порядка здесь.
Если у вас возникли проблемы с этой страницей, свяжитесь с [email protected]
© 2010, 2014 Эндрю Г. Беннетт

Решение разделимых дифференциальных уравнений Примеры 3

Вспомним со страницы «Решение разделимых дифференциальных уравнений», что если у нас есть разделимое дифференциальное уравнение $M(x) + N(y) \frac{dy}{dx} = 0$, то мы можем переписать его как:

(1)

\begin{align} \quad \int N(y) \: dy = \int – M(x) \: dx \end{align}

При условии, что эти интегралы могут быть вычислены и это не слишком сложно, мы можем получить решения для разделимого дифференциального уравнения. 2 – x – 6} = \frac{1}{(x + 2)(x – 3)} \end{align}

Чтобы знаменатель в нашем решении не равнялся нулю, у нас есть $x \neq -2$ и $x \neq 3$. Обратите внимание, что $x = 0$ обеспечивает начальное значение $y(0) = -\frac{1}{6}$, поэтому наш интервал достоверности должен содержать $x = 0$, поэтому $(-2, 3)$ наш интервал действия.

Разделимые обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим $$y’=f(x,y)$$ с $$y$$ ОДУ первого порядка.Мы будем говорить, что ЭДО сепарабельно, если мы можем переписать его в виде $$h(y) \cdot y’=g(x)$$, то есть если мы можем перенести все, что зависит от $$y$$, в один сторону равенства и все, что зависит от $$x$$, в другую.

Примером отделимого ОДУ может быть $$y’=2xy$$, так как мы можем положить все, что зависит от переменной $$y$$, в одну часть равенства, а все, что зависит от $$x$$, в другую. разделив все уравнение на $$y$$: $$$\displaystyle y’=2xy \Longrightarrow \frac{1}{y}y’=2x$$$ В нашем случае тогда $$$\displaystyle h(y)=\frac{1}{y}, \ g(x)=2x$$$

Затем интегрируем обе части равенства и получаем решение: $$$\displaystyle h(y) \cdot y’=g(x) \Longrightarrow h(y)\cdot \frac{dy}{dx}=g(x) \Longrightarrow h(y)dy=g(x) )dx \Longrightarrow$$$ $$$\int h(y) dy=\int g(x)dx+C$$$ Отметим, что мы добавили константу, так как при интегрировании функции мы не знаем, была ли константа. 2}, \ k > 0$$$

Стоит отметить, что когда мы работали, чтобы получить все переменные в одну сторону, мы могли потерять некоторые решения. В некотором смысле, чтобы поместить все $$y$$ на одну сторону, мы предположили, что $$y \neq 0$$. Однако, если мы посмотрим на ОДУ, мы сможем понять, что $$y=0$$ на самом деле является решением ОДУ, поскольку $$k$$ также равно нулю.

Как мы уже говорили, иногда нам придется решать PVI. В примере мы нашли все решения ОДУ.2+1}=\int x \cdot dx \Стрелка вправо $$$ $$$ \Rightarrow \arctan y=x+C \Rightarrow y(x)=\tan (x+C)$$$

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.