Что означает в математике запись y=f(x). Видеоурок. Алгебра 7 Класс
Итак, в данном уроке мы должны разобраться, что означает в математике запись . Во-первых, она говорит о том, что задана независимая переменная х, иначе говоря, аргумент. Например, утром ученик вышел из дома в школу, пока он идет, время идет независимо от него, время – пример независимой переменной.
Кроме того, данная запись задает зависимую переменную – функцию. Возьмем тот же пример, когда ученик идет из дома в школу, расстояние в этом случае будет зависимой переменной, так как через пять минут он пройдет, например, 200 метров, а через час километр, расстояние зависит от времени.
– это закон соответствия, по которому каждому значению х – независимой переменной, ставится в соответствие единственное значение у – зависимой переменной. Условие единственности значения функции для каждого значения аргумента объясним все на том же примере. В некоторый момент времени ученик находится на расстоянии 500 метров от дома, и в этот же момент он не может быть еще и на расстоянии километра, то есть в один момент времени он может быть только в одном месте. Итак, реальные процессы таковы, что накладывают на функции упомянутое ограничение
Вспомним известные нам функции:
1) , функция равна константе. Для нашего примера это можно описать тем, что ученик находится в школе, то есть время идет, а расстояние от дома не меняется.
2) – прямая пропорциональность. Мы помним, что в зависимости от значения k функция может возрастать или убывать. Вспомним графики первых двух функций, для примера построим графики функций , , :
Рис. 1.
Напомним, что любой график прямой пропорциональности проходит через начало координат, при этом если k положительное, то функция возрастает, а если k отрицательное – функция будет убывать
3) – линейная функция, она задается двумя параметрами – k и m. Возьмем пример: , построим график, напомним, что для этого достаточно взять две точки – составим таблицу:
х |
0 |
-0,5 |
у |
1 |
0 |
,
Рис. 2.
Напомним, что параметр m – это ордината точки пересечения графика с осью у, а параметр k как и в случае прямой пропорциональности отвечает за то, будет ли функция возрастать или убывать.
4) – график данной функции парабола, напомним ее вид:
Рис. 3.
Отметим, что переменные можно называть как угодно, например вместо можно написать , от этого вид функциональной зависимости не изменится.
Рис. 4.
Вернемся к нашему примеру, где ученик идет в школу, находится в школе и возвращается домой. Расстояние будем откладывать по оси у, а время по оси х.
На участке 1 показано, как ученик идет в школу, расстояние его от дома увеличивается до конкретной точки – в этот момент он пришел в школу. Далее на участке 2 ученик находится в школе, расстояние его от дома остается неизменным. После этого на участке 3 он возвращается домой, причем скорость его меньше, чем когда он шел в школу, так как значение функции изменяется медленнее. В какой-то момент расстояние становится равным нулю – это означает, что ученик пришел домой.
Данный пример говорит нам о том, что функция может на разных участках быть описана по-разному.
Рассмотрим примеры:
Пример 1:
;
1) вычислить значение функции при , , , ,
2) построить график функции;
3) прочесть график и определить свойства данной функции.
Начнем с построения графика:
Для первого интервала, где составим таблицу для нахождения двух точек:
Для второго интервала, где, также составим таблицу:
Итак, построим график:
Рис. 5.
Теперь вычислим необходимые значения функции: , подставляем значение в функцию , так как принадлежит интервалу . В эту же функцию подставляем и значение , . Значения и подставляем в функцию , так как эти значения х принадлежат интервалу , , ; значение подставляем в функцию , так как оно входит в интервал , получаем
Нам осталось прочесть график. Итак, если аргумент возрастает , функция возрастает . Когда аргумент возрастает , функция убывает , наконец когда аргумент возрастает функция остается неизменной и равна четырем. Область определения функции: , то есть данная функция существует только на этом интервале, и если нам нужно было бы вычислить значение в точке , мы не смогли бы этого сделать, так как в этой точке она не существует – не определена. Минимальное значение функции есть, и оно равно -2: ; y=0 при двух значениях аргумента: и . Функция больше нуля при следующих значениях аргумента:
и .
Функция принимает отрицательные значения на следующем отрезке: .
Вывод: в данном уроке мы объяснили смысл записи и провели обзор известных нам графиков функций. Мы узнали, что функция может быть задана на разных интервалах по-разному и рассмотрели пример подобного задания, в котором выполнили различные типовые задачи.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Портал Естественных Наук (Источник).
2. Интернет-портал Alexlarin.net (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 799, ст.167;
Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 806, ст.168;
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 807, ст.168;
interneturok.ru
Калькулятор онлайн – Найти (с решением) производную функции
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.
Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.
Примеры подробного решения >>
Введите выражение функции
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
Определение производной
Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y’. Отметим, что y’ = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)
Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \( x \):
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
$$ f’_x(g(x)) = f’_g \cdot g’_x $$
Таблица производных некоторых функций
$$ \left( \frac{1}{x} \right) ‘ = -\frac{1}{x^2} $$ $$ ( \sqrt{x} ) ‘ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left( x^a \right) ‘ = a x^{a-1} $$ $$ \left( a^x \right) ‘ = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left( e^x \right) ‘ = e^x $$ $$ ( \ln x )’ = \frac{1}{x} $$ $$ ( \log_a x )’ = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ ( \sin x )’ = \cos x $$ $$ ( \cos x )’ = -\sin x $$ $$ ( \text{tg} x )’ = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ ( \text{ctg} x )’ = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ ( \arcsin x )’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \arccos x )’ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \text{arctg} x )’ = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( \text{arcctg} x )’ = \frac{-1}{1+x^2} $$www.math-solution.ru
Сложная функция
Сложная функцияПример 1. Дана функция f(x) = 3x2 – 4. Найти:
Решение: f(4) = 3•42 – 4 = 48 – 4 = 44;
f(a3 + 1) = 3(a3 + 1)2 – 4 = 3(a6 + 2a3 + 1) – 4 =
= 3a6 + 6a3 – 1;
f(t) = 3t2 – 4;
Пример 2. Найти функцию f(x), если f(x + 1) = x2 + 2x + 2.
Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1; f(a) = (a – 1)2 + 2(a – 1) + 2 = a2 – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a2 + 1.
Ответ: f(x) = x2 + 1.
Пример 3. F(2x – 1) = 4x – 7; F(g(x)) = x3. Найти g(x).
Решение. Пусть 2x – 1 = a, тогда
т. е. F(x) = 2x – 5. Значит,
F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x3.
Ответ:
Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что
f(g(x)) = x, g(x) = x2 + 1, x Ј 0.
Решение. По условию f(x2 + 1) = x, x Ј 0.
Пусть x2 + 1 = t, тогда
Ответ:
Пример 4. Найти F(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
F(sin x) + F(cos x) = 3(sin2 x + cos2 x).
В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:
x = arccos (sin m).
Уравнение примет вид
F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin2 m + sin2 m),
2F(sin m) = 3•2sin2 m,
т. е. F(sin m) = 3sin2 m; F(x) = 3x2.
Ответ: F(x) = 3x2.
Пример 5. Найти функцию f(x), если
Решение. В дроби
заменив x на m, получим
Пусть
Выразим x через m, получим
Найдем значение дроби через m:
и значение дроби в правой части данного уравнения тоже при
Получим новое уравнение (при аргументе m)
или, заменив букву m на x,
Вместе с данным уравнением составим систему
Эта система, линейная относительно неизвестных
и
решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):
или
Найдем f(t), если допустим, что
Выразим x через t:
Тогда
Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.
Ответ:
Пример 6. Найти функцию f(x), если
Решение. Пусть
тогда
Получим новое уравнение с переменной t
Заменив t на x, запишем
Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые
Исключим из системы неизвестное
Ответ:
Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений
Решение. Пусть
Тогда
и первое уравнение примет вид
Заменим t на x. Получим систему
Вычитая уравнения почленно, находим
а затем и
Пусть 2x + 1 = a, тогда
Следовательно,
Ответ:
Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений
Решение. Пусть
откуда
и второе уравнение перепишется в виде
Система примет вид
Исключим функцию F(•):
Значит,
Пусть
тогда
F(a) = 2a + 3.
Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найдите функцию F(x) из уравнений:
2. Найдите g(x), если
1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.
3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:
Ответы
М Селиванова,
г. Реутов
mat.1sept.ru
производная функция как решать f(x)=5x; х в квадрате
Подвис мой сканер что-то.. . Не успела, но все-таки.. . С помощью определения производной, это значит сначала составить разностное отношение, а затем рассмотреть предел. Этот метод носит название “Метод четырех шагов” <img src=”//content.foto.my.mail.ru/mail/ulya5215532/_answers/i-4826.jpg” > А после можно и посчитать значение производной в точке 4, оно равно 40, как уже и было сказано. В учебнике значок дельта х обозначен за h – это и есть приращение аргумента.
в квадрате обозначается так x^2; f(x)=5x^2 f ‘ (x)=10x ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; f´(4)=10*4=40
Берем производную от функции. Там получаем, Вроде, f'(x)=10x. потом вместо х подставляем 4.
по определению производной нужно найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т. е. f’ = lim ( ( f(x+dx) – f(x) ) / dx ) при dx->0, раскрываем скобки, получаем f’ = ( 5x^2+10x*dx+5dx^2-5x^2 ) / dx = 10x*dx / dx = 10x
touch.otvet.mail.ru