Формула момента инерции диска: Расчет момента инерции диска онлайн калькулятор

2$

Содержание

Момент инерции диска. Явление инерции

Многие люди замечали: когда они едут в автобусе, и он увеличивает свою скорость, их тела прижимаются к креслу. И наоборот, при остановке транспортного средства пассажиров будто выбрасывает из посадочных мест. Все это происходит из-за инерции. Рассмотрим это явление, а также объясним, что такое момент инерции диска.

Что представляет собой инерция?

Под инерцией в физике понимают способность всех тел, обладающий массой, сохранять покоящееся состояние либо двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении. Если необходимо изменить механическое состояние тела, то приходится прикладывать некоторую внешнюю силу к нему.

В данном определении следует обратить внимание на два момента:

  • Во-первых, это вопрос состояния покоя. В общем случае такого состояния не существует в природе. Все в ней находится в постоянном движении. Тем не менее, когда мы едем в автобусе, то нам кажется, что водитель не двигается со своего места. В таком случае идет речь об относительности движения, то есть относительно пассажиров водитель находится в покое. Отличие между состояниями покоя и равномерного движения заключается лишь в системе отсчета. В примере выше пассажир в состоянии покоя относительно автобуса, в котором едет, но движется относительно остановки, которую проезжает.
  • Во-вторых, инерция тела пропорциональна его массе. Наблюдаемые нами объекты в жизни все имеют ту или иную массу, поэтому все они характеризуются некоторой инертностью.

Таким образом, инерция характеризует степень трудности изменения состояния движения (покоя) тела.

Инерция. Галилей и Ньютон

Когда изучают вопрос инерции в физике, то как правило, связывают ее с первым ньютоновским законом. Этот закон гласит:

Любое тело, на которое не действуют внешние силы, сохраняет свое состояние покоя либо равномерного и прямолинейного движения.

Считается, что этот закон сформулировал Исаак Ньютон, и произошло это в середине XVII века. Отмеченный закон справедлив всегда и во всех процессах, описываемых классической механикой. Но когда ему приписывают фамилию английского ученого, следует сделать некоторую оговорку…

В 1632 году, то есть за несколько десятков лет до постулирования закона инерции Ньютоном, итальянский ученый Галилео Галилей в одной из своих работ, в которой он сравнивал системы мира Птолемея и Коперника, по сути сформулировал 1-й закон “Ньютона”!

Галилей говорит, что если тело движется по гладкой горизонтальной поверхности, и силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь, то это движение будет сохраняться вечно.

Вращательное движение

Приведенные выше примеры рассматривают явление инерции с точки зрения прямолинейного перемещения тела в пространстве. Однако существует еще один тип движения, который распространен в природе и Вселенной – это вращение вокруг точки или оси.

Масса тела характеризует его инерционные свойства поступательного движения. Для описания же аналогичного свойства, которое проявляет себя при вращении, вводят понятие момента инерции. Но перед тем как рассматривать эту характеристику, следует познакомиться с самим вращением.

Круговое перемещение тела вокруг оси или точки описывается двумя важными формулами. Ниже они приводятся:

1) L = I*ω;

2) dL/dt = I*α = M.

В первой формуле L – это момент импульса, I – момент инерции, ω – угловая скорость. Во втором выражении α – это ускорение угловое, которое равно производной по времени от угловой скорости ω, M – момент силы системы. Он рассчитывается как произведение результирующей внешней силы на плечо, к которому она приложена.

Первая формула описывает вращательное движение, вторая – его изменение во времени. Как видно, в обеих этих формулах присутствует момент инерции I.

Момент инерции

Сначала приведем его математическую формулировку, а затем объясним физический смысл.

Итак, момент инерции I рассчитывается следующим образом:

I = ∑i(mi*ri2).

Если перевести это выражение с математического на русский язык, то оно означает следующее: все тело, которое имеет некоторую ось вращения O, разбивается на мелкие “объемчики” массой mi, находящиеся на расстоянии ri от оси O. Момент инерции рассчитывается путем возведения в квадрат этого расстояния, его умножения на соответствующую массу mi и сложения всех полученных слагаемых.

Если разбить все тело на бесконечно малые “объемчики”, тогда сумма выше будет стремиться к следующему интегралу по объему тела:

I = ∫V(ρ *r2dV), где ρ – плотность вещества тела.

Из приведенного математического определения следует, что момент инерции I зависит от трех важных параметров:

  • от значения массы тела;
  • от распределения массы в теле;
  • от положения оси вращения.

Физический смысл момента инерции заключается в том, что он характеризует, насколько “тяжело” привести в движение вращения данную систему или изменить ее скорость вращения.

Момент инерции диска однородного

Полученные в предыдущем пункте знания применимы для расчета момента инерции однородного цилиндра, который в случае h<r принято называть диском (h – высота цилиндра).

Для решения поставленной задачи достаточно рассчитать интеграл по объему этого тела. Выпишем исходную формулу:

I = ∫V(ρ *r2dV).

Если ось вращения проходит перпендикулярно плоскости диска через его центр, тогда можно представить этот диск в виде нарезанных мелких колечек, толщина каждого из них является очень малой величиной dr. В этом случае объем такого колечка можно рассчитать так:

dV = 2*pi*r*h*dr.

Это равенство позволяет интеграл по объему заменить на интегрирование по радиусу диска. Имеем:

I = ∫r(ρ *r2*2*pi*r*h*dr) = 2*pi*h*ρ*∫r(r3*dr).

Вычисляя первообразную подынтегрального выражения, а также учитывая, что интегрирование проводится по радиусу, который изменяется от 0 до r, получаем:

I = 2*pi*h*ρ*r4/4 = pi*h*ρ*r4/2.

Поскольку масса рассматриваемого диска (цилиндра) равна:

m = ρ*V и V = pi*r2*h,

то получаем конечное равенство:

I = m*r2/2.

Эта формула момента инерции диска справедлива для абсолютно любого цилиндрического однородного тела произвольной толщины (высоты), ось вращения которого проходит через его центр.

Разные виды цилиндров и положения осей вращения

Аналогичное интегрирование можно провести для разных тел цилиндрической формы и совершенно любого положения осей их вращения и получить момент инерции для каждого случая. Ниже приводится список часто встречающихся ситуаций:

Из всех этих формул следует, что при одинаковой массе m наибольшим моментом инерции I обладает кольцо.

Где используют инерционные свойства вращающегося диска: маховик

Наиболее ярким примером применения момента инерции диска является маховик в автомобиле, который жестко соединен с коленвалом. Благодаря наличию такого массивного атрибута обеспечивается плавность движения автомобиля, то есть маховик сглаживает любые моменты сил импульсивного характера, которые действуют на коленвал. Более того, этот тяжелый металлический диск способен запасать огромную энергию, обеспечивая тем самым инерционное движение транспортного средства даже при заглушенном двигателе.

В настоящее время инженеры некоторых автомобильных компаний работают над проектом использования маховика в качестве накопителя энергии торможения транспортного средства с целью ее последующего использования при ускорении авто.

Другие понятия об инерции

Хотелось бы завершить статью несколькими словами о других “инерциях”, отличных от рассмотренного явления.

В той же физике существует понятие о температурной инерции, которая характеризует, насколько “трудно” нагреть или охладить данное тело. Температурная инерция прямо пропорциональна теплоемкости.

В более широком философском смысле инерция описывает сложность изменения какого-либо состояния. Так, инертным людям сложно начинать делать что-то новое из-за лени, привычки к рутинному образу жизни и удобству. Кажется, лучше оставить вещи такими, какие они есть, поскольку так жить гораздо проще…

Рассчитать момент инерции диска. Вычисление момента инерции

Момент инерции
 Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
 Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm . (при Δm → 0) .
 Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h относительно его оси симметрии

Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр r и внешний r + dr , а высоту h . Так как dr , то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r .
 Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm ,
где ΣΔm − масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr . Если плотность материала диска ρ , то масса кольца
ρ2πrhdr .
Момент инерции кольца
i = 2πρhr 3 dr .
 Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0 ) до края его (

r = R ), т. е. вычислить интеграл:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr ,
или
I = (1/2)πρhR 4 .
Но масса диска m = ρπhR 2 , следовательно,
I = (1/2)mR 2 .
 Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов


1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):
I = mR 2 .
2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:

I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
где R 1 − внутренний и R 2 − внешний радиусы.
3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (1/4)mR 2 .
4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.
5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml 2 ,
где l − длина стержня.

6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml 2
 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR 2 .

Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
 Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела I с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела

m , умноженная на квадрат расстояния l между осями:
I = I c + ml 2 .
 В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R и массой m , подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О . Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс I c = (2/5)mR 2 , а расстояние
между осями (l + R ), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2 .
Размерность момента инерции:
[I] = [m] × = ML 2 .

Наименование параметра Значение
Тема статьи: Момент инерции
Рубрика (тематическая категория) Механика

Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инœерции J материальной точки относительно оси принято называть скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инœерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инœерции отдельных точек

(76)

К определœению момента инœерции точки

В случае если масса распределœена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объёмы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:

(77)

Для однородного по объёму тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

(78)

Размерность момента инœерции – кг*м 2 .

Момент инœерции тела является мерой инœертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инœертности при поступательном движении.

Момент инœерции – это мера инœертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределœения массы относительно оси вращения . Иными словами, момент инœерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инœерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инœерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инœерции достаточно прост.

Ниже приведены моменты инœерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инœерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

Момент инœерции шара радиуса R :

Момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инœерции бесконечно тонкого обруча радиуса R

относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инœерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инœерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инœерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инœерции относительно оси OO плюс

md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инœерции неодинаков относительно разных осœей, и в связи с этим, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инœерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, к примеру, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на желœезнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инœерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инœерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инœерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Момент инерции – понятие и виды. Классификация и особенности категории “Момент инерции” 2017, 2018.

  • – Момент инерции тела относительно произвольной оси.

    Рис.35 Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx”y”z”, а через лю­бую точку О на оси Сх” – оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy”, Oz½½Cz” (рис. 35). Расстояние между осями Cz” и Оz обозначим через d. Тогда но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя… .


  • – Момент инерции тела

    Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении. В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным,… .


  • – Лекция 4-5. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент инерции, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси.

    Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса. Динамика изучает движение тел с учетом причин,… .


  • – Момент инерции твердого тела.

    Проанализируем формулу для момента инерции твердого тела. Момент инерции зависит от 1) массы тела, 2) формы и размеров тела, 3) положения оси вращения относительно тела (рис 2) Рис. 2а Рис.2б Итак, момент инерции есть мера инертности тела при вращательном движении,… .


  • – Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

    Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент…

  • Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси имеет вид

    ,

    Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси . Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.

    В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния (в этом случае все – нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной , то соответствующий элемент массы будет пропорционален , а если бы составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна . Поэтому

    . (19.5)

    Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель .

    Фиг. 19.3. Прямой стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей черед один из его концов.

    А чему будет равен момент инерции , если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от до . Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна , а длина равна . Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен

    . (19.6)

    Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.

    Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси. Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен , где – расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину ), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции нужно добавить – момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен

    Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов и , т. е. . Мы сейчас сосредоточим наше внимание на , однако все в точности можно повторить и для . Пусть координата есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние от центра масс вместо от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать

    Возводя это выражение в квадрат, находим

    .

    Что получится, если умножить его на и просуммировать по всем ? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

    .

    Третью сумму подсчитать легко; это просто . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых ; он равен -координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть от . Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).

    Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен . А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии . Таким образом, мы должны получить, что . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.

    Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент . После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19. 6) получить коэффициент . Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что , откуда . Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!

    При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.

    Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью , направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси равен сумме моментов инерции относительно осей и . Доказывается это совсем просто. Заметим, что

    (поскольку все ). Аналогично,

    ,

    Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой , шириной и длиной относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто

    ,

    поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен , т. е. точно такой же, как и для стержня длиной , а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен , такой же, как и для стержня длиной .

    Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью :

    1. Момент инерции равен

    .

    2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.

    3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.

    4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерций относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.

    В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 – моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.

    Таблица 19.1 Простые примеры моментов инерции

    Тонкий стержень длиной

    Проходит через центр перпендикулярно к стержню

    Тонкое концентрическое кольцо с радиусами и

    Проходит через центр кольца перпендикулярно к плоскости кольца

    Сфера радиуса

    Проходит через центр

    Таблица 19.2 Моменты инерции, полученные из табл. 19.1

    Прямоугольник со сторонами и Прямоугольный параллелепипед со сторонами Проходит через центр параллельно

    В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины – момент сил и момент инерции , физический смысл которых рас­кроем ниже.

    Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А , приходит во вращение вокруг оси ОО” (рисунок 5.1).

    Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

    Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р , опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О :

    (5.1)

    Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы :

    (5.2)

    Единица момента силы – ньютон-метр . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта .

    Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

    Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния – произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси :

    Момент инерции тела относительно оси вращения сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело :

    (5.4)

    В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется интег­рированием:

    , (5.5)

    где r – расстояние от оси вращения до элемента массой dm .

    Если тело однородно и его плотность ρ = m /V , то момент инерции тела

    (5.6)

    Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

    Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

    Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

    Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

    (5.8)

    Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

    Момент инерции шара относительно диаметра

    (5.10)

    Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m , а его радиус – R .

    Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

    Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

    Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

    откуда или .

    Тогда момент инерции диска,

    Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

    Рисунок 5.3 – Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

    Теорема Штейнера

    Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J 0 отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md 2:

    (5.12)

    где m – масса тела, d – расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции – килограмм-метр в квадрате (кг . м 2).

    Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

    Тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

    в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

    Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

    Для момента инерции можно написать I A = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I A = I C + m (l /2) 2 . Величину I C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ , длина каждого из которых равна l /2, масса m /2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I C = km (l/ 2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

    ,

    откуда k = 1/3. В результате находим

    (4.16)

    Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

    I Z = mR 2 , (4.17)

    где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I X = I У .

    Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

    Рис. 4.5 Рис. 4.6

    Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr . Площадь такого кольца dS = 2 prdr . Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

    (4.18)

    Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

    Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О : q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm . Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

    Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x , у , z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х , Y , Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

    I X = m (y 2 + z 2), I У = m (z 2 + x 2),

    I Z = m (x 2 + y 2).

    Сложим эти три равенства, получим I X + I У + I Z = 2m (x 2 + у 2 + z 2).

    Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

    I X + I У + I Z = . (4.19)

    Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

    Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками .

    Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I X = I Y = I Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

    Инерции момент относительно оси – Энциклопедия по машиностроению XXL

    Инерции момент относительно оси 117, 172  [c.365]

    В формуле (12.2) Уа — момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс 5 и перпендикулярной к плоскости движения звена, а е — угловое ускорение звена.[c.239]

    В уравнениях (12.12) т , т , гпс и суть массы, сосредоточенные в точках А, В, С и D Ха, Уа в. Ув Хс, Ус и Xq, Уо — координаты точек А, В, С и D в системе координатных осей хну с началом в центре масс S, взятые с соответствующими знаками Js — момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку S, и а, Ь, с и d — соответственно расстояния точек А, Б, С и D от точки S. Массы Шд, гпс и /Ир определятся решением системы уравнений (12.12).  [c.243]


    Здесь У есть момент инерции звена относительно оси вращения им — угловая скорость звена.  [c.335]

    Момент инерции коромысла относительно оси вращения /g, кг М 0,002 0,005 0,003 0,004 0,007 0,002 0,004 0,005 0,003 0,007  [c.243]

    Момент инерции швов относительно оси х  [c.53]

    Масса пластинки равна М, I — длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относительно оси 2, проходящей через ее вершину параллельно основанию.[c.264]

    Однородная равносторонняя треугольная пластина имеет массу М и длину стороны I. Вычислить момент инерции пластины относительно оси г, проходящей через вершину пластины перпендикулярно ее плоскости.  [c.264]

    По данным задачи 34.24 вычислить момент инерции диска относительно оси 2ь лежащей в вертикальной плоскости Х2 и образующей с осью г угол ф.  [c.267]

    Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током. Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают тормозящий момент М , пропорциональный скорости V на ободе маховика М = кв, где к — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент М2 от трения в подшипниках можно считать постоянным диаметр маховика Л, момент инерции его относительно оси вращения ]. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью Шо-2У, /1 I к Ои>а  [c. 278]

    При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного /гш, где со — угловая скорость вращения снаряда, к — постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна шо, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен ].  [c.284]

    В сейсмографах — приборах для регистрации землетрясений— применяется физический маятник, ось подвеса которого образует угол а с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до центра масс маятника равно а, момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси подвеса, равен /с, масса маятника равна М. Определить период колебаний маятника.  [c.287]

    Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вращающий момент Швр. Момент инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости материальной симметрии, равен Ус /к — коэффициент трения качения. Ftp — сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью.  [c.289]


    Определить угловую скорость ведомого автомобильного колеса массы ЛУ и радиуса г. Колесо, катящееся со скольжением по горизонтальному шоссе, приводится в движение посредством горизонтально направленной силы, приложенной в его центре масс С. Момент инерции колеса относительно оси С, перпендикулярной плоскости материальной симметрии, равен Ус fк — коэффициент трения качения, /—коэффициент трения при качении со скольжением. В начальный момент колесо находилось в покое.  [c.289]

    Момент инерции трубки относительно оси вращения равен I, Ь — ее длина трением пренебречь, шарик считать материальной точкой массы т.  [c.291]

    Определить скорость V тела М относительно трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен /, Ь — длина трубки трением пренебречь. Тело считать материальной точкой массы т.  [c.297]

    Груз массы М подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины /, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения /, радиус барабана В, масса единицы длины каната т. Определить скорость груза в момент, когда длина свн-  [c.303]

    Ведущее колесо автомашины радиуса г и массы М движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент т. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен /. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения Сопротивлением качения пренебречь.  [c.307]

    Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону ф = 3 . Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н-см.[c.313]

    Конец А однородного тонкого стержня АВ длины 21 И массы М перемещается по горизонтальной направляющей с помощью упора Е с постоянной скоростью V, причем стержень все время опирается на угол D. Определить главный вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в зависимости от угла ф.  [c.314]

    Твердое тело массы М качается вокруг горизонтальной осп О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние от оси подвеса до центра масс С равно а радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было откло-нек о из положения равновесия на угол фо и отпущено без начальной скорости. Определить две составляющие реакции оси Н п Ы, расположенные вдоль направления, проходящего через точку подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла ф отклонения тела от вертикали.[c.326]

    Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус колеса о, его масса М С — момент инерции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости колеса через его центр А — момент инерции колеса относительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса.  [c.369]

    Масса маятника М расстояние центра масс маятника от оси вращения О равно 5о , расстояние 00 = б момент инерции маятника относительно оси вращения /о-  [c.405]

    Определить период малых свободных колебаний маятника массы М, ось вращения которого образует угол р с горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси вращения /, расстояние центра масс от оси вращения s,  [c.406]

    Для поглощения крутильных колебаний к одной пз колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс / и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью со. Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения 1 и /2 момент инерции маятника относительно оси.  [c.428]


    Для кулисного механизма Витворта определить приве-денньг к валу А звена АВ момент М от момента = 10 нм, приложен еюго к кулисе 3, н приведенный момент инерции / от массы кулисы, если момент инерции кулисы относительно оси С равен /с = 0,016 кгм , 1ап = 100 мм и углы ф1 = 90° и фз = 30°.  [c.127]

    Дано = 0,05 м, = 0,25 м, координата центра масс S шатуна = = 0,10 м, диаметр цилиндра Dj = 0,13 м, диаметр штока Dj = 0,11 м, масса шатуна = 1,8 кг. масса поршня = 2,2 кг, момент инерции шатуна относительно оси, проходящей через его центр масс S, равен = 0,025 кгм , момент инерции кривошипа вместе с приведенными к нему массами звеньев редуктора и ротора электромотора / == 0,07 кгм . Давление газа на поршень задано индикаторной диаграммой (рис. 92, б) максимальное давление на поршень в первой ступени = 22,5 hI m , максимальное давление на поршень во второй сту-  [c.166]

    Н — водило (поводок) планетарного и дифференциального механизмов. ihi — передаточное отношение от звена с номером k к звену с номером I. Ih — момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку к. 1 — приведенный момент инерции. к — число заходоп резьбы червяка.  [c.256]

    В уравнениях (12.8)—(12.11) trii — масса, сосредоточенная в замещающей точке с индексом г, т — масса всего звена, Xi п t)i — координаты i-й точки относительно осей, проходящих через центр масс, и 7s — момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку S и перпендикулярной к плоскости движения. Уравнения (12.8)—(12.10) соответствуют статическому размещению массы звена, а уравнение (12.11) вместе с уравнениями (12.8)—(12.10) соответствуют динамическому pasMeuifiHWo.  [c.242]

    Анализируя равенства (13. 35), приходим к выводу, что для уравновешивания главного вектора сил инерции звеньев плоского мехагшзма необходимо и достаточно так подобрать массы этого механизма, чтобы общий центр масс всех звеньев механизма оставался неподвижным. Для уравновешивания главных моментов относительно осей хну необходимо и достаточно подобрать массы механизма так, чтобы центробежные моменты инерции масс всех звеньев механизма относительно плоскостей хг и yz были постоянными.  [c.279]

    Пример 2. Произвести кииетостатический силовой расчет механизма (рис. 4.19), для которого выполнен кинематический анализ. Массы звеньев /Л] = 1 кг /Иг = 1 кг гпя=-2,5 кг т.% == 2,8 кг Шз = 1 кг и сосредоточены в точках А, б г, Г., St, F. Моменты инерции звеньев относительно осей, проходящих через центры масс, равны = 0,002 кг м % = 0,001 кг = 0,025 кг м 1 =  [c.145]

    Определить, с какой угловой скоростью w упадет на землю спиленное дерево массы М, если его центр масс С расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления причем тег — —аф , где а = onst. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен /.  [c.279]

    Диск, подвещенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен /. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления движению равен aSo), где а — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, U) — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости.  [c.281]

    Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен Д. Момент сил упругости проволоки Щупрг = — Сф, где с — коэффи-циент упругости, а ф — угол закручивания момент сопротивления движению гпсг = — РФ, где ф—угловая. скорость твердого тела, а р > 0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол фо и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение дви-  [c.282]

    Простейщий гиротахометр состоит из гироскопа, рамка которого соединена двумя пружинами, прикрепленными к корпусу прибора. Момент инерции гироскопа относительно оси собственного вращения равен 1, угловая скорость гироскопа равна  [c.313]

    Решить предыдуигую задачу с учетом массы кабестана, момент инерции которого относительно оси вращения равен I.  [c.351]

    Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг ненодвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.  [c.176]

    Для определения момента инерции пластины относительно оси О следует предварительно вычислить MOMeirr инерт1ии отдельной запприхованной полоски относите-jH,HO параллельной оси O z по формуле (12) для стержня и применить затем теорему Штейнера.  [c.279]


    Момент инерции простыми словами: определение, формулы, примеры решения задач | Антиплагиату.

    НЕТфото из интернета

    фото из интернета

    В нашем обиходе довольно часто встречаются выражения « он совершенно инертный» или «его инертность заставляет задуматься». Их применяют в отношении человека, который не обладает инициативой и не привык двигаться. Существуют другие понятия такого лица, но думаю, что они больше относятся к медицине. В общем понимании это человек не любящий принимать собственных решений. Или возьмем пример из цирка, где силач под аплодисменты зрителей выдерживает валун огромной массы. Данный объект лежит совершенно спокойно и не совершает никаких движений. Напарник бьет по камню и атлету совершенно не больно. Вся причина кроется в том, что объект инертен по отношению к цирковому артисту. Если бы на месте огромного валуна был маленький камушек, был бы тот же эффект.

    Также можем применить пример из жизни, когда пешеход стоит на проезжей части и наблюдает за несущимся автомобильным потоком. Тяжелогруженная машина, если решила совершить остановку начинает тормозить раньше, чем легковая и совершает движение по инерции под влиянием груза. Естественно, что грузовик продвинется гораздо дальше по сравнению с легковушкой.

    Что такое инерция

    В научном понимании это свойство тел находится в состоянии покоя, при этом внешние силы никакого воздействия не осуществляют. Понятие момента инерции вызывает определенный вопрос. Не каждому обывателю понятно это выражение, поэтому разберем его подробнее. Инерция, это свойство отдельного тела, лежать в спокойном состоянии при отсутствии на него внешних действий различной силы. Также объект может воспрепятствовать изменчивости скоростных показателей. Из жизни мы можем привести такой пример, когда машина находится на льду и начинает тормозить, то она не сразу останавливается, а совершает поступательное движение благодаря льду. Весь тормозной путь будет считаться инерцией. Или размешивая чай в стакане после того, как перестанем мешать, жидкость продолжает совершать вращательное движение. Это будет считаться инерцией.

    Определение момента инерции

    Еще со школьной скамьи нам было известно, что масса, это масса инертности тела. Если к примеру, мы совершим толчок двух вагонов у которых разный вес, то совершенно понятно, что остановить труднее будет тот вагон, у которого масса тяжелее. Одним словом, чем больше вес, тем нужно большее усилие для совершения движения. В данной ситуации мы рассматриваем поступательное движение, когда вагон совершает движение прямо.

    Понятие момента инерции, включает в себя меру инертности тела при вращении вокруг своей оси. Момент инертности является физическим значением и обозначается буквой J. Измеряемость данной величины кг умноженный на метр в квадрате.

    Высчитывают момент инертности при помощи следующей формулы.

    Применяется она обычно в научной физике, при вычислении момента инерции тела. Если представить объект, разбившийся на несколько кусков, то момент инерции будет равняться сумме этих кусков, умноженный на квадрат расстояния к оси вращения. Так определяют момент инерции в физике. Если брать реальность, то определение происходит в результате расчетов, произведенных по формуле Штейнера.

    Теорема Штейнера

    Прежде всего, нам нужно понять, отчего зависит момент инерции. Ответ достаточно прост: от веса, оси вращения, формы и габаритов объекта. Теорема Штейнера имеет важное значение и студенты часто ее используют для решения различных задач. Что же она обозначает? Она имеет следующую формулировку. Момент инерции объекта относительно оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, которая проходит через центр параллельно оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

    Немного мудреное понятие, но именно так объясняется теорема. В физике существуют разнообразные виды инерции: например, центральный или геометрический. Момент инерции является единицей измерения для тела, которое совершает вращательное движение вокруг своей оси.

    Пример решения задачи

    Вашему вниманию представим 2 варианта. В первом случае мы попытаемся найти момент инерции, а во втором, применим знания полученные при изучении теоремы Штейнера.

    Упражнение 1. Установить момент инерции диска весом М и радиусом Р. Ось вращения соответственно расположена по центру объекта.

    Оптимальное решение:

    Диск делится на маленькие колечки, радиус которых изменяется от 0 до Р. Разберем более подробно отдельное кольцо. Обозначим, что его вес равен значение м, а радиус показателю р. Тогда получим момент инерции равный: DJ= DMR в квадрате.

    Массу кольца можно представить в виде:

    Упражнение 2. Установить момент инерции диска с массой М и радиусом Р.

    Оптимальное решение:

    Используя формулу Штейнера решаем упражнение, J = Jc+ мd в квадрате. Подставляем полученные данные в формулу и получаем решение.

    Момент инерции неотъемлемо имеет связь с другими популярными физическими законами. Например, со вторым законом Ньютона. В данном случае момент инерции принимает значение массы.

    Остались вопросы или нужна помощь, есть замечания по данной статье пишите в комментариях будем рады подискутировать, так же подписывайтесь на наш канал или другие соц сети:

    ПОДПИСАТЬСЯ НА КАНАЛ I Сайт Антиплагиату НЕТ I ВКОНТАКТЕ

    Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

     

    Министерство образования Российской Федерации

    Национальный минерально-сырьевой университет “Горный”

     

     

    Отчёт по лабораторной работе № 5

     

     

    Тема: момент инерции различных тел. Теорема штейнера.

    Выполнил: Студент  ______________                    

                                                                                                         (подпись)                                                                  (Ф.И.О.)  

     

     

    Проверил: профессор                     
         ____________                           /Мустафаев А. С./

                                                                                                          (подпись)                                                                    (Ф.И.О.)

    Санкт-Петербург

    2014 г.

     

    Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.
    Краткое теоретическое содержание.

    1. Явление, изучаемое в работе момент инерции тела – это мера инертности тела при вращательном движении. Вращательное движение  — движение, при котором все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на оси вращения.

     

    2.Определения:

    Период колебаний – минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела.

    Момент силы относительно точки – вектор, модуль которого равен произведению силы на плечо.

    Момент силы относительно оси – проекция момента силы относительно точки на данную ось. Характеризует способность силы вращать тело.

    3. Законы и  соотношения, используемые при выводе  расчетных формул:

    Момент инерции твердого тела:

    , г – расстояние от оси  вращения до груза, [r] , m- масса тела, [m]= , плотность тела , V- объем тела

    Из теории крутильных колебаний следует формула для расчета периода колебаний:

     , где J- момент инерции тела , T – период колебаний , D – модуль кручения пружины

     Согласно формуле момента силы:

      = , М- модуль момента силы; , , – равнодействующая силы , – плечо, , где модуль r численно равен L- длине плеча.

     

     

     

    Основные расчетные формулы.

     

    Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, , его масса m, :

    I= , где I – момент инерции,

    Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом и внешним радиусом относительно оси, совпадающей с осью цилиндра:

    Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

     

    Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

    Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции , относительно оси ОО, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

                                                                                                         

     

    – модуль кручения пружины

    – момента инерции

     

     

     

    Формула погрешности косвенных измерений:

    –  формула погрешности косвенных  измерений

     

    Таблицы

     

    Таблица 1

    Измерения для угла j

     

     

    F

    l

    M

    рад

    Н

    м

    Нм

    /2

    0. 8

    0.04

    0.032

    1.2

    0.04

    0.048

    3

    /2

    2.0

    0.04

    0.08

    2

    2.5

    0.04

    0.1

     

     

     Таблица 2

     

    Результаты измерений периода колебаний диска, шара, полого цилиндра, цилиндра,

    стержня.

     

    № опыта

    Тдиска

    Тшара

    Тцилиндра

    Тп.цилиндра

    Тстержня

     

    с

    с

    с

    с

    с

    1

    1. 735

    1.691

    1.029

    1.310

    2.043

    2

    1.755

    1.690

    1.028

    1.325

    2.071

    3

    1.750

    1.690

    1.029

    1.320

    2.048

    4

    1.755

    1.690

    1.029

    1.322

    2.064

    5

    1.757

    1.690

    1.031

    1. 314

    2.081

    среднее

    1,750

    1.690

    1.029

    1.318

    2.061

     

     

     

     

    Таблица 3

    Результаты момента инерции для различных положений груза

     

    r,

    м

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    r2

    м

    0.0016

    0.0036

    0.0064

    0.01

    0.0144

    T

    с

    2. 313

    3.164

    3.431

    3.786

    4.195

    J

    кг·м2·10-3

    5.97

    6.8

    8

    9.5

    11.4

     

     

    Примеры вычислений

     

    Исходные данные:

     

     

    ед.

    измерения

    стержень

    цилиндр

    полый

    цилиндр

    шар

    диск

    груз

    m

    кг

    0.177

    0.352

    0. 349

    0.645

    0.264

    0.212

    R

    м

    0,6

    0,05

    0,05

    0,047

    0,065

    0,11

     

     

     

     

     Абсолютные погрешности прямых измерений:

     

     Динамометра          

     Измерительного прибора

     Секундомера

     Угла отклонения

     

     

    D= = =0.02

    Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии:

     

    Jдиска= = кгм

      Iдиска= =

     

    Jшара кгм   

     Iшара=

     

    Jцил=    

      Jцил= кгм

     

    Jп.ц= Jп.ц.= =0.8 кгм

     

    Jстержня=

    Iстержня=

     

    Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения:

     

    J=

     

    J= =

     

     

     

    Проверка теоремы Штейнера:

     

    J =

     

    Т при смещении стержня на 0. 05м равен 2.888с. T = 2.908c, d=0.05м

     

     

    J=

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Погрешность косвенных измерений:

     

    = , расчет проведен для диска.

    Окончательный ответ:

    J=1.5

     

    = , расчет проведен для задания В

    Окончательный ответ:

    J=2.7

     

    = , расчет проведен для задания С

    Окончательный ответ:

    J=4.28

     

    Аналитическое выражение зависимости:

     

     

     

    Результаты опыта показали, что с увеличением массы тела и расстояния от оси, происходит увеличение значения момента инерции.

    Вывод: согласно проведенному анализу при измерении момента инерции различных тел и проверки теоремы Штейнера можно использовать метод крутильных колебаний, так как он дает достаточно точные результаты, но имеют место грубые ошибки при измерениях.

     

    Полученный результат отличается от теоретического значения равного 1,59 на , однако погрешность измерений достаточно велика.

     

     


    Момент инерции диска – объяснение, вывод и часто задаваемые вопросы

    Физика, как мы все знаем, обширная тема. Он уделяет особое внимание техническим, рациональным и статистическим аспектам. Это естественный метод, основанный на реальных экспериментах и ​​математике. В физике предложено несколько теорий и законов, которые говорят об основных составляющих мира, о том, как мир движется, о его типе движения, поведении, об энергии, которую он использует для движения, о тех же темах, касающихся изменения во времени, пространстве и т. д. .

    Физика играет жизненно важную роль в соединении похожих, но, казалось бы, разных происшествий. Это помогает людям узнать, как прекрасно синхронизируются движение, время и энергия, чтобы добиться порядка в происходящем. По сути, он действует как полка, которая может рационально организовать вселенную в мозгу людей.

    Инерция — это также понятие, показывающее связь между движением, временем и энергией. Для движения существует также неподвижное состояние. Это либо происходит естественным образом, либо достигается сопротивлением.Сопротивление возникает, когда электрические заряды испытывают противодействие в своем потоке. Следующая информация кратко обсуждает момент инерции и момент инерции диска. Давайте теперь посмотрим на это и наберёмся знаний.

    Инерция

    Сопротивление любого физического объекта любому изменению его скорости называется инерцией. Изменения скорости или направления движения объекта включаются в инерцию. Когда на них не действуют никакие силы, аспектом этого свойства является тенденция объектов продолжать двигаться по прямой линии с постоянной скоростью.

    Значение Инерции происходит от латинского слова iners, означающего праздный, вялый. Одним из первичных проявлений массы является Инерция, которая является количественным свойством физических систем. Инерция определяется Исааком Ньютоном как его первый закон в его «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica», который гласит: его нынешнее состояние, будь то равномерное движение или неподвижное движение вперед по прямой линии.

    При постоянной скорости объект будет продолжать двигаться с текущей скоростью до тех пор, пока какая-либо другая внешняя сила не вызовет изменение его скорости или направления.

    На поверхности Земли инерция часто маскируется эффектами трения, гравитации и сопротивления воздуха, оба из которых имеют тенденцию уменьшать скорость движущихся объектов (обычно до точки покоя). Философ Аристотель был введен в заблуждение, полагая, что объекты могут двигаться только до тех пор, пока к ним приложена сила.

    Одним из фундаментальных принципов классической физики является принцип инерции, который до сих пор используется для описания движения объектов и того, как на них влияют приложенные к ним силы.

    Момент инерции

    Момент инерции, также известный как момент массы инерции, величина, определяющая крутящий момент, необходимый для желаемого углового ускорения относительно оси вращения, представляет собой угловую массу или инерцию вращения твердого тела похоже на то, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения. Это зависит от выбранной оси и распределения массы тела, при этом большие моменты требуют большего крутящего момента для изменения скорости вращения тела.

    В качестве экстенсивного (аддитивного) свойства: для точки массы момент инерции равен произведению массы на квадрат расстояния по перпендикуляру к оси вращения. Сумма моментов инерции составляющих ее подсистем (всех взятых относительно одной оси) есть момент инерции жесткой составной системы. Второй момент массы по отношению к расстоянию от оси является его простейшим определением. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярная величина, имеет значение для тел, вынужденных вращаться в плоскости.Моменты для тел, которые могут свободно вращаться в трех измерениях, можно понять с помощью асимметричных матриц 3 × 3, с набором, можно сказать, взаимно перпендикулярных главных осей для этой матрицы, является диагональным, а крутящие моменты, которые сами по себе являются силой, вокруг оси действуют независимо друг от друга.

    Факторы, влияющие на момент инерции

    Основными факторами, влияющими на момент инерции, являются следующие:

    • Плотность – Плотность материала влияет на момент инерции.

    • Размер материала

    • Форма материала

    • Ось вращения. Линия точек, относительно которых вращается твердое тело, называется осью вращения.

    Площадь момента инерции

    Также известен как момент второй площади. Он отображает разброс точек по случайной оси. Его свойство двумерной плоскости.

    Полярный момент инерции

    Полярный момент инерции измеряет степень сопротивления объекта при приложении крутящего момента к определенной оси. Кручение – это скручивание тела с наложенным на него силовым яблоком.

    Полярный момент представляет собой сопротивление, оказываемое цилиндрическим объектом скручиванию, приложенное к площади поперечного сечения, перпендикулярной центральной оси объекта. Величина полярного момента инерции прямо пропорциональна сопротивлению кручения вещи.

    Существует три типа поперечных моментов.

    • Полый цилиндрический вал

    • Сплошной цилиндрический вал

    • Тонкостенный вал

    Ограничения по полярному моменту инерции секционный.

    Подробнее о моменте инерции и его; различные концепции доступны на платформе обучения Vedantu.

    Дифференциация между моментом инерции и полярным моментом инерции

    моменту инерции

    Возможность противодействия крутящему моменту

    Возможность объектов сопротивляться угловым ускорению

    Si Unit = M4

    Si Unit = KGM2

    J = R2DA

    I = R2DM

    в зависимости от геометрия объекта

    В зависимости от массы объекта

    Момент инерции массы

    происходит по угловому моменту. {2}\]

    Момент инерции диска

    Момент инерции, который также обозначается буквой «i», измеряет степень, в которой сопротивление объекта является ускорением вращения вокруг определенной оси и является вращательным аналогом массы.2\] (масса×длина3) — единица измерения моментов инерции масс. Второй момент площади не следует путать со вторым моментом, который используется при расчетах балок. инерция вращения, а иногда и угловая масса, часто также известная как массовый момент инерции.

    В этой статье в основном рассматривается симметричное распределение массы, которое, если не указано иное, с постоянной плотностью по всему объекту и осью вращения, проходящей через центр масс.

    Вывод: Масса распределена по всем плоскостям x и y на тонком диске.Затем мы переходим к установлению отношения для поверхностной плотности массы (σ), где она определяется как масса на единицу площади поверхности. Поверхностная массовая плотность также будет постоянной, так как диск, следовательно, однороден;

    σ = m / A

    Или

    σA = m

    Итак,

    dm = σ(dA)

    кольца, которые в основном тонкие по своей природе. Приращение массы (dm) радиуса r, находящиеся на равном расстоянии от оси, называются тонкими кольцами.{2}\]

    Физика обычно считается сравнительно сложным предметом. Особенно, когда речь идет о деривациях и прикладных проблемах. Но это совсем не так. При правильной практике и воспитании любви обучение может привести к радикальным изменениям в учебных моделях и мышлении учащихся. Это изменение действительно требует внутреннего толчка, а также опытных преподавателей и хороших учебных материалов. Vedantu предлагает студентам наиболее проверенную версию информации и методов обучения.Индивидуальный коучинг и интегрированный в увлекательное обучение опыт будут формировать образ мышления учащихся и их общий подход к любому предмету, который они пожелают, в красивой манере.

    Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт Vedantu и найдите огромное количество учебников и решений для учебников. Есть также персонализированные заметки в формате PDF и справочники от самых любимых учеников Р. Д. Шармы, Лакшми Сингха и многих других. Получайте тонны заметок о пересмотре, пробные тестовые работы, годы образцов работ и удобную для учащихся учебную среду прямо через ваши устройства.Загрузите Веданту сейчас.

    sep25_notes

    sep25_notes Момент Инерция – 1

    Определение Момент инерции

    Возможно, вы захотите взглянуть на этот стол моментов инерции для различных объектов.

    Момент инерции стержня – оси через центр

    Рассчитаем момент инерция тонкого стержня длины L относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярен стержню.Стержень имеет масса М.

    Посмотрите на вклад небольшой кусок стержня (длиной dx), расположенный на расстоянии x от ось. Сначала найдите массу этого куска:

    Теперь найдите момент инерция:

    Обратите внимание, что пределы интегрирования от 0 до L/2 – это только половина стержня, поэтому мы умножить на 2.

    Заканчиваем мы найти:

     

    Момент инерции стержня – оси через один конец

    Теперь давайте посмотрим на это расположение:

    Интеграл сейчас есть:

    Момент инерции больше в в этом случае – имеет смысл, потому что дальше от оси, чем в первом случае.

     

    Момент инерции обруча – оси через центр

    Найдем момент инерции обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча и перпендикулярно плоскости кольца. Что такое обруч? Подумайте о обруч:

    Вся масса расположена одинаково расстояние от источника так

    Поскольку r = R = константа, я могу тянуть это вне интеграла.

     

    Момент инерции диска – Оси через центр

    Теперь переключимся на диск. Вот пример диска:

    Чтобы найти момент инерции диск, разбить его на множество обручей — мы назовем эти кольца толщина dr, как показано ниже.

    Значит момент инерции диска меньше, чем у обруча той же массы и радиуса – делает смысл в том, что для обруча вся масса находится на максимальном расстоянии от оси. возможно.2 и радиусом 0,5 м постоянно действует сила…

    Я предполагаю отсутствие трения или любой другой формы сопротивления.

    Пусть

    r = 0,5 м — радиус диска,

    I = 10 кгм² — его момент инерции,

    F(t) = 2t + t² — тангенциальная сила,

    τ(t) = rF(t) — крутящий момент,

    α(t) — угловое ускорение диска,

    ω(t) — его угловая скорость,

    с(t) — расстояние, пройденное произвольно выбранной точкой на диск,

    W(t) — работа, которую сила совершила между 0 и временем t,

    P(t) — мощность, действующая на диск в момент времени t.

    а), б)

    По второму закону Ньютона применительно к круговому движению )/I

    Подставляя действительные числа

    α(2) = 0,5(2×2 + 2²)/10 = 0,4 с -2

    c)

    Сначала вычислим

    ∫(t) = (t)dt

    = ∫r(2t + t²)/I dt

    = r(t² + t³/3)/I + C

    Константа C получается из данной информации о том, что ω(0) = 0 , поэтому

    C = 0

    Есть два способа вычисления работы — с использованием второго закона Ньютона и

    с использованием отношения между работой и энергией.

    Я покажу вам оба.

    Используя второй закон Ньютона:

    По определению работы

    F = dW/ds

    = dW/dt dt/ds

    = dW/dt 1/(ds/dt)

    = 1 dW (rω(t))

    So

    dW/dt = Frω(t) = (2t + t²)r²(t² + t³/3)/I (1)

    W = (r²/I) ∫(2t + t²)(t² + t³/3)dt

    = (r²/I)(t² + t³/3)²/2 + C

    Постоянная C вычисляется из ограничения, согласно которому в момент времени 0 сила совершила 0 работай.

    Таким образом, C = 0.

    Используя соотношение Работа = Энергия:

    В момент времени t диск будет иметь кинетическую энергию

    E(t) = E(0) + Iω²(t)/2

    = r²(t² + t³/3)²/2I

    Оба подхода дают нам одну и ту же формулу для работы.

    Подстановка фактических чисел

    Вт(2) = 0,5²(2² + 2³/3)²/(2×10) = 5/9 Дж

    d)

    По определению мощности

    P(t) = dW/dt

    Это количество из (1)

    P(t) = (2t + t²)r²(t² + t³/3)/I

    Подстановка фактических чисел

    P(1) = (2× 1 + 1²)0. 5²(1² + 1³/3)/10 = 1/10 Вт

    Какова формула момента инерции диска? – Pegaswitch.com

    Какова формула момента инерции диска?

    5: Расчет момента инерции тонкого диска относительно оси, проходящей через его центр. A=πr2,dA=d(πr2)=πdr2=2πrdr.

    Как рассчитать инерцию работы?

    Поступательная инерция = ma, где «m» — масса, а «a» — ускорение объекта. Рассчитайте инерцию вращения или момент инерции, умножив массу объекта на квадрат расстояния между объектом и осью, радиус вращения.

    Что такое момент инерции цилиндра?

    Момент инерции полого цилиндра, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, можно определить по данной формуле; I = ½ M (R22 + R12) Здесь цилиндр будет состоять из внутреннего радиуса R1 и внешнего радиуса R2 с массой M.

    Какая формула инерции в физике?

    Формула момента инерции представляет собой «сумму произведения массы» каждой частицы на «квадрат ее расстояния от оси вращения». Формула момента инерции выражается как I = Σ miri2.

    Как объяснить момент инерции?

    Момент инерции — это физическая величина, которая описывает, насколько легко тело может вращаться вокруг заданной оси. Это вращательный аналог массы, который описывает сопротивление объекта поступательному движению. Инерция — это свойство материи сопротивляться изменению своего состояния движения.

    Сколько стоит цилиндр?

    Формула объема цилиндра: V=Bh или V=πr2h .Радиус цилиндра 8 см, высота 15 см. Подставьте 8 вместо r и 15 вместо h в формуле V=πr2h . Упрощать.

    Что такое единица инерции в системе СИ?

    Что такое единица измерения момента инерции в системе СИ? Единицей момента инерции в СИ является: кг.м2.

    Что такое единица инерции массы?

    Момент инерции
    Общие символы я
    Единица СИ кг м2
    Прочие единицы фунт-сила·фут·с2
    Производные от других величин

    Что такое момент инерции простыми словами?

    Момент инерции, в физике количественная мера инерции вращения тела—i. е., сопротивление, которое тело проявляет к тому, чтобы его скорость вращения вокруг оси изменялась за счет приложения крутящего момента (поворотной силы). Ось может быть внутренней или внешней и может быть фиксированной или нефиксированной.

    Какова размерная формула инерции?

    Размерная формула момента инерции. Размерная формула момента инерции определяется выражением M 1 L 2 T 0 . Где M = масса. L = длина. Т = время.

    Какова инерция вращения этого диска?

    Инерция вращения комбинации диска и кольца рассчитывается на основе крутящего момента и углового ускорения.Процедура повторяется для одного диска, чтобы найти инерцию вращения кольца и диска по отдельности.

    Какова формула инерции вращения?

    Вращательная инерция у объекта различна в зависимости от оси вращения. Формула инерции вращения такова. я = мр2. Где I = инерция вращения. m = масса объекта. r = радиус кругового пути.

    Чему равен момент инерции твердого шара?

    Момент инерции – это нежелание изменять состояние движения (вращения) объекта, вращающегося вокруг заданной оси. 2.

    Что такое инерция диска? – Rampfesthudson.com

    Что такое инерция диска?

    Момент инерции тонкого круглого диска такой же, как и у твердого цилиндра любой длины, но он заслуживает специального рассмотрения, поскольку он часто используется в качестве элемента для построения выражения момента инерции для других геометрий, таких как шар или цилиндр с конечным диаметром.

    Какова инерция вращения твердого диска?

    Момент инерции однородных объектов

    Объект Ось вращения
    Диск с отверстием Ось в центре
    Цилиндрическая оболочка Ось в центре
    Цельный цилиндр Центральная ось цилиндра
    Цельный цилиндр Ось на поверхности

    Чему равен момент инерции диска и кольца?

    Момент инерции зависит от распределения масс относительно оси вращения. Таким образом, если диск и кольцо имеют одинаковую массу, то кольцо имеет больший момент инерции, поскольку вся его масса сосредоточена в его периметре (можно сказать, что оно не «полное»).

    Чему равен момент инерции диска относительно данной оси вращения?

    Таким образом, момент инерции диска относительно любого его диаметра равен MR2/4.

    Как найти инерцию вращения диска?

    Момент инерции диска

    1. Сплошной диск. Здесь осью вращения является центральная ось диска.Это выражается как; (½)MR2
    2. Ось на ободе. В этом случае ось вращения сплошного диска находится на ободе. Это дается как; 3/2 МР2
    3. Диск с отверстием. Здесь ось будет в центре. Это выражается как; ½ М (а2 + b2)

    Каков момент инерции диска относительно его диаметра?

    1) Короче говоря, момент инерции диска относительно одного из его диаметров равен одной четвертой его момента инерции относительно одной из его осей.

    У диска или обруча больший момент инерции?

    Сплошной диск и кольцо будут иметь очень разные моменты инерции из-за того, что вся масса кольца сосредоточена вдали от его центра, а масса диска на одну часть его массы ближе. 2.

    Чему равен момент инерции однородного твердого шара относительно любого его диаметра?

    I=25MR2, где M — масса, а R — радиус твердого шара.

    Каков момент инерции диска относительно его диаметра?

    Как рассчитать момент инерции?

    По сути, для любого вращающегося объекта момент инерции можно рассчитать, взяв расстояние каждой частицы от оси вращения ( r в уравнении), возведя это значение в квадрат (это член r2) и умножив его на массу. этой частицы.Вы делаете это для всех частиц, которые составляют…

    Какое уравнение для момента инерции?

    Полый цилиндр с осью, проходящей через центр цилиндра, массой М, внутренним радиусом R 1 и внешним радиусом R 2, имеет момент инерции, определяемый по формуле: I = (1/2) М ( р 1 2 + р 2 2 )

    Какова единица момента инерции?

    Единица момента инерции является составной единицей измерения. В Международной системе (СИ) m выражается в килограммах, а r в метрах, при этом I (момент инерции) имеет размерность килограмм-метр в квадрате. В принятой в США системе m указывается в слагах (1 слаг = 32,2 фунта), а r в футах,…

    Что такое момент инерции вращения?

    Иначе известный как инерция вращения, момент инерции является вращательным аналогом массы во втором из законов движения Ньютона, описывая тенденцию объекта сопротивляться угловому ускорению.

    Формула углового момента (момент инерции и угловая скорость)

    Угловой момент относится к тому, насколько сильно объект вращается.Объект имеет постоянный угловой момент, когда он не ускоряется и не замедляется. Угловой момент объекта зависит от распределения массы объекта. Момент инерции — это величина, описывающая распределение. Его можно найти, интегрируя по массе всех частей объекта и их расстояниям до центра вращения, но также можно найти моменты инерции для обычных форм. Угловой момент является произведением момента инерции и угловой скорости вокруг оси.Единицы углового момента кг∙м 2 /с.

    угловой момент = (момент инерции)(угловая скорость)

    L = Iω

    L = угловой момент ( кг∙м 2 )

    I = момент инерции ( кг∙м 2 )

    ω = угловая скорость ( радиан/с )

    Формула углового момента Вопросы:

    1) Диск DVD имеет радиус 0.0600 м , а масса 0,0200 кг . Момент инерции твердого диска равен , где M — масса диска, а R — радиус. Когда DVD начинает воспроизводиться на определенной машине, его угловая скорость составляет 160,0 90 649 радиан/с 90 652 . Каков угловой момент этого диска?

    Ответ: Момент количества движения можно найти по формуле, а момент инерции твердого диска (без учета отверстия в середине). Угловой момент:

    L = Iω

    Д = 0. 00576 кг∙м 2

    Угловой момент этого диска DVD равен 0,00576 кг∙м 2 .

    2) Баскетбольный мяч, вращающийся на пальце спортсмена, имеет угловую скорость ω = 120,0 рад/с . Момент инерции полого шара равен , где M — масса, а R — радиус. Если баскетбольный мяч весит 0,6000 кг и имеет радиус 0,1200 м , каков момент импульса баскетбольного мяча?

    Ответ: Угловой момент баскетбольного мяча можно найти, используя момент инерции полого шара и формулу.Угловой момент:

    L = Iω

    L = 0,6912 кг∙м 2

    Угловой момент вращающегося баскетбольного мяча равен 0,6912 кг∙м 2 /с.

    Моменты инерции

    Чтобы легко вычислить моменты инерции относительно оси через $P$ и $C$ проще всего выбрать система координат совмещена с осью вращения направление $\шляпа{а}$. Мы выберем координаты $(x,y,z)$ отсчитывается от центра масс $C$ и с ось $z$ $\hat{k}$ в направлении $\hat{a}$, так как показано на рисунке.

    Как мы интегрируем по телу с бесконечно малым объемом $dV$ в позиции $(x,y,z)$ из $C$ запишем расстояние от оси через $C$ как $r_c$ и расстояние от оси через $P$ как $r_P$, как проиллюстрировано.2. \конец{выровнено}\] Здесь мы использовали координатное представление центра массы, чтобы понять, что координата $x$ точки $C$ равна $x_C = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{B}} \rho x \,dV$, но поскольку наши координаты отсчитываются от $C$, мы должны имеем $x_C = 0$, поэтому $\int_{\mathcal{B}} \rho x \,dV = 0$. Интеграл от $\rho y$ также равен нулю.

    .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.