Формула сила притяжения земли: Формула силы притяжения

Содержание

Формула силы притяжения

История проблемы гравитации

Уже древнегреческие философы задумывались над причинами притяжения тел к земной поверхности и закономерностями свободного падения. Аристотель, например, утверждал, что если бросить вниз с одинаковой высоты два камня, то более тяжелый достигнет поверхности первым. В IV в. до н.э., когда жил этот мыслитель, единственным приемлемым методом познания считалось наблюдение и размышление, поэтому проверить опытом свое утверждение Аристотель не потрудился. Лишь спустя века итальянский физик Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.) решил подвергнуть утверждение античного философа испытанию практикой. Результаты своих опытов он опубликовал в трактате “Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук”, где писал от имени персонажа Сагредо: “пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей”.

Теоретически закрепить наблюдения Галилея о том, что тела разной массы падают на землю с равными ускорениями, смог Исаак Ньютон, сформулировавший около 1666 г. закон всемирного тяготения. Согласно ему сила, с которой взаимно притягиваются друг к другу два тела, прямопропорциональна их массами и обратнопропорциональна расстоянию между ними. Гравитацию Ньютон считал всеобщим свойством тел, обладающих массой, притягиваться друг к другу.

Достоверность открытия Ньютона была многократно подтверждена практикой. Однако к началу XX в. в физике появились задачи, связанные с крупными астрономическими объектами, такими, как планетарные системы, галактики. Ньютоновский закон давал недостаточно точные результаты при наблюдениях за ними. Новую теорию, позволяющую устранить эти погрешности, разработал в начале XX в. Альберт Эйнштейн (1879 – 1955 гг.). В своей Общей теории относительности он предложил считать гравитацию не силой, а зависящим от массы искривлением четырехмерного пространства-времени. При этом нельзя сказать, что открытие Эйнштейна отменило теорию гравитации Ньютона. Закон всемирного тяготения является частным случаем Общей теории относительности, действующим на сравнительно небольших расстояниях.2}$,

где $m_1, m_2$ – массы притягивающихся с силой $F$ тел, $r$ – расстояние между ними, $G$ – т.н. гравитационная постоянная, констнта, равная 6,67.

Важно отметить, что

  1. сила гравитационного взаимодействия ослабевает по мере удаления тел друг от друга пропорционально не просто расстаянию, а расстоянию в квадрате;
  2. под расстоянием понимается не расстояние между поверхностями, а расстояние между центрами тяжести тел.

Замечание 1

Зависимость интенсивности от квадрата расстояния роднит гравитацию с другими фундаментальными физическими взаимодействиями: электромагнитным, сильным и слабым.

Квадратичная зависимость силы притяжения от расстояния позволяет понять, почему Солнце, масса которого в миллион раз больше земной, практически не притягивает нас, когда мы находимся на поверхности нашей планеты. Расстояние от Земли до центра Солнечной системы составляет около 150 млн. км. На такой большой дистанции солнечная гравитация практически не ощущается, хотя с помощью высокоточных приборов ее можно зарегистрировать.2}$.

Замечание 2

В физике вес и масса – разные понятия. Вес – сила, с которой притягивается тело к планете (не обязательно к Земле). Масса – мера инертности вещества и не зависит от находящихся рядом других тел. Однако в некоторых системах единиц измерения сила измеряется не в ньютонах, а в килограмм-силах. Для них утверждение “человек весит 80 кг” может оказаться справедливым.

Первая и вторая космические скорости

Гравитационную силу можно преодолеть с помощью противодействия других сил (например, реактивной), что делает возможными авиационные и космические полеты.

Можно провести мысленный эксперимент, представив пушку, стреляющую горизонтально с вершины высокой горы. Такую систему удобно выбрать еще и потому, что воздух тоже подчиняется законам гравитации, и вблизи поверхности планеты он плотнее, чем, скажем, на высоте 8000 м. над уровнем моря. Таким образом, снаряду, вылетающему из “высокогорной” пушки, вязкость атмосферы будет оказывать меньшее сопротивление.{24}$ кг, радиус – $6371$ км. Подставив эти значения в формулу, получим, что первая космическая скорость здесь равна $7,9$ км/с.

Продолжая наращивать интенсивность выстрела, мы можем превратить траекторию сначала в эллиптическую (снаряд будет вращаться вокруг Земли по вытянутой орбите), а затем и в гиперболическую (он начнет удаляться от планеты, не возвращаясь к ней). Последнее будет означать, что снаряд достиг второй космической скорости, которую можно посчитать как

$V_2 = \sqrt{2 \cdot G \frac{M}{R}} = \sqrt{2} \cdot V_1 = 1,41 \cdot 7,9 \approx 11,17 км/с $

Сила тяжести — урок. Физика, 7 класс.

Силу гравитации, с которой Земля притягивает тело, находящееся на её поверхности или вблизи неё, называют силой тяжести. Эта сила направлена к центру Земли.

Сила гравитации Земли для нас является самой важной, поэтому ей и дано особое название.

 

Земля притягивает всё, что находится вокруг неё: твёрдые тела, жидкости, газы.

Из-за того, что есть сила тяжести, возможно существование атмосферы (молекулы газа не улетают в космос), воды морей и океанов удерживаются на своих местах, если какой-либо предмет приподнимают и роняют, этот предмет падает вниз — в направлении Земли.

Силу, с которой Земля притягивает тела, можно рассчитать по формуле F=m⋅g, где \(m\) — масса тела, а \(g\) — ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения — это ускорение, которое вблизи Земли приобретает тело, падающее свободно и беспрепятственно. Вблизи поверхности Земли значение \(g\) равно примерно \(9,81\) мс2, для приблизительных расчётов можно использовать значение \(10\) мс2.

Что означает эта единица измерения?

 

Скорость свободно падающего тела каждую секунду увеличивается на \(9,81\) метров в секунду (м/с).

 

Если предмет падает, например, в течение \(4\) секунд, то скорость его падения в самом начале равна \(0\) м/с;

за \(1\)-ю секунду он достигает скорости \(9,81\) м/с;

за \(2\)-ю секунду он достигает скорости: \(9,81\), умноженное на \(2\) м/с \(=\) \(19,62\) м/с;

за \(3\)-ю секунду он достигает скорости: \(9,81\), умноженное на \(3\) м/с \(=\) \(29,43\) м/с;

за \(4\)-ю секунду тело достигает скорости: \(9,81\), умноженное на \(4\) м/с \(=\) \(39,24\) м/с, что приблизительно составляет \(141\) км/ч.

 

Обрати внимание!

Интересно, что кирпич и яблоко падают с одинаковой скоростью. Только падение лёгких предметов сопротивление воздуха замедляет сильнее, например, птичье перо из-за сопротивления воздуха будет падать медленнее.

Ускорение свободного падения на поверхности Луны составляет только \(1,62\) мс2.

На Юпитере значение \(g\) приблизительно равно \(26,2\) мс2, это примерно так же, как если бы человек в дополнение к своим \(60\) кг веса взвалил бы на плечи ещё примерно \(102\) кг.

Глава 8. Закон всемирного тяготения

Массивные тела, даже находящиеся на больших расстояниях друг от друга, притягиваются друг к другу. Такое взаимодейст-вие называется гравитационным. Закон гравитационного взаимодействия тел был установлен Ньютоном на основе анализа имеющихся в его распоряжении экспериментальных данных и называется законом всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения утверждает, что два точечных тела с массами и , находящиеся на расстоянии друг от друга, притягиваются друг к другу с силой

(8.1)

где — коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной.

Обратим внимание читателя на то, что закон всемирного тяготения в форме (8.1) справедлив только для точечных тел. Для нахождения силы гравитационного взаимодействия протяженных тел используется принцип суперпозиции гравитационных сил. В соответствии с этим принципом силы гравитационного взаимодействия в системе из трех точечных тел можно вычислить, находя силы взаимодействия каждой пары тел друг к другу по формуле (8.1) и складывая затем векторы этих сил. Например, чтобы найти силу , действующую на массу в системе тел , и (см. рисунок), нужно найти силу , действующую на тело со стороны тела (при этом можно использовать закон всемирного тяготения в форме (8.1)). Затем по закону всемирного тяготения нужно найти силу , действующую на тело со стороны тела , а затем сложить получившиеся векторы

(8.2)

(аналогичным образом можно найти силу, действующую на другие массы и ). Принцип суперпозиции дает рецепт поиска гравитационных сил, действующих между протяженными (неточечными) телами. Такие тела нужно мысленно разделить на точечные части, найти силу взаимодействия каждой пары точечных частей, просуммировать полученные вектора (число которых, вообще говоря, бесконечно большое). В математике разработаны методы такого суммирования, но в программу школьного курса физики эти методы не входят. Нужно знать только, что такая процедура существует и уметь применять ее в простейших случаях, когда суммирование выполняется элементарно на основе свойств симметрии тел. Кроме того, нужно знать, что для тел сферической формы, находящихся вне друг друга, применение принципа суперпозиции приводит в точности к закону всемирного тяготения в форме (8.1), в котором — расстояние между центрами тел (это утверждение впервые доказал Ньютон, разработав для выполнения бесконечного суммирования основы математического анализа). Из последнего утверждения следует, что для силы тяжести точечного тела массой , находящегося на поверхности некоторой планеты сферической формы, справедливо соотношение

(8.3)

где и — масса и радиус планеты. С другой стороны, сила тяжести описывается соотношением . Поэтому из формулы (8.3) получаем выражение для ускорения свободного падения на поверхности планеты через ее массу и радиус

(8.4)

В задачах на закон всемирного тяготения часто рассматривают вращательное движение спутников вокруг планет. Если спутник движется с выключенным двигателем, то существует определенное соотношение между его скоростью и радиусом орбиты. Действительно, при движении со скоростью по окружности радиуса спутник имеет ускорение , которое сообщается ему гравитационной силой (другие силы на спутник не действуют). Поэтому второй закон Ньютона для спутника дает

(8.5)

Откуда находим

(8.5)

Если рассматриваются орбиты, расположенные на небольшой высоте над поверхностью планеты, когда в формуле (8.6) практически совпадает с радиусом планеты, скорость (8.6) называется первой космической скоростью для данной планеты. Рассмотрим применение этих соотношений и законов к решению задач.

В задаче 8.1.1 рассматриваются точечные тела, поэтому для вычисления силы их взаимодействия используем закон все-мирного тяготения (8.1). Из него следует, что при увеличении в 3 раза расстояния между этими телами сила их гравитационного притяжения уменьшается в 9 раз (ответ 4).

Если массу одного точечного тела увеличить в 2 раза, а массу второго увеличить в 3 раза при неизменном расстоянии между телами (задача 8.1.2), то из закона (8.1) следует, что сила их гравитационного взаимодействия увеличится в 6 раз (ответ 3). Аналогично из закона (8.1) находим, что в задаче 8.1.3 сила взаимодействия тел уменьшится 8 раз (ответ 3).

Применяя формулу (8.4) для ускорения свободного падения на поверхности планеты и на таком расстоянии от центра, когда ускорение свободного падения равно половине его значения на поверхности, получаем (задача

8.1.4)

Из этих формул заключаем, что (ответ 1).

Из формулы (8.4) следует, что отношение ускорений свободного падения на поверхности двух планет с массами и радиусами , и , равно

Поэтому в задаче 8.1.5 получаем для ускорения свободного падения на поверхности Марса

(ответ 2).

В задаче 8.1.6 используется то обстоятельство, что гравитационное взаимодействие тел подчиняется третьему закону Ньютона: сила всемирного тяготения (8.1) действует как на одно, так и на другое тело. Поэтому из второго закона Ньютона заключаем, что ускорения этих тел относятся обратно отношению масс

(ответ 3).

Используя закон всемирного тяготения, получим для силы притяжения Меркурия и Земли к Солнцу (задача 8.1.7)

где — масса Солнца, и — массы Меркурия и Земли, и — расстояния от Меркурия и Земли до Солнца. Отсюда находим

(ответ — 2).

Из закона всемирного тяготения для ракеты (задача 8.1.8) следует, что сила притяжения ракеты к Земле уменьшается в 4 раза по сравнению с силой притяжения на поверхности, если расстояние от ракеты до центра Земли возрастает вдвое. Это значит, что ракета будет находиться на расстоянии, равном радиусу Земли от поверхности (ответ 1).

В задаче 8.1.9 будем использовать принцип суперпозиции. Силы, действующие на центральное тело со стороны двух других тел, показаны на рисунке. По закону всемирного тяготения находим силу, действующую на центральное тело со стороны левого тела

и силу, действующую на центральное тело со стороны правого тела

Поскольку эти силы направлены противоположно, находим, что результирующая сила равна

(ответ 3).

Очевидно, силы, действующие на тело, находящееся в вершине прямого угла (задача 8.1.10) направлены под прямым углом друг к другу (см. рисунок) и определяются законом всемирного тяготения . Поэтому результирующая сила направлена по биссектрисе прямого угла и равна

(ответ 2).

Ускорение свободного падения тела массой определяется соотношением

(1)

где — гравитационная сила, действующая на тело. Очевидно, что не зависит от массы тела, поскольку гравитационная сила пропорциональна массе этого тела, которая, таким образом, сокращается в отношении (1) (задача 8.2.1 – ответ 4).

Как говорилось во введении к настоящей главе, сила притяжения сферических тел определяется законом всемирного тяготения в форме (8.1), в котором — расстояние между их центрами. Поэтому в задаче 8.2.2 сила притяжения двух шаров определяется формулой (2).

Сила взаимодействия двух одинаковых шаров с массой и радиусом , касающихся друг друга, равна (задача 8.2.3)

Для ответа на вопрос задачи эту силу удобно выразить через плотность и радиус. Используя определение плотности ( , где — объем шаров), получаем

Из этой формулы следует, что сила взаимодействия двух касающихся шаров при их фиксированной плотности пропорциональна четвертой степени их радиуса. Поэтому при увеличении радиуса вдвое сила взаимодействия возрастет в 16 раз (ответ 4).

Согласно принципу суперпозиции для нахождения силы, действующей на точечное тело, помещенное в центр массивного кольца, со стороны этого кольца (задача 8.2.4), необходимо мысленно разбить кольцо на точечные части, вычислить силы, действующие на тело со стороны этих частей и просуммировать найденные векторы. Очевидно, благодаря симметрии задачи мы получим нуль, поскольку для каждого малого участка кольца найдется противоположный (см. рисунок), который даст такую же по величине, но противоположно направленную силу (ответ 4).

Когда тело движется на малой высоте над поверхностью планеты, его ускорение равно , где — первая космическая скорость, — радиус планеты. С другой стороны ускорение тела равно ускорению свободного падения на поверхности . Поэтому ускорение свободного падения на поверхности планеты из задачи 8.2.5 равно

(ответ 1).

Первая космическая скорость определяется формулой (8.6). Поэтому правильный ответ в задаче 8.2.63. Чтобы ответить на вопрос об изменении первой космической скорости при изменении радиуса и массы планеты, но неизменной плотности (задача 8.2.7), удобно выразить скорость (8.6) через плотность и радиус планеты

Отсюда следует, что при фиксированной плотности планеты первая космическая пропорциональна ее радиусу (ответ 2).

Для Земли вычисления первой космической скорости по формуле из решения задачи 8.2.5 дают: , где — ускорение свободного падения на поверхности Земли, — радиус Земли. Поэтому правильный ответ в задаче 8.2.83.

Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору и которая равна по величине силе реакции опоры. Сила реакции опоры может обратиться в нуль по двум причинам. Во-первых, если нет силы тяжести, которая бы действовала на тело и прижимала бы его к опоре. А во-вторых, если сила тяжести есть, но она сообщает и телу и опоре одинаковые ускорения, в результате чего тело к опоре не прижимается. Именно второй случай реализуется в космическом корабле, свободно вращающемся вокруг Земли (задача 8.2.9). Сила тяжести здесь, конечно, есть (в противном случае корабль не вращался бы, а двигался прямолинейно и равномерно). Но поскольку сила тяжести, действующая на любое тело, пропорциональна его массе, она сообщает и кораблю и всем телам внутри него одинаковые ускорения. В результате корабль и все тела внутри него постоянно «падают» на Землю с одинаковыми ускорениями и, следовательно, вес этих тел внутри корабля равен нулю (ответ 3).

При свободном круговом движении спутника вокруг планеты его скорость и радиус орбиты связаны друг с другом соотноше-нием (8.6). Эта связь возникает потому, что на данной орбите гравитационная сила сообщает определенное ускорение, которое совпадает с центростремительным ускорением только при определенной скорости спутника. А если скорость спутника уменьшить по сравнению с этой скоростью (задача 8.2.10)? Тогда для сохранения орбиты спутника потребуется меньшая центростремительная сила (так как уменьшится его центростремительное ускорение). А поскольку гравитационная сила на той же орбите не изменится необходимо направить силу тяги двигателя так, чтобы сумма гравитационной силы и силы тяги была направлена к центру орбиты, а по величине была меньше гравитационной силы. Это значит, что сила тяги должна быть направлена противоположно гравитационной силе (ответ 3).

Закон всемирного тяготения Ньютона • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Между всеми телами во Вселенной действует сила взаимного притяжения.

На склоне своих дней Исаак Ньютон рассказал, как это произошло: он гулял по яблоневому саду в поместье своих родителей и вдруг увидел луну в дневном небе. И тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения (см. Законы механики Ньютона), он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли. Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите.

Чтобы в полной мере оценить весь блеск этого прозрения, давайте ненадолго вернемся к его предыстории. Когда великие предшественники Ньютона, в частности Галилей, изучали равноускоренное движение тел, падающих на поверхность Земли, они были уверены, что наблюдают явление чисто земной природы — существующее только недалеко от поверхности нашей планеты. Когда другие ученые, например Иоганн Кеплер (см. Законы Кеплера), изучали движение небесных тел, они полагали что в небесных сферах действуют совсем иные законы движения, нежели законы, управляющие движением здесь, на Земле. История науки свидетельствует, что практически все аргументы, касающиеся движения небесных тел, до Ньютона сводились в основном к тому, что небесные тела, будучи совершенными, движутся по круговым орбитам в силу своего совершенства, поскольку окружность — суть идеальная геометрическая фигура. Таким образом, выражаясь современным языком, считалось, что имеются два типа гравитации, и это представление устойчиво закрепилось в сознании людей того времени. Все считали, что есть земная гравитация, действующая на несовершенной Земле, и есть гравитация небесная, действующая на совершенных небесах.

Прозрение же Ньютона как раз и заключалось в том, что он объединил эти два типа гравитации в своем сознании. С этого исторического момента искусственное и ложное разделение Земли и остальной Вселенной прекратило свое существование.

Результаты ньютоновских расчетов теперь называют законом всемирного тяготения Ньютона. Согласно этому закону между любой парой тел во Вселенной действует сила взаимного притяжения. Как и все физические законы, он облечен в форму математического уравнения. Если M и m — массы двух тел, а D — расстояние между ними, тогда сила F взаимного гравитационного притяжения между ними равна:

= GMm/D2

где G — гравитационная константа, определяемая экспериментально. В единицах СИ ее значение составляет приблизительно 6,67 × 10–11.

Относительно этого закона нужно сделать несколько важных замечаний. Во-первых, его действие в явной форме распространяется на все без исключения физические материальные тела во Вселенной. В частности, сейчас вы и эта книга испытываете равные по величине и противоположные по направлению силы взаимного гравитационного притяжения. Конечно же, эти силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные из современных приборов, — но они реально существуют, и их можно рассчитать. Точно так же вы испытываете взаимное притяжение и с далеким квазаром, удаленным от вас на десятки миллиардов световых лет. Опять же, силы этого притяжения слишком малы, чтобы их инструментально зарегистрировать и измерить.

Второй момент заключается в том, что сила притяжения Земли у ее поверхности в равной мере воздействует на все материальные тела, находящиеся в любой точке земного шара. Прямо сейчас на вас действует сила земного притяжения, рассчитываемая по вышеприведенной формуле, и вы ее реально ощущаете как свой вес. Если вы что-нибудь уроните, оно под действием всё той же силы равноускоренно устремится к земле. Галилею первому удалось экспериментально измерить приблизительную величину ускорения свободного падения (см. Уравнения равноускоренного движения) вблизи поверхности Земли. Это ускорение обозначают буквой g.

Для Галилея g было просто экспериментально измеряемой константой. По Ньютону же ускорение свободного падения можно вычислить, подставив в формулу закона всемирного тяготения массу Земли M и радиус Земли D, помня при этом, что, согласно второму закону механики Ньютона, сила, действующая на тело, равняется его массе, умноженной на ускорение. Тем самым то, что для Галилея было просто предметом измерения, для Ньютона становится предметом математических расчетов или прогнозов.

Наконец, закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер — ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, вы стоите у края отвесной скалы, рядом с вами пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит — и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представьте, что вы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты. Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику — Луне. Так мы поэтапно перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

Остается последний вопрос: правду ли рассказывал на склоне своих дней Ньютон? Действительно ли всё произошло именно так? Никаких документальных свидетельств того, что Ньютон действительно занимался проблемой гравитации в тот период, к которому он сам относит свое открытие, сегодня нет, но документам свойственно теряться. С другой стороны, общеизвестно, что Ньютон был человеком малоприятным и крайне дотошным во всем, что касалось закрепления за ним приоритетов в науке, и это было бы очень в его характере — затемнить истину, если он вдруг почувствовал, что его научному приоритету хоть что-то угрожает. Датируя это открытие 1666-м годом, в то время как реально ученый сформулировал, записал и опубликовал этот закон лишь в 1687 году, Ньютон, с точки зрения приоритета, выгадал для себя преимущество больше чем в два десятка лет.

Я допускаю, что кого-то из историков от моей версии хватит удар, но на самом деле меня этот вопрос мало беспокоит. Как бы то ни было, яблоко Ньютона остается красивой притчей и блестящей метафорой, описывающей непредсказуемость и таинство творческого познания природы человеком. А является ли этот рассказ исторически достоверным — это уже вопрос вторичный.

См. также:

Урок 8. гравитационные силы – Физика – 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 8. Гравитационные силы

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1)познакомиться с явлением всемирного тяготения и сформулировать закон всемирного тяготения.

2) понять физический смысл гравитационной постоянной;

3) проанализировать некоторые физические явления на основе знаний закона всемирного тяготения;

Глоссарий по теме:

Закон всемирного тяготения – все материальные тела притягивают друг друга с силами прямо пропорциональными их массам и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.

Тяготение – свойство материи, которое состоит в том, что между любыми двумя частицами существуют силы притяжения.

Масса тела – основная механическая величина, определяющая величину ускорения, сообщаемого телу данной силой.

Сила тяжести – векторная величина, определяющая силу притяжения к Земле любого тела.

Первая космическая скорость – наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно стало двигаться вокруг Земли по круговой орбите над её поверхностью только под действием силы гравитационного притяжения Земли

Вес – сила, с которой любое тело вследствие притяжения Земли действует на опору или подвес.

Невесомость – состояние, при котором вес тела равен нулю.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 89 – 106.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. -М.:Дрофа,2009.

Открытые электронные ресурсы:

http://kvant.mccme.ru/1987/11/zakon_vsemirnogo_tyagoteniya.htm

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В механике обычно имеют дело с тремя видами сил – силами тяготения, упругости и трения.

Силу, с которой Земля действует на тело, называют силой тяжести.

Ньютон является первым учёным, который открыл закон всемирного тяготения. Он строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Эта сила всемирного тяготения, действующая между любыми телами Вселенной.

Ньютон после долгих наблюдений сделал вывод, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы с определённой скоростью, могла бы стать такой, что он никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался бы подобно тому, как планеты вокруг Солнца.

Исаак Ньютон сделал выводы:

1) ускорение и сила притяжения тел к Земле обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра Земли:

2) Солнце сообщает всем планетам ускорение, обратно пропорциональное квадрату расстояния от планет до Солнца.

Ньютон нашёл причину множества явлений: от падения брошенного камня на землю до движения огромных космических тел. И причину этих явлений он выразил одной формулой – законом всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения

Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F – модуль вектора силы гравитационного притяжения между телами с массами , находящимися на расстоянии r друг от друга.

G – это коэффициент, который называется гравитационной постоянной

Измерения показывают, что

Первая космическая скорость – минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно стало спутником Земли, движущимся по орбите.

Примеры и разбор решения заданий

1.На столе несколько гвоздиков, кнопка, ластик, карандаш. На какие из этих тел действует одинаковые силы тяжести?

1) на ластик и карандаш;

2) на гвозди;

3) на кнопку и карандаш;

4) на все эти тела.2}g=G(RЗемли​)2MЗемли​​=9,8с2м​≈10с2м​. Так происходит оттого, что масса Земли MЗемлиM_{Земли}MЗемли​ и радиус Земли RЗемлиR_{Земли}RЗемли​, а также гравитационная постоянная GGG — неизменные величины. Их значения можно всегда найти в справочных данных задачников или же прямо в заданиях ЕГЭ.

Сила ⚠️ притяжения: формула, как рассчитывается, примеры

Характер и особенности расчета силы притяжения известны еще с древних времен. На основании имеющихся знаний, переданных современному научному сообществу великими исследователями, человек познает не только его окружающий мир, но и Вселенную.

Формула силы притяжения

Со времен Древней Греции философов интересовали явления притяжения тел к земле и свободного падения. К примеру, по утверждениям Аристотеля, из двух камней, брошенных с одинаковой высоты, быстрее достигнет земной поверхности тот, чья масса больше. В IV веке до нашей эры единственными методами научных изысканий служили наблюдения и анализ. К проверке гипотез опытным путем великие мыслители не прибегали. По истечению столетий физик из Италии Галилео Галилей проверил утверждения Аристотеля, используя практические методы исследований.

Итоги проведенных Галилеем опытов были опубликованы в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». Ученый использовал псевдоним Сагредо: «пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей». Формулировка закона всемирного тяготения была представлена в 1666 году Исааком Ньютоном. В ней фиксировались основные тезисы теоремы Галилея.

Смысл заключался в том, что тела, которые обладают разными массами, падают на землю с одинаковыми ускорениями.  Одно тело притягивает другое и, наоборот, с силой, которая прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна отрезку пути между ними. Согласно определению гравитации от Ньютона, тела, характеризующиеся массой, обладают свойством, благодаря которому притягиваются друг к другу.

Понятие и определение

Силы взаимного притяжения – это силы, которые притягивают любые тела, обладающие массами.

Корректность выводов Ньютона неоднократно подтверждалась путем практических испытаний. Но в начале ХХ века перед учеными-физиками остро стоял вопрос о природе и характере взаимодействия крупных астрономических тел, включая разные виды планетарных систем и галактик в вакууме. Ньютоновского закона уже было недостаточно, чтобы решить эти задачи. Исключить недочеты позволила новая теория, разработанная Альбертом Эйнштейном в начале ХХ столетия. Общая теория относительности объясняет гравитацию не в качестве силы, а представляет ее в виде искривления пространства и времени в четырех измерениях, которое зависит от массы тел, создающих его.

Источник: i.ytimg.com

Гравитация представляет собой свойство тел, которые характеризуются массой, притягивать друг друга. Данное физическое явление можно объяснить, как поле, оказывающее дистанционное воздействие на предметы, не связанные между собой никаким другим способом.

Достижение Эйнштейна не противоречит теоретическому объяснению гравитации от Ньютона.2\),

где \(m1,m2\) – массы объектов, которые притягиваются друг к другу под действием силы \(F\),

\(r\) – расстояние, на которое удалены тела,

\(G\) – т.н. гравитационная постоянная величина, константа, равная 6,67.

Источник: avatars.mds.yandex.net

Гравитационное взаимодействие объектов будет слабеть, если тела удаляются друг относительно друга. Сила гравитации пропорциональна величине расстояния в квадрате. При этом для нахождения искомой величины расстояние измеряется от центров тяжести тел, а не от поверхностей.

Гравитация в определенных моментах напоминает другие физические явления. Исходя из зависимости интенсивности силы от расстояния в квадрате, гравитацию можно сравнить с электромагнитным взаимодействием сильного и слабого характера.

Формула силы гравитационного притяжения между двумя телами

Квадратичная связь силы, с которой тела притягиваются друг к другу, с расстоянием между ними объясняет тот факт, что люди, находящиеся на поверхности планеты Земля не притягиваются к Солнцу, хотя масса его велика и превышает земную в миллион раз. Земля и центр Солнечной системы удалены примерно на 150 миллионов километров. Дистанция достаточно велика, чтобы ощущаться человеком. Однако эту силу можно зарегистрировать, используя высокоточные приборы. В рамках планеты Земля сила, с которой тела к ней притягиваются, то есть их вес, измеряется следующим образом:

\(P=m\times g\),

где \(m\) – масса тела, на которое воздействует сила притяжение,

\(g\) – ускорение свободного падения около Земли (если рассматривать систему в условиях любой другой планеты, данная величина будет отличаться).

На разных географических широтах величина ускорения свободного падения может незначительно отличаться. Производя расчеты, данный показатель принимается за 9,81 метров в секунду в квадрате.

В физике понятия массы и веса тел отличаются. Весом называется сила, определяющее притяжение объекта к планете. Масса представляет собой меру инертности вещества. На нее не влияют другие тела, расположенные рядом.{-11}\)

Выполнить расчет силы притяжения достаточно просто, если правильно выбрать формулу, подходящую под конкретные условия, в которых находятся тела. Если в процессе решения задач по физике или другим дисциплинам возникают проблемы, всегда можно обратиться за помощью к компетентным специалистам портала Феникс.Хелп.

Стоимость г

В Блоке 2 Физического класса было дано уравнение для определения силы тяжести ( F грав ), с которой объект массой м был притянут к Земле

F грав = m * g

Теперь в этом модуле введено второе уравнение для расчета силы тяжести, с которой объект притягивается к Земле.

, где d представляет собой расстояние от центра объекта до центра Земли.

В первом уравнении выше g упоминается как ускорение свободного падения. Его значение 9,8 м / с 2 на Земле. То есть ускорение свободного падения на поверхности земли на уровне моря составляет 9,8 м / с 2 . При обсуждении ускорения свободного падения было упомянуто, что значение g зависит от местоположения. Имеются небольшие вариации значения g относительно земной поверхности. Эти вариации возникают из-за различной плотности геологических структур под каждым конкретным участком поверхности.Они также являются результатом того факта, что Земля не является действительно сферической; земная поверхность находится дальше от ее центра на экваторе, чем на полюсах. Это приведет к увеличению значений g на полюсах. По мере того, как человек движется дальше от поверхности Земли – скажем, в точку орбиты вокруг Земли – значение g все еще изменяется.

Значение g зависит от местоположения

Чтобы понять, почему значение g так зависит от местоположения, мы воспользуемся двумя приведенными выше уравнениями, чтобы вывести уравнение для значения g.Во-первых, оба выражения силы тяжести приравниваются друг к другу.

Теперь обратите внимание, что масса объекта – м – присутствует по обе стороны от знака равенства. Таким образом, m можно исключить из уравнения. Это оставляет нам уравнение для ускорения свободного падения.

Приведенное выше уравнение демонстрирует, что ускорение свободного падения зависит от массы Земли (приблизительно 5,98×10 24 кг) и расстояния ( d ), на котором объект находится от центра Земли.Если значение 6,38×10 6 м (типичное значение радиуса Земли) используется для расстояния от центра Земли, то будет рассчитано значение g, равное 9,8 м / с 2 . И, конечно же, значение g будет меняться по мере того, как объект перемещается дальше от центра Земли. Например, если объект был перемещен в место, находящееся на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли, то есть в два раза умноженных на 6,38×10 6 м, тогда будет найдено существенно другое значение g. Как показано ниже, на удвоенном расстоянии от центра Земли значение g становится равным 2.45 м / с 2 .

В таблице ниже показано значение g в различных точках от центра Земли.

Расположение

Расстояние от центра Земли
(м)

Стоимость, грамм
(м / с 2 )

Поверхность Земли

6.38 x 10 6 м

9,8

1000 км над поверхностью

7,38 x 10 6 м

7,33

2000 км над поверхностью

8,38 x 10 6 м

5.68

3000 км над поверхностью

9,38 x 10 6 м

4,53

4000 км над поверхностью

1.04 x 10 7 м

3,70

5000 км над поверхностью

1.14 x 10 7 м

3,08

6000 км над поверхностью

1,24 x 10 7 м

2,60

7000 км над поверхностью

1,34 x 10 7 м

2.23

8000 км над поверхностью

1,44 x 10 7 м

1,93

9000 км над поверхностью

1,54 x 10 7 м

1,69

10000 км над поверхностью

1.64 x 10 7 м

1,49

50000 км над поверхностью

5,64 x 10 7 м

0,13


Как видно из приведенного выше уравнения и таблицы, значение g изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра Земли.Фактически, изменение g с расстоянием подчиняется закону обратных квадратов, где g обратно пропорционально расстоянию от центра Земли. Это соотношение обратных квадратов означает, что при удвоении расстояния значение g уменьшается в 4 раза. При увеличении расстояния втрое значение g уменьшается в 9 раз. И так далее. Эта обратная квадратная зависимость изображена на рисунке справа.


Расчет g на других планетах

То же уравнение, используемое для определения значения g на поверхности Земли, можно также использовать для определения ускорения свободного падения на поверхности других планет.Значение g на любой другой планете можно рассчитать, исходя из массы планеты и ее радиуса. Уравнение принимает следующий вид:

Используя это уравнение, можно вычислить следующие значения ускорения свободного падения для различных планет.

Планета

Радиус (м)

Масса (кг)

г (м / с 2 )

Меркурий

2.43 х 10 6

3,2 х 10 23

3,61

Венера

6.073 x 10 6

4,88 x10 24

8,83

Марс

3.38 х 10 6

6,42 х 10 23

3,75

Юпитер

6,98 x 10 7

1.901 х 10 27

26,0

Сатурн

5.82 х 10 7

5,68 x 10 26

11,2

Уран

2,35 х 10 7

8,68 x 10 25

10,5

Нептун

2.27 х 10 7

1,03 х 10 26

13,3

Плутон

1,15 х 10 6

1,2 х 10 22

0,61

Ускорение свободного падения объекта – это измеримая величина.Тем не менее, из универсального закона всемирного тяготения Ньютона вытекает предсказание, согласно которому его значение зависит от массы Земли и расстояния, на котором объект находится от центра Земли. Значение g не зависит от массы объекта и зависит только от местоположения – планеты, на которой находится объект, и расстояния от центра этой планеты.

Даже на поверхности Земли наблюдаются локальные вариации значения g.Эти вариации связаны с широтой (Земля не является идеальной сферой; она выпуклость посередине), высотой и местной геологической структурой региона. Используйте виджет Gravitational Fields ниже, чтобы исследовать, как местоположение влияет на значение g. А для большего визуального восприятия попробуйте соответствующее Value of g Interactive из раздела Physics Interactives на нашем веб-сайте.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно.Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Гравитация» и / или нашего интерактивного приложения «Значение g на других планетах». Вы можете найти их в разделе Physics Interactives на нашем веб-сайте. Оба интерактивных модуля позволяют учащемуся интерактивно исследовать влияние характеристик планеты на гравитационное поле.

Расчет гравитационных сил | IOPSpark

Закон всемирного тяготения Ньютона

Земля и космос

Расчет гравитационных сил

Повествование о физике для 11-14

Узнайте, как рассчитать гравитационные силы

Предположим, вы хотите рассчитать величину гравитационной силы, действующей между вами и вашим коллегой, когда вы приближаетесь друг к другу (на расстоянии одного метра) в коридоре.Мы можем сделать это довольно просто, используя уравнение Ньютона: сила сила тяжести = G × M × м расстояние 2 .

Предположим: ваша масса м 60 кг; масса вашего коллеги M – 70 кг; расстояние между центрами, r , составляет 1 м; и G составляет 6,67 × 10 -11 ньютон квадратный метр килограмм -2 .

Подставляя эти значения в уравнение, получаем 6.67 × 10 -11 ньютон квадратный метр килограмм -2 × 60 килограмм × 70 килограмм1 метр 2 . Вы можете выработать эту силу, и вы получите 2,8 × 10 -7 ньютон.

Другими словами, вы прикладываете к своему коллеге гравитационную притягивающую силу в 0,28 миллионных долей ньютона! Сила существует, но она слишком мала, чтобы ее можно было заметить на практике.

Из чисел ясно, что из-за того, что величина G настолько мала, величина гравитационной силы будет очень мала, если только тот или иной объект не имеет очень большую массу.

Вы можете использовать уравнение Ньютона, чтобы проверить эмпирическое наблюдение, что масса в 1 килограмм испытывает гравитационное притяжение около 10 Н на поверхности Земли. Это расчет гравитационного притяжения на поверхности Земли

сила сила тяжести = G × M × м отрыв 2

Где: масса, м, , 1 килограмм; масса Земли, M , составляет 6,0 × 10 24 килограмм; радиус Земли (разделение масс), r , равен 6.4 × 10 6 м; и G составляет 6,67 × 10 -11 ньютон на квадратный метр килограмм-2 }.

Подставляем эти значения в уравнение и вычисляем его, чтобы получить силу в 9,8 ньютона.

Как и ожидалось, сила притяжения Земли на массу в 1 килограмм на ее поверхности составляет около 10 Н.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Закон всемирного тяготения

Объекты с массой ощущают силу притяжения, которая пропорциональна их массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния. 2} [/ latex] где [latex] \ text {G} [/ latex] – гравитационная постоянная.

Ключевые термины
  • индукция : Используйте индуктивные рассуждения для обобщения и интерпретации результатов применения закона тяготения Ньютона.
  • обратный : противоположный по действию, характеру или порядку.

Хотя яблоко могло и не поразить сэра Исаака Ньютона в голову, как предполагает миф, его падение действительно вдохновило Ньютона на одно из величайших открытий в механике: Закон всемирного тяготения . Размышляя о том, почему яблоко никогда не падает вбок, вверх или в любом другом направлении, кроме перпендикулярного земле, Ньютон понял, что сама Земля должна быть ответственна за движение яблока вниз.

Теоретически предполагая, что эта сила должна быть пропорциональна массам двух задействованных объектов, и используя предыдущую интуицию о соотношении обратных квадратов силы между Землей и Луной, Ньютон смог сформулировать общий физический закон с помощью индукции.

Закон всемирного тяготения гласит, что каждая точечная масса притягивает любую другую точечную массу во Вселенной силой, направленной по прямой линии между центрами масс обеих точек, и эта сила пропорциональна массам объектов и обратно пропорциональна их разделению. Эта сила притяжения всегда направлена ​​внутрь, от одной точки к другой.Закон распространяется на все объекты большой или малой массы. Два больших объекта можно рассматривать как точечные массы, если расстояние между ними очень велико по сравнению с их размерами или если они сферически симметричны. Для этих случаев масса каждого объекта может быть представлена ​​как точечная масса, расположенная в его центре масс.

Хотя Ньютон смог сформулировать свой Закон всемирного тяготения и проверить его экспериментально, он мог только вычислить относительную гравитационную силу по сравнению с другой силой.2 [/ латекс]. Из-за величины [латекса] \ text {G} [/ latex] гравитационная сила очень мала, если не задействованы большие массы.

Силы на двух массах : Все массы притягиваются друг к другу. Сила пропорциональна массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Гравитационное притяжение сферических тел: однородная сфера

Теорема оболочек утверждает, что сферически симметричный объект влияет на другие объекты, как если бы вся его масса была сосредоточена в его центре.

Цели обучения

Сформулируйте теорему о оболочке для сферически-симметричных объектов

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Поскольку сила является векторной величиной, векторная сумма всех частей оболочки вносит вклад в результирующую силу, и эта результирующая сила является эквивалентом одного измерения силы, взятого из средней точки сферы или центра масс (COM).
  • Гравитационная сила, действующая на объект внутри полой сферической оболочки, равна нулю.
  • Сила тяжести, действующая на объект с однородной сферической массой, линейно пропорциональна его расстоянию от центра масс сферы (COM). 2} [/ latex]

    Однако большинство объектов не являются точечными частицами.Чтобы найти гравитационную силу между трехмерными объектами, нужно рассматривать их как точки в пространстве. Для высокосимметричных форм, таких как сферы или сферические оболочки, найти эту точку просто.

    Теорема оболочек

    Исаак Ньютон доказал теорему оболочек, которая гласит:

    1. Сферически-симметричный объект влияет на другие объекты гравитационно, как если бы вся его масса была сосредоточена в его центре,
    2. Если объект представляет собой сферически симметричную оболочку (т.е.е., полый шар), то чистая гравитационная сила на теле внутри равна нулю.

    Поскольку сила является векторной величиной, векторная сумма всех частей оболочки / сферы вносит вклад в результирующую силу, и эта результирующая сила является эквивалентом одного измерения силы, взятого из средней точки сферы или центра масс (COM). . Таким образом, при определении силы тяжести, действующей на шар массой 10 кг, расстояние, измеренное от шара, берется от центра масс шара до центра масс Земли.

    Учитывая, что сферу можно представить как совокупность бесконечно тонких концентрических сферических оболочек (например, слоев луковицы), то можно показать, что следствием теоремы о оболочке является то, что сила, действующая на объект внутри твердой сферы зависит только от массы сферы внутри радиуса, на котором находится объект. Это потому, что оболочки с большим радиусом, чем тот, в котором находится объект, не влияют на силу , а не на объект внутри них (утверждение 2 теоремы).

    При рассмотрении гравитационной силы, действующей на объект в точке внутри или за пределами однородного сферически-симметричного объекта радиуса [латекс] \ text {R} [/ latex], есть две простые и разные ситуации, которые должны быть Рассмотрены: случай полой сферической оболочки и случай твердой сферы с равномерно распределенной массой.

    Случай 1: полая сферическая оболочка

    Гравитационная сила, действующая сферически симметричной оболочкой на точечную массу внутри ее, представляет собой векторную сумму гравитационных сил, действующих на каждую часть оболочки, и эта векторная сумма равна нулю.То есть масса [латекс] \ text {m} [/ latex] в пределах сферически симметричной оболочки массы [латекс] \ text {M} [/ latex] не будет ощущать чистой силы (утверждение 2 теоремы о оболочке ).

    Чистая гравитационная сила, которую сферическая оболочка из массы [латекс] \ text {M} [/ latex] оказывает на тело за пределами , представляет собой векторную сумму гравитационных сил, действующих на каждую часть оболочки на внешний объект, которые складываются в результирующую силу, действующую так, как будто масса [латекс] \ text {M} [/ latex] сосредоточена в точке в центре сферы (утверждение 1 теоремы о оболочке).

    Диаграмма, используемая в доказательстве теоремы о оболочке : На этой диаграмме показана геометрия, рассматриваемая при доказательстве теоремы о оболочке. В частности, в этом случае сферическая оболочка из массы [латекс] \ text {M} [/ latex] (левая часть рисунка) воздействует на массу [латекс] \ text {m} [/ latex] (правая часть рисунок) за его пределами. Цветом показана площадь поверхности тонкого среза сферы. (Примечание: доказательство теоремы здесь не приводится. Заинтересованные читатели могут продолжить изучение, используя источники, перечисленные в конце этой статьи.)

    Случай 2: твердая однородная сфера

    Вторая ситуация, которую мы рассмотрим, касается твердой однородной сферы массы [латекс] \ text {M} [/ latex] и радиуса [латекс] \ text {R} [/ latex], оказывающей силу на тело масса [латекс] \ text {m} [/ latex] с радиусом [латекс] \ text {d} [/ latex] внутри (то есть [латекс] \ text {d} <\ text {R }[/латекс]). Мы можем использовать результаты и следствия теоремы оболочек для анализа этого случая. Вкладом всех оболочек сферы с радиусом (или расстоянием) больше, чем [latex] \ text {d} [/ latex] от центра масс сферы, можно пренебречь (см. Выше следствие теоремы о оболочке).3 \ rho [/ латекс]

    ([латекс] \ rho [/ latex] – это массовая плотность сферы, и мы предполагаем, что она не зависит от радиуса. То есть масса сферы распределена равномерно.)

    Следовательно, объединяя два приведенных выше уравнения, получаем:

    [латекс] \ text {F} = \ frac {4} {3} \ pi \ text {Gm} \ rho \ text {d} [/ latex]

    , который показывает, что масса [латекс] \ text {m} [/ latex] испытывает силу, которая линейно пропорциональна его расстоянию, [latex] \ text {d} [/ latex], от центра масс сферы.

    Как и в случае полых сферических оболочек, чистая гравитационная сила, которую твердая сфера с равномерно распределенной массой [latex] \ text {M} [/ latex] оказывает на тело за пределами , является векторной суммой гравитационные силы, действующие каждой оболочкой сферы на внешний объект. Результирующая чистая гравитационная сила действует так, как будто масса [латекс] \ text {M} [/ latex] сосредоточена в точке в центре сферы, которая является центром масс, или COM (утверждение 1 теоремы о оболочке).В более общем смысле, этот результат верен, даже если масса [латекс] \ text {M} [/ latex] равна , а не равномерно, но его плотность изменяется радиально (как в случае с планетами).

    Вес Земли

    Когда тела имеют пространственную протяженность, гравитационная сила вычисляется путем суммирования вкладов точечных масс, которые их составляют.

    Цели обучения

    Опишите, как рассчитывается гравитационная сила для тел с пространственной протяженностью

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая точечная масса во Вселенной притягивает все остальные точечные массы с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.2 [/ latex], масса Земли рассчитывается как [латекс] 5,96 \ cdot 1024 [/ latex] кг, что позволяет рассчитать вес Земли при любом гравитационном поле.
    • Гравитация Земли может быть максимальной на границе ядро ​​/ мантия
    Ключевые термины
    • точка массы : Теоретическая точка с присвоенной ей массой.
    • вес : Сила, действующая на объект из-за гравитационного притяжения между ним и Землей (или каким-либо другим астрономическим объектом, который на него в первую очередь влияет).
    • гравитационная сила : очень дальнодействующая, но относительно слабая фундаментальная сила притяжения, которая действует между всеми частицами, имеющими массу; считается, что они связаны с гравитонами.

    Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая точечная масса во Вселенной притягивает все остальные точечные массы с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

    На современном языке закон гласит следующее: Каждая точечная масса притягивает каждую другую точечную массу силой, направленной вдоль линии, пересекающей обе точки .{2}} [/ латекс]

    где [latex] \ text {F} [/ latex] – сила между массами, [latex] \ text {G} [/ latex] – гравитационная постоянная, [latex] \ text {m} _1 [/ latex ] – первая масса, [latex] \ text {m} _2 [/ latex] – вторая масса, а [latex] \ text {r} [/ latex] – расстояние между центрами масс.

    Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (а не являются теоретическими точечными массами), то гравитационная сила между ними вычисляется путем суммирования вкладов условных точечных масс, которые составляют тела.В пределе, когда составляющие точечные массы становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по протяженности двух тел.

    Таким образом можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре.

    Для точек внутри сферически-симметричного распределения материи можно использовать теорему Ньютона Shell для определения силы тяжести.Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на гравитационную силу, измеренную в точке, расположенной на расстоянии [latex] \ text {r} _0 [/ latex] от центра распределения масс:

    1. Часть массы, расположенная по радиусам [латекс] \ text {r} <\ text {r} _0 [/ latex], вызывает ту же силу в [латексе] \ text {r} _0 [/ latex], что и если вся масса, заключенная в сфере радиуса [латекс] \ text {r} _0 [/ latex], была сосредоточена в центре распределения масс (как указано выше).
    2. Часть массы, расположенная по радиусам [латекс] \ text {r}> \ text {r} _0 [/ latex], не оказывает чистой гравитационной силы на расстоянии [latex] \ text {r} _0 [/ latex ] от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на элементы сферы снаружи, на точку [latex] \ text {r} _0 [/ latex], нейтрализуют друг друга.

    Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нет чистого гравитационного ускорения где-либо в пределах полой сферы.Более того, внутри однородной сферы сила тяжести увеличивается линейно с расстоянием от центра; увеличение за счет дополнительной массы в 1,5 раза меньше уменьшения из-за большего расстояния от центра. Таким образом, если сферически-симметричное тело имеет однородное ядро ​​и однородную мантию с плотностью, меньшей, чем [latex] \ frac {2} {3} [/ latex], чем у ядра, то сила тяжести сначала уменьшается снаружи за пределы граница, и если сфера достаточно велика, дальше наружу сила тяжести снова увеличивается и в конечном итоге превышает силу тяжести на границе ядро ​​/ мантия.

    Гравитация Земли может быть максимальной на границе ядро ​​/ мантия, как показано на Рисунке 1:

    Гравитационное поле Земли : Диаграмма напряженности гравитационного поля внутри Земли.

    Гравитация

    Падающее яблоко

    Гравитация повсюду вокруг нас. Он может, например, заставить яблоко упасть на землю:

    Гравитация постоянно действует на яблоко, поэтому оно движется все быстрее и быстрее … другими словами, оно ускоряется.

    Игнорируя сопротивление воздуха, его скорость увеличивается на 9,8 метра в секунду каждую секунду . То есть два лота «в секунду» и пишется:

    9,8 м / с 2

    9,8 м / с 2 – ускорение под действием силы тяжести у поверхности Земли. Почти все в нашей жизни происходит вблизи поверхности Земли, поэтому это значение часто используется и записывается как маленький г :

    г = 9.8 м / с 2

    Среднее значение г составляет 9,80665 м / с 2 , но значения различаются по всему миру, например, в Калькутте 9,78548, Лондоне 9,81599 и Токио 9,79805.

    Таким образом, большинство людей просто используют 9,8 м / с 2

    Чтобы удержать яблоко против силы тяжести, нужна сила.

    Сила – это масса, умноженная на ускорение ( F = m a ), и в этом случае ускорение составляет g :

    F = m г

    Пример: сколько силы удерживать яблоко массой 0.1 кг?

    F = m г

    F = 0,1 кг × 9,8 м / с 2

    F = 0,98 кг м / с 2

    Сила измеряется в Ньютонах ( Н ), что совпадает с кг м / с 2

    F = 0,98 N

    Итак, для удержания яблока требуется сила около 1 Ньютон .

    Мы также говорим, что вес яблока равен 0.98 Н.

    Чтобы преобразовать массу в кг в силу в Ньютонах, умножьте на 9,8 м / с 2

    Другой пример:

    Пример: стальная балка весом 100 кг равномерно установлена ​​на двух опорах. Сколько силы приходится на каждую опору?

    На балку действует сила тяжести, направленная вниз:

    F = m г

    F = 100 кг × 9,8 м / с 2 = 980 N

    Поскольку каждая опора равномерно расположена на опоре, она выдерживает половину веса (980/2 = 490):

    Но что такое гравитация?

    Теперь вы знаете, как справиться с гравитацией здесь, на Земле (просто умножьте массу на 9.8 м / с 2 , чтобы получить силу), но что такое гравитация на самом деле?

    Что ж, масса и энергия делают пространство искривленным (или искаженным), поэтому для объектов естественно следовать по пути друг к другу.


    Здесь объект естественным образом следует за пространством-временем в направлении Земля

    Это приводит к тому, что объекты притягиваются друг к другу , что мы называем Гравитацией .

    Гравитация : притяжение объектов с массой или энергией друг к другу.

    Это притяжение проявляется в виде силы:

    На
      на
    • меньше для удаленных объектов
    • На
    • больше для объектов большей массы (например, Солнца)

    Представьте себе всего два шара:

    Каждый шар состоит из множества кусочков массы и энергии, которые притягиваются друг к другу:


    (На самом деле нужно лотов на частиц больше!)

    Но мы обычно упрощаем это, представляя, что масса и энергия каждого шара находятся в его центре, называемом Центром тяжести.

    (Но помните, что мы просто представляем, что вся масса находится в центре, чтобы упростить вычисления.)

    Ньютон разработал формулу силы притяжения:

    • F – сила (в Ньютонах), равная, но противоположная в направлении для обоих объектов
    • G – гравитационная постоянная, приблизительно 6,674 × 10 -11 Н · м 2 / кг 2
    • m 1 и m 2 – две массы (в кг)
    • d – расстояние между центрами каждой массы (в метрах)

    Пример: две машины массой 800 кг и 1500 кг находятся на расстоянии 3 м друг от друга

    Гравитационное притяжение между двумя автомобилями составляет:

    F = G м 1 м 2 д 2

    F = 6.674 × 10 -11 Н м 2 / кг 2 × 800 кг × 1500 кг (3 м) 2

    F ≈ 0,000009 N

    Они очень слабо (всего 9 миллионных долей Ньютона) притягиваются друг к другу!

    Пример: Яблоко и Земля

    Яблоко массой 0,1 кг

    Земля имеет массу 5,972 × 10 24 кг

    От центра яблока до центра Земли составляет 6371 км (6.371 × 10 6 м)

    F = G м 1 м 2 д 2

    F = 6,674 × 10 -11 Н м 2 / кг 2 × 0,1 кг × 5,972 × 10 24 кг (6,371 × 10 6 м) 2

    F = 0,98 N

    (Это то же значение, что и в предыдущем расчете, так что это кажется вполне правильным!)

    Идет обоими путями

    Яблоко тянет и Землю!

    Но Земля настолько невероятно массивна, что почти не влияет на нее.

    Рассчитаем ускорение для яблока и для Земли:

    Пример (продолжение): Зная, что сила равна 0,98 Н, каково ускорение яблока

    и Земли?

    Для яблока :

    F = m a
    Мы знаем, что F составляет 0,98 Н, а m равно 0,1 кг 0.98 Н = 0,1 кг a
    Разделите обе стороны на 0,1 кг 0,98 Н / 0,1 кг = a
    Поменять местами a = 0,98 Н / 0,1 кг
    Ответ: a = 9,8 м / с 2

    Это ускорение свободного падения g, которое мы все испытываем каждый день.

    А для Земли :

    F = m a
    F составляет 0,98 Н, а m составляет 5,972 × 10 24 кг 0,98 Н = 5,972 × 10 24 кг a
    Разделите обе стороны на 5,972 × 10 24 кг 0,98 Н / 5,972 × 10 24 кг = a
    Поменять местами a = 0.98 Н / 5.972 × 10 24 кг
    Ответ: a = 1,64 × 10 -25 м / с 2

    Это очень маленькое ускорение , неудивительно, что мы не замечаем, как Земля движется из-за яблока.

    Но гораздо более крупный объект, такой как Луна (с массой 7.342 × 10 22 кг ), действительно оказывает заметное влияние на Землю.

    Луна вращается вокруг Земли на расстоянии около 384000 км каждые 27,3 дня

    И Земля также имеет “орбиту” (больше похожую на колебание) с Луной около 5000 км (что на самом деле меньше радиуса Земли), также каждые 27,3 дня.

    Ваша очередь: попробуйте вычислить силу притяжения между Землей и Луной.

    Играйте

    Поиграйте с гравитацией в Gravity Freeplay.

    Резюме

    • Пространство кривой массы и энергии, которое естественным образом заставляет объекты двигаться навстречу друг другу
    • этот аттракцион мы называем гравитацией
    • Это постоянное притяжение заставляет объекты ускоряться навстречу друг другу
    • ускорение имеет соответствующую силу ( F = m a )
    • у поверхности Земли ускорение свободного падения составляет 9.8 м / с 2
    • , так что массой 1 кг испытывает гравитационное притяжение 9,8 Ньютона силы

    Сила тяжести Земли, обозначаемая буквой g, относится к ускорению, которое Земля передает объектам на ее поверхности или вблизи нее. В единицах СИ это ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (в символах, м / с2) или, что эквивалентно, в ньютонах на килограмм (Н / кг).Его приблизительное значение составляет 9,81 м / с2, что означает, что, игнорируя эффекты сопротивления воздуха, скорость объекта, свободно падающего у поверхности Земли, будет увеличиваться примерно на 9,81 метра (32,2 фута) в секунду каждую секунду. Эту величину иногда неофициально называют малым g (напротив, гравитационная постоянная G обозначается как большая G).

    Существует прямая связь между ускорением свободного падения и направленной вниз силой (весом), испытываемой объектами на Земле, которая определяется уравнением F = ma (сила = массовое ускорение).Однако другие факторы, такие как вращение Земли, также способствуют чистому ускорению.

    Точная сила гравитации Земли варьируется в зависимости от местоположения. Номинальное «среднее» значение на поверхности Земли, известное как стандартная сила тяжести, по определению составляет 9,80665 м / с2 (около 32,1740 фут / с2). Эта величина обозначается по-разному как gn, ge (хотя иногда это означает нормальное экваториальное значение на Земле, 9,78033 м / с2), g0, gee или просто g (которое также используется для локального значения переменной).

    Изменение силы тяжести и кажущейся силы тяжести

    Совершенная сфера с однородной плотностью или плотность которой изменяется только в зависимости от расстояния от центра (сферическая симметрия), создала бы гравитационное поле постоянной величины во всех точках на своей поверхности, всегда направленное прямо к центру сферы. Земля не является идеальной сферой, но она немного более плоская на полюсах и выпуклая на экваторе: сплюснутый сфероид. Следовательно, есть небольшие отклонения как в величине, так и в направлении силы тяжести на его поверхности.Чистая сила (или соответствующее чистое ускорение), измеренная с помощью весов и отвеса, называется «эффективной силой тяжести» или «кажущейся силой тяжести». Эффективная сила тяжести включает в себя другие факторы, влияющие на чистую силу. Эти факторы различаются и включают такие факторы, как центробежная сила на поверхности от вращения Земли и гравитационное притяжение Луны и Солнца.

    Из Википедии, свободной энциклопедии

    Уравнение веса

    Масса – сила генерируется гравитационным притяжением одного объекта к другому объекту.Уравнение, описывающее вес объекта, является таким же уравнением изучаем ли мы самолеты, ракеты или же горные породы. Вес принципиально отличается от аэродинамических сил, подъемник и перетаскивание , а сила тяги. Аэродинамические силы и тяга механических сил и объект должен быть в физическом контакте с газом, который создает силу. В гравитационная сила – , полевая сила ; источник силы делает не обязательно физически контактировать с объектом.

    Природа гравитационной силы была изучена ученых в течение многих лет и до сих пор исследуется физики-теоретики. Для объекта размером с ракету, летящую около Земли, описания, данные триста лет назад сэром Исаак Ньютон неплохо работал. Ньютон опубликовал свою теорию гравитации с его законами движения в 1686. Гравитационная сила F между двумя частицами равна универсальная постоянная G , умноженная на произведение массы частиц, м1 и m2 , деленное на квадрат расстояния d между частицами.2

    Если на одну частицу действует много частиц, вы должны сложить вклад всех отдельных частиц. Для объекты рядом с Земля, сумма масс всех частиц равна просто масса Земли и расстояние затем измеряется от центр Земли. На поверхности Земли расстояние около 4000 миль. Ученые объединили универсальные гравитационная постоянная, масса Земли и квадрат радиус Земли для формирования ускорения свободного падения, гэ .2

    Вес Вт , или гравитационная сила, тогда просто масса объекта, умноженная на гравитационное ускорение.

    W = м * г

    Гравитационная постоянная г зависит от массы планеты и по радиусу планеты. Значит, у объекта другое значение силы веса на Земля, Луна и Марс, потому что каждая планета имеет разную массу и другой радиус.Масса объекта на этих трех тела, но вес объекта меняется. Грубо говоря, вес вес на Луне составляет 1/6 веса на Земле, а вес на Марсе составляет 1/3 веса Земли. вес на Земле.

    Поскольку гравитационная постоянная ge зависит от квадрата расстояние от центра Земли, вес объекта уменьшается с высотой. Давай сделаем тестовая задача, чтобы увидеть, насколько изменится вес модели ракеты с высотой.Если модель может достичь 35000 футов (около 7 миль) расстояние до центра Земля составляет около 4007 миль. Мы можем вычислить соотношение гравитационная постоянная к значению на поверхности Земля как квадрат (4000/4007), который равен .9965. Если ракета весит 100 фунтов на поверхности Земля, она весит 99,65 фунтов на высоте 35000 футов; он потерял 0,35 фунта, очень маленькая сумма по сравнению со 100 фунтами.

    Давайте сделаем еще одну задачу и вычислим вес космический челнок на низкой околоземной орбите.На земле орбитальный аппарат весит около 250 000 фунтов. На орбите шаттл находится примерно на 200 миль выше поверхность Земли. Как и прежде, отношение гравитационных постоянных равно квадрат (4000/4200), который равен 0,907. На орбите шаттл весит 250 000 * 0,907 = 226 757 фунтов. Примечание: вес не нуль. Шаттл не находится в невесомости на орбите . «Невесомость» – это вызвано скоростью шаттла на орбите. Шаттл тянулось к Земле из-за силы тяжести.Но высокая орбитальная скорость, по касательной к поверхности Земли, вызывает падение к поверхности точно соответствовать кривизне Земли вдали от шаттла. По сути, шаттл постоянно падает по всей Земле.


    Экскурсии с гидом
    • Вес ракеты:

    Деятельность:

    Связанные сайты:
    Rocket Index
    Rocket Home
    Руководство для начинающих Главная

    Weight Equation

    Эта страница предназначена для учащихся колледжей, старших и средних школ.Для младших школьников более простое объяснение информации на этой странице: доступно на Детская страница.

    Вес – это сила генерируется гравитационным притяжением Земли к любому объекту. Вес принципиально отличается от аэродинамических сил, поднимать и тащить. Аэродинамические силы равны , механические силы и объект должен быть в физическом контакте с воздухом, который создает силу.В гравитационная сила – , полевая сила ; источник силы делает не обязательно физически контактировать с объектом.

    Природа гравитационной силы была изучена ученых в течение многих лет и до сих пор исследуется физики-теоретики. Для объекта размером с летающий самолет около Земли, описания, данные триста лет назад сэром Исаак Ньютон неплохо работал. Ньютон опубликовал свою теорию гравитации с его законами движения в 1686.2

    Если на одну частицу действует много частиц, вы должны сложить вклад всех отдельных частиц. Для объектов около Земли, сумма масс всех частиц равна просто масса Земли и расстояние затем измеряется от центр земли. На поверхности земли расстояние составляет около 4000 миль. Ученые объединили универсальные гравитационная постоянная, масса Земли и квадрат радиус Земли для формирования ускорения свободного падения, g .2

    Вес Вт , или гравитационная сила, тогда просто масса объекта, умноженная на гравитационное ускорение.

    W = м * г

    Поскольку гравитационная постоянная (g) зависит от квадрата расстояние от центра Земли, вес объекта уменьшается с высотой.

    Давай сделаем тестовая задача, чтобы увидеть, насколько изменится вес самолета с высотой.Если самолет лететь на высоте 35000 футов (около 7 миль) до центра Земля составляет около 4007 миль. Мы можем вычислить соотношение гравитационная постоянная к значению на поверхности Земля как квадрат (4000/4007), который равен .9983 * .9983 = .9965. Если самолет весит 10000 фунтов на поверхности Земля, она весит 9965 фунтов на высоте 35000 футов; он потерял 35 фунтов, очень маленькая сумма по сравнению с 10000 фунтов.

    Давайте сделаем еще одну задачу и вычислим вес космический челнок на низкой околоземной орбите.На земле орбитальный аппарат весит около 250 000 фунтов. На орбите шаттл находится примерно на 200 миль выше поверхность земли. Как и прежде, отношение гравитационных постоянных равно квадрат (4000/4200), который равен 0,9523 * 0,9523 = 0,907. На орбите шаттл весит 250 000 * 0,907 = 226 757 фунтов. Примечание: вес не нуль. Шаттл не находится в невесомости на орбите . «Невесомость» – это вызвано скоростью шаттла на орбите. Шаттл тянулось к земле из-за силы тяжести.Но высокая орбитальная скорость, по касательной к поверхности земли, вызывает падение к поверхности точно соответствовать кривизне земли вдали от шаттла.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *