Функция как решать: § Как решать задачи на функцию

Содержание

Функции и графики – Математика – Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости – первые две формулы, для трехмерной системы координат – все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента

х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого

х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны.  График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –

х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону – слева направо):

 

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению.

..

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же
    a
    < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p – на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q – на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью

называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота – это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x).  Если функция f(x) является периодической с периодом

T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций – это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют

тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Что такое функция (ЕГЭ – 2022)

Еще один важный момент

Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Функцией называется правило \( \displaystyle f\), по которому каждому элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие 

единственный элемент \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\).

Заметил? Слово «единственный» – это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. \( \displaystyle y=5x+3\). При \( \displaystyle x=0\), мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что \( \displaystyle y=3\).

Одному значению \( \displaystyle x\) соответствует одно значение \( \displaystyle y\). Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

\( \displaystyle x\)\( \displaystyle 0\)\( \displaystyle 1\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle 2\)\( \displaystyle -2\)
\( \displaystyle y\)\( \displaystyle 3\)\( \displaystyle 8\)\( \displaystyle -2\)\( \displaystyle 13\)\( \displaystyle -7\)

А вот и график с нашими отмеченными точками:

Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению \( \displaystyle x\) соответствует одно значение \( \displaystyle y\) (данный факт показан красными линиями). {2}}-4{x}-1\), то есть параболы? Является ли она функцией? Давай составим также табличку значений:

\( \displaystyle x\)\( \displaystyle 0\)\( \displaystyle 1\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle 2\)\( \displaystyle -2\)
\( \displaystyle y\)
\( \displaystyle -1\)
\( \displaystyle -3\)\( \displaystyle 5\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle 15\)

«Смотри! – скажешь ты, – « \( \displaystyle -\mathbf{1}\)» встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

То, что «\( \displaystyle -1\)» встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для \( \displaystyle x=0\), мы получили один игрек. И при расчёте с \( \displaystyle x=2\) мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией.

Посмотри на график:

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» – нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу \( \displaystyle x\) множества \( \displaystyle X\) ставится в соответствие несколько элементов \( \displaystyle y\) множества \( \displaystyle Y\). Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

Разобрался? А вот и ответы:

  • Функцией является – В, Е.
  • Функцией не является – А, Б, Г, Д.

Почему? Да вот почему:

На всех рисунках кроме В) и Е) на один \( \displaystyle x\) приходится несколько \( \displaystyle y\)!

Уверена, теперь ты с легкостью отличишь функцию от “НЕ функции”, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции.

Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , Все они содержат выражения вида xα.

2. Показательные
Это функции вида y = ax

3. Логарифмические
y = logax.

4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2 · ex — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(ax) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

 

Показательная функция y = ax
a > 1
0 < a < 1

 

Логарифмическая функция y = logax
a > 1
0 < a < 1

 

 

 

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4x2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3x = 35 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Решение функций | Онлайн калькулятор

  • Область определения функции
    найти область определения функции онлайн
  • Четность и нечетность функции
    калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции
  • Точки пересечения графика функции с осью
    определения точек пересечения графика функции с осями координат
  • Асимптоты функции
    нахождение асимптот графика функции онлайн
  • Разложить на слагаемые
    методом неопределенных коэффициентов
  • Периодичность функции
    онлайн калькулятор для определения периодичности
  • Точки перегиба графика функции
    и интервалы его выпуклости и вогнутости онлайн
  • Построение графиков
    кусочно-непрерывных функций
  • Найти градиент функции
    u=f(x,y,z)
  • Полное исследование функции
    и построение графика
  • Промежутки знакопостоянства функции
    найти интервалы знакопостоянства
  • Найти нули функции
    они же точки пересечения
  • Найти критические точки
    и интервалы монотонности
  • Оригинал функции по ее изображению
    обратное преобразования Лапласа онлайн
  • Найти изображения функций
    интегральное преобразование Лапласа онлайн
  • Найти сумму ряда
    по формуле общего члена ряда
  • Угол наклона прямой
    вычислить угол наклона
  • Угловой коэффициент прямой
    рассчитать угловой коэффициент
  • Найти экстремумы функции
    онлайн калькулятор
  • Найти максимум функции
    достаточно задать функцию, чтобы получить значения максимума
  • Найти минимум функции
    одно из необходимых условий наличия минимума
  • Точки разрыва функции
    функция в этих точках не является непрерывной
  • Построить график функции
    провести исследование графика функции
  • Решение пределов функции
    решать пределы любых функций онлайн
  • Уравнение касательной к графику функции
    составить и решить уравнение касательно
  • Тригонометрические функции
    найти как косинусы и синусы угла, так и решить выражения
  • Значения тригонометрических функций
    функции относятся к простейшим
  • Формула прямой, функции
    график функции
  • Разложение функции в ряд Тейлора
    раскладывается в степенной ряд по степеням
  • Разложение функции в ряд Маклорена
    любое число раз и в некоторой окрестности
  • Разложение функции в ряд Фурье
    абсолютно любую четную функцию можно разложить в ряды Фурье
  • Формула общего члена последовательности
    нахождение формулы
  • Прямая перпендикулярная прямой
    найти прямую перпендикулярной прямой
  • Построить график
    в полярных координатах на плоскости
  • Прямая перпендикулярная прямой
    найти прямую перпендикулярной прямой
  • Построить график
    в полярных координатах на плоскости
  • Вычислить площадь фигуры
    в полярных координатах
  • Интерполяция полиномами
    построить полином по точкам
  • Вычисление значений функции
    переменной
  • Найти наибольшее значение функции
    на отрезке в заданном интервале
  • Найти наименьшее значение функции
    на отрезке в заданном интервале
  • Точки экстремума
    найти точки экстремума функции
  • Множество значений функции
    найти область значений фукции
  • Интервалы монотонности функции
    найти нули производной
  • Найти наибольшее и наименьшее
    значение функции на отрезке
  • Стационарные точки функции
    производная функции равна 0 или не существует
  • Найти угловые точки
    графика функции

    Как построить график функции

    В этой статье разобран самый простой метод получения графика функции.

    Суть метода: найти несколько точек принадлежащих графику, расставить их на координатной плоскости и соединить. Этот способ не лучший (лучший – построение графиков с помощью элементарных преобразований), но если вы все забыли или ничего не учили, то знайте, что у вас всегда есть план Б – возможность построить график по точкам.

    Итак, алгоритм по шагам:

    1. Представьте, как выглядит ваш график.

    Строить гораздо легче, если вы понимаете, что примерно должны получить в итоге. Поэтому сначала посмотрите на функцию и представьте, как примерно должен выглядеть ее график. Все виды графиков элементарных функций вы можете найти здесь. Этот пункт желательный, но не обязательный.

    Пример: Построить график функции \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)

    Данная функция – гипербола с ветвями расположенными во второй и четвертой четверти. Её график выглядит как-то так:


    2. Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:

    Теперь подставим разные значения «иксов» в функцию, и для каждого икса посчитаем значение «игрека».

    Пример: \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)

    при \(x=-1\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{-1}\)\(=2\)

    при \(x=0\)

    \(y\) – не существует (делить на ноль нельзя)

    при \(x=1\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{1}\)\(=-2\)

    при \(x=2\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{2}\)\(=-1\)

    при \(x=3\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{3}\)

    при \(x=4\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{4}\)\(=-\)\(\frac{1}{2}\)

    Результат вычислений удобно представлять в виде таблицы, примерно такой:


    \(x\)

    \(-1\)

    \(0\)

    \(1\)

    \(2\)

    \(3\)

    \(4\)

    \(y\)

    \(2\)

    \(-\)

    \(-2\)

    \(-1\)

    \(-\)\(\frac{2}{3}\)

    \(-\)\(\frac{1}{2}\)

    Как вы могли догадаться, полученные пары «икс» и «игрек» – это точки, лежащие на нашем графике.

    4. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.

    Пример:


    5. Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.

    Пример:  Чтобы построить график мне не хватает нескольких точек из отрицательной части, а также рядом с осью игрек, поэтому я добавлю столбцы с   \(x=-2\), \(x=-4\), \(x=\)\(\frac{1}{2}\) и \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)

    при \(x=-2\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{-2}\)\(=1\)

    при \(x=-4\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{-4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)

    при \(x=\)\(\frac{1}{2}\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{\frac{1}{2}}\)\(=-2:\)\(\frac{1}{2}\)\(=-2 \cdot 2=-4\)

    при \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)

    \(y=-\)\(\frac{2}{-\frac{1}{2}}\)\(=-2:(-\)\(\frac{1}{2}\)\()\)\(=-2 \cdot (-2)=4\)


    \(x\)

    \(-1\)

    \(0\)

    \(1\)

    \(2\)

    \(3\)

    \(4\)

    \(-2\)

    \(-4\)

    \(\frac{1}{2}\)

    \(-\)\(\frac{1}{2}\)

    \(y\)

    \(2\)

    \(-\)

    \(-2\)

    \(-1\)

    \(-\)\(\frac{2}{3}\)

    \(-\)\(\frac{1}{2}\)

    \(1\)

    \(\frac{1}{2}\)

    \(-4\)

    \(4\)

    6. Постройте график

    Теперь аккуратно и плавно соединяем точки.

    Готово!


    Скачать статью

    Что такое алгебра?! Функция и аргумент в алгебре.

    В данной статье разберемся, что такое алгебра. Узнаем о таких понятиях, как функция и аргумент в алгебре и дадим простые и понятные определения.

    Один из разделов математики это алгебра, которая подразумевает выполнение различных операций с числами, так как сложение, умножение и т.д. Можно сказать, что алгебра это нечто вроде расширения арифметики до более высокого уровня. Понять, что такое алгебра и откуда она взялась, помогут исторические факты. Первые предпосылки алгебры появились в разных уголках мира, людям нужна была алгебра для того, чтобы решить определенные уравнения. Например, в Древней Греции впервые об уравнениях заговорил Диофант, это был 2-3 век нашей эры.

    В Китае примерно 2 тысячи лет до нашей времени уже было умение решать квадратные уравнения и уравнения первой степени. Также некоторые предпосылки алгебры встречались у индийского народа и жителей арабских стран. Согласно историческому прошлому, также отличилось издание «Алгебра» аль-Хваризми, которое стало популярным в 12-ом веке благо переводу на латинском языке. Человечество нуждалось в проведение расчетов, так появилась алгебра. Что такое алгебра для вас и нужна или нет, каждый решает сам. Потребность в алгебре появилась, как необходимость решать однотипные задачи. В школе алгебра всегда была и остается обязательным предметом.

    Когда начинают учить алгебру в школе?

    Разделение математики на несколько областях определило для алгебры решение определенных уравнений, под названием алгебраические уравнения. Что такое алгебра как предмет можно узнать только в 7-ом классе. Именно тогда вместе привычной математики появляется два отдельных предмета: алгебра и геометрия. Изучение начинается с простых понятий, также как и в случае других учебных процессов, все строится от простого материала к сложному.

    7 класс оптимальное время для того, чтобы узнать, что такое алгебра. Вместо обычных операций с числами осуществляется переход на переменные. Так проще понять общие законы арифметики, научиться работать с неизвестными и функциями. Алгебру можно разделить на 5 отдельных категорий:

    – общая алгебра

    – элементарная алгебра

    – линейная алгебра

    – универсальная алгебра

    – алгебраическая комбинаторика.

    Школьная программа подразумевает изучение исключительно элементарной категории. Элементарная алгебра занимается изучением операций с вещественными числами. Перемененные и постоянные обозначены в алгебре символами в виде букв. С их помощью происходит преображение уравнений и математических выражений на основе четких правил.

    Функция в алгебре

    Понимание алгебры как предмет требует знание определенных элементов, так как функция, аргумент и определение. Что такое функция в алгебре и чем она определена? Функция является одним из основных понятий и определяет зависимость между переменными с неодинаковой величиной.

    Что такое функция?:

    Функция в алгебре представляет собой сопоставимость между двумя множествами. Согласно этому каждый элемент множества соответствует по одному единственному элементу другого множества.

    Функция задается различным образом:

    – таблицей

    – графиками

    – согласно словесной формулировке (описание словами)

    – аналитическим образом (используя формулу).

    Школьная алгебра всецело сосредоточена над изучением числовых функций. Функция и аргумент указаны в виде чисел. Пример: y=f(x), где x перемена независимого типа, а y функция наоборот зависимая. У функции есть еще такие параметры как: область определения (D) и область значения (E). Первый параметр представляет собой совокупность значений для переменной «х», в то время как второй обозначает множество значений для «у».

    Аргумент в алгебре

    Что такое аргумент в алгебре? Это не что иное, как перемена х, от которой зависит у, то есть функция. Аргумент функции в алгебре это независимая перемена с помощью которой определяется значение функции.

    Значение аргумента можно определить по значению функции. Для определения аргумента по функции y=f(x), надо заменить y заданным значением. Остается только решить уравнение относительно x для того, чтобы значение стало известным. Существует возможность определения данного параметра и по графику функции.

    Определение алгебры и ее практическая польза

    Определение, что такое алгебра, позволяет понять какая от нее практическая польза. Только понимая область деятельности этой части математики, появляется стремление ее изучать. Благодаря алгебре, можно шагать на более высокий уровень познания математики. Алгебра это та простая ступень, которая позволяет делать прогресс в процессе изучения современной математики. Благодаря ней, появилась возможность взглянуть иначе на множества.

    Постепенно элементарные значения алгебры перешли в более сложные понятия. Так появилась универсальная алгебра, которая стала основой для развития топологии. Алгебра это ступень, которая позволяет ступать дальше, и без нее не быть некоторым явлений прогресса. Знания некоторых людей, может завершиться на элементарных основ дисциплины, но в определенных областях глубокое изучение обязательно.


    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

    Функция $f(x)=|x|$

    $|x|$ – модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

    Математически это можно записать следующим образом:

    Пример 1

    Исследуем и построим её график.

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
    4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
    5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

      Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

    6. Значения на концах области определения.

      \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]

      Рисунок 1.

    Функция $f(x)=[x]$

    Функция $f\left(x\right)=[x]$ – функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

    Пример: $[2,6]=2.$

    Пример 2

    Исследуем и построим её график.

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
    3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
    4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
    5. $f’\left(x\right)=0$
    6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

    Рисунок 2.

    Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

    Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

    $\{2,6\}=0,6$

    Пример 3

    Исследуем и построим график функции

    1. $D\left(f\right)=R$.

    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

    3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

      Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

      Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

    4. $f’\left(x\right)=0$

    5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

      Рисунок 3.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Функция $f(x)=sign(x)$

    Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

    Математически это можно записать следующим образом:

    Пример 4

    Исследуем и построим график функции

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Непосредственно из определения, получим
    3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
    4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

      Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

      Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

    5. $f’\left(x\right)=0$

    6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

      Рисунок 4.

    {2} + 3x – 4 [/ latex], оцените каждое из следующих значений.

    1. [латекс] f \ влево (2 \ вправо) [/ латекс]
    2. [латекс] f (a) [/ латекс]
    3. [латекс] f (a + h) [/ латекс]
    4. [латекс] \ dfrac {f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right)} {h} [/ latex]
    Показать решение

    Замените [latex] x [/ latex] в функции каждым указанным значением. {2} + 2p [/ latex], решите относительно [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex].{2} + 2p – 3 = 0 && \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны}. \\ & \ left (p + 3 \ text {) (} p – 1 \ right) = 0 && \ text {Factor}. \ end {align} [/ latex]

    Если [латекс] \ left (p + 3 \ right) \ left (p – 1 \ right) = 0 [/ latex], либо [latex] \ left (p + 3 \ right) = 0 [/ latex] или [латекс] \ left (p – 1 \ right) = 0 [/ latex] (или оба они равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая [латекс] p [/ латекс].

    [латекс] \ begin {align} & p + 3 = 0, && p = -3 \\ & p – 1 = 0, && p = 1 \ hfill \ end {align} [/ latex]

    Это дает нам два решения.Вывод [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex], когда на входе либо [latex] p = 1 [/ latex], либо [latex] p = -3 [/ latex].

    Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 5. График проверяет, что [latex] h \ left (1 \ right) = h \ left (-3 \ right) = 3 [/ latex] и [latex] h \ left (4 \ справа) = 24 [/ латекс].

    Попробуйте

    Учитывая функцию [латекс] g \ left (m \ right) = \ sqrt {m – 4} [/ latex], решите [latex] g \ left (m \ right) = 2 [/ latex].

    Вычисление функций, выраженных в формулах

    Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения .Если возможно выразить выход функции с помощью формулы , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ латекс] выражает функциональную взаимосвязь между [латексом] n [/ латексом] и [латексом] p [/ латексом]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex] p [/ latex] функцией [latex] n [/ latex].

    Практическое руководство. Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

    1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства с другой стороной как выражение, которое включает только входную переменную.
    2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.

    Пример: поиск уравнения функции

    Выразите отношение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ latex] как функцию [latex] p = f \ left (n \ right) [/ latex], если это возможно.

    Показать решение

    Чтобы выразить взаимосвязь в этой форме, нам нужно иметь возможность записать взаимосвязь, где [latex] p [/ latex] является функцией [latex] n [/ latex], что означает запись его как [latex] p = [/ latex] выражение, включающее [latex] n [/ latex].

    [латекс] \ begin {align} & 2n + 6p = 12 \\ [1mm] & 6p = 12 – 2n && \ text {Subtract} 2n \ text {с обеих сторон}. \\ [1mm] & p = \ frac {12 – 2n} {6} && \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите}. \\ [1 мм] & p = \ frac {12} {6} – \ frac {2n} {6} \\ [1 мм] & p = 2- \ frac {1} {3} n \ end {align} [/ latex ]

    Следовательно, [латекс] p [/ latex] как функция [latex] n [/ latex] записывается как

    [латекс] p = f \ left (n \ right) = 2- \ frac {1} {3} n [/ latex]

    Анализ решения

    Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, также можно выразить как функцию с формулой. {y} [/ latex], если мы хотим выразить [latex] y [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex], не существует простой алгебраической формулы, включающей только [latex] x [/ latex] что равно [латекс] y [/ латекс]. Однако каждый [latex] x [/ latex] действительно определяет уникальное значение для [latex] y [/ latex], и существуют математические процедуры, с помощью которых [latex] y [/ latex] может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [latex] y [/ latex] как функции [latex] x [/ latex], даже если формулу нельзя записать явно.

    Оценка функции, заданной в табличной форме

    Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

    Функция, которая связывает тип домашнего животного с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу ниже.

    Домашнее животное Объем памяти в часах
    Щенок 0,008
    Взрослая собака 0.083
    Кот 16
    Золотая рыбка 2160
    Бета рыба 3600

    Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию [латекс] П [/ латекс].

    Домен функции – это тип домашнего животного, а диапазон – это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память домашнего животного.Мы можем оценить функцию [latex] P [/ latex] при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс] P \ left (\ text {goldfish} \ right) = 2160 [/ latex]. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex] P [/ latex] кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

    Практическое руководство. Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.


    1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
    2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
    3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
    4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

    Пример: оценка и решение табличной функции

    Используя приведенную ниже таблицу,

    1. Вычислить [латекс] g \ left (3 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8
    Показать решение
    • Оценка [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] означает определение выходного значения функции [latex] g [/ latex] для входного значения [latex] n = 3 [/ latex].Выходное значение таблицы, соответствующее [latex] n = 3 [/ latex], равно 7, поэтому [latex] g \ left (3 \ right) = 7 [/ latex].
    • Решение [latex] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex] означает определение входных значений, [latex] n [/ latex], которые дают выходное значение 6. В таблице ниже показаны два решения: [ латекс] n = 2 [/ латекс] и [латекс] n = 4 [/ латекс].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8

    Когда мы вводим 2 в функцию [latex] g [/ latex], мы получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию [latex] g [/ latex], наш результат также равен 6.

    Попробуйте

    Используя таблицу из предыдущего примера, оцените [латекс] g \ left (1 \ right) [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] г \ влево (1 \ вправо) = 8 [/ латекс]

    Поиск значений функций из графика

    Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график. Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

    Пример: чтение значений функций из графика

    Учитывая график ниже,

    1. Вычислить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex].
    Показать решение
    1. Чтобы оценить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex], найдите точку на кривой, где [latex] x = 2 [/ latex], затем прочтите [latex] y [/ latex] – координата этой точки.Точка имеет координаты [latex] \ left (2,1 \ right) [/ latex], поэтому [latex] f \ left (2 \ right) = 1 [/ latex].
    2. Чтобы решить [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex], мы находим выходное значение [latex] 4 [/ latex] по вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии [latex] y = 4 [/ latex], мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением [latex] 4: [/ latex] [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ латекс] и [латекс] \ влево (3,4 \ вправо) [/ латекс]. Эти точки представляют два решения [латекс] f \ left (x \ right) = 4: [/ latex] [latex] x = -1 [/ latex] или [latex] x = 3 [/ latex].Это означает [латекс] f \ left (-1 \ right) = 4 [/ latex] и [latex] f \ left (3 \ right) = 4 [/ latex], или когда ввод [латекс] -1 [ / latex] или [latex] \ text {3,} [/ latex] вывод будет [latex] \ text {4} \ text {.} [/ latex] См. график ниже.

    Попробуйте

    Используя график, решите [латекс] f \ left (x \ right) = 1 [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] x = 0 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

    Попробуйте

    Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков для построения графиков функций, поиска значений функций и оценки функций.2 + x + 4 [/ latex] с использованием обозначения функций.

  • Вычислить функцию при [latex] x = 1 [/ latex]
  • Составьте таблицу значений, которая ссылается на функцию. Включите хотя бы интервал [latex] [- 5,5] [/ latex] для значений [latex] x [/ latex].
  • Решите функцию для [latex] f (0) [/ latex]
  • Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить страницуПодробнее

    Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) – Mathplanet

    Если в следующем уравнении y = x + 7 присвоить значение x, уравнение даст нам значение для y.


    Пример

    $$ y = x + 7 $$

    $$ если \; х = 2 \; затем

    долларов США

    $$ y = 2 + 7 = 9 $$

    Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

    В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x – независимая переменная, а y – зависимая переменная.

    Функция – это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

    Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y. f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.


    Пример

    $$ f (x) = x + 7 $$

    $$ если \; х = 2 \; затем

    долларов США

    $$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

    Функция является линейной, если ее можно определить с помощью

    $$ f (x) = mx + b $$

    f (x) – значение функции.
    м – уклон линии.
    b – значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, в которой линия пересекает ось y в координатной плоскости.
    x – значение координаты x.

    Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

    Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

    Наклон m здесь равен 1, а наше b (точка пересечения с y) – 7.
    Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

    $$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

    $$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

    Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.


    Видеоурок

    Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

    Calculus I – Функции

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 1-1: Функции

    В этом разделе мы хотим убедиться, что вы знакомы с функциями и их обозначениями.Оба они появятся почти в каждом разделе класса Calculus, поэтому вам нужно будет иметь с ними дело.

    Во-первых, что такое функция? Самым простым определением является то, что уравнение будет функцией, если для любого \ (x \) в области определения уравнения (область – это все \ (x \), которые могут быть включены в уравнение), уравнение будет дают ровно одно значение \ (y \), когда мы оцениваем уравнение при конкретном \ (x \).

    Обычно это легче понять на примере.2} = 3 + 1 = 4 \]

    Теперь есть два возможных значения \ (y \), которые мы могли бы использовать здесь. Мы могли бы использовать \ (y = 2 \) или \ (y = – 2 \). Поскольку есть два возможных значения \ (y \), которые мы получаем из одного \ (x \), это уравнение не является функцией.

    Обратите внимание, что это должно быть только для одного значения \ (x \), чтобы уравнение не было функцией. Например, мы могли бы использовать \ (x = – 1 \), и в этом случае мы получили бы одиночный \ (y \) (\ (y = 0 \)). Однако из-за того, что происходит при \ (x = 3 \), это уравнение не будет функцией.2} – 5x + 3 \\ \ end {выровнено} \\ & \ vdots & \ end {array} \]

    Напомним, что это НЕ буква, умноженная на \ (x \), это просто причудливый способ записи \ (y \).

    Итак, чем это полезно? Итак, возьмем приведенную выше функцию и получим значение функции в \ (x = -3 \). Используя обозначение функции, мы представляем значение функции в \ (x = -3 \) как \ (f \ left (-3 \ right) \). 2} + 6t = 0 \]

    Во-первых, мы должны максимально разложить уравнение на множители.2} – 4 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right)}}} {{2 \ left (3 \ right)}} \\ & = \ frac {{6 \ pm \ sqrt {12}} } {6} \\ & = \ frac {{6 \ pm \ sqrt {\ left (4 \ right) \ left (3 \ right)}}} {6} \\ & = \ frac {{6 \ pm 2 \ sqrt 3}} {6} \\ & = \ frac {{3 \ pm \ sqrt 3}} {3} \\ & = 1 \ pm \ frac {1} {3} \ sqrt 3 \\ & = 1 \ pm \ frac {1} {{\ sqrt 3}} \ end {align *} \]

    Чтобы напомнить вам, как упростить радикалы, мы дали несколько форм ответа.

    Чтобы решить проблему, вот полный список всех корней этой функции.

    \ [t = 0, \, \, t = \ frac {{3 + \ sqrt 3}} {3}, \, \, \, t = \ frac {{3 – \ sqrt 3}} {3} \ ]

    Обратите внимание, что мы не использовали окончательную форму для корней из квадратичной. Обычно на этом мы останавливаемся на упрощении для такого рода корней. Также обратите внимание, что для практики мы разделили компактную форму для двух корней квадратичной. Вам нужно будет уметь это сделать, поэтому убедитесь, что у вас есть такая возможность.

    В этом примере было еще несколько моментов, помимо поиска корней функций.

    Первое должно было напомнить вам о квадратной формуле. Это будет не последний раз, когда вам это понадобится на этом занятии.

    Второе было для того, чтобы вы привыкли видеть «беспорядочные» ответы. На самом деле ответы в приведенном выше примере на самом деле не такие уж и беспорядочные. Однако большинство студентов, окончивших уроки алгебры, привыкли видеть в ответах только целые числа и случайную «красивую» дробь.

    Итак, вот справедливое предупреждение. В этом классе я часто намеренно делаю ответы «беспорядочными», чтобы вы избавились от привычки всегда ожидать «хороших» ответов.В «реальной жизни» (что бы это ни было) ответом редко бывает простое целое число, например два. В большинстве задач ответом будет десятичная дробь, полученная из беспорядочной дроби и / или ответа с участием радикалов. 2} + 12x + 5 \)

  • \ (е \ влево (г \ вправо) = \ влево | {г – 6} \ вправо | – 3 \)
  • \ (г \ влево (х \ вправо) = 8 \)
  • Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left (x \ right) = 5x – 3 \) Показать решение

    Мы знаем, что это линия, а не горизонтальная линия (потому что наклон равен 5, а не нулю…).Это означает, что эта функция может принимать любое значение, поэтому диапазон состоит из действительных чисел. Используя «математические» обозначения, это

    \ [{\ rm {Range}}: \, \, \, \ left ({- \ infty, \ infty} \ right) \]

    Это, в более общем смысле, многочлен, и мы знаем, что можем подставить любое значение в многочлен, поэтому домен в этом случае также представляет собой все действительные числа или,

    \ [{\ rm {Домен}}: \, \, \, – \ infty
    b \ (g \ left (t \ right) = \ sqrt {4 – 7t} \) Показать решение

    Это квадратный корень, и мы знаем, что квадратные корни всегда положительны или равны нулю. Тогда мы знаем, что диапазон будет

    \ [{\ rm {Range}}: \, \, \, \ left [{0, \ infty} \ right) \]

    Для домена нам нужно немного поработать, но не так много. Нам нужно убедиться, что мы не извлекаем квадратные корни из отрицательных чисел, поэтому нам нужно это потребовать,

    \ [\ begin {align *} 4 – 7t & \ ge 0 \\ 4 & \ ge 7t \\ \ frac {4} {7} & \ ge t \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} t \ le \ frac {4} {7} \ end {align *} \]

    Домен

    \ [{\ rm {Домен}}: \, \, \, t \ le \ frac {4} {7} \ hspace {0.2} + 12 \ left (3 \ right) + 5 = 23 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({3,23} \ right) \]

    Итак, как обсуждалось, мы знаем, что это будет наивысшая точка на графике или наибольшее значение функции, а парабола будет принимать все значения, меньшие этого, поэтому диапазон составляет

    \ [{\ rm {Range}}: \, \, \, \ left ({- \ infty, 23} \ right] \]
    d \ (f \ left (z \ right) = \ left | {z – 6} \ right | – 3 \) Показать решение

    Эта функция содержит абсолютное значение, и мы знаем, что абсолютное значение будет либо положительным, либо нулевым. В этом случае абсолютное значение будет равно нулю, если \ (z = 6 \), и поэтому часть абсолютного значения этой функции всегда будет больше или равна нулю. Мы вычитаем 3 из части абсолютного значения, и тогда мы знаем, что диапазон будет

    \ [{\ rm {Range}}: \, \, \, \ left [{- 3, \ infty} \ right) \]

    Мы можем подставить любое значение в абсолютное значение, и поэтому доменом снова будут все действительные числа или,

    \ [{\ rm {Домен}}: \, \, \, – \ infty
    e \ (g \ left (x \ right) = 8 \) Показать решение

    Эта функция поначалу может показаться немного сложной, но на самом деле она самая простая в этом наборе примеров.Это постоянная функция, поэтому любое значение \ (x \), которое мы вставляем в функцию, даст значение 8. Это означает, что диапазон представляет собой одно значение или

    \ [{\ rm {Range}}: \, \, \, 8 \]

    В домене все реальные числа,

    \ [{\ rm {Домен}}: \, \, \, – \ infty

    В общем, определение диапазона функции может быть несколько затруднительным. 2} – 2x – 15 = \ left ({x – 5} \ right) \ left ({x + 3} \ right) = 0 \ hspace {0.2} – t – 6 = \ left ({t – 3} \ right) \ left ({t + 2} \ right) = 0 \]

    Итак, функция будет равна нулю при \ (t = – 2 \) и \ (t = 3 \). Напомним, что эти точки будут единственным местом, где функция может менять знак . Менять знак в этих точках не требуется, но это будут единственные точки, где функция может изменить знак. Это означает, что все, что нам нужно сделать, это разбить числовую линию на три области, избегая этих двух точек, и проверить знак функции в одной точке в каждой из областей.Если функция положительна в одной точке области, она будет положительной во всех точках этой области, потому что не содержит ни одной из точек, где функция может менять знак. У нас будет аналогичная ситуация, если функция будет отрицательной для контрольной точки.

    Итак, вот числовая строка, показывающая эти вычисления.

    Из этого мы можем видеть, что единственная область, в которой квадратичная (в ее модифицированной форме) будет отрицательной, находится в средней области. 2} – 9> 0 \]

    Обратите внимание, что здесь нам нужно, чтобы неравенство было строго больше нуля, чтобы избежать проблем с делением на ноль. Мы можем либо решить эту проблему методом из предыдущего примера, либо, в этом случае, ее достаточно легко решить путем проверки. Домен в данном случае –

    \ [{\ rm {Domain}}: \, \, \, x 3 \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {или}} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- \ infty, – 3} \ right ) \, \, \ & \, \, \ left ({3, \ infty} \ right) \]

    Следующая тема, которую нам нужно обсудить, – это композиция функций .2} – x + 10 \) и \ (g \ left (x \ right) = 1 – 20x \) найдите каждое из следующих значений.

    1. \ (\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (5 \ right) \)
    2. \ (\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \)
    3. \ (\ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) \)
    4. \ (\ left ({g \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \)
    Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (5 \ right) \) Показать решение

    В этом случае у нас есть число вместо \ (x \), но оно работает точно так же. 2} + 20x – 199 \ end {align *} \]

    И еще раз подчеркну главное. Этот ответ отличается от предыдущей части. Порядок важен в композиции.


    d \ (\ left ({g \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \) Показать решение

    В этом случае не радуйтесь тому факту, что это та же функция. Композиция по-прежнему работает.

    \ [\ begin {align *} \ left ({g \ circ g} \ right) \ left (x \ right) & = g \ left ({g \ left (x \ right)} \ right ») \\ & = g \ left ({1 – 20x} \ right) \\ & = 1 – 20 \ left ({1 – 20x} \ right) \\ & = 400x – 19 \ end {align *} \]

    Давайте рассмотрим еще один пример, который приведет нас к следующему разделу.

    Пример 7 Для \ (f \ left (x \ right) = 3x – 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ ) найдите каждое из следующих.
    1. \ (\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \)
    2. \ (\ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) \)
    Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) \) Показать решение

    \ [\ begin {align *} \ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) & = f \ left ({g \ left (x \ right)} \ right ») \\ & = f \ left ({\ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3}} \ right) \\ & = 3 \ left ({\ frac {1} {3} x + \ frac {2 } {3}} \ right) – 2 \\ & = x + 2 – 2 \\ & = x \ end {align *} \]


    b \ (\ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) \) Показать решение

    \ [\ begin {align *} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) & = g \ left ({f \ left (x \ right)} \ right ») \\ & = g \ left ({3x – 2} \ right) \\ & = \ frac {1} {3} \ left ({3x – 2} \ right) + \ frac {2} {3} \\ & = x – \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} \\ & = x \ end {align *} \]

    В данном случае две композиции были одинаковыми, и на самом деле ответ был очень простым.

    \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

    Обычно этого не происходит. Однако, когда обе композиции являются \ (x \), между двумя функциями существует очень хорошая связь. Мы рассмотрим эти отношения в следующем разделе.

    Что такое линейная функция? Как решить линейную функцию? | Mathhelp

    Что такое линейная функция? Как решить линейную функцию?

    Если вы ранее научились решать линейные уравнения, вы готовы перейти к решению линейных функций .Они очень похожи, и процесс также состоит из простых шагов, поэтому, если вы решаете линейных уравнений во сне, функции будут проще простого!

    Шаг 1. Определите, что вы действительно смотрите на линейную функцию.

    Если вы еще не знали, линейная функция всегда будет начинаться с f (x) =, за которым следует остальная часть уравнения. Это достаточно легко запомнить, поскольку f обозначает функцию . Линейная функция часто точно следует формуле пересечения наклона, которую вы изучили ранее в алгебре, а именно y = mx + b.

    Шаг 2: Замените значения переменными в соответствии с инструкциями.

    Когда вы впервые познакомитесь с линейными функциями , вам, скорее всего, дадут значение, которое будет заменять вашу переменную. Другие функции попросят вас найти уравнение линии, а затем решить соответствующую функцию. В любом случае замените значения, которые вам даны для решения, для вашей переменной.

    Шаг 3: Найдите переменную и проверьте свою работу.

    Решите функцию точно так же, как : линейное уравнение ; изолируйте свою переменную, сделайте все, что вы сделали с одной стороной уравнения по отношению к другой, и упростите свои термины до их наименьших значений.Вы можете проверить свою работу, решив функцию с тем значением, которое вы получили. Как и в случае с линейным уравнением , ваша функция должна выглядеть именно так, как вы ее нашли, если вы решили ее правильно.

    Если этот процесс не так прост, как вы думали, сделайте шаг назад и освежите свою память с помощью некоторых домашних заданий по уравнениям. Совершенно нормально, если тебе нужно больше практики. После того как вы освоите линейные уравнения, решение линейных функций станет самым простым делом, которое вы когда-либо делали!

    Функции

    Как решить математическую задачу

    Решение математической задачи состоит из трех шагов.

    1. Выясните, в чем проблема.
    2. Решите проблему.
    3. Проверьте ответ.

    Эти шаги позволяют нам решать проблемы, которых мы раньше не видели, и это хорошо, иначе у нас могут возникнуть проблемы на экзаменах.

    Пример задачи

    Изобразите соотношение, описываемое неравенством y ≤ 4-2 x .

    Это похоже на построение графика линейного неравенства, за исключением того, что неравенство не является линейным.Здесь мы должны спросить: «А чье же это нелинейное неравенство?»

    Итак, что нам делать? Давайте пройдемся по нашим этапам решения проблем.

    1. Выясните, в чем проблема.

    Ну, проблема говорит о том, чтобы что-то построить. Вероятно, нам понадобится построить график

    y = 4-2 x

    , поэтому нам нужно сначала выяснить, как это выглядит. Затем, поскольку нас просят изобразить неравенство, нам нужно выяснить, какую часть графика нужно закрасить.Мы могли бы использовать для этого наш уголь, просто чтобы быть экстрахудожественным.

    2. Решите проблему.

    Сначала давайте изобразим y = 4-2 x .

    Это экспоненциальная функция. Мы могли бы переписать уравнение как

    y = (-1) 2 x + 4

    , что немного больше похоже на экспоненциальные функции, с которыми мы работали ранее. Близость иногда порождает презрение, но в данном случае приносит счастье, так как это облегчает решение.Давайте сначала займемся легким делом. Перехват y :

    y = (-1) 2 0 + 4 = 3

    Так как постоянный член равен 4, асимптота равна y = 4.

    Теперь начинается самое интересное. часть, как будто вы еще не катались по полу с неконтролируемым брюшным смехом. Поскольку показатель степени равен – x вместо x , экспоненциальная кривая будет перевернута вверх дном. Поскольку экспоненциальный член умножается на отрицательное число, кривая также будет повернута слева направо.Сложив все вместе, график выглядит так:

    Теперь у нас есть график y = 4 – 2 x , что очень хорошо, но не то, о чем просила задача. Предполагается, что мы будем рисовать неравенство, а это значит, что нам нужно немного затенять. Мы знаем, что в душе ты бунтарь, но на этом нет никаких расцветок за пределами черты. Чтобы определить, где нам нужно затенять, давайте подумаем об этом как о линейном неравенстве. Точки, которые нам нужны, – это точки на этой кривой или те точки, где y на меньше , чем было бы на кривой.Это означает, что мы хотим заштриховать нижнюю часть графика:

    3. Отметьте ответ.

    Чтобы проверить наш ответ, давайте возьмем одну точку в заштрихованной области и убедимся, что она должна быть включена в отношение, затем возьмем одну точку , а не в заштрихованной области, и убедимся, что она не должна быть включена в отношение. . Тогда давайте обязательно будем держать этих двоих отдельно друг от друга, так как они неизбежно начнут драться каждый раз, когда окажутся на расстоянии пяти футов друг от друга.

    Во-первых, точка (3, 0) в данный момент находится в затененной части графика. Должен ли этот момент быть в отношениях? Когда x = 3, правая часть неравенства составляет

    .

    Значение y = 0 определенно меньше или равно, поэтому да, эту точку действительно следует включить.

    Точка (-4, 0) не находится в затененной части графика. Когда x = -4, правая часть неравенства составляет

    4 – 2 {- (- 4)} = 4 – 16 = -12.

    Значение y = 0 определенно не меньше -12, поэтому точка (-4, 0) не имеет отношения. Хотя мы не можем проверить бесконечно много точек, проверка того, что эти двое вышли на правильные стороны неравенства, обнадеживает. Однако, если вы перфекционист и твердо настроены проверять бесконечно много точек, удачи. Мы проверим еще раз осенью и посмотрим, как у вас дела.

    Функции – Алгебра – Математика A-Level Revision

    В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

    Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

    x → Функция → y

    Буква, такая как f, g или h , часто используется для обозначения функции. Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 . Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

    Пример

    f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или, альтернативно, f : x → x 2 + 5 .

    Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

    • y можно записать через x (например, y = 3x).
    • Если f (x) = 3x, а y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x “s на 4. “с.

    Пример

    Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

    f (5) = 3 (5) + 4 = 19
    f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

    Домен и диапазон

    Область функции – это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x). Диапазон функции – это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x).Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон – это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.

    Один к одному

    Мы говорим, что функция взаимно однозначная , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x). f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2).На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

    Составные функции

    fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

    Пример

    Если f (x) = x 2 и g (x) = x – 1, то
    gf (x) = g (x 2 ) = x 2 – 1
    fg (x) = f (x – 1) = (х – 1) 2

    Как видите, fg не обязательно равно gf

    Обратная функция

    Обратной функцией является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
    Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x “s и y” s и сделайте y объектом формулы.

    Пример

    Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
    Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
    поменять местами x “s и y” s:
    x = 2y + 1
    Сделайте y темой формулы:
    2y = x – 1, поэтому y = ½ (x – 1)
    Следовательно, f -1 (x) = ½ (x – 1)

    f -1 (x) – стандартное обозначение, обратное f (x).Обратное считается существующим тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

    Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f в линии y = x.

    Это видео объясняет больше об обратной функции

    Графики

    Функции можно изобразить в виде графиков. Функция является непрерывной , если ее график не имеет разрывов. Пример прерывистого графа – y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

    Функция является периодической , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.

    Функция – это , даже , если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
    Функция является нечетной , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

    Функция модуля

    Модуль числа – это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

    Преобразование графиков

    Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c – константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
    Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
    Если y = f (x), график y = f (x – c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
    Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что “растяжение” фактически приводит к сжатию графика, если a – число больше 1]

    Пример

    График y = | x – 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

    Функция модуля упругости

    | Исчисление | Графики | Примеры | Решения

    Функция модуля дает величину числа независимо от его знака. Ее также называют функцией абсолютного значения.

    В этом мини-уроке мы узнаем об определении модульной функции, вычислении модуля для чисел, переменных и многочленов, а также о решенных примерах и вопросах о модульной функции.

    Попробуйте калькулятор функции mod, чтобы найти модуль числа!

    План урока


    Что такое функция модуля?

    Модуль функции, который также называется абсолютным значением функции, дает величину и абсолютное значение числа независимо от того, положительное или отрицательное число.Он всегда дает неотрицательное значение любого числа или переменной.

    Обозначается как

    \ (\ begin {align} y = | x | \ end {align} \)

    или

    \ (\ begin {align} f (x) = | x | \ end {align} \)

    , где \ (\ begin {align} f: R \ rightarrow R \ end {align} \) и \ (\ begin {align} x \ in R \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | x | \ end {align} \) – модуль \ (\ begin {align} x \ end {align} \), где \ (\ begin {align} x \ end { align} \) – неотрицательное число.

    Если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) положительное значение, то \ (\ begin {align} f (x) \ end {align} \) будет иметь то же значение \ (\ begin {align } х \ конец {выравнивание} \).Если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) отрицательное значение, то \ (\ begin {align} f (x) \ end {align} \) будет величиной \ (\ begin {align} х \ конец {выравнивание} \).

    Подводя итог вышеприведенным строкам,

    Это означает, что если значение \ (\ begin {align} x \ end {align} \) больше или равно 0, то функция модуля принимает фактическое значение, но если \ (\ begin {align} x \ end {align} \) меньше 0, тогда функция берет минус фактического значения ‘x’.


    Как рассчитать функцию модуля?

    Шаги по вычислению функций модуля приведены ниже.

    , если \ (\ begin {align} x = -3 \ end {align} \), то

    \ (\ begin {align} y = f (x) = f (-3) = – (-3) = 3 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) меньше 0

    , если \ (\ begin {align} x = 4 \ end {align} \), то

    \ (\ begin {align} y = f (x) = f (4) = 4 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) больше 0

    , если \ (\ begin {align} x = 0 \ end {align} \), то

    \ (\ begin {align} y = f (x) = f (0) = 0 \ end {align} \), здесь \ (\ begin {align} x \ end {align} \) равно 0

    Подводя итог, можно сказать, что модуль отрицательного числа и положительного числа – это одно и то же число.


    График функции модуля

    Теперь давайте посмотрим, как построить график для функции модуля и найти ее область и диапазон.

    Рассмотрим x как переменную, принимающую значения от -5 до 5

    x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
    y = f (x) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

    При вычислении модуля упругости для положительных значений ‘x’ линия на графике имеет вид ‘y = x’

    , а для отрицательных значений «x» линия на графике имеет вид «y = -x».

    Обратите внимание, что мы можем применить модуль к любому действительному числу. Диапазон функции модуля – это набор неотрицательных целочисленных переменных, который обозначается как \ (\ begin {align} (0, \ infty) \ end {align} \), а область определения функции модуля – R (где R относится к набору всех положительных действительных чисел)

    Поскольку мы обсуждали модуль – это неотрицательное значение, и в соответствии с этой интерпретацией мы также можем сказать, что модуль – это квадратный корень из квадрата переменной. 2} \ end {align} \)

    Есть несколько других неотрицательных выражений, которые перечислены ниже.{2n} \ end {align} \) где \ (\ begin {align} n \ in Z \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} y = 1 – sin \: x; y = 1 – cos \: x \: as \: sin \: x ≤1 \: и \: cos \: x ≤1 \ end { align} \)


    Signum Функция

    Signum функция определяется как математическая функция, которая дает знак действительного числа. Сигнум-функция выражается следующим образом.

    График сигнум-функции выглядит следующим образом.


    Модуль комплексного числа

    Комплексное число – это число, имеющее форму \ (\ begin {align} a + bi \ end {align} \), где ‘a’ и ‘b’ – действительные числа, а ‘i’ – мнимая единица.2} \ end {align} \)


    Важные свойства функции модуля

    Объект 1:

    Модуль и равенство

    Функция модуля всегда возвращает неотрицательное число для всех действительных значений «x». Также неверно приравнивать функцию модуля к отрицательному числу.

    \ (\ begin {align} | f (x) | = a; \: a> 0⇒f (x) = ± a \\ | f (x) | = a; \: a = 0⇒f (x ) = 0 \\ | f (x) | = a; a <0 \ end {align} \)

    Недвижимость 2:

    Модуль и неравенство

    Случай 1: (Если a> 0)

    Неравенство отрицательного числа

    \ (\ begin {align} | f (x) | 0 \ Rightarrow -a

    Неравенство для положительного числа

    \ (\ begin {align} | f (x) |> a; a> 0 \ Rightarrow -a a \ end {align} \)

    Случай 2: (Если <0)

    \ (\ begin {align} | f (x) |

    \ (\ begin {align} | f (x) |> a; a <0 \ Rightarrow \ end {align} \) - это действительно для всех реальных значений f (x).

    Недвижимость 3:

    Если x, y – действительные переменные, то

    \ (\ begin {align} | -x | = | x | \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | x − y | = 0⇔x = y \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | x + y | ≤ | x | + | y ​​| \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | x − y | ≥ || x | – | y || \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | xy | = | x | \ times | y | \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} | \ dfrac {x} {y} | = \ dfrac {| x |} {| y |}; | y | \ neq 0 \ end {align} \)

    Теперь давайте рассмотрим некоторые решенные вопросы о модульных функциях, чтобы лучше понять их.

    1. Функция модуля также называется функцией абсолютного значения и представляет собой абсолютное значение числа. Обозначается как | x |.
    2. Область модульных функций – это набор всех действительных чисел.
    3. Диапазон функций модуля – это набор всех действительных чисел, больших или равных 0.
    4. Вершина графа модулей y = | x | равно (0,0).

    Найдите модуль x для

    Решение

    а) х = -4

    \ (\ begin {align} | x | = | -4 | = – (-4) = 4 \ end {align} \)

    б) х = 6

    \ (\ begin {align} | x | = | 6 | = 6 \ end {align} \)

    Для x = -4, \ (\ begin {align} | -4 | = 4 \ end {align} \)

    и

    для x = 6 \ (\ begin {align} | 6 | = 6 \ end {align} \)

    Решить \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \)

    Решение

    Сформируем два уравнения следующим образом.

    Корпус 1:

    Значение функции модуля отрицательное.

    \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} – | x + 3 | = 8 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x + 3 = -8 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x = -8 – 3 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x = -11 \ end {align} \)

    Дело 2:

    Значение функции модуля положительное.

    \ (\ begin {align} | x + 3 | = 8 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x + 3 = 8 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x = 8 – 3 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x = 5 \ end {align} \)

    Следовательно, возможные значения x в модульной функции:

    \ (\ begin {align} x = 5, -11 \ end {align} \)

    x может иметь значения \ (\ begin {align} x = 5, -11 \ end {align} \)

    Нарисуйте график для \ (\ begin {align} y = | x +2 | \ end {align} \)

    Решение

    Согласно определению функции модуля, у нас есть

    \ (\ begin {align} y = | x + 2 | = x + 2, если \: x \ geq 1 \\ – 2 – x, если \: x <1 \ end {align} \)

    Изобразим таблицу с положительными и отрицательными значениями «x».

    х y = | x + 2 |
    -7 | -7 + 2 | = | -5 | = 5
    -6 | -6 + 2 | = | -4 | = 4
    -5 | -5 + 2 | = | -3 | = 3
    -4 | -4 + 2 | = | -2 | = 2
    -3 | -3 + 2 | = | -1 | = 1
    -2 | -2 + 2 | = | 0 | = 0
    -1 | -1 + 2 | = | 1 | = 1
    0 | 0 + 2 | = | 2 | = 2
    1 | 1 + 2 | = | 3 | = 3
    2 | 2 + 2 | = | 4 | = 4
    3 | 3 + 2 | = | 5 | = 5
    4 | 4 + 2 | = | 6 | = 6

    Строя график с различными значениями \ (\ begin {align} x \ end {align} \) и \ (\ begin {align} -x \ end {align} \), мы получаем график для модуля функция, как показано ниже,

    Это график для функции модуля x + 2

    Решить \ (\ begin {align} | 2x – 4 | = 5 – x \ end {align} \)

    Решение

    Согласно определению функции модуля мы имеем

    В зависимости от функции модуля могут быть две возможности.

    Корпус 1:

    \ (\ begin {align} – | 2x – 4 | = 5 – x \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} 2x – 4 = – (5 – x) \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} 2x – 4 = -5 + x \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} 2x – x & = -5 + 4 \\ x & = -1 \ end {align} \)

    Корпус 2:

    \ (\ begin {align} | 2x – 4 | = 5 – x \\ 2x – 4 = 5 – x \\ 2x + x = 5 + 4 \\ 3x = 9 \ x = 3 \ end {align} \)

    \ (\ begin {align} x = -1 \: and \: x = 3 \ end {align} \)

    1. Модуль неотрицательного числа и отрицательного числа положительный.| -5 | равно 5 и | 5 | также 5.
    2. Для решения уравнений модуля типа | x-2 | = 5, составьте два уравнения типа x-2 = -5 & и x – 2 = 5, чтобы найти решение.

    Интерактивные вопросы

    Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


    Подведем итоги

    Урок был посвящен увлекательной концепции модульной функции, ее области и диапазона.Надеюсь, вам понравилось их изучать. Просматривая решенные примеры и решая неэффективные вопросы, вы получите больше знаний по предмету. Вы также можете попробовать калькулятор функции модуля, чтобы проверить модуль числа.

    О компании Cuemath

    В Cuemath наша команда математиков делает все, чтобы обучение наших любимых читателей – студентов – было увлекательным!

    Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

    Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


    Часто задаваемые вопросы по модульной функции

    1. Что такое уравнение модуля?

    Уравнение, которое дает модуль или величину данного числа, называется уравнением модуля. Обозначается как y = | x |.

    2. Что означает модуль?

    Модуль означает определение положительного или отрицательного числа.

    3. Как вы решаете задачи модуля упругости?

    Применение модуля к неотрицательному и отрицательному числу всегда приводит к одному и тому же числу.

    4. Как нарисовать модульную функцию?

    Принимая отрицательные значения, такие как (-1, -2, -3), и положительные значения, такие как (1,2,3), в соответствии с данным уравнением модуля, мы можем нарисовать функцию модуля.

    5. Почему мы используем Mod?

    Функция модуля используется для определения величины положительного или отрицательного числа.

    6. Всегда ли модуль упругости положителен?

    Модуль положительного числа положительный. Модуль отрицательного числа получается игнорированием знака минус.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *