Как называется математика когда в уме складывают много чисел: Сложение и вычитание двузначных чисел – приемы с примерами

Содержание

Буквенные выражения

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьёзная задача в математике свóдится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Например, в выражении a + b + 4 переменными являются буквы

a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a + b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2, переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение

a + b + 4 обращается в обычное числовое выражение 2 + 3 + 4, значение которого можно найти:

2 + 3 + 4 = 9

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3, то мы получим 6

2 × 3 = 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a × (b + c) можно записать a(b + c). Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c) = ab + ac.


Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a. На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a.

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«

К примеру, если переменная a равна 5, то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc«.

Если вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5

abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемнóжились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента отнóсится только к коэффициенту, и не отнóсится к переменным!

Рассмотрим выражение 6b. Минус, стоящий перед коэффициентом 6, отнóсится только к коэффициенту 6, и не отнóсится к переменной b. Понимание этого факта позвóлит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения 6b при b = 3.

6b это короткая форма записи от × b. Для наглядности запишем выражение 6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18


Пример 2. Найти значение выражения 6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b

и далее подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30


Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5

 × a + b, поэтому для наглядности запишем выражение −5 × a + b в развёрнутом виде и подстáвим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13


Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае коэффициентом является единица:

1a, 1ab

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число 1. Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1

a. Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь крóется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к невидимой единице, а не к переменной a. Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас прóсят найти его значение при a = 2, то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ 2, не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2, то мы подставляем −2 вместо переменной a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2, b=3 и c=4

Выражение abc это короткая форма записи от 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение

abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24


Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24


Пример 6. Найти значение выражения abc при a=3, b=5 и c=7

Выражение abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных

a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105


Пример 7. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−4 и c=−3

Запишем выражение abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24


Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень простá. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке.

А именно, отдельно перемнóжим числа и отдельно перемнóжим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105. После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

−105amn


Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

Перемножим отдельно числа и буквы:

−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.


Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен не верно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на хорошем уровне.


Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минус. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице:

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b, то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые. А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b). В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) станóвятся слагаемыми.


Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a. В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно привóдят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a= (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a


Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a.


Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом деле оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a


Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a


Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b


Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержащие переменные b, подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)


Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2


Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x


Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:


Упрощение выражений

Часто можно встретить задание, в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще».

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: «а что можно сделать?». Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощённое выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st.


Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b, затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

0,4 × (−6,3b) × 2 = 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b


Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3

Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn.


Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение  упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:


Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a  +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2, b = 3

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a


Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.


Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:


Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до.

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.


Тождества. Тождественно равные выражения

После того как мы упростили какое-нибудь выражение, оно станóвится проще и короче. Чтобы проверить верно ли упрощено выражение, достаточно подстáвить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то это означает, что выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b. Чтобы упростить данное выражение, можно по-отдельности перемнóжить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a, b будут следующими:

a = 4
b = 5

Подстáвим их в первое выражение 2a × 7b

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

Теперь подстáвим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения выражения 2× 7b, а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a = 4 и b = 5 значение первого выражения 2× 7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a = 1 и b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким образом, выражения 2× 7b и 14ab при любых значениях переменных равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.

Делаем вывод, что между выражениями 2× 7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

2× 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2× 7b = 14ab называют тождеством.

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b + c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства тоже являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.

Например, мы упростили выражение 2× 7b, и получили более простое выражение 14ab. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения: Задание 1. Найдите значение выражения при и Задание 2. Найдите значение выражения при Задание 4. Найдите значение выражения при и

Задание 5. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:

  • Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
  • Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять

Задание 6. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 7. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 8. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 9. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 10. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 11. Упростите выражение:

Задание 12. Упростите выражение:

Задание 13. Упростите выражение:

Задание 14. Упростите выражение:

Задание 15. Упростите выражение:

Задание 16. Упростите выражение:

Задание 17. Упростите выражение:

Задание 18. Упростите выражение:

Задание 19. Упростите выражение:

Задание 20. Упростите выражение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

устное сложение и вычитание. Магия чисел [Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы]

Глава 1

Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание

Сколько себя помню, мне всегда было легче складывать и вычитать слева направо, нежели справа налево. Поступая таким образом, я выяснил, что могу выкрикнуть ответ на математическую задачку раньше, чем одноклассники запишут условия.

А мне не нужно было даже записывать!

В этой главе вы научитесь методу «слева направо», используемому для устного сложения и вычитания большинства чисел, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Эти умственные навыки важны не только для выполнения математических трюков из данной книги, но и незаменимы во время учебы в школе, трудовой деятельности и в других ситуациях, когда вам нужно оперировать числами. В скором времени вы сможете отправить свой калькулятор на заслуженный отдых и начать задействовать мозг в полную силу, складывая и вычитая двузначные, трехзначные и даже четырехзначные числа с молниеносной скоростью.

СЛОЖЕНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Большинство из нас обучены проводить письменные вычисления справа налево. И это нормально для счета на бумаге. Но у меня есть достаточно много убедительных аргументов, объясняющих, почему это лучше делать слева направо, чтобы считать в уме (то есть быстрее, чем на бумаге). В конце концов, числовую информацию вы читаете слева направо, произносите числа тоже слева направо, поэтому и думать о числах (и считать их) более естественно слева направо. Вычисляя ответ справа налево, вы генерируете его в обратном направлении. Это и делает вычисления в уме такими сложными. К тому же, чтобы просто оценить результат вычислений, важнее знать, что он «чуть больше 1200», чем то, что он «заканчивается на 8».

Итак, применяя метод слева направо, вы начинаете решение с самых значимых цифр вашего ответа. Если вы привыкли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным новый подход. Но с практикой к вам придет понимание, что это самый эффективный способ для устных вычислений. Хотя, возможно, первый набор задач — сложение двузначных чисел — и не убедит вас в этом. Но проявляйте терпение. Если будете следовать моим рекомендациям, то скоро поймете, что единственным легким путем к решению задач на сложение трехзначных (и более «значных») чисел, всех задач на вычитание, умножение и деление является метод слева направо. Чем раньше вы приучите себя действовать так, тем лучше.

Сложение двузначных чисел

Прежде всего я исхожу из того, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнем со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы неплохо умеете делать это в уме. Однако следующие упражнения все равно станут для вас хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретете в итоге, понадобятся для решения более трудных задач на сложение, как, впрочем, и для почти всех задач на умножение, предложенных в следующих главах. В этом проиллюстрирован фундаментальный принцип устной арифметики, а именно: «упрощай задачу, разбивая ее на меньшие, проще решаемые». Это ключ практически к каждому методу, представленному в данной книге. Перефразируя старую пословицу, есть три составляющие успеха: упрощай, упрощай и упрощай.

Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел — те, которые не требуют от вас держать в уме какие-либо цифры (то есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше или сумма последних двух цифр равна 9 и меньше). Например:

Чтобы сложить 47 + 32, сначала 30 прибавляем к 47, а затем к полученной сумме прибавляем 2. После сложения 30 и 47 задача упрощается: 77 + 2 равно 79. Проиллюстрируем это следующим образом:

Приведенная схема — простой способ представления мыслительных процессов, выполняемых для получения правильного ответа. Хотя вы должны читать и понимать такие схемы на протяжении всего времени работы с книгой, записывать что-либо не требуется.

Теперь попробуем вычисление, в котором необходимо держать числа в уме:

Прибавляя слева направо, вы можете свести задачу к действию 67 + 20 = 87, а затем к сложению 87 + 8 = 95.

Теперь попробуйте сами, после чего сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Ну что, получилось? Вы сложили 84 + 50 = 134, а затем 134 + 7 = 141.

Если удержание цифр в уме служит причиной ваших ошибок, не переживайте. Вероятно, это ваша первая попытка выполнить систематизированное устное вычисление и, как и большинству людей, вам понадобится время, чтобы запомнить числа. Однако с опытом вы сможете удерживать их в уме автоматически. В качестве практики попробуйте решить устно еще одну задачку, а затем опять сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Вам следовало сложить 68 + 40 = 108 и 108 + 5 = 113 (итоговый ответ). Было ли вам проще? Если хотите проверить свои силы на большем количестве задач на сложение двузначных чисел, обратитесь к примерам, представленным ниже. (Ответы и ход вычислений приведены в конце книги.)

Сложение трехзначных чисел

Стратегия сложения трехзначных чисел точно такая же, как и двузначных: вы складываете слева направо и после каждого шага переходите к новой, более простой задаче на сложение.

Попробуем:

Вначале прибавляем к 538 число 300, затем 20, затем 7. После прибавления 300 (538 + 300 = 838) задача сводится к 838 + 27. После прибавления 20 (838 + 20 = 858) задача упрощается до 858 + 7 = 865. Такого рода мыслительный процесс может быть представлен в виде следующей схемы:

Все задачи на устное сложение можно решить таким способом, последовательно упрощая задачу до тех пор, пока не останется просто прибавить однозначное число. Обратите внимание, что пример 538 + 327 требует удержания в уме шести цифр, тогда как 838 + 27 и 858 + 7 — только пяти и четырех цифр соответственно. Если вы упрощаете задачу, решить ее становится легче!

Попробуйте решить в уме следующую задачу на сложение, прежде чем посмотрите наше решение

Вы упростили ее, складывая цифры слева направо? После сложения сотен (623 + 100 = 723) осталось сложить десятки (723 + 50 = 773). Упростив задачу до 773 + 9, в сумме получаем 782. В виде схемы решение задачи выглядит так:

Когда я решаю подобные задачи в уме, я не визуализирую числа, а пытаюсь слышать их. Я слышу пример 623 + 159 как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят девять. Выделяя для себя слово сто, я понимаю, с чего начать. Шесть плюс один равняется семи, значит, моя следующая задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят девять и так далее. Решая такие задачи, тоже делайте это вслух. Подкрепление в виде звуков поможет вам освоить этот метод гораздо быстрее.

Задачи на сложение трехзначных чисел на самом деле не бывают сложнее следующей:

Взгляните на то, как это сделается:

На каждом этапе я слышу (а не вижу) новую задачу на сложение. У меня в голове это звучит примерно так:

858 плюс 634 равно 1458 плюс 34,

равно 1488 плюс 4, равно 1492.

Ваш внутренний голос может звучать иначе, чем мой (не исключено, что вам удобнее видеть числа, а не слышать их), но, как бы там ни было, наша цель — «подкреплять» числа на их пути, чтобы не забыть, на каком этапе решения задачи мы находимся и не начинать все сначала.

Давайте еще попрактикуемся.

Вначале сложите в уме, потом проверьте вычисления.

Этот пример немного сложнее предыдущего, так как требует держать в уме числа на протяжении всех трех шагов.

Однако в нем можно воспользоваться альтернативным методом подсчета. Я уверен, что вы согласитесь: гораздо проще к 759 прибавить 500, чем 496. Так что попробуйте прибавить 500 и затем вычесть разность.

До сих пор вы последовательно расчленяли второе число, чтобы сложить его с первым. На самом деле не имеет значения, какое число разбивать на части, важно соблюдать порядок действий. Тогда вашему мозгу не придется решать, в какую сторону направиться. Если запомнить второе число намного легче первого, то их можно поменять местами, как в следующем примере.

Закончим тему сложением трехзначных чисел с четырехзначными. Так как память среднестатистического человека одновременно может удерживать только семь или восемь цифр, это как раз подходящая задача, с которой вы можете справиться, не прибегая к искусственным устройствам запоминания (таким как пальцы, калькуляторы или приемы мнемотехники из главы 7). Во многих задачах на сложение одно или оба числа заканчиваются на 0, поэтому уделим внимание примерам такого типа. Начнем с самого легкого:

Так как 27 сотен + 5 сотен равняется 32 сотням, мы просто прибавляем 67 с целью получить 32 сотни и 67, то есть 3267. Процесс решения идентичен для следующих заданий.

Поскольку 40 + 18 = 58, первый ответ — 3258. Во втором примере 40 + 72 в сумме больше 100, поэтому ответ будет 33 сотни с «хвостиком». Итак, 40 + 72 = 112, поэтому ответ — 3312.

Эти задачи легкие, потому что значащие цифры (отличные от нуля) в них складываются лишь один раз и примеры можно решить в одно действие. Если значащие цифры складываются два раза, то и действий понадобится два. Например:

Задача в два действия схематически выглядит следующим образом.

Тренируйтесь на представленных ниже упражнениях в сложении трехзначных чисел до тех пор, пока не станете с легкостью выполнять их в уме, не подглядывая в ответ. (Ответы находятся в конце книги.)

Карл Фридрих Гаусс: вундеркинд от математики

Вундеркинд — это очень талантливый ребенок. Обычно его называют «развитым не по годам» или «одаренным», так как он почти всегда опережает сверстников в развитии. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) был одним из таких детей. Он часто хвастался тем, что научился производить расчеты раньше, чем говорить. Будучи трех лет от роду, он исправил платежную ведомость отца, заявив: «Подсчеты неверны». Дальнейшая проверка ведомости показала, что малыш Карл был прав.

В десятилетнем возрасте ученик Гаусс получил на уроке следующую математическую задачу: какова сумма чисел от 1 до 100? Пока одноклассники отчаянно производили расчеты с бумагой и карандашом, Гаусс сразу представил себе, что если он запишет числа от 1 до 50 слева направо, а от 51 до 100 — справа налево прямо под списком чисел от 1 до 50, то каждая сумма чисел, стоящих друг под другом, будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку выходило всего пятьдесят таких сумм, ответ составил 101 х 50 = 5050. Ко всеобщему изумлению (включая учителя), юный Карл получил ответ, не только опередив всех остальных учеников, но и вычислив его целиком в уме. Мальчик записал ответ на своей грифельной доске и швырнул ее на стол учителя с дерзкими словами: «Вот ответ».

Учитель был настолько поражен, что за свои деньги купил наилучший из доступных учебников по арифметике и отдал его Гауссу, заявив: «Это превышает пределы моих возможностей, я больше ничему не смогу его научить».

Действительно, Гаусс стал учить математике других и в конечном итоге достиг небывалых высот, прослыв одним из величайших математиков в истории, чьи теории до сих пор служат науке. Его желание лучше понимать природу посредством языка математики было подытожено в его девизе, взятом из шекспировского «Короля Лира» (заменяя «закон» на «законы»): «Природа, ты моя богиня! В жизни я лишь твоим законам послушен».

ВЫЧИТАНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Для большинства из нас сложение проще вычитания. Но если вы будете вычитать слева направо и начнете разделять вычисления на более простые действия, вычитание может стать почти таким же простым, как сложение.

Вычитание двузначных чисел

При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера.

После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86–20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 — 5, в итоге получаем 61. Решение схематически можно представить как:

Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно занимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда б?льшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно превратить в легкие задачки на сложение. Например:

Существуют два способа решить этот пример в уме.

1. Сначала вычитаем 20, затем 9:

Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию.

2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1

Определить, какой метод лучше использовать, вам поможет правило:

если в задаче на вычитание двузначных чисел вычитаемая цифра больше уменьшаемой, округлите ее до десяти.

Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное число, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54–28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вычисляем 54–30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем ответ — 26.

А теперь закрепим знания на примере 81–37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81–40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа:

Всего лишь немного практики — и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

Вычитание трехзначных чисел

Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел.

Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответствующих цифр первого), поэтому задача не должна быть слишком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.

На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).

Теперь попробуйте сами.

Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?

Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?

Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:

А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?

Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».

На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.

Вычисление дополнений

Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?

Вот ответы:

Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополнение для 57, 32 — для 68 и так далее.

А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:

Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.)

Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37.

Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!)

Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?

Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.

Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и получаем 225 (725–500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновенно дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столько же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257.

Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел:

Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом:

Вот еще один пример:

Проверьте свой ответ и ход решения:

Вычитание трехзначного числа из четырехзначного не многим сложнее, что иллюстрирует следующий пример.

Путем округления вычитаем 600 из 1246. Получаем 646.

Затем прибавляем дополнение для 79 (то есть 21). Ответ: 646 + + 21 = 667.

Выполните упражнения на вычитание трехзначных чисел, данные ниже, а затем попробуйте придумать свои примеры на сложение (или на вычитание?).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Четные и нечетные числа ✅ Блог IQsha.ru

Больше онлайн заданий по математике для детей от 2 до 11 лет. Начните прямо сейчас!

Уже в дошкольном возрасте ребята узнают, что бывают четные и нечетные числа. Определить абстрактно, четное число или нечетное, бывает непросто. Зато каждому понятно, получится ли некоторое количество разделить на двоих без остатка, или нет. Объяснить ребенку четные и нечетные числа помогут занимательные упражнения.

Что такое четные и нечетные числа


Четные числа – те, которые делятся на два без остатка. Но как же объяснить ребенку деление на два, если сложные математические операции осваивать еще рано? Самый простой способ – запомнить наизусть: на два делятся числа 2, 4, 6, 8 и все многозначные числа, которые оканчиваются на них же, а также на 0. 

Нечетные числа на 2 ровно не делятся , это числа 1, 3, 5, 7, 9 и те многозначные числа, которые оканчиваются на них же.

Таблица четных и нечетных чисел

Чтобы быстро определить, четным или нечетным является число, можно воспользоваться таблицей до 100. В ней четные и нечетные числа будут чередоваться. В нашей таблице выделены четные числа.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

 

Как объяснить ребенку четные и нечетные числа

Сначала расскажите ребенку, что такое четные и нечетные числа.

Проиллюстрируйте это на примерах – раскладывайте перед ребенком разное количество карандашей и попытайтесь разделить на две равные части. Если так получилось сделать, то число карандашей является четным. Если остался лишний карандаш – число нечетное.

Наглядно показать четность или нечетность можно на любых предметах – игрушках, фишках, ложечках. Если получились две равные группы и не осталось лишних предметов, то общее количество является четным. Если остался лишний предмет – число нечетное.

Закрепляем знание о четных и нечетных числах

Запоминание приходит с практикой. Вначале пусть ребенок продолжает ряды четных или нечетных чисел, начиная с указанного вами числа.  В этом упражнении пригодится навык счета через один. Следующим этапом предлагайте определить четность или нечетность любого числа. Поиграйте в игру: вы загадываете число в небольшом диапазоне и сообщаете, что оно находится между 4 и 7. А ребенок, используя вопрос: «Это четное или нечетное число?», пытается угадать задуманное число. Если ребенок угадал, то следующий вопрос задает он.

Выполните развивающие упражнения от Айкьюши

Свойства четных и нечетных чисел

Даже если ребенок не умеет складывать числа в уме, он может запомнить несколько простых правил:

  • при сложении двух четных чисел всегда получится тоже четное число. 24+32=56 – четное

  • при сложении двух нечетных чисел получается четное число. 13+17=30 – четное

  • при сложении одного четного и одного нечетного числа всегда получится нечетное число. 43+32=65 – нечетное

Какое число 0 – четное или нечетное?

Ноль – это четное число.

Некоторые взрослые до сих пор затрудняются правильно ответить на этот вопрос. Как же это доступно объяснить детям?

Во-первых, чтобы определить четность или нечетность, нужно вспомнить какие числа называются четными – те, которые делятся на 2 без остатка. Ноль делится на 2 без остатка. Значит, ноль – четное число.

Во-вторых, мы уже знаем, что четные и нечетные числа чередуются. После ноля стоит нечетное число 1. Значит ноль – четное число.

Также поможет запомнить четность ноля тот факт, что все числа, которые заканчиваются на 0 – четные. Значит и ноль тоже четное число.

Четные и нечетные числа до 20  


Чётные числа до 20:


Нечётные числа до 20:


Дошкольники в силу своего возраста и опыта лучше справляются с операциями в пределах 20. Поэтому постарайтесь не выходить за это число: придумывайте бытовые задачки и акцентируйте внимание на доступных примерах. После тренировок изучать четные и нечетные числа в пределах 20 дошкольники могут, уже абстрагируясь от конкретных предметов, учась оперировать только абстрактными числами.  

Можно провести занятие с таблицей Шульте, где четные и нечетные числа до 20 отличаются цветом:


Игры с четными и нечетными числами

Для того чтобы знания о четных и нечетных числах закрепились у малыша в памяти, регулярно используйте эти понятия в игре.

Например, в игре в магазин вы можете “печатать” для товаров ценники только с нечетными числами, выдумывая двузначные или трёхзначные числа из головы. Остается только вспомнить, на какие цифры должны оканчиваться эти числа.

Поиграйте в подвижную игру: если ты услышишь четное число, хлопни в ладоши. А если нечетное – топни ногой. 37, 18, 24, 53, 22, 95, 38, 14…

Еще можно играть в шпионов, которые передают друг другу информацию четными числами. Если каждое число ассоциировать с каким-то словом, то можно играть в сочинение предложений. Например, один шпион получил радиограмму: 2 8 4 6 10. А у него в ключе написано: 2 – апельсин, 4 – радость, 6 – бежит, 8 – красный, 10 – немедленно. Какое предложение можно составить, если по порядку расположить Апельсин Красный Радость Бежит Немедленно?

Напомнить знания о четных и нечетных поможет обычное русское лото. Когда вы с ребенком заполняете фишками карточки лото, проговаривайте вслух, является ли число четным.

Айкьюша поможет легко и в игровой форме познакомиться с математикой для детей 6-7 лет. Раздел включает задания и игры по арифметике для дошкольников: счет, сложение, вычитание, сравнение, умножение, деление, изучение геометрических фигур. Познавательные уроки и занятия для развития мальчиков и девочек.

Материалы для самостоятельных занятий по математике с дошкольником


Предложите ребенку раскрасить предметы с четными числами в зеленый цвет, а с нечетными – в красный.Распечатайте картинку и предложите ребенку продолжить последовательность четных и нечетных чисел, начиная с шеи жирафа.

Превратите изучение четных и нечетных чисел в увлекательное занятие – и ребенок без труда освоит эту непростую тему!

Развитие и обучение детей от 2 до 11 лет в игровой форме

Начните заниматься
прямо сейчас

Учимся считать в уме

Первое полугодие первого класса позади, а ребенок по-прежнему думает, что самый удобный способ сложения и вычитания — это его собственные пальцы. Этот метод называется пальцевый счет — первая ступень знакомства с математическими исчислениями. Переход от умения считать на пальцах или палочках к счету в уме — сложный. Его скорость и успех зависят от того, насколько развито у ребенка образное и пространственное мышление.
Почему ребенок плохо считает в уме?
Мария Монтессори писала: «Ни на минуту мы не задумываемся над тем, что если ребенок чего-нибудь не делает, то он, очевидно, не знает, как это делать». Задача взрослого — помочь ребенку найти пробел в знаниях и восполнить его.

Почему ребенок плохо считает?

1. Ребенок плохо знаком с числами и плохо устанавливает соответствие между числом и количеством предметов. У дошкольников и младших школьников преобладает образное мышление. Поэтому при знакомстве с числами им нужно показывать их на примерах: 3 – 3 поросенка, 4 – 4 журавля и т.д. Каждое число важно закрепить наглядными примерами. Ребенку нужно проговорить, потрогать, увидеть число и соотнести его с количеством разных предметов.
2. Не понимает суть простых математических операций: сложения и вычитания. Именно на них строится дальнейшая математическая база. К вычислениям в уме можно переходить после хорошей отработки и закрепления действий сложения и вычитания с предметами и/или счетными палочками. 
3. Не умеет считывать сложные тексты. Ребенок не понимает сути математической задачи, особенно если в ней много терминов и действий. Важно, чтобы ребенок после прочтения задачи мог пересказать ее своими словами — выделить основные данные: о чём или о ком говорится в задаче, что происходит (уменьшение/увеличение), на сколько, с чем это связано. О типах задач и о способах их решения мы подробно писали в статье “Учимся решать задачи”. 
4. Не может мысленно представить задачу — в идеале к любой задаче ребенок должен уметь составить/нарисовать схему. 

Эти проблемы решаются многократными тренировками, и со временем, ребенок обязательно научится считать и решать задачи в уме. Также помочь в этом могут специальные методики. Научите ребенка считать в уме разными способами. Школьник сам выберет удобный ему метод. 

Методики счета в уме

1. Методика Глена Домана — заключается в обучении ребенка по специальным карточкам с заданиями и картинками. Разработана для малышей, но подходит для обучения дошкольников и учеников младших классов, испытывающих сложности со счетом. Занимаясь по этой методике, ребенок наглядно соотносит число и количество, осваивает понятия много — мало. Эта методика хорошо развивает зрительную память.
2. Методика Зайцева «Стосчет» — суть метода в том, чтобы познакомить ребенка сразу с первой сотней чисел. Методика задействует звуковую и зрительную память, дети учатся хорошо ориентироваться в числовом ряду, поэтому легко учатся считать и писать. Методика рассчитана на дошкольников, но можно применять и для занятий с учениками начальных классов. 
3. Устный счет при помощи состава числа — основывается на заучивание ребенком состава числа. Например, 8 состоит из 4 и 4, 3 и 5, 2 и 6, 1 и 7, 0 и 8. В дальнейшем при сложении двух чисел 3 и 5, ребенок вспоминает состав числа 8 и дает ответ. При вычитании задействуется те же процессы.
4. Ментальная Арифметика — дети учатся считать при помощи абакуса. Абакус — специальные счеты. Ребенок при сложении и вычитании перекидывает счеты специальным движением. В дальнейшем ребёнку достаточно представить абакус, чтобы производить математические операции в уме.  Ментальная арифметика задействует логику, образное и пространственное мышление.

Попробуйте с ребенком разные методики и выберите подходящую именно вам. 

Математические игры так же помогают ребенку легче перейти на счет в уме. Плюсом игр является наглядность, положительное отношение ребенка к процессу (“играть” приятнее, чем “учиться”), многократное повторение математических операций в течение одной игры.

Простые игры на развитие счета

1. Бродилки — вместо 1 кубика, возьмите 2 или 3. Для каждого хода ребенок считает сколько точек выпало на каждом кубике. Игра помогает совершенствовать навыки счета.
2. Математическое домино — ребенок может играть как один, так и с командой. 
3. Настольные игры: турбосчет, умножариум — помогают в тренировке навыков математических операций: сложения, вычитания, умножения и деления.
4. Математические раскраски — будут отличным помощником в тренировке навыков счета для детей, любящих рисовать.
5. Логические игры — помогают ребенку научиться выделять важное, что в свою очередь, помогает в понимании сути задания. Например, в игру «Что лишнее» можно играть в любое время в любом месте: называете ребенку ряд слов, имеющих какой-то общий признак или принадлежащих к одной категории и одно-два не имеющих этого признака. В зависимости от возраста и подготовки ребенка игру можно усложнять. 

При решении математических задач важна практика. Родителям нужно понимать: то, что взрослому кажется легким и обычным, для ребенка может быть сложным. Он переходит на новую для себя ступень — счет в уме. Задача родителя поддержать и помочь ребенку найти проблему и решить ее. При переходе на счет в уме у ребенка задействуется пространственное мышление, логика, воображение, поэтому их развитие будет способствовать улучшению результатов в математике. 

Читать “Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики” – Пенроуз Роджер – Страница 32

раз меньше размеров частиц. И совершенно не ясно, есть ли какой бы то ни было физический смысл у столь абсурдно малых масштабов. То же самое можно сказать и в отношении столь же малых интервалов времени.

Система действительных чисел выбрана в физике в силу ее математической полезности, простоты и изящества, а также поскольку она согласуется на очень широком интервале масштабов с физическими понятиями пространства и времени. Она выбрана не потому, что мы будто бы знаем, что она согласуется с упомянутыми физическими величинами на всех масштабах. Такое согласие вполне может не иметь места на очень малых пространственных и временны́х масштабах. Обычные расстояния измеряются при помощи линейки, но линейка оказывается «зернистой» при переходе к масштабам образующих ее атомов. Само по себе это не мешает нам продолжать использовать действительные числа подходящим образом, но измерение меньших расстояний требует уже гораздо большей изобретательности. По крайней мере, мы должны быть готовы предположить, что на очень-очень малых масштабах могут встречаться принципиальные трудности с расстояниями. Как оказывается, природа оказалась к нам на удивление благосклонна, сделав те самые действительные числа, которые мы привыкли повседневно применять для описания предметов на макромасштабах, пригодными для описания расстояний гораздо меньших атомных — по крайней мере, на масштабах, равных одной сотой «классического» диаметра элементарной частицы — такой, как электрон или протон, — и, по-видимому, вплоть до «масштабов квантовой теории гравитации», что на двадцать порядков меньше размеров таких частиц! Это пример исключительно сильной экстраполяции нашего опыта. Сфера применимости привычного понятия расстояния, измеряемого действительными числами, по-видимому, простирается до самых далеких квазаров и еще дальше. Общий диапазон измеримых расстояний составляет 1042, а может быть, 1060 или даже больше. Кстати, сомнения в правомерности использования системы действительных чисел высказывались не так уж часто. Почему же мы так уверены в том, что эти числа дают точное описание физических явлений, хотя реально об их применимости мы знаем лишь в весьма ограниченном диапазоне масштабов? Должно быть, эта уверенность — возможно, неверная — основывается на (правда, не очень часто признаваемых) логическом изяществе, внутренней согласованности и математической мощи системы действительных чисел в сочетании с верой в глубинную математическую гармонию природы.

Комплексные числа

Оказывается, что действительные числа — это не единственная математически мощная и изящная система чисел. Система действительных чисел все же не лишена некоторых неудобств. Например, квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел (или нуля), но никак не из отрицательных чисел. С математической точки зрения — и отвлекаясь пока что от вопроса о непосредственной связи с физическом миром — было бы очень удобно иметь возможность извлекать квадратные корни как из положительных, так и из отрицательных чисел. Давайте постулируем существование, или попросту «изобретем» квадратный корень из числа -1. Обозначим его буквой i. Тогда мы имеем:

i 2 = -1.

Величина i, конечно же, не может быть действительным числом, поскольку произведение действительного числа на самого себя всегда положительно (или равно нулю, если само число равно нулю). Поэтому числа, квадраты которых отрицательны, обычно называют мнимыми. Следует, однако, отметить, что эти «мнимые» числа не менее реальны, чем ставшие уже привычными «действительные» числа. Как я уже отмечал выше, связь таких «действительных» чисел с физической реальностью далеко не столь непосредственна и убедительна, как может показаться на первый взгляд, и основана на математической идеализации о допустимости бесконечного уточнения, которая не имеет ясного априорного обоснования в природе.

Имея квадратный корень из -1, можно без особого труда получить квадратные корни для всех действительных чисел. Если а является положительным действительным числом, то величина i х √a есть квадратный корень из отрицательного действительного числа — а. (У этого числа есть еще другой квадратный корень, а именно — i х √а.) Ну, а что же можно сказать о самом числе i ? Есть ли у него квадратный корень? Разумеется есть, поскольку, как легко проверить, величина

1+i /√2

(равно как и та же величина, взятая с отрицательным знаком), будучи возведена в квадрат, равна i. А у этой величины, в свою очередь, есть квадратный корень? Ответ опять положительный: квадрат числа

 или того же числа, взятого с отрицательным знаком, действительно равен (1 + i)/√2.

Обратите внимание, что при образовании такого рода величин мы позволили себе складывать действительные и мнимые числа, а также умножать наши числа на произвольные действительные числа (или делить их на произвольные ненулевые действительные числа, а это то же самое, что умножать их на обратные величины). Получаемые таким образом объекты называются комплексными числами. Комплексное число это число вида: а + ib, где а и b — это действительные числа, называемые, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа. Правила сложения и умножения двух таких чисел вытекают из обычных правил (школьной) алгебры с одним дополнительным правилом i 2 = — 1:

(а + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d),

(а + ib) х (с + id) = (ас — bd) + i(ad + bc).

Удивительное дело: к созданию этой системы чисел нас подтолкнуло желание иметь возможность извлечения квадратных корней из любых чисел. Эта цель достигнута, хотя само по себе это еще не очевидно. Но новая система чисел позволяет делать гораздо больше: безнаказанно извлекать кубические корни, корни пятой степени, корни девяносто девятой степени, корни π-й степени, корни степени 1 + i и т.  д. (это смог доказать еще в XVIII веке великий математик Леонард Эйлер). В качестве другого примера волшебных свойств комплексных чисел рассмотрим довольно сложные на вид тригонометрические формулы, которые проходят в школе. Так, синус и косинус суммы двух углов

sin (А + В) = sin A cos В + cos A sin В,

cos (А + В) = cos A cos В — sin A sin В

представляют собой, соответственно, просто-напросто мнимую и действительную части гораздо более простого (и легче запоминаемого!) комплексного уравнения[62]:

e iA+iB= e iA e iB

Все, что нам нужно здесь знать, это «формула Эйлера» (по-видимому, полученная за много лет до Эйлера замечательным английским математиком XVI века Роджером Котсом):

e iA= cosA+i sinA,

которую мы теперь подставим в приведенное выше уравнение. В результате имеем:

cos (А + B) + i sin (А + В) = (cosА + i sinA)(cosВ + i sinВ),

и, выполнив умножение в правой части, получим искомые тригонометрические соотношения.

Более того, любое алгебраическое уравнение

(где a0, a1, a2….,an являются комплексными числами и an≠ 0) всегда имеет своим решением некоторое комплексное число z. Например, существует комплексное число, удовлетворяющее соотношению:

4. Математика — интеллектуальные приемы [книга]

Досчитайте до миллиона на пальцах

Вы можете использовать двоичную арифметику, чтобы считать до более миллиона на ваших пальцах.

Вы, наверное, уже знаете, что можете использовать Chisenbop [Hack #39] считать до 100 или больше и выполнять простые арифметические действия на своем пальцы. Если перейти с десятичной системы счисления на двоичную, тем не менее, вы можете использовать свои пальцы, чтобы считать примерно до 2 20 , что составляет 1 048 576 — более миллион! 1

Двоичная система счисления

Сначала рассмотрим двоичную систему счисления. (Если вам не нужен обзор, вы можно перейти к следующему разделу.)

Система счисления, которую мы обычно используем, называется десятичной системой счисления , потому что она основан на степенях 10. Например:

 4309 = (4 x 1000) + (3 x 100) + (0 x 10) + (9 x 1) 

Обратите внимание, что в десятичной системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая позиция в десятичном числе соответствует степени 10; для например, 3 стоит в позиции сотен в десятичном числе 4309.

Двоичная система счисления основана на степень числа 2, поэтому цифр всего две, 0 и 1. Они называются бит , что является сокращением от двоичная цифра . Таким образом, в двоичном виде:

   10011   = (1 х 16) + (0 х 8) + (0 х 4) + (1 х 2) + (1 х 1) = 19 

Совет

В этот хак, я выделю жирным шрифтом двоичные числа, чтобы вы может отличить их от обычных десятичных чисел. Без некоторых соглашение, было бы невозможно сказать, является ли число, подобное 10011, состоящий только из 1 и 0, является двоичным или десятичным.

Обратите внимание: поскольку используются только 1 и 0, реального умножение здесь: мы просто складываем позиции с 1с в них. В случае 10011 это 16 + 2 + 1 = 19 .

Теперь мы можем объяснить, как считать на пальцах в двоичном формате. Основная идея состоит в том, чтобы иметь палец обозначать каждую позицию.Начнем с одной руки. Например, предположим, что на правой руке большой палец занимает 1 позицию, указательный палец – 2 позиция, средний палец 4, безымянный палец 8 и мизинец 16. Каждый палец может быть внизу (обозначает 0) или вверх (представляющий 1).

Начните со всех пальцев в нижнем положении. Таким образом, каждая позиция имеет 0, и это представляет число ноль (00000 = 0). Ты сможешь представлять любое 5-битное число одной рукой. Например, для представления 10011 (что равно 19 в десятичной системе), используя систему, описанную в предыдущем разделе, расположите пальцы, как показано на Таблице 4-4 и на Рисунке 4-2.

Таблица 4-4. Пальцы в (десятичное 19) позиции

Палец Значение Жест Бит
Пинки 16 до 1
Кольцо 8 Вниз 0
Средний 4 Вниз 0
Index 2 до 1
Thumb 1 Вверх 1

Рисунок 4-2.Пальцы в позиции 10011 (десятичное число 19)

Правило добавления 1 простое: каждый раз, когда вы увеличиваете число, ищите палец с наименьшим положением, который находится внизу. Поднять его, и опустите все пальцы в еще меньших позициях.

Например, начиная с 19, как в предыдущем примере, мы поднял бы средний палец (позиция 4) и опустил бы указательный палец и большой палец (позиции 2 и 1, которые меньше, чем 4 позиция).Держите мизинец и безымянный палец в одном положении, как показано в таблице 4-5 и на рисунке 4-3. Это представляет номер 10100 ( 16 + 4 = 20 ).

Таблица 4-5. Пальцы в (десятичное 20) позиции

Палец Значение Жест Бит
Пинки 16 до 1
Кольцо 8 Вниз 0
Средний 4 до 1
Index 2 Вниз 0
Thumb 1 Вниз 0

Рис. 4-3.Пальцы в позиции 10100 (десятичное число 20)

Увеличив снова, мы просто поднимем большой палец (поскольку это палец с наименьшим положением внизу). Поскольку нет меньших позиции, чем большой палец, ни один из пальцев не опущен. Номер представлено 10101 ( 16 + 4 + 1 = 21 ).

Одной рукой мы можем изобразить числа до 11111 (31).Чтобы дойти до 1000, переходим к другой руке: большой палец на левая рука представляет 32 позицию, индекс палец представляет 64, средний палец 128, безымянный палец 256 и мизинец 512. С его помощью мы можем представить числа до 1111111111 (1023). Например, 1000 представляется как 1111101000, потому что 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8 = 1000 . (См. Таблицу 4-6 и Рисунок 4-4.)

Таблица 4-6. Пальцы в положении 11111010000 (десятичное 1000)

9 0075
Левая рука Правая рука
Finger Значение Жест Бит палец Значение Жест Бит
Пинки 512 до 1 Пинки 16 Вниз 0
Кольцо 256 до 1 Кольцо 8 до 1
Средний 128 до 1 Средний 4 Вниз 0
Индекс 64 до 1 Индекс 2 Вниз 0
Thumb 32 до 1 Thumb 1 Вниз 0

Рисунок 4-4. Пальцы в позиции 1111101000 (десятичная 1000)

Подсказка

руку отдельно, умножьте на 32 и прибавьте правую руку. Для например, на левой руке: 11111 = 31; 31 × 32 = 992. Затем вычислите справа от вас: 01000 = 8. Наконец, 992 + 8 = 1000.

Это уже больше 1000, но у нас кончились пальцы. Так почему же мы скажите, вы можете считать до миллиона таким образом? Те же пальцы могут одновременно представляют новый, независимый набор битов, которые будут иметь значения 1 024, 2 048 и так далее до 524 288.Для этих битов с более высоким значением прямой палец выключен (0), а согнутый палец включен (1).

Теперь, когда вы добавили согнутые пальцы в свой бинарный репертуар, правило увеличения должно быть расширено. Предыдущее правило поднятие самого маленького опущенного пальца и опускание всех пальцы в меньших позициях по-прежнему применяются. Теперь, однако, если и только если все ваши пальцы подняты (согнуты или прямые), и вы хотите добавить 1, опустите все пальцы, согните самую маленькую позицию прямой палец и выпрямите любой согнутый в нижнем положении пальцы.

Давайте посмотрим, как мы представим 1 000 000 с помощью этой схемы. 1 000 000 = 1 111 010 000 1 001 000 000, потому что 1 000 000 = 2 900 11 19 + 2 18 + 2 17 + 2 16 + 2 14 + 2 9 + 2 6 = 524 288 + 262 144 + 131 072 + 65 536 + 16 384 + 50401 + 2 2 64.

Разделив это на группы по пять (для пяти пальцев), мы должны расположить наши пальцы, как показано в Таблице 4-7.

Таблица 4-7. Пальцы в 11110100001001000000 (десятичный 1 000 000) Позиция, вручную

11110 9006 10010 9

бит
9006
10000 Правая рука скрученные / прямые
10010 левой рукой вверх / вниз
00000 Правая рука вверх / вниз

Пальца на пальцем, 1 000 000 ( 1111010000100100000000 ) выглядит как таблицы 4-8 и 4-9 и Рисунок 4-5.

Таблица 4-8. Пальцы левой руки в 11110100001001000000 (десятичное 1000000) положении, палец пальцем

Палец Значение Жест Бит Значение Жест Бит
Пинки 524,288 Курчавый 1 512 до 1
Кольцо 262144 Изогнутый 1 256 Вниз 0
Средний +131072 Изогнутый 1 128 Вниз 0
Индекс 65536 Курчавый 1 64 до 1
Thumb 32768 Прямая 0 32 Вниз 0

Таблица 4 -9. Пальцы правой руки в 11110100001001000000 (десятичное 1000000) положении, палец пальцем

Палец Значение Жест Бит Значение Жест Бит
Пинки 16384 Курчавый 1 16 Вниз 0
Кольцо 8192 Прямая 0 8 Вниз 0
Средний +4096 Прямая 0 4 Вниз 0
Индекс +2048 Прямая 0 2 Вниз 0
Большой палец 1024 Страй ght 0 1 Вниз 0

Рисунок 4-5. Пальцы в 11110100001001000000 (десятичный 1 000 000) position

Приращение просто добавляет 1, а двоичная арифметика работает то же, что десятичная арифметика (за исключением того, что она проще, потому что есть только два бита). Например, вычисление, которое мы сделали в качестве первого примера (19 + 1 = 20, в десятичном виде) работает следующим образом:

      1   1    10011  
                  + 1
               _____  
                  10100  
             

Так как самая нижняя позиция 1 , добавление 1 дает 2 , что равно 10 в двоичном формате.Итак, проставляем 0 и иметь при себе 1 . (Это соответствует опускание большого пальца.) Добавление переноса к 1 в позиции 2 снова дает 10 , поэтому мы снова имеем 0 с переносом 1 . (Это соответствует понижению индекса палец.) В позиции 4 у нас есть 0 и 0 + 1 = 1 . (Это соответствует поднятию среднего палец.) Остальные цифры остаются такими же, как и соответствующие пальцы делают.

Следующее приращение (20 + 1 = 21) простое, т.к. носит:

                  10100  
                 + 1  
              ______
                  10101  
             

Это соответствует тому, что мы сделали с пальцами: мы только что подняли большой палец.

Правило для пальцев (найдите палец с наименьшим положением, вниз, поднимите его и опустите все пальцы меньшего положения) соответствует найти самый правый 0 , изменить его на 1 и заменив любые 1 с справа на 0 с. Это именно то, что делают керри, как вы можно увидеть в первом дополнении.

Проценты – Введение | SkillsYouNeed

Термин «процент» означает «из ста». В математике проценты используются так же, как дроби и десятичные дроби, как способы описания частей целого. Когда вы используете проценты, считается, что целое состоит из ста равных частей. Символ % используется, чтобы показать, что число представляет собой процент, и реже может использоваться аббревиатура «процент».

Вы увидите проценты почти везде: в магазинах, в Интернете, в рекламе и в СМИ. Способность понимать, что означают проценты, является ключевым навыком, который потенциально сэкономит вам время и деньги, а также сделает вас более востребованным.


Значение процентов

Процент — это латинский термин, означающий «из ста».

Следовательно, каждое «целое» можно рассматривать как разделенное на 100 равных частей, каждая из которых составляет один процент.

В поле ниже показано это для простой сетки, но это работает одинаково для всего: детей в классе, цен, гальки на пляже и так далее.

Визуализация процентов


Приведенная ниже сетка состоит из 100 ячеек.

  • Каждая ячейка равна 1% от целого (красная ячейка равна 1%).
  • Две ячейки равны 2% (зеленые ячейки).
  • Пять ячеек равны 5% (синие ячейки).
  • Двадцать пять ячеек (фиолетовые клетки) равны 25% от целого или одной четверти (¼).
  • Пятьдесят ячеек (желтые ячейки) равны 50% от целого или половине (½).
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

Сколько незаштрихованных (белых) клеток? Каков процент незаштрихованных ячеек?


Ответ: Есть два способа решить эту проблему.

  1. Подсчитайте лейкоциты. Их 17 штук. Таким образом, из 100 клеток 17% белые.
  2. Сложите количество других клеток и возьмите их из 100. Есть одна красная клетка, две зеленые, пять синих, 25 фиолетовых и 50 желтых. В сумме это 83. 100−83 = 17. Опять же, из 100 клеток 17 белых, или 17%.

Легко вычислить процентное соотношение, когда есть 100 отдельных «вещей», составляющих целое, как в сетке выше.А если их больше или меньше?

Ответ состоит в том, что вы преобразуете отдельные элементы, составляющие целое, в проценты. Например, если бы в сетке было 200 ячеек, каждый процент (1%) был бы равен двум ячейкам, а каждая ячейка — половине процента.

Мы используем проценты, чтобы упростить расчеты. С частями числа 100 работать намного проще, чем с третей, двенадцатой и так далее, тем более, что довольно много дробей не имеют точного (неповторяющегося) десятичного эквивалента. Важно отметить, что это также значительно упрощает сравнение процентов (которые фактически имеют общий знаменатель 100), чем между дробями с разными знаменателями. Отчасти поэтому так много стран используют метрическую систему измерения и десятичную валюту.


Нахождение процента

Общее правило для нахождения данного процента от данного целого:

Рассчитайте значение 1%, затем умножьте его на процент, который вам нужно найти.

Это проще всего понять на примере. Предположим, вы хотите купить новый портативный компьютер. Вы проверили местных поставщиков, и одна компания предложила вам скидку 20% от прейскурантной цены в 500 фунтов стерлингов. Сколько будет стоить ноутбук от этого поставщика?

В этом примере вся сумма составляет 500 фунтов стерлингов или стоимость ноутбука до применения скидки. Процент, который вам нужно найти, составляет 20%, или скидка, предлагаемая поставщиком. Затем вы вычтите это из полной цены, чтобы узнать, сколько вам будет стоить ноутбук.

  1. Начните с определения значения 1%

    Один процент от 500 фунтов стерлингов равен 500 ÷ 100 = 5 фунтов стерлингов.

  2. Умножьте на процент, который вы ищете

    После того, как вы вычислили значение 1%, вы просто умножаете его на искомый процент, в данном случае на 20%.

    5 фунтов стерлингов × 20 = 100 фунтов стерлингов.

    Теперь вы знаете, что скидка составляет 100 фунтов стерлингов.

  3. Завершите расчет, прибавив или вычтя необходимое.

    Цена ноутбука, включая скидку, составляет 500–20%, или 500–100 фунтов стерлингов = 400 фунтов стерлингов .

Простой способ вычислить 1% от любого числа


1% — это целое (каким бы оно ни было), деленное на 100.

Когда мы делим что-то на 100, мы просто перемещаем разрядные значения на два столбца вправо (или перемещаем десятичную точку на два знака влево).

Вы можете узнать больше о числах и разрядах на нашей странице Числа , но вот краткий обзор:

£500 состоит из 5 сотен, ноль десятков и ноль единиц.500 фунтов стерлингов также имеют ноль пенсов (центов, если вы работаете в долларах), поэтому их можно записать как 500 фунтов стерлингов с нулевыми десятыми или сотыми долями.

шт.
Сотни Десятки шт. Точка Десятки Сотые
5 0 0 . 0 0

Когда мы делим на 100, мы перемещаем наш номер на два столбца вправо.500 разделить на 100 = 005, или 5. Начальные нули (нули «снаружи слева» числа, например, в 005, 02, 00014) не имеют значения, поэтому их не нужно записывать.

Вы также можете думать об этом как о перемещении десятичной точки на два знака влево.

шт.
Сотни Десятки шт. Точка Десятки Сотые
0 0 5 . 0 0

Это правило применяется ко всем числам, поэтому 327 фунтов стерлингов, разделенные на 100, составляют 3,27 фунта стерлингов. Это то же самое, что сказать, что 3,27 фунта стерлингов составляют 1% от 327 фунтов стерлингов. 1 фунт стерлингов, деленный на 100 = 0,01 фунта стерлингов или один пенс. В фунте сто пенсов (и в долларе сто центов). Таким образом, 1 пенс составляет 1% от 1 фунта стерлингов.

После того, как вы подсчитали 1% от целого, вы можете умножить свой ответ на процент, который вы ищете (см. нашу страницу на умножение для справки).

Умственные математические лайфхаки


По мере развития ваших математических навыков вы сможете увидеть другие способы получения того же ответа. Приведенный выше пример ноутбука довольно прост, и с практикой вы можете использовать свои математические способности в уме, чтобы думать об этой проблеме по-другому, чтобы упростить ее. В этом случае вы пытаетесь найти 20 %, поэтому вместо того, чтобы найти 1 % и затем умножить его на 20, вы можете найти 10 % и затем просто удвоить его. Мы знаем, что 10% — это то же самое, что 1/10, и мы можем разделить число на 10, переместив запятую на один разряд влево (удалив ноль из 500).Следовательно, 10% от 500 фунтов стерлингов составляют 50 фунтов стерлингов, а 20% составляют 100 фунтов стерлингов.

Полезным математическим приемом в уме является то, что проценты обратимы, поэтому 16% от 25 равно 25% от 16. Несомненно, одно из этих значений будет гораздо легче вычислить в уме… попробуйте!


Используйте наши Калькуляторы процентов , чтобы быстро решить свои проблемы с процентами.


Работа с процентами

В приведенном выше примере мы рассчитали 20-процентную скидку, а затем вычли ее из общей суммы, чтобы определить, сколько будет стоить новый ноутбук.

Мы можем не только отнять процент, но и добавить процент к числу. Это работает точно так же, но на последнем шаге вы просто добавляете вместо вычитания.

Например: Джордж получил повышение и зарплату повысили на 5%. В настоящее время Джордж зарабатывает 24 000 фунтов стерлингов в год, так сколько же он будет зарабатывать после того, как его зарплата повысится?
  1. Выработать 1% от всего

    Все в этом примере представляет собой текущую зарплату Джорджа, 24 000 фунтов стерлингов.1% от 24 000 фунтов стерлингов равен 24 000 ÷ 100 = 240 фунтов стерлингов.

  2. Умножьте это на процент, который вы ищете

    Джордж получает повышение зарплаты на 5%, поэтому нам нужно знать значение 5%, или 5 умножить на 1%.

    240 фунтов стерлингов × 5 = 1200 фунтов стерлингов.

  3. Завершите расчет, добавив к исходной сумме

    Повышение заработной платы Джорджа составляет 1200 фунтов стерлингов в год. Таким образом, его новая зарплата составит 24 000 фунтов стерлингов + 1 200 фунтов стерлингов = 25 200 фунтов стерлингов.

    Проценты выше 100%


    Проценты могут превышать 100%. Этот пример один: новая зарплата Джорджа на самом деле составляет 105% от его старой.

    Однако его старая зарплата не равна 100% новой. Вместо этого он составляет чуть более 95%.

    Когда вы вычисляете проценты, важно убедиться, что вы работаете с правильным целым числом. В данном случае «все» — это старая зарплата Джорджа.


Проценты в виде десятичных дробей и дробей

Один процент – это одна сотая часть целого числа.Поэтому его можно записать как десятичную, так и дробную часть.

Чтобы записать процент в виде десятичной дроби, просто разделите его на 100.

Например, 50% становится 0,5, 20% становится 0,2, 1% становится 0,01 и так далее.

Используя это знание, мы можем вычислять проценты. 50% — это половина, поэтому 50% от 10 — это 5, потому что пять — это половина от 10 (10 ÷ 2). Десятичная часть 50% равна 0,5. Таким образом, еще один способ найти 50% от 10 — это, скажем, 10 × 0,5, или 10 половин.

20% от 50 — это то же самое, что сказать 50 × 0.2, что равно 10.

17,5% от 380 = 380 × 0,175, что равно 66,5.

Повышение зарплаты Джорджа выше составило 5% от 24 000 фунтов стерлингов. 24 000 фунтов стерлингов × 0,05 = 1 200 фунтов стерлингов.

Преобразование десятичной дроби в проценты — это просто обратный расчет: умножьте десятичную дробь на 100.

0,5 = 50 %
0,875 = 87,5 %

Чтобы записать процент в виде дроби, поместите процентное значение в знаменатель 100 и разделите его на наименьшую возможную форму.

50 % = 50/100 = 5/10 = ½
20 % = 20/100 = 2/10 = 1/5
30 % = 30/100 = 3/10

ВНИМАНИЕ!


Можно преобразовать дроби в проценты, переведя знаменатель (нижнее число дроби) в 100.

Однако преобразовать дроби в проценты сложнее, чем проценты в дроби, потому что не каждая дробь имеет точное (неповторяющееся) десятичное число или процент.

Если знаменатель вашей дроби целое число раз не делится на 100, то простого преобразования не будет.Например, 1/3, 1/6 и 1/9 не дают «чистых» процентов (они равны 33,33333%, 16,66666% и 11,11111%).


Вычисление процентов от целого

До сих пор мы рассмотрели основы работы с процентами и то, как прибавлять или вычитать процент из целого.

Иногда бывает полезно вычислить проценты от целого, когда вам известны соответствующие числа.

Например, предположим, что в организации работает 9 менеджеров, 12 администраторов, 5 бухгалтеров, 3 специалиста по персоналу, 7 уборщиц и 4 работника общественного питания.Какой процент каждого типа персонала он использует?

  1. Начните с проработки целого.

    В этом случае вы не знаете «всего» или общей численности персонала в организации. Таким образом, первым шагом является объединение различных типов персонала.

    9 менеджеров + 12 администраторов + 5 бухгалтеров + 3 специалиста по кадрам + 7 уборщиков + 4 работника общественного питания = 40 сотрудников.

  2. Рассчитайте долю (или долю) персонала в каждой категории.

    Нам известно количество сотрудников в каждой категории, но нам нужно преобразовать его в долю от целого, выраженную в виде десятичной дроби. Расчет, который нам нужно сделать, это:

    Персонал в категории ÷ Весь (См. нашу страницу отдела для помощи с суммами деления или используйте калькулятор)

    В качестве примера мы можем использовать менеджеров:

    9 менеджеров ÷ 40 = 0,225

    В этом случае может быть полезно, если вместо того, чтобы думать о символе деления «÷» как о значении «делится на», мы можем заменить слова «из». Мы часто используем это в контексте результатов тестов, например, 8/10 или «8 из 10» правильных ответов. Таким образом, мы вычисляем «количество менеджеров из всего штата». Когда мы используем слова для описания расчета, это может сделать его более понятным.


  3. Преобразование доли целого в проценты

    0,225 — доля сотрудников, занимающих руководящие должности, выраженная в виде десятичной дроби. Чтобы преобразовать это число в проценты, нам нужно умножить его на 100.Умножение на 100 — это то же самое, что и деление на сто, за исключением того, что вы перемещаете числа в другую сторону по шкале разрядов. Таким образом, 0,225 становится 22,5.

    Другими словами, 22,5% сотрудников организации являются менеджерами.

    Затем мы делаем те же два расчета для каждой другой категории.

  • 12 администраторов ÷ 40 = 0,3. 0,3 × 100 = 30%.
  • 5 бухгалтеров ÷ 40 = 0,125. 0,125 × 100 = 12,5%.
  • 3 специалиста по кадрам ÷ 40 = 0.075. 0,075 × 100 = 7,5%.
  • 7 очистителей ÷ 40 = 0,175. 0,175 × 100 = 17,5%.
  • 4 обслуживающего персонала ÷ 40 = 0,1. 0,1 × 100 = 10%.

ЛУЧШИЙ СОВЕТ! Проверьте, что у вас есть в общей сложности 100%


Когда вы закончите вычислять проценты, рекомендуется сложить их вместе, чтобы убедиться, что они равны 100%. Если нет, то проверьте свои расчеты.

Подводя итог, можно сказать, что организация состоит из:

Роли Количество сотрудников % персонала
Менеджеры 9 22.5%
Администраторы 12 30%
Бухгалтеры 5 12,5%
Специалисты по кадрам 3 7,5%
Очистители 7 17,5%
Персонал общественного питания 4 10%
Итого 40 100%

Может быть полезно отображать процентные данные, представляющие целое на круговой диаграмме. Вы можете быстро увидеть пропорции категорий персонала на примере.

Для получения дополнительной информации о круговых диаграммах и других типах графиков и диаграмм см. нашу страницу: Графики и диаграммы .

Что нужно помнить


  • Проценты — это способ описания частей целого.
  • Они чем-то похожи на десятичные, за исключением того, что целое всегда делится на 100, а не на десятые, сотые, тысячные и т. д. единицы.
  • Проценты предназначены для упрощения расчетов.


Дополнительное чтение из навыков, которые вам нужны


Пропорция
Часть руководства по необходимым навыкам счета

В этой электронной книге рассматриваются пропорции, рассматривающие числа как части других чисел, как части большего целого или по отношению к другим числам. В книге рассматриваются дроби и десятичные дроби, отношения и проценты с рабочими примерами, чтобы вы могли попробовать и развить свои навыки.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.


Сколько стоит 2 × 4? Понимание того, как мозг решает арифметические задачи · Frontiers for Young Minds

Аннотация

Сколько стоит 2 × 4? Звучит как простой вопрос, но задумывались ли вы когда-нибудь о том, как решить эту проблему? В этой статье вы узнаете о двух разных стратегиях, которые мы используем для решения арифметических задач. Вы также познакомитесь с различными областями мозга, такими как внутритеменная борозда, которые работают вместе, когда вы используете эти разные стратегии.Какая стратегия и какие области мозга вы используете, меняется со временем по мере того, как вы лучше знакомитесь с арифметикой. Этот переход особенно заметен в том, как области мозга работают и взаимодействуют друг с другом — одни области становятся более активными, а другие — менее активными. Прочитав эту статью, вы узнаете больше о методах, которые мы используем для решения арифметических задач, и об областях мозга, необходимых для поиска ответов на ваше следующее домашнее задание по математике.

Введение

Поскольку математика является одним из самых важных навыков, которые необходимо освоить, понимание того, как решаются арифметические задачи, может оказать очень большое влияние.Вам нужна математика не только каждый день в школе, но и во взрослом возрасте. Если вы хотите стать программистом, инженером или ученым, вы будете ежедневно иметь дело с числами. Поскольку математика важна почти на каждой работе, людям, которые плохо разбираются в математике, иногда трудно найти работу. Некоторые из них могут даже страдать от так называемой дискалькулии развития . Поэтому понимание того, что происходит в мозгу, когда вы считаете, может быть очень полезным для детей, у которых проблемы с математикой.Понимание причин этих трудностей позволяет учителям строить свои уроки таким образом, чтобы детям было легче учиться. И, конечно же, просто любопытство о том, как все устроено, всегда является достаточной причиной для проведения эксперимента!

Существуют ли разные способы решения арифметической задачи?

Для изучения арифметики детей и взрослых обычно просят решать арифметические задачи как можно быстрее и точнее. Задачи обычно представляются на экране компьютера одна за другой (см. рис. 1).Как только участник дает ответ, появляется следующая задача. Чтобы изучить различные стратегии, которые мы используем в арифметике, ученые обычно используют сочетание различных арифметических операций разной сложности.

  • Рис. 1. Пример установки для исследования решения арифметических задач.
  • Участникам предлагается решить арифметическую задачу на экране компьютера. Как только ответ дан, появляется новая проблема. Для каждой задачи исследователи фиксируют время, затраченное на решение задачи (скорость) и правильность ответа (точность).

Используя эти методы, ученые обнаружили, что арифметические задачи можно разделить на две категории: маленькие и большие задачи. Небольшие задачи решаются очень быстро, и участники делают меньше ошибок при решении этих задач. Хорошим примером может быть «2 × 4». Большие проблемы обычно немного сложнее решить. Участникам требуется больше времени, чтобы решить эти проблемы, а также сделать больше ошибок. Хорошим примером может быть «12 × 3». Ученые иногда расходятся во мнениях относительно того, где провести черту между малыми и большими проблемами.Насколько сложно решить проблему, зависит от вашего возраста и способностей. Однако различия в скорости и ошибках между маленькими и большими задачами предполагают, что мы используем две основные стратегии для их решения [2].

Первая стратегия, вычисляющая ответ, часто используется с большими задачами. Это называется процедурной стратегией, потому что поиск ответа включает в себя несколько шагов или несколько процедур. Например, чтобы решить «12 × 3», вы можете разделить задачу на две более простые, например «10 × 3 = 30» и «2 × 3 = 6».После этого вы можете сложить результаты, чтобы получить ответ «36». Но добавление дополнительных шагов имеет свои недостатки. Это занимает больше времени, и каждый шаг также увеличивает вероятность совершения ошибок. Однако вы не всегда используете одну и ту же стратегию для решения одной и той же проблемы. После того, как вы решите это несколько раз, правильный ответ 1 день просто придет вам в голову. Это показывает, что способ решения этой проблемы изменился.

Теперь вы используете вторую стратегию: знать ответ наизусть — это часто называют поиском фактов.Решая одну и ту же задачу несколько раз, вы сохраняете ее ответ в своей долговременной памяти. Переход от использования процедурных стратегий к использованию поиска фактов является важным шагом в развитии арифметических способностей [3]. Вместо вычисления ответа теперь вы можете его запомнить. Кроме того, становясь лучше в решении более простых задач, вы также становитесь лучше в решении более сложных задач. Чтобы лучше понять эти изменения, нам нужно заглянуть внутрь нашего мозга, пока он решает арифметические задачи.Для этого ученые используют различные инструменты, такие как электроэнцефалография (ЭЭГ) и функциональная магнитно-резонансная томография (фМРТ, см. рис. 2).

  • Рис. 2. Дети, принимающие участие в одном из наших исследований функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ, слева) и электроэнцефалографии (ЭЭГ, справа).
  • Эти два инструмента позволяют ученым изучать мозг во время его работы.

Какие области мозга участвуют в решении арифметических задач?

Попытка понять, как работает мозг, иногда может показаться решением сложной головоломки.Подобно тому, как головоломка состоит из разных частей, ваш мозг состоит из различных областей мозга (см. рис. 3). Понимание функции каждой области мозга даст вам более четкое представление о том, как она вписывается в головоломку.

  • Рисунок 3. На этом рисунке вы видите несколько областей мозга и одну связь, которые важны для арифметики.
  • Два из них находятся в лобной коре (красные) и два в теменной коре (желтые). Как они работают вместе, когда вы вычисляете, зависит от вашего возраста и ваших способностей.Другая важная область мозга, гиппокамп, находится в самом центре вашего мозга и поэтому скрыта от глаз.

Первая часть головоломки — внутритеменная борозда. Он расположен в теменной коре и отвечает за понимание значения чисел [4]. Первым шагом при решении арифметической задачи является понимание величины числа. Например, вы должны знать, что «4 собаки» — это больше, чем «2 собаки». Вам также необходимо понимать порядок чисел (т.т. е. «1» предшествует «2», «2» предшествует «3» и т. д.). При расчете вы используете свое понимание величины и порядка, чтобы найти правильное решение.

Следующие части головоломки связаны с тремя областями мозга в лобной коре. Вентролатеральная префронтальная кора работает с областями теменной коры, чтобы сгладить отвлекающие факторы, такие как мечты о следующей поездке на велосипеде с друзьями. Дорсолатеральная префронтальная кора необходима для манипулирования числами, например, для разделения большой задачи на более простые этапы.Установлено, что нижняя лобная извилина играет важную роль в игнорировании подобных, но неправильных ответов [5].

Последние части нашей головоломки — это гиппокамп и угловая извилина. Гиппокамп расположен глубоко внутри вашего мозга. Он играет важную роль в хранении арифметических фактов [6]. Гиппокамп — это кнопка «сохранения» вашего мозга. Когда дело доходит до математики, она работает с лобной корой, чтобы помочь вам сохранить ответы на арифметические задачи в виде арифметических фактов в вашей долговременной памяти.Затем угловая извилина участвует в поиске этих фактов при решении арифметических задач.

Как меняется решение арифметических задач с возрастом?

Вы когда-нибудь вместе с друзьями решали сложную головоломку? Если это так, вы, вероятно, работали вместе, чтобы решить эту проблему. Ваш мозг работает аналогичным образом. Различные области мозга работают вместе при решении проблемы. Последняя часть нашей головоломки — понимание того, как эти области мозга работают вместе, когда вы считаете.Как вы теперь знаете, способ решения арифметических задач меняется по мере того, как вы становитесь старше. Вместо того, чтобы в основном использовать процедурные стратегии для решения арифметических задач, вы начинаете чаще использовать поиск фактов. Но это не единственное, что меняется. Ученые обнаружили, что во время этого процесса меняется и способ совместной работы различных областей мозга. Например, пока вы молоды, лобная кора играет очень важную роль. Он управляет вашей рабочей памятью и вниманием, потому что то, как вы решаете арифметические задачи, включает в себя несколько шагов (процедурные стратегии).Когда вы становитесь старше и начинаете использовать поиск фактов, роль вашей лобной коры меняется. Когда вы смотрите на лобную кору с помощью фМРТ или ЭЭГ, вы можете видеть, что она становится менее активной по мере того, как вы становитесь старше. Он по-прежнему участвует в процессе поиска правильного ответа, но ему уже не приходится работать так усердно, как раньше. Возможно, вы сталкивались с чем-то подобным, когда сотрудничали со своими друзьями. Поначалу кому-то из вас, возможно, приходилось следить за прогрессом каждого и давать инструкции, что делать дальше (аналогично лобной коре). После того, как вы успешно решили несколько головоломок вместе, вы сможете работать вместе, не нуждаясь в том, чтобы кто-то всегда проверял прогресс. Меняется и роль гиппокампа. При поиске фактов он более активен у детей раннего возраста, чем у взрослых [7]. Это потому, что когда вы молоды, гиппокамп все еще усердно работает, чтобы сохранить ответы на арифметические задачи в вашей долговременной памяти. По мере того, как вы становитесь старше, вашему гиппокампу приходится работать все меньше и меньше, потому что вы сталкиваетесь с меньшим количеством новых ответов, которые нужно сохранять.

Все области мозга работают вместе, общаясь друг с другом. Это общение происходит по широкой сети путей (называемых белым веществом), которые соединяют все области мозга. Эти сети похожи на то, как дороги соединяют разные города. Одна из этих дорог в головном мозге называется верхним продольным пучком. Эта дорога соединяет префронтальную кору с теменной корой (где находится IPS) [8]. Поскольку в процессе решения арифметических задач в определенные моменты вашей жизни задействованы разные области мозга, связи между этими областями также меняются. Ученые до сих пор пытаются полностью понять, как и почему эти связи меняются по мере взросления. Это означает, что хотя мы уже много знаем о том, как решать арифметические задачи, нам все еще нужно провести дополнительные исследования, чтобы решить загадку вычислительного мозга.

Резюме

Даже если на первый взгляд это кажется простым процессом, решение арифметической задачи на самом деле включает в себя множество шагов. Не только это, но и по мере того, как вы становитесь старше, вы используете разные стратегии для их решения. Почти каждая часть вашего мозга меняется.Сначала многие области мозга работают вместе, чтобы решить арифметическую задачу. Некоторые части позволяют вам сосредоточиться на задаче, другие отслеживают и запоминают результаты ваших вычислений. Гиппокамп сохраняет правильный результат в вашей долговременной памяти. Когда вы становитесь старше, вам нужно всего несколько специализированных областей мозга для решения одной и той же задачи. Теперь ваш мозг работает очень эффективно. В следующий раз, когда вы будете делать домашнюю работу по математике, найдите минутку и подумайте обо всех задействованных областях мозга!

Глоссарий

Дискалькулия развития : Трудность в изучении или понимании арифметики.Хороший обзор можно найти в статье Young Minds; Когда ваш мозг не может сделать 2 + 2: случай дискалькулии развития [1].

Электроэнцефалография (ЭЭГ) : Нейробиологический инструмент для измерения электрических сигналов, производимых мозгом. Этот метод может сказать нам с высокой точностью, в какой момент времени области мозга выполняют определенную задачу.

Функциональная магнитно-резонансная томография (фМРТ) : Инструмент для измерения разницы кислорода в мозге.Поскольку во время работы активным областям требуется больше кислорода, мы можем с высокой точностью сказать, какие части выполняют эту работу.

Области мозга : Мозг можно разделить на четыре основные части: лобная кора, теменная кора, височная кора и затылочная кора. Каждая кора содержит области мозга с уникальными функциями.

Рабочая память : Важнейшая функция вашего мозга. Подобно рабочей памяти компьютера, она хранит информацию в вашем уме, чтобы работать с ней, когда она вам нужна.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Мы хотели бы от всего сердца поблагодарить тех, кто помогал в переводе статей из этого сборника, чтобы сделать их более доступными для детей за пределами англоязычных стран, а также Фонд Джейкобса за предоставление средств, необходимых для перевода статей.В этой статье мы особенно хотели бы поблагодарить Ниенке ван Аттевельдт и Сабину Петерс за перевод на голландский язык.


Каталожные номера

[1] Bugden, S., and Ansari, D. 2014. Когда ваш мозг не может сделать 2 + 2: случай дискалькулии развития. Фронт. Молодые умы 2:8. doi: 10.3389/frym.2014.00008

[2] Зиглер, Р. С. 1996. Развивающиеся умы: процесс изменения детского мышления . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.doi: 10.5860/выбор.34-5984

[3] Де Смедт, Б. 2016. «Индивидуальные различия в арифметическом поиске фактов», в Mathematical Cognition and Learning , eds DB Berch, DC Geary и KM Koepke (Сан-Диего, Калифорния: Academic Press) . п. 219–43. doi: 10.1016/B978-0-12-801871-2.00009-5

[4] Vogel, S.E., Goffin, C., and Ansari, D. 2015. Специализация развития левой теменной коры для семантического представления арабских цифр: исследование адаптации fMR. Дев. Познан. Нейроски . 12, 61–73. doi: 10.1016/j.dcn.2014.12.001

[5] De Visscher, A., Vogel, S.E., Reishhofer, G., Hassler, E. , Koschutnig, K., De Smedt, B., et al. 2018. Эффект интерференции и размера задачи при решении фактов умножения: индивидуальные различия в активации мозга и арифметической производительности. Нейроизображение 15:718–27. doi: 10.1016/j.neuroimage.2018.01.060

[6] Цинь С., Чо С., Чен Т., Розенберг-Ли М., Geary, D.C., and Menon, V. 2014. Функциональная реорганизация гиппокампа и неокоры лежит в основе когнитивного развития детей. Нац. Неврологи. 17:1263–9. doi: 10.1038/nn.3788

[7] Чо, С., Меткалф, А.В.С., Янг, К.Б., Риали, С., Гири, Д.К., и Менон, В. 2012. Гиппокампально-префронтальное взаимодействие и динамические причинно-следственные взаимодействия при созревании факта у детей поиск. J. Cogn. Неврологи. 24:1849–66. дои: 10.1162/jocn_a_00246

[8] Матейко А.А. и Ансари Д. 2015. Установление связи между белым веществом и числовым и математическим познанием: обзор литературы. Неврологи. Биоповедение. Откр. 1:35–52. doi: 10.1016/j.neubiorev.2014.11.006

Как избежать этих 3-х распространенных мифов о ментальной математике – Кейт Сноу

3 мифа о ментальной математике от Лоры Ингаллс Уайлдер и 4 способа перенести ментальную математику на домашнее обучение в 21 век.

Когда я была маленькой девочкой, я была одержима Лорой Ингаллс Уайлдер и Маленьким домиком в прерии книгами.

У меня было зеленое ситцевое платье девушки прерий, которое я годами настаивала на том, чтобы надевать его на семейные мероприятия, даже когда оно буквально начало разваливаться.

Мне приснилось, что я посещаю однокомнатную школу.

А в один дождливый субботний день я даже выплеснула воду на ковер, когда «таскала воду» из ванной на кухню для своей вечно терпеливой мамы, потому что мне просто нужно было притвориться Лорой, таскающей воду из колодца.

Одна из моих любимых сцен — школьная выставка в конце Маленький городок в прериях . Лаура и ее одноклассники готовятся неделями, чтобы продемонстрировать свои навыки.

Наконец наступает большой вечер. После географии и грамматики Лора готовится к предмету, которого боится больше всего: математике.

«Арифметика в уме была еще сложнее. Лора не любила арифметику. Ее сердце отчаянно забилось, когда подошла ее очередь, и она была уверена, что потерпит неудачу».

И затем ей дали решить эту задачу:

«Поделите 347 264 на 16.

Мысленно.

Ой!

Как бы я ни любил Лору, я не не люблю неправильных представлений об арифметике в уме, которые возникли в однокомнатных школьных сценах, подобных этой. Ментальная математика не предназначена для того, чтобы удивлять других людей решением длинных сложных задач в уме. (И дело точно не в стрессе, связанном с тем, чтобы все эти цифры были верными!)

Многое изменилось с тех пор, как Лора пошла в школу 150 лет назад. Но вычисление в уме равно по-прежнему актуально, даже в эпоху приложений-калькуляторов для смартфонов.Давайте разрушим эти мифы о ментальной математике, чтобы ваши дети могли воспользоваться всеми преимуществами , которые может предложить ментальная арифметика, без всего беспокойства, страха и страха перед неудачей, через которые прошла Лаура.

Миф 1: «Ментальная математика» означает просто считать в уме.

В прериях бумага была дорогой и не всегда доступной. Ма не могла просто бросить пачку бумаги в свою тележку в Target — к тому же у нее не было приложения-калькулятора на телефоне! — ​​поэтому решение сложных задач, ничего не записывая, было полезным навыком.

«347 264 разделить на 16. Шестнадцать на 34 дважды, отложить 2 и перенести 2; шестнадцать в 27 идет один раз, отложите 1 и несите 11…»

Но в наши дни нашим детям не нужно уметь решать в уме задачи на деление на 6 цифр. Обрывки бумаги валяются в наших домах, а приложение-калькулятор всегда рядом.

Да, вычисления в уме выполняются «в вашей голове». Но не означает, что означает выстраивание цифр и решение задачи так же, как вы делаете это на бумаге.Потому что… у нас есть бумага для этого!

(И если вы не знаете, как еще можно решать задачи в уме, вы не одиноки. Не пропустите викторину в конце поста, чтобы узнать больше о методах ментальной арифметики, которым вы можете научить своих детей. . )

Итак, если это так, зачем вообще учить ментальную арифметику? Что подводит нас ко второму мифу…

Миф 2: Цель уроков ментальной арифметики — решать задачи на лету.

Да, полезно иметь возможность быстро вычислить, сколько пачек коробок сока нужно купить в Costco, или рассчитать чаевые в ресторане.Но решение задач в уме на самом деле является побочным эффектом ментальной арифметики — , а не главной цели.

Основная цель математики в уме – помочь детям лучше овладеть всеми видами математики – письменной или умственной.

Вот почему: когда дети решают задачи в уме, они не могут полагаться на письменные процедуры, которые они могут понять или не понять.

Вместо этого они должны глубоко задуматься об операциях (сложение, вычитание, умножение и деление) и о том, как числа соотносятся друг с другом.

Им приходится применять такие свойства, как свойство коммутативности или дистрибутивности, и им приходится усердно думать о разрядном значении, когда они разбирают числа на части и снова складывают их вместе.

Кроме того, математика в уме также помогает детям практиковать дополнительные навыки, необходимые им для письменной работы.

Например, когда второклассница складывает в уме 28 + 5, она не просто находит ответ. Когда она складывает 8 и 5 вместе, чтобы получить 13, а затем понимает, что ей нужно добавить 10 от 13 к 20, она развивает глубокое понимание перегруппировки, которого она не получит, если просто «несет 1». на бумаге, потому что ее мама сказала ей.

Умственная математика — это не то, чем вы занимаетесь только тогда, когда у вас нет бумаги. Это важный инструмент для лучшего понимания математики в первую очередь. Вот почему вам даже не нужно делать все это мысленно. Что подводит нас к нашему последнему мифу…

Миф 3: Ничего нельзя записывать во время ментальной арифметики.

Бедняжке Лауре не разрешалось ничего записывать во время ее бесконечной задачи на деление:

«…шестнадцать в 112 идет семь раз, проставляете 7 и ничего не переносите; шестнадцать в 6 не идет, ничего не пишется; шестнадцать в 6 не идет, ничего не пишется; шестнадцать в 64 идет 4 раза, запишите 4.

Представляете, как она, должно быть, волновалась в этот момент из-за того, что напортачила? Одна маленькая ошибка, и вся проблема неверна. Это очень впечатляющий подвиг памяти.

Но смысл математики в уме в наши дни состоит в том, чтобы воспитать ребенка, который хорошо понимает математику, а не в том, чтобы создать чемпиона по запоминанию.

Итак, можно записывать задачи по арифметике в уме чтобы вашему ребенку не приходилось держать числа в голове .

Ваш ребенок также может записывать числа из промежуточных шагов своих вычислений.

Сосредоточьтесь на глубоком понимании, которое приходит, когда вы разбираете числа на части и снова складываете их, а не на чистом вызове памяти, когда нужно удерживать все числа в голове.

4 простых способа научить ментальной арифметике

1. Найдите задание по математике в уме в школьной программе по математике.

Вам не нужно изобретать велосипед. В вашей учебной программе по математике, вероятно, уже есть упражнения по ментальной математике — вам просто нужно убедиться, что вы их выполняете! Просмотрите руководство вашего учителя и посмотрите.

  • Если вы используете RightStart или Saxon, ментальная арифметика выполняется на разминке.
  • Если вы используете сингапурскую математику, загляните в конце своего домашнего руководства для инструкторов.
  • Если вы используете Math Mammoth, любая задача, написанная горизонтально, предназначена для мысленного решения.
  • И если вы используете другую учебную программу, посмотрите. Держу пари, он там!

2. Делайте тренировки короткими и приятными.

Независимо от того, используете ли вы математические задачи в уме из своей учебной программы или придумываете свои собственные, делайте практические занятия короткими.Для большинства детей 5-10 задач в день обеспечивают достаточную практику.

3. Сосредоточьтесь на точности и общем понимании, а не на конкретных методах.

Ваша учебная программа может учить определенным стратегиям решения математических задач в уме. Когда вы столкнетесь со стратегиями в тексте, научите им своего ребенка. Используйте манипулятивные приемы, чтобы помочь ребенку усвоить стратегию и убедиться, что он понимает, почему она работает.

Но как только вы убедитесь, что ваш ребенок знает стратегию, позвольте ему использовать любую стратегию, которую он хочет , при решении задач.

До тех пор, пока она может объяснить, что делает (и до тех пор, пока ее способ надежно даст правильный ответ), она может использовать любые стратегии ментальной арифметики, которые ей удобны. Некоторые стратегии работают с одними детьми больше, чем с другими. Что наиболее важно, так это то, что ваш ребенок глубоко думает о числах, а не использует какую-то одну ментальную математическую стратегию.

4. Играйте в игры, требующие вычислений в уме.

Никто не хочет прерывать игру, чтобы написать математические задачи, поэтому игры дают детям хороший повод искать ответы в уме.

Cribbage, Monopoly, Life и Yahtzee предоставляют множество прекрасных возможностей для умственной арифметики, и у вас, вероятно, уже есть некоторые из них, застрявшие где-то в шкафу.

Теперь вернемся к Лоре:

«Триста сорок семь тысяч двести шестьдесят четыре равно — двадцать одна тысяча семьсот четыре». Ей не нужно умножать обратно, чтобы убедиться, что ответ правильный. Она знала, что это правильно, потому что мистер Оуэн поставил другую проблему.

Удивительно!

Вам не нужно часами тренировать (и напрягать) своих детей, чтобы воспользоваться преимуществами ментальной арифметики.

Задавайте своим детям несколько математических задач каждый день, сосредоточьтесь на глубоком понимании, а не на конкретных методах, и играйте в игры, требующие ментальной арифметики.

Вы будете на пути к воспитанию суперзвезд умственной математики… даже если они никогда не решат в уме задачи на деление шестизначных чисел, как Лаура Ингаллс Уайлдер.

Удачной математики!

 

 

IWTL Как намного быстрее справляться со счетом в уме : IWantToLearn

Woot, один, о котором я кое-что знаю, так как я занимаюсь счетом в уме.Я был ужасен в алгебре и геометрии, пока мой учитель 11-го класса не дал мне книгу по ментальной арифметике… что-то в ней заставило ВСЕ щелкнуть в моей голове… и теперь у меня нет проблем с триггером и вычислением даже.

  1. Выучите свою таблицу умножения до 100, а также убедитесь, что вы можете перевернуть ее (делить) без проблем. (Не потому, что это действительно чрезвычайно полезно после 20х20, а потому, что это заставит вас изучить шаблоны и шаблоны, а также память на ментальную математику. ) www.cut-the-knot.org/arithmetic/rapid/rapid.shtml

    http://math.about.com/library/bldivide.htm

    http://www.angelfire.com/me/marmalade/mathtips. html

    http://mathtricks.org/

    Там намного больше, у меня была книга, но сейчас я не могу вспомнить название… Я отредактирую, если найду. Большинство из них есть в Google на разных сайтах, просто нужно продолжать искать. Изменить: не тот, который у меня был, но просматривая его, это ssdd. http://www.reddit.com/r/IWantToLearn/comments/162xaz/iwtl_how_to_get_much_faster_at_mental_math/c7s97d9

    3) Изучите короткие пути и приемы разбивки.10% – это простой процент для расчета, обычно вы просто сдвигаете десятичный разряд. 142,65 доллара = 14,265 доллара = 14,27 доллара. Поэтому, если вы хотите 15%, рассчитайте его как 10% + (половина 10%), а не как 15%. Для округления сложения/вычитания до хороших четных чисел вычтите/добавьте меньшие биты в конце, например, 14729 + 6984 = (14700 + 7000) + (29 – 16) = 21700 + 13 = 21713. . гораздо проще отслеживать из двух чисел (одно большое красиво круглое, 1 маленькое), чем значащие цифры, а также перенос и заимствование для больших чисел.

    4) Практика. Упражняться. Упражняться. Упражняться. Упражняться. Упражняться.

    Когда вы получаете счет в ресторане, посчитайте в уме все чаевые от 5% до 15%. Затем рассчитайте процент, который они составляют, если вы округлите их до ближайшего приращения в 5 долларов. Работайте над своей памятью на числа… посчитайте все автомобили ч/б и основного/дополнительного цветового круга, которые вы видите по дороге на работу/учебу. Держите итоги в голове, пока идете. Запишите их, когда доберетесь туда, и посмотрите, сможете ли вы вспомнить их в конце дня.Выучите число «пи» до как можно большего числа значащих цифр, просто ради смеха… отлично подходит для числовой памяти. Повторяйте, пока не сможете. Находите закономерности в телефонных номерах, булавках, паролях, научитесь связывать сложные числа с фигурами на цифровой клавиатуре и т.  д.

    Хорошо уметь считать в уме — это весело, и в целом это полезный жизненный навык. Удачи!

    Степени числа 10

    Степени числа 10
    Следующий: Научное обозначение Добавлено: ES 10 Дополнение Раздаточный материал 1 Предыдущий: ES 10 Дополнительный раздаточный материал 1

    Степени 10

    Десятичная система, основанная на числе 10, является используемой системой счисления. больше всего в мире.Другие системы счисления, с которыми вы знакомы, являются двоичными. числа, которые основаны на нуле и 1 и используются в компьютерах, и время, который делится (в основном) на единицы, кратные 60 – есть Например, 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Поскольку десятичная система и степени 10 настолько важны в науке, что я немного расскажу о них здесь.


    1.1 Что такое 10

    x ?

    Не паникуйте по поводу фразы “степени 10” – вы уже привыкли использовать их, даже если вы не знаете об этом.Быстро – сколько 10 × 10? 100, из курс. А что такое 10 × 1/10? Это 1. Это простые примеры, чтобы показать вы, что вы уже знаете, как это работает.

    Степени десяти записываются как 10 х , где x – это мощность, о которой я говорю, и называется “экспонента”. 10 x означает «10 × 10, x » раз.” 10 -x означает “1/10 × 1/10, x раз.” В математике, а не в словах, это выглядит так

    Вот пара примеров, чтобы было немного понятнее:

    Таблица 1 перечисляет числа как в общей нотации, так и в математической нотации.Некоторые степени десяти часто используются в науке и имеют специальные “префиксы”, которые перечислены также. Кроме того, некоторым степеням числа десять были даны имена, некоторые из которых не знакомые вам сомнения; Я внес имена в таблицу.

    Если вы посмотрите на Таблицу 1, вы можете заметить кое-что полезное: показатель степени для каждой записи в таблице равен равно количеству нулей в соответствующем числе, записанном “нормально”. Это позволяет легко запомнить, что представляет собой данная степень числа десять, когда она написана на обычный способ.Вы также можете понять, почему ученые и инженеры предпочитают писать такие вещи, как 10 20 , вместо того, чтобы записывать 1 с последующими 20 нулями (100 000 000 000 000 000 000) — короче. Мы еще поговорим о научной стенографии позже, когда мы говорим о научном обозначении .

    «Префикс» в пятой колонке в Таблица 1 используется как сокращение, когда речь идет о количестве вещей. Например, память компьютера обычно измеряется в мегабайтах или миллионах байтов, а память на жестком диске компьютера теперь часто измеряется гигабайтами или миллиардами байт.Кроме того, вы можете получить рецепт на лекарство от простуды, которое, скажем, 20 миллиграммов какого-то наркотика. Это сокращенный способ сказать 20 тысячных грамма.

    Таблица 1: Числа и степени 10

    Наверх

    1.2 Умножение и деление степеней 10

    Возможно, вы не уверены, что полезно иметь возможность записывать числа в степени десяти. Что ж, степени десяти полезны и при выполнении математических операций. Скажем, я спрашиваю вас: «Сколько будет 10 раз по 1000?». сделка – это всего 10000.Но что, если я спрошу вас: «Сколько будет в триллион раз один квадриллион?

    Оказывается, умножать действительно большие числа легко со степенями десять. Все, что вам нужно сделать, это сложить показатели, и все готово. Давайте использовать пример, который я только что дал вам. Сколько будет один триллион умножить на один квадриллион? Во-первых, используя Таблицу 1, вы можете увидеть один триллион 10 12 , и один квадриллион 10 15 . Итак, ответ 10 27 . что является действительно большим числом – и вы можете увидеть это почти сразу, без нужен калькулятор или лист бумаги, чтобы сделать это от руки.Вот еще несколько Примеры:

    Деление работает аналогично, за исключением того, что вы вычитаете степени. Сколько будет один триллион, разделенный на один квадриллион? Ну, это 10 12 ÷ 10 15 , так что ответ 10 -3 или одна тысячная. Здесь еще несколько примеров:

    Опять же, хотя это может показаться бесполезным для небольших чисел, представьте деление один триллион триллионов триллионов, то есть 10 36 , на один миллиард миллиардов миллиардов, что 10 18 , от руки.Это займет у вас некоторое время. (Кстати, ответ 10 18 .)

    Наверх

    1.3 Что насчет “журналов”?

    Вам может быть интересно, есть ли противоположность степеням числа 10; что-то как деление противоположно умножению или вычитанию напротив добавления. Оказывается, есть как раз такая штука: логарифмы, или “журналы”. Раньше логи были очень важны для умножение и деление, и все время использовались при выполнении арифметических действий с использованием логарифмических линеек.Теперь, когда ручные калькуляторы стали обычным явлением, использование логарифмов для базовых расчетов исчезает, но все еще может быть полезным. И хотя использование логарифмов для простых арифметических операций встречается редко, есть и другие использует логарифмы во многих областях науки, и мы можем увидеть некоторые из этих использует позже в классе.

    Логарифм (логарифм) числа, записанного в виде степени десяти, вычислить несложно. Это просто экспонента. Так, например, журнал 10 3 is 3. Журнал 10 -2 это всего лишь -2.И поменять это вокруг также легко: если я скажу вам, что логарифм некоторого числа равен 6, все, что вам нужно сделать, это сказать номер 10 6 или один миллион. Еще несколько примеров:

    Где бревна действительно полезны, так это в выполнении умножения и деления числа. Из предыдущего раздела вы знаете, что для умножения чисел, которые являются степенями десяти, вы добавляете показатели степени, и чтобы разделить такие числа, вы вычесть показатели. Ну, так как логарифм числа, который является степенью 10 — это всего лишь показатель степени этой степени, чтобы выполнить умножение, вы просто прибавляете журналы.Чтобы сделать деление, просто вычтите бревна. Пример:

    Вы могли видеть ответ из раздела 1.2, но вы можете видеть, как легко это сделать с помощью журналов. А так, наверное, можно понять, почему еще до появления мощных компьютеров логарифмы усложняли вычисления проще. Как я уже сказал, мало кто так умножает. больше, но это можно сделать.

    Наверх

    1.4 Делаем все это на своем калькуляторе

    Если у вас есть простой научный калькулятор, на нем будет кнопка что-то вроде “10 x “.Это кнопка для возведения в степень числа 10. Вы просто вводите число, скажем, 5, и нажмите кнопку «10 x », и число вы получите обратно будет 10 5 или 100 000. В некоторых случаях, если вы введете большое число, например 50, и нажмете 10 x кнопка, вы не увидите последующую цифру 1 50 нулей, но что-то похожее на “1 E 50” или “1 EE 50”. Не паника – это всего лишь версия вашего калькулятора научной записи , о которых мы поговорим в следующем разделе.

    Также на научных калькуляторах вы найдете кнопку для ведения журналов — это обычно пишется как “журнал” и часто находится очень близко к кнопке для выполнения 10 x . Вы просто вводите число, скажем, 1 000 000, и нажимаете кнопку «журнал», и вы получите журнал миллиона, который равен 6.


    Вернуться к началу


    Вернуться к содержанию Содержание
    Вернуться на страницу раздаточных материалов
    Вернуться на домашнюю страницу ES 10
    Грег Андерсон
    [email protected]
    Вт, 6 января 16:39:23 PST 1998 г.

    Симптомы и лечение неспособности к обучению математике

    Для ребенка нередко возникают трудности с домашним заданием по математике время от времени. Но если у них есть проблемы с числами или низкие результаты тестов по математике, но они хорошо учатся по другим предметам, у них может быть нарушение обучаемости по математике, называемое дискалькулией.

    Это заболевание мозга, из-за которого трудно выучить основы арифметики. Он может передаваться по наследству, но ученые не нашли связанных с ним генов.

    До 7% учащихся начальной школы страдают дискалькулией. Исследования показывают, что это так же распространено, как дислексия (нарушение чтения), но не так хорошо изучено. На самом деле, дети и родители иногда называют это «математической дислексией», но это может сбивать с толку, потому что дискалькулия — это совершенно другое состояние. Ваша школа или врач могут назвать это «неспособностью к обучению математике» или «математическим расстройством».

    Это может быть связано с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ) — до 60% людей с СДВГ также имеют расстройство обучения, такое как дискалькулия.

    Симптомы

    Дети с дискалькулией могут терять счет при счете. Они могут считать на пальцах еще долго после того, как дети того же возраста перестали это делать. Им может быть трудно с первого взгляда определить, сколько вещей находится в группе — навык, называемый «субитированием», который помогает вам увидеть 5 и 3 после того, как вы бросите кости, не считая.

    Даже их базовое понимание чисел, или «чувство числа», может не сработать. Это может затруднить быстрое определение, например, является ли число 8 большим, чем число 6. Ребенок с дискалькулией также может сильно беспокоиться о числах. Например, они могут запаниковать при мысли о домашнем задании по математике.

    Оценивать вещи, например, сколько времени это займет или высоту потолка. Детям школьного возраста с дискалькулией может быть трудно:

    • Понимать математические задачи со словами
    • Изучать основы математики, такие как сложение, вычитание и умножение
    • Связать число (1) к соответствующему слову (один)
    • Понимать дроби
    • Понимать графики и диаграммы (визуально-пространственные понятия)
    • Считать деньги или делать сдачу
    • Запоминать телефонные номера или почтовые индексы
    • Рассказывать время или читать часы

    Любая деятельность, основанная на числах или математике, даже вне школы, может расстроить детей с дискалькулией.Например, ребенок с такой неспособностью к обучению может расстраиваться из-за игр, требующих постоянного подсчета или подсчета очков.

    [Самопроверка] Симптомы дискалькулии у детей

    Диагностика

    Если вашему ребенку трудно справляться с числами, обратитесь к врачу, чтобы исключить любые проблемы со зрением или слухом, которые могут повлиять на его способность к обучению.

    Затем поговорите с учителем математики вашего ребенка, чтобы понять, где у него проблемы. Также поговорите с другими учителями, чтобы узнать, есть ли у них трудности в других областях.

    Если после разговора с врачом и учителями вы считаете, что у вашего ребенка может быть дискалькулия, запишитесь на прием к специалисту по обучению. Они поговорят с вами и вашим ребенком и проверят их математические способности, чтобы определить, есть ли они у них. Тестирование — единственный способ узнать наверняка, есть ли у вашего ребенка заболевание. Тестирование иногда называют образовательным или психообразовательным тестированием. Тесты рассматривают четыре основных вопроса:

    • Вычислительные навыки: Способность выполнять математические операции.Дети помладше могут столкнуться с задачами на сложение или вычитание, а дети постарше могут столкнуться с более сложными задачами, такими как умножение, деление и дроби.
    • Беглость в математике: способность легко вспоминать основные математические факты, например, 5 x 3 = 15, или как умножать дроби
    • Умственные вычисления: способность решать математические задачи в уме
    • Количественное мышление: способность решать текстовые задачи

    Эксперт может просмотреть эти тесты и составить отчет, который поможет вам удовлетворить потребности вашего ребенка.

    Лечение

    Специалисты по обучению, психологи-педагоги или нейропсихологи, специализирующиеся на дискалькулии, рекомендуют следующее, чтобы помочь ребенку понять математику: чаще, чем другие учащиеся

  2. Как я могу помочь своему ребенку?

    Вот некоторые вещи, которые вы можете попробовать, чтобы помочь вашему ребенку лучше изучить и понять математику и снизить его беспокойство:

    • Пусть они используют свои пальцы и бумагу, когда они считают.
    • Убедитесь, что у них есть нужные инструменты, такие как простой в использовании калькулятор и множество ластиков.
    • Используйте миллиметровую бумагу. Это помогает сохранять столбцы и числа прямыми и аккуратными.
    • Используйте ритм и музыку для обучения математическим фактам и шагам.
    • Обратитесь за помощью к опытному репетитору по математике.
    • Рисовать математические задачи.
    • Запланируйте компьютерное время, чтобы играть в математические игры.
    • Хвалите их тяжелую работу, а не результат.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.