Как решать интеграл: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Содержание

Приемы взятия сложных интегралов / Хабр

Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).

Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.



Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм

Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл .

Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo

Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:

Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .

B peзультaтe пoлучим cлeдующee:

Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .


Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции

Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.

Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa

гдe  — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep

Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку

Teм caмым, пoлучaeм

Дoпуcтим чтo . Toгдa , a пocкoльку oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт

Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep

и тaк дaлee.


Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния

Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. .

Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку . Пoлучим

To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:

Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe

Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть

Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:

Teпepь нaм нужнo пocчитaть , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:

Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe

блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк

и

Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк

Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.

Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим

Ho мы-тo знaeм, чтo  — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк

Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo и мы пoлучим

Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo

a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:

Xoтитe eщё?

Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.

Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■

Как решать интегралы: видеоурок

Вы научитесь решать интегралы и находить первообразную быстро и с пониманием с курсом от математической школы “Альфа”!

Математический анализ (интегралы, первообразная) – это тема, которая стабильно вызывает трудности у школьников старших классов. Взаимосвязанные понятия интеграл и первообразная нуждаются в детальном объяснении. В “Альфа-школе” индивидуальные репетиторы помогут Вам научиться понимать, как решать интегралы (видеоурок).

Что Вы узнаете из курса “Первообразная и интеграл” от Альфы?

Предлагаемый курс охватывает все нюансы, касающиеся решения интегралов и нахождения первообразной. Уроки проходят с помощью видеосвязи, то есть Вы получаете индивидуальный видеоурок с профессиональным педагогом. Что Вы узнаете с репетитором?

  • как решать интегралы
  • научитесь находить определенный интеграл
  • научитесь находить первообразную

Обучение по курсу проводится на смартплатформе “Альфа-школы”, которая анализирует результативность ученика.

Все уроки даются с учетом связанных с интегралом тем, знание которых обеспечивает понимание математики.

Для кого подходит обучающий курс “Первообразная и интеграл”?

Данный курс разработан специально для учеников 11 класса. Вас ждут следующие видеоуроки:

  • определенный интеграл (11 класс)
  • первообразная и интеграл
  • неопределенный интеграл

С репетитором по математике связь поддерживается с помощью программы скайп.

Благодаря такому способу связи возможно дополнительно использовать компьютерные достижения, которые помогают эффективнее проводить уроки. Платформа онлайн школы “Альфа” является одним из таких достижений. На ней Вы решаете задачи и примеры и имеете возможность сразу же проверить правильность ответа.

Задача репетитора при таком обучении помогать и направлять обучающегося.

Как начать эффективное обучение в математической “Альфа-школе”?

Для начала обучения Вам следует заполнить заявку на сайте myalfaschool.ru. После этого Вам перезвонит специалист колл-центра и уточнит детали: покупка отдельных уроков курса или же всего курса, составление индивидуального графика занятий и др. Внимание!!! Первый урок абсолютно бесплатный! На нем Вы можете оценить работу платформы с репетитором по математике. На бесплатном занятии с Вами в том числе будет проведено предварительное тестирование знаний, которое покажет в целом Ваших уровень математических знаний.

По результатам теста составляется индивидуальная программа обучения, способная быстро объяснить, как решать интегралы и найти первообразную и определенный интеграл.

“Альфа-школа” делает математику понятной и интересной для каждого!

09.07.2018 10:34

Решение высшей математики онлайн


‹– Назад При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции — всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора — приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет.
Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно “взять интеграл”, то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае “неберущегося” интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет
1
: можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными2. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж “сложной” структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных — специальных функций, связанных с этими интегралами.
        Пример 1.8
  Неберущимся является интеграл Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили , выделяется из всего набора первообразных условием . Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала.
Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.              Пример 1.10   Ещё один неберущийся интеграл: Одна из первообразных — та, что мы использовали в правой части и обозначили  — называется интегральным косинусом.     
        Пример 1.11
  — это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , — специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.              Пример 1.12   Не берётся интеграл (при  одна из первообразных, , называется интегральным логарифмом.     

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.

        Упражнение 1.
3
  Выразите функцию ошибок через функцию Лапласа и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.              Пример 1.14   К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:
   
   

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.              Пример 1.15
  Вычислим интеграл от интегральной экспоненты . Заметим, что по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
   
   

    

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.
        Упражнение 1.4   Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции и , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.     

Не берутся также интегралы

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

математических визуализаций | Определенный интеграл

Интегральное понятие связано с понятием площади. n) от n = 1 до n = 9.Общий результат для произвольного n был получен Ферма.

Хотя Кавальери не знал термина «функция», мы можем сказать, что одним из его вкладов было рассмотрение проблемы вычисления функции. площадь, ограниченная графиком положительной функции, осью x и двумя вертикальными линиями («криволинейная трапеция» или «площадь под кривой»):

Мы хотим присвоить этой области число, представляющее ее площадь, когда функция положительна. Мы будем называть это число определенным интегралом f между a и b.

Этот интеграл не всегда представляет собой площадь «криволинейной трапеции». Это только случай когда f неотрицательно. Когда f отрицательно, интеграл будет минус площадь. В основном, интеграл – это площадь криволинейной трапеции, лежащей над осью x, уменьшенная на площадь частей, которые лежат ниже оси x.

Если мы хотим интегрировать линейные функции, проблема проста.

Проблема усложняется, когда график функции не является линией.

«Мы будем следовать идее Архимеда. Она состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию f горизонтальными (постоянными) функциями, а площадь под f — сумма маленьких прямоугольников» (Ланг)

В этих случаях мы хотим построить определенный интеграл (число) как результат некоторого предельного процесса. Мы можем начать делить [a,b] на подынтервалы и взять сумма площадей некоторых прямоугольников, аппроксимирующих функцию f в различных точках отрезка. Площадь этих прямоугольников аппроксимирует интеграл.Интеграция – это процесс суммирования.

Это обозначение, которое мы используем:

Символ S (удлиненная буква S для суммы) называется знаком интеграла и был введен Лейбницем в 1675 году. Процесс, в результате которого получается результат, называется интеграция. Числа а и b, которые стоят перед знаком интеграла, называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Лейбниц использовал этот символ, потому что считал интеграл суммой бесконечного числа прямоугольников с высотой f (x) и «бесконечно малым». ширина.Его с готовностью приняли многие ранние математики, потому что им нравилось думать об интегрировании как о своего рода «процесс суммирования», который позволял им складывать вместе бесконечно много «бесконечно малых величин».

Мы попытаемся показать некоторые идеи, лежащие в основе строгого определения интеграла, данного Бернхардом Риманом (1826-1866).

P является разбиением [a,b].

Раздел определяет некоторые подынтервалы. Ширина этих подынтервалов может быть разной:

Учитывая раздел [a,b], мы можем добавить больше чисел к разделу, и тогда мы получим новый раздел с небольшими интервалами.Если мы добавьте достаточное количество промежуточных чисел, тогда интервалы можно сделать сколь угодно малыми.

Одним из ограничений является использование регулярных подразделений интервала. В этом случае основания прямоугольников равны:

Для каждого i мы выбираем некоторую точку x i * в [x i , x i+1 ]. Значение f(x i * ) можно рассматривать как высоту прямоугольника.

«Основная идея, которую мы собираемся осуществить, состоит в том, что по мере того, как мы будем делать интервалы нашего разбиения все меньше и меньше, сумма площадей прямоугольников будет приближаться к пределу, и этот предел можно использовать для определения площади под кривой.”(Ланг)

Мы можем выбрать, что x i * будет точкой в ​​середине подынтервала (как в матлете и в предыдущих примерах).

Одним из популярных вариантов является x i * , равный x i , левому концу подинтервала. Тогда высота прямоугольника будет f(x i ):

Или мы можем выбрать x i * равным x i+1 , правому концу подынтервала.Тогда высота прямоугольника будет f(x i+1 ):

Выбор этих x i * в [x i , x i+1 ] является произвольным. Затем Риман считал

Любая из этих сумм называется суммой Римана функции f для P.

Геометрическая интерпретация: «Это общая площадь n прямоугольников, которая лежит частично под графиком f и частично над ним. Из-за каким бы образом ни были выбраны высоты прямоугольников, мы не можем с уверенностью сказать, меньше ли та или иная сумма Римана или больше интеграла.Но кажется, что перекрытие не должно иметь большого значения; если основания всех прямоугольников узкие достаточно, то сумма Римана должна быть близка к интегралу». (Спивак)

Если мы увеличим количество прямоугольников, мы (интуитивно) будем иногда ближе к значению, которое является определенным интегралом.

Тогда можно сказать, что определенный интеграл является пределом сумм Римана при стремлении числа подразделений к бесконечности и ширины каждого подинтервала стремится к нулю.И неважно, какую точку x i * мы выбираем в каждом подинтервале.

«Мораль этой басни в том, что все, что выглядит как хорошее приближение к интегралу, на самом деле им является, при условии, что все длины интервалы в разбиении достаточно малы». (Спивак)

В математике мы можем изменить функцию и количество прямоугольников. Хотя в каждом интервале высота прямоугольника может быть любым значением функции в точке подынтервала, здесь мы рассматриваем только одну простую возможность: x i * является средней точкой подынтервала.В этом случае суммы Римана называются средними суммами Римана.

Аксиоматический подход к интегралу (вслед за Сержем Лангом)

В своей книге «Первый курс исчисления», прежде чем объяснять суммы Римана, он подчеркивает важность двух свойств, которые будут определять интеграл. для f на [a,b]:

Пусть a, b — два числа, причем a

удовлетворяющие следующим свойствам:

Свойство 1. Если M, m — два числа такие, что

для всех x в интервале [c,d], тогда

Свойство 2.У нас есть (аддитивность)

Он также определяет

После этого он доказывает, что существует способ присвоения этих чисел и что любое такое присвоение определено однозначно. Обычно его обозначают

БОЛЬШЕ ССЫЛОК

Интеграл степенных функций был известен Кавальери от n=1 до n=9. Ферма смог решить эту задачу с помощью геометрических прогрессий.

Если мы считаем нижний предел интегрирования а фиксированным и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

Легко вычислить площадь под прямой линией. Это первый пример интегрирования, позволяющий понять идею и ввести несколько основных понятий: интеграл как площадь, пределы интегрирования, положительные и отрицательные области.

Вычислить площадь под параболой сложнее, чем вычислить площадь под линейной функцией. Мы показываем, как аппроксимировать эту площадь с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интеграции, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции полиномиальных функций — это полиномиальные функции, имеющие на одну степень больше, чем исходная функция.

Основная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

Вторая фундаментальная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны сегментам.

Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждая часть является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

Непрерывная кусочно-линейная функция задается несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

Архимед показывает нам в «Методе», как использовать закон рычага для определения площади параболического сегмента.

В своей книге «О коноидах и сфероидах» Архимед вычислил площадь эллипса. Мы видим интуитивный подход к идеям Архимеда.

В своей книге «О коноидах и сфероидах» Архимед вычислил площадь эллипса. Это хороший пример строгого доказательства с использованием двойного доведения до абсурда.

Кеплер использовал интуитивный бесконечно малый подход для вычисления площади круга.

Кеплер был одним из математиков, внесших свой вклад в создание интегрального исчисления. Он использовал бесконечно малые методы для вычисления площадей и объемов.

Изучая объем бочки, Кеплер в 1615 году решил задачу о максимумах.

Используя принцип Кавальери, мы можем вычислить объем сферы.

Тетраэдр Говарда Ивса конгруэнтен Кавальери данной сфере. Вы можете видеть, что соответствующие разделы имеют одинаковую площадь.Тогда объем сферы равен объему тетраэдра. И мы знаем, как вычислить этот объем.

Решение интеграла Гаусса.

Лорд Кельвин писал об этом интеграле: «А… | by Maths and Musings

Лорд Кельвин писал об этом интеграле: «Математик — это тот, для кого это так же очевидно, как для вас дважды два четыре».

Наслаждайтесь 😉

Хорошо, я предполагаю, что вы знакомы с основами интеграции и дифференциации. Следующее добавит немного интуиции к хитрым трюкам, которые появятся позже.Не волнуйтесь, если что-то из этого немного сбивает с толку, просто попытайтесь почувствовать, что происходит.

Стратегия здесь заключается в умной замене. Но мы сделаем замену в двух переменных . Текущую задачу можно представить как вычисление площади под кривой

. Но мы покажем, что задачу можно превратить в задачу вычисления объема .

Чтобы вычислить объем, мы используем немного другую формулу изменения переменной, чем та, которую вы используете в нормальных интегралах.Мы будем использовать полярные координаты. Это выражает координаты x и y через их радиус и угол. У Geogebra есть хороший интерактивный способ увидеть это здесь

Атрибуция: Geogebra, https://www.geogebra.org/m/WTJq9yC9

Затем мы воспользуемся магическим изменением базовой формулы для полярных координат.

При расчете площади под кривой у нас был элемент «dx», который представляет небольшое расстояние по оси x. При расчете объема у нас есть dx dy, который похож на небольшой прямоугольник со сторонами dx и dy.Затем мы используем эти базы для создания серии ящиков, которые оценивают объем. Это легче всего увидеть с помощью визуализации ниже. Интеграл является пределом этих приближений.

Атрибуция: https://web.ma.utexas.edu/users/m408s/m408d/CurrentWeb/LM15-1-3.php

Когда вместо этого мы используем полярную систему координат, у нас есть немного другой элемент площади под . Ниже dA — элемент площади. С небольшими изменениями угла и радиуса этот элемент площади можно все лучше аппроксимировать прямоугольником с длинами сторон dr и r*dtheta соответственно.Если вы знакомы с некоторой геометрией, то для малых тэта sin(тэта) очень хорошо аппроксимируется тета, и тогда вы можете доказать приведенный ниже результат. Атрибуция

: https://math.stackexchange.com/questions/3118964/rigorous-geometric-proof-that-da-rdrd%CE%B8

Сначала мы даем имя нашему интегралу. Назовем его I.

Обратите внимание, что x — это просто «фиктивная переменная». Область существует независимо от того, какое имя переменной мы используем. Итак, мы также можем написать следующие два уравнения:

Теперь, поскольку I — это просто константа, хотя значение которой нам пока неизвестно, мы можем использовать наши обычные правила для внесения константы в интеграл

Пока что мы не сделали много существенного.Теперь мы хорошенько подумаем о том, что означает интеграл. Возьмем интегралы от функций . Если две функции везде принимают одно и то же значение, то они одинаковы и имеют одинаковую площадь. Имея это в виду, мы можем произвести следующие манипуляции, если будем рассматривать I*exp(-x²) как функцию от x, т. е. что-то, что принимает значения x в качестве входных данных и выдает число в качестве выходных данных.

Хорошо, это было слишком много. В первой строке мы просто переписали I в целочисленной форме с другим именем переменной.Во второй строке, рассматривая I*exp(-x²) как функцию, мы поняли, что можем ввести exp(-x²) внутрь интеграла dy, и это по-прежнему будет давать одно и то же выходное значение для любого входного значения Икс. Наконец, мы использовали правила возведения в степень.

Записав это полностью, мы получили

Далее следует убийственное озарение. Выше мы возились с именами переменных и тем, как представлять функцию. Теперь изменим нашу перспективу: это выражение также представляет собой интеграл от exp(-(y²+x²)) по всей двумерной плоскости с элементом площади dA = dx dy.т.е. dx dy — небольшой прямоугольник на плоскости, а exp(-(y²+x²)) — высота над этим прямоугольником.

Затем мы используем информацию о полярных координатах, полученную ранее

Поскольку sin² + cos² = 1, после подстановки всех параметров мы получаем

r в диапазоне от 0 до бесконечности, а theta в диапазоне от 0 до 2*pi, потому что это покрывает вся двумерная плоскость: любая точка имеет радиус меньше бесконечности и угол между 0 и 2pi радиан.

Мы можем вычислить внутренний интеграл, используя цепное правило

И теперь мы попадаем в землю обетованную:

Я Итан, студент математики в Кембридже.Дайте мне знать, что вы думаете или какие у вас есть вопросы в комментариях, и вы можете подписаться на меня в Твиттере, имя пользователя ethan_the_mathmo

Math.com – страница не найдена

Ресурсы
·  Cool Tools
·  Формулы и таблицы
·  Справочные материалы
·  Подготовка к экзаменам
·  Учебные советы
6 9023 6 9023 9023
Поиск
  
   
Страница не найдена  


Извините, но мы не смогли найти страницу, которую вы ищете. Вы можете перейти на домашнюю страницу, чтобы продолжить.


  
 
  

 
Связаться с нами | Реклама и спонсорство | Товарищество | Ссылка на нас

© 2000-2005 Матем.ком. Все права защищены. Юридический Уведомления. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Конфиденциальностью Политика.

 

 

Интеграция (scipy.integrate) — SciPy v1.8.0 Manual

Интегрирование заданного набора обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) начальные условия — еще один полезный пример. {N}.{2}}\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\) и \(\left.\frac{dw}{dz}\right|_{z=0}=-\frac {1}{\sqrt[3]{3}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}.\) Известно, что решение этого дифференциального уравнения с этими граничными условиями является функция Эйри

Сначала преобразуйте это ОДУ в стандартную форму, установив \(\mathbf{y}=\left[\frac{dw}{dz},w\right]\) и \(t=z\). Таким образом, дифференциальное уравнение принимает вид

\[\begin{split}\frac{d\mathbf{y}}{dt}=\left[\begin{array}{c} ty_{1}\\ y_{0}\end{массив}\right] =\left[\begin{массив}{cc} 0 & t\\ 1 & 0\end{массив}\right]\left[\begin{массив}{c} y_{0}\\ y_{1}\ конец {массив}\справа]=\слева[\начало{массив}{cc} 0 & t\\ 1 & 0\конец{массив}\справа]\mathbf{y}.{t}\mathbf{A}\left(\tau\right)d\tau\right)\mathbf{y}\left(0\right),\]

Однако в этом случае \(\mathbf{ A}\left(t\right)\) и его интеграл не коммутируют.

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью функции solve_ivp . Требуется производная fprime , промежуток времени [t_start, t_end] и вектор начальных условий, y0 , в качестве входных параметров и возвратов объект, поле y которого представляет собой массив с последовательными значениями решения как столбцы. Таким образом, начальные условия даны в первом выходном столбце.

Как видно solve_ivp определяет свои временные шаги автоматически, если нет указано иное. Сравнить решение solve_ivp с airy функция вектор времени, созданный с помощью solve_ivp , передается в функцию airy .

Решение solve_ivp со стандартными параметрами показывает большое отклонение к воздушной функции.Чтобы свести к минимуму это отклонение, относительное и абсолютное можно использовать допуски.

Чтобы указать определенные пользователем моменты времени для решения solve_ivp , solve_ivp предлагает две возможности, которые также можно использовать дополнительно. Пройдя t_eval опция вызова функции solve_ivp возвращает решения этих моментов времени of t_eval на выходе.

Если матрица функции Якобиана известна, ее можно передать в solve_ivp для достижения лучших результатов. Однако имейте в виду, что метод интеграции по умолчанию RK45 не поддерживает матрицы якобиана, поэтому другой метод интегрирования быть избранным. Одним из методов интегрирования, поддерживающих матрицу Якобиана, является метод for пример Radau метод следующего примера.

Решение системы с ленточной матрицей Якоби

odeint можно сказать, что якобиан полосатый . Для большого система дифференциальных уравнений, которая, как известно, является жесткой, это может значительно повысить производительность.2 – (f + k)v \\ \конец{разделить}\конец{разделить}\]

, где \(D_u\) и \(D_v\) – коэффициенты диффузии компоненты \(u\) и \(v\) соответственно, а \(f\) и \(k\) являются константами. (Для получения дополнительной информации о системе см. http://groups.csail.mit.edu/mac/projects/amorphous/GrayScott/)

Примем граничные условия Неймана (т. е. «отсутствие потока»):

\[\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}(L,t) = 0\]

Чтобы применить метод прямых, мы дискретизируем переменную \(x\), определяя равномерно распределенная сетка из \(N\) точек \(\left\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\right\}\), с \(x_0 = 0\) и \(x_{N-1} = L\). 2 – (f + k)v_{N-1} \конец{разделить}\конец{разделить}\]

Наша полная система \(2N\) обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид (1) для \(k = 1, 2, \ldots, N-2\) вместе с (2) и (3).

Теперь мы можем приступить к реализации этой системы в коде. Мы должны объединить \(\{u_k\}\) и \(\{v_k\}\) в один вектор длины \(2N\). Два очевидных варианта \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\) а также \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\). Математически это не имеет значения, но выбор влияет на то, как эффективно odeint может решить систему.Причина в том, как порядок влияет на структуру ненулевых элементов матрицы Якоби.

Когда переменные упорядочены как \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\), шаблон ненулевых элементов матрицы Якоби равен

\[\begin{split}\begin{smallmatrix} * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * \\ * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & ) & * & * \\ \конец{маленькая матрица}\конец{разделение}\]

Шаблон Якоби с чередующимися переменными как \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\) равно

\[\begin{split}\begin{smallmatrix} * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ \конец{маленькая матрица}\конец{разделение}\]

В обоих случаях нетривиальных диагоналей всего пять, но когда переменные чередуются, пропускная способность намного меньше. То есть главная диагональ и две диагонали сразу выше и два сразу под главной диагональю ненулевые диагонали. Это важно, потому что входы мю и мл odeint — верхняя и нижняя полосы пропускания Матрица Якоби. Когда переменные чередуются, мю и мл равно 2. Когда переменные сложены с \(\{v_k\}\) после \(\{u_k\}\), верхний а более низкие значения пропускной способности равны \(N\).

Приняв это решение, мы можем написать функцию, которая реализует систему дифференциальных уравнений.

Сначала мы определяем функции для источника и реакции количество участников системы:

 по определению G(u, v, f, k):
    вернуть f * (1 - u) - u*v**2

def H(u, v, f, k):
    возврат -(f + k) * v + u*v**2
 

Далее мы определяем функцию, которая вычисляет правую часть системы дифференциальных уравнений:

 по определению Grayscott1d(y, t, f, k, Du, Dv, dx):
    """
    Дифференциальные уравнения для одномерных уравнений Грея-Скотта. 

    ОДУ выводятся методом прямых."""
    # Векторы u и v чередуются в y. Мы определяем
    # представления u и v путем нарезки y.
    и = у [:: 2]
    v = у[1::2]

    # dydt — это возвращаемое значение этой функции.
    dydt = np.empty_like(y)

    # Точно так же, как u и v являются представлениями чередующихся векторов
    # в y, dudt и dvdt представляют собой чередующиеся выходные данные
    # векторы в dydt.
    дудт = дыдт[::2]
    двдт = ддт[1::2]

    # Вычислить du/dt и dv/dt. Конечные точки и внутренние точки
    # обрабатываются отдельно.dudt[0] = G(u[0], v[0], f, k) + Du * (-2,0*u[0] + 2,0*u[1]) / dx**2
    dudt[1:-1] = G(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Du * np.diff(u,2) / dx**2
    dudt[-1] = G(u[-1], v[-1], f, k) + Du * (- 2.0*u[-1] + 2.0*u[-2]) / dx**2
    dvdt[0] = H(u[0], v[0], f, k) + Dv * (-2,0*v[0] + 2,0*v[1]) / dx**2
    dvdt[1:-1] = H(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Dv * np.diff(v,2) / dx**2
    dvdt[-1] = H(u[-1], v[-1], f, k) + Dv * (-2.0*v[-1] + 2.0*v[-2]) / dx**2

    вернуться
 

Мы не будем реализовывать функцию для вычисления якобиана, но сообщим odeint , что матрица Якоби ленточная. Это позволяет лежащей в основе решатель (LSODA), чтобы избежать вычисления значений, которые, как ему известно, равны нулю. Для большого системы, это значительно повышает производительность, как показано в после сеанса ipython.

Сначала мы определяем необходимые входные данные:

 В [30]: rng = np.random.default_rng()

В [31]: y0 = rng.standard_normal(5000)

В [32]: t = np.linspace(0, 50, 11)

В [33]: f = 0,024

В [34]: k = 0,055

В [35]: Du = 0,01

В [36]: Dv = 0,005

В [37]: dx = 0,025
 

Расчет времени без использования ленточной структуры матрицы Якоби:

 В [38]: %timeit sola = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx))
1 петля, изн 3: 25.2 с на петлю
 

Теперь установим ml=2 и mu=2 , поэтому odeint знает, что матрица Якоби окольцован:

 В [39]: %timeit solb = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx), ml=2, mu=2)
10 циклов, лучший из 3: 191 мс на цикл
 

Это немного быстрее!

Давайте удостоверимся, что они вычислили один и тот же результат:

 В [41]: np. allclose(sola, solb)
Исход[41]: Верно
 

Как интегрировать функции, не зная пределов интеграла

Все мы знаем, что COMSOL Multiphysics может вычислять частные производные.В конце концов, он решает уравнения в частных производных с помощью метода конечных элементов. Знаете ли вы, что вы также можете решать интегралы? Само по себе это не должно сильно удивлять, поскольку решение задач с конечными элементами требует интеграции функций. Программная архитектура COMSOL позволяет вам делать больше, чем просто вычислять интеграл; вы также можете решать задачи, где вы не знаете пределов интеграла! Вот как.

Интеграция функции

Рассмотрим задачу взятия интеграла от квадратичной функции:


Интеграл представляет собой площадь заштрихованной области .2,у,0,2,1д-3). Здесь первый аргумент — это выражение, второй — переменная для интегрирования, третий и четвертый аргументы — пределы интегрирования, а необязательный пятый аргумент — относительный допуск интеграла, который должен быть между 0 и 1. 2du

Так как у нас два неизвестных, то здесь явно нужно еще одно уравнение, поэтому дополнительно скажем, что (u_b-u_a)-1=0


Добавлено дополнительное уравнение для определения разницы между верхним и нижним пределами интервала.2,u,u_b-1,u_b) как уравнение, которое нужно решить для u_b, но интересно видеть, что мы можем решать несколько уравнений одновременно.

Пример теплопередачи

Теперь давайте применим описанную выше технику на практике для определения условий работы теплообменника. Рассмотрим пример библиотеки моделей геотермального нагрева воды, циркулирующей по сети труб, погруженных в пруд.


Вода, перекачиваемая по затопленной сети труб, нагревается.{284,25K}\точка м C_p(T)dT=99кВт

, где \dot m — массовый расход, а C_p(T) — удельная теплоемкость, зависящая от температуры.

Теперь, по сути, сеть труб, которую мы здесь имеем, представляет собой замкнутую систему, но мы просто не моделируем часть системы между выходом трубы и входом. Эта модель содержит неявное предположение, что по мере того, как вода перекачивается из выпускного отверстия обратно во входное, она снова охлаждается точно до 5°C.

Итак, вместо того, чтобы предполагать, что температура воды, поступающей в трубу, является постоянной температурой, давайте рассмотрим эту замкнутую систему, подключенную к другому теплообменнику, отводящему заданное количество тепла.{T_{out}}\dot m C_p(T)dT

Вторым условием, которое нам необходимо включить, является соотношение между входной и выходной температурами. Это вычислено нашей существующей конечно-элементной моделью. Модель использует фиксированное граничное условие температуры на входе в трубу и вычисляет температуру по всей длине трубы. Поэтому все, что нам нужно сделать, это добавить глобальное уравнение к нашей существующей модели для вычисления (первоначально неизвестной) температуры на входе, T_in, с точки зрения извлеченного тепла и разницы температур между входом и выходом.


Общее уравнение, определяющее общее количество тепла, отбираемого из контура пруда.

Давайте подробно рассмотрим уравнение для T_in, температуры на входе в модель потока в трубе:

10[кВт]-интегрировать(4[кг/с]*mat1.def.Cp,T,T_in,T_out)

Начиная справа, T_out — расчетная температура на выходе. Он доступен в глобальном уравнении с помощью оператора связи интеграции, определенного в точке выхода поточной сети.То есть T_out=intop1(T), которая определяется как глобальная переменная в определениях компонентов.

T_in — температура на входе в трубопроводную сеть, которую мы хотим рассчитать; T — переменная температуры, которая используется в определениях материалов; и mat1.def.Cp — это выражение для зависящей от температуры удельной теплоемкости, определенной в разделе «Материалы».


Решение с обратной связью. В этой рабочей точке извлекается 10 кВт.Обратите внимание, как вода нагревается и остывает в пруду в этих условиях эксплуатации.

Заключительные замечания

Из методов, которые мы описали здесь, вы можете видеть, что вы можете не только взять интеграл, но даже найти пределы этого интегрирования и сделать это уравнение частью остальной части вашей модели. В представленном здесь примере рассматривается теплообменник. Как вы думаете, где еще вы могли бы использовать эту мощную технику?

Основы интегрального исчисления.Интегральное исчисление — это процесс… | Соломон Се | Основы исчисления

Интегральное исчисление — это процесс вычисления ОБЛАСТИ между функцией и осью X (или осью Y).

См. Академию Хана: Введение в интегральное исчисление

Сумма Римана представляет собой приближение площади под кривой путем деления ее на несколько простых фигур (таких как прямоугольники или трапеции).

См. Академию Хана: Определенный интеграл как предел суммы Римана

Буква ʃ (читается как «эш» или просто «интеграл») называется Интегральный символ/знак .

Нахождение 𝚫x :
Нужно получить СКОЛЬКО прямоугольников нужно просуммировать.

Поиск индексов M & N :
Это предназначено для поиска I для Σ Сумма:

  • для левых сумм или Средние суммы или Midpoint : I заканчивается с 0 заканчивается Подразделения - 1
  • для подходящих сумм : I Заканчивается с 1 Заканчивается Подключения

Найти XI :
с одинаковыми распоряжениями (влево / вправо / середины), XI представляет собой Геометрический ряд тех точек, что скорость равна 𝚫x .
Мы собираемся найти правильный образец/уравнение для xi , чтобы мы могли подставить xi в f(x) .

Нахождение f(xi) :
Просто подставим выражение геометрического ряда xi в f(x) ,
и сделаем функцией в терминах i .

См. Математика — это весело: интегральные приближения

  • Левая сумма Римана : возьмите левое граничное значение Δx как высоту прямоугольника .
  • Правая сумма Римана : возьмите Правое граничное значение Δx равной высоте прямоугольника .

Как видите, они будут либо завышены, либо недооценены. Обычно ни одно из этих приближений нельзя назвать хорошим.

Это усовершенствование левых сумм и правых сумм, оно принимает среднее значение и иногда дает лучшее приближение.

Решите:

Решите:

  • Легко найти Δx=2 .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.