Как решить функцию f x: § Как решать задачи на функцию

Содержание

Сложная функция

Сложная функция

Пример 1. Дана функция f(x) = 3x2 – 4. Найти:

Решение: f(4) = 3•42 – 4 = 48 – 4 = 44;

f(a3 + 1) = 3(a3 + 1)2 – 4 = 3(a6 + 2a3 + 1) – 4 =

= 3a6 + 6a3 – 1;

f(t) = 3t2 – 4;

Пример 2. Найти функцию f(x), если  f(x + 1) = x2 + 2x + 2.

Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1;  f(a) = (a – 1)2 + 2(a – 1) + 2 = a2 – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a2 + 1.

Ответ: f(x) = x2 + 1.

Пример 3. F(2x – 1) = 4

x – 7; F(g(x)) = x3. Найти g(x).

Решение. Пусть 2x – 1 = a, тогда

т. е.  F(x) = 2x – 5. Значит,

F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x3.

Ответ:

Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что

f(g(x)) = x, g(x) = x2 + 1, x Ј 0.

Решение. По условию f(x2 + 1) = x, x Ј 0.

Пусть x2 + 1 = t, тогда

Ответ:

Пример 4. Найти F

(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

F(sin x) + F(cos x) = 3(sin2 x + cos2 x).

В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:

x = arccos (sin m).

Уравнение примет вид

F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin2 m + sin2 m),

2F(sin m) = 3•2sin2 m,

т. е.  F(sin m) = 3sin2 m; F(x) = 3x2.

Ответ: F(x) = 3x2.

Пример 5. Найти функцию f(x), если

Решение. В дроби

  заменив x на m, получим

Пусть 

Выразим x через m, получим

Найдем значение дроби через m:

и значение дроби в правой части данного уравнения тоже при

Получим новое уравнение (при аргументе m)

или, заменив букву m на x,

Вместе с данным уравнением составим систему

Эта система, линейная относительно неизвестных

и

решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):

или

Найдем f(t), если допустим, что

Выразим x через t:

Тогда

Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.

Ответ:

Пример 6. Найти функцию f(x), если

Решение. Пусть

тогда

Получим новое уравнение с переменной t

Заменив t на x, запишем

Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые

Исключим из системы неизвестное

Ответ:

Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

Тогда

и первое уравнение примет вид

Заменим t на x. Получим систему

Вычитая уравнения почленно, находим

а затем и

Пусть 2x + 1 = a, тогда

Следовательно,

Ответ:

Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

откуда

и второе уравнение перепишется в виде

Система примет вид

Исключим функцию F(•):

Значит,

Пусть

тогда

F(a) = 2a + 3.

Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите функцию F(x) из уравнений:

2. Найдите g(x), если

1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(

x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.

3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:

Ответы

М Селиванова,
г. Реутов

Построение графика функции y=f(x) – Построения графиков линейных функций, содержащих переменную под знаком модуля

Графиком линейной функции является прямая линия.

   Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Пример:

   В уравнении функции

y=kx+b коэффициент k   отвечает за наклон графика функции:

если k>0, то график наклонен вправо

если  k<0, то график наклонен влево

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика  функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY

если  b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx сдвигом на b единиц   вниз вдоль оси OY

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

На этот раз  во всех  функциях коэффициент k меньше нуля

, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) –  начале координат.

График функции y=2x-2 (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.

Если  k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  

k>0

и

b>0

, то график функции

y=kx+b имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если  k=0 , то  функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b

Если b=0, то график функции y=kx проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.

   Отдельно отмечу график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3  выглядит так:

Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так  как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует

определению функции.

    Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 параллелен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1=k_2

    Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y=k_1{x}+b_1 перпендикулярен графику функции y=k_2{x}+b_2, если k_1*k_2=-1 или k_1=-1/{k_2}

    Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b.
Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет





Построение и решение графиков Функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

  • х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • точки экстремума;
  • нули функции;
  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.


Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 
  1. Найти область определения функции.

  2. Найти область допустимых значений функции.

  3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.

  4. Проверить не является ли функция периодической.

  5. Найти нули функции.

  6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

  7. Найти асимптоты графика функции.

  8. Найти производную функции.

  9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

  10. На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции


Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 





Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 
  1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины


  2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.


  3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x – 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x – 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x – 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²


Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1


б)

Преобразование в одно действие типа f(x – a).

y = √x


Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x – 1


в) y = (x – 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.

y = x²


Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x – 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x – 1)² + 2


г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)


Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:


д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.




Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:



Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:



Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:



f x

Вы искали f x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и f x k, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «f x».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как f x,f x k,f x y 3,f x алгебра,f x как решать,f x как решить,f x математика,f x функции,f x функция,f x что значит,f x что такое,f x что это,f x что это в алгебре,f x это,f x это что,f y a x,f от x,f от x что это,f от x это что,f х,g x что такое,x от f,y a f x,y f b x,y f x,y f x как решать,y f x функция,y f x что такое,алгебра f x,как найти f от x,как найти f от x в алгебре,как найти ф от х,как решать f x,как решать f x примеры,как решать y f x,как решать функции f x,как решить f x,как решить функцию f x,математика f x,у f x,у f x функция,ф от икс,ф от икс как решать,ф от х,функции f x,функции как решать f x,функция f,функция f x,функция y f x,функция от х,функция у f x,функция ф от х,что значит f x,что значит f x в алгебре,что значит y x,что такое f x,что такое f x y,что такое f x в алгебре,что такое f от x,что такое y f x,что это f x. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и f x. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, f x y 3).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же f x Онлайн?

Решить задачу f x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Обратная функция | Алгебра

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая.  Для построения прямой берём две точки.

   

   

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение  x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

2)

   

Так как y≥0, то

   

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Функциональные уравнения | Математика, которая мне нравится

Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

   

Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

Идея непрерывности

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие два условия:

1) точка принадлежит области определения функции ;

2) , разумеется, в предположении, что этот предел существует.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, функция не является непрерывной в точке , она будет разрывной в этой точке.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках этого отрезка.

Справедлива следующая теорема:

Теорема Больцано — Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения и , то она принимает все промежуточные между и значения на отрезке .

Пример 1. Функция непрерывна на всей вещественной прямой и удовлетворяет равенству для всех . Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Рассмотрим функцию . Предположим, что для всех . Тогда в силу непрерывности либо для всех , либо для всех . (Если бы существовали такие и , что , то по теореме Больцано — Коши, внутри отрезка была бы точка, в которой обращалась бы в нуль, что противоречит предположению.

Пусть для определенности , то есть для всех . Обозначим . Тогда, так как , то , что противоречит тому, что . Значит, при некотором имеем .

Пример 2. Функция задана на всей вещественной оси, причем выполняется равенство

   

Доказать, что f не может быть непрерывной.

Решение. Функция не может принимать значение . Действительно, при имеем . Значит, для всех или . Выразим из нашего равенства :

   

Значит, неравенство невозможно, иначе .

Если же , то должно выполняться неравенство , откуда и

   

следовательно, получаем, что . Противоречие.

Пример 3. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие соотношению для любого .

Решение. В данное уравнение подставим вместо (это можно сделать, так как функция определена для всех ), и еще несколько раз проделаем то же самое, получим

   

По непрерывности функции в нуле имеем

   

Получили, что , то есть функция — постоянная.

Уравнения Коши

1. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение >.

Такое же решение оно имеет и в классе монотонных функций.

2. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать .

3. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать ).

4. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать ).

Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции

Пример 4. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие уравнению

   

Решение. В качестве вспомогательной функции возьмем функцию

   

Подставляя в исходное уравнение , получаем

   

то есть функция удовлетворяет первому уравнению Коши, откуда .
Пример 5. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие уравнению

   

Решение. Поделим уравнение на , получим

   

Введем вспомогательную функцию , тогда получим уравнение

   

то есть функция удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда .

Метод подстановок

Пример 6. Найти все решения функционального уравнения

   

Решение. Положим , имеем . Поскольку произвольно, то .

Пусть теперь . Подставив в уравнение , получим

   

откуда , где .

Нетрудно убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет исходному функциональному уравнению.

Пример 7. Пусть — некоторое вещественное число. Найти функцию , определенную при всех и удовлетворяющую уравнению

   

где — заданная функция, определенная при всех .

Решение. При замене выражение переходит в . Получаем систему уравнений

   

решением которой при является функция

   

Предельный переход

Пример 8. Функция непрерывна в точке и выполняется равенство

   

Найти все такие .

Решение. Пусть функция удовлетворяет условию задачи. Тогда

   

Проверка показывает, что действительно является решением.

Пример 9. Найти функцию , ограниченную на любом конечном интервале и удовлетворяющую уравнению

   

Решение. .

   

Сложим все эти равенства:

   

   

Перейдем к пределу при . Учитывая ограниченность в нуле и то, что , получаем

   

Производная и функциональные уравнения

Пример 10. Найти все вещественные дифференцируемые функции , удовлетворяющие уравнению

   

Решение. Пусть . Имеем , откуда .

После преобразований имеем

   

Переходим к пределу при , учитывая, что , получаем

   

где . Интегрируем:

   

откуда и . Так как , то , и .

Проверкой убеждаемся, что все эти функции — решения исходного уравнения.

Пример 11. Найти все функции , являющиеся решениями уравнения

   

Решение. : .

Введем новые функции:

   

Функция — четная, а — нечетная, >, и для этих функций имеем

   

Поскольку , то и .

Проверкой убеждаемся, что все такие — действительно решение.

Решение функциональных уравнений на множестве натуральных чисел

Пример 12. Каждому натуральному числу поставлено в соответствие целое неотрицательное число так, что выполняются следующие условия:

1) для любых двух натуральных чисел и ;

2) , если последняя цифра в десятичной записи числа равна ;

3) .

Доказать, что для любого натурального .

Решение. Поскольку , , , , то .

Любое натуральное число можно представить в виде , где Н.О.Д., иначе или . Отсюда или . , откуда .

Задачи

1.

   

Найдите , если .

2. Найти все непрерывные функции такие, что

   

3. Пусть . Найти все вещественнозначные функции на :

   

4. Найдите все функции такие, что

   

5. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие уравнению

   

6. Решите уравнение

   

7. Найдите решение уравнения

, если

— постоянная, в классе функций натурального аргумента.

8. Найти все полиномы : и

   

9. Существует ли непрерывная функция , определенная на всей вещественной оси , такая, что для всех ?

10. Пусть функция при всех удовлетворяет соотношению

   

Докажите, что — постоянная функция.

11. Найдите непрерывно-дифференцируемое решение функционального уравнения

   

удовлетворяющее условию .

12. В предположении, что существует единственная функция , такая, что

   

надите ее.

13. Пусть . Найдите все непрерывные функции :

   

14. Найдите все дважды дифференцируемые функции такие, что

   

Источник: http://ermine.narod.ru/MATH/STAT/Funceq/sect0.html#vved

FX-9860G / FX-9860G SD | Вычисления на калькуляторах | Научные и графические калькуляторы | Продукция

Графические калькуляторы FX-9860G / FX-9860G SD

Если Вы уже приобрели калькулятор CASIO серии fx-ES PLUS или fx-ES, ниже приведенные примеры вычислений помогут понять принцип работы калькулятора и научиться выполнять основные виды вычислений.

Меню с пиктограммами

Более чем 1000 функций разделены по режимам для того, чтобы в них не запутаться. Удобное меню с пиктограммами позволяет сделать выбор очень быстро и наглядно.

Режим калькулятора

В режиме калькулятора Вы можете производить как простые расчеты, так и задействовать функции, присущие самому продвинутому научному калькулятора. При этом, ввод выражения производится в том же виде, что и в учебнике.

Режим решения уравнений

Благодаря этому встроенному режиму Вы можете получить корни квадратного и кубического уравнения, а также системы линейных уравнений до 61ти переменных. Все эти уравнения имеют фиксированный вид и Вы просто вводите коэффициенты и получаете корни. Произвольное уравнение можно решить методом подбора.
Пример: решить уравнение 2X + 5X – 7 = 0


Выбор типа уравнения:
– с одной переменной
– система уравнений
– режим подбора


Выбор степени уравнения:
– вторая
– третья


Ввод коэффициентов
а, b, c


Расчет корней
Ответ: x = 1, x = 13.5

Построение графиков

Вы всегда можете построить график любой функции, или нескольких функций, одновременно, при этом они будут отображаться разными линиями. Также, возможно построение неравенств.
Пример: построить графики функций f(X) = X . 2X и f(X) = 0.5X + 1


Ввод функций


Выбор масштаба


Построение графиков


Исследование графиков

Исследование графиков

Графики можно не только построить, но и исследовать, перемещать и масштабировать.
Пример: исследовать график функции f(X) = X² – 2X, найти минимальное значение, проверить проходит ли он через точку (0; 0), увеличить область координаты (0; 0).


Нахождение
минимального
значения


Проверка пересечения
с точкой (0; 0)


Выделение области
для увеличения


Одновременное
отображение графика
и его увеличенной области

Графические решения

Благодаря этой функции Вы можете найти точки пересечения графика с осью Х и Y, а также точки пересечения двух и более графиков.
Пример: найти корни уравнения X³ – 2X = 0, решить систему уравнений
Y = X³ – 2X; Y = 0.5X + 1


Ввод функции
f(X) = X³ – 2X


Поиск корней
уравнения X³ – 2X = 0


Ввод функции
f(X) = 0.5X + 1


Поиск точек пересечения
функции f(X) = X³ – 2X и
функции f(X) = 0.5X + 1

Построение неравенств

Построение графиков не ограничивается прямоугольными координатами и равенствами. Вы также можете построить неравенства и сменить координаты на полярные или построить график параметрической функции.

Графическое интегрирование

Построив график функции, Вы можете найти ее интеграл. Для этого нужно указать нижний и верхний пределы, после чего Вы получите графическое и численное решение.

Динамические графики

Для того, чтобы понять свойства функции необходимо знать как она видоизменяется с изменением коэффициентов. Для того, чтобы не строить несколько графиков сразу, существует функция динамических графиков.
Пример: исследовать, как изменяется функция f(X)=AX² при 0,2


Ввод функции f(X)=AX²


Задание параметров
коэффициенту А


Установка скорости
отображения


Отображение графика
в динамике

Табличный процессор

При помощи табличного процессора Вы сможете работать с большим количеством цифр (массивами данных). Например, Вы сможете быстро найти среднее арифметическое, суммировать большое количество чисел, производить статистические расчеты. При этом данные можно загружать из MS Excel.
Пример: найти среднее арифметическое чисел 10, 14, 17, 12, 18, 25, 15, 22, отсортировать значения по возрастанию. Построить гистограмму на основе этих данных.


Ввод значений в
таблицу


Расчет среднего
значения


Сортировка по
возрастанию


Построение гистограммы

Обозначение функций

: Определения и оценка по номеру

Purplemath

Вы уже некоторое время играете с уравнениями типа « y =». И вы видели, что «красивые» уравнения (например, прямые линии, а не эллипсы) – это те уравнения, которые вы можете решить для « y =», а затем подключить к графическому калькулятору. Эти уравнения « y =» являются функциями.Но в данный момент вы сталкиваетесь с вопросом: «Зачем мне нужна эта нотация функции, особенно когда у меня есть совершенно хорошее ‘ y =’, и как эта нотация работает?»

Вспомните, когда вы были в начальной школе. Ваш учитель дал вам рабочие листы, содержащие такие утверждения, как «[] + 2 = 4», и сказал вам заполнить поле. Когда вы стали старше, ваш учитель начал давать вам рабочие листы, содержащие такие утверждения, как « x + 2 = 4», и предлагал вам «решить для x ».

MathHelp.com

Почему ваши учителя перешли от ящиков к переменным? Хорошо, подумайте: сколько форм вы бы использовали для формул, подобных формуле для площади A трапеции с верхним основанием a , нижним основанием b и высотой h ? Формула выглядит следующим образом:

Если вы попытаетесь выразить вышеупомянутое или что-то более сложное, используя прямоугольники различной формы, вы быстро потеряете формы.Кроме того, по опыту вы знаете, что « A » обозначает «площадь», « h » обозначает «высоту», а « a » и « b » обозначают длину параллельной вершины и нижние стороны. Только небо знает, что может означать квадратная или треугольная коробка!

Другими словами, они перешли с ящиков на переменные, потому что, хотя прямоугольники и буквы означают одно и то же (а именно, слот, ожидающий заполнения значения), переменные лучше.Переменные более гибкие, их легче читать, и они могут дать вам больше информации.

То же самое верно для « y » и « f ( x )» (произносится как «эфф-оф-экс»). Для функций два обозначения означают одно и то же, но « f ( x )» дает вам больше гибкости и больше информации. Раньше вы говорили: « y = 2 x + 3; найти y , когда x = –1». Теперь вы говорите: « f ( x ) = 2 x + 3; найдите f (–1)» (произносится как « f -of- x равно 2 x плюс три; найти f -of-negative-one “).В любой форме вы делаете одно и то же: подставляете –1 для x , умножаете на 2, а затем складываете 3, упрощая, чтобы получить окончательное значение +1.

Но обозначение функций дает вам большую гибкость, чем использование просто « y » для каждой формулы. Например, ваш графический калькулятор будет перечислять различные функции как y1, y2 и т. Д., Поэтому вы можете различать уравнения, когда, скажем, просматриваете их значения в «ТАБЛИЦЕ».

Точно так же в учебниках и при написании вещей мы используем разные имена функций, например f ( x ), g ( x ), h ( x ), s . ( t ) и т. Д., Чтобы отслеживать и работать с более чем одной формулой в любом контексте.С обозначением функций теперь мы можем использовать более одной функции одновременно, не запутываясь и не путая формулы, заставляя себя задаться вопросом: «Хорошо, что« y »равно , а это ?» И обозначения могут быть полезными для пояснения.

Из геометрии вы знаете, что « A ( r ) = π r 2 » обозначает площадь круга, выраженную через значение радиуса r , а « C ( r ) = 2π r “обозначает длину окружности, выраженную в виде радиуса r .Обе функции имеют одну и ту же переменную плагина (« r »), но « A » напоминает вам, что первая функция является формулой для «площади», а « C » напоминает вам, что вторая функция формула «окружности».

Помните: обозначение « f ( x )» в точности то же, что и « y ». Вы даже можете обозначить ось y на своих графиках как « f ( x )», если хотите.


Позвольте мне прояснить еще один момент. В то время как круглые скобки до сих пор всегда указывали на умножение, это не относится к обозначениям функций. Вопреки всему предыдущему опыту, круглые скобки для обозначения функций указывают на умножение , а не .

Выражение « f ( x )» означает «формула с именем f имеет x в качестве входной переменной».Это означает, что , а не , означает «умножить на и x »!

Не смущайте себя, произнося (или думая) « f ( x )» как « f умножить на x », а никогда не пытайтесь «умножить» имя функции, заключенное в скобки. Вход.


В обозначении функции « x » в « f ( x )» называется «аргументом функции» или просто «аргументом».Поэтому, если они дадут вам выражение « f (2)» и попросят «аргумент», ответ будет просто «2».

В сторону: Почему ввод называется «аргументом»? Термин «аргумент» имеет давнюю историю. Первоначально это был логический термин, относящийся к утверждению, содержащему доказательство или, в менее формальном смысле, утверждению, которое использовалось, чтобы попытаться кого-то в чем-то убедить. В конце концов, этот термин стал обозначать в раннем научном контексте любое математическое значение, которое требовалось в качестве входных данных для других вычислений, или любое значение, от которого зависели последующие результаты.

В двадцатом веке, когда компьютерное кодирование стало обычным явлением, кодировщики приняли математическое значение для обозначения входных данных для своего кодирования. В нашем математическом контексте «аргумент» – это независимая переменная (та, для которой вы выбираете значение, обычно это значение x ), а вывод функции – это зависимая переменная (та, значение которой зависит от того, что было подключено. в, обычно это значение y ).


  • Учитывая
    h ( s ), каково имя функции и какой аргумент?

Сначала сделаю вторую часть.Аргумент – это то, что находится в круглых скобках, поэтому здесь аргумент s .

Имя функции – это переменная, которая стоит перед круглыми скобками. В этом случае имя функции – h .

имя функции: h

аргумент: с


  • Каков аргумент
    f ( y )?

Аргумент – это то, что подключено.В этом частном (необычном) случае подключаемая переменная – « y ». (В конце концов, не существует правила, согласно которому и не могут быть независимой переменной.) Итак:


  • Учитывая
    г ( т ) = т 2 + т , как называется функция? В г (–1), каков аргумент?

Имя функции – это то, что стоит перед круглыми скобками, поэтому имя функции здесь g .

Во второй части вопроса меня просят аргументировать. В первой части, где они дали мне имя функции и аргумент (часть « g ( t )») и формулу (часть « t 2 + t »), аргумент был т . Но во второй части ввели конкретную стоимость т . Итак, во второй части аргументом является число –1.

название функции: г

аргумент г (–1): –1


Оценка по номеру

Вы оцениваете « f ( x )» точно так же, как вы всегда оценивали « y ».А именно, вы берете число, которое они дают вам, в качестве входной переменной, вы подключаете его к переменной, и вы упрощаете получение ответа. Например:

  • Учитывая
    f ( x ) = x 2 + 2 x – 1, найдите f (2).

Чтобы оценить f ( x ) при x = 2, я вставлю 2 для каждого экземпляра x в правило функции:

f (2) = (2) 2 +2 (2) – 1

Чтобы держать все в голове (и яснее в моей работе), я заключил в круглые скобки каждый экземпляр аргумента 2 в формуле для f .Теперь я могу упростить:

Тогда мой ответ:


  • Учитывая
    f ( x ) = x 2 + 2 x – 1, найдите f (–3).

Чтобы оценить, я делаю то, что делал всегда. Я подставлю данное значение (–3) для указанной переменной ( x ) в данную формулу:

f (–3) = (–3) 2 + 2 (–3) – 1

Я снова использовал круглые скобки, чтобы четко обозначить значение, вводимое в формулу.В данном случае круглые скобки помогают мне отслеживать знаки «минус». Теперь я могу упростить:

Тогда мой ответ:

Если вы испытываете трудности при работе с негативами, попробуйте использовать круглые скобки, как я сделал выше. Это помогает отслеживать такие вещи, как то, стоит ли показатель степени на знаке «минус». И это просто хорошая привычка.


Важный тип функции называется «кусочной» функцией, потому что, ну, она разбита на части.Например, это кусочная функция:

Как видите, эта функция разделена на две половины: половину, которая идет перед x = 1, и половину, которая идет от x = 1 до бесконечности. Какую половину функции вы используете, зависит от значения x . Давайте рассмотрим это:

  • Учитывая функцию
    f ( x ), как определено выше, оцените функцию при следующих значениях: x = –1, x = 3 и x = 1.

Эта функция поставляется по частям; отсюда и название «кусочная» функция. Когда я оцениваю его при различных значениях x , я должен быть осторожен, чтобы вставить аргумент в правильный фрагмент функции.

Они сначала хотят, чтобы я оценил как x = –1. Поскольку это меньше 1, то этот аргумент переходит в первую часть функции. Чтобы обновить, функция следующая:

Затем я вставлю –1 в правило 2 x 2 – 1:

f (–1) = 2 (–1) 2 – 1

= 2 (1) – 1

= 2 – 1 = 1

Затем они хотят, чтобы я нашел значение f (3).Поскольку 3 больше 1, мне нужно подключить вторую часть функции, поэтому:

Наконец, они хотят, чтобы я оценил f ( x ) как x = 1. Это единственное значение x , которое немного сложно. Какую половину использовать?

Внимательно глядя на правила для функций, я вижу, что первая часть – это правило для значений x , которые строго меньше единицы; правило не применяется, если x равно 1.С другой стороны, вторая фигура применяется, когда x больше или равно 1. Поскольку здесь я имею дело с x = 1, то применяется правило второй фигуры.

Тогда мой ответ:

f (–1) = 1

f (3) = 7

f (1) = 5


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в вычислении функций по заданному числовому значению.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Оценить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/fcnnot.htm

Как найти f (x) – Алгебра 1

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Составные функции – объяснение и примеры

В математике функция – это правило, которое связывает заданный набор входов с набором возможных выходов. Важно отметить, что каждый вход связан ровно с одним выходом.

Процесс присвоения имен функциям известен как обозначение функций. Наиболее часто используемые символы обозначения функций включают: «f (x) =…», «g (x) =…», «h (x) =…» и т. Д.

В этой статье мы узнаем, какой составной есть функции и способы их решения.

Что такое составная функция?

Если нам даны две функции, мы можем создать другую функцию, составив одну функцию в другую. Шаги, необходимые для выполнения этой операции, аналогичны тем, когда любая функция решается для любого заданного значения.Такие функции называются составными функциями.

Составная функция – это обычно функция, которая написана внутри другой функции. Композиция функции выполняется путем замены одной функции другой функцией.

Например, , f [g (x)] – составная функция от f (x) и g (x). Составная функция f [g (x)] читается как «f of g x ». Функция g (x) называется внутренней функцией, а функция f (x) называется внешней функцией.Следовательно, мы также можем читать f [g (x)] как «функция g является внутренней функцией внешней функции f ».

Как решать составные функции?

Решение составной функции означает нахождение композиции двух функций. Мы используем маленький кружок (∘) для композиции функции. Вот шаги по решению составной функции:

  • Перепишите композицию в другой форме.

Например,

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f g) (x² ) = F [g (x²)]

  • Замените переменную x, которая находится во внешней функции, на внутреннюю функцию.
  • Упростите функцию.

Примечание: Порядок в составе функции важен, потому что (f ∘ g) (x) НЕ то же самое, что (g ∘ f) (x).

Давайте рассмотрим следующие задачи:

Пример 1

Учитывая функции f (x) = x 2 + 6 и g (x) = 2x – 1, найти (f ∘ g ) (Икс).

Решение

Замените x на 2x – 1 в функции f (x) = x 2 + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x – 1) 2 + 6 = (2x – 1) (2x – 1) + 6

Применить FOIL
= 4x 2 – 4x + 1 + 6
= 4x ​​ 2 – 4x + 7

Пример 2

Учитывая функции g (x) = 2x – 1 и f (x) = x 2 + 6, найдите (g ∘ f) ( Икс).

Решение

Заменить x на x 2 + 6 в функции g (x) = 2x – 1
(g ∘ f) (x) = 2 (x 2 + 6) – 1

Используйте свойство distributive, чтобы убрать круглые скобки.
= 2x 2 + 12-1
= 2x 2 + 11

Пример 3

Учитывая f (x) = 2x + 3, найдите (f ∘ f) (x).

Решение

(f ∘ f) (x) = f [f (x)]

= 2 (2x + 3) + 3

= 4x + 9

Пример 4

Найдите (g ∘ f) (x), учитывая, что f (x) = 2x + 3 и g (x) = –x 2 + 5

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x )]

Заменить x в g (x) = –x 2 + 5 на 2x + 3
= – (2x + 3) 2 + 5
= – (4x 2 + 12x + 9) + 5
= –4x 2 – 12x – 9 + 5
= –4x 2 – 12x – 4

Пример 5

Оценить f [g (6)], если f (x) = 5x + 4 и g (x) = x – 3

Решение

Сначала найдите значение f (g (x)).

⟹ f (g (x)) = 5 (x – 3) + 4

= 5x – 15 + 4

= 5x – 11

Теперь замените x в f (g (x)) на 6

⟹ 5 (6) – 11

⟹ 30 – 11

= 19

Следовательно, f [g (6)] = 19

Пример 6

Найдите f [g (5)], учитывая, что , f (x) = 4x + 3 и g (x) = x – 2.

Решение

Начните с определения значения f [g (x)].

⟹ f (x) = 4x + 3

⟹ g (x) = x – 2

f [g (x)] = 4 (x – 2) + 3

= 4x – 8 + 3

= 4x ​​- 5

Теперь вычислим f [g (5)], заменив x в f [g (x)] на 5.

f [g (x)] = 4 (5) – 5

= 15

Следовательно, f [g (5)] = 15.

Пример 7

Учитывая g (x) = 2x + 8 и f (x) = 8x², Найти (f ∘ g) (x)

Решение

(f ∘g) (x) = f [g (x)]

Заменить x в f ( x) = 8x² с (2x + 8)

⟹ (f ∘g) (x) = f [g (x)] = 8 (2x + 8) ²

⟹ 8 [4x² + 8² + 2 (2x) (8)]

⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]

⟹ 32x² + 512 + 256 x

⟹ 32x² + 256 x + 512

Пример 8

Найти (g ∘ f) ( x) if, f (x) = 6 x² и g (x) = 14x + 4

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]

Заменить x на g (x) = 14x + 4 с 6 x²

⟹g [f (x)] = 14 (6 x²) + 4

= 84 x² + 4

Пример 9

Вычислить (f ∘ g ) (x) с использованием f (x) = 2x + 3 и g (x) = -x 2 + 1,

Решение 9 0580

(f ∘ g) (x) = f (g (x))
= 2 (g (x)) + 3
= 2 (-x 2 + 1) + 3
= – 2 x 2 + 5

Пример 10

Учитывая f (x) = √ (x + 2) и g (x) = ln (1 – x 2 ), найдите область (g ∘ f) (Икс).

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g (f (x))
⟹ ln (1 – f (x) 2 ) = ln (1 – √ (x + 2) 2 )
⟹ ln (1 – (x + 2))
= ln (- x – 1)

Установить x + 2 на ≥ 0

Следовательно, домен: [-2, -1]

Пример 11

Даны две функции: f = {(-2, 1), (0, 3), (4, 5)} и g = {(1, 1), (3, 3), (7 , 9)}, найти (g ∘ f) и определить его область определения и диапазон.

Решение

⟹ (g ∘ f) (-2) = g [f (-2)] = g (1) = 1
⟹ (g f) (0) = g [f (0) ] = g (3) = 3
⟹ (g ∘ f) (4) = g [f (4)] = g (5) = undefined

Следовательно, g ∘ f = {(-2, 1), ( 0, 3)}

Следовательно, домен: {-2, 0} и диапазон: {1, 3}

Практические вопросы
  1. Найдите составную функцию ( f f ):

f (x) = -9x 2 + 7x – 3

  1. Выполните функциональную композицию, f g h .

f (x) = 1 / (2x + 3), g (x) = √ (x + 2) / x и h (x) = x 3 – 3

  1. Найдите композиционную функцию, если внутренняя функция – это функция извлечения квадратного корня, заданная как √ (-12x – 3), а внешняя функция – как 3x 2 + 5.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Обозначение функций – объяснение и примеры

Концепция функций была разработана в семнадцатом веке, когда Рене Декарт использовал эту идею для моделирования математических отношений в своей книге Геометрия .Термин «функция» был введен Готфридом Вильгельмом Лейбницем через пятьдесят лет после публикации Geometry.

Позже Леонард Эйлер формализовал использование функций, когда ввел понятие обозначения функций; у = f (х). Так продолжалось до 1837 года, когда немецкий математик Петер Дирихле дал современное определение функции.

Что такое функция?

В математике функция – это набор входных данных с одним выходом в каждом случае.У каждой функции есть домен и диапазон. Область – это набор независимых значений переменной x для определенного отношения или функции. Проще говоря, домен – это набор значений x, которые генерируют реальные значения y при подстановке в функцию.

С другой стороны, диапазон – это набор всех возможных значений, которые может выдать функция. Диапазон функции может быть выражен в виде интервалов или содержать информацию о неравенствах.

Что такое обозначение функций?

Обозначение можно определить как систему символов или знаков, обозначающих такие элементы, как фразы, числа, слова и т. Д.

Следовательно, обозначение функции – это способ, которым функция может быть представлена ​​с помощью символов и знаков. Обозначение функций – это более простой способ описания функции без подробного письменного объяснения.

Чаще всего используется обозначение функции f (x), которое читается как «f» или «x». В этом случае буква x, помещенная в круглые скобки, и весь символ f (x) обозначают набор домена и набор диапазонов соответственно.

Хотя f – самая популярная буква, используемая при написании обозначений функций, любая другая буква алфавита также может использоваться как в верхнем, так и в нижнем регистре.

Преимущества использования обозначения функций

  • Поскольку большинство функций представлены различными переменными, такими как; a, f, g, h, k и т. д., мы используем f (x), чтобы избежать путаницы относительно того, какая функция оценивается.
  • Обозначение функций позволяет легко идентифицировать независимую переменную.
  • Обозначение функции также помогает нам идентифицировать элемент функции, который необходимо исследовать.

Рассмотрим линейную функцию y = 3x + 7. Чтобы записать такую ​​функцию в обозначении функции, мы просто заменяем переменную y фразой f (x), чтобы получить;

f (x) = 3x + 7.Эта функция f (x) = 3x + 7 читается как значение f для x или как f для x.

Типы функций

В алгебре есть несколько типов функций.

К наиболее распространенным типам функций относятся:

Линейная функция – это многочлен первой степени. Линейная функция имеет общий вид f (x) = ax + b, где a и b – числовые значения, а a 0.

Полиномиальная функция второй степени известна как квадратичная функция. Общая форма квадратичной функции: f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b и c – целые числа и a 0.

Это полиномиальная функция от 3 rd градусов, которая имеет форму f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Логарифмическая функция – это уравнение, в котором переменная отображается как аргумент логарифма. Общая функция функции f (x) = log a (x), где a – основание, а x – аргумент.

Экспоненциальная функция – это уравнение, в котором переменная появляется как показатель степени. Экспоненциальная функция представлена ​​как f (x) = a x .

f (x) = sin x, f (x) = cos x и т. Д. Являются примерами тригонометрических функций

  1. Функция идентичности:

Функция идентичности такова, что f: A → B и f (x ) = x, ∀ x ∈ A

  1. Рациональная функция:

Функция называется рациональной, если R (x) = P (x) / Q (x), где Q (x) ≠ 0.

Как оценивать функции?

Оценка функции – это процесс определения выходных значений функции. Это делается путем подстановки входных значений в обозначение данной функции.

Пример 1

Запишите y = x 2 + 4x + 1, используя обозначение функции, и оцените функцию при x = 3.

Решение

Учитывая, y = x 2 + 4x + 1

Применяя обозначение функции, получаем

f (x) = x 2 + 4x + 1

Оценка:

Заменить x на 3

f (3) = 3 2 + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

Пример 2

Вычислить функцию f (x) = 3 (2x + 1), когда x = 4.

Решение

Подставьте x = 4 в функцию f (x).

f (4) = 3 [2 (4) + 1]

f (4) = 3 [8 + 1]

f (4) = 3 x 9

f (4) = 27

Пример 3

Запишите функцию y = 2x 2 + 4x – 3 в обозначении функции и найдите f (2a + 3).

Решение

y = 2x 2 + 4x – 3 ⟹ f ​​(x) = 2x 2 + 4x – 3

Заменить x на (2a + 3).

f (2a + 3) = 2 (2a + 3) 2 + 4 (2a + 3) – 3

= 2 (4a 2 + 12a + 9) + 8a + 12 – 3
= 8a 2 + 24a + 18 + 8a + 12-3
= 8a 2 + 32a + 27

Пример 4

Представьте y = x 3 – 4x, используя обозначение функции и решите для y при x = 2.

Решение

Учитывая функцию y = x 3 – 4x, замените y на f (x), чтобы получить;

f (x) = x 3 – 4x

Теперь оцените f (x), когда x = 2

⟹ f (2) = 2 3 – 4 × 2 = 8-8 = 0

Следовательно , значение y при x = 2 равно 0

Пример 5

Найдите f (k + 2) при условии, что f (x) = x² + 3x + 5.

Решение

Чтобы оценить f (k + 2), замените x на (k + 2) в функции.

⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3 (k + 2) + 5

⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

= k² + 7k + 15

Пример 6

Учитывая обозначение функции f (x) = x 2 – x – 4. Найдите значение x, когда f ( x) = 8

Решение

f (x) = x 2 – x – 4

Заменить f (x) на 8.

8 = x 2 – x – 4

x 2 – x – 12 = 0

Решите квадратное уравнение, умножая на множители, чтобы получить;

⟹ (x – 4) (x + 3) = 0

⟹ x – 4 = 0; x + 3 = 0

Следовательно, значения x при f (x) = 8 равны;

х = 4; x = -3

Пример 7

Вычислите функцию g (x) = x 2 + 2 при x = −3

Решение

Замените x на -3.

г (−3) = (−3) 2 + 2 = 9 + 2 = 11

Примеры обозначений функций из реальной жизни

Обозначения функций могут применяться в реальной жизни для оценки математических задач, как показано ниже Примеры:

Пример 8

Для производства определенного продукта компания тратит x долларов на сырье и y долларов на рабочую силу. Если себестоимость продукции описывается функцией f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy / 100.Рассчитайте стоимость производства, если фирма тратит 10 000 и 1 000 долларов на сырье и рабочую силу соответственно.

Решение

Дано x = 10000 долларов США и y = 1000 долларов США

Подставьте значения x и y в функцию производственных затрат

⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40 (10000) + 30 (1000) + (10000) (1000) / 100.

⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

⟹ 4136000 долларов.

Пример 9

Мэри экономит 100 долларов в неделю на предстоящий день рождения.Если у нее уже есть 1000 долларов, сколько у нее будет через 22 недели.

Решение

Пусть x = количество недель, а f (x) = общая сумма. Мы можем записать эту проблему в обозначении функции как;

f (x) = 100x + 1000
Теперь оцените функцию, когда x = 22
f (22) = 100 (22) +1000
f (22) = 3200

Таким образом, общая сумма составит 3200 долларов.

Пример 10

Стоимость разговора в двух мобильных сетях A и B составляет 34 доллара плюс 0.05 / мин и 40 долларов плюс 0,04 / мин соответственно.

  1. Представьте эту проблему в обозначении функций.
  2. Какая мобильная сеть является доступной с учетом того, что в среднем каждый месяц используется 1 160 минут.
  3. Когда ежемесячные счета двух сетей равны?

Решение

  1. Пусть x будет количеством минут, используемых в каждой сети.

Следовательно, функция сети A равна f (x) = 0,05x + 34, а функция сети B – f (x) = 0.04x + 40 долларов.

  1. Чтобы определить, какая сеть доступна, подставьте x = 1160 в каждую функцию

A ⟹ f (1160) = 0,05 (1160) + 34

= 58 + 34 = 92

B f (1160) = 0,04 (1160) + 40

= 46,4 + 40

= 86,4 долл. США

Следовательно, сеть B является доступной, поскольку ее общая стоимость времени разговора меньше, чем у A.

  1. Приравняйте две функции и решите x

⟹ 0,05x +34 = 0,04x + 40

⟹ 0,01x = 6

x = 600

Ежемесячный счет для A и B будет равен, когда среднее количество минут составляет 600.

Доказательство:

A ⟹ 0,05 (600) +34 = 64 доллара США

B ⟹ 0,04 (600) + 40 = 64 доллара США

Пример 11

Определенное число такое, что при добавлении его к 142, результат на 64 раза больше исходного числа. Найдите номер.

Решение

Пусть x = исходное число, а f (x) будет результатом сложения 142.

f (x) = 142 + x = 3x + 64

2x = 78

x = 39

Пример 12

Если произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 1122, найдите два целых числа.

Решение

Пусть x будет первым целым числом;

второе целое число = x + 1

Теперь сформируйте функцию как;

f (x) = x (x + 1)

найти значение x, если f (x) = 1122

Заменить функцию f (x) на 1122

1122 = x (x + 1)

1122 = x 2 + 1

x 2 = 1121

Найдите квадрат обеих сторон функции

x = 33

x + 1 = 34

Целые числа 33 и 34.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Алгебра – обратные функции

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-7: Обратные функции

В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x – 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

, и, как указано в этом разделе, это означает, что это особые функции.Посмотрим, что делает их такими особенными. Рассмотрим следующие оценки.

\ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {ProcessBlue} – 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) – 2 = {\ color {Красный } – 5} & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} g \ left ({\ color {Red} – 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {ProcessBlue} – 1} \\ & & \\ g \ left ({\ color {ProcessBlue} 2} \ right) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} & \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ right ) – 2 = 4 – 2 = {\ color {ProcessBlue} 2} \ end {align *} \]

В первом случае мы подключили \ (x = – 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение -5. Затем мы развернулись и подключили \ (x = – 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый корпус действительно,

\ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = – 1 \]

а второй корпус действительно

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = – 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = – 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

Пары функций, которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Это довольно простое определение «один-к-одному», но для демонстрации того, что оно означает, используется пример функции, которая не является взаимно-однозначной.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x <\ infty \). Иногда это можно сделать с помощью функций.

Демонстрация того, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительным и трудным процессом. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом разделе, взаимно однозначны. Однако нам нужно было поговорить о взаимно-однозначных функциях, поскольку только однозначные функции могут быть обратными.

Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.

Обратные функции

Даны две взаимно однозначные функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = x \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {AND}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

, то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) являются обратными друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) – это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

. {- 1}} \ left (x \ right) \).{- 1}} \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \) верны. Для всех функций, которые мы собираемся рассмотреть в этом разделе, если одна из них истинна, то другая также будет истинной. Однако есть функции (однако они выходят далеко за рамки этого курса), для которых может быть истинным только одно из них. Это вызвано тем, что во всех задачах здесь мы будем проверять только одну из них. Нам просто нужно всегда помнить, что технически мы должны проверять и то, и другое.

Давайте поработаем несколько примеров.{- 1}} \ left (x \ right) \). Показать решение

Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

\ [y = 3x – 2 \]

Затем замените все \ (x \) на \ (y \), а все y, , на \ (x \). {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x – 1}} \]

Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x – 1}} {{2x – 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x – 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x – 1}}} \ right) – 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x – 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x – 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x – 1}) \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x – 1}}} \ right) – 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x – 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) – 5 \ left ({2x – 1} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 8x – 4}} {{8 + 10x – 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} \\ & = x \ end {align *} \]

Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы покинем этот раздел. Существует интересная взаимосвязь между графиком функции и обратным ей.

Вот график функции и обратного из первых двух примеров. Мы не будем рассматривать последний пример, поскольку это функция, о которой мы еще не говорили.

В обоих случаях мы можем видеть, что график инверсии является отражением фактической функции относительно линии \ (y = x \). Так всегда будет с графиками функции и обратной ей.

Обратные функции

Обратная функция – наоборот!

Начнем с примера:

Здесь у нас есть функция f (x) = 2x + 3 , записанная в виде блок-схемы:

Обратная функция идет другим путем:

Итак, обратное: 2x + 3: (y-3) / 2

Обратное значение обычно отображается путем добавления небольшого «-1» после имени функции, например:

ф -1 (у)

Мы говорим “ f инверсия y”

Итак, обратное к f (x) = 2x + 3 записывается:

f -1 (y) = (y-3) / 2

(я также использовал y вместо x , чтобы показать, что мы используем другое значение.)

Вернуться туда, где мы начали

Самое замечательное в обратном преобразовании состоит в том, что он должен вернуть нам исходное значение:


Когда функция f превращает яблоко в банан,
Тогда обратная функция f -1 превращает банан обратно в яблоко


Пример:

Используя приведенные выше формулы, мы можем начать с x = 4:

f (4) = 2 × 4 + 3 = 11

Затем мы можем использовать обратное для 11:

f -1 (11) = (11-3) / 2 = 4

И мы волшебным образом снова получаем 4 !

Мы можем написать это одной строкой:

f -1 (f (4)) = 4

“f, обратное f 4, равно 4”

Таким образом, применение функции f, а затем ее обратной f -1 возвращает нам исходное значение снова:

f -1 (f (x)) = x

Мы могли бы также расположить функции в другом порядке, и он все еще работает:

f (f -1 (x)) = x

Пример:

Начать с:

f -1 (11) = (11-3) / 2 = 4

А потом:

f (4) = 2 × 4 + 3 = 11

Итак, мы можем сказать:

f (f -1 (11)) = 11

“f f, обратное 11, равно 11”

Решить с помощью алгебры

Мы можем вычислить обратное, используя алгебру. Положите y вместо f (x) и решите относительно x:

Функция: f (x) = 2x + 3
Поместите y вместо f (x): y = 2x + 3
Вычтем 3 с обеих сторон: г-3 = 2x
Разделите обе стороны на 2: (у-3) / 2 = x
Поменять стороны: х = (у-3) / 2
Решение (вместо x укажите “f -1 (y)”): ф -1 (у) = (у-3) / 2

Этот метод хорошо подходит для более сложных инверсий.

Фаренгейта в Цельсия

Полезный пример – преобразование между градусами Фаренгейта и Цельсия:

Для преобразования Фаренгейта в Цельсия: f (F) = (F – 32) × 5 9

Обратная функция (градусы Цельсия обратно по Фаренгейту): f -1 (C) = (C × 9 5 ) + 32

Для вас: посмотрите, сможете ли вы сделать шаги, чтобы создать инверсию!

Инверсии общих функций

До сих пор это было легко, потому что мы знаем, что обратное к умножению – это деление, а обратное к сложению – вычитание, но как насчет других функций?

Вот список, который вам поможет:

(Примечание: вы можете узнать больше об обратном синусе, косинусе и тангенсе.)

Осторожно!

Вы видели “Осторожно!” столбец выше? Это потому, что некоторые инверсии работают только с определенными значениями .

Пример: квадрат и квадратный корень

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , а затем делаем обратное, происходит следующее:

Квадрат: (- 2) 2 = 4

Обратная величина (квадратный корень): √ (4) = 2

Но мы не вернули исходное значение! Мы получили 2 вместо −2 .Наша вина в том, что мы не проявляем осторожности!

Итак, функция квадрата (как она есть) не имеет обратной

Но мы можем это исправить!

Ограничить домен (значения, которые могут входить в функцию).

Пример: (продолжение)

Только убедитесь, что мы не используем отрицательные числа.

Другими словами, ограничьте его до x ≥ 0 , и тогда мы сможем получить обратное.

Итак, у нас такая ситуация:

  • x 2 имеет ли не инверсию
  • но {x 2 | x ≥ 0} (в котором говорится, что «x возведен в квадрат так, что x больше или равен нулю» с использованием нотации построителя множеств) имеет ли обратное.

Нет обратного?

Давайте посмотрим наглядно, что здесь происходит:

Чтобы иметь возможность иметь инверсию, нам нужно уникальных значений .

Подумайте … если есть два или более значений x для одного значения y , как мы узнаем, какое из них выбрать, когда вернемся?

Общие функции
Без обратного

Представьте, что мы перешли от x 1 к определенному значению y, куда мы вернемся? x 1 или x 2 ?

В этом случае у нас не может быть обратного.

Но если мы можем иметь ровно один x для каждого y, мы можем получить обратное.

Это называется “однозначным соответствием” или биективным, как это

Биективная функция
Имеет инверсию

Функция должна быть «биективной», чтобы иметь инверсию.

Таким образом, биективная функция подчиняется более строгим правилам, чем общая функция, что позволяет нам иметь обратную функцию.

Домен и диапазон

Так что же все эти разговоры о «, ограничивающем домен »?

В простейшей форме область – это все значения, входящие в функцию (а диапазон – это все значения, которые выходят).

В его нынешнем виде функция , а не , имеет инверсию, потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.

Но мы могли бы ограничить домен так, чтобы было уникальных x для каждого y

… и теперь у нас может быть обратный:

Также примечание:

  • Функция f (x) переходит из области в диапазон,
  • Обратная функция f -1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.

Давайте изобразим их оба в терминах x … так что теперь это f -1 (x) , а не f -1 (y) :

f (x) и f -1 (x) похожи на зеркальные изображения
(перевернут по диагонали).

Другими словами:

Графики f (x) и f -1 (x) симметричны по линии y = x

Пример: квадрат и квадратный корень (продолжение)

Сначала , мы ограничиваем Домен до x ≥ 0 :

  • {x 2 | x ≥ 0} “x в квадрате, так что x больше или равно нулю”
  • {√x | x ≥ 0} “квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю”


А вы видите, что это “зеркальные отражения”
друг друга по диагонали y = x.

Примечание: когда мы ограничиваем область до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение будет f -1 (x) = −√x :

  • {x 2 | х ≤ 0}
  • {−√x | х ≥ 0}

Которые тоже обратные.

Не всегда разрешимо!

Иногда невозможно найти обратную функцию.

Пример: f (x) = x / 2 + sin (x)

Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем решить для «x»:

у = х / 2 + грех (х)

г …? = х

Примечания к обозначениям

Даже если мы пишем f -1 (x), «-1» – это , а не показатель степени (или степени):

f -1 (x) … отличается от … f (x) -1
Функция, обратная f f (x) -1 = 1 / f (x)
(Обратный)

Сводка

  • Значение, обратное f (x), равно f -1 (y)
  • Мы можем найти обратное, перевернув “блок-схему”
  • Или мы можем найти обратное с помощью алгебры:
    • Положите “y” вместо “f (x)” и
    • Решить относительно x
  • Нам может потребоваться ограничить область , чтобы функция имела инверсию

Математическая сцена – Уравнения III – Урок 3

Математическая сцена – Уравнения III – Урок 3 – Квадратные уравнения
2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок 3 Пересечение точек графиков


Как приступить к поиску точек, в которых два графика y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, как найти график f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y = g (x) пересекаются, оба графа имеют точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки пересечения путем решения уравнения f (x) = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку пересечение двух прямых f (x) = 2x – 1 и g (x) = x + 1. Сначала давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х – 1 = х + 1

2х – х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 – 1 = 3

Точка пересечения – (2, 3) .

Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 – 2x – 3 = 2x – 3 сначала графически, затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2 – 2x – 3 и g (x) = 2x – 3, составив таблицу значений и построив график точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 – 2x – 3 = 2x – 3

x 2 – 4x = 0

х (х – 4) = 0

Получение решений x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 – 1 = 2x – 3

Сначала переместите все термины перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 – 2x + 2 = 0

Используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b = −2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня: отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала. уравнение

f (x) = x 2 – 1 и правая часть g (x) = 2x – 3.

Мы видим, что парабола f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 – 3x + 2 = x 2 – 2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все слагаемые в левую часть уравнения.

х 3 – 3x + 2 = x 2 – 2x + 1

x 3 – x 2 – x + 1 = 0

(x 3 – x 2 ) – (x – 1) = 0

x 2 (x – 1) – (x – 1) = 0

(х – 1) (х 2 – 1) = 0

(х – 1) (х – 1) (х + 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) = x 2 – 2x + 1 и g (x) = x 3 – 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x. Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

х 4 = х

х 4 – х = 0

х (х 3 – 1) = 0

Квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 – 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два решения. Одно решение – это ровно x = 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.
Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти решение уравнения ln x = x 2 – 1 намного проще.

Рисуем графики обеих сторон уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти точка пересечения.

Еще проще использовать G-Solve (F5) и затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор перейдет к вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню.В на экране появляется следующее:

Пишем D2, 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным к значению 1, изменив значение в B2.

Когда нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.


Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *