Калькулятор система уравнений методом гаусса – Метод Гаусса онлайн

Решение уравнений методом Гаусса онлайн калькулятор

Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из
величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом
Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и
прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры,
теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии
и многих разделов астрономии. Метод Гаусса позволяет максимально легко и быстро решить систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). Успех данного метода заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений. Сегодня решить систему алгебраических уравнений онлайн методом Гаусса можно с помощью
специальных решательов, но ниже мы разберем решение системы линейных уравнений, чтобы наглядно на примере
увидеть все его достоинства.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение матричным
способом онлайн решателем»

Допустим, дана система линейных уравнений:

\[\left\{\begin{matrix} 2\cdot x_1+4\cdot x_2+1\cdot x_3 = 36\\ 5\cdot x_1 + 2 \cdot x_2 +1 \cdot x_3 =47\\
2\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 4 \cdot x_3 = 37 \end{matrix}\right.\]

Представим ее в матричной форме:

\[\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1\\ 5 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 36\\ 47\\ 37 \end{bmatrix}\]

Выберем строку с максимальным коэффициентом \[a_i1\] и меняем ее с первой.

\[\begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 47\\ 36\\ 37 \end{bmatrix}\]

Нормируем уравнения относительно коэффициента при \[x_1\]:

\[\begin{bmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\ 2 & \frac{4}{2} & \frac{1}{2}\\ 2 & \frac{3}{2} &
\frac{4}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{47}{5}\\
\frac{36}{2}\\ \frac{37}{2} \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1.5 & 2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 9.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]

Вычитаем 1 уравнение из 2 и 3:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1.6 & 0.3\\ 0 & 1.1 & 1.8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\
x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 8.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]

Выбираем строку с наибольшим коэффициентом при \[a_i2\] (уравнение 1 не рассматривается) и перемещаем ее на
место 2.

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1.6 & 0.3\\ 0 & 1.1 & 1.8 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\
x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 8.6\\ 9.1 \end{bmatrix}\]

Нормируем 2 и 3 уравнения относительно коэффициента при \[x_2\]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.1875\\ 0 & 1 & 1.636 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\
x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.375\\ 8.272 \end{bmatrix}\]

Вычитаем уравнение 2 из 3

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.1875\\ 0 & 0 & 1.4489 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\
x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.375\\ 2.897 \end{bmatrix}\]

Нормируем уравнение 3 относительно коэффициента при \[x_3\]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0.4 & 0.2\\ 0 & 1 & 0.166\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\
x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9.4\\ 5.333\\ 2 \end{bmatrix}\]

Откуда получаем \[x_3=2\]. Подставляем полученное значение в уравнения 2 и 1 получаем

\[x_2 = 5.333 — 0.1666 \cdot 2 = 5.333 — 0.333 =5\]

\[x_1+0.4 \cdot x_2 = 9.4 — 0.2 \cdot 2 = 9.4 — 0.4=9\]

Подставляя полученное значение \[x_2=5\] в уравнение 1, найдем

\[x_1 = 9 — 0.4 \cdot 5 = 9 — 2 = 7\]

Таким образом, решением системы уравнений будет вектор

\[x =\begin{bmatrix} 7 & 5 & 2 \end{bmatrix}^T\].

Где можно решить уравнение методом Гаусса онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к «треугольному» виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
    переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aii равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a11 отличен от нуля — переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента Kj=aji/aii;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: ajkнов.=ajk-Kj*aik;
    После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n — размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaii, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(Ckn)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

  • если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
  • если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
  • если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

uchimatchast.ru

Как решить линейное уравнение методом Гаусса онлайн

Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из
величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом
Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и
прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры,
теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии
и многих разделов астрономии. Метод Гаусса является самым действующим способом решения систем линейных
уравнений, поскольку ни метод Крамера, ни матричный метод не работают в условиях, когда система имеет
бесконечное количество решений или несовместна. Однако последовательное исключение неизвестных, что и
заложено в основу метода Гаусса, приведет к решению любых линейных систем.

Так же читайте нашу статью «Решить логарифмическое уравнение онлайн
решателем»

Решим следующую систему линейных уравнений методом Гаусса:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\
2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]

Сделаем расширенную матрицу:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix}
1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Используя 2 уравнение, избавимся от переменной \[x_2\] в последующих уравнениях:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix}
1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Выполним исключение переменной \[x_2\] из 3 и 4 уравнений. К 3 строке добавим 2, умноженную на \[\frac{1}{4},
\] а к \[4 — 2,\] умноженную на \[\frac{7}{1}. \]

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix}
1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к
четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[-\frac{18}{18}=-1.\] Получаем расширенную матрицу
трапециевидной формы.

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix}
1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7
\end{matrix}\right.\]

Основываясь на полученных данных, делаем вывод, что полученная и данная системы — совместны и определённы.
Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем

\[x_4=-\frac{7}{18}.\]

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40,\]

откуда

\[x_3=\frac{13}{9}.\]

Далее, подставляем значения \[x_3\] и \[x_4\] во второе уравнение системы:

\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8,\]

т.е.

\[x_2=-\frac{43}{18}.\]

Наконец, подстановка значений \[x_2, x_3, x_4\] в первое уравнение даёт:

\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1,\]

Получаем:

\[x_1=\frac {2}{3}.\]

Ответ:

\[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18}).\]

Где можно решить линейные уравнения методом Гаусса онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн
решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео
инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о