Калькулятор замечательных пределов: Решение пределов онлайн

Содержание

[Прелесть математики] Бесконечность

Все статьи из цикла “В чем прелесть предмета”
Другие статьи из цикла “В чем прелесть математики”:
Визуальные доказательства
Теорема Байеса
Красота рассуждений
Режем провода
Прятки с геометрией
Теорема Пифагора

Все мы знаем, как ведет себя математика, когда мы используем обычные арифметические операции вроде сложения или умножения со знакомыми нам действительными числами. Однако математика становится куда более интригующей, когда числа кончаются и начинается бесконечность…

Бесконечность в математике имеет куда большую роль, чем можно себе представить: будучи значимой частью многих разделов математики, порой бесконечность способна привести нас к невероятно красивым решениям.

Парадокс “Гранд-отель”

Представьте отель с бесконечным числом номеров, при этом во всех его номерах уже есть постояльцы. Вдруг появляется еще один гость, желающий заселиться в отель. Как вы думаете, что сделает администрация отеля? Удивительно, но они ему не откажут! Администрация всего лишь попросит постояльца первого номера поселиться во второй, второго – в третий, третьего – в четвертый и так далее. {2t}\]В данной функции \(1 + \frac{1}{20}\) показывает, что каждый месяц сумма увеличивается на \(5\%\), а \(2t\) означает, что частота пополнения депозита увеличилась до \(2\) раз в месяц. Есть ли разница между этими двумя функциями? К примеру, вы с другом положили на депозит \(1000\) тг, но ваш друг положил их с условием из первой функции, а вы – из второй. У кого будет больше денег на депозите через \(5\) лет? Поздравляю, именно вы получите большую прибыль! Почему же так происходит? Это покажется на первый взгляд странным, но вторая функция растет быстрее, чем первая. Таким образом, если сумма вашего депозита будет увеличиваться чаще, то денег на вашем счету будет явно больше, несмотря на то, что увеличивается депозит на меньший процент.

Однажды ученые задумались: что если сумма на депозите будет увеличиваться бесконечное число раз в месяц на бесконечно малое число процентов – какая будет прибыль? Используя логику из предыдущего примера, мы можем сделать вывод, что в таком случае функция будет выглядеть так:\[P(t)=x\cdot (1+\frac{1}{n})^{nt},\]где число \(n\) показывает, во сколько раз изменяется частота увеличения депозита за месяц, а \(\frac{1}{n}\) показывает бесконечно малый процент депозита, так как \(n\) стремится к бесконечности. {1000000}=2.71828\]Попробуйте использовать число побольше. Вскоре вы заметите, что калькулятор будет давать одно и то же число – это приблизительное значение постоянной Эйлера. Точное значение мы получим лишь в том случае, если \(n\) станет действительно бесконечным. А теперь задумайтесь: при возведении некого числа, большего единицы, в бесконечную степень результат не превышает трех. Это ли не замечательно!

Такой предел называется вторым замечательным пределом.

Пока что мы опустим его доказательство и перейдем к первому замечательному пределу:\[\lim_{n \to 0} \frac{\sin(n)}{n}, \: (n\:в\:радианах) \]

В этом пределе \(n\) вместо бесконечно большого числа принимает наоборот бесконечно малые значения, близкие к \(0\) (но не равные ему!).

Попробуйте самостоятельно доказать его! Если вы почувствуете, что вдруг застряли в дебрях доказательства, ниже мы даем пошаговые инструкции к одному интуитивному доказательству этого предела:

\(1\). Нарисуйте окружность с радиусом \(1\) и центром \(O\).

\(2\). Проведите \(2\) радиуса \(OA\) и \(OB\).

\(3\). Чему равна дуга \(AB\)? А чему равен синус \(\angle AOB\)? Какая между ними связь?

\(4\). Ответы на вопросы выше: если длина дуги равна \(x\), то \(\angle AOB\) равен \(x\) радиан, а \(sin(x)\) равен высоте, опущенной из точки \(B\) на \(OA\).

\(5\). Заметим, что чем меньше \(\angle AOB\), тем ближе длины дуги и высоты, а следовательно, сравниваются \(x\) и \(sin(x)\).

Парадоксы с бесконечными числовыми рядами

Порой работа с бесконечностями может привести нас к различным парадоксам. В качестве примера возьмем бесконечную сумму:\[1-1+1-1+1-1+1-1+\dots \]Попробуем поставить скобки так, чтобы каждая скобка давала \(0\):\[(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots\]Если следовать подобной логике, ответ очевидно равен \(0\). А что если решить эту задачу немного иначе? Снова расставим скобки, но немного по-другому. Пусть первое слагаемое останется без компаньона, тогда выйдет: \[1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\dots\]В этом случае первое слагаемое равно \(1\), а остальные – \(0\), а значит конечная сумма уже равна \(1\).

Решим задачу еще раз, но снова немного перепишем сумму. Пусть второе слагаемое встанет на место первого, третье – на место второго, четвертое – третьего и так далее, а первое же слагаемое встанет на последнее место (как в примере с бесконечным отелем). Расставим скобки, вновь оставив первое число без пары:\[-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots\]Получается, что первое слагаемое равно \(-1\), а остальные – \(0\), то есть общая сумма будет равна \(-1\).

Теперь обозначим эту сумму за \(S\) и посмотрим, чему равно значение \(1-S\):\[S =1-1+1-1+1-1+1-1+\dots\]\[1-S=1-(1-1+1-1+1-1+\dots)=\]\[=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+\dots\]Выходит, что значение \(1-S=S\). Удивительно! Похоже на линейное уравнение, которое можно решить и получить \(S=0.5\).

Так к чему приведет данная бесконечная сумма? \(0, 1, -1\) или \(0.5\)? На самом деле, ни одно из этих решений не будет верным, так как подобная сумма называется расходящейся. Иначе говоря, невозможно найти конечное числовое значение данной суммы, что и приводит нас к разным результатам. Попробуйте понять, какие из следующих рядов приведут нас к определенному конечному значению (сходятся), а какие расходятся:\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots\]\[1+2+4+8+16+32+64\]\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\dots\]

Сравнение бесконечностей

Задумывались ли вы когда-нибудь, чего больше: натуральных или целых чисел? Логичный ответ – целых чисел, так как целые числа включают в себя и натуральные. Но не стоит забывать, что каждое из этих множеств бесконечно! Давайте вспомним, что натуральные числа – это именно те числа, которые мы используем для подсчета и нумерации элементов (\(1, 2, 3, 4…\)). Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, нужно задать другой: сможем ли мы пронумеровать каждое из целых чисел? Давайте попробуем это сделать! Пусть каждое отрицательное число будет под четным номером, например \(-1 \rightarrow 2, -2 \rightarrow 4\) и так далее. То есть номер \(N(x)\) отрицательного числа \(x\) вычисляется как \(N(x) = -2x\). Тогда положительные числа и нуль будут нечетными натуральными числами, например \(0 \rightarrow 1, 1 \rightarrow 3, 2 \rightarrow 5\) и так далее. Получается, что \(N(x) = 2x + 1\), если \(x ≥ 0\). Так для каждого целого числа есть соответствующее ему натуральное число. Данный факт доказывает равенство количества элементов (мощность) в данных множествах.

Получается, мощность множества натуральных чисел равняется мощности множества целых чисел. Другими словами, множество целых чисел счетно, так как к каждому целому числу можно назначить соответствующее натуральное число, а следовательно, можно и посчитать их. Не менее интересно, что множество рациональных чисел тоже является счетным. Чтобы проиллюстрировать справедливость данного утверждения, достаточно взглянуть на картинку.

Видно, что красной стрелочкой можно пройтись по каждому рациональному числу, последовательно пронумеровав их натуральными числами, что показывает равенство мощности множеств рациональных и натуральных чисел.

Для измерения мощности множеств используются кардинальные числа. К примеру, мощность натуральных чисел – это אo (алеф-ноль). Следующее кардинальное число всегда больше предыдущего. Это означает, что существует бесконечности, большие других бесконечностей.

Вот так простое рассуждение об основах математики привело нас к другим ранее неизведанным видам чисел – кардинальным.

Заключение

В математике она – прима-балерина, она играет главную роль и может привести нас в совершенно неожиданные места. Она способна создать множество парадоксов, и при этом она же способна их разрешить. Она таинственна, и невероятно прекрасна. И имя ей бесконечность.

Фонд «Beyond Curriculum» публикует цикл материалов «В чем прелесть предмета» в партнерстве с проектом «Караван знаний» при поддержке компании «Шеврон». Караван знаний – инициатива по исследованию и обсуждению передовых образовательных практик с участием ведущих казахстанских и международных экспертов.

Редактор статьи: Дарина Мухамеджанова

Сетки, Перо и привязка | SkyCiv Cloud Программное обеспечение для структурного анализа

Цель SkyCiv – сократить время, затрачиваемое на моделирование вашей структуры, с помощью института полезных функций в S3D. . Следующий набор функций щелчка мышью способствует достижению этой цели, оптимизируя процесс моделирования..

Следуйте за нами на YouTube Есть ряд инструментов, из которых вы можете выбрать. К ним можно получить доступ, щелкнув значок пера для запуска следующих замечательных инструментов: Щелкните значок пера для доступа к сетке и параметрам привязки

Сетка

Сетки можно включать, чтобы отображать опорные линии в любом месте пространства модели.. Вы можете использовать сетки вместе с инструмент для рисования очень эффективно здесь:

Есть несколько элементов управления для пользовательской сетки.:
  • Селектор самолета – Сетки были упрощены до этих трех кнопок-переключателей для каждой 2D-плоскости. (XY, XZ, и YZ). Щелкните эту плоскость, чтобы включить или выключить ее..
  • Начальная позиция – Положение в трехмерном пространстве, в котором сетка будет начинаться в. Используйте это для панорамирования / перемещения сетки в положение, с которого вам будет удобно работать.. Справа (и выше) пример, сетка начинается от опорной точки (0,0,-10).
  • Размер сетки – Размер каждого квадрата сетки. Справа (и выше) пример, каждый маленький квадрат 0,5 м х 0,5 м.
  • Высота уровня
    – На каком расстоянии вы хотели бы воспроизвести сетку вверх? Справа (и выше) пример есть только 1 уровень, поэтому высота уровня не применяется.
  • Количество уровней – Сколько раз вы хотели бы повторить сетку?? Справа (и выше) пример есть только 1 уровень.

При включенном инструменте рисования, пользователи могут навести указатель мыши на любую точку сетки и построить узел. Если настройка Показать координаты под Параметры привязки отмечен галочкой, он покажет координаты этой позиции сетки, чтобы вы знали, где будет располагаться узел.

Инструмент “Перо” и параметры привязки

Привязка – это простой способ построить узлы и создать элементы с помощью инструмента «Перо».

. Просто наведите (или щелкните) узел, чтобы определить этот узел как опорную точку. Затем переместите курсор по глобальному X, И, или ось Z, и он будет привязан к этой оси – показано красным пунктиром, зеленый, или синяя линия в зависимости от того, какая ось привязана. Инструмент привязки может также выбрать вторую ось., например, выравнивание другого узла. Чтобы отключить этот ссылочный узел, просто щелкните где-нибудь, что не привязано, или нажмите Esc.

Вот пример привязки инструмента «Перо» к глобальной оси Z, со ссылкой на узел 2. Он также берет вторичную ось координаты Z узла 5.:

  • Наведите указатель мыши или щелкните узел, это станет твоим Ссылочный узел, отсюда вы можете использовать Snap / Grid для построения узла:
  • С Подключить участника галочка выбрана, вы можете как отбросить узел, так и подключить узлы как член:
  • Привязка также обнаружит вторичную ось. Например, если вы путешествуете по оси X узла, он может захватывать другие узлы с той же осью X.
  • В поле Длина автоматически отображается длина расстояния от опорного узла. (и, следовательно, длина члена). В любой момент вы можете ввести длину и нажать Enter., или щелкните, применить эту длину члена.
  • Введите длину и щелкните (замок) значок для фиксации длины. Теперь вы можете создавать члены с фиксированной длиной.
  • Привязка к середине участника

Параметры привязки

  • Щелкнуть на – Включает и выключает привязку
  • Показать метку расстояния – если эта опция отмечена, будет показано расстояние предлагаемого узла от точки отсчета. (в большинстве случаев длина предлагаемого члена)
  • Показать координаты – Показать координаты предлагаемого узла привязки.
  • Размер привязки – Какие приращения вы хотите, чтобы привязка происходила от точки отсчета.

Контроль размера привязки

В размер оснастки Атрибут напрямую изменяет размер отображаемой структуры, чтобы пользователю было проще привязать к правильным приращениям. . Например, небольшой щелчок 5 мм уменьшит модель до размера, с которым будет легко работать. Этим можно управлять в любое время, и это полезно для управления следующим поведением.:


Очень маленькая конструкция с большим размером кнопки
Это можно исправить, уменьшив размер привязки.

Кем был Рамануджан? / Хабр


Перевод поста Stephen Wolfram “Who Was Ramanujan?”.
Выражаю огромную благодарность Полине Сологуб за помощь в переводе и подготовке публикации

Содержание


Удивительное письмо
Начало истории
Кем был Харди?
Письмо и его последствия
Стиль работы Рамануджана
Видеть то, что важно
Истина или объяснение
Переход в Кембридж
Рамануджан в Кембридже
Что было дальше
Что стало с Харди?
Математика Рамануджана
Факты — случайные или нет?
Автоматизация работ Рамануджана
Современные Рамануджаны?
Что было бы, если бы у Рамануджана была Mathematica?
На этой неделе вышел фильм “Человек, который познал бесконечность” (который мне показали еще прошлой осенью Манджул Бхаргава и Кен Оно), так что я не мог не написать о его главном герое — Сринивасе Рамануджане.

Удивительное письмо

Раньше они приходили по обычной почте. Сейчас — по электронной. В течение многих лет со всего мира ко мне стекаются письма, в которых содержатся смелые утверждения о простых числах, теории относительности, искусственном интеллекте, сознании и множестве других вещей. Глядя на эти сообщения, я вспоминаю историю Рамануджана и неизменно откладываю свои идеи и проекты, чтобы хотя бы просмотреть их.

Около 31 января 1913 года математик по имени Харди из Кембриджа, Англия, получил пакет документов с сопроводительным письмом, которое начиналось так: “Дорогой сэр, хочу представиться вам: я клерк из бухгалтерии порта в Мадрасе с зарплатой £20 в год. Мне 23 года….». И продолжал: писал о том, что достиг «поразительного» прогресса в теории расходящихся рядов по математике и решил давнишнюю проблему распределения простых чисел. Сопроводительное письмо заканчивалось словами: “

Я беден; если вы решите, что здесь есть что-нибудь ценное, я хотел бы, чтобы мои теоремы были опубликованы… Я неопытен, и любые ваши советы ценны для меня. Прошу извинить меня за доставленные неудобства. Искренне ваш, с уважением, С. Рамануджан“.

Далее следовало по крайней мере 11 страниц технических результатов из целого ряда областей математики (из которых 2 потеряны). Там было абсурдное на первый взгляд утверждение, что сумма всех положительных чисел равна
-1/12
:

Были утверждения, предполагающие использование своего рода экспериментального подхода в математике:

Были там и более экзотические страницы с формулами вроде этой:

Что это? Откуда они взялись? Правильны ли они?

Сами понятия должны быть хорошо знакомы человеку, изучавшему матанализ в колледже. Однако к письму были приложены не просто сложные упражнения уровня колледжа. Если присмотреться внимательно, на каждой странице письма происходит нечто совершенно необычное и неожиданное, — кажется, это математика другого уровня.

На сегодняшний день для численной проверки результатов мы можем использовать Mathematica или Wolfram | Alpha.

А иногда мы можем даже просто ввести вопрос и сразу же получить ответ:

Можно убедиться (как и Г. Х. Харди в 1913 году), что формулы правильные. Однако что за человек мог их вывести? И как? Являются ли они частью более широкой картины или в каком-то смысле просто хаотичными случайными фактами из математики?

Другие страницы

Начало истории

За этим письмом стоит замечательная история

Рамануджана

.

Он родился в небольшом городке в Индии 22 декабря 1887 г. (это означает, что ему было не «около 23» лет, когда он писал свое письмо Харди, а все 25). Его семья была небогатой и принадлежала к касте браминов (священников, учителей и др.). Уже в 10 лет Рамануджан явно выделялся среди прочих по результатам экзаменов в обновленной системе школьного образования. Он также был известен из-за своей исключительной памяти: он мог декламировать цифры числа пи так же хорошо, как корни санскритских слов. Когда в возрасте 17 лет он закончил среднюю школу, ему дали стипендию для обучения в колледже.

В средней школе Рамануджан начал самостоятельно изучать математику и проводить собственное исследование численной оценки постоянной Эйлера и свойств чисел Бернулли. Ему повезло, что в 16 лет (в те дни, задолго до Интернета!) он получил копию удивительно хорошего и полного (по крайней мере, по состоянию на 1886 г.) конспекта по математике для студентов высшей школы, состоявшего из 1055 страниц! Книга была написана преподавателем трехлетней программы по математике для подготовки к экзаменам в Кембридж, и его скупой формат в стиле «только факты» был очень похож на тот, что Рамануджан использовал в своем письме к Харди.

К тому времени, как Рамануджан поступил в колледж, он хотел заниматься только математикой, и в результате провалил остальные экзамены и сбежал, так что его матери пришлось даже писать в газету письмо о пропавшем без вести:

Рамануджан переехал в Мадрас (теперь Ченнаи), где пробовал учиться в разных колледжах, болел и в результате продолжил свое независимое исследование по математике. В 1909 году, когда ему был 21 год, его мама в соответствии с обычаями того времени договорилась о его свадьбе с 10-летней девочкой по имени Янаки, которая начала жить с ним пару лет спустя.

Рамануджан обеспечивал себя, занимаясь репетиторством по математике, но вскоре он стал известен в окрестностях Мадраса как математик и начал печататься в недавно запущенном Журнале Индийского математического общества. Его первая статья, опубликованная в 1911 году, была посвящена вычислительным свойствам чисел Бернулли (те же числа Бернулли, что Ада Лавлейс (см. статью “Распутывая историю Ады Лавлейс (первого программиста в истории)” на Хабре) использовала в своей статье от 1843 года про аналитическую машину). Хотя его результаты не слишком впечатляли, подход Рамануджана был интересным и оригинальным: в нем сочетались непрерывная («каково численное значение?») и дискретная («какое разложение на простые множители?») математика.

После того, как друзьям-математикам Рамануджана не удается получить ему стипендию, он начинает искать работу, и в марте 1912 года Рамануджан попадает счетоводом в порт Мадрас. Его босс — главный бухгалтер — интересовался академической математикой и стал пожизненным его сторонником. Руководителем порта Мадрас в то время был выдающийся британский инженер-строитель, так что Рамануджан через него начал взаимодействовать с некоторыми британскими экспатриантами. Они рассуждали о том, есть ли у него «способности великого математика» или же он просто «мальчик-калькулятор». Они писали профессору Хилл в Лондон, который посмотрел на ряд диковинных заявлений Рамануджана о расходящихся рядах и заявил, что “г-н Рамануждан, очевидно, человек со вкусом к математике, и даже с некоторыми способностями, но он идет по неверному пути“. Хилл предложил Рамануджану изучить некоторые книги.

В то время, как друзья Рамануджана продолжали искать способ поддержать его, он решил сам начать писать британским математикам — пускай и с некоторой помощью при составлении писем на английском языке. Мы не знаем точно, кому он написал первому, хотя давний соратник Харди Джон Литтлвуд незадолго до своей смерти 64 года спустя упомянул два имени: Х. Ф. Бейкер и Е. В. Хобсон. Они оба были не слишком удачным выбором: Бейкер работал в области алгебраической геометрии, а Хобсон занимался математическим анализом: достаточно далеко от того, что делал Рамануджан. В любом случае, ни один из них не ответил.

И вот в четверг, 16 января 1913 года, Рамануждан пишет свое письмо Г.Х. Харди.

Кем был Харди?


Годфри Харолд Харди родился в 1877 году в семье школьных учителей. Жили они примерно в 30 милях к югу от Лондона. С самого начала он был лучшим учеником — особенно в области математики. Даже когда я рос в Англии в начале 1970-х, такие студенты в средней школе обычно переходили в Винчестер, а после шли в Кембридж. Именно это и сделал Харди. Другие были чуть более известными, чуть менее строгими и менее математически ориентированными — это Итон и Оксфорд (в который я поступил).

Студенты кембриджского бакалавриата занимались в то время решением витиевато сконструированных проблем исчисления (это напоминало серьезные спортивные соревнования), а в конце составлялся рейтинг студентов, занимающих в нем позиции от «Senior Wrangler» (наивысший балл) до «Wooden Spoon» (самый низкий проходной балл). Харди думал, что он будет первым на курсе, однако оказался четвертым. Он пришел к выводу, что ему больше по душе строгий и формальный подход к математике, который затем стал популярным в континентальной Европе.

Британская академическая система работала в то время (и до 1960-х годов) таким образом, что после получения высшего образования лучшие студенты могли быть избраны стипендиатами колледжа и получать стипендии даже пожизненно. Харди был в Тринити-колледже — самом большом и лучшем с научной точки зрения колледже в Кембриджском университете, а после его окончания в 1900 году он был избран стипендиатом колледжа.

Темой первой исследовательской работы Харди были интегралы, подобные этим:

В течение десяти лет Харди работал в основном над тонкостями вычисления, выяснял, как брать различные виды интегралов и их сумм, и настаивал на более строгом подходе к вопросам сходимости и перестановки пределов интегрирования.

Его работы не были ни великими, ни провидческими, однако они стали прекрасными примерами математического мастерства. Как и его коллега Бертран Рассел, он начал заниматься вскоре новой областью — трансфинитными числами, однако работает с ними недолго. Затем в 1908 году он написал учебник “Курс чистой математики” — это была хорошая и даже очень успешная в свое время книга (в предисловии к ней говорилось, что учебник предназначался студентам, чьи способности достигают уровня «стандарта стипендиата»).

К 1910 году Харди в погрузился в рутину жизни профессора Кембриджского университета и занимался академической работой. И тогда он познакомился с Джоном Литтлвудом. Литтлвуд вырос в Южной Африке и был на восемь лет моложе Харди, недавний Senior Wrangler и во многих отношениях гораздо более предприимчивый. И в 1911 году Харди, который ранее работал только сам, влился в сотрудничество с Литтлвудом, продолжавшееся остаток его жизни.

Как человек Харди производил впечатление хорошего школьника, который так никогда и не повзрослеет. Казалось, ему нравится жить в структурированной среде, концентрируясь на своих математических упражнениях. Он был очень занудным — касалось ли это подсчета баллов во время игры в крикет, доказательства отсутствия Бога или написания правил для его сотрудничества с Литтлвудом. Будучи типичным британцем, он мог бы самовыражаться с умом и обаянием, однако он был жестким и отчужденным: он даже называл себя «Г. Х. Харди», будучи «Харолдом» только с матерью и сестрой.

Таким образом, к началу 1913 года Харди был респектабельным и успешным британским математиком, заинтересованным в новом сотрудничестве с Литтлвудом, который тянул его в интересующую его область теории чисел. Но потом он получил письмо от Рамануджана.

Письмо и его последствия

Письмо Рамануджана начиналось не слишком удачно: создавалось впечатление, что он думает, что впервые описывает хорошо известную технику

аналитического продолжения

для обобщения таких идей и понятий, как

факториал

, на

нецелые числа

. Он заявил: “

я настолько развил эти идеи в своих исследованиях, что местные математики не в состоянии понять меня и мои работы

“. Однако после сопроводительного письма следовало более девяти страниц, которые содержали более 120 различных математических результатов.

Вначале там были довольно расплывчатые заявления. Но на третьей странице были формулы для сумм и интегралов и прочего. Некоторые из них отдаленно напоминали те, что были в работах Харди. А некоторые из них были определенно более экзотические. Их общая структура была характерна для этих типов математических формул, однако некоторые конкретные формулы удивляли: в них утверждалось, что некоторые вещи математически равны, тогда как нельзя было даже ожидать, чтобы они были связаны между собой.

По крайней мере две страницы оригинального письма пропали без вести. Последняя страница, которая у нас есть, снова, кажется, заканчивается неудачно: Рамануджан, описывая достижения своей теории расходящихся рядов, приходит к, казалось бы, абсурдному результату о том, что сумма всех положительных целых чисел 1 + 2 + 3 + 4 +… равна -1 / 12.

Как отреагировал Харди? Во-первых, он проконсультировался у Литтлвуда. Было ли это письмо розыгрышем? Были ли эти формулы уже известны, или, возможно, совершенно неправильны? Некоторые они опознали. А вот остальные — нет. Харди сказал позже, что и они должны быть правильными, “потому что если бы они не были правдой, никому не хватило бы воображения их придумать“.

Бертран Рассел писал, что на следующий день он “нашел Харди и Литтлвуда в состоянии дикого возбуждения, потому что они считают, что нашли второго Ньютона — индуистского клерка, который зарабатывает в Мадрасе 20 фунтов в год“. Харди многим людям показал письмо Рамануджана, а затем начал делать запросы правительственным департаментам, управляющим Индией. Все это заняло у него неделю, а затем он написал ответное письмо Рамануджану, в котором ясно читается волнение: “Я был чрезвычайно заинтересован вашим письмом и теоремами, которые вы сформулировали“.

Затем он продолжил: “Однако вы должны понять, что, прежде чем я смогу судить правильно о ценности того, что вы сделали, я должен увидеть доказательства некоторых из ваших утверждений“. Любопытно, что он сказал это. Для Харди недостаточно было просто знать, что это правда; ему нужны были доказательства. Конечно, Харди мог бы самостоятельно их найти. Однако мне кажется, что отчасти он написал так потому, что хотел получить более полное представление о том, насколько хорошим математиком был Рамануджан.

В своем письме с характерной для него точностью Харди разделил содержимое письма Рамануджана на три категории: то, что уже было известно; новое и интересное, но не очень важное; и, наконец, новое и потенциально важное. Однако единственным, что он отнес к третьей категории, было заявление Рамануджана о подсчете простых чисел, добавив при этом, что “почти все зависит от точности и строгости методов доказательства, которые вы использовали“.

Харди, очевидно, сделал к тому моменту некоторые предварительные исследования работ Рамануджана, так как в своем письме он ссылается на его статью, посвященную числам Бернулли. Он пишет: “я очень надеюсь, что вы отправите мне как можно быстрее… некоторые из ваших доказательств“, а затем заканчивает словами: “в надежде как можно скорее получить от вас ответ“.

Рамануджан действительно быстро отреагировал на письмо Харди. Во-первых, он писал, что он ожидал такого же ответа от Харди, как и от одного “профессора математики в Лондоне“, который просто сказал ему “не попадать в ловушку расходящихся рядов“. Затем он отвечает на пожелание Харди строгих доказательств, говоря: «если бы я продемонстрировал вам мои методы доказательства, то, уверен, вы присоединились бы к мнению лондонского профессора“. Далее он упоминает свой результат

1 + 2 + 3 + 4 +… = -1 / 12,

и добавляет, что “… если я скажу вам, то вы ответите, что мое место — в психушке“. И продолжает: “я говорю об этом только для того, чтобы убедить вас, что вы не в состоянии будете следовать моим методам доказательства… основанным на одной букве“. Он говорит, что его первая цель состоит в том, чтобы найти кого-то вроде Харди, чтобы проверить свои результаты, а значит, иметь возможность получить стипендию, так как “я уже живу впроголодь. Чтобы сохранить мозги, мне нужна еда. ..“.

Рамануджан заканчивает словами о том, что наличие той первой категории результатов, которые уже известны, очень его обрадовало, потому что “мои результаты верифицируются — в противном случае моя позиция была бы слишком шаткой“. Другими словами, Рамануджан и сам не был уверен в правильности полученных результатов, и он был рад, что оказался прав.

Как же он получал свои результаты? Позже я расскажу об этом подробнее. Но он, конечно, делал все виды расчетов с числами и формулами — по сути, занимался экспериментами. И, вероятно, он смотрел на результаты этих вычислений, чтобы понять, какие из них верны. До сих пор неизвестно, как он определял это; к тому же некоторые его результаты в конце концов не выдержали критики. Возможно, он использовал как традиционные приемы математических доказательств и подтверждение с помощью вычислений, так и доверял своей интуиции. Однако ничего из этого он не сказал Харди.

Вместо этого он просто вел с ним переписку о деталях результатов, а также приводил фрагменты доказательств, которые он был в состоянии дать. Казалось, Харди и Литтлвуд намеренно нивелируют его усилия: например, Литтлвуд писал о каких-то его результатах: “(d) — это, конечно, неверно“. При этом они оба задавались вопросом, был ли Рамануджан “Эйлером” или просто “Якоби”. Однако Литтлвуд сказал: «материал о простых числах неверен» — в том смысле, что Рамануджан неправильно допускал, что дзета-функция Римана не имеет комплексных нулей, хотя на деле их бесконечно много (на эту тему у Римана была целая гипотеза). Гипотеза Римана — известная и до сих пор нерешенная математическая задача, которую оптимист-преподаватель предложил Литтлвуду в качестве проектной работы, когда тот был еще студентом.

А что насчет странного выражения Рамануджана 1 + 2 + 3 + 4 +… = -1/12? Оно также имеет отношение к дзета-функции Римана. Для положительных целых чисел ζ(s) определяется как сумма . В Wolfram Language есть интересная функция — Zeta[s] — которую можно получить, расширив ее область определения на все множество комплексных чисел. Затем, на основе формулы для положительных аргументов, можно сказать, что Zeta[-1] представляет собой сумму 1 + 2 + 3 + 4 +… Но можно просто вычислить Zeta[-1]:

Это слишком странный результат для того, чтобы просто в него поверить. Однако и не такой безумный, как может показаться на первый взгляд. Это результат, который в настоящее время считается вполне разумным для определенных расчетов в квантовой теории поля (в которой, если уж быть справедливым, все актуальные бесконечности предназначены для того, чтобы в конце их отменить).

Вернемся к нашей истории. У Харди и Литтлвуда не было приемлемой ментальной модели для Рамануджана. Литтлвуд предположил, что Рамануджан не хочет предоставлять доказательств, потому что он боится, что они украдут его работу (кража тогда, как и сейчас, была серьезной проблемой в научных кругах). Рамануджан сказал, что его «ранят» эти предположения, и заверил их, что он «ни в малейшей степени не опасается» за то, что его методом воспользуется кто-то еще. Он добавил, что он изобрел метод восемь лет назад, но до сих пор не нашел никого, кто смог бы оценить его, и теперь он был «готов передать… в распоряжение, все, что есть».

В то же время (еще до ответа на первое письмо Рамануджана) Харди совместно с отделом правительства, ответственного за индийских студентов, изучал, как перевести Рамануджана в Кембридж. Не вполне понятно, что произошло на этом отрезке их переписки, но Рамануджан ответил, что он не может ехать — возможно, из-за его убеждений брамина, или из-за матери, или, возможно, потому, что он просто думал, что не впишется в новую среду. Но в любом случае сторонники Рамануджана занялись тем, чтобы он получил стипендию в Университете Мадраса. Другие эксперты высказали мнение, что “его результаты замечательны; но он не может на данный момент представить вразумительного доказательства некоторых из них“; при этом “он обладает достаточным знанием английского языка и не слишком стар, чтобы учиться современным методам из книг“.

Администрация университета заявила, что их правила не позволяют дать стипендию выпускника тому, кто, как Рамануджан, не получил степень бакалавра. Однако они предложили выход: «раздел XV Закона о регистрации и статьи 3 Закона об индийских университетах от 1904 года допускает выдачу такой стипендии [со стороны Государственного Департамента Образования] при условии согласия губернатора Форт Ст. Джорджа в Совете». И, несмотря на бюрократию, дело пошло быстро, и в течение нескольких недель Рамануджан должным образом получил стипендию на два года с единственным требованием предоставлять ежеквартальные отчеты.

Стиль работы Рамануджана

К тому времени, когда он получил свою стипендию, Рамануджан стал писать больше статей и публиковать их в

журнале Индийского математического общества.

По сравнению с его амбициозными идеями о простых числах и расходящихся рядах тематика этих работ была совсем скучной. Тем не менее, они были замечательны.

Что сразу поражает — они полны реальных, сложных формул. Большинство математических статей не такие. Они могут быть сложно написаны и не содержать при этом больших выражений, включающих в себя сложные комбинации из корней или длинных целых чисел.

Другие страницы

Сейчас мы привыкли видеть невероятно сложные формулы, генерируемые с помощью Mathematica. Однако они являются промежуточными шагами, а не темами для подробного обсуждения в статьях. У Рамануджана сложные формулы скрывали за собой историю. Невероятно впечатляет, что он мог вывести их без компьютеров и других современных инструментов.

(Кстати, еще в конце 1970-х годов я начал писать статьи, включавшие в себя формулы, генерируемые компьютером. И в одной конкретной статье в одной из формул много раз подряд повторялось число 9. Но опытная машинистка, которая печатала статью — да, из рукописи — заменила каждую «9» на «g». Когда я спросил ее, почему, она сказала: “Ну, в статьях никогда не бывает столько 9“!).

Другой отличительной чертой работ Рамануджана является частое использование численных приближений в качестве аргументов, приводящих к точным результатам. Люди склонны думать о работе с алгебраическими формулами как о точном процессе — например, что коэффициент в точности равен 16, а не приблизительно 15.99999. Однако для Рамануджана приближения были обычным делом, при этом окончательные результаты оказывались точными.

В каком-то смысле неудивительно, что приближения числам полезны. Скажем, мы хотим знать, что больше: или . Мы можем начать делать все виды преобразований для квадратных корней и пытаться выводить из них теоремы. Или мы можем просто оценить каждое выражение численно и обнаружить, что результат первого выражения (2,9755 …) меньше, чем второго (3,322 …). В математической традиции для кого-то вроде Харди — или, если на то пошло, в типичном современном исчислении, — такой прямой способ расчета ответа на вопрос кажется чем-то неуместным и неправильным.

И, конечно, если цифры близкие, нужно быть осторожным относительно численного округления и прочего. Хотя вот на сегодняшний день в системе Mathematica и с Wolfram Language с их встроенными системами отслеживания чисел мы часто используем численные приближения для получения точных результатов так же, как это делал Рамануджан.

Когда Харди просил у Рамануджана доказательств, отчасти он хотел лишь получить своего рода историю для каждого результата, которая объясняла бы его. Но в некотором смысле методы Рамануджана не поддаются этому способу. Легко понять, что это правда, но очень сложно доказать, почему это так.

И то же самое происходит, когда ключевая часть результата бывает получена исключительно из вычисления сложных формул, — или, в наше время, из автоматического доказательства теорем. Да, можно проследить шаги и увидеть, что они верны. Но отсутствие контекста не позволит в полной мере понять полученные результаты.

Было бы неприятно в конечном итоге получить некоторое сложное выражение или кажущееся случайным число, потому что такие результаты ни о чем не сказали бы большинству людей. Но Рамануджан отличался. Литтлвуд однажды сказал о Рамануджане, что “каждое положительное число было его личным другом“. Обладая прекрасной памятью и хорошей способностью замечать закономерности, Рамануджан мог узнать многое из сложного выражения или длинного числа. Каждый объект будто сам просился рассказать ему свою историю.

Рамануджан генерировал все эти вещи своими собственными усилиями. Но в конце 1970-х и начале 1980-х гг. у меня был опыт автоматической генерации большого количества сложных результатов с помощью компьютера. Я делал это какое-то время, и случилось кое-что интересное: отныне я был в состоянии быстро распознавать «текстуру» результатов и мог сразу увидеть, что с большой степенью вероятности будет верно. Если я имел дело, скажем, с некоторыми сложным интегралом, это было не то же самое, что знать теоремы о нем. Моя интуиция работала — например, я мог предположить, какие функции появятся в результате. Учитывая это, я мог бы заставить компьютер продолжить и получить детальную картину — а значит, и убедиться, что результат был правильным. Но при этом я не мог вывести, почему результат был истинным; я просто получал его с помощью интуиции и расчета.

Сейчас, конечно, достаточно чистой математики, где нельзя (пока что) делать вычисления для того, чтобы проверить, является или нет какой-то результат правильным. Это часто происходит, например, когда речь идет о бесконечности или бесконечно малых величинах или пределах. В 1910 году Харди написал книгу под названием Orders of Infinity — о тонкостях, которые возникают при взятии бесконечных пределов (в частности, в виде алгебраического аналога теории трансфинитных чисел; он говорил о сравнении темпов роста таких явлений, как вложенные экспоненциальные функции, и мы даже извлекли некоторую пользу из того, что теперь называют полями Харди в отношении степенных рядов в Wolfram Language).

Так что, когда Харди увидел «быстрое и свободное» обращение Рамануджана с бесконечными пределами и тому подобным, неудивительно, что он отреагировал отрицательно и подумал, что ему нужно «приручить» Рамануджана — приучить его к более тонким европейским способам получения правильных ответов.

Видеть то, что важно

Рамануджан несомненно был великим человеком-калькулятором — и особенно впечатляло его знание о том, является ли тот или иной математический факт или отношение истинными или нет. Однако самым большим его мастерством была сверхъестественная способность отличать наиболее существенное и понимать, что именно из этого можно вывести.

К примеру, возьмем его изданную в 1914 году статью “Модульные уравнения и аппроксимации числа П”, в которой он проводит вычисления (без компьютера, конечно):

Большинство математиков сказали бы: “то, что результат так близок к целому числу, — лишь забавное совпадение; ну и что?” Но Рамануджан понял больше. Он нашел другие отношения (эти “=” должны быть ≅):

Затем он начал строить теорию, которая включает в себя эллиптические функции (хотя Рамануджан не знал еще такого названия в то время) и начал работать над новыми приближениями для пи:

Предыдущие приближения к пи были в некотором смысле гораздо более «здравыми» (хотя одним из лучших вариантов до Рамануджана была формула Мачины 1706 года), включающая в себя как будто случайное число 239:

Но странные ряды Рамануджана имели одну важную особенность: они требовали гораздо меньше условий для вычисления π с заданной точностью. В 1977 году Билл Госпер, которого я имел удовольствие знать в течение более чем 35 лет, взял последний из рядов Рамануджана из списка выше и использовал его для вычисления рекордного количества цифр числа пи. Вскоре последовали другие вычисления, основанные на идее Рамануджана — метод, который мы используем для вычисления пи в Mathematica и Wolfram Language.

Если посмотреть на статьи Рамануджана, становится понятно, что даже он сам иногда не знал, что было (или не было) статистически значимым. Например, он отметил:

И потом (это практически единственный его опубликованный пример из геометрии) он на основе этой формулы представил своеобразную геометрическую конструкцию «квадратуры круга»:

Истина или объяснение

Наверняка для Харди способ работы Рамануджана был чужд. Рамануджан был

экспериментатором в математике

: он свободно входил во вселенную математических возможностей и делал расчеты для того, чтобы найти интересные и значимые факты — и только затем строил теории, основанные на них.

Харди же работал в традиционном русле, постепенно расширяя описательную часть существующей математики. Большинство его работ начинаются — явно или неявно — с цитирования некоторого результата из математической литературы, а затем продолжаются рассказом о том, как этот результат может быть распространен с помощью ряда точных шагов. У него нет внезапных эмпирических открытий, как нет и необъяснимых скачков, основанных на интуиции. Его математика тщательно аргументирована и построена по кирпичику.

Столетие спустя почти все работы по математике делаются так. И даже если обсуждать один и тот же предмет, возможно, кое-что не следует называть «математикой», потому что методы слишком разные. В то время, как я собственными силами исследовал вычислительную вселенную простых программ, я сделал изрядное количество того, что можно было бы назвать «математическим» в том смысле, что, например, я исследовал системы, основанные на числах.

На протяжении многих лет я находил всевозможные интересные результаты. Причудливо вложенные рекуррентные соотношения, которые генерируют простые числа. Своеобразные представления целых чисел в виде XOR-деревьев. Но одни эмпирические факты еще не являются частью традиции существующей математики.

Для многих математиков вроде Харди процесс доказательства является основой математической деятельности. Несложно выдвинуть предположение о том, что истинно; важнее создать доказательство того, что объясняет, почему что-то верно, таким образом, чтобы другие математики это поняли.

Сегодня, когда у нас появляется возможность автоматизировать все больше и больше доказательств, этот процесс начинает напоминать ручной труд, где результат может быть интересным, а процесс его получения — нет. Но процесс доказательства также может иметь большое значение. Доказательства могут стать тем материалом, с помощью которого вводятся новые абстрактные понятия, выходящие за рамки подробных сведений о данном доказательстве, а также обеспечить «сырьем» для понимания многих других математических результатов.

Подозреваю, что Рамануджан, для которого эти факты и результаты были центром его математического мышления, чувствовал себя как на странной европейской таможне, необходимой для изъятия его результатов из их специфического контекста, и для убеждения европейских математиков в том, что они верны.

Переход в Кембридж

Однако вернемся к истории о Рамануджане и Харди.

К началу 1913 года Харди и Рамануджан продолжали обмениваться письмами. Рамануджан описывал свои результаты; Харди критиковал его и настаивал на доказательствах и традиционном их изложении. Далее был длинный перерыв, но в декабре 1913 года Харди снова написал, говоря, что самые амбициозные результаты Рамануджана о распределении простых чисел определенно были неправильными, добавив, что “… теория простых чисел полна подводных камней, преодоление которых требует применения современных строгих методов“. Он сказал также, что, если бы Рамануджан смог доказать свои результаты, это стало бы “одним из самых замечательных математических достижений за всю историю математики“.

В январе 1914 года молодой кембриджский математик E. Х. Невилл приехал в Мадрас читать лекции и сообщил о том, что Харди «стремится перевести Рамануджана в Кембридж». Рамануджан ответил, что еще в феврале 1913 года он вместе со своим начальником провел встречу с секретарем совещательного студенческого комитета Мадраса, который спросил, готов ли он поехать в Англию. Рамануджан писал, что он предполагал, что он должен был бы сдавать экзамены так же, как и другие индийские студенты, которые уезжали в Англию (а он думал, что не справится с этим), а также что его начальник “очень ортодоксальный брамин, и так как он сомневался, стоит ли ехать на чужбину, то сказал мне, что не стоит“.

Он рассказал потом, что Невилл «развеял [его] сомнения», пояснив, что ему не стоит волноваться насчет расходов, что его английский всех устраивает, что ему не придется сдавать экзамены и что он может остаться вегетарианцем и в Англии. Рамануджан закончил словами о том, что он надеется на то, что Харди и Литлвуд будут “достаточно любезны, чтобы взять на себя труд принимать меня [в Англии] в течение нескольких месяцев“.

Харди предположил, что бюрократических проблем не будет и Рамануджан легко попадет в Англию; однако получилось не так. Тринити-колледж, в котором работал Харди, не был готов предоставить какого-либо реального финансирования. Харди и Литтлвуд предложили свои деньги, однако Невилл написал секретарю университета Мадраса: “открытие гения С. Рамануджана из Мадраса обещает быть самым интересным событием нашего времени в математическом мире“, — он предложил университету найти деньги. Экспаты-сторонники Рамануджана предприняли активные действия, в конечном итоге добились внимания губернатора Мадраса, и деньги нашлись: их взяли из правительственного гранта пятилетней давности, предназначавшегося для «учреждения лекций в университете во время каникул», а на языке бюрократии это звучало примерно так: «Документ № 182 Управления образования»… «не использованный по прямому назначению».

В бюрократических протоколах были странные приписки — например, от 12 февраля: «К какой касте он принадлежит? Срочно». Но в конце концов все сложности были преодолены, и 17 марта 1914 года после проводов с участием местных сановников Рамануджан садится на корабль в Англию, идущий вверх по Суэцкому каналу, и 14 апреля прибывает в Лондон. Перед тем, как покинуть Индию, Рамануджан готовился к европейской жизни: носил западную одежду, учился есть ножом и вилкой и завязывать галстук. Для тех индийских студентов, которые приехали в Англию раньше, существовала целая процедура. Через несколько дней Рамануджан прибыл в Кембридж, и индийские газеты с гордостью сообщали, что “г-н С. Рамануджан из Мадраса, чьи работы по высшей математике вызвали удивление в Кембридже, в настоящее время находится в резиденции в Тринити“.

(В связи с первыми днями Рамануджана в Кембридже помимо имен Харди и Литтлвуда появляются два других имени: Невилл и Барнс. Они не особенно известны в общей истории математики, но так случилось, что в Wolfram Language их имена носят встроенные функции: NevilleThetaS и BarnesG).

Рамануджан в Кембридже

Каким был Рамануджан, когда прибыл в Кембридж? Его описывают как полного энтузиазма и активного человека, хотя и неуверенного в себе. Он шутил, иногда и в свой адрес. Он мог говорить не только о математике, но и о политике и философии. Он не был слишком рефлексивным. Когда общение носило официальный характер, он был вежлив и почтителен и пытался следовать местным обычаям. Его родным языком был тамильский, и ранее он потерпел неудачу, провалив английские экзамены, но к тому времени, когда он прибыл в Англию, его английский был отличным. Он любил тусоваться с другими индийскими студентами, иногда ходил на музыкальные мероприятия или катался на лодке по реке. Он был невысоким и полным; его главной примечательной особенностью были глаза — яркие и блестящие. Он упорно трудился, решая одну математическую задачу за другой. Его скудное жизненное пространство составляли лишь несколько книг и статей. Он был рассудителен в практических вещах: например, в том, чтобы решить проблемы с приготовлением пищи и поиском вегетарианских продуктов. Можно сказать, что в Кембридже он был счастлив.

Однако позже, 28 июня 1914 года (всего через два с половиной месяца после того, как Рамануджан прибыл в Англию) эрцгерцог Фердинанд был убит, а 28 июля началась Первая мировая война. Это немедленно отразилось на Кембридже. Многие студенты были призваны на военную службу. Литтлвуд присоединился к военным и в конечном итоге разработал способ вычисления таблиц дальности для зенитных орудий. Харди не был большим сторонником войны (не в последнюю очередь потому, что любил немецких математиков), но он также вызвался добровольцем и впоследствии был отвергнут по медицинским показаниям.

Рамануджан описывал войну в письмах к своей матери, говоря, например: “они летают в самолетах на большой высоте, бомбят города и разрушают их. Как только вражеские самолеты показываются в небе, самолеты, стоящие на земле, взлетают и на огромной скорости набрасываются на них, что несет разрушение и смерть“.

Рамануджан тем не менее продолжал свои занятия математикой, объясняя своей матери, что “война ведется на территориях столь отдаленных, насколько Рангун находится далеко от [Мадраса]“. Были и практические трудности — например, отсутствие овощей, что побудило Рамануджана попросить друга из Индии отправить ему бандеролью “немного семян тамаринда и хорошего кокосового масла“. Важнее было то, что, как писал Рамануджан, “профессора здесь… утратили интерес к математике из-за нынешней войны“.

Рамануджан также писал другу, что “изменил план публикации своих результатов“. Он сказал, что будет ждать окончания войны для того, чтобы опубликовать какой-либо из старых своих результатов. Но он сказал, что с момента приезда в Англию он освоил “их методы“, и пытается “получить новые результаты их методами, чтобы легко и без задержек публиковаться“.

В 1915 году Рамануджан опубликовал длинный документ, озаглавленный “высокосоставные числах” о максимумах функции (DivisorSigma в Wolfram Language), которая подсчитывает количество делителей заданного числа. Харди, по всей вероятности, принимал активное участие в подготовке данной статьи, которая стала основой тезисов к кандидатской диссертации Рамануджана.

В течение следующих нескольких лет Рамануджан плодотворно работал и писал статьи, которые, несмотря на войну, были опубликованы. Вместе с Харди он написал значимую статью, касающуюся функции распределения (PartitionsP в Wolfram Language), описывающей способы записать целое число в виде суммы положительных чисел. Эта статья — классический пример смешения приближенных и точных вычислений. Статья начинается с результата для больших n:

Но затем с помощью идей Рамануджана, разработанных еще в Индии, оценка постепенно улучшается до точки, в которой можно получить результирующее целое число. В то время, в котором жил Рамануджан, вычисление точного значения PartitionsP[200] было большим делом — и кульминацией его статьи. Но сегодня, благодаря методу Рамануджама, эти вычисления можно проводить мгновенно:

Кембридж был подавлен войной — на линиях фронта с ужасающей скоростью погибали лучше студенты. Большой четырехугольник Тринити-колледжа стал военным госпиталем. Но, несмотря на все это, Рамануджан продолжал заниматься математикой — и с помощью Харди зарабатывал себе известность.

В мае 1917 года Рамануджан заболел. Насколько теперь можно судить, это, вероятно, была какая-то паразитарная инфекция печени, привезенная им из Индии. Но тогда никто не мог поставить диагноз. Рамануджан ходил от врача к врачу, но он не верил тому, что ему говорили, и казалось, что ничего не поможет. В одни месяцы он чувствовал себя достаточно хорошо, чтобы заниматься математикой; в другие — нет. Он впал в депрессию, и в какой-то момент, видимо, был склонен к самоубийству. Ему не помогло и то, что его мать вернула его жену обратно в Индию, оградив его от общения с ней и опасаясь, что она будет отвлекать его.

Харди пытался помочь: иногда — взаимодействуя с врачами, иногда — обеспечивая математическими данными. Один врач сказал Харди, что причиной заболевания может быть “какой-то неизвестный возбудитель с Востока, совершенно неизученный в настоящее время“. Харди писал: “Как и все индийцы, Рамануджан фаталист, а потому ужасно трудно заставить его заботиться о себе“. Позже Харди рассказал ныне известную историю о том, как однажды он посетил Рамануджана в больнице и сказал, что приехал на такси с номером 1729, и что ему кажется, что это довольно унылый номер, на что Рамануджан ответил: “Нет, это очень интересное число; это наименьшее число, представимое в виде суммы двух кубов двумя различными способами“: . (Wolfram|Alpha сообщает теперь также о некоторых других его свойствах).

Однако, несмотря на все проблемы, репутация Рамануджана как математика продолжала расти. Он был избран членом Королевского общества (в которое входили Хобсон и Бейкер, ни один из которых не ответил на его оригинальное письмо), и в октябре 1918 г. был избран членом Тринити-колледжа, что обеспечивало ему финансовую поддержку. Спустя месяц после окончания Первой мировой войны угроза нападения подводных лодок, которая делала путешествие в Индию опасным, исчезла.

И вот 13 марта 1919 года Рамануджан возвращается в Индию — очень известным и уважаемым и очень больным. Он по-прежнему занимается математикой и, в частности, пишет Харди заметное письмо о «ложных» тэта-функциях (12 января 1920 года). Он решил жить скромно, и в значительной степени игнорировал то немногое, что медицина могла сделать для него. И 26 апреля 1920 года, в возрасте 32 лет и через три дня после последней записи в записной книжке, он умирает.

Что было дальше

Когда Рамануджан начал заниматься исследованиями по математике, он записывал свои результаты в

тетрадях с твердой обложкой

, публикуя лишь малую их часть. Когда Рамануджан умер, Харди хотел изучить и опубликовать все 3000 (или около того) результатов из тетрадей Рамануджана. Несколько человек также работали над этим в 1920-х и 1930-х годах, и в итоге много чего было опубликовано. Однако проект не был завершен — к нему вернутся лишь в 1970-е годы.

Скачать первый, второй, третий блокнот.

В 1940 году Харди передал все имеющиеся у него письма Рамануджана в библиотеку Кембриджского университета, но того оригинального письма, которое Рамануджан послал в 1913 году, среди них не было, так что теперь единственное, что у нас есть, это опубликованное позже переложение этого письма Харди. Три основные тетради Рамануджана много лет лежали на шкафу в кабинете библиотекаря в Университете Мадраса, где они пострадали от насекомых, но не потерялись. Другие его записи прошли через несколько рук, а некоторые из них оказались в невероятно грязном кабинете кембриджского математика; однако когда он в 1965 году умер, они были замечены и отправлены в библиотеку, где и пылились до тех пор, пока не были «заново открыты» в 1976 году как потерянные записи Рамануджана.

Когда Рамануджан умер, его родственники практически сразу стали просить финансовой поддержки. Из Англии приходили большие счета за лечение, и начались разговоры о продаже бумаг Рамануджана для сбора денег.

Жене Рамануджана был 21 год, когда он умер, однако она больше не вышла замуж. Она жила очень скромно, зарабатывая себе на жизнь шитьем. В 1950 году она взяла на воспитание сына умершей подруги. К 1960-м гг. Рамануджан стал кем-то вроде индийского героя, и она начала получать различные награды и пенсии. За долгие годы многие математики пришли навестить ее, одному из которых она отдала фотографию из паспорта Рамануджана, которая стала самым известным его изображением.

Она прожила долгую жизнь и умерла в 1994 году в возрасте 95 лет, пережив Рамануджана на 73 года.

Что стало с Харди?

Харди было 35 лет, когда он получил письмо Рамануджана, и 43 года, когда тот умер. Харди рассматривал «открытие» Рамануджана как свое самое большое достижение, и описал их сотрудничество как “

первое романтическое событие его жизни

“. После смерти Рамануджана Харди некоторое время работал, продолжая декодировать и развивать его результаты, но по большей части он вернулся к своей прежней математической траектории. Полное собрание его сочинений представляет собой семь большим томов (тогда как публикации Рамануджана — одну тоненькую книжечку). Эти облака из названий его работ показывают лишь некоторые произошедшие изменения (первое облако — до встречи с Рамануджаном, второе — после):

Незадолго до того, как Рамануджан вошел в его жизнь, Харди начал сотрудничать с Джоном Литтлвудом (он скажет позже, что Литтлвуд оказал на его жизнь еще большее влияние, чем Рамануджан). После того, как Рамануджан умер, Харди переехал в Оксфорд для работы и прожил там 11 лет, прежде чем вернуться в Кембридж. Его отсутствие не повлияло на сотрудничество с Литтлвудом, так как они работали в основном с помощью обмена письменными сообщениями, даже если их комнаты были всего в нескольких сотнях футов друг от друга. После 1911 Харди публиковался без соавтора; плодотворнее всего он работал с Литтлвудом, опубликовав за 38 лет 95 статей с соавторстве с ним.

Математика Харди всегда был самого высшего качества. Он мечтал создать что-то подобное решению гипотезы Римана, но в действительности ничего по-настоящему захватывающего не сделал. Он написал две книги, которые читают и по сей день: «Введение в теорию чисел» с Е.М. Райт; и «Неравенства» совместно с Литтлвудом и Д. Пойа.

Харди прожил свою жизнь среди интеллектуальной элиты. В 1920-е годы он повесил изображение Ленина в своей квартире и недолго был президентом профсоюза «работников от науки». Он изящно писал: в основном о математике, а иногда и о Рамануджане. Он сторонился технических новинок и всегда жил вместе со студентами и профессорами в своем колледже. Он так и не женился, и ближе к концу его жизни его младшая сестра присоединилась к нему в Кембридже (она также никогда не была замужем и провела большую часть своей преподавательской жизни в школе для девочек, в которой она училась еще ребенком).

В 1940 году Харди написал небольшую книгу под названием Апология математики. Когда мне было около 12, ко мне попала копия этой книги. Я думаю, что многие люди рассматривали ее как своего рода манифест или рекламу чистой математики. Должен сказать, что не согласен с этим вообще. Я сразу почувствовал, что он — строгий ханжа, а его попытки описать эстетику и радости математики меня совершенно не впечатлили, — равно как и гордость, с которой ее автор сказал, что “ничего из того, что я когда-либо делал, не имеет ни малейшего практического значения” (на самом деле, он стал сооткрывателем закона Харди-Вайнберга, используемого в генетике). Сомневаюсь, что я так или иначе выбрал бы путь чистой математики, но книга Харди помогла мне в этом убедиться.

Справедливости ради стоит отметить, однако, что Харди написал эту книгу во время черной полосы в своей жизни, когда он был обеспокоен своим здоровьем и потерей своих математических способностей. Возможно, это объяснит то, почему он заканчивает ее словами “математика… это игра для молодых людей“. И в статье о Рамануджане он писал, что “математик в 30 лет уже сравнительно стар, и его смерть может быть меньшей катастрофой, чем кажется“. Я не знаю, высказывалось ли такое мнение прежде, но в 1970-е годы оно принималось как факт, простираясь на всю науку и на математику — в частности.

Так ли это на самом деле? Сомневаюсь. Трудно получить четкие доказательства, однако в качестве примера я взял данные об известных математических теоремах (в Wolfram|Alpha и Wolfram Language) и сделал гистограмму возраста людей, которые их доказали. Распределение не совсем равномерное (пик перед 40, вероятно, связан с эффектом отбора теорем, связанных с Филдсовской премией), однако даже если скорректировать ожидаемую продолжительность жизни сейчас и в прошлом, то мы не увидим, что математическая производительность истощается к 30 годам.

Я думаю, что по крайней мере до моего возраста научная производительность на самом деле неуклонно возрастает. Мои лучшие идеи родились в результате того, что я находил связи между вещами, которые узнал с разницей в десятилетия. Возраст так же на руку в том смысле, что с годами накапливается все больше опыта и интуиции о том, как все будет работать. А ваши более ранние успехи могут помочь обеспечить уверенность для того, чтобы двигаться вперед. Конечно, нужно поддерживать определенный уровень для того, чтобы сосредоточиться надолго, обдумывая сложные вещи. Думаю, что в некотором роде я с возрастом стал медленнее, а в некотором роде — быстрее. Я медленнее, потому что больше знаю об ошибках, которые обычно делаю, и стараюсь работать более тщательно, чтобы избежать их. Но я быстрее, потому что я знаю больше и могу сократить выполнение многих операций. Мне, в частности, очень помогает то, что за долгие годы я разработал все виды автоматизации, которые в состоянии использовать.

Совершенно другое дело, что создание вклада в существующую область (как это сделал Харди) может быть сделано молодым человеком, тогда как создание новой структуры, как правило, требует более широких знаний и опыта, который приходит с возрастом.

Однако вернемся к Харди. Я подозреваю, что именно отсутствие мотивации, а не способностей в последние годы привели к тому, что он стал совершенно подавленным и бросил математику. Он умер в 1947 году в возрасте 70 лет.

Литтлвуд, который был на десять лет младше Харди, дожил до 1977 года. Литтлвуд всегда был более активным и предприимчивым, чем Харди, и чуть менее строгим и величественным. Как и Харди, он так никогда и не женился, хотя у него была дочь, которую он почему-то называл племянницей до тех пор, пока ей не исполнилось сорок. Литтлвуд, своевременно начавший принимать антидепрессанты в возрасте 72 лет, был чрезвычайно продуктивен в свои 80, опровергая тем самым утверждение Харди о том, что математика — это игра для молодых.

Математика Рамануджана

Что происходило с математикой Рамануджана? В первые десятилетия — не слишком многое. Харди продолжал кое-что делать, но вся

теория чисел

, в рамках которой была сконцентрирована большая часть работ Рамануджана, вышла из моды. Ниже находится график, на котором отражается доля всех математических работ, помеченных как «теория чисел», как функция от времени (

база данных Zentralblatt

):

Интерес Рамануджана в определенной степени был обусловлен пиком начала 1900-х гг. (который, вероятно, был бы еще выше с учетом более ранних данных). Однако к 1930-м гг. внимание математиков переместилось от теории чисел и математического анализа в сторону большей общности и формальности, которые свойственны сфере алгебры.

Однако в 1970-е годы теория чисел стала вдруг снова более популярной, движимая достижениями в области алгебраической теории чисел (среди других подкатегорий, демонстрирующих существенный рост в то время, стоит отметить автоморфные формы, элементарную теорию чисел и последовательности).

В конце 1970-х годов, я уже, конечно, слышал о Рамануджане, хотя больше о его истории, а не математике. И когда я в 1982 году писал о вакууме в квантовой теории поля, мне было приятно использовать результаты Рамануджана для того, чтобы предложить замкнутые формы для конкретных случаев (бесконечных сумм в различных размерах мод квантового поля, соответствующих дзета-функции Эпштейна):

Начиная с 1970-х годов началась большая работа по доказательству результатов работ Рамануджана (тех самых, из тетрадей), однако она еще далека от завершения. По мере продвижения этой работы растут связи между полученными им результатами, и зарождаются новые общие темы в области теории чисел.

По большей части Рамануджан изучал так называемые специальные функции и придумывал какие-то новые. Специальные функции (дзета-функции, эллиптические, тета-функции и т.д.) можно рассматривать как удобные математические «пакеты». Определить можно бесконечное число возможных функций; однако те, что называются «специальными», выжили потому, что не раз доказали свою необходимость.

И сегодня, например, в системе Mathematica и Wolfram Language у нас есть такие специальные функции, как RamanujanTau, RamanujanTauL, RamanujanTauTheta и RamanujanTauZ. Не сомневаюсь, что функций с его именем со временем станет больше. В последний год своей жизни Рамануджан определил некоторые особенно амбициозные специальные функции, которые он назвал «мнимые тета-функции» (однако им необходима еще доработка для того, чтобы можно было определять их постоянно).

Если посмотреть на определение тау-функции Рамануджана, оно покажется весьма странным (обратите внимание на «24»):

На мой взгляд, самое замечательное в Рамануджане — это то, что он смог как бы случайно определить какие-то вещи, которые оказались полезными столетие спустя.

Факты — случайные или нет?

В древности пифагорейцы придавали большое значение тому факту, что 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Сегодня нам кажется, что это случайный факт, не имеющий особого значения. Когда я смотрю на результаты Рамануджана, многие из них также кажутся мне случайными фактами из математики. Однако работа над его записями (особенно в последние десятилетия) показывает, что они не случайны. Наоборот — все чаще обнаруживается, что они сообразуются с серьезными и изящными математическими законами.

Для того, чтобы изложить эти принципы формальным способом, требуется ряд абстрактных математических понятий и язык, на развитие которых требуются десятилетия. Однако Рамануджану с помощью опыта и интуиции удалось найти конкретные примеры, иллюстрирующие эти принципы. Часто его примеры выглядят полными случайных определений и чисел. Но, возможно, это что именно то, что нужно для того, чтобы выразить современные абстрактные принципы в терминах конкретных математических построений начала двадцатого века. Это немного похоже на то, как поэт пытается выразить глубокие общие идеи, но вынужден использовать только несовершенный инструмент — человеческий язык.

Доказать многие из результатов Рамануджана оказалось сложной задачей. Отчасти потому, что создание своего рода контекста, необходимого для доказательства, требует наращивания гораздо более абстрактных и концептуально сложных структур.

Так как же Рамануджану удалось фактически предсказать все эти глубокие принципы более поздней математики? Думаю, что тут могут быть два варианта. Во-первых, если некто, получив достаточно неожиданный результат, скажем, в теории чисел, идет дальше в попытке понять его, то в конечном итоге он достигнет некоего принципа. Вторая возможность состоит в том, что Рамануджан, по всей видимости, обладал эстетическим чувством, которое помогало ему объединять казалось бы случайные факты, подходящие друг к другу и имеющие более глубокое значение.

Я не знаю точно, какое из предположений верно; возможно, они сочетаются. Чтобы понять это чуть лучше, стоит поговорить об общей структуре математики. В некотором смысле математика на практике странным образом подвешена между тривиальным и невозможным. На глубинном уровне математика базируется на простых аксиомах. К примеру, для булевой алгебры с учетом аксиомы существует простая процедура для того, чтобы выяснить, является ли какой-либо конкретный результат верным или нет. Однако начиная с теоремы Гёделя 1931 года (которую Харди должен был знать, но, по-видимому, никогда не комментировал) стало известно, что для области вроде теории чисел все обстоит по-другому: в контексте теории существуют высказывания, чья истинность или ложность неразрешима из аксиом.

В начале 1960-х гг. было доказано, что существуют полиномиальные уравнения с целыми числами, из которых (из аксиом арифметики или из формальных методов теории чисел) нельзя понять, имеют ли они решения. Конкретные примеры таких классов уравнений чрезвычайно сложны. Но, следуя моим исследованиям в вычислительной вселенной, я давно сделал вывод, что существуют гораздо более простые уравнения, где это также происходит. За последние несколько десятилетий я опросил многих ведущих мировых теоретиков о том, где, по их мнению, лежит граница нерешаемости. Мнения расходятся, но они, безусловно, лежат в границах возможного (например, кубические уравнения с тремя переменными).

Вполне возможно, что Рамануджан мог изложить результат, который просто не может быть доказан с помощью аксиом арифметики. В качестве примера можно привести гипотезу Гольдбаха. То же самое может касаться и других результатов Рамануджана.

Понадобилось несколько десятилетий для того, чтобы доказать некоторые из результатов Рамануджана, однако важен уже тот факт, что они вообще доказуемы. Это важно потому, что это не просто случайные факты; это факты, которые так или иначе могут быть связаны с доказательствами основных аксиом.

В общем, я поддерживаю идею о том, что Рамануджан обладал такими эстетическими критериями и интуицией, что смог в своих работах «захватить» некоторые из глубоких принципов, о которых мы узнали гораздо позднее.

Автоматизация работ Рамануджана

Не составляет труда собрать в случайном порядке математические утверждения, а затем получить эмпирические доказательства того, являются ли они истинными.

Теорема Гёделя

фактически означает, что вы никогда не будете знать, как далеко вы должны зайти, чтобы быть уверенным в каком-либо конкретном результате. Иногда недалеко, а иногда и наоборот.

Рамануджан убедил себя в том, что многие из его результатов равны эмпирическим методам, и это часто срабатывало. Харди отмечал, что в случае с подсчетом простых чисел появляется много тонкостей, и результаты, которые могли бы работать до очень больших чисел, в конечном счете потерпят неудачу.

Скажем, некто смотрит на пространство возможных математических утверждений и выбирает те их них, которые могут оказаться верными. Теперь следующий вопрос: являются ли эти утверждения связанными между собой?

Представьте, что можно было бы найти доказательства верных утверждений. Эти доказательства фактически соответствуют траектории по направленному графу, который начинается с аксиом и ведет к истинным результатам. Как вариант, можно представить граф как звезду, когда доказательство каждого из результатов из аксиом происходит независимо друг от друга. Другой вариант заключается в том, что в процессе продвижения от аксиом к результатам есть много общих «путевых точек». И именно эти путевые точки в действительности представляют собой общие принципы.

Если есть определенная разреженность в результатах, неизбежно, что многие из них связаны через небольшое число общих принципов. Также может быть, что есть результаты, которые не связаны таким образом, и они (просто из-за отсутствия связей) не считаются «интересным» и выпадают из обсуждения конкретной темы.

Должен сказать, что эти соображения приводят к важному для меня вопросу. Я провел много лет, изучая то, что составляет обобщение в математике: поведение произвольных простых программ в вычислительной вселенной. Я обнаружил, что в таких программах можно увидеть все богатство сложного поведения. Но я также нашел доказательства (не в последнюю очередь с помощью принципа вычислительной эквивалентности), что неразрешимости там хоть отбавляй.

Когда смотришь на все это богатое и сложное поведение, возможно ли найти там факты, подобные тем, что были у Рамануджана? В конечном счете будет много таких, о которых не получится легко рассуждать в рамках аксиоматических систем. Но, возможно, есть сети фактов, которые связаны с какими-то более глубокими принципами.

Согласно принципу вычислительной эквивалентности, всегда будут существовать своего рода зоны «вычислительной сводимости»: места, где можно будет выявлять абстрактные примеры и делать абстрактные выводы, не нарываясь на нерешаемость. Тривиальные примеры — повторяющееся поведение и поведение вложенное. Однако теперь появляется вопрос: найдутся ли среди всех конкретных деталей конкретных программ другие общие формы организации.

В то время, как повторение и вложенность наблюдаются в очень многих системах, может оказаться так, что другая форма организации будет рассматриваться гораздо более узко. Но мы не знаем, как. И даже на сегодняшний день мы не узнаем много до тех пор, пока не появится исследователь вроде Рамануджана — только не в области традиционной математики, а в сфере вычислительной вселенной.

Современные Рамануджаны?

Будет ли когда-нибудь другой Рамануджан? Я не знаю, повлияла ли на это легенда о Рамануджане или это просто наш мир так устроен, но, по крайней мере, уже 30 лет я получаю постоянный поток писем, —вроде того, что Харди получил от Рамануджана еще в 1913 году. Всего несколько месяцев назад, к примеру, я получил письмо (из Индии) с изображением тетради, в которой были перечислены различные математические выражения, очень напоминающие работы Рамануджана

.

Имеют ли эти факты значение? Не знаю… Wolfram|Alpha может генерировать много подобных фактов, но без рамануджанова понимания нельзя сказать, какие из них значимы.

На протяжении многих лет я получал бесчисленное множество подобного рода сообщений. Общей их темой является теория чисел, теория относительности и гравитационная теория. Также в последние годы стали популярны темы AI и сознания. Что хорошо в письмах, относящихся к математике, так это конкретика: какие-то формулы, или факт, или теорема. Во времена Харди такие вещи было трудно проверить; сегодня это намного проще. Однако (как и в случае с почти целым числом выше) по-прежнему стоит вопрос о том, является ли этот факт «интересным», или же он случаен и не имеет никакой ценности.

Разумеется, само определение «интересного» не является ни простым, ни объективным. И проблемы возникают те же, что и у Харди с письмом Рамануджана. Если бы можно было увидеть, как этот факт вписывается в более широкую картину (некоторое описание), то можно было бы понять это хотя бы примерно. Однако если у человека нет более широкой картины, тогда нет никакого способа решить, что следует считать интересным.

Когда я только начал изучать поведение простых программ, там действительно не было контекста, который помог бы понять, что в них происходит. Получившиеся у меня картинки оказались интересными. Однако по-прежнему было неясно, какая история стояла за ними. Потребовалось немало лет, прежде чем я накопил достаточно эмпирических данных, чтобы сформулировать гипотезы и разработать принципы, которые позволяют вернуться и посмотреть, что было интересного в том, что я наблюдал.

Я потратил несколько десятилетий на развитие науки о вычислительной вселенной. Но она еще молода, и многое из того, что можно обнаружить, доступно и не требует сложных технических знаний. Поэтому я часто получаю письма, в которых демонстрируется замечательное поведение того или иного конкретного клеточного автомата или другой простой программы. Часто я узнаю общую форму поведения, потому что оно относится к вещам, которые я видел раньше, но иногда — нет, и поэтому я не могу быть уверен, что будет в конечном итоге интересно.

Во времена Рамануджана публиковалось много «случайных фактов»: особый тип интеграла, взятый впервые, или новый класс уравнений, которые можно было решить. Много лет спустя мы собрали столько из них, сколько смогли, и создали с их помощью алгоритмы и базы знаний системы Mathematica и Wolfram Language. Но в то время наиболее важным аспектом их публикации были доказательства, которые прилагались: истории, объясняющие, почему результаты верны. Потому что была по крайней мере вероятность того, что в этих доказательствах были введены понятия, которые могут быть повторно использованы.

Подробное обсуждение увело бы нас слишком далеко, однако своего рода аналог есть в учении о вычислительной вселенной: это методология компьютерных экспериментов. Подобно тому, как доказательство может содержать элементы, которые определяют общую методологию, необходимую для получения математического результата, конкретные методы поиска, визуализации и анализа могут определять что-то в компьютерных экспериментах (нечто общее и пригодное для многоразового использования) и давать представление о некоторых основных идеях или принципах.

Как и многие математические журналы во времена Рамануджана, я создал журнал и форум, в которых могут быть представлены конкретные результаты о вычислительной вселенной (хотя по этим направлениям можно было бы сделать гораздо больше).

Когда полученное письмо содержит определенную математическую терминологию, то в нем присутствует хотя бы что-то конкретное, что можно понять. Однако сущствует много вещей, которые не могут быть сформулированы в математической терминологии. И слишком часто, к сожалению, письма, написанные на незамысловатом английском языке (или, что еще хуже для меня, на других языках), я понять не в состоянии. Однако теперь все чаще люди формулируют что-то с помощью Wolfram Language. В таком случае я всегда могу сказать, что именно кто-то пытается сказать, хотя я до сих пор не могу понять, важно ли содержимое письма или нет.

За долгие годы я познакомился с многими интересными людьми через письма, которые они мне писали. Они часто приезжают на нашу летнюю школу (см. статью “Летняя школа Wolfram: рассказ участника” на Хабре) или публикуют что-то в одном из наших каналов. У меня не было (пока что) настолько драматичной истории, какая была у Харди и Рамануджана. Очень хорошо, что таким образом возможно связаться с людьми — особенно в годы их становления. И я не могу забыть о том, что давным-давно я был 14-летним подростком, который отправил статьи об исследованиях, которые мне хотелось бы сделать, физикам со всего мира…

Что было бы, если бы у Рамануджана была Mathematica?

Рамануджан делал свои расчеты вручную — мелом на доске, а позже — карандашом на бумаге. На сегодняшний день мы обладаем очень мощными инструментами (Mathematica и Wolfram Language), с помощью которых можно проводить эксперименты и делать открытия в математике (не говоря уже о вычислительной вселенной в целом).

Интересно представить, что Рамануджан сделал бы с этими современными инструментами. Я думаю, что он находил бы в математической вселенной всякие необычные и удивительные вещи, а затем, используя свою интуицию и эстетическое чувство, смотрел бы, что сходится, а что нужно еще исследовать.

Рамануджан обладал замечательными навыками. Но мне кажется, что для того, чтобы пойти по его стопам, нужно быть смелым: не оставаться в комфорте хорошо зарекомендовавших себя математических теорий, а вместо этого выходить в более широкую математическую вселенную и начинать экспериментировать.

Для того, чтобы поместить многие открытия Рамануджана в более широкий и более абстрактный контекст, понадобился почти век. Рамануджан вдохновляет нас сделать большой шаг вперед — даже до того, как был понят более широкий контекст. И я надеюсь, что гораздо больше людей воспользуется теми инструментами, которые мы имеем сегодня, чтобы последовать примеру Рамануджана и сделать великие открытия в экспериментальной математике — напишут ли они об этом в письмах или нет.

Под знаком Льва

Игорь Гордиенко

Печальный Демон, дух изгнанья,

Летал над грешною землей.

И лучших дней воспоминанья

Пред ним теснилися толпой…

М. Ю. Лермонтов, Демон, часть 1

История, которая последует ниже, настолько поразительна и весьма противоречива своими фактами, событиями и персонами участников, что становится просто обидной ее публичная малоизвестность[1]. Каждый сегодня знает, что такое корпорация IBM (хотя далеко не всякий знает детали ее почти полуторавековой истории), и почти никто не осведомлен, что первый успешный компьютер для деловых приложений был создан в британской компании J. Lyons & Co. А теперь рассказ, почти сказка…

Из пекарни, из-за стойки

В Великобритании 40-х и 50-х годов прошлого века компания J. Lyons была одной из наиболее преуспевающих: это был бизнес на чае, пирожках, пирожных, тортиках, мороженом – Lyons Tea, Lyons Cakes, Lyons Ice Cream. В этой системе лакомого питания устраивались разного рода заведения – чайные, или же, как это можно назвать более народно, “кафешки на углах”. Компания славилась своей репутацией: качество продукции и услуг было отменным, а новации в предложениях для массового потребителя были непрестанными.

Нужно отметить, в компании Lyons в конце 40-х и в 50-е годы работали примерно 33 тысячи человек, а отгрузка продукции шла в 210 точек дистрибуции. Можно сказать, что такие масштабы соответствуют современным сетям публичного питания, подобным McDonalds или Starbucks[2]. Обладание значительным рынком и сложной собственной инфраструктурой требовало от компании соблюдения условий конкурентоспособности – существенного контроля затрат, цен и маржей, реагирования на потребности потребителей и флуктуации рынков. Замечательной особенностью корпоративной архитектуры Lyons было то, каким образом продвигалась, вернее, процессировалась информация, поступавшая из всех операционных органов – от производства, продаж, дистрибуции, от транзакций с партнерами и клиентами – платежами, счетами и тому подобного. Все это подавалось менеджерам для принятий решений, а они заведовали конкретными группами всего бизнеса – чайными заведениями, продажей пирожных, мороженого и т. д., даже собственными прачечными и модельными ателье.

Информация, возникавшая в процессе деятельности всей компании Lyons, обобщалась и сопоставлялась с существовавшими нормативами, стандартами, прогнозами и бюджетными планами. В каждой из групп управления подразделениями были менеджеры, ответственные за информационные потоки, которые напрямую были подчинены высшим руководителям, директорам. И эти руководители высокого ранга могли давать запросы своим подчиненным на проведение конкретного исследования: например, стоит ли увеличить производство берлинского печенья на 10% и снизить производство вафельных трубочек на 3% – каков будет эффект? Собственно, именно так в Lyons обеспечивалась сквозная информационная магистраль от операционных процессов до лиц, принимавших окончательные решения.

Все это работало задолго до проникновения в бизнес электронных компьютеров, а по существу это была схема и архитектура деловых информационных систем будущего – просто функции компьютеров исполняли эти самые менеджеры или клерки среднего звена. Компания ощутила необходимость внедрения новшеств в деловой процесс еще в 20-х годах, после чего из Кэмбриджского университета немедленно были приглашены серьезные специалисты по математике, которым было заказано произвести комплексную оценку информационных потоков Lyons[3]. В результате в компании появился специальный отдел системных исследований[4], в задачи которого входил анализ первичных операционных данных с целью оптимизации процессов и снижения затрат.

С самого основания офиса системных исследований началась череда инноваций. Главная суть их заключалась в том, что любой служащий компании был ответственен не только за исполнение прямых, материальных операций, но и за то, чтобы все данные по ним были зафиксированы и предоставлены в офис системного анализа.

Как отмечает в своих воспоминаниях один из ветеранов системной службы Lyons Фрэнк Лэнд[5], во многих других отношениях компания была очень традиционной и даже консервативной. В основе она имела жесткую иерархическую структуру, а владельцами являлся семейный клан, по фамилии одного из членов которого и была названа компания. Основатели компании и их потомки управляли своим бизнесом с помощью весьма незначительного числа нанятых директоров. У каждого уровня менеджеров был свой обеденный зал. У управляющих в отделениях компании всегда был свой туалет, недоступный для простых служащих. Профсоюзы всегда бывали обескуражены таким положением дел, но владетельная семья исповедовала патернализм по отношению к штату компании.

В других же отношениях в Lyons вовсе не чурались новшеств, в особенности, технических. Еще задолго до истории с компьютером, компания освоила микрофильмирование и формировала таким образом архив документации. Одной из первых Lyons начала производить мороженые продукты и использовать микроволновые печи в своих чайных заведениях и булочных. В то время, когда вся остальная Британия пребывала в привычном пользовании фунтами, шиллингами и пенсами, Lyons перевела всю внутреннюю финансовую систему в десятичные меры.

Не менее впечатляет то, с каким усердием и успехом компания привлекала выдающихся технических специалистов того времени. Прежде всего в компанию пришли Джон Симмонс и Томас Томпсон – выпускники Кэмбриджа, заслужившие общий авторитет в университете как лучшие математики. Именно они стали инициаторами проекта LEO. Основатели привлекли к своему делу своего знакомого, Джона Пинкертона, тоже из Кэмбриджа, для того, чтобы он руководил разработкой аппаратной основы компьютера. Дэвид Каминер, чьи функции сейчас определили бы как системный архитектор, начинал работу в Lyons молодым стажером в сфере общего менеджмента. Помощник Пинкертона, Эдвард Ленартс, сначала работал в компании как посыльной, потом там же он служил электротехником. О том, что там поработала и Маргарэт Робертс, вполедствии известная как Маргарэт Тэтчерс, не удержусь и вставлю отдельную врезочку.

Команда исследователей никогда не была изолированным сборищем надомных или лабораторных мыслителей. Члены группы были хорошо осведомлены, что и где происходит в области их интересов. Тесные, сейчас сказали бы – партнерские, отношения связывали группу с исследователями из Кэмбриджского университета, которые в то время вели проект компьютера EDSAC. Действительно, нужно признать, что многое из архитектуры LEO I напрямую взято у ESDAC. И, все-таки, с любой точки зрения, для правления “сахарной” Lyons проект самостоятельного создания компьютера был страшной авантюрой.

Тем не менее Lyons устремилась в приключение с производством компьютеров! Вообще говоря, по мнению многих сотрудников аналитической службы компании, это произошло не случайно. Именно это подразделение накопило массу данных о деловых транзакциях, что приводило естественным образом к мыслям о механизмах автоматизации процессов обработки информации. Еще до второй мировой войны начались исследования в создании некоего устройства, которое могло бы считывать документы. Сначала полагали, что это может быть сделано на основе перфокарт, изобретенных, как известно, в IBM. Но, оказалось, что в тогдашней практике Lyons перфокарты были бы слишком специфичными, ограниченными и дорогими материями. Вообще, в компании была лишь одна установка для обработки информации на основе перфокарт. Как более серьезная альтернатива использовались счетные машинки и механические калькуляторы.

По некоторым сведениям, именно этот настойчивый интерес к совершенствованию информационных технологий Lyons привел компанию к сотрудничеству с Кэмбриджским университетом, что и было основой дальнейших событий – создания первого программируемого компьютера для деловых применений.

Возвращаясь к истории, в 1947 году два человека из высшего руководства Lyons, Томас Томпсон, один из тех, кого призвали из Кэмбриджа в конце 20-х, и, его помощник Оливер Стэндингфорд, отправились в США с намерением разобраться с тем, что там происходит с эволюцией офисного обеспечения – после окончания второй мировой. Они посетили университет Пенсильвании, Принстонский и Гарвардский университеты. Оказалось, что в сфере компьютеров для бизнеса в Америке практически ничего не происходит.

Обнаружилось другое: американцы активно занимались разработкой “электронных мозгов”, например, компьютера ENIAC, но, исключительно в целях военных, научных и инженерных. Посетив множество доступных институтов, эмиссары Lyons сообщали о том, что в британском Кэмбридже ведутся работы по созданию программируемого компьютера EDSAC, что вызвало ответную откровенность у американцев. В результате этих контактов возник доклад Томпсона и его помощника к руководителям Lyons, который послужил основой многих дальнейших событий, а ядром доклада стала рекомендация к приобретению компьютера у американцев.

Совет директоров Lyons вполне адекватно отреагировал на отчет эмиссаров, но, что удивительно, не остановился на рекомендации из доклада. Вместо того, чтобы искать для покупки готовый американский компьютер, компания выделила грант в размере 3000 фунтов стерлингов (тогда цена денег была совсем иной) Кэмбриджскому университету на выработку рекомендаций – что делать с этим делом?

Ответ последовал такой: разработать собственный компьютер для деловых применений. Отсюда и происходит то, что позже получило название LEO – Lyons Electronic Office. Этот компьютер, LEO, он отличался от той разработки EDSAC[6], которая велась в Кэмбридже: этот новый компьютер был спроектирован для того, чтобы обрабатывать большие массивы данных с разнородными источниками их поступления из многочисленных и разнообразных каналов, с выводом на различные устройства.

Панель управления LEO I

В 1951 году (известна точная дата – 15 февраля) команда LEO ввела в действие первый компьютер для деловых применений. Первое приложение было сделано в сфере производства разного рода выпечки – пирожков, булочек и т. п. Это событие состоялось за три года до того, как появился первый бизнес-компьютер в США – в 1954 году Remington-Rand[7] (купившая в 1950 году первичного разработчика Eckert-Mauchly Computer Corp.) выпустила прославленный UNIVAC. К 1957 году было продано 46 такого рода устройств.

Но этим дело не заканчивалось. Помимо того что LEO выполнял еженедельные расчеты выплат для сотрудников самой Lyons и таких компаний, как Ford Motor, по ночам он обрабатывал медицинские данные о заболеваниях шахтеров, уровни рисков в продажах недвижимости, исчислял расписания движения между примерно 7 тысячами железнодорожных станций Великобритании.

Этот самый LEO

Этот легендарный LEO I состоял (известно точно!) из 5936 электронных ламп (плюс 300 – 400 ламп во вспомогательном оборудовании), которые размещались на 228 шасси в 21 огромных шкафах-стойках. В этом можно усматривать зачатки модульного конструирования систем, что было проявлением естественной логики и прагматики.

Память компьютера (состоявшая из 64 ртутных линий задержки[8]) могла хранить программу из 2048 “чисел”, каждое из которых было длиной в 17 битов. В этот объем нужно было включить все – и программы, и данные, и драйверы устройств. Но объем памяти LEO был все равно в два раза больше памяти его прародителя EDSAC.

Компьютер обладал способностью выполнять одновременно, то есть параллельно, три операции и свойством хранить тысячу цифровых комбинаций, которые в устаревшей терминологии назывались “словами”. Обслуживали компьютер 20 человек. Все это хозяйство занимало 464 кв. метра площади и потребляло 30 тысяч ватт. Немалой проблемой было то, что лампы постоянно сгорали. В неделю приходилось заменять по 50 ламп, что вызывало многочисленные отключения компьютера.

Управлялся компьютер с управляющей панели, к которой были подключены несколько осциллографов, которые некоторым образом отражали состояние участков памяти. Кроме того, был в наличии громкоговоритель, который сигнализировал о состоянии вычислительных процессов. Занимательно, что программисты так преуспели в понимании звуков и тональностей, исходивших от LEO, что смогли программировать несложные мелодии. Звуки этого синтезатора немало позабавили принца Филиппа, который как-то проявил любопытство к техническому новшеству.

Была с LEO еще одна проблема, которую мы сейчас можем воспринимать как проблему обработки мамонтовых шкур. Компьютер работал на основе двоичных вычислений, а люди требовали десятичных операций и выражений. Кроме того, существовали двенадцатиричные системы, связанные с употреблением традиционных фунтов и шиллингов. Так вот, преобразования данных между системами исчислений с разными основаниями потребляли до 90% всех вычислительных ресурсов LEO. В конце концов радикальное решение было найдено: к LEO подключили дополнительные устройства (непрограммируемые, как мы сейчас говорим, “зашитые”), которые только и делали, что преобразовывали данные между разными основаниями.

История программистики LEO

В 1953 году в Lyons (еще до отделения LEO Computers) пришел Джон Госден[9], который проработал в обсуждаемом проекте семь лет. Ранее он приобрел немало фундаментальных знаний и принципиальных навыков, работая в Кембриджском университете в составе команды, воплощавшей компьютер EDSAC.

В указанные годы он отвечал в Lyons (впоследствии – в LEO Computers) за разработку широкого спектра программ, включая вычислительные и коммерческие приложения. Кроме того, под его руководством велись разработки новых типов программ, которые были взглядом в будущее, например, систем управления базами данных, но, естественно, это были жалкие предтечи того, что возникало впоследствии.

Программные средства во времена LEO I были представлены множеством утилит и процедур, которые запускались с перфокарт и перфолент. Каждый из каналов ввода данных был оснащен буферной памятью – для возможности оперативного повторного использования программ и связанных данных. Помимо того, эти устройства ввода были оснащены небольшими процессорами, исполнявшими конвертирования между данными на разных основаниях – двоичном, десятичном и двенадцатеричном. Все это обеспечивало достаточный эффект в обработке коммерческих данных даже не совсем квалифицированным персоналом.

Стоит заметить, что уже в те годы были осмыслены и усвоены некоторые базовые методы написания программ. Например, документация этапа проектирования, то есть синтеза алгоритма, составлялась с применением диаграмм, известных ранее по-русски как блок-схемы (flow-charts).

Интересны и практические принципы, которые неплохо усвоить и некоторым руководителям проектов наших дней. Вот они:

  • все программные действия выстраиваются в последовательность пакетов (batches) таким образом, чтобы в случае ошибок в исполнении какого-то пакета можно было бы повторить этот шаг;
  • все программы, работающие с учетной, финансовой и коммерческой информацией, обеспечены средствами перекрестной проверки данных и сведения итогов, доходчивой сигнализации об обнаруженных рассогласованиях и ошибках;
  • многократная проверка блок-схем и алгоритмов разными сотрудниками проекта;
  • независимая проверка программных кодов после их исполнения;
  • обязательное тестирование программ на достаточных выборках данных – до предоставления к утверждению;
  • обязательное утверждение готовых программ руководителями проекта – прежде, чем они появятся в рабочей эксплуатации.

Перечисленные правила могут показаться сейчас очевидными, банальными, даже наивными… На самом деле, по собственному опыту работы руководителем программных проектов, глубоко убежден, что следовать этим правилам настолько же сложно, сколь сложно быть праведником.

В проекте LEO эти принципы были разработаны еще в конце 40-х годов прошлого века, и следовали им очень строго. По крайней мере, Госден, появившись в компании, уже обнаружил эту жесткую систему.

Все тогда было открытиями и находками. Например, пришлось проделывать целое исследование по поводу округления чисел в финансовых расчетах. А суть заключалась в том, чтобы обеспечить совпадение вычислений на компьютере с вычислениями на механических арифмометрах, которые считались промышленным эталоном. Странно обнаружить, но пришлось совершенствовать систему выражений, когда проценты могли превышать 100. А вообще, отмечает Госден, пользователи компьютеров LEO I очень охотно и без особых трудностей овладевали новыми методами и процедурами.

Уже в 1952 году в Lyons был набран большой пакет “научных” приложений: матричные исчисления, пакеты для метеорологии, кристаллографии, расчетов страховых рисков. О том, какова была стоимость компьютерных ресурсов говорит почти анекдот, поведанный Госденом. Однажды он сделал серьезную ошибку в программе, и для ее обнаружения пришлось потратить 4 часа (!) машинного времени LEO I. После этого разгневанный Дэвид Каминер, в подчинении которого был Госден, пообещал в следующем подобном случае немедленно уволить последнего.

Компьютер LEO II

Когда в 1955 году появился компьютер LEO II, особых проблем с запуском на нем программ не возникло – практически все было унаследовано от LEO I и нашло развитие. Главными новыми задачами стало написание драйверов для появившихся периферийных устройств. Интересно, что в то время как наиболее передовые устройства массового хранения данных расценивались гигантские магнитные барабаны. Устройства на магнитных лентах давали очень высокий уровень ошибок. Кто помнит высоченные шкафы такого рода оборудования в советской технике 70 – 80 годов, тот согласится со мной, что это было нечто ужасное – оно просто было неоперабельным. Хотя все мы в белых и синих халатах таскали по коридорам вычислительных центров полуметрового диаметра прозрачные круглые коробки с горделивыми именами BASF, 3M и пр.

Далее пришла очередь славного LEO III, и Госден стал лицом, с которым контактировал один из директоров компании LEO Computers Джон Пинкертон. Начало очередного (и, увы, последнего!) модельного ряда LEO положила лекция Стэнли Джила, специалиста из того же Кэмбриджского университета. Он только вернулся из США и был возбужден идеями мультипрограммирования. Эти идеи и стали основополагающими при проектировании архитектуры LEO III. Собственно, все это было предтечей и основой операционных систем будущего. Были созданы базовые утилиты, работавшие в реальном времени, плюс к тому уже тогда были рассмотрены и воплощены системы прерываний, разработаны другие контрольные механизмы для общего управления параллельными программными процессами.

Как вспоминает Госден, после лекции Джила и последовавшего с ним общения для него стали понятными текущие задачи в вопросе конструирования LEO III:

  • немедленно найти способы конвертации десятичных и двенадцатеричных единиц (фунтов стерлингов, шиллингов и пенсов), которые не перегружали бы компьютер в его вычислительной мощности;
  • найти пути для уменьшения времени и потребляемых ресурсов для сортировки больших массивов данных, в частности, на магнитных лентах, поскольку именно это обстоятельство оставалось ограничением производительности первых компьютеров;
  • использовать микропрограммирование для того, чтобы освободить центральный процессор зависимости от множества несложных, но рутинных операций;
  • найти решение для мультипрограммирования, которое не вызывало бы большой головной боли, но давало бы защиту от пересечения исполнения программ и их взаимную обезопасенность.

Особенно восхищали программистов, вернее, как бы сказали теперь, системных программистов, возможности микропрограммирования, позволявшие обеспечить тонкую настройку центральной части компьютера. Инженеры проекта LEO даже создали специальное тестовое оборудование, облегчавшее проверку микропрограмм.

Начальное проектирование и тестирование программных компонентов LEO III стартовало в 1958 году и продлились почти три года – до выпуска компьютера на рынок. В 1959 году были утверждены спецификации языка программирования CLEO. В 1960 году был выпущен предварительный план конструкции управления системой (Master Control) и набора системных утилит. Примечательно то, что по свидетельству Каминера последующая доработка всего этого хозяйства в течение последующих пяти лет заняла 140 человеко-лет высококлассной работы специалистов. Впрочем, ничего удивительного сейчас это уже не представляет: обслуживание любой сложной программной системы требует постоянного приложения сил и ресурсов.

В замечательных воспоминаниях Джон Госден умиляется тому, сколь мало ошибок обнаруживалось в тестируемых программах. Например, при проверочных запусках в первый раз обнаруживалось 2 – 3 ошибки, которые немедленно устранялись. Иной раз программы проходили тест с первого раза. Это замечательная эффективность, которую вряд ли можно обнаружить в нынешних программных проектах.

Вообще, замечает Госден, то были чудные дела в прекрасные времена, что невозможно и нельзя забывать.

За ширмой

Не слишком широко известно о перипетиях в процессе разработки LEO, но фактом является то, что подразделение, обслуживавшее компьютер, начало набор сотрудников, первоначально извлекая их из других структур компании. Как рассказывает Фрэнк Лэнд, в 1953 году он сам оказался в числе призванных в качестве программиста. В течение одной недели он проходил “вводный” курс к LEO. Это были рудиментарные основы двоичной логики, составления команд для компьютера, пояснений, как работают процессор и периферийные устройства.

Для тех времен все это было весьма крутыми занятиями – изучать странные вещи, которые нужно было усваивать даже вечером, выполняя домашние задания. Но каждый из участников этого эксперимента в душе ощущал, что этот выбор просто удача судьбы. Это ставило избранников на другую полочку в общей иерархии компании, и не только компании, но и социума.

В 1953 году компьютер LEO I был доведен до своей завершающей формы. Внешними запоминающими устройствами являлись магнитные ленты (с ними были большие проблемы), главными источниками ввода информации были перфокарты и уже почти забытые перфоленты. У LEO I были возможности изменять данные и перепрограммировать процессы прямо с консоли[10].

Первоначально, с нынешней точки зрения, компьютеры LEO были чрезвычайно ненадежны и привередливы. Но, несмотря на все их вероятные недостатки, они исполняли существенные задачи, и никто не стал бы тогда от них отказываться. Первым реальным приложением LEO, по словам Фрэнка Лэнда, была работа по планированию еженедельного объема производства продукции, которая действовала три-четыре года. После того последовала разработка программ, которые начисляли заработки служащим компании, отслеживали заказы и складские запасы.

Интересно то, что так называемый “аутсорсинг” был в наличии уже в те годы. Многие приложения разрабатывались не сотрудниками подразделения, ведшего LEO, а самими потребителями продукции Lyons, которые нуждались в конкретике своего бизнеса, – они арендовали время для работы на компьютерах LEO, что памятно, как практика, таким динозаврам, как я сам, работавший на компьютерах системы ЕС ЭВМ.

Прикладные решения для LEO были самыми ранними информационными бизнес-системами на основе компьютеров, но они не устарели до сих пор, являясь своего рода промышленными стандартами. Отбор и планирование решений LEO были в руках высших управляющих офиса системных исследований Томаса Томпсона и Дэвида Каминера, которые напрямую контактировали с правлением Lyons.

Как оно и было задумано, выбор приложения должен был эффективно влиять на прибыль предприятия, сокращая траты. Интересная мысль, как вещает в своих воспоминаниях Фрэнк Лэнд: совершенствование производственных процессов таким образом должно было давать эффект, недостижимый с помощью иных существовавших технологий управления потоками информации.

Собственно, именно это обстоятельство создало обладание Lyons оригинальной технологией, которая смогла обеспечить производство компьютеров для бизнеса. Так оно и пошло. Группа системного анализа расширялась, впитывала новые кадры, усваивала уроки собственной прикладной практики, учитывала ошибки и промахи… Интерес к практике Lyons не запаздывал. Например, британское отделение Ford Motors Company заказало у компании Lyons на компьютерах LEO (как аутсорсинг) обработку зарплат для своих 20 тысяч служащих.

Эволюции

Общая история компьютеров LEO кое-кем признается как большая неудача и трагическая ошибка в предпринимательстве в области высоких технологий, что не вполне отвечает истине, но скорее дает повод для размышлений. Об этом несколько ниже.

В 1954 году J. Lyons отпочковала отдельную компанию LEO Computers Ltd, директорами которой стали Энтони Сэлмон, Джон Симмонс и Томас Томпсон. В 1963 году компания слилась с English Electric Limited, образовав English Electric LEO. Немедленно после этого в компанию влилась Marconi , образовав на некоторое время English Electric LEO Marconi (EELM) Computers. А в 1968 году весь бизнес LEO был инкорпорирован в компанию ICT (International Computers & Tabulators), которая с тех пор называлась ICL (International Computer Limited) . А в 1990 году, после многих финансовых и технологических провалов, ICL была поглощена Fujitsu. Но все это лишь внешняя канва. Итоги, понятые из всей истории компании LEO Computers стали достоянием и опытом всех, кому интересны высокотехнологические проекты, но об этом ниже…

Отпочкование от империи Lyons, направленное на занятия исключительно компьютерами, смогло обеспечить нужды множества высоко котировавшихся компаний, правительственных учреждений Великобритании, иностранных заказчиков, – благодаря качеству поставлявшихся систем, но даже в большей мере благодаря распространению новых технологий и эффективных методов работы с информацией. Многие из тех, кто пользовался компьютерами LEO, вспоминают о том, что работа с ними была своего рода обучением, даже школой бизнеса.

Найджел Фернес, один из бывших сотрудников LEO Computers, работавший в проекте LEO III, вспоминает, что многие из концепций архитектуры этого сооружения были позже развиты в… современных персональных компьютерах! Примером тому может быть наличие многоканального DMA[11], первая в мире такого рода операционная система обеспечивала мультизадачность, сам же компьютер обладал микропрограммируемым процессором, что было для тех лет просто грандиозной идеей.

По словам Фернеса, это был замечательный, элегантно исполненный компьютер, очень дружелюбный и эргономичный; все кто работал на нем были полны гордости и удовлетворения. Но сам Фернес оказался последним сотрудником, нанятым в 1980 году ICL для работы с LEO.

Вся история с компьютерами LEO была затушевана в последовавшие годы драматическим ростом конкурентоспособности противников из США и непредвиденно резким развитием компьютерных технологий вообще. Тем не менее эта история еще не оценена полностью: есть возможность делать выводы, которые ценны по сей день.

Первоначальный успех LEO задавался принципом простоты и прагматики, который исповедовала команда проектировщиков и конструкторов, они никогда не отрывались от потребностей прямого бизнеса компании Lyons. Это же концептуальное свойство было унаследовано в последующих модельных рядах компьютера.

Но реальным и более серьезным вызовом стала необходимость понимания и учета потребностей большой вариации бизнесов. Интересно то, что эта проблема, первоначально обнаруженная в практически всех отраслях предпринимательства в Великобритании, расширилась на сферы экономики Восточной Европы! Здесь стоит заметить, что компьютеры LEO III поставлялись в Чехословацкую Советскую Социалистическую республику[12]. В 1966 году English Electric LEO Marconi Computers открыла офис в Праге. Предприятие NHKG Steelworks в Остраве устроило грандиозную церемонию установки компьютера LEO III, в которой участвовал сэр Гордон Рэдли, тогдашний председатель компании LEO Computers.

Есть мнение[13], что компьютеры LEO поставлялись в Польскую народную республику и в СССР. Это не вполне верно. Например, в СССР действительно были поставлены несколько компьютеров компании ICL, которая являлась усвоителем LEO Computers в каком-то поколении, но тогда в компьютерах ICL от архитектуры LEO уже практически ничего не оставалось. В определенный момент ICL (кстати, и Siemens) восприняли архитектурные решения американской компании RCA, которые нашли воплощения в ICL System 4 и Siemens 4004. Кстати, весьма симптоматической гранью событий является то, что Fujitsu в 1990 году просто купила ICL, а после того создала конгломерат Fujitsu-Siemens, не сумев проглотить во всем объеме германского гиганта. Очень трудно анализировать и синтезировать мотивации и выводы в сфере корпоративных high-tech. Но, все-таки, параллели и аллюзии всегда выходят на поверхность даже банального восприятия.

О невероятных перипетиях, во многом определивших наши технологические неудачи в вычислительной технике, можно узнать из великолепной монографии известного исследователя и историка науки Б.  Н. Малиновского[14]. О накале политических страстей можно судить хотя бы по таинственным событиям, связанным с судьбой главы московского представительства ICL, о чем во врезке.

Уроки LEO

Джон Эйрис, один из ветеранов LEO Computers[15], в комментариях к конференции, посвященной 50-летию компьютера (2001), заметил, что за эти годы, возможно незаметно для массового сознания, высокие технологии разительно преобразили весь мир.

Практически любая объемная задача финансов, экономики, политики, тем более обороны решается с обязательным привлечением компьютеров и телекоммуникационных средств. В принципе, люди en masse даже не знают, когда для них работают разного рода цифровые процессоры – они встроены повсюду: в часы, в трусы, в холодильники, в плиты, в системы освещения, всего не перечесть…

Было бы неплохо дать количественные данные об эффекте распространения и вживления цифровых технологий в ткань цивилизации, но, увы, пока такие попытки успехом не увенчивались. Очень может быть, что, пользуясь инструментом с целью измерения его же эффектов, мы вносим неопределенную погрешность. Это чем-то напоминает принцип Гейзенберга, согласно которому при попытке снять измерения с реального квантового процесса происходит неизбежное воздействие на него, что обуславливает искажение демонстрируемых характеристик. Цитированный выше Джон Эйрис сформулировал ряд выводов из общей истории LEO, которые и сегодня очень важны для конструкторов информационных (и не только) систем. Приведу их близко к оригинальному тексту.

Технологические изменения (эволюции) происходят быстрее, чем изменяется сознание и понимание каждого отдельного человека, даже профессионала. Проектирование сложных систем должно учитывать оба названных обстоятельства.

Некоторые системы можно и нужно специфицировать в мельчайших деталях, другие – в весьма расплывчатых терминах. Сравним, к примеру, такие программные разработки, как биллинг (то есть автоматизированное ведение счетов, скажем, в телекоммуникационных системах), управление ядерным реактором, управление информационными ресурсами предприятия и компьютерные игры. Каждый отдельный вариант такого рода проектов требует своего жизненного цикла (то есть этапов разработки, воплощения и эксплуатации). Но до начала проекта невозможно участь все тонкости и детали. Потому вывод один: не существует единственного правильного пути разработки программ, но их есть великое множество.

Сложность программной разработки растет экспоненциально с ростом ее объема. Потому, коль есть возможность не лепить монстров, нужно обойтись букашкой.

Блага и преимущества не появятся просто так: их нужно тщательно планировать и управлять ими постоянно.

Чем ваять новые рукодельные программы, следовало бы оглянуться и найти что-то уже существующее.

Жизненным элементом любого проекта программной системы является тщательный анализ рисков ее неисполнения.

Предпочтения и привязанности высшего руководства, его благоволие являются критическими для успеха всего программного проекта, а потому нельзя ограничивать время на постоянные убеждения и даже улещивания этого самого руководства. На благие дела денег и времени всегда не хватает.

Не стоит заниматься коллекционированием больших массивов данных, не решив предварительно вопросы их индексирования и структурированного складирования.

Главными практическими навыками должны стать умение улавливать и сводить на нет эфемерные и бесполезные, чаще – вредные, манеры рабочих будней, например, психовать и устраивать разбирательства по поводу событий минувших дней, излишне тщательно обустраивать свой компьютер, постоянно совершенствовать собственный деловой процесс, самостоятельно непрерывно улучшать сайты, прочая подобная ерунда.

Рынок деловых компьютеров сейчас движим исключительно реальными потребностями рынка. Небольшое количество поставщиков задают общую картину. Потому роль государственных структур является скорее опцией, нежели акцией.

Таковы общие выводы и рекомендации от Джона Эйриса. Они вполне абстрактны и очень доступны для понимания. Но есть и другие рассказы.

По мнению ряда авторов[16], Джон Эйрис и другой участник программных проектов LEO Фрэнк Лэнд логически отмежевывались от того, что информационные технологии, в частности, программы, должны пребывать в некоторой собственности частных лиц и даже корпораций. В этом усматриваются истоки того мышления, которое привело к открытым системам и Linux во всем многообразии их проявлений. Такие соображения позволяют сделать вывод о том, что технологии – хороший слуга, но плохой управляющий.

Еще один урок следует из вопроса: как такая кричаще-неподходящая компания, как Lyons, могла устроить компьютерные исследования и промышленные разработки, которые длились почти 20 лет? Ответ и вывод кроются в зловредном предложении: все дело в менеджменте. Действительно, была создана очень грамотная команда под хорошим управлением. Но проект не мог обладать достаточным финансированием в компании, основной профиль деятельности лежал в абсолютно иной плоскости. И все –же следует помнить, что в проект были вовлечены лучшие из тогдашних выпускников и исследователей Кэмбриджского университета.

Как говорят ветераны проекта LEO, этот проект был не единственным, что было утрачено Великобританией в послевоенные годы, но он вдохновляет своими достижениями и по сей день.

В том же источнике буквально утверждается, что именно финансовая не-поддержка, отсутствие правильного отношения со стороны бывшей материнской компании Lyons и последовавшие нелепые слияния с другими предприятиями лишили лидерства Великобритании в области информационных технологий.

На конференции, посвященной 50-летию выпуска первого компьютера LEO, один из высших руководителей проекта Дэвид Кэминер отметил, что и для сегодняшних CIO и менеджеров ИТ имеет важность то, что произошло полвека назад.

Прежде всего, по его мнению, нужно обладать достаточными и независимыми источниками финансирования. “Сладкий папа” не намеревался, да и не смог бы бодаться с IBM, когда этот монстр в 60-х годах прошлого века вознамерился возобладать на рынке Британии. Кэминер был весьма риторичен: “это очень комфортно – быть избавленных от нужд финансирования, когда история успеха уже свершилась; но чрезвычайно вероятно то, что в ближайшее время все будет иначе: очень многие дот-комы познали это на своей шкуре”.

Кроме того, Кэминер отмечает искусительное, но чудовищное по последствиям стремление компаний к слияниям. Чаще всего сливающиеся бизнесы обозначают рождение совершенно иного предприятия, уже не учитывающего интересов и былых грез улыбчивых и счастливых обрученных: там не остается даже памяти об идеях и ценностях каждого из них. Примером тому может быть череда почти прелюбодейственных актов: LEO Computers – English Electric – Marconi – ICT – ICL – Fujitsu… Ребенка-то из таза и выплеснули…

Вот еще слова Кэминера: “Мне неизвестны технологии, в результате применения которых добавлялись бы лучшие качества людям – инженерам, программистам и служащим в маркетинге. Это просто две разные цивилизации, тех, кто настроен на слияние, и тех, кто выдерживает свое единоообразие – идущих в существовании параллельно”.

В жизни многие идеальные схемы уступают императивам рыночных сил. В британских источниках можно встретить немало объяснений того, что LEO и ICL исчезли со своими компьютерными архитектурами, не выдержав напора гораздо более организованных, а, главное, обеспеченных финансами американских компаний вроде IBM, DEC и прочих. Это так, но это лишь следствие гораздо более глубинных процессов.

В декабре 1963 года Honeywell запустила компьютеры общего назначения модели 200, а в апреле 1964 года на рынок выступила IBM со своей победной серией 360. Последнее стало решающим словом для всего глобального компьютерного рынка.

А ведь “счастье было так близко, так возможно”. В знаменитом докладе Томпсона и Стэндингфорда по результатам командировки в США были весьма остроумные замечания. В университете Пеннсильвании они обнаружили компьютер ENIAC, задуманный Джоном Мошли и воплощенный Преспером Экертом, который ко времени визита эмиссаров Lyons уже учредил компанию Electronic Control Company – университетские власти отказали в финансировании проекта создания массовых компьютеров.

Посещения компаний NCR и Burroughs были практически бесполезными, а вот из IBM визитеры вынесли интересное заключение: “насколько стало нам понятно, для этой компании электронные вычисления рассматриваются как придатки к перфокартам и их обслуживающим устройствам”.

С моей точки зрения, истинным губителем компьютеров LEO и ICL стали даже не финансовые проблемы и не жестокая конкуренция со стороны американских компаний, но череда слияний компаний, которые занимались взаимными разбирательствами и реорганизациями, не были готовы к жесткой конкуренции – эта конкуренция создавалась новым капиталом, который ковала новая Америка. Правил этой игры тогда никто другой не понимал.


Сэр Джозеф Лайонс

“Да, были люди в наше время!…”, – с полным правом мог бы воскликнуть современник нашего персонажа. Родился Джозеф Лайонс 29 декабря 1847 года. Его отец занимался антиквариатом, а мать происходила из семьи коммивояжера.

Джозеф оказался талантливым акварелистом, что давало немалый доход для него и родственников, а его работы исполнялись по заказам именитых людей того времени. Кроме того, в юности он увлеченно писал небольшие пьесы, которые успешно продавал местному театру, где и познакомился со своей будущей женой – актрисой Сарой Коэн, у которой вся родословная уходила в деятелей этого вида искусств. Некоторое время Джозеф увлекался технологиями создания оптических приборов, но это увлечение продлилось не так долго.

В 1887 году, случайно оказавшись на Ливерпульской промышленной выставке, Лайонс познакомился с Монтегю Глюкштайном, что и привело к созданию компании J. Lyons & Co., в которой наш герой состоял председателем правления до своей кончины.

Уже будучи знаменитым предпринимателем, владельцем огромной сети производства и потребления всякого рода пищевых продуктов, в 1911 году Джозеф Лайонс был посвящен правительницой империи в рыцари, что дало ему звание “сэр”. В те же годы он являлся вице-губернатором графства Лондон.

А 22 июня 1917 года сэр Джозеф Лайонс скончался от воспаления почек, пребывая в отеле Гайд-парка. Нужных средств и методов лечения столь распространенного заболевания тогда еще не существовало.

Биография сэра Джозефа не имеет прямого отношения к истории создания компьютеров LEO, но косвенное, безусловно, присутствует. Это, прежде всего, тот творческий и мятежный дух, который постоянно ко всему прислушивается и пытается адекватно реагировать. Собственно, именно изначально компания J. Lyons & Co. была спроектирована правильно, с дальновидной перспективой.

Компания просуществовала как отдельное лицо до 1987 года, когда была поглощена Allied Brewries.


Леди Маргарет Тетчер

История компьютера LEO, при близком изучении, оказывается очень многогранной во всех аспектах – это просто невероятная, странная история, о которой можно рассуждать бесконечно. Я просто поражаюсь, почему на основе этой истории пока еще не снят фильм, подобный “Титанику”. Есть у меня подозрение, что разного рода жертв в процессе LEO было не меньше…

Вот, к примеру, один из не слишком заметных, но уж очень известных соучастников этого процесса. 13 октября 1925 года в Грэнтхеме, Англия[17], в квартире под складом бакалейной лавки родилась Маргарет Робертс. Семья жила очень строгой и суровой жизнью. Отец, очень упрямый протестант, всю жизнь пытался проводить свои предпринимателькие, консультантские и проповеднические акции. Мать Маргарет была просто образцовой хозяйкой и даже не пыталась воздействовать на дочь.

История Маргарет почти драматична и далеко еще не написана. Короче говоря, в 1947 Маргарет получила степень бакалавра по химии и поступила на работу в должности научного сотрудника в некую компанию в городе Мэннингтоне, графство Эссекс.

Следующее перемещение было оговорено вскоре: должность исследователя спекаемости наполнителей пищевых продуктов в компании J. Lyons, в Хаммерворте, Лондон.

Работа в J. Lyons для Маргарет была недолгой: она уже понимала, что ее призвание – другой путь. Но она оказалась единственной женщиной – премьер-министром в истории Британии, у которой было высшее образование в естественных науках и персональная успешная практика по профилю образования.

В 1951 году состоялось замужество Маргарет с очень успешным предпринимателем Дэнисом Тэтчером, что позволило ей идти по пути успехов. В 1953 году Маргарет получает диплом о высшем юридическом образовании (в том же году рожает двух сыновей-близнецов!), после чего в течение пяти лет работает по новой специальности. Вот истоки “Железной Леди”.

Роль, которую сыграла Маргарет Тэтчер в компании J. Lyons, по всей видимости, не была значительной. Важнее другое: это снова признак того людского потенциала, который проходил, оставляя частицы своей неординарности и креатива.


История LEO: главные вехи

1947 (май) Т. Томпсон и О. Стэндингфорд посещают США
1949 (май) правление Lyons утверждает план самостоятельной разработки электронного компьютера
1951 (ноябрь) запуск первого в мире компьютерного делового приложения – обсчет потребностей воставках продукции по сети торговых точек Lyons
1954 (февраль) первое крупномасштабное приложение, обеспечивавшее начисления зарплат сотрудникам компании
1954 (июль) правление компании принимает решение о запуске проекта компьютера LEO II и о вхождении в бизнес производства компьютеров для деловых приложений
1954 (декабрь) сформирована компания LEO Computers Ltd
1956 (февраль) первый внешний заказ на компьютер LEO от компании WD & HO Wills
1958 (март – апрель) визит Пинкертона и Каминера в США после решения правления о конструировании компьютера LEO III на полностью транзисторной основе
1961 (май) начало испытаний компьютера LEO III
1962 (июнь) первая установка компьютера LEO III вне пределов Великобритании – на приисках корпорации Rand в Южной Африке
1963 (февраль) слияние LEO Computers с English Electric в равных долях, в результате чего возникла компания English Electric LEO Computers
1964 (октябрь) Lyons передает свои оставшиеся интересы в компьютерном бизнеса English Electric LEO Computers и уходит с этого рынка, а в предприятие входит компьютерное подразделение Marconi, давая новое название English Electric LEO Marconi (EELM) Computers
1966 (январь) первая установка компьютера LEO III в Восточной Европе – в Праге, в исследовательском подразделении министерства железнодорогого транспорта
1965 (сентябрь) объявлена модельная линия компьютеров System 4
1967 (март) включение в предприятие компании Elliot Automation и формирование компании English Electric Computers, в имени которой уже окончательно не осталось ни LEO, ни Marconi
1968 (июль) слияние English Electric Computers с ICT, в результате чего образуется International Computers Limited (ICL)
1981 (март) снятие с эксплуатации последнего компьютера LEO модели 326s – в британском Ведомстве почтовой службы
1990 Fujitsu поглощает ICL

Из палеологии технологий

С деятельностью представительства ICL в Москве связана одна весьма странная и в свое время скандальная история. В июне 1983 года 54-летний представитель Midland Bank в Москве, Дэннис Скиннер, выбросился в окно своего гостиничного номера 11 этажа. В общем, по поводу свершившегося никаких разногласий между спецслужбами советскими и британскими не состоялось. Все сошлись в заключении, что Скиннер был жутко пьян – характерная модальность поведения в наших краях, провоцирующих депрессию.

Но вдова несчастного, Людмила Скиннер, в своих заявлениях британской прессе рассказывала совсем иное. Оказывается, в семидесятые годы Дэннис был шефом представительства в Москве тогда могущественной ICL, а сама Людмила была его секретарем. Компания тогда занималась каким-то секретным проектом, и когда представителям советских спецслужб это дело открылось, то на Людмилу было оказано давление с целью рекрутирования Дэнниса.

В результате всего этого началась ужасная игра: Скиннер согласился регулярно общаться с советскими спецслужбами, организуя поставку документации по компьютерным технологиям, запрещенных для экспорта из Великобритании и вообще из стран НАТО.

Он являлся двойным агентом, предоставляя “в другой конец” информацию для MI5. Это и явилось решающим обстоятельством того, что ни одна из спецслужб не была заинтересована в его спасении, но, напротив, в устранении. Впоследствии, естественно, все упреки со стороны Запада шли в адрес КГБ. Но, учитывая ужасную запутанность тогдашних обстоятельств, в этом тоже можно выражать серьезные сомнения.

Мне кажется даже более вероятной версия, согласно которой, человек, доведенный до глубочайшего внутреннего хаоса, изрядно выпивающий, но умный и видящий пути мира, решает принять последнее решение.

Эта история кажется косвенно связанной с теми бурными дебатами, которые описывает Б. Н. Малиновский в своих воспоминаниях о выборе базовой системы для массового производства мэйнфреймов в СССР. Роковой выбор, по-видимому, был определен и мотивирован известными издревле интересами частных фигурантов. Я выражаюсь обиняками, поскольку сам не являлся свидетелем дел. Почитайте все-таки источники и свидетельства…

1. Если попытаетесь провести поиск по предмету в русском Интернете, то среди пары других источников, обнаружите и мою работу: И. Гордиенко, “Почему промышленные?” – Инфобизнес, № 48 (2001).

2. Не ведаю, есть ли у нас кафе Starbucks, поскольку не являюсь любителем кофе, но в Китае таких заведений немало, а одно из них находится даже на территории Запретного города в Пекине, в бывшей резиденции императоров. Вообще, это ошеломляющее обстоятельство.

3. Одним из таковых был Джон Симмонс, сыгравший главную роль в отработке общей стилистики управления J. Lyons и дальнейшего технологического развития.

4. Само название подразделения Lyons просто поразительно: лишь лет за 15 до обсуждаемых времен Людвиг фон Берталанфи выдвинул первые посылки общей теории систем!

5. F. Land, LEO, The First Business Computer: A Personal Experience. – The Software Practitioner, Vol. 6, No. 2, 1966.

6. Некоторые источники говорят о том, что LEO был потомком EDSAC – наследственность была определена участием команды исследователей из Кэмбриджа.

7. http://wwwcsif.cs.ucdavis.edu/~csclub/museum/items/univac.html

8. О памяти типа RAM никто в те годы не помышлял, не было даже почти забытой памяти на магнитных кольцах и стержнях. Была никем не оплаканная память на ртутных линиях задержки. Это были длинные трубы, заполненные ртутью, а каждый из концов такой трубы был запечатан пробкой, в которую был включен акустический преобразователь. Импульс, который нужно было запомнить, излучался с одной стороны трубы и через 500 мс доходил как волна к другому концу трубы — к приемнику. Здесь он усиливался и отправлялся в обратном направлении. Так это и работало. Чтобы «словить» импульс, нужно было просто дождаться его и не отражать обратно.

9. John Gosden, Mathematics and Software at LEO Computers. – Resurrection, The Bulletin of the Computer Conservation Society, Issue No. 17 (Spring, 1997).

10. Не полагайте, что консоль – это графический дисплей. Это было электромеханическое устройство типа пишущей машинки.

11. Direct Memory Access – специализированная электронная схема либо микропроцессор, которые обеспечивают перекачку данных, избегая использования центрального процессора. Например, через DMA работают каналы звуковых карт, каналы дисков CD-ROM и т. п.

12. Я умышленно называю в этом контексте былые названия государств – почувствуйте разницу!

13. Business Computing: the Second 50 Years. A 2-day Conference for Business Leaders. – 2001 (Nov).

14. Б. Н. Малиновский, История вычислительной техники в лицах. – Киев: Фирма «КИТ», ПТОО «АСК», 1995. – 384 с., ил.

Кстати, полный текст замечательной книги можно найти в Интернете на http://lib.ru/memuary/Malinowskij/0.txt. Замечательно и то, что готовил эту электронную версию книги Юрий Ревич, редактор и автор, работающий в Издательском доме «Компьютерра».

15. Джон Эйрис, пришел в LEO Computers в 1958 году в качестве программиста-стажера. В ICL занимал высшие посты, был руководителем направления компьютеров в Imperial Group, директором Национального компьютерного центра (1985–90). Возглавлял совет экспертов Еврокомиссии по трансферту технологий (1989), в 1990 году был директором IMPAKT, клуба, созданного исследовательской системой KPMG, членством в котором обладают высшие менеджеры крупнейших пользователей информационных систем.

16. Computing 30th Anniversary, http://www.computing.co.uk/Analysis/1134997.

17. Этот городок был местом рождения еще и сэра Исаака Ньютона.

е в степени пи или пи в степени е? — Колпаков Александр Николаевич

Недавно ко мне обратился один школьник с вопросом о сравнении двух чисел. Нужно было выяснить, что больше: е в степени пи или пи в степени е? Красивое сочетание. Не правда ли? Репетитор по математике, который с ним занимался весь год, не смог справиться с такими иррациональностями, а мне всегда было интересно повозиться с теми номерами, которые у кого-либо не получились. Должен же репетитор уметь решать нестандартные задачи.

Ученик попался на удивление пробивной и вместе с вопросом прислал ссылку на самостоятельно найденное решение в интернете. Оно оказалось для него слишком сложным и непонятным, так как использовало свойство числовых рядов. Конечно, выпускнику 11 класса в них не разобраться, и поэтому Ваш покорный слуга принялся за дело. Интересно было бы не просто найти доступное для школьника решение задачи и опубликовать его в готовом виде, а показать, каким образом репетитор по математикеищет решения нестандартных задач. Хотелось описать ход своих мыслей.

Итак, нужно сравнить и Как я размышлял?

Понятно, что вычислять «в лоб» нереально, а калькулятор в таких случаях применять запрещается. Думаю так: скорее всего необходимо растащить показатели и основания степеней, по ходу меняя сравнение на что-то равносильное. Иначе во множестве элементарных функций мы не найдем ту самую функцию, которая поможет сравнить числа на основании свойств своей монотонности. Разорвать термоядерную иррациональную парочку можно только при вычислении логарифма. Поэтому я сразу же прологарифмировал степени устремил мысль в направлении и . Основание логарифма было выбрано не случайно. Сказалось присутствие экспоненты.

Задача свелась к сравнению чисел и . Далее я заметил, что замена в их записях на дает равные числа. Как бы это использовать? Держу в уме главную идею: если у задания есть элементарное решение, то рано или поздно придется ввести какую-нибудь монотонную функцию. Это явно не так как число не является значением в удобной для сравнения с точке. Тем не менее выявленное равенство результатов, наверное, необходимо как-то использовать. Как?

Вспоминаю, что доказательство какого-либо неравенства в математике равносильно доказательству того, что разность рассматриваемых чисел имеет определенный знак. А это все равно, что сравнивать разность с нулем. Именно он получается при замене в ней числа на число . Как теперь должен действовать репетитор по математике? Конечно же рассматривать функцию и доказывать ее монотонность при . Если функция окажется возрастающей, то так как > , то > и поэтому получаем, что >

Осталось найти производную и проверить, что возрастает при . Имеем . Очевидно, что если x>e, то > . Следовательно возрастает на промежутке . Поэтому > и следовательно е в степени пи больше чем пи в степени е

Удаляя все рассуждения решение задачи запишем его компактно:
Весь процесс занял около 10-15 минут и большую его часть я думал. Не могу сказать, что каждый репетитор по математике обязан уметь консультировать ученика по заданиям олимпиадного характера, но знать о некоторых приемах размышлений ему было бы полезно.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич.
репетитор по математике в Москве,
Профессиональный репетитор в Строгино, м.Щукинская.

Метки: Интересные задачки, Примеры объяснений

√ ⬅ ➡ F _ ÷ | ( * / 9 ⌫ A ↻ x y = = – г

Что говорят наши клиенты.

..

Тысячи пользователей используют наше программное обеспечение, чтобы справиться со своими домашними заданиями по алгебре. Вот некоторые из их впечатлений:

У меня действительно были проблемы с алгебраическими уравнениями.Стыдно признаться, но дело в том, что я не силен в математике. Поэтому мне постоянно нужна помощь. Затем я наткнулся на эту программу «Алгебратор». И, клятва!! Это изменило мою жизнь. Я больше не завишу ни от кого, кроме этой маленькой программки.

Kenneth Schneider, WV

Мне очень нравится ваше программное обеспечение. Я мучился с дробями. У меня были вопросы и ответы, но я не мог понять, как перейти от одного к другому. Ваше программное обеспечение показывает, как решаются проблемы, и это был ответ для меня.Спасибо.

G.O., Kansas

Поздравляем и благодарим за это замечательное программное обеспечение. Это и сложно, и весело.

Anne Mitowski, TX

Если вы ищете поддержку по курсу алгебры, тогда вам подойдет Algebrator. Это программное обеспечение объясняет все шаги к проблемам, которые вы вводите.

Ричард Пенн, Делавэр.

В студенческие годы я отлично училась по математике, но из-за нехватки времени не могла уделять внимание математическому образованию моей дочери.Это была проблема, которую я не мог решить, и тогда я наткнулся на это программное обеспечение. Алгебратор оказал ей огромную помощь. Теперь она могла выучить основы алгебры. Это было показано в ее оценках за следующий семестр.

Бим Оядаре, Флорида


Поисковые фразы, использованные 07.11.2010:

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

  • Процент от числа
  • замена интерактивной алгебры
  • Glencoe Math Workbook Ответы
  • квадратный гр 10
  • Решатель задач 9-го класса
  • Учебное пособие CLEP PDF для бесплатной загрузки
  • онлайн-репетиторство по алгебре (многочлены) для 9 класса
  • , выражающий соотношения в виде алгебраического уравнения
  • “Алгебратор”
  • лист вычитания отрицательных целых чисел
  • онлайн преобразовать вершинную форму в стандартную форму
  • загрузок по алгебре
  • бесплатная помощь по алгебре среднего уровня
  • разложение алгебраических выражений на множители путем ввода их в
  • рабочие листы Кумон
  • домашняя работа поможет онлайн оценить дроби 6 класс
  • Умножение и деление многочленов рабочий лист
  • mcdougal littell онлайн-учебник по предварительной алгебре
  • упрощение радикалов в тригонометрии
  • рабочие листы с измерениями для 3-х классов
  • концептуальная физика 8-е издание ключ ответа
  • простое полиномиальное сложение и вычитание
  • как преобразовать в смешанное число
  • Синтетический дивизион урок PowerPoint
  • Мэриленд ALG 1 КНИГА ВЕБ-САЙТ
  • математика раскрывает кубические скобки
  • “рабочий лист целых чисел”
  • сац документы онлайн KS2
  • TI 83 квадратичные формулы
  • бесплатных онлайн-ответов по математике для подключения приложений интеграции алгебры 2
  • примеров математической поэмы
  • листов выражений
  • воспроизводимый лабораторный лист-научный метод
  • Игры на сложение и вычитание смешанных чисел
  • факторинговые листы
  • сложное математическое уравнение
  • добавление дроби к целому числу
  • рабочий лист перестановок элементарный
  • Бесплатный онлайн-решатель задач по алгебре
  • что такое погонный метр
  • математические листы ассоциативные свойства
  • сложение, вычитание, умножение и деление дробей
  • химические уравнения для обычных кислот и оснований
  • ти-84 игры читы
  • алгебра MCQS
  • обратная Лапласа ti 89
  • саксонская математическая алгебра 2 буклет с ответами
  • взломать экзаменационные работы
  • рабочих листов целые числа
  • как запрограммировать графический калькулятор квадратного уравнения ti 83
  • “математика в четвертом классе” бесплатно
  • Порядок работы при оценивании формул 8 класс
  • математических листов объединяют одинаковые термины
  • Как преобразовать смешанное число в десятичное
  • суммы радикалов учебник
  • калькулятор вычитания рациональных выражений
  • ti-84 plus скачать эмулятор
  • уравнение вкладыша
  • шаг за шагом как упростить радикалы с переменными
  • растворы рудина
  • “факторный репетитор”
  • TI 83 фактор
  • Индекс квадратного корня на калькуляторе
  • 10 класс применение уравнений с двумя переменными
  • алгебра 2 наименьшее общее кратное
  • чит алгебра clep
  • как вычислить кубический корень на калькуляторе ти-84
  • б. в. наука 9 ответы в рабочей тетради
  • Квадратичный график PowerPoint завершает
  • ti инженерные программы “перекрестное умножение”
  • бесплатных печатных листов пропорций
  • алгебра артина pdf
  • нахождение масштабного коэффициента
  • как найти знаменатель, содержащий квадратный корень
  • вершинная форма алгебры2
  • Факторинг специальных квадратных уравнений
  • одновременных нелинейных алгебраических уравнений
  • бесплатный алгебраический решатель
  • Преподавание распределительной собственности семиклассникам
  • Glencoe/McGraw-Hill, форма теста по главе 3 2B
  • решение подстановкой с использованием трех переменных
  • “онлайн-книга” Введение в теорию вероятностей и статистику: принципы и приложения для инженерных и вычислительных наук “pdf”
  • предалгебраический тест по главе 2
  • Программы TI 83 для упрощения рациональных чисел

Калькуляторы для iPad: Приложения для iPad/iPhone AppGuide

В App Store доступно множество приложений-калькуляторов для iPad. Некоторые из этих приложений имеют очень интересные функции, а другие довольно просты. В этом AppGuide мы сравниваем наши любимые приложения-калькуляторы для iPad.

Основные приложения

Цифры, калькулятор для людей

по Смена

Digits, калькулятор для людей, является не только фаворитом сотрудников App Store, но и фаворитом AppAdvice. Это универсальное приложение делает вычисления увлекательными и интуитивно понятными благодаря своему фантастическому внешнему виду. Digits хранит цифровую ленту (или распечатку) всех ваших вычислений.Переключайтесь между лентами и легко находите другие с помощью красивого браузера лент. AirPrint включен, чтобы упростить печать ваших лент. Включена поддержка клавиатуры Bluetooth, а также поддержка высокого разрешения для iPhone 5. Вы даже можете изменить цвет клавиатуры или кнопок. Digits — замечательное приложение-калькулятор для вашего iPad, и оно определенно необходимо.

Калькулятор MyScript

по Видение объектов

Если вы ищете что-то особенное, обратите внимание на MyScript Calculator. Это замечательное приложение для iPad и iPhone позволяет вам писать любые математические уравнения на экране вашего iDevice. После этого MyScript в цифровом виде преобразует ваши числа в текст. Ощущения совершенно естественные, как будто пишешь на бумаге, а ответы представлены в режиме реального времени. Есть функция повтора/отмены, а само приложение работает невероятно быстро. Выберите практически любой тип переменной для решения, и MyScript предоставит результат. Это приложение необходимо иметь на вашем iDevice.

Калькулятор для iPad Бесплатно

по Калькулятор погоды для международных путешествий

Калькулятор для iPad Free — очень хороший пример того, по образцу чего следует создавать приложения-калькуляторы для iPad.Пользовательский интерфейс просто великолепен, что делает его приятным в использовании. Это приложение можно использовать в портретном режиме для базовых, рутинных расчетов. Если вам нужно вычислить более сложные математические или научные цифры, вы можете сделать это в портретном режиме. Одним из недостатков является то, что он поддерживается рекламой, но я не нашел рекламу надоедливой. Есть покупки в приложении, которые удалят рекламу, если вы предпочитаете. Если вы решите заплатить, вам также будут предоставлены дополнительные возможности, такие как еще больший экран и до семи различных скинов.Калькулятор для iPad Free определенно достоин места на вашем iPad и незаменимого выбора AppAdvice.

Известные приложения

Калькулятор Pro для iPad Бесплатно

по Апалон

Ищете калькулятор для iPad с яркими и красивыми кнопками в сочетании с великолепным дизайном? Если это так, обратите внимание на Calculator Pro для iPad Free. Это приложение удобно для пользователя и сделано для упрощения. В нем есть научный режим и обычный расчетный режим, которого хватит большинству.В нем не так много функций, как в Digits или MyScript, но его использование кажется второй натурой. Есть кнопки, которые помогут вам с более сложными вычислениями, а также поддержка многозадачности. Как и в калькуляторе для iPad Free, в этом приложении также есть встроенные покупки, если вам нужно больше скинов. Подход без излишеств делает это приложение-калькулятор заметным для вас.

Калькулятор для iPad – Calc Pro HD Бесплатно

по Панорамное программное обеспечение Inc.

Калькулятор для iPad – Cal Pro HD Free довольно удивителен.Это позволяет вам построить тип калькулятора, который лучше всего соответствует вашим потребностям. Вам предоставляются базовые и научные калькуляторы, которые есть в большинстве приложений-калькуляторов, а также режим RPN. Также есть 5 режимов калькулятора и 5 различных вариантов отображения, поддержка сетчатки и 11 поддерживаемых языков. Поскольку это приложение бесплатное, внутри него есть покупки. Есть много вариантов для покупки, в том числе конвертер единиц измерения или кредитный калькулятор. Если вы хотите создать идеальный калькулятор с множеством опций, мы рекомендуем приобрести дополнительные функции, которые вам нужны больше всего. Практически нет ограничений на создание калькулятора своей мечты, но он потребует немного денег из вашего кармана.

Калькулятор HD для iPad

по CrowdCafé

Calculator HD для iPad — еще одно фантастическое приложение для iPad. В приложении-калькуляторе представлены основные, научные, заметки и ленточные калькуляторы. Нам нравится интерфейс и дизайн приложения. Калькулятор заметок особенно удобен, как и калькулятор с лентой. Хотя функция ленточного калькулятора улучшилась, мы рекомендуем Digits, если вы ищете ленточный калькулятор.Те, кто ищет одно приложение с четырьмя отличными калькуляторами, должны взять это.

Достойные приложения

Герой-калькулятор

по Вэйвэй Чжан

Calculator Hero — красивое приложение-калькулятор для iPad. С этим приложением вы можете делать множество вещей, включая тригонометрические вычисления. Он включает в себя различные скины и имеет базовый расчет плюс научный режим. Это хороший вариант, но он не так хорош, как другие, упомянутые здесь.

Calcbot — интеллектуальный калькулятор

по Тапботы

CalcBot — это отточенное универсальное приложение-калькулятор.Звук заставляет вас чувствовать, что вы работаете со старым школьным калькулятором, и функция живой истории пригодится. Вы можете легко просмотреть предыдущие расчеты. В расчетах также отображается то, что вы только что ввели, поэтому вы не рискуете ввести одно и то же число дважды. Однако было бы замечательно, если бы Tapbots обновили это приложение.

Сколько домов я могу себе позволить?

Сколько жилья я могу себе позволить?

При определении цены дома, которую вы можете себе позволить, полезно следовать правилу 36%.Ваши общие ежемесячные платежи по долгам (студенческие ссуды, кредитные карты, счета за машину и т. д.), а также прогнозируемая ипотека, страхование домовладельцев и налоги на имущество никогда не должны составлять более 36% от вашего валового дохода (т. е. вашего дохода до налогообложения). доход).

Покупка нового дома — это волнительно, но она также должна дать вам ощущение стабильности и финансовой безопасности. Вы не хотите жить месяц за месяцем с доходом, едва достаточным для выполнения всех ваших обязательств: платежи по ипотеке, коммунальные услуги, продукты, платежи по долгам – что угодно.

Чтобы избежать сценария покупки дома, который вы действительно не можете себе позволить, вам необходимо рассчитать бюджет на жилье, который имеет смысл для вас.

Сколько домов вы можете себе позволить?

Ежемесячный доход до прибытия Оставшийся доход после среднемесячного долга. $ 2400 $ 480 $ 79000
$ 4000 $ 3,400 $ 840 $ 138000
$ 5000 $ 4,400 $ 1200 $ 197000
$ 6000 $ 5,400 $ 1560 $ 256000
$ 7000 $ 6,400 $ +1920 $ 313000
$ 8000 $ 7400 $ 2280 $ 360000
$ 9000 $ 8400 $ 2640 $ 416000
$ 10000 $ 9400 900 06 $3,000 $523,000

В приведенной выше таблице в качестве эталона для ежемесячных платежей по долгам использовалось $600, исходя из среднего платежа за автомобиль в размере $400 и выплат по студенческому кредиту или кредиту в размере $200. Ипотечный раздел предполагает первоначальный взнос в размере 20% от стоимости дома. Платеж отражает 30-летнюю ипотеку с фиксированной процентной ставкой для дома, расположенного в Канзас-Сити, штат Миссури. Введите ваши конкретные числа в калькулятор выше, чтобы найти ваши результаты. Поскольку процентные ставки меняются со временем, вы можете увидеть разные результаты.

На практике это означает, что на каждый доллар до вычета налогов, который вы зарабатываете каждый месяц, вы должны выделять не более 36 центов на погашение ипотеки, студенческих ссуд, задолженности по кредитной карте и так далее.(Примечание: поскольку налог на недвижимость и страховые платежи необходимы для поддержания вашего дома в хорошем состоянии, в данном контексте они считаются платежами по долгам.) Этот процент также известен как отношение вашего долга к доходу, или DTI. Вы можете найти свой, разделив общий ежемесячный долг на свой ежемесячный доход до вычета налогов.

Использование правила 36%

Додохождение до налогообложения 36% Лимит на общий ежемесячный долг
$ 2000
$ 20009 $ 720
$ 3000 $ 1 08094 $
$ 4000 $ +1440
$ 5000 $ 1800
$ 6000 $ 2160
$ 7000 $ 2520
$ 8000 $ 2880
$ 9000 $ 3240
$ 10000 $ 3600

Большинство банков не любят выдавать кредиты заемщикам с отношением долга к доходу выше 43%. Хотя можно найти кредиторов, желающих сделать это (но часто по более высоким процентным ставкам), мысль, стоящая за правилом, поучительна.

Если вы тратите 40% или более вашего дохода до вычета налогов на ранее существовавшие обязательства, относительно незначительное изменение ваших доходов или расходов может нанести ущерб вашему бюджету.

Банки не любят кредитовать заемщиков с низкой погрешностью. Вот почему ваш ранее существовавший долг повлияет на то, на какую сумму дома вы имеете право, когда дело доходит до ипотечного кредита.

Помните об этом правиле при поиске дома не только в интересах кредитора, но и в ваших интересах. Поскольку кредиторы, как правило, взимают более высокие процентные ставки с заемщиков, которые нарушают правило 36%, вы, вероятно, в конечном итоге потратите больше на проценты, если выберете дом, который выходит за этот предел. Кроме того, у вас могут возникнуть проблемы с выполнением других финансовых обязательств, в том числе с созданием резервного фонда и сбережениями на пенсию.

Финансовый консультант может помочь вам в планировании покупки дома.Чтобы найти финансового консультанта, который обслуживает ваш район, воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-инструментом поиска совпадений.

Какая сумма первоначального взноса мне нужна?

Другим ключевым фактором в ответе на вопрос о том, сколько жилья вы можете себе позволить, является ваш первоначальный взнос.

Как по размеру платежи Возможности Домашний капитал

Процент Домашняя цена Домашняя цена Домашний капитал
20% $ 50 000 $ 250 000 $ 50 000
15% $ 37500 $ 250000 $ 37500
10% $ 25000 $ 250000 $ 25000
5% $ 12500 $ 250000 $ 12500
0% $ 0 $250,000 $0

Практическое правило остается в силе: 20% от стоимости дома — это идеальная сумма денег для первоначального взноса. Эта сумма покупает вам долю в доме, что помогает обеспечить кредит. Когда у вас нет по крайней мере 20%, вы должны найти альтернативные средства для обеспечения ипотеки.

Это может означать частное ипотечное страхование (PMI), которое представляет собой дополнительную ежемесячную плату для обеспечения вашего кредита. Если у вас недостаточно денег для первоначального взноса, многие кредиторы потребуют, чтобы у вас была ипотечная страховка. Вам придется платить ежемесячную ипотеку, а также ежемесячный страховой взнос, поэтому это не лучший вариант, если ваш бюджет ограничен.

Вы перестанете платить PMI, когда ваша ипотека достигнет 78% стоимости дома. В то время как некоторые покупатели жилья могут претендовать на небольшой первоначальный взнос или без него, с помощью кредитов VA или других программ 0% первоначального взноса, большинству домовладельцев, у которых нет достаточно большого первоначального взноса, придется оплачивать дополнительные расходы на PMI.

Сколько я должен был сэкономить при покупке дома?

Кредиторы, как правило, хотят знать, что у вас останется денежный резерв после того, как вы купили дом и въехали, поэтому вы не хотите опустошать свой сберегательный счет на первоначальный взнос.

Наличие денег в банке после покупки — отличный способ убедиться, что вам не грозит дефолт и потеря права выкупа. Это буфер, который показывает ипотечным кредиторам, что вы можете покрыть предстоящие платежи по ипотеке, даже если ваше финансовое положение изменится.

В то время как поддержание отношения долга к доходу ниже 36% защищает вас от незначительных изменений в ваших финансах, резерв наличности защищает от серьезных.

Как минимум, это хорошая идея, чтобы иметь возможность выплачивать жилищные платежи за три месяца из своего резерва, но что-то вроде шести месяцев было бы еще лучше.Таким образом, если вы потеряете доход и вам нужно найти новую работу, или если вы решите продать свой дом, у вас будет достаточно времени, чтобы сделать это, не пропустив ни одной выплаты.

Кассовый резерв и ваша способность оплачивать свою ипотеку

Ежемесячный залог Ежемесячный ипотечный платеж месяца
$ 5000 $ 1 425 3. 5
$ 10 000 $ 1 425 7
15 000 долларов 1 425 долларов 10.5
$ 20 000 $ 20 000 $ 1,425 $ 1 425 14
$ 25 000 $ 1 425 17,5

9

56 Таблица выше на 250 000 долларов США в городе Канзас-Сити, Миссури. Платежи по ипотеке предполагают первоначальный взнос в размере 20% и включают в себя налоги на недвижимость и страхование жилья.

Думайте о своем денежном запасе как о тормозном пути, который вы оставляете себе на шоссе. Если впереди произойдет авария, вам нужно иметь достаточно времени, чтобы сбросить скорость, уйти в сторону или иным образом избежать аварии.

Ваш резерв может покрыть платежи по ипотеке, а также страхование и налог на имущество, если вас или вашего партнера уволят с работы. Это дает вам пространство для маневра в случае чрезвычайной ситуации, что всегда полезно. Вы не хотите тратить все свои сбережения на покупку дома. Домовладение сопряжено с неожиданными событиями и расходами (ремонт крыши, затопление подвала и так далее!), поэтому наличие наличных денег поможет вам избежать неприятностей.

Какой дом я могу купить на свой доход?

Краткий обзор рекомендаций, которые мы изложили, чтобы помочь вам определить, сколько жилья вы можете себе позволить:

  • Первое правило — это правило 36% долга к доходу: ваши общие платежи по долгу, включая платеж за жилье, никогда не должен превышать 36% вашего дохода.
  • Во-вторых, ваш первоначальный взнос и наличные резервы: вы должны стремиться к 20% первоначального взноса и всегда стараться держать в банке платежи как минимум за три месяца на случай чрезвычайной ситуации.

Давайте посмотрим на нескольких гипотетических покупателей жилья и домов, чтобы понять, кто что может себе позволить.

ФИНАНСОВАТЬ

Homebuyers Возраст Ежемесячный доход Сбереганцы
Paul & Grace 40, 39 $ 3500 $ 250 $ 10000
Тереза 29 $ 7250 $ 500 $ 40000
Martin 54 $ 40000 $ 0 $ 185000

Дом № 1 является 1930-х годов эпохи Ранчо с тремя спальнями в Анн-Арборе, штат Мичиган.Этот дом площадью 831 квадратный фут имеет прекрасный задний двор и включает в себя гараж на две машины. Цена дома составляет всего 135 000 долларов. Так кто может позволить себе этот дом?

Анализ: Все трое покупателей жилья могут себе это позволить. Для Терезы и Мартина, которые могут позволить себе первоначальный взнос в размере 20% (а затем и немного), ежемесячный платеж составит около 800 долларов, что вполне соответствует их бюджетам. Пол и Грейс могут позволить себе внести первоначальный взнос в размере 7000 долларов, что составляет чуть более 5% от стоимости дома, а это означает, что им потребуется ипотечный кредит на сумму около 128 000 долларов.В Анн-Арборе их ипотечные, налоговые и страховые платежи будут составлять около 950 долларов в месяц. В сочетании с выплатой долга это составляет 1200 долларов, или около 34% их дохода.

Дом № 2 — дом площадью 2100 квадратных футов в Сан-Хосе, Калифорния. Построенный в 1941 году, он расположен на участке площадью 10 000 квадратных футов и имеет три спальни и две ванные комнаты. Он указан за 820 000 долларов, но, вероятно, его можно купить за 815 000 долларов. Так кто может позволить себе этот дом?

Анализ: Несмотря на то, что этот дом немного выходит за рамки ценового диапазона других наших покупателей жилья, Мартин может воплотить его в жизнь.Используя правило 36%, ежемесячный жилищный бюджет Мартина составляет около 14 000 долларов. Ипотека, налог на недвижимость и страховка на эту недвижимость составят где-то около 4100 долларов, так что он мог позволить себе ежемесячно платить больше. Для такого дорогого дома кредиторы требуют более крупного первоначального взноса — 20% от стоимости дома — поэтому Мартин ограничен домом, который в пять раз превышает его сбережения (за вычетом этого денежного резерва, равного платежам за три месяца).

Дом №3 — двухэтажный кирпичный коттедж в Хьюстоне, штат Техас.Этот дом площадью 3000 квадратных футов с четырьмя спальнями и тремя ванными стоит 300 000 долларов. Так кто может позволить себе этот дом?

Анализ: Мартин легко может позволить себе это место, а вот Терезе немного сложнее. Если предположить, что она вносит первоначальный взнос в размере 27 300 долларов, или чуть менее 10%, ее ежемесячные платежи за жилье составят 2110 долларов. Добавьте к этому ежемесячные платежи по студенческому кредиту в размере 500 долларов, и вы получите общую сумму долговых платежей в размере 2610 долларов, что составляет ровно 36% ее дохода. Кроме того, даже после того, как она заплатит первоначальный взнос и все расходы на закрытие, у нее останется около 7800 долларов сбережений, которых хватит на четыре месяца оплаты жилья.

Какую сумму ипотечного кредита я могу себе позволить?

Хотя технически Мартин может позволить себе дом №2, а Тереза ​​технически может позволить себе дом №3, они оба могут решить не делать этого. Если Мартин отложит покупку еще на год, он может использовать часть своего высокого дохода, чтобы накопить на более крупный первоначальный взнос. Тереза ​​может захотеть найти немного более дешевый дом, поэтому она не права в том, что максимум платить 36% своего дохода до налогообложения в счет долга.

Проблема в том, что некоторые люди верят в ответ на вопрос «Сколько жилья я могу позволить себе с моей зарплатой?» совпадает с ответом на вопрос «На какой размер ипотечного кредита я могу претендовать?» Что банк (или другой кредитор) готов одолжить вам, безусловно, важно знать, когда вы начинаете искать дом. Но, в конце концов, вам придется жить с этим решением. Вы должны вносить платежи по ипотеке каждый месяц и жить на остаток своего дохода.

Это означает, что вы должны взглянуть на свои финансы. Факторы, на которые следует обратить внимание при рассмотрении вопроса о получении ипотечного кредита, включают:

  • Доход
  • Кредитный рейтинг
  • Существующий долг
  • Первоначальный взнос и сбережения
  • Срок ипотеки
  • Текущие процентные ставки
  • Частные 116 рынок недвижимости

Ввод всех этих соответствующих цифр в калькулятор доступности жилья (подобный приведенному выше) может помочь вам определить, сколько дома вы можете себе позволить.

Но помимо этого вы должны подумать о своем образе жизни, например, о том, сколько денег у вас осталось на поездку, выход на пенсию, другие финансовые цели и т. д. Возможно, вы обнаружите, что не хотите покупать самый дорогой дом, который вписывается в ваш бюджет.

Почему вам следует подумать о покупке на сумму, не превышающую ваш бюджет

Есть кое-что, что можно сказать об идее не использовать свои кредитные возможности на максимум. Если вы посмотрите на дома, которые стоят где-то ниже вашего максимума, вы оставляете себе несколько вариантов.Во-первых, у вас будет возможность сделать ставку, если вы в конечном итоге будете конкурировать с другим покупателем дома. В качестве альтернативы у вас будут деньги на ремонт и модернизацию. Небольшая работа может превратить дом в дом вашей мечты — без больших затрат.

Однако, возможно, более важно то, что вы избежите ограничения своих финансовых ресурсов, если выберете дом по цене ниже максимальной.

Вам будет легче производить платежи, или (еще лучше!) вы сможете доплатить к основному долгу и сэкономить деньги, досрочно погасив ипотеку.

Почему вам следует подождать с покупкой дома

Аналогичным образом вы можете подумать о том, чтобы отложить покупку дома.

Чем больше первоначальный взнос, который вы можете внести, тем меньший кредит вам придется платить проценты. В долгосрочной перспективе наибольшую часть цены, которую вы платите за дом, обычно составляют проценты по кредиту.

В случае 30-летней ипотеки (в зависимости, конечно, от процентной ставки) проценты по кредиту могут составлять до трех или четырех раз больше указанной цены дома (да, вы не ошиблись!).В течение первых 10 лет 30-летнего ипотечного кредита вы могли платить почти исключительно за проценты и почти не увеличивать основную сумму кредита.

Вот почему это может иметь существенное значение, если вы сделаете даже небольшие дополнительные платежи в счет основного долга или начнете с более крупного первоначального взноса (что, конечно же, приведет к меньшему кредиту).

Если вы можете позволить себе 15-летнюю ипотеку, а не 30-летнюю ипотеку, ваши ежемесячные платежи будут выше, но ваши общие расходы будут значительно ниже, потому что вы не будете платить столько процентов.

30-летний VS 15-летний ипотечный платежи

ЖИЗНЕНИЯ КРЕДИТА Ежемесячные платежи
30-летний кредитный кредит $ 1,327
15-летний кредит с фиксированным курсом $1,794

В приведенной выше таблице показано сравнение 30-летних и 15-летних кредитов с фиксированной процентной ставкой для дома стоимостью 250 000 долларов с первоначальным взносом 20%. Ежемесячные платежи по ипотеке в размере 200 000 долларов включают страховку домовладельцев и налоги на недвижимость в Канзас-Сити, штат Миссури.

Звучит здорово, но это не всегда лучший вариант. Если 15-летняя ипотека ставит вас неудобно близко к вашему максимуму — это означает, что у вас не будет места в вашем бюджете для чрезвычайных ситуаций или дополнительных расходов — вы всегда можете заблокировать 30-летнюю ипотеку, взяв на себя обязательство производить платежи размер 15-летнего плана, если нет финансовой чрезвычайной ситуации.

Если вы выберете этот план, важно убедиться, что условия вашей ипотеки не включают штраф за досрочное погашение кредита.Это известно как штраф за досрочное погашение, и кредиторы обязаны раскрывать его.

Так стоит ли покупать дом?

Ответ на этот вопрос зависит от вашего финансового положения и ваших целей. Просто потому, что кредитор готов дать вам деньги на дом, не обязательно означает, что вы должны прыгать в собственность дома. Это большая ответственность, которая связывает большую сумму денег на годы.

Важно помнить, что ипотечный кредитор только говорит вам, что вы можете купить дом, а не то, что вы должны.Только вы можете решить, стоит ли вам делать эту покупку.

Следующие шаги

Узнайте больше о специализированных кредитах, таких как требования к кредиту VA и квалификация кредита FHA. Кроме того, взгляните на лучшие места для получения ипотечного кредита в США. Вы также можете проверить текущие ставки по ипотечным кредитам в вашем регионе, чтобы понять, как выглядит рынок.

Советы по улучшению коэффициента DTI

Если вы хотите купить дом, но у вас слишком большой долг, чтобы претендовать на ипотеку, вы можете сначала сосредоточиться на улучшении соотношения долга к доходу.Нет никаких хитростей, чтобы уменьшить ваш DTI. У вас есть три основных способа улучшить свой DTI:

  • Консолидировать долг
  • Погасить долг
  • Увеличить доход

Если задолженность по кредитной карте удерживает вас от получения 36%, вы можете рассмотреть возможность перевода остатка. Вы можете перевести баланс (остатки) своей кредитной карты на кредитную карту с временной 0% годовых и погасить свой долг до истечения срока действия предложения.

Это означает, что ваши деньги идут на оплату вашего фактического долга, а не на проценты по этому долгу.Важно помнить, что если вам не удастся погасить долг до истечения срока действия предложения 0% годовых, вы можете получить более высокую процентную ставку по своему долгу, чем раньше.

Но если вы сможете совершить перевод остатка, это может помочь вам ускорить выплату долга и добиться соотношения долга к доходу, необходимого для покупки дома.

Два других варианта, погашение долга и увеличение дохода, требуют времени. Возможно, вам нужно составить бюджет и план, чтобы выбить некоторые из ваших крупных студенческих или автомобильных кредитов, прежде чем подавать заявку на ипотеку.Или вы ждете, пока не получите повышение на работе или не смените работу, чтобы подать заявку на ипотеку.

К сожалению, нет простого способа снизить DTI. Все три варианта требуют времени, а также планирования для выполнения. Но, подумайте об этом таким образом, вы улучшите свои шансы на выгодную ипотеку, которая обычно составляет 30 лет вашей жизни. Подождать несколько лет, чтобы улучшить свое положение, — это всего лишь часть времени по сравнению со многими годами, которые вы потратите на оплату ежемесячного счета по ипотеке.

Вот как рассчитать лимиты взносов Solo 401(k)

Планы Solo 401k имеют множество псевдонимов: solo-k, uni-k и one-participant-k, среди прочих.Как бы вы это ни называли, пенсионный план — один из моих самых любимых для владельцев малого бизнеса без подходящих участников. Они просты в установке, недороги в эксплуатации и просты в обслуживании.

Одним из немногих недостатков одиночных 401k является то, что у них есть одна неясная сложность: определение максимальной суммы, которую вы можете внести в данный год.

В этом посте рассказывается, как рассчитать лимиты взносов соло 401k. Мы расскажем о расчетах взносов, сроках и обо всем остальном, что вам нужно знать об учетных записях.

 

Так что же такое — это Solo 401(k), точно?

Одно из самых больших недоразумений в отношении одиночных 401k заключается в том, что они по своей сути являются «особым» типом пенсионного плана. Они не.

Со всеми подходящими пенсионными планами (401 КБ, остаток денежных средств, установленные выплаты и т. д.) IRS предоставляет нам некоторые довольно изящные налоговые льготы, чтобы стимулировать нас копить на собственную пенсию. В случае планов 401k эти налоговые льготы распространяются как на бизнес, управляющий планом, так и на его участников.

Чтобы предотвратить структурирование планов 401k предприятиями, которые приносят пользу владельцу и руководству (а не рядовым сотрудникам), планы 401k обычно должны проходить проверку на соответствие каждый год. Если план считается «тяжеловесным», в котором слишком большая часть взносов делается от имени руководителей, собственники вынуждены вносить дополнительные средства от имени всех остальных.

Таким образом, с точки зрения IRS, предприятия могут воспользоваться прекрасной возможностью экономии налогов, но только если это выгодно всем  участникам.

План соло  401k ничем не отличается от любого другого плана 401k. Но поскольку в плане нет сотрудников, проверка на соответствие не требуется. Вы можете установить план бесплатно в любой крупной брокерской фирме, используя их стандартные материалы и документ плана.

 

Соло = Нет подходящих сотрудников

Как и в случае с традиционными планами 401k, для соло-планов 401k требуется документ с планом, в котором описывается, как план должен работать. Квалификационные требования включены в этот документ.Пока у вас нет сотрудников, отвечающих квалификационным требованиям, указанным в вашем плане, вы можете продолжать вносить свой вклад в одиночный план 401k. Если вы это сделаете, вам нужно будет либо «обновиться» до традиционного 401k, либо расторгнуть план.

Несмотря на то, что вы можете по своему усмотрению определять квалификационные требования, существует ряд минимальных стандартов, которым должен соответствовать ваш план. Сотрудники должны иметь право на участие, если они работают 1000 или более часов в год, им исполнился 21 год и они имеют стаж работы не менее одного года.Плановые документы могут также исключать некоторых профсоюзных работников и иностранцев-нерезидентов. Если вы не пройдете ни один из этих трех этапов, план может исключить их из числа участников, если вы выберете.

Однако вы можете составить план, который будет более щедрым, чем эти требования. Вы можете структурировать план с требованием часов 500, требованием возраста 18 и требованием пребывания в должности шесть месяцев. Пока стандарты приемлемости вашего плана не более ограничительные , чем минимальные, вы должны быть в хорошей форме. Просто помните, что ваш документ-план регулирует все. Что бы вы ни выбрали, вы должны придерживаться.

 

Нет дохода W-2? Нет проблем!

Один из способов избежать найма подходящих сотрудников — это нанять подрядчиков с вместимостью 1099, а не с полным штатом сотрудников W-2. Это может быть хорошей альтернативой, но имейте в виду, что IRS имеет строгие определения того, кого следует считать сотрудником W-2, а кого следует считать подрядчиком.

Прежде чем обходить сотрудников W-2, убедитесь, что вы не искажаете интерпретацию IRS.Это горячая кнопка, подлежащая аудиту, поэтому будьте осторожны, если вы решите расширить правила.

 

Что делать, если у меня есть соло 401(k), но я хочу нанять сотрудников?

Если вы думаете, что вам захочется нанять сотрудников в ближайшие год или два, одиночная форма 401(k) может вам не подойти. Как только у вас появятся сотрудники, отвечающие квалификационным требованиям, указанным в вашем плане, вы должны будете включить их в план (в противном случае вы рискуете столкнуться с гневом Министерства труда и/или Налогового управления США).

При этом вы можете структурировать свой найм таким образом, чтобы новые сотрудники никогда не имели права на участие в вашем индивидуальном плане 401(k). Может быть более удобным, но самые строгие допустимые критерии приемлемости:

  • 21 год
  • 1000 рабочих часов в год
  • Один полный год службы

Прежде чем новые сотрудники будут соответствовать всем трем критериям, вы можете исключить их из плана и продолжить работу в качестве единственного участника.

Это не означает, что ваш соло 401(k) испарится или превратится в тыкву, если ваши новые сотрудники получат право на участие. Это означает только то, что вам придется проводить ежегодное тестирование на отсутствие дискриминации и прыгать через другие обручи, как только у вас появятся другие подходящие участники для рассмотрения.

Одним из основных преимуществ соло 401(k) является его простота и низкие затраты на администрирование. Добавьте изюминку тестирования на соответствие, и внезапно администрирование окажется не таким простым. Когда это происходит, другие пенсионные планы для малого бизнеса (например, SEP-IRA или SIMPLE IRA) часто оказываются более привлекательными.К счастью, закрыть соло-форму 401(k) и запустить SEP или SIMPLE относительно легко.

 

Другие вопросы приемлемости

Планка для участия в соло-оплате 401k на самом деле довольно низкая: если у вас есть доход от индивидуальной предпринимательской деятельности, вы можете внести вклад в соло-401k. Это может быть работа в качестве независимого подрядчика 1099 или любой доход в качестве индивидуального предпринимателя, товарищества или ООО.

Планы

Solo 401k чаще всего используются индивидуальными предпринимателями и ООО с одним участником.Поскольку наличие подходящих сотрудников не позволяет предприятиям использовать их, большинство людей имеют относительно небольшие компании.

Несмотря на это, индивидуальные формы 401(k) также могут использоваться в товариществах, ООО с несколькими участниками, S-корпорациях и C-корпорациях, если в них нет квалифицированных сотрудников.

 

Как рассчитать лимит взносов Solo 401k

Вот тут-то и спотыкаются многие владельцы бизнеса. Точная сумма, которую вам разрешено внести в индивидуальный план 401(k), зависит от нескольких различных факторов.В основном, ваше предприятие и чистый доход от самозанятости.

 

Взносы сотрудников

Когда вы поддерживаете план 401(k) (индивидуальный или другой), вы технически берете на себя две обязанности. Один как владелец бизнеса и спонсор плана, другой как сотрудник. Как сотрудник, вы имеете право  отложить  до 100% вашей компенсации (или «заработанного дохода») до 19 500 долларов США по плану 401 (k) в 2020 году.  Это число увеличивается каждые несколько лет, чтобы не отставать от инфляции. .Если вам 50 лет или больше, вы также можете сделать «догоняющие» взносы в размере 6 500 долларов США, что в сумме составит 26 000 долларов США в виде выборочных отсрочек.

 

Взносы работодателя

Как работодатель, вы также имеете право на участие в прибылях взносов в свой план. Опять же, здесь пригодится структура индивидуального плана 401(k). Если у вас есть сотрудники, отвечающие требованиям, взносы на участие в прибылях должны быть сделаны всем участникам в зависимости от возраста/стажа работы/компенсации/и т. д. как указано в вашем плане документа.Не имея наемных работников, вы можете вносить вклад в участие в прибылях только для себя, в соответствии с ограничениями IRS.

Эти ограничения зависят от вашей организации. Они ограничены 25% вашей компенсации за:

  • S-Корпорации
  • C-Корпорации
  • Партнерство
  • ООО с несколькими участниками

Взносы на участие в прибылях для индивидуальных предпринимателей и ООО с одним участником немного сложнее. IRS указывает в коде 401 (a) (3), что взносы работодателя ограничены 25% дохода владельца бизнеса, который облагается налогом на самозанятость . И помните, потому что единственное предприятие и ООО с единственным участником имеют право вычесть половину от их общей суммы налога на самозанятость. Таким образом, не все доходы от самозанятости будут облагаться налогом на самозанятость.

Чтобы разобраться во всем этом, ИП и ООО с единоличным участием необходимо провести дополнительный расчет. У IRS есть пошаговая таблица для этого расчета в публикации 560, которую можно найти здесь, но фактически математика работает до около 20% заработанного дохода вместо 25%.Bankrate.com также имеет приличный калькулятор, который может быть полезен.

С учетом отсрочек для сотрудников и отчислений работодателя на участие в прибыли общая сумма ваших взносов в 2020 году не может превышать 57 000 долларов США, если вам меньше 50 лет. Если вам исполнилось 50 лет, ваш совокупный лимит увеличивается до 63 500 долларов США, а дополнительные взносы составляют 6 500 долларов США.

Имейте в виду, что это ограничение влияет и на взносы в другие планы 401k, если у вас несколько предприятий. Вы можете сделать выборочную отсрочку на сумму до 19 500 долларов США (26 000 долларов США, если вам больше 50 лет) по всем всем планам 401k, в которых вы участвуете.Нет ограничений на количество планов, в которые вы вносите участие в прибылях взносов, если они не связаны с бизнесом, и вы не превышаете лимит в 57 000 долларов.

 

Супруги

Хотя вы не можете управлять 401(k) в одиночку, имея подходящих сотрудников , супруга получает исключение в глазах DOL и IRS. Пока ваш супруг (супруга) является вашим единственным сотрудником, вы можете продолжать использовать одиночную форму 401(k), не ставя под угрозу статус вашего плана.Ваш супруг может даже внести свой вклад в план, если они хотят, до годового лимита. Это может быть очень удобно, так как потенциально может увеличить лимит вашего семейного взноса до 114 000 долларов в год — без какой-либо проверки на соответствие!


[Щелкните здесь, чтобы загрузить полное руководство для малого бизнеса по пенсионному планированию]


 

Внедрение и поддержка плана Solo 401(k)

Внедрить индивидуальный план 401(k) довольно просто, и большинство брокерских фирм предлагают его по очень низкой годовой цене. Если вы устанавливаете совершенно новый план, это должно быть сделано до 31 декабря налогового года, за который вы хотите внести свой вклад. К счастью, если к этой дате вы создадите план , у вас есть некоторая гибкость в отношении того, когда ваши взносы фактически депонируются.

Выборочная отсрочка может быть депонирована в любое время до истечения срока подачи налоговой декларации. Обычно это 15 апреля для единоличных компаний, LLC с одним участником и C-Corps и 15 марта для LLC с несколькими участниками, партнерства и S-Corps.Этот крайний срок также включает в себя продления, которые могут сдвинуть ваш крайний срок еще на шесть месяцев до 15 сентября или 15 октября.

Несмотря на то, что ваши взносы могут быть депонированы  в любое время до истечения срока подачи налоговых деклараций, они должны быть указаны в форме W-2 (в случае S-Corp или C-Corp) до 31 января. Поскольку ваши отсрочки для сотрудников будут отображаться как вычет из вашей заработной платы в поле 12, это уведомляет IRS о том, что вы решили отложить часть своей компенсации, и депозит будет внесен до истечения срока подачи налоговой декларации. С точки зрения логистики лучше всего сообщить своему бухгалтеру или бухгалтеру, что вы хотели бы внести свой вклад. Затем они могут обрабатывать отчеты для вас по вашим книгам и файлам платежных ведомостей.

Что касается отчислений на участие в прибылях, они могут быть сделаны в любое время до истечения срока подачи налоговой декларации, а также продлены. Вы будете требовать вычета взноса либо по вашей деловой, либо по личной декларации.

После открытия соло 401(k) довольно просты в обслуживании. Планы с активами более 250 000 долларов США должны подать форму 5500 SF (краткая форма) в министерство труда.Стандарт для 5500 может быть громоздким, но краткая форма значительно менее громоздка. Требования к ежегодной подаче формы 5500 отсутствуют, если общий баланс в вашей индивидуальной форме 401(k) составляет менее 250 000 долларов США.

 

Примеры:

Ограничения вклада в соло 401(k)s могут быть сложными, поэтому вот несколько примеров:

 

Индивидуальное предприятие или ООО с единственным участником

Представьте, что Стефани, 35 лет, является индивидуальным предпринимателем и имеет доход в размере 125 000 долларов США от индивидуальной предпринимательской деятельности, указанный в Приложении C ее налоговой декларации. Стефани может заработать 19 500 долларов в виде отсрочек для сотрудников. Она также может внести вклад в участие в прибыли в размере 25% от своего скорректированного заработанного дохода: 92 935 долларов США. Скорректированный заработанный доход рассчитывается как: (Компенсация самозанятости – вычитаемая часть налога на самозанятость) / (1 + процент взноса).

(125 000 – 8 831 долл. США) / (1 + 25%) = 92 935 долл. США. 25% от этой суммы составляет 23 233 доллара. Общий вклад Стефани между выборочными отсрочками и взносами на участие в прибылях составит 42 733 доллара.

 

S-Corp или C-Corp

Предположим, Кайл, которому 58 лет, заработал 75 000 долларов США в виде заработной платы W-2 от своей S-corp. Он отложил 19 500 долларов в виде регулярных отсрочек и 6 500 долларов в виде догоняющих взносов.

Его бизнес может принести до 18 750 долларов в виде взносов в прибыль (75 000 долларов * 25%), что в сумме составит 44 750 долларов в виде ежегодных взносов. Обратите внимание, что лимит распределения прибыли Кайла основан на компенсации W-2 в размере 75 000 долларов США.

Если бы доход Кайла по форме W-2 составлял 275 000 долларов США, он все равно мог бы внести отсрочку для сотрудников в размере 19 500 долларов США и взнос в размере 6 500 долларов США, но его участие в прибыли было бы ограничено 37 500 долларов США на основе совокупного лимита.Этот общий вклад составит 19 500 долларов США + 6 500 долларов США + 37 500 долларов США = 63 500 долларов США.

 

Товарищество или ООО с несколькими участниками

Теперь предположим, что Кайл преобразует свой бизнес из S-corp в LLC с несколькими участниками и зарабатывает 65 000 долларов. У него есть несколько деловых партнеров, но нет сотрудников.

Он по-прежнему может отложить 19 500 долларов в качестве наемного работника и 6 500 долларов в качестве догоняющего взноса. Но поскольку у него больше нет заработной платы W-2, он основывает свой вклад в распределении прибыли на доходе K-1, относящемся к доходам от самозанятости. Его общий предел взноса составит 19 500 долларов + 6 500 долларов + 16 250 долларов (65 000 долларов * 25%) = 42 250 долларов.

Как влиять и рассчитывать

Любой, кто посещал курсы экономики, слышал о спросе и предложении. Производители хотят брать много, потребители хотят платить мало, и существующая золотая середина — это то, по какой цене обычно оценивается продукция. Центральное место в ценообразовании ваших продуктов по этой оптимальной цене занимает понимание готовности вашего целевого рынка платить. В этом посте мы обсудим, что означает готовность платить, какие шаги вы можете предпринять для ее расчета и как вы можете использовать это число для стимулирования роста и повышения прибыльности бизнеса.

 

 

Что такое готовность платить (WTP)?

Готовность платить (WTP) — это максимальная цена, которую клиент готов заплатить за продукт или услугу. WTP варьируется в зависимости от контекста, конкретного рассматриваемого клиента и может колебаться с течением времени. В результате готовность платить обычно представляется в виде ценового диапазона, а не одной цифры в долларах.

WTP можно рассчитать, разделив максимальную цену, которую клиент готов заплатить, на цену продукта.

 

6 факторов, влияющих на готовность платить

На WTP вашего клиента влияет ряд факторов. Все, начиная от текущей рыночной ситуации и заканчивая личными предпочтениями клиента, имеет прямое влияние. Возьмем этот пример из недавнего выпуска Pricing Page Teardown:

.

Показывает месячную WTP для текущих и потенциальных клиентов Envoy в зависимости от размера их компании.

Диапазоны WTP значительно различаются в зависимости от размера компании, которая рассматривает возможность покупки.

Примите во внимание эти факторы при определении правильного WTP для ваших целевых клиентов.

 

1. Состояние экономики

Когда экономика находится в хорошем состоянии, WTP, вероятно, увеличится. Общая рецессия или проблемы, характерные для вашей отрасли, приведут к снижению WTP. Следите за индикаторами этих общих изменений на рынке, когда думаете о собственной цене подписки.

 

2. Насколько продукт моден/сезонен

Для продуктов и услуг с высокой степенью сезонности, таких как костюмы на Хэллоуин или уход за газоном, WTP будет колебаться в зависимости от сезона.Подобные колебания, как правило, постоянны и их легко отследить, если вы знаете, как рынок вел себя в прошлом.

Тем не менее, модность будет намного сложнее контролировать. То, что модно, очень изменчиво и очень специфично для рынка, на котором вы работаете, поэтому важно оставаться в курсе изменений по мере их возникновения.

 

3. Личные цены потребителя

У каждого покупателя своя личная история, которая определяет его отношение к цене.Хотя невозможно учесть возможный опыт каждого клиента, вы можете изучить, как различные аспекты вашей отрасли напрямую влияют на клиента.

Например, клиенты с более высоким годовым доходом будут иметь более высокий показатель WTP и могут более благосклонно относиться к решению премиум-класса или корпоративному решению. Сегментирование данных WTP на основе этих точек данных дает вам отличный способ создать лучшие ценовые уровни.

 

4. Косвенные потребности у разных потребителей

Точно так же, как потребители имеют личные чувства по поводу цен, их индивидуальные обстоятельства напрямую влияют на WTP.Это может быть что угодно, от их географического положения до личных целей, например следующий график ежемесячной готовности платить за Headspace или Calm:

.

Различные значения WTP, основанные на назначении лекарств пользователями Calm и Headspace.

Если потребитель меняет свои цели со Спортивных достижений на Улучшение взаимоотношений, то WTP падает настолько, что диапазоны даже не совпадают. Ваши потребители всегда будут основывать свою WTP на своих текущих обстоятельствах.

 

5.Редкость товара

Чем меньше чего-либо доступно, тем более ценным оно становится. То же самое верно и для WTP. Если ваши клиенты воспринимают продукт или услугу, которые вы продаете, как редкие или дефицитные, это повысит их готовность платить.

Хотя это можно использовать в своих интересах, слишком сильное увеличение редкости продукта может сделать его недоступным для некоторых покупателей. Всегда учитывайте образы ваших покупателей, чтобы убедиться, что вы не устанавливаете цены слишком далеко за пределы их понимания.

 

6. Качество продукта

Восприятие потребителями качества оказывает прямое влияние на WTP во многом так же, как и редкость. Чем выше качество, тем выше готовность платить. Мы видели это на нашем разборе страницы с ценами на Disney и Netflix:

.

Различия в WTP для Netflix и Disney основаны исключительно на восприятии бренда.

Disney — гораздо более известный бренд с признанным послужным списком в области качественных развлечений.Это повысило общий ежемесячный показатель WTP почти на 50%.

 

Почему нет формулы готовности платить и как все-таки рассчитать WTP

Формулы готовности платить не существует, поскольку одна из главных проблем любой экономической проблемы заключается в том, что люди не совсем рациональны. Если вы спросите 100 человек, сколько они готовы платить за продукт, вы, скорее всего, получите 100 разных ответов от респондентов вашего опроса. Нет никакой формулы, которая могла бы учитывать это.Но хотя точной формулы готовности платить не существует, это не означает, что вы не можете рассчитать WTP. Ниже описаны три фактора для получения точного диапазона WTP клиента.

 

Исследование рынка

Пока мы говорим об основах экономики, нам нужно обсудить тот факт, что конкуренция имеет тенденцию снижать цены. Если вы единственная компания в своем пространстве, продающая продукт, вы можете установить более высокую цену (но держите ее в разумных пределах). Если рынок уже перенасыщен, вы не сможете взимать намного более высокую плату, чем конкуренты почти равной стоимости.Исследование рынка исследует рынок, существующий для продукта, и конкурентную среду, которая существует вокруг него. Это может помочь вам понять, насколько у вас есть свобода действий при ценообразовании.

 

Исследование клиентов

Рынок для продукта может быть велик, но это не значит, что рынок для вашего продукта велик. Характеристики вашего продукта должны соответствовать характеристикам, которые эти потребители ценят больше всего. Это очень важная часть готовности платить, потому что она уводит расчеты от общих категорий продуктов к чему-то более измеримому.Продукт, который лучше соответствует рынку, будет пользоваться более высокой готовностью платить, чем тот, который не соответствует рынку.

 

Прямые/косвенные опросы

Использование опросов, прямых или косвенных, — отличный способ собрать информацию о том, чего хотят клиенты, насколько клиенты ценят данную функцию, насколько они лояльны к вам или вашим конкурентам, а также многие другие данные, которые можно использовать. для обеспечения внутренней базы при расчете готовности платить за вашу целевую клиентскую базу.

 

Что на самом деле означает готовность платить

Итак, мы дали словарю значение готовности платить: оно означает именно то, что написано. Но что на самом деле означает готовность платить? Другими словами, как эта простая концепция влияет на ваш бизнес? Каким образом вы можете использовать это число, чтобы сформировать полезную информацию о вашем бизнесе? Теперь давайте посмотрим, как готовность клиентов платить влияет на ваш бизнес.

 

Как готовность платить отражает рыночный спрос

Ранее мы говорили о кривых спроса и предложения.Вообще говоря, чем больше спрос на что-то, тем больше люди будут готовы за это платить. Это означает, что отслеживание готовности платить за ваш продукт с течением времени также служит своего рода прокси для отслеживания рыночного спроса на этот продукт. В масштабах всей компании это может быть очень полезно, поскольку позволяет увидеть, какие продукты или функции продукта заслуживают внимания, а какие могут быть не лучшими инвестициями.

 

Как готовность платить влияет на стратегию ценообразования

Готовность платить поможет вам определить подходящую стратегию ценообразования.Но это выходит за рамки этого, особенно для компаний SaaS. Например, если у вас многоуровневое ценообразование, какие функции относятся к какому уровню? Это может показаться очевидным, но это не так просто, как поместить функции с наименьшей готовностью платить на самый низкий уровень, а функции с наибольшей готовностью платить на самый высокий. Это еще не все, как вы решаете, за что и как вы взимаете плату за новые продукты и определенные функции. А без данных для принятия обоснованных решений многие SaaS-компании в конечном итоге раздают функции, за которые они должны взимать плату, или привязывают свою стратегию монетизации к функциям, за которые люди вряд ли растратят кошелек.

 

Как готовность платить стимулирует разработку продукта

Как вы, наверное, уже подумали, понимание того, за какие функции и продукты люди готовы платить, влияет не только на то, какую функцию вы поместите в свою ценовую категорию. Это также поможет вам понять, на каких продуктах и ​​функциях вы должны сосредоточить свое время. Как отражение рыночного спроса, готовность платить говорит вам, в каком направлении следует развивать ваш продукт, помогая гарантировать, что вы всегда ведете свой продукт к росту для вашего бизнеса.

 

Как повлиять на готовность платить

Здесь мы хотели бы расширить две вещи, о которых мы упоминали ранее. Готовность платить не статична, она привязана к вашему конкретному продукту и тому, как он вписывается в рынок. Это два полезных элемента информации, поскольку они означают, что у вас есть некоторая власть влиять на готовность платить. Давайте взглянем на действия, которые вы можете предпринять, чтобы повысить готовность вашей клиентской базы платить.

 

Ценностное предложение влияет на готовность платить

Огромная ошибка компаний заключается в том, что они не могут сформулировать свое ценностное предложение.Чем ваш продукт лучше конкурентов? Почему клиенты должны покупать ваш продукт, а не другие предложения? Вы даже можете использовать существующие расчеты готовности платить, чтобы решить, какие функции наиболее ценны, но когда у вас есть эта информация, вам нужно передать ее клиентам. Ваше ценностное предложение должно быть движущей частью вашего маркетинга, потому что именно оно убеждает клиентов в том, что ваш продукт стоит их денег.

 

Узнаваемость бренда повышает готовность платить

Во многих случаях единственная разница между дженериком и известным брендом заключается в цене.Тем не менее, люди по-прежнему готовы платить больше за товары известных брендов. Это прекрасный пример влияния узнаваемости бренда на готовность платить. Это также говорит вам о важности создания узнаваемости вашего собственного бренда. И согласование вашего ценностного предложения с вашим брендом — отличный способ выделиться.

 

Маркетинг влияния и социальное доказательство повышают готовность платить

Ни одна компания никогда не говорила: «Наш продукт ужасен, купите его у конкурентов.«Поэтому, когда вы говорите потенциальным клиентам, насколько прекрасен ваш продукт, есть предел тому, во что они поверят. Если ваше ценностное предложение сильное, они в это поверят. Ваше мнение не принимается во внимание. Факты, которые вы представляете, имеют значение. Мнение других имеет значение. Вот почему социальное доказательство и влиятельный маркетинг играют такую ​​большую роль в формировании восприятия покупателями вашего продукта и, как следствие, их готовности платить.

 

Готовность платить — не единственный показатель, который вам нужно измерить

Готовность платить — отличный инструмент, помогающий вам достичь нужной цены, определить детали вашей ценовой стратегии и даже разработать стратегию разработки продукта.Однако готовность платить — один из многих показателей, важных для бизнеса SaaS. Profitwell Metrics — это инструмент аналитики подписки, который поможет вам отслеживать их все. Например, стоимость привлечения клиента и ценность жизненного цикла клиента вместе показывают, сколько вы можете позволить себе потратить на маркетинг. Показатель оттока покажет вам, сколько клиентов вы теряете, а показатели удовлетворенности и успеха клиентов помогут вам сохранить больше из них на более длительный срок. Во многих отношениях потребности SaaS-компаний уникальны, и Profitwell Metrics был разработан с их учетом.

Примеры готовности платить

Мы провели много исследований о влиянии WTP на различные компании в наших разборках страниц с ценами. Вот три примера, показывающих, как каждая компания может использовать WTP для улучшения своей стратегии ценообразования.

Спотифай

Стандартный план Spotify составляет 9,99 долларов в месяц, что соответствует общему показателю WTP 7 458 респондентов, с которыми мы говорили:

Общая WTP для Spotify.

Но что интересно, так это большой диапазон. По нашим данным, клиенты Spotify готовы платить от 5 до 15 долларов за ежемесячную подписку. Это указывает на то, что есть возможность дифференцироваться с некоторыми дополнительными ценовыми уровнями, что Spotify сделал со своим семейным планом.

Проблема в том, что план стоит всего 14,99 долларов в месяц. Согласно нашим исследованиям, этот план входит в план WTP для тех, кто ищет план для пяти пользователей:

.

Готовность платить за различные функции Spotify.

Используя эти данные WTP, похоже, что Spotify определенно может без проблем поднять эту цену как минимум на 3 доллара, а для некоторых потребителей даже до 25 долларов.

Изучив WTP, мы смогли показать, что у Spotify была возможность значительно повысить цены на семейный план.

 

Амазон Прайм

Для Amazon мы нашли много интересных данных, основанных на различных потребительских сегментах. Опросив 11 089 клиентов Prime, мы обнаружили, что возраст и годовая зарплата были двумя из важнейших факторов, влияющих на WTP для их продукта.

Готовность платить за разные возрастные группы клиентов Amazon Prime.

В 2014 году Amazon Prime стоила всего 7,99 долларов в месяц, затем они подняли эту сумму сначала до 9,99 долларов, а затем, наконец, до 12,99 долларов. Это увеличило их с 95,88 долларов в год до 119,88 долларов, а затем до 155,88 долларов. Этот первый скачок позволил Amazon извлечь выгоду из каждой возрастной группы на нашем графике.

Второй прыжок на самом деле поднял их WTP выше среднего в зависимости от возраста, но это был отличный выбор для верхней части зарплаты, показанной ниже:

Влияние годового дохода на годовую готовность платить.

Amazon в значительной степени соответствует уровню годовой зарплаты от 100 000 до 150 000 долларов, что указывает нам на то, что они становятся более престижными благодаря своему положению, позволяющему извлечь выгоду из увеличения WTP.

 

Shopify

Поставщик интернет-магазинов Shopify — одна из компаний, которые, как мы обнаружили, лучше всего справились с ценообразованием для WTP своих клиентов. Они предлагают базовый уровень за 29 долларов, премиальный за 79 долларов и корпоративный уровень за 299 долларов для клиентов. Когда мы разбиваем WTP на основе валового объема торговцев (количество продаж, которые они совершили за год), они полностью соответствуют данным.

Готовность платить за клиентов Shopify на основе годовых продаж в магазине.

Их базовый пакет подходит для людей, которые только начинают пользоваться услугами, а их стандартный план значительно расширяется до диапазона от 1,01 до 5 миллионов долларов в год. Отсюда можно подумать, что 299 долларов — это большой скачок, но на самом деле это меньше WTP для крупных компаний, зарабатывающих более 15,01 миллиона долларов в год.

Ценовые категории Shopify растут примерно с той же скоростью, что и их клиенты. Чем успешнее клиент, тем больше он готов платить и тем больше функций ему может понадобиться.Структурируя свои цены таким образом, Shopify позволяет легко расти вместе со своими клиентами.

 

Готовность платить Часто задаваемые вопросы

Что означает готовность платить?

Готовность платить — это максимальная сумма, которую клиент готов заплатить за ваш продукт или услугу. Он представлен в виде диапазона ценовых значений для учета различных мнений клиентов и обычных рыночных колебаний.

 

Соответствует ли готовность платить рыночному спросу?

Готовность платить не тождественна рыночному спросу, но это взаимосвязанные понятия.На самом деле, некоторые люди называют кривую спроса кривой готовности платить. Разница в том, что кривая будет отражать готовность каждого платить. Как бизнес, устанавливающий ценообразование и определяющий стратегию, вас больше интересует диапазон, представляющий среднюю или среднюю готовность платить.

 

В чем разница между готовностью платить (WTP) и готовностью принять (WTA)?

Если мы можем назвать кривую спроса готовностью платить, то мы также можем назвать кривую предложения готовностью принять.Другими словами, готовность платить — это максимальная цена, которую покупатель готов заплатить за товар. Готовность принять — это наименьшая сумма, за которую вы можете себе это позволить.

Функция ограничения представления в бесконечности. Предельная функция Предельная функция в точке Односторонние пределы Предел функции с x, стремящейся к бесконечности Основные теоремы о пределах вычисления пределов. Но каждый должен знать

Предел функции в точке есть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме как быть точкой точки x 0.Число А называется пределом функции в точке х 0 (или при), если существует такое положительное ε положительное число Δ, что для всех х из δ – окрестности точки Х 0 верно неравенство:


Односторонними пределами при определении предела функции являются случаи, когда способ приближения аргумента х к х 0 существенно влияет на предельное значение, поэтому вводятся понятия односторонних пределов. Предполагается, что X стремится к х 0 любым способом: оставаясь меньше х 0 (левее х 0), большим х 0 (справа от х 0), либо колебался вокруг точки х 0.Число A 1 называется предельной функцией слева В точке X 0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что верно для всех неравенств: предел слева записывается так: 0 Существует такое δ > 0, что неравенство верно для всех: предел слева записывается так: ” >

Односторонние пределы Число А 2 называется пределом функции справа в точке x 0, если предел справа записывается следующим образом: y 0 x A1A1 x0x0 A2A2 Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.Очевидно, если существуют и существуют оба односторонних предела, и а = а 1 = а 2 у 0 х а 1 = а 2 = а х0х0

М или при х м или при х 6 Предел функции при X, кажущейся бесконечностью, пусть на интервале определяется функция y = f(x). Число А называется пределом функции, когда геометрический смысл этого определения таков: существует такое число m, что при х > т или при хм, или при хм, или при хм, или при хм, или при х название \ u003d”(! Lang: Предел функции с X стремится в бесконечность.Пусть функция y = f(x) определена на интервале. Число А называется пределом функции, когда геометрический смысл этого определения таков: существует такое число m, что при x > m или при x

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, облегчающие нахождение функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разнице) пределов: формулировка теорем, когда или подобное, поэтому будем использовать обозначение: .Предел произведения двух функций равен произведению пределов: над знаком предела можно сделать постоянный множитель:


X 0, то существует соответственно его левый предел: или его правый “заголовок =” (! Lang: основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций одновременно: то: выполняются неравенства: если функция f(x) монотонна и ограничена в точке xx 0, то соответственно существует ее левый предел: или ее правый”> 9 !} Основные пределы пределов – если между соответствующими значениями трех функций одновременно: то: выполняются неравенства: если функция f(x) монотонна и ограничена при xx 0, то существует существует его левый предел: или его правый предел: х 0, то существует его левый предел: или его правый” > х 0, то соответственно существует его левый предел: или его правый предел: “> х 0, то существует ее левый предел: или ее правое «название =» ( ! Ланг: основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций одновременно: то: выполняются неравенства: если функция f (x) монотонна и ограничена в точке xx 0, то верен ее левый предел: или ее правый”> title=”Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций одновременно: то: выполняются неравенства: если функция f(x) монотонна и ограничена при хх 0, то ее левый предел верен: или его правый”> !}

Расчет пределов Расчет предела: начать с подстановки предельного значения x 0 в функцию f (x).Если получено конечное число, лимит равен этому числу. Если при подстановке предельного значения x 0 функция F(X) получит выражения вида: предел будет равен:


Раскрытие неопределенности Раскрытие неопределенности Если f(x) является дробно-рациональной функцией, то необходимо разложить числитель числитель и знаменатель дроби, если f(x) является иррациональной дробью, то необходимо умножить числитель и знаменатель дроби дробь в выражении, связанном с числителем.


15 Первая замечательная предельная функция не определена при х = 0. Найдем предел этой функции, когда около АВ с М обозначим: S 1 – площадь треугольника ОМА, S 2 – площадь сектор ОМА, S 3 – площадь варианта версии, из рисунка видно, что один

Данный проект рассматривался наряду с теоретическим материалом и практическим. В практическом применении мы рассматривали всевозможные способы вычисления пределов.Изучение второго раздела высшей математики уже представляет большой интерес, так как в прошлом году мы рассматривали тему «Матрица. Использование свойств матрицы для решения систем уравнений», которая была проста хотя бы по причине чтобы результат контролировался. Здесь такого контроля нет. Изучение разделов высшей математики дает положительный результат. Занятия на данном курсе принесли свои результаты: – изучен большой объем теоретического и практического материала; – возможность выбора способа расчета лимита; – отработано грамотное использование каждого метода расчета; – Исправлен навык составления алгоритма задачи.Мы продолжим изучение разделов высшей математики. Цель его изучения состоит в том, чтобы мы были хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.

Слайд 2.

Титульная страница Содержание Введение Ограничение переменной Основные свойства Ограничение Ограничение Функция Atpoint Концепция непрерывности Функция Функция Ограничение бесконечности Замечательные пределы Заключение

Слайд 3.

Предел значения переменной

Предел — одно из основных понятий математического анализа.Понятие предела использовали Ньютон во второй половине XVII века и математики XVIII века, такие как Эйлер и Лагранж, но они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела были даны Больцано в 1816 г. и Коши в 1821 г.

Слайд 4.

1. Предел значения переменной

Пусть значение переменной X в процессе ее изменения неограниченно, приближаясь к следующим 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4.99; 49999; … или 5,1; 5,01; 5.001; … В этих случаях разностный модуль стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001; … Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной х и пишут Lim X = 5. Определение 1. Постоянная величина А называется пределом переменной Х, если разностный модуль становится и остается меньше любого как пустое положительное число E.

Слайд 5.

2. Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы суммы суммы переменных равен алгебраической сумме пределов членов: Lim (X + Y + … + T) = Lim X + Lim Y + … + Lim T. 2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению их пределов: lim (x · y… t) = lim x · Lim y … Lim T. 3. Постоянный множитель можно вынести за предел: Lim (CX) = LIM C · Lim X = C lim x. Например, Lim (5x + 3) = Lim 5x + Lim 3 = 5 Lim X + 3. 4. Предел отношения двух переменных равен предельному отношению, если предел знаменателя не равен нулю: Lim = Lim y 5. Предел переменной положительной степени Значения равны одной степени предела той же переменной: Lim = (Lim X) N например: = = x3 + 3 х2 = (-2) 2 + 3 · (-2) 2 = -8 + 12 = 4 6.Если переменные X, Y, Z удовлетворяют неравенствам X и XZY

Слайд 6.

3. Функции почтения в точке

Определение 2. Число В называется предельным* функциями в точке А, если при всех значениях х, близких к А и отличных от А, значения функции ненамного отличаются от числа Б. 1. Ночь: (3х2 – 2х). Решение. Используя последовательно свойства 1.3 и 5 предела, получаем (3х2 – 2х) = (3х2) – (2х) = 3х2 – 2х = 3 – 2х = 3 22 – 2 · 2 = 8

Слайд 7.

4. Концепция функции непрерывности

2. Рассчитайте решение. При х = 1 дробь определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для расчета лимита достаточно заменить аргумент на его предельное значение. Тогда получаем указанное правило расчета, правило нельзя применять в следующих случаях: 1) если функция при х = а не определена; 2) если знаменатель trusence при подстановке x = a окажется равным нулю; 3) Если числитель и знаменатель дроби при подстановке х = а одновременно окажутся равными нулю или бесконечности.В таких случаях пределы функций находят различными искусственными приемами.

Слайд 8.

5. Функция ограничения на бесконечности

3.И решение. При х знаменатель Х + 5 также стремится к бесконечности, а обратный ему равен 0. Следовательно, произведение · 3 = стремится к нулю, если х Так, = 0

Слайд 9.

6. Прекрасные пределы

Некоторые ограничения не могут быть найдены описанными выше способами. Пусть надо найти например.Прямая подстановка вместо аргумента его предела дает неопределенность типа 0/0. Также нельзя преобразовать числитель и знаменатель таким образом, чтобы выделить общий множитель, предел которого равен нулю. Получите следующим образом. Возьмем окружность с радиусом, равным 1, и построим центральный угол aos, равный 2x радианам. Проведем хорду AV и касательные AD и CD к окружности в точках A и V. Очевидно, что | переменный ток | = | ЦБ | = СИН Х, | ОБЪЯВЛЕНИЕ | = | БД | = TGX = 1 – первый чудесный лимит.х = Е 2,7182…,. X — второй замечательный предел. Решение. Разделив числитель и знаменатель на х, получим х = () х = = =

Слайд 10.

7. Расчеты пределов

1. (Х2 – 7Х + 4) = 32 – 7 · 3 + 4 = – 8. Решение. Чтобы найти предел прямого расположения, замените пределы функции в точке. 2.. Решение. Вот пределы числителя и знаменателя при x, равном нулю. Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное с числителем, получаем = = = = поэтому = = = = = = =

Слайд 11.

Заключение

Данный проект рассматривался наряду с теоретическим материалом и практическим. В практическом применении мы рассматривали всевозможные способы вычисления пределов. Изучение второго раздела высшей математики уже представляет большой интерес, так как в прошлом году мы рассматривали тему «Матрица. Использование свойств матрицы для решения систем уравнений», которая была проста хотя бы по причине чтобы результат контролировался. Здесь такого контроля нет.Изучение разделов высшей математики дает положительный результат. Занятия на данном курсе принесли свои результаты: – изучен большой объем теоретического и практического материала; – возможность выбора способа расчета лимита; – отработано грамотное использование каждого метода расчета; – Исправлен навык составления алгоритма задачи. Мы продолжим изучение разделов высшей математики. Цель его изучения состоит в том, чтобы мы были хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.

Просмотреть все слайды






Правила расчета лимитов Если lim f(x) = b и lim g(x) = c, то x 1) лимит суммы равен сумме лимитов: lim(f(x) + g (х)) = Lim F(x) + Lim G(x) = B + CXXX 2) Предел произведения равен произведению пределов: LIM F(x) · G(x) = Lim F(x) * Lim G(x) = b · CXXX 3) Приватный лимит равен приватным лимитам: Lim F(x): G(x) = Lim f(x): Lim G(x) = b: CXXX 4) Постоянный множитель достигается пределом: Lim k · f (x) = k · Lim f (x) = KBXX


Абстрактный план графиков функций у=1/х и у=1/х2.Графики функций у = 1/х т, для М четного и нечетного. Понятие о горизонтальных асимптотах. Понятия предела функции при +, – ,. Геометрический смысл предела функции при +, – ,. Правила вычисления пределов функции на. Формулы для вычисления предела функции на. Приемы вычисления пределов функции на.

Итог урока Что означает существование предела функции на бесконечности? Какой асимптотой является функция у = 1/х 4? Каковы правила вычисления пределов функции на бесконечности? Какие формулы для расчета пределов бесконечности вам встречались? Как найти Лим (5-3х3)/(6х3+2)? ИКС.

Использованная литература: – Мордкович А.Г. Алгебра и начал занятия математическим анализом. Мнемозина.м А.Г. Мордкович., П.В. Семенов. Методическое пособие для учителя. Алгебра и начал класс математического анализа. Базовый уровень. М.Монозин. 2010.

Отличный совет по аналитике № 9: Используйте пределы статистического контроля

Абсолютные цифры не очень полезны (в прошлом месяце у нас было 459 245 уникальных посетителей). Мы пришли к выводу, что тенденции лучше ( декабрь : 459 249 ноябрь : 591 067 октябрь : 489 419).Но есть взаимодействия с клиентами на веб-сайтах, которые приводят к результатам для вашей компании, что приводит к тенденциям, которые довольно сложно расшифровать и воплотить в жизнь.

Одним из факторов, который недостаточно ценится, является то, что каждая метрика / KPI (ключевой показатель эффективности), о которых вы сообщаете с помощью своего инструмента веб-аналитики (или даже из вашей ERP, CRM или хранилища данных), имеет тенденцию иметь естественный «биоритм», т.е. эти показатели / KPI будут колебаться вверх или вниз и изменяться из-за «естественных явлений», когда просто происходит (я вижу, что некоторые из вас съеживаются! :)).

Эти биоритмы трудно понять, еще труднее предсказать, и, поскольку многие из нас живут в мире головоломок, а не в мире тайн, мы крутим наш цикл как сумасшедший, чтобы понять числа, чтобы «объяснить» их руководству, чтобы они могли предпринять некоторые действия. Представьте, что вы получаете ежедневный/еженедельный тренд и он идет вверх и вниз, и вы понятия не имеете, что, черт возьми, вызывает это, даже после того, как вы сделали все возможное, чтобы изолировать все переменные.

Результатом этих естественных биоритмов является то, что они заставляют аналитиков и маркетологов проводить анализ и глубокое погружение туда, где в этом нет необходимости, это заставляет некоторых из нас выглядеть «плохо», потому что мы не можем объяснить данные, и это вызывает недостаток веры в способность данных обеспечивать понимание.

Вот отличный пример, иллюстрирующий проблемы:

На самом деле не имеет значения, какие числа на этом графике и какова ось абсцисс. Когда вы смотрите на это в точке 7, 17 или 25, знаете ли вы, какова тенденция , говорящая вам , и является ли это причиной для беспокойства, или все в порядке, и вам не нужно предпринимать никаких действий, или высокие точки поводы для празднования?

Один замечательный инструмент/методология, который, по моему мнению, очень полезен для отделения сигнала от шума, взят из мира «шесть сигм»/совершенство процессов и называется « Контрольные пределы» (или Контрольные диаграммы ).Проще говоря, контрольные карты действительно хорошо подходят для применения статистики для оценки характера изменений в любом процессе. Переведенные на проблему биоритма в соответствующих ситуациях, контрольные карты могут помочь инициировать глубокий анализ и действия.

Контрольные карты были созданы для улучшения качества в производственных ситуациях (или других подобных), но они прекрасно работают и для нас.

Контрольная карта состоит из трех основных компонентов. Линия в центре, которая является средним значением всех точек данных, UCL (верхний контрольный предел) и LCL (нижний контрольный предел).

Вот как выглядит тренд с контрольными пределами, наложенными сверху:

Что такое контрольные пределы?

Давайте разберемся, на что вы смотрите.

    Среднее (X): Зеленая линия вверху. Статистически рассчитанное число, определяющее среднюю величину вариации тренда вашего ключевого показателя эффективности. Например, для описанного выше процесса это 39,29.

    UCL (верхний контрольный предел):  Статистически рассчитанное число, определяющее верхний предел вариации тренда вашего KPI.В приведенном выше примере это 45.

    .

    LCL (нижний контрольный предел): Статистически рассчитанное число, определяющее нижний предел изменения тренда вашего KPI. В приведенном выше примере это 33.

    .

Приведенная выше контрольная диаграмма иллюстрирует естественный биоритм тренда КПЭ, который находится между двумя контрольными пределами. ясно видеть, что они довольно сильно различаются от одной точки данных к другой.

Самое замечательное то, что он показывает все точки тренда, думайте об этом как о днях, неделях или месяцах, когда вы должны были принять меры, потому что произошло что-то необычное . К сожалению, он не скажет вам, что, черт возьми, произошло, но подскажет, когда вам следует использовать свое драгоценное время, чтобы копнуть глубже. Разве это не здорово? Подумайте о том времени, которое вы бы потратили впустую на решение Головоломки за точками данных ниже Среднего, которые выглядят как «проблемы».

Так как же вычислить эти замечательные контрольные пределы (UCL и LCL)?

Общее практическое правило для расчета контрольных пределов:

Контрольные пределы рассчитываются на 3 стандартных отклонения выше или ниже среднего значения данных KPI.Они не назначаются, а рассчитываются на основе естественного вывода ваших данных. Все, что находится в контрольных пределах, следует рассматривать как ожидаемую вариацию ( естественный биоритм ). Все, что выходит за рамки контроля, требует расследования. Кроме того, если ряд точек данных выходит за пределы контрольных пределов, это сигнал о том, что что-то очень важное может пойти не так.

В мире, где у нас есть тонны метрик, где на каждой информационной панели есть пятнадцать графиков, контрольные пределы чрезвычайно полезны в использовании силы статистики, чтобы быть первым фильтром, когда вы должны копать глубже или искать причину.Если ваши показатели и тенденции меняются день ото дня и от недели к неделе, это отличный способ выделить, что является «нормальным» и что «ненормальным» в тренде.

Контрольные диаграммы также очень хорошо масштабируются. Было бы легко, если бы для каждой имеющейся у вас метрики была четко определенная цель, к которой вы стремитесь. Эта цель может сказать вам, насколько хорошо вы работаете. Это редко случается с огромным потоком показателей, с которыми вам приходится иметь дело. Его можно масштабировать, чтобы вы могли применять контрольные пределы ко всем своим трендам.

Практические соображения по использованию контрольных карт (пределы):

  • Как и во всей статистике, чем больше у вас точек данных, тем лучше будут ваши контрольные пределы, было бы трудно сделать контрольную диаграмму, которая имела бы смысл всего с пятью точками данных (вы можете создать ее, просто это будет не очень со смыслом).
  • Пределы контроля лучше всего работают с показателями/КПЭ, где немного проще контролировать влияющие переменные.


    Например, было бы менее разумно создавать контрольные ограничения для вашего общего коэффициента конверсии, если вы занимаетесь прямым маркетингом, кампаниями по электронной почте, маркетингом в поисковых системах (с оплатой за клик), аффилированным маркетингом и у вас есть множество людей, которые приходят прямо на ваш сайт .Слишком много переменных, которые могут повлиять на ваш тренд.

    Но вы можете легко создавать контрольные диаграммы для своих кампаний по электронной почте и кампаний с оплатой за клик или прямого трафика, и это будет очень полезно, потому что переменная всего одна (или всего пара), и вы найдете отличные триггерные точки для производительности и, в свою очередь, для анализа. и, в свою очередь, действия.

  • Вам нужно немного разбираться в статистике и иметь некоторые базовые знания о стандартных отклонениях и т. д., чтобы вы могли оптимально использовать это, а также объяснять силу того, что вы делаете, своим старшим руководителям.

Практический пример использования контрольных пределов:

На приведенном выше графике показан примерный потенциальный коэффициент конверсии веб-сайта. Без красной (UCL) и синей (LCL) линий сложнее каждый месяц узнавать, как обстоят дела с эффективностью кампаний прямого маркетинга. Легко понять, что в январе 2005 года производительность была ужасной. Гораздо труднее понять, что в период с марта по июль статистически не о чем было волноваться, даже несмотря на то, что тренд идет вверх и вниз.

Этот последний пункт важен, любой может увидеть мяч и принять меры при массивном замахе. Что ставит в тупик большинство аналитиков, так это отделение сигнала от шума для немассивных колебаний данных.

Рассмотрите возможность использования контрольных пределов для ваших ключевых показателей эффективности, таких как количество отказов от корзины и оформления заказа, вы будете приятно удивлены и довольны тем, что узнаете (как и ваши начальники).

Любое приличное статистическое программное обеспечение автоматически рассчитает контрольные пределы и создаст эти графики для вас.Minitab — это тот, который часто используют мои знакомые (хотя он немного дороже). Мы также использовали наши стандартные инструменты бизнес-аналитики для расчета контрольных пределов (Brio, Business Objects, Cognos, MicroStrategy и т. д.). Вы также всегда можете просто настроить Excel для вычисления ограничений ( возможно, читатель блога может создать шаблон, который я могу разместить здесь для всеобщего использования ; Обновление: Клинт Айви на помощь! Вот его сообщение в блоге и вот замечательная электронная таблица, которую он создал для нас.Пожалуйста, загрузите электронную таблицу и вставьте свои собственные числа.).

Вы также можете прочитать немного больше о контрольных диаграммах и попробовать два калькулятора контрольных диаграмм на сайте SQC Online. В разделе Что дайте калькулятор контрольной диаграммы для переменных.

Это длинный и сложный пост, но я надеюсь, что я рассказал вам о силе контрольных диаграмм, он немного суховат и требует немного знаний и терпения, но он настолько мощен, помогая вашему анализу, особенно когда он приходит. для отделения сигнала от шума.

Сигнал -> Статистика -> Действие -> Счастливые клиенты -> Деньги, деньги, деньги! 🙂

Что вы думаете? Использовали ли вы контрольные карты? Как вы думаете, с какими показателями они будут работать лучше всего? Должны ли поставщики средств веб-аналитики включать в свои инструменты возможность создания контрольных диаграмм в качестве стандартной опции? Разве все это не имеет смысла?

Пожалуйста, делитесь своими отзывами и критическими замечаниями в комментариях.

[Нравится этот пост? Чтобы увидеть больше подобных сообщений, нажмите здесь.]

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.