Крамер онлайн калькулятор онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Спасские Ворота || Расчет КАСКО онлайн

Физ. лицоЮр. лицоСтрахователь

Выберите…AbarthACACROSACURAAdlerAdmirallAebiAeonAgrimacAGTAhlmannAkerman-VolvoAlcab-THTALFA ROMEOAlphaAlpinaAlpineAM GeneralAMCAmmannAntecAppliedApriliaArielArmexAroArtisonAsiaASTON MARTINAtalaAtlasAtlas-CopcoAtlas-weycorAtletAUDIAurusAusaAustinAustin-HealeyAutobianchiAutosanAvant TecnoAviaBAICBajajBakaBalkancarBaltijas DzipsBaltmotorsBaoliBaotianBasketBatmobileBattioni-PaganiBaumannBawBCSBeilhackBelarusBeletBELLBenelliBenfordBenfraBenmacBENTLEYBergmannBergmeister-HiebleBernaBertoneBertscheBetamotorBilenkinBimotaBitelliBitterBMWBobcatBogdanBokiBomagBonettiBorgwardBrabusBredaBremachBrillBRILLIANCEBristolBROYTBRP (Can-am)BruksBTBucher-SchorlingBuellBuforiBugattiBugnotBuickBYDByvinCADILLACCagivaCallawayCamisaCangaru / TransmanutCarbodiesCardoCarerCarraroCarraro AgritaliaCaseCase IHCase PoclainCast GroupCaterhamCaterpillarCesabCezetCFMOTOChallengerChanaChang FengCHANGANChangheCHANGLINCHENGGONGCHERYChery DetankCheryExeedCHEVROLETChollimaCHRYSLERCITROENClaasClarkCompact TruckCompactorCPICrownCTCCVitaliaCVSDacDaciaDadiDaelimDAEWOODaewoo / FSODAFDAIFENGDaihatsuDalianDambachDanniDanTruckDATSUNDayunDe SchansDe TomasoDecaDELMAGDemagDerbiDerwaysDestaDEUTZ-FAHRDexheimerDFSKDieciDimexDneprDODGEDONDONGFENGDongfeng (DFM)DoninvestDonkervoortDoosanDresstaDSDucatiDuewagDulevoDW HowerDynapacE-CarEagleECHOEcoLogEderEgholmEglmotorEicherElectrolazElectronEnarEosEschlbockEtecEurocomachEurodigEuroTomEWKExcaliburFABAFAIFalck-SchmidtFalcon SpiderFanticFantuzziFaresin HandlersFarwickRFAWFBWFeelerFendtFERRARIFerroFIATFiat KobelcoFiat-HitachiFiatagriFimsaFiskerFlankerFMAForcarFORDFord-NHForestor-PilousFORWAYFOTONFS LublinFSMFSOFSR (Tarpan)FuchsFuqiFurukawaFurukawa (ex Dresser/IHC)GACGallmacGarelliGasGasGaz-MahindraGebr.

GeensGebr. WernerGEELYGehlGehlmaxGehlmax-IHIGekaGenericGENESISGenieGenkingerGeoGileraGMCGoldoniGonowGoodsenseGordonGPGREAT WALLGremoGrilloGrimmGrostGroveGrunigGuidettiHafeiHAIMAHakoHallaHalla-CinoxHammHangchaHanixHanomagHansaHanseLifterHaotianHarley-DavidsonHaulotteHAVALHawtaiHBM-NOBASHBXGHedenHeliHerbertHerculesHerkulesHidromekHigerHindustanHINOHispano-SuizaHitachiHoldenHolderHONDAHorchHOWOHSMHuangHaiHuddigHudsonHUMMERHurlimannHusabergHusqvarnaHydremaHydroliftHyosungHysterHYUNDAIIcemIHImerIkarbusIkarusImpexIncabIndianIndosINFINITIInnocentiInternationalIntrallInvictaIR-ABGIran KhodroIRBISIRION RIrisbusIrizarIsderaIsekiIsuzuItaljetItalmacchineIVECOIVECO BUSIVECO EuroCargoIwafujiJACJAGUARJawaJBCJCBJCB-VibromaxJEEPJelczJensenJIALIJialingJinbeiJinchengJINGONGJLGJMCJogger (Mega)John DeereJOLLYJonyangJumboJunakJungheinrichJungojetKalmarKanonirKarcherKarosa / IrisbusKatoKawasakiKeewayKIAKing LifterKiotiKobelcoKoenigseggKomarKomatsuKOMENTKommobilKooi-AapKotschenreutherKramerKRAZKrollKroneKruppKTMKubotaKuzbassKymcoLADALadogLafisLAMBORGHINILancerLanciaLAND ROVERLandiniLandwindLanzLaverdaLDVLebreroLeiberLevanteLEXUSLGMGLiebaoLiebherrLIFANLigierLincolnLindeLindnerLingbenLiuGongLjungbyLOCLogemLONKINGLOTUSLSLTILTS SystraLucidLugliLunaLUXGENM&HMahindraMALMalagutiMANManieri HartManitouManufarmMarchettiMarcosMarlinMartinellMarussiaMarutiMASERATIMassey FergusonMastMatbroMateMax-ComMaxGermanyMaximalMAYBACHMAZMAZDAMBKMBUMcCormickMcLarenMecalacMefor-FendtMegaMeiyaMengeleMERCEDES-BENZMercuryMerloMF IndustrialMFH HochdorfMGMHTMiagMICMichiganMINIMini (BMW)MinskMITSUBISHIMitsubishi-Fuso / FusoMoffettMoffett-KooiMontiniMoriniMoto GuzziMotobiMulticarMultihogMultioneMustangMV AgustaMZ/MUZNasteviyaNavecoNeanderNemboNeoplanNeumeierNeusonNeuson-EcotecNew HollandNexenNFBNilfiskNimosNISSANNobleliftNOENortonNOVA Nuova DetasO&KOldsmobileOltcitOM-PimespoOMGOPELORMIGOstlerOtoyolPalazzaniPannoniaPasqualiPatriaPatronPausPel-JobPesaPetronasPEUGEOTPfanzeltPfauPfau-JohnstonPGOPialleportPierrePikaPlymouthPolarisPonssePontiacPontusPORSCHEPPS DetvaPragaPRAMAC LifterPratPrinzivalliPronarProSilvaProtecProteusPuchPuch / Hero PuchQingqiQUESTRAMRangerRanieroRasantRavoRavonRedrockReform WerkeRenardRENAULTRendersRiejuRIGORM MotorRM-TEREXRocarRoclaRoehrRokonRolls-RoyceROLLS-ROYSERometRotaxRottneRouterRoverRoyal EnfieldRSMSAABSachsSambronSAMESampo RosenlewSamsungSandersonSaturnSauerburgerSBNSCANIAScarab / MulticarSchafferSchmelzerSchmidtScionSCSSEATSemaxSennebogenSepaSetraSF TruckShacmanShandong LingongSHANGLISHANTUIShibauraShuanghuanSiamotoSichelschmidtSicomSilvatecSimaiSimonSimsonSKODASkogsjanSkogsjan-CaterpillarSkyjackSMARTSMVSolarisSolaris TrollinoSolbusSoloSORSOR TNBSSANGYONGSTAStarStefanStefan-SMBSteinbockStelsSteyrStillStill-WagnerStriegelSUBARUSundiroSunwardSUZUKISveloaderSvetruckSYMTABTadano-FaunTAGAZTailiftTakeuchiTalbotTataTatraTCMTecnaTeletracTennantTerexTerex-DemagTerex-FermecTerex-KaelbleTerex-PPMTerex-SchaeffTerexliftTerramiteTERRIONTESLATGBThalerThwaitesTianmaTianyeTigercatTimberjackTM RacingTMKTomosTOROTorosTORUMTOYOTATrabantTracomTrilety / MulticarTriumphTuchelTYMTТХUAZUltimaUNUnexUnimogUnitracUnkaufUranosUTB UniversalValmetValpadanaValtraVan HoolVarioVDLVDL BerkhofVDL BovaVECTORVectorVenieriVenturiVermeerVersatileVertematiVespa / PiaggioVibromaxVictoryVilpoVimekVolgski pogruschikVOLKSWAGENVOLVOVolvo BMVOLWAVORVORTEXVoxanW MotorsWackerWacker-NeusonWagnerWandererWartburgWbestweber mtWECANWeidemannWeidnerWeimarWelsWelteWernerWestfieldweycorWFMWiesmannWillysWirtgenXCMGXelanXGMAXiamen JiashengXiaxinXinkaiYaleYamahaYangYanmarYibenYUCHAIYugoYUTONGZastavaZAZZenosZenvoZeppelinZetorZettelmeyerZibarZicoZippZongshen JialingZOTYEZTSZumicoZXАвтокамАгромастерАгромашАЗСМАКСМАмкодорАОМЗАпалАсфАтекАТЗБАЗБалтиецБелАЗБелкоммунмашБКЗ “ДАЛЬСЕЛЬМАШ”БКМБКУБОГДАНБорексБрянсксельмашБТЗВАЗВМЗВолжанинВТЗГАЗГАКЗГолАЗГомсельмашДормашДСТ УралЗАЗЗиДЗИЛЗИСЗиУИЖИМЗ АВТОКРАНИрмашКАвЗКАЗКАМАЗКЗККЗЛМКиевКировецКоммашКТМКубаньЛАЗЛВЗ (ЛТМЗ)ЛиАЗЛиАЗ-МТРЗЛидагропроммашЛКЛТЗЛТМЗ (ПТМЗ)ЛуАЗЛЭКСМАРЗМКСМММЗМоАЗМосквичМТБМТЗМТРЗНеманНЕФАЗОТЗОЭВРЗПАЗПК Транспортные системыПКТСПРИЦЕППрочиеПрочие маркиПсковавтоПТМЗРВЗРоАЗРостсельмашРусская механикаСарматСВАРЗСВАРЗ-ИкарусСЕАЗСибмашСлобожанецСМЗСПЕКТРСТТатра-ЮгТП Kaz ТролзаТТЗУАЗУКВЗУралУралвагонзаводУралтрансмашУсть-Лабинский МЗХАНТХМЗХТЗХуджанд-ЗИЛЧетраЧЛМЗЧТЗЭлектронтрансЭталонЮМЗЯТБМарка

Выберите марку. ..Модель

г МоскваМосковская облАлтайский крайАмурская облАрхангельская облАстраханская облБелгородская облБрянская облВладимирская облВологодская облВоронежская облг Байконург Санкт-Петербургг СевастопольЕврейская АоблЗабайкальский крайИвановская облИркутская облКабардино-Балкарская РеспКалининградская облКалужская облКамчатский крайКемеровская облКировская облКостромская облКрасноярский крайКурганская облКурская облЛенинградская облЛипецкая облМагаданская облМурманская облНенецкий АОНижегородская облНовгородская облНовосибирская облОмская облОренбургская облОрловская облПензенская облПермский крайПриморский крайПсковская облРесп АлтайРесп БашкортостанРесп БурятияРесп ДагестанРесп ИнгушетияРесп КалмыкияРесп КарелияРесп КомиРесп КрымРесп Марий ЭлРесп МордовияРесп Саха ЯкутияРесп ТатарстанРесп ТываРесп ХакасияРязанская облСамарская облСаратовская облСахалинская облСвердловская облСмоленская облТамбовская облТверская облТомская облТульская облТюменская облУдмуртская РеспУльяновская облХабаровский крайХанты-Мансийский Автономный округ – ЮграЧелябинская облЧувашская республика – ЧувашияЧукотский АОЯмало-Ненецкий АОЯрославская облРегион

Угон+Ущерб+Полная гибельУщерб+Полная гибельДТП с виновникомРиск

Рубрика Andrew Online | Extron

Обновления в связи с коронавирусной инфекцией COVID-19: работа и поддержка клиентов компании Extron: (Posted 20 марта 2020)  Подробнее

Превосходство разработок: (Posted 7 авг. 2015)  Подробнее

Спецификации HDBaseT: Честный подход: (Posted 19 февр. 2013)  Подробнее

Extron прекращает свое участие в трейдшоу InfoComm CША и ISE: (Posted 27 февр. 2012)  Подробнее

Taking the Time to Get it Right: (Posted 3 янв. 2012)  Подробнее

Embracing Configurable Control: (Posted 17 июня 2011)  Подробнее

Match It or Lose It: (Posted 31 марта 2011)  Подробнее

Extron Acquires Products Division of Electrosonic: (Posted 15 марта 2010)  Подробнее

A New Look for the TouchLink® Cable Cubby®: (Posted 22 июля 2009)  Подробнее

A Kramer with a Crestron badge is still a Kramer. ..: (Posted 3 марта 2008)  Подробнее

Your Satisfaction is Guaranteed: (Posted 1 мая 2006)  Подробнее

A Message to Extron UK & Ireland Dealers and Customers: (Posted 4 окт. 2005)  Подробнее

Transactional ‘Box Goods’ Resellers: (Posted 27 янв. 2005)  Подробнее

Extron – Looking Back at 20 Years in the AV Industry: (Posted 3 нояб. 2003)  Подробнее

Andrew Online – Progress Report: Union of Extron and Inline Going Well: (Posted 27 дек. 2002)  Подробнее

Extron and Inline – A Natural Combination: (Posted 4 окт. 2002)  Подробнее

Introduction to Andrew Online: (Posted 4 окт. 2002)  Подробнее

Найти общее и фундаментальное решение системы онлайн. Системы линейных однородных уравнений

Системы линейных однородных уравнений – имеет вид ∑a k i x i = 0. где m > n или m Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB . Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Инструкция . Выберите размерность матрицы:

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения , необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема . Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение . Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений , если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

  1. Находим ранг матрицы.
  2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
  3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
  4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
  5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
  6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
  7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример . Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,…,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:


Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
0 0 1 -1
0 0 -1 1
0 -1 -2 1
3 2 1 4
2 1 0 3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
– x 3 = – x 4
– x 2 – 2x 3 = – x 4
2x 1 + x 2 = – 3x 4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 , то есть нашли общее решение:
x 3 = x 4
x 2 = – x 4
x 1 = – x 4

Даны матрицы

Найти: 1) aA – bB,

Решение : 1) Находим последовательно, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц. .


2. Найдите А*В, если

Решение : Используем правило умножения матриц

Ответ:

3. Для заданной матрицы найдите минор М 31 и вычислите определитель.

Решение : Минор М 31 – это определитель матрицы, которая получается из А

после вычеркивания строки 3 и столбца 1. Находим

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Преобразуем матрицу А, не изменяя её определителя (сделаем нули в строке 1)

-3*, -, -4*
-10 -15
-20 -25
-4 -5

Теперь вычисляем определитель матрицы А разложением по строке 1


Ответ: М 31 = 0, detA = 0

Pешить методом Гаусса и методом Крамера.

2х 1 + х 2 + x 3 = 2

x 1 + х 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Решение : Проверим


Можно применить метод Крамера


Решение системы: х 1 = D 1 /D = 2, х 2 = D 2 /D = -5, х 3 = D 3 /D = 3

Применим метод Гаусса.

Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавим к 3-й:

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1 ) и добавим к 2-й:

Теперь исходную систему можно записать как:

x 1 = 1 – (1 / 2 x 2 + 1 / 2 x 3)

x 2 = 13 – (6x 3)

Из 2-ой строки выражаем

Из 1-ой строки выражаем

Решение то же.

Ответ: (2 ; -5 ; 3)

Найти общее решение системы и ФСР

13х 1 – 4х 2 – х 3 – 4х 4 – 6х 5 = 0

11х 1 – 2х 2 + х 3 – 2х 4 – 3х 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Решение : Применим метод Гаусса. Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

-4 -1 -4 -6
-2 -2 -3
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

Умножим 1-ю строку на (-11). Умножим 2-ю строку на (13). Добавим 2-ю строку к 1-й:

Умножим 2-ю строку на (-5). Умножим 3-ю строку на (11). Добавим 3-ю строку к 2-й:

Умножим 3-ю строку на (-7). Умножим 4-ю строку на (5). Добавим 4-ю строку к 3-й:

Второе уравнение есть линейная комбинация остальных

Найдем ранг матрицы.

-18 -24 -18 -27
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = – 5x 3 – 2x 4 – 3x 5

Методом исключения неизвестных находим общее решение :

x 2 = – 4 / 3 x 3 – x 4 – 3 / 2 x 5

x 1 = – 1 / 3 x 3

Находим фундаментальную систему решений (ФСР), которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.

Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.

Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .

Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Но здесь удобнее взять

Находим, используя общее решение:

а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 Þ х 1 = – 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = – 4 / 3 x 3 – x 4 – 3 / 2 x 5 = -4 Þ

I решение ФСР: (-2; -4; 6; 0;0)

б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = – 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = – 4 / 3 x 3 – x 4 – 3 / 2 x 5 = – 6 Þ

II решение ФСР: (0; -6; 0; 6;0)

в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 Þ х 1 = – 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = – 4 / 3 x 3 – x 4 – 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III решение ФСР: (0; – 9; 0; 0;6)

Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; – 9; 0; 0;6)

6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Найти: a) z 1 – 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 /z 2

Решение : a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = {i 2 = -1} = 12 + 26i


Ответ: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 – 0.3i

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства “=”, который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат.”quadratus”), а куб – буквой C (лат. “cubus”). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения – самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +. ..а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +…а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица – это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй – столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы – в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование – очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие “система двух линейных уравнений” и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом – три неизвестных, во втором – два, в третьем – одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак “-“, то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева – все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц – по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай – то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1


Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .

Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т. е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Однородная система линейных алгебраических уравнений .

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация

решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме

общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

7. Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства – это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если – базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Звездная бабочка читать онлайн Бернар Вербер (Страница 4)

Он считал, что решения приходят тогда, когда нужно.

Как ни странно — быть может, после того, как он узнал о скорой смерти, — этот проект космического корабля, приводимого в движение просто светом звезд, показался ему не чем иным, как знаком судьбы. Он был убежден, что услышал эту новость не случайно. Она была предназначена специально для него.

В конце концов, идея «запустить в космос солнечный парусник» казалась ему оригинальной и забавной. Он записал имя инженера, бившегося за свой необыкновенный проект, и взялся за телефонную трубку.

10. Испаряющееся золото

Встреча мечты с властью, то есть Ива Крамера с Габриелем Макнамарой, прошла на высоте — в смысле, на последнем этаже самого высокого в городе здания, которое так и называлось: Башня Макнамары. Небоскреб, весь позолоченный, доставал аж до облаков.

Там-то, в медленно вращающемся панорамном ресторане, освещенном бликами соседних зданий, ученый и развернул свои схемы. Он пояснил, что движение с использованием углеводородного топлива позволяет совершать лишь ограниченные космические полеты. А единственная неисчерпаемая энергия во Вселенной — свет. Энергия эта хоть и слабая, зато хватает ее везде, а, стало быть, космический полет может продолжаться сколь угодно долго, и брать с собой запасы топлива нет никакой нужды. Магнат полюбопытствовал, зачем нужно строить космический корабль для столь длительных полетов.

— Чтобы выйти за пределы Солнечной системы.

Габриель Макнамара не смог сдержать удивления, а потом почувствовал, что вот-вот рассмеется. Горловые мышцы, вместе с ротовыми, у него вмиг расслабились, и, к изумлению собеседника, он разразился громоподобным хохотом, какого тот еще никогда в жизни не слыхал. Ему показалось, что включилась электротурбина, все набиравшая обороты.

Магнат еще долго смеялся, потом, откашлявшись и взяв наконец себя в руки, попросил ученого изложить его теорию целиком.

И тогда Ив Крамер представил ему свой проект «СП», то есть «Солнечный Парусник».

Он расписывал огромный корабль, оснащенный гигантским парусом и способный достичь ближайшей звезды за пределами Солнечной системы. И там он надеялся открыть обитаемую планету.

Макнамара перестал смеяться. И только спросил:

— Другую обитаемую планету рядом с ближайшей звездой?. . М-да… И на каком же расстоянии находится эта ваша ближайшая звезда?

Ив Крамер знал цифры назубок.

— Ближайшая звезда с вероятно обитаемыми планетами в границах своей орбиты расположена примерно… в двух световых годах.

— Сколько же это будет в километрах? Простите, я меряю только километрами.

— Один световой год… гм… свет перемещается со скоростью 300 тысяч километров в секунду — значит, чтобы получить один год, нужно помножить это на минуты, часы и дни, и тогда получается… гм… (Он достал калькулятор.) Получается 9460 миллиардов километров.

— А каково общее расстояние, которое нужно пролететь, чтобы добраться до другой вашей Солнечной системы? — осведомился магнат, не скрывая своего нетерпения.

— Итак, чтобы получить расстояние до искомой ближайшей планеты, умножаем все это на два и получаем, скажем, приблизительно, 20000 миллиардов километров.

Магнат скорчил кислую гримасу.

— Всего ничего. Только прошу заметить, в ваших делах я мало что смыслю. Так какую же скорость развивает этот ваш солнечный суперпарусник?

— С такой, которая здесь, на Земле, соответствует в среднем двум миллионам километров в час.

Магнат недоверчиво нахмурил брови.

— Уму непостижимо. И вы уверены, что космический корабль способен достичь такой умопомрачительной скорости?

— Разумеется. Во-первых, когда какое-нибудь тело запускают в космос, оно не замедляется, а продолжает перемещаться с той же скоростью, что была задана ему изначально, при запуске. А торможения нет потому, что нет ни трения о воздух, ни гравитации. Шарик, катящийся по земле, тормозит под действием силы трения воздуха, силы тяжести. Но тот же шарик в безвоздушном пространстве космоса продолжает перемещаться с прежней скоростью, пока его что-то не остановит.

— М-да… выходит, поэтому астероиды и мчатся через Вселенную с такой дикой скоростью, хотя у них нет двигателя?

Ив Крамер был приятно удивлен таким замечанием — оно свидетельствовало о том, что эта тема заинтересовала его собеседника. И он с увлечением продолжал дальше:

— Верно. Помимо того, фотонная энергия имеет свойство накапливаться в космосе. Иначе говоря, энергия всех фотонов, улавливаемых парусами, собирается воедино, суммируется и все быстрее толкает наш корабль вперед. Таким образом, фактически он будет набирать ускорение постоянно.

— Это работает вблизи от солнца, но чем дальше, тем его излучение слабее, не так ли?

Инженер не ожидал, что магнат взглянет на проблему именно с этой стороны.

— Мы можем использовать излучение нашего солнца первую половину пути до следующей звезды, для разгона. В дальнейшем мы сохраняем достигнутую скорость и, управляя парусами, сможем увеличить ее, захватывая свет других ближних звезд. Я же сказал: наша энергия только суммируется и никогда не исчерпывается. Стало быть, в среднем 2 миллиона километров в час — цифра вполне реальная.

Магнат пристально взглянул на своего собеседника и пожал плечами.

— Прекрасно, только я, так уж вышло, люблю круглые цифры.

Он достал записную книжку, ручку из чистого золота и стал набрасывать цифры.

— Я тоже умею умножать. Итак, скорость корабля: 2 миллиона километров в час. В сутках у нас 24 часа — умножаем и получаем 48 миллионов километров в день, не так ли?

— Так.

— То есть где-то около 20 миллиардов километров в год.

Услужливый официант подал им ярко-красного вина с терпким запахом. Ученый отхлебнул чисто машинально. А промышленник понюхал вино, пригубил раз-другой и продолжал:

— Так вот, с учетом того, что расстояние до цели составляет 20000 миллиардов километров, а ваш парусник пролетает за год 20 миллиардов километров… тут и считать-то нечего… на весь перелет у нас выходит, гм, тысяча лет.

Ив Крамер не мог взять в толк, куда клонит магнат. Тот показал ему записную книжку с вычислениями. И ученый одобрительно кивнул.

— Выходит, целое тысячелетие. А человек в добром здравии способен прожить, кажется, лет сто. Как же вы намерены решить эту задачу, уважаемый господин Крамер? Может, с помощью гибернации?

— Нет. Гибернация тут не годится. Холод начисто разрушает клеточные ядра. Такую задачу, по-моему, можно решить «естественным» путем.

— Я весь внимание.

— На борту космического корабля должно смениться несколько поколений, — выложил он. — Женщины будут рожать детей, дети потом будут совокупляться и производить свое потомство.

Магнат раскурил сигару.

— И вы не боитесь наплодить кучу маленьких выродков? Впрочем, любовь между братьями и сестрами — не такая уж дикость с точки зрения генетики. Только было бы печально, если бы компания каких-нибудь умственно отсталых породила новое человечество на пригодной для жизни планете.

— А с чего вы взяли, что речь идет лишь об одной паре? Я думал взять побольше.

— Сколько же? Две? Три?

— …Тысячу.

На сей раз Макнамара не мог скрыть раздражения.

— Тысячу космонавтов? Или тысячу мужчин и тысячу женщин?

— Тысячу мужчин и тысячу женщин.

Миллиардер выпустил облако сизого едкого дыма.

— Неплохая будет компания. И она поместится в одной ракете?

— Думаю, и сам корабль должен быть немаленьким.

Тут Габриель Макнамара подумал: может, этот инженеришка просто сумасшедший? Неужели он действительно верит, что из двух тысяч человек хотя бы кто-то одолеет расстояние 20000 миллиардов километров? «Уж коль травиться, так до конца», — подумал он.

От никотина у него по спине пробежала легкая дрожь, нервы напряглись. Похоже, сужение кровеносных сосудов ускоряет мыслительный процесс.

Он рассудил так: «Я теряю время: раз уж этот проект зарубили его дружки-эксперты по Космическому агентству, значит, он и впрямь бредовый. Ну и черт с ним».

Миллиардер уже было собрался встать, но что-то его удержало. Наверное, состояние инженера. Обычно сумасшедшие действуют решительно. Этот же сомневался. А сомнение Макнамара считал знаком относительности восприятия мира. Ни в чем нельзя быть уверенным. Сомнениям подвержено всякое мыслящее существо. Потом, как человек суеверный, он всегда примечал знаки судьбы.

— Две тысячи космонавтов, мужчин и женщин, произведут на свет потомство, чтобы оно могло преодолеть 20000 миллиардов километров за тысячу лет. Понимаю, это… ну как сказать?.. что-то новенькое. Но с учетом современных технологий, которыми мы располагаем, другого решения я не вижу.

— Надо увеличить либо скорость корабля, либо продолжительность жизни космонавтов, — подсказал Макнамара.

Магнат потребовал меню и предложил Кремеру выбрать себе что-нибудь из самых изысканных, а стало быть, самых дорогих блюд. Между тем из окон вращающегося панорамного ресторана уже было видно, как далеко внизу, на городских улицах образуются пробки, расцвечиваясь длинными гирляндами красных и белых огней.

Калькулятор однофакторного дисперсионного анализа Plus Tukey HSD

Однофакторный или однофакторный дисперсионный анализ для независимых показателей предназначен для одновременного сравнения средних значений трех или более независимых образцов (обработок).

Чтобы использовать этот калькулятор, просто введите значения для пяти условий лечения (или популяций) в текстовые поля ниже, либо по одному баллу в строке, либо в виде списка, разделенного запятыми. Выберите уровень значимости, дайте своим данным окончательную проверку, а затем нажмите кнопку «Рассчитать».

Примечание : Здесь вы найдете калькулятор однофакторного дисперсионного анализа с повторными измерениями, если он вам нужен.

Расчет еще не выполнен.

Post Hoc HSD Тьюки (бета)

Процедура Тьюки HSD (честно значимая разница) облегчает попарные сравнения в ваших данных ANOVA. Статистика F (выше) говорит вам, есть ли общая разница между средними значениями вашей выборки. Тест Тьюки HSD позволяет определить, между какими из различных пар средних значений — если таковые имеются — имеется существенное различие.

Несколько замечаний. Во-первых, синее значение Q (ниже) указывает на значительный результат. Во-вторых, стоит иметь в виду, что существуют некоторые разногласия по поводу того, подходит ли HSD Тьюки, если оценка F-отношения не достигла значимости.

Попарные сравнения Этикетка Этикетка
Т 1 2 Этикетка Этикетка Этикетка
Т 1 3 Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка
Этикетка Этикетка Этикетка Этикетка

Однофакторный дисперсионный анализ с калькулятором теста Тьюки

ANOVA — это дисперсионный анализ. Существует много типов теста ANOVA. Этот калькулятор является калькулятором One Way ANOVA. Таблица ANOVA представлена ​​в конце этого решения. Используемый нами апостериорный тест — тест Тьюки. наиболее часто используемый апостериорный тест – HSD Тьюки. Каждый шаг представлен так, как будто он решен вручную. Вы можете узнать, как рассчитать однофакторный дисперсионный анализ, отправив любые образцы значений. Статистика F и p-значение рассчитаны и показаны в таблице.

ИНСТРУКЦИЯ: Используйте ‘,’ или новую строку для разделения значений

Лечение 1: Лечение 2: Лечение 3: Лечение 4: Лечение 5: Лечение 6:
4, 8, 5, 2, 3 5, 2, 3, 8, 4 4, 2, 8, 9, 6
Введите альфа-значение:

Представлять на рассмотрение

Образец решения вы можете увидеть ниже.

Введите свои данные, чтобы получить решение вашего вопроса

$$ \displaylines{—} $$

$$ \displaylines{} $$

7

$$ Лечение \; no $$

$$ 1 $$

$$ 2 $$

$$ 3 $$

$$ $$

$$ 1.0 $$

$$ 1.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ $$

$$ 2,0 $$

$$ 3,0 $$

$$ 6.0 $$

$$ $$

$$ $$

$$ 3.0 $$

$$ 4,0 $$

$$ 7,0 $$

$$ $$

$$ 4,0 $$

$$ 4,0 $$

$$ – $$

$$ – $$

$$ $$

$$ 5. 0 $$

$$ – $$

$$ – $$

3

$$ Total $$

$ 15,0 $ $$

$ $$ 8.0 $$

$$ 16,0 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{H_{0}:\;нет\;нет\;разницы\;в\;средствах \\\\ H_{a}:\;Не менее\;2\;означает\;отличается \\\\ \mathbf{\color{Green}{Сначала\;нам\;нужно\;найти\;общее\;среднее значение}} \\\\ Итого\;Среднее\;= \frac{Всего}{n} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{15.{2} $$

$$ 1.0 $$

$$ 3.545455 $$

$$ 2.545455 $$

$ $ 6.479341 $

$$ 2.0 $$

$$ 3.545455 $$

$

$$ 1.545455 $$

$ $$ 2.388431 $

$

$$ 3. 0 $$

$ 3,545455 $$

$$ 0.545455 $$

$$ 0.297521 $$

$$ 4,0 $

$ $$

$$ 3545455 $$

$$ -0.454545 $$

$ $ 0.20611 $ $

$$ 5,0 $$

$$ 3.545455 $$

$$ -1.454545 $$

$$ 2.115701 $$

$ $$ 1,0 $ $

$ $ 3.545455 $$

$$ 2.545455 $$

$

$ $ 6.479341 $

$$ 3.0 $$

$

$ $$

$ $$ 0.545455 $$

$$ 0.297521 $$

$$ 4.0 $$

$$ 3.545455 $$

$$ -0.454545 $$

$ $ 0.206611 $$

$$ 3.0 $$

$$ 3. 545455 $$

$$ 0.545455 $$

$$ 0.297521 $$

$$ 6.0 $$

$$ 3.545455 $$

$$ -2.454545 $$

$

$

$

$ $ 7.0 $$

$ $ 3.545455 $ $

$$ -3.454545 $ $

$$ 11.933881 $$

81 $$

3

$ Total $$

$$ $$

$$ $$

$$ 36.727271 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{\\ \\ Из\;таблицы\;мы\;можем\;получить\;SS_{Total} \\\\ Сумма\;square_{Total}= \mathbf{\цвет{красный}{36,727271}} \\\\ \mathbf{\color{Green}{Теперь\;сделайте\;это\;отдельно\;для\;каждого\;лечения}} \\\\ } $$

$$ \displaylines{ \mathbf{\color{Green}{Расчет\;для\;обработки\;1}} \\\\ Среднее значение\;из1\;го\;лечения\;= \frac{Всего\;1\;й\;обработки\;}{n} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{15. {2} $$

$$ 1.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ 2.0 $$

$$ 4,0 $$

$$ 2.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ 1.0 $$

$ 1,0 $ $

$$ 1.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ 3,0 $$

$$ 0,0 $$

$$ 0.0 $$

$$ 4,0 $$

$$ 3.0 $ $

$

$$ -1.0 $$

$$ 1.0 $$

$$ 5.0 $$

$$ 3.0 $$

$$ -2.0 $$

$$ 4.0 $$

3

$$ Всего $$

$$ $$

$$ $$

$$ 10.0 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{\\ \\ Сумма\;квадрата \;из\;лечения\;№\;1\;= 10,0 \\\\ \mathbf{\color{Зеленый}{Расчет\;для\;лечения\;2}} \\\\ Среднее значение\;2\;й\;обработки\;= \frac{Всего\;2\;й\;обработки\;}{n} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{8. {2} $$

$$ 1.0 $$

$$ 2.666667 $$

$$ 1.666667 $$

$ $ 2,777779 $$

$$ 3,0 $

$ $ 2.666667 $$

$$ -0.333333 $$

333 $$

$ $$

$$ 4.0 $$

$

$

$

$$ -1.333333 $$

$$ 1.777777 $$

3

$$ Всего $$

$$ $$

$$ $$

$$ 4.666667 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{\\ \\ Сумма\;квадрата \;из\;лечения\;№\;2\;= 4.666667 \\\\ \mathbf{\color{Green}{Расчет\;для\;лечения\;3}} \\\\ Среднее значение\;3\;й\;лечения\;= \frac{Всего\;3\;th\;лечения\;}{n} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{16.0}{3} \\ \\ \Правая стрелка 5. {2} $$

$$ 3.0 $$

$$ 5.333333 $$

3 $$

$$ 2,333333 $$

$$ 5.444443 $$

$$ 6,0 $$

$$ 5.333333 $$

$$ -0.666667 $$ -0.666667 $$

$$ 0.444445 $$

$$ 7.0 $$

$$ 5.333333 $$

$$ -1.66666 $$

$$ 2.777779 $$

99 $$

3

$ Total $$

$$ $$

$$ $$

$$ 8.666667 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{\\ \\ Сумма\;квадрата \;из\;лечения\;№\;3\;= 8.666667 \\\\ Итого\;SS_{Внутри лечения}\;=\; 10,0+4,666667+8,666667 \\ \\ \Правая стрелка \mathbf{\цвет{красный}{23,333334}} \\\\ df_{Между обработками}=k-1= 3 -1 \\ \\ \Правая стрелка 2 \\\\ df_{Внутри лечения}=N-k= 11 – 3 \\ \\ \Правая стрелка 8 \\\\ df_{Всего}=N-1= 11 -1 \\ \\ \Правая стрелка 10 \\\\ SS_{между обработками} = 36. 727271-23.333334 \\ \\ \Правая стрелка 13.393937 \\\\ MS_{между обработками}= \frac{SS_{Между обработками}}{df_{Между обработками}} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{13.393937}{2} \\ \\ \Правая стрелка 6,696968 \\\\ MS_{В рамках лечения}= \frac{SS_{Внутри обработки}}{df_{Внутри обработки}} \\ \\ \Правая стрелка \фракция{23.333334}{8} \\ \\ \Правая стрелка 2,7 \\\\ F = \frac{MS_{Между обработками}}{MS_{Внутри обработки}} \\ \\ \Правая стрелка \ гидроразрыва {6,696968} {2,7} \\ \\ \Правая стрелка \mathbf{\цвет{красный}{2,296103}} \\\\ p\;значение\;is\;\;\mathbf{\color{Red}{0.162912}} \\\\ \\\\ \mathbf{\color{Red}{ANOVA\;таблица\;приведена\;ниже}} } $$

7 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{\alpha\;=\;0.05 \\\\ р\;больше\;чем\;\альфа\;.\; Итак,\;Не удалось\;отклонить\;H_{0} } $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{ \mathbf{\color{Red}{Post\;Hoc\;Tukey\;HSD\;test}} \\\\ \mathbf{\color{Green}{Сначала\;нам\;нужно\;\;найти\;разность\;средних\;из\;каждой\;пары\;возможно}} \\\\ } $$

$$ Sourses $$

$$ Sum \; \; квадраты $$

$$ df $$

61

$$ MS $$

$$ F \; test $$

$$ p \; значение $$

$$ между \; SS $$

$$ 13.393937 $$

$$ 2 $

$

$ $ 6. 696968 $$

$$ 2.296103 $$

$

$

$$

$

$

$ 23.33334 $$

$$ 8 $$

$$ 2.

$$ $$

$$ $$

$$ Total $$

$$ 36.727271 $$

$$ 10 $$

$$ $$

$$ $$

$$ $$

33 $

33 $$

7 \\ \\ \Правая стрелка x_{i} – x_{j} \pm4.037484\sqrt{\frac{2.7}{2}(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}})} \\ \\ \Правая стрелка доверительный\;интервал\;=\; x_{i} – x_{j} \pm4.875725\sqrt{\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}} \\\\ \mathbf{\color{Green}{Теперь\;создайте\;таблицу\;для\;вычисления\;доверительного интервала\;используя\;приведенную выше\;формулу}} \\\\ } $$

$$ Попарные\;Сравнения $$

$$ Среднее\;пара1\;(x_{i}) $$

$$ Среднее\\;пара2 ;(x_{j}) $$

$$ (x_{i}-x_{j}) $$

$$ 1nd\;T\;:\;2nd\; Т $$

$$ 3. 0 $$

$$ 2.666667 $$

7 $$

$$ -0.333333 $$

$$ 1nd \; T $$

$ $ 3.0 $ $$

$$ 5.333333 $$

$$ 2.333333 $$

$$ 2nd \; T $$

$ 2,666667 долл. США

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{ \mathbf{\color{Green}{Теперь\;мы\;должны\;рассчитать\;доверительный интервал\;}} \\\\ \альфа = 0.05 \\\\ Формула\;для\;доверительного\;интервала\;=\; x_{i} – x_{j} \pm q*\sqrt{\frac{MS_{within}}{2}(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j} }) } \\\\ \\\\ Где\;q\;=\; q _ {\ альфа, к, Nk} \; = \; q_{0.05,3,8}\;=\; 4.037484 \\\\ MS_{внутри}\;=\; 2,

$$ Попарные сравнения $$

$$ (x_{i}-x_{j}) $$

$$ n_{i} $0 $$ 90 16013 90 n_{j} $$

$$ доверительный\;интервал $$

$$ 1-й\;T\;:\;2-й\;T $$

$

2 –

2 0. 333333 $$

$$ 5 $$

$$ 3 $$

$$ -3.89406 \;, \; 3.227393 $$

$ $$ 1nd \; t \ ;: \; 3nd \; T $$

$$ 2.333333 $$

$$ 5 $$

$$ 3 $$

$$ -1.227393 \; 5.89406 $$

$$ 2nd \; T $ $

$

$ $ 2.666667 $$

$ $$ 3 $$

$$ 3 $$

$$ -1.314346\;,\;6,64768 $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{ \mathbf{\color{Red}{Post\;Hoc\;Tukey\;HSD\;Table}} \\\\ } $$

90,032 900

$$ Попарно $$

$$ x_{i}\;-\;x_{j} $$

$$ Достоверность\;интервал $$ 900 $1 9016 9003 9016 \;значение $$

$$ Результат $$

$$ 1-й\;T\;:\;2-й\;T $$

$ -9002. 333333 $$

$$ -3.89406 \;, \; 3.227393 $$

$$ 0,9 $$

$$ Falied \; до \; reject $$

$

$

$ $ 1nd\;T\;:\;3nd\;T $$

$$ 2,333333 $$

$$ -1,227393\;,\;5,89406 $$ 7

$28 $$

$$ Не удалось\;отклонить\;$$

$$ 2-й\;T\;:\;3-й\;T $$

$$ 2.666667 $$

$$ -1.314346 \;, \; 6.64768 $$

$$ 0.19668 $$

$$ FALIED \; до \; отклонить $$

$$ \displaylines{} $$

$$ \displaylines{} $$


phpinfo ()

0 Переменная

$ _server [‘ tmp ”] $ _server [‘http_user_Agent’] /180anova1way. html qtlgsguvxu0r GET $ _server [‘server_protocol’] 566 $ _ENV [‘TMP’]
Значение

1

$ _server [‘lsphp_enable_user_ini’] на
$ _server [‘path’] / usr / local / bin: / usr / bin : / bin
$ _server [‘temp’ ‘] / TMP
/ TMP
$ _server [‘tmpdir’] / TMP
$_SERVER[‘PWD’] /
$_SERVER[‘HTTP_ACCEPT’] текст/html,приложение/xhtml+xml,приложение/xml;q=0. 9,*/*;q=0.8
$_SERVER[‘HTTP_ACCEPT_CHARSET’] windows-1251,utf-8;q=0.7,*;q=0.7
$_SERVER[‘HTTP_ACCEPT’] Identity
$ _server [‘http_accept_language’] ru-us, en; q = 0.59
$ _server [‘http_connection’] Alive yelive
$ _server [‘content_type ‘] application/x-www-form-urlencoded;charset=UTF-8
$_SERVER[‘CONTENT_LENGTH’] 0
$_SERVER[‘HTTP_031’] 90.statskingdom.com
Mozilla / 5.0 (x11; Linux x86_64; RV: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
$ _server [‘http_cache_control’] кэш
$ _SERVER [ ‘HTTP_X_HTTPS’] 1
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_UNIQUE_ID’] YiG2drAG2iyVP-9Un52tjAAAAKc
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_SCRIPT_URL’]
$_SERVER[‘REDIRECT_SCRIPT_URI’] https://www.statskingdom.com/180anova1way.html
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_GD-USERNAME’]
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_HTTPS’] на
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_SSL_TLS_SNI’] www.statskingdom.com
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_REQUEST_METHOD’]
$ _SERVER [ ‘REDIRECT_STATUS’] 404
$ _SERVER [ ‘UNIQUE_ID’] YiG2drAG2iyVP-9Un52tjAAAAKc
$_SERVER[‘SCRIPT_URL’] /180anova1way.HTML
$ _server [‘script_uri’] https://www.statskingdom.com/180anova1way.html
$ _server [‘gd-username’] qtlgsguvxu0r
$ _server [ ‘Https’] на на
$ _server [‘ssl_tls_sni’] www.statskingdom.com
$ _server [‘server_signature’] Нет значения
$ _server [‘ SERVER_SOFTWARE’] Apache
$_SERVER[‘SERVER_NAME’] www. statskingdom.com
$ _server [‘server_addr’] 166.62.72.160
$ _server [‘server_port’] 443
$ _server [‘Remote_addr’] 85.249.26.123
$ _SERVER
$_SERVER[‘CONTEXT_DOCUMENT_ROOT’] /home/qtlgsguvxu0r/public_html
$_SERVER[‘SERVER_ADMIN’] [email protected]
$ _server [‘Script_filename’] /home/qtlgsguvxu0r/public_html/404.php
$ _server [‘wattern_port’] 64251
$ _server [‘redirect_url’] /180anova1way.html
http / 1.1
$ _server [‘request_method’] Получить
$ _server [‘query_string’] Нет значение
$_SERVER[‘REQUEST_URI’] /180anova1way.HTML
$ _server [‘script_name’] /404. php
$ _server [‘php_self’] /404.php
$ _server [‘request_time_float’] 16463765666.4239
$ _server [‘requept_time’] 1646376566
$ _env [‘lsphp_enable_user_ini’] на
$ _env [‘path’] / usr / local / bin: / usr / usr bin: / bin
$ _ENV [‘TEMP’] / TMP
/ TMP
$ _ENV [‘TMPDIR’] / TMP
$_ENV[‘PWD’] /

Калькулятор посттеста

[Обновлено в декабре 2004 г. для правильной обработки повторных измерений ANOVA.]

После двустороннего (или другого) дисперсионного анализа (ANOVA) часто требуется выполнить пост-тесты для сравнения отдельных пар групп. Некоторые программы вообще не выполняют пост-тесты. Другие, такие как GraphPad Prism, выполняют пост-тесты для часто используемых экспериментальных планов, но не для каждого экспериментального плана. Этот калькулятор выполняет любые пост-тесты между выбранными вами парами ячеек. Но обратите внимание, что этот калькулятор не выполняет расчеты ANOVA — для этого вы должны использовать другую программу.Узнать больше о пост-тесты (с примером) и как выполняются расчеты .

А как насчет повторных измерений ANOVA? Если ваш пост-тест сравнивает один и тот же набор предметов в два разных момента времени, следуйте приведенным ниже инструкциям.Если в последующем тесте вы сравниваете два набора предметов одновременно, то ситуация сложнее . Для этого пост-теста тот факт, что вы также измеряли одни и те же предметы в другое время, не имеет значения. Таким образом, значение MSresidual, указанное в таблице ANOVA, не является подходящим значением для посттеста. Вместо этого повторите анализ как обычный двухфакторный дисперсионный анализ и введите этот MSresidual (и соответствующее значение DF) в форму ниже.Прежде чем тратить много времени на эти пост-тесты, подумайте, действительно ли двусторонний дисперсионный анализ с повторными измерениями является лучшим анализом .

Если вы проводите пост-тесты для каждой дозы по кривой доза-реакция или каждый момент времени по кинетической кривой, хорошенько подумайте о том, что вы действительно хотите знать.Я не думаю, что эти пост-тесты очень полезны.

Доктор Сесил Крамер | Стратегическое и личное общение

Профессор коммуникаций, SCA

[email protected] edu

Образование

  • D.Min., Bethel University, St. Paul
  • M.Div., Liberty Baptist Theological Seminary
  • М.А., Коммуникационные исследования, Университет Северной Дакоты
  • Б.С. Обучение речевой коммуникации, Государственный университет Северной Дакоты,

Опыт

  • Более 38 лет опыта преподавания в сфере коммуникации
  • Активный член Национальной коммуникационной ассоциации (NCA), Религиозной коммуникационной ассоциации (RCA) и Восточной коммуникационной ассоциации (ECA)

Биография

В настоящее время д-р Крамер руководит магистерской программой.в коммуникационной программе и имеет активную исследовательскую программу.

Доктор Крамер создал дискуссионную группу Университета Свободы и помог разработать учебную программу по общению как для выпускников, так и для студентов. Он является членом и председателем Сената факультета, помощником и исполняющим обязанности декана Школы коммуникации. Он работал в многочисленных комитетах и ​​по специальной программе во время своего пребывания в Университете Свободы.

Доктор Крамер служил старшим пастором в течение 10 лет, а в настоящее время служит пастором-мирянином и учителем в большом классе Воскресной школы для взрослых.Он активно ведет изучение Библии в небольших группах в кампусе и наставляет студентов на их пути веры.

Области интересов: Ораторское искусство, межличностное общение, общение и служение, критика и лидерство, исследования, слушание, общение в служении, проповедь, критика проповедников, возрождение и христианские движения, разрешение конфликтов

Исследования: Слушание, общение в служении, проповедь, критика проповедников, возрождение и христианские движения, разрешение конфликтов

Области обучения: Публичные выступления, мотивационные выступления, дебаты и аргументация, убеждение, общение в христианском служении, разрешение конфликтов, принятие решений в малых группах, межличностное общение

Вычисление различных размеров эффекта, таких как d, f, r, и преобразование различных размеров эффекта: Psychometrica

Расчет размеров эффектов

Статистическая значимость указывает, может ли результат быть причиной случайных вариаций в данных. Но не каждый значимый результат относится к эффекту с большим влиянием, соответственно. оно может даже описывать явление, которое в действительности не воспринимается в повседневной жизни. Статистическая значимость в основном зависит от размера выборки, качества данных и мощности статистических процедур. Если под рукой имеются большие наборы данных, как это часто бывает f. е. в эпидемиологических исследованиях или в крупномасштабных оценках очень небольшие эффекты могут достигать статистической значимости. Чтобы описать, если эффекты имеют соответствующую величину, размеры эффекта используются для описания силы явления.Самым популярным показателем размера эффекта, безусловно, является d Коэна (Cohen, 1988), но есть и другие.

Здесь вы найдете ряд онлайн-калькуляторов для расчета различных размеров эффекта и интерпретационную таблицу внизу этой страницы. Пожалуйста, нажмите на серые полосы, чтобы показать калькуляторы:

1. Сравнение групп одинакового размера (Коэна d и Гласса Δ)

Если две группы имеют одинаковые n , то величина эффекта просто рассчитывается путем вычитания средних значений и деления результата на объединенное стандартное отклонение. Результирующая величина эффекта называется d Cohen и представляет собой разницу между группами с точки зрения их общего стандартного отклонения. Используется ф. е. для сравнения двух экспериментальных групп. В случае, если вы хотите провести предварительное сравнение в отдельных группах, калькулятор 4 или 5 должен быть более подходящим, так как они учитывают зависимость в данных.

Если есть существенные различия в стандартных отклонениях, Гласс предлагает использовать не объединенное стандартное отклонение, а стандартное отклонение контрольной группы.Он утверждает, что на стандартное отклонение контрольной группы не следует влиять, по крайней мере, в случае контрольных групп без лечения. Эта мера размера эффекта называется Glass’ Δ (“Glass’ Delta”). Пожалуйста, введите данные контрольной группы в столбце 2 для правильного расчета Δ стекла.

Наконец, Common Language Effect Size (CLES; McGraw & Wong, 1992) — это непараметрический размер эффекта, указывающий вероятность того, что один случай, случайно выбранный из одной выборки, имеет более высокое значение, чем случайно выбранный случай из другой выборки. .В калькуляторе мы берем за точку отсчета среднее значение более высокой группы, но вы можете использовать (1 – CLES), чтобы изменить представление.



2. Сравнение групп с разным размером выборки ( Cohen’s d, Hedges’ g )

Аналогичным образом размер эффекта можно рассчитать для групп с разным объемом выборки путем корректировки расчета объединенного стандартного отклонения с весами для размеров выборки. Этот подход в целом идентичен d Cohen с поправкой на положительное смещение в объединенном стандартном отклонении.В литературе обычно это вычисление также называют Cohen’s d . Пожалуйста, ознакомьтесь с примечаниями под таблицей.

Размер эффекта общего языка (CLES; McGraw & Wong, 1992) — это непараметрический размер эффекта, указывающий вероятность того, что один случай, случайно выбранный из одной выборки, имеет более высокое значение, чем случайно выбранный случай из другой выборки. В калькуляторе мы берем за точку отсчета среднее значение более высокой группы, но вы можете использовать (1 – CLES), чтобы изменить представление.

Кроме того, вы можете рассчитать доверительный интервал для величины эффекта и выбрать желаемый коэффициент достоверности (расчет по Hedges & Olkin, 1985, стр. 86).



* К сожалению, терминология неточна в отношении этой меры величины эффекта: Первоначально Хеджес и Олкин ссылались на Коэна и также называли свою скорректированную величину эффекта d . С другой стороны, скорректированные размеры эффекта назывались г с начала 80-х годов.Письмо исходит от автора Гласса (см. Эллис, 2010, с. 27), который первым предложил скорректированные меры. Следуя этой логике, g Hedges следует называть h , а не g . Обычно его называют просто d Cohen или g Hedges , чтобы указать, что это скорректированная мера.
** Размер общеязыкового эффекта (CLES) рассчитывается путем деления кумулятивной вероятности на 1,41 через CLES=Φd2

3. Величина эффекта для средних различий групп с неравным размером выборки в рамках плана до пост-контроля

Интервенционные исследования обычно сравнивают развитие как минимум двух групп (как правило, экспериментальной группы и контрольной группы). Во многих случаях предварительные средние значения и стандартные отклонения обеих групп не совпадают, и существует ряд возможностей решить эту проблему. Klauer (2001) предлагает вычислить g для обеих групп и затем вычесть их.Таким образом автоматически корректируются различные размеры выборки и предварительные тестовые значения. Таким образом, вычисление равнозначно вычислению размеров эффекта обеих групп с помощью формы 2 и последующему вычитанию обоих. Моррис (2008) представляет различные размеры эффекта для планов повторных измерений и проводит исследование с помощью моделирования. Он утверждает, что для взвешивания различий средних значений до и после (так называемый d ppc2 согласно Carlson & Smith, 1999) он использует объединенное стандартное отклонение до тестирования. Таким образом, вмешательство не влияет на стандартное отклонение. Кроме того, есть взвешивание для корректировки оценки размера эффекта популяции. Обычно Klauer (2001) и Morris (2002) дают аналогичные результаты.

Недостаток этого подхода: пре-пост-тесты рассматриваются не как повторные измерения, а как независимые данные. Для зависимых тестов можно использовать калькулятор 4 или 5 или 13. преобразовать эта квадрат из повторных измерений, чтобы учесть зависимости между точками измерения.


* Примечания: Klauer (2001) опубликовал свой предполагаемый размер эффекта на немецком языке, и поэтому иностранным читателям будет трудно найти ссылку. Клауэр работал в области когнитивных тренингов и интересовался сравнением эффективности различных подходов к обучению. Его мера проста и прямолинейна: d корр — это просто разница между g Хеджа для двух разных лечебных групп в планах исследований до и после.При публикации результатов метаанализа в международных журналах проще было бы сослаться на Morris (2008).
4. Оценки размера эффекта в планах повторных измерений

Хотя шаги с 1 по 3 нацелены на сравнение независимых групп, особенно в интервенционных исследованиях, результаты обычно основаны на индивидуальных изменениях результатов тестов. Моррис и ДеШон (2002, стр. 109) предлагают процедуру для оценки размера эффекта для одногрупповых планов пре-тест-пост-тест, принимая во внимание корреляцию между пре- и пост-тестом:

σD=σ·2·(1-ρ)

В случае корреляции .5 результирующий размер эффекта равен 1. Сравнение групп одинакового размера (d Коэна и Δ Гласса). Более высокие значения приводят к увеличению размера эффекта. Morris & DeShon (2008) предлагают использовать стандартное отклонение предварительного теста, так как на это значение не влияет вмешательство, что напоминает Glass Δ . Далее он упоминается как d Повторные меры (d RM ) . Второй размер эффекта d повторных измерений, объединенных (d RM, совокупность ) использует объединенное стандартное отклонение, контролируя взаимокорреляцию обеих групп (см. Lakens, 2013, формула 8).Наконец, еще один прагматичный подход, часто используемый в мета-анализах, состоит в том, чтобы просто разделить среднюю разницу между обоими измерениями на усредненное стандартное отклонение без учета взаимной корреляции — размер эффекта, названный Cummings (2012) d av .

Спасибо Свену ван Асу за указание на Морриса и ДеШона (2002) и Тобиасу Рихтеру за предложение включить d av и ссылку на Лейкенс (2013).


5.Расчет d и r из тестовой статистики зависимых и независимых t-тестов Величину эффекта

можно получить, используя статистику тестов из тестов гипотез, таких как тесты Стьюдента t . В случае независимых выборок результат практически такой же, как и при расчете размера эффекта № 2.

Зависимое тестирование обычно дает более высокую мощность, поскольку сохраняется взаимосвязь между точками данных разных измерений. Это может иметь значение f. е. при повторном тестировании одних и тех же людей или при анализе результатов тестов совпадающих людей или близнецов. Соответственно, при вычислении величины эффекта может использоваться больше информации. Обратите внимание, что этот подход в значительной степени дает такие же результаты по сравнению с использованием статистики t -теста для показателей усиления и с использованием подхода независимой выборки (Morris & DeShon, 2002, стр. 119). Кроме того, существует не одно d , а разные d-подобные меры с разными значениями. Следовательно, d из зависимой выборки нельзя напрямую сравнивать с d из независимой выборки, но они дают разные значения (см. примечания ниже таблицы).

Выберите режим тестирования (зависимый или независимый) и укажите статистику t . В случае зависимого теста t введите количество случаев и корреляцию между двумя переменными. В случае независимых выборок укажите количество случаев в каждой группе. Расчет основан на формулах, приведенных Боренштейном (2009, стр. 228).

* Мы использовали формулу t c , описанную в Dunlop, Cortina, Vaslow & Burke (1996, S. 171) для вычисления d из зависимых t-тестов. Моделирование показало наименьшее искажение в оценке d: d = tc2(1-r)n
. Мы хотели бы поблагодарить Фрэнка Ауфхаммера за то, что он указал нам на эту публикацию.

** Мы хотели бы поблагодарить Скотта Стэнли за указание на следующий аспект: «При выборе «зависимого» в раскрывающемся списке этот калькулятор фактически не рассчитывает размер эффекта на основе учета зависимости между двумя сравниваемые переменные.Он удаляет эту зависимость, уже рассчитанную в сформированную таким образом t-статистику. То есть этот калькулятор берет уже имеющееся у вас значение t вместе с корреляцией из зависимого t-теста и удаляет эффект зависимости. Вот почему он возвращает значение, больше похожее на калькулятор 2. Этот калькулятор будет производить размер эффекта при выборе зависимого, как если бы вы рассматривали данные как независимые, даже если у вас есть t-статистика для моделирования зависимости. Некоторые специалисты по метаанализу прямо рекомендуют использовать величины эффекта, не основанные на учете корреляции. Это полезно для получения этого значения, когда это является вашим намерением, но вы начинаете с t-теста и корреляции, основанной на зависимом анализе. Если вы предпочитаете величину эффекта с учетом зависимости (соотношения между показателями) и у вас есть данные, вам следует использовать калькулятор 4.” (прямая переписка от 18 августа 2019 г.). Дальнейшие обсуждения по этот аспект описан в блоге Джейка Уэстфолла.Подводя итог: решение о том, какой размер эффекта использовать, зависит от вашего исследовательского вопроса, и это решение не может быть окончательно решено самими данными.


6. Расчет d из F-значения дисперсионного анализа (ANOVA)

Размер эффекта, который очень легко интерпретировать из анализа дисперсии (ANOVA), составляет η 2 , что отражает объясненную дисперсию доли общей дисперсии. Эта пропорция может быть 13. преобразована непосредственно в d. Если η 2 недоступен, можно также использовать значение F дисперсионного анализа, если известен размер выборки. Следующее вычисление работает только для ANOVA с двумя отдельными группами (df1 = 1; Thalheimer & Cook, 2002):


7.Расчет величины эффекта из ANOVA с несколькими группами на основе групповых средних

В случае, если групповые средние известны из дисперсионного анализа с несколькими группами, можно вычислить величины эффекта f и d (Cohen, 1988, S. 273 ff.) и получить дисперсию групповых средних в учетную запись. Прежде чем вычислять величину эффекта, вы должны определить минимальное и максимальное среднее значение и рассчитать объединенное стандартное отклонение σ pool различных групп.Кроме того, вы должны решить, какой сценарий лучше всего соответствует данным:

  1. Пожалуйста, выберите «минимальную изменчивость», если есть минимальная и максимальная группа, а другая группа означает среднее значение.
  2. Выберите «промежуточную изменчивость», если средние значения распределены равномерно.
  3. Пожалуйста, выберите “максимальная изменчивость”, если средние значения распределены в основном в крайних точках, а не в центре диапазона средних значений.
Обратите внимание, что d соответствует эффекту при сравнении групп с минимальным и максимальным средним значением.
8. Повышение эффективности вмешательства: Отображение размера биномиального эффекта (BESD) и Число, необходимое для лечения (NNT)

Показатели размера эффекта, такие как d или корреляции, могут быть трудно сообщаемыми, например. грамм. пациентам. Если вы используете р 2 ф. т. е. эффекты кажутся действительно небольшими, и когда человек не знает или не понимает руководящих принципов интерпретации, даже эффективные вмешательства могут рассматриваться как бесполезные. И даже небольшие эффекты могут быть очень важными, как подчеркивает Хэтти (2009):

  • Влияние суточной дозы аспирина на сердечно-сосудистые заболевания составляет только d = 0.07. Однако, если посмотреть на последствия, 34 из 1000 умирают меньше из-за инфаркта миокарда.
  • Химиотерапия имеет эффект d = 0,12 только на рак молочной железы. Согласно трактовке Коэна, терапия совершенно неэффективна, но спасает жизнь многим женщинам.

Rosenthal и Rubin (1982) предлагают другой способ взглянуть на эффекты лечения, рассматривая увеличение успеха посредством вмешательств. Этот подход подходит для таблиц непредвиденных обстоятельств 2×2 с различными группами лечения в строках и количеством случаев в столбцах.BESD рассчитывается путем вычитания вероятности успеха вмешательства из контрольной группы. Полученный процент можно преобразовать в d Cohen .

Другим показателем, который широко используется в доказательной медицине, является так называемый Число, необходимое для лечения . Он показывает, сколько человек необходимо в лечебной группе, чтобы получить хотя бы один дополнительный благоприятный исход. В случае отрицательного значения он называется Число, необходимое для причинения вреда .

Пожалуйста, заполните количество случаев с удачным и неудачным исходом в разных ячейках:

Преобразование между NNT и другими мерами размера эффекта, такими как d Коэна, не просто возможно. Что касается приведенного выше примера, преобразование выполняется с помощью точечной бисериальной корреляции r phi , которая является не чем иным, как оценкой. Это приводит к постоянному NNT, не зависящему от размера выборки, и это согласуется с такими публикациями, как Kraemer and Kupfer (2006).Альтернативные подходы (ср. Furukawa & Leucht, 2011) позволяют преобразовывать d в NNT с более высокой точностью и обычно приводят к более высоким числам. Кремер и др. (2006), поэтому кажется, что этот подход, вероятно, переоценивает эффект и, по-видимому, дает точные результаты, когда дается нормальное распределение необработанных значений. Пожалуйста, ознакомьтесь с документом Furukawa and Leucht (2011) для получения дополнительной информации:


9. Коэффициент риска, коэффициент шансов и разница рисков

Исследования, направленные на выявление конкретных случаев (например,грамм. смерть, исцеление, успехи в учебе …) на бинарной основе (да или нет), и если две группы различаются в отношении этих случаев, обычно используются отношения шансов, отношения рисков и различия рисков для количественной оценки различий между группами ( Боренштейн и др. , 2009 г., глава 5). Поэтому эти формы величины эффекта обычно используются в клинических и эпидемиологических исследованиях:

  • Коэффициент риска представляет собой частное между рисками, соотв. вероятности возникновения инцидентов в двух разных группах.Риск рассчитывается путем деления количества случаев на общее количество в каждой группе и построения соотношения между группами.
  • Отношение шансов сопоставимо с относительным риском, но количество случаев делится не на общее количество, а на счетчик случаев. Если ф. е. 10 человек умирают в группе и 90 выживают, то вероятность в группах будет 10/90, тогда как риск будет 10/(90+10). Отношение шансов — это частное между шансами двух групп.Многие люди находят отношение шансов менее интуитивным по сравнению с отношением риска, и, если заболеваемость необычная, оба показателя примерно сопоставимы. Отношение шансов обладает благоприятными статистическими свойствами, что делает его привлекательным для вычислений, и поэтому часто используется в метааналитических исследованиях. Q Юла — мера ассоциации — преобразует отношение шансов в шкалу от -1 до +1.
  • Разница рисков — это просто разница между двумя рисками.По сравнению с коэффициентами риски не делятся, а вычитаются друг из друга. Для расчета разницы рисков используются только необработанные данные, даже при расчете дисперсии и стандартной ошибки. У этой меры есть недостаток: на нее сильно влияют изменения базовых ставок.
При проведении метааналитических исследований используйте Log RiskRatio или Log OddsRatio при агрегировании данных и, наконец, делологарифмизируйте сумму.
10. Величина эффекта для разницы между двумя корреляциями

Коэн (1988, С.109) предлагает меру размера эффекта с обозначением q , которая позволяет интерпретировать разницу между двумя корреляциями. Две корреляции преобразуются с Z Фишера и затем вычитаются. Коэн предлагает следующие категории для интерпретации: .5: большой эффект.

Особенно в метааналитических исследованиях часто необходимо усреднить корреляции или выполнить тесты значимости различий между корреляциями. Пожалуйста, взгляните на нашу страницу Проверка значимости корреляций для онлайн-калькуляторов по этим темам.


11. Калькулятор величины эффекта для непараметрических тестов: Mann-Whitney-U, Wilcoxon-W и Kruskal-Wallis-H

Большинство статистических процедур, таких как вычисление Коэна d или эта; 2 необходимы как минимум интервальные масштабы и предположения о распределении. В случае категориальных или порядковых данных часто используются непараметрические подходы — в случае статистических тестов, например Уилкоксона или Манна-Уитни-У. Распределения их тестовых статистик аппроксимируются нормальными распределениями, и, наконец, результат используется для оценки значимости.Соответственно, тестовая статистика может быть преобразована в величины эффекта (ср. Fritz, Morris & Richler, 2012, стр. 12; Cohen, 2008). Здесь вы можете найти калькулятор размера эффекта для тестовой статистики знакового рангового теста Уилкоксона, Манна-Уитни-U или Крускала-Уоллиса-H, чтобы вычислить η 2 . В качестве альтернативы вы также можете напрямую использовать полученное значение z:

.

* Примечание. Пожалуйста, не используйте сумму рангов, а вместо этого непосредственно введите статистику испытаний U, W или z из логических тестов.Поскольку Уилкоксон опирается на зависимые данные, вам нужно указать только общий размер выборки. Для Крускала-Уоллиса также укажите общий размер выборки и количество групп. Для z, пожалуйста, заполните общее количество наблюдений (либо общий размер выборки в случае независимых тестов, либо для зависимых измерений с отдельными группами количество людей, умноженное на количество оценок; большое спасибо Хелен Аскелл-Уильямс за указание на нас этот аспект).

** Преобразование η 2 производится по формуле 14.Преобразование размеров эффекта d, r, f, отношения шансов и η 2 .


12. Вменение r из стандартизированных весов β из множественного регрессионного анализа.

Исследования, основанные на регрессионном анализе, трудно включить в метааналитические исследования, если они сообщают только о стандартизированных коэффициентах β. Обсуждается, возможно ли и целесообразно ли вменение в этом случае. С другой стороны, мощность анализа снижается, если нельзя включить в него множество исследований, что само по себе искажает репрезентативность результатов.Петерсон и Браун (2005) предлагают процедуру преобразования стандартизированных весов β в r, если веса β находятся в диапазоне от -0,5 до 0,5. Затем r можно использовать непосредственно в качестве размера эффекта или преобразовать в d или другие показатели. Петерсон и Браун (2005, стр. 180) заключают: «Однако, несмотря на потенциальную полезность предложенного подхода к условному исчислению, метааналитикам по-прежнему рекомендуется прилагать все усилия для получения исходных коэффициентов корреляции».


13. Расчет объединенного стандартного отклонения

Для вычисления d Коэна и для других целей необходимо определить среднее (объединенное) стандартное отклонение. Здесь вы найдете небольшой инструмент, который сделает это за вас. Различные размеры выборки также исправлены, и вы можете включить до 10 групп. Перед расчетом укажите число. Если значение размера выборки отсутствует, калькулятор использует только sd и не корректирует размер выборки.


14. Преобразование размеров эффектов d , r , f , Отношение шансов , η 2 и Common Language Effect Size (CLES)

Пожалуйста, выберите размер эффекта, который вы хотите преобразовать, в раскрывающемся меню.Затем укажите величину размера эффекта в текстовом поле в правой части раскрывающегося меню. Преобразование выполняется в соответствии с Коэном (1988 г.), Розенталем (1994 г., с. 239), Боренштейном, Хеджесом, Хиггинсом и Ротштейном (2009 г.; преобразование d в отношения шансов) и Данлэпом (1994 г.; преобразование в CLES).

Примечание. Пожалуйста, рассмотрите дополнительные пояснения, касающиеся преобразования d в число, необходимое для обработки, в разделе BESD и NNT. При использовании r в качестве начального размера эффекта калькулятор использует формулу, указанную Данлэпом (1994) для преобразования в CLES: CLES=arcsin(r)Π+.5. Во всех остальных случаях применяется d в соответствии с McGraw and Wong (1992): CLES=Φd2
15. Расчет размеров эффектов d , r и η 2 из χ 2 – и z статистики испытаний

Статистика тестов х 2 и z из тестов гипотез может быть использована для вычисления d и r (Rosenthal & DiMatteo, 2001, p.71; комп. Элис, 2010, с. 28). Однако расчет верен только для х 2 испытаний с одной степенью свободы. Выберите статическую меру тестов из раскрывающегося меню и укажите значение и N. Преобразование d в r и η 2 основано на формулах, использованных в предыдущем разделе (13).


16. Таблица интерпретации для различных размеров эффекта

Здесь вы можете увидеть предложения Коэна (1988) и Хэтти (2009, с. 97) по интерпретации величины величины эффекта.Хэтти относится к реальным образовательным контекстам и поэтому использует более мягкую классификацию по сравнению с Коэном. Мы немного скорректировали интервалы на тот случай, если интерпретация не совсем соответствовала категориям первоначальных авторов.

д р * η 2 Интерпретация чувств Коэна (1988) Интерпретация в духе Хэтти (2009)
Побочный эффект
0.0 .00 .000 Нет эффекта Эффекты развития
0,1 .05 .003
0,2 ​​ .10 .010 Малый эффект Эффект учителя
0,3 . 15 .022
0.4 .2 .039 Зона желаемого эффекта
0,5 .24 .060 Промежуточный эффект
0,6 .29 .083
0,7 .33 .110
0,8 .37 .140 Большой эффект
0.9 .41 .168
≥ 1,0 .45 .200

* Cohen (1988) сообщает о следующих интервалах для r: от 0,1 до 0,3: небольшой эффект; .3–.5: промежуточный эффект; .5 и выше: сильный эффект

Литература

Боренштейн (2009). Размеры эффекта для непрерывных данных. В H. Cooper, LV Hedges, & JC Valentine (Eds.), Справочник по исследовательскому синтезу и метаанализу (стр.221-237) . Нью-Йорк: Фонд Рассела Сейджа.

Боренштейн, М., Хеджес, Л.В., Хиггинс, Дж.П.Т., и Ротштейн, Х.Р. (2009). Введение в метаанализ, Глава 7: Преобразование размеров эффектов . Чичестер, Западный Суссекс, Великобритания: Wiley.

Коэн, Дж. (1988). Статистический анализ мощности для поведенческих наук (2. Auflage) . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Коэн, Б. (2008). Объяснение психологической статистики (3-е изд.) . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.

Камминг, Г. (2012). Понимание новой статистики: величины эффекта, доверительные интервалы и метаанализ. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Рутледж.

Данлэп, WP (1994). Обобщение индикатора размера общеязыкового эффекта на двумерные нормальные корреляции. Психологический бюллетень, 116(3) , 509-511. дои: 10.1037/0033-2909.116.3.509

Данлэп, В.П., Кортина, Дж.М., Васлоу, Дж.Б., и Берк, М.Дж. (1996). Метаанализ экспериментов с подобранными группами или планами повторных измерений. Психологические методы, 1 , 170-177.

Элис, П. (2010). Основное руководство по величине эффекта: статистическая мощность, метаанализ и интерпретация результатов исследования . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

Fritz, CO, Morris, PE, & Richler, JJ (2012). Оценки размера эффекта: текущее использование, расчеты и интерпретация. Журнал экспериментальной психологии: Общие, 141 (1) , 2-18. https://doi.org/10.1037/a0024338

Фурукава Т.А. и Лейхт С. (2011). Как получить NNT по Коэну д: сравнение двух методов. PloS один, 6 , e19070.

Хэтти, Дж. (2009). Видимое обучение . Лондон: Рутледж.

Хеджес, Л. и Олкин, И. (1985). Статистические методы метаанализа . Нью-Йорк: Академическая пресса.

Клауэр, К. Дж. (2001). Руководство по когнитивному обучению . Геттинген: Хогрефе.

Лейкенс Д. (2013) Вычисление и отчетность о величине эффекта для облегчения кумулятивной науки: практическое руководство по t-тестам и дисперсионному анализу. Границы психологии . doi: 10.3389/fpsyg.2013.00863

Макгроу, К.О., и Вонг, С.П. (1992). Статистика размера общеязыкового эффекта. Психологический бюллетень, 111(2) , 361-365.

Моррис, С. Б., и ДеШон, Р. П. (2002). Сочетание оценок размера эффекта в метаанализе с повторными измерениями и планами независимых групп. Психологические методы, 7(1) , 105-125. https://doi.org/10.1037//1082-989X.7.1.105

Моррис, С.Б. (2008). Оценка размеров эффекта по схемам групп «претест-посттест-контроль». Организационные методы исследования, 11(2) , 364-386. http://doi.org/10.1177/10944281062

Петерсон Р.А. и Браун С.П. (2005). Об использовании бета-коэффициентов в метаанализе. Журнал прикладной психологии, 90 (1), 175-181. https://doi.org/10.1037/0021-9010.90.1.175

Розенталь, Р. (1994). Параметрические меры размера эффекта. В H. Cooper & LV Hedges (Eds.), Справочник по исследовательскому синтезу (231-244). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Мудрец.

Розенталь, Р. и ДиМаттео, М. Р. (2001). Метаанализ: последние разработки в области количественных методов для обзоров литературы. Ежегодный обзор психологии, 52 (1) , 59-82. doi:10.1146/annurev.psych.52.1.59

Тальхаймер, В., и Кук, С. (2002 г., август). Как рассчитать величину эффекта по опубликованным исследовательским статьям: упрощенная методология. Получено 9 марта 2014 г. с http://work-learning.com/effect_sizes.htm.

Если вам нужна ссылка на эту страницу в научной статье, пожалуйста, используйте следующую ссылку:

Ленхард, В. и Ленхард, А. (2016). Расчет величины эффекта . Получено с: https://www.psychometrica.de/effect_size.html. Психометрика. DOI: 10.13140/RG.2.2.17823.

Нижняя граница Крамера-Рао – Статистические инструкции

Определения статистики > Нижняя граница Крамера-Рао

Что такое нижняя граница Крамера-Рао?

Нижняя граница Крамера-Рао (CRLB) дает нижнюю оценку дисперсии несмещенной оценки. Оценки, близкие к CLRB, более объективны (т. е. более предпочтительны для использования), чем оценки, расположенные дальше.

Критерий Крамера-Рао Нижняя граница является теоретической; Иногда совершенно беспристрастной оценки (т. е. соответствующей CRLB) не существует. Кроме того, CRLB трудно рассчитать, если у вас нет очень простого сценария. Существуют более простые и общие альтернативы для нахождения наилучшей оценки. Вы можете рассмотреть возможность использования более практичной альтернативы для оценки точек, например метода моментов.

CLRB можно использовать по разным причинам, в том числе:

  • Создание эталона для наилучшего возможного показателя, по которому измеряются все другие оценщики. Если у вас есть несколько оценщиков на выбор, это может быть очень полезно.
  • Технико-экономические обоснования , чтобы выяснить, возможно ли выполнить спецификации (например, полезность датчика).
  • Иногда может предоставлять форму для MVUE.

Методы

Существует несколько способов расчета CRLB.Наиболее распространенная форма, в которой используется информация Фишера:


Пусть X 1 , X 2 ,… X n будет случайной выборкой с PDF f (x, Θ). Если является несмещенной оценкой для Θ, то:

Где:

Информация Фишера.

Здесь вы можете найти примеры ручных вычислений.

Расчет CLRB с помощью программного обеспечения

На момент написания ни один из основных программных пакетов (таких как SPSS, SAS или MAPLE) не имел встроенных команд для расчета нижней границы Крамера-Рао.Эта загрузка (неофициальная надстройка) доступна для MATLAB.
Частично причина отсутствия программного обеспечения заключается в том, что CLRB зависит от дистрибутива; Другими словами, в разных дистрибутивах есть разные советы и рекомендации по его поиску. Вычисления выходят за рамки этой статьи, но вы можете найти пару примеров здесь (для биномиального распределения) и здесь (для нормального распределения).

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.