Квантовая механика основные формулы: Книга: “Сборник основных формул по курсам “Квантовая механика”, “Атомная и ядерная физика”” – Мартинсон, Смирнов. Купить книгу, читать рецензии | ISBN 978-5-17-056915-1

Содержание

Из классической механики получили квантовую. Опять / Хабр

Всем известно, что классическая механика является предельным случаем квантовой с одной стороны и теории относительности – с другой. Последние две наиболее точно описывают реальность, в то время как первая считается лишь удобным частным случаем. Из квантовой физики можно получить классическую, но не наоборот.

Еще один важный момент заключается в том, что многими по умолчанию подразумевается полнота волновой функции и фундаментальность уравнения Шредингера.

Таким образом, основные физические законы, необходимые для математической теории значительной части физики и всей химии, полностью известны, и трудность заключается лишь в том, что точное применение этих законов приводит к уравнениям, которые слишком сложны, чтобы быть разрешимыми. Поэтому становится желательным разработать приближенные практические методы применения квантовой механики, которые могут привести к объяснению основных особенностей сложных атомных систем без слишком больших вычислений.

П. Дирак

Но догмы имеют обыденность рушиться: теоремы о запрете признаются несостоятельными, скрытые переменные (как локальные так и не очень) имеют место быть, энтропия замкнутой системы может уменьшаться, а убеждения касательно кривизны вселенной регулярно обламываются новыми измерениями.


С момента создания квантовой механики и до сих пор продолжаются дискуссии об онтологии теории и ее интерпретациях. Онтологическая проблема особенно ярко проявляется в вопросе об измерении. Поэтому понимание физического смысла волновой функции имеет первостепенное значение. А чтобы понять волновую функцию, нужно понять уравнения квантовой физики.

Знаменитое уравнение Шредингера математически близко к обычному уравнению диффузии. Главное отличие в том, что время становится мнимым, то есть происходит поворот Вика. Это означает, что классическое и квантовое частично связаны поворотом на 90 градусов в комплексной плоскости (умножением на мнимую единицу). Уравнение Шредингера задается:

(Сопутствующий философский бред можно найти в эмоциональной статье)

Ричард Фейнман в своих знаменитых лекциях писал:

Мы не хотим, чтобы вы думали, что мы вывели уравнение Шредингера, но хотим показать вам лишь способ рассуждения. Когда Шредингер впервые записал его, он дал своего рода вывод, основанный на некоторых эвристических аргументах и блестящих интуитивных догадках. Некоторые из аргументов, которые он использовал, были даже ложными, но это не имеет значения; важно только то, что конечное уравнение дает правильное описание природы. [Фейнман, Лекции по физике, II-14.1]

В литературе приводится множество эвристических способов обоснования уравнения, но в целом оно вводится как один из постулатов квантовой механики. Тем не менее недавняя статья из Nature, указывает на то, что последовательный аналитический вывод вполне осуществим.

Статья начинается с классической механики, где частицы при движении стараются минимизировать действие. С одной маленькой оговорочкой – они претерпевают марковскую диффузию. То есть вносится стохастика с сопутствующими случайными силами.

Затем, крайне непринужденно просуммировав пути (а ля фейнмановские интегралы по траекториям) и подняв теорию стохастического оптимального контроля, разумеется, с оглядкой на релятивистскую инвариантность, авторы получают уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

При этом они постоянно заостряют внимание, что вместо того, чтобы постулировать правила подстановки операторов, вывод происходит полностью осмысленным образом.

На Хабре в комментах часто проскакивают очень умные мысли – нам хочется линейных дифуров. Тогда у нас будут плюшки типа суперпозиции, интерференции и линейной алгебры с разложением на собственные функции и спектральной теорией. Поэтому авторы подбирают коэффициент последнего слагаемого (сигма в квадрате) предвосхищая линейность.

Затем шаг за шагом осуществляется переход:

уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана -> уравнение Штекельберга -> телеграфные уравнения -> уравнения Клейна-Гордона, Дирака и нерелятивистское Шредингера.

И это восхитительно!

Во первых, мнимая природа различных переменных в квантовой механике автоматически выходит из структурой метрики Минковского. Причем авторы надеются в дальнейшем установить волновое уравнение в общем искривленном пространстве-времени. И такое обобщение метрики “возможно, было бы способом объединить общую теорию относительности и квантовую механику”.

Во вторых, можно вспомнить, что происхождение правила Борна до сих пор выглядит неоднозначным. Хотя, в многомировой, клеточно-автоматной, волно-пилотной и еще в некоторых интерпретациях оно всплывает так или иначе как побочный продукт. Здесь же правило Борна естественным образом связано с реальной частью минимального ожидаемого действия. “Процесс пространственно-временной диффузии проходит по маршруту, который сводит к минимуму ожидаемое действие; в этом суть того, как вероятность (перехода) связана с минимизацией энергии.”

В третьих, подход придерживается реалистической философии квантовой механики, где реальность существует независимо от наблюдателя. Что это значит для нас?

Вспомним двухщелевой эксперимент Юнга. Интерференция света или, что еще более умозрительно, интерференция волн на поверхности жидкости вполне спокойно понимается и принимается. Но когда одиночные частицы начинают постепенно вырисовывать полосатую картину на экране, наступает разрыв шаблона.

В прошлом веке, когда у европейского общества еще не прошла эйфория после свержения божественного фатализма, философская мысль продолжала укреплять образ человека как центра вселенной. Вкупе с достижениями в области исследований разума и нахлынувшим интересом к восточной культуре, в зарождающейся квантовой физике начало возобладать представление об особой роли наблюдателя. Всю информацию о любой системе можно поместить в волновую функцию, а она в свою очередь подчиняется уравнению Шредингера – фундаментальному закону, который на удивление точно согласовался с экспериментами. Разумеется, в рамках плотностей вероятности. А реальность уже возникает в глазах смотрящего (или в душе разумеющего).

Такой взгляд сильно импонирует человеческому эго и поэтому нашел обширное распространение. Но некоторых раздражал такого рода отупляющий солипсизм. В конечном счете, коллапс наведенный разумным наблюдателем был признан нефизичным, и на его место пришла декогеренция. Тем не менее новая Копенгагенская интерпретация советует избегать вопросов о реальности, прежде чем произойдет измерение-декогеренция.

Но с прагматических позиций реализм более предпочтителен. Именно поэтому, например, бомовская интерпретация набирает популярность: частицы реально существуют и у них есть траектории, что помогает в расчетах и легче для восприятия. Так что обсуждаемая статья ближе всего к таким траекторным представлениям.

Траектории частиц в двухщелевом эксперименте

(Методику построения траекторий см. в приложении)

В теории волны-пилота частицы подчиняются нелокальному действию квантового потенциала. А показанная выше модель предполагает, что исследуемая частица движется под действием внешней случайной силы пространства-времени. Здесь нет волн коллапсирующих в частицы. Частицы просто взаимодействуют с некоторыми скрытыми степенями свободы, по жизни двигаясь зигзагами. Волновые паттерны возникают из коллективного поведения миллионов частиц. А волновая функция лишь описывает эти паттерны.

Такое случайное движение частицы индуцирует распределение вероятностей перехода. Это означает, что квантовую механику можно понимать как статистическую теорию. О причинах случайной силы будут еще много спорить, но авторы предлагают перебиться пока парочкой вариантов (раз, два).

Можно было бы сделать предположение, что квантовая механика или квантовая теория поля – это всего лишь феноменологическая теория, и причина статистической природы лежит в стохастической природе самого пространства-времени. Если пространство-время и его метрика стохастичны в масштабах Планка, это может создать иллюзию случайного движения, которое может быть феноменологически смоделировано с помощью стохастических дифференциальных уравнений в пространстве-времени. В соответствии с общей теорией относительности это, по сути, может означать, что источники энергии в пространстве-времени имеют случайный характер, который может быть вызван различными возмущениями, такими как колебание вакуума или излучение нулевого поля.

Дальнейшее чтиво
  • Здесь можно посмотреть более популярный обзор обсуждаемой статьи.

  • Далее читаем рассуждения о верности уравнения Шредингера. В принципе, на него уже давно прицепляют всяческие довески: нелинейность, память, стохастичность, так что фундаментальность это больше вопрос веры.

  • Стохастическая квантовая механика выделена в отдельную интерпретацию. Вообще, эта тема была популярна в 60-х. Чего стоит зашкварная статья, где уравнение Шредингера вывели из ньютоновской механики (правда там тоже было броуновское движение). По ней до сих пор плодятся трибьюты (раз, два, три, четыре, пять). Следует также отметить, что недавно было показано, что знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга в целом присущи стохастическим системам, и, как видится, они не являются уникальными для квантово-механических систем.

  • Конечно, можно зайти и со стороны электродинамики. Вот из свеженького.

  • Герард `т Хоофт (продвигающий интерпретацию клеточных автоматов) пару месяцев назад выпустил препринт, где квантовая механика эмерджентно выходит из классической. Кто знает, может его быстрые переменные и будут играть роль случайных сил. И до кучи вспоминаем, что на гравитацию тоже начинают поглядывать с эмерджентных позиций.

Стохастическое уравнение Ланжевена воспроизводит плотности вероятности для осциллятора Морзе

(Подробности см. в статье)

Дальше, в предложенных статьях расшариваем список литературы и Cited by, чтобы окончательно убедиться, что по теме идут серьезные сподвижки. То ли классическая детерминистичная механика ушла на задний план в ожидании когда подтянется матаппарат статистики и клеточных автоматов, чтобы затем вновь вернуться на периферию философской мысли. То ли научное сообщество устало бороться с контринтуитивностью и готово принять любую модель подразумевающую комфортную математику и простоту в объяснениях. Ответ узнают наши потомки на лекциях по философии науки.

Квантовая механика – Квантовая механика

Введение

Всякая наука, изучающая природные явления, использует некоторую систему образов, моделирующих реальные предметы, их качества и связи, существующие между ними. Модель и ее образы всегда выделяют лишь наиболее существенные черты явления. Чем удачнее образы, чем точнее и глубже подмечены связи между ними, тем, как правило, более экономны и даже скупы средства математического описания явлений и тем обширнее область, на которую могут распространяться методы теории. Одним из важнейших принципов естественнонаучной теории принято считать, так называемую “бритву Оккама”, а именно: “не умножай число сущностей без надобности”. Критерий истины в любой научной теории один – опыт, т.е. согласие теоретических прогнозов с результатами эксперимента.

Одна из наиболее глубоких областей науки, очень несложная по применяемым математическим средствам, строгая и всеобъемлющая по своим выводам, – безусловно, термодинамика.

Ее называют “королевой физики”. Понятия термодинамики исторически оказали сильнейшее влияние на систему взглядов и образов квантовой механики. Не случайно великие умы ХХ-го века – Планк, Эйнштейн, Бор и многие другие – оставили неизгладимый след именно в этих разделах естествознания.

Химическая наука неотделима от этих двух фундаментальных разделов физики. Квантовая механика изучает свойства отдельных частиц, и том числе атомов, молекул и кристаллов, рассматривая их как физические системы, образованные из ядер и электронов. Термодинамика делает следующий шаг, переходя от отдельных частиц к их коллективам. Эти физические системы, коллективы, принято называть термодинамическими системами. Разумеется, многие понятия и образы обеих дисциплин перекрываются. Пока частиц в системе относительно немного и есть возможность проследить за поведением каждой из них, используется аппарат квантовой механики. Но, если число частиц увеличивается настолько, что проследить за ними по отдельности становится невозможным, мы переходим к термодинамическому методу.

Как правило, строгость теории связывают с возможностью ее математической формулировки и построением количественных критериев, которые можно было бы сопоставить с результатами экспериментальных измерений. На этой ступени развития и обобщения естественнонаучного знания ситуация наиболее точно передается словами переписки двух знаменитых ученых России – В.И. Вернадского и П.А. Флоренского: “Язык образов заменяется языком символов”.

Символы и их математическая связь являются эквивалентами физических образов, моделирующих явления природы на уровне элементарных частиц и их образований, таких как атомы, молекулы и кристаллы. Квантовая механика использует мощный математический аппарат, в основе которого лежит теория операторов; предметом анализа последней являются математические действия над функциями – операторы. Причины этого станут ясными по мере обсуждения теории.

В каждой конкретной области естествознания используется свойственный ей минимальный набор образов, моделей и понятий, которые следует принять в качестве простейших, а прочие категории данной области науки будут конструироваться на их основе.

В качестве исходных могут быть использованы разные системы образов, но они, всегда оказываются связанными между собой. Выбор исходных образов диктуется соображениями удобства, а подчас и просто вкусом исследователя. Эта ситуация прослеживается в классической механике. Так, системы уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона выводимы, и взаимозаменяемы. Так же обстоит дело и в термодинамике; например, существуют различные равносильные и взаимозаменяемые формулировки 2-го начала термодинамики. Такое же положение имеет место и в квантовой механике. Наша задача – выделить простейшие из ее категорий, которые достаточно рациональным способом позволяют рассматривать проблемы химии.

1.1. Состояния и уровни системы. Волновые функции

1.1.1. Квантово-механическая система – это одна частица или несколько частиц, взаимодействующих друг с другом и совершающих совместные движения, В классической механике одним из разделов является статика, которая рассматривает покоящиеся системы с взаимно неподвижными частями. В микромире, изучаемом методами квантовой механики, статические, покоящиеся системы немыслимы. Все частицы, образующие систему, – всегда в движении. Обсудим характер такого движения.

Рекомендуемые материалы

1.1.2. Проще всего это сделать для замкнутой устойчивой системы, не подверженной внешним воздействиям. Энергия такой системы постоянна, а частицы находятся в строгом периодическом движении. В атоме, например, электроны обращаются вокруг ядра; в молекуле ядерный остов совершает периодические движения – колебания и вращения, а электроны периодически движутся в поле ядер и т.д. При этом некоторая совокупность координатных характеристик периодически изменяется, но измерить мгновенные положения отдельных частиц в принципе невозможно, да в этом нет и необходимости. В то же время такие характеристики, как энергия, момент количества движения, частоты колебаний доступны для экспериментального определения с той или иной точностью.

1.1.3. Эта ситуация принципиально нова в сравнении с движением классических систем. В квантовом мире мгновенные координаты частиц и закон движения, как изменение этих координат во времени лишены смысла и их следует заменить иными понятиями. Важнейшее из таких понятий – понятие состояния. Под этим непростым, но и не подлежащим упрощению, понятием подразумевается вся совокупность измеримых характеристик системы.

1.1.4. Неизменные во времени состояния замкнутых систем называются стационарными, а неизменные параметры таких состояний – динамическими характеристиками. Движения в стационарных состояниях замкнутых систем строго периодичны, а частоты таких движений – их важнейшие характеристики, становятся характеристиками состояний.

1.1.5. У замкнутых систем, образованных из двух и более частиц, полная энергия отрицательна по знаку. При этом за нуль энергии принимается потенциальная энергия взаимодействия частиц, бесконечно удаленных друг от друга. В устойчивых состояниях потенциальная энергия сил сцепления считается отрицательной, и по модулю она больше суммарной кинетической.

Полную энергию стационарного состояния системы называют энергетическим уровнем, или просто уровнем.

1.1.6. Экспериментально установлено, что стационарные состояния замкнутых систем образуют дискретные наборы. Дискретны и уровни таких систем. Несколько разных состояний могут иметь одинаковую энергию. В таком случае говорят, что энергетический уровень вырожден. Кратностью вырождения уровня называется число состояний с равной энергией.

1.1.7. Дискретные состояния квантово-механической системы образуют счетные множества. Элементы этих дискретных наборов можно нумеровать. В качестве множеств, пригодных для нумерации состояний и уровней, обычно используют множество натуральных чисел N {1, 2, 3…}, или Zо {0,1,2,3…}, или множество целых чисел – Z {…-2, -1, 0, +1, +2…}. Не исключены и другие дискретные множества, например {…-3/2, -1/2, +1/2, +З/2…}. Важно то, что соседние элементы таких множеств отличаются на 1.

1.1.8. Один из уровней замкнутой системы обладает минимально возможной для ее устойчивого существования энергией. Этот уровень называют основным. Обычно с него и начинают нумерацию в порядке возрастания энергии. Остальные уровни, энергия которых больше основного уровня, называют возбужденными.

1.1.9. Если для нумерации уровней пригодны множества N или Zо, то для нумерации состояний иногда их может оказаться недостаточно. У систем, имеющих вырожденные уровни, состояния внутри таких уровней нуждаются в добавочной нумерации. Здесь-то обычно и приходят на помощь фрагменты множества Z или других множеств.

1.1.10. Для каждого из состояний квантово-механической системы вводят свой математический образ и его символ. Такой образ называют волновой функцией, для нее используют символ , либо  или какой-либо иной. Совокупность функций состояния называют спектром волновых функций системы и изображают набором – последовательностью:

1.1.11. Каждому состоянию отвечает свой энергетический уровень:

Е1, Е2, Е3,…Еk,….

Множество разрешенных значений энергии образует спектр уровней системы:

У вырожденных уровней нумерация может быть изменена и дополнена благодаря группировке состояний по уровням.

1.1.12. Введем важные понятия состояний “чистых” и состояний “смешанных”. “Чистые” – это дискретные состояния, которые разрешены для частиц, находящихся в стационарных условиях, т.е. не подверженных никаким внешним воздействиям. Такая ситуация идеальна. Реально всякая частица (атом, молекула и т.п.) лишь одна из многих, входящих в термодинамическую систему образца. Последнюю обычно рассматривают в состоянии теплового равновесия, которое в простейшем случае поддерживается за счет соударений, т.е. обмена энергией и состояниями между отдельными частицами. Поэтому приходится ожидать, что всякое реальное состояние квантово-механической системы “смешанное” и включает в себя любое из возможных “чистых” состояний с вероятностью, которая определяется условиями теплового равновесия.

1.1.13. Часто волновую функцию состояния называют вектором состояний. Это связано с особенностями математического аппарата и обусловлено глубокой аналогией, существующей между векторами и волновыми функциями.

1.2. Приборы и измерения. Операторы. Операторные уравнения

1.2.1. Исходная физическая информация о природных явлениях, в том числе и такая; которая служит первоосновой для построения теории, всегда исходит лишь из результатов эксперимента. Важнейшей чертой научного опыта является количественное измерение характеристик исследуемых систем. Соответственным образом организуется последовательность действий, приводящая к численному значению измеряемой величины. Материальная система, обеспечивающая процедуру измерения, – это прибор, имеющий определенную конструкцию с необходимыми взаимосвязанными узлами. Из стандартных узлов можно составить комбинацию различной сложности и конечного назначения.

1.2.2. В классической физике, связанной с изучением макроскопических объектов, процесс измерения можно организовать так, что измерение никак не сказывается на состоянии системы. В таком случае говорят, что измерение не возмущает объект. Так, вряд ли имеет смысл исследовать влияние астрономических наблюдений за планетами на их движение.

1.2.3. В квантовой механике, изучающей микромир, все обстоит иначе. Ни один из способов наблюдения и измерения не свободен от воздействия прибора на изучаемый микрообъект. При этом обязательно имеет место взаимодействие микрочастиц измерительного узла (фотонов, электронов и т.п.) и микросистемы[1]. Таким образом, элементарный акт измерения микроскопичен, но конечная информация выводится из детектирующего, узла прибора в преобразованном макроскопическом виде.

1.2.4. Отсюда ясно, что в акте измерения два материальных объекта – изучаемая система и прибор – образуют единое целое. Этим определяются необходимые математические образы, используемые в квантовой механике. Следом за волновой функцией – образом состояния системы, требуется ввести еще два образа, а именно: образ измерительного устройства и образ процедуры измерения, увязывающей систему и прибор в эксперименте

1.2.5. Измерения суть операции – действия над системами. Естественно их образами считать также действия – математические преобразования, определенные над волновыми функциями, то есть операторы. Измеряемые характеристики разнообразны, и приборы, как известно, специализированы, но имеется несколько типов фундаментальных величин и соответствующих им измерений, которые отображаются операторами простейшего вида. О них речь пойдет ниже.

1.2.6. Численные характеристики изучаемого состояния квантово-механической системы являются и целью, и итогом измерения. Акт измерения не оставляет состояние системы неизменным. После него может произойти релаксация – возвращение системы в исходное состояние, но может совершиться переход в другое состояние, либо иные превращения. Все зависит от способа постановки эксперимента. В любом варианте представляет интерес лишь такая схема опыта, которая приводит к информации о предыстории системы, т.е. о состоянии, непосредственно предшествующем измерению. В процессе измерения выделим стадию исходную и завершающую, когда сигнал об измеряемой величине уже сформирован. Определим в этом процессе условно следующие элементы:

Прибор

-метр

Исследуемая

система

Величина  на датчике прибора

Исследованная система

1. 2.7. Переведем наши рассуждения на язык математики. Для наглядности разделим поле страницы на три части вертикальными линиями и слева опишем словами существо акта измерения, выделяя построчно его узловые компоненты, далее введем ил математические символы-образы и, наконец, дадим комментарии:

Описание акта измерения

Символы и их математическое содержание

В акте измерения физической величины

1) соответствующий прибор

Оператор измеряемой величины

2) взаимодействует с

Знак включения действия* – умножение оператора на –

3) системой, находящейся в k-м состоянии,

– волновую функцию k-го состояния

4) В результате формируется сигнал, несущий информацию о

=

Знак равенства, связывающий алгоритм преобразования с его результатами

5) численном значении измеряемой величины

Число – собственное значение оператора

6) относящейся к

Знак умножения, связывающий это число и

7) исследуемому k-му состоянию

волновую функцию.

*Обычно опускается.

1.2.8. В итоге в качестве математического образа все измерительной процедуры получаем операторное уравнение:

(1.1)

Уравнения подобной структуры хорошо известны в математике. Это так называемые уравнения на собственные значения в матричной алгебре, а также в теории специальных функций, построенных в разделе некоторых типов дифференциальных уравнений.

1.3. Основные черты математического аппарата квантовой механики

1.3.1. Обсудим важнейшие черты операторного уравнения (1.1). Оно предписывает общую алгебраическую схему описания физических свойств стационарных систем в микромире. Эта схема требует, чтобы в качестве операторов физических величин  использовались только такие действия или комбинации действий, которые преобразуют волновые функции сами в себя с точностью до постоянного множителя. Соответственно, в качестве волновых функций могут применяться только такие функции, которые способны к подобному преобразованию. Их называют собственными функциями оператора. Множители  в уравнении (1.1) являются собственными числами или собственными значениями соответствующего оператора.

1.3.2. Хорошо известно, что простейшее математическое описание периодических процессов достигается с применением алгебры комплексных чисел. Комплексное число С и комплексно-сопряженное с ним С* состоят из одинаковых действительных частей (Rе) и различаются по знаку мнимых частей (Im),

, где

Произведение  называется квадратом модуля комплексного числа

Экспоненциальные функции с комплексными показателями имеют тесную связь с тригонометрическими функциями и широко распространены в описании пространственных и временных периодических процессов. Рассмотрим для примера сопряженные функции:

                                                         (1.2)

                                        (1.3)

Легко видеть, что квадрат их модуля, равный их произведению, единичен:

Периодичность есть характерная черта стационарных движений в микросистемах, поэтому в квантовой механике широко используется комплексное представление волновых функций, особенно при описании движений, включая вращательную составляющую.

1.3.3. В то время как волновые функции и операторы могут иметь комплексную форму, это недопустимо для собственных чисел операторов в уравнении (1.1), которые изображают измеримые величины и поэтому должны быть только действительными. Из этого вытекает жесткое требование к математической конструкции операторов квантовой механики, сформулировать которое мы сможем несколько ниже.

Очень важно, что не существует никаких математических или физических соображений, которые отдавали бы предпочтение числу или функции перец комплексно-сопряженным двойником. Они равноправны во всех расчетах, так как в конечном итоге приложения комплексных чисел и функций всегда связаны с их модулем. По этой причине уравнение (1.1) и ему комплексно-сопряженное выражение (1.4) физически эквивалентны:

        (1.4)

Величина  должна быть действительной и равной , т.е.  Такому требованию отвечают собственные числа так называемых эрмитовых или самосопряженных операторов (Шарль Эрмит – французский математик).

1.3.4. Сформулируем условие самосопряженности операторов. Выделим из операторных уравнений (1.1) и (1.4) собственные значения  и , не нарушая равенств. Учтем, что символ оператора означает преобразование функции, записанной справа от него.* Поэтому, чтобы не нарушить смысла преобразования, влекущего за собой нарушение равенств (1.1) и (1.4), домножим слева первое из них на , а второе на. Затем следует справа домножить каждую из частей (правую и левую) обоих уравнений на произведение дифференциалов всех координат и результат проинтегрировать во всем пространстве изменения аргументов. Сравним ход этих преобразований:

,                                                         ;

,           ;

,                       ;

,      .

Вообще говоря, это дело вкуса и удобства. Важно далее всюду соблюдать оговоренные однажды правила математического синтаксиса.

Правые части этих последних равенств равны:

 и

Поэтому равны и левые, т. е. получаем равенство (1. 5), которое выражает условие самосопряженности операторов, имеющих действительные собственные значения.

                                            (1.5)

1.3.5. В формуле (1.5) представлена функция  и ее комплексно-сопряженный “двойник” , а в общем виде эрмитов оператор  связывает две разные функции f и g аналогичной формулой:

 (1.6)

Обратим внимание читателя на то, что процедура комплексного сопряжения оператора и перевод его в  связана с тем, что мнимая единица в качестве численного параметра входит в конструкцию оператора.

1.3.6. Запись уравнений типа .(1,5) и (1.6) можно упростить и одновременно придать им дополнительный смысл, используя символы-скобки и , предложенные Дираком и называемые бра- и кет-символами соответственно (от англ. brасkets – скобки). Итак, вместо знаков интеграла, функций и дифференциалов переменных, образующих вместе операцию интегрирования, запишем эквивалентные символы:

 и

где называется бра-вектором, а – кет-вектором. В таком случае интеграл от произведения двух функций приобретает вид скалярного произведения

                                    (1.7)

Если в интеграл введем оператор, то получаем также символическое скалярное произведение

,                                     (1.8)

в котором вектор  преобразован оператором в новую волновую функцию-вектор, равный .

Таким образом, в этой записи очень многие важные интегралы квантовой механики оказываются просто скалярными произведениями различных бра- и кет-векторов. Формула (1.6) в бракет-символах приобретает вид:

=                                (1.9)

1.3.7. Из условия (1.6) или (1.9) вытекает чрезвычайно важное свойство собственных функций эрмитова оператора, называемое свойством ортогональности. Поясним смысл этого определения. Для этого рассмотрим две разные собственные функции эрмитова оператора, например, f и g, которым отвечают разные ненулевые собственные числа  и  соответственно, т.е. справедливы операторные равенства

         и                           (1. 10)

Образуем скалярные произведения

    и          (1.11)

Из первого скалярного произведения вычтем произведение, комплексно-сопряженное второму, и с учетом (1.11) получим:

     (1.12)

По определению эрмитова оператора получаем:

, ,

откуда следует:

                                      (1.13)

Поскольку, то уравнение (1.13) справедливо, если

, или                           (1.14)

Функции g и f, удовлетворяющие условию (1.14), называются ортогональными во всей области определения переменных по аналогии с ортогональными векторами, скалярное произведение которых равно нулю.

1.3.8. Ортогональный набор функций, эрмитова оператора очень удобен тем, что функцию, определенную на тех же переменных, можно разложить в ряд по набору. Таким образом, он может рассматриваться в качестве базисного набора, аналогичного набору ортогональных базисных векторов.

1.3.9. Такое разложение представляется всегда в виде линейной комбинации. Например, если ортогональный набор включает функции (f1, f2, f3,… fn,…), , то строгое разложение произвольной функции F примет вид бесконечного ряда:

                     (1.15)

Если выбираемый ортогональный набор ограничен, то ряд состоит из конечного числа слагаемых.

Ортонормированные наборы собственных функций эрмитовых операторов представляют собой естественную основу для конструирования математических образов дискретных состояний физических систем.

1.3.10. Второе важное требование, которое предъявляется к операторам квантовой механики – это линейность. Линейным называют оператор, обладающий следующими свойствами:

                              (1.16)

где  и – произвольные функции и а – произвольная постоянная. Можно подумать, что это слишком простые требования, но дело в том, что сравнительно узкий круг математических преобразований удовлетворяет им. Например, операция взятия синуса или возведения в степень не линейны и не могут служить основой для конструирования квантово-механических операторов:

Вам также может быть полезна лекция “Политика продвижения продукта и услуг скс и т”.

Это негативные примеры. Напротив, операции умножения на некоторую функцию или число, дифференцирование и интегрирование отвечают линейности, т.е. подчиняются уравнениям



[1] Следует различать исследуемый образец, также приготовленный в макроскопической форме и изучаемую микросистему, одну из огромного множества в его составе. Возможность выделения отдельных микросистем – атомов, молекул и элементарных частиц достижима в современных экспериментах, но прибор довести до микроуровня нельзя, хотя современная микроэлектроника сделала серьезные шаги в этом направлении.

Кафедра теоретической физики УрФУ


Цели и задачи курса

Квантовая механика – одна из основных составных частей курса теоретической физики и необходимый элемент образования современного физика. Задачей курса является ознакомление студента с основными принципами и методами квантовой теории, овладение основами аппарата квантовой механики, получение навыков самостоятельных расчетов квантовомеханических задач.


Содержание курса

Краткая история возникновения и развития квантовых представлений. Квантовая гипотеза Планка о дискретности излучения и поглощения света. Формула Планка. Кванты свободного электромагнитного поля – фотоны и теория фотоэффекта Энштейна. Теория Бора атома водорода и пространственное квантование Зоммерфельда-Вильсона. Гипотеза Луи де Бройля о волновых свойствах материи. Матричная механика Гейзенберга и волновая механикаШредингера. Статистическая трактовка волновой функции Борном. Решающие эксперименты по проверке квантовых представлений. Основные принципы и постулаты квантовой механики. Волновая функция. Принцип суперпозиции. Операторы в квантовой механике, их связь с физическими наблюдаемыми величинами. Понятие измерения. Среднее значение физической величины. Коммутационные соотношения. Соотношение неопределенностей и его физический смысл. Матрица плотности. Преобразования в квантовой механике. Преобразование координат и преобразования физической системы. Унитарные канонические преобразования. Понятие о векторе состояния, геометрическая аналогия. Различные представления вектора состояния. Матричная механика. Группы преобразований. Понятие группы и представление групп. Примеры групп, используемых в квантовой механике. Понятие о неприводимых представлениях групп, базисе представления. Трансформационные свойства элементов базиса. Непрерывные группы, инфинитезимальные матрицы, или генераторы групп, их связь с физическими величинами. Симметрия и законы сохранения в квантовой механике. Теорема Вигнера о связи собственных значений энергии и волновых функций с неприводимыми представлениями группы симметрии системы. Теорема Вигнера-Эккарта. Основные в квантовой механике операторы – импульса и момента импульса их связь с генераторами сдвига и поворота в трехмерном пространстве. Однородность и изотропность пространства и законы сохранения импульса и момента импульса. Свойства оператора импульса, его собственные функции. Математический аппарат теории момента количества движения. Коммутационные соотношения для компонент момента. Операторы повышения и понижения. Разбиение пространства собственных функций оператора z-компоненты момента на базисы неприводимых представлений группы трехмерных вращений (jm-функции). Матричные элементы оператора момента. Квантовое число момента и его возможные значения. Трансформационные свойства jm-функций. Векторная модель сложения моментов. Коэффициенты векторного сложения моментов (коэффициенты Клебша-Гордана), их свойства. Коэффициенты Вигнера. Сложение трех моментов и 6j-символы. “Физическая” и “математическая” интерпретация основной формулы сложения моментов. Неприводимые тензорные операторы. Теорема Вигнера-Эккарта. Эквивалентные операторы. Уравнение Шредингера как обобщение классического уравнения Гамильтониан-Якоби. Уравнение Шредингера и вариационный принцип. Плотность вероятности и плотность потока вероятности. Стационарное решение уравнения Шредингера, свойства стационарных состояний. Квазистационарное состояние. Различные представления зависимости от времени (Шредингера, Гейзенберга, взаимодействие). Простейшие и точно решаемые задачи квантовой механики. Одномерное движение, общие свойства решений. Потенциальные ямы и барьеры. Туннелирование. Гармонический осциллятор, спектр энергии и волновые функции. Два метода анализа (“традиционный” и метод бозе-операторов). Движение частицы в центральном поле. Разделение радиальных и угловых переменных. Сферические функции. Пространственный ротатор. Нерелятивистская теория атома водорода. Энергетический спектр. волновыефункции. Распределение электронной плотности в различных nlm- состояниях. Особенности s, p, d – состояний. Гибридные орбитали. Стационарная теория возмущений. Невырожденный уровень.Вырожденный уровень. Эффективные гамильтонианы. Теория возмущений, зависящих от времени. Квантовые переходы, вероятность перехода. Основные уравнения нестационарной теории возмущений. Переход к представлению взаимодействия. Общий вид решения основного уравнения. Хронологический оператор Дайсона. Матрица рассеяния. Квантовые переходы под действием “постоянного” возмущения. “Золотое” правило Ферми. Закон сохранения энергии и соотношение неопределенностей энергия-время. Взаимодействие квантовой системы с электромагнитным полем. Вероятность перехода. Длинноволновое приближение. Электрические дипольные, квадрупольные, магнито-дипольные переходы. Понятие о парциальных фотонах электрического (ЕJ) и магнитного (МJ) типа. Законы сохранения при электромагнитных переходах и правила отбора. Квантовая теория упругого рассеяния. Метод функций Грина в задаче рассеяния. Амплитуда рассеяния.Борновское приближение. Формфактор рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния. Рассеяние в центральном поле. Рассеяние на кулоновском потенциале. Метод парциальных волн и его преимущества. Фазовые сдвиги. Оптическая теорема. Релятивистское уравнение Дирака для частицы со спином. Матрицы Дирака, их свойства. Различные формы записи уравнения Дирака. Свободное движение дираковской частицы. Спиральность. Дираковская частица во внешнем магнитном поле. Уравне-ние Паули. Спиновый магнитный момент. Дираковская частица во внешнем электрическом поле. Релятивистские поправки. Спин-орбитальное взаимодействие. Тонкая структура спектра атома водорода. Сравнение с экспериментом. Сдвиг Лэмба. Сверхтонкие взаимодействия (СТВ). Электрические и магнитные СТВ. Контактное взаимодействие Ферми. Сверхтонкая структура спектра атома водорода. Спиновая поляризация и локальные поля на ядрах . Квантовая теория систем многих частиц. Принцип тождественности. Перестановочная симметрия. Симметризация и антисимметризация волновых функций. Детерминант Слэтера. Принцип Паули. Классификация типов перестановочной симметрии спиновых и орбитальных функций по схемам Юнга. Спин и перестановочная симметрия. Обменное взаимодействие. Эффективный оператор обменного взаимодействия. Классификация обменных взаимодействий. Представление чисел заполнения и метод вторичного квантования. Уравнение Шредингера в представлении чисел заполнения. Операторы рождения и уничтожения частиц, их свойства. Вторичноквантованная форма записи одно и двухчастичных операторов. Полевые операторы. Стандартные гамильтонианы теории систем многих частиц. Приближенные методы расчетов в системах многих частиц. Прямые вариационные методы. Метод Хиллерааса в атоме гелия. Метод Хартри-Фока. Корреляционные эффекты. Основы теории многоэлектронных атомов. Многоэлектронные конфигурации. Сложение моментов и типы связи (LS-, jj-). Электростатическое взаимодействие электронов. Параметры Слэтера. Термы. Спин-орбитальное взаимодействие при LS-связи. Мультиплетное расщепление. Атомы в кристаллах. Элементы теории кристаллического поля. Слабое, среднее, сильное КП. Элементы квантовой химии. Метод Гайтлера-Лондона и метод молекулярных орбиталей. Двухатомная молекула. Электронно-колебательное взаимодействие. Адиабатическое приближение. Эффект Яна-Теллера. Приближение Борна-Оппенгеймера. Туннельное расщепление. Элементы квантовой теории твердого тела. Блоховские состояния. Зонная модель. Гамильтониан Хаббарда. Квазичастицы в твердых телах.


Темы практических занятий

Операторный формализм квантовой механики. Матрицы Паули. Бозе- и Ферми-операторы. Элементы метода вторичного квантования. Линейный гармонический осциллятор. Оператор момента количества движения. Спиновые операторы. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана. Одномерное движение. Кусочно-постоянные потенциалы. Движение в центральном поле. Атом водорода. Стационарная теория возмущений: ангармонический осциллятор; эффект Штарка; эффект Зеемана; учет спин-орбитального взаимодействия. Элементы теории кристаллического поля. Нестационарная теория возмущений. Электромагнитные переходы. Правила отбора. Вероятность переходов. Многоэлектронный атом. Термы, мультиплеты.


Литература

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика, А.С.Давыдов. Квантовая механика, А.А.Соколов, И.М.Тернов, В.Ч.Жуковский. Квантовая механика, М., Наука, 1979 г. П.В.Елютин, В.Д.Кривченков. Квантовая механика, М., Наука, 1976 г. Карнаков, Коган, Галицкий. Задачи по квантовой механике. Квантовая механика (методические указания по решению задач): часть I (составитель А.С.Москвин), часть II (составители А.С.Москвин, С.Ю.Шашкин)


К списку

Основные представления квантовой механики – Справочник химика 21

    Основные представления квантовой механики и статистической физики  [c.85]

    СПЕКТРЫ АТОМОВ И ИОНОВ С ОДНИМ ВАЛЕНТНЫМ ЭЛЕКТРОНОМ 17. Основные представления квантовой механики [c.87]

    Основные операторы квантовой механики координатное представление)  [c. 48]

    Зонная теория твердого тела позволяет объяснить основные физико-химические свойства кристаллов высокую электрическую проводимость и теплопроводность металлов, особенности проводимости в полупроводниках, изолирующие свойства диэлектриков и т. п. Электрическая проводимость кристаллов определяется наличием квазисвободных электронов, способных к направленному перемещению под действием внешнего электрического поля. Если на электрон действует сила, определяемая напряженностью электрического поля, то он начинает двигаться с ускорением и его кинетическая энергия при этом возрастает. В зонной модели, которая является результатом применения представлений квантовой механики к твердому телу, возрастание энергии электрона равносильно его переходу на более высокий энергетический уровень. При наличии в зоне разрешенных энергий вакантных уровней, ко- [c.309]


    Ниже приводятся некоторые основные представления квантовой механики, с которыми необходимо познакомиться, чтобы в дальнейшем понять ту роль, которую играют в химических свойствах веществ электроны, связанные с атомами, молекулами и кристаллическими решетками веществ.[c.29]

    Основные представления квантовой механики Прямые опыты, как например, опыты по дифракции электронов и атомов, приводят к заключению, что частицы вещества обладают не только корпускулярными свойствами, отображаемыми классической механикой, но и волновыми свойствами, рассмотрение которых является предметом квантовой механики. [c.108]

    Мне доставляет большое удовольствие написать это предисловие к русскому изданию книги Валентность . Я только что вернулся из поездки в Советский Союз, где имел возможность встретиться со многими советскими учеными и обсудить с ними как их, так и мои работы. Я считаю, что квантовой химии принадлежит большое будущее. Многие основные представления квантовой механики оказали глубокое влияние на химические теории. Не будет преувеличением сказать, что современная химия коренным образом отличается от химии того периода, который предшествовал введению волнового уравнения Шредингера. Квантовая химия интернациональна, и ученые почти каждой страны мира внесли вклад в ее развитие. Я уверен, что и в дальнейшем советские химики будут объединять свои усилия с химиками других стран в разработке этой увлекательной новой отрасли химии, и если настоящая небольшая книга окажется им полезной, то я испытаю истинное удовлетворение. Ведь всех нас объединяет любовь к природе и стремление понять ее. [c.9]

    Согласно основному положению квантовой механики, состояние системы частиц описывается волновой функцией в координатном представлении, т. е. зависящей от координат и спинов всех частиц системы, а также, вообще говоря, от времени  [c.12]

    Основой теории проф. Челинцева является введение орбитно-контактных связей между атомами. Так, он утверждает, что бензольное ядро состоит из чередующихся, положительно и отрицательно заряженных атомов углерода, соединенных орбитно-контактными связями . Такое представление приводит к противоречию с прямыми экспериментальными данными, согласно которым свободная молекула бензола имеет ось симметрии шестого порядка, а не третьего, как это должно быть по теории Челинцева. Для спасения своей теории проф. Челинцев вынужден утверждать, что электронная плотность равномерно распределена по кольцу и что его знаки плюс и минус введены для указания химической принадлежности электронов к отдельным ядрам углеродов. Это представление находится в полном противоречии с основными представлениями квантовой механики, базирующейся иа опытном факте неразличимости электронов. Если электроны распределены равномерно по бензольному кольцу, то нет смысла говорить о принадлежности их к трем из шести ядер углерода в кольце. [c.397]


    Главы 2—4 посвящены физике возбужденных состояний молекул. Основные представления квантовой механики и молекулярной спектроскопии изложены кратко и не всегда строго. Однако подготовленному читателю эти главы помогут упорядочить свои знания, а у неподготовленного читателя появится желание глубже разобраться в этой области, воспользовавшись рекомендуемой автором литературой.[c.5]

    ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 89 [c.89]

    Следует отметить, что для решения основной задачи, которую мы ставим ниже — установления общей картины строения химических частиц, — как она представляется в квантовой механике, и анализа тех путей, при помощи которых может быть установлено соответствие между квантовой механикой и классической теорией химического строения, для определения степени объективной значимости, понятий классической теории, области, границ их приложимости, а также для установления их возможной квантово-механической интерпретации, нам вообще не понадобится решать уравнение Шредингера для конкретных задач. Для решения в основных чертах всех поставленных выше вопросов будет вполне достаточно использовать общие постулаты и представления квантовой механики и некоторые общие простейшие свойства уравнения Шредингера для систем, состоящих из ядер и электронов. Прежде чем рассматривать вопросы, указанные выше, введем еще следующие ограничения в поставленную задачу.[c.86]

    Основным положением квантовой механики является представление о прерывистости (дискретности) всего существующего и происходящего в окружающем нас мире — вещества, излучения, процессов. Из этого следует, что любой объект изучения нельзя делить беспредельно, не изменяя его природу, так как он состоит из определенного числа (может быть, очень большого, но не бесконечного) отдельных порций (квантов). На понятии о квантовании энергии и основано объяснение Нильсом Бором (1913) устойчивости атома. [c.30]

    В современной науке представления о состоянии электронов, участвующих в образовании химических связей, получили дальнейшее развитие на основе квантовой механики. Эта область физики, занимающаяся изучением законов движения микрочастиц (атомов, электронов, протонов, нейтронов и т. д.) и учитывающая в отличие от классической механики волновые свойства материи, связана с применением сложных математических расчетов и теоретических положений. Мы ограничимся кратким изложением основных понятий о природе ковалентных связей в свете представлений квантовой механики. [c.24]

    Приведем первые высказывания авторов теории резонанса. Основы этой теории,— пишет Д. Уэланд,— надо искать в математических недрах квантовой механики, и поэтому изложить теорию полно и строго можно только на математическом языке Совершенно верно. Теория резонанса не может быть правильно понята без математических понятий базиса, собственного вектора и т. д. Основное значение квантовой механики для химии,— пишет Л. Полинг,— заключается во внедрении новых идей, как, например, представления о резонансе молекул между несколькими устойчивыми структурами, сопровождающемся увеличением устойчивости . С этим тоже можно согласиться, имея в виду, что Полинг здесь говорит о моделирующей функции квантовой механики в химии. [c.58]

    Адмитансы в спектральном представлении. Если в формулах (4), (15.4), (15.59) и др. под индексами 1, 2,. .. понимаются пары ( 1, 1у), (аз, 4),. .., то будем говорить, что эти формулы взяты во временном представлении. Под этими индексами, однако, можно понимать также (а , С01), (аа, соа),. .., что соответствует спектральному представлению. Формулы, записанные при помощи числовых индексов, не меняются при изменении представления подобно тому, как не меняются при изменении представления основные формулы квантовой механики. Чтобы имелась такая инвариантность, переход к другому представлению должен совершаться согласованным способом, к описанию которого мы переходим. [c.146]

    Еще более интересные перспективы открываются на уровне структурной неорганической химии. Ввиду того, что изучение неорганических веществ в течение целого столетия (примерно 1830— 1930-е годы) осуществлялось в русле классических представлений о молекулах, которых в подавляющем большинстве неорганических соединений в действительности не существует, развитие неорганической химии происходило в основном лишь на уровне учения о составе, На структурный уровень оно поднялось лишь в связи с появлением квантовой механики не ранее 1930-х годов, т. е. со столетним опозданием по сравнению с органической химией. Если учесть то обстоятельство (о нем говорилось в гл. IV), что и сегодня еще в изучении твердого тела не исчезли рудименты преклонения перед стехиометрической химией, то успехи современной химии твердого тела, как, впрочем, и успехи химии комплексных соединений, можно квалифицировать лишь как первые шаги в познании глубин сложного строения неорганических тел. [c.274]


    Построение учебника таково. Первые главы посвящены началам квантовой механики. Далее следуют главы, в которых представлен основной каркас системы приближений, вводимых при рассмотрении молекулярных задач, а также принципы отвечающих этим приближениям квантовохимических методов. Наконец, в [c.6]

    Современная теория строения молекул многим представляется лишь разделом вычислительной математики, задача которого состоит в решении определенных уравнений квантовой механики. Данная книга убедительно показывает, что это представление ошибочно. Разумеется, авторы не пытаются обойтись без квантовой механики, ее понятий и принципов, но они и не требуют, чтобы читатель свободно владел предметом — достаточно иметь о нем некоторое общее представление. На основе нескольких фундаментальных (и имеющих четкий смысл) положений теоретической физики авторы строят систему химических принципов и понятий, объясняющих, как устроены молекулы и от чего зависят их свойства и взаимодействие. При этом оказалось возможным не уклоняться от обсуждения сложных вопросов и компактно излагать основные методы и результаты современных квантовохимических расчетов, хотя сами по себе эти расчеты весьма громоздки и обычно изложение их принцип нов действительно напоминает учебник по программированию, [c.5]

    Представления о симметрии очень важны как в связи с теоретическим, так и экспериментальным изучением строения атомов и молекул. Основные принципы симметрии применяются в квантовой механике, спектроскопии и для определения структуры при помощи дифракции нейтронов, электронов и рентгеновских лучей. Природа дает множество примеров симметрии, и это особенно очевидно, когда молекулы исследуются в равновесных конфигурациях. Для равновесной конфигурации атомы считаются фиксированными в их средних положениях. Когда существует симметрия, некоторые расчеты упрощаются, если ее принимать во внимание. Симметрией определяется также, может ли молекула быть оптически активной или иметь дипольный момент. Отдельные молекулы в отличие от кристаллических твердых тел (гл. 19) не ограничены симметрией, которой они могут обладать. [c.407]

    Химическая физика опирается на фундамент квантовой механики и изучает механизмы молекулярных столкновений, перераспределение энергии внутри молекул, а также связанные с внутримолекулярными физическими процессами кинетические химические эффекты. Основные понятия и представления химической физики стали формироваться в первой четверти XX в., когда было обнаружено, что при фотохимическом взаимодействии хлора и водорода на каждый поглощенный квант энергии света образуются не одна, а сотни тысяч молекул хлороводорода. Чтобы объяснить это явление, М. Боденштейн использовал понятие о радикалах — осколках молекул или несвязанных атомов, имеющих свободную валентность и обладающих реакционной способностью значительно большей, чем валентно насыщенные молекулы. [c.22]

    Квантовая химия использует идеи и методы квантовой механики для исследования химических объектов и процессов и дает возможность построить единую теорию химической связи Однако химики, в том числе и органики, сохраняют представление о различных типах химических связей, которые даны в таблице 1-3 по основным системообразующим признакам [c.48]

    Принятие илн непринятие основных постулатов квантовой механики зависит от всей совокупности опытных данных, относящихся к микромиру, и, хотя дифракция электронов весьма убедительно свидетельствует в пользу представлений де Бройля, все же остается несомненным, что волномеханический аспект должен привести и к прогнозам, имеющим более прямое и непосредственное отношение к вопросам химии. Одним из таких открытий является туннельный эффект, значение которого мы еще подчеркнем в дальнейшем. Другое важное явление, имеющее квантовую природу и совершенно неожиданное с точки зрения теории Бора, — это сверхтонкое взаимодействие. Волновая природа электрона проявляется в том, что электрон некоторое время проводит около ядра это влечет за собой различные последствия расщепление спектральных линий или даже полный захват электрона ядром, а также проявление магнитных взаимодействий на малых расстояниях. [c.76]

    Практическое руководство для постановки компьютерной лаборатории по квантовой механике. Основой является набор компьютерных программ 1п1егдиап1а (1Р) — “интерактивные графические программы квантовой механики”. Эти программы позволяют получить наглядное представление об основных принципах квантовой механики, излагаемых в теоретических курсах. Набор важнейших положений квантовой механики дается в конспективной форме в начале соответствующих глав. [c. 511]

    Представленное здесь изложение основных положений квантовой механики и статистической физики необходимо для понимания квантоволтеханической картины элементарного акта и выясксиия путей перехода от строгих кваптовомехнпиче- [c.85]

    С квантово-механической точки зрения химическая частица (нейтральная молекула, свободный радикал или молекулярный ион) представляет собой систему, состоящую из ядер и электронов. Если мы ставим вопрос о том, может ли некоторая совокупность из ядер и электронов образовать устойчивую (способную существовать как единое целое, не распадаясь самопроизвольно) химическую частицу, каково будет строение и возможные состояния этой частицы, каковы будут ее физические характеристики (геометрическая конфигурация ядер, энергия, распределение положительного и отрицательного заряда и т. п.), то эта задача может быть рещена на основе системы постулатов и представлений квантовой механики. Согласно основным положениям квантовой механики любое реально осуществляющееся состояние системы из ядер и электронов описывается некоторой функцией Ч “, так называемой волновой функцией, которая зависит, вообще говоря, от координат и спиновых состояний всех частиц, входящих в систему. Волновая функция Ч ” должна удовлетворять ряду общих требований, накладываемых квантовой механикой на все волновые функции . [c.85]

    В течение длительного времени я собирался написать книгу о строении молекул и кристаллов и природе химической связи. Благодаря развитию квантовой механики и ее приложений к химическим проблемам возник вопрос о том, в какой степени следует включить в книгу математические методы теории. Я пришел к выводу, что хотя значительная часть результатов структурной химии получена с помощью квантовой механики, все. же можно дать удовлетворительное и законченное изложение новых достижений без использования высшей математики. Только небольшая часть приложений квантовой механики к химии имеет чисто квантово-механический характер. Так, например, лишь в немногих случаях результаты, представляющие непосредственный интерес для химии, были получены путем точного решения волнового уравнения Шредингера. Достигнутые успехи связаны в основном с использованием преимущественно химических соображений. Обычно предлагается какой-либо простой постулат, который проверяется путем эмпирического сопоставления с имеющимися химическими данными и ис-польвуется для предсказания новых явлений. Основное значение квантовой механики для химии заключается во внедрении новых идей, как, например, представления о резонансе молекул между несколькими электронными структурами, сопровождающемся увеличением устойчивости. [c.5]

    Согласно представлениям квантовой механики, молекула может находиться в одном из стационарных состояний, которые отличаются энергией. Состояние с самой низкой энергией называется основным, остальные — возбужденными состояниями. Каждое г-е стационарное состояние молекулы с энергией описывается волновой функцией Фг вида (1.1). Все возможные стационарные состояния молекулы. могут быть определены как решения воли.опого уравнеинн Шредингера  [c.7]

    Согласно модельным представлениям теории Бора для одноэлектронного А., наряду с круговыми орбитами, возможны и эллиптич. орбиты различной формы, соответствующие тем же значениям энергии [ф-ла (2)] и получающиеся, если придать правилам квантования более общий вид. Однако это не устраняет принципиальные недостатки теории Бора, являющейся непоследовательной и не могущей объяснить ряд особенностей строения А, и нек-рых его свойств. Последовательная квантовомеханич, теория для А, водорода и водородонодобных ионов дает ие только ту же ф-лу (2), что и теория Бора, но и правильную характеристику состояний А, Эти результаты находятся путем решения основного уравнения квантовой механики — Шредингера -уравнения, причем, в отличие от теории Вора, дискретность уровней энергии А, получается в этом случае автоматически, без допо.инительных предположений, Решение Шредингером в 1926 задачи об А, водорода явилось важным этаном в развитии теории А, [c.156]

    Иными словами, представления о химической связи между атомами, о геометрии молекулы, ее симметрии и топологии и многие другие имеют смысл только в рамках определенных приблил еиий, вообще говоря, не вытекающих из основных (или, как часто говорят, первых) принципов квантовой механики В свою очередь, выбор приближения определяется не только характером постановки решаемой задачи, особенностями рассматриваемой системы, а также соображениями физического и математического порядка, но учитывает (чаще всего, неявно) весь рациональный опыт исторического развития данной предметной области, причем последний фактор не менее важен, чем все остальные.[c.106]

    В наше время происходит перестройка научных дисциплин, связанная с осуществлением научно-технической революции. В частности, представления о строении вещества, которые раньше были частью физики и химии, все более обособляются в самостоятельную отрасль знаний со своим математическим аппаратом и научной методологией. Это обусловлено в первую очередь тем, что основным инструментом познания и решения задач в данной области стала квантовая механика. С другой стороны, без теории строения вещества теперь демыслимо развитие самых разнообразных областей науки и техники — от астрофизики до сельского хозяйства. [c.3]

    Отмеченные обстоятельства требуют более глубокого, чем ранее, ознакомления студентов-химикрв с вопросами строения вещества на первом курсе вузов. С этой целью написана данная книга. В ней изложены современные представления о строении атомов, молекул, кристаллов и природе химической связи рассмотрены некоторые методы исследования структуры. При изложении методов структурного исследования основное внимание уделено газовой электронографии. Это сделано по двум причинам. Во-первых, электронография, использующая дифракцию электронов, на наш взгляд, является наиболее яркой иллюстрацией представления о волновых свойствах материальных частиц, лежащего в основе квантовой механики. Во-вторых, [c.3]

    Научные основы теории химического взаимодействия между компонентами раствора были заложены Д. И. Менделеевым. Основной недостаток теории электролитической диссоциации он видел в игнорировании химического взаимодействия между частицами растворенного вещества и молекулами растворителя. Обычно это взаимодействие учитывают, вводя- представления о гидратации в водных растворах и о сольватации в общем случае. Последние вошли в науку в конце 80-х годов прошлого столетия в результате трудов отечественных (И. А. Каблуков, В. А. Кистя-ковский) и зарубежных (Т. Фицпатрик, Д. Чамичан) ученых. Долгое время в основе теории сольватации ионов лежало представление об электростатическом взаимодействии ионов с диполями молекул растворителя. Однако сейчас уже ясно, что электростатическая теория сольватации имеет ряд принципиальных недостатков. Развитие квантовой химии показало, что взаимодействие между атомными и молекулярными системами может быть объяснено и рассчитано на основе квантовой механики. [c.236]

    Очевидно, что при первоначальном знакомстве с квантовой механикой и квантовой химией все многообразие проблем затрагивать не имеет смысла. Такое знакомство должно лишь дать представление о самой науке и о тех основных методах, которыми она пользуется при получении результатов. К тому же квантовая химия подчас опирается на такой математический аппарат, который в университетских курсах по математике для студентов химического профиля отсутствует, что также не позволяет ввести ряд ее важных разделов в начальный курс. По этим соображениям в настоящем учебнике опущены разделы по динамике молекул при их возбуждении и химических превращениях, по использованию методов вторичного квантования и функции Грина, по квантовохимическим проблемам теории твердого тела и т. п. В лучшем случае они лишь бегло упоминаются. Кроме того, почти не представлена теория атома, поскольку имеется учебник И. В. Аба-ренкова, В. Ф. Братцева и А. В. Тулуба Начала квантовой химии , в котором этот раздел изложен подробно и хорошо. И наконец, не представлены и очень многие качественные подходы, особенно распространенные в органической химии, которые возникли на базе квантовохимических представлений путем настолько значительных их упрощений, что превратились, по-существу, в некоторое подобие мнемонических правил, весьма полезных для практики, но уже заметно выходящих за рамки квантовой химии. [c.6]

    По какому конкретно представлению группы 8д, волновая функция может преобразовываться (по любому или по каким-либо выделенным) квантовая механика отвечает лишь постулатом волновые функции должны преобразовываться по полносимметричному представлению (т.е. оставаться без изменений), если тождественные частицы имеют целый спин х волновые функции должны преобразовываться по антисимметричному представлению (т. е. менять знак при каждой перестановке индексов двух частиц), если тождественные частицы имеют полуцелый спин Оба представления одномерные. Частицы с целым спином называются бозонами (по имени индийского физика Шатьендраната Бозе), а с полуцелым спином – фермионами (по имени итальянского физика Энрико Ферми, работавшего в основном в США). [c.213]

    Размер электронных облаков характеризуется в основном главным квантовым числом форма — орбитальным, а ориентация в пространстве — магнитным Некоторые электронные облака изображающие орбитали атома водорода приведены на рис 1 3 Таким образом, квантовая механика уточняет представления квантовой модели атома водорода предложенной Н Бором, в которой постулировалось что электрон вращается вокруг ядра по круговым орбитам определенных размеров По квантовой теории электрон не должен находиться на орбите определенного радиуса а может быть удален от ядра на различные расстояния хотя и с неодинаковой вероятностью Возникло представление об электронном облаке В состоянии 15 совокупность наиболее веро ятных местонахождений электрона представляет собой поверх ность сферы с радиусом г , который совпадает с радиусом первой орбиты в модели Бора До Электронное облако имеет наибольшую [c. 20]


Квантовая механика | Физика для идиотов

Вначале был непрерывный поток, а затем появился Макс Планк и предложил квантование. Квантование в основном просто означает, что вместо того, чтобы быть непрерывными, такие вещи, как электромагнитное излучение, могут существовать только в виде кратных определенных значений. Это немного похоже на тюбик умников. Вся трубка представляет собой луч света. Внутри него умники. Вы можете разделить трубку, чтобы в ней было меньше умников, или вы можете взять другую трубку и иметь умников, но у вас должно быть целое количество умников, потому что их нельзя разделить (если кто-нибудь напишет мне по электронной почте предлагаю раздавить/раздавить/расколоть умника, я выследю их и заставлю заплатить!).

К такому выводу

Планк пришел, работая над «Ультрафиолетовой катастрофой». Согласно классическому электромагнетизму, количество способов, которыми электромагнитная волна может колебаться в трехмерной полости на единицу частоты, пропорционально квадрату частоты. Это означает, что мощность, которую вы получите на единицу частоты, должна соответствовать закону Рэлея-Джинса, что означает, что мощность будет пропорциональна квадрату частоты. Таким образом, если вы поднимаете частоту все выше и выше, мощность будет неограниченной.Планк сказал, что электромагнитная энергия не соответствует классическому описанию. Он сказал, что его можно излучать только дискретными порциями энергии, пропорциональной частоте

.

   

или иногда пишется как

   

, где (произносится как «h bar») равно h/(2). Эти уравнения означают, что излучение в конечном итоге стремится к нулю на бесконечных частотах, а общая мощность конечна. Планк назвал эти пакеты энергии «квантами». Значение h равно Дж·с, а значение равно Дж·с.

Квантовое поведение отличается от классического, потому что h не равно 0

Если светить на металлическую поверхность достаточно долго, поверхность нагревается. Это должно означать, что свет передает энергию металлу, поэтому теоретически возможно, что если вы освещаете поверхность достаточно долго, будет передано достаточно энергии, чтобы освободить электрон с орбиты. Даже при слабом свете вы должны быть в состоянии достаточно долго ждать накопления энергии и испускания электрона.Итак, физики попытались провести эксперимент. Это с треском провалилось. Для некоторых металлов специфический свет будет вызывать эмиссию электронов, для других металлов тот же самый источник света не будет, независимо от того, как долго он остается. И было обнаружено, что электроны вышли с более высокими энергиями в зависимости от цвета света, а не интенсивности.

Проблема фотоэлектрического эффекта была решена в 1905 году Эйнштейном, за что он получил Нобелевскую премию в 1921 году. Эйнштейн применил планковскую теорию квантования к свету и сказал, что свет — это не непрерывный поток энергии, а множество небольшие пакеты с определенной энергетической ценностью, которая зависела от его длины волны.Это объясняет, почему независимо от того, как долго вы оставите свет на поверхности, излучение не будет происходить, если у отдельных фотонов не будет достаточно энергии. Это также объясняет, почему разные цвета дают испускаемым электронам разные значения энергии. Было показано, что энергия связана с длиной волны уравнением Планка. Эйнштейн также показал, что энергия испущенных электронов будет равна

   

, где Φ — энергия, необходимая для того, чтобы вывести электрон из металла сразу за пределы поверхности, и называется «работой выхода».

Начнем со стандартного уравнения для волны.

(1)  

означает, что вид этой волны зависит от позиции () и времени (). Описание представлено в виде комплексных чисел и может быть отображено с помощью диаграммы Аргана (дополнительную информацию см. здесь). Эта волна является решением волнового уравнения, и мы хотим увидеть, можно ли использовать волновое уравнение для описания волн материи. Волновое уравнение

(2)  

Это уравнение говорит о том, что если вы частично продифференцируете свою волну относительно удвоенного числа, оно будет равно частному дифференциалу вашей волны относительно удвоенного числа, умноженному на константу, которая в данном случае равна .

Итак, теперь нам нужно посмотреть, будет ли это работать, поэтому сначала мы берем нашу волну (1) и дважды дифференцируем ее относительно (если вы не знаете, как это сделать, см. здесь помощь). Таким образом, дифференцируя дважды дает.

   

Вам может быть интересно, почему я изменил исходное уравнение при дифференцировании. Изначально у нас было и теперь есть. Это просто математический трюк, который вы можете проделать с экспоненциальными степенями, и я лично думаю, что это упрощает дифференцирование.Теперь мы дважды продифференцируем волну по времени, чтобы получить

.

   

Теперь мы можем подставить эти два результата в уравнение (2), чтобы получить

   

Для удобства знаки минус, ‘s и квадраты отменяются, что дает нам

(3)  

Теперь, если мы возьмем 2 базовые квантовые формулы из первого раздела

(4)  

(5)  

и пробуем подставить в них (3) получаем проблему

   

   

Впрочем по делу. Для нерелятивистской материи связь между энергией и импульсом подчиняется следующему закону

(6)  

Похоже, у нас проблема. Волновое уравнение (2) не работает для материи. Один из способов заставить это работать — сказать, что вместо того, что если бы мы попытались сделать так, чтобы это было? Для этого нам понадобилось бы волновое уравнение, дважды продифференцированное с и только один раз с . Также, если мы заменим константу, мы сможем облегчить себе жизнь. Итак, давайте попробуем

   

в качестве нашего нового волнового уравнения.Теперь мы изменились на, так как это уравнение будет работать и является общим символом, используемым для квантово-механических волн, уравнение для такое же, как и для . Итак, если мы теперь проведем дифференцирование

   

   

Что, если мы вернемся к нашему новому волновому уравнению, даст нам

   

Какая связь между и мы искали. Итак, теперь мы можем переставить и подставить в уравнения (4), чтобы получить

   

   

Теперь мы можем выбрать нашу константу как

.

   

получаем

   

Правильно!! Пока все хорошо, наше новое волновое уравнение для материи дает нам правильную энергию.Итак, давайте вернем константу в

.

   

А теперь еще раз переделайте, чтобы получить более красивый вид,

   

Мы почти у цели. Уравнение почти готово. Однако, когда мы решим его для энергии частицы, мы получим

.

   

, но иногда частица может получать энергию из своего окружения, например, если она находится в потенциале, поэтому мы должны сделать одну небольшую поправку, чтобы учесть все возможные энергии частиц

   

Это означает, что наше волновое уравнение принимает вид

.

   

Это называется одномерным уравнением Шредингера, зависящим от времени

Независимость от времени

В большинстве случаев вы узнаете о вовлечении волн материи, таких как электроны, потенциалы, в которых они находятся, на самом деле не зависят от времени, они не меняют форму внезапно через столько секунд. Если это так (а в большинстве случаев это так), то мы можем использовать метод разделения переменных в уравнении Шрёдингера.

Первое, что мы делаем, это предполагаем, что  можно разделить на две функции, одну, которая зависит только от , и одну, которая зависит только от , например,

   

Затем вы получаете свое уравнение Шредингера и везде, где есть  , вы просто заменяете его на , так что вы получаете

   

Теперь вы делите на , вы избавляетесь от того, что слева, так как этот дифференциал не зависит от , а если вы делите на , вы избавляетесь от справа, так как это дифференцирование не зависит от .Таким образом, вы получаете

   

Теперь, скажем, изменилось, это будет означать, что левая часть уравнения теперь будет иметь другое значение, однако, поскольку оно не зависит от правой части уравнения, оно не изменится. Это вызовет ошибку. Две стороны уравнения раньше были равны, теперь одна сторона изменилась, и они по-прежнему должны быть равны. Чтобы обойти эту проблему, вы устанавливаете обе стороны равными константе, в этом случае мы будем называть это . Итак, теперь у нас есть два отдельных уравнения,

(7)  

(8)  

Мы уже говорили, что нас интересуют только случаи, когда время не влияет на потенциал, поэтому мы можем игнорировать уравнение (7) и просто использовать уравнение (8), которое является нашим одномерным независимым от времени уравнением Шрёдингера .В случае свободной частицы решение уравнения (8), не зависящего от времени, принимает вид

где

Это означает, что волновая функция имеет вид

Форма аналогична уравнению (1), при условии, что константа представляет собой полную энергию системы, что хорошо. Это означает, что при условии, что мы знаем энергию системы, мы можем найти решение волнового уравнения. Кроме того, при условии, что энергия остается постоянной, не влияет на , поэтому  то же самое, что и , поэтому мы можем написать

   

границ | Детерминированная квантовая механика: математические уравнения

1.

Введение: онтологическая квантовая механика

Дискуссии об интерпретации квантовой механики [1–20] кажутся запутанными и бесконечными. Этот автор предпочитает рассматривать математические уравнения, которые имеют значение. Наличие уравнений сделает обсуждение намного более простым. Здесь мы сводим теорию квантовой механики к математическому языку, описывающему структуры, которые вполне могут эволюционировать детерминистически. Сам язык одинаково подходит для любой системы с классическими или квантовыми законами эволюции.

Каждое состояние, в котором может находиться система, представлено единичным вектором. Нас интересует различение «онтологических состояний». Это единичные векторы, которые взаимно ортогональны и имеют норму один; они образуют ортонормированный базис гильбертова пространства. Мы можем различать конечномерные гильбертовы пространства и бесконечномерные. Система называется детерминированной, если онтологические состояния эволюционируют в онтологические состояния [21–23].

Мы используем обозначение скобки Дирака [1] как для классически эволюционирующих систем, так и для квантово-механических.Состояние обозначается как | n 〉, где n означает некоторое описание этого состояния. Часто мы просто перечисляем все доступные состояния, выбирая n ∈ ℤ, множество целых чисел. В качестве альтернативы у нас могут быть состояния | x 〉, где x принимает значения всех действительных чисел, или мы можем иметь векторы, |x→〉, |n→〉,….

Первые модели, которые мы рассмотрим, покажутся слишком упрощенными для представления всех интересных и релевантных квантовых систем в целом.Эти базовые модели следует рассматривать как строительные блоки для более полной теории детерминированной квантовой механики. В конце концов они будут связаны (детерминированными) гамильтонианами взаимодействия. То, что представлено в этой статье, является общим механизмом, который будет использоваться в этих конструкциях. Мы понимаем, что дальнейшая оптимизация сделает наши фундаментальные наблюдения более прозрачными.

Детерминизм можно распознать, анализируя спектр собственных значений гамильтониана [21]. На первый взгляд кажется, что только линейные по импульсам гамильтонианы могут представлять онтологические системы, но это происходит только в том случае, если система предполагается строго непрерывной.Если мы предположим, что временная координата находится на (очень плотной) решетке, собственные значения гамильтониана будут периодическими, т. Е. Эти собственные значения могут быть вынуждены располагаться на конечном интервале. Если мы временно ограничимся одним изолированным элементарным строительным блоком более общей квантовой системы, допускающей только конечное число состояний, мы можем считать ее периодической во времени. Как мы увидим, детерминированные периодические системы можно отождествить с квантовыми гармоническими осцилляторами; они имеют вполне реалистичные гамильтонианы с одним устойчивым основным состоянием.Если время квантовано, мы находим полезную внутреннюю SU (2) симметрию. В этом случае существует не только вакуумное состояние (состояние с наименьшей энергией), но и «антивакуум» — состояние с наибольшей энергией. Антивакуа может играть важную роль в физике черных дыр [24].

Особое внимание необходимо уделить концепции местности. Например, в свободной квантовой частице в одном пространственном измерении с достаточно общим выражением функции кинетической энергии T ( p ) мы можем определить соответствующий онтологический оператор, его «возможность», но это не -локальная функция x и p .Такие модели нельзя напрямую применять к физически реалистичным сценариям; вместо этого они используются как промежуточные шаги к более удовлетворительным процедурам, как будет объяснено ниже. Мы утверждаем, что можно построить локально онтологические и детерминированные системы, которые, тем не менее, обладают квантово-механическими свойствами, включая такие сложные модели, как Стандартная модель. Эти детерминированные системы принимают форму «клеточных автоматов» [25–28]. Формально существует предел точности, с которой это можно сделать, но если, как предполагается, масштабом проявления детерминизма является масштаб Планка, то мы будем иметь огромный набор онтологических теорий, способных воспроизвести все известные данные достаточно точно.Все они будут полностью квантовомеханическими в обычном [29–31] смысле.

Это включает интерпретацию Борна абсолютных квадратов амплитуд как представляющих вероятности [32]. Здесь мы по-прежнему вольны использовать различные определения того, что может означать «вероятность»; во всех случаях определение будет перенесено на рассматриваемые волновые функции. В нашем случае: вероятность в = вероятность исхода : вероятность исхода эксперимента напрямую связана с вероятностью выбранного начального состояния.Уравнение Шредингера просто передает эту концепцию вероятности из начального состояния в конечное.

Вторичное квантование будет естественным ингредиентом, процессом, который восстанавливает не только локальную причинность, но и положительность гамильтониана; в принципе, это работает так же, как и в формализме Дирака для квантованных полей, но в нашем формализме взаимодействия учитываются несколько сложнее, чем в Стандартной модели. Мы обнаружили, что вторичное квантование служит двойной цели: оно восстанавливает специальную теорию относительности, не создавая состояний с отрицательной энергией [33–36], а также восстанавливает локальность, не жертвуя онтологией.Второе квантование в нашем формализме разъяснено в [21].

Наша газета устроена следующим образом. Детерминированные модели можно рассматривать как состоящие из элементарных ячеек, внутри которых данные просто колеблются по периодическим орбитам. Мы сначала объясним такие ячейки в разделе 3. Мы объясним и используем симметрию SU (2), которая проявляется и оказывается удобной, потому что эта симметрия так хорошо известна и изучена.

Идея о том, что детерминированные системы такого типа могут быть описаны так, как если бы они были квантово-механическими, кратко проиллюстрирована в разделе 4.Гильбертово пространство — чрезвычайно полезное устройство, но следует , а не считать само собой разумеющимся, что гильбертово пространство является предпосылкой элементарной квантовой теории. Однако, напротив, представление о том, что энергии, импульсы и даже пространственно-временные координаты являются квантованными , очень важно, и последствия этого чрезвычайно важны для нашего понимания природы.

Затем мы переходим к рассмотрению частиц на онтологическом языке. Это должно быть возможно, но, по-видимому, вступает в серьезное противоречие с самыми элементарными представлениями о местности.Одиночная квантовая частица, с которой мы часто сталкиваемся в атомной физике, в твердых телах и в большинстве элементарных частиц, ведет себя таким образом, который, по-видимому, не допускает прямой детерминистской интерпретации. Мы описываем, что происходит в разделах 5 и 6. Единственная изолированная частица может быть хорошо описана, если ее кинетическая энергия является линейной функцией ее импульса; если кинетическая энергия является чем-то более общим, у нас есть интересная онтологическая переменная, но она нелокальна.Это ставит под угрозу любую попытку добавить какой-либо онтологический потенциальный термин для частицы.

Раздел 7 закладывает основу для дальнейших действий, а затем начинается самая важная часть этого документа. Читателя, желающего погрузиться непосредственно вглубь, в основном должны интересовать разделы 8 и 9. Здесь мы объединяем наши элементарные ячейки в конструкцию, где они взаимодействуют, опять же допуская только детерминированные законы взаимодействия. Мы делаем вещи, которые обычно не учитываются: учитываем законы эволюции, которые напрямую обмениваются онтологическими состояниями.Удивительно, но это приводит к гамильтонианам взаимодействия, столь же общим и сложным, как то, с чем мы обычно сталкиваемся только в настоящих квантовых системах. Подчеркнем, что это доказывает, что различие между «квантовыми взаимодействиями» и «классическими взаимодействиями» является искусственным и явилось результатом отсутствия у нас фантазии относительно возможных взаимодействий, даже если мы ограничиваемся тем, что обычно называют «детерминированным». ” Как будет ясно показано в разделе 9, то, что обычно называют «квантовой механикой», можно отнести к влиянию быстрых, почти скрытых переменных.

Возникает представление о том, что квантовая механика является вспомогательным устройством, это схема, позволяющая проводить статистические исследования, выходящие далеко за рамки обычных процедур в физике конденсированного состояния и термодинамике. То, что найдено, можно назвать «детерминистской локальной теорией поля», которая могла бы свергнуть «квантовую теорию поля».

Наша математика может подсказать, что может быть главной фундаментальной причиной кажущейся истинной «квантовой» природы нашего мира. Источник кажущегося индетерминизма в квантовой механике, по-видимому, заключается в времени .Когда двум системам, лишь немного отделенным друг от друга, позволяют взаимодействовать, мы должны понимать, что обе системы содержат внутренние части, которые колеблются в масштабах времени, которые очень малы даже по меркам времени, используемым в физике элементарных частиц. Единственный способ зарегистрировать то, что происходит, когда они взаимодействуют, состоит в том, чтобы спроецировать сверхбыстрые временные компоненты обеих систем. Это можно сделать только путем выбора собственных состояний гамильтониана с достаточно низкой энергией, что является процедурой, которую можно выполнить только путем введения гильбертова пространства.Сегодня физики имеют доступ только к самым низким энергетическим состояниям, и их можно описать только на языке квантовой механики. Мы оставляем философам развивать такие наблюдения или подозрения.

2. Стандартный квантово-механический гамильтониан для непрерывных систем

Исторически квантовая механика впервые изучалась для непрерывных систем, т. е. координаты и импульсы непрерывно определяются в пространствах ℝ n . Общий гамильтониан H затем записывается как

. H=T(p→)+V(x→)+A→(x→)·p    (1)

, где x→ и p→ — обычные, непрерывно определенные координаты и импульсы, подчиняющиеся

[xi,pj]=iδij .(2)

третий член на самом деле самый простой. Гамильтониан, имеющий только в этом члене, описывает полностью детерминированную систему, поскольку тогда уравнения Гамильтона читаются:

H=A→(x→)·p→      ddtx→=∂H∂p→=A→(x→) ,    (3)

, в то время как производная по времени от p→ не нужна напрямую. Отметим, что в каком-то элементарном смысле все детерминированных законов эволюции можно представить в виде (3), так что это на самом деле очень важный случай.

В обычных квантовых системах мы имеем в качестве центральной единицы кинетический член T(p→).Обычно, но не всегда, он принимает вид T(p→)=12p→2. В этом случае «магнитный» член A→·p→ играет более второстепенную роль. Этот случай уже считается «по существу квантово-механическим», демонстрируя характерные интерференционные картины. Тем не менее, частицы, которые в основном движутся прямолинейно, могут быть не самыми интересными физическими вещами, поэтому третий член, V(x→), где функция V может быть почти любой, потребуется, чтобы охватить почти все системы физических явлений. интерес.Это самый сложный случай с настоящей точки зрения.

В нашем обсуждении мы делаем один важный шаг назад: пространство, время, а часто и импульс будут оставаться дискретными. Континуальный предел всегда можно рассмотреть на каком-то более позднем этапе. Вопрос в том, можем ли мы рассматривать интересный случай общего гамильтониана (1) в качестве континуального предела моделей, которые будут обсуждаться сейчас. В настоящее время эти модели обычно описывают только конечномерное векторное пространство.

3. Периодическая модель и ее

SU (2) Симметрия

Нашим элементарным строительным блоком будет система или устройство, которое обновляется на каждом временном шаге продолжительностью δ t , и через период T = Nδt возвращается в исходное положение. Элементарные онтологические состояния | k ont , где k — целое число, k = 0, … N − 1. Заметим, что на данном этапе квантовой механики в обычном смысле нет, но мы будем использовать квантовая механика просто как язык [21].Рассматриваемые здесь онтологические состояния тесно связаны с концепцией «когерентных состояний», имеющей давнюю историю, восходящую к Глауберу [37].

Оператор эволюции за один временной шаг, U t ), определяется просто как

|k〉t+δtont=U(δt)|k〉tont= |k+1​    mod N〉tont. U(δt)=(0⋯011⋯00⋮⋱ ⋮0⋯10) . (4)

Матрица U легко диагонализуется с помощью конечного преобразования Фурье:

|k〉ont=1N∑n=0N−1e−2πink/N|n〉E  |n〉E=1N∑k=0N−1e2πink/N|k〉ont    (5)

где | n E — энергетические собственные состояния.У нас есть

U(δt)|n〉E=e−2πin/N|n〉E    (6)

, и мы можем определить матрицу Гамильтона H , наложив

Uδt=e−iHδt    H|n〉E=2πnNδt|n〉E=nω|n〉E     ω=2πT    (7)

(Обратите внимание, что энергия основного состояния здесь настроена на ноль; мы также будем делать это, когда будем обсуждать гармонический осциллятор; читатель всегда может рассматривать «исправленные» определения, где основное состояние имеет энергию 12ω).

С помощью преобразования Фурье (5) можно легко определить, как H действует на онтологические состояния | к на .

Наш математический аппарат становится более мощным, когда мы понимаем, что собственные состояния энергии можно рассматривать как собственные состояния | м 〉 из L 3 в трехмерном ротаторе. Пусть квантовое число полного углового момента ℓ равно

. N≡2ℓ+1      n=m+ℓ       H=ω(L3+ℓ) . (8)

Затем определите (модифицированные) операторы p и x по

L1≡pℓ     L2≡xℓ     [x,p]=-iL3/ℓ=i(1-H/ωℓ)    (9) ℓ(ℓ+1)=L12+L22+L32  →  H=ω1-H/2ωℓ12(p2+x2-1)    (10)

, и мы видим, что, когда ℓ имеет тенденцию к увеличению (в то время как энергия H и фундаментальный шаг по времени δ t остаются малыми), это сводится к стандартному уравнению Шредингера для гармонического осциллятора (значение основного состояния 12ω вычитается из этого гамильтониана).И x , и p принимают значения 2ℓ + 1, и они охватывают все гильбертово пространство, но они не являются онтологическими. Отождествим исходные состояния | k на [уравнение (4)], как наши онтологические состояния.

Операторы L ± = L 1 ± iL 2 играют роль операторов рождения и уничтожения: они прибавляют или вычитают единицу ω к энергии состояния. Однако в верхней половине спектра L ± меняются местами: алгебра такова, что L + больше не может добавлять энергию выше предела m = +ℓ, так что энергия спектр простирается на конечный интервал [0, 2ℓω].Имеется очевидная симметрия H ↔ 2ℓω − H . И поэтому

вакуумное состояние |0〉 E имеет аналог «антивакуум» |2ℓ〉 E , где энергия максимальна .

Не только во вторичном квантовании, но и в физике черных дыр такие состояния играют важную роль. Это неизбежное следствие нашего желания найти конечномерную теорию квантовой механики.

Оба x и p являются дискретными операторами, как и гамильтониан:

H=ωn,     x=r/ℓ      p=s/ℓ,     r, s – целые числа∈[-ℓ,ℓ]    (11)

, но из-за модификации (9) их правила коммутации унитарный оператор, связывающий собственные состояния | r x и | s p сложнее, чем обычно. Это происходит до тех пор, пока элементарный временной шаг δ t остается конечным.В пределе δ t → 0 мы восстанавливаем обычный гармонический осциллятор. Затем онтологические состояния непрерывно движутся по кругу. Унитарный оператор, связывающий базис p с базисом x для конечных ℓ, может быть получен из матричных элементов оператора e12iπL1 в базисе, где L 3 диагональ. Переходя к обычным обозначениям состояний (ℓ, m ), можно показать, что

〈r|s〉xp=〈m|e12iπL1|m′〉    где    m=r,  m′=s    (12)

это получается, если сначала отметить, что L 1 является диагональным в базисе, который повернут на 90 ° в пространстве углового момента, по сравнению с базисом, в котором L 2 является диагональным, а затем поменять местами L 1 , л 2 и л 3 .Элементы матрицы x r | s p можно вывести из рекурсивных соотношений, таких как

2rx〈r|s〉p=(ℓ+1-s)(ℓ+s)x〈r|s-1〉p                         +(ℓ+1+s)(ℓ+1+s)x〈r|s+1〉 р          (13)

в сочетании с x r | s p = p s | r x * и более. Результат можно изобразить, как на рисунке 1.

Рисунок 1 . Матрица (12), для случая ℓ = 53/2. Показаны значения вещественного решения для матричных элементов. Черный максимален, серый ≈0, белый минимален. Обратите внимание, что эти элементы быстро сходятся к нулю вне круга м 2 + м ′2 = ℓ 2 (получено с помощью Mathematica © для интегрирования уравнения (13)). .

Мы можем определить beables S ± как

S±|k〉ont=e∓ 2πik/N|k〉ont       S±|n〉E=|n±1     mod N〉E    (14)

см. уравнение (5).Они связаны с L ± следующим образом:

L+=(n+1)(2ℓ-n)S+   L-=n(2ℓ+1-n)S-. (15)

Здесь мы видим, что из-за множителей внутри квадратных корней квантовые числа n теперь ограничены как снизу ( n ≥ 0), так и сверху ( n ≤ 2ℓ), но эти самые квадратные корни следует, что числа k для онтологических состояний не представляют собственных состояний ни одного из операторов углового момента L i , они накладываются друг на друга, образуя такие собственные состояния, так что L ± не beables, как и L 1 и L 2 или p и x (уравнение 9).

В пределе ℓ → ∞ вторые множители в квадратных корнях (15) становятся константами, так что действительно L ± действуют как оператор рождения a и оператор уничтожения a . Квадратный корень из H , который можно распознать в уравнении (15), связывающем beables с более знакомыми координатами x и p , снова встретится в разделе 6.

Мы подробно остановились на этих математических правилах в этом разделе только потому, что угловые моменты так знакомы, а также чтобы подчеркнуть, что конечная периодическая модель (система с конечными как δ t , так и периодом T ) может быть исследована с использованием этого известная алгебра.

Предел δ t → 0 превращает эту систему в точку, непрерывно движущуюся по окружности, которая во всех отношениях ведет себя точно так же, как стандартный гармонический осциллятор, как мы увидим в разделе 7, но к этому пределу следует относиться с некоторой осторожностью. .

4. О волновой функции, порожденной периодической онтологической системой

Периодическая онтологическая система характеризуется классической кинетической переменной, заданной на конечном интервале с периодическими граничными условиями.Никакая общность не будет потеряна, если мы предположим, что это угол φ, определенный на периоде [0, 2π], подразумевая φ( t ) = 2π k / N . В непрерывном пределе мы определяем эволюцию как dφ( t )/d t = ω при фиксированном ω.

Чтобы понять, что здесь означает квантовая волновая функция, мы должны предположить, что время разделено на небольшие равные временные интервалы δ t = 2π/ , где N — большое целое число. В предыдущем разделе было установлено, что энергия E должна тогда лежать в интервале длины ω N .У нас есть свобода определять фазовые множители собственных состояний энергии и онтологических состояний |φ〉, так что этот интервал точно равен [0, ω N ]. Важность этого выбора заключается в том, что собственное состояние с энергией эволюционирует как

ψn ∝ e−iωnt ∝ (e−iφ(t))n    (16)

и записывая z e , можно обнаружить, что все собственные энергетические состояния являются положительными степенями z . Таким образом, любая волновая функция, разложенная по этим собственным энергетическим модам, является регулярной для всех z , лежащих внутри единичного круга.Чтобы прийти к этому пониманию, было крайне важно, чтобы мы начали с дискретной решетки во временной переменной, где интервалы времени δ t могут быть выбраны произвольно малыми, но не равными нулю.

Мы написали этот короткий раздел, чтобы продемонстрировать, как элементарные строительные блоки для детерминированных моделей порождают базисные элементы комплекснозначных волновых функций в гильбертовом пространстве.

5. Безмассовая частица в коробке

Гармонический осциллятор тесно связан с безмассовой релятивистской частицей на решетке (длина решетки δ x ) внутри ящика длиной R = ℓ δx , с твердыми стенками по краям:

H=|p|≡σp      x=k~δx     k~∈[0,ℓ]. k~ целое число. (17)

Здесь онтологические переменные k~ и σ = ±1; они связаны с переменной k в уравнении (4), за исключением того, что мы берем частицу, прыгающую туда-сюда:

k(k~,σ)=ℓ+σ(k~-ℓ)      k~∈[0,ℓ]     k∈[0,2ℓ]. (18)

Это говорит о том, что 0≤k~<ℓ, а скорость ∂ H /∂ p меняется, когда k~ достигает стены.

Мы видим, что теперь, в пределе ℓ → ∞, это становится моделью свободной релятивистской безмассовой частицы на бесконечно тонкой одномерной решетке со стенками по краям.Скорость фиксирована, кроме знака σ. Имейте в виду, что используемые здесь оператор положения x и оператор импульса p отличаются от x и p , которые мы использовали для осциллятора (уравнение 9), поэтому теперь гамильтониан выглядит иначе. Этот раздел просто указывает на то, что одна система может быть преобразована в другую. Возможное преимущество описания в этом разделе состоит в том, что здесь само x является онтологическим.

Обратите внимание, что энергетический спектр релятивистской безмассовой частицы в ящике линеен по импульсу p , а собственные значения p в ящике эквидистантны, и поэтому эту систему можно легко отобразить на гармонический осциллятор .См. также последний абзац этой статьи.

6. Кинетический член, зависящий от импульса

Как уже говорилось в разделе 2, может возникнуть желание найти онтологическую интерпретацию систем, имеющих гамильтониан вида

H=T(p→)+V(x→)+A→(x→)·p→. (19)

В общем случае ни x , ни p нельзя считать онтологическими, поскольку оба они развиваются как суперпозиции. Однако в некоторых особых случаях можно найти переменную y ( t ), которая является онтологической.Общее правило состоит в том, что мы должны искать такие операторы, которые все время коммутируют сами с собой, а также с коммутатором гамильтониана и этими наблюдаемыми (т. е. их производными по времени).

Рассмотрим теперь гамильтониан (19) в континуальном случае, в одном измерении (поэтому мы опускаем векторные символы) и при V ( x ) = 0. В этом случае поле векторного потенциала ( x ) можно преобразовать, поэтому мы также положили A ( x ) = 0.Определите почести, чтобы симметрировать выражение:

{A B}≡12(AB+BA). (20)

Затем мы определяем оператор y ( t ) как

y≡{x1v(p)}      v(p)=dT(p)/dp. (21)

Можно инвертировать:

Несложно сделать вывод, что действительно

Требование, чтобы оператор v ( p ) и его обратный v −1 ( p ) были достаточно правильными и однозначными, вынуждает нас сохранять знак v ( p ) постоянный.

Обратите внимание, что в случае, когда T ( p ) квадратично по импульсу p , v ( p ) пропорционально квадратному корню из энергии; здесь снова мы наблюдаем этот квадратный корень, связывающий онтологическую переменную с более знакомой координатой x , которую мы видели в разделе 3.

Интересно вычислить скалярное произведение между собственными состояниями этого онтологического параметра y и обычным оператором x :

〈x|y〉=∫dp〈x|p〉〈p|y〉=12π∫dpv(p)ei(xp−yT(p)). (24)

Она сводится к дельта-функции Дирака, как только T ( p ) становится линейным относительно p . В более общем случае унитарность требует, чтобы функция T ( p ) могла быть обращена, так как только тогда интегралы Коши, необходимые для доказательства унитарности уравнения (24), близки. Если T ( p ) можно инвертировать только на конечном интервале значений для T (или как полупрямая, а не все значения на реальной прямой), то y ограничивается значениями двойственно этому множеству.

Мы решили не проводить этот анализ дальше, так как кажется, что есть более насущная проблема: оператор y ( t ), как определено в уравнении (21), в общем, кажется совершенно нелокальным. Вот почему онтологические переменные, полученные здесь, будут использоваться не для замены пространственных координат, а скорее для переменных, подобных полю, как в теориях вторичного квантования поля, которые исследуются в разделах 7 и 8.

Конечно, мы также хотели бы понять системы, которые действительно имеют эффективные потенциальные функции V ( x ), и они также должны применяться к более высоким измерениям.Мы вернемся к совершенно общему гамильтониану в этих двух последних разделах, где мы увидим, что в общем случае потребуются дополнительные высокоэнергетические степени свободы.

7. Beables, Changeables и Superimposables

То, что мы называем онтологической или детерминированной квантовой механикой, представляет собой особенно интересное подмножество квантовых систем, в которых гильбертово пространство может быть представлено в терминах операторов, которые мы называем beables — фраза, введенная Беллом [40–42]. Это (набор) операторов, которые все коммутируют друг с другом в любое время, так что, если у нас есть система координат, где в момент времени t = 0 все шарики диагонализированы, они продолжают диагонализироваться все время, и следовательно, эволюция совершенно классическая. В этой основе оператор эволюции U ( T ) = E IHT , в отличительной момент T = T I , это матрица, содержащая только те и нули (см. уравнение 4). Затем мы называем операторы H и U ( t ) изменяемыми : они воздействуют на собственные состояния существ, просто заменяя эти собственные состояния другими собственными состояниями. И beables, и changeables образуют небольшие подмножества всех возможных операторов.Общие операторы являются суперпозициями различных возможных beables и changeables, поэтому мы называем эти оставшиеся операторы superimposables .

В разделе 3 beables — это операторы k , а их собственными состояниями являются |k〉tont. Операторы U t ) (где δ t , возможно, придется выбрать для формирования времениподобной решетки) и связанный с ними гамильтониан H , или L 3 , являются изменяемыми, в то время как такие операторы, как L 1 и L 2 , накладываются друг на друга.

В разделе 5 k~, σ и k являются beables, а H и p являются изменяемыми. В разделе 6 оператор и является beable. T ( p ) является гамильтонианом и как таковой может служить переменным. Оператор исходного положения x является просто наложенным.

Рассмотрим, в частности, гармонический осциллятор. Его математика точно такая же, как в разделе 3, если теперь мы возьмем предел δ t → 0.Уравнения гармонического осциллятора записываются в терминах известного оператора уничтожения a и оператора рождения a :

H = 12ω (p2 + x2-1) = ωa † a a = 12 (p-ix) a † = 12 (p + ix) p = 12 (a + a †) x = i2 (a – a †). [x,p]=i     [a,a†]=1. (25)

В традиционной квантовой механике все известные операторы являются суперпозитивными, за исключением, возможно, гамильтониана, который мог бы быть изменчивым, если бы мы были в состоянии идентифицировать полный набор beables.Согласно теории клеточного автомата квантовой механики [21–23], полный гамильтониан всей физики в нашей Вселенной оказывается изменчивым. Эту теорию можно проверить только в том случае, если мы сможем также идентифицировать онтологические переменные, beables, а на практике это сложно. Эта статья является попыткой проложить путь к такому описанию нашей Вселенной.

В следующем разделе мы попытаемся описать beables и changeables в терминах таких операторов, как x, p и H конечных периодических ячеек.Теперь мы находимся в пределе N → ∞, что означает, что у нас есть ℓ → ∞, так что «угловые моменты» раздела 3 почти классические. На практике часто приходится переключаться между строго непрерывным случаем и случаем с конечными шагами по времени δ t .

В непрерывном случае простейшим заменяемым оператором является H=ωa†a=12ω(p2+x2-1). Когда δ t считается конечным, требуется оператор эволюции U t ) для описания движения beable k вперед на один шаг (см. раздел 3):

U(δt)|k〉ont=e−iHδt|k〉ont=|k+1    mod N〉ont.(26)

Можно также сказать, что онтологический угол φ в разделе 4 повернут на угол 2π/ N . Его угловая частота вращения равна ω. Это вращение также генерируется L 3 .

Чему равен угол φ с точки зрения операторов стандартного гармонического осциллятора? Из уравнения (5) в разделе 3 мы видим, что

eiφ|n〉E=|n+1〉E    (27)

, а поскольку a†|n〉E=Hω|n+1〉E, находим

eiφ=(Hω)-12a†      e-iφ=(Hω+1)-12a. (28)

φ — коэффициент гармонического осциллятора.Взяв степени операторов e ± , мы получаем cos κφ и sin κφ, которые вместе содержат всю желаемую информацию об онтологическом состоянии, в котором находится осциллятор. Это также применимо к релятивистской частице в ящике. , секция 5.

Далее составим полный список всех изменяемых. Одно изменчивое легко узнать: сам гамильтониан. Однако в следующем разделе мы настроим процедуры для получения всех возможных гамильтонианов взаимодействия, а для этого нам понадобятся различные переменные.Рассмотрим основу всех онтологических состояний, называемую | k на в разделе 3. Тогда общий изменяемый оператор меняет местами два таких элемента, скажем, | к 1 〉 и | к 2 〉. Пишем как

G12=|k1〉〈k2|+|k2〉〈k1|. (29)

Комбинация двух членов в уравнении (29) потребуется для сохранения эрмитовости, как будет ясно в следующем разделе. G 12 — это только один из возможных сменных элементов. Если мы объединим его со всеми другими выражениями той же формы, G ij , мы можем получить полный набор всех унитарных перестановок.

Возможно еще одно обобщение: если у нас есть много независимых гармонических осцилляторов (или периодических подсистем), мы получаем более обобщенную систему с онтологическим законом эволюции. Затем необходимо разрешить операторам обмена G ij обмениваться состояниями различных генераторов.

На практике нам нужно будет рассмотреть, в частности, оператор, который только меняет местами два состояния в одной данной периодической ячейке/гармоническом осцилляторе, но только если beables в соседней ячейке — или beables в нескольких соседних ячейках — принимают одно конкретное значение. Этот набор не является полным, но почти общим, так что теперь мы можем сделать следующий шаг: построить нетривиальные гамильтонианы взаимодействия.

Сам гамильтониан гармонического осциллятора H 0 можно рассматривать как инфинитезимальный оператор перестановки для всех пар соседних состояний |k1〉ont и |k1+δk〉ont. Если мы позволим его амплитуде зависеть от того, где мы находимся в k пространстве, мы получим небольшой, но очень особый класс изменяемых величин, которые нам также понадобятся.

8.Онтологические взаимодействия

До сих пор наши модели были элементарно просты. Теперь мы можем объединить их, чтобы получить физически более интересные системы. Начнем с большого класса небольших независимых онтологических «ячеек», перечисленных под индексом i . Все они настолько малы, что, как только прекращается влияние других клеток, их собственное внутреннее движение заставляет их быть периодическими.

В более продвинутых будущих подходах можно было бы отказаться от этих элементарных ячеек, но для наших текущих целей они кажутся весьма полезными.

Пусть шаг по времени δ t равен 1, и в каждой ячейке i у нас есть переменная k ( i ) , с соответствующим оператором импульса p i 2. Гамильтониан H 0 заставляет все данные k ( i ) делать один шаг вперед на каждом временном шаге с периодичностью N ( i ) (разрешено для всех 2) и ):

H0=∑ipi    |k(i)〉t+1ont=|k(i)+1〉tont     |N(i)〉ont=|0(i)〉ont.(30)

Базисные элементы комбинированных состояний записываются как

|k→〉tont=∏i|k(i)〉tont. (31)

Онтологическое взаимодействие, которое будет рассмотрено далее, представляет собой дополнительный термин, который следует добавить к H 0 таким образом, чтобы k ( i ) развивались более сложным образом. Во-первых, рассмотрим только одну ячейку, i = 1, и рассмотрим два специальных значения, k 1 и k 2 , где k 2 1 3 1

9

9

9Теперь мы просим ввести дополнительный член, чтобы при достижении значения k = k 1 или k 2 он переключался на другое значение k = k 2 . или k 1 (прибавив разность Δ k = ±( k 2 k 1 ) к значению k ). В дополнение к этому обменному процессу мы сохраняем член H 0 в гамильтониане, что гарантирует, что во все члены, но в континуальном пределе эта неоднозначность исчезает, тогда как в дискретном случае необходимо обеспечить унитарность, потребовав, чтобы каждое состояние | k 〉 эволюционировало ровно в одно другое кет-состояние | k 〉).

На первый взгляд, это дает довольно тривиальный эффект: либо пропускается участок [ k 1 , k 2 ], либо система перемещается внутри участка [ k 1 , k 2 ] навсегда. Это означает, что физически мы просто изменили период движения. Тем не менее, как мы увидим, это важное взаимодействие. Запишем гамильтониан как

H=H0±π|ψ〉〈ψ| |ψ〉=22(|k1〉−|k2〉)    (32)

разрешены оба знака. Можно вывести, что оператор эволюции U δ t = 1 действительно содержит дополнительный множитель e −π i = −1 всякий раз, когда встречается (нормализованное) состояние |ψ〉. Состояние |ϕ〉=12(|k1〉+|k2〉) ортогонально |ψ〉 и поэтому на него не действует. Сразу видно, что чистый эффект U δ t = 1 состоит в том, что все k значений сделали один шаг вперед, в то время как | к 1 〉 ↔ | к 2 〉 .

Таким образом, мы вводим член взаимодействия H int = π|ψ〉〈ψ| как онтологическое взаимодействие. Однако его эффект очень силен (он работает только с множителем π впереди), тогда как в целом в квантовой физике мы сталкиваемся с членами взаимодействия переменной силы, эффекты которых могут быть гораздо более общими.

Поэтому рассмотрим еще одну модификацию. Наложим условие, что

обмен k1(1)↔k2(1) происходит только в том случае, если в соседней ячейке, скажем, ячейке #2, k (2) имеет заданное значение, скажем, k ( 2) = r :

Подсказка=π|r(2)〉〈r(2)||ψ(1)〉〈ψ(1)|. (33)

Интуитивно можно предположить, что это взаимодействие гораздо меньше, так как в большинстве случаев, когда k (1) принимает значение k 1 или k 2 маловероятно, что k (2) равно r . Имеет ли этот аргумент смысл?

Да, действительно, следующим образом:

В реальном мире δ t будет очень маленьким, возможно, таким же маленьким, как планковское время, около 10 −44 секунд.Предположим, что мы знаем только гамильтониан взаимодействия нашей «Стандартной модели» до некоторой максимальной энергии E max всех процессов рассеяния. На практике

Emax≪1/δt. (34)

Если мы ограничимся состояниями, состоящими только из более низких энергий, мы никогда не сможем сделать пики Гаусса намного острее, чем

〈k(2)|ψ(2)〉≈(απ)1/4e-12α(k(2)-r)2    (35)

, где α=O(Emax)-2. Это означает, что амплитуда гамильтониана взаимодействия (33) будет действительно очень мала. Мы можем добавить много таких членов в наш гамильтониан, прежде чем эффекты станут значительными.

Нас не должно беспокоить, что интегрирование многих таких членов взаимодействия для получения элементарного оператора эволюции U δ t за один временной шаг может добавить члены более высокого порядка в δ t , которые нарушают условие, что это термин онтологический. Хотя такие соображения могут быть очень важны для реальных вычислений, они не затрагивают принципа, согласно которому мы можем генерировать большой класс гамильтонианов взаимодействия в соответствии с этими направлениями.

Какие гамильтонианы мы можем получить сейчас? ответ может оказаться неожиданным: Все гамильтонианы, действующие в элементарных ячейках и порождающие взаимодействия между соседними ячейками, могут быть получены из онтологических взаимодействий по этим направлениям! Им точно не нужно ездить на работу.

Предположим, мы добавили онтологические взаимодействия описанного выше типа, но нам все еще нужен один матричный элемент 〈 x 1 | Н | х 2 〉, где | x 1 〉 и x 2 〉 являются элементами любого базиса, который можно использовать. Тогда все, что нам нужно сделать, это взять набор онтологических состояний |k→〉, с которого мы начали. Применить унитарную матрицу 〈x|k→〉, связывающую базис онтологических состояний | к по по штатам | x 〉, чтобы переписать искомый гамильтониан в онтологическом базисе.Рассмотрим любой из его внедиагональных членов 〈k1(1)|Hint|k2(1)〉. Тогда, согласно уравнению (33), недостающий член может быть воспроизведен онтологическим обменным вкладом этих двух состояний в данной конкретной ячейке.

Что же касается самой Стандартной модели, то мы знаем, что ее гамильтониан не соединяет ячейки, далеко удаленные друг от друга, поскольку известно, что плотность гамильтониана всех квантовых теорий поля локальна в смысле того, что среди философы:

Плотность гамильтониана H(x→) в трехмерном пространстве x→ такова, что в разных точках x→ эти функции плотности гамильтониана коммутируют:

[H(x→),H(x→′)]=0     если     x→≠x→′.(36)

Если скорость сигналов ограничена, это приводит к коммутации операторов вне светового конуса.

Сам Белл [41, 42] называл это «локальной коммутативностью», но настаивал на том, что необходимы более точные определения причинности — вперед и назад во времени, — если кто-то хочет сравнить квантовую механику с детерминистскими моделями. Его критиковали по этому поводу [43, 44], с чем не согласен и настоящий автор; здесь мы просто отметим, что дальнейшие уравнения, которые были бы более точными, чем уравнение (36), не нужны.Из этого уравнения мы получаем, что недиагональные матричные элементы гамильтониана обращаются в нуль, когда они относятся к состояниям в ячейках, которые удалены друг от друга далеко (далеко означает далеко в единицах планковской длины!). Мы связываем это с нашим уравнением взаимодействия (33), чтобы заключить, что обменные взаимодействия между онтологическими состояниями, которые далеко отделены друг от друга, не совершаются. Наши модели должны нарушать теорему Белла и неравенства, полученные Клаузером и др. [45] просто потому, что наши взаимодействия порождают квантовые теории поля.

Заметим, что, помимо порождения одного недиагонального члена матрицы гамильтониана взаимодействия и его эрмитова сопряжения, гамильтониан взаимодействия (33) также влияет на диагональные члены при k1(1) и k2(1). следовательно, нам, возможно, придется перенастроить все диагональные члены гамильтониана. В континуальном пределе δ t → 0 это легко. Это просто означает, что скорость, с которой данное онтологическое состояние может совершать переход в следующее состояние, может быть изменена.

Мы также получили бонус: онтологическая теория локальна вплоть до масштабов планковских расстояний, как только квантовая система, которую мы хотим воспроизвести в онтологических терминах, подчиняется правилу коммутатора (36).

Мы обнаружили, что, включив онтологические обменные взаимодействия между онтологическими состояниями и регулируя скорость эволюции, мы можем создать довольно общий квантово-механический гамильтониан. Модель, которую мы получаем, представляет собой клеточный автомат [25–28], точно такой же, как мы описали в [21], но теперь мы находим систематическое предписание, необходимое для того, чтобы этот автомат действовал как любая заданная локальная квантовая теория поля.

Сейчас кажется, что можно получить почти любое базовое взаимодействие, но есть важные вопросы, на которые мы не смогли ответить:

Мы начали с клеток, между которыми вообще нет взаимодействия.С точки зрения теории элементарных частиц это означает, что мы начинаем с бесконечно тяжелых элементарных частиц. Затем можно добавить кинетические члены, которые должны привести к частицам с конечной массой. Каков наиболее эффективный путь отсюда к реалистическим теориям квантовых частиц?

Наша трудность в том, что мы не совсем понимаем, как строить онтологические теории свободного поля, описывающие свет или даже безмассовые частицы. Нам нужна теория, начинающаяся с онтологических 90 169 гармонически связанных 90 170 осцилляторов, которые подчиняются некоторой форме локальности.Сейчас это кажется чисто технической проблемой, которую надо решать.

Еще вопрос:

Теория взаимодействия между элементарными частицами имеет довольно много свойств непрерывной симметрии. Как мы можем воспроизвести такие симметрии? Поскольку наши клетки имеют тенденцию быть дискретными, трудно навязать непрерывные симметрии, в частности лоренц-инвариантность. С другой стороны, обычно ожидается, что большинство, если не все глобальных непрерывных симметрий не могут быть точно действительными.

9. Как сито может связать классические теории с квантово-механическими

Обратите внимание, что наш ситовый механизм можно легко обобщить, чтобы он делал следующее:

Даны две разные онтологические теории с гамильтонианами H 1 и H 2 , которые не должны коммутировать. Тогда добавление быстрой «решетчатой» переменной позволяет описать систему, которая при достаточно низких энергиях описывается гамильтонианом

, где действительно квантовые эффекты могут привести к квантовой интерференции, в то время как на микроскопическом уровне теория остается детерминированной.

Такой результат кажется слишком хорошим, чтобы быть правдой. Можем ли мы действительно переписать квантово-механические системы в терминах детерминированных? Как это происходит на практике? Какие расчеты превращают классическую систему с обменными взаимодействиями, решетами или чем-то еще в квантовую механику? Здесь мы кратко проанализируем, как решить этот вопрос.

Рассмотрим простейшую модель решета, порождающую гамильтониан, порождающий суперпозиции, как только решето включается, а затем сравним квантовую систему с классической.Наиболее важной особенностью является то, что у нас есть две шкалы (времени).

Схема нашей модели показана на рис. 2. Ее состояния описываются как | x 〉, где фундаментальная онтологическая переменная x находится в поле размером L и периодическими граничными условиями, | x + L 〉 = | х 〉.

Рисунок 2 . Переменные x (по горизонтали, период L ≫ 1) и переменная решето y (по вертикали, период 1) вместе движутся в направлении стрелок. См. текст.

x начинается с beable. Невозмущенный гамильтониан равен H 0 = p x , поэтому скорость равна 1, система вращается в своей коробке. Теперь мы хотим превратить его в реальную квантовую переменную, как в предыдущем разделе. Добавим член απ|ψ〉〈ψ|, где |ψ〉=12(|0〉−|A〉) к гамильтониану, имеющему значение в невозмутимом случае.Если α = 0, мы имеем исходную модель. Если α = 1, гамильтониан порождает замену |0〉 ↔ | A 〉 в пространстве x . В этом случае переменная x остается либо внутри области [0, A ], либо внутри области [ A, L ].

Однако, если α имеет любое другое значение, гамильтониан содержит недиагональный элемент вместе с его эрмитовым сопряжением, что приводит к квантовой интерференции. Согласно разделу 8, мы можем имитировать фактор подавления α, добавив быструю переменную y , так что обмен происходит только в части α всех состояний y .Это мы описываем заменой

α=∑|r〉〈r| (38)

в пространстве и . Период y здесь принимается равным 1, что намного короче, чем период L для x .

Классически, если переменная y принимает одно из значений r проекционного оператора (38) точно в момент, когда х = 0 или в момент, когда х = А , обмен |0〉 ↔ | A 〉 имеет место, иначе нет.

В разделе 8 мы утверждали, что пока переменная y остается в самом низком энергетическом состоянии, уравнения движения для квантовой системы и классической системы одинаковы. Теперь у нас есть возможность это проверить.

Невозмущенный гамильтониан теперь равен H 0 = p x + p y ; х и y движутся с одинаковой скоростью v = 1, но y совершает много колебаний за время, когда х совершает одно колебание.Таким образом, система движется в направлении стрелок на рисунке 2.

Мы утверждаем, что на квантовом языке переменная x подчиняется своим эффективным уравнениям Гамильтона, то есть уравнению Шрёдингера, включая эффекты суперпозиции (когда α ≠ 0 и ≠ 1. Что происходит в классическом случае?

Система развивается вдоль диагональных стрелок на рисунке 2. Граничные условия таковы: x — периодичность с периодом L и y — периодичность с периодом 1.Затем у нас есть «решето», состоящее из двух частичных стенок длиной α в направлении х , одной в х = 0 и одной в х = А . Правило состоит в том, что если x = 0 или x = A , а 0 < y < α, то состояния |0, y 〉 и | A, y 〉 меняются местами, после чего эволюция продолжается в направлении стрелок. Мы видим, что классически получается бесконечная орбита. Если длины A и L имеют иррациональное отношение, орбита никогда не замыкается.Если мы запишем это в терминах волновой функции 〈 x, y |ψ( t )〉, мы получим своего рода фрактал.

Та же самая орбита теперь может быть описана в квантовой нотации. В объемной области у нас есть волновая функция, которую мы записываем как

. ψ(x,y,t)=ψ(x-t,y-t,0)=∑n=0∞ψn(x,t)e2πiny-2πint. (39)

Мы должны ограничиться неотрицательными n , как должно быть ясно из предыдущих разделов этой статьи: существует мода с самой низкой энергией, которая была настроена на значение n = 0 (процедура, которую мы также можем применяются к координате x , но пока мы сохраняем обозначение x -space как есть).

Вот как мы можем увидеть эффект сита. Рассмотрим волны ψ 0 − вблизи точки x = 0, входящие в точку x < 0, и волны ψ A вблизи точки x = 70169 A 1 6 x 9091 , входящие в точку x 6 . А . При х > 0 уходят волны ψ 0+ , а при х > А уходят волны ψ А + . Напишите

ψ1±=12(ψ0±+ψA±)     и     ψ2±=12(ψ0±-ψA±).(40)

Потом на сите

ψ1+=ψ1-     для всех yψ2+=ψ2-     если     α Теперь это легко перефразировать в терминах свойств функций ψ n ( x, t ). Мы также разобьем их на функции ψn1± и ψn2±. С

ψn (x) = ∫01dy e-2πinyψ (x, y) и ∫01dy e2πiℓysign (y-α) = – iπℓ (1-e2πiℓα), если ℓ interger ≠ 0 = 1-2α, если ℓ = 0 (42)

получаем

ψn1+=ψn1−ψn2+=(1−2α)ψn2−+∑ℓ≠0i2πℓ(1−e2πiℓα)ψn+ℓ2−    (43)

так что мы найдем

ψn0+=ψn0-(1-α)+α ψnA-           +∑ℓ≠ni4πℓ(1-e2πiℓα)(ψn+ℓ0–ψn+ℓA-)ψnA+=ψnA-(1-α)+α ψn0-           +∑ℓ ≠ni4πℓ(1-e2πiℓα)(ψn+ℓA–ψn+ℓ0-).(44)

Мы видим, что первые члены содержат эффект квантовой суперпозиции. Только когда α = 0 или 1, это представляет собой классическое движение в пространстве x . Для других значений α (уравнение 44) выглядит квантово-механическим. Теперь мы знаем, что если мы включим дополнительные члены, то в конце концов это будет классическое движение. Но дополнительные члены содержат только высокоэнергетические состояния ψ n . Мы видим в уравнении (39), что моды n > 0 несут большое количество энергии, так что их игнорирование не сильно влияет на физическую природу этих переходов.

10. Выводы

Мы заключаем, что онтологическая теория базовых взаимодействий вполне мыслима. Мы обнаруживаем, что можно постулировать существование «ячеек», каждая из которых содержит одну или несколько переменных; постулируется, что каждая из этих переменных движется по периодическим орбитам (кругам), пока отсутствуют другие взаимодействия. Затем мы аккуратно постулируем два типа взаимодействий, вместе порождающих поведение, достаточно общее, чтобы имитировать любую фундаментально квантовую структуру.Одна фундаментальная сила возникает, когда переменная в одной конкретной ячейке меняет положение с переменной либо в той же ячейке, либо в непосредственной близости от нее. Это обменное взаимодействие будет связано с недиагональными членами того, что позже будет нашим гамильтонианом. Чтобы ослабить силу и сделать ее принципиально квантово-механической, нам нужно сито, в одной или нескольких ячейках, опять же в непосредственной близости (или в той же ячейке). Онтологическая переменная ячейки сита допускает данный процесс обмена только в том случае, если переменная сита принимает некоторые заранее заданные значения. Поскольку мы можем выбирать, какие переменные обменивать, а также силу решета, этот процесс будет генерировать практически любой гамильтониан.

Чтобы затем настроить диагональные члены гамильтониана, все, что нужно сделать, это настроить скорости переменных в зависимости от их положения в ячейках. Все вместе взятые, у нас есть столько степеней свободы для настройки, сколько членов в нашем (эрмитовом) гамильтониане. Это дает нам уверенность в том, что наша процедура будет работать независимо от квантовой модели, которую мы пытаемся «объяснить» в онтологических терминах.

На самом деле, у нас еще много свободы: мы можем вывести, какие обменные взаимодействия между элементарными, онтологическими состояниями потребуются, чтобы получить согласие с сегодняшней Стандартной моделью, но детали решета, являющиеся ограничениями, накладываемыми ячейками, соседними с для данной ячейки, как и для ячейки № 2, описанной в уравнении (33), будет трудно вывести или даже угадать. Однако ясно, что эффекты сит будут почти непрерывно регулироваться в зависимости от максимальных энергий, которые мы допускаем для наших частицеподобных степеней свободы (низкие энергии подразумевают, что большинство сит отключены, так что эффекты квантовые силы ослабевают при очень низких энергиях по сравнению с элементарными масштабами наших клеток).

Математические инструменты, подобные представленным в этой статье, будут полезны для изучения ограничений, налагаемых на любую «единую теорию поля» условием, что в некотором особом масштабе времени и расстояния наш мир контролируется онтологическими силами.

Будем надеяться, что наша общая стратегия (в том виде, в каком она публиковалась в течение нескольких десятилетий) становится более прозрачной благодаря этим демонстрациям. Наши «ячейки» помечены индексом i , и мы настраиваем модели частиц, располагая такие ячейки в решетке, называемой «клеточным автоматом».Онтологические степени свободы k ( i ) являются положениями этих точек на их орбитах. Что было достигнуто в этой статье, так это то, что мы определили способ характеризовать общие онтологические взаимодействия между клетками, используя язык квантовой механики. Общие взаимодействия, которых можно добавить большое количество в каждой точке решетки, принимают следующую форму:

H=H0+Hint      H0=∑cells ip(i)    (45)

, где [k(i),p(j)]=iδij , и

Подсказка=π∑|r〉〈r||ψ(i)〉〈ψ(i)| (46) |ψ(i)〉=12(|k1(i)〉−|k2(i)〉). (47)

Здесь использовались обозначения, описывающие дискретные состояния. Они должны быть заменены непрерывными состояниями, когда принимается предел δ t → 0. Следовательно, на данный момент коэффициент π должен быть равен 3,14…, так как только при этой уникальной силе система детерминистически меняет позицию |k1(i)〉 на позицию |k2(i)〉. Чтобы сделать взаимодействие достаточно малым, чтобы его можно было включить в пертурбативную квантовую теорию поля, мы используем одно или несколько других состояний | r 〉 в качестве проекторов (называя их «решетами»).При этом сила взаимодействия уменьшается в O(Emax) раз в единицах, где шаг по времени δ t равен единице. Вот почему мы вынуждены рассматривать случай, когда все энергии частиц малы по сравнению с энергиями, связанными с очень маленьким масштабом времени δ t .

Мы видели в разделе 9, что любая сила недиагональных членов гамильтониана может быть получена путем добавления быстрых переменных в классическую систему, и хотя дополнительные члены действительно возникают, принципиально квантовая природа взаимодействий не подвергается опасности. Мы находим этот результат очень важным, его следует рассматривать как сильное указание на то, что это способ интерпретации того, что происходит в нашем квантовом мире.

У нас есть высокоэнергетические моды, которые, как утверждается, не разрушают квантовую природу результатов наших вычислений. Здесь также может вмешаться термодинамика: если мы проигнорируем высокоэнергетические моды, это именно то, что останется от быстро движущейся вспомогательной переменной. Сегодня на практике у нас слишком мало информации, чтобы провести фундаментальные различия между квантово-механическим и классическим поведением: мы знаем результат экспериментов по рассеянию только до тех пор, пока полная энергия удерживается ниже предела E max .Все наши эксперименты проводились при слишком низких температурах, чтобы мы могли достаточно точно синхронизировать динамические переменные. Мы слишком близки только к одному физическому состоянию: вакууму. Таким образом, мы должны мириться с неопределенностью в наших описаниях. Это квантовые неопределенности.

Поскольку везде использовался язык квантовой механики и поскольку состояния |ψ ( i ) 〉 соединяют различные базисные элементы, мы видим, что возникают некоммутирующие гамильтонианы взаимодействия. Единственное важное ограничение на |ψ ( i ) 〉 состоит в том, что он должен связывать только близкие онтологические состояния, так как только тогда результирующий гамильтонов оператор подчиняется локальности, которая однозначно выражается через коммутаторы, исчезающие вне светового конуса (уравнение 36).

Что еще предстоит сделать, так это получить больше опыта в построении реалистичных моделей в этом направлении, проверить, как эти модели работают, и достичь консенсуса относительно их полезности.

Наиболее важным сообщением, на наш взгляд, является то, что квантовую механику не следует рассматривать как таинственную, ее нельзя принципиально понять с точки зрения классической логики, и можно понять происхождение соотношений неопределенностей. Все это сводится к времени , то есть если во взаимодействие вовлечены быстро движущиеся пространственно-подобные разделенные переменные, то принципиально невозможно достаточно точно настроить их временные переменные.

Вопрос о том, является ли время дискретным или непрерывным, физически не важен; как только какое-либо описание системы прояснит ее достаточно хорошо, отпадет необходимость разбивать временную переменную на еще более мелкие сегменты. Существует практическая трудность: только одна переменная должна обрабатываться как непрерывная: динамика переменной, которая используется в качестве наших часов. Число всех остальных переменных будет ограничено, как можно заключить из физики черных дыр: черные дыры могут находиться только в конечном числе квантовых состояний.Это означает, что, в отличие от наших часов, другие переменные, возможно, придется хранить на дискретной временной решетке. Так откуда взялись наши часы? В наших моделях мы можем выбрать все, что нам нравится, но угадать правильную модель может быть непросто.

Некоторым из наших читателей может быть трудно поверить, что точки, бегающие по кругу, эквивалентны гармоническим осцилляторам. Здесь мы хотели бы использовать аналогию с наукой о планетах. Мы можем изучать далекие планеты с помощью наших телескопов и обнаруживать множество интересных свойств, для которых мы можем найти уравнения.Но есть одна вещь, которую мы никогда не узнаем: их имена. Точно так же мы никогда не сможем сказать, является ли гармонический осциллятор точкой, движущейся по окружности. Уравнения эквивалентны. Все остальное — именование.

Заявление о доступности данных

Все наборы данных, представленные в этом исследовании, включены в статью/дополнительный материал.

Вклад авторов

Автор подтверждает, что является единственным автором этой работы и одобрил ее публикацию.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Сноски

Каталожные номера

1. Дирак ПАМ. Принципы квантовой механики . Оксфорд: Кларендон Пресс. (1930).

Академия Google

2. Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? физ. ред. (1935) 47:777. doi: 10.1103/PhysRev.47.777

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

3. Бом Д. Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «Скрытых переменных, I». Phys Rev. (1952) 85:166–79. doi: 10.1103/PhysRev.85.166

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

4. Бом Д. Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «Скрытых переменных, II». Phys Rev. (1952) 85:180–93. doi: 10.1103/PhysRev.85.180

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

6. Джаммер М. Концептуальное развитие квантовой механики . Мак. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Гроу-Хилл (1966).

Академия Google

8. ДеВитт Б.С. Многовселенная интерпретация квантовой механики. В: Труды Международной школы физики им. Энрико Ферми Курс ИЛ: Основы квантовой механики . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press (1972).

Академия Google

9.Паис А. Внутренняя граница материи и сил в физическом мире . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Clarendon Press; Издательство Оксфордского университета (1986).

Академия Google

10. Гирарди Г.К., Римини А., Вебер Т. Единая динамика для микроскопических и макроскопических систем. Phys Rev D. (1986) 34:470.

Реферат PubMed | Академия Google

11. Паис А. Времена Нильса Бора, в физике, философии и политике . Оксфорд: Кларендон Пресс (1991).

Академия Google

12. Уоллес Д. Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта. Stud Hist Philos Sci Part B. (2003) 34:415–439. doi: 10.1016/S1355-2198(03)00036-4

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

13. Кумар М. КВАНТЫ, Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности . Кембридж: Icon Books Ltd. (2008).

Академия Google

16.Хоссенфельдер С. Проверка супердетерминированных теорий скрытых переменных. Найдено физ. (2011) 41:1521. doi: 10.1007/s10701-011-9565-0

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

18. Шлоссхауэр М., Кофлер Дж., Цайлингер А. Краткий обзор фундаментальных взглядов на квантовую механику. Stud Hist Philos Sci Part B. (2013) 44: 222–30. doi: 10.1016/j.shpsb.2013.04.004

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

21. ‘т Хоофт Г. Клеточно-автоматная интерпретация квантовой механики.В: Фундаментальные теории физики , Vol. 185. Спрингер (2016). дои: 10.1007/978-3-319-41285-6

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

22. Th, Elze H. Квантность дискретных гамильтоновых клеточных автоматов. В: Приглашенный доклад, представленный на симпозиуме «Wigner 111 – Красочный и глубокий». Будапешт (2013).

Академия Google

23. Блазоне М., Жизба П., Витиелло Г. Диссипация и квантование. Письмо физ. (2001) A287: 205–10. дои: 10.1016/S0375-9601(01)00474-1

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

24. ‘т Хоофт Г. Унитарность черной дыры и антиподальная запутанность. Найдено физ. (2016) 49:1185–98. doi: 10.1007/s10701-016-0014-y

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

25. Улам С.М. Случайные процессы и преобразования. Proc Int Congr Math. (1952) 2: 264–75.

Академия Google

26. Гарднер М. Фантастические комбинации новой одиночной игры Джона Конвея «жизнь». Наука Ам. (1970) 223:120–3. doi: 10.1038/scientificamerican1170-116

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

27. Гарднер М. О клеточных автоматах, самовоспроизведении, райском саду и игре «жизнь». (1971) 224:112–7.

Академия Google

28. Вольфрам С. Новый вид науки . Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, Inc. (2002).

Академия Google

30. Давыдов А.С. Квантовая механика .Перевод и редакция Д. тер Хаара. Оксфорд; Лондон; Эдинбург; Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; Париж; Франкфурт: Pergamon Press (1965).

Академия Google

31. Дас А., Мелиссинос А. Квантовая механика, современное введение . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; Лондон; Париж; Монтрё; Токио; Мельбурн, Виктория: Гордон и Брич (1986).

Академия Google

32. Борн М. Цур Quantenmechanik der Stoßvorgänge (немецкий) [К квантовой механике процессов столкновения]. J физ. (1926) 37:863–7.

Академия Google

33. Ициксон С., Зубер Дж.-Б. Квантовая теория поля . Сингапур: МакГроу-Хилл (1980).

Академия Google

34. Райдер Л.Х. Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета (1985).

Академия Google

35. де Вит Б. , Смит Дж. Теория поля в физике элементарных частиц . Том I. Амстердам; Оксфорд; Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; Токио: Эльзевир Северной Голландии (1986).

Академия Google

36.’т Хофт Г. Концептуальные основы квантовой теории поля. В: Butterfield J, et al., редакторы. Справочник по философии науки, философии физики . Эльзевир. (2007) с. 661–729.

Академия Google

37. Глаубер Р.Дж. Когерентное и некогерентное состояния поля излучения. Phys Rev. (1963) 131:2766.

Академия Google

39. Эльзе HTh. Принцип действия клеточных автоматов и линейность квантовой механики. физ. ред. (2014) А89:012111. doi: 10.1103/PhysRevA.89.012111

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

40. Белл Дж.С. О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена. Физика. (1964) 1:195.

Академия Google

41. Белл Дж.С. На невозможной пилотной волне. Найдено физ. (1982) 12:989.

Академия Google

42. Белл Дж.С. Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.(1987).

Академия Google

43. Бранс CH. Теорема Белла не устраняет полностью причинно-следственные скрытые переменные. Int J Theor Phys. (1988) 27:219.

Академия Google

44. Вервурт Л. Теорема Белла: два забытых решения. Найдено физ. (2013) архив: 1203.6587v2.

Академия Google

45. Clauser JF, Horne MA, Shimony A, Holt RA. физ. Преподобный Летт. 23, 880. Erratum Phys. Преподобный Письмо . (1970) 24:549.doi: 10.1103/PhysRevLett.23.880

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Квантовая теория и модель, приложения, формула

Как известно, изначально классическая механика использовалась для объяснения теории электромагнетизма и термодинамики. Но классическая физика не смогла объяснить несколько микроскопических явлений, таких как излучение Блэктела, фотоэлектрический эффект, атомная стабильность, атомные спектры и т. д., которые легли в основу квантовой механики.

В этой статье мы собираемся обсудить основные идеи и экспериментальные факты, которые привели к рождению новой области физики и помогли нам понять микрофизические явления, известные как квантовая механика, которые наблюдались и открывались примерно в конце 19-го и начале 20 век.

Первый прорыв был сделан Максом Планком, когда он ввел новую концепцию кванта энергии. Что помогло нам понять явление излучения абсолютно черного тела.

т. е., согласно предположению Планка, обмен энергией между электромагнитной волной частоты ν и веществом может происходить только как кратное hν, которое он назвал энергией кванта.  

E=hv

Здесь

h = постоянная Планка

ν = частота электромагнитных волн Нильс Бор за объяснение дискретных состояний энергии и взаимодействия атомов с излучением.

Узнайте о двойной природе материи и излучения здесь.

Эксперимент Дэвиссона и Гермера
    • Де-Бройль предположил, что, поскольку природа любит симметрию, подобно излучению, материя также должна иметь волновую природу. Это было экспериментально подтверждено Дэвиссоном и Гермером в 1927 году.
    •  В ходе эксперимента электроны испускаются из электронной пушки и попадают в кристалл никеля. При ударе о кристалл электроны разлетаются во все стороны.Интенсивность рассеянного луча определяется детектором.

    • Графики построены между интенсивностью рассеянного луча и f, углом между направлением падения и рассеяния электронного луча.
    • Выводы, сделанные на основе этих графиков, доказали волновую природу материи.

Гипотеза Де Бройля

Именно Де Бройль первым предположил, что не только свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, но и частицы с массой, такой как электроны, также обладают, и эта гипотеза известна как гипотеза Де Бройля.

Длина волны де Бройля (λ) — это длина волны этих материальных волн, где E — энергия частицы. Таким образом, из соотношения между линейным импульсом p и энергией E частицы мы знали, что

\(p={E\over c}\)

, где c – скорость света в вакууме, используя теперь соотношение Эйнштейна энергии предыдущее уравнение можно изменить следующим образом: движение с полной энергией E и импульсом p имеет определенную частоту и длину волны колебаний точно так же, как фотоны

, поэтому длина волны таких колебаний может быть выражена как

\(\lambda={h\over{p}}={h\over {mv}}\)

где v — скорость частицы, а m — масса частицы. Тогда как кинетическая энергия частицы, движущейся со скоростью v.2\\\)

или, \(v=\sqrt{2E_k\over m}\\\)

\(\поэтому \lambda={h\over mv}= {h\over m \sqrt{m \over 2E_k}}={h\over\sqrt{2mE_k}}={h\over\sqrt{2mqV}}\\\) \(\Longrightarrow \lambda \text{  в мм  }= {1,228\over\sqrt V}\)

Подробнее о расстоянии и смещении см. в статье по ссылке.

Длина волны Де Бройля частиц, находящихся в тепловом равновесии

Если частица находится в тепловом равновесии при некоторой температуре T, то связанная с ней длина волны Де Бройля может быть выражена как

\(\lambda={h\ over\sqrt{2mE_k}}={h\over\sqrt{3mkT}}\)

Здесь

T = температура в любой момент

\(E_k\) = кинетическая энергия частицы при тепловом равновесии

Электрон под действием электрического поля

Электрон, имеющий массу m и заряд q, ускоряется в электрическом поле с потенциалом V из состояния покоя.2\over{2m}}\)

\(P=\sqrt{2mK}=\sqrt{2mqV}\)

Таким образом, длина волны де Бройля электрона равна

\(\lambda={ h\over{P}}={h\over{\sqrt{2mK}}}={h\over{\sqrt{2mqV}}}\)

Пример

разность потенциалов 400 В. Какова будет длина волны де Бройля этого электрона?

A: Учитывая, что

В = 120 В

Теперь, согласно гипотезе де Бройля, длина волны электрона, ускоренного разностью потенциалов 400 В, может быть определена как

\(\lambda \text{  в мм } = {1.228\over\sqrt V}= {1,228\over\sqrt{400}}=0,0164nm\)

Вы также можете проверить информацию о Vector.

Скорость волн де Бройля

Чтобы понять явление групповой и фазовой скорости, рассмотрим пример простой гоночной трассы, на которой изначально кажется, что все группы участников бегут с одинаковой скоростью, но с течением времени распределены по группам, так как каждый участник будет бежать с разной скоростью.

В этом случае скорость отдельных участников можно рассматривать как фазовую скорость vp, а среднюю скорость группы в целом рассматривать как групповую скорость \(v_g \) , как показано на рисунке ниже.

Фазовая скорость

Фазовая скорость волны — это скорость, с которой фаза волны распространяется в пространстве. 2}}+1]\)

Примечание: Согласно теории относительности скорость любой волны не может быть больше скорости света c, следовательно, в релятивистской системе отсчета де Бройля волна не может быть гармонической волной.Также следует отметить, что волновые пакеты — это лишь теоретические понятия, используемые для визуализации различных явлений в микромире.

Групповая скорость

Групповая скорость волны — это скорость, с которой общая форма огибающей волновых амплитуд распространяется в пространстве.

Групповая скорость,

\(v_g={d\omega\over{dk}}\)

Связь между групповой и фазовой скоростью:

Связь между отдельной составляющей групповой и фазовой скоростей может быть выражена как

\(v_g=v_p-\lambda\times{dv_p\over{d\lambda}}\)

Примечание:

Обычно групповая скорость меньше фазовой скорости \((т.например, v_g < v_p)\), но для недиспергирующей среды \(v_g = v_p\)

Получите подробные сведения о вихревых токах и токах смещения.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Он утверждает, что невозможно одновременно определить точное положение и точный импульс (или скорость) электрона.

  • Линейный импульс и отношение смещения

Математически это можно представить как

\(᠎᠎᠎\Delta{x}\times\Delta{p}\geq{h\over{4\pi} }\text{ или }\Delta{x}\times\Delta{v}\leq{h\over{4\pi}}\\)

Точно так же существует связь между неопределенностью времени и энергии и утверждает, что невозможно определить как энергию, так и временную координату частицы с неограниченной точностью

И это математически задается как

\(\Delta{E}\times\Delta{t}\geq{h\ over{4\pi}}\)

Were,

∆x = неопределенность положения

∆px (или ∆v) = неопределенность импульса (или скорости) частицы.{-25}кгм/с\)

Волновая функция и вероятностная интерпретация волновой функции
  1. Как мы знаем, световые волны состоят из вариаций электрического и магнитного полей, вибрирующих перпендикулярно друг другу, тогда как волны могут быть определены как некоторые изменение количества в зависимости от положения и времени.
  2. Точно так же величина, используемая для микрочастицы, известна как волновая функция ψ, которая используется для описания определенных свойств волны как функции положения и времени, а в одном измерении обычно выражается как ψ(x,t ).
  3. Однако она не имеет физического значения, так как не является наблюдаемой величиной и вообще является комплекснозначной функцией.
  4. Волновая функция частицы в определенный момент времени содержит всю информацию о частице, которую кто-либо может иметь в это время.
  5. Но сама волновая функция не имеет физической интерпретации. Это не измеримо. Однако квадрат модуля волновой функции имеет физическую интерпретацию.

Прочитайте об атоме и ядрах здесь.2\times\Delta{x}\)

    • Такая интерпретация возможна, потому что квадрат модуля комплексного числа действителен, а в приведенном выше уравнении ψ также известен как амплитуда вероятности.

Нормализация волновой функции

Чтобы понять это, давайте рассмотрим пример замкнутой системы, в которой имеется n молекул газа. 2dV \)

Здесь ΔV – это объем, \(ψ_N\) известна как нормализованная волновая функция, C – постоянная нормализации, а приведенное выше условие известно как нормализующее условие.

Кроме того, подробно ознакомьтесь с Типами термодинамических процессов , чтобы ускорить подготовку.

Условие для правильного поведения волновой функции

Чтобы интерпретация вероятности имела смысл, волновая функция должна удовлетворять определенным условиям. Мы должны иметь возможность найти частицу где-нибудь, мы должны найти ее только в одном месте в определенный момент, и общая вероятность найти ее где-либо должна быть равна единице. Это приводит к перечисленным ниже требованиям.

Волновая функция (ψ) должна быть

  1. Конечной: Волновая функция ψ должна быть конечной везде. т. е. не должен стремиться к бесконечности (x, y, z→ ∞). Если значение волновой функции бесконечно, это означает, что вероятность найти эту частицу в этом положении бесконечно мала, что нарушает принцип неопределенности. Вероятность найти частицу в момент времени t в интервале ∆x должна быть некоторым конечным числом от 0 до 1.
  2. Однозначное: Любая физическая величина может иметь только одно значение в точке.Следовательно, волновая функция, связанная с этой физической величиной, может иметь в данный момент только одно единственное значение. Поскольку наличие более одного значения означает наличие нескольких вероятностей в этой точке.
  3. Непрерывный: Волновая функция должна быть непрерывной при всех граничных условиях, поскольку она связана с физической величиной и не может быть прерывистой ни в каком случае.

Таким образом, волновая функция, удовлетворяющая этому условию, называется волновыми функциями с хорошим поведением. Ознакомьтесь с основными и важными физическими единицами и измерениями здесь.

Волновое уравнение Шрёдингера

Волновое уравнение Шредингера — это математическое выражение, описывающее энергию, импульс и положение электрона в пространстве и времени.

Уравнение Шредингера (также известное как волновое уравнение Шрёдингера) — это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее динамику квантово-механических систем через волновую функцию.

Существует два варианта волнового уравнения Шредингера, основанные на его условии.

Нестационарное волновое уравнение Шредингера

Согласно нестационарному волновому уравнению Шрёдингера для одного измерения.2}}(EV)\psi=0\)

Примечание: Сравнивая как зависящее от времени, так и независимое волновое уравнение Шредингера, мы видим, что оба они подобны, и можем установить соотношение

\(E=ih{ \delta\psi\over{\delta{t}}}\)

, и это отношение энергии известно как оператор энергии в квантовой механике.

Принцип исключения Паули

Принцип исключения Паули гласит, что в одном атоме никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор или одинаковые квантовые числа i. т. е. каждый электрон должен иметь или находиться в своем уникальном состоянии (синглетном состоянии). Есть два существенных правила, которым следует принцип запрета Паули:

  1. Только два электрона могут занимать одну и ту же орбиталь.
  2. Два электрона, находящихся на одной орбитали, должны иметь противоположные спины или быть антипараллельными.

Однако принцип исключения Паули применим не только к электронам. Это относится и к другим частицам с полуцелым спином, таким как фермионы. Это не относится к частицам с целочисленным спином, таким как бозоны, которые имеют асимметричную волновую функцию

.

Квантово-механическая модель атома
  1. Как мы уже говорили, квантовая механика — это теоретическая наука, которая занимается изучением движений макроскопических объектов, обладающих как наблюдаемыми волновыми, так и корпускулярными свойствами.
  2. В атоме возможно большое количество орбиталей. Качественно эти орбитали можно различить по размеру, форме и ориентации. Орбиталь меньшего размера означает, что больше шансов найти электрон вблизи ядра.
  3. Каждая орбиталь обозначается тремя квантовыми числами, обозначенными как n, l и ml.
  4. Главное квантовое число «n» — это положительное целое число со значением n = 1, 2, 3……. Электрон характеризуется четырьмя квантовыми числами n, m, l и s.
  5. Теперь принцип запрета Паули утверждает, что каждый электрон должен иметь свой уникальный набор этих четырех квантовых чисел. т. е. никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел.
  6. Есть четыре квантовых числа n, l, m, s, которые используются для определения состояния электрона.
  7. Таким образом, принцип запрета Паули определяет электронную конфигурацию нескольких подоболочек, существующих в оболочке, и число электронов, входящих в каждую подоболочку.
  8. Таким образом, исходя из принципа запрета Паули, можно объяснить проявление зонной структуры в твердых телах.
Квантовый номер Значение Значения Properties
N – главный квантовый номер , который он означает энергию и размер оболочки и имеет значения 1,2,3… 1, 2,. ., n Размер орбиты и уровень энергии
ml называется магнитным квантовым числом . Оно обозначает ориентацию подоболочки и имеет значения от –l до +l включая ноль. -l до +l Орбитальная ориентация
l называется азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом Оно означает форму оболочки И имеет значения, т. е. l = 0, 1, 2, …… …. (n – 1) 0, 1, 2, 3,.., (n-1) Форма орбиты
с называется спиновым квантовым числом. Обозначает спиновое состояние электрона и имеет значения 4, количество различных разрешенных орбитальных квантовых чисел будет:

A: Учитывая

n = 4

Таким образом, если главное квантовое число равно 4 (т. е. n = 4),

количество различные разрешенные орбитальные квантовые числа будут (l = 0 до n – 1)

Таким образом, общие значения l могут быть

l = 0, 1, 2, 3.

Либо существует 4 различных разрешенных орбитальных квантовых числа, как показано выше, когда n = 4

Вы также можете проверить подробности о законах термодинамики.

Функция распределения согласно квантовой статистике

Функции распределения или плотности вероятности описывают вероятность того, что частицы занимают доступные энергетические уровни в данной системе. Вывод таких функций плотности вероятности можно найти в одном из многих справочников по статистической термодинамике, а также он имеет далеко идущее применение в физике твердого тела.

Распределение Ферми Дирака
  1. Функция распределения Ферми-Дирака, также называемая функцией Ферми, определяет вероятность заполнения энергетических уровней фермионами.
  2. Фермионы — частицы с полуцелым спином, подчиняющиеся принципу запрета Паули.
  3. Принцип запрета Паули постулирует, что только один фермион может занимать одно квантовое состояние.
  4. Поэтому, когда фермионы добавляются в энергетическую зону, они будут заполнять доступные состояния в энергетической зоне точно так же, как вода наполняет ведро.{E\over{kT}}}-1}\)

    Максвелл Больцман
    1. Максвелл Больцман относится к невзаимодействующим частицам, которые можно отличить друг от друга.
    2. Эту функцию распределения также называют классической функцией распределения, поскольку она обеспечивает вероятность заполнения невзаимодействующих частиц при низких плотностях.
    3. Атомы в идеальном газе являются типичным примером таких частиц.
    4. Функция распределения Максвелла-Больцмана определяется как

      E = значение энергии на определенном уровне

      \(E_f\) = энергия Ферми

      k = постоянная Больцмана

      f(E) = фактор Ферми, функция Ферми или вероятность заполнения

      См. статью «Применение термодинамики» здесь .{0,069}}}=0,46\text{ или }46\%\)

      Применение квантовой механики

      Применение квантовой механики:

      • Квантовая оптика
      • Квантовые вычисления
      • Свет19818
      • Сверхпроводимость Излучающие диоды
      • Оптический усилитель
      • Лазер
      • Транзистор
      • Транзистор
      • Полупроводники, такие как микропроцессор
      • Медицинские и исследовательские изображения, такие как магнитно-резонансная визуализация

      Формула квантовой механики

      Важная формула квантовой механики

      de broglie длина волны (λ )

      Длина волны де Бройля (λ) — длина волны этих материальных волн, где E — энергия частицы.

      Таким образом, из соотношения между линейным импульсом p и энергией E частицы мы знали, что

      \(p={E\over c}\)

      , где c – скорость света в вакууме, используя теперь Соотношение энергии Эйнштейна предыдущее уравнение можно изменить как

      \(p={E\over c}={hv\over c}={h\over\lambda}\)

      Принцип неопределенности Гейзенберга

      Он утверждает, что невозможно одновременно определить точное положение и точный импульс (или скорость) электрона.

      • Линейный импульс и отношение смещения

      Математически это может быть задано как

      ᠎᠎᠎\(\Delta{x}\times\Delta{p}\geq{h\over{4\pi }}\text{ или }\Delta{x}\times\Delta{v}\leq{h\over{4\pi}}\\)

      Примечания по квантовой механике Часто задаваемые вопросы

      Q.1 Что такое Гипотеза де Бройля?

      Ans.1
      Именно де Бройль первым предположил, что не только свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, но и частицы с массой, такой как у электронов, также обладают, и эта гипотеза известна как гипотеза де Бройля.

      Q.2 Что такое уравнение Шрёдингера?

      Ответ 2
      Уравнение Шредингера (также известное как волновое уравнение Шрёдингера) — это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее динамику квантово-механических систем через волновую функцию.

      Q.3 Какова вероятностная интерпретация волновой функции?

      Ответ 3
      В 1926 году Макс Бор дал вероятностную интерпретацию волновой функции.Согласно его предположению, вероятность найти частицу в той или иной области прямо пропорциональна квадрату величины волновой функции, т. е. |ψ|2.

      Q.4 Кто открыл распределение Ферми-Дирака?

      Ответ 4
      Функция распределения Ферми-Дирака, также называемая функцией Ферми, определяет вероятность заполнения энергетических уровней фермионами. Фермионы — это частицы с полуцелым спином, подчиняющиеся принципу запрета Паули.

      В.5 Что такое принцип исключения Паули?

      Ответ 5
      Принцип запрета Паули гласит, что в одном атоме никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор или одинаковые квантовые числа, т. е. каждый электрон должен иметь или находиться в своем собственном уникальном состоянии (синглетном состоянии) .

      Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

      • Получайте мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

      • Получите ежедневные капсулы GK и текущих событий и PDF-файлы

      • Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин


      Подпишись бесплатно У вас уже есть аккаунт? Войти

      Следующее сообщение

      Лист формул квантовой механики Института физики

      Здесь мы предоставили Формулу квантовой механики Институтом физики.Этот учебник написан как базовое введение в квантовую физику, предназначенное для студентов бакалавриата, изучающих физику, впервые изучающих данный предмет. Предоставление мягкого введения в тему заполняет пробел между доступными книгами, которые дают всестороннее освещение, подходящее для курсов последипломного образования, и, следовательно, книгами по современной физике, которые обеспечивают довольно неполное рассмотрение темы, оставляя без внимания многие концептуальные и математические детали. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      Автор исходит из квантовой гипотезы Планка и знакомит ученого с новыми понятиями и понятиями, предоставляя простое для понимания описание основных квантовых понятий и основных математических структур. Фундаментальные принципы и введенный математический формализм хорошо проиллюстрированы рядом решенных примеров. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      Упражнения в конце главы и контрольные вопросы, как правило, составленные в соответствии с образцом экзамена, служат для закрепления изученного материала.Резюме в конце главы фиксирует ключевые моменты, обсуждаемые в тексте. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      Книга может быть использована не только студентами-физиками, но и студентами-химиками и первокурсниками всех инженерных специальностей, чтобы получить базовое представление о квантовой физике, считающейся сложным предметом. Книга представляет собой всестороннее введение в фундаментальные концепции, математические формулировки и методологию, связанные с развитием квантовой теории.Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      Содержание:
      • Корпускулярно-волновой дуализм
      • Математические инструменты для квантовой механики
      • Волновое уравнение Шрёдингера и потенциальные задачи
      • Задача углового момента
      • Двумерные задачи квантовой механики
      • Трехмерные задачи квантовой механики
      • Теория возмущений
      • Вариационный метод
      • Метод Венцеля-Крамера-Бриллюэна
      • Идентичные частицы
      • Рассеяние в квантовой механике
      • Релятивистская квантовая механика

      Он прослеживает развитие понятий и основных интерпретационных постулатов и согласовывает их с обычным жизненным опытом.
      Подробно обсуждаются развитие волновой механики, теория рассеяния, включая приближение Эйконала к амплитуде рассеяния, явления неупругого и двойного рассеяния. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      ИНФОРМАЦИЯ О КНИГЕ

      НАЗВАНИЕ КНИГИ – ЛИСТ ФОРМУЛ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

      АВТОР – ИНСТИТУТ ФИЗИК

      РАЗМЕР – 1 МБ

      СТРАНИЦЫ – 47

      Он включает в себя язык волновой механики Шрёдингера, предлагает решения большинства проблем, связанных с квантовыми системами, и обсуждает «пропагаторы» и различные картины временной эволюции.Он вводит характеристику квантовых систем в абстрактном векторном пространстве и, следовательно, «нотацию Дирака», а также включает в себя окрестности «тензорных операторов» и «теорему Вингера-Экарта».
      Большое количество решенных примеров будет полезно не только аспирантам, но и студентам, занимающимся перспективными исследованиями в области квантовой теории с приложениями к элементарным частицам и твердым телам. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      Второе издание этого краткого и компактного учебника предлагает учащимся радикальное понимание основных принципов квантовой физики и их приложений к различным физическим и химическим проблемам.Этот тщательно отредактированный материал предназначен для преодоления разрыва между книгами, в которых даются высокотеоретические трактовки, и, следовательно, книгами, в которых представлены только описательные описания квантовой физики. Были приложены все усилия, чтобы сделать книгу понятной, исчерпывающей и удобной для учащихся. Скачать бесплатно PDF Формулу квантовой механики. Автор Института физики.

      В тексте основное внимание уделяется решению задач, чтобы ускорить усвоение учащимся основных понятий и их приложений.Он включает новые главы о квантовании поля и химической связи. Он содержит новые разделы по рэлеевскому рассеянию и комбинационному рассеянию. Он предлагает дополнительные проработанные примеры и задачи, иллюстрирующие различные задействованные концепции. Учебник предназначен для использования в качестве учебника для аспирантов и продвинутых курсов бакалавриата по физике и химии. Руководство по решениям, содержащее решения упражнений в конце главы, предназначено для инструкторов.

      Эта книга нацелена на учебную программу UGC по физике для квантовой механики.Хотя предназначен для B.Sc. (с отличием) и M.Sc. (физики), он также может быть полезным справочником для студентов, изучающих химию. Акцент был сделан на физические концепции с подробностями необходимых математических шагов. Существенные особенности: Четкое представление понятий. Дружественный подход к ученику.

      ИСТОЧНИК :- НЕИЗВЕСТНО

      ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ : HUNT4EDU.COM больше не владеет этой книгой, ни созданной, ни отсканированной. Мы просто предлагаем гиперссылку, которая уже есть в Интернете.Если каким-либо образом это нарушает закон или имеет какие-либо проблемы, пожалуйста, напишите нам или свяжитесь с нами для этого (удаление гиперссылки).

      Мы не помогаем пиратству. Этот дубликат будет поставляться студентам университетов, у которых плохое финансовое положение, но которые заслуживают большего внимания. Спасибо.




      Загрузите свою книгу


      ПОДРОБНЕЕ

      Методы математической физики для всех вступительных экзаменов Института физики

      Кинетическая теория газов и термодинамика Института физики

      Написанная от руки заметка по физике твердого тела, часть 1 Абхиджита Агарвала

      Написанная от руки заметка по физике твердого тела, часть 2 Абхиджита Агарвала

      Написанная от руки заметка по физике твердого тела, часть 3 Абхиджита Агарвала

      Лучшая математическая физика для студентов бакалавриата и магистратуры

      Задачи по математической физике: Полное руководство для NET, GATE и JEST

      Квантовая механика: УЧП | Рай Кантора

      Наш мир не одномерен, как и уравнения в частных производных, которые его описывают. Давайте поговорим о том, как мы их получаем.

      Medium избавился от изображений полной ширины, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если вы находитесь на рабочем столе.

      Оставшуюся часть этой серии мы посвятим отходу от ньютоновской механики. Альтернативные формулировки классической механики, которые я имею в виду, требуют введения двух основных видов энергии: кинетической и потенциальной энергии . Кинетическая энергия объекта проста — это половина массы, умноженная на квадрат скорости. С другой стороны, чтобы объяснить потенциальную энергию и показать, как ее вычислить, потребуется несколько статей.

      Может показаться, что не стоит так углубляться в задачи классической механики, но это будет. Формулировки квантовой механики основаны на формулировках классической механики, которые нам еще предстоит рассмотреть. Уравнения квантовой механики представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Поскольку методы решения уравнений в частных производных абстрагируются от лежащей в их основе физики, мы можем использовать одни и те же приемы для решения как квантовых, так и классических уравнений в частных производных.

      Эта статья будет ускоренным курсом (с акцентом на аварии) для нескольких концепций, которые проявляются в многомерном исчислении.Если вы застряли на каком-либо этапе, воспользуйтесь следующими ресурсами:

      Я сделаю все возможное, чтобы как можно лучше объяснить соответствующие концепции в этой статье, но я не могу уместить весь курс в одну статью. Если это станет слишком интенсивным, дайте мне знать, и я постараюсь написать вторую часть этой статьи, более подробно объясняющую конкретные темы.

      Я рекомендую ознакомиться с этими вопросами перед чтением статьи, чтобы вы знали, на что обращать внимание, читая эту статью. Возможно, вы захотите попробовать поработать с некоторыми конкретными примерами.Как всегда, если вы не можете дать правильный ответ, попробуйте дать неправильный ответ и показать, почему он неправильный. Вопросы, отмеченные *, более сложные.

      Обратные _____ законы

      Во вселенной с тремя измерениями большое количество физических явлений подчиняются законам обратных квадратов. Используя аргументы в статье, как изменились бы эти законы, если бы мы жили в двумерной вселенной? В общем случае, как изменились бы законы обратных квадратов в нашей Вселенной, если бы мы жили во Вселенной с N пространственных измерений?

      Уравнения непрерывности

      Большинство неформальных формулировок законов сохранения строится в духе «энергия не может быть ни создана, ни уничтожена», что правильно, но Вселенная более ограничена.Энергия не только не может быть ни создана, ни уничтожена, но она не может исчезнуть из одного места и снова появиться в другом. Путь для любого сохраняемого количества должен быть непрерывным . Мы можем наложить это ограничение, используя уравнение неразрывности . Все уравнения неразрывности имеют одинаковую форму: скорость, с которой некоторая величина X изменяется в точке, эквивалентна скорости, с которой связанная величина Y втекает в точку. Придумайте уравнение, которое связывает X с Y . Как подсказка, в этой статье есть что-то вроде уравнения непрерывности.

      Волновое уравнение

      Волновое уравнение:

      , где ϕ — некоторая функция, а c — некоторая скорость. Используя понимание лапласиана, представленное 3blue1brown в разделе Альтернативный маршрут , попытайтесь придумать объяснение того, почему волновое уравнение имеет такую ​​форму. В качестве подсказки вы можете интерпретировать производную по времени часть уравнения как некоторую форму ускорения.

      Плоские волны*

      Я собираюсь задать несколько вопросов о простейших видах волн: плоских волнах.

        • Докажите, что любой линейная комбинация функций формы F ( K ⋅ S – или G ( K ⋅ S + Ω T) решит волновое уравнение, где k — постоянный вектор, ω — константа, t — время, а s — положение в пространстве. Начните с подстановки линейной комбинации f и g в дифференциальное уравнение. Обратите внимание, что у вас могут быть разные значения k и ω , и что f и g могут быть любой гладкой функцией (для простоты я игнорирую слабые решения).
        • В трех измерениях мы называем f и g плоскими волнами . Используйте анимацию (оси x и y представляют пространственные компоненты, а ось z- представляет значение) ниже, чтобы увидеть, можете ли вы придумать причину для названия.[Подсказка: найдите набор точек с одинаковым значением z и посмотрите, какую форму они образуют. Затем рассмотрим, как эта форма обобщается на три измерения.]
        • Как изменится плоская волна, когда мы изменим значения k и ω? Можете ли вы придумать физическую интерпретацию k и ω ?
        Я загружаю это на YouTube только потому, что не могу сделать достаточно маленькую гифку, чтобы поместить ее сюда, как я делал в других статьях, даже если я сжимаю ее до 720p15 с ограниченной цветовой палитрой. Я думаю, вам придется насладиться 4k-версией.

        Если вы застряли на последнем вопросе, поищите термины «волновое число» и «угловая частота».

        Классическая механика началась с вклада многих людей за последние тысячелетия, таких как Кеплер, Галилей и древние греки, но именно Ньютон первым формализовал эту область своими тремя законами движения. Хотя многие ученые работали над классической механикой, я хочу сосредоточиться на нескольких группах ученых:

        Обратные квадраты
        • Исаак Ньютон
        • Шарль-Огюстен де Кулон
        • Жозеф-Луи Лагранж
        • Карл Фрид

        Потенциальная пара
        • Pierre-Simon Laplace
        • Siméon Denis Poisson

      0 Erestarter

      Эти категории довольно грубые, так как Лагранж предложил идею потенциальной функции в лагранжевой механике, Лаплас сделать некоторую работу, подобную Фурье, и т. д.Кроме того, есть люди, которые, возможно, заслуживают того, чтобы быть в одном из этих списков, но я не хочу тратить слишком много времени на какую-то одну тему. Если вам интересно, поищите темы или людей, которых я упоминаю в этой статье, и вы часто найдете нескольких ученых, которые получили аналогичные результаты до или примерно в то же время, что и эти ученые.

      Во времена Ньютона такие ученые, как Галилей, Кеплер, Браге и др. др. уже прочно закрепился в области небесной механики, кульминацией чего стала публикация кеплеровских законов движения планет.

      Закон всемирного тяготения Ньютона

      Роберт Гук, известный своим законом Гука, предположил, что законы Кеплера можно объяснить как результат некоторой комбинации движения по инерции с ускорением по направлению к солнцу. Кристофер Рен, друг Гука, предложил Гуку и Эдмунду Галлею придумать какой-нибудь математический закон, который мог бы дать количественную оценку ускорения и объяснить законы Кеплера. Галлей представил проблему Исааку Ньютону, который придумал свой закон всемирного тяготения:

      Работа Ньютона легла в основу его более поздней работы, Principia , в которой он официально сформулировал три своих закона движения и свой закон тяготения. и показали, что они могут объяснить большое количество открытых проблем небесной механики.

      Закон Кулона для электростатики

      Спустя десятилетия после смерти Ньютона люди заметили, что электростатическое притяжение действует аналогично гравитации, и предположили, что электростатические силы имеют аналогичную форму. Кулон провел строгий эксперимент с такими убедительными доказательствами закона обратных квадратов для электростатики, что мы назвали этот закон в его честь. Закон Кулона показан ниже.

      Электромагнитное поле

      В отличие от планет, где нам приходится иметь дело только с несколькими десятками объектов одновременно, общие проблемы в электромагнетизме (включая анализ цепей) часто связаны с движением триллионов триллионов объектов.Описывать все взаимодействия между этими объектами — пустая трата времени. Вместо этого мы часто говорим об электромагнитном поле , которое может сказать вам силу на единицу заряда, которую будет испытывать объект. Позже мы увидим, что электромагнитное поле будет чем-то большим, чем простой вычислительный путь. Сейчас мы сосредоточимся на электрическом поле , которое является всем, что вам нужно для электростатических взаимодействий. В случае электростатики она определяется как кулоновская сила, деленная на заряд.

      Происхождение законов обратных квадратов

      Вам должно показаться странным, что уравнения гравитации и электростатики выглядят так похоже. Чтобы понять почему, возьмем две массы в космосе, похожие на простейшую модель Земли и Солнца. Если бы обе массы изначально находились в покое, то можно было бы ожидать, что массы будут двигаться навстречу друг другу, что известно как свободное падение . Если мы установим нашу систему отсчета так, чтобы одна из масс была неподвижной, мы должны увидеть, что другая масса будет падать на неподвижную массу, куда бы мы ее ни поместили.Если бы мы начертили стрелку в каждой точке пространства, представляющую направление движения массы, мы бы обнаружили, что все стрелки сходятся в точке покоящейся массы.

      Medium избавился от изображений полной ширины, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если вы находитесь на рабочем столе.

      Мы называем такой график векторным полем . В физике поле представляет набор чисел в каждой точке пространства, которые вы можете использовать, чтобы определить что-то о реальности. В этом случае набор чисел образует вектор, и мы могли бы использовать его, чтобы найти путь, по которому пойдёт объект в состоянии покоя.Если бы мы масштабировали эти векторы по ускорению, которое будет испытывать каждый объект, мы могли бы предсказать путь любого объекта, движущегося с любой скоростью и положением, как функцию времени.

      Расхождение

      Возвращаясь к нашей диаграмме, мы бы назвали точку, где все стрелки сходятся, «раковиной». Если бы вместо этого мы нашли точку, в которой расходятся все стрелки, мы бы назвали эту точку «источником». Дивергенция — это скалярная функция, которую мы можем найти для векторного поля, представляющая, насколько точка действует как источник или сток. Положительное расхождение означает, что присутствует источник, а отрицательное расхождение означает, что присутствует сток. Нулевое расхождение означает, что входящих стрелок столько же, сколько и исходящих. Величина расхождения представляет собой размер источника или стока.

      С завитком мы долго не будем работать, поэтому в этой статье я его не рассматриваю.

      Вычисление дивергенции

      Этот вывод может показаться сложным из-за большого количества текста, но это одно и то же шесть раз.Идея расчета дивергенции заключается в том, что если вы нарисуете в пространстве небольшую коробку, вы можете узнать, сколько «потока» (используя аналогию с потоком жидкости, как показано в видео выше) генерируется в коробке, найдя разницу между количеством потока, выходящего из коробки, и количеством потока, поступающего в коробку. Чтобы вычислить, сколько жидкости течет через поверхность, вы интегрируете скалярное произведение между вектором нормали (вектором, который указывает на поверхность) стороны и потоком

      . Мы называем этот интеграл этой формы интегралом потока («флюс» на латыни означает «поток»).Чтобы получить расхождение, вы вычисляете интеграл потока для всех шести сторон и суммируете их, делая ящик бесконечно малым. Нормали для всех сторон куба являются декартовыми базисными векторами.

      Было бы слишком сложно увидеть, что происходит в 3D-анимации, поэтому я надеюсь, что этой 2D-анимации 4k будет достаточно. Medium избавился от полноразмерных изображений, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если вы находитесь на компьютере.

      Как и во всех производных, вам нужно на что-то делить, чтобы ваш результат не стал равным нулю.Для дивергенции вы делите на объем объекта. Для простоты мы используем куб со стороной 2 92 683 h 92 684 и объемом 8 92 683 h³ 92 684, чтобы мы могли поместить нашу точку интереса в центр прямоугольника. Теперь мы можем рассчитать дивергенцию в точке (X, Y, Z) .

      где F = (Fx, Fy, Fz) . Чтобы справиться с этим выражением, мы получаем 4h² , чтобы мы могли преобразовать двойной интеграл в среднее значение функции.Тогда, поскольку ч стремится к нулю, среднее значение функции будет равно значению функции в интересующей нас точке, (X, Y, Z) .

      Не хочу выписывать это каждый раз, когда беру дивергенцию, поэтому перепишу в новой форме. Поскольку эти члены выглядят как симметричные производные, но только одной переменной (т. е. части) функции, кому-то пришла в голову идея назвать эти члены частными производными . Обозначим частные производные с помощью обозначения

      . Теперь мы можем переписать дивергенцию в терминах частных производных.

      Если наша функция зависит только от одной переменной, частная производная сводится к производной, которую вы узнали в «Исчислении I». Уравнения с частными производными известны как уравнений в частных производных .

      Симметричные производные?

      Просто относитесь к симметричным производным точно так же, как к производным, которые вы видели в Исчислении I, и все будет в порядке.

      Обозначение дивергенции

      Обычно мы пишем дивергенцию в терминах оператора del или nabla (обозначается как ∇).

      Мы поставили точку между ∇ и полем, для которого мы пытаемся найти дивергенцию, потому что вы можете думать и о ∇, и о поле как о векторах, а о дивергенции — как о их скалярном произведении.

      В отличие от обычного скалярного произведения, вы не можете поменять порядок ∇ и поля и получить тот же результат, так что это не совсем скалярное произведение.

      Дивергенция в разных системах координат

      Операторы дивергенции и другие дифференциальные операторы принимают разные формы в разных системах координат, о которых мы расскажем в следующих статьях.

      Пример дивергенции

      Пусть

      затем

      Дивергенция и источник законов обратных квадратов Законы обратных квадратов являются прямым результатом того факта, что масса и заряд действуют как источники и стоки для своих соответствующих полей.

      По этой причине расходимость поля в данной точке пропорциональна плотности массы/заряда в этой точке.

      , где ρ — либо масса, либо плотность заряда, G — универсальная гравитационная постоянная из законов Ньютона, ε₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, а εr — относительная диэлектрическая проницаемость. Константы G , ε₀ и εr масштабируют силу, которую вы получаете от некоторой плотности. Эти источники и приемники не заботятся о направлении, что означает, что поле должно быть равномерно распределено по всем направлениям.

      Для этого требуется, чтобы поле было одинаковым во всех точках сферы с центром вокруг источника или стока с радиусом r .Поскольку площадь поверхности сферы составляет 4 π r² , этот факт означает, что поле на расстоянии r должно быть распределено по поверхности 4 π r² , где вы получаете закон обратных квадратов. Конечно, совокупность источников и приемников часто создает некоторую зависимость от направления, причем электрический диполь является наиболее тривиальным примером, но системы с зависимостью от направления не подчиняются законам обратных квадратов.

      А пока давайте рассмотрим Солнце и Земную систему.Мы хотим найти гравитационное ускорение Земли как функцию положения. Вне Солнца плотность массы равна нулю, поэтому закон гравитации Гаусса гласит:

      Возвращаясь немного назад во времени, Лаплас должен был решить это уравнение. Он понял, что вместо того, чтобы записывать все в терминах векторов (у которых есть три компонента), мы часто можем писать все в терминах скаляров (у которых есть один компонент). Другими словами, вместо того, чтобы рисовать стрелку в каждой точке пространства, представляющую ускорение, которое испытает частица, он обнаружил, что может написать число в каждой точке пространства, которое он может использовать для решения проблемы.

      Medium избавился от изображений полной ширины, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если вы находитесь на рабочем столе.

      Другими словами, он мог преобразовать первое изображение во второе изображение.

      Почему мы можем представить гравитацию как потенциал?

      Я собираюсь применить менее строгий подход к этому разделу, а затем обобщить его позже. Как мы видели в предыдущей статье, скорость объекта, на который действует только сила тяжести другого объекта, зависит только от положения:

      Поскольку скорость зависит только от положения, кинетическая энергия должна зависеть только от положения, которое означает, что мы можем сделать из него скалярное поле.Технически это также зависит от начальной кинетической энергии, но это просто добавляет константу ко всему полю. Чтобы связать этот результат с силами, мы можем использовать теорему о работе-энергии, которую мы вывели в предыдущей статье:

      Поскольку значение интеграла зависит только от начального и конечного положений, конкретный путь (обозначенный 𝓒) не важно. Мы называем такой интеграл независимым от пути .

      Какие силы можно представить в виде потенциала?

      В этом разделе я буду использовать векторную форму входных данных функции, поэтому F (x, y, z) = F ( 9 ) . В следующем разделе я вернусь к F (x, y, z) . Чтобы выяснить, какая сила может дать нам скалярное поле, мы воспользуемся тем же трюком, что и при выводе дивергенции. Мы собираемся найти среднюю силу на прямолинейном пути между двумя точками и взять предел, когда две точки приближаются друг к другу. При этом средняя сила будет стремиться к силе в одной из конечных точек.

      По теореме о работе-энергии мы знаем, что это выражение равно

      Поскольку мы берем предел, поскольку с₂ приближается к с₁ , мы также можем сказать, что это выражение равно

      90 выражения равны, мы можем сказать

      В математических терминах сила, F , является производной Фреше кинетической энергии, пока все силы не зависят от траектории.Звучит заманчиво, но строка выше — это определение скалярной функции. В физике наши функции ведут себя достаточно хорошо, чтобы мы могли вычислить производную Фреше скалярной функции напрямую, взяв градиент .

      Как вычислить градиент

      Поскольку наш интеграл не зависит от пути, мы можем рассчитать изменение кинетической энергии вдоль направлений x , y и z по отдельности. Это дает нам

      Если вы выполните тот же процесс для всех координат, вы найдете

      Мы можем использовать определение ∇, которое мы определили ранее для дивергенции здесь.

      Сила — это отрицательный градиент потенциальной энергии

      Ранее я сказал, что сила (при условии независимости от траектории) — это производная Фреше от кинетической энергии, но вы, вероятно, уже знаете, что сила — это отрицательный градиент потенциальной энергии. Оба утверждения верны. Определим новую функцию V , равную некоторой константе U минус кинетическая энергия.

      Ух ты, эти буквы в алфавите стоят рядом друг с другом. Какое совпадение!

      Эта функция позволит нам отделить силу гравитации от кинетической энергии любого конкретного объекта.Если мы добавим эту функцию к кинетической энергии, мы получим константу U . Если мы возьмем градиент суммы кинетической энергии и этой новой функции, мы получим нуль.

      Поскольку градиент состоит из производных, мы можем разделить градиент на два градиента, использовать тот факт, что сила является градиентом кинетической энергии, и найти силу, чтобы получить

      Мы называем эту функцию V потенциальная энергия , и мы называем U полной энергией .Поскольку U — константа, она сохраняется. По этой причине мы называем гравитацию консервативной силой . Как правило, полная энергия системы только с консервативными силами сохраняется .

      Гравитация как градиент

      Если гравитация является градиентом потенциала, то какого потенциала? Закон Всемирной гравитации Ньютона в декартовых координатах

      где x

      x -Coordine из первого объекта, x

      x объект и т. д.Чтобы сделать математику немного приятнее, чтобы посмотреть, мы собираемся определить S = S₂ S₁ , что дает нам

      Если мы сосредоточимся на направлении x , мы можем вычислить часть потенциала путем интегрирования по отношению к x .

      Это даст нам функцию y и z вместо константы интегрирования.Если мы отменим интеграл, взяв частную производную по отношению к x , мы избавимся от этой функции.

      Если мы возьмем частную производную по y и сравним ее с силой в направлении y , мы получим

      , что означает, что g(y, z) = h(z) . Если затем мы возьмем частную производную потенциала по z и сравним ее с силой в направлении z , мы получим

      , что означает, что h(z) = c , где c является некоторой константой. Мы часто игнорируем константу, так как ее значение ничего не изменит. Собрав все это вместе, мы получим, что гравитационный потенциал равен

      Несколько тел

      Мы можем обобщить это на несколько тел, которые взаимодействуют посредством гравитационного притяжения. Если мы сложим гравитационную потенциальную энергию всех взаимодействующих объектов в системе, мы можем взять ее градиент относительно положения одного из объектов, чтобы получить общую силу, действующую на этот объект.

      Уравнение Лапласа

      Если мы применим закон Гаусса в пустом пространстве, мы можем заменить векторное поле градиентом потенциала:

      Это ∇² известно как Лапласиан , а это уравнение известно как Уравнение Лапласа .В декартовых координатах лапласиан принимает форму

      . Функции, решающие это уравнение, известны как гармоник , потому что разновидность этого уравнения применима к колебаниям натянутой струны, такой как щипковая гитарная струна.

      Уравнение Пуассона

      Лаплас нашел уравнение, описывающее гравитацию, но только в пустом пространстве. Его преемник, Пуассон, использовал работу Лапласа, чтобы составить и решить собственное уравнение Пуассона:

      , где k — некоторая константа пропорциональности.

      В начале 1700-х годов Ньютон опубликовал свой закон охлаждения, который представляет собой грубое описание того, как что-то охлаждается или нагревается с течением времени. Основная идея состоит в том, что объект будет охлаждаться быстрее в более холодной среде, чем в более теплой. Спустя столетие Жозеф Фурье позже обобщил закон охлаждения Ньютона и придумал закон Фурье, который сродни взаимосвязи между силой и гравитационным потенциалом или электрическим полем и потенциалом:

      Я использовал все три названия переменных. в другом контексте выше.Если вы уже не можете сказать, у ученых давно закончились буквы.

      , где T — температура, k — проводимость, q — тепловой поток в данной точке. Концептуально это означает, что тепло передается от горячих вещей к холодным. Обратите внимание, что, в отличие от уравнения Пуассона, это уравнение имеет векторы с обеих сторон уравнения. Температура является скаляром, но ее градиент должен быть вектором. Точно так же тепловой поток имеет как величину (сколько тепла течет), так и направление (куда уходит тепло), поэтому он должен быть вектором.

      Вывод уравнения теплопроводности

      Закон Фурье не является уравнением теплопроводности, но мы можем использовать его для вывода уравнения теплопроводности. Предположим, у нас есть изотропный (все везде одинаково) материал. В нашем случае изотропный материал означает, что k является постоянным. Скажем, мы берем область в космосе и хотим знать, как температура меняется с течением времени. Кроме того, предположим, что мы знаем тепловой поток в каждой точке нашей системы. Подумайте, что произойдет с температурой в следующих случаях:

      1. В область поступает чистый поток тепла.
      2. Имеется чистый отток тепла из региона.
      3. Чистый поток тепла равен нулю, это означает, что одно и то же количество поступающего тепла равно количеству отходящего тепла.

      Надеюсь, очевидно, что в первом случае температура увеличивается, во втором — уменьшается, а в третьем остается постоянной, потому что я не хочу это доказывать.

      График теплового потока

      Итак, теперь нам просто нужно некоторое математическое понятие, которое могло бы сказать нам, сколько тепла течет в точку.Для этого давайте представим, что бросаем горячий камешек в емкость с холодной водой и пытаемся изобразить тепловой поток. Поскольку тепло будет перетекать от гальки к воде, сюжет будет выглядеть так, как будто

      Medium избавился от полноразмерных изображений, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если вы находитесь на рабочем столе.

      Все стрелки указывают в сторону от камешка. В приведенной выше терминологии мы бы назвали местонахождение гальки источником. Если бы мы бросили холодный камешек в горячую воду, все тепло перешло бы от воды к камню, и график выглядел бы так, как будто

      Medium избавился от полноразмерных изображений, поэтому попробуйте открыть изображение в новой вкладке, если ты на рабочем столе.

      Все стрелки указывают на гальку. В приведенной выше терминологии мы бы назвали местонахождение камня раковиной.

      Использование математических понятий в этой статье

      В целом, мы обнаружили бы, что любая точка, которая холоднее, чем ее окружение, будет поглощать тепло и действовать как сток. Точно так же любая точка, более теплая, чем ее окружение, будет излучать тепло и действовать как источник. Чтобы измерить эти источники и поглотители, мы можем использовать дивергенцию, как мы делали выше. В частности, дивергенция измеряет, сколько тепла уходит из точки.Поскольку при оттоке тепла температура в точке уменьшается, скорость изменения температуры должна иметь противоположный знак дивергенции. Наконец, нам нужно добавить константу пропорциональности, чтобы получить правильные единицы измерения. Мы называем эту константу объемной теплоемкостью , которая показывает, сколько тепла необходимо для повышения температуры вещества на один кельвин на единицу объема. Собрав все вместе, мы получим

      . Чтобы получить уравнение теплопроводности, мы объединим это уравнение с законом Фурье.

      где α – константа температуропроводности. Мы вводим α только для того, чтобы нам не приходилось иметь дело с тремя константами. Эту версию уравнения теплопроводности можно расширить за счет добавления внутренних источников тепла, но пока мы сосредоточимся на этой версии.

      Альтернативный маршрут

      Лапласиан также измеряет разницу между значением функции в точке и средним значением функции вокруг точки, которую 3blue1brown использует в своем видео для вывода уравнения теплопроводности.

      Это была густая статья. Если вы прошли через это, похлопайте себя по спине. Если нет, не корите себя за это. Проверьте ресурсы, на которые я ссылался выше, и скажите, что я могу сделать, чтобы помочь вам понять. Я готов писать статьи, объясняющие все, что вы хотите, чтобы я объяснил.

      Получение этих уравнений само по себе является большим достижением, но как мы можем использовать их, чтобы делать прогнозы относительно реального мира? Проще говоря, нам нужно решить эти уравнения. К счастью для нас, есть несколько методов, которые мы можем использовать для решения этих уравнений.В следующих нескольких статьях мы рассмотрим два из этих методов, прежде чем перейти к нашей первой альтернативной формулировке классической механики.

      Самореклама

      Если вам понравилась эта статья и вы хотите узнать больше от меня, вы можете поддержать эту серию, прочитав и поделившись любой из моих других статей на Medium. Кроме того, не забудьте подписаться на мой список рассылки (рядом с кнопкой «Подписаться» в конце статьи), чтобы не пропустить следующую статью. Я не буду публиковаться слишком часто, поэтому вам не нужно беспокоиться о том, что я заполню ваш почтовый ящик.

      Классическая формула для «пи» соединяет чистую математику и квантовую механику как «волшебный трюк»

      Изображение: Университет Рочестера

      Пи или π – это отношение длины окружности к ее диаметру. Неважно, насколько велика или мала окружность — соотношение остается неизменным, а константа оказалась незаменимой для математиков. На протяжении веков вычисление числа пи — иррационального числа, поэтому его десятичное представление никогда не заканчивается (суперкомпьютерам удалось вычислить триллионы цифр числа пи) — оказалось интересным и увлекательным занятием для математиков.Первое вычисление числа пи было сделано г. Архимедом Сиракузским г. (287–212 гг. до н. э.), одним из величайших математиков древнего мира. Архимед заключил круг многоугольниками, что позволило ему разбить круг на квадраты. Используя теорему Пифагора и периметр квадрата, известные Архимеду, греческий ученый использовал этот прием с 96-сторонними многоугольниками, чтобы правильно оценить число Пи с точностью до двух цифр (3.14), доказав, что 3,1408 < Пи < 3,1428.

      До появления исчисления и вычисления бесконечных рядов не так много цифр было добавлено к найденным Архимедом более чем за 1500 лет. Один крупный прорыв был сделан в 1655 году, когда английский математик вывел формулу для числа пи как произведения бесконечного ряда отношений. Как ни странно, но не так уж удивительно, учитывая распространенность числа пи в природе, исследователи из Рочестерского университета пришли к той же формуле, когда вычисляли квантово-механическую энергетическую статистику водорода.

      В квантовой механике метод, называемый вариационным подходом, может использоваться для аппроксимации энергетических состояний квантовых систем, таких как молекулы, которые не могут быть точно решены.Карл Хаген, физик элементарных частиц из Университета Рочестера, взял за привычку обучать этому методу своих студентов, применяя его к водороду. Особенность атома водорода заключается в том, что его энергетические уровни можно вычислить напрямую, используя квантовые расчеты, разработанные датским физиком Нильсом Бором в начале двадцатого века. Применяя вариационный подход и затем сравнивая результат с точным решением, учащиеся могли вычислить ошибку приближения. Но после того, как сам Хаген начал решать задачу, он заметил своеобразную тенденцию: ошибка вариационного подхода составляла около 15 процентов для основного состояния водорода, 10 процентов для первого возбужденного состояния и продолжала уменьшаться по мере увеличения возбужденных состояний. .

      Две страницы из книги «Arithmetica Infinitorum» Джона Уоллиса.

      Хагену нужна была помощь, поэтому он нанял математика Тамар Фридманн. Эти двое обнаружили, что это соотношение дает — фактически — формулу Уоллиса для π.

      В частности, вычисления Фридмана и Хагена привели к выражению, включающему специальные математические функции, называемые гамма-функциями, что привело к формуле

      , которое можно свести к классической формуле Уоллиса.

      «Мы не просто нашли пи», — сказал Фридманн, приглашенный доцент математики и научный сотрудник физики высоких энергий, а также соавтор статьи, опубликованной на этой неделе в Journal of Mathematical Physics . «Мы нашли классическую формулу Уоллиса семнадцатого века   века для числа пи, что сделало нас первыми, кто вывел ее из физики в целом и квантовой механики в частности».

      «Значение числа пи приобрело мифический статус отчасти потому, что его невозможно записать со 100-процентной точностью, — сказал Фридман. лучше всего представить в виде формулы.

      Удивительно видеть, как число “пи” появляется таким естественным образом, без каких-либо кругов. И как изящно найти эту связь, достигнув тех же результатов, что и математик XVII века.

      «Это вычисление числа пи — неожиданность для знакомого, очень похожее на фокус фокусника», — сказал Моше Маховер из Королевского колледжа Лондона, не участвовавший в исследовании. «Ребенок, впервые увидевший трюк, может только удивиться. Но взрослый, видевший за годы множество фокусов, испытывает и удивление, и знакомство.

      «Природа хранила этот секрет в течение последних 80 лет, — сказал Фридманн. «Я рад, что мы раскрыли это».

      Обнаружена классическая формула числа Пи, скрытая в атомах водорода

      Еще в 2015 году ученые впервые нашли нечто удивительное — классическую формулу числа пи, скрытую в мире квантовой физики.

      Пи — это отношение длины окружности к ее диаметру, и оно невероятно важно в чистой математике. Но это был первый раз, когда ученые обнаружили его «притаившимся» в мире физики, когда использовали квантовую механику для сравнения энергетических уровней атома водорода.

       

      Почему это было интересно? Ну, это выявило невероятно особую и ранее неизвестную связь между квантовой физикой и математикой.

      «Я нахожу удивительным, что чисто математическая формула XVII века характеризует физическую систему, которая была открыта 300 лет спустя», — сказала один из ведущих исследователей того времени, Тамар Фридманн, математик из Рочестерского университета в НАС.

      Открытие было сделано, когда Карл Хаген, физик элементарных частиц из Университета Рочестера, вел курс квантовой механики и объяснял своим студентам, как использовать квантово-механический метод, известный как «принцип вариации», для аппроксимации энергетических состояний. атома водорода.

      Сравнивая эти значения с обычными расчетами, он заметил необычную тенденцию в соотношениях.

      Он попросил Фридмана помочь ему разобраться с этой тенденцией, и они быстро поняли, что это на самом деле проявление формулы Уоллиса для числа пи — впервые она была выведена из физики.

      «Мы не искали формулу Уоллиса для числа пи. Она просто попала нам в руки», — сказал Хаген.

       

      «Это было полной неожиданностью», — добавил Фридманн. «Я прыгал вверх и вниз, когда мы получили формулу Уоллиса из уравнений для атома водорода».

      С 1655 года было получено множество доказательств формулы Уоллиса, но до этого все они были получены из мира математики.

      Вы можете увидеть две страницы из книги Уоллис  Arithmetica Infinitorum ниже:

      Оцифровано Google

      «Это почти похоже на волшебство», — написал для Forbes сотрудник по математике Кевин Кнудсон.

      Оставить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.