Lim найти предел: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

Содержание

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2),

1 2x 1 x lim

Вы искали 1 2x 1 x lim? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 x 1 найти, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «1 2x 1 x lim».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2x 1 x lim,1 x 1 найти,f lim x,lim 1 2 x,lim 1 2x,lim 1 2x 1 x,lim 1 x,lim 1 x 1 3x,lim 1 x 1 x2,lim 1 x 2,lim 1 x 2 1,lim 1 x2 1,lim 100 x,lim 2 x,lim 2x 1 x 3,lim 2x 2 x 3 x 1,lim 2x 3 2x 1,lim 3 x,lim 3 x 2 x,lim 3x 2 5x 2,lim arctg 1 x,lim cos x 1 x,lim cosx,lim ctgx x,lim sin2x 3x,lim x 1 2,lim x 1 x 2,lim x 2,lim x 2 1,lim x 2 1 x 1,lim x 2 1 x 2,lim x 2 2x 1 x 3 x,lim x 2 3x 2,lim x 2 x 1,lim x 2 x 1 x 3,lim x 2 x 2x 3 1,lim x 2 x 3,lim x 2 x 5 x 3,lim x 3,lim x 3 2x 3,lim x 3 x 2,lim x 5,lim x ctgx,lim x sqrt x 2 1 x,lim x sqrt x 2 x,lim x x2 x 1,lim x стремится к 0 sin4x x,lim x стремится к 0 x,lim x стремится к 0 x ctg5x,lim x стремится к 0 x sinx,lim x стремится к 2,lim x стремится к 2 x 2 4,lim x стремится к 3,lim x стремится к 4,lim x стремится к бесконечности онлайн,lim x стремится к бесконечности онлайн калькулятор,lim x стремится к бесконечности онлайн калькулятор подробное решение,lim x стремится к бесконечности онлайн калькулятор с решением,lim x стремится к бесконечности онлайн калькулятор с решением с дробями,lim вычислить,lim калькулятор,lim калькулятор онлайн,lim калькулятор онлайн с подробным решением,lim калькулятор с решением,lim онлайн калькулятор,lim онлайн калькулятор с подробным решением,lim онлайн калькулятор с решением,lim онлайн решение,lim онлайн решить,x при x 1,бесплатно решение онлайн пределов с подробным решением,второй замечательный предел онлайн калькулятор,вычисление пределов функции онлайн,вычисление пределов функции онлайн с подробным решением,вычисление функции онлайн,вычисления пределов онлайн,вычислите предел функции lim онлайн с решением,вычислите пределы lim онлайн с подробным решением,вычислитель онлайн пределов,вычислить lim,вычислить лимит онлайн с решением,вычислить онлайн пределы функций,вычислить предел lim,вычислить предел функции lim онлайн,вычислить предел функции онлайн,вычислить предел функции онлайн с подробным решением,вычислить пределы онлайн с решением,вычислить пределы онлайн с решением калькулятор,вычислить пределы функции онлайн,вычислить пределы функции онлайн с подробным решением,вычислить пределы функций не пользуясь правилом лопиталя онлайн калькулятор,вычислить пределы функций онлайн,вычислить пределы функций онлайн с решением,вычислить пределы функций с решением онлайн,границі функції онлайн калькулятор,доказать что lim an a указать n e онлайн решение,знайти нулі функції онлайн калькулятор,как решить пределы онлайн с подробным решением,калькулятор lim,калькулятор lim онлайн,калькулятор lim онлайн с подробным решением,калькулятор lim онлайн с решением,калькулятор lim с решением,калькулятор вычисления пределов онлайн с подробным решением,калькулятор границь,калькулятор лимитов онлайн с решением,калькулятор лимитов с решением онлайн,калькулятор онлайн lim,калькулятор онлайн lim с решением,калькулятор онлайн найти предел функции,калькулятор онлайн пределов функции,калькулятор онлайн с решением пределов,калькулятор последовательностей,калькулятор предел функции,калькулятор предел функции онлайн,калькулятор предел функций,калькулятор предела,калькулятор предела функции,калькулятор пределов онлайн с корнями,калькулятор пределов онлайн с подробным решением,калькулятор пределов онлайн с решением,калькулятор пределов с корнями онлайн,калькулятор пределов с подробным решением,калькулятор пределов с подробным решением онлайн,калькулятор пределов функции,калькулятор пределов функции онлайн,калькулятор пределы функции,калькулятор пределы функций,калькулятор решение пределов онлайн с подробным решением,калькулятор с решением lim,калькулятор функции предела,калькулятор функции пределов,калькулятор функций предел,лим калькулятор,лимит калькулятор онлайн,лимит онлайн,лимиты калькулятор онлайн,лимиты онлайн калькулятор,найдите пределы функций онлайн,найти lim онлайн,найти лимит онлайн,найти односторонние пределы онлайн,найти предел калькулятор онлайн,найти предел онлайн калькулятор,найти предел онлайн с решением,найти предел с решением онлайн,найти предел функции калькулятор онлайн,найти предел функции онлайн,найти предел функции онлайн калькулятор,найти предел функции онлайн калькулятор с подробным решением,найти пределы lim калькулятор,найти пределы функции онлайн,найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя онлайн решение,найти пределы функций онлайн,найти пределы функций онлайн с подробным решением,найти указанные пределы онлайн с решением,нахождение предела функции онлайн с решением,нули функции онлайн калькулятор,ограниченность функции онлайн,ограниченность функции онлайн калькулятор,онлайн вычисление пределов с подробным решением бесплатно,онлайн вычисление пределов функции,онлайн вычислить пределы функции,онлайн вычислить пределы функций,онлайн калькулятор lim,онлайн калькулятор lim с подробным решением,онлайн калькулятор lim с решением,онлайн калькулятор границі функції,онлайн калькулятор лимиты,онлайн калькулятор найти предел,онлайн калькулятор найти предел функции,онлайн калькулятор предел,онлайн калькулятор предел с подробным решением,онлайн калькулятор предел функции,онлайн калькулятор предел функции с подробным решением,онлайн калькулятор пределов,онлайн калькулятор пределов с подробным,онлайн калькулятор пределов с подробным решением,онлайн калькулятор пределов функции,онлайн калькулятор пределы с подробным решением,онлайн калькулятор решения пределов,онлайн калькулятор с решением пределов,онлайн калькулятор с решением пределы,онлайн калькулятор функции пределов,онлайн найти пределы функции,онлайн подсчет пределов,онлайн посчитать пределы,онлайн пределы функции,онлайн пределы функций,онлайн расчет пределов,онлайн решение пределов с подробным решением,онлайн решение пределов с подробным решением бесплатно,онлайн решение пределов с решением,онлайн решение пределов функции,онлайн считать пределы,определить порядок малости функции онлайн калькулятор,первый замечательный предел калькулятор онлайн,первый замечательный предел онлайн калькулятор,подсчет пределов онлайн,посчитать онлайн пределы,посчитать предел,посчитать предел онлайн,посчитать предел онлайн с подробным решением,посчитать предел с подробным решением онлайн,посчитать пределы онлайн,предел 1 x 2 1 x,предел x 1 x 2,предел калькулятор онлайн,предел онлайн калькулятор с подробным решением,предел последовательности онлайн калькулятор с подробным решением,предел решение онлайн,предел функции калькулятор,предел функции калькулятор онлайн,предел функции онлайн,предел функции онлайн калькулятор,предел функции онлайн калькулятор с подробным решением,предел функций калькулятор,предел числовой последовательности онлайн калькулятор,пределы калькулятор онлайн,пределы калькулятор онлайн с подробным решением,пределы калькулятор онлайн с решением,пределы калькулятор с подробным решением,пределы онлайн калькулятор с подробным решением,пределы онлайн посчитать,пределы онлайн с подробным решением,пределы онлайн с решением,пределы онлайн с решением калькулятор,пределы онлайн считать,пределы посчитать онлайн,пределы решение онлайн,пределы решение онлайн с подробным решением,пределы решение подробное онлайн,пределы с решением онлайн,пределы считать онлайн,пределы функции калькулятор,пределы функции онлайн,пределы функции онлайн с решением,пределы функций вычислить онлайн,пределы функций калькулятор,пределы функций онлайн,пределы функций онлайн с подробным решением,расчет пределов онлайн,расчет пределов онлайн с полным решением,решение lim онлайн,решение lim онлайн с подробным решением,решение калькулятор пределов,решение лимитов онлайн с полным решением,решение онлайн замечательных пределов,решение онлайн пределов с корнями,решение онлайн пределов функции,решение предел онлайн,решение предела онлайн,решение предела функции онлайн с решением,решение пределов калькулятор,решение пределов калькулятор с подробным решением,решение пределов онлайн,решение пределов онлайн калькулятор,решение пределов онлайн калькулятор с подробным решением,решение пределов онлайн подробное,решение пределов онлайн с подробным,решение пределов онлайн с подробным решением,решение пределов онлайн с подробным решением бесплатно,решение пределов онлайн с подробным решением онлайн,решение пределов с подробным решением калькулятор,решение пределов с подробным решением онлайн бесплатно,решение пределов функции онлайн,решение пределов функции онлайн с решением,решение пределы онлайн с подробным решением,решения пределов онлайн калькулятор,решения пределов онлайн калькулятор с подробным решением,решить лимит онлайн,решить предел онлайн,решить предел онлайн бесплатно с подробным решением,решить предел онлайн с подробным решением,решить предел онлайн с подробным решением бесплатно,решить пределы онлайн с подробным решением,решить уравнение lim онлайн,решить уравнение онлайн lim,считать онлайн пределы,считать пределы онлайн,считать пределы онлайн с решением.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2x 1 x lim. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, f lim x).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2x 1 x lim Онлайн?

Решить задачу 1 2x 1 x lim вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Алгебра – 10 класс. Предел функции в точке

Дата публикации: .

Урок на тему: “Предел функции в точке”



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать: Предел функции в точке (PDF)

Что будем изучать:


1. Что такое предел функции в точке.
2. Определение непрерывной функции.
3. Обобщение знаний о непрерывных функциях.
4. Свойства предела.
5. Примеры.

1) Что такое предел функции в точке?

Ребята, давайте посмотрим на три графика функции, приведенные ниже:


На первый взгляд, графики выглядят совершенно одинаково, но давайте внимательнее посмотрим на наши графики. Посмотрим внимательно на значения функции y=f(x) в точке а.

На Рис1. изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.

На Рис2. изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.

На Рис3. изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.

На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При xа графики совершенно одинаковые.

Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:

Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.

Теперь давайте постараемся понять, что же написано выше. Если значения аргумента функции y=f(x) подбирать все ближе к числу а (если из а вычитать подобранные значения аргумента, то результатом будет число практически равное нулю), то соответствующие значения функции будут все ближе и ближе к b (если из b вычитать полученные значения функции, то результатом будет число практически равное нулю). При этом стоит заметить, что саму точку а не учитываем.

Посмотрим опять на первый график: Можно заметить что:


График функции на нашем рисунке непрерывен. Тогда, давайте напишем определение непрерывной функции:

Определение непрерывной функции.


Определение. Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется тождество:

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции при x стремящимся к а, равен значению функции в точке x=a.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке нашего отрезка.

Обобщение знаний о непрерывных функциях.


Полезно: В курсе высшей математики или математическом анализе, существует ряд теорем и утверждений которые доказывают, что все функции, которые мы с вами рассматривали в ранних курсах алгебры являются непрерывными, мы с вами интуитивно и с помощью графиков понимали, что функция непрерывна. Давайте обобщим изученное, важным утверждением:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определенно выражение f(x).

Свойства функции


Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:

Примеры:
А) Найти предел функции:
Решение:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.


Б) Найти предел функции:
Решение:

Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:

Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:

Ответ: -1/3

В) Найти предел функции:

Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.

x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)


Сократим нашу дробь

Тогда получаем:

y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Ответ: 4

Г)Найти предел функции:

Решение:

Область определения функции

Наша точка x=2 не попадает в область определения, тогда предел функции не существует.
Ответ: Не существует.

Д) Найти предел функции:

Решение:

Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.

Ответ: -1

Е) Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
1)Область определения – множество действительных чисел.

2)lim f(x)=3
3) f(2)=4
4) f(x) Решение:

Покажем один из возможных графиков.

Примеры для самостоятельного решения:
1) Найти предел функции:


2) Найти предел функции:

3) Найти предел функции:

4) Найти предел функции:

5)Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
а)Область определения – множество действительных чисел.

б)
в) f(-2)=3

г) f(x)

д) f(x)>0 при x>-1

Замечательные пределы – онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Замечательные ограничения – термин, используемый в отечественных математических учебниках для обозначения определенных пределов известным решением, используемым для упрощения решения более сложных ограничений.

Первый замечательный предел:

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)

Последствия:

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin k x}{n x}=\frac{k}{n} \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1 \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}=1 \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1 \)

Узнайте больше о первом замечательном лимите в отдельной теме.

Примеры решений с первым замечательным пределом.

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x} \)

  • Решение

    Сначала выясните тип неопределенности (если таковой имеется). Для этого подставим предельное значение 0 в выражение под знаком предела:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}\left[\frac{\sin (2 \cdot 0)}{5 \cdot 0}=\frac{0}{0}\right] \)

    Таким образом, мы имеем неопределенность формы \(\ \left[\frac{0}{0}\right] \) . Выражение под знаком предела выглядит как первый замечательный предел, но аргумент синуса и знаменатель немного отличаются. {4}} \)

  • Графический поиск пределов

    Графический поиск пределов

    К концу этой лекции вы должны уметь использовать график функции, чтобы находить пределы для ряда различных функций, включая пределы на бесконечности, и определять, когда эти ограничения не существуют (а когда они не существуют). существуют, чтобы объяснить почему). Вы также должны уметь правильно использовать обозначение пределов.

    Поскольку эта лекция посвящена ограничениям, давайте рассмотрим наше неформальное определение ограничений из последней лекции:

    Предел (неофициальное определение)

    Если f (x) в конечном итоге становится на все ближе и ближе к определенному значению L, поскольку x приближается к выбранному значению c из справа , то мы говорим, что предел f (x) как x подходит к c справа – это L .

    Если f (x) в конечном итоге становится на все ближе и ближе к определенному значению L, поскольку x приближается к выбранному значению c из слева , то мы говорим, что предел f (x) как x подходит к c слева – это L .

    Если предел f (x) при приближении x к c одинаков как справа, так и слева, то мы говорим, что предел f (x) при приближении x к c равен L .

    (Если f (x) никогда не приближается к определенному конечному значению, поскольку x приближается к c , то мы говорим, что предел не существует . Если f (x) имеет разные правые и левые пределов, то двусторонний предел ( lim x c f (x) ) не существует .)

    Обозначение:
    Конкретно пишем:

    • lim x c- f (x) = L , чтобы обозначить «предел f (x) при приближении x к c слева составляет L »

    • lim x c + f (x) = L для обозначения «предела » f (x) при приближении x c справа составляет L

    • lim x c f (x) = L для обозначения «предела » f (x) при приближении x c равно L »

    Будьте осторожны !: Знак плюс или минус, который появляется после c обозначает направление , от которого x приближается к c – это НЕ означает , что само c положительный или отрицательный (может быть и то, и другое)!
    Например:

    • lim x -2- f (x) = L означает, что предел f (x) , когда x приближается к -2 слева, составляет L;

    • lim x -2+ f (x) = L означает, что предел f (x) , когда x приближается к -2 справа, составляет L;

    • lim x 2- f (x) = L означает, что предел f (x) , когда x приближается к 2 слева, составляет L; и

    • lim x 2+ f (x) = L означает, что предел f (x) , когда x приближается к 2 справа, составляет L;

    Это определение является неформальным , потому что мы официально не определили, что мы подразумеваем под «подходами» или «в конечном итоге становится все ближе и ближе». Как только мы разовьем более интуитивное представление о том, что такое ограничения на самом деле, мы вернемся и официально определим эти термины.

    Лучший способ лучше понять, что такое предел, – это просто перейти к рассмотрению различных функций и обсудить, каким может быть предел для конкретных значений x для этой функции. Но прежде чем мы это сделаем, мы кратко представим определение, которое мы будем использовать в следующих примерах. На протяжении этой лекции мы часто будем использовать слово разрыв , поэтому мы определяем его (по крайней мере, пока неофициально) здесь:

    Непрерывность, Непрерывность (неофициальное определение)

    Функция – это непрерывно в интервале, если график этой функции в этом интервале можно нарисовать одним движением (не отрывая ручки от бумаги).

    Разрыв на графике – это любая точка, в которой график НЕ является непрерывным (например, дыра, скачок, асимптота).

    Существуют более формальные определения непрерывности, но пока мы используем это, потому что его легко понять интуитивно. Позже мы вернемся и определим это понятие более формально.

    Пределы специальных функций

    Лучший способ понять, каковы на самом деле ограничения, – это посмотреть на кучу различных примеров, демонстрирующих различные типы поведения около x = c для некоторого фиксированного значения c .Итак, приступим!

    В этой лекции мы прорабатываем каждый пример, только глядя на график. Однако каждую из этих функций также можно выразить алгебраически (с помощью уравнения), и мы также можем найти пределы функций алгебраически, используя это уравнение для вычисления предела. О том, как это сделать, мы поговорим в следующей лекции.

    Простой пример, где

    lim x c f (x) = f (c) :

    Для многих простых функций предел f (x) при c совпадает со значением f (x) при c . Например, для функции на приведенном ниже графике предел f (x) в 1 равно 2, что мы получим, если оценим функцию f в 2. Поскольку точка (1,2) находится на графике f (x) , предел равен 2, поэтому мы можем написать:

    lim x 1 f (x) = 2

    Этот пример не был очень интересным, потому что он на самом деле не проясняет, зачем нам вообще нужно вычислять здесь предел: поскольку эта функция полностью непрерывна около x = 1, значение функции равно 1 и значение, к которому функция приближается как x , приближается к 1 – это то же самое!

    Определение предела, однако, особенно полезно для функций, где функция не определена точно при x = c (но где – это определено все вокруг c ), или где значение f (x) при c на отличается от от значения, приближающегося к f (x) , так как x приближается к c .

    Пример с отверстием

    x = c:

    Для функции на графике ниже f (x) не определено, если x = -2. Глядя на график, мы видим, что в этой точке есть дыра или разрыв. Однако в этом случае мы видим, что по мере продвижения по линии, представляющей функцию f (x) от левого к x = -2, значение f (x) приближается и ближе к -4. Точно так же, когда мы перемещаемся вдоль линии, представляющей функцию f (x) от вправо к x = -2, значение f (x) становится все ближе и ближе к -4.Итак, в этом случае можно сделать вывод, что:

    lim x -2 f (x) = -4

    Пример с функцией, имеющей разрыв скачка при

    x = c , состоящий из одной точки :

    Для функции на графике ниже f (x) определяется, когда x = -2, но значение f (x) при -2 совсем не похоже на значение, которое f ( x) будет приближаться, поскольку x приближается к -2 либо слева, либо справа. Глядя на график, мы видим, что в этой точке есть скачок, так что, когда x = -2, f (x) = -1; однако, когда x составляет около (но НЕ равно) -2, f (x) фактически близко к -4.

    В этом случае мы видим, что по мере продвижения по линии, представляющей функцию f (x) от левого к x = -2, значение f (x) становится все ближе и ближе. до -4. Точно так же, когда мы перемещаемся вдоль линии, представляющей функцию f (x) от вправо к x = -2, значение f (x) становится все ближе и ближе к -4.Таким образом, даже если функция фактически равна -1, когда мы на самом деле находимся в x = -2, в каждой другой точке около x = -2, функция вместо этого приближается к -4. Таким образом, в этом случае предел фактически отличается от значения функции в этой точке:

    f ( -2 ) = -1 ; но

    lim x -2 f (x) = -4

    Пример с функцией, которая имеет разрыв скачка при

    x = c и разные пределы справа и слева:

    Для функции на графике ниже f (x) определяется, когда x = 1, но значение, которое f (x) будет приближаться, поскольку x приближается к 1 слева, отличается от значение, приближающееся к x , приближается к 1 справа. Глядя на график, мы видим, что по мере приближения x к 1 слева f (x) приближается к отрицательным двум; однако, поскольку x приближается к 1 справа, f (x) приближается к положительно 2.

    Еще раз обратите внимание, что фактическое значение функции в 1 не имеет отношения к нахождению предела: возможно, что иногда предел f (x) при c фактически будет f (c) (как случилось в нашем первом примере в этой лекции), но большую часть времени предел f (x) при c будет отличаться от значения f (c) , особенно когда f (c) не определена, или когда имеется разрыв при x = c .

    В данном случае lim x 1+ f (x) = f (c) , но lim x 1+ f (x ) не равно f (c) . Кроме того, поскольку пределы слева и справа отличаются, двусторонний предел lim x 1 f (x) не существует. Конкретно можно написать:

    lim x 1- f (x) = -2

    lim x 1+ f (x) = 2

    lim x 1 f (x) не существует

    Пример с функцией, которая имеет бесконечный разрыв (или вертикальную асимптоту) при

    x = c :

    Для функции на графике ниже f (x) не определяется, когда x = 0, потому что по мере того, как x становится все ближе и ближе к 0 с любой стороны, f (x) просто продолжает увеличиваться и больше: чем ближе значение x к 0, тем больше становится f (x) . При x = 0, f (x) не имеет конкретного значения на графике.

    Когда это происходит, мы говорим, что f (x) неограниченно увеличивается , когда x приближается к c . Каждый раз, когда это происходит с пределом, мы можем просто написать, что предел не существует, потому что f (x) не приближается к какому-либо фиксированному, конечному значению , поскольку x приближается к c . Однако это немного громоздко для написания, поэтому математики изобрели для этого небольшое сокращение:

    Обозначения для неограниченно возрастающих (или убывающих) пределов, ± ∞

    Замечание:

    • Если f (x) неограниченно увеличивается по мере приближения x к c слева, мы можем написать:
      lim x c- f (x) = или lim x c- f (x) = + ∞

    • Аналогично, если f (x) неограниченно увеличивается, поскольку x приближается к c справа, мы можем написать:
      lim x c + f (x) = или lim x c + f (x) = + ∞

    • Если f (x) неограниченно увеличивается по мере приближения x к c как слева, так и справа, мы можем написать:
      lim x c f (x) = или lim x c f (x) = + ∞

    Существует также вероятность того, что f (x) будет неограниченно уменьшаться (становиться все меньше и меньше или все более и более отрицательным), когда x приближается к c . В таком случае мы можем использовать символ – .

    Будьте осторожны !: Использование символа бесконечности ∞ – это просто сокращение для указания, что предел НЕ существует , потому что он увеличивает или уменьшает без ограничений .

    Но бесконечность, или символ ∞, НЕ является числом , и поэтому никакое уравнение или функция не может на самом деле равняться бесконечности !

    Мы должны быть очень осторожны при использовании символа бесконечности: мы можем сказать, что предел равен бесконечности, чтобы указать, что поведение функции a s x приближается к c бесконечно “взрывается”, но мы не можем НИКОГДА сказать, что f (x) само по себе равно бесконечности, потому что ни одна функция никогда не может достичь значения бесконечности: в каждой отдельной точке графика f (x), f (x) имеет определенное значение, даже если это значение очень-очень большое (или очень-очень маленькое). (Даже если f не определено в определенной точке, это не равно бесконечности в этой точке – если оно не определено, то не равно что-нибудь в этот момент .)

    Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы можем написать:

    lim x 0- f (x) = + ∞

    (или левосторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    lim x 0+ f (x) = + ∞

    (или правосторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    lim x 0 f (x) = + ∞

    (или, двусторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    Пример с функцией, которая имеет бесконечный разрыв (или вертикальную асимптоту) при

    x = c, с различным поведением предела слева и справа:

    Для функции на приведенном ниже графике f (x) не определено, когда x = 1, потому что по мере приближения x к 1 от вправо , f (x) просто продолжает увеличиваться все больше и больше: чем ближе x к 1 от правого , тем больше становится f (x) . И по мере того, как x становится все ближе и ближе к 1 от слева от , f (x) становится все меньше и меньше (или все более и более отрицательным): чем ближе x , тем ближе значение x к 1 от слева. , получает меньшее (или более отрицательное) значение f (x) .

    Итак, при x = 1, f (x) не имеет какого-либо конкретного значения на графике.

    Итак, в этом случае мы можем написать:

    lim x 1- f (x) = – ∞

    (или левосторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно уменьшается)

    lim x 1+ f (x) = + ∞

    (или правосторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    lim x 1 f (x) =

    (или двусторонний предел не существует, потому что f (x) неограниченно уменьшается / увеличивается)

    Теперь мы видели два примера, где f (x) неограниченно увеличивалось (или уменьшалось) по мере приближения x к определенному значению c , но также может иметь место противоположный тип поведения: мы можем рассмотреть, что поведение равно f (x) , когда x неограниченно увеличивается (или уменьшается). В некоторых случаях может случиться так, что по мере того, как x становится все больше и больше, f (x) становится все ближе и ближе к определенному значению L , и в этих случаях мы могли бы написать что-то вроде этого:

    lim x → + ∞ f (x) = L

    Точно так же мы могли бы рассмотреть, каково поведение f (x) , когда x уменьшается без ограничений, и если f (x) приближается к определенному значению L , мы могли бы написать что-то вроде этого:

    lim x f (x) = L

    Теперь мы переходим к некоторым примерам, в которых мы рассматриваем поведение f (x) при неограниченном увеличении или уменьшении x .Другими словами, мы пытаемся определить, приближается ли f (x) к определенному фиксированному конечному значению, когда мы продвигаемся все дальше и дальше вправо или влево на графике f (x) .

    Пример с функцией, имеющей предел нуля на бесконечности:

    Для функции на графике ниже мы сначала рассмотрим поведение f (x) по мере того, как x неограниченно увеличивается на , или, другими словами, мы рассматриваем, что происходит с f (x), когда мы продвигаемся дальше. и дальше вправо на графике.В этом случае f (x) кажется все ближе и ближе к нулю. Оно никогда не может достигнуть нуля, потому что функция не имеет конца: x может продолжать увеличиваться бесконечно. Но поведение функции при увеличении x состоит в том, что становится все ближе к 0, даже если она никогда не сможет его достичь.

    Точно так же, когда x неограниченно уменьшает , или по мере того, как мы перемещаемся все дальше и дальше влево на графике, f (x) кажется все ближе и ближе к нулю.Опять же, здесь поведение f (x) по мере того, как x уменьшается (или становится все более и более отрицательным), заключается в том, что он становится все ближе и ближе к 0, даже если он никогда не сможет его достичь.

    Итак, в этом случае мы можем написать:

    lim x → + ∞ f (x) = 0

    lim x → – ∞ f (x) = 0

    Пример с функцией, которая имеет предел два на бесконечности:

    Для функции на графике ниже мы сначала рассмотрим поведение f (x) по мере того, как x неограниченно увеличивается на , или, другими словами, мы рассматриваем, что происходит с f (x), когда мы продвигаемся дальше. и дальше вправо на графике.В этом случае f (x) кажется все ближе и ближе к двум. Он никогда не может достигнуть двух, потому что функция не имеет конца: x может продолжать расти бесконечно. Но поведение функции при увеличении x состоит в том, что она становится все ближе и ближе к к 2, даже если она никогда не сможет ее достичь.

    Точно так же, когда x неограниченно уменьшает , или по мере того, как мы перемещаемся все дальше и дальше влево на графике, f (x) , похоже, становится все ближе и ближе к двум.Опять же, здесь поведение f (x) по мере того, как x уменьшается (или становится все более и более отрицательным), заключается в том, что оно становится все ближе и ближе к к 2, даже если оно никогда не сможет его достичь.

    Итак, в этом случае мы можем написать:

    lim x → + ∞ f (x) = 2

    lim x → – ∞ f (x) = 2

    Пример с функцией, предел которой не существует на бесконечности:

    Для функции на графике ниже мы сначала рассмотрим поведение f (x) по мере того, как x неограниченно увеличивается на , или, другими словами, мы рассматриваем, что происходит с f (x), когда мы продвигаемся дальше. и дальше вправо на графике.В этом случае f (x) , кажется, неограниченно возрастает: кажется, что оно становится все больше и больше по мере того, как мы перемещаемся вправо на графике, никогда не приближаясь к конкретному значению y .

    Точно так же, когда x уменьшается без ограничений на , или по мере того, как мы перемещаемся все дальше и дальше влево по графику, f (x) , кажется, неограниченно уменьшается: кажется, что оно становится все меньше и меньше (или больше и более отрицательный) по мере продвижения влево по графику.

    Итак, в этом случае мы можем написать:

    lim x → + ∞ f (x) = + ∞

    (или предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    lim x → – ∞ f (x) = – ∞

    (или предел не существует, потому что f (x) неограниченно уменьшается)

    Отметим, что не обязательно, чтобы f (x) неограниченно увеличивалось по мере неограниченного увеличения x и что f (x) неограниченно уменьшалось по мере неограниченного уменьшения x . Например, для функции на графике ниже у нас будет обратное:

    lim x → + ∞ f (x) = – ∞

    (или предел не существует, потому что f (x) неограниченно уменьшается)

    lim x → – ∞ f (x) = + ∞

    (или предел не существует, потому что f (x) неограниченно увеличивается)

    Пример с функцией, которая имеет разные пределы на положительной и отрицательной бесконечности:

    Также возможно, чтобы функция имела пределы на положительной и отрицательной бесконечности, которые различны (или даже предел существовал для одного из них, но не для другого).Все это утверждение на самом деле означает, что поведение f (x) может сильно отличаться в крайнем левом углу нашего графика от крайнего правого. Например, на приведенном ниже графике мы видим, что предел существует как при неограниченном уменьшении x , так и при неограниченном увеличении x , и что этот предел в каждом случае разный:

    lim x → + ∞ f (x) = 1

    lim x → – ∞ f (x) = -1

    Нет причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т.е.е. как x ∞) или что он должен быть положительным, поскольку x становится «более положительным» (то есть как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:

    lim x → + ∞ f (x) = -1

    lim x → – ∞ f (x) = 1

    Пример функции с колеблющимся разрывом:

    Одна последняя возможность, когда мы ищем предел, когда x приближается к c , заключается в том, что f (x) никогда не приближается ни к чему, поскольку x становится все ближе и ближе к c : мы могли бы иметь поведение, как в приведенный ниже график, где f (x) просто колеблется все более и более дико по мере приближения x к c либо слева, либо справа.

    С изображением графика выше трудно быть уверенным, что именно происходит, поскольку x становится все ближе и ближе к 1: похоже, что колебания становятся все более и более плотными, так что f (x) – это постоянно перемещаясь туда-сюда между -1 и 1, не успокаиваясь, но в этом невозможно быть уверенным. (Без фактического уравнения, на которое можно было бы посмотреть, что точно объяснило бы, каковы значения f (x) , когда мы приближаемся к 1, мы фактически не можем доказать, что это поведение этой конкретной функции, поэтому на данный момент Я просто прошу вас поверить мне на слово.) Но чтобы лучше понять, как это поведение f (x) действительно работает, когда x приближается к 1, вы можете немного поэкспериментировать с интерактивной анимацией ниже.

    В интерактивной анимации ниже вы можете более четко увидеть это поведение, переместив ползунок вправо, который приближает значения x на графике к единице. Мы можем видеть, что при увеличении масштаба вокруг единицы график просто колеблется все чаще и чаще, пока он не станет настолько плотным, что мы больше не сможем видеть промежутки между графиком и пустым пространством вокруг него.

    зум

    В этом конкретном случае единственный вывод, который мы можем сделать (при условии, что вы убеждены, что эта функция имеет поведение, которое я описал до сих пор словами), заключается в том, что предел f (x) при x = c не существует. В этом случае единственное, что мы можем написать, это просто:

    lim x → 1 f (x) не существует

    В этом случае мы можем НЕ написать, что предел равен бесконечности, потому что поведение f (x) , когда x приближается к 1, составляет НЕ , что оно неограниченно увеличивается – скорее, поведение из f (x) , когда x приближается к 1, будет бесконечно колебаться между -1, 1 и всеми числами, которые попадают между .

    Это важно, потому что для нас важно понимать, что ограничения могут не существовать по различным причинам . Мы можем записать lim x c f (x) = ± ∞ в случаях, когда предел не существует , потому что f (x) увеличивается или уменьшается без границ , и НЕ в тех случаях, когда f (x) имеет различных значений слева и справа, ИЛИ в случаях, когда f (x) колеблется бесконечно среди набора значений как x подходит к c .

    До сих пор мы обсуждали все способы, которыми мы можем найти пределы графически, рассматривая график функции визуально. В следующей лекции мы дадим уравнения для каждой из функций, представленных в этой лекции, и исследуем, как мы можем найти пределы функций алгебраически (даже если мы не можем смотреть на график).

    Но прежде чем мы закончим эту лекцию, давайте поразмышляем об основных закономерностях и структуре, которые мы наблюдали, рассматривая этот набор различных функций с очень разными типами поведения около x = c .

    Одним из наиболее важных навыков в математике является способность распознавать закономерности и классифицировать выражения, уравнения или другие математические объекты на основе их свойств .

    Математика – это поиск структуры (категоризация уравнений, выражений и других объектов на основе общих свойств)!

    Например, когда мы выполняем домашнее задание, мы можем решить 30 разных задач, но обычно многие из задач имеют одинаковую структуру , даже если они имеют разные числа или переменные.Часто эти 30 проблем действительно можно разделить на пять разных типов проблем. Если мы сможем это увидеть, то сможем сделать нашу жизнь намного проще, потому что теперь вместо того, чтобы пытаться решить 30 задач, нам просто нужно понять подход, необходимый для решения проблем каждого из пяти типов.

    Вот пример проблемы, с которой борются многие студенты-алгебры, обычно потому, что они отвлекаются на детали и переменные и забывают искать основную структуру уравнения:

    Решить для h: A = 2Π rh + 2Π r 2

    При решении этой задачи многих учеников отвлекает тот факт, что уравнение содержит множество переменных, квадрат и иррациональное число пи. Однако ни одна из этих деталей на самом деле не имеет отношения к структуре уравнения. Это уравнение действительно имеет следующую структуру :

    A = B h + C

    , где B и C просто заменяют «какое-то выражение, которое не содержит никаких h ». Другими словами, нам все равно, сколько нечетных или интересных алгебраических выражений записано в том месте, где 2Π r появляется в исходном уравнении – вместо этого мы можем просто думать обо всем этом выражении как о коэффициенте h .Все, что нас здесь волнует, это то, что для решения для h нам нужно иметь возможность получить h отдельно с одной стороны , и поэтому нам нужно вычесть любое выражение справа, которое не содержит h с обеих сторон, так что мы можем исключить его в правой части уравнения. И как только мы это сделаем, нам нужно будет разделить обе части уравнения на любой коэффициент, равный h .

    Но все следующие примеры имеют ту же структуру , что и исходная задача выше:

    Решить для h: A = 2Π rh + 2Π r 2

    Решить для h: A = Bh + C

    Решить для h: 42.6578 = 94 ч + 0,55

    Решить для h: r 2 A ) 2 = Π r 6 A 7 + (2Π r + 2Π 76 h

    Решить для h: 1 = 2 h + 3

    Решить для h: 1 = (3 + 4 r) + 2 h

    Каждый из этих примеров говорит, что какое-то количество равно некоторому другому количеству, умноженному на ч , плюс еще одно количество. Итак, чтобы решить каждое из этих уравнений, нам просто нужно вычесть член, который не содержит h , из обеих частей уравнения (чтобы сократить его до нуля в правой части), и тогда нам понадобится разделить обе стороны на полный коэффициент х (т.е. все, что умножается на х , каким бы беспорядочным и сложным оно ни было).

    Итак, как это помогает нам лучше понять, что происходит в исчислении (или других математических классах, не относящихся к алгебре)? В этом случае имеет смысл вспомнить все предельные примеры, которые мы только что рассмотрели в этой лекции.Почему я выбрал именно те примеры, которые были рассмотрены в этой лекции? Я не выбирал их наугад. Я специально выбрал их, чтобы охватить все возможные типы поведения, которые мы можем наблюдать около x = c , чтобы дать вам хорошее представление обо всех вещах, которые могут произойти, когда мы пытаемся оценить предел. Итак, давайте вернемся к примерам, которые мы только что рассмотрели в этой лекции, и посмотрим, сможем ли мы найти базовую структуру и паттерны .

    Сколько различных типов поведения может иметь функция f (x) около x = c ?
    1. f (x) непрерывно в интервале около x = c. В этом случае односторонние пределы справа и слева одинаковы, и оба они равны f (c) . (Например, на графике ниже, когда c = 1.)
    2. Если f (x) не является непрерывным в любом интервале около x = c , то может произойти одно из следующих событий:
      1. Есть дыра на x = c , но есть интервал около x = c , так что f (x) непрерывно везде в этом интервале, кроме x = c .В этом случае f (x) не определено при x = c , но односторонние пределы справа и слева одинаковы, и оба они равны f (c) . (Например, на графике ниже, когда c = -2.)
      2. Есть скачок в единственной точке, где x = c , но есть интервал около x = c , так что f (x) непрерывно везде в этом интервале, кроме x = c ; поэтому односторонние пределы справа и слева в этом случае одинаковы, но они не равны f (c) . (Например, на графике ниже, когда c = -2.)
      3. Есть скачок в точке, где x = c , , но есть интервал около x = c , так что f (x) непрерывно везде в этом интервале, кроме x = c ; однако в этом случае односторонние пределы справа и слева различны, и по крайней мере один из них не равен f (c) . (Например, на графике ниже, когда c = 1.)
      4. Имеется вертикальная асимптота при x = c , так что f (x) неограниченно увеличивается или уменьшается по мере приближения x к c справа и / или слева. В этом случае не существует ни одностороннего правого, ни левого пределов, поэтому двусторонний предел также не существует. (Например, на графике ниже, когда c = 1.)
      5. Существует своего рода «действительно необычное» поведение около x = c , например, все более плотные бесконечные колебания, так что f (x) никогда не приближается к какому-либо конкретному значению, поскольку x приближается к c (либо только с одной стороны или с обеих сторон). (Например, на графике ниже, когда c = 1.)

        Еще одна вещь, которая может произойти (которая не рассматривается в примере в предыдущей лекции), заключается в том, что f (x) может быть прерывистым повсюду в некоторых интервал около x = c . Это трудно изобразить графически, но мы можем придумать пример, в котором мы определяем функцию таким образом, чтобы она прыгала в каждой точке на прямой числовой линии. Например, функция, называемая функцией Дирихле, является разрывной в каждой отдельной точке.Вот как это определяется: если x – рациональное число, то f (x) = 1; но если x – иррациональное число, f (x) = 0. Понимание того, почему эта функция является прерывистой повсюду, выходит за рамки этого курса, но если вам интересно понять, почему это так, вам просто нужно принять предпосылку, что вокруг любого данного иррационального числа мы не можем найти достаточно малый интервал. исключить все рациональные числа; и вокруг любого данного рационального числа мы не можем найти достаточно маленький интервал, чтобы исключить все иррациональные числа. Это означает, что вокруг любого заданного значения x = c мы никогда не сможем найти интервал около c , где f (x) является непрерывным (даже если мы позволим f (x) быть прерывистым при x = c ).

    Для пределов на бесконечности (т.е. когда x приближается к ± ∞) ситуация менее сложна. По сути, есть два возможных случая:

    1. Когда x приближается к ± ∞, f (x) приближается к определенному конечному значению L , и в этом случае предел равен L.(Это то же самое, что сказать, что f (x) имеет горизонтальную асимптоту при x = c .)
    2. Когда x приближается к ± ∞, f (x) никогда не приближается к определенному конечному значению , а просто продолжает неограниченно увеличиваться или уменьшаться неограниченно (т.е. f (x) неограниченно увеличивается или уменьшается, или подходов ± ∞). В этом случае ограничения не существует.

    По мере того, как мы переходим к следующей лекции, мы будем стремиться найти правила и процедуры для вычисления пределов алгебраически (т.е. используя только уравнение для f (x) вместо графика), мы хотим иметь в виду этот список возможных типов предельного поведения! Это поможет нам выяснить, сколько различных типов алгебраических методов нам может понадобиться для оценки пределов – если две разные функции имеют разные типы поведения около x = c , тогда нам, возможно, придется использовать два разных метода. найти предел для каждой функции алгебраически!

    Когда ограничений нет.Как определить. 4 причины, по которым пределы не работают. Либо предел …

    Краткое описание

    Лимиты обычно не существуют по одной из четырех причин:

    1. Односторонние пределы не равны
    2. Функция не приближается к конечному значению (см. Основное определение предела).
    3. Функция не приближается к определенному значению (колебание).
    4. Значение $$ x $$ – приближается к конечной точке закрытого интервала

    Примеры

    Пример 1: Односторонние пределы не равны

    Используйте приведенный ниже график, чтобы понять, почему $$ \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to3} f (x) $$ не существует.

    $$ f (x) $$ приближается к двум разным значениям …

    .+} f (x) \ приблизительно 3 $$

    Несмотря на то, что график позволяет нам только приблизить односторонние пределы, очевидно, что приближающееся значение $$ f (x) $$ зависит от направления, откуда исходит $$ x $$. Следовательно, предела не существует.

    Пример 3: Бесконечные колебания

    Что такое $$ \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to0} \ sin (\ frac 1 x) $$?

    Что-то интересное происходит, когда вы исследуете $$ f (x) = \ sin \ left (\ frac 1 x \ right) $$, когда $$ x $$ приближается к 0. Функция начинает колебаться все быстрее и быстрее.

    Чем ближе $$ x $$ приближается к 0, тем быстрее функция колеблется между 1 и -1. Приближается ли $$ f (x) $$ к единичному значению ? Нет, это не так. Следовательно, предела не существует.

    Пример 4: Конечные точки интервала

    Изучите $$ \ lim \ limits_ {x \ to0} \ sqrt x $$

    Рассмотрим график $$ f (x) = \ sqrt x $$ ниже.Как определить предел, когда $$ x $$ приближается к 0?

    Поскольку эта функция определена только для $$ x $$ – значений справа от 0, мы не можем позволить $$ x $$ приближаться слева.

    Чтобы сказать, что предел существует, функция должна приближаться к одному и тому же значению независимо от направления $$ x $$ (мы назвали это независимостью от направления). Поскольку это неверно для этой функции, поскольку $$ x $$ приближается к 0, ограничение не существует.

    В подобных случаях мы можем рассмотреть возможность использования односторонних ограничений.

    Найти предел функции

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Исчисление – Пределы

    Пределы, когда x стремится к бесконечности

    Интуитивно мы можем понять, что по мере того, как \ (x \) становится все больше и больше, 1 \ (/ x \) становится все меньше и меньше. Предел 1 \ (/ x \) при \ (x \) стремится к бесконечности, равна нулю. Мы пишем это как:

    \ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} = 0 \]

    Обратите внимание, что используется знак равенства, предел равен нулю.

    Другой способ записи:

    \ [\ frac {1} {x} \ rightarrow 0 \ text {as} x \ rightarrow \ infty \]

    Здесь вместо этого используются стрелки, 1 \ (/ x \) никогда не равно нулю, но имеет тенденцию к нуль.

    Не , а не смешивать “lim” и стрелки, или выражения и знак равенства; выберите одну из форм выше!

    В общем случае мы называем предел \ (A \) и записываем его как

    \ [\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = A \]

    Точного определения лимита нет в программе.Неформально это означает что значение \ (f (x) \) можно сделать как можно ближе к \ (A \) мы хотим, если мы просто выберем \ (x \) достаточно большим.

    Горизонтальные асимптоты

    Если функция \ (f (x) \) имеет предел \ (A \) при стремлении \ (x \) до бесконечности, то график \ (f (x) \) будет приближаться к линия \ (y = A \). 2-2x} \]

    не определяется, когда \ (x = 2 \), однако имеет предел как \ (x \ rightarrow 2 \), предел равен \ (4 \).2 + 2x-8} \]

    Знаменатель равен нулю, когда \ (x = 2 \) и когда \ (x = -4 \). Функция имеет две вертикальные асимптоты.

    Мы можем приблизиться к значению \ (x = 2 \) с двух сторон, либо \ (x \ lt 2 \) или \ (2 \ lt x \). Чтобы предел существовал, пределы, которые мы получаем от два направления должны быть одинаковыми. В этом случае не существует предела, даже бесконечности. Функция однако имеет вертикальную асимптоту. Иногда мы хотим указать, что выражение имеет разные пределы в зависимости от того, приближаемся ли мы к пределу слева или справа.2 + 2x-8} = – \ infty \]

    Сложные пределы

    В некоторых случаях вы пользуетесь здравым смыслом, чтобы найти пределы:

    \ [\ frac {1} \ infty = 0 \ hspace {1 см} \ frac {1} {0} = \ infty \ hspace {1 см} 1+ \ infty = \ infty \ hspace {1 см} 2 \ cdot \ infty = \ infty \]

    (Не пишите так на ↑ экзамене)

    В некоторых случаях сложно:

    \ [\ frac {\ infty} \ infty =? \ hspace {1 см} \ frac {0} {0} =? \ hspace {1 см} \ infty- \ infty =? \ hspace {1 см} 0 \ cdot \ infty =? \]

    Упражнение 2

    Изобразите следующие функции, чтобы найти пределы, если они существуют.

    1. \ (\ Displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ грех \ влево (\ гидроразрыва {1} {x} \ right)} \)
    2. \ (\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} x \ cdot \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right)} \)
    3. \ (\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x}} \)
    4. \ (\ Displaystyle {\ lim_ {х \ rightarrow 0} \ гидроразрыва {\ соз х -1} {х}} \)

    Последовательности

    Последовательность – это функция, доменом которой являются натуральные числа \ (\ mathbb {N} \).п} \)

    Предел греха (x) / x, доказательство

    Лимит найти легко

    \ [\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x} \]

    численно. Если вы хотите доказать, каков предел, вы должны использовать геометрию.

    Чтобы предел стал простым числом, вы должны использовать радианы для измерения углов, это это причина, по которой градусы никогда не используются при расчетах. Этот предел используется для нахождения производная тригонометрических функций.

    Двигайся P!
    Упражнение 4

    Используя обозначения в таблице выше:

    Найдите площади треугольников \ (\ Delta OAP \), \ (\ Delta OAB \) и площадь сектора \ (OAP \). Опишите области в терминах \ (\ alpha \), \ (\ sin (\ alpha) \) и \ (\ cos (\ alpha) \).

    Используйте неравенства \ (\ Delta OAP \ lt OAP \ lt \ Delta OAB \), чтобы найти предел

    \ [\ lim _ {\ alpha \ rightarrow 0} \ frac {\ alpha} {\ sin {\ alpha}} \]

    Переставьте неравенства, чтобы найти предел

    \ [\ lim _ {\ alpha \ rightarrow 0} \ frac {\ sin \ alpha} {\ alpha} \]

    , автор – Малин Кристерсон, лицензия Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Подобно 2.5 Лицензия Швеции

    www.malinc.se

    4.2 Пределы и непрерывность – Calculus Volume 3

    Цели обучения

    • 4.2.1 Вычислить предел функции двух переменных.
    • 4.2.2 Узнайте, как функция двух переменных может приближаться к разным значениям в граничной точке в зависимости от пути приближения.
    • 4.2.3 Сформулируйте условия непрерывности функции двух переменных.
    • 4.2.4 Проверить непрерывность функции двух переменных в точке.
    • 4.2.5 Вычислить предел функции трех или более переменных и проверить непрерывность функции в точке.

    Мы изучили функции более чем одной переменной и увидели, как их построить. В этом разделе мы увидим, как определить предел функции более чем одной переменной и что это означает, что функция более чем одной переменной будет непрерывной в точке своего домена. Оказывается, у этих концепций есть аспекты, которых просто не бывает с функциями одной переменной.

    Предел функции двух переменных

    Вспомните из «Предела функции» определение предела функции одной переменной:

    Пусть f (x) f (x) определено для всех x ≠ ax ≠ a в открытом интервале, содержащем a.a. Пусть LL – действительное число. Тогда

    limx → af (x) = Llimx → af (x) = L

    , если для любого ε> 0, ε> 0 существует δ> 0, δ> 0, такое, что если 0 <| x − a | <δ0 <| x − a | <δ для всех xx в области f, f, затем

    | f (x) −L | <ε. | f (x) −L | <ε.

    Прежде чем мы сможем адаптировать это определение для определения предела функции двух переменных, нам сначала нужно увидеть, как расширить идею открытого интервала в одной переменной до открытого интервала двух переменных.

    Определение

    Рассмотрим точку (a, b) ∈ℝ2. (A, b) ∈ℝ2. Диск δδ с центром в точке (a, b) (a, b) определяется как открытый диск радиуса δδ с центром в точке (a, b) (a, b), то есть

    {(x, y) ∈ℝ2 | (x − a) 2+ (y − b) 2 <δ2} {(x, y) ∈ℝ2 | (x − a) 2+ (y − b) 2 <δ2}

    , как показано на следующем графике.

    Рис. 4.14. Диск δδ с центром в точке (2,1). (2,1).

    Идея δδ-диска возникает в определении предела функции двух переменных. Если δδ мало, то все точки (x, y) (x, y) в диске δδ близки к (a, b).(а, б). Это полностью аналогично близости xx к aa в определении предела функции одной переменной. В одном измерении мы выражаем это ограничение как

    a − δ В более чем одном измерении мы используем диск δδ.

    Определение

    Пусть ff – функция двух переменных, xx и y.y. Предел f (x, y) f (x, y), когда (x, y) (x, y) приближается к (a, b) (a, b), равен L, L, записывается

    lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = Llim (x, y) → (a, b) f (x, y) = L

    , если для каждого ε> 0ε> 0 существует достаточно малое δ> 0δ> 0 такое, что для всех точек (x, y) (x, y) в круге δδ вокруг (a, b), (a, b) , за исключением, возможно, самого (a, b) (a, b), значение f (x, y) f (x, y) не более чем на εε от LL (рисунок 4.15). Используя символы, запишем следующее: Для любого ε> 0, ε> 0 существует такое число δ> 0δ> 0, что

    | f (x, y) −L | <ε всякий раз, когда 0 <(x − a) 2+ (y − b) 2 <δ. | f (x, y) −L | <ε всякий раз, когда 0 <(x − a) 2+ ( y − b) 2 <δ. Рис. 4.15. Предел функции, включающей две переменные, требует, чтобы f (x, y) f (x, y) находилась в пределах εε от LL всякий раз, когда (x, y) (x, y) находится в пределах δδ от (a, b). (а, б). Чем меньше значение ε, ε, тем меньше значение δ.δ.

    Доказательство существования предела с помощью определения предела функции двух переменных может быть сложной задачей.Вместо этого мы используем следующую теорему, которая дает нам быстрый путь к поиску пределов. Формулы в этой теореме являются расширением формул теоремы о предельных законах из книги «Предельные законы».

    Теорема 4.1

    Предельные законы для функций двух переменных

    Пусть f (x, y) f (x, y) и g (x, y) g (x, y) определены для всех (x, y) ≠ (a, b) (x, y) ≠ (a, b) в окрестности (a, b), (a, b), и предположим, что эта окрестность полностью содержится внутри области определения ff Предположим, что LL и MM – действительные числа такие, что lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = Llim (x, y) → (a, b) f (x, y) = L и lim (x, y) → (a, b) g (x, y) = M, lim (x, y) → (a, b) g (x, y) = M, и пусть cc – константа.Тогда выполняется каждое из следующих утверждений:

    Постоянный закон:

    lim (x, y) → (a, b) c = clim (x, y) → (a, b) c = c

    (4.2)

    Законы о личности:

    lim (x, y) → (a, b) x = alim (x, y) → (a, b) x = a

    (4.3)

    lim (x, y) → (a, b) y = blim (x, y) → (a, b) y = b

    (4.4)

    Закон о суммах:

    lim (x, y) → (a, b) (f (x, y) + g (x, y)) = L + Mlim (x, y) → (a, b) (f (x, y) + г (х, у)) = L + M

    (4.5)

    Закон разницы:

    lim (x, y) → (a, b) (f (x, y) −g (x, y)) = L − Mlim (x, y) → (a, b) (f (x, y) – g (x, y)) = L − M

    (4.6)

    Постоянный множественный закон:

    lim (x, y) → (a, b) (cf (x, y)) = cLlim (x, y) → (a, b) (cf (x, y)) = cL

    (4.7)

    Закон о продукте:

    lim (x, y) → (a, b) (f (x, y) g (x, y)) = LMlim (x, y) → (a, b) (f (x, y) g (x, у)) = LM

    (4.8)

    Частотный закон:

    lim (x, y) → (a, b) f (x, y) g (x, y) = LMforM ≠ 0lim (x, y) → (a, b) f (x, y) g (x, y) ) = LMforM ≠ 0

    (4.9)

    Степенной закон:

    lim (x, y) → (a, b) (f (x, y)) n = Lnlim (x, y) → (a, b) (f (x, y)) n = Ln

    (4.10)

    .

    для любого натурального числа n.п.

    Корневой закон:

    lim (x, y) → (a, b) f (x, y) n = Lnlim (x, y) → (a, b) f (x, y) n = Ln

    (4.11)

    .

    для всех LL, если nn нечетное и положительное, и для L≥0L≥0, если nn четное и положительное.

    Доказательства этих свойств аналогичны доказательствам пределов функций одной переменной. Мы можем применять эти законы для нахождения пределов различных функций.

    Пример 4.8

    Нахождение предела функции двух переменных

    Найдите каждый из следующих пределов:

    1. lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3y − 6) lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3г − 6)
    2. lim (x, y) → (2, −1) 2x + 3y4x − 3ylim (x, y) → (2, −1) 2x + 3y4x − 3y
    Решение
    1. Сначала используйте законы суммы и разницы, чтобы разделить термины:
      lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3y − 6) = (lim (x, y) → (2, −1) x2) – (lim (x, y ) → (2, −1) 2xy) + (lim (x, y) → (2, −1) 3y2) – (lim (x, y) → (2, −1) 4x) + (lim (x, y) → (2, −1) 3y) – (lim (x, y) → (2, −1) 6).lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3y − 6) = (lim (x, y) → (2, −1) x2) – (lim (x, y ) → (2, −1) 2xy) + (lim (x, y) → (2, −1) 3y2) – (lim (x, y) → (2, −1) 4x) + (lim (x, y) → (2, −1) 3y) – (lim (x, y) → (2, −1) 6).
      Затем используйте постоянный кратный закон для второго, третьего, четвертого и пятого пределов:
      = (lim (x, y) → (2, −1) x2) −2 (lim (x, y) → (2, −1) xy) +3 (lim (x, y) → (2, −1 ) y2) −4 (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) −lim (x, y) → (2, −1) 6. = (lim (x, y) → (2, −1) x2) −2 (lim (x, y) → (2, −1) xy) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y2) −4 (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) −lim (x, y ) → (2, −1) 6.
      Теперь используйте степенной закон для первого и третьего пределов и закон произведения для второго предела:
      = (lim (x, y) → (2, −1) x) 2−2 (lim (x, y) → (2, −1) x) (lim (x, y) → (2, −1) y) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) 2−4 (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → ( 2, −1) y) −lim (x, y) → (2, −1) 6.= (lim (x, y) → (2, −1) x) 2−2 (lim (x, y) → (2, −1) x) (lim (x, y) → (2, −1) y) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) 2−4 (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → ( 2, −1) y) −lim (x, y) → (2, −1) 6.
      Наконец, используйте законы тождества для первых шести пределов и постоянный закон для последнего предела:
      lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3y − 6) = (2) 2−2 (2) (- 1) +3 (−1) 2−4 ( 2) +3 (−1) −6 = −6.lim (x, y) → (2, −1) (x2−2xy + 3y2−4x + 3y − 6) = (2) 2−2 (2) (−1) +3 (−1) 2−4 (2) +3 (−1) −6 = −6.
    2. Прежде чем применять закон частного, нам нужно убедиться, что предел знаменателя отличен от нуля.Используя закон разности, постоянный множественный закон и закон тождества,
      lim (x, y) → (2, −1) (4x − 3y) = lim (x, y) → (2, −1) 4x − lim (x, y) → (2, −1) 3y = 4 (lim (x, y) → (2, −1) x) −3 (lim (x, y) → (2, −1) y) = 4 (2) −3 (−1) = 11.lim ( x, y) → (2, −1) (4x − 3y) = lim (x, y) → (2, −1) 4x − lim (x, y) → (2, −1) 3y = 4 (lim (x, y) → (2, −1) x) −3 (lim (x, y) → (2, −1) y) = 4 (2) −3 (−1) = 11.
      Поскольку предел знаменателя не равен нулю, применяется закон частного. Теперь вычислим предел числителя, используя закон разностей, постоянный множественный закон и закон тождества:
      lim (x, y) → (2, −1) (2x + 3y) = lim (x, y) → (2, −1) 2x + lim (x, y) → (2, −1) 3y = 2. (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) = 2 (2) +3 (−1) = 1.lim (x, y) → (2, −1) (2x + 3y) = lim (x, y) → (2, −1) 2x + lim (x, y) → (2, −1) 3y = 2. (lim (x, y) → (2, −1) x) +3 (lim (x, y) → (2, −1) y) = 2 (2) +3 (−1) = 1.
      Следовательно, согласно закону частных имеем
      lim (x, y) → (2, −1) 2x + 3y4x − 3y = lim (x, y) → (2, −1) (2x + 3y) lim (x, y) → (2, −1) (4x − 3y) = 111.lim (x, y) → (2, −1) 2x + 3y4x − 3y = lim (x, y) → (2, −1) (2x + 3y) lim (x, y). ) → (2, −1) (4x − 3y) = 111.

    КПП 4.6

    Оцените следующий предел:

    lim (x, y) → (5, −2) x2 − yy2 + x − 13. lim (x, y) → (5, −2) x2 − yy2 + x − 13.

    Поскольку мы берем предел функции двух переменных, точка (a, b) (a, b) находится в ℝ2, ℝ2, и к этой точке можно приближаться с бесконечного числа направлений.Иногда при вычислении предела ответ меняется в зависимости от пути, пройденного к (a, b). (A, b). Если это так, то ограничение не существует. Другими словами, ограничение должно быть уникальным, независимо от пройденного пути.

    Пример 4.9

    Несуществующие границы

    Покажите, что ни один из следующих ограничений не существует:

    1. lim (x, y) → (0,0) 2xy3x2 + y2lim (x, y) → (0,0) 2xy3x2 + y2
    2. lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4
    Решение
    1. Область определения функции f (x, y) = 2xy3x2 + y2f (x, y) = 2xy3x2 + y2 состоит из всех точек на плоскости xy, кроме точки (0,0) (0,0 ) (Рисунок 4.16). Чтобы показать, что предел не существует, когда (x, y) (x, y) приближается к (0,0), (0,0), отметим, что невозможно удовлетворить определение предела функции двух переменных из-за того, что функция принимает разные значения вдоль разных линий, проходящих через точку (0,0). (0,0). Сначала рассмотрим прямую y = 0y = 0 в плоскости xy. Xy. Подставляя y = 0y = 0 в f (x, y) f (x, y), получаем
      f (x, 0) = 2x (0) 3×2 + 02 = 0 f (x, 0) = 2x (0) 3×2 + 02 = 0
      для любого значения x.x. Следовательно, значение ff остается постоянным для любой точки на оси x, оси x, и, когда yy приближается к нулю, функция остается фиксированной на нуле.
      Затем рассмотрим прямую y = x.y = x. Подставляя y = xy = x в f (x, y) f (x, y), получаем
      f (x, x) = 2x (x) 3×2 + x2 = 2x24x2 = 12. f (x, x) = 2x (x) 3×2 + x2 = 2x24x2 = 12.
      Это верно для любой точки на прямой y = x.y = x. Если мы позволим xx приблизиться к нулю, оставаясь на этой линии, значение функции останется фиксированным на 12,12, независимо от того, насколько мало xx.
      Выберите значение εε меньше 1/21/2 – скажем, 1 / 4,1 / 4. Затем, независимо от того, насколько мал δδ-диск мы рисуем вокруг (0,0), (0,0), значения f (x, y) f (x, y) для точек внутри этого δδ-диска будут включать как 00, так и 12.12. Следовательно, определение предела в точке никогда не выполняется, и предел не существует.
      Рисунок 4.16. График функции f (x, y) = (2xy) / (3×2 + y2) .f (x, y) = (2xy) / (3×2 + y2). По линии y = 0, y = 0 функция равна нулю; по прямой y = x, y = x функция равна 12,12.
      Подобно a., Мы можем приблизиться к началу координат по любой прямой, проходящей через начало координат. Если мы попробуем ось x ось x (т.е. y = 0), y = 0), то функция останется фиксированной на нуле. То же верно и для оси Y.ось y. Предположим, мы приближаемся к началу координат по прямой с уклоном k.k. Уравнение этой прямой y = kx.y = kx. Тогда предел станет
      lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 4x (kx) 2×2 + 3 (kx) 4 = lim (x, y) → (0, 0) 4k2x3x2 + 3k4x4 = lim (x, y) → (0,0) 4k2x1 + 3k4x2 = lim (x, y) → (0,0) (4k2x) lim (x, y) → (0,0) ( 1 + 3k4x2) = 0lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 4x (kx) 2×2 + 3 (kx) 4 = lim (x, y). ) → (0,0) 4k2x3x2 + 3k4x4 = lim (x, y) → (0,0) 4k2x1 + 3k4x2 = lim (x, y) → (0,0) (4k2x) lim (x, y) → ( 0,0) (1 + 3k4x2) = 0
      независимо от стоимости к.к. Казалось бы, предел равен нулю.Что, если вместо этого мы выберем кривую, проходящую через начало координат? Например, мы можем рассмотреть параболу, заданную уравнением x = y2.x = y2. Подставляя y2y2 вместо xx в f (x, y) f (x, y), получаем
      lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 4 (y2) y2 (y2) 2 + 3y4 = lim (x, y) → (0, 0) 4y4y4 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 1 = 1.lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 4 (y2) y2 (y2) 2 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 4y4y4 + 3y4 = lim (x, y) → (0,0) 1 = 1.
      По той же логике в а. Невозможно найти круг δδ вокруг начала координат, который удовлетворяет определению предела для любого значения ε <1.ε <1. Следовательно, lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4lim (x, y) → (0,0) 4xy2x2 + 3y4 не существует.

    КПП 4.7

    Покажите, что

    lim (x, y) → (2,1) (x − 2) (y − 1) (x − 2) 2+ (y − 1) 2lim (x, y) → (2,1) (x − 2). ) (y − 1) (x − 2) 2+ (y − 1) 2

    не существует.

    Внутренние точки и границы

    Чтобы изучить непрерывность и дифференцируемость функции двух или более переменных, нам сначала нужно выучить новую терминологию.

    Определение

    Пусть S будет подмножеством ℝ2ℝ2 (рисунок 4.17).

    1. Точка P0P0 называется внутренней точкой SS, если есть диск δδ с центром вокруг P0P0, полностью содержащийся в S.S.
    2. Точка P0P0 называется граничной точкой SS, если каждый δδ-диск с центром вокруг P0P0 содержит точки как внутри, так и за пределами S.S.
    Рис. 4.17. В показанном множестве SS (−1,1) (- 1,1) – внутренняя точка, а (2,3) (2,3) – граничная точка.

    Определение

    Пусть S будет подмножеством ℝ2ℝ2 (рисунок 4.17).

    1. SS называется открытым множеством, если каждая точка SS является внутренней точкой.
    2. SS называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои граничные точки.

    Примером открытого множества является δδ диск. Если мы включим границу диска, то он станет замкнутым множеством. Множество, которое содержит некоторые, но не все, граничные точки, не является ни открытым, ни замкнутым. Например, если мы включим половину границы диска δδ, но не другую половину, то набор не будет ни открытым, ни замкнутым.

    Определение

    Пусть S будет подмножеством ℝ2ℝ2 (рисунок 4.17).

    1. Открытый набор SS является связанным набором, если он не может быть представлен как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств.
    2. Установленная SS – это область, если она открыта, подключена и непуста.

    Определение предела функции двух переменных требует, чтобы диск δδ содержался внутри области определения функции. Однако, если мы хотим найти предел функции в граничной точке области, δdiskδdisk не содержится внутри области.По определению, некоторые точки диска δdiskδ находятся внутри области, а некоторые – снаружи. Следовательно, нам нужно рассматривать только точки, которые находятся как внутри диска δδ, так и внутри области определения функции. Это приводит к определению предела функции в граничной точке.

    Определение

    Пусть ff является функцией двух переменных, xx и y, y, и предположим, что (a, b) (a, b) находится на границе области f.f. Тогда предел f (x, y) f (x, y), когда (x, y) (x, y) приближается к (a, b) (a, b), равен L, L, записывается

    lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = L, lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = L,

    , если для любого ε> 0, ε> 0 существует такое число δ> 0δ> 0, что для любой точки (x, y) (x, y) внутри области ff и в пределах достаточно малого расстояния положительное δδ от (a, b), (a, b), значение f (x, y) f (x, y) не более чем на εε от LL (рисунок 4.15). Используя символы, мы можем написать: для любого ε> 0, ε> 0 существует такое число δ> 0δ> 0, что

    | f (x, y) −L | <ε всякий раз, когда 0 <(x − a) 2+ (y − b) 2 <δ. | f (x, y) −L | <ε всякий раз, когда 0 <(x − a) 2+ ( y − b) 2 <δ.

    Пример 4.10

    Предел функции в граничной точке

    Докажите, что lim (x, y) → (4,3) 25 − x2 − y2 = 0. lim (x, y) → (4,3) 25 − x2 − y2 = 0.

    Решение

    Область определения функции f (x, y) = 25 − x2 − y2f (x, y) = 25 − x2 − y2: {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤25}, {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤25}, который представляет собой окружность радиуса 55 с центром в начале координат, вместе со своей внутренней частью, как показано на следующем графике.

    Рис. 4.18. Область определения функции f (x, y) = 25 − x2 − y2.f (x, y) = 25 − x2 − y2.

    Мы можем использовать предельные законы, которые применяются к ограничениям на границах областей, а также к внутренним точкам:

    lim (x, y) → (4,3) 25 − x2 − y2 = lim (x, y) → (4,3) (25 − x2 − y2) = lim (x, y) → (4,3). 25 − lim (x, y) → (4,3) x2 − lim (x, y) → (4,3) y2 = 25−42−32 = 0.lim (x, y) → (4,3). 25 − x2 − y2 = lim (x, y) → (4,3) (25 − x2 − y2) = lim (x, y) → (4,3) 25 − lim (x, y) → (4, 3) x2 − lim (x, y) → (4,3) y2 = 25−42−32 = 0.

    См. Следующий график.

    Рис. 4.19. График функции f (x, y) = 25 − x2 − y2.е (х, у) = 25-х2-у2.

    КПП 4.8

    Оцените следующий предел:

    lim (x, y) → (5, −2) 29 − x2 − y2.lim (x, y) → (5, −2) 29 − x2 − y2.

    Непрерывность функций двух переменных

    В «Непрерывности» мы определили непрерывность функции одной переменной и увидели, как она зависит от предела функции одной переменной. В частности, необходимы три условия для непрерывности функции f (x) f (x) в точке x = a: x = a:

    1. f (a) f (a) существует.
    2. limx → af (x) limx → af (x) существует.
    3. limx → af (x) = f (a) .limx → af (x) = f (a).

    Эти три условия необходимы и для непрерывности функции двух переменных.

    Определение

    Функция f (x, y) f (x, y) непрерывна в точке (a, b) (a, b) в своей области определения, если выполняются следующие условия:

    1. f (a, b) f (a, b) существует.
    2. lim (x, y) → (a, b) f (x, y) lim (x, y) → (a, b) f (x, y) существует.
    3. lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = f (a, b) .lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = f (a, б).

    Пример 4.11

    Демонстрация непрерывности функции двух переменных

    Покажите, что функция f (x, y) = 3x + 2yx + y + 1f (x, y) = 3x + 2yx + y + 1 непрерывна в точке (5, −3). (5, −3).

    Решение

    Согласно определению непрерывности, необходимо выполнить три условия. В этом примере a = 5a = 5 и b = −3.b = −3.

    1. f (a, b) f (a, b) существует. Это верно, потому что область определения функции ff состоит из тех упорядоченных пар, знаменатель которых отличен от нуля (т.е., x + y + 1 ≠ 0). x + y + 1 ≠ 0). Точка (5, −3) (5, −3) удовлетворяет этому условию. Кроме того,
      f (a, b) = f (5, −3) = 3 (5) +2 (−3) 5 + (- 3) + 1 = 15−62 + 1 = 3. f (a, b) = f (5, −3) = 3 (5) +2 (−3) 5 + (- 3) + 1 = 15−62 + 1 = 3.
    2. lim (x, y) → (a, b) f (x, y) lim (x, y) → (a, b) f (x, y) существует. Это также верно:
      lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = lim (x, y) → (5, −3) 3x + 2yx + y + 1 = lim (x, y) → (5, −3) (3x + 2y) lim (x, y) → (5, −3) (x + y + 1) = 15−65−3 + 1 = 3. lim (x, y) → (a, b ) f (x, y) = lim (x, y) → (5, −3) 3x + 2yx + y + 1 = lim (x, y) → (5, −3) (3x + 2y) lim (x , y) → (5, −3) (x + y + 1) = 15−65−3 + 1 = 3.
    3. lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = f (a, b).lim (x, y) → (a, b) f (x, y) = f (a, b). Это правда, потому что мы только что показали, что обе части этого уравнения равны трем.

    КПП 4.9

    Покажите, что функция f (x, y) = 26−2×2 − y2f (x, y) = 26−2×2 − y2 непрерывна в точке (2, −3). (2, −3).

    Непрерывность функции любого числа переменных также может быть определена в терминах дельты и эпсилон. Функция двух переменных непрерывна в точке (x0, y0) (x0, y0) в своей области определения, если для любого ε> 0ε> 0 существует такое δ> 0δ> 0, что всякий раз, когда (x − x0) 2+ (y − y0) 2 <δ (x − x0) 2+ (y − y0) 2 <δ, верно, | f (x, y) −f (a, b) | <ε.| f (x, y) - f (a, b) | <ε. Это определение можно объединить с формальным определением (то есть эпсилон – дельта-определение ) непрерывности функции одной переменной, чтобы доказать следующие теоремы:

    Теорема 4.2

    Сумма непрерывных функций непрерывна

    Если f (x, y) f (x, y) непрерывна в точках (x0, y0), (x0, y0) и g (x, y) g (x, y) непрерывно в (x0, y0), (x0, y0), то f (x, y) + g (x, y) f (x, y) + g (x, y) непрерывно в (x0, y0). (x0, y0).

    Теорема 4.3

    Произведение непрерывных функций непрерывно

    Если g (x) g (x) непрерывно в x0x0 и h (y) h (y) непрерывно в y0, y0, то f (x, y) = g (x) h (y) f (x, y) = g (x) h (y) непрерывна в точке (x0, y0). (x0, y0).

    Теорема 4.4

    Состав непрерывных функций непрерывен

    Пусть gg – функция двух переменных из области D⊆ℝ2D⊆ℝ2 в диапазон R⊆ℝ.R⊆ℝ. Предположим, что gg непрерывна в некоторой точке (x0, y0) ∈D (x0, y0) ∈D, и положим z0 = g (x0, y0). Z0 = g (x0, y0).Пусть ff – функция, отображающая ℝℝ в такая, что z0z0 находится в области определения f.f. Наконец, предположим, что ff непрерывна в точке z0.z0. Тогда f∘gf∘g непрерывна в точке (x0, y0) (x0, y0), как показано на следующем рисунке.

    Рисунок 4.20 Композиция двух непрерывных функций является непрерывной.

    Давайте теперь воспользуемся предыдущими теоремами, чтобы показать непрерывность функций в следующих примерах.

    Пример 4.12

    Дополнительные примеры непрерывности функции двух переменных

    Покажите, что функции f (x, y) = 4x3y2f (x, y) = 4x3y2 и g (x, y) = cos (4x3y2) g (x, y) = cos (4x3y2) всюду непрерывны.

    Решение

    Многочлены g (x) = 4x3g (x) = 4×3 и h (y) = y2h (y) = y2 непрерывны для каждого действительного числа, и поэтому по теореме о произведении непрерывных функций f (x, y) = 4x3y2f (x, y) = 4x3y2 непрерывно в каждой точке (x, y) (x, y) плоскости xy. Xy. Поскольку f (x, y) = 4x3y2f (x, y) = 4x3y2 непрерывно в каждой точке (x, y) (x, y) в плоскости xy, xy и g (x) = cosxg (x) = cosx непрерывна в каждом действительном числе x, x, непрерывность композиции функций говорит нам, что g (x, y) = cos (4x3y2) g (x, y) = cos (4x3y2) непрерывно в каждой точке (x, y) (x, y) в плоскости xy.xy-плоскость.

    КПП 4.10

    Покажите, что функции f (x, y) = 2x2y3 + 3f (x, y) = 2x2y3 + 3 и g (x, y) = (2x2y3 + 3) 4g (x, y) = (2x2y3 + 3) 4 непрерывны всюду.

    Функции трех или более переменных

    Предел функции трех или более переменных легко возникает в приложениях. Например, предположим, что у нас есть функция f (x, y, z) f (x, y, z), которая дает температуру в физическом месте (x, y, z) (x, y, z) в трех измерениях. Или, возможно, функция g (x, y, z, t) g (x, y, z, t) может указывать давление воздуха в точке (x, y, z) (x, y, z) в момент времени t.т. Как мы можем взять предел в точке 3? 3? Что значит быть непрерывным в точке в четырех измерениях?

    Ответы на эти вопросы основаны на расширении концепции δδ-диска более чем на два измерения. Тогда идеи предела функции трех или более переменных и непрерывности функции трех или более переменных очень похожи на определения, данные ранее для функции двух переменных.

    Определение

    Пусть (x0, y0, z0) (x0, y0, z0) – точка в ℝ3.ℝ3. Тогда шар δδ в трех измерениях состоит из всех точек в ℝ3ℝ3, находящихся на расстоянии меньше δδ от (x0, y0, z0) (x0, y0, z0), то есть

    {(x, y, z) ∈ℝ3 | (x − x0) 2+ (y − y0) 2+ (z − z0) 2 <δ}. {(x, y, z) ∈ℝ3 | (x − x0) ) 2+ (y − y0) 2+ (z − z0) 2 <δ}.

    Чтобы определить шар δδ в более высоких измерениях, добавьте дополнительные члены под корнем, соответствующие каждому дополнительному измерению. Например, для точки P = (w0, x0, y0, z0) P = (w0, x0, y0, z0) в ℝ4, ℝ4 шар δδ вокруг PP может быть описан как

    {(w, x, y, z) ∈ℝ4 | (w − w0) 2+ (x − x0) 2+ (y − y0) 2+ (z − z0) 2 <δ}.{(w, x, y, z) ∈ℝ4 | (w − w0) 2+ (x − x0) 2+ (y − y0) 2+ (z − z0) 2 <δ}.

    Чтобы показать, что предел функции трех переменных существует в точке (x0, y0, z0), (x0, y0, z0), достаточно показать, что для любой точки шара δδ с центром в (x0, y0) , z0), (x0, y0, z0) значение функции в этой точке сколь угодно близко к фиксированному значению (предельному значению). Все предельные законы для функций двух переменных верны и для функций более чем двух переменных.

    Пример 4.13

    Нахождение предела функции трех переменных

    Найдите lim (x, y, z) → (4,1, −3) x2y − 3z2x + 5y − z.lim (x, y, z) → (4,1, −3) x2y − 3z2x + 5y − z.

    Решение

    Прежде чем мы сможем применить закон частных, нам нужно убедиться, что предел знаменателя отличен от нуля. Используя закон разностей, закон тождества и постоянный закон,

    lim (x, y, z) → (4,1, −3) (2x + 5y − z) = 2 (lim (x, y, z) → (4,1, −3) x) +5 (lim (x, y, z) → (4,1, −3) y) – (lim (x, y, z) → (4,1, −3) z) = 2 (4) +5 (1) – (−3) = 16. lim (x, y, z) → (4,1, −3) (2x + 5y − z) = 2 (lim (x, y, z) → (4,1, −3 ) x) +5 (lim (x, y, z) → (4,1, −3) y) – (lim (x, y, z) → (4,1, −3) z) = 2 (4 ) +5 (1) – (- 3) = 16.

    Поскольку это не ноль, мы теперь находим предел числителя.Используя закон произведения, закон разности, постоянный множественный закон и закон тождества,

    lim (x, y, z) → (4,1, −3) (x2y − 3z) = (lim (x, y, z) → (4,1, −3) x) 2 (lim (x, y , z) → (4,1, −3) y) −3lim (x, y, z) → (4,1, −3) z = (42) (1) −3 (−3) = 16 + 9. = 25.lim (x, y, z) → (4,1, −3) (x2y − 3z) = (lim (x, y, z) → (4,1, −3) x) 2 (lim ( x, y, z) → (4,1, −3) y) −3lim (x, y, z) → (4,1, −3) z = (42) (1) −3 (−3) = 16 + 9 = 25.

    Последняя, ​​с применением закона частных:

    lim (x, y, z) → (4,1, −3) x2y − 3z2x + 5y − z = lim (x, y, z) → (4,1, −3) (x2y − 3z) lim (x , y, z) → (4,1, −3) (2x + 5y − z) = 2516.lim (x, y, z) → (4,1, −3) x2y − 3z2x + 5y − z = lim (x, y, z) → (4,1, −3) (x2y − 3z) lim (x, y, z) → (4,1, −3) (2x + 5y − z) = 2516.

    КПП 4.11

    Найдите lim (x, y, z) → (4, −1,3) 13 − x2−2y2 + z2.lim (x, y, z) → (4, −1,3) 13 − x2−2y2 + z2.

    Раздел 4.2. Упражнения

    Для следующих упражнений найдите предел функции.

    60.

    lim (x, y) → (1,2) xlim (x, y) → (1,2) x

    61.

    lim (x, y) → (1,2) 5x2yx2 + y2lim (x, y) → (1,2) 5x2yx2 + y2

    62.

    Покажите, что предел lim (x, y) → (0,0) 5x2yx2 + y2lim (x, y) → (0,0) 5x2yx2 + y2 существует и одинаков на путях: ось y-ось и x -ось, ось x и вдоль y = x.у = х.

    Для следующих упражнений оцените пределы при указанных значениях xandy.xandy. Если лимит не существует, укажите это и объясните, почему лимит не существует.

    63.

    lim (x, y) → (0,0) 4×2 + 10y2 + 44×2−10y2 + 6lim (x, y) → (0,0) 4×2 + 10y2 + 44×2−10y2 + 6

    64.

    lim (x, y) → (11,13) 1xylim (x, y) → (11,13) 1xy

    65.

    lim (x, y) → (0,1) y2sinxxlim (x, y) → (0,1) y2sinxx

    66.

    lim (x, y) → (0,0) sin (x8 + y7x − y + 10) lim (x, y) → (0,0) sin (x8 + y7x − y + 10)

    . 67.

    lim (x, y) → (π / 4,1) ytanxy + 1lim (x, y) → (π / 4,1) ytanxy + 1

    68.

    lim (x, y) → (0, π / 4) secx + 23x − tanylim (x, y) → (0, π / 4) secx + 23x − tany

    69.

    lim (x, y) → (2,5) (1x − 5y) lim (x, y) → (2,5) (1x − 5y)

    70.

    lim (x, y) → (4,4) xlnylim (x, y) → (4,4) xlny

    71.

    lim (x, y) → (4,4) e − x2 − y2lim (x, y) → (4,4) e − x2 − y2

    . 72.

    lim (x, y) → (0,0) 9 − x2 − y2lim (x, y) → (0,0) 9 − x2 − y2

    . 73.

    lim (x, y) → (1,2) (x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) lim (x, y) → (1,2) (x2y3 − x3y2 + 3x + 2y)

    . 74.

    lim (x, y) → (π, π) xsin (x + y4) lim (x, y) → (π, π) xsin (x + y4)

    . 75.

    lim (x, y) → (0,0) xy + 1×2 + y2 + 1lim (x, y) → (0,0) xy + 1×2 + y2 + 1

    76.

    lim (x, y) → (0,0) x2 + y2x2 + y2 + 1−1lim (x, y) → (0,0) x2 + y2x2 + y2 + 1−1

    77.

    lim (x, y) → (0,0) ln (x2 + y2) lim (x, y) → (0,0) ln (x2 + y2)

    .

    Завершите утверждение для следующих упражнений.

    78.

    Точка (x0, y0) (x0, y0) в плоской области RR является внутренней точкой RR, если _________________.

    79.

    Точка (x0, y0) (x0, y0) в плоской области RR называется граничной точкой RR, если ___________.

    Для следующих упражнений используйте алгебраические методы, чтобы оценить предел.

    80.

    lim (x, y) → (2,1) x − y − 1x − y − 1lim (x, y) → (2,1) x − y − 1x − y − 1

    . 81.

    lim (x, y) → (0,0) x4−4y4x2 + 2y2lim (x, y) → (0,0) x4−4y4x2 + 2y2

    82.

    lim (x, y) → (0,0) x3 − y3x − ylim (x, y) → (0,0) x3 − y3x − y

    . 83.

    lim (x, y) → (0,0) x2 − xyx − ylim (x, y) → (0,0) x2 − xyx − y

    .

    Для следующих упражнений оцените пределы функций трех переменных.

    84.

    lim (x, y, z) → (1,2,3) xz2 − y2zxyz − 1lim (x, y, z) → (1,2,3) xz2 − y2zxyz − 1

    85.

    lim (x, y, z) → (0,0,0) x2 − y2 − z2x2 + y2 − z2lim (x, y, z) → (0,0,0) x2 − y2 − z2x2 + y2 − z2.

    Для следующих упражнений оцените предел функции, определив значение, к которому функция приближается по указанным путям.Если лимит не существует, объясните, почему нет.

    86.

    lim (x, y) → (0,0) xy + y3x2 + y2lim (x, y) → (0,0) xy + y3x2 + y2

    1. Вдоль оси x-ось x (y = 0) (y = 0)
    2. Вдоль оси Y (x = 0) (x = 0)
    3. По пути y = 2xy = 2x
    87.

    Вычислить lim (x, y) → (0,0) xy + y3x2 + y2lim (x, y) → (0,0) xy + y3x2 + y2, используя результаты предыдущей задачи.

    88.

    lim (x, y) → (0,0) x2yx4 + y2lim (x, y) → (0,0) x2yx4 + y2

    1. По оси x (y = 0) (y = 0)
    2. По оси y (x = 0) (x = 0)
    3. По пути y = x2y = x2
    89.

    Вычислить lim (x, y) → (0,0) x2yx4 + y2lim (x, y) → (0,0) x2yx4 + y2, используя результаты предыдущей задачи.

    Обсудите непрерывность следующих функций. Найдите самую большую область в xy-planexy-плоскости, в которой следующие функции непрерывны.

    90.

    f (x, y) = sin (xy) f (x, y) = sin (xy)

    91.

    f (x, y) = ln (x + y) f (x, y) = ln (x + y)

    Для следующих упражнений определите область, в которой функция является непрерывной. Поясните свой ответ.

    94.

    f (x, y) = x2yx2 + y2f (x, y) = x2yx2 + y2

    95.

    f (x, y) = {x2yx2 + y2if (x, y) ≠ (0,0) 0if (x, y) = (0,0)} f (x, y) = {x2yx2 + y2if (x, y) ≠ (0,0) 0if (x, y) = (0,0)}

    ( Подсказка : покажите, что функция приближается к разным значениям двумя разными путями.)

    96.

    f (x, y) = грех (x2 + y2) x2 + y2f (x, y) = sin (x2 + y2) x2 + y2

    97.

    Определите, является ли g (x, y) = x2 − y2x2 + y2g (x, y) = x2 − y2x2 + y2 непрерывным в точке (0,0). (0,0).

    98.

    Создайте график с помощью программного обеспечения для построения графиков, чтобы определить, где предел не существует.Определите область координатной плоскости, в которой f (x, y) = 1×2 − yf (x, y) = 1×2 − y непрерывно.

    99.

    Определите область xy-planexy-плоскости, в которой составная функция g (x, y) = arctan (xy2x + y) g (x, y) = arctan (xy2x + y) непрерывна. Используйте технологии, чтобы подтвердить свой вывод.

    100.

    Определите область xy-planexy-плоскости, в которой f (x, y) = ln (x2 + y2−1) f (x, y) = ln (x2 + y2−1) непрерывно. Используйте технологии, чтобы подтвердить свой вывод. ( Совет : внимательно выбирайте диапазон значений для xandyxandy!)

    101.

    В каких точках пространства g (x, y, z) = x2 + y2−2z2g (x, y, z) = x2 + y2−2z2 непрерывно?

    102.

    В каких точках пространства g (x, y, z) = 1×2 + z2−1g (x, y, z) = 1×2 + z2−1 непрерывно?

    103.

    Покажите, что lim (x, y) → (0,0) 1×2 + y2lim (x, y) → (0,0) 1×2 + y2 не существует в точке (0,0) (0,0), построив график функции.

    104.

    [T] Оцените lim (x, y) → (0,0) −xy2x2 + y4lim (x, y) → (0,0) −xy2x2 + y4, построив график функции с помощью CAS. Определить аналитически предел по пути x = y2.х = у2.

    105.

    [т]

    1. Используйте CAS, чтобы нарисовать контурную карту z = 9 − x2 − y2.z = 9 − x2 − y2.
    2. Как называется геометрическая форма кривых уровня?
    3. Приведите общее уравнение кривых уровня.
    4. Какое максимальное значение z? Z?
    5. Какова область действия функции?
    6. Каков диапазон функции?
    106.

    Верно или неверно : Если мы оценим lim (x, y) → (0,0) f (x) lim (x, y) → (0,0) f (x) по нескольким путям и каждый раз предел равно 1,1, мы можем заключить, что lim (x, y) → (0,0) f (x) = 1.lim (x, y) → (0,0) f (x) = 1.

    107.

    Используйте полярные координаты, чтобы найти lim (x, y) → (0,0) sinx2 + y2x2 + y2.lim (x, y) → (0,0) sinx2 + y2x2 + y2. Вы также можете узнать предел, используя правило L’Hôpital.

    108.

    Используйте полярные координаты, чтобы найти lim (x, y) → (0,0) cos (x2 + y2) .lim (x, y) → (0,0) cos (x2 + y2).

    109.

    Обсудите непрерывность f (g (x, y)) f (g (x, y)), где f (t) = 1 / tf (t) = 1 / t и g (x, y) = 2x − 5y. .g (x, y) = 2x − 5y.

    110.

    Для данного f (x, y) = x2−4y, f (x, y) = x2−4y, найти limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h.limh → 0f (x + h, y) −f (x, y) h.

    111.

    Для данного f (x, y) = x2−4y, f (x, y) = x2−4y, найти limh → 0f (1 + h, y) −f (1, y) h.limh → 0f (1+ h, y) −f (1, y) h.

    Бесконечность и DNE в пределах

    Лучший способ понять, почему мы используем бесконечность вместо несуществующей (сокращенно DNE), даже если они технически одно и то же, – это сначала определить, что означает бесконечность.

    Бесконечность не является действительным числом. Это математическое понятие, предназначенное для представления действительно большого значения, которое фактически не может быть достигнуто. С точки зрения решений пределов, это означает, что уравнение, которое вы принимаете за предел, будет всегда идти в этом направлении.2) будет подниматься все выше и выше. Вы можете представить, как он уходит со страницы и продолжает движение вверх. Другими словами, предел, когда x приближается к нулю для g (x), равен бесконечности, потому что он продолжает расти без остановки.

    Итак, хотя бесконечность технически бессмысленна / просто математическая конструкция, ее можно использовать для описания результата ограничения, когда функция продолжает работать вечно (что обычно происходит, когда у вас есть вертикальная асимптота).

    Для ясности, ограничения на самом деле не существует, поскольку мы не можем присвоить ему номер (он продолжается вечно), поэтому вы можете сказать:

    И это было бы технически правильно, но это более полезно ( и интуитивно понятно, если вы посмотрите на график), чтобы сказать, что он уходит в бесконечность.Точно так же, если у вас есть:

    Предел, когда x приближается к нулю, будет отрицательной бесконечностью, поскольку график постоянно уменьшается при приближении к нулю с любой стороны:

    Как правило, , когда вы берете предел и знаменатель равно нулю, предел будет идти на бесконечность или отрицательную бесконечность (в зависимости от знака функции).

    Так когда бы вы сказали, что ограничения не существует?

    Когда односторонние пределы не равны друг другу.

    Во-первых, односторонний предел – это когда вы приближаетесь к значению с одной стороны. Вы указываете, с какой стороны вы идете, с плюсом или минусом по сравнению с приближающимся x. Если вы подходите справа, вы используете +, слева вы используете -.

    Например:

    Когда вы приближаетесь к x = 5 справа (обозначено пунктирной линией), f (x) = 2. Это односторонний предел, идущий с правой стороны.

    По мере приближения к x = 5 слева f (x) = 2 снова. Это односторонний предел слева.

    Так как пределы справа и слева одинаковы. Предел существует и равен тому, чему равны оба односторонних предела.

    Итак:

    Но что, если бы у вас было:

    Односторонние пределы не равны, поэтому предел, когда x приближается к 1, не существует.

    В качестве примечания, положительная и отрицательная бесконечность может быть тем, к чему приближается x. Итак:

    Это имеет математическое значение и часто используется:

    Это ничего не означает / не является верным утверждением.

    С предельными значениями, приближающимися к бесконечности, если бесконечность попадает в знаменатель, то предел обычно равен 0

    Если вы получаете бесконечность в числителе и знаменателе, то вам нужно посмотреть, является ли наивысшая степень (та, которая имеет наибольшую степень). показатель степени) x находится в числителе или знаменателе.

    Предел «бесконечности» – подход к исчислению

    4

    Определение «становится бесконечным»

    Пределы рациональных функций

    Изменение переменной

    БЕСКОНЕЧНОСТЬ, вместе с ее символом ∞, не является числом и не местом.Когда мы говорим в математике, что что-то «бесконечно», мы просто имеем в виду, что у его значений нет предела.

    Пусть, например, f ( x ) будет. Затем, когда значения x становятся все меньше и меньше, значения f ( x ) становятся все больше и больше. Независимо от того, какое большое число мы назовем, можно будет назвать значение x таким образом, чтобы значение f ( x ) было больше, чем это число, которое мы назвали.

    Затем мы говорим, что значения f ( x ) становятся бесконечными или стремятся к бесконечности. Мы говорим, что когда x приближается к 0, предел f ( x ) равен бесконечности.

    Теперь предел – это число – граница. Поэтому, когда мы говорим, что предел – бесконечность, мы имеем в виду, что не существует числа , которое мы можем назвать.

    Учащийся должен знать, что слово бесконечный в том виде, в каком оно используется и исторически использовалось в исчислении, не имеет того же значения, что и в теории бесконечных множеств.См. Это из Википедии, особенно взгляды Карла Фридриха Гаусса в разделе «Прием аргументов».

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. становится бесконечным. Мы говорим, что переменная «становится бесконечной» или «стремится к бесконечности», если, начиная с определенного члена в последовательности его значений, абсолютное значение этого термина и любого последующего термина, который мы называем, больше любого положительного числа, которое мы называем. , каким бы большим он ни был.

    Когда переменная имеет размер x и принимает только положительные значения, тогда x становится положительно бесконечным.Мы пишем

    Если x принимает только отрицательные значения, оно становится отрицательно бесконечным, и в этом случае мы пишем

    В обоих случаях мы имеем в виду: независимо от того, какое большое число M мы назовем, мы добираемся до точки в последовательности значений x , в которой их абсолютные значения становятся больше, чем M.

    Когда переменная является функцией f ( x ), и она становится положительно или отрицательно бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда мы пишем

    Хотя мы пишем символ «lim» для обозначения предела, эти алгебраические утверждения означают: Предел f ( x ), поскольку x приближается к c , не существует.Опять же, предел – это число. (Определение 2.1.)

    Определение 4 – это определение «становится бесконечным»; это не определение предела.

    Что касается символа ∞, мы используем его в алгебраических утверждениях, чтобы обозначить, что определение становится бесконечным было выполнено. Сам по себе этот символ не имеет значения.

    В качестве примера приведем график функции y = 1
    x
    :

    Давайте посмотрим, что происходит со значениями y , когда x приближается к 0 справа:

    Поскольку последовательность значений x становится очень маленькими числами, тогда последовательность значений y , обратных величин, становится очень большими числами.Значения y станут и останутся больше, например, чем 10 100000000 . y становится бесконечным.

    Пишем:

    Если x приближается к 0 слева, то значения становятся большими отрицательными числами. В этом случае мы пишем

    Когда функция становится бесконечной, когда x приближается к значению c , тогда функция является прерывистой при x = c , и прямая линия x = c является вертикальной асимптотой графика.(Тема 18 Precalculus.) Таким образом, график y = является разрывным при x = 0, а прямая линия x = c является вертикальной асимптотой.

    Далее, давайте рассмотрим случай, когда x становится бесконечным, то есть когда его значения становятся большими положительными числами в крайнем правом углу от 0.

    В этом случае число становится очень маленьким, а именно 0. Мы пишем

    .

    Мы должны читать, что как «предел x становится бесконечным», а не как « x приближается к бесконечности», потому что снова бесконечность не является ни числом, ни местом.С другой стороны, мы могли бы прочесть это, как бы нам ни хотелось («предел x становится головокружительным»), если любое используемое нами выражение относится к условию из определения 4.

    См. Первые принципы элементов Евклида, комментарий к определениям. Обратите особое внимание на определение номинального ; он утверждает только то, как слово или имя будут использоваться; и мы должны согласиться с этим.

    Наконец, когда x становится бесконечным отрицательно, то есть, когда оно принимает значения, лежащие в крайнем левом углу от 0 (-∞), тогда снова p приближается к 0.Пишем

    Другими словами, всякий раз, когда x становится бесконечным положительно или отрицательно, значения y = приближаются к горизонтальной линии y = 0. Эта линия называется горизонтальной асимптотой графика.

    Проблема 1. Оценить

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    At, tan x не существует. (Тема 15 и тема 18 тригонометрии.)

    По мере приближения x слева, загар x становится больше любого числа, которое мы могли бы назвать. (Определение 4.)

    Пределы рациональных функций

    Рациональная функция – это частное от многочленов (Тема 6 Precalculus). Он будет иметь такую ​​форму:

    , где f и g – многочлены ( g 0).

    Помимо постоянного члена, каждый член полинома будет иметь множитель x n ( n ≥ 1). Поэтому давайте исследуем следующие ограничения.

    c может быть любой положительной константой. Студент должен заполнить каждую правую часть.

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала сделай сам!

    1) = 0
    2a) =
    n даже.
    2b) =
    n нечет.
    2c) = −∞
    n нечет.
    Сравнить y = 1
    x
    выше, где n = 1.
    3) =
    4) =
    Пример. Доказательство:

    Решение . Разделите числитель и знаменатель на наибольшую степень x .В этом случае разделите их на x 2 :

    Согласно пункту 1), предел каждого члена, который содержит x , равен 0. Следовательно, по теоремам темы 2 у нас есть требуемый ответ.

    В аналогичных случаях первый шаг: Разделите числитель и знаменатель на степень x , которая появляется в главном члене любого из них.

    Проблема 2. = 4

    Результат получается делением числителя и знаменателя на x .

    Проблема 3. =

    Другими словами: Когда числитель и знаменатель равны,
    , то предел, когда x становится бесконечным, равен частному старших коэффициентов.

    Проблема 4.

    Далее рациональная функция является обратной функцией приведенной выше:

    = =

    Эта проблема иллюстрирует:

    Когда степень знаменателя больше степени числителя, то есть когда знаменатель преобладает, тогда предел, когда x становится бесконечным, равен 0.Но когда числитель доминирует – когда степень числителя больше – тогда предел, когда x становится бесконечным, равен .

    Изменение переменной

    Рассмотрим этот предел:

    Вместо того, чтобы использовать переменную, приближающуюся к 0, мы иногда предпочитаем, чтобы она стала бесконечной. В этом случае мы меняем переменную. Ставим х = или, неважно. Для x приближение к 0 эквивалентно z , становящемуся бесконечным.Тогда

    При замене x на, мы позволяем z стать бесконечным. Лимит остается 1.

    Где это появится? В пределе, из которого мы вычисляем число e:

    (Урок 15.)

    Проблема 5. В приведенном выше пределе измените переменную на n , и пусть она станет бесконечной.

    Следующий урок: производная

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *