Математическая запись 2 закона ньютона: СРОЧНО! математическая запись 1 и 2 закона Ньютона​

2 и 3 закон Ньютона

Тема. Второй и третий законы Ньютона

 Цель урока: вывести формулу второго, третьего закона Ньютона.

Тип урока: Урок объяснения нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Цель: вывести формулы второго закона Ньютона, ознакомить учащихся с формулировкой основного закона динамки.

Задачи урока:

Образовательная: Обеспечить проверку и оценку знаний учащихся по теме «первый закон Ньютона», ускорение. Выяснить причину появления у тела ускорения, вывести формулу второго закона Ньютона. Формировать умения применять второй  Ньютона при решении задач .

Воспитательная: стимулировать учащихся к работе на уроке, продолжить формирование познавательного интереса к предмету «Физика», продолжать развивать навыки грамотной, монологической и диалогической  речи  учащихся с использованием физических терминов.

Содействовать развитию у детей умения общаться, приучать учащихся к доброжелательному общению, взаимопомощи, формировать навыки  коллективной  работы, продолжить работу по развитию внимания учащихся, самостоятельности и целеустремлённости в достижении поставленных целей. 

Развивать физическое мировоззрение, воспитывать в учениках уважение к учёным в области физики.

Развивающая:  Продолжать развивать умение учащихся проводить анализ и оценку работы одноклассников, способствовать развитию познавательной компетентности: обеспечить  развитие у школьников  умения  объективировать деятельность; продолжать работу по развитию умения наблюдать, сопоставлять, сравнивать и обобщать результаты.

План урока

Демонстрации

7 мин.

1. Зависимость ускорения тела от действующей на него силы.

2. Опыты, иллюстрирующие третий закон Ньютона.

Изучение нового материала

30 мин.

1. Соотношение между силой и ускорением.

2. Второй закон Ньютона.

3. Особенности применения второго закона Ньютона.

4. Третий закон Ньютона.

5. Свойства сил, с которыми тела взаимодействуют.

6. Примеры проявления третьего закона Ньютона.

Закрепление нового материала

8 мин.

1. Тренируемся решать задачи.

2. Контрольные вопросы

 Здравствуйте, садитесь.

Сегодня я хочу начать урок с того, что зачитаю интересный факт из жизни величайшего английского учёного-физика. А вы опробуете догадаться, о ком же шла речь.

В начальной школе этот юный физик учился весьма посредственно. Но ровно до тех пор, пока его не избил и не оскорбил лучший ученик в классе, нанеся ему моральную травму. С того момента, он решил во что бы то ни стало обогнать своего обидчика в учёбе и тем самым оскорбить его. Спустя месяц успехи юного дарования в учебе были блестящи.
А вот ещё интересный случай из жизни знаменитого физика. Он, как известно был членом палаты лордов.

Заседания палаты лордов   посещал самым регулярным образом. Однако, на протяжении многих лет этот знаменитый английский физик не проронил ни слова на заседаниях. Все замерли когда, наконец, великий человек вдруг попросил слова. Все ожидали грандиозной и умной речи от признанного гения. Но наш учёный в гробовой тишине провозгласил свою единственную речь в парламенте: «Господа, я прошу закрыть окно, иначе я могу простудиться!»

как вы думаете, о ком же идёт речь?

Совершенно верно, этот учёный – Исаак Ньютон.

Как вы думаете, о чём мы будем говорить на уроке?

Ученики: О Ньютоне.

Учитель: Если быть конкретнее, то о тех законах, которые он любезно открыл.

Открываем тетрадочки, записываем тему урока «Второй закон Ньютона».

Однако, прежде чем приступить к изучению нового материала, нам следует повторить то, что мы с вами изучили на предыдущем уроке.

Актуализация знаний.

  • Дайте определение ускорению.

  • В каких единицах в СИ оно измеряется?

  • Чему равно ускорение в случае равномерного прямолинейного движения ?

  • Что такое сила?

  • Сформулируйте первый закон Ньютона.

  • Как называются системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или равнодействующая всех сил равна нулю?

  • Как называется система отсчета, относительно которой тело движется с ускорением?

Молодцы!

– Ребята, у вас на столах находится скрепка на «плоту», который лежит на поверхности воды, налитой в блюдце. В каком состоянии находится скрепка? (ил монетка на столе) (Ответ: В покое.)

– Почему? (Действия всех сил скомпенсированы.)

– Поднесите магнит к скрепке и скажите, что вы наблюдаете? (

Скрепка движется.)

Итак, скрепка начала двигаться, то есть приобрела ускорение, так ведь? Почему скрепка начала двигаться? Причиной чего является ускорение?

 Сегодня на уроке нам  с вами предстоит ответить на этот вопрос и  выяснить причину ее движения.

Записываем в тетради вопрос: почему движутся тела?

Можете ли вы предположить, почему скрепка пришла в движение?

(Ответ в большинстве случаев: На скрепку подействовали силой магнита).

Значит можно сказать, что причиной ускорения движения тел является действие на них других тел, то есть взаимодействие тел.

На опыте мы убедились, что при взаимодействие тел они оба получают ускорения,  направленные в противоположные стороны.

Этот же факт мы можем подтвердить бесконечными примерами из жизни.

На перемене вы играете в теннис. Ударяя ракеткой по теннисному мячику, мы придаём ему ускорение, но и мячик, в свою очередь, придаёт ускорение ракетке, она незначительно откланяется назад, в противоположную сторону.

Если вдруг на перемене двое первоклассников столкнулись в коридоре, то каждый из них приобрёл ускорение, которое будет направлено в разные стороны.

Скажите, а как называется величина, с помощью которой количественно описывают взаимодействие тел?

Совершенно верно, из курса 7 класса мы с вами знаем, что это ни что иное, как сила.

Значит, ускорение тела зависит от силы.

А как ускорение зависит от силы? (Ответ: Прямопропорциональна).

Совершенно верно, ведь чем большую силу мы приложим, тем большее ускорение тело приобретёт.

Причём, для двух взаимодействующих тел, отношение модулей их ускорений всегда одно и тоже.

Может быть от чего-то ещё зависит ускорение? От массы

1. Соотношение между силой и ускорением

Итак, в результате взаимодействия тело изменяет свою скорость – получает ускорение, а ускорение зависит от массы тела (как меры его инертности). А физической величиной, характеризующей взаимодействие, является сила. Теперь выясним, какой зависимостью связаны сила, ускорение и масса тела.

Проведем несколько опытов с тележкой, которая может двигаться по горизонтальным столом практически без трения. Измеряя пути, которые проходит тележка за разные промежутки времени, можно заметить, что путь пропорционален квадрату времени движения, то есть тележка движется рівноприскорено. Это означает, что

Ø направление ускорения тела совпадает с направлением силы, действующей на это тело: а ~ F.

Изменим условия опыта: будем менять массу тележки, оставляя неизменной силу. Проведение опыта с тележкой, на который кладут дополнительные грузики, показывает, что при неизменной силы ускорения уменьшается во столько раз, во сколько увеличивается масса тележки с грузом. Следовательно,

Ø ускорение, которое получает тело под действием силы, обратно пропорционально массе этого тела:

Таким образом, ускорение, которого сила  придает телу массой m, вычисляется по формуле:

2.  Второй закон Ньютона

Соотношение между равнодействующей всех сил, действующих на тело, массой тела и его ускорением было сформулировано Ньютоном как второй из трех основных законов динамики:

Ø равнодействующая  всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

3. Особенности применения второго закона Ньютона

Остановимся на некоторых фактах, вытекающих из второго закона Ньютона и помогут во время решения задач.

1. Сила – причина ускорения; ускорение определяется силой, действующей на тело. Изменение силы приводит к изменению ускорения, а не наоборот.

2. Если на тело одновременно действует несколько сил, то 1 + 2 + … + n = m.

3. Если силы, действующие на тело, скомпенсированы, то есть 1 + 2 + … + n = 0, то ускорение  = 0. Следовательно, закон инерции можно сформулировать так: тело находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью, если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю.

4. Из второго закона Ньютона можно получить определение 1 Н:

4. Третий закон Ньютона

В природе не бывает так, чтобы только одно тело действовало на другое, а другое тело при этом не действовало на первое. Тела всегда взаимно действуют друг на друга.

Обратимся к опыту. Поставим на горизонтальную поверхность два легкие тележки и с помощью двух динамометров прикрепим их к вертикальным стойкам. Положим на тележки два магнита разноименными полюсами друг к другу.

 

 

Через притягивание магнитов тележки придут в движение, растягивая при этом пружины динамометров. Только сила упругости пружины динамометра уравновесит силу притяжения со стороны магнита, тележка остановится. Опыт показывает, что после остановки тележек показания обоих динамометров одинаковы. Это означает, что с какой силой левый магнит притягивает правый магнит, с такой же силой правый магнит притягивает левый. Кроме того, анализируя опыт, видим, что эти силы направлены противоположно. Следовательно,

1 = -2.

С другой стороны, опыты показывают, что при всех видов взаимодействий ускорения тел, которые взаимодействуют, обратно пропорциональны массам этих тел:

Из этого соотношения с учетом того, что ускорения, которые достают тела в результате взаимодействия, направленные в противоположные стороны, можно записать:

Согласно второму закону Ньютона,  где 1 – сила, действующая на первое тело, a 2 – на второе.

Поэтому 1 = -2. Это равенство выражает третий закон Ньютона:

Ø два тела взаимодействуют друг с другом с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению.

Третий закон Ньютона утверждает, что силы всегда возникают» парами. Такие силы иногда называют силами действия и противодействия. При этом безразлично, какую из двух сил назвать силой действия, а какую – силой противодействия.

5. Свойства сил, с которыми тела взаимодействуют

Силы, с которыми взаимодействуют два тела:

а) имеют ту же физическую природу, поскольку обусловлены одной взаимодействием;

б) одинаковые по модулю и направлены вдоль одной прямой противоположно друг другу;

в) приложены к разным телам и поэтому не могут компенсировать друг друга.

6. Примеры проявления третьего закона Ньютона

Третий закон Ньютона показывает, что действие одного тела на другое имеет взаимный характер. Однако часто мы видим или чувствуем) действие, которое распространяется только на одно из двух тел, взаимодействующих, в то время, как действие на второе тело остается незамеченной.

Согласно третьего закона Ньютона, камень притягивает Землю с такой же силой, с которой Земля притягивает камень. Поэтому, когда камень падает, он и Земля – оба движутся с ускорениями навстречу друг другу. Однако ускорение Земли меньше ускорения камня в столько раз, во сколько раз масса Земли больше массы камня. Поэтому мы и замечаем часто только одну силу взаимодействия двух – силу, действующую на камень со стороны Земли. А с аналогичным модулем сила, действующая на Землю со стороны камня, остается незамеченной.

В завершение урока можно рассмотреть несколько примеров проявления третьего закона Ньютона.

1. Явление отдачи. Сила, действующая на снаряд со стороны пушки, равна по модулю силе, действующей на пушку со стороны снаряда в момент выстрела. В автоматической стрелковому оружию явление отдачи используется для перезарядки оружия.

2. Реактивное движение. С огромной скоростью выбрасывая продукты сгорания топлива обратно, ракета действует на них с необычайной силой. С такой же по модулю, но направленной вперед, силой продукты сгорания действуют на ракету.

3. Взаимодействие Земли и Солнца, Луны и Земли, движение планет и других небесных тел.

4. Движение транспортных средств.

 

Сравните инертность двух цилиндров (железного и алюминиевого).Оборудование: нить длиной 500 мм с петлями на концах, штатив.

Соедините цилиндры нитью и подвесьте их на штативе. Отклоните оба цилиндра в противоположные стороны на одинаковые расстояния от положения равновесия и одновременно отпустите их. Наблюдайте за отклонениями цилиндров после взаимодействия.

Какой из цилиндров обладает большей инертностью: железный или алюминиевый?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1). Тренируемся решать задачи

1. Тело массой 2 кг, движущегося на юг, меняет скорость своего движения под действием постоянной силы 10 Н, направленной на север. Вычислите определите модуль и направление ускорения тела. Опишите характер движения тела.

2. Под действием силы 15 кН тело движется прямолинейно так, что его координата изменяется по закону х = -200 + 9t – 3t2. Вычислите массу тела.

  1. К телу приложены две силы: F1= 0.5 H и F2= 2 Н. Показать направление ускорения. Найти модуль ускорения.

К телу приложены две силы: F1= 4 H и F2= 1 H. При этом тело движется с ускорением a = 2 м/с. Показать направление вектора ускорения. Найти массу тела.

К телу приложены две силы: F1= 3 H и F2= 1 H. Показать направление вектора ускорения. Найти модуль ускорения.

  • №122. Снаряд массой 2 кг вылетает из ствола орудия горизонтально со скоростью 1000 м/с. Определите силу давления пороховых газов, считая ее постоянной, если длина ствола равна 3,5 м.

Игра «Интересные вопросы»

1. Если действие, как гласит закон, всегда равно и противоположно про-
тиводействию, то сила, с которой лошадь тянет телегу вперед, равна по
модулю и противоположна по направлению силе, с которой телега «тянет»
лошадь назад. Но телега движется вперед, а лошадь назад не движется. По
чему и телега, и лошадь движутся вперед?

О т в е т: Сила, действующая на телегу, и сила, действующая на лошадь, в каждый момент времени равны; но так как телега свободно пере-мещается на колесах, а лошадь упирается в землю, то понятно, почему телега катится в сторону лошади.

2. Яблоко падает на землю отгого, что его притягивает земной шар; но
точно с такой же силой и яблоко притягивает к себе всю нашу планету. От-
чего мы говорим, что яблоко падает на землю, вместо того чтобы сказать:
«Яблоко и земля падают друг на друга»?

Ответ: Яблоко и земля действительно падают друг на друга, но ско-рость этого падения различна для яблока и для земли. Равные силы взаим-ного притяжения сообщают яблоку ускорение 10 м/с2, а земнаму шару – во столько же раз меньше, во сколько раз масса земли превышает массу яблока. Конечно, масса земного шара в неимоверное числораз больше массы яблока, и потому Земля получает перемещение настолько ничтожное, что практически егоможно считать равным нулю.

3. Истерия о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз
взялись», известна всем. Но если рассматривать эту баеню с точки зрения

механики, результат получается вовсе не похожий на вывод баснописца Крылова. Каким он будет?

Напоминаем: …Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад,

А щука тянет в воду.


Ответ: Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех приложенных к возу сип равна нулю.

Лебедь, рвущийся в облака, не мешает работе рака и щуки, даже помогает им: тяга лебедя, направленная против силы тяжести, уменьшает трение колес о землю и об оси, облегчая тем вес воза.  Остаются две силы: тяга рака и тяга щуки. Они направлены под углом друг к другу, следовательно, их равнодействующая не может равняться нулю.

Что мы узнали на уроке

• Второй закон Ньютона:

• Равнодействующая  всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

 = m.

• 3 второго закона Ньютона получаем выражение для 1 Н:

• Третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:

1 = -2.

• Силы, с которыми тела взаимодействуют друг с другом, направлены вдоль одной прямой и имеют одинаковую физическую природу.

• Силы, с которыми взаимодействуют два тела:

а) имеют ту же физическую природу, поскольку обусловлены той самой взаимодействием;

б) одинаковые по модулю и направлены вдоль одной прямой противоположно друг к другу;

в) приложены к разным телам и поэтому не могут компенсировать друг друга.

 

Домашнее задание

1. П.: §§ 18, 19,21

Физика 9 класс У10

А чтобы ответить на все вопросы нам необходимо изучить новый материал.

Для этого разобьемся на группы. (по счету) В группе каждому дается роль: 1 – теоретик; 2 – практик; 3 – спикер

Дифференциация по ролям в группе

 

Каждой группе дается задание

Критерий:

  • проводят эксперимент по сравнению сил.
  •  дают определение 3 закона Ньютона  и называют его особенности;

1 группа

Задание: Поставьте два динамометра друг на друга. Что показывают динамометры?

Что такое вес? Сила реакции опоры?

Сравните их по величине и по направлению.

Выводы запишите в таблицу.

Оборудование:2 динамометра, таблица

 

 

Особенности сил

 

Силы по величине

Силы направлены

1 группа

 

 

Запишите соотношение сил

 

2 группа

Задание: Возьмите магнит и железный цилиндр. Прикрепите к ним динамометры. Отодвиньте магнит от цилиндра. Что вы наблюдаете?          Куда направлены силы?

Сравните их по величине, данные занесите в таблицу.

Оборудование: два динамометра, железный цилиндр, магнит, таблица

 

 

Особенности сил

 

Силы по величине

Силы направлены

2 группа

 

 

Запишите соотношение сил

3 группа

Задание: Соедините динамометры крючками и расположите их на столе. Потяните в разные стороны. Что вы заметили?

Сравните силы по величине и направлению.

Оборудование:2 динамометра, таблица.

 

            Особенности сил

 

Силы по величине

Силы направлены

3 группа

 

 

Запишите соотношение сил

 

Дифференциация – поддержка учеников и учителя

Выводы групп выводятся на слайд

 

 

Особенности сил

 

Силы по величине

Силы направлены

1 группа

равны

По одной прямой в противоположные стороны

2 группа

равны

По одной прямой в противоположные стороны

3 группа

равны

По одной прямой в противоположные стороны

Запишите соотношение сил  F1 = – F2

 

Сформулируйте как соотносятся изученные вами силы

Оценивание  – взаимопроверка

Подвести итог: Ребята, мы сейчас с вами вывели 3 закон Ньютона, который гласит: …. .

Для того, чтобы понять, на сколько вы усвоили материал, проведем проверку.

Проверка – Метод «ДА/НЕТ»  

1.Книга, лежащая на столе, действует на стол с силой упругости, а стол действует на книгу с силой тяжести.                                                        /нет/

2. Силы, с которыми тела действуют друг на друга не равны по модулю.                                          /нет/

3. При взаимодействии двух тел возникают две противоположно направленные силы – действие и противодействие.                                         /да/

4. Силы взаимодействия имеют всегда одну и ту же природу.                                                           /да/

5. 3 закон Ньютона гласит: Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.             /да/

 6. Математическая запись 3 закона Ньютона

                         F= const                           /нет/                                                

7. 3 закон Ньютона выполняется только в ИСО.

                                                                   /да/

Оценивание – устная обратная связь от учителя Метод «Большой палец»

 

Далее решаем задачи

 Критерии:

* решают 2 прямых задачи;

* решают 2 составных задачи;

 

Задача 1

Космонавт, находясь на Марсе отталкивается от его поверхности с силой 70Н. С какой силой Марс отталкивает вас?  (70 Н)

Задача2

Два мальчика тянут веревку в разные стороны, прилагая силы 100 Н каждый. Веревка может выдержать, не разрываясь, груз весом 150 Н. Разорвется ли веревка?

(Нет. Так как растягивание каната мальчиком с силой 100Н эквивалентно тому, что один конец каната закреплен, а к другому подвешен груз 100Н.)

Задача 3

Земля притягивает вас с силой. Найдите каждый для себя, с какой силой вы действуете на Землю.

Для более сильных учащихся

Задача 4

Сравните модули ускорений двух шаров одинакового радиуса во время взаимодействия, если первый шар сделан из стали, а второй – из свинца.

Дескрипторы:

* записывает известные и неизвестные величины

* записывает основную формулу

*записывает дополнительные формулы (если необходимы)

* решает задачу

 

 Оценивание – Метод «Углы» (1,2 зад)

      Устная обратная связь от учителя (3,4 зад)

Ударьте рукой по столу. Что вы испытали?

– Боль.
– Почему? Ведь это вы бьете стол, а не он вас.

Можем теперь мы ответить на этот вопрос?

В торой и третий законы ньютона вариант 1

Второй и третий законы Ньютона

Вариант 1

  1. Причиной возникновения ускорения является

  1. Изменение скорости тела

  2. Действие на тело других тел с некоторой силой

  3. Изменение траектории тела

  1. Второй закон Ньютона можно записать так:

  2. Вектор ускорения совпадает по направлению с вектором

  1. Скорости

  2. Перемещения

  3. Равнодействующей силы

  1. Третий закон Ньютона формулируется так: силы, с которыми два тела действуют друг на друга,

  1. Равны по модулю и противоположны по направлению

  2. Противоположны по направлению и не равны по модулю

  3. Равны по модулю и имеют одинаковые направления

  1. Единица измерения силы в СИ:

  1. Джоуль

  2. Ватт

  3. Ампер

  4. Ньютон

  1. Какая формула правильно отражает смысл третьего закона Ньютона:

  1. F1 = F2

  2. F1 = -F2

  1. Задача. Спустившись с горки, санки с мальчиком начинают тормозить с ускорением 2 м/с2. Определите величину тормозящей силы, если общая масса мальчика и санок равна 40 кг.

Второй и третий законы Ньютона

Вариант 2

  1. Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то тело движется

    1. С ускорением

    2. С постоянной скоростью

    3. Сначала с постоянной скоростью, а затем с ускорением

  1. Силу, действующую на тело, можно вычислить по формуле:

  1. В СИ единицей силы является:

  1. 1 кг

  2. 1 Н

  3. 1 м/с2

  1. Математическая запись третьего закона Ньютона имеет вид:

  1. Какие из величин при механическом движении всегда совпадают по направлению?

  1. Сила и ускорение

  2. Сила и скорость

  3. Сила и масса

  4. Ускорение и перемещение

  1. Как направлены силы, возникающие при взаимодействии тел:

  1. В одну сторону

  2. В противоположные стороны

  3. Перпендикулярно друг другу.

  1. Задача. При торможении автомобиль движется с ускорением 0,1 м/с2. Масса автомобиля 1,5 т. Определите значение тормозящей силы

Контрольная в устной форме по физике для 8, 9, 11 классов

Перечень контрольных вопросов для промежуточной аттестации в устной форме по физике.

kr-ust-fiz.docx

8 класс

1. Какие существуют виды энергии?
2. От чего зависит температура тела?
3. Какие явления называют тепловыми?
4. Что называют тепловым движением?
5. Формула кинетической энергии
6. Формула потенциальной энергии
7. Что есть внутренняя энергия тела?
8. От чего зависит внутренняя энергия тела?
9. От чего не зависит внутренняя энергия?
10. Какие есть способы изменения внутренней энергии?
11. Что такое теплопередача?
12. Что такое теплопроводность?
13. Привести примеры большей / меньшей теплопроводности
14. Что такое конвекция?
15. Какова особенность излучения?
16. Что такое количество теплоты и в чём оно измеряется?
17. Что такое удельная теплоёмкость? Какая уд. теплоёмкость у воды, эфира, стали?
18. Назвать формулу количества теплоты нагревания/охлаждения
19. Формула уд. теплоты сгорания топлива? Какова УТС топлива если взято 15 кг антрацита
20. Закон сохранения и превращения энергии
21. Что такое плавление, кристаллизация вещества?
22. Формула удельной теплоты плавления. Выразить из неё массу и УТ плавления
23. УТ плавления льда / ртути / спирта
24. Что такое парообразование и испарение / конденсация?
25. Что такое кипение и как называется температура, при которой жидкость кипит?
26. Температура кипения воды, железа, водорода, эфира, ртути
27. Что такое влажность воздуха и по какой формуле она вычисляется?
28. Что такое точка росы?
29. Какими приборами измеряется относительная влажность воздуха?
30. Что показывает УТ парообразования и конденсации? По какой формуле она рассчитывается?
31. Что такое тепловой двигатель?
32. По какой формуле вычисляется КПД теплового двигателя?
33. Из скольких тактов состоит цикл двигателя? Как они называются?


9 класс

1. Что такое материальная точка?
2. Что такое поступательное движение?
3. Что образует систему отсчёта?
4. Что такое перемещение тела?
5. Что такое скорость равномерного прямолинейного движения?
6. Назовите формулу по вопросу №5
7. Что такое ускорение тела и по какой формуле оно измеряется?
8. Что такое мгновенная скорость?
9. Формула для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении
10. В чём проявляется относительность движения?
11. Какие системы мира были открыты и кем?
12. Назовите первый закон Ньютона
13. Что называется инерциальными / неинерциальными системами отсчёта?
14. Словесная формулировка второго закона Ньютона
15. Математическая запись второго закона Ньютона
16. Словесная и математическая формулировки третьего закона Ньютона
17. Что называется свободным падением тел?
18. Что такое ускорение свободного падения?
19. Закон всемирного тяготения. Чему равна гравитационная постоянная?
20. Что такое центростремительное ускорение?
21. Формула центростремительного ускорения
22. Модуль вектора силы, под действием которой тело движется по окружности с постоянной скоростью по модулю
23. Формула для расчёта первой круговой скорости
24. Что такое импульс тела?
25. По какой формуле рассчитывается импульс тела?
26. Закон сохранения импульса
27. Привести примеры реактивного движения
28. Закон сохранения механической энергии
29. Что такое механические колебания?
30. Какие колебания называются свободными?
31. Что такое колебательные системы
32. Что называют маятником?
33. Какие величины характеризуют колебательное движение?
34. Что есть частота / период колебаний?


11 класс

1. В каком пространстве возникает магнитное поле?
2. Перечислите основные свойства МП, установленные экспериментально?
3. Что принимается за направление вектора магнитной индукции?
4. Куда направлена положительная нормаль вектора магнитной индукции?
5. Назовите правило буравчика
6. Что называют линиями магнитной индукции?
7. Кем был установлен закон, определяющий силу, действующую на отдельный небольшой участок проводника?
8. Сформулируйте закон Ампера
9. В чем измеряется модуль вектора магнитной индукции?
10. Что называют силой Лоренца?
11. Формула силы Лоренца
12. Магнитные свойства вещества
13. Что такое магнитный поток и в чём он измеряется. Назовите формулу
14. Правило Ленца
15. Закон ЭМИ
16. Что такое самоиндукция?
17. Что такое индуктивность?
18. Что такое колебания?
19. Что называют периодическими / свободными / вынужденными колебаниями?
20. Что есть математический маятник?
21. При каких условиях математический маятник будет свободно кол:)ся?
22. Что называется гармоническими колебаниями?
23. Что называют фазой колебаний?
24. Что такое резонанс?
25. Назовите формулу Томсона
26. Что такое ёмкостное сопротивление?
27. Что такое индуктивное сопротивление?
28. Строение трансформатора
29. Коэффициент трансформации – это …
30. Что такое волна? Виды волн
31. Что такое длина волны?
32. Назовите уравнение гармонической бегущей волны
33. Что такое плоская / линейная / сферическая волна?
34. Что такое акустика и акустические колебания?
35. Скорость звука равна …

Второй закон Ньютона | Динамика | Физика

Раньше люди считали, что, если у тела есть скорость, отличная от нуля, это свидетельствует о том, что на него действует какая-то сила. В прошлой статье мы с вами узнали о том, что это неверное утверждение. Теперь нам знаком закон инерции и мы понимаем, что, если тело движется с какой-то постоянной скоростью, это свидетельствует о том, что силы, действующие на него, уравновешены либо просто отсутствуют.

Возникает вопрос: если не скорость указывает на наличие силы, то что же тогда?

Сперва нам следует немного поговорить о силе. Что это такое? Сила – это векторная физическая величина, характеризующая воздействие одного объекта на другой. Обозначается она через букву F (от английского слова «force» – сила) и измеряется в ньютонах (Н).

Теперь представьте движущийся с постоянной скоростью шар для боулинга. Если мы начнем подталкивать его сзади, в направлении движения, его скорость начнет расти. Если же мы каким-либо образом будем препятствовать его перемещению спереди, то есть в направлении, противоположном движению, его скорость, наоборот, начнет падать.

Именно изменение скорости (ускорение) показывает, действует на тело неуравновешенная сила или нет. Чем больше сила, тем больше ускорение. Обратное тоже верно. Кроме того, вектор силы всегда сонаправлен с вектором ускорения: если на тело действует постоянная сила, направленная вправо, значит, и ускоряться тело будет вправо.

Все вышесказанное можно подытожить с помощью математики:

\vec{a}\thicksim\vec{F}

Обозначением пропорциональности, строго говоря, является другой символ (\propto), но мы будем использовать значок, представленный выше. Он симпатичнее.

Помимо всего прочего, предложенная математическая запись говорит о том, что существует некоторый коэффициент пропорциональности между ускорением и силой. Этот коэффициент называют массой. Масса – это скалярная физическая величина, которая показывает, насколько трудно изменить скорость тела. Обозначается она при помощи маленькой буквы m (от английского слова «mass» – масса), измеряется в килограммах (кг).

Сообщить большое ускорение футбольному мячу легче, чем сообщить большое ускорение громадному каменному валуну. Чем больше масса объекта, тем труднее изменить его скорость. Другими словами, ускорение тела обратно пропорционально его массе:

\vec{a}\thicksim\dfrac{1}{m}

А теперь мы можем объединить имеющиеся у нас соотношения в одно уравнение:

\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}

или

\boxed{\vec{F}=m\vec{a}}

Это и есть второй закон Ньютона. Давайте немного поработаем с этой формулой.

Предположим, у нас есть какой-нибудь объект, например черный ящик из игры «Что? Где? Когда?». 2

II закон Ньютона. 10 класс

II закон
Ньютона
10 класс
Сила – количественная мера действия тел
друг на друга, в результате которого тела
получают ускорение или испытывают
деформацию.
Сила характеризуется модулем,
направлением и точкой приложения
Сила – векторная величина
1Н – сила, которая сообщает телу массой 1кг
ускорение 1
в направлении действия силы.
II закон Ньютона
Ускорение тела прямо пропорционально
силе, действующей на него, и обратно
пропорционально его массе.
Принцип суперпозиции сил:
если на тело одновременно действуют
несколько сил, то ускорение тела
будет пропорционально
геометрической сумме всех этих сил.
?
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись,
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Почему воз остается
в покое?
F1
600
F
F2
F3
Особенности II закона :
• Верен для любых сил.
• Если на тело действует несколько сил, то
берется равнодействующая.
• Если F = 0, то а = 0, v = const (I закон Ньютона)
№ 143 (Рымкевич)
• Заполните таблицу, где a – ускорение,
которое приобретает тело массой m под
действием силы F
a
?
?
m
8 кг

F
2 Н 6 мН
0,4
м/с2
2
км/с2
200 кг 10 г
?
?
0,1
м/с2
5
см/с2
?
?
20 Н 1 кН
Формула:
1) а = F/m
а = 2 Н / 8 кг = 0,25 м/с2
2) F = m × а
F = 200 кг × 0,4 м/с2 = 80 Н
3) m = F / а
m = 20 Н / 0,1 м/с2 = 200 кг
Д/з: § 21, № 143 (Р) вычислить оставшиеся величины
и заполнить таблицу; заполнить обобщающую таблицу
(по II закону Ньютона), выполнить задание 10
I Закон
Ньютона
Формулировка
Математическая
запись
Рисунок
Описываемое
явление
Особенности
Примеры
проявления
II Закон
Ньютона
III Закон
Ньютона
10.

Второй закон движения Ньютона – обзор

Принцип сохранения количества движения, известный даже как второй закон движения Ньютона, выводится в его интегральной форме, учитывая, что упругое тело подвергается произвольной силе тяговой поверхности tn и телесной силе б . В момент времени t упругое тело занимает объем V и ограничено поверхностью Ω. Результирующая объемная сила, действующая на тело, определяется выражением

(1.17) Fi = ΩtindΩ + ∫VρbidV

. На этом этапе вспоминая формулу Коши в уравнении.(1.1) и используя теорему о расходимости, поверхностный интеграл тяговых сил преобразуется в объемный интеграл следующим образом:

(1.18) ΩtindΩ = ∫ΩσijnjdΩ = ∫Vσij, jdV

Таким образом, уравнение (1.17) может быть записано как

(1.19) Fi = ∫V (σij, j + ρbi) dV

Определение количества движения дается в следующем

(1.20) P = ∫Vρu˙idV

Сохранение импульса, выраженное постулатом, равно

(1,21) Fi = P˙i

Подставляя уравнения. (1.19) и (1.20) в уравнение. (1.21) закон сохранения количества движения принимает вид

(1.22) ∫V (σij, j + ρbi) dV = ∫Vρu¨idV

Уравнение (1.22) должно выполняться для любого произвольного объема, следовательно, в каждой точке имеем

(1.23) σij, j + ρbi = ρu¨i

В прямоугольных декартовых координатах уравнения движения в развернутом виде:

(1.24) ∂σxx∂x + ∂σxy∂y + ∂σxz∂z + ρbx = ρu¨x∂σyx∂x + ∂σyy∂y + ∂σyz∂z + ρby = ρu¨y∂σzx∂x + ∂σzy∂y + ∂σzz∂z + ρbz = ρu¨z

Решение уравнений движения находится при задании граничных условий.Эти последние требуются для оценки постоянных интегрирования и обычно выражаются в терминах известных сил на границе, которые происходят из уравнения. (1.1). В самом деле, когда силы тяги известны, формулу Коши можно использовать для оценки напряжений на границе, как показано ниже:

(1.25) tˆx = σˆxxnx + σˆxyny + σˆxznztˆy = σˆyxnx + σˆyyny + σˆyznztˆz = σˆzynznx + σˆ7

где σˆij – неизвестные напряжения на границе, nx, ny и nz – направления косинуса вектора нормали на границе, а tˆx, tˆy и tˆz – известные компоненты силы тяги на границе.

Условия равновесия дополнительно требуют, чтобы результирующий момент поверхностных и объемных сил обращался в нуль по отношению к произвольной точке. Таким образом, учитывая xi как компонент вектора положения в точке приложения сил, момент количества движения тела относительно начала системы координат равен

(1.26) Hi = ∫Veijkxjρu˙kdV

где eijk – это символ Леви-Чивиты, следующий за определенным

(1.27) eijk = {1if (i, j, k) является четной перестановкой (1,2,3) 0if (i, j, k) в противном случае − 1if (i , j, k) является нечетной перестановкой (1,2,3)

Момент тяговых сил tin и объемных сил bi относительно начала координат равен

(1.28) Mi = ΩeijkxjtkndΩ + ∫VeijkxjbkdV

Затем, введя формулу Коши и используя теорему о расходимости, преобразовать поверхностный интеграл в объемный интеграл, уравнение. (1.28) можно переписать как

(1.29) Mi = ∫Veijk [xj (σlk, l + bk) + δijσlk] dV

, где использовалось тождество xj, l = δjl, δjl – дельта Кронекера, определенная в уравнении . (1.7). Принцип сохранения углового момента возникает из условия равновесия, которое требует, чтобы скорость изменения полного момента количества движения для континуума была равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на континуум .Тогда

(1,30) Mi = H˙i

или эквивалентно

(1,31) ∫Veijk [xj (σlk, l + bk − ρu¨k) + δijσlk] dV = 0

Ссылаясь на уравнения движения , Уравнение. (1.31) становится

(1.32) ∫VeijkσlkdV = 0

Если никакие пары не действуют на тело, то уравнение. (1.32) приводит к симметрии тензора напряжений, σlk = σkl или в матричной форме

(1.33) σ = [σxxτxyτxzσyyτyzSymσzz]

Второй закон Ньютона

2-й закон Ньютона действительно математическое утверждение о том, как “сила” относится к изменению движения объекта.Отчасти это служит определяющим заявление о свойствах, называемых «сила» и «масса».

Мы уже знаем, что масса – это мера степени инерции объекта, и мы интуитивно понимаем, что такое сила – но на самом деле у нас нет независимых их определения или процедуры их измерения. Второй закон касается их друг к другу, и при этом действует как совместное рабочее определение из них.

Математически, Ньютона 2-й закон гласит: F = Δ п / Δ т .На словах можно сказать, что сила F равна изменению по импульсу Δ p , с соответствующим изменение во времени, Δ т . Этот краткий математический заявление содержит довольно много информации.

Во-первых, что такое импульс?

По определению p = m v , где p – свойство, называемое импульсом, м, – масса объекта и v . это его скорость.[В этом уравнении и выше вы видите, что некоторые буквы в уравнении полужирным курсивом , а другие курсивом . Элементы, обозначенные полужирным курсивом , называются векторами ; у них есть математические свойства размера и направления. Позиции курсивом скаляров – обычные числа, обозначающие только размер. Так масса, м, , является скаляром, определяемым только его размером, а скорость, v , является вектором обозначение размера скорости объекта и , в каком направлении он движется в.]

Ньютон распознал, что изменение движения объекта под действием приложенной силы зависело также от его массы (степени инерции). Это здравый смысл нас; если мы толкнем игрушечную машинку с определенной силой и с такой же силой количество силы на реальной машине, игрушечная машина будет иметь гораздо большее изменение в его движение. Импульс включает в себя инерцию (массу) движения (скорость) объекта. для создания композита, относящегося к силе.

Связь с силой это скорость, с которой импульс изменяется с течением времени! [Символ Δ в уравнение означает “изменить в.”] Итак, сила F вызывает изменение импульса объекта. p с течением времени, где величина силы определяет скорость изменение и направление силы определяет направление изменения. Если направление силы совпадает с первоначальным направлением движения объекта, скорость объекта увеличится (сила в том же направлении, что и скорость) или уменьшиться (сила в направлении, противоположном скорости объекта).Но если сила указывает в каком-то другом направлении, это заставит объект тоже измените курс.

До тех пор, пока массовая часть импульса не меняется, изменение импульса можно выразить как Δ p = Δ ( м v ) = м v ). Поскольку мы определяем ускорение, a , как изменение скорости со временем a = Δ v / Δ t , Второй закон Ньютона также можно записать как F = m a .Это выражение более знакомо всем, кто раньше изучал физику. [Интересно отметить, что, поскольку ускорение a относится к Δ v и Δ v не равно нулю, если направление v изменяется, даже если его размер остается то же самое, объект ускоряется, если его направление движения изменяется, пока он движется с постоянной скоростью. ]

Ньютонов 2 nd закон также может быть понят как описывающий действие множество сил, действующих на один объект, или множество сил, действующих на множество объектов.В этих обстоятельствах считается, что сила F представляет общая или чистая сила и изменение количества движения Δ p быть общим или чистым изменением – по всем задействованным объектам.

Переходите к третьему закону Ньютона.

© 2003-2012 – 4Physics®

Исаак Ньютон | Блестящая вики по математике и науке

В третьем томе Principia Ньютон описал свою теорию всемирного тяготения.направление линии между ними. Чистая гравитационная сила на объекте – это векторная сумма сил, приложенных к нему всеми другими объектами во Вселенной.

Одна популярная история гласит, что идея гравитации пришла в голову Ньютону, когда он сидел под деревом и получил удар яблоком по голове. Это не подтверждается историческими документами, но Ньютон, по крайней мере, использовал падающие яблоки в качестве аналогии для объяснения радиальных сил: «Следовательно, падает ли это яблоко перпендикулярно или к центру? Если материя таким образом притягивает материю, это должно быть пропорционально ее количеству.Следовательно, яблоко рисует Землю, так же как Земля рисует яблоко »[3].

Отправьте свой ответ

В то время как ваша масса везде одинакова, ваш вес , который представляет собой гравитационную силу, которую вы чувствуете как результат вашей массы, зависит от того, где вы находитесь. 3 \ text {m} 8,8 × 103 м.

Виды конических сечений

Ньютон показал, что его закон может воспроизводить законы движения планет Кеплера, которые описывают, как планеты движутся по фиксированным эллипсам вокруг Солнца. Затем он обобщил эти законы, показав, что пути объектов, действующих под действием силы тяжести Солнца, могут быть любыми коническими сечениями, включая эллипсы, а также параболами, гиперболами и линиями.

Поскольку закон всемирного тяготения описывает силу между двумя объектами, независимо от того, как далеко они находятся, Лейбниц обвинил Ньютона в том, что он вызвал «жуткое действие на расстоянии». [4] Это противоречило популярной в то время философии науки, согласно которой все эффекты должны быть результатом локальных взаимодействий. Сегодня общая теория относительности Эйнштейна заменила теорию Ньютона, в некотором смысле доказав правоту Лейбница. Общая теория относительности согласуется со многими предсказаниями теории Ньютона, но не действует на расстоянии. Гравитационные эффекты (в виде искривленного пространства-времени) распространяются со скоростью света.

% PDF-1.4 % 1 0 объект > поток 2016-02-03T15: 03: 16-05: 00Microsoft® Office Word 20072021-10-28T14: 03: 34-07: 002021-10-28T14: 03: 34-07: 00application / pdf

  • iText 4.2.0 от 1T3XTuuid: 950a0d9e-641e-4f79-920b-0f94ca3987c0uuid: e4dcaffa-ead2-4f4c-97fb-4b6e70b092a2 конечный поток эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > поток xX͎6) D $) [ѹ-Ԣs 領 뗤 ([L; 6G: / 3i ~ [v_SOWƅ> l? ” Tz: XuY = lQjZ3a

    Math 227 Информация о проекте, осень 2018 г.

    (М.Meckes’s section) Math 227 Fall 2018 Информация о проекте (раздел M. Meckes)

    Все студенты были распределены в группы из трех человек по математике. 227 и информировал группы по электронной почте.

    В рамках проекта каждая группа узнает по одной из тем перечислено ниже. В разных темах есть разные предложения или конкретные требования. По любой из тем каждая группа должна подготовить письменный отчет с оригинальным изложением материала. В отчет должен быть написан в комбинации полных, связные английские предложения и математическая нотация.Ты Учебник можно воспринимать как примерный образец соответствующего стиля.

    Нет предопределенных пределов длины (верхних или нижних) на проект. Вы должны стремиться быть полными и лаконичными – скажем, что нужно сказать, и говорите это четко, но оставьте все как есть. В отчет должен быть столько, сколько необходимо для достижения этого, но не дольше.

    Срок сдачи проекта – 7 декабря. Если вы пришлете мне черновик в любое время до 25 ноября прочту и отправлю вам конструктивный отзыв в течение одной недели (не более двух шашек на группу). Ты тоже добро пожаловать, чтобы задавать вопросы во время работы над проектом.

    Мы уже рассмотрели всю математику, необходимую для получения начал работу над любым из этих проектов.

    Законы движения планет Кеплера

    Прочтите Раздел 13.6 учебника. Вы также можете посмотреть на это Страница Википедии.

    Ваш отчет должен включать утверждения всех трех законы. Выполните упражнения 23 и 24, чтобы доказать третий закон, и упражнения 2. и 3 применение Третьего закона.

    Дополнительная пища для размышлений: принят закон тяготения Ньютона. как должное в книге и используется для доказательства законов Кеплера, но это переворачивает историю вспять: Кеплер сформулировал свои законы, основанные на эмпирических наблюдения за движением планет.Позднее Ньютон показал, что Для доказательства законов Кеплера можно использовать закон обратных квадратов для гравитации. Так был открыт закон всемирного тяготения Ньютона!

    Теорема Тейлора

    Прочитай это страница, это страницу или что-нибудь еще по теме, которое вы сочтете полезным.

    Ваш отчет должен содержать четкое изложение того, что Тейлор аппроксимация любой степени для функции n переменных. Приведите пример использования его для оценки значения функции. (аналогично линейным приближениям, которые мы делали в классе).Затем сосредоточьтесь на частном случае Тейлора второй степени. приближение. Покажите, как записать приближение второй степени в термины Гессен. Используйте приближение второй степени, чтобы объяснить тест второй производной для локальных экстремумов в более высоких измерениях (в общая форма обсуждается в классе).

    Кривизна поверхности

    Прочтите «Фрейм Френета» на страницах 716–717 учебника, затем этот страница. (Здесь есть одна необъяснимая запись: T p M означает все векторы, которые касаются поверхность M в точке p .

    Ваш отчет должен включать объяснение того, что руководитель, Гаусса, а средняя кривизна равна, а решение упражнения 2 в документ о главной кривизне. Вы можете считать известным предысторию все, что описано в Разделе 13. 4, и вам не нужно выполнять Упражнение 1.

    Объем шара в

    n габаритов Прочтите «Экскурсия: объем сферы в более высоких измерениях» на страницах. 852–853 учебника.

    Ваш отчет должен включать полный вывод формулы для объем единичного шара в n размеры, указанные в последнем Рамка на странице 853.Попутно вам следует выполнять Упражнение 43. Для метод индукции, упомянутый выше в формуле на странице 853, см. страницы A12 – A13 в приложении к учебнику. Также выполните упражнение 44.


    Вернуться на домашнюю страницу Math 227.

    Как Исаак Ньютон изменил мир с изобретением исчисления

    • дом
    • Блог
    • Как Исаак Ньютон изменил мир ж. . .
    Дата выпуска – 18 марта 2017 г.

    Исаак Ньютон изменил мир, когда изобрел исчисление в 1665 году.Сегодня мы принимаем это как должное, но то, что Ньютон сделал в 24 года, просто поразительно.

    Исчисление находит применение в физике, химии, биологии, экономике, чистой математике, всех отраслях инженерии и многом другом. Не будет преувеличением сказать, что проницательность Ньютона в области развития математического анализа действительно произвела революцию в нашей способности исследовать новые отрасли науки и техники. Он используется в задачах, когда количество изменяется как функция времени, как в действительности ведет себя большинство проблем.

    Когда он изобрел исчисление и обрисовал в общих чертах его применение, Исаак Ньютон сделал один из самых важных прорывов в истории математики, и это актуально и по сей день.

    Что такое исчисление?

    По своей сути, исчисление – это изучение скорости изменения величины во времени. В частности, его можно сузить до изучения скорости изменения и суммирования величин. Две категории исчисления называются дифференциальным исчислением и интегральным исчислением.Дифференциальное исчисление имеет дело со скоростью изменения количества, например, с тем, как положение объекта изменяется по сравнению со временем. Интегральное исчисление – это все о накоплении или суммировании бесконечно малых величин. Фундаментальная теорема исчисления – это то, что связывает эти две категории. Эта теорема гарантирует существование первообразных для непрерывных функций. Вы можете узнать больше о дифференциальном и интегральном исчислении, прочитав информацию ниже. Затем мы рассмотрим, как это влияет на кривые.

    Изучая дифференциальное исчисление и пытаясь понять его, важно сравнить его с алгеброй. Алгебра – это вычисление угла наклона прямой между двумя точками. Но с расчетом все дело в наклоне кривой, что означает, что наклон в одной точке будет отличаться от наклона в другой точке, расположенной дальше по той же кривой функции. Посмотрев внимательно на наклон линии между двумя точками на кривой, можно рассчитать скорость изменения наклона.Это называется нахождением производной функции в точке.

    Интегральное исчисление часто используется, когда необходимо вычислить площадь области под графиком. Если необходимо вычислить простую квадратную или прямоугольную площадь, это легко сделать с помощью алгебры. Но когда область имеет одну наклонную линию, это невозможно, и вместо этого следует использовать интегральное исчисление. Интегральное исчисление помогает нам разбить плавную линию на множество очень маленьких прямых прямоугольников.Затем мы можем обработать область под исходной функцией, потому что линия больше не изгибается, когда вы увеличиваете масштаб и разбиваете линию на множество прямоугольников. Когда каждый прямоугольник бесконечно мал, можно найти точную область под изогнутой линией.

    Другими словами, исчисление используется, когда нельзя использовать алгебру. Он основан на идее, что наклонные линии можно обрабатывать математически, аппроксимируя их как очень маленькие линейные сегменты, а затем позволяя этим сегментам стать бесконечно маленькими.В реальном мире это используется по-разному, поэтому речь идет не только об абстрактных идеях, которым преподают только в аудиториях. Позже мы рассмотрим некоторые отрасли, которые полагаются на исчисление, и точные способы его использования. Вы можете быть удивлены тем, насколько разнообразно и распространено его использование.

    Как и почему Исаак Ньютон изобрел исчисление

    Прежде всего, вам нужно знать, кем был Исаак Ньютон и почему он был и остается таким важным. Он был физиком, математиком и космологом, выдающимся в 17 веке.Он, вероятно, наиболее известен тем, что сформулировал законы движения и всемирного тяготения. Его влияние невозможно переоценить. Одним из его многочисленных достижений было изобретение математического анализа. Его собственная работа в области физики, несомненно, привела его к этой проблеме, и он чувствовал необходимость решить ее с помощью новой математической основы, которой до того времени просто не существовало. Его внимание к гравитации и законам движения связано с его прорывом в математике.

    Ньютон начал с попытки описать скорость падающего объекта. Когда он это сделал, он обнаружил, что скорость падающего объекта увеличивается каждую секунду, но математического объяснения этому не существовало. Проблема движения и скорости изменения еще не была исследована в сколько-нибудь значительной степени в области математики, поэтому Ньютон увидел пустоту, которую необходимо заполнить. Он начал работу в этом правильном направлении, включив планетарные эллипсы в свою теорию, чтобы попытаться объяснить орбиту планет. Он обнаружил, что с помощью расчетов он может объяснить, как движутся планеты и почему орбиты планет имеют форму эллипса.Это один из прорывов Ньютона: гравитационная сила, удерживающая нас на земле, – это та же сила, которая заставляет планеты вращаться вокруг Солнца, а Луну – вокруг Земли.

    Все это показывает, что, когда Ньютон пришел к развитию идеи исчисления и его ориентации на скорость изменения, это стало частью его предыдущей работы. Ему помогло его уже сильное концептуальное понимание физики и движения. Это не было полным отходом от других его работ.И это, пожалуй, лучше всего демонстрирует прямую связь между областью математики и областью физики. По крайней мере, для Ньютона эти двое шли рука об руку. Ньютон использовал скорость изменений, чтобы сформировать основу исчисления, и его пересмотренная теория была опубликована в 1676 году.

    Готфрид Вильгельм Лейбниц – еще один математик, который много работал над использованием чисел для описания природы и движения. Между двумя мужчинами возник спор о том, кто на самом деле первым придумал исчисление и кто был настоящим изобретателем.Хотя Лейбниц действительно придумал жизненно важные символы, помогающие понять математические концепции, работа Ньютона была выполнена примерно на восемь лет раньше, чем работа Лейбница. Оба человека внесли большой вклад в математику в целом и математику в частности. И с тех пор концепция получила дальнейшее развитие.

    Для чего используется исчисление?

    Исчисление используется во всех областях математики, естествознания, инженерии, биологии и многих других. Существует много вопросов, связанных с исчислением, и есть целые отрасли, которые очень сильно полагаются на него.Например, любой сектор, который строит графики и анализирует их на предмет тенденций и изменений, вероятно, так или иначе будет использовать расчет. В частности, есть определенные формулы, которые требуют использования исчисления при построении графиков. А если необходимо точно оценить размеры графика, будет использован расчет. Иногда необходимо предсказать, как линия графика может выглядеть в будущем, с помощью различных вычислений, и это также требует использования исчисления.

    Инженерное дело – это отрасль, широко использующая математические вычисления.Часто приходится создавать математические модели для помощи в различных формах инженерного планирования. То же самое и с медицинской промышленностью. Все, что связано с движением, например разработка транспортных средств, акустика, свет и электричество, также будет в значительной степени использовать вычисления, потому что они невероятно полезны при анализе любых величин, которые меняются с течением времени. Итак, совершенно очевидно, что существует множество отраслей и видов деятельности, в которых для правильного функционирования требуются вычисления. Возможно, прошло около 350 лет с тех пор, как эта идея была изобретена и развита, но ее важность и жизнеспособность не уменьшились с момента ее изобретения.

    Существуют также другие передовые концепции физики, которые основывались на использовании исчисления для дальнейших прорывов. Во многих случаях одна теория и открытие могут служить отправной точкой для других, следующих за ней. Например, Альберт Эйнштейн не смог бы вывести свою знаменитую революционную теорию относительности, если бы не исчисления. Теория относительности – это то, как пространство и время изменяются относительно друг друга, и в результате вычисления являются центральными в теории.

    Кроме того, исчисление часто используется при сборе и анализе данных. Следовательно, социальные науки должны во многом полагаться на математический анализ. Например, подсчет таких вещей, как тенденции рождаемости и смертности, был бы невозможен без использования исчисления. И в экономических прогнозах и предсказаниях, безусловно, очень много исчислений. Экономика функционировала бы совершенно иначе, если бы у нас не было вычислений и других важных математических концепций и изобретений, которые можно было бы использовать для объяснения и предсказания физических наблюдений.

    Нет конца влиянию Исаака Ньютона и его изобретения вычислений на мир.

    Без названия

    Нет Title
    Следующая: Об этом документе

    10 апреля 1997 г.

    = 0pt

    Исчисление

    Сэр Исаак Ньютон
    Родился: 4 января 1643 года в Вулсторпе, Линкольншир, Англия.
    Умер: 31 марта 1727 года в Лондоне, Англия.

    Ньютон заложил основы дифференциального и интегрального исчисления.Его работы по оптике и гравитации сделали его величайшим ученым, которого знал мир.

    Исаак Ньютон (1642-1727) походил, пожалуй, только на Архимеда и Аристотель до него », человек за гранью обычного гения. Он был одним чьи “ сформировали категории человеческого интеллекта ”. Невозможно измерить Ньютон в обычном смысле.

    Если бы он не изобрел исчисление – как его приписывают – он по-прежнему будет одним из великих мыслителей всех времен.

    Его карьера включала вклад в:

    • Оптика – центральное направление научной деятельности. революция. (Декарт также внес здесь свой вклад.) Он отрицал однородность света, свидетельствующая о том, что он сложный и неоднородный.
    • Планетарное движение. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 1687. Фундаментальный труд современной науки. Он включает движение планет и Вселенскую гравитацию .

    В первых разделах книги Principia Ньютон настолько обобщил и прояснил идеи Галилея о движении, что с тех пор мы называем их “ Законы движения Ньютона.

    Затем Ньютон объединил эти законы с законами Кеплера и с законом центростремительного движения Гюйгенса, чтобы установить объединяющий принцип во Вселенной, согласно которому любые две частицы притягиваются друг к другу в соответствии с законом обратных квадратов расстояния.

    Этого предвидел Роберт Гук, а также Эдмунд Галлей. Но концепции Гука были интуитивно понятными. Ньютон убедил мир, унаследовав математику, необходимую для доказательства.

    В 1693 году у Ньютона случился нервный срыв, после чего он существенно отошел от исследований.

    Он также был Мастером Монетного двора после публикации Принципы . Он проявил активный интерес к своим обязанностям и стал бич фальшивомонетчиков, отправляющих многих на виселицу.

    В 1703 году он был избран президентом Королевского общества и принял в роль патриарха английской науки. В 1705 (08? Г.) он был посвящен в рыцари, первый ученый так заслуженный.

    На протяжении многих лет он вел яростные споры с другими учеными, в частности с Роберт Гук и Джон Флемстид.

    Принято считать, что Ньютон разработал исчисление до г. Готфрид Вильгельм Лейбниц серьезно занимался математикой. Это также согласился, что Лейбниц разработал его самостоятельно. Лейбница опубликовано в 1684.

    Схватка приоритета открытий переросла в небольшую войну. Втянулся Ньютон; и как только его гнев был вызван обвинениями в нечестности, его гнев было без ограничений. Поведение Лейбница хоть и неприятно, но побледнело. помимо этого Ньютона.Сказал его помощник Уистон:

    Ньютон был самого пугливого, осторожного и подозрительного нрава, какого я когда-либо знал.

    Математические работы Ньютона включают:

    • степенной ряд – биномиальная теорема
    • потоки – исчисление и основная теорема
    • применения потоков к экстремальным задачам, область задачи
    • алгоритмов использования исчисления
    • понятие предела.

    Работа Ньютона над биномиальной теоремой поистине замечательна. Он начинает, как и Уоллис, с вычисления площадей кривых. , и табулирование результатов. Он заметил Треугольник Паскаля и восстановил формулу

    для натуральных чисел n .

    Теперь, чтобы приступить к вычислению, то есть n = 1/2, он просто применил это соотношение с n = 1/2. Этот конечно, произвела бесконечную серию, потому что члены не прекратить.

    Затем он обобщил функцию формы для любого n .Это дало ему общую биномиальную теорему – но не доказательство.

    Он смог определить степенной ряд для интегрируя ряд для, записанный в виде бинома серии. В современных обозначениях мы имеем

    Теперь интегрируйте, чтобы получить серию

    С его помощью он смог вычислить логарифмы числа ,,, до 50 знаков точности. Затем используя такие удостоверения, как

    он умел вычислять логарифм многих чисел.

    Затем он разработал степенной ряд для и в конечном итоге нашел степенной ряд для использования его метода затронуло уравнения . Причина этого очевидного переворота того, что мы считали порядком открытия, заключается в том, что

    Таким образом, можно применять биномиальные ряды и интегрирование почленно.

    Подтверждения, которых он добился с помощью своего метода степенных рядов, оправдали по его мнению, предельная правильность этой процедуры.Но конвергенция?

    Ньютона не интересовали вопросы конвергенции.

    Ньютон разработал алгоритмы для расчета потоков, определяемых современными терминами как

    для решения проблем:

    • Найдите скорость понятия любого беглого языка.
    • По заданной скорости найти длину пространства в любой момент времени т .

    Он принимает форму f ( x , y ) = 0 и создает дифференциальное уравнение

    используя процедуру Hudde.Его метод включает в себя правило продукта для деривативов.

    Он оправдывает это правило определением момента

    замена и разрешение условий àla Fermat. Обратите внимание, что термин или рассматривается как бесконечно малый.

    В настоящее время одни полностью принимают бесконечно малые величины, тогда как другие полностью отвергают их. То есть бесконечно малое – это реальный объект , а не возможность или удобство выражения !!!!

    Я должен подчеркнуть, что нет никакой теории такого анализа бесконечно малых.Математики просто «летают на месте», просто делают это, и не всех беспокоит грандиозный план Аристотеля / Евклида.

    Чтобы решить вопрос о «длине пространства», Ньютон, если возможно, меняет порядок действий. это первообразный подход. В противном случае он прибегает к силовому ряду.

    Пример. Рассмотреть уравнение

    решается как

    Применяя биномиальную теорему, получаем для плюсового корня

    Следовательно, одно решение

    Другой определяется аналогично.

    Ньютон открыл метод нахождения корней уравнений, который до сих пор остается актуальным. используется сегодня.

    Среди кривых, над которыми работал Ньютон, были декартовы овалы, циссоида, Конхоида, Циклоида, Эпициклоида, Эпитрохоида, Гипоциклоида, гипотрохоид, кривая Каппа и серпентин. Ньютон дал классификацию кубических кривых.

    Ньютон дает методы нахождения нормалей, касательных и экстремальных проблем. области.

    Концепция предела появляется в Принципах как “ предельное соотношение мимолетных количеств ”, которое похоже на наше собственное понятие предела разности частного.Он прилагает некоторые усилия, чтобы успокоить основная масса математиков все еще была привержена греческой геометрии и мысли.

    Изучая лучшие работы того времени, Ньютон пришел к важным новые синтезы. Чтобы развить их в полной мере, он приобрел аналитическое мастерство. техники, непревзойденные для своего времени. Таким образом, он смог получить простые и общие методы по сравнению с кропотливым трудом современников. Ньютон аналитически мыслил в современном понимании . Это был огромный преимущество.

    Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
    Родился: 1 июля 1646 года в Лейпциге, Саксония.
    Умер: 14 ноября 1716 года в Ганновере, Ганновер.

    Лейбниц разработал современные обозначения для дифференциального и интегрального исчисления. Он никогда не считал производную как предел.

    Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) не преследовал математику серьезно до 1672 года, когда он учился у Гюйгенса в Париже.

    В качестве дипломата он совершил две поездки в Лондон, в 1673 и 1676 годах, где, возможно, имел доступ к рукописи Ньютона.

    Только десять лет спустя он начал публиковать короткие статьи по математическому анализу.

    Ранняя карьера Лейбница была посвящена философии и получила признание докторскую степень в 1667 году. Его первоначальной идеей было разработать алгебру человеческого мысль, попытка символизировать мысль и выработать комбинаторную исчисление.

    Лейбниц основал Берлинскую академию в 1700 году и был ее первым президентом. Он в последние годы становился все более и более отшельником.

    Математика Лейбница

    Его первые исследования были с гармоническими треугольниками H .

    Отсюда он заметил, что

    Это означает, что суммы по диагоналям H являются суммами различия. Так например

    Также,

    Умножая на 3, складываем пирамидальные числа

    Важность этих идей заключалась в их применении суммируя различия в геометрии. То есть он видит возможность

    куда

    Лейбниц интерпретировал термин как площадь

    (я.е. ). Это в принципе дает его основную теорему.

    К 1673 году он все еще пытался разработать хорошую систему обозначений для своего исчисления. и его первые расчеты были неуклюжими. 21 ноября 1675 г. он написал в рукописи впервые использованы обозначения. Обозначение было удлиненным S, что, конечно, означало сумму.

    В В той же рукописи дано правило продукта для дифференциации. В правило частного впервые появилось два года спустя, в июле 1677 года. Лейбниц очень серьезно относился к системе обозначений. Он распознает две отдельные ветви.

    Ясность дифференцирования Лейбница была применена к разностному треугольнику, который мы используем сегодня. Из него он выводит сумму, произведение и правила частного, сначала ошибочно. это

    и не

    как он изначально думал.

    В 1684 году он дает правила силы и корни. Цепное правило прозрачен из его обозначений

    В 1684 году он решает задачу, поставленную Дебоном Декарту в 1639 году: чтобы найти кривую, субкасательная которой является константой:

    Лейбниц берет dx = 1 и получает; то есть ординаты пропорционально их приращениям.Итак, кривая логарифмическая (“ экспоненциальная ” в современном понимании).

    В 1695 году он вычисляет дифференциал между y и x . переменные. По предложению Жака Бернулли он решает эту проблему, логарифмируя оба числа. стороны.

    Следовательно

    Лейбниц развивает фундаментальную теорему: можно найти кривую z так что dz / dx = y . Это дается

    К 1690 году Лейбниц обнаружил большинство идей в современных текстах по математике. книги.

    Лейбница больше интересовало решение дифференциальных уравнений, чем поиск области. Среди них он выводит и решает знакомое дифференциальное уравнение для функции синус . Он разработал метод разделения переменных .

    Среди кривых, над которыми работал Лейбниц, были Astroid, Catenary, Циклоида, Эпициклоида, Эпитрохоид, Гипоциклоида, Гипотрохоид, полукубическая парабола и Трактрикс.

    РЕЗЮМЕ

    Наше современное исчисление гораздо больше похоже на исчисление Лейбница, чем Ньютона. Возможно, из-за нежелания Ньютона публиковать версию Лейбница. стал более известным на континенте. Расчет Лейбница был несколько легче понять и применить. Это стоило английской математике почти век изоляции от континента и вытекающий из этого прогресс.

    Первые тексты исчислений:

    L’Hospital, Analyze des Infiniment Petits four l’intelligence des lignes courbes, 1696 Он делает фундаментальные утверждения в начале своего текста, которые проясняют, что он предполагает, что бесконечно малые являются реальными объектами, хотя и сколь угодно малыми.

    Хамфри Диттон (1675-1715) Учреждение флюксий , 1706

    Чарльз Хейс (1678-1760) Трактат о флюксиях , 1706.





    Далее: Об этом документе
    Дон Аллен
    Чт 10 апреля 06:59:18 CDT 1997
    .
  • Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *