Материальная точка формула: Материальная точка, теория и онлайн калькуляторы

Содержание

Материальная точка в физике

Для описания движения тела нужно знать, как движутся различные его точки. Однако в случае поступательного движения все точки тела движутся одинаково. Поэтому для описания поступательного движения тела достаточно описать движение одной его точки.

Также во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно описывать как точку.

Слово «материальная» подчеркивает здесь отличие этой точки от геометрической. Геометрическая точка не обладает никакими физическими свойствами. Материальная точка может обладать массой, электрическим зарядом и другими физическими характеристиками.

Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других – нет. Так, например, рассматривая движение корабля из одного морского порта в другой, корабль можно считать материальной точкой. Однако, при исследовании движения шарика, который катится по палубе корабля, корабль считать материальной точкой нельзя.

Движение зайца, убегающего по лесу от волка, можно описывать, приняв зайца за материальную точку. Но нельзя считать зайца материальной точкой, описывая его попытки спрятаться в нору. При изучении движения планет вокруг Солнца их можно описывать материальными точками, а при суточном вращении планет вокруг своей оси такая модель неприменима.

Важно понимать, что в природе материальных точек не существует. Материальная точка – это абстракция, модель для описания движения.

Примеры решения задач по теме «Материальная точка»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

1 Динамика материальной точки – Динамика материальной точки

Лекция 1. Динамика материальной точки.

1. 1. Основные понятия

Классическая механика создана в XVII в. Галилео Галилеем (1564–1642), Рене Декартом (1596–1656), Христианом Гюйгенсом (1629–1695) и другими учеными XVII века. В  конечной форме классическая механика  сформулирована Исааком Ньютоном (1642–1727). Ньютон изложил основы классической механики в более строгой, систематической и законченной форме, чем его предшественники, поэтому классическую механику называют «механикой Ньютона».

В динамике изучаются механические движения (т. е. перемещения) материальных объектов под действием сил.

Сила считается в механике основным понятием. Силы не являются в механике какими-либо самостоятельными сущностями, независимыми от материальных тел. Они создаются материальными телами и полями. Поэтому можно сказать, что посредством сил материальные тела действуют друг на друга, т.е. взаимодействуют. Сила при этом выступает как векторная количественная мера интенсивности взаимодействий.

Силы не только изменяют скорость движения материальных тел, но и вызывают их деформации. Наиболее простым и наглядным примером деформированного тела является сжатая или растянутая пружина.

Движение материальных объектов всегда следует рассматривать относительно определенной системы отсчета. Оно совершается в пространстве с течением времени. В классической механике, в основу которой положены аксиомы Ньютона, пространство считается однородным, изотропным трехмерным евклидовым пространством. Если тело не меняет своей формы и размеров при параллельном переносе, – значит пространство однородно, в нем нет выделенных точек. Если тело не меняет формы и размеров при вращении, значит пространство изотропно, в нем нет выделенных направлений. Движение в однородном изотропном пространстве не меняет формы и размеров тела – оно меняет лишь его положение относительно системы отсчета.

В евклидовом пространстве координаты подчиняются евклидовой геометрии, т. е. геометрии, основанной на системе аксиом, постулатов и теорем, сформулированных Эвклидом в III веке до н.

э. Основой эвклидовой геометрии является постулат о “параллельных” прямых. Согласно этому постулату, через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной. Из этого постулата вытекает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам и ряд других утверждений.

Рекомендуемые материалы

Николай Лобачевский (1793–1856) в 1826 г. предположил, что может существовать другая геометрия, в которой допускается существование бесчисленного множества прямых, не пересекающих данную и проходящих через взятую вне ее точку. В геометрии  Лобачевского сумма углов треугольника меньше двух прямых углов.

Бернхард Риман (1826–1186) в 1854г. сформулировал другую неэвклидову геометрию, в которой через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной прямой, не пересекающей данную; иными словами, любые две параллельные линии обязательно пересекутся. Геометрия Римана отказывает параллельным линиям в существовании. В этой геометрии сумма углов треугольника больше двух прямых углов; различные перпендикуляры к прямой не параллельны (как в эвклидовой геометрии), и не расходятся (как в геометрии Лобачевского), а пересекаются.

Основные законы движения

Инерциальная система отсчета

Начиная с Аристотеля (384–322 г. до н. э.) считалось, что движение тела всегда поддерживается некоторой действующей причиной и, как правило, только эта причина иссякает, тело немедленно останавливается. Только в XVII в. появилась и победила концепция движения, согласно которой движение по инерции, т. е. прямолинейное и равномерное движение тела, представляет собой неизменное состояние и не требует какой-либо поддерживающей силы. Тело, предоставленное самому себе, сохраняет неизменное состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, иными словами, сохраняет постоянную скорость – нулевую или конечную. Сформулировал принцип инерции итальянский ученый Галилео Галилей.

В различных системах отсчета математическая форма законов природы различна, однако существуют так называемые инерциальные системы отсчета, в которых эти законы имеют наиболее простой вид.

Инерциальной системой называются система отсчета, в которой  материальная точка при отсутствии действующих на нее сил взаимодействия, движется прямолинейно и равномерно, т. е. системы, для которой справедлив принцип инерции Галилея.

Принцип инерции Галилея устанавливает, что всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут его из этого состояния, т.е. состояния покоя и состояния прямолинейного и равномерного движения неразличимы

. С достаточной точностью такой инерциальной системой можно считать гелиоцентрическую систему координат. В большинстве технических задач инерциальная система отсчета может быть связана с Землей.

Механика Ньютона пользуется некоторыми приближенными представлениями. К ним принадлежат представления о материальной точке, механической системе, абсолютно твердом теле.

Чтобы определить положение тела в пространстве одним числом на линии, двумя – на поверхности, тремя – в трехмерном пространстве, нужно рассматривать это тело как точку, т. е. игнорировать его размеры. Считая тела материальными точками, можно говорить о расстоянии между телами как об одной величине.

Объектом изучения в динамике являются:

· материальная точка – тело конечной массы, положение и движение которого в пространстве можно определять как для объекта, не имеющего размеров, т.е. геометрической точкой. Это условие выполнено, если при изучении движения можно пренебречь размерами тела и его вращением. Можно или нельзя принять материальное тело за материальную точку, зависит от конкретной задачи;

· механическая система (или просто система) – выделенная каким – либо образом совокупность материальных точек;

· абсолютно твердое тело (или просто тело) – механическая система, расстояние между точками которой  не меняется.

Абсолютно твердое тело является моделью материального тела.

Механика рассматривает сначала движение отдельной материальной точки, а затем переходит к системам материальных точек – абсолютно твердым телам, и к механическим системам, состоящим из конечного числа отдельных материальных точек, связанных между собой определенными взаимодействиями.

Чтобы ответить на вопрос,  как изменяется скорость тела, если на него действует сила, Исаак Ньютон сформулировал три закона.

1. 2. 1.    Первый закон Ньютона

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.

Под телом здесь подразумевается материальная точка. Сила определяется как причина, изменяющая равномерное и прямолинейное движение материальной точки. За меру силы Ньютон принял то ускорение, которое эта сила вызывает. Поэтому в механике эта сила называется ускоряющей. Первый закон Ньютона еще называют законом инерции. Под инерцией понимают способность тела сохранять свое движение или состояние покоя при отсутствии сил или изменять это состояние под действием силы.

1. 2. 2. Второй закон Ньютона

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на вектор ее скорости –  .

Изменение количества движения пропорционально приложенной силе, направление вектора изменения количества движения совпадает с линией действия этой силы.

Математически этот закон записывается в виде векторного уравнения

                                                    (1.1)

где m – масса движущейся точки; – скорость движущейся точки;  –  сила. Считая массу материальной точки величиной постоянной, второй закон Ньютона можно представить в виде формулы:

,                                                          (1.2)

т.е. ускорение , которое получает материальная точка, пропорционально действующей на точку силе. В таком виде в 1736г. основной закон записан Леонардом Эйлером (1707–1783).

Масса m входит в это уравнение, как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением. Масса является характеристикой инертного свойства материальной точки, т. е. способности ее под действием заданной силы получать определенное ускорение. Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе – главному вектору , равному геометрической сумме этих сил. Тогда закон (1.2) примет вид

                                              (1.2а)

Этот же результат можно получить, используя вместо аксиомы параллелограмма аксиому независимого действия сил.

Аксиома. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки, относительно инерциальной системы отсчета, от действия каждой отдельной силы, не зависит от наличия других приложенных к точке сил и  равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

Второй закон (основной закон динамики) остается справедливым и для несвободной материальной точки, на которую наложены связи. Следует только отбросить связи, заменить их реакциями связи и  в число приложенных внешних сил включить силы реакций связей.

1. 2. 3. Третий закон Ньютона

Действию всегда есть равное противодействие, другими словами – действия двух материальных точек друг на друга всегда равны по модулю, направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки (линии действия).

Законы (аксиомы) классической механики хорошо согласуются с результатами опытов для скоростей, много меньших скорости света в пустоте (V<<C, С – скорость света). Для скоростей порядка скорости  света  (VC), следует применять механику специальной теории относительности. Размеры тела должны быть много больше межатомного расстояния в твердом теле, т.е. >>, здесь . Для тел, размеры которого  L ~, следует применять квантовую механику.

Системы единиц. Для измерения всех механических величин достаточно ввести три основные единицы измерения: единицу длины, единицу времени и единицу измерения массы или силы. В международной системе единиц измерения физических величин (CИ), основными являются метр (м), секунда (с), килограмм массы (кг). Единицей измерения силы является производная единица – 1 Ньютон (Н); 1Н это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1(1Н=1).

1. 3. Две основные задачи динамики точки

В динамике точки рассматривают две основные задачи.

Первая задача: В некоторой системе отсчета заданы уравнения движения материальной точки массой m. Требуется определить силу или силы, под действием которых происходит это движение.

Вторая задача: На материальную точку массой m действует сила, определенная в каждой точке пространства; требуется определить уравнение движения материальной точки, происходящее под действием этой силы.

1. 3. 1. Первая задача динамики

Зная массу точки и ее уравнение движения, можно найти действующую на точку силу.

А. Уравнения движения точки в декартовых координатах

Действительно, если заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

,

то проекции силы на оси координат определяются из уравнений (1.2)

                      (1.3)

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов силы с осями координат.

Пример 1. Груз спускается вниз по шероховатой  наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, двигаясь согласно уравнению . Определить модуль силы трения скольжения груза о плоскость.

Решение. Совместим ось x c направлением движения тела. К грузу приложены три силы: сила трения , реакция поверхности  и вес тела(рис. 1.1).

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

.                             (а)

Так как , то , уравнение (а) примет вид

,

откуда

.

Следует отметить, что решение накладывает ограничения на условия задачи и справедливо только, когда

Пример 2. Материальная точка массы m движется согласно уравнениям , . Определить силу , вызывающую это движение, если известно, что сила зависит только от положения точки, т.е. .

Решение. Уравнение траектории движения, согласно заданным уравнениям движения: , т. е. точка вращается по окружности против часовой стрелки (рис. 1.2). Совместим систему координат с центром окружности и составим уравнение (1.3) в проекциях на оси получим:

Модуль силы

,

где r – модуль радиус-вектора материальной точки  (рис. 1.2).

Направление силы  определяем по направляющим косинусам:

.

.

Так как величины  и  определяют углы, образуемые соответственно осями х и у с радиус-вектором  ,  то сила  направлена от точке М к центру окружности  (рис. 1.2). Такая сила называется центральной.

Б. Естественные уравнения движения

Если точка движется по известной траектории, радиус кривизны которой известен, то следует использовать в качестве системы координат   оси естественного трехгранника (трехгранник Френе). Такие оси, как известно из кинематики, называются естественными осями координат . Проекции ускорения точки на естественные оси имеют вид

.

Обозначая проекции сил на естественные оси  через , , , получим закон движения материальной точки в проекциях на эти оси

                   (1.4)

Из этих уравнений видно, что  > 0 и = 0. Таким образом, сила, действующая на материальную точку, всегда расположена в соприкасающейся плоскости к траектории движения точки и направлена в сторону вогнутости траектории.

 Пример 3. Вездеход массой  2000 кг движется по оврагу с постоянной скоростью . Определить давление вездехода на дно оврага, когда радиус кривизны . Силой сопротивления движению пренебречь.

Решение. Примем вездеход за материальную точку, тогда на нее действуют две силы:  вес  и  реакция грунта(рис. 1.3). Направим ось  по горизонтали в сторону движения, а ось n по вертикали вверх.

 Составим  уравнения (1.4), учитывая, что  поскольку .

Закон движения точки примет вид

,

.

Откуда

Здесь учтено, что

.

Отметим, что давление вездехода на дно оврага больше его веса . Следовательно, чтобы уменьшить давление на грунт, необходимо снизить скорость.

Если вездеход будет двигаться по холму (рис. 1.4), то направление нормальной составляющей ускорения  будет совпадать с направлением веса вездехода .

Тогда

,

.

В этом случае давление вездехода на грунт будет меньше веса. Следовательно, для уменьшения давления на грунт нужно увеличить скорость.

Из примеров видно, что первая задача динамики сводится к чисто кинематическим расчетам.

1. 3. 2. Вторая задача динамики

По заданной массе и действующей на точку силе можно определить уравнения движения этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. В общем случае сила  является функцией многих переменных. Проецируя (1.2) на декартовы оси, получим

                                (1.5)

если рассматривать случай зависимости силы только времени, координат и скорости.

Законы движения материальной точки представляют собой систему трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций  х(t), у(t), z(t), где независимым параметром  является время t.

Общий интеграл этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных. Функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям движения точки и содержащие шесть произвольных  постоянных интегрирования, называются общим решением дифференциальных уравнений  движения свободной точки и записываются в виде

В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи:

                (1.6)

где , , – координаты движущейся точки; , ,  – проекции ее скоростей (рис. 1.5).

Подчинив найденные первые и вторые интегралы дифференциальных уравнений (1.5) начальным условиям задачи (1.6), вычисляют все шесть постоянных интегрирования. Начальные условия задачи определяют единственное решение системы дифференциальных  уравнений.

Интегрировать уравнения движения (1.5) можно с помощью определенных интегралов. Тогда нижние пределы интегрирования будут соответствовать значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т. е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования будут соответствовать значению интегрируемых величин при текущем времени t.

1. 3. 3. Основные виды прямолинейного движения точки

При прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль траектории точки. Совместим ось Ox с траекторией движущейся точки,  тогда дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, согласно (1.5), имеет вид 

                                            (1.5а)

Начальные условия задачи задают в виде:

при .

Наиболее простыми и интересными примерами прямолинейного движения материальной точки являются примеры, когда сила зависит от одного параметра.

Рассмотрим конкретные примеры на составление и интегрирование дифференциального уравнения (1.5а). Эти примеры позволят выявить некоторые особенности в решениях таких задач.

1. Постоянная сила

 

Пример 4. В результате полученного толчка тело весом mg начало скользить вниз с начальной скоростью  по шероховатой поверхности, расположенной под углом  к горизонту (рис. 1.6). Определить путь, пройденный телом за время , если коэффициент трения скольжения тела по поверхности равен .

Решение. Направим ось х вдоль наклонной поверхности (рис. 1.6). Совместим начало отсчета на оси х с положением тела в начальный момент времени.

Начальная скорость  направлена вдоль оси х вниз, следовательно, начальные условия задачи имеют вид

.

Тело не является свободным. Мысленно отбросим наклонную поверхность и заменим ее действие на тело реакцией . Реакция шероховатой поверхности  имеет две составляющие: нормальную  и силу трения  (и направлена перпендикулярно поверхности, сила  направлена в сторону, противоположную предполагаемому движению).

Запишем закон движения (1.5а):

и после сокращения на m , получим

.                                       (а)

Согласно определению ускорения  = , тогда (а) запишем как

.                                    (б)

Получили линейное дифференциальное уравнение с неразделенными переменными. Для разделения  переменных помножим правую и левую части уравнения  (б) на dt,

.

Проинтегрируем  правую и левую части последнего уравнения с учетом заданных начальных условий (). Нижние пределы интегрирования правой и левой части уравнения соответствуют значениям интегрируемых величин при  t = 0, верхние пределы интегрирования  – соответствуют значениям интегрируемых величин при текущем времени t,  т.е.

.

Вычислим интегралы

.

Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим

.

Разделяя переменные

.

Проинтегрируем полученное уравнение с учетом заданных начальных условий (t = 0, x = 0):

.

Вычисляя, получим

.

Подставив заданное значение   и = 4, получим путь, пройденный телом за 2с:

2. Сила зависит от координаты (например, силы упругости)

Пример 5. Груз весом mg прикреплен к правому концу пружины, левый конец которой закреплен в стене (рис. 1.7). В начальный момент времени груз оттянули вдоль гладкой поверхности на величину  и отпустили. Найти уравнение движения груза, если сила упругости пружины равна .

 Решение. Запишем начальные условия задачи:

.                            (а)

Составим дифференциальный закон движения (1.5а):

или

.                                                       (б)

Для разделения переменных в (б), скорость нужно определить как функцию от координат,  т. е. .

Тогда

.                             (в)

Подстановка (в) позволит исключить из дифференциального уравнения (б) время:

.

Разделим переменные: умножим обе части этого уравнения на dx:

.

Вычисляя интегралы от обеих частей уравнения с учетом начальных условий (а), получим

.

Вычислим интегралы

.

Находим

.                                            (г)

Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим

.

Разделим переменные: умножим на dt и поделим на  правую и левую части и затем проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий (а):

.

Вычислим правый и левый интегралы:

или

.                        (д)

Известно, что , тогда уравнение движения (д) примет вид

Из полученного уравнения видно, что тело будет совершать гармонические колебания с амплитудой  (рис. 1.7).

3. Сила зависит от времени

Пример 6. Груз весом  начинает двигаться прямолинейно из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной поверхности под действием силы , направленной вдоль оси ox. Вычислим  уравнение движения груза.

Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось oх в сторону предполагаемого движения (рис. 1.8).

Начальные условия задачи имеют вид:

при , ,.

Составим  закон движения груза (1.5а):

.

Разделим переменные по известной схеме и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий задачи

,

откуда

.                                                     (а)    

Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим

.

Разделим переменные (помножим правую и левую части уравнения наи проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий

.

Вычисляя интегралы в правой и левой части уравнения, получим уравнение движения груза

.

4. Сила зависит от скорости

Пример 7. Точка массой m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха , где k – положительная константа, которая зависит от плотности среды и площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (рис. 1.9). Найти уравнение движения точки.

Решение. Направим ось х вертикально вниз, выбрав за начало координат положение точки в нулевой момент времени, т.е.  (рис. 1.9). В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы  и . Составим дифференциальный закон движения (1.5а)    

.

Сократив на m правую и левую части уравнения и заменим  на , получим 

.                                          (а)        

Разделим переменные, помножим на dt и разделим на  правую и левую части (а). Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий:

.

Вычисляя интегралы, получим

,

откуда  

 

 или 

  ,                                    (б)

поскольку  lg1=0.

Потенцируя уравнение (б) и далее решая относительно V, имеем

,

 откуда  

.                                        (в)

Переходя к пределу при , получим предельную скорость падения тела:

.

Предельную скорость можно получить проще из условия максимума скорости, т.е. равенства нулю ускорения (а):

Скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро (рис. 1.10). Величина скорости зависит от значения константы k. Если не учитывать  сопротивление среды (k=0), то предельного значения скорости нет:  пунктирная кривая на (рис. 1.10); при увеличении константы k , предельная скорость уменьшается.

На (рис. 1.11) показано  падение тела массой  с высоты без парашюта (k0,003) ­­–  кривая В и с парашютом (k0,4)  – кривая С. Если начальная скорость падения тела не нулевая (например ), то при падении тела с парашютом (k0,4), скорость быстро затухает до своего критического значения – пунктирная кривая кривая D на (рис. 1.11).

Продолжим вычисление уравнения движения падающей точки. Заметим, что правую часть выражения (в) можно представить через гиперболический тангенс (th х):

.

Тогда выражение (в) можно записать как

.

Подставим вместо V ее значение , разделяя переменные и интегрируя правую и левую части, получим

,

или

.

Итак, уравнение движения падающей точки имеет вид

.

Здесь ch х – гиперболический косинус.

Замечание. При вычислении интегралов полезно пользоваться таблицей интегралов.

1. 4. Криволинейное движение точки

Одним из наиболее важных приложений законов движения свободной материальной точки является задача о движении точки под действием силы тяжести в плоскости. Рассмотрим движение материальной точки, на которую действует сила тяжести с учетом и без учета сопротивления среды.

1. 4.1. Движение материальной точки в пустоте

Рассмотрим движение материальной точки, на которую действует только сила тяжести (сила, имеющая постоянную величину и направление).

Выберем неподвижную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением точки, а ось y направим вертикально вверх. Ось x расположим в плоскости движения (рис. 1.12)

Начальная скорость точки  образует угол  с осью x. Тогда начальные условия задачи запишутся

            (1.7)

Составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси координат. На точку действует сила тяжести, направленная по вертикали вниз. Тогда дифференциальные уравнения движения точки в плоскости имеют  вид

          (1.8)

Интегрируя первое уравнение  (1.8) с учетом начальных условий  (1.7), имеем

Интегрируя второе уравнение (1.8) с учетом начальных условий  (1.7), имеем

Интегрируя третье уравнение (1.8) с учетом начальных условий  (1.7) имеем

Из полученных уравнений видно, что точка движется в соприкасающейся плоскости xoy, согласно уравнениям движения

  

.          (1.9)

Проведем исследования уравнений движения точки (1.9). Исключим из них  параметр t (время), получим уравнение траектории движения в явном виде

,                                    (1. 10)

которое представляет собой уравнение параболы. Вершина параболы может быть определена из условия

,

т.е.                        

,

откуда

.                                   (1.11)

Дальность полета по горизонтали ОА (рис. 1.11), за счет симметричности траектории, равна

 .       (1.12)

Из выражения (1.12) видно, что

· при углах  и  тело падает в одну и ту же точку, т.к. ;

· максимальная дальность полета обеспечивается при , т.е. при , тогда максимальная дальность полета ОС (рис. 1.11) равна

.                                                        (1.13)

Подставляя значение  в уравнение траектории (1.10), определим ординату вершины

  (1.14)

Из (1.14) видно: максимальная высота полета ОД (рис. 1.12) обеспечивается, когда , т. е. при , и равна

.                                                   (1.14,а)

Отметим, что расстояние от начала координат до максимально возможной высоты полета зависит только от величины скорости.

Определим время , в течение которого тело поднимается вверх. Для этого достаточно решить уравнение , т.к. в тот момент, когда  достигнет наибольшего значения, проекция скорости на эту ось равна нулю, т.е.

Итак, используя второе уравнение из (1.9), имеем

,

откуда

.                                                      (1”)

Полное время полета  определим исходя из того, что полет прекращается в тот момент, когда . Пользуясь первым уравнением в (1.9) и (1.12), находим

,

 откуда 

.                                                        (2”)

Сравнивая выражения (1”) и (2”), видно, что при любом угле наклона броска материальной точки полное время  полета в 2 раза больше времени  подъема.

1. 4 .2.Парабола безопасности

Проведем исследование движения тела (1.9) меняя углы наклона начальной скорости . Если при заданном значении начальной скорости  тела менять угол наклона начальной скорости  (формулы (1.9 – 1.10)), то получим множество разных траекторий снаряда (рис. 1.13).

Максимальная дальность полета снаряда по горизонтали  достигается при =450, а максимальная высота полета равна при =900.

Уравнение параболы, проходящей через точки D и С (рис. 1.13), имеет вид

.                                         (1.15)

Эта парабола называется  параболой безопасности.

При этом все траектории, отвечающие значениям , заключенным в интервале , будут находиться внутри этой параболы.

Действительно, решая совместно уравнения (1.10) и (1.15), находим, что соответствующие линии (траектория полета и парабола безопасности) имеют единственную общую точку с координатами

1. 4. 2.  Движение снаряда в сопротивляющейся среде

Рассмотрим задачу о полете снаряда, выброшенного из орудия с начальной скоростью  под углом  к горизонту. Примем точку вылета из ствола за начало координат, ось у направим вертикально вверх, ось х будем считать горизонтальной (рис. 1.14).

Силу сопротивления воздуха примем пропорциональной скорости, т.е.

. Для определенности предположим, что начальная скорость  располагается в плоскости хoу.

Дифференциальный закон движения точки имеет вид

                                                     (1.16)

Вектора  и  в формуле (1.16) имеют, в общем случае, по три проекции:  и .

Тогда проекции векторного уравнения (1.16) на декартовы оси координат,  имеют вид

 (1.16,а)

На снаряд действуют две силы: сила тяжести снаряда , направленная вдоль оси у вниз, и сила сопротивления , направление которой противоположно направлению скорости (рис. 1.14); их равнодействующая , (сила, действующая на снаряд), равна их геометрической сумме этих сил:

.

Проекции силы  на декартовы оси координат, запишутся

. (1.17)

Тогда уравнения движения (1.16,а), учитывая (1.17), примут вид

.      (1.18)

Запишем начальные условия задачи:

при t = 0, 

    (1.19)

где  – модуль начальной скорости снаряда.

После преобразования и сокращения на m, дифференциальные уравнения (1.18) примут вид

                    (1.20)

Получили дифференциальные уравнения с неразделенными переменными.

Разделим переменные в каждом из уравнений (1.20):

Проинтегрируем каждое из этих уравнений, с учетом начальных условий (1.19), получим

 

После потенцирования уравнений, имеем:

                  

Подставляя значения начальных условий задачи  (1. 19), получаем

       (а)

Последние формулы дают возможность определить скорость снаряда в любой момент времени. Из них следует, что снаряд летит в плоскости хОу, поскольку .

Для определения перемещений х и у вдоль координатных осей воспользуемся тем, что . Тогда, уравнения (а) примут вид

 (б)

Уравнения (б) снова разделились: первое из них связывает неизвестную функцию , а второе – функцию .

Разделяя переменные в уравнениях (б) и интегрируя с учетом начальных условий (1.19), находим:

Получили уравнения движения точки в плоскости в виде

              (1.21)

Формулы (1.21) дают возможность определить положение снаряда в любой момент времени.

На (рис. 1.15) представлены траектории движения снаряда с различными коэффициентами k, т.е. в средах различной плотности.

Путем предельного перехода при , получим уравнения движения снаряда под действием одной силы тяжести. Обозначим координаты в этом случае  и . При вычислении пределов используется формула разложения в ряд экспоненты

.

Для х(t) из (1.21) получаем

Бесплатная лекция: “2.1 История развития конфликтологических идей” также доступна.

Прежде чем переходить к пределу в  из (1.21), преобразуем выражение:

Тогда

Получили уравнения движения точки под действием одной силы тяжести, которые соответствуют полученным раньше (1.9).

Отметим, что траектории движения тела (1.21) не являются в точности параболами. В действительности траектории еще сложнее, поскольку снаряд при движении испытывает сопротивление воздуха; ускорение свободного падения g зависит от высоты над поверхностью Земли; определенные поправки в процесс попадания снаряда в цель вносит вращение Земли.

 При решении реальных задач всегда пренебрегают теми или иными факторами. Так, если при небольшой начальной скорости тела ()  роль сопротивления воздуха невелика, то при больших , например, при ,  сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя; сопротивление воздуха уменьшает дальность полета снаряда от получающегося по формуле (1. 11) значения 61 км  до 22,2 км по формулам (1.21).

Движение материальной точки под действием центральных сил с примерами решения

Движение материальной точки под действием центральных сил

Основные положения

Рассмотрим движение материальной точки, находящейся под действием силы, линия действия которой все время проходит через неподвижную точку , принимаемую за начало координат. Такая сила, называемая центральной, может либо притягивать материальную точку к неподвижному центру , либо отталкивать ее от этого центра.

Отталкивающую силу условимся считать положительной, а притягивающую— отрицательной. Выше было установлено, что точка, движущаяся под действием центральных сил, описывает плоскую траекторию. Поэтому всегда можно систему неподвижных осей выбрать так, чтобы плоскость движения точки совпадала с плоскостью . В дальнейших рассуждениях координаты движущейся материальной точки будем обозначать через и .

Так как для центральной силы момент относительно центра силы всегда равен нулю, движение будет происходить по закону площадей и будет подчиниться закону площадей

Здесь в левой части имеем момент вектора скорости точки относительно начала координат, поэтому постоянная по величине равна удвоенной площади треугольника (рис. 152), основанием которого служит вектор скорости точки, а вершина находится в центре сил. Другими словами

где — длина перпендикуляра, опущенного на линию действия вектора скорости точки.

Движение точки, вызываемое центральными силами, называют центральным движением. При изучении центральных движений бывает удобно ввести в рассмотрение полярные координаты точки и при помощи формул преобразования

Тогда, полагая, что за время полярный угол изменится на величину , а полярный радиус — на величину , получим с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка приращение заметаемой полярным радиусом площади за время

Удвоенная секторная скорость будет равна

Кроме теоремы об изменении момента количества движения для исследования движения можно применить теорему живых сил, которая в данном случае запишется в виде

Если к тому же центральная сила зависит только от положения материальной точки и обладает силовой функцией, то существует интеграл живых сил

Таким образом, два первых интеграла — интеграл площадей и интеграл живых сил будут определять движение материальной точки, находящейся под действием центральной силы.

В задачах небесной механики применяется еще один векторный интеграл уравнений движения материальной точки, находящейся под действием центральных сил — интеграл Лапласа. Этот интеграл имеет место для центральной силы притяжения материальной точки к неподвижному центру, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния материальной точки до притягивающего центра. Такую силу принято называть силой ньютонианского тяготения

Здесь — масса материальной точки; — коэффициент пропорциональности. Уравнение движения материальной точки в векторном виде после сокращения на можно записать так:

Если еще обозначить через с вектор момента количества движения материальной точки, разделенный на массу

(вектор, перпендикулярный к плоскости движения материальной точки), то можно будет рассмотреть векторное произведение

Но так как

Отсюда следует еще один первый векторный интеграл уравнений движении материальной точки в случае центральных движений

который называется вектором Лапласа. Можно показать, что интеграл площадей, интеграл живых сил и вектор Лапласа не являются независимыми величинами.

  • Формулы Бине дают некоторые удобства при рассмотрении центральных движений. Для получения этих формул рассмотрим скорость движения материальной точки в полярных координатах

Определив из интеграла площадей

представим выражение для скорости в виде

Если же сделать замену

то выражение для скорости приобретет вид

Полученная формула называется первой формулой Б пне для определения скорости материальной точки Формула позволяет определять скорость материальной точки, движущейся в центральном силовом поле, если известна траектория точки

и ее секторная скорость.

Вернемся к теореме живых сил, которую запишем в виде

Разделив обе части этого равенства на и подставляя сюда выражение скорости, полученное из первой формулы Вине, найдем

Подставляя в левую часть

и сокращая на

получим

Эта формула носит название второй формулы Бине для определения центральной силы, действующей на материальную точку, если известны траектория точки и ее секторная скорость.

Формулы Бине позволяют разрешать и обратную задачу — нахождение тректорнн точки по заданной центральной силе, действующей на эту точку. В этом последнем случае задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка.

Пример:

Материальная точка массой описывает окружность радиуса . Какой должна быть центральная сила, если ее центр находится на окружности (рис. 153)?

Решение:

За полярную ось примем диаметр окружности, проходящий через центр силы. Тогда уравнение траектории запишется в виде

Вычислим производные от

Подставляя эти значения в формулу Бине для силы, будем иметь

откуда видно, что на точку действует центральная сила притяжения, обратно пропорциональная пятой степени расстояния точки от притягивающего центра Величина силы зависит от закона движения точки по траектории. Если предположить, что » наиболее удаленной точке траектории скорость равна , то постоянная площадей и для силы получим значение

Пример:

Точка описывает эллипс

под действием силы притяжения к сто центру. Определить эту силу.

Решение:

Введем полярные координаты

Тогда, заменив и в уравнении эллипса, получим

Вычислим производные от

Подставляя эти значения в формулу Бине для силы, будем иметь

после приведения подобных членов

Сила будет полностью определена, если будет известен закон движения точки, для чего достаточно определить постоянную площадей.

  • Задача о движении планет в течение многих лет является . одной из наиболее замечательных задач небесной механики, позволяющей определять положения небесных тел. С развитием исследований космоса эта задача получила новое значение в связи с тем, что свободные движения космических аппаратов совершаются по законам движения планет.

Законы движения планет были открыты выдающимся немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571—1630), установившим эти законы на основании экспериментальных данных. Будучи изгнанным из Германии, Кеплер долго работал в Праге со знаменитым астрономом Тихо-Браге (1546—1601). Законы движения планет Кеплер установил, обрабатывая многочисленные наблюдения Тихо-Браге над планетой Марс.

Законы Кеплера

Все планеты и кометы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце.

  1. Площади, описываемые радиус-векторами планет относительно Солнца, пропорциональны временам движения планет.
  2. Для планет, движущихся по эллипсам, квадраты звездных времен обращения пропорциональны кубам больших полуосей, т. е.

Законы Кеплера давали вполне ясную картину движения планет и показывали, что мир планет представляет собой стройную систему, управляемую единой силой, связанной с Солнцем. Но установить закон действия силы тяготения к Солнцу Кеплер не мог, так как еще не были известны основные законы механики. Впервые силу, действующую на планеты, определил Ньютон. Первые исследования Ныотона по этому вопросу относятся, по-видимому, к 1666 г., но окончательные результаты были опубликованы в 1687 г. в сочинении «Математические начала натуральной философии». Все свои рассуждения Ньютон проводил сложным геометрическим методом. При выводе закона тяготения будем пользоваться формулами Бине.

а) Вывод закона тяготения из законов Кеплера. Из второго и первого законов Кеплера следует, что сила, действующая на планеты, центральная, причем ее центром является Солнце. Из закона площадей

Определяя ускорения из уравнений движения

получим

т. е. момент силы относительно начала координат равен нулю и, следовательно, эта сила центральная.

Первый закон Кеплера определяет орбиту и дает возможность определить силу при помощи формул Бине. В самом деле, записав полярное уравнение эллипса

где — эксцентриситет эллипса

( и — большая и малая полуоси эллипса), а — фокальный параметр, и подставляя это значение во вторую формулу Бине, будем иметь

Таким образом, центральная сила, действующая на планету, — притягивающая и обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца. Величина удвоенной секторной скорости определяется из закона движения планеты.

Представим силу, действующую на планету, в виде

и покажем, что действующая сила прямо пропорциональна массам планет. Для этого предварительно необходимо показать, что величина одинакова для всех планет. Но величину можно представить в виде

Принимая во внимание, что за период обращения радиус вектор планеты заметает всю площадь эллипса, получим

Отношение по третьему закону Кеплера постоянно для всех планет, откуда следует и постоянство для всех планет солнечной системы. Если же положить, что где — масса Солнца, то сила, действующая на планету, может быть представлена в виде

Величина также постоянна для всех планет солнечной системы. Она называется гравитационной постоянной, а сама величина называется постоянной Гаусса. В системе

Полученный закон взаимного притяжения тела оказался справедливым не только для планет, но и вообще для всех тел природы.

б) Прямая задача Ньютона. Определение орбиты по заданной силе. После установления закона всемирного тяготения Ньютон обратился к следующей задаче:

Найти движение материальной тонки (планеты), притягиваемой неподвижным центром (Солнцем) с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния точки от притягивающего центра.

При решении этой задачи можно исходить непосредственно из законов движения материальной точки и искать решение последовательными интегрированиями. Удобнее исходить из первых интегралов уравнений движения. В рассматриваемом случае существует два первых интеграла уравнений движения: интеграл живых сил и интеграл площадей. Первый из них имеет вид

где — произвольная постоянная, определяемая из начальных условий. Разделив обе части равенства на , будем иметь

Определяя значение скорости с помощью первой формулы Бине, получим

Это равенство получено из интеграла живых сил и выполняется во все время движения. Из него следует, что правая часть должна оставаться неотрицательной во все время движения, что возможно только тогда, когда

откуда следует, что

При помощи подстановки

введем новую переменную величину и преобразуем дифференциальное уравнение траектории

к виду

Интегрируя это уравнение, будем иметь

Возвращаясь к старым переменным, получим уравнение траектории в полярных координатах

Сравнивая это уравнение с уравнением конического сечения

Последнее выражение для эксцентриситета позволяет определить вид конического сечения. Величина эксцентриситета, а следовательно, и вид траектории зависят от значения произвольной постоянной живых сил . Из формулы для эксцентриситета видим, что

  • при — эллипс,
  • при — парабола,
  • при — гипербола.

Постоянная живых сил

зависит от начального положения планеты и от величины начальной скорости. Очевидно, что эллиптические траектории имеют место лишь при ограниченной начальной скорости. Увеличивая скорость, будем получать параболические и гиперболические траектории.

Если постоянная живых сил , то для эксцентриситета получаем нулевое значение . В этом случае траектория точки — окружность.

Пример:

Вычислить скорость точки, брошенной с поверхности Земли, необходимую для ее движения по круговой орбите вокруг Земли.

Решение:

Определим сначала величину для Земли. Вблизи поверхности Земли на точку действует сила

где — ускорение силы притяжения к центру Земли вблизи ее поверхности; — радиус Земли. Отсюда будем иметь

Величину начальной скорости точки определим из интеграла живых сил

Подставляя сюда , значение для круговой орбиты и , получим

или

откуда

На поверхности Земли ускорение силы тяжести , радиус Земли , и тогда

Скорость, с которой точка могла бы двигаться вблизи поверхности Земли по круговой орбите, называется круговой, или первой космической скоростью.

Второй космической скоростью, или парабол и-ческой скоростью, называют скорость, необходимую для того, чтобы тело преодолело земное тяготение и начало двигаться с поверхности Земли по параболической траектории.

Для определения второй космической скорости будем исходить из интеграла живых сил

Для параболической траектории имеем и, следовательно, для определения начальной скорости на поверхности Земли будем иметь

откуда

При скорости большей чем 11,2 км/сек точка будет двигаться по гиперболической траектории (рис. 154).

Здесь приведены расчеты в предположении, что на точку действует только сила притяжения со стороны Земли. На самом деле на точку действует сила притяжения со стороны Солнца, влияние которого вблизи поверхности Земли пренебрежимо мало по сравнению с силой притяжения к центру Земли. При удалении точки от поверхности Земли сила притяжения к центру Земли будет уменьшаться, и пренебрегать влиянием притяжения Солнца уже будет нельзя. На достаточно большом расстоянии от поверхности Земли влияние силы притяжения со стороны Земли станет незначительным по сравнению с силой притяжения к Солнцу. При вычислении орбиты нужно принимать во внимание это обстоятельство и, пренебрегая притяжением Земли, рассматривать движение в центральном силовом поле Солнца.

Чтобы определить скорость, которую необходимо сообщить точке для ее движения по параболической орбите относительно Солнца, можно снова воспользоваться интегралом живых сил, в котором следует принять значение для Солнца. Не приводя здесь

всех расчетов, скажем, что для движения по параболической орбите необходимо сообщить точке скорость около 42,2 км/сеч (относительно системы осей, связанных с Солнцем и ориентированной по звездам). Начав движение с такой начальной скоростью, точка будет двигаться но параболической орбите относительно Солнца и навсегда покинет Солнечную систему. При определении начальной скорости точки относительно Земли необходимо учитывать движение Земли по своей орбите во время удаления точки от Земли и притяжение со стороны Земли, пока точка находится в сфере ее действия. Поэтому скорость точки относительно Земли должна быть около 16,7 км!сек. Эта скорость называется третьей космической скоростью.

Эллиптическое движение точки. Рассмотрим подробно случай, когда постоянная живых сил и точка совершает движение по эллиптической орбите с фокусом в .

Фокальное уравнение эллипса имеет вид

Предположим, что в начальный момент точка находится в положении и имеет начальную скорость . Тогда величина большой полуоси

будет неизменной вне зависимости от направления начальной скорости точки. Для определения орбиты достаточно найти положение второго фокуса, которое можно определить из условия, что сумма расстояний от точки траектории до фокусов есть величина постоянная, т. е.

Пусть Геометрическое место фокусов представляет собой окружность радиуса

с центром в точке (рис. 155). Известно, что касательная к эллипсу делит пополам угол между фокальными радиусами. Следовательно, зная направление начальной скорости точки, можно определить положение второго фокуса . Этим полностью решается задача определения траектории. Для ее выполнения, оказывается, достаточно знать величину и направление начальной скорости и начальное положение материальной точки.

Задача попадания. Рассмотрим задачу о том, в каком направлении следует запустить из данного положения материальную точку с начальной скоростью чтобы она, двигаясь в центральном силовом поле, попала в наперед заданную точку .

При решении этой задачи заметим, что на материальную точку действует центральная сила притяжения, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от притягивающего центра, являющегося одним из фокусов эллиптической орбиты. Определив, как это указывалось выше, большую полуось орбиты и зная , найдем геометрическое место вторых фокусов эллиптических траекторий, являющееся окружностью радиуса

с центром в точке . Точка должна лежать на искомой траектории, т. е. должно удовлетворяться уравнение

Построив окружность радиуса с центром в фокусе из точки опишем окружность радиуса

Эта окружность будет геометрическим местом вторых фокусов траектории (рис. 156). Пересечение двух окружностей определит второй фокус ( или на рисунке).

Две окружности либо пересекаются в двух точках, либо касаются друг друга, либо вообще не имеют общих точек. В последнем случае попадание в точку из положения при данной начальной скорости невозможно. Если имеются два фокуса, то попадание возможно двумя способами.

Определим геометрическое место точек , в которые можно попасть только одним способом, т. е. когда существует только один второй фокус. Для этого случая имеем

и точки расположены на эллипсе, фокусами которого являются точки и (рис. 157). В точки, расположенные на этом эллипсе, можно попасть только одним способом; в точки, лежащие за пределами эллипса, попасть при заданной начальной скорости нельзя.

По аналогии с параболой безопасности (см. задачу о движении тяжелой точки в пустоте), полученный эллипс будем называть эллипсом безопасности. Для определения начальной скорости достаточно разделить пополам угол, образованный прямыми и .

Пример:

Определить наименьшую скорость, с которой из положения земной поверхности нужно бросить снаряд, чтобы попасть в точку Земли (рис. 158)

Решение:

По условиям задачи, попадание должно осуществляться на предельном режиме, т. е. когда точка будет расположена на эллипсе безопасности, фокусами которого являются точки и . Второй фокус расположен на середине отрезка , Зная фокус можно построить траекторию, которая должна быть расположена вне Земли. Направление начальной скорости определяется из условия, что вектор скорости делит пополам внешний угол между фокальными радиусами. Величина начальной скорости находится из интеграла живых сил

где

в) Определение времени в эллиптическом движении планет.

Во многих задачах небесной механики необходимо знать время движения точки (планеты) по эллиптической орбите. Рассмотрим движение планеты относительно Солнца в системе осей, имеющих начало в центре Солнца и сохраняющих неизменное направление относительно звезд. Уравнение траектории планеты запишем в полярной системе координат

где — угол между большой полуосью орбиты и радиус-вектором планеты, называемый истинной аномалией. Вершину орбиты, ближайшую к Солнцу, называют перигелием, а более удаленную — афелием. Эллиптическую траекторию можно рассматривать как проекцию описанного круга, который нужно повернуть вокруг большой полуоси на угол, косинус которого равен .

Пусть — точка (планета) на эллиптической орбите, а — соответствующая точка описанного круга (рис. 159). Угол называют эксцентрической аномалией планеты.

Выразим время движения планеты через эксцентрическую аномалию. Из построения эллипса имеем

Рассмотрим площадь сектора

но

где

так что

и

Движение планеты по орбите происходит по закону площадей, т. е. площади, описываемые радиус-вектором , пропорциональны времени движения. Тогда

где — период обращения планеты; — время прохождения через перигелий. Сравнивая два последних соотношения, получим

Полученное уравнение выражает время движения планеты через эксцентрическую аномалию. Полагая придем к уравнению Кеплера

Для завершения задачи остается установить геометрическую зависимость между истинной и эксцентрической аномалией.

Перепишем уравнение эллипса в виде

Подставляя сюда значение , выраженное через эксцентриситет , получим

С другой стороны, вводя прямоугольную систему координат с началом в центре эллипса, перепишем уравнение эллипса в виде

Тогда

что преобразуется к виду

где

отсюда получаем

Сравнивая два значения для , будем иметь

Полученная формула легко преобразуется к виду, удобному для логарифмирования. В самом деле, подставляя в формулу

значение для , получим

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Система и тело отсчета, координаты, пространство, поступательное движение, материальная точка, относительность

Тестирование онлайн

Положение предметов в пространстве.

Тело отсчета.

Предлагаю игру: выбрать предмет в комнате и описать его местонахождение. Выполнить это так, чтобы угадывающий не смог ошибиться. Вышло? А что выйдет из описания, если другие тела не использовать? Останутся выражения: “слева от…”, “над …” и подобное. Положение тела можно задать только относительно какого-нибудь другого тела.

Местонахождение клада: “Стань у восточного угла крайнего дома села лицом на север и, пройдя 120 шагов, повернись лицом на восток и пройди 200 шагов. В этом месте вырой яму в 10 локтей и найдешь 100 слитков золота”. Клад найти невозможно, иначе его давно откопали бы. Почему? Тело, относительно которого совершается описание не определено, неизвестно в каком селе находится тот самый дом. Необходимо точно определиться с телом, которое возьмется за основу нашего будущего описания. Такое тело в физике называется телом отсчета. Его можно выбрать произвольно. Например, попробуйте выбрать два различных тела отсчета и относительно их описать местонахождение компьютера в комнате. Выйдет два непохожих друг на друга описания.

Система координат

Рассмотрим картинку. Где находится дерево, относительно велосипедиста I, велосипедиста II и нас, смотрящих на монитор?

Относительно тела отсчета – велосипедист I – дерево находится справа, относительно тела отсчета – велосипедист II – дерево находится слева, относительно нас оно впереди. Одно и то же тело – дерево, находящееся постоянно в одном и том же месте, одновременно и “слева”, и “справа” и “впереди”. Проблема не только в том, что выбраны различные тела отсчета. Рассмотрим его расположение относительно велосипедиста I.

На этом рисунке дерево справа от велосипедиста I

На этом рисунке дерево слева от велосипедиста I

Дерево и велосипедист не меняли своего месторасположения в пространстве, однако дерево одновременно может быть “слева” и “справа”. Для того, чтобы избавиться от неоднозначности описания самого направления, выберем определенное направление за положительное, противоположное выбранному будет отрицательным. Выбранное направление обозначают осью со стрелкой, стрелка указывает положительное направление. В нашем примере выберем и обозначим два направления. Слева направо (ось, по которой движется велосипедист), и от нас внутрь монитора к дереву – это второе положительное направление. Если первое, выбранное нами направление, обозначить за X, второе – за Y, получим двухмерную систему координат.

Относительно нас велосипедист движется в отрицательном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

Относительно нас велосипедист движется в положительном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

А теперь определите, какой предмет в комнате находится в 2 метрах в положительном направлении по оси X (справа от вас), и в 3 метрах в отрицательном направлении по оси Y (позади вас). (2;-3) – координаты этого тела. Первой цифрой “2” принято обозначать расположение по оси X, вторая цифра “-3” указывает расположение по оси Y. Она отрицательная, потому что по оси Y находится не в стороне дерева, а в противоположной стороне. После того, как выбрано тело отсчета и направления, месторасположение любого предмета будет описано однозначно. Если вы повернетесь спиной к монитору, справа и позади вас будет уже другой предмет, но и координаты у него будут другие (-2;3). Таким образом, координаты точно и однозначно определяют расположение предмета.

Пространство, в котором мы живем, – пространство трех измерений, как говорят, трехмерное пространство. Кроме того, что тело может находится “справа” (“слева”), “впереди” (“позади”), оно может быть еще “выше” или “ниже” вас. Это третье направление – принято обозначать его осью Z

Можно ли выбирать не такие направления осей? Можно. Но нельзя менять их направления в течение решения, например, одной задачи. Можно ли выбрать другие названия осей? Можно, но вы рискуете тем, что вас не поймут другие, лучше так не поступать. Можно ли поменять местами ось X с осью Y? Можно, но не путайтесь в координатах: (x;y).

При прямолинейном движении тела для определения его положения достаточно одной координатной оси.

Для описания движения на плоскости используется прямоугольная система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей (декартовая система координат).

С помощью трехмерной системы координат можно определить положение тела в пространстве.

Подробнее о системе координат и проекциях

Система отсчета

Каждое тело в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве относительно других тел. Определять его положение уже умеем. Если с течением времени положение тела не изменяется, то оно покоится. Если же с течением времени положение тела изменяется, то это означает, что тело движется. Все в мире происходит где-то и когда-то: в пространстве (где?) и во времени (когда?). Если к телу отсчета, системе координат, которые определяют положение тела, добавить способ измерения времени – часы, получим систему отсчета. При помощи которой можно оценить движется или покоится тело.

Относительность движения

Космонавт вышел в открытый космос. В состоянии покоя или движения он находится? Если рассматривать его относительно друга космонавта, находящегося рядом, он будет покоиться. А если относительно наблюдателя на Земле, космонавт движется с огромной скоростью. Аналогично с поездкой в поезде. Относительно людей в поезде вы неподвижно сидите и читаете книгу. Но относительно людей, которые остались дома, вы двигаетесь со скоростью поезда.

Примеры выбора тела отсчета, относительно которого на рисунке а) поезд движется (относительно деревьев), на рисунке б) поезд покоится относительно мальчика.

Сидя в вагоне, ожидаем отправления. В окне наблюдаем за электричкой на параллельном пути. Когда она начинает двигаться, трудно определить кто движется – наш вагон или электричка за окном. Для того, чтобы определиться, необходимо оценить движемся ли мы относительно других неподвижных предметов за окном. Мы оцениваем состояние нашего вагона относительно различных систем отсчета.

Изменение перемещения и скорости в разных системах отсчета

Перемещение и скорость изменяются при переходе из одной системы отсчета в другую.

Скорость человека относительно земли (неподвижной системы отсчета) различная в первом и втором случаях.

Правило сложения скоростей: Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета – это векторная сумма скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Аналогично вектора перемещения. Правило сложения перемещений: Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета – это векторная сумма перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Пусть человек идет по вагону по направлению (или против) движения поезда. Человек – тело. Земля – неподвижная система отсчета. Вагон – подвижная система отсчета.

Вектора подвижной со и тела относительно подвижной со совпадают по направлению

Вектора подвижной со и тела относительно подвижной со противоположные по направлению

Изменение траектории в разных системах отсчета

Траектория движения тела относительна. Например, рассмотрим пропеллер вертолета, спускающегося на Землю. Точка на пропеллере описывает окружность в системе отсчета, связанного с вертолетом. Траектория движения этой точки в системе отсчета, связанной с Землей, представляет собой винтовую линию.

Поступательное движение

Движение тела – это изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. Каждое тело имеет определенные размеры, иногда разные точки тела находятся в разных местах пространства. Как же определить положение всех точек тела?

НО! Иногда нет необходимости указывать положение каждой точки тела. Рассмотрим подобные случаи. Например, это не нужно делать, когда все точки тела движутся одинаково.

Одинаково движутся все токи чемодана, машины.

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково, называется поступательным

Материальная точка

Не нужно описывать движение каждой точки тела и тогда, когда его размеры очень малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит. Например, корабль, преодолевающий океан. Астрономы при описании движения планет и небесных тел друг относительно друга не учитывают их размеров и их собственное движение. Несмотря на то, что, например, Земля громадная, относительно расстояния до Солнца она ничтожно мала.

Нет необходимости рассматривать движение каждой точки тела, когда они не влияют на движение тела всего целиком. Такое тело можно представлять точкой. Все вещество тела как бы сосредотачиваем в точку. Получаем модель тела, без размеров, но она имеет массу. Это и есть материальная точка.

Одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, при других – нельзя. Например, когда мальчик идет из дома в школу и при этом проходит расстояние 1 км, то в этом движении его можно считать материальной точкой. Но когда тот же мальчик выполняет зарядку, то точкой его считать уже нельзя.

Рассмотрим движущихся спортсменов

В этом случае можно спортсмена моделировать материальной точкой

В случае прыжка спортсмена в воду (рисунок справа) нельзя моделировать его в точку, так как от любого положения рук и ног зависит движение всего тела

Главное запомнить

1) Положение тела в пространстве определяется относительно тела отсчета;
2) Необходимо задать оси (их направления), т. е. систему координат, которая определяет координаты тела;
3) Движение тела определяется относительно системы отсчета;
4) В разных системах отсчета скорость тела может быть разной;
5) Что такое материальная точка

Более сложная ситуация сложения скоростей. Пусть человек переправляется на лодке через реку. Лодка – это исследуемое тело. Неподвижная система отсчета – земля. Подвижная система отсчета – река.

Скорость лодки относительно земли – это векторная сумма . Находится по закону параллелограмма, как гипотенуза двух катетов.

Упражнения

Мимо стоящего велосипедиста проезжает колонна движущихся с одинаковой скоростью машин. Движется ли каждая из машин относительно велосипедиста? Движется ли машина относительно другой машин? Движется ли велосипедист относительно машины?

Относительно велосипедиста каждая машина движется. Машина относительно другой машины покоится. Велосипедист движется относительно машины.


Из центра горизонтально расположенного вращающегося диска по его поверхности пущен шарик. Каковы траектории шарика относительно Земли и диска?

Относительно Земли – спираль, относительно диска – прямая.


Чему равно перемещение какой-либо точки, находящейся на краю диска радиусом R при его повороте относительно подставки на 600? на 1800? Решить в системах отсчета, связанных с подставкой и диском.

В системе отсчета, связанной с подставкой, перемещения равны R и 2R. В системе отсчета, связанной с диском, перемещение все время равно нулю.


Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют наклонные прямые полосы на стеклах равномерно движущегося поезда?

В системе отсчета, связанной с Землей, траектория капли – вертикальная линия. В системе отсчета, связанной с поездом, движение капли по стеклу есть результат сложения двух прямолинейных и равномерных движений: поезда и равномерного падения капли в воздухе. Поэтому след капли на стекле наклонный.


Каким образом можно определить скорость бега, если тренироваться на беговой дорожке со сломанным автоматическим определением скорости? Ведь относительно стен зала не пробегаешь ни одного метра.

Определить скорость беговой ленты относительно стен зала.


Эскалатор метро движется вверх со скоростью 0,75 м/с. а) С какой скоростью и в каком направлении надо идти по эскалатору, чтобы быть все время на уровне одного из фонарей освещения туннеля? б) С какой скоростью относительно поднимающейся лестницы надо было бы передвигаться, чтобы опускаться вниз со скоростью пассажиров, неподвижно стоящих на другой опускающейся лестнице?

а) Вниз со скоростью 0,75 м/с; б) 1,5 м/с


Какую систему координат следует выбрать (одномерную, двухмерную, трехмерную) для определения положения таких тел:
1. трактор в поле;
2. поезд;
3. люстра в комнате;
4. лифт;
5. подводная лодка;
6. шахматная фигура

1. двухмерную;
2. одномерную;
3. двухмерную;
4. одномерную;
5. трехмерную;
6. двухмерную


Сравнение и унификация точечного метода и оптимального бессеточного метода транспортировки

В этом разделе рассматриваются три эталона, иллюстрирующие эффективность обсуждаемых методов. Одномерные тесты описывают вибрацию стержня, но имеют принципиально другие триггеры движения и граничные условия. В первом бенчмарке, где оба конца полосы фиксированы, домен содержит только заполненные элементы, что упрощает реализацию и анализ.Второй тест, где сила тяги действует на одну из границ, содержит несколько пустых ячеек на протяжении всего моделирования, что служит репрезентативным примером для анализа устойчивости. Последний тест двумерный; это еще больше расширяет численный анализ рассматриваемых алгоритмов. 0\) в момент времени T .

В левой части рис. 5 представлены окончательные профили напряжений, полученные с использованием МРМ и метода ОТМ с кусочно-линейными базисными функциями. Пересечение сетки вызывает сильные колебания в профиле напряжения MPM. Вычисление базисных функций с адвективными узловыми координатами в методе ОТМ предотвращает эти неточности, значительно улучшая результаты. Хотя метод OTM-P1 позволяет избежать ошибок пересечения сетки, он обеспечивает только кусочно-постоянную аппроксимацию профиля напряжения из-за градиентов базисных функций P1.Правая часть рис. 5 иллюстрирует эффективность единого подхода. Использование базисных функций B-сплайна второго порядка предотвращает ошибки пересечения сетки и повышает точность решения. Результаты, полученные с помощью максимальных базисных функций, аналогичны результатам, полученным с помощью единого подхода. Во избежание повторения эти результаты не показаны.

В таблице 1 представлены результаты по времени вычислений всех рассмотренных методов для 32 и 512 узлов. Отметим, что вычисления maxent проводились без алгоритма поиска.Для грубой дискретизации подходы, основанные на схеме MPM, превосходят подходы, использующие алгоритм OTM. Однако при использовании 512 узлов эффективность вычислений зависит от выбора базисных функций, а не алгоритма. Точнее, замена maxent базисными функциями B-сплайна сокращает время вычислений как минимум в 2 раза.

Рис.6

Сходимость рассмотренных методов

Кроме того, на рис. 6 показано поведение пространственной сходимости рассматриваемых методов в конце моделирования. При использовании кусочно-линейных базисных функций как метод MPM, так и метод OTM демонстрируют сходимость второго порядка для относительно грубых сеток. Однако для мелких сеток методы ведут себя иначе. Фактически, MPM страдает от ошибок пересечения сетки, которые приводят к потере сходимости.Метод OTM-P1 сохраняет сходимость второго порядка до окончательного уточнения, при котором достигается только сходимость первого порядка. Внезапное снижение скорости сходимости также наблюдается в расчетах, когда базисные функции maxent и B-сплайн используются как в схемах MPM, так и в схемах OTM. По этой причине можно предположить, что потеря порядка сходимости не связана с выбором базисных функций. Неточное численное интегрирование, ошибки интегрирования по времени, ошибки округления или их комбинация могут способствовать снижению скорости сходимости [44, 49, 55].Кроме того, на рис. 6 показано, что максимальные базисные функции приводят к значительно меньшим ошибкам, чем кусочно-линейные базисные функции как для схем MPM, так и для схем OTM. С максимальными базисными функциями сходимость MPM и метода OTM варьируется от линейной до квадратичной. Следует отметить, что точность MPM и метода OTM с максимальными базисными функциями может быть дополнительно улучшена за счет адаптации более совершенных реализаций [4, 35, 52, 63]. Использование базисных функций B-сплайна приводит к аналогичным результатам для BSMPM и унифицированного подхода. 3\), а модуль Юнга равен 100 Па. Длина расчетной области задана равной 1,25 м. Более подробное описание, включающее аналитическое решение для смещения, предоставлено Steffen et al. [43]. Чтобы проиллюстрировать профиль напряжения, полученный различными методами, материальная область дискретизируется по 68 узлам, что дает 85 узлов для полной области. Дискретизация материальной области достаточна для унифицированных методов и методов OTM из-за их обновленной лагранжевой природы, тогда как MPM требует дискретизации всей области.{-4}\) с.

На рисунке 7 представлены полученные результаты. Это показывает, что базовые функции maxent и B-сплайна устраняют ошибку пересечения сетки в MPM. Однако MPM-maxent и BSMPM не следуют аналитическому решению на правом краю столбца. В BSMPM эти погрешности можно значительно уменьшить, увеличив начальное количество частиц на элемент. Это говорит о том, что ошибки вызваны недостаточной точностью численного интегрирования в MPM. Таким образом, передовые методы численного интегрирования (например,например, методом наименьших квадратов Тейлора [57]) может улучшить решение BSMPM на границе. Неточности в MPM-maxent имеют другое происхождение. Скорее всего, они вызваны неполным набором базисных функций maxent, которые возникают из-за присутствия неактивных элементов во время моделирования MPM. Рисунок 7 также показывает, что методы OTM-P1, OTM-maxent и унифицированные методы обеспечивают значительно более точные решения, чем их эквиваленты MPM.

Аналогично контрольному показателю, рассмотренному в разд. 8.1, использование базисных функций B-сплайна вместо базисных функций maxent значительно сокращает время вычислений как для методов MPM, так и для методов OTM. Фактически единый подход и расчеты BSMPM примерно в 10 раз быстрее, чем расчеты OTM и MPM с максент-базисными функциями (без алгоритма поиска) с настройками, использованными для рис. 7.

рис. 8

рассмотренные методы. Число узлов в данном случае относится к числу узлов, используемых для дискретизации материальной области

Кроме того, унифицированный подход и BSMPM имеют самую низкую среднеквадратичную ошибку и самые высокие скорости сходимости по сравнению с другими методами. Это показано на рис. 8. Чтобы свести к минимуму квадратурные ошибки и ошибки интегрирования по времени, эта цифра получена путем размещения 12 частиц на ячейку в начале моделирования и сокращения времени вычислений до 0,1 с. В целом полученные порядки сходимости рассмотренных алгоритмов несколько ниже ожидаемых. Это может быть связано с разрывами решения для поля напряжений.

Основное преимущество унифицированного метода перед БСММП заключается в его свойствах стабильности.Когда материальная точка входит в пустой элемент, BSMPM наследует проблемы стабильности от MPM. Например, изменение общего количества узлов на 81 приводит к завершению через 0,3 с. Этот вопрос в MPM подробно обсуждается, например, Кафаджи [2] и требует использования алгоритма MUSL с матрицей сосредоточенных масс, чтобы обойти пробой.

Рис. 9

Сравнение рассмотренных методов с аналитическим решением. Материальная область дискретизирована по 33 узлам в каждом направлении

Пластина, подвергающаяся осевому смещению

Окончательный эталон описывает двумерную неогуковскую пластину, фиксированную на всей границе. 0\приблизительно 0.07\) м. Использование кусочно-линейных базисных функций как в методе MPM, так и в методе OTM приводит только к кусочно-постоянной аппроксимации поля напряжений. Из-за ошибок пересечения сетки профиль напряжений, полученный с помощью ММП с кусочно-линейными базисными функциями, значительно отклоняется от аналитического решения. Моделирование, выполненное с базисными функциями maxent, показывает значительно более точные аппроксимации напряжения для обоих методов. Чтобы получить эти результаты с помощью алгоритма MPM, определяемый пользователем коэффициент \(d_{\max}\) установлен равным 3.0, а для метода ОТМ принимается \(d_{\max}=2,0\). Единый подход и BSMPM приводят к еще более сглаженным профилям напряжений, которые хорошо согласуются с аналитическим решением.

Метод материальных точек

Метод материальных точек (MPM) является расширением метода частиц в ячейках (PIC) в вычислительной гидродинамике для вычислительной динамики твердого тела и представляет собой метод конечных элементов (FEM). метод на основе частиц. Он в основном используется для многофазного моделирования из-за простоты обнаружения контакта без взаимного проникновения.Его также можно использовать в качестве альтернативы динамическим методам FEM для моделирования больших деформаций материала, поскольку MPM не требует повторного создания сетки.

В MPM лагранжевы точечные массы или материальные точки перемещаются по эйлеровой фоновой сетке. В конце каждого цикла расчета происходит «конвективный» шаг, на котором сетка сбрасывается в исходное положение, а материальные точки остаются на своих текущих позициях. Между PIC и MPM есть два ключевых различия.Во-первых, MPM формулируется в слабой форме, аналогичной форме для FEM, так что FEM и MPM можно комбинировать вместе для крупномасштабного моделирования. Второй заключается в том, что определяющие модели, зависящие от истории, могут быть сформулированы для материальных точек, что приводит к надежному методу пространственной дискретизации для многофазных и мультифизических задач.

История PIC/MPM

Первоначально PIC был задуман для решения задач гидродинамики и разработан Харлоу в Лос-Аламосской национальной лаборатории в 1957 году. [1] Одним из первых кодов PIC была программа Fluid-Implicit Particle (FLIP), которая была создана Брэкбиллом в 1986 году [2] и с тех пор постоянно развивается. До 1990-х годов метод PIC использовался в основном в гидродинамике.

Вдохновленные необходимостью лучшего моделирования проблем проникновения в динамике твердых тел, Сульски, Чен и Шрейер в 1993 г. приступили к переформулировке PIC и разработке MPM при финансовой поддержке Sandia National Laboratories [3] .Первоначальный MPM был затем расширен Bardenhagen et al. . чтобы включить фрикционный контакт [4] , что позволило смоделировать гранулярный поток [5] , а по Нэрну включить явные трещины [6] и распространение трещины (известное как CRAMP).

Недавно реализация MPM, основанная на микрополярном континууме Коссера [7] , использовалась для моделирования гранулированного потока с высоким сдвигом, такого как разгрузка бункера. Использование MPM было расширено до геотехнической инженерии с недавней разработкой квазистатического неявного решателя MPM, который обеспечивает численно стабильный анализ задач больших деформаций в механике грунтов. [8]

Ежегодные семинары по использованию MPM проводятся в различных местах США. Пятый семинар по MPM планируется провести в Университете штата Орегон в Корваллисе, штат Орегон, 2 и 3 апреля 2009 г.

Применение PIC/MPM

Использование метода PIC или MPM можно разделить на две большие категории: во-первых, существует множество приложений, связанных с гидродинамикой, физикой плазмы, магнитогидродинамикой и многофазными приложениями. Ко второй категории приложений относятся задачи механики твердого тела.

Гидродинамика и многофазное моделирование

Метод PIC использовался для моделирования широкого спектра взаимодействий жидкости и твердого тела, включая динамику морского льда [9] , проникновение в мягкие биологические ткани [10] , фрагментацию газонаполненных канистр [11] , рассеивание атмосферных загрязнителей [12] , многомасштабное моделирование, связывающее молекулярную динамику с MPM [13] [14] , и взаимодействия жидкость-мембрана [15] . Кроме того, код FLIP на основе PIC применялся в инструментах магнитогидродинамики и обработки плазмы, а также в моделировании астрофизики и течений на свободной поверхности [16] .

Механика твердого тела

MPM также широко используется в механике твердых тел для моделирования удара, проникновения, столкновения и отскока, а также распространения трещин [17] [18] . MPM также стал широко используемым методом в области механики грунтов: он использовался для моделирования гранулированного потока, разгрузки бункера, забивки свай, заполнения ковша и разрушения материала; и моделировать распределение напряжения в почве, ее уплотнение и затвердевание.В настоящее время он используется в задачах механики древесины, таких как моделирование поперечного сжатия на клеточном уровне, включая контакт со стенками клеток [19] (эта работа получила премию Джорджа Марра за статью года от Общества науки и технологии древесины [1]. 1])

Классификация кодов PIC/MPM

МПМ в контексте численных методов

Одним из подмножеств численных методов являются методы без сетки, которые определяются как методы, для которых «предопределенная сетка не требуется, по крайней мере, при интерполяции переменных поля». В идеале бессеточный метод не использует сетку «во всем процессе решения задачи, описываемой уравнениями в частных производных, в заданной произвольной области с учетом всевозможных граничных условий», хотя существующие методы не идеальны и не работают. по крайней мере один из этих аспектов. Бессеточные методы, которые также иногда называют методами частиц, имеют «общую черту, заключающуюся в том, что история переменных состояния прослеживается в точках (частицах), не связанных с какой-либо сеткой элементов, искажение которых является источником численных трудностей.Как видно из этих различных интерпретаций, некоторые ученые считают MPM бессеточным методом, а другие — нет. Однако все согласны с тем, что MPM — это метод частиц.

Произвольные лагранжево-эйлеровы методы (ALE) образуют еще одно подмножество численных методов, которое включает MPM. Чисто -лагранжевы -методы используют структуру, в которой пространство дискретизируется на начальные подобъемы, чьи пути затем наносятся на карту во времени. Чисто эйлеровы методы, с другой стороны, используют структуру, в которой движение материала описывается относительно сетки, которая остается фиксированной в пространстве на протяжении всего расчета.Как следует из названия, методы ALE сочетают в себе лагранжеву и эйлерову системы отсчета.

Подкласс MPM/PIC

Методы PIC могут быть основаны либо на коллокации в сильной форме, либо на дискретизации в слабой форме лежащего в основе дифференциального уравнения в частных производных (PDE). Методы, основанные на сильной форме, правильно называются методами PIC конечного объема. Те, которые основаны на слабой дискретизации PDE, могут называться PIC или MPM.

Решатели

MPM могут моделировать задачи в одном, двух или трех пространственных измерениях, а также могут моделировать осесимметричные задачи.MPM может быть реализован для решения либо квазистатических, либо динамических уравнений движения, в зависимости от типа моделируемой задачи.

Интеграция по времени, используемая для MPM, может быть либо явной , либо неявной . Преимуществом неявного интегрирования является гарантированная стабильность даже для больших временных шагов. С другой стороны, явная интеграция выполняется намного быстрее и проще в реализации.

Преимущества MPM

МПМ По сравнению с FEM

В отличие от FEM , MPM не требует периодического повторного создания сетки и переназначения переменных состояния, и поэтому лучше подходит для моделирования больших деформаций материала.В MPM частицы, а не точки сетки, хранят всю информацию о состоянии расчета. Таким образом, возврат сетки в исходное положение после каждого цикла расчета не приводит к числовой ошибке, и не требуется никакого алгоритма перестройки сетки.

Основа частиц MPM позволяет обрабатывать распространение трещин и другие неоднородности лучше, чем FEM, который, как известно, накладывает ориентацию сетки на распространение трещин в материале. Кроме того, методы частиц лучше подходят для обработки конститутивных моделей, зависящих от истории.

MPM по сравнению с методами чистых частиц

Поскольку в MPM узлы остаются фиксированными на регулярной сетке, расчет градиентов тривиален.

В симуляциях с двумя и более фазами довольно легко обнаружить контакт между сущностями, так как частицы могут взаимодействовать через сетку с другими частицами в том же теле, с другими твердыми телами и с жидкостями.

Недостатки МПМ

MPM более дорог с точки зрения хранения, чем другие методы, поскольку MPM использует не только данные о частицах, но и сетку.MPM более затратен в вычислительном отношении, чем FEM, поскольку сетка должна сбрасываться в конце каждого шага расчета MPM и повторно инициализироваться в начале следующего шага. Паразитные колебания могут возникать, когда частицы пересекают границы сетки в MPM, хотя этот эффект можно свести к минимуму с помощью методов обобщенной интерполяции (GIMP). В MPM, как и в FEM, размер и ориентация сетки могут влиять на результаты расчета: например, известно, что в MPM локализация деформации особенно чувствительна к измельчению сетки. Нэрн, Дж. А. «Численное моделирование поперечного сжатия и уплотнения древесины». Наука о древесине и волокнах. 38:576-591, 2006.

Внешние ссылки

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы с тканью

1. Введение

В последние годы малоинвазивные хирургические процедуры стали популярными и важными в современной клинической практике. Введение иглы — одна из наиболее важных форм малоинвазивной хирургии, которая имеет широкое применение, например, при биопсии, местной анестезии, эндоскопии и брахитерапии (Ra et al.2002 г.; Хинг и др. 2006 г.; Маршал и др. 2007 г.; Ульрих и соавт. 2010). Модель взаимодействия иглы и ткани необходима для прогнозирования деформации ткани, анализа силы взаимодействия и планирования виртуального пути, что имеет решающее значение для планирования пути иглы и повышения успешности малоинвазивной хирургии.

Исследования по моделированию введения иглы можно разделить на две категории: одна была сосредоточена на моделировании глобального взаимодействия иглы с тканью, а другая была сосредоточена на моделировании локального процесса разрезания иглы. В первой категории глобальное моделирование взаимодействия иглы с тканью направлено на установление глобальной деформации ткани в процессе взаимодействия. Из-за геометрической разницы между диаметром иглы и всей ткани сложно интегрировать контактный механизм в модель взаимодействия иглы и ткани; следовательно, сила взаимодействия иглы с тканью обычно моделируется экспериментально и независимо. Метод конечных элементов (МКЭ) широко применяется для моделирования взаимодействия иглы с тканью.ДиМайо и соавт. предложил линейную и плоскую модель МКЭ с уточненными элементами вдоль пути иглы. Сила взаимодействия вдоль стержня иглы находится в обратной зависимости на основе экспериментально измеренного поля деформации ткани. Затем сила взаимодействия использовалась в качестве граничных условий для решения прогибов иглы и деформаций тканей. Контактная модель, зависящая от скорости, в которой для имитации динамического процесса введения иглы введен скользящий контакт (DiMaio and Salcudean 2003; Dimaio and Salcudean 2005). Чтобы повысить эффективность вычислений, Gao et al. (2016) разработали линейную модель взаимодействия иглы с тканью на основе модифицированного метода локальных ограничений, которая показывает большую эффективность и точность. Однако интерактивные силы, включая силу резания и силу трения, нагружаются на основе предварительно полученных экспериментальных данных о силе.

Вторая категория исследований была сосредоточена на изучении процесса локального разрезания иглой, где моделировалась только область взаимодействия иглы и тканей (Takabi and Tai 2017).Прочность на излом является важным параметром для описания перелома ткани (Azar and Hayward 2008). Khadem et.al. (Khadem et al. 2016) рассчитали потенциальную энергию трещины на основе обратного решения аналитической модели. Но модель на основе энергии зависит от конкретного типа иглы и эффективна только для модели изотропного материала. Для повышения общности модели предлагается численная модель. Большинство существующих численных моделей резки иглой основаны на традиционных методах конечных элементов (Kong et al. 2011 г.; Ассаад и соавт. 2015). Гокгол и соавт. (2012) смоделировали процесс резки МКЭ, определив работу разрушения. Узлы в модели FEM разрываются, когда энергия резания превышает работу разрушения. Барнетт и соавт. (2015) разработали модель силы введения иглы, основанную на механике разрушения, в которой были проведены эксперименты с тканью ex vivo для определения прочности на разрыв, модуля сдвига и силы трения иглы и ткани. Преимущество в том, что учтена анизотропия параметров материала свиной кожи.Вместо использования вязкости разрушения Сингх и соавт. (2016) использовали максимальную деформацию сдвига в качестве параметра разрушения для описания разрыва материала. Модель конечных элементов (FEM) была разработана для имитации введения нейронных зондов с покрытием из различных материалов в ткань мозга. Олдфилд и др. (2013) использовали когезионные элементы в коммерческом программном обеспечении ABAQUS для описания разрушения материала при введении иглы. Прямое сравнение силы моделирования и экспериментальной силы было установлено для проверки точности модели. Вышеупомянутые модели на основе FEM требовали, чтобы элементы вдоль пути иглы были достаточно малы из-за геометрической разницы между диаметром иглы и всей тканью. Кроме того, связующие элементы должны быть предварительно определены на пути иглы, в то время как на практике путь иглы не определяется заранее.

Как видно из литературы, с одной стороны, сила взаимодействия в глобальной модели взаимодействия иглы и ткани не интегрировала контактный механизм для установления связи между свойствами тканей и иглы и силой взаимодействия.Большинство моделей силы взаимодействия были получены на основе экспериментально измеренных данных о силе или обратно обратных методов конечных элементов, основанных на экспериментально измеренном поле деформации, что также трудно обобщить моделирование силы иглы-ткани в сложных сценариях. С другой стороны, резка иглой представляет собой прерывистую задачу, когда традиционный МКЭ требует, чтобы элементы вдоль пути иглы были достаточно малы, в противном случае это может привести к искажению сетки или непрерывному подразделению сетки, а также к вычислительной нестабильности и низкой точности. Таким образом, необходимо создать интегрированную модель взаимодействия иглы и ткани контактного механизма, подходящую для моделирования проникновения.

Целью этой статьи является создание новой модели взаимодействия иглы и ткани, которая может обрабатывать моделирование проникновения и способна одновременно решать деформацию ткани и силу взаимодействия, применяя метод материальной точки (MPM). Преимущества этого метода заключаются в следующем: во-первых, можно избежать трудностей, включая искажение сетки и адаптацию в традиционном МКЭ.Во-вторых, интегрированный контактный механизм позволяет установить математические соотношения между материальными моделями тканей и силой взаимодействия. Деформация ткани и сила взаимодействия могут быть решены одновременно с произвольными параметрами материала ткани и произвольными параметрами геометрии иглы. Результаты этой статьи могут обобщить моделирование силы для различных видов тканей и игл, которое можно использовать для интеграции с симулятором взаимодействия иглы и ткани в реальном времени для планирования пути иглы.

Остальная часть этой статьи организована следующим образом: Раздел 2 кратко представляет методы материальной точки. Методология моделирования описана в Разделе 3. Параметры моделирования показаны в Разделе 4, а экспериментальный стенд и результаты проверки данных проиллюстрированы в Разделе 5. Заключение и дальнейшая работа представлены в Разделе 6.

2. Метод материальной точки

Мы первыми применили MPM к моделированию взаимодействия иглы и ткани, что является расширением теории частиц в ячейке (PIC) из механики жидкости в механику твердого тела (Sulsky et al.1994). Будучи одним из бессеточных методов, MPM широко применяется в таких приложениях, как проникновение, динамическое воздействие и вдавливание (Янг и др., 2012; Ли и др., 2014; Лю и др., 2016; Лян и др., 2017). Вводная блок-схема показана на рисунке 1. В MPM существовали как дискретные частицы материала, так и фоновая сетка. Континуум материала представлен группой частиц вместо сеток, чтобы избежать проблемы запутывания сетки. Управляющие уравнения решаются на структурированной фоновой сетке, и информация передается от частицы на сетку с помощью соответствующей функции отображения.В отличие от других бессеточных методов, информация, зависящая от истории, такая как импульс и параметры материала, переносится на частицы. Модель материала используется для описания взаимосвязи между деформацией и напряжением, которую можно разделить на две категории: линейно-упругую модель и гиперупругую модель. В задаче о больших деформациях модель гиперупругого материала является более подходящей, так как кривые напряжения-деформации демонстрируют явную нелинейность. Алгоритм контакта, основанный на постоянной скорости, включает контакт методом точки материала (MPM) и сопряженный контакт конечного элемента и точки материала (CFEMP) для получения силы взаимодействия иглы с тканью.Основные идеи контактных алгоритмов – постоянство нормальной скорости на контактной поверхности. В соответствии с этим правилом может быть решена контактная сила. Кроме того, с целью повышения эффективности моделирования используется метод массового масштабирования.

Рис. 1. Блок-схема метода материальной точки.

3. Методика моделирования

3.1.

Общая блок-схема алгоритма (Zhang et al. 2013 )

Алгоритм моделирования на основе MPM показан на рисунке 2.Информация, зависящая от истории, такая как параметры материала, импульс, сначала инициализируется и сохраняется в материальных точках. Масса частиц отображается в узлах сетки, как в уравнении (1), (1) mI=∑pmpNpI(xp)(1) где m I — сосредоточенная диагональная матрица масс узла сетки I , и рассчитывается как сумма масс частиц m p в элементе, умноженная на функцию формы элемента NpI(·). m p определяется заданной пользователем плотностью материала и дискретным объемом.Импульс частицы отображается на сетке таким же образом, как показано в уравнении (2), (2) PIj=∑pvpjmpNpI(xp)(2) где j∈1,2,3 представляют три направления в трех объемное моделирование. Фиксированное граничное условие применяется к узлам I на фиксированной поверхности ткани в направлении j , из которых импульс P ij = 0. Затем напряжение частицы обновляется на основе основного закона, т.е. Тензор напряжений σ=f(ϵ) является функцией тензора деформации.Подробное математическое выражение модели материала представлено в следующем разделе. Обновленное напряжение отображается в узлах сетки и интегрируется в объем сетки для новой узловой силы. Затем импульс обновляется на временном шаге t+Δt, как показано в уравнении (3). (3) PIjt+Δt=PIjt+fIjΔt(3)

Рис. 2. Общая блок-схема алгоритма MPM.

Импульс в каждом узле используется для обновления кинематических параметров, включая скорость v p и положение x p частиц в уравнении (4), где N Ip — функция отображения от узлов сетки к частицам.(4) vpjt+Δt=vpjt+NIpfIjmIΔtxpjt+Δt=xpjt+NIpPIjmIΔt(4)

Мы сбрасываем структурированную сетку каждые n шагов. Это означает, что деформированная сетка будет отбрасываться, а структурированная сетка будет регенерироваться каждые n временных шагов, что может эффективно избежать искажения сетки и резкого уменьшения временного шага.

3.2. Экспоненциальная модель материала

В этом разделе мы устанавливаем надлежащий определяющий закон гиперупругости для аппроксимации свиной печени и фантома ПВС, который является функциональной зависимостью для определения компонентов напряжения с точки зрения деформации в нелинейном режиме.Гиперупругий материал постулирует существование функции энергии деформации, Ψ=Ψ(F) является типичным примером масштабной функции тензора градиента деформации. В этой работе мы выбираем правильный тензор Коши-Грина и второе напряжение Пиолы-Кихгофа, чтобы установить определяющий закон, который является объективным, как показано в уравнении (5) (5) S=2∂Ψ(C)∂C,( 5) где S — второе напряжение Пиолы-Кихгофа, а C — правый тензор Коши-Грина, который связан с тензором градиента деформации F соотношением (6) C=FTF, (6) (7) F=∂ x∂X,(7) где x — пространственное положение в момент времени t материальной частицы с материальной координатой X . При отсутствии деформации F  =  C = U и U является единичной матрицей. В этом разделе экспоненциальная модель (модель Фунга-Демирея) (Фанг, 1967; Демирай, 1972) применяется к моделированию материала свиной печени и фантома, экспоненциальная форма функции энергии деформации показана в уравнении (8) (8) Ψ(C)=µ2γ[exp (γ(I1−3))−1)], (8) где I 1 — первый главный инвариант правого тензора Коши-Грина, а μ , γ – постоянные параметры модели материала.На основании уравнения (8) ∂Ψ(C)∂C в уравнении (5) может быть выражена как функция правого тензора Коши-Грина и его главных инвариантов. (9) ∂Ψ(C)∂C=−12pC−1+∂Ψ(C)∂I1∂I1∂C+∂Ψ(C)∂I2∂I2∂C, (9) где I1=след(C), I2=[trace(C)2−trace(C2)]/2 — инварианты правого тензора Коши-Грина, а ∂I1∂C=U,∂I2∂C=I1U−C. В экспоненциальной модели, показанной в уравнении (8), частичный вывод функции энергии деформации к основным инвариантам вычисляется как (10) ∂Ψ(C)∂I1=µ2[exp (γ(I1−3))]∂Ψ( C)∂I2=0(10) p в уравнении (9) – гидростатическое давление, которое является неопределенным множителем Лагранжа, соответствующим уравнениям равновесия и граничным условиям. Что касается ограничений несжимаемости, detF=J≡1, J является определяющим значением тензора градиента деформации F и обозначает изменение объема от исходного кадра к текущему кадру. p рассчитывается как (11) p=μ/|C|2(11)

Подставляя уравнения (9) и (31) в уравнение (5), второе напряжение Пиолы-Кихгофа обновляется в соответствии с тензором деформации , как показано в уравнении (12). Напряжение Коши может быть рассчитано с точки зрения второго напряжения Пиолы-Кихгофа в уравнении (13).(12) S=−µC−1/|C|2+µ[exp (γ(I1−3))])U(12) (13) σ=J−1FSFT.(13)

3.3. Вывод силы взаимодействия иглы с тканью

Существует два вида моделей силы взаимодействия иглы с тканью: модель контактной силы, основанная на методе точки материала (MPM), и модель контактной силы, основанная на соединении точки конечного элемента и материала (CFEMP). модель. В контакте MPM легко реализовать контакт, который решается на узлах сетки. И игла, и вся ткань дискретизируются как частицы, которые можно использовать для моделирования глобального взаимодействия иглы с тканью. Но не рассматривается трехмерная геометрия иглы, которая моделируется как ряд точек. В контакте CFEMP ткань моделируется как материальное тело точки, а игла моделируется как тело конечного элемента, при этом учитываются форма и диаметр кончика иглы. CFEMP имеет преимущества в точном отслеживании контактной поверхности. Учитывая вычислительную эффективность, моделируется только область ткани, которая находится вблизи траектории иглы. Контакт MPM используется для создания глобальной модели взаимодействия иглы и ткани, тогда как контакт CFEMP используется для имитации локального процесса разрезания иглы.Как контакт MPM, так и контакт CFEMP получаются в два этапа: обнаружение контактных узлов и расчет силы взаимодействия на основе условия согласованности скорости.

3.3.1. Расчет контактной силы MPM

Контакт MPM связывает два материальных точечных объекта на основе алгоритма контакта частиц с частицами. Как видно на рисунке 3, когда точки иглы и точки ткани интерполируются в один и тот же узел сетки, узел должен быть обнаружен как контактный узел (см. желтую пентаграмму). Сила взаимодействия разлагается на нормальную составляющую (радиальное направление, перпендикулярное поперечному сечению тела иглы) и тангенциальную составляющую (направление, противоположное скорости иглы).На рис. 4 показаны вектор нормали ni и вектор касательной ti к поверхности иглы. Векторы поверхности контакта с тканью прямо противоположны векторам иглы. Рис. как черные точки) и точки ткани (представленные оранжевыми точками) сопоставляются с одними и теми же узлами фоновой сетки (представленными желтой пентаграммой).

Рис. 3. Обнаружение точки контакта: точки иглы (представлены черными точками) и точки ткани (представлены оранжевыми точками) сопоставляются с одними и теми же узлами фоновой сетки (представлены желтой пентаграммой).

Рис. 4. Нормальный и тангенциальный вектор поверхности иглы.

Игла и ткань соприкоснулись друг с другом, когда скорость острия иглы и острия ткани удовлетворяет уравнению (14) (14) (vnI−vtI)·nnI>0, (14) где vnI и vtI представляют скорость точки иглы и точки ткани на узле I и nnI представляет нормальный вектор контактной силы на узле I . Условие постоянной скорости требует, чтобы нормальная составляющая скорости и ускорения иглы и ткани в узле I были постоянными, как показано в уравнениях (15) и (16). (15) vnI·nnI=vtI·nnI(15) (16) anI·nnI=atI·nnI(16)

Согласно второму закону Ньютона можно получить (17) mnI(anI·nnI)=fnIint· nnI+fInormtI(atI·ntI)=ftIint·ntI+fInor(17) где m nI и m tI — интерполяция массы иглы и массы ткани по узлу I , fInor — норма контактное усилие между двумя контактными телами в узле I .Объединяя уравнение (16) с уравнением (17), формула fInor рассчитывается по уравнению (18), (18) fInor=1mtI+mnI(mtIfnIint−mnIftIint)·nnI(18)

Тангенциальная составляющая контактного усилия связано с силой трения. В модели взаимодействия иглы с тканью сила трения является наиболее важной силой, которая доминирует в профиле силы, распределенной вдоль тела иглы (Цзян и др., 2014). Кулоновская модель трения имеет два состояния: статическое и кинетическое. В статическом режиме два контактных тела остаются прилипшими друг к другу, аналогично условиям постоянной скорости в нормальной составляющей, статическое трение рассчитывается как: (19) fIsta=1mtI+mnI(mtIfnIint−mnIftIint)·tnI(19) где tnI — тангенциальный вектор в узле I .Трение покоя при нулевой скорости может принимать любые значения и противодействовать надвигающемуся движению. Кинетическое трение является постоянной величиной, равной нормальной силе, умноженной на коэффициент трения μ , а направление кинетической силы трения противоположно скорости вставки, как показано в (20) fIfric=μfInor(20)

С В предположении, что максимальная сила статического трения равна кинетической силе трения, тангенциальная составляющая контактной силы рассчитывается как (21) fI tan =min{fIsta,fIfric}(21)

3.4. Перелом ткани в МФМ

В МФМ перелом ткани характеризуется числовым переломом. Численный перелом возникает, когда взаимодействующие точки в одной или соседней сетке разделяются на две несмежные сетки. Как видно на рисунке 6, по мере введения иглы во внутреннюю часть тканей, точки ткани будут постепенно перемещаться вслед за контактирующими точками иглы из-за силы взаимодействия, а расстояние между поверхностными частицами ткани увеличивается, как показано на рис. Рисунок 6 (а, б).Когда расстояние между частицами растягивается на две несмежные сетки, как показано на рисунке 6(c), происходит численный перелом. При этом разделенные точки не будут взаимодействовать друг с другом, что означает, что внутренняя сила между разделенными силами мгновенно возвращается к нулю. Тогда точки ткани, взаимодействующие с корпусом иглы, по-прежнему будут следовать и двигаться вглубь тканей, в то время как другие точки будут мгновенно пружинить.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано онлайн:
10 марта 2021 г.

Рис. 6. Численный перелом при введении иглы: расстояние между поверхностными частицами ткани увеличивается на (а) и (б), числовой перелом возникает на (в).

3.5. Ускорение модели

Введение иглы может быть определено как дискретная проблема, а контакт иглы с тканью доминирует в решении и может привести к локальной нестабильности.Это позволяет неявному решателю выполнять итерации и требовать формирования новой матрицы жесткости на каждом этапе, которую трудно сойтись. В отличие от явной схемы интегрирования, состояние в данный момент является функцией предыдущих моментов времени, что легко реализовать, избегая итераций процесса обращения матриц. Следовательно, мы используем явный решатель для модели взаимодействия иглы и ткани MPM.

Однако явная схема устойчива лишь условно, и для получения точного и стабильного решения потенциально требуются очень малые временные шаги.Аппроксимация предела устойчивости Δtcr равна наименьшему времени прохождения волны напряжения через любой из элементов сетки, рассчитанному по уравнению (25). (25) Δtcr=minedcmaxp(cp+|up|), (25) где d c – характерная длина фоновой сетки. c p и u p — скорость волны звукового материала и скорость частиц соответственно. Приращение времени Δt должно быть меньше Δtcr и рассчитывается как (26) Δt=ktΔtcr, (26) где kt∈[0,1] – коэффициент шага по времени.Как правило, u p игнорируется скоростью материальной волны c p . c p определяется свойствами материала и плотностью иглы и ткани. Формула расчета скорости материальной волны показана в уравнении (27). (27) cp=E(1−ν)(1+ν)(1−2ν)ρ(27) где E и ν обозначают модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала. ρ обозначает плотность материальной точки. При замене параметрами иглы шаг по времени составляет порядка 10−8.По сравнению со шкалой времени, присущей введению иглы (диапазон от нескольких до десятков секунд), нецелесообразно использовать чрезвычайно большое количество приращений. Следовательно, параметры материала иглы ограничивают расчет взаимодействия иглы с тканью.

В минимально инвазивной хирургии введение иглы обычно выполняется с относительно низкой скоростью, и эффекты инерции незначительны (Chanthasopeephan et al. 2003; DiMaio and Salcudean 2003; Gao et al. 2016). Потенциальным решением является метод масштабирования массы, который уменьшает отношение времени события к распространению волны через элемент, оставляя время события фиксированным путем масштабирования массы частицы.Как видно из уравнения (27), при увеличении массы/плотности в c 2 раз скорость материальной волны c p уменьшается в c раз; таким образом, приращение временного шага увеличивается в c раз. Разделив числитель и знаменатель на м nI в уравнении (18), мы можем получить нормальное контактное усилие как: (28), масса ткани m tI намного меньше массы иглы m nI .Следовательно, увеличение массы иглы не сильно повлияет на расчет контактной силы, но значительно повысит эффективность вычислений.

4. Моделирование введения иглы с помощью MPM

4.1. Получение параметров материала

В этом разделе, чтобы продемонстрировать осуществимость и точность недавно реализованной экспоненциальной модели материала в рамках MPM, используются два разных типа материала, свиная печень и гидрогель ПВС, параметры материала которых получены путем выполнения эксперименты по сжатию.Как показано на рисунке 7, кривые сила-смещение для однородных деформаций тканей используются для подбора подходящей математической модели (Davies et al. 2002).

Рис. 7. Эксперименты по сжатию образцов свиной печени.

Размеры свиной печени и фантома ПВС, использованные в данной работе, составляют 18 мм × 30 мм × 30 мм. Скорость сжатия составляет 1 мм/с при максимальной длине сжатия 5 мм. Теоретическая часть вывода может рассматриваться как краевая задача, в которой вертикальное смещение ткани на большом датчике равно смещению датчика d .Деформация ткани рассчитывается по формуле (29) ϵ=dh(29), где ч — высота образца ткани. Сила сжатия, зарегистрированная датчиком силы на большом зонде, используется для расчета нормального напряжения на верхней поверхности ткани, (30) σn=FnA(30) где F n — сила сжатия, а A — сила сжатия. площадь контакта зонда с поверхностью тканей. Боковым трением между тканью и зондом можно пренебречь, что означает, что напряжение на верхней поверхности равно нормальному напряжению σ n .λ=1+ϵ — степень растяжения. Согласно несжимаемым связям градиент деформации тканей F=diag(λ,λ−1/2,λ−1/2).

Напряжение Коши может быть выражено через коэффициент растяжения: (31) +2ω1λ−1/2−2ω2λ3/2(31)

В экспоненциальной модели в уравнении (8) ω1=∂Ψ/I1=µ2[exp (γ(I1−3))] и ω2=∂Ψ(C )/I2=0, где I1=trace(FTF)=λ2+2λ−1. В процедурах сжатия σ22=σ33=0; таким образом, гидростатическое давление p может быть рассчитано как: (32) p=2ω1λ−1−2ω2λ(32)

Подставим уравнение (32) в уравнение (31), нисходящее нормальное напряжение на верхней поверхности определяется выражением (33) σ=μ(λ−2−λ) exp (γ(λ2+2λ−1−3))(33)

Это уравнение показывает, что напряжение, действующее на верхнюю поверхность ткани, является функцией растяжения. Экспоненциальные параметры материала μ и γ могут быть подобраны на основе метода наименьших квадратов путем применения экспериментальных данных сжатия в уравнении (33). Результаты, представленные на фиг. 8, представляют собой график зависимости деформации от напряжения для пары образцов свиной печени, полученных на основе экспериментальных данных, где шесть образцов свиной печени вырезаны из двух кусков печени. Из рисунка можно сделать вывод, что имеются некоторые различия в количественных отклонениях и нелинейных свойствах свиной печени от разных свиней и разных частей тела.На рис. 9 показаны несколько результатов подгонки, где красные пунктирные точки, представляющие экспериментальные данные, и синяя пунктирная линия, представляющая подгоночные экспоненциальные кривые, нанесены вместе. Из рисунка видно, что существуют различия между свиной печенью и гидрогелем ПВС. Нелинейность материала свиной печени более очевидна, чем гидрогеля ПВА. Эксперименты по сжатию, показанные на рисунке 9, показали, что экспоненциальная модель может быть хорошо приспособлена как для свиной печени, так и для гидрогеля ПВС, что демонстрирует осуществимость реализованной экспоненциальной модели. На основе модели материала механические свойства гидрогелей ПВС и свиной печени можно охарактеризовать двумя параметрами материала. Разница обусловлена ​​свойствами, присущими разной свиной печени и разным гелям, которые могут быть описаны одними и теми же параметрами с разными значениями.

Рисунок 8. Взаимосвязь деформации и стресса свиной печени. Рис.Сравнение экспоненциальной модели материала и экспериментальных данных свиной печени и гидрогеля ПВС.

Рисунок 9. Сравнение экспоненциальной модели материала и экспериментальных данных свиной печени и гидрогеля ПВС.

Определим средние и максимальные невязки как: (34) ρ¯=∑N|σfit−σ exp |/Nρmax=max|σfit−σ exp |(34) где N — количество данных подбора. Результаты подгонки четырех образцов показаны в таблице 1.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано онлайн:
10 марта 2021 г.

Таблица 1. Подгоночные параметры экспоненциальной модели материала и невязки.

Что касается медицинской иглы, изготовленной из стали 304, то модуль Юнга и коэффициент Пуассона иглы используются для определения скорости волны материала. Игла моделируется как линейная упругая модель с модулем Юнга 2,11 ГПа и коэффициентом Пуассона 0,3.

4.2. Глобальное взаимодействие иглы и ткани на основе MPM

Модель глобального взаимодействия иглы и ткани создается контактом MPM, который подчеркивает глобальную деформацию ткани, а также силу взаимодействия.Вместо моделирования только локальной области контакта вся ткань моделируется как трехмерная кубовидная структура размером 150 мм × 100 мм × 20 мм, размер которой такой же, как у фантома ткани ПВС. Фиксированные ограничения накладываются на нижнюю поверхность ткани. Левая и правая стороны ограничены только в направлении, перпендикулярном введению иглы. Иглу можно разделить на три части: основание иглы, корпус иглы и кончик иглы. Из-за различий в размерах диаметра иглы и фантома для представления всей иглы используется ряд точек. Радиальный размер иглы и геометрия кончика иглы не моделируются. На узлах основания иглы обеспечивается постоянная скорость 6 мм/с. Общая глубина вставки составляет 42 мм. Размер сетки фона составляет 3 мм. Расстояние между частицами ткани составляет 1,5 мм, а расстояние между иглами — 5,25 мм; таким образом, всего генерируется 37585 точек. Деформацию маркеров регистрируют через каждые 3 мм глубины введения иглы.

4.3. Локальное взаимодействие иглы с тканью на основе CFEMP

В этом разделе CFEMP используется для установления локального взаимодействия иглы с тканью, когда моделируется область ткани вблизи траектории иглы, а не вся область ткани.При анализе полноразмерной модели было установлено, что напряжения вдали от траектории иглы пренебрежимо малы. Поскольку реальная игла 20 калибра имеет диаметр 0,88 мм, что намного меньше, чем область ткани. Для снижения вычислительной нагрузки модель сводится только к интересующей области взаимодействия. Достаточный модельный размер ткани составляет 10 мм × 10 мм × 30 мм, что в 10 раз больше диаметра иглы. Модель ограничивается неотражающей границей на передней, задней, левой и правой поверхностях, устанавливая фиксированные ограничения на нижней поверхности и оставляя верхние грани свободными для искажения.Игла дискретизируется с помощью конечных элементов, а ткань дискретизируется с помощью частиц. Геометрию иглы можно представить в виде цилиндрического тела диаметром 0,88  мм и углом наклона острия 20 градусов. Длина иглы 40 мм. Для высокой точности используется сетка твердотельного шестигранного элемента с 8 узлами (SOLID164), а сетка иглы создается за счет развертки вдоль оси иглы. Для представления радиального размера иглы и формы кончика иглы имеется 10 элементов, дискретизированных по внешнему диаметру иглы, и всего 700 элементов для всей иглы.Анализ качества сетки был проведен на предложенной модели FEM. Среднее соотношение сторон, среднее отношение Якоби и коэффициент охвата составляют 2,8027, 2,7723 и 0,014 соответственно. Размер элемента диаметра иглы и точки ткани составляет 0,4 мм, а размер фоновой сетки составляет 0,8 мм. Всего 49332 точки дискретизированы для всей интересующей области ткани. Чтобы извлечь силу резания и трение, глубина вставки при моделировании составляет 24 мм со скоростью вставки 6 мм/с. Кинематический коэффициент трения равен 0.255, который получен в результате экспериментального теста в (Urrea et al. 2016). Экспоненциальная модель материала и используемые параметры показаны в таблице 1. Масштабный коэффициент массы c равен 10 4 , что проверено для обеспечения сходимости результатов при одновременном снижении вычислительной нагрузки. Мы выбираем коэффициент временного шага k t равным 0,4, чтобы обеспечить устойчивость численной модели. Явный решатель MPM установлен в MPM3D на основе C++, включая интерфейс пользовательской экспоненциальной модели материала.

5. Экспериментальная проверка

5.1. Экспериментальный испытательный стенд

В медицинских исследованиях имитационные эксперименты требуют использования тканеподобных объектов, которые имитируют свойства тканей человека или животных, которые должны иметь сходные свойства материала с реальной тканью. Среди многочисленных имитационных материалов гидрогель ПВС широко использовался в качестве фантомного материала для имитации механического поведения мягких биологических тканей. Мано и соавт. (2005) использовали подходящее соотношение ПВС и воды для получения геля, который по параметрам МРТ оказался близким к мягким тканям человека.В Цзян и соавт. (2011), материалы ПВС используются для замены реальных тканей in vitro для исследования точности биопсии, а механические свойства геля ПВС также сравнивались с печенью свиньи путем проведения одноосных тестов. В данной работе вместо мягких тканей используется прозрачный фантом из гидрогеля поливинилового спирта (ПВС).

Испытательный стенд для введения иглы в фантом ПВА установлен и используется для проверки как силы взаимодействия, так и общей деформации.Экспериментальный стенд состоит из двухосных столиков микроперемещения (PI Company, M-L01) для управления иглой, ПЗС-камеры (MV-EM510C/M) для записи деформации, светодиодной подсветки для подсветки, как показано на рисунке 10. Всего 12 Для валидации были изготовлены фантомы ПВА, которые можно разделить на 4 группы, как показано в таблице 2, и каждая группа состоит из трех фантомов, изготовленных из одинакового соотношения материалов; при этом имеют одинаковые механические параметры. Параметры материала каждой группы предварительно определены в ходе экспериментов по сжатию и записаны в Таблицу 2, которая является входными параметрами для имитацион- ной модели.

Рисунок 10. Экспериментальный стенд введения иглы в фантом.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано онлайн:
10 марта 2021 г.

Таблица 2. Параметры фантома PVA.

Группы 1 и 2 используются для проверки общей модели деформации, а группы 3 и 4 используются для проверки контактной силы CFEMP. Весь фантом ограничен нижней поверхностью.Как левая, так и правая сторона могут свободно деформироваться в направлении вставки. Маркеры используются для визуализации деформации фантома и изготавливаются точно так же, за исключением добавления небольшого количества чернил для окрашивания. Всего в каждом фантоме скрыто 16 маркеров, как показано на рис. 11, где маркеры 1–8 представляют область рядом с путем введения иглы, а маркеры 13–16 обозначают область вблизи ограничений. Другие маркеры 9-12 представляют позиции в центре ткани. Движение маркеров, зафиксированное ПЗС-камерой (MV-EM510C/M), представляло собой деформацию соответствующих положений.Результаты деформации получаются с помощью технологии обработки изображений. Оборот изображения составляет 2456 × 2058 и размер пикселя до 3,45 × 3,45  мкм , частота кадров которых составляет 3 кадра/сек. Игла 20 G (PTC-B, Bardпериферические сосуды, Inc) со скошенным концом, скорость введения 6 мм/с. Датчик силы ATI с шестью степенями свободы использовался для измерения силы вставки и крутящего момента.

Рис. 11. Распределение маркеров на фантоме ПВА.

5.

2. Сравнение экспериментальных результатов и результатов моделирования

Метод точки материала, основанный на глобальной проверке взаимодействия иглы и ткани, включает проверку силы взаимодействия и проверки деформации. На рис. 12 показаны результаты визуализации деформации в направлении z. Суммарная сила материального точечного взаимодействия представляет собой интеграл осевой силы вдоль тела иглы. Общая глубина вставки составляет 42 мм. Сравнение силы моделирования и экспериментальных данных показано на рисунке 13.Фантомы одной и той же группы демонстрируют сходные кривые сила-перемещение, что указывает на хорошую повторяемость эксперимента. Фантомы в группе 2 генерируют большее выходное усилие, чем фантомы в группе 1, а перелом в группе 1 происходит на глубине 4 мм. Скорость роста усилия до разрушения, очевидно, отличается от таковой после разрушения в группе 2. Однако в группе 1 разрушение не является очевидным, что, вероятно, связано с более мягкими свойствами материала.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi. org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано в Интернете:
10 марта 2021 г.

Рисунок 12. Визуализация глобального взаимодействия иглы с тканью на основе контакта MPM.

Рисунок 13. Сравнение контактной силы MPM и экспериментально измеренной силы.

Результаты моделирования CFEMP показаны на рис. 14, что указывает на то, что максимальное количество фон Мизеса возникает на кончике иглы.Извлекается общая сила взаимодействия, рассчитанная из CFEMP в направлении введения, которая представляет собой интеграл силы, действующей на элементы иглы на каждом этапе. Сравнение с экспериментальными данными показано на рисунке 15. Как видно из рисунка 15, из-за разной жесткости мягкого фантома перелом происходит на 15 мм в группе 3 и на 6 мм в группе 4, а в группе 4 имеет тенденцию к большей силе взаимодействия. Скорость роста усилия с глубиной введения имеет явные отличия в группе 4. В основном результаты моделирования согласуются с экспериментальными данными и могут отражать характер силы взаимодействия в различных видах мягкого материала.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано в Интернете:
10 марта 2021 г.

Рисунок 14. Визуализация локального контакта CFEMP: максимум фон Мизеса возникает на кончике иглы.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано в Интернете:
10 марта 2021 г.

Рисунок 15. Сравнение контактной силы CFEMP и экспериментально измеренной силы.

Чтобы показать точность предложенной модели FEM, среднеквадратическая ошибка (RMSE) и средняя абсолютная ошибка (MAE), определенные как (Illera et al.2014; Иньигес-Маседо и соавт. 2019; Сомовилла-Гомез и соавт. 2020): (35) RMSE=1n∑k=1n(yk, EXP −yk,SIMU)2MAE=1n∑k=1n|yk, EXP −yk,SIMU|(35) где yk, EXP  и yk,SIMU экспериментальная сила и сила моделирования для смещения k соответственно. Возьмем среднюю силовую реакцию трех фантомов в каждой группе как yk,SIMU. n – номер дискретного смещения. В таблице 3 показаны ошибки RMSE и MAE, полученные с помощью контактного алгоритма MPM и CFEMP.Из таблицы можно сделать вывод, что точность CFEMP выше, чем контакт MPM.

Новый метод материальной точки (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано в Интернете:
10 марта 2021 г.

Таблица 3. Оценка точности модели контакта MPM и Контактная модель CFEMP.

Как экспериментальные данные, так и данные моделирования демонстрируют признаки небольшого увеличения и уменьшения силы взаимодействия. Однако амплитуда флуктуаций в МФМ больше экспериментальных данных.Имеются два источника, вызывающие флуктуации силы в МФМ: один из них — это кросс-сеточный шум, когда точки материала перемещаются из одной сетки в другую при глубоком введении иглы в ткань. Другим источником является боковая вибрация точек контакта во время итерации контакта, что может привести к тому, что некоторые точки контакта будут обнаружены как неконтактные. Тем не менее, флуктуации трудно полностью избежать, потому что MPM по своей сути является методом, основанным на сетке, где структурированная сетка будет регенерироваться, а частицы будут перемещаться через сетку во время итераций.Чтобы уменьшить влияние флуктуаций в будущем, в настоящее время мы рассматриваем два возможных подхода: один заключается в увеличении плотности точек материала и уменьшении размера сетки фоновой сетки, чтобы можно было минимизировать влияние межсеточного шума. . Другой заключается в повышении надежности алгоритма контакта и удалении высокочастотного шума в силовых данных путем применения надлежащего фильтра.

Количественная оценка деформации характеризуется извлечением перемещения позиций маркеров за 20 шагов вставки.Результирующая деформация u xy определяется как (36) uxy=ux2+uy2(36)

Максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка результирующей деформации 16 маркеров определяются как rmax и rmean соответственно, как показано в уравнении (37) (37) rmax=maxi=116|uxy exp (i)−uxysimu(i)|rmean=116∑i=116|uxy exp (i)−uxysimu(i)|(37) где uxy exp  и uxysimu представляют экспериментальную деформацию и деформацию моделирования соответственно. На рис. 16 показаны зависимости rmax и rmean от глубины введения для группы 1 и группы 2.Максимальная абсолютная ошибка возникает на глубине 9 мм, что находится в фазе отскока мягких тканей. Результаты показывают, что максимальная ошибка деформации результирующей деформации составляет менее 1 мм, а средняя абсолютная ошибка составляет менее 0,5 мм в течение всего процесса введения. В таблицах 4 и 5 приведены максимальная абсолютная ошибка в направлении X rmaxx, максимальная абсолютная ошибка в направлении Y rmaxy, средняя абсолютная ошибка в направлении X rmeanx и средняя абсолютная ошибка в направлении Y rmeany.

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано онлайн:
10 марта 2021 г.

Рис. 16. Максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка результирующей деформации. Таблица 4Максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка в направлении xy (группа 1).

Новый метод материальных точек (MPM), основанный на модели взаимодействия иглы и ткани https://doi.org/10.1080/10255842.2021.18

Опубликовано в Интернете:
10 марта 2021 г.

Таблица 5. Максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка в xy направление (группа 2).

6. Заключение и будущая работа

В этой работе новый метод материальных точек (MPM) применяется для установления взаимодействия иглы и ткани, что позволяет избежать трудностей, включая искажение сетки и адаптацию в традиционном МКЭ. Учитывая модель гиперупругого материала мягких тканей, деформация ткани и сила взаимодействия могут быть решены одновременно и независимо. Испытательный стенд для введения иглы в гидрогель поливинилового спирта (ПВС) сконструирован для проверки деформации ткани и силы взаимодействия. Результаты моделирования показывают, что данные эксперимента хорошо согласуются с предложенной моделью.

В будущем алгоритм контакта должен быть улучшен, чтобы избежать перекрестного шума сетки за счет использования более гладкой функции формы, а эффективность вычислений должна быть ускорена путем обновления алгоритма до параллельной архитектуры.

(с).

Рисунок 12. Визуализация глобального взаимодействия иглы и ткани на основе контакта MPM.

Рисунок 14. Визуализация локального контакта CFEMP: максимум фон Мизеса возникает на кончике иглы.

Рисунок 15. Сравнение контактной силы CFEMP и экспериментально измеренной сила.

Рис. 16. Максимальная абсолютная ошибка и средняя абсолютная ошибка результирующей деформации.

Приложения Gale — Технические трудности

Технические трудности

Приложение, к которому вы пытаетесь получить доступ, в настоящее время недоступно. Приносим свои извинения за доставленные неудобства. Повторите попытку через несколько секунд.

Если проблемы с доступом сохраняются, обратитесь за помощью в наш отдел технической поддержки по телефону 1-800-877-4253. Еще раз спасибо, что выбрали Gale, обучающую компанию Cengage.

org.springframework.remoting.RemoteAccessException: невозможно получить доступ к удаленной службе [[email protected]]; вложенным исключением является Ice.UnknownException unknown = “java.lang.IndexOutOfBoundsException: индекс 0 выходит за границы для длины 0 в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBounds(Preconditions.ява: 64) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBoundsCheckIndex(Preconditions.java:70) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.checkIndex(Preconditions.java:248) в java.base/java.util.Objects.checkIndex(Objects.java:372) в java.base/java.util.ArrayList.get(ArrayList.java:458) на com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure. populateSessionProperties(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.ява: 60) в com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.reQuery(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.java:53) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupEntitlementsManager.reinitializeUserGroupEntitlements(UserGroupEntitlementsManager.java:30) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupSessionManager.getUserGroupEntitlements(UserGroupSessionManager.java:17) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getProductSubscriptionCriteria(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:244) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getSubscribedCrossSearchProductsForUser(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:71) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getAvailableContentModulesForProduct(CrossSearchProductContentModuleFetcher. java:52) в ком.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.AbstractProductEntryAuthorizer.getContentModules(AbstractProductEntryAuthorizer.java:130) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.isAuthorized(CrossSearchProductEntryAuthorizer.java:82) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.authorizeProductEntry(CrossSearchProductEntryAuthorizer.java:44) в ком.gale.blis.api.authorize.strategy.ProductEntryAuthorizer.authorize(ProductEntryAuthorizer.java:31) в com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody0(BLISAuthorizationServiceImpl.java:57) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody1$advice(BLISAuthorizationServiceImpl.java:61) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize(BLISAuthorizationServiceImpl.java:1) на com. gale.blis.auth._AuthorizationServiceDisp._iceD_authorize(_AuthorizationServiceDisp.java:141) в com.gale.blis.auth._AuthorizationServiceDisp._iceDispatch(_AuthorizationServiceDisp.java:359) в IceInternal.Incoming.invoke(Incoming.java:209) в Ice.ConnectionI.invokeAll(ConnectionI.java:2800) в Ice.ConnectionI.dispatch(ConnectionI.java:1385) в Ice.ConnectionI.message(ConnectionI.java:1296) в IceInternal.ThreadPool.запустить (ThreadPool.java: 396) в IceInternal.ThreadPool.access$500(ThreadPool.java:7) в IceInternal.ThreadPool$EventHandlerThread.run(ThreadPool.java:765) в java.base/java.lang.Thread.run(Thread.java:834) ” org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.convertIceAccessException(IceClientInterceptor.java:365) org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.вызывать (IceClientInterceptor. java:327) org.springframework.remoting.ice.MonitoringIceProxyFactoryBean.invoke(MonitoringIceProxyFactoryBean.java:71) org.springframework.aop.framework.ReflectiveMethodInvocation.proceed(ReflectiveMethodInvocation.java:186) org.springframework.aop.framework.JdkDynamicAopProxy.invoke(JdkDynamicAopProxy.java:212) com.sun.proxy.$Proxy130.authorize(Неизвестный источник) ком.gale.auth.service.BlisService.getAuthorizationResponse(BlisService.java:61) com.gale.apps.service.impl.MetadataResolverService.resolveMetadata(MetadataResolverService.java:65) com.gale.apps.controllers.DiscoveryController.resolveDocument(DiscoveryController.java:57) com.gale.apps.controllers.DocumentController.redirectToDocument(DocumentController.java:22) jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor279.invoke (неизвестный источник) Джава.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43) java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566) org.springframework. web.method.support.InvocableHandlerMethod.doInvoke(InvocableHandlerMethod.java:215) org.springframework.web.method.support.InvocableHandlerMethod.invokeForRequest(InvocableHandlerMethod.java:142) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.ServletInvocableHandlerMethod.invokeAndHandle(ServletInvocableHandlerMethod.java:102) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.invokeHandlerMethod (RequestMappingHandlerAdapter.java:895) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.handleInternal (RequestMappingHandlerAdapter.java:800) org.springframework.web.servlet.mvc.method.AbstractHandlerMethodAdapter.дескриптор (AbstractHandlerMethodAdapter.java:87) org.springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doDispatch(DispatcherServlet.java:1038) org.springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doService(DispatcherServlet.java:942) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.processRequest(FrameworkServlet. java:998) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.doGet(FrameworkServlet.java:890) javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:626) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.service(FrameworkServlet.java:875) javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:733) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:227) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) орг.apache.tomcat.websocket.server.WsFilter.doFilter(WsFilter.java:53) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.catalina.filters.HttpHeaderSecurityFilter.doFilter(HttpHeaderSecurityFilter.java:126) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.ява: 189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain. java:162) org.springframework.web.servlet.resource.ResourceUrlEncodingFilter.doFilter(ResourceUrlEncodingFilter.java:63) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) орг.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.внутреннийDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain. internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.ява: 162) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:130) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.access$000(ErrorPageFilter.java:66) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter$1.doFilterInternal(ErrorPageFilter.java:105) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) орг.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:123) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.actuate.web.trace.servlet.HttpTraceFilter.doFilterInternal(HttpTraceFilter.java:90) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter. java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.RequestContextFilter.doFilterInternal (RequestContextFilter.java: 99) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.FormContentFilter.doFilterInternal (FormContentFilter.java:92) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.HiddenHttpMethodFilter. doFilterInternal (HiddenHttpMethodFilter.java:93) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.внутреннийDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.filterAndRecordMetrics(WebMvcMetricsFilter.java:154) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.filterAndRecordMetrics(WebMvcMetricsFilter.java:122) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.doFilterInternal(WebMvcMetricsFilter.java:107) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework. web.filter.CharacterEncodingFilter.doFilterInternal (CharacterEncodingFilter.java:200) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.catalina.core.StandardWrapperValve.invoke(StandardWrapperValve.ява: 202) org.apache.catalina.core.StandardContextValve.invoke(StandardContextValve.java:97) org.apache.catalina.authenticator.AuthenticatorBase.invoke(AuthenticatorBase.java:542) org.apache.catalina.core.StandardHostValve.invoke(StandardHostValve.java:143) org.apache.catalina.valves.ErrorReportValve.invoke(ErrorReportValve.java:92) org.apache.catalina.valves.AbstractAccessLogValve.invoke(AbstractAccessLogValve.ява: 687) org.apache.catalina.core.StandardEngineValve.invoke(StandardEngineValve.java:78) org.apache.catalina.connector.CoyoteAdapter. service(CoyoteAdapter.java:357) org.apache.coyote.http11.Http11Processor.service(Http11Processor.java:374) org.apache.coyote.AbstractProcessorLight.process(AbstractProcessorLight.java:65) org.apache.coyote.AbstractProtocol$ConnectionHandler.process(AbstractProtocol.ява: 893) org.apache.tomcat.util.net.NioEndpoint$SocketProcessor.doRun(NioEndpoint.java:1707) org.apache.tomcat.util.net.SocketProcessorBase.run(SocketProcessorBase.java:49) java.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor.runWorker(ThreadPoolExecutor.java:1128) java.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor$Worker.run(ThreadPoolExecutor.java:628) org.apache.tomcat.util.threads.TaskThread$WrappingRunnable.запустить (TaskThread.java: 61) java.base/java.lang.Thread.run(Thread.java:834)

Сопротивление материалов | Механика материалов

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.


Сопротивление материалов , также известный как механика материалов , ориентирован на анализ напряжений и прогибов в материалах под нагрузкой.Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предусмотренные для них нагрузки.

Стресс и напряжение

Когда сила приложена к элементу конструкции, этот элемент будет испытывать как напряжение, так и деформацию в результате действия силы. Напряжение — это сила, переносимая элементом на единицу площади, и типичными единицами измерения являются фунт-сила/дюйм 2 (psi) для обычных единиц США и Н/м 2 (Па) для единиц СИ:

где F — приложенная сила, а A — площадь поперечного сечения, на которое действует сила.Приложенная сила заставит элемент конструкции деформироваться на некоторую длину пропорционально его жесткости. Деформация – это отношение деформации к исходной длине детали:

где L — деформированная длина, L 0 — исходная недеформированная длина, а δ — деформация (разница между ними).

Существуют различные типы нагрузки, которые приводят к различным типам напряжения, как указано в таблице ниже:

Тип загрузки Тип напряжения Иллюстрация
Осевая сила
  • Осевое напряжение
    (общий случай)
  • Напряжение при растяжении
    (если сила растягивающая)
  • Напряжение сжатия
    (если сила сжимающая)
Сила сдвига Напряжение поперечного сдвига
Изгибающий момент Напряжение при изгибе
Торсион Напряжение кручения

Осевое напряжение и напряжение изгиба являются формами нормального напряжения , σ, поскольку направление силы перпендикулярно площади, противодействующей силе.Напряжение поперечного сдвига и напряжение кручения являются формами напряжения сдвига , τ, поскольку направление силы параллельно площади, противодействующей силе.

Нормальное напряжение
Осевое напряжение:
Напряжение при изгибе:
Напряжение сдвига
Поперечное напряжение:
Напряжение кручения:

В уравнениях для осевого напряжения и поперечного напряжения сдвига F — сила, а A — площадь поперечного сечения элемента.В уравнении для напряжения изгиба M — изгибающий момент, y — расстояние между центральной осью и внешней поверхностью, а I c — центральный момент инерции поперечного сечения относительно соответствующей оси. В уравнении для напряжения кручения T — это кручение, r — радиус, а J — полярный момент инерции поперечного сечения.

В случае осевого напряжения на прямолинейном участке напряжение распределяется равномерно по всей площади.В случае касательного напряжения распределение максимально в центре поперечного сечения; однако среднее напряжение определяется как τ = F/A, и это среднее напряжение сдвига обычно используется при расчете напряжения. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о касательных напряжениях в балках. В случае напряжения изгиба и напряжения кручения максимальное напряжение возникает на внешней поверхности. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о напряжениях изгиба в балках.



Так же, как первичными типами напряжения являются нормальное напряжение и напряжение сдвига, основными типами деформации являются нормальная деформация и деформация сдвига .В случае нормальной деформации деформация нормальна к области, воспринимающей силу:

В случае деформации поперечного сдвига деформация параллельна площади, несущей силу:

где γ – деформация сдвига (безразмерная), а ϕ – деформированный угол в радианах.

В случае деформации кручения элемент скручивается на угол ϕ вокруг своей оси.Максимальная деформация сдвига возникает на внешней поверхности. В случае круглого стержня максимальная деформация сдвига определяется по формуле:

где ϕ — угол закручивания, r — радиус стержня, а L — длина.

Деформации сдвига пропорциональны внутренней части стержня и связаны с максимальной деформацией сдвига на поверхности следующим образом:

где ρ — радиальное расстояние от оси стержня.

Закон Гука

Напряжение пропорционально деформации в упругой области кривой напряжения-деформации материала (ниже предела пропорциональности, где кривая является линейной).

Нормальный стресс и деформация связаны:

σ = E &varepsilon;

где E — модуль упругости материала, σ — нормальное напряжение, &varepsilon; это нормальное напряжение.

Касательное напряжение и деформация связаны соотношением:

т = G γ

где G — модуль сдвига материала, τ — касательное напряжение, γ — сдвиговая деформация.Модуль упругости и модуль сдвига связаны соотношением:

где ν — коэффициент Пуассона.

Закон Гука аналогичен уравнению силы пружины, F = k δ. По сути, все можно рассматривать как пружину. Закон Гука можно изменить, чтобы получить деформацию (удлинение) материала:

Осевое удлинение
(от нормального напряжения)
Угол закручивания
(от напряжения сдвига/кручения)

Энергия деформации

Когда к элементу конструкции прикладывается сила, этот элемент деформируется и накапливает потенциальную энергию, как пружина.Энергия деформации (т. е. количество потенциальной энергии, накопленной в результате деформации) равна работе, затраченной на деформацию элемента. Полная энергия деформации соответствует площади под кривой отклонения нагрузки и выражается в дюймо-фунтах в обычных единицах США и Н-м в единицах СИ. Энергия упругой деформации может быть восстановлена, поэтому, если деформация остается в пределах предела упругости, то вся энергия деформации может быть восстановлена.

Энергия деформации рассчитывается как:

Общая форма: U = Работа = ∫ F дл (площадь под кривой нагрузки-прогиба)
В пределах эластичности: (площадь под кривой нагрузки-прогиба)
(потенциальная энергия пружины)

Обратите внимание, что есть два уравнения для энергии деформации в пределе упругости.Первое уравнение основано на площади под кривой отклонения нагрузки. Второе уравнение основано на уравнении потенциальной энергии, запасенной в пружине. Оба уравнения дают один и тот же результат, просто они выводятся несколько по-разному.

Более подробную информацию об энергии деформации можно найти здесь.



Жесткость

Жесткость, обычно называемая жесткостью пружины, представляет собой усилие, необходимое для деформации элемента конструкции на единицу длины.Все конструкции можно рассматривать как наборы пружин, а силы и деформации в конструкции связаны уравнением пружины:

F = k δ макс.

где k — жесткость, F — приложенная сила, а δ max — максимальный прогиб элемента.

Если прогиб известен, то жесткость элемента можно найти, решив k = F/δ max . Однако максимальное отклонение обычно неизвестно, поэтому жесткость необходимо рассчитывать другими способами.Таблицы прогиба балки можно использовать для общих случаев. Два наиболее полезных уравнения жесткости, которые нужно знать, — это уравнения жесткости для балки с осевой нагрузкой и для консольной балки с торцевой нагрузкой. Обратите внимание, что жесткость зависит от модуля упругости материала E, геометрии детали и конфигурации нагрузки.

Крутильный эквивалент уравнения пружины:

Т = к ϕ

Особый интерес представляет жесткость вала при нагрузке на кручение:

Жесткость
[дюйм*фунт-сила/рад]
Макс. отклонение
[рад]
Иллюстрация
Вал с торсионной нагрузкой:

Структура с несколькими путями нагрузки

Если в конструкции несколько путей нагрузки (т. е. если в конструкции есть несколько элементов, которые разделяют нагрузку), нагрузка будет выше в более жестких элементах. Чтобы найти нагрузку, которую несет какой-либо отдельный элемент, сначала рассчитайте эквивалентную жесткость элементов на пути нагрузки, рассматривая их как пружины. В зависимости от их конфигурации они будут рассматриваться как некоторая комбинация последовательно соединенных и параллельных пружин.

Если элементы на пути нагрузки нельзя рассматривать только как пружины, соединенные последовательно или как пружины, соединенные параллельно, а скорее они представляют собой комбинацию пружин, соединенных последовательно и параллельно, то проблему необходимо будет решать итеративно.Найдите подгруппу стержней, которые либо чисто последовательно, либо параллельно, и используйте предоставленные уравнения для расчета эквивалентной жесткости, силы и прогиба в подгруппе. Затем подгруппу можно рассматривать как одну пружину с рассчитанными жесткостью, силой и прогибом, и эту пружину можно рассматривать как часть другой подгруппы пружин. Продолжайте группировать участников и решать, пока не будет достигнут желаемый результат.

Концентрация стресса

Можно представить, что силы и напряжения протекают через материал, как показано на рисунке ниже.Когда геометрия материала изменяется, линии потока перемещаются ближе или дальше друг от друга, чтобы приспособиться. Если в материале есть разрыв, такой как отверстие или выемка, напряжение должно течь вокруг разрыва, и линии потока будут собираться вблизи этого разрыва. Эта внезапная упаковка линий потока приводит к скачку напряжения – это пиковое напряжение называется концентрацией напряжения . Элемент, который вызывает концентрацию напряжения, называется концентратор напряжения .

Концентрации напряжений учитываются с помощью коэффициентов концентрации напряжений . Чтобы найти фактическое напряжение в непосредственной близости от несплошности, рассчитайте номинальное напряжение в этой области, а затем масштабируйте его с помощью соответствующего коэффициента концентрации напряжения:

σ макс. = K σ ном.

где σ max — фактическое (масштабированное) напряжение, σ nom — номинальное напряжение, а K — коэффициент концентрации напряжения.При расчете номинального напряжения используйте максимальное значение напряжения в этой области. Например, на рисунке выше следует использовать наименьшую площадь в основании скругления.

Многие справочники содержат таблицы и кривые коэффициентов концентрации напряжений для различных геометрий. Двумя наиболее полными наборами факторов концентрации стресса являются факторы концентрации стресса Петерсона и формулы Рорка для стресса и деформации. MechaniCalc также предоставляет набор интерактивных графиков для общих факторов концентрации напряжений.

Концентрация напряжения будет рассеиваться по мере удаления от источника напряжения. Принцип Сен-Венана – это общее практическое правило, согласно которому расстояние, на котором рассеивается концентрация напряжений, равно наибольшему размеру поперечного сечения, несущего нагрузку.

Расчет концентрации напряжений особенно важен, когда материалы очень хрупкие или когда существует только один путь нагрузки. В пластичных материалах локальная текучесть позволит перераспределить напряжения и уменьшит напряжение вокруг райзера.По этой причине коэффициенты концентрации напряжений обычно не применяются к конструктивным элементам, изготовленным из пластичных материалов. Коэффициенты концентрации напряжения также обычно не применяются при наличии избыточного пути нагрузки, и в этом случае текучесть одного элемента позволит перераспределить силы на элементы на других путях нагрузки. Примером этого является шаблон болтов. Если один болт начнет прогибаться, то другие болты в схеме примут на себя большую нагрузку.

Комбинированные напряжения

В любой точке нагруженного материала общее напряженное состояние можно описать тремя нормальными напряжениями (по одному в каждом направлении) и шестью касательными напряжениями (по два в каждом направлении):

Нижние индексы нормальных напряжений σ указывают направление нормальных напряжений. Нижние индексы касательных напряжений τ состоят из двух компонентов. Первый указывает направление нормали к поверхности, а второй указывает направление самого напряжения сдвига.

Обычно напряжения в одном направлении равны нулю, так что полное напряженное состояние возникает в одной плоскости, как показано на рисунке ниже. Это называется плоскостное напряжение . Плоское напряжение возникает в тонких пластинах, но оно также возникает на поверхности любой нагруженной конструкции. Поверхностные напряжения обычно являются наиболее критическими напряжениями, поскольку напряжение изгиба и напряжение кручения максимальны на поверхности.

На рисунке выше σ x и σ y — нормальные напряжения, а τ — напряжение сдвига. Напряжения уравновешиваются так, что точка находится в статическом равновесии. Поскольку все напряжения сдвига равны по величине, индексы для простоты опущены. (Обратите внимание, однако, что знак напряжений на грани x будет противоположен знаку напряжений на грани y . )

Надлежащие соглашения о знаках показаны на рисунке.При нормальном напряжении растягивающее напряжение положительно, а сжимающее отрицательно. Для касательного напряжения направление по часовой стрелке является положительным, а против часовой стрелки — отрицательным.

Если напряжения на рисунке выше известны, можно найти нормальное напряжение и напряжение сдвига в плоскости, повернутой на некоторый угол θ по отношению к горизонтали, как показано на рисунке ниже. Приведенные ниже уравнения преобразования дают значения нормального напряжения и напряжения сдвига на этой повернутой плоскости.


Нормальное напряжение:
Напряжение сдвига:

Обратите внимание, что на рисунке выше θ отсчитывается от оси x, а положительное значение θ — против часовой стрелки.

В любой точке материала можно найти углы плоскости, при которых нормальные напряжения и напряжения сдвига максимальны и минимальны. Максимальное и минимальное нормальные напряжения называются главными напряжениями . Максимальное и минимальное напряжения сдвига называются экстремальными напряжениями сдвига . Углы главных напряжений и экстремальных касательных напряжений находятся путем взятия производной каждого уравнения преобразования по θ и нахождения значения θ, при котором производная равна нулю.

Углы главных напряжений:
Углы предельного напряжения сдвига:

Приведенные выше углы можно подставить обратно в уравнения преобразования, чтобы найти значения главных напряжений и предельных касательных напряжений:

Главные напряжения:
Экстремальные напряжения сдвига:

Углы, под которыми возникают главные напряжения, составляют 90 ° друг от друга.Главные напряжения всегда сопровождаются нулевым касательным напряжением. Углы, под которыми возникают предельные касательные напряжения, составляют 45 ° от углов главных напряжений. Экстремальные касательные напряжения сопровождаются двумя равными нормальными напряжениями (σ x + σ y )/2.

Пара полезных отношений:

σ 1 +плюс; σ 2 = σ x + σ г Сумма нормальных напряжений постоянна.
Максимальное касательное напряжение равно половине разности главных напряжений.

Круг Мора

Круг Мора — это способ визуализации напряженного состояния в точке нагруженного материала. Это дает интуитивное представление об уравнениях преобразования напряжений и показывает, как напряжения на элементе изменяются в зависимости от угла поворота θ. Из круга Мора также становится ясно, каковы главные напряжения, экстремальные касательные напряжения и углы, под которыми эти напряжения возникают. Пример круга Мора показан на рисунке ниже:

Чтобы построить круг Мора, сначала найдите центр круга, взяв среднее значение нормальных напряжений:

Поместите точки на круге, представляющие напряжения на гранях x и y элемента напряжения. Напряжения на грани x будут иметь координаты ( σ x , −τ ), а напряжения на грани y будут иметь координаты ( σ y , τ ).Поместите точки на окружности для главных напряжений. Максимальное главное напряжение будет иметь координаты ( σ 1 , 0 ), а минимальное главное напряжение будет иметь координаты ( σ 2 , 0 ). Поместите точки на окружность для экстремальных касательных напряжений. Максимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты ( σ c , τ 1  ), а минимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты (  σ c , τ 2  ).

Все точки будут лежать на периметре окружности. Окружность имеет радиус, равный величине предельных касательных напряжений:

Напряженное состояние на гранях x и y напряженного элемента представлено черной линией в круге Мора, соединяющей точки ( σ x , −τ ) и ( σ y , τ ). Эта линия в круге Мора соответствует невращенному элементу на рисунке ниже. Если эту линию повернуть на некоторый угол, то значения точек в конце повернутой линии дадут значения напряжения на гранях x и y повернутого элемента.Важно отметить, что 360 градусов круга Мора эквивалентны 180 градусам на элементе напряжения. Например, точки грани x и грани y разнесены на 180 градусов на круге Мора, но только на 90 градусов на элементе напряжения.

Чтобы получить более интуитивное представление о том, как круг Мора связывает напряжения в нагруженном элементе и как меняется напряженное состояние в зависимости от угла поворота, см. прилагаемый калькулятор круга Мора.

Приложения

Есть много структурных компонентов, которые обычно подвергаются анализу напряжений. Подробности анализа этих компонентов приведены в других разделах:



Расчет допустимого напряжения

Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предусмотренные для них нагрузки. Всегда желательно, чтобы напряжения в конструкции оставались в пределах прочности конструкции.Предел текучести материала обычно выбирают в качестве предела прочности, с которым сравнивают расчетные напряжения.

Коэффициент безопасности , FS, рассчитывается как:

где σ фактическое — расчетное напряжение в конструкции, а σ предел — максимальный предел напряжения, обычно прочность материала, такая как предел текучести (S ty ). Коэффициент безопасности показывает, насколько фактическое напряжение ниже предельного напряжения.Значение FS должно быть больше или равно 1, чтобы конструкция не вышла из строя, но инженеры почти всегда будут проектировать с некоторым требуемым коэффициентом безопасности, превышающим 1. Требуемый коэффициент безопасности будет варьироваться в зависимости от критичности конструкции (т.е. последствия разрушения конструкции), а также условия нагружения (т. е. какие типы нагрузок применяются, насколько предсказуемы нагрузки и т. д.). Высокий FS приведет к созданию очень безопасной конструкции, но если значение FS слишком велико, то конструкция может стать настолько большой и тяжелой, что больше не сможет успешно выполнять свою предназначенную функцию.Поэтому существует множество компромиссов при выборе подходящего фактора безопасности. Типичные значения FS варьируются от 1,15 до 10.

Запас прочности рассчитывается как:

В приведенном выше уравнении любое значение выше нуля указывает на то, что фактическое напряжение ниже предельного напряжения. Хотя запасы безопасности обычно представляются в виде десятичных значений, гораздо более интуитивно понятно думать о запасах в процентах. Например, если предельное напряжение конструкции равно 1.В 5 раз выше, чем фактическое напряжение, имеется запас 50% (MS = 0,5).

При сообщении коэффициентов безопасности и пределов безопасности иногда требуемый коэффициент безопасности будет «запекаться» в сообщаемых факторах. Например, инженеры могут потребовать, чтобы конструкция поддерживала коэффициент безопасности не менее 2, так что FS req = 2. Чтобы обеспечить требуемый коэффициент безопасности, сообщаемые FS и MS рассчитываются как:

Обратите внимание, что при включении требуемого коэффициента запаса прочности, FS req , заявленные FS и MS на самом деле являются запасами по отношению к FS req , а не по отношению к напряжению.


PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации, основанный на этой справочной странице прочности материалов. Этот курс можно использовать для выполнения кредитных требований PDH для поддержания вашей лицензии PE.

Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, заработайте за это признание!


Каталожные номера

  1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроение Шигли», 8-е издание.
  2. Доулинг, Норман Э., «Механическое поведение материалов: инженерные методы деформации, разрушения и усталости», 3-е издание.
  3. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е издание.
  4. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена PE», 13-е издание.
  5. Пилки, Уолтер Д. и Пилки, Дебора Ф., «Факторы концентрации стресса Петерсона», 3-е издание.
  6. «Формулы Рорка для стресса и напряжения», 8-е издание.

Анализ деформации в механике твердого тела

Строительная механика  Анализ деформации

Анализ деформации в механике твердого тела

Анализ деформации лежит в основе изучения всех задач механики твердого тела.

Уравнения механики твердого тела обычно формулируются путем отслеживания определенного объема материала при его перемещении, вращении и деформации. Это называется лагранжевой формулировкой , в отличие от эйлеровой формулировки , обычно используемой во многих других областях физики, таких как анализ потока жидкости. Основа эйлеровой формулировки вращается вокруг потоков, входящих и исходящих из контрольного объема, фиксированного в пространстве.

В контексте анализа конечных элементов обычно используются два различных варианта лагранжевых формулировок:

  1. В формулировке полного лагранжа уравнения основаны на исходной конфигурации тела

  2. В обновленной лагранжевой формулировке уравнения основаны на текущей конфигурации тела

Эти две формулировки математически эквивалентны в том смысле, что одна может быть преобразована в другую путем формального применения ряда преобразований.Однако формулировки имеют разные достоинства, когда речь идет о численной эффективности формулировок конечных элементов.

Развитие теории предполагает, что твердый материал можно рассматривать как континуум. Масштаб длины значительно больше молекулярного масштаба, поэтому свойства однородны, но достаточно малы, чтобы их можно было рассматривать как бесконечно малые с математической точки зрения.

Системы координат и перемещения

Пусть координаты обозначают исходное положение материальной частицы.Можно рассматривать как метку, которая прилипает к определенной частице на протяжении всей истории деформации. Эта система координат называется системой координат материала (или кадром материала ).

В определенное время частица переместилась в новое место. Для простоты предположим, что оба набора координат имеют одинаковое начало и ориентацию. Координаты находятся в системе пространственных координат (или пространственном кадре ). Пространственная система координат закреплена в пространстве, тогда как материальная система координат закреплена за телом.

Вектор, указывающий от исходного положения точки тела к ее новому местоположению, является вектором смещения, . Поскольку исходные координаты являются независимыми переменными, это лагранжева формулировка. Таким образом, перемещение обеспечивает переход от материального к пространственному каркасу, .

Связь между материальными и пространственными координатами точки. Связь между материальными и пространственными координатами точки.

Пока поле смещения не представляет чистое движение твердого тела, в форме материала происходят локальные изменения, которые называются деформациями или растяжениями . Эти изменения могут заключаться в изменении объема или формы локального небольшого домена. Деформации вызовут внутренние силы в материале (напряжения ) и, возможно, даже разрушение. Чтобы успешно описать поведение материала, искажение должно быть описано таким образом, который не зависит, например, от движения твердого тела.Есть несколько способов, которыми мы можем описать деформацию материала, как мы обсудим ниже.

Градиент деформации

Градиент деформации определяется как

где – тождественный тензор. В матричной форме

Градиент деформации содержит полную информацию о локальном вращении и деформации материала. Он также показывает, например, как небольшой отрезок линии в недеформированном теле поворачивается и растягивается в отрезок линии в деформированном теле , поскольку .Первый столбец тензора (если рассматривать его как матрицу) дает масштаб и ориентацию линейного сегмента, первоначально ориентированного в направлении X и так далее. С математической точки зрения, это матрица Якоби преобразования из в , поэтому ее определитель, , является масштабным коэффициентом локального объема. Для несжимаемого материала .

Бесконечно малый отрезок линии растягивается и поворачивается под действием градиента деформации. Бесконечно малый отрезок линии растягивается и вращается под действием градиента деформации.

Используя теорему о полярном разложении , которая утверждает, что любой тензор второго порядка можно разложить на произведение чистого вращения и симметричного тензора, можно отделить вращение твердого тела от деформации:

Это можно интерпретировать как деформацию, описываемую правым тензором растяжения , за которым следует жесткое вращение с помощью матрицы чистого вращения. Таким образом, при отсутствии вращения правый тензор растяжения представляет собой градиент деформации, поэтому интерпретация аналогична интерпретации .

Разложение на деформацию с последующим вращением. Разложение на деформацию с последующим поворотом.

В равной степени можно разложить градиент деформации на

Сначала выполняется вращение твердого тела, а затем деформируется повернутый объем. Деформация описывается левым тензором растяжения .

Разложение на вращение с последующей деформацией. Разложение на вращение с последующей деформацией.

Два тензора растяжения связаны посредством чистого вращения; Например, . Здесь используется тот факт, что транспонирование матрицы вращения также является ее обратной ().

Вычисление полярного разложения на практике требует значительных вычислительных ресурсов, поэтому его обычно избегают. Однако это понятие очень полезно в теоретических рассуждениях.

Можно вычислить меру деформации, которая не зависит от вращения, не зная матрицы вращения:

Тензор называется правым тензором деформации Коши-Грина .

Этот тензор часто используется, например, при описании основных свойств гиперупругих материалов. Поскольку он формируется только из тензора, он описывает деформацию материала «до» вращения.

Аналогично,

Тензор называется левым тензором деформации Коши-Грина .

Оба и не зависят от поворота, но описывают деформацию в двух разных системах координат. Тензор представляет собой тензор материала , описывающий деформацию в системе координат материала, а является пространственным тензором , описывающим деформацию в системе пространственных координат.

Растяжка

Растяжение в неформальном смысле определяется как отношение между текущей длиной и исходной длиной,

так, что растяжение в недеформированном состоянии равно 1.

В более общем случае собственные значения тензоров и представляют особый интерес. Три собственных значения (, , и ) называются основными участками . Их соответствующие собственные векторы задают три ортогональных направления (в материальной системе координат).Если изучить небольшой куб с ребрами вдоль этих направлений, он будет деформирован в кубоид, но сохранит прямые углы между всеми ребрами. Изменения длин ребер задаются главными участками.

Главные растяжения (в предположении, что толщина не меняется так, что λ2 = 1). Главные растяжения (в предположении, что толщина не меняется так, что λ2 = 1).

Таким образом, изменение объема может быть записано как произведение основных растяжений:

Вычислительно более удобный тензор имеет те же главные направления, что и , но собственные значения , , и .Таким образом, основные растяжения обычно вычисляются с использованием, а не .

Для недеформированного материала (только движение твердого тела), . Этот факт дает понять, почему на практике в основном используется для описания материалов с большим растяжением, таких как резина. Для таких материалов, как металлы, напряжения часто составляют порядка . Если бы в качестве меры деформации материала использовалось растяжение, то для описания деформации использовался бы диапазон растяжения от 0,99 до 1,01 или даже от 0,9999 до 1,0001.

Левый тензор деформации Коши-Грина также имеет главные растяжения в качестве собственных значений. Однако главные направления ориентированы относительно пространственных направлений, поскольку описывают растяжения после вращения твердого тела.

Тензоры деформации

Чтобы получить меру деформации, основанную на нуле, единичный тензор вычитается из . Это дает тензор деформации Грина-Лагранжа , определенный как

Этот тензор также описывает деформацию материала до любого поворота, но со всеми компонентами, равными нулю в недеформированном состоянии.В компонентной форме это может быть записано как

.

, где предполагается суммирование по повторяющимся индексам ( правило суммирования Эйнштейна ).

Пример диагонального элемента тензора деформации Грина-Лагранжа:

и пример недиагонального элемента

Собственные значения тензора деформаций Грина-Лагранжа называются главными деформациями и имеют ту же ориентацию (материальный каркас), что и главные деформации.

Когда и деформации, и повороты твердого тела малы, квадратичными членами тензора деформации Грина-Лагранжа можно пренебречь. Это приводит к хорошо известному тензору инженерных деформаций ,

с такими компонентами, как

и

Диагональные члены тензора деформаций называются нормальными деформациями или прямыми деформациями . Они описывают расширение вдоль каждой из координатных осей.Недиагональные члены представляют собой компоненты сдвига тензора деформации и описывают изменения углов между отрезками прямой. Здесь есть риск путаницы в терминологии, так как в машиностроении за величиной принято присваивать название «деформация сдвига». Это потому, что непосредственно измеряет изменение углов (в радианах).

Нормальная деформация (вверху) и сдвиговая деформация (внизу) Нормальная деформация (вверху) и деформация сдвига (внизу)

Деформации сдвига дают изохорную деформацию; то есть деформация без изменения объема. Относительное изменение объема для малых деформаций определяется суммой прямых деформаций:

Изменение перспективы

Если взять за отправную точку анализа деформированную форму, то можно провести аналогичное развитие теории. Это не будет подробно рассматриваться здесь, но шаги аналогичны. Исходное местоположение и смещения рассматриваются как функция текущего местоположения, поэтому все производные берутся по пространственным координатам.Сегмент линии текущей длины имеет начало в сегменте линии, который можно найти с помощью .

Тензор деформации Альманси определяется как

При записи компонентов,

Обратите внимание, что производные теперь берутся по пространственным координатам.

Истинный штамм

Иногда используется термин истинный штамм . В одноосном определении истинной деформации приращение деформации определяется как

.

Определение истинной деформации основано на текущей длине, поэтому после интегрирования

, поэтому истинный штамм также называют логарифмическим штаммом . Обобщение на 3D называется тензором деформации Хенки ,

Сравнение измерений деформации

Если стержень с начальной длиной растягивается (или сжимается) на расстояние , то различные меры деформации для деформации в осевом направлении следующие.

Инженерный штамм:

Растяжка:

Штамм Грина-Лагранжа:

Штамм Альманси:

Истинный штамм:

На приведенном ниже графике видно, что все показатели деформации хорошо совпадают с точностью примерно до ±10%, но при более высоких значениях деформации наблюдаются значительные различия.Инженерная деформация и растяжение пропорциональны деформации и отличаются только вертикальным сдвигом.

Сравнение различных мер деформации. Сравнение различных мер деформации.

Совместимость штаммов

Поскольку тензор деформаций состоит из производных перемещений, не все поля деформаций допустимы. Есть только три компонента вектора смещения, поэтому объединение различных компонентов деформации не может дать уникальный набор перемещений, если они не удовлетворяют определенным критериям совместимости .Для инженерных деформаций должны выполняться следующие уравнения:

Из-за симметрии тензора деформации только 6 из этих 81 уравнений нетривиальны. Эти

Градиент скорости и временные производные деформации

С градиентом деформации связан также градиент скорости. Он определяется как пространственный градиент вектора скорости,

Градиент скорости можно разложить на симметричную и антисимметричную части, называемые тензором скорости деформации и тензором спина соответственно:

Градиент скорости имеет важное отношение к производной градиента деформации по времени:

Используя этот результат, производная по времени деформации Грина-Лагранжа также может быть выражена через градиент скорости,

Последнее тождество связано с симметрией тензора деформации.

Пример анализа деформации: вращение твердого тела

Рассмотрим поворот твердого тела на угол в xy -плоскости:

Если предполагается, что начало системы координат находится в левом нижнем углу, новое местоположение определенной точки ( x , y ) можно записать как функцию исходных координат ( X , ). Y ) как

Тогда смещения равны

Затем можно рассчитать градиент деформации по его определению, что даст

, так что правый тензор Коши-Грина равен

.

Точно так же левый тензор Коши-Грина равен .Из определений видно, что тензоры деформации Грина-Лагранжа и Альманси тождественно равны нулю. Кроме того, поскольку все основные растяжения имеют значение единица, тензор деформации Хенки равен нулю.

Тензор инженерной деформации, однако, содержит следующие значения

Для малых углов расширение серии дает

На первый взгляд это выглядит как небольшая ошибка. Однако деформации значительны уже при малых численных значениях. В металле существенные напряжения обычно возникают при деформациях порядка 0.01%. Это означает, что использование инженерного тензора деформации приведет к значительным ошибкам даже при повороте твердого тела на 1°.

Пример анализа деформации: большой сдвиг

Квадрат срезан углом в ромб, как показано на рисунке ниже. Внеплоскостной деформации нет.

Простые ножницы.

Простые ножницы.

Отображение материала в пространственный фрейм (Z — направление вне плоскости):

Выражение представляет собой величину сдвига, которая дает следующие поля смещения

Тогда градиент деформации будет

Мы сразу видим, что , так что деформация сохраняет объем.Это также соответствует ожиданиям на приведенном выше рисунке, поскольку исходный квадрат был деформирован в ромб той же площади.

Правый тензор растяжения Коши-Грина и тензор деформации Грина-Лагранжа равны

и

соответственно.

Диагональные элементы тензора деформации Грина-Лагранжа могут быть интерпретированы. Волокно, изначально ориентированное вдоль оси X , не растянулось, тогда как волокно вдоль оси Y растянулось.Однако новая длина этого волокна не может быть извлечена непосредственно из тензора деформации.

Для малых углов и , получен тензор инженерной деформации для чистого сдвига:

Полярное разложение можно, приложив некоторые усилия, вычислить. Настройка , затем

и

где .

Главные участки, которые являются собственными значениями , обычно сортируются в порядке убывания. Их

Второе основное растяжение, так как отсутствует внеплоскостное растяжение.

Собственные векторы правого тензора растяжения являются главными осями растяжения. В этом примере они могут быть выражены как

, , и

Для дальнейшего численного исследования задачи угол сдвига устанавливается равным . Затем , , и . Градиент деформации становится

Жесткая часть вращения, , может быть найдена численно из матрицы вращения, так как .

Основные участки

Ориентация первой главной оси растяжения равна 58.3° от горизонтальной оси.

На рисунке ниже деформация разложена на чистое растяжение и чистое вращение. Синий квадрат ориентирован так, чтобы он соответствовал основным направлениям растяжения; он повернут на 58,3°. Мы видим, что он принимает чисто прямоугольную форму и что ориентация не меняется во время растягивающей части разложенного смещения.

Исходная конфигурация (слева), только растяжение (в центре) и растяжение с последующим вращением (справа). Исходная конфигурация (слева), только растяжение (в центре) и растяжение с последующим вращением (справа). Опубликовано: 19 апреля 2018 г.
Последнее изменение: 11 марта 2021 г.

механика твердых тел | физика

механика твердого тела наука, связанная с напряжением, деформацией и разрушением твердых материалов и конструкций.

Что же такое твердое тело? Любой материал, жидкий или твердый, может поддерживать нормальные силы.Это силы, направленные перпендикулярно или нормально к материальной плоскости, через которую они действуют. Сила, приходящаяся на единицу площади этой плоскости, называется нормальным напряжением. Вода на дне пруда, воздух в автомобильной покрышке, камни римской арки, скалы у подножия горы, обшивка герметичной кабины самолета, натянутая резинка и кости бегуна — все это поддерживает сила таким образом (некоторые только когда сила сжимающая).

Британская викторина

Викторина “Все о физике”

Кто первым из ученых провел эксперимент по управляемой цепной ядерной реакции? Какова единица измерения циклов в секунду? Проверьте свою физику с помощью этого теста.

Материал называется твердым, а не жидким, если он также может выдерживать значительную силу сдвига во временном масштабе какого-либо интересующего природного процесса или технологического применения. Силы сдвига направлены параллельно, а не перпендикулярно поверхности материала, на которую они действуют; сила, приходящаяся на единицу площади, называется напряжением сдвига. Например, рассмотрим вертикальный металлический стержень, который прикреплен к опоре своим верхним концом, а к нижнему концу прикреплен груз.Если рассматривать горизонтальную поверхность через материал стержня, то будет очевидно, что стержень воспринимает нормальное напряжение. Но он также поддерживает напряжение сдвига, и это становится очевидным, если рассмотреть силы, переносимые через плоскость, которая не является ни горизонтальной, ни вертикальной через стержень. Таким образом, в то время как вода и воздух не обеспечивают долговременную поддержку напряжения сдвига, гранит, сталь и резина обычно делают это и поэтому называются твердыми телами. Материалы с прочно связанными атомами или молекулами, такие как кристаллы, образующиеся ниже температуры плавления большинства веществ или простых соединений, и аморфные структуры, образующиеся в стекле и многих полимерных веществах при достаточно низкой температуре, обычно считаются твердыми.

Различие между твердыми и жидкими телами не является точным и во многих случаях будет зависеть от временной шкалы. Рассмотрим горячие камни мантии Земли. Когда происходит сильное землетрясение, связанное с ним деформационное возмущение, называемое сейсмической волной, распространяется через соседнюю горную породу, и вся Земля приходит в вибрацию, которая после достаточно сильного землетрясения может оставаться обнаруживаемой с помощью точных инструментов в течение нескольких недель. Породы мантии тогда описываются как твердые, поскольку они также будут находиться во временной шкале, скажем, от десятков до тысяч лет, в течение которых напряжения в области источника восстанавливаются в достаточной степени, чтобы вызвать одно или несколько повторений землетрясения. Но в значительно более длительном масштабе времени, скажем, порядка миллиона лет, горячие породы мантии не способны выдерживать касательные напряжения и течь как жидкость. Другим примером является вещество под названием Silly Putty (торговая марка) — полимеризованный силиконовый гель, знакомый многим детям. Если оставить его шарик на столе при комнатной температуре, он растекается и сплющивается в течение времени от нескольких минут до часа. Но если его поднять и бросить как мячик о стену, так что большие силы действуют только в течение короткого времени удара, глупая замазка отскакивает и сохраняет свою форму, как высокоэластичное твердое тело.

Несколько типов твердых тел можно различить в зависимости от их механического поведения. В простом, но распространенном случае, когда твердый материал нагружен при достаточно низкой температуре или коротком временном масштабе и при достаточно ограниченной величине напряжения, его деформация полностью восстанавливается после разгрузки. В этом случае материал называют эластичным. Но вещества также могут постоянно деформироваться, так что не вся деформация восстанавливается. Например, если сильно согнуть металлическую вешалку, а затем снять нагрузку, она лишь частично вернется к своей первоначальной форме; он не восстанавливается полностью, но остается согнутым.Металл вешалки деформировался безвозвратно, и в данном случае остаточная деформация является не столько следствием длительного нагружения при достаточно высокой температуре, сколько следствием воздействия на материал больших напряжений (выше предела текучести ), остаточная деформация описывается как пластическая деформация, а материал называется упругопластическим. Остаточная деформация, зависящая в основном от времени воздействия напряжения и имеющая тенденцию к значительному увеличению со временем воздействия, называется вязкой деформацией или деформацией ползучести, а материалы, проявляющие эти характеристики, а также склонность к упругому отклику , называются вязкоупругими твердыми телами (или иногда вязкопластическими твердыми телами, когда подчеркивается постоянная деформация, а не тенденция к частичному восстановлению деформации при разгрузке).

Механика твердого тела имеет множество применений. Все те, кто стремится понять природные явления, связанные с напряжением, деформацией, течением и разрушением твердых тел, а также все те, кто хотел бы иметь знания о таких явлениях для улучшения условий жизни и достижения человеческих целей, используют механику твердого тела. Последние виды деятельности, конечно, являются областью инженерии, и многие важные современные подполя механики твердого тела активно разрабатываются учеными-инженерами, занимающимися, например, машиностроением, строительством, материаловедением, гражданским или аэрокосмическим проектированием.Природные явления, связанные с механикой твердого тела, изучаются в геологии, сейсмологии и тектонофизике, в материаловедении и физике конденсированного состояния, в некоторых разделах биологии и физиологии. Кроме того, поскольку механика твердого тела ставит сложные математические и вычислительные задачи, она (как и механика жидкости) долгое время была важной темой для прикладных математиков, занимающихся, например, уравнениями в частных производных и численными методами для цифровых компьютерных формулировок физических задач.

Вот некоторые из вопросов, решаемых с использованием концепций механики твердого тела: Как развиваются течения в мантии Земли и заставляют континенты двигаться, а дно океанов медленно погружаться (т. е. подталкиваться) под них? Как образуются горы? Какие процессы происходят вдоль разлома во время землетрясения и как возникающие возмущения распространяются по Земле в виде сейсмических волн, сотрясая и, возможно, разрушая здания и мосты? Как возникают оползни? Как со временем оседает сооружение на глинистой почве и каково максимальное опорное давление, которое фундамент здания может оказать на грунт или каменный фундамент, не разрушая его? Какие материалы следует выбирать и как контролировать их соотношение, форму и нагрузку, чтобы создавать безопасные, надежные, долговечные и экономичные конструкции — будь то планеры, мосты, корабли, здания, кресла, искусственные сердечные клапаны или компьютерные чипы — и производить машины, такие как реактивные двигатели, насосы и велосипеды? Как транспортные средства (автомобили, самолеты, корабли) реагируют вибрацией на неровности поверхностей или сред, по которым они движутся, и как вибрация контролируется для обеспечения комфорта, снижения шума и защиты от усталостного разрушения? Как быстро трещина растет в циклически нагруженной конструкции, будь то мост, двигатель, крыло самолета или фюзеляж, и когда она будет распространяться катастрофически? Как можно контролировать деформируемость конструкций во время удара, чтобы придать транспортным средствам ударопрочность? Как формируются материалы и продукты технологической цивилизации — e.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.