Матрицы действия над ними: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Глава 02. Действия над матрицами

1. Сложение матриц.

Пусть

; .

(1.2.1)

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C = A + B той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т. е.

(I= 1, 2, …, N; K= 1, 2, …, M).

(1.2.2)

Пример

, , .

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число l называется матрица C = lA, элементы которой равны элементам матрицы A, умноженным на число l, т. е. 

, (I= 1, 2, …, N; K= 1, 2, …, M).

(1. 2.3)

Матрица –A = (–1)×A называется противоположной матрице A. Очевидно, что A + (–A) = 0, где 0 – нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называющиеся линейными операциями, обладают следующими свойствами:

	(1.2.4)

3. Вычитание матриц.

Разностью матриц A и B одинаковой размерности называется такая матрица C = A – B, сумма которой с матрицей B равна матрице A. 

(1. 2.5)

Чтобы получить матрицу C = A – B, достаточно из элементов матрицы A вычесть соответствующие элементы матрицы B: 

(i= 1, 2, …, n; k= 1, 2, …, m).

(1.2.7)

4. Умножение матриц.

Произведением двух матриц A и B, заданных в указанном порядке, называется такая матрица С = A×B, каждый элемент которой Cik равен сумме произведений элементов I–ой строки матрицы A на соответствующие элементы K–го столбца матрицы B.

Матрицы A и B можно перемножить, если количество элементов в строке матрицы A равно количеству элементов в столбце матрицы B. 

Пример

; . Найти A×B.

Решение

Замечание

Произведение матриц

BA рассмотренных в приведенном выше примере, не существует, т. к. число столбцов (2) матрицы B (первого множителя) не равно числу строк (3) матрицы A (второго множителя).

Пример

Найти A×B и B×A.

Решение

, .

Как видим из примера, A×B ¹ B×A, т. е. произведение матриц не обладает коммутативным свойством.

Свойства произведения матриц: 

	(1.2.8)

< Предыдущая		Следующая >

Лекция Матрицы. Основные виды матриц. Действия над матрицами.

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы

3. 1. Основные виды матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел, располо-женных в 

т строках и п столбцах и обозначается

 

Число, стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца, обозначается  и называется элементом матрицы; размерность матрицы.

Существуют следующие виды матриц:

1. Матрица – строка 

2. Матрица – столбец 

3. Нулевая матрица  все ее элементы нули.

4. Единичная матрица 

5. Диагональная матрица .

6. Симметрическая матрица – для ее элементов выполняется равенство  для всех 

Важной характеристикой квадратной матрицы А является её опреде-литель, который обозначается  Если , то матрица А назы-вается невырожденной. В противном случае – вырожденной.

Определение 2. Две матрицы  и  одинаковой размер-ности называются равными, если равны все их соответствующие элементы  для всех

3.2. Действия над матрицами

1. Транспонирование матриц.

Определение 3. Транспонированием матрицы называется замена её строк столбцами с сохранением их номеров.

Транспонированная матрица обозначается А ^Т.

Пример 1. Найти А ^Т, если матрица 

Тогда 

2. Сложение матриц.

Определение 4. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой определяются равенствами  и обозначается .

3. Умножение матрицы на число.

Определение 5. Произведением матрицы  на некоторое число  называется матрица , элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на это число , т.е.  и обозначается .

Пример 2. Найти матрицу , если

4. Умножение матриц.

Определение 6. Произведением матрицы  размерности  и матрицы  размерности , называется матрица , размерности , элементы которой удовлетворяют равенству

и обозначается .

Замечание 1. Как видно из определения, произведение двух матриц будет определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример 3. Найти произведение матриц 

Тогда

Замечание 2.  Легко убедиться в том, что в общем случае произведение матриц не обладает коммутативным свойством, т.е.  что видно из следующего примера.

Пример 4. Найти произведение матриц 

Тогда имеем

 

 

3.3. Обратная матрица

Определение 7. Обратной матрицей матрицы А называется матрица , для которой выполняется равенство 

Из этого определения следует, что понятие обратной матрицы является взаимообратным и определено только для квадратных матриц. При этом для существования обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Покажем, что обратной матрицей  для случая матрицы А размер-ности  будет матрица

где  алгебраические дополнения элемента .

Тогда

Например,

 и т.д.

Так же можно проверить и равенство 

Замечание 4. Аналогично для матрицы А размерности  обратная матрица  имеет вид

3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

 (1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

 (2)

Пусть  тогда для матрицы А существует обратная 

Умножая обе части равенства (2) слева на , получим

 (3)

В силу равенств  и  формула (3) принимает вид

 (4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

аналогично далее

Таким образом, получим окончательное решение

.

    Скачать с Depositfiles 

t n_k)_{j,k}$ — блочная диагональ. Для каждого жорданового блока размера $m$ соответствующий диагональный блок в $P$ равен $D_m$.

Как видно, базис $n_j$ не является ортонормированным, за исключением случая, когда все клетки Жордана тривиальны (диагонализуемый случай). Однако можно легко выбрать канонический ортонормированный базис внутри каждого из нормализованных блоков $D_m$, единственной ценой будет замена обычной формы жордановых блоков на другую каноническую форму. Новый ортонормированный базис даст вам ортогональное преобразование, необходимое для приведения $A$ к этой новой канонической форме. 9t v_k = \delta_{j+k,m+1}$ подпространство $V$, натянутое на жорданов базис $v_1,\ldots, v_m$, ортогонально дополняется. $\square$

Я адаптировал доказательство леммы 3 из доказательства родственной, но немного отличающейся теоремы 5.1.1 (которая имеет дело с матрицами, эрмитовыми относительно неопределенного скалярного произведения) в

Гохберг, Израиль; Ланкастер, Питер; Родман, Лейба , Неопределенная линейная алгебра и приложения, Базель: Биркхойзер (ISBN 3-7643-7349-0/pbk). xii, 357 с. (2005). ЗБЛ1084.15005.

Примечания в §5.19 этого справочника содержат исторические ссылки на этот результат.

СТАРЫЙ НЕВЕРНЫЙ АРГУМЕНТ: Обычное доказательство теоремы, которую вы цитируете, также доказывает, что, по крайней мере для алгебраически замкнутых полей, симметричная матрица всегда диагонализируема: для данного собственного вектора ортогональное дополнение является инвариантным подпространством, следовательно, матрица блок, диагонализируемый ортогональным преобразованием, отщепляющий одномерное подпространство, натянутое на собственный вектор (не работает, когда норма собственного вектора равна $0$, см. комментарии) . Всякий раз, когда характеристический многочлен матрицы имеет корень, существует собственный вектор. А алгебраическая замкнутость поля гарантирует, что корень всегда существует. По индукции матрица приводится к диагональному виду последовательностью ортогональных преобразований.

Что такое матрица приоритетов действий и как она работает?

Эта статья охватывает: –

1. Что такое матрица приоритетов действий?
2. Как работает матрица приоритетов?
3. Как создать матрицу приоритетов действий?
4. Как использовать матрицу приоритетов действий?

Определение матрицы приоритетов действий:

Матрица приоритетов действий — это простой инструмент для определения приоритетов действий, а также делегирования или удаления. Это позволит вам максимально использовать шансы, которые у вас есть.

Из-за бесконечных списков дел трудно выбрать следующую задачу. Когда дело доходит до менеджеров по продукту, ориентирующихся в сложной дорожной карте продукта, ставки намного выше.

Мы можем максимально использовать наше время и возможности, тщательно выбирая виды деятельности. Однако, если мы делаем неправильный выбор, мы можем увязнуть в трудоемких и малопродуктивных задачах, которые мешают прогрессу.

В этой ситуации может помочь «Матрица приоритетов действий»

Что такое Матрица приоритетов действий?

По этой причине у всех нас есть списки дел. У всех нас есть разные цели, которых мы хотели бы достичь, живут ли они на холодильнике, в телефоне или в нашей голове. К сожалению, многие из этих целей заканчиваются, когда у нас заканчиваются время и ресурсы. И это может привести к значительному случаю неэффективности.

У нас редко есть время закончить все работы и проекты из нашего списка пожеланий, так что это полезно. Когда мы используем матрицу для разумного выбора действий, мы можем тратить больше времени на важные задачи, которые заставляют нас двигаться вперед.

Как только вы узнаете принципы, лежащие в основе Матрицы приоритетов действий, вы, вероятно, обнаружите, что можете быстро и интуитивно применять ее к новым заданиям и проектам.

1. Важные и срочные

Эти дела должны быть выполнены немедленно. Эти хлопоты должны встретиться как можно скорее, так как они часто связаны с работой, которая имеет для нас наибольшее значение.

• Вопросы, требующие внимания
• Чрезвычайные ситуации и кризисы
• Крайние сроки
• Запланированные встречи и встречи

2. Важные, но несрочные

Это самые важные обязанности. Это деятельность, которая помогает нам достичь наших целей и амбиций. Каждый день их нужно планировать и над ними работать.

• Работа над конкретными проектами или задачами с конкретным результатом
• Организация и планирование
• Самосовершенствование
• Предотвращение кризисов

3. Срочно, но не важно

Эти увлечения могут занять значительную часть нашего времени, если мы им позволим. Их часто можно избежать, передав задачи другим или просто игнорируя их.

• Внеплановые обязанности каждый день
• Перерывы
• Работы по техническому обслуживанию
• Регулярная переписка

Мы часто используем их, чтобы избежать рутины других задач, даже если это задачи, которые мы вообще не должны выполнять.

• Пожиратели времени включают пустую болтовню и длительные перерывы.
• Интернет-серфинг, онлайн-общение, обмен сообщениями с друзьями и личные телефонные звонки — все это ненужные отвлекающие факторы.
• Напряженная работа, перекладывание бумаг и другие задачи, требующие прокрастинации, являются примерами тривиальной работы.

Как работает матрица приоритетов?

Матрица приоритетов, также известная как матрица приоритетов, представляет собой гибкий инструмент для определения основных задач и проектов. Матрица приоритетов может быть простой диаграммой, в которой сравниваются срочность и важность, или сложной сеткой, учитывающей различные факторы.

Предприятия используют матрицы приоритетов для различных целей, включая делегирование работы, ранжирование возможных проектов по важности и обеспечение видимости проекта путем документирования процесса принятия решения.

Матрица приоритетов определяет приоритетность проектов в четыре этапа. Сначала составьте список задач. Затем решите, какие критерии наиболее важны для сравнения. Затем для каждого проекта присвойте балл каждому бару. Наконец, достигните и проанализируйте полученные результаты.

Давайте углубимся и узнаем об этом больше!

Соберите отзывы заинтересованных лиц, чтобы составить список приоритетных проектов или мероприятий.

Ограничьте критерий приоритета пятью элементами, чтобы упростить использование и чтение матрицы. Взвешивайте свои стандарты в соответствии с тем, насколько они важны для членов вашей команды по отбору.

Каждому элементу в списке каждому критерию присваивается числовое значение. Эти числа представляют релевантность каждого бара; сложите их, чтобы заработать баллы за каждый проект.

Чтобы установить приоритет, сравните баллы ваших проектов друг с другом. Проект с более высоким баллом, как правило, является более значительным проектом, но не забудьте проверить интуицию, и ничего не покажется странным.

Как создать матрицу приоритетов действий?

Использовать диаграмму для визуализации целей, проектов или задач — потрясающая идея! Визуальное представление группы функций, называемое матричной диаграммой приоритетов действий, может помочь командам сосредоточиться на проекте по частям.

Изучив, что такое матричная диаграмма приоритетов действий и как ее составить, вы сможете максимально эффективно использовать этот удобный инструмент планирования для вашего следующего командного проекта. В этом посте мы опишем матрицу приоритетов действий и покажем, как составить ее за пять простых этапов.

Создание матрицы приоритетов действий может быть легкой задачей, если вы знаете, как пользоваться диаграммой. Чтобы составить матрицу приоритетов действий, выполните следующие пять этапов:

1. Определите действия или задачи, которые необходимо выполнить.

Составьте список задач или действий, которые должна выполнить группа. Матрица приоритетов действий предназначена для крупных и небольших проектов, а также для более целенаправленных задач. Перечислите свои обязанности в произвольном порядке, работая с вашей командой, чтобы узнать о любых новых действиях, которые могут потребоваться для проекта, оказывая тщательную помощь в выполнении каждого упражнения и создавая высококачественный конечный продукт.

2. Набросайте диаграмму

Создайте матричную диаграмму, как только вы закончите свой список. Создайте квадрат только с двумя сторонами, соединив оси X и Y. Отметьте свою ось X низкими и высокими усилиями, с низким усилием возле пересечения и высоким действием на другом конце. Затем назовите свою ось Y таким же образом, но вместо действия используйте мягкое и сильное воздействие. Наконец, нарисуйте крест внутри диаграммы, чтобы разделить ее на четыре квадрата. Пометьте каждый квадрат слева направо и сверху вниз следующим образом:

• Быстрые победы
• Крупные проекты
• Вспомогательные
• Неблагодарные задачи

3. Узнайте, что, по мнению ваших коллег, поможет им выполнить каждую задачу.

Требуются ли им дополнительное время, помощь или другие ресурсы для воплощения концепции в жизнь? Посмотрите, может ли большой проект или дополнительная работа выиграть от дальнейшего участия членов команды, чтобы упростить его завершение.

4. Разложите товары по соответствующим квадратам.

После присвоения каждому элементу оценки усилий и воздействия вы можете скопировать этот список в матричную диаграмму приоритетов действий. Затем вы можете перечислить каждый элемент в соответствующем квадрате в зависимости от его усилий и оценок воздействия. Элементы в правом нижнем квадрате требуют больших усилий, но оказывают небольшое влияние, в то время как объекты в верхнем левом квадрате требуют меньших усилий, но имеют более значительный эффект. Все остальное находится где-то посередине континуума усилие-воздействие.

5. Назначайте задачи членам группы в соответствии с их ролями и следите за их выполнением, чтобы поддерживать темп. Определив конкретных членов команды, вы можете назначать практические задачи. Вы также можете пометить участников проекта или тех, у кого есть доступ к определенной доске или проекту. Чтобы реорганизовать свою команду, возвращайтесь к доске всякий раз, когда меняются приоритеты.

Канцелярские обязанности, такие как резервное копирование файлов, могут стать более важными по мере изменения объема проекта.

Как использовать матрицу приоритетов действий?

Выполните следующие шаги для Матрицы приоритетов действий:

Шаг 1: Составьте список основных задач, которые вы хотите или должны выполнить.