Момент инерции через момент силы: Момент силы и момент инерции

Содержание

Момент силы и момент инерции

Движение механизма при условии, что моменты сил и моменты инерции — функции положений звеньев  [c.284]

Если приведенные моменты сил и момент инерции зависят только от положения вращающегося звена приведения, то основными расчетными уравнениями являются (11.15) и (11.17)  [c.366]

Момент силы и момент инерции  [c.66]

МОМЕНТ СИЛЫ и МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 67  [c.67]


Для того, чтобы составить уравнения движения деформируемого тела, необходимо и достаточно приравнять нулю главный вектор, главный момент сил и сил инерции, приложенных к каждой части тела, которую можно мысленно из него выделить.  [c.36]

По табл. 4 Приложения на стр. 480 определяем 2 , = 4,1. Отсюда находим зависимость между критической силой и моментами инерции поперечного сечения.  [c.385]

Системы со связями — Рассмотрим систему материальных точек, находящихся под действием заданных сил, представляющих собой прямо приложенные силы и подчиненных данным связям.

В противоположность тому, что мы предполагали в статике, эти связи могут теперь изменяться с временем. Каждая точка системы может рассматриваться как свободная, находящаяся под действием прямо приложенных сил и сил связи. Поэтому, в силу принципа Даламбера, в каждый момент имеет место равновесие между прямо приложенными силами, силами связи и силами инерции. Можно еще сказать, что в каждый момент имеется равновесие, в силу связей, существующих в этот момент, между заданными силами и силами инерции. Однако в этой формулировке следует еще уточнить (что мы сейчас и сделаем) смысл слов в силу связей, существующих в этот момент .  
[c.212]

В рассмотренных примерах были заданы зависимости момента движущих сил и изменяющегося скачком момента сил полезного сопротивления соответственно от угловой скорости и от угла поворота звена приведения, приведенный же момент инерции масс звеньев механизма считался постоянным. При большой массе звена приведения по сравнению с массами остальных звеньев считать постоянным приведенный момент инерции вполне возможно, так как это не ведет к существенным ошибкам. Когда же массы звеньев, движущихся с переменными скоростями, велики, то пренебрегать изменениями приведенного момента инерции нельзя, и тогда решать динамические задачи изложенными выше методами не представляется возможным. В таких случаях приходится применять численные или графические методы. Далее излагаются два графических метода, позволяющие решать динамические задачи при заданных в общем виде движущем моменте, моменте сил сопротивления и моменте инерции.  

[c.63]

Нидерландский механик, физик и математик. Создал волновую теорию света. В сочинении Маятниковые часы Гюйгенс ввел понятия центробежной и центростремительной силы и моментов инерции, исследовал движение математического ii физического маятнику  [c.151]


Стержневые системы, у которых узлы имеют только угловые перемещения, относят к несвободным конструкциям. Их динамический расчет упрощается тем, что отпадает необходимость учета сил и моментов инерции линейно подвижных стержней, а найденные частоты собственных колебаний близки к действительным частотам.
Рассмотрим примеры рещения задач динамики плоских стержневых систем.  [c.138]

Внося значения всех трех моментов сил и сил инерции в уравнение (2),  [c.405]

Точно так же совпадают и единицы импульса момента силы и момента количества движения. Эти единицы можно определить как импульс момента силы, равного единице, за единицу времени, или как момент количества движения тела, обладающего моментом инерции, равным единице, и вращающегося с угловой скоростью, равной единице. Эти единицы  

[c.129]

Как зависит вращение тела от этого момента Так же, как и для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр инерции, т. е. момент силы равен моменту инерции тела, умноженному на угловое ускорение.  [c.200]

Динамическая балансировка производится всегда при вращении детали, установленной на гибких опорах. Центробежные силы и моменты инерции, вызванные вращением неуравновешенной детали, создают колебательные движения гибких опор.

При помощи специальных устройств колебания уравновешиваются и определяется величина и направление дисбаланса.  [c.496]

Центробежные силы и моменты инерции, вызванные вращением неуравновешенной детали, создают колебательные движения гибких опор. С помощью специальных устройств колебания уравновешиваются и определяются величина и направление дисбаланса.  [c.362]

Для вычисления приведенного момента Мп = — Мпс чертим схему механизма в плоскости, перпендикулярной к оси коленчатого вала (рис. 8.11, а). Поскольку схема имеет фрикционную муфту сцепления (см. рис. 8.9), может возникать самое неблагоприятное с точки зрения равномерности вращения взаимодействие сил когда при рабочем ходе одного из поршней (например С, рис. 8.И,о) момент сопротивления и момент инерции малы. Этот случай и надо рассчитать.  

[c.270]

Рис. 2.1. Схема звена с приложенными к нему силами и моментами инерции (а) и план ускорений (б)
Выше было рассмотрено влияние фактора переменной массы при обработке уравновешенной детали. При обработке неуравновешенной заготовки влияние фактора переменной массы на упругие перемещения сказываются через изменение сил и моментов инерции.  
[c.128]

Силы, проявляющиеся в виде нагрузки от массы узлов станка, сил и моментов инерции при переходных, режимах и колебаниях,  [c.61]

Уравновешенность сил и моментов инерции 1-го и 2-го порядков (теоретическая)  [c.125]

Длина шатуна L и отношение А = . Увеличение значения коэф-та Я а) увеличивает неуравновешенные силы и моменты инерции высших порядков  [c.139]

Что же касается косинусов углов, упоминаемых в теореме, величины живой силы и момента инерции Го относительно оси вращения, который удовлетворяет, как известно, равенству  

[c.151]


П.Д. Чернов. Проект, 1890. В том же 1890 г. в ГИУ прислал проект винтокрылого аппарата Воздухоплаватель (рис. 9) петербургский дворянин и купец 2-й гильдии Петр Давыдович Чернов. В основу проекта была положена порочная идея создания подъемной силы путем нагнетания несущим винтом воздуха под обтягивающий его сверху парашют. Кроме того, автор ошибочно, сравнивая реактивный момент винта и момент инерции фюзеляжа, полагал, что при моменте инерции больше крутящего момента аппарат будет сбалансирован относительно вертикальной оси. Проект был рассмотрен в Комиссии  [c.29]

F. Определение сил, действующих на различные звенья механизма прп его движении, может быть сделано в том случае, если известны законы движения всех звеньев механизма и известны внешние силы, приложенные к механизму. Поэтому общую задачу динамического расчета и проектирования новых механизмов и машин конструктор обычно расчленяет на две части. Сначала он задается приближенным законом движения входного звена механизма и внешними силами, на него действующими, определяет все необходимые расчетные усилия и по ним подбирает необходимые размеры, массы и моменты инерции звеньев. Это — первая часть задачи.

После этого конструктор приступает к решению второй части задачи, а именно, к исследованию вопроса об истинном движении спроектированного механизма, к которому приложены различные действующие на него силы. Определив истинный закон движения механизма, конструктор вносит в ранее проведенный расчет все необходимые исправления и добавления.  [c.205]

При решении задач силового расчета механизмов закон движения ведущего звена предполагается заданным точно так же предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев механизма. Таким образом, всегда могут быть определены те силы инерции, которые необходимы для решения задач силового расчета с помощью уравнений равновесия.  [c.247]

Уравнение (16.13) есть уравнение динамического равновесия звена приведения, к которому приложен внешний момент М и моменты Л цач ч СИЛ инерции звеньев в начальном и перманентном движениях.  [c.343]

Проще решаются задачи определения закона движения механизма для частных случаев, когда приведенные моменты сил и момент инерции механизма зависят лишь от положения звена приведения или приведенный момент инерции постоянен, а моменты сил зависят от скорости звена приведения. В первом случае обычно пользуются уравнением движения механизма в форме (11.14), во втором решают ди(рференциальное уравнение движения (11.9).  

[c.366]

Маятник Обербека (момент силы и момент инерции). ………………………………… 13  [c.5]

Маятник Обербека (момент силы и момент инерции)  [c.13]

Поэтому, прежде чем двигаться дальше, следует проанализировать вопрос о том, насколько точно соблюдается равенство между тяжелой и инертной массой тел. Наиболее точный ответ на этот вопрос могут дать сопоставления моментов сил инерции и сил тяготения, действующих на крутильные весы. Такой опыт впервые был произведен Этве-шем. Если в какой-либо точке земного шара подвешены крутильные весы (рис. 188), то на каждое из покоящихся тел mj и т , укрепленных на концах коромысла весов, действуют силы тяготения Земли / j и / 2, направленные к центру Земли, а так как Земля вращается, то действуют и центробежные силы инерции направленные от оси вращения Земли по радиусам параллельного круга, на котором расположены массы mj и т . Так как силы тяготения Земли пропорциональны тяжелым массам тех тел, на которые они действуют, то /щ /п, и / 2 /Л2, где т ч гп2 — тяжелые массы тел т, и т . С другой стороны, силы инерции пропорциональны инертным массам тех тел, на которые эти силы действуют, т. е. /d ml и m i, где mf и то — инертные массы тел trii и mj.  [c.382]

Для данного сечения величины поперечной силы и момента инерцйи постоянны, а следовательно, касательные напряжения изменяются по высоте пропор-  [c.229]

Источником вынужденных колебаний являются неуравновешенные силы и моменты инерции деталей машин. Источник колебаний вместе с упругим или полуупругим окружением образует колеблющуюся систему, в которой в большей или меньшей степени происходит затухание колебаний.  [c.187]

Балансировка кругов. В быстро вращающихся узлах возможно возникновение центробежных сил и моментов инерции, появляющихся в результате неравномерного распределения вращающихся масс в радиальном и осеврм направлениях. Это явление, называемое неуравновешенностью , вызывает переменные нагрузки на опоры, изгиб валов и колебания шпинделя и бабки шлифовального круга, в результате чего существенно ухудшается круглость и шероховатость обрабатываемых изделий.  [c.81]

Вторая основная задача. По заданным силам 2,Р (моментам сил и. чоменту инерции твердого тела J относительно неподвижной оси г найти закон враи иия тела ф = / (О вокруг этой оси.  [c.227]


Основные достоинства гидравлических устройств легкость получения больших сил зажатия при малых размерах и весе механизмов малые силы (и моменты) инерции гидравлических механизмов по сравнению с другими приводами возможность получения плавных движений рабочих элементов зажимов возможность частьСК и быстрых переключений при возвратно-поступательных и вращательных движениях отсутствие громоздких механических передач, подверженных значительному износу самосмазываемость гидравлических механизмов рабочей жидкостью простота и удобство управления возможность применения в гидравлических системах стандартных узлов и механизмов.[c.72]

Равновесие стержня под действием осевой силы и изгибающих моментов [20]. Если боковая поверхность цилиндра, у которого область поперечного сечения конечна, свободна от внешних усилий, а на концах действуют сила Р, направленная по геометрической оси 2, и изги-баюш ий момент с составля-юпцимиЛ/ , относительно главных осей инерции X, у сечения, то в однородном цилиндре с прямолинейной анизотропией получается элементарное распределение напряжений, как в однородном изотропном цилиндре. Иначе обстоит дело, если цилиндр обладает криволинейной и, в частности, цилиндрической анизотропией с осью анизотропии, параллельной образующей (рис. 68). Составляющие напряжений и Твг равны нулю, а сГг, сУв, Тге выражаются через функцию  [c.220]

При определении размеров Ь и к (см. рис. 140) соотношение выбирают таким, чтобы моменты сопротивления и моменты инерции вокруг оси X—хбыли на порядок меньше, чем вокруг оси у—у, благодаря этому повышается устойчивость пружины в направлении, перпендикулярном действующей силе. Отношение ЫН ==  [c.191]

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ, преобразование системы сил, приложенных к тв. телу, в другую, эквивалентную ей систему, в частности простейшую. В общем случае любая система сил при приведении к произвольному центру (центру приведения) заменяется одной силой, равной геом. сумме (главному вектору) сил системы и приложенной к центру приведения, и одной парой сил с моментом, равным геом. сумме моментов (главному моменту) всех сил относительно центра приведения. ПРИВЕДЁННАЯ МАССА, условная характеристика распределения масс в движущейся механич. или смешанной (напр., электромеханич.) системе, зависящая от физ. параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и т. д.) и от закона её движения. В простейших случаях П. м. ц определяют из равенства T= ivV2, где Т — кинетич. энергия системы, v — скорость нек-рой характерной точки, к к-рой приводится масса системы. Напр., для тела, совершающего плоскопараллельное движение, при приведении к его центру масс С будет fi=[l+(P / i ) ]”i где т — масса тела, Рс— радиус инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр С, h — расстояние от центра масс до мгновенной оси вращения (в общем случае величина переменная). ПРИВЕДЁННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ, параметры термодинамически равновесной системы (давление, объём, темп-ра и др.), отнесённые к их значениям в критическом состоянии. Ур-ние, связывающее П. п. с., напр. Ван-дер-Ваальса уравнение при не слишком низких темп-рах, одинаково для всех газов (закон соответственных состояний), т. к. не содержит физ.-хим. констант, характеризующих индивидуальные в-ва. См. Уравнение состояния, Соответственные состояния.  [c.585]

Маховик, сила тяжести которого равна Q = 2,75 н и момент инерции / = 0,000785 кгм , начинает выбег при числе оборотов п = 200 об/мин, время выбега t 2 мин. Определить коэф4)ици-ент трения в подшипниках вала маховика, если диаметр цапф вала d = 10 мм, а угловая скорость маховика убывает по линейному закону.  [c.155]


П.П. 10 класс. Момент инерции абсолютно твердого тела (1)

1.Учитель называет тему урока, знакомит с целями обучения, с целями урока.

 

2. Формативная работа по пройденному материалу. Определение точек роста для каждого ученика.

 3. Презентация по новой теме.

Момент силы. Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения. Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку. Следовательно, для вращательного движения существенно не только значение силы, но и расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Кроме этого, важно и направление приложенной силы. Можно тянуть колесо с очень большой силой, но так и не вызвать его вращения.

 Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на плечо: M=Fd, 

где d — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы

Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения.

При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила 2), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, — отрицательными(силы 1 и 3) (рис. 6.4).

Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы:   ε ∼ М.

Пусть на материальною точку, движующуюся по окружности, действует сила  (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем mак = Fк. Умножив левую и правую части уравнения на r, получим maкr = Fкr, или

mr2ε = М. (6.1)

Заметим, что в данном случае r — кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы. Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I.

Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде Iε = М, откуда

 Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, где I — момент инерции твёрдого тела, а М — суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рассматриваем только силы или их проекции, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Угловое ускорение, с которым вращается тело, прямо пропорционально сумме моментов сил, действующих на него, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси вращения.

 

Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО’ равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = m1r21 + m2r22 + … .

Момент инерции твёрдого тела можно вычислить, разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения.

 Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения.

Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой m.

1. Момент инерции тонкого прямого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6.7), равен:

I = ml2/12.

2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО’, совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска:

I = mR2/2.

3. Момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

I = 2 mR2/5.

4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

I = mR2.

Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело.

Работа в группах. Выполнить задания.

 

А1. Момент инерции диска массой 1 кг и диаметром 40 см равен

1) 0,16 кг • м2       2) 0,04 кг • м2       3) 0,02 кг • м2       4) 0

А2. Радиус диска равен 10 см. Момент силы, равной 10 Н и приложенной к ободу диска под углом 150° к радиусу, равен

1) 0,5 Н • м       2) 0,87 Н • м       3) 1 Н • м       4) 0

B3. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

 Задачи, которые вызвали затруднения, разбираются на доске.

 

 

 

Определение момента инерции махового колеса и силы трения в опоре

Цель работы: изучение законов вращательного движения с помощью маятника Обербека.

1. Краткая теория

Абсолютно твёрдым телом называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого в условиях данной задачи остается постоянным. Иначе говоря, это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении. Всякое твёрдое тело можно мысленно разбить на большое число частей,  малых по сравнению с размерами всего тела, и рассматривать его как систему (совокупность) материальных точек, жёстко связанных друг с другом.

Центром масс системы материальных точек (центром инерции) называют точку, масса которой равна массе всего тела, а поло

жение в пространстве определяется радиус-вектором rr  :

Произвольное движение тела можно представить как совокупность поступательного движения его центра инерции и вращательного движения относительно центра инерции.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остаётся параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, центра масс) для того, чтобы охарактеризовать движение всего тела.

Второй закон Ньютона для движения центра масс твёрдого тела записывается в виде:− скорость центра масс, F внешн  − векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу (обычно индекс опускается).

При вращательном движении тела все его точки описывают окружности, центры  которых  лежат  на  одной  прямой,  называемой осью вращения. Окружности, описываемые точками, находятся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Ось вращения может находиться как внутри тела, так и вне него.

Чтобы твёрдое тело с закреплённой осью привести во вращательное движение, необходимо хотя бы к одной из его точек прилоr

жить силу F , не проходящую через ось вращения и не параллельную

ей, другими словами, чтобы эта сила создавала вращающий момент.

Пусть на твердое тело в точке А действует сила F (рис. 1). Под действием этой силы тело вращается относительно неподвижной оси

О1−О2. Действие силы зависит от ее величины и направления, а также от точки приложения А. Под радиус−вектором точки приложения силы А будем понимать  отрезок r, направленный перпендикулярно от

оси вращения к этой точке. Моментом силы F относительно точки О

называется векторное произведение радиус-вектора r на силу F:

Мo = [r,F].      (3)

Момент силы F относительно точки  О есть вектор, перпендикулярный к плоскости, содержащей векторы  r  и  F.

Произвольную силу F можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие:  F = Fo  + Fr  + Fτ.   Здесь  Fo  – осевая составляющая  силы,  проекция  силы  на  направление  оси  вращения О1−О2: Fo  = Fcosθ ;  Fr   − радиальная  составляющая  силы,  проекция силы на направление радиус−вектора точки приложения силы А; Fτ  −

тангенциальная составляющая силы, которая направлена по касательной к траектории движения точки приложения силы А. Пусть F′ −

составляющая силы  F на плоскость,  перпендикулярную оси вращения (можно представить: F = Fo +  F′): F ′ = F sinθ . Тогда  радиальная составляющая определяется как Fr  = F′ cosα = Fsinθ cosα; а тангенциальная составляющая − Fτ  = F′ sinα = Fsinθ sinα. Вращение тела относительно оси О1  – О2 происходит только за счет тангенциальной составляющей силы.

7

Вращающим моментом, или моментом силы, относительно оси вращения О1 − О2  называется величина, равная произведению

численного значения радиус-вектора точки приложения силы  r  и

тангенциальной составляющей силы Fτ :

Mz = r Fτ .    (4)

О1

Мz       F

Мо    ϑ Fτ

ϑ          θ

0          F′

Вид сверху

0          F′

h          r

А         А         α

Fr         Fr

Линия действия силы F′

О

Рис. 1. К определению вращающего момента

Учитывая выражение для Fτ:

Mz   = r sin α F ′ = h F ′,

где     h = r sinα −   плечо силы F ′, это кратчайшее расстояние от оси

вращения до линии действия силы   F ′. Таким образом, получается

другое выражение для вращающего момента:

Mz   =  h F ′.            (5)

Вращающий момент считают векторной величиной, направленной по оси вращения так, что если посмотреть из конца вектора Mz, то вращение будет происходить против часовой стрелки (рис. 1). Тогда вращающий момент можно представить как векторное произведение

радиус−вектора  r и силы F ′:

Mz = [ r, F ′] .           (6)

Вращающий момент Mz  является составляющей (проекцией) момента силы Мo вдоль оси вращения, т.е. вдоль оси z: Mz = Mocos ϑ.

Моментом инерции J материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки  mi   на квадрат расстояния ri от этой точки до оси вращения:

J = mi ri

,  [кг•м2] .       (7)

8

Момент инерции сплошного тела определяется как сумма моментов инерции всех его частиц:

N

2          2

J = lim ∑ ∆mi ri

N →∞  i=1

= ∫ r dm ,      (8)

m

где ri − расстояние от i — ой частицы массой ∆mi  до оси вращения.

Момент инерции есть скалярная величина, которая определяет инертность тела при вращательном движении и равняется сумме произведений масс отдельных частиц тела на квадрат расстояний от них до оси вращения.

Если тело однородно, т.е. его плотность ρ одинакова по всему объёму. Тогда:

J = ρ ∫ r 2 dV

V

.           (9)

Используя формулу (9), можно вычислить моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы, результаты некоторых расчетов из них приведены в таблице 1.

Таблица 1

Моменты инерции тел правильной геометрической формы

Тело

Положение оси

Момент

инерции

Полый тонкостенный

цилиндр радиусом R

Ось симметрии

mR2

Сплошной цилиндр или

диск радиусом R

То же

mR2

2

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню

и проходит через его середину

ml2

12

Прямой тонкий стержень длиной l

Ось перпендикулярна стержню

и проходит через его конец

ml2

3

Шар радиусом R

Ось проходит через центр шара

2  5

mR2

Если ось вращения    О1О2    не проходит через центр инерции С (рис. 2), то можно воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси вращения О1О2

9

равен сумме момента инерции тела Jc  относительно параллельной оси О′О′, проходящей через центр инерции тела С, и произвеО1         O′

l           С

O2       O′

дения массы тела m  на квадрат расстояния   l

от оси вращения до центра инерции:

J = Jc + m l 2   (10)

Закон динамики для тела, вращающегося относительно неподвижной оси О1О2  (рис. 3), записывается в виде

Рис. 3. К определению момента импульса

L = J ωr           (12)

−        момент  импульса  тела  относительно

оси, т.е. вектор, направленный по оси вращения, как и угловая скорость ωr .

Для i-ой частицы твердого тела второй закон Ньютона: Fidt = dpi. Умножим это уравнение на ri:   riFidt = ridpi ,    Midt = d(ripi).    Назовем   Li = ripi − моментом импульса материальной точки относительно оси. Для этой величины выполняется правило векторного произведения: Li = [ri, pi]. Момент импульса тела определяется как сумма моментов импульса всех его частиц:

Li = Σ [ri, pi]. (13)

При вращательном движении момент импульса играет роль импульса тела.

Основной закон динамики вращательного движения гласит, что скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой же оси всех внешних сил, действующих на

тело:

dL = M .          (14)

dt

10

Сравнивая формулы второго закона Ньютона в дифференциальной форме

dmv     F          и

dJωr  = M,

dt   =   dt

убеждаемся, что эти формулы аналогичны. Аналогом силы F, входящей в уравнение динамики поступательного движения, является вращающий момент М в случае вращательного движения твёрдого тела, линейной скорости v поступательного движения – угловая скорость

вращающегося тела ωr , массы m – момент инерции тела J.

По учебникам [1 – 3] выучите (выпишите) определения потенциальной и кинетической энергии тел.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела складывается из кинетических энергий его материальных точек и определяется формулой:

Wк =

Jω 2

2

,           (15)

где J − момент инерции тела, ωугловая скорость вращения тела.

2. Описание лабораторной установки и методики измерения

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, груз, штангенциркуль, масштабная линейка, секундомер.

Для изучения законов вращательного движения используется маятник Обербека (рис. 4). Прибор состоит из шкива радиусом r , закрепленного на валу, четырех стержней, расположенных под углом

90° друг к другу, и четырех одинаковых цилиндрических грузов m1,

которые можно перемещать вдоль стержней и закреплять на определенном расстоянии от оси вала. Грузы закрепляются симметрично, т.е. так, чтобы центр инерции совпадал с осью вращения. Вращающиеся части прибора представляют собой маховое колесо, момент инерции J которого можно менять за счет перемещения грузов.

Маховое колесо приводится в движение грузом массой m, прикрепленным к концу шнура. Груз на высоте h2     относительно нижней точки падения обладает потенциальной энергией:

Wп1 = Fтh2   = mgh2,

где Fт − сила тяжести груза m; g − ускорение свободного падения.

11

m1       альная энергия переходит в  кинетическую энергию поступательного движеR          mυ 2

r           ния груза

, кинетическую энергию

2

вращательного движения махового коm   m         Jω 2

1          1          леса

и затрачивается на работу по

2

преодолению сил трения в опорах и сопротивления воздуха. Если сила трения f постоянна, то работа сил трения будет

h2        F          равняться A = f h2.

т          По закону сохранения энергии поh3          тенциальная  энергия  груза  в  верхней

точке  равняется  сумме  кинетических

где υ − скорость груза; ω − угловая скорость маховика.

Движение груза равноускоренное, без начальной скорости, поэтому ускорение  а   и скорость υ соответственно равны:

a = 2h2 , υ = 2h2  ,

t 2        t

где t − время падения груза с высоты h2.

Угловая скорость махового колеса связана с линейной скоростью груза

ω = υ = 2h2

где r −  радиус шкива.

r           tr

Маховое колесо, вращаясь по инерции за счет своей кинетической энергии вращательного движения, поднимает груз  m на высоту h3 < h2, при этом потенциальная энергия груза увеличивается и на высоте h3   будет Wп2 = mgh3.

12

Уменьшение потенциальной энергии при подъеме груза равно работе по преодолению сил трения:

mgh2 − mgh3 = f (h2 + h3) ,

откуда

f = mg h2 − h3  .       (17)

h2 + h3

Подставляя в формулу (16) выражения для υ, ω и f , получим

выражение для вычисления момента инерции махового колеса:

Материал взят из методических указаний Динамика твердого тела (Биктагиров В.В.)

Динамика твердого тела Момент силы Момент инерции Теорема

Динамика твердого тела Момент силы. Момент инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Динамика твердого тела Плечо силы это … 1) модуль вектора силы 2) единичный вектор в направлении силы 3) расстояние от оси вращения до точки приложения силы 4) расстояние от оси вращения до линии действия силы 4

Динамика твердого тела Момент силы измеряется в … 1) Н 2) Н/м 3) Н∙м 4) Н∙м 2 3

Динамика твердого тела Момент инерции измеряется в … 1) Н∙м 2) кг 3) кг∙м 2 4) кг/м 2 3

Динамика твердого тела Угловое ускорение измеряется в … 1) м/с2 2) рад/с2 3) рад/с 4) рад 2

Динамика твердого тела Вектор момента силы F относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, направлен … 1) влево 2) вправо 3) к нам 4) от нас 4

Динамика твердого тела Сила 10 Н, приложена по касательной к краю диска радиусом 20 см. Момент силы относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, равен … 1) 2 Н м 2) 200 Н м 3) 0, 5 Н м 4) 4 Н м 1

Динамика твердого тела Момент инерции блока, вращающегося под действием момента силы 4 Н м с угловым ускорением 8 рад/с2, равен … 1) 32 кг∙м 2 2) 0, 5 кг∙м 2 3) 2 кг∙м 2 4) 12 кг∙м 2 2

Динамика твердого тела Свинцовую шайбу расплющили так, что ее диаметр увеличился от 4 см до 6 см. При этом момент инерции относительно оси, проходящей через центр шайбы перпендикулярно ее плоскости, … 1) не изменился 2) увеличился в 1, 5 раза 3) увеличился в 2, 25 раза 4) уменьшился в 1, 5 раза 5) уменьшился в 2, 25 раза 3

Динамика твердого тела Под действием момента силы 5 Н м колесо с моментом инерции 2 кг∙м 2 вращается с угловым ускорением … 1) 0, 4 рад/с2 2) 2, 5 рад/с2 3) 10 рад/с2 4) 0 рад/с2 2

Динамика твердого тела Блок с моментом инерции 0, 25 кг∙м 2 вращается с угловым ускорением 4 рад/с2 под действием момента силы … 1) 1 Н∙м 2) 16 Н∙м 3) 0, 625 Н∙м 4) 4, 25 Н∙м 1

Динамика твердого тела Диск вращается равномерно с некоторой угловой скоростью . Начиная с момента времени t=0, на него действует момент сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. График, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени, изображен на рисунке 1

Динамика твердого тела Диск начинает вращаться из состояния покоя под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. График, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени, изображен на рисунке 1

Динамика твердого тела Массы стержня, диска и кольца одинаковы, радиусы кольца и диска одинаковы, длина стержня равна удвоенному радиусу диска. Последовательность тел в порядке возрастания момента инерции относительно указанных вертикальных оси: СДК

Динамика твердого тела Однородная прямоугольная пластина может вращаться относительно осей А, В, С, О, перпендикулярных ее плоскости. Последовательность осей вращения в порядке убывания момента инерции: ВСАО

Динамика твердого тела Последовательность сил в порядке возрастания создаваемого ими момента силы относительно оси диска, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости: 2341

Динамика твердого тела Укажите правильное соответствие между физической величиной и единицей ее измерения: A Момент силы 1 кг B Момент инерции 2 рад/с2 C Ускорение 3 Н∙м D Угловое ускорение 4 м/с2 5 кг∙м 2 А 3 -В 5 -С 4 -D 2

Динамика твердого тела Установите соответствие между физическими величинами и единицами их измерений: A Момент инерции 1 кг∙м B Момент импульса 2 рад/с2 C Момент силы 3 кг∙м 2/с2 D Угловое ускорение 4 кг∙м 2/с 5 рад/с 6 кг∙м 2 А 6 -В 4 -С 3 -D 2

Динамика твердого тела В таблице приведена зависимость углового ускорения колеса от приложенного к нему момента сил. Момент инерции колеса равен … кг∙м 2. M, Н∙м 0, 5 1, 0 1, 5 ε, рад/с2 0, 4 0, 6 2, 5

Динамика твердого тела Длина стержня 1 м, масса – 6 кг. Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит на расстоянии 25 см от его конца. Момент инерции стержня относительно этой оси равен … кг∙м 2. 0, 875

Динамика твердого тела На графике приведена зависимость углового ускорения колеса от приложенного к нему момента силы. Момент инерции колеса равен … кг∙м 2 0, 4

Динамика твердого тела Ось вращения однородного диска проходит через его центр перпендикулярно плоскости диска. После параллельного перенесения оси вращения на середину радиуса диска его момент инерции увеличился в … (число) раз. 1, 5

Динамика твердого тела Кинетическая энергия вращающегося тела.

Динамика твердого тела Угловую скорость вращения диска увеличили в 3 раза. При этом кинетическая энергия диска … 1) не изменилась 2) увеличилась в 3 раза 3) увеличилась в 9 раз 4) увеличилась в 1, 5 раза 3

Динамика твердого тела Однородные кольцо, диск и шар одинаковой массы и радиуса вращаются с одинаковой угловой скоростью около осей, проходящих через центры масс тел. Для диска и кольца оси перпендикулярны плоскостям тел. Минимальной кинетической энергией обладает … 1) кольцо 2) диск 3) шар 4) кинетические энергии всех тел одинаковы 3

Динамика твердого тела Колесо с моментом инерции 0, 5 кг∙м 2 вращается с угловой скоростью 4 рад/с относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости колеса. Кинетическая энергия колеса равна … 1) 2 Дж 2) 4 Дж 3) 8 Дж 4) 1 Дж 2

Динамика твердого тела Кинетические энергии диска и кольца одинаковой массы и одинакового радиуса, вращающихся с одинаковой угловой скоростью относительно осей, проходящих через центры тел перпендикулярно их плоскости, отличаются … 1) не отличаются 2) в 16 раз 3) в 4 раз 4) в 2 раза 4

Динамика твердого тела Два одинаковых шарика перемещаются с одинаковыми скоростями по горизонтальной поверхности, при этом первый шарик скользит, а второй – катится. Кинетическая энергия больше … 1) у скользящего шарика 2) у катящегося шарика 3) у обоих одинаковы 2

Динамика твердого тела Кольцо, диск и шар одинаковой массы катятся по горизонтальной поверхности без проскальзывания с одинаковой скоростью. Последовательность тел в порядке возрастания их кинетической энергии: ШДК

Динамика твердого тела Укажите правильное соответствие между физическими величинами или законами и выражающими их формулами: кг A Момент силы 1 B Закон динамики вращательного движения 2 C Теорема Штейнера 3 D Кинетическая энергия вращающегося тела 4 5 А 3 -В 1 -С 2 -D 4

Динамика твердого тела Диск массой 2 кг и радиусом 20 см вращается с угловой скоростью 8 рад/с около оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Кинетическая энергия диска равна … Дж 1, 28

Динамика твердого тела На графике приведена зависимость кинетической энергии вращающегося маховика от его угловой скорости. Момент инерции маховика равен … кг∙м 2. 2

Динамика твердого тела Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Динамика твердого тела Направления векторов силы F, момента сил M и момента импульса L при равноускоренном вращении диска вокруг вертикальной оси правильно показаны на рисунке … 1

Динамика твердого тела Колесо вращается так, как показано на рисунке белой стрелкой. К ободу колеса приложена сила F, направленная по касательной. Правильно изображает изменение момента импульса колеса относительно заданной оси вектор … 3

Динамика твердого тела Направление вектора момента импульса вращающегося диска указывает вектор… 1

Динамика твердого тела Направление вектора момента импульса точечного тела массой m, движущегося по окружности, относительно центра окружности указывает вектор… 3

Динамика твердого тела Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. График, правильно отражающий зависимость момента импульса диска от времени, изображен на рисунке 1

Динамика твердого тела Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L=at, где α – положительная постоянная величина. График, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело, изображен на рисунке 2

Динамика твердого тела Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L=at 2, где α – положительная постоянная величина. График, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело, изображен на рисунке 1

Динамика твердого тела Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L=at 3, где α – положительная постоянная величина. График, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело, изображен на рисунке 4

Динамика твердого тела Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L=at 3/2, где α – положительная постоянная величина. График, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело, изображен на рисунке 3

Динамика твердого тела Момент импульса вращающегося тела изменяется по закону L=at-lt 2 , где α и λ – некоторые положительные константы. Зависимость от времени момента сил, действующих на тело, определяется графиком 3

Динамика твердого тела Если момент инерции тела увеличить в 3 раза и угловую скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела 1) не изменится 2) увеличится в 5 раз 3) увеличится в 9 раз 4) увеличится в 6 раз 4

Динамика твердого тела Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из вертикального положения в горизонтальное, то частота вращения 1) не изменится 2) уменьшится 3) увеличится 2

Динамика твердого тела Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. Если – радиус- вектор планеты, то справедливы утверждения: 1) Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, равен нулю. 2) Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. 3) Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение: L = m. Vr. 1, 2

Динамика твердого тела Закон сохранения момента импульса: момент импульса тела сохраняется, если … 1) – момент сил, действующих на тело, не меняется с течением времени 2) – момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю 3) – момент инерции тела не меняется с течением времени 4) – сумма сил, действующих на тело, обязательно равна нулю 2

Динамика твердого тела Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R 1 от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R 2=2 R 1 с угловой скоростью … 2

Динамика твердого тела Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R 1 от оси вращения. Натянув нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R 2=R 1 /2 с угловой скоростью … 1

Динамика твердого тела Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R 1 от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R 2=2 R 1 /3 с угловой скоростью … 4

Динамика твердого тела Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R 1 от оси вращения. Потянув нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R 2=R 1 /3 с угловой скоростью … 4

Динамика твердого тела Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом стержне длиной 3 d на расстоянии d друг от друга так, как это показано на рисунке. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости ω1. Затем шарики отпустили, и они оказались на краях стержня. Стержень станет вращаться с угловой скоростью ω2, равной 4

Динамика твердого тела Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом стержне длиной 5 d на расстоянии d друг от друга так, как это показано на рисунке. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до некоторой угловой скорости ω1. Затем шарики отпустили, и они оказались на краях стержня. При этом стержень стал вращаться с угловой скоростью ω2. Первоначальная угловая скорость ω1 вращения стержня была равна 4

Динамика твердого тела Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом стержне длиной 2 d на расстоянии d друг от друга так, как это показано на рисунке. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости ω1. Затем шарики отпустили, и они оказались на краях стержня. Стержень станет вращаться с угловой скоростью ω2, равной 4

Динамика твердого тела Момент импульса L тела изменяется со временем по закону L(t)=t 2 -6 t+8. Момент действующих на тело сил станет равным нулю в момент времени t=… секунды. 3

Динамика твердого тела Момент импульса L тела изменяется со временем по закону L(t)=t 2 -2 t-12. В момент времени t =4 с вращательный момент действующих на тело сил равен … Н·м. 6

Динамика твердого тела Момент импульса диска массой 2 кг и радиусом 20 см, равномерно вращающегося с угловой скоростью 100 рад/с, относительно оси вращения, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости равен ( кг∙м 2/с) 4

Динамика твердого тела Однородный диск равномерно вращается относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его край, делая 1 оборот в секунду. Масса диска 5 кг, радиус диска 30 см. Полный момент импульса диска относительно данной оси равен ( кг∙м 2/с). Ответ округлить до целых. 4

Динамика твердого тела Однородный диск равномерно вращается относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через середину его радиуса, делая 5 оборотов в секунду. Масса диска 2 кг, радиус диска 20 см. Полный момент импульса диска относительно данной оси равен ( кг∙м 2/с). Ответ округлить до целых. 2

Динамика твердого тела Однородный диск равномерно вращается относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска и расположенной на расстоянии трети радиуса от его центра, делая 5 оборотов в секунду. Масса диска 5 кг, радиус диска 50 см. Полный момент импульса диска относительно данной оси равен ( кг∙м 2/с). Ответ округлить до целых. 24

Динамика твердого тела Однородный стержень равномерно вращается относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину, делая 10 оборотов в секунду. Масса стержня 1 кг, длина стержня 50 см. Полный момент импульса стержня относительно данной оси равен ( кг∙м 2/с). Ответ округлить до целых. 1

Динамика твердого тела Однородный стержень равномерно вращается относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его край, делая 10 оборотов в секунду. Масса стержня 4 кг, длина стержня 100 см. Полный момент импульса стержня относительно данной оси равен ( кг∙м 2/с). Ответ округлить до целых. 84

момент инерции

момент инерции


Задача 11145

Определить момент инерции J кольца массой m = 50 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной к кольцу.


Задача 23983

Определите момент инерции стального маховика относительно оси вала. Плотность стали ρ = 7800 кг/м3, радиус центрального отверстия для вала r = 0,1 м, R1 = 6r, R2 = 4r, R3 = 2r, α = 45°. Плоский маховик толщиной h = 0,02 м с цилиндрическими вырезами. Количество вырезов n найдите по формуле n = 360/α, их радиусы равны r.


Задача 26575

Определите момент инерции стального маховика относительно оси вала. Плотность стали ρ = 7800 кг/м3, радиус центрального отверстия для вала r = 0,1 м, R1 = 6r, R2 = 4r, R3 = 2r, α = 180°. Маховик с шарами на спицах. Количество шаров п найдите по формуле n = 360/α, их радиусы равны r, длина втулки равна 0,02 м. Массами спиц пренебречь.


Задача 26630

Определите момент инерции стального маховика относительно оси вала. Плотность стали ρ = 7800 кг/м3, радиус центрального отверстия для вала r = 0,1 м, R1 = 6r, R2 = 4r, R3 = 2r, α = 45°. Плоский маховик толщиной h = 0,02 м с двумя симметричными вырезами.


Задача 26682

Фигурист вращается, делая 6 об/с. Как изменится момент инерции фигуриста, если он прижмет руки к груди и при этом частота вращения станет 18 об/с.


Задача 12946

Определить момент инерции кольца массой m = 250 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной к кольцу.


Задача 13657

На рисунке приведены зависимости кинетической энергии Wвр трех вращающихся тел от квадрата угловой скорости ω2. Какому графику соответствует наибольший момент инерции тела? Поясните свой ответ.


Задача 19684

На рисунке приведены зависимости кинетической энергии трех вращающихся тел Wвр от квадрата угловой скорости ω2. Какому графику соответствует наименьший момент инерции тела? Укажите его номер и поясните свой выбор.


Задача 20368

На рисунке приведена зависимость модуля моментов сил, приложенных к разным телам, от модуля углового ускорения тел. Наибольший момент инерции имеет тело под номером


Задача 20439

Момент силы, приложенный к вращающемуся телу, изменяется по закону M = M0 – αt, где α — некоторая положительная константа. Момент инерции остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость углового ускорения от времени представлена на рисунке …
.


Задача 20440

Момент силы, приложенный к вращающемуся телу, изменяется по закону M = αt2, где α — некоторая положительная константа. Момент инерции остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость углового ускорения от времени представлена на рисунке …
.


Задача 20441

Момент силы, приложенный к вращающемуся телу, изменяется по закону M = M0 – αt2, где α — некоторая положительная константа. Момент инерции остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость углового ускорения от времени представлена на рисунке …
.


Задача 21571

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = А+Вt+Сt2, где А = 3 рад, В = 28 рад/с, С = – 5 рад/с2. Найти среднюю мощность <N>, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг×м2.


Задача 21659

Полый цилиндр массой 8 кг имеет внутренний диаметр 1 м, внешний 1,1 м. Чему равен момент инерции этого цилиндра относительно своей оси?


Задача 21948

Шарик радиуса 6,2 см из пластичного материала имеет некоторый момент инерции I1. Этот шарик преобразуют в цилиндр высоты 3,8 см. Момент инерции цилиндра относительно его оси оказался I2. Найти отношение I2/I1.


Видео: Момент инерции | Нагва

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем про момент инерции. Мы узнаем, что это такое, почему это имеет значение и как его рассчитать. Для начала представьте, что вы проведение гонки под названием «Гонка фигур». На вершине наклонной плоскости, вы поместили полое кольцо, сплошной шар, длинный сплошной цилиндр и полый сферическая оболочка.По сигналу все четыре формы отпускаются одновременно и позволяют начать катиться вниз по склону. Некоторые из этих фигур катятся вниз по склону легче, чем другие. И они вырываются вперед в раса.

Если вы хотите предсказать заранее время, какая из фигур выиграет гонку, будет полезно узнать кое-что про момент инерции. Мы можем начать понимать понятие момента инерции, поняв, что некоторые линейные переменные имеют вращательные аналоги и наоборот.Например, рассмотрим линейный переменная 𝑠, обозначающая расстояние.

В мире вращения переменную, которая соответствует 𝑠, мы можем назвать 𝜃 для углового расстояния. Эти две переменные соответствуют друг друга. Оба они описывают расстояние путешествовал. Это может быть удивительно узнать эта масса также является линейной переменной. Вот что мы подразумеваем под этим. Всякий раз, когда мы рисуем свободное тело диаграмме сил, действующих на массу, мы знаем, что эти силы движутся через центр масс, то есть его центр масс.

Силы, действующие таким образом, стремятся переводить, а не вращать нашу массу 𝑚. Итак, масса в ответ на силы подобные этим или любым другим силам, которые мы можем изобразить, используя диаграмму свободного тела, имеет тенденцию двигаться в линию. Но сейчас мы представим себе другой сценарий. Вместо наших сил всегда возникающие или проходящие через центр масс нашего объекта, мы теперь рассмотрим сценарии, в которых силы действуют вдоль какой-либо оси, отличной от линии, проходящей через центр массы. Силы, подобные этим, имеют тенденцию наша масса вращается. И в зависимости от формы и распределения нашей массы, это вращение будет более или менее затруднено.

Это понятие стоит за моментом инерция, часто обозначаемая с большой буквы 𝐼. Вместо того, чтобы наши силы двигались через центр масс объекта, что приведет к его линейному перемещению, наши силы теперь действуют за пределами этого центра. Или даже если силы движутся через центр масс, мы могли бы рассматривать движение массы относительно к оси вращения на некотором расстоянии от ее центра.

Мы можем видеть этот момент инерции всегда приходится иметь дело с вращением. И именно в этом смысле момент инерции подобен вращающейся массе. Скажем, у нас есть случайно сформированный массы, под действием силы, которая движется через центр масс объекта. И мы скажем, что эта сила заставляет массу двигаться по круговой траектории вокруг оси вращения. Учитывая, что у нас есть сила на массы, движущейся по круговой траектории, по второму закону Ньютона мы можем напишите линейное выражение этого как 𝐹 равно 𝑚 умноженное на 𝑎.

Интересно, есть поворотный Вариант второго закона Ньютона. И мы можем найти эту версию по учитывая, что наша масса находится на расстоянии 𝑟 от центра вращения. А если вектор 𝐹 и вектор 𝑟 перпендикулярны друг другу, мы можем написать, что 𝐹, умноженное на 𝑟, равно момент инерции, масса вращения помните, умноженная на угловое ускорение 𝛼. Таким образом, не только отдельные переменные имеют линейные и вращательные пары, но и второй закон Ньютона тоже.Бывают линейные и вращательные. версия. Это вращательное выражение Второй закон Ньютона, который дает нам немного лучшее представление о том, какой момент инерции 𝐼.

Как мы рассматриваем эту связь между массой и моментом инерции может возникнуть вопрос: измерять массу достаточно просто. Пока мы знаем ускорение из-за гравитации мы можем положить тело на весы и таким образом определить его массу.А как же 𝐼? Как насчет момента объекта инерция?

Оказывается, объект момент инерции 𝐼 можно измерить с помощью простого маятника. Если мы присоединим фигуру, момент которой инерции мы хотим измерить плечом маятника и позволить ему свободно качаться под влияние силы тяжести, мы можем видеть, что движение маятника вперед и назад делает это вращение. Мы можем исследовать, насколько легко или массе трудно совершить это вращение, изменяя длину плеча маятника, а также амплитуду, с которой он освобождается.

Пример более распространенных форм из которых мы имеем здесь полый цилиндр, момент инерции этих форм по конкретным осям уже вычислено. И мы можем найти их в стол. В качестве примеров различных форм и соответствующие им моменты инерции, момент инерции точечной массы равен равна массе этой точки, умноженной на квадрат расстояния от нее до ось вращения. С другой стороны, твердая сфера вращаясь вокруг своего центра, имеет момент инерции, равный двум пятым его массы, умноженной на его радиус в квадрате. И твердый стержень, вращающийся вокруг одного конец стержня имеет момент инерции, равный одной трети произведения его массы на длину стержня. стержень квадратный.

Это поднимает важный вопрос про момент инерции. Мы говорили о том, как момент инерции 𝐼 и массы подобны друг другу.Момент инерции объекта 𝐼 зависит не только от формы и плотности объекта, как масса, но и 𝐼 зависит от оси вращения. Например, если мы измерим момент инерции нашего полого цилиндра в этом случае, то это измеренное значение будет зависеть не только от массы нашего цилиндра, но и от его положения или его ориентация.

Если мы переместим цилиндр так, чтобы теперь вместо его центра один из его концов прикреплен к плечу маятника или, если мы повернули его так, чтобы он находился на одной линии с маятником, в каждом из этих трех случаев мы вероятно, будет измерять другой момент инерции, та же форма отличается момент. Поэтому, когда мы идем к столу, чтобы посмотреть момент инерции определенной формы, мы должны быть осторожны, чтобы обеспечить что ось вращения нашей формы соответствует нашему сценарию. В противном случае мы запишем неправильный или несоответствующий момент инерции.

Помимо поиска момент инерции объекта, его тоже можно рассчитать. Чтобы рассмотреть, как мы могли бы это сделать, давайте снова рассмотрим наш момент инерции точечной массы, т. е. бесконечно небольшая масса со значением массы 𝑚 на расстоянии 𝑟 от оси вращения.В этих условиях эта точка момент инерции массы определяется как произведение массы на 𝑟 в квадрате.

А теперь представим, что мы конвертируем или окружить нашу точечную массу гораздо большей протяженной массой. Точечная масса 𝑚 представляет собой бесконечно малой составляющей этой большей массы. И можно даже сказать, что это большая масса просто состоит из бесконечного множества бесконечно малых точек массы. Если для каждого бесконечно малого элемент массы, который составляет эту большую массу, мы вычисляем, что элемент массы умножен на квадрат его расстояния от оси вращения, затем сложение всех этих частей путем интегрирования мы бы нашли общий момент инерции этого протяженная масса произвольной формы.

Обычно при расчете интеграл для решения момента инерции объекта, мы выражаем дифференциал элемент массы 𝑑𝑚 через 𝑑𝑟 некоторым образом, в зависимости от формы массы мы хотим решить для. Помимо расчета объекта момент инерции с нуля, есть еще один инструмент момента инерции, который нам понадобится чтобы узнать, прежде чем получить некоторую практику с этими идеями.

Этот инструмент известен как параллельный теорема об оси.Вот один из способов подумать об этом теорема. Скажем, что у нас есть твердая сфера который вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Мы видели ранее, что момент инерция этой формы, вращающейся вокруг своего центра масс, составляет две пятых ее массы, умноженной на его радиус в квадрате. И мы отметили, что этот результат зависит от положения оси вращения. Если бы эта ось двигалась, то так общий момент инерции этой массы.

Допустим, например, что мы переместим нашу ось вращения из центра сферы в какую-то другую точку. И мы скажем, что эта точка отстоит от центра сферы на расстояние 𝑑. Вот что такое параллельная ось теорема говорит нам об этой ситуации. Эта теорема говорит, что если мы переместим наша ось вращения в другое положение, но держите ось параллельно исходной ориентация. Тогда новый момент инерции вращающийся объект равен сумме моментов инерции вращающегося объекта относительно его центра масс плюс его масса, умноженная на квадрат расстояния между исходная и конечная оси вращения.

Это полный рот. Но это означает, что мы можем использовать момент инерции тела, вращающегося вокруг своего центра масса при нахождении его момента инерции, вращающегося вокруг какой-либо другой оси. Этот инструмент очень полезен в решение момента инерции, когда наша ось вращения смещается. И это важно знать, чтобы использовать его, наши две оси должны быть параллельны друг другу. Зная все это, давайте немного попрактиковаться с моментом инерции на примере.

Стержень и сфера объединены в образуют систему. Длина стержня 𝐿 равна 0,50 метров. А его масса составляет 2,0 килограмма. Радиус сферы 𝑅 равен 20,0 сантиметры. А его масса составляет 1,0 килограмма. Система может вращаться вокруг точка 𝐴 на противоположном конце стержня к сфере или около точки 𝐵 где стержень и сфера соединяются, как показано на схеме. Найдите момент инерции система о точке 𝐴. Найдите момент инерции система о точке 𝐵.

Мы можем назвать эти два значения 𝐼 sub 𝐴 и 𝐼 под 𝐵. С учетом имеющейся у нас информации дано, что нам говорят длину стержня, его массу, радиус сфере и ее массе, мы можем начать вычисление 𝐼 sub 𝐴, выписав этот момент инерции как суммы компонентов этой системы стержня и сфера. 𝐼 sub 𝐴 равно моменту инерция стержня, вращающегося вокруг точки 𝐴, плюс момент инерции сферы вращается вокруг одной и той же точки.

Когда мы рассмотрим поиск моменты инерции двух частей нашей системы, мы знаем, что сможем найти момент инерции стержня, вращающегося вокруг своего конца, как в этом случае. Но для момента инерции сфере, мы сможем найти это значение для сферы, вращающейся вокруг своего центра. Но в этом случае сфера вращаться не вокруг своего центра, а вокруг точки 𝐴.

Чтобы помочь нам, мы можем вспомнить теорема о параллельных осях.Эта теорема говорит, что если мы имеем масса 𝑚 с осью вращения, смещенной на расстояние 𝑑 от центра масс 𝑚, то общий момент инерции этого объекта равен моменту инерции объекта относительно его центра масс плюс его масса, умноженная на расстояние 𝑑 в квадрате между двумя параллельными осями. Это означает, что когда речь идет о момент инерции сферы, вращающейся вокруг точки 𝐴, этот момент инерции равен моменту инерции шара относительно его центра масс плюс его масса, умноженная на расстояние от оси вращения, в нашем случае 𝐿 плюс 𝑅, в квадрате.

Если мы пойдем и посмотрим в Из таблицы момент инерции стержня, вращающегося вокруг одного из своих концов, мы видим, что это одна треть массы стержня, умноженная на длину стержня в квадрате. Более того, когда мы ищем момента инерции шара, вращающегося вокруг своего центра, видим, что величина равна к двум пятым массы сферы, умноженной на квадрат ее радиуса. Все это означает, что мы можем переписать момент инерции нашей системы, вращающейся вокруг точки 𝐴, составляет одну треть масса стержня, умноженная на его длину в квадрате, плюс две пятых массы шара умножить на квадрат радиуса плюс, из-за теоремы о параллельных осях, массу сфера, умноженная на длину стержня плюс радиус сферы. в квадрате.

Так как нам даны значения для все четыре из этих переменных в нашей постановке задачи, мы готовы подключить и решить для 𝐼 под 𝐴. Когда мы подключаемся ко всем этим значений, мы стараемся преобразовать радиус нашей сферы в сантиметры к единицам метров, чтобы согласоваться с единицами в остальной части нашего выражения. Сложив эти три термина вместе, мы находим результат с точностью до двух значащих цифр, равный 0.67 килограммов на квадратный метр. Это момент инерции эта система вращается вокруг точки 𝐴.

Далее мы хотим рассмотреть то же самое система, но другая ось вращения. Теперь наша ось вращения находится в место, где стержень и сфера соединяются. И снова момент инерции нашей системы равно стержню плюс шару для этого конкретная ось вращения. Так как стержень, еще раз, вращаясь вокруг одного из его концов, мы снова можем использовать соотношение для его момента инерция относительно такой оси.Так же и сфера не вращается вокруг своего центра масс, момент инерции которого мы знаем, но вращается вокруг оси на расстоянии ее радиуса 𝑅 от этого центра.

Наше уравнение для 𝐼 sub 𝐵 таким же, как наше уравнение для 𝐼 sub 𝐴, за исключением одного члена. Вместо того, чтобы наше расстояние 𝑑 было 𝐿 плюс 𝑅, теперь это просто 𝑅, радиус нашей сферы. Когда мы подключаемся к этим значениям, снова переводя радиус нашей сферы в единицы метров, мы находим, что 𝐼 sub 𝐵, до двух значащих цифр, равно 0. 22 килограмма на квадратный метр. Это момент инерции эта система вращается вокруг оси, проходящей через точку 𝐵.

Подведем итог тому, что мы узнали про момент инерции. Мы видели, что момент объекта инерции эквивалентна его вращательной массе. Момент инерции, обозначенный заглавная 𝐼, зависит от массы объекта, формы и оси, по которой объект вращается около. Общие моменты инерции могут быть заглянул в таблицу.Или их можно рассчитать с помощью отношение момент инерции равен интегралу от каждой бесконечно малой элемент массы, который составляет большую массу, умноженную на расстояние каждого элемента от ось вращения в квадрате.

момент инерции — Викисловарь

Английский

Существительное[править]

момент инерции ( множественное число моменты инерции )

  1. (физика, классическая механика) Мера сопротивления твердого тела изменению его угловой скорости вокруг заданной оси.
    Момент инерции твердого тела — это величина, которая определяет крутящий момент, необходимый для желаемого углового ускорения относительно заданной оси вращения, по аналогии с тем, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения.
    • 1882 , Эдвард Джон Рут, Элементарная часть трактата о динамике системы твердых тел , 4-е издание, MacMillan & Co., стр. 10,
      моментов инерции неоднородного тела, границей которого является поверхность однородной плотности, иногда можно найти методом дифференцирования.
    • 1884 , Бенджамин Уильямсон, Элементарный трактат по интегральному исчислению , 4-е издание, Appleton and Company, стр. 292,
      Следовательно, момент инерции тела относительно любой оси можно найти, если известен момент для оси, параллельной проходящей через его центр тяжести.
  2. (инженерия, строительство) Второй момент площади; мера сопротивления твердого тела изгибу.
    • 2007 , Роберт Л. Мотт, Прикладная прочность материалов , 5-е издание, Тейлор и Фрэнсис (CRC Press), стр. 323,
      Напряжения из-за вертикальных сдвигающих сил также зависят от момента инерции и обсуждаются в главе 8.
      Некоторые математики и аналитики напряжений используют термин второй момент площади вместо момент инерции . Фактически этот термин более точно описывает определение этого свойства в последующем обсуждении.
Синонимы[править]
Производные термины[править]
Связанные термины[править]
См. также[править]
Переводы[править]

мера сопротивления изменению угловой скорости

Дополнительная литература[править]

Концепция, характеристики и применение

Наука > Физика > Сила > Момент силы

В этой статье мы изучим понятие момента силы, его характеристики и применение в повседневном использовании.

Жесткий корпус:

Твердое тело – тело, геометрическая форма и размеры которого не изменяются под действием внешней силы. В твердом теле расстояние между любыми двумя частицами тела остается постоянным. Другими словами, относительное положение каждой частицы по отношению к любая другая частица всегда остается неизменной. Если приложить силу (какой бы ни была ее величина), форма тела не изменится. Хотя абсолютно твердого тела не существует, многие тела можно рассматривать как твердые тела для практических целей.

Вращательное движение и ось вращения:

Говорят, что твердое тело совершает вращательное движение, когда частицы, лежащие на прямой в теле, остаются неподвижными и все другие частицы движутся по кругу вокруг этой прямой. Прямая линия внутри тела, которое остается неподвижным, называется осью вращения.

Когда сила приложена к свободному твердому телу двигаться, тело начинает двигаться прямолинейно в направлении сила. Движение тела называется линейным или поступательным движением. Но если  тело поворачивается в точке, сила, приложенная к телу в подходящей точка вращает тело вокруг фиксированной точки (или вокруг оси, проходящей через неподвижная точка) Это называется вращательным движением. Например, когда сила прикладывается к ручке двери, дверь вращается.

Одна сила может вызвать поступательное движение тело, если оно может свободно двигаться, но одна сила, приложенная к телу, закрепленному в точка не вызывает вращательного движения тела.

Момент силы:

При поступательном движении линейное ускорение тела зависит от силы, действующей на тело, так и при вращательном движении угловое ускорение зависит от момента силы или крутящего момента, действующего на тело. Способность силы производить вращательное движение измеряется моментом силы. Его величина относительно данной оси зависит от величины силы и перпендикулярного расстояния линии действия силы от оси вращения. Это расстояние называется плечом момента.

Величина момента = сила × плечо момента

Обозначается буквой М. Единицей измерения в системе СИ является Нм. Его размеры составляют [м 1 L 2 T -2 ]. Это векторная величина, направление которой задается правилом правой руки.

Условные обозначения для момента силы:

  • Если сила, приложенная к телу, вращает тело против часовой стрелки, то она считается положительной.
  • Если сила, приложенная к телу, вращает тело по часовой стрелке, то она считается отрицательной.
  • Направление момента силы (крутящего момента) определяется по правилу правой руки. В нем говорится, что «Окружите ось вращения пальцами правой руки, которые указывают в направлении, в котором тело имеет тенденцию вращаться, тогда большой палец указывает в направлении крутящего момента или момента вектора силы.

Выражение для момента силы:

Рассмотрим тело любой формы, способное вращаться вокруг ось, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости бумаги, как показано на схеме

Пусть P — точка на плоскости бумаги f. Пусть r — вектор положения точки P относительно точки O. Пусть F — сила, действующая в точке P, образующая угол θ с вектором положения . Под прямым углом Δ PQO,

sin θ = OQ/OP

OQ = OP Sin θ = r Sin θ

Величина момента силы = Сила × плечо момента

Таким образом, момент силы является векторным произведением плеча момента и силы. Его направление задается правилом большого пальца правой руки. В данном случае направление перпендикулярно плоскости бумаги и к нам.

Научные причины:

Легко открыть дверь, применив усилие на свободном конце.

Дверь вращается вокруг оси, проходящей через ее петли.

Требуемый момент силы для поворота двери = усилие x плечо момента

Когда мы прикладываем силу к свободному концу, расстояние силы от оси вращения (плеча момента) больше. Таким образом, для открывания двери требуется меньшее усилие из-за большого поворотного эффекта.

Ручная мельница для муки снабжена ручка возле его края.

Верхний камень мукомольки вращается вокруг оси, проходящей через его центр.

Момент силы, необходимый для вращения камня = сила x плечо момента

Когда ручка находится рядом с ободом, расстояние до усилие от оси вращения (плечо момента) больше. Таким образом, меньше силы требуется меньше вращать камень мукомольной мельницы за счет большого обточки эффект.

Гаечный ключ с длинной ручкой используется для ослабления или тугая гайка.

При ослаблении или затягивании гайка вращается вокруг оси, проходящей через ее центр.

Момент силы, необходимый для поворота гаечного ключа = усилие x плечо момента

При использовании гаечного ключа с длинной ручкой расстояние усилие от оси вращения (плечо момента) больше. Таким образом, меньше силы необходимо ослабить или затянуть гайку из-за большого вращательного эффекта.

В велосипеде используются длинные педали.

В велосипеде педали используются для вращения зубчатого колеса вокруг оси, проходящей через его центр.

Момент силы, необходимый для вращения колеса = усилие x плечо момента

При использовании длинных педалей расстояние усилия от оси вращения (плечо момента) больше.Таким образом, требуется меньшее усилие для вращать зубчатое колесо из-за большого вращательного эффекта.

Принцип моментов:

Если тело находится во вращательном равновесии, то сумма момент против часовой стрелки равен сумме моментов по часовой стрелке. ИЛИ Если тело находится во вращательном равновесии, то алгебраическая сумма моментов относительно любая точка равна нулю.

Применение принципа моментов:

  • Чтобы найти массу объекта
  • В рычагах (Простая машина)

Предыдущая тема: Упругое и неупругое столкновение

Следующая тема: Концепция пары

Наука > Физика > Сила > Момент силы

Карта механики — момент относительно точки

Момент силы — это стремление некоторых сил вызвать вращение. Любой простой способ визуализировать концепцию — поставить коробку на гладкую поверхность. Если бы вы приложили силу к центру коробки, она бы просто скользила по поверхности, не вращаясь. Если вместо этого вы нажмете на одну сторону коробки, она начнет вращаться при движении. Несмотря на то, что силы имеют одинаковую величину и одинаковое направление, они вызывают разные реакции. Это связано с тем, что сила вне центра имеет другую точку приложения и действует на центр коробки, тогда как сила в центре коробки не действует на центральную точку коробки.

Если мы нажмем коробку в центре, она просто начнет скользить. Если мы сдвинем коробку не по центру, мы приложим момент, и коробка будет вращаться в дополнение к скольжению.

Как и силы, моменты имеют величину (степень вращения, которую они вызывают) и направление (ось, вокруг которой вращается тело). Определение величины и направления этих моментов относительно заданной точки является важным шагом в анализе систем твердых тел (тел, которые одновременно являются жесткими и в которых силы не действуют одновременно). Приведенный ниже скалярный метод — самый простой способ сделать это в простых двумерных задачах, в то время как альтернативные векторные методы лучше всего работают в более сложных трехмерных системах.

Скалярный метод в двух измерениях

Обсуждая, как вычислить момент силы относительно точки с помощью скалярных величин, мы начнем с примера силы, действующей на простой рычаг, как показано ниже. В этом простом рычаге действует сила на конце рычага, на расстоянии d от центра вращения рычага (точка А), где сила имеет величину F.

Величина момента, приложенного силой F к точке А на этом рычаге, будет равна произведению силы на расстояние d.

При использовании скалярных величин величина момента будет равна перпендикулярному расстоянию между линией действия силы и точкой, относительно которой мы измеряем момент.

Чтобы определить знак момента, мы определяем, какой тип вращения вызовет сила. В этом случае мы видим, что сила заставила бы рычаг вращаться против часовой стрелки вокруг точки А. Вращение против часовой стрелки вызвано положительными моментами, а вращение по часовой стрелке вызвано отрицательными моментами.

Другим важным фактором, который следует помнить, является то, что значение d является перпендикулярным расстоянием от силы до точки, относительно которой мы измеряем момент. Мы могли бы измерить расстояние от точки A до начала вектора силы, или хвоста вектора силы, или действительно любой точки вдоль линии действия силы F. Однако расстояние, которое нам нужно использовать для вычисления скалярного момента, равно кратчайшее расстояние между точкой и линией действия силы.Это всегда будет линия, перпендикулярная линии действия силы, идущая к точке, за которую мы принимаем момент.

Расстояние d всегда должно быть кратчайшим расстоянием между линией действия силы и точкой, относительно которой мы измеряем момент. Это расстояние будет перпендикулярно линии действия силы.

Скалярный метод в трех измерениях

Для трехмерных скалярных вычислений мы по-прежнему будем находить величину момента таким же образом, умножая величину силы на расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы. Это перпендикулярное расстояние снова является минимальным расстоянием между точкой и линией действия силы. В некоторых случаях найти это расстояние может быть очень сложно.

Для моментов в трех измерениях вектор момента всегда будет перпендикулярен как вектору силы F, так и вектору расстояния d. Чтобы использовать правило правой руки, выровняйте правую руку, как показано, так, чтобы большой палец совпадал с осью вращения для момент, и ваши согнутые пальцы указывают направление вращения для вашего момента.Если вы сделаете это, ваш большой палец будет указывать в направлении вектора момента. Адаптировано из изображения Public Domain от Schorschi2.

Другим трудным фактором в трехмерных скалярных задачах является нахождение оси вращения, так как теперь это сложнее, чем просто «по часовой стрелке или против часовой стрелки». Ось вращения будет линией, проходящей через точку, относительно которой мы измеряем момент, которая перпендикулярна как вектору силы, так и перпендикулярному вектору смещения (вектору, идущему от точки, относительно которой мы измеряем момент, до точки приложения силы). сила.Хотя это возможно в любой ситуации, это становится очень затруднительным, если векторы силы или смещения не лежат в одном из трех координатных направлений.

Для дальнейшего нахождения направления вектора момента (который будет действовать вдоль установленной линии оси вращения) воспользуемся правилом правой руки в модифицированном виде. Оберните пальцы правой руки вокруг оси вращения, сгибая кончики пальцев в направлении вращения тела. Если вы сделаете это, ваш большой палец должен указывать вдоль линии в направлении вектора момента.Это важный последний шаг, потому что мы можем вращаться по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно любой заданной оси вращения. С вектором конечного момента мы знаем не только ось вращения, но и то, как тело будет вращаться вокруг этой оси.

Что такое момент?

Что такое момент?


Что такое момент?


Момент силы является мерой его стремления заставить тело вращаться вокруг определенной точка или ось. Это отличается от стремления тела двигаться или перевести, в направлении силы.Чтоб на мгновенье развиться, сила должна действовать на тело таким образом, чтобы тело начало крутить. Это происходит каждый раз, когда прикладывается сила, так что она не проходят через центр тяжести тела. Момент возникает благодаря силе, не имеющей равная и противоположная сила прямо вдоль ее линии действия.

Представьте, что два человека толкают дверь за ручку с противоположных сторон. Если оба они толкают с одинаковой силой, то возникает состояние равновесие. Если бы кто-нибудь из них вдруг отскочил от двери, толчок другого человека больше не будет иметь никакого противодействия, и дверь отмахивался бы.Человек, который все еще толкал дверь, создал момент.


Элементы момента

Величина момента силы, действующей относительно точки или оси, равна прямо пропорционально расстоянию силы от точки или оси. Он определяется как произведение силы (F) и плеча момента (d). То плечо момента или плечо рычага — расстояние по перпендикуляру между линия действия силы и центр моментов.

Момент = Сила x Расстояние или M = (F)(d)

Центр моментов может быть фактической точкой, относительно которой сила вызывает вращение.Это также может быть точка отсчета или ось, вокруг которой сила может рассматриваться как вызывающая вращение. Это не имеет значения, пока поскольку конкретная точка всегда принимается за точку отсчета. Последний случай гораздо более распространенная ситуация в задачах проектирования конструкций.

Момент выражается в футо-фунтах, тысячах футов, ньютон-метры или килоньютон-метры. Момент тоже имеет смысл; по часовой стрелке вращение вокруг центра моментов будет считаться положительным моментом; а вращение против часовой стрелки вокруг центра моментов будет считаться отрицательный.Самый распространенный способ выразить момент —

.

 



В примере показано, как гаечный ключ крепится к гайке. Сила в 100 фунтов равна применяется к нему в точке C, центре гайки. Сила приложена в x-расстояние 12 дюймов от гайки. Центр моментов может быть точка C, но также могут быть точки A, B или D.

Момент относительно точки C
Плечо момента для расчета момента вокруг точки C составляет 12 дюймов. То величина момента относительно точки C равна 12 дюймам, умноженным на силу 100 фунтов, чтобы дать общий момент 1200 дюймов-фунтов (или 100 фут-фунтов).

Рычаг момента (d) = 12 дюймов

Величина (F) = 100 фунтов

Момент = M = 100 фунтов x 12 дюймов = 1200 дюйм-фунтов

Точно так же мы можем найти моменты относительно любой точки пространства.

  Момент @   А   Б   D
 Моментный рычаг 8 дюймов 2 дюйма 0 дюймов
Величина F 100 фунтов 100 фунтов  100 фунтов
  Общий момент 800 дюймов-фунтов  200 дюймов-фунтов 0 дюймов-фунтов
     

Момент вызывает вращение вокруг точки или оси. Если момент быть взято около точки благодаря силе F, то для того, чтобы на момент развиться, линия действия не может проходить через эту точку. Если линия действия проходит через эту точку, момент равен нулю, потому что величина плечо момента равно нулю. Так было с точкой D в предыдущем гаечном ключе. проблема. Суммарный момент равен нулю, потому что плечо момента также равно нулю.


В качестве другого примера предположим, что сила в 200 фунтов приложена к ключ, как указано.Момент силы в 200 фунтов, приложенной в точке С, равен нулю. потому что:

M = F x d = 200 фунтов x 0 дюймов = 0 дюймов-фунтов

Другими словами, сила в 200 фунтов не вызывает ключ для вращения гайки. Можно было бы увеличить величину силы пока болт окончательно не сломался (разрушение при сдвиге).

Момент вокруг точек X, Y и Z также будет равен нулю, потому что они также лежат на линии действия.


Момент также можно рассматривать как результат действия сил, отклоняющихся от прямая линия, проведенная между точкой загрузки системы и ее опорами. В этом случае синяя сила является эксцентрической силой. Для того, чтобы оно достигло основание колонны, она должна делать обход через балку. Чем больше объезд, тем больше момент. Наиболее эффективные структурные системы иметь наименьшее количество обходных путей. Это будет обсуждаться более подробно в Лекции 37 и более поздние курсы.

Есть случаи, когда проще вычислить моменты компоненты силы вокруг определенной точки, чем вычислить момент самой силы.Возможно, определение перпендикуляра расстояние действия силы сложнее, чем определение перпендикуляра расстояние компонентов силы. Момент нескольких сил о точка — это просто алгебраическая сумма составляющих их моментов относительно тот же пункт. При сложении моментов составляющих необходимо принимать большие заботиться о том, чтобы соответствовать смыслу каждого момента. Часто это благоразумно отметить смысл рядом с моментом, когда берутся за такие задачи.

Комбинированный Моменты
Моменты на балке


Распространенные ошибки
При добавлении моментов компонентов необходимо проявлять большую осторожность, чтобы быть последовательными со смыслом каждого момента. Часто целесообразно отметить следующий смысл к моменту, когда берутся за такие задачи.

Часто задаваемые вопросы
Любая трудность с вычислением момента обычно связана с одним из следующее:

  • Центр моментов установлен неправильно или четко понял.
  • Предполагаемое плечо момента не является ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМ расстоянием между линия действия силы и центр моментов.
  • Направление или направление вращения было проигнорировано или неправильно понято.

Вопросы к размышлению
Какой момент относительно точки B и точки D для обоих случаев показано в примере с ключом выше? Как можно добавить расширение в конец гаечного ключа поможет отвернуть ржавый болт? Какие структурные системы будет иметь наименьшее количество «обходных путей»?

Проблемы

Связанные материалы

Шеффер, Р.Э. Элементарные конструкции для архитекторов и строителей. стр. 33-39.


Copyright © 1995, 1996 Крис Х. Любкеман и Дональд Петинг
Copyright © 1996, 1997, 1998 Крис Х. Любкеман

10.3 Динамика вращательного движения: вращательная инерция

Вращательная инерция и момент инерции

Прежде чем мы сможем рассмотреть вращение чего-либо, кроме точечной массы, подобной той, что изображена на рис. 10.11, мы должны распространить идею инерции вращения на все типы объектов. Чтобы расширить наше понятие инерции вращения, мы определяем момент инерции II размер 12{I} {} объекта должен быть суммой mr2mr2 size 12{ ital “mr” rSup { size 8{2} } } {} для всех точечных масс, из которых он состоит.То есть, I=∑mr2I=∑mr2 size 12{I= Sum {} ital “mr” rSup { size 8{2} } } {}. Здесь II размер 12{I} {} аналогичен мм размером 12{м}{} в поступательном движении. Из-за расстояния rr size 12{r} {}, момент инерции любого объекта зависит от выбранной оси. Собственно, расчет Размер II 12{I} {} выходит за рамки этого текста, за исключением одного простого случая – обруча, вся масса которого находится на одном и том же расстоянии от его оси. Таким образом, момент инерции кольца вокруг своей оси равен MR2MR2 размер 12{ ital “MR” rSup { размер 8{2} } } {}, где Размер MM 12{M} {} – это его полная масса, а размер RR 12{R} {} – его радиус.Мы используем размер MM 12{M} {} и размер RR 12{R} {} для всего объекта, чтобы отличить их от размера 12{m} {} мм и размера rr 12{r} {} для точечных масс. Во всех других случаях мы должны обращаться к рисунку 10.12 (обратите внимание, что таблица представляет собой произведение искусства, в котором есть формы, а также формулы) для формул для размера II 12{I} {}, которые были получены путем интегрирования по непрерывному телу. Обратите внимание, что размер II 12{I} {} имеет единицы массы, умноженные на квадрат расстояния (кг⋅м2кг⋅м2 размер 12{“кг” cdot “м” rSup { размер 8{2} } } {}), как мы могли бы ожидать от его определения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением

10.43 net τ=Iαnet τ=Iα размер 12{τ=Iα} {}

или

,”} {}

, где чистый размер ττ 12{τ} {} — это суммарный крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только крутящие моменты, создаваемые силами в плоскости вращения. Такие крутящие моменты бывают положительными или отрицательными и складываются как обычные числа.Соотношение в τ=Iα, α=net τIτ=Iα, α=net τI size 12{τ=Iα,““`α= { { ital “net”τ} over {I} } } {} является вращательный аналог второго закона Ньютона и очень широко применим. Это уравнение действительно справедливо для любого крутящего момента , примененного к любому объекту относительно любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется.Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением заключается в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть дополнительный нюанс. Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от его распределения массы относительно оси, вокруг которой он вращается. Например, будет намного легче разогнать карусель, полную детей, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять на внешнем краю.Масса в обоих случаях одинакова, но момент инерции намного больше, когда дети находятся на краю.

Эксперимент на дом

Вырежьте круг радиусом около 10 см из плотного картона. Рядом с краем круга напишите числа от одного до двенадцати, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, как колесо. Вы можете свободно прибить круг к стене. Держите круг неподвижно и с цифрой 12, расположенной вверху, прикрепите кусок синей замазки, липкого материала, используемого для крепления постеров к стенам, к цифре три.Насколько большим должен быть комок, чтобы просто повернуть круг? Опишите, как можно изменить момент инерции окружности. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое для числа три, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте вращать круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

В каком направлении вращался круг, когда вы добавляли замазку под номером три, по часовой или против часовой стрелки? В каком из этих направлений была результирующая угловая скорость? Была ли угловая скорость постоянной? Что мы можем сказать о направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки углового ускорения? Как можно изменить положение замазки, чтобы создать угловую скорость в противоположном направлении?

Стратегия решения задач по динамике вращения

  1. Изучите ситуацию, чтобы определить, что крутящий момент и масса участвуют во вращении .Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
  2. Определить интересующую систему .
  3. Нарисуйте диаграмму свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую вас систему.
  4. Применить сеть τ=Iα, α=net τI net τ=Iα, α=net τI size 12{τ=Iα,“`α= { { ital “net”τ} over {I} } } {}, вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить проблему . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент вокруг точки вращения.
  5. Как всегда, проверьте решение, чтобы убедиться, что оно разумно .

Установка соединений

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. При вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, точно так же, как во втором законе движения Ньютона для вращения.

Рисунок 10. 12 Некоторые инерции вращения.

Пример 10.7 Расчет влияния распределения массы на карусель

Представьте, что отец толкает карусель на детской площадке на рис. 10.13. Он прикладывает силу 250 Н к краю 50-килограммовой карусели, имеющей радиус 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, создаваемое (а), когда на карусели никого нет, и (б), когда ребенок массой 18 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с пренебрежимо малым тормозящим трением.

Рис. 10.13. Отец толкает игровую карусель за ее край и перпендикулярно ее радиусу для достижения максимального крутящего момента.

Стратегия

Угловое ускорение задается непосредственно выражением .

10,45 α=τIα=τI размер 12{α= { {τ} над {I} } } {}

Чтобы решить для αα размера 12{α} {}, мы должны сначала вычислить крутящий момент ττ размера 12{τ} { }, который в обоих случаях одинаков, и момент инерции II величиной 12{I} {}, который во втором случае больше. Чтобы найти крутящий момент, заметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу, а трением можно пренебречь, так что

10,46 τ=rFsin θ=(1,50 м)(250 Н)=375 Н⋅м.τ=rFsin θ=(1,50 м)(250 Н)=375 Н⋅м. размер 12{τ=”rFsinθ”= \( 1 “.” “50м” \) \( “250Н” \) =”375Н” “.” “m.”} {}

Решение для (a)

Момент инерции твердого диска относительно этой оси указан на рисунке 10.12 как

10.47 12MR2,12MR2, размер 12{ { {1} над {2} } итал “MR” rSup { размер 8{2} } ” ,”} {}

где M=50 кгM=50 кг размер 12{M=”50″ “.” 0 итал. “кг”} {} и R=1,50 мR=1,50 м размер 12{R=1 “.” “50” м} {}, так что

10,48 I=(0,500)(50 кг)(1,50 м)2=56,25 кг⋅м2.I=(0,500)(50 кг)(1,50 м)2=56,25 кг⋅ м2. размер 12{I=0 “.” 5 \(“50” “.” “0kg” \) \( 1 “.” “50m” \) rSup { size 8{2} } =”56″ “.” “25kg” “.” “m” rSup { size 8{2} } “.”} {}

Теперь, после подстановки известных значений, находим угловое ускорение равным

·10,49 α=τI=375 Н⋅м56,25 кг⋅м2=6,67рад2.α=τI=375 Н⋅м56,25 кг⋅м2=6,67рад2. размер 12{ α= { {τ} свыше {I} } = { {{“375″`”N” “.” “м”} свыше {“56” “.” “25”`”кг” “.” “м” rSup { размер 8{2} } } } =6 “.” “67”` { {“rad”} over {s rSup { размер 8{2} } } } “.”} {}

Решение для (b)

Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели.Чтобы найти общий момент инерции II размера 12{I} {}, мы сначала найдем момент инерции ребенка IcIc размера 12{I rSub { размер 8{c} } } {}, считая ребенка эквивалентным точке массы на расстоянии 1,25 м от оси. Тогда

10,50 Ic=MR2=(18 кг)(1,25 м)2=28,13 кг⋅м2. Ic=MR2=(18 кг)(1,25 м)2=28,13 кг⋅м2. размер 12{I rSub { размер 8{c} } =”MR” rSup { размер 8{2} } = \(“18” “.” 0`”кг” \) \( 1 “.””25″` м \) rSup {размер 8{2}} =”28” “.” “13”`”кг” “.” m rSup { size 8{2} } “.”} {}

Суммарный момент инерции равен сумме моментов инерции карусели и ребенка относительно одной оси.Чтобы оправдать для себя эту сумму, изучите определение II размера 12{I}{}.

10,51 I=28,13 кг⋅м2+56,25 кг⋅м2=84,38 кг⋅м2I=28,13 кг⋅м2+56,25 кг⋅м2=84,38 кг⋅м2 размер 12{I=”28″ “.” “13”`”кг” “.” m rSup {размер 8{2}} +”56″ “.” “25”`”кг” “.” m rSup { размер 8{2} } =”84″ “.” “38”`”кг” “.” m rSup { size 8{2} } } {}

Подстановка известных значений в уравнение для αα size 12{α} {} дает

10,52 α=τI=375 Н⋅м84,38 кг⋅м2=4,44рад2.α=τI=375 Н⋅м84,38 кг⋅м2=4,44рад2. размер 12{α= {{τ} над {I} } = {{“375N” “.” m} более {“84” “.” “38kg” “.” m rSup { размер 8{2} } } } =4 “.” “44” { {“rad”} более {s rSup { размер 8{ 2} } } } “.”} {}

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось. Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось пренебрежимо малым. Если бы, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2 с, он придал бы карусели угловую скорость 13.3 рад/с, когда он пустой, и только 8,89 рад/с, когда на нем ребенок. В пересчете на обороты в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об/с и 1,41 об/с соответственно. В первом случае отец будет бежать со скоростью около 50 км/ч. Летние Олимпийские игры, вот и он! Подтверждение этих цифр оставлено читателю в качестве упражнения.

Создание соединений: воздействие нескольких сил на одну систему

Большой гончарный круг диаметром 60 см и массой 8 кг. Он приводится в действие двигателем мощностью 20 Н, воздействующим на внешний край.Также имеется тормоз, способный оказывать усилие 15 Н в радиусе 12 см от оси вращения, на нижней стороне.

Каково угловое ускорение при работе двигателя?

Крутящий момент находится по τ = rF sin θ = (0,300 м)(20 Н) = 6 Н·мτ = rF sin θ = (0,300 м)(20 Н) = 6 Н·м.

Момент инерции рассчитывается как I = 12 MR2 = 12(8 кг)(0,300 м)2 = 0,36 кг⋅м2I = 12 MR2 = 12(8 кг)(0,300 м)2 = 0,36 кг⋅м2.

Таким образом, угловое ускорение будет α = τI = 6 Н⋅м0.36 кг⋅м2 = 17 рад/с2α = τI = 6 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 17 рад/с2.

Обратите внимание, что трение всегда действует в направлении, противоположном вращению, происходящему в данный момент в этой системе. Если гончар ошибается и включает одновременно и тормоз, и двигатель, сила трения тормоза создаст крутящий момент, противоположный крутящему моменту двигателя.

Крутящий момент от тормоза τ = rF sin θ = (0,120 м)(15 Н) = 1,80 Н⋅мτ = rF sin θ = (0,120 м)(15 Н) = 1,80 Н.

Таким образом, чистый крутящий момент равен 6 Н·м – 1.80 Н·м = 4,20 Н·м.6 Н·м – 1,80 Н·м = 4,20 Н·м..

А угловое ускорение равно α = τI = 4,20 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 12 рад/с2α = τI = 4,20 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 12 рад/с2.

Проверьте свое понимание

Крутящий момент является аналогом силы, а момент инерции – аналогом массы. Сила и масса — физические величины, зависящие только от одного фактора. Например, масса связана исключительно с количеством атомов различных типов в объекте. Являются ли крутящий момент и момент инерции такими же простыми?

Решение

№Крутящий момент зависит от трех факторов: величины силы, направления силы и точки приложения. Момент инерции зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси вращения. Таким образом, хотя аналогии точны, эти величины вращения зависят от большего количества факторов.

Принцип моментов: определение и расчеты – видео и расшифровка урока

Правило правой руки

Рука обеспечивает момент на гаечном ключе

Мы видим, что рука тянет гаечный ключ, а угол между силой (красная стрелка) и гаечным ключом составляет 90°.Угол между гаечным ключом и силой важен, потому что уравнение для момента силы, которое является перекрестным произведением или векторным произведением, включает этот угол. Моменты силы — это векторы, включающие в себя величину и направление.

Уравнение 1: нижнее уравнение для величины момента

Здесь:

  • Момент силы имеет единицы измерения ньютон-метры (Нм)
  • r — расстояние (в метрах) от точки вращения до точки приложения силы
  • F сила в ньютонах (Н)
  • sin — тригонометрическая функция, представляющая собой отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе треугольника. Функция sin имеет минимум при 0° и максимум при 90°.
  • θ угол между силой и плечом рычага в градусах

Направление момента можно определить по правилу правой руки. Возьмите правую руку и придайте ей форму пистолета. Теперь вытяните средний палец так, чтобы он был перпендикулярен указательному пальцу.

Правило правой руки

  • Указательный палец направлен в сторону от точки поворота вдоль плеча рычага
  • Средний палец указывает в направлении перпендикулярной силы на плече рычага
  • Большой палец указывает направление вектора момента

Если применить правило правой руки к нашему сценарию с гаечным ключом, большой палец укажет на экран.Если бы у нас была величина силы и расстояние от точки вращения до точки приложения силы, мы могли бы получить величину момента. Давайте сделаем два примера с числами.

Пример первый

Человек прикладывает силу 10 ньютонов на расстоянии 0,5 метра от точки поворота под углом 50° к рычагу банковского хранилища. Какой момент создается этой силой?

Решение: Мы применяем уравнение 1, чтобы получить величину момента, в котором мы получаем:

Принцип моментов — это то, что мы сделали за один шаг, чтобы получить величину момента.Разобьем его на основе определения принципа моментов. Первый шаг состоит в том, чтобы разложить силу на ее составляющие.

Зеленая стрелка — параллельная сила, синяя стрелка — перпендикулярная сила.

Можно считать, что синяя стрелка действует перпендикулярно в точке приложения силы красной стрелки. Вычисляя величину перпендикулярной силы получаем:


Зеленая горизонтальная сила бесполезна с точки зрения вращения рычага, потому что уравнение 1 говорит нам использовать синус угла между силой и плечом рычага, который в данном случае равен 0°, а синус 0° равен 0 . Следовательно, момент, обеспечиваемый параллельной составляющей силы, равен 0.

Получим момент перпендикулярной составляющей, который равен:

Принцип моментов гласит, что мы складываем все компоненты момента вместе, чтобы получить чистый момент. Поскольку мы знаем, что горизонтальный момент равен 0, мы можем получить суммарный момент силы, который также, в конечном счете, равен:

Как видите, мы получаем один и тот же ответ, используя оба метода.Правило правой руки говорит нам, что направление момента указывает на экран, что мы назовем отрицательным направлением.

Второй пример

Давайте представим, что управляющий банком понял, что вы не отключили сигнализацию в банковском хранилище, поэтому он подбегает и дергает рычаг с усилием 32 ньютона под углом 30° на расстоянии 0,25 м от точка опоры. Будет ли этого достаточно, чтобы остановить вращение рычага и тем самым предотвратить срабатывание сигнализации?

Рассчитаем момент, создаваемый новой силой на рычаге. Как видим, после подстановки значений получаем:

Вектор момента указывает за пределы экрана, и поскольку он находится в направлении, противоположном направлению вектора другого момента, мы сделаем его положительным. Следовательно, чистый момент на самом деле:

К счастью, рычаг не поворачивается, так как нет чистого момента. Теперь вам не придется иметь дело с этой ужасной сигнализацией и появлением полиции, думая, что вы грабите хранилище!

Резюме урока

Давайте уделим несколько минут тому, чтобы повторить то, что мы узнали в этом уроке о принципе моментов, как о его определении, так и о том, как мы его вычисляем.Результат силы, приложенной к объекту, который может вращаться, называется моментом , который очень похож на крутящий момент. Принцип моментов , или теорема Вариньона, утверждает, что чистый момент относительно одной оси объекта равен сумме отдельных моментов, действующих вдоль этой оси.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.