Момент на момент инерции: Ваш браузер не поддерживается

Содержание

Момент инерции, теория и примеры задач

Определение момента инерции

Момент инерции тела по отношению к оси вращения – это мера инертности тела во вращении вокруг этой оси.

Если тело является непрерывным, то суммирование (1) можно свести к интегрированию, если перейти к бесконечно малым элементам тела (dm):

   

где интегрирование производят по всему объему тела. Величина r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; dV – элементарный объем тела.

Единицей измерения момента инерции в международной системе единиц является:

   

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси вращения, если известен момент инерции рассматриваемого тела относительно оси, которая проходит через центр масс этого тела и оси параллельны. Математическая запись теоремы Штейнера:

   

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m – масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями.

Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны.

Получается, что момент инерции тела по отношению к оси, которая проходит через его центр масс всегда меньше, чем относительно любой другой оси, параллельной первой.

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

Если осями вращения служат оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

   

   

   

где m – масса тела; V – объем тела; – координаты бесконечно малого элемента тела.

Если тело является однородным, то момент инерции по отношению к оси является прямо пропорциональным плотности тела и зависит от формы, размеров тела, то того как тело размещено по отношению к оси вращения.

Моменты инерции, которые находят как:

   

   

   

называют центробежными моментами инерции по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат.

Если тело является набором материальных точек, то есть не является непрерывным, то в выражениях (4-9) вместо интегрирования переходят к суммированию.

Примеры решения задач

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings. LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

2.

3.1 Определение требуемого момента инерции. Разработка конструкции сварной балки со свободно опертыми концами

Похожие главы из других работ:

Вертикальный пресс

1.9 Определение момента инерции маховика

По заданному коэффициенту неравномерности вращения кривошипа и средней угловой скорости определяем углы и , образованных касательными к диаграмме Виттенбауэра с осью абсцисс. [1] стр…

Двухдвигательный привод эскалатора

1. Определение статического момента и момента инерции, действующих на валу главного привода

Радиус приведения: м — радиус приведения. Dнач – диаметр начальной окружности приводной звездочки; — передаточное число системы; с-1 — расчетная скорость вращения двигателя; — скорость движения лестничного полотна. Рис. 3. Силы…

Исследование кривошипно-ползунного механизма

4. Определение момента инерции маховика

Исследование кривошипно-ползунного механизма

1.
3.1.2 Определение приведенного момента инерции

Для определенного момента инерции необходимо перейти от обращенного движения к истинному. Сформируем второй параметр динамической модели. (25) Для нашего случая: Продифференцировав выражение (20) по получим для нашего случая: Значения ,…

Кинематический, силовой и динамический расчёт механизма качающегося конвейера

2.8 Определение момента инерции маховика

Проведенные к графику энергомасс касательные до пересечения с осью отсекают на ней отрезок =52,71мм, по которому определяется момент инерции маховика, установленного на валу входного звена . (2…

Механизмы поперек-стругального верстата

1.12 Определение момента инерции маховика

Для определения момента инерции маховика нужно провести касательные к диаграмме . Определяем углы касательных по формуле: Угол верхней касательной мах = arctg (0,5 • 0,1 • 4,22 ( 1+ 0,04)/2,45) = 20,530 Угол нижней касательной мin = arctg (0,5 • 0,1 • 4,22 ( 1- 0,04)/2,45) = 19. ..

Общие методы кинематического и динамического анализа и синтеза механизмов

1.8 Определение момента инерции маховика

Для аналитического решения удобен метод Н. И. Мерцалова. Вычислим функции Т1 и Т2 соответственно: Величины max и min определяются по формулам: Таблица 6:Функции Т1 и Т2. величина разм. значение 1 град…

Разработка конструкции сварной балки со свободно опертыми концами

1.5 Определение требуемого момента сопротивления

Требуемый момент сопротивления определяется по формуле: где – максимальный суммарный момент от сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки, ; – предельно допустимое напряжение на растяжение, для стали ВСт3сп является…

Разработка электромеханического привода подач прямолинейного движения с разомкнутой системой ЧПУ

2.4 Определение требуемого крутящего момента на валу шагового электродвигателя

Требуемый крутящий момент на валу электродвигателя равен: где Q – осевое усилие на винте в Н.

(тяговое усилие), з – КПД передачи винт-гайка качения, з = 0,8…

Разработка электромеханического привода подач прямолинейного движения с разомкнутой системой ЧПУ

3.3 Определение требуемого крутящего момента на валу шагового электродвигателя

Рис 3.1 Кинематическая схема электромеханического привода круговой подачи и механизма деления с разомкнутой системой ЧПУ…

Расчет схемы кулачкового механизма трактора с коромысловым толкателем

3.5.2 Определение приведенного момента инерции

Приведенный момент инерции можно определить как момент инерции, которым должно обладать звено приведения относительно оси его вращения, чтобы учесть кинетическую энергию всех звеньев…

Расчет схемы кулачкового механизма трактора с коромысловым толкателем

3.5.5 Определение постоянной части приведенного момента инерции и момента инерции маховика

В основу расчета положен метод Мерцалова…

Синтез кулачкового и зубчатого механизмов

3.
Определение момента инерции маховика

3.1 Построение схемы механизма Примем масштаб схемы М1:2 (м/мм). Построим крайние положения механизма. Для этого найдем положение механизма, в котором поршень 5 находится в ВМТ…

Синтез планетарного и кулачкового механизмов

1.1.6 Определение момента инерции маховика

; , где д – неравномерность хода; – изменение приведенного момента инерции; – изменение кинетической энергии. Массу маховика определяется по формуле: при R=1,5м находим массу маховика: 1…

Строение рычажного механизма. Расчет схемы планетарного редуктора

2.7 Определение приведенного момента инерции

Приведенный момент инеции: IПР = IПРI + IПРII ; IПРI = IДВ + I1 ; IПРII = mD+ mF ; где IДВ – момент инерции электродвигателя, ; mD=mш=32000/9,81=3262 кг – для положений 1-6; m=mш+mж= (32000+10000) /9,81=4281…

31 Момент инерции материальной точки

Момент инерции материальной точки

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризует инертные свойства материальной точки (способность тела приобретать ускорение) при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции равен сумме произведений масс n материальных точек системы на фиксированные квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. В СИ .

Различают несколько моментов инерции – в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

,                                                                                                           (1)

где mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.

          Момент импульса

          Значит можно сделать вывод о том, что:

Рекомендуемые материалы

                                                                                                              (2)

От чего же зависит момент инерции?

                                                                         (3)

Итак, мы вывели основной закон динамики вращательного движения для материальной точки относительно выбранной оси:

                                                                                                             (4)

Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо, движется оно или находится в покое.

Проинтегрируем формулу (1):

                                                                                  (5)

Учитывая, что , получим:

,                                                                                                          (6)

где ρ – плотность тела в точке, в которой взят объем dv, r – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, плотность ρ во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла

                                                                                                           (7)

Вычисление этого интеграла, а также предыдущего интеграла, представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел.

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекает ее в точках О и А.

Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиус-векторы одной из них, проведенные от осей О и А  параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r соответственно (на рис. 2 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка). Тогда r = r – а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, r,2 = r2 + а2 – 2(аr),

                                                               (8)

Рис. 2

Интеграл слева есть момент инерции IA тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫rdm = mRс, где Rс – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, Rс есть слагающая радиус-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

                                                                                    (9)

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда Rс = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

                                                                                                      (10)

Люди также интересуются этой лекцией: Особенности экологического подхода к этологии.

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера (Якоб Штейнер (1796-1863) – швейцарский геометр). Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы  тела на квадрат расстояния между осями.

Для симметричных тел:

                                                                                                      (11)

Момент инерции и уравнение движения ротора синхронного генератора (1) Основные физические понятия

1.

2 dm J=∫r2dm
Среди них в следующей таблице показаны разные размеры,dmВыражение:

Размер проблемы Качество Micro
Качество линий (одномерные объекты, например стержни и т. Д.) d m = λ d l dm = λdl dm=λdl
Качество поверхности (двухмерные объекты, такие как тонкие пластины и т. Д.) d m = σ d s dm = σds dm=σds
Масса тела (трехмерные объекты, такие как сферы и т. Д.) d m = ρ d V dm = ρdV dm=ρdV

def.2 Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия вращения или угловая кинетическая энергия – это кинетическая энергия вращения объекта, которая является частью общей кинетической энергии объекта. Если фиксированная система отсчета находится в центре масс объекта, кинетическая энергия вращения Er и момент инерции объектаJОтношения между:
E r = 1 2 J ω 2 E_r = \frac {1}{2}Jω^2 Er​=21​Jω2
Обратите особое внимание на то, что выражение кинетической энергии вращения очень похоже на уравнение кинетической энергии в поступательном движении:
E k = 1 2 m v 2 E_k = \frac {1}{2}mv^2 Ek​=21​mv2
Видно, что во вращающейся системе момент инерцииJВместо качестваmРоль; угловая скоростьωВместо линейной скоростиvхарактер.

1.2 Крутящий момент

Сила, которая заставляет объект вращаться вокруг оси вращения или точки опоры, называется крутящим моментом, который также называется крутящим моментом. Следовательно, в нормально работающем синхронном генераторе крутящий момент более уместно выражать как крутящий момент. Толкание или тяга требует силы, а кручение – момента. Момент равен радиальному векторуrИ силаFВнешний продукт.

def.3 Момент

Момент равен силе, действующей на рычагFУмножьте вертикальное расстояние от точки опоры на силу. Кроме того, момент силы является вектором, и его направление: в том же направлении, что и ось вращения вызываемого им вращательного движения. Направление момента можно определить по правилу правой руки: правая плоскость перпендикулярна радиальному векторуrИ силаFОпределяемая плоскость, четыре пальца от радиального вектораrСилаFВозьми его, тогда большой палец указывает на моментTНаправление. На рисунке ниже показано, как определить крутящий момент с помощью правила правой руки.T, Радиальный векторr, СилаFВзаимосвязь пространственного положения между (рисунок из Википедии).

Предполагая силуFДействующий на должностиrО частицах. Если источник выбран в качестве опорной точки, крутящий моментTОпределяется как:
T ⃗ = r ⃗ × F ⃗ \vec T = \vec r \times \vec F T =r ×F
Величина крутящего момента T равна:
T = ∣ r ⃗ ∣ ⋅ ∣ F ⃗ ∣ ⋅ s i n θ T = |\vec r|·|\vec F|·sinθ T=∣r ∣⋅∣F ∣⋅sinθ
Согласно Международной системе единиц крутящий моментTРазмер составляет [Н · м] = [кг · м2·s−2]. среди них,θРадиальный векторrИ силаFУгол между.

1.3 Угловой момент

В физике угловой момент – это физическая величина, связанная с вектором положения и импульсом объекта. 2 \vec ω = J \vec ω L =r ×p ​=r ×[m(ω ×r )]=mω ∣r ∣2=mr2ω =Jω
где,JПредставляет момент инерции материальной точки,ωВектор угловой скорости. Очевидно, угловой моментLРазмер составляет [кг · м2·s-1]。
Предполагая, что сумма внешних моментов, действующих на объект, равна нулю, угловой момент объекта сохраняется, то есть принцип сохранения момента количества движения. Следует отметить, что из-за различных условий, сохраняется ли угловой момент, не напрямую связано с тем, сохраняется ли импульс.

1.4 Связь между крутящим моментом, угловым моментом, энергией и мощностью

1.4.1 Связь между крутящим моментом и угловым моментом

В области классической механики один и тот же объект имеет определенный импульс в определенной системе отсчета, а значение количества движения зависит от значения двух физических величин: массы движущегося объекта в системе отсчета.mСо скоростьюv. В физике импульс определяется следующим образом:
p ⃗ = m v ⃗ \vec p = m \vec v p ​=mv
Найдите первую производную импульса по времени и получите:
d p ⃗ d t = m d v ⃗ d t + v ⃗ d m d t \frac {d \vec p}{d t} = m \frac {d \vec v}{d t} + \vec v \frac {d m}{d t} dtdp ​​=mdtdv ​+v dtdm​
Это наиболее точное выражение, качествоmНа высоких скоростях (близких к скорости света) она будет увеличиваться из-за влияния теории относительности, но мы обычно изучаем проблемы только на низких скоростях, поэтому мы приближаем:
v ⃗ d m d t ≈ 0 ⃗ \vec v \frac {d m}{d t} \approx \vec 0 v dtdm​≈0
Следовательно, в некотором смысле следующая формула, которую мы обычно изучаем, упрощена:
d p ⃗ d t = m d v ⃗ d t = m a ⃗ = F ⃗ \frac {d \vec p}{d t} = m \frac {d \vec v}{d t} = m \vec a = \vec F dtdp ​​=mdtdv ​=ma =F
То есть силаFИмпульсpСкорость изменения.
Между крутящим моментом и угловым моментом существует аналогичная связь. Предположим, что вектор положения частицы относительно начала координат равенr, Импульсp. Выберите начало координат в качестве точки отсчета, угловой момент этой частицы равенL
L ⃗ = r ⃗ × p ⃗ \vec L = \vec r \times \vec p L =r ×p ​
Угловой момент частицыLПравильное времяtПроизводная от:
d L ⃗ d t = r ⃗ × d p ⃗ d t + p ⃗ × d r ⃗ d t = m r ⃗ × d v ⃗ d t + m v ⃗ × v ⃗ = r ⃗ × m a ⃗ \frac {d \vec L}{d t} = \vec r \times \frac {d \vec p}{d t} + \vec p \times \frac {d \vec r}{d t} = m \vec r \times \frac {d \vec v}{d t} + m \vec v \times \vec v = \vec r \times m \vec a dtdL ​=r ×dtdp ​​+p ​×dtdr ​=mr ×dtdv ​+mv ×v =r ×ma
d L ⃗ d t = r ⃗ × F ⃗ \frac {d \vec L}{d t} = \vec r \times \vec F dtdL ​=r ×F
И определение крутящего момента T:
T ⃗ = r ⃗ × F ⃗ \vec T = \vec r \times \vec F T =r ×F
Таким образом, можно видеть, что, подобно соотношению “импульс-сила”, соотношение “угловой момент-момент” одновременно удовлетворяет:
d L ⃗ d t = T ⃗ \frac {d \vec L}{d t} = \vec T dtdL ​=T
L ⃗ = J ω ⃗ \vec L = J \vec ω L =Jω
– крутящий моментTУгловой моментLПроизводная по времени. {θ_2} Tdθ W=∫θ1​θ2​​Tdθ
где,WМеханическая работа,θ1θ2Это начальный угол и конечный угол. Пока властьPЯвляется производной механической работы по времени. Следовательно, для вращательного движения должно быть:
P = d W d t = T ⃗ ⋅ ω ⃗ P = \frac {d W}{d t} = \vec T · \vec ω P=dtdW​=T ⋅ω
Обратите внимание, что крутящий моментTВводимая мощность связана только с мгновенной угловой скоростью, и независимо от того, увеличивается ли угловая скорость, уменьшается или остается неизменной, мощность не имеет никакого отношения к этим условиям.
На рисунке ниже показан крутящий момент.T,Угловой моментL, СилаF, импульсp, Вектор положенияrВзаимосвязь пространственного положения между (рисунок из Википедии).

1.5 Размер! измерение! ! измерение! ! !

Вышеупомянутая формула получена под хорошо известным значением, поэтому особое внимание следует уделить проблеме размерности. Хотя есть некоторые клише, если вы не разъясняете физическое отношение под известным значением здесь, вы можете использовать формулу под стандартным значением единицы (то есть содержание, обсуждаемое в следующей статье, хотя, возможно, уже слишком поздно писать …) Делайте различные ошибки, поэтому эти единицы можно резюмировать следующим образом.

Физическое количество Ед. изм Международная стандартная единица
Момент инерцииJ kg·m2 kg·m2
СилаF N kg·m·s-2
Крутящий моментT N·m kg·m2·s-2
Угловой моментL kg·m2·s-1 kg·m2·s-1
силаP W kg·m2·s−3
Угловая скоростьω rad·s-1 s-1

Помогите понять портал

По следующей ссылке находится видео из «Музея Хаоса»: Голова озорного гриба, которое помогает понять взаимосвязь между этими векторами:
https://www. bilibili.com/video/av28777599?from=search&seid=6573133440813270706

Ссылки

  1. https://zh.wikipedia.org/wiki/ Момент инерции .
  2. https://zh.wikipedia.org/wiki/ Вращающаяся кинетическая энергия .
  3. https://zh.wikipedia.org/wiki/Moment .
  4. https://zh.wikipedia.org/wiki/ Угловой момент
  5. https://zh.wikipedia.org/wiki/ Международная система единиц .
  6. https://zh.wikipedia.org/wiki/ Угловая скорость
  7. https://zh.wikipedia.org/wiki/Momentum .

Момент инерции

Момент инерции. Момент инерции – это величина равная сумме произведений всех масс на квадраты их расстояний от некоторой оси,

I=S miri2.

 Моменты инерций простейших тел.

1. Материальная точка I=mr2.

2. Тонкий однородный стержень I=1/12ml2, при оси проходящей через его центр масс.

3. Обруч I=mr2.

4. Диск I=1/2mr2.

5. Шар I=2/5mr2.

Момент инерции для сплошного цилиндра

dI=miri2=ρ*Vi* ri2=ρ*2*π* ri*h*dr*r2

dI=2*π*ρ*h* ri3*dr

I=2*π*ρ*h{0-R}∫ ri3dr

I=2*π*ρ*h*(R4/4)-(m*R2/2)

I=1/2*m*R2

Кинетическая энергия вращающения.

Ek=Σ(miw2Ri2)/2=w2/2*ΣmiRi2

Ek=(I*w2)/2 – для вращательного движения тела

Ek=(I*w2)/2+(m*v2)/2 – для вращательного и поступательного движения.

 

Момент силы. Моментом силы F относительно некоторой точки O называется векторная величина M, M=r*F*Sina ,r-радиус-вектор l=r*sina , l-плечо силы. M=F*l;

Плечо силы – это кротчайшее расстояние от точки вращения до линии вдоль которой действует сила

Момент силы относительно оси это проекция момента силы относительно любой точки оси на данную ось.

Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки на оси.

 

Уравнение динамики вращательного движения

dt;dS

S;1->2

dS=r*dφ

dA=F*dScosβ

dA=F*r*dφcos(π/2-α)

dA=F*r*dφ*sinα

dA=d*(I*w2)/2=I/2 * 2*w*dw

da=I*w*dw

M*dφ=I*w*dw

Mdφ/dt=I*w*dw/dt

M*w=I*w*dw/dt

M=I*ε, где ε-угловое ускорение

Условие равновесия тел

1.{1-n}ΣMi=0

2.{1-n}ΣFi=0

 

Момент импульса и закон его сохранения

α-момент импульса

α=m*V*r*sinα

α=m*V*l, l=r*sinα

Деформация твёрдого тела – изменение его формы или объёма. Растяните резиновый шнур за концы. Очевидно, участки шнура сместятся друг относительно друга; шнур окажется деформированным – станет длиннее и тоньше. Деформация возникает всегда, когда различные части тела под действием сил перемещаются неодинаково.

   Шнур, после прекращения действия на него сил, возвращается в исходное состояние. Деформации, которые полностью исчезают после прекращения действия внешних сил, называются упругими. Кроме резинового шнура, упругие деформации испытывают пружина, стальные шарики при столкновении и т.д.

   Теперь сожмите кусочек пластилина. В ваших руках он легко примет любую форму. Первоначальная форма пластилина не восстановится сама собой. Пластилин “не помнит” какая форма бы у него сначала. Деформации, которые не исчезают после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Пластическую деформацию, при небольших, но не кратковременных воздействиях испытывают воск, клина, свинец.

Деформация растяжения (сжатия). Если к одному стержню, закреплённому одним концом, приложить силу F вдоль оси стержня в направлении от этого конца (рис. 2), то стержень подвергнется деформации растяжения. Деформацию растяжения характеризуют абсолютным удлинением.

      Dl = l – l0

и относительным удлинением

      e = Dl / l0

где l0 – начальная длинна, а l– конечная длинна стержня.

   Деформацию растяжения испытывают тросы, канаты, цепи в подъёмных устройствах, стяжки между вагонами и т.д.

   При малых растяжениях (l0<<l), деформации большинства тел упругие.

Если на тот же стержень подействовать силой F, направленной к закреплённому концу (рис. 3), то стержень подвергнется деформации сжатия. В этом случае относительная деформация отрицательна: e< 0.

   При растяжении или сжатии изменяется площадь поперечного сечения тела. Это можно обнаружить, если растянуть резиновую трубку, на которую предварительно надето металлическое кольцо. При достаточно сильном растяжении кольцо падает. При сжатии, наоборот, площадь поперечного сечения тела увеличивается.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука

Fy=-RΔl

σ=E|ε|

σп-предел прямой пропорциональности

σу-предел упругости

σт-предел текучести

σпр-предел прочности

ДАВЛЕНИЕ

P=F/S давление твердого тела

P=mg/S=ρ*S*h*g/S=ρ*g*h давление столба житкости

Поток житкости – это движение житкости определяемое совокупностью частиц двигающихся в данном направлении изображающ в виде линий тока.

Турбка тока-часть житскости огрнаничиваемая линиями тока.

ρ=const

m1=m2

ρV1=ρV2

S1l1=S2L2

s1V1t=S2V2t

S1V1=S2V2

S1/S2=V2/V1

Уравнение Бернулли:

A=E1-E2 

A=mV12/2+mgh1-mV22/2-mgh2

A=-F1l1+F2l2=-p1S1l1+p2s2l2

mV12/2+mgh1+ p1S1l1= p2s2l2+ mV22/2+mgh2

ρV12/2+ρgh1+ p1= p2+ ρV22/2+ρgh2

p1-статическое давление житкости

ρgh-гидростатиеское давление

ρ*V12/2 – динамическое давление

 

 

(Момент инерции – TotalConstructionHelp)


Центроиды и момент инерции

Центр тяжести двумерной поверхности (например, поперечного сечения конструктивной формы) — это точка, соответствующая центру тяжести очень тонкой однородной пластины той же площади и формы. Плоская поверхность (или рисунок) может представлять фактическую площадь (например, площадь притока или поперечное сечение балки) или фигуративную диаграмму (например, диаграмму нагрузки или изгибающего момента).Часто бывает полезно определить центроид области в любом случае.

Симметрия может быть очень полезна для определения положения центра тяжести области. Если площадь (или сечение, или тело) имеет одну линию симметрии, центроид будет лежать где-то вдоль линии симметрии. Это означает, что если бы требовалось уравновесить площадь (или тело, или сечение) в горизонтальном положении, подложив под нее карандаш или ребро, то карандаш лучше всего было бы положить непосредственно под линией симметрии.

Если тело (или область, или сечение) имеет две (или более) линии симметрии, центр тяжести должен лежать где-то вдоль каждой из этих линий. Таким образом, центроид находится в точке пересечения прямых. Это означает, что если бы требовалось сбалансировать область (или тело, или секцию) в горизонтальном положении, поместив гвоздь под нее, острие гвоздя лучше всего было бы разместить непосредственно под точкой, где пересекаются линии симметрии. Это может показаться очевидным, но концепцию центроида очень важно понимать как в графическом, так и в числовом виде.Положение центра тяжести некоторых простых форм легко определяется осмотром. Известно, что центроид круга находится в его центре, а центр тяжести квадрата — на пересечении двух линий, проведенных между серединами параллельных сторон. У круга бесконечное количество линий симметрии, а у квадрата — четыре.

Центр тяжести сечения не всегда находится в пределах площади или материала сечения. Полые трубы, Г-образные и некоторые неправильные секции имеют центр тяжести, расположенный за пределами материала секции.Это не проблема, так как центр тяжести используется только как точка отсчета, от которой измеряются расстояния. Точное местоположение центроида можно определить, как описано выше, с помощью графической статики или численно.

Центр тяжести любой области можно найти, взяв моменты идентифицируемых областей (таких как прямоугольники или треугольники) относительно любой оси. Это делается так же, как можно найти центр тяжести, взяв моменты весов. Момент большой площадки относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов составляющих ее площадей.Это выражается следующим уравнением:

Сумма MAtotal = MA1 + MA2 + MA3+ …

Момент любой площади определяется как произведение площади на расстояние по перпендикуляру от центра тяжести площади до оси момента. С помощью этого принципа мы можем найти центр тяжести любой простой или составной области.

Центр тяжести:

Дано: плита, показанная на диаграмме, имеет вес 1 #/in 2 (1 фунт на квадратный дюйм) горизонтальной поверхности.

Определить:
центр тяжести пластины, зная, что она симметрична относительно оси X-X.

Решение: Принцип моментов гласит, что общий вес относительно оси равен сумме моментов весов компонентов относительно той же оси. Таким образом, первое, что нужно сделать, это разделить тарелку на несколько простых частей. Затем определите площадь и центр тяжести (или центр тяжести) для каждой из составных частей. После этого отложите моменты каждой из деталей вокруг удобной оси (в этом случае выберите ось Z-Z, относительно которой отсчитывать эти моменты).Ось Z-Z здесь обозначена как опорная ось.


Сумма MAtotal = MA1 + MA2 + MA3

Это простое уравнение можно переписать следующим образом, в котором описывается каждая из составных частей:

(Atotal)(расстояние от базовой оси до центральной оси) = (A1)(расстояние от центральной точки A1 до базовой оси) + (A2)(расстояние от центральной точки A2 до базовой оси) + (A3)(расстояние от центральной оси A3 относительно базовой оси)

, а затем найти у… центральная ось находится на расстоянии 7,3 дюйма от базовой оси.

Фактический центр тяжести находится посередине глубины плиты в точке, рассчитанной выше. По мере уменьшения толщины пластины линия действия центра тяжести будет оставаться, в то время как центр тяжести перемещается пропорционально вдоль этой линии действия, всегда действующей в середине глубины пластины. Если толщина пластины уменьшена до нуля, она не имеет веса, и прежнее положение центра тяжести теперь называется центром тяжести площади.

Момент инерции (I) — это термин, используемый для описания способности поперечного сечения сопротивляться изгибу. Он всегда рассматривается относительно базовой оси, такой как X-X или Y-Y. Это математическое свойство сечения, относящееся к площади поверхности и тому, как эта площадь распределяется по базовой оси. Базовой осью обычно является центроидальная ось.

Момент инерции также известен как второй момент площади и математически выражается как:

Ixx = Сумма (A)(y 2 )

В котором:

Ixx = момент инерции вокруг оси x
A = площадь плоскости объекта
y = расстояние между центром тяжести объекта и осью x

Момент инерции является важной величиной, которая используется для определения напряженного состояния в сечении, для расчета устойчивости к продольному изгибу и для определения величины прогиба в балке.
Например, если проектировщику задан определенный набор ограничений для структурной проблемы (т. Е. Нагрузки, пролеты и конечные условия), можно определить «требуемое» значение момента инерции. Тогда любой конструктивный элемент, обладающий хотя бы этим конкретным моментом инерции, сможет быть использован в конструкции. Другой пример мог бы быть, если бы было верно обратное; конкретный элемент дается в дизайне. Затем можно определить несущую способность элемента.

Давайте посмотрим на две доски, чтобы интуитивно определить, какая из них будет больше прогибаться и почему.Если две доски с фактическими размерами 2 дюйма на 10 дюймов положить бок о бок — одну со стороны 2 дюймов, а другую со стороны 8 дюймов, то доска, опирающаяся на 2-дюймовый край, будет значительно жестче, чем доска, поддерживаемая вдоль. его 10-дюймовый край. Обе доски имеют одинаковую площадь поперечного сечения, но эта площадь по-разному распределяется относительно горизонтальной центральной оси.


Ixx = (1/12) (b)(h 3 ) = (1/12) x (b) x (h x h x h)

В котором значение b всегда принимается за сторону, параллельную базовой оси, а h за высоту сечения. Это очень важно отметить! Если принять неправильное значение для значения b, расчеты будут совершенно неправильными.

Момент инерции

Дано: сечение.
Определить: Моменты инерции Ixx и Iyy данного раздела.

Решение:


Момент инерции прямоугольной формы, подобной этой, легко вычислить, используя уравнение I = 1/12 bh4. Однако крайне важно, чтобы b и h были присвоены правильные значения.

Вы можете просто повернуть стержень на 90 градусов и пересчитать, всегда помня исходное положение стержня.

Ixx= 1/12(4″)(10″) 3 = 333,2 дюйма 4
Iyy= 1/12(10″)(4″) 3 = 53,312 in 4

В этом случае наблюдение подтвердит выбор b и h. Логично, что Ixx больше, чем Iyy, потому что большая часть прямоугольной области лежит дальше от оси x-x, чем от оси y-y. Это приводит к тому, что форма имеет большее сопротивление вращению вокруг оси xx и, следовательно, больший момент инерции вокруг этой оси.

Важность распределения площади вокруг ее центральной оси становится понятной при сравнении значений момента инерции ряда типовых конфигураций балки. Все элементы, показанные ниже, имеют размеры 2 x 10 дюймов; в поперечном сечении, равные по длине и одинаково нагруженные.

СБОРНЫЕ СЕКЦИИ Часто выгодно комбинировать несколько меньших элементов, чтобы создать балку или колонну большей прочности. Момент инерции такого сборного сечения находится путем сложения моментов инерции составных частей.Это можно сделать тогда и только тогда, когда моменты инерции каждой составляющей площади взяты относительно общей оси, и тогда и только тогда, когда результирующее сечение действует как единое целое.

Сборные секции

Дано:
следующие сечения
Определить:
Ix каждого раздела с учетом его составных частей.

Решение:
В этом примере Box разбит на 4 отдельных элемента, и показана процедура расчета Ixx.

Ручной расчет с компьютерным расчетом ниже.

Пример результатов компьютерной программы, доступных в нашем разделе бесплатного программного обеспечения




ФОРМУЛА ПЕРЕДАЧИ

Существует много застроенных участков, в которых составные части не распределены симметрично относительно центральной оси. Самый простой способ определить момент инерции такого сечения — найти момент инерции составных частей относительно их собственной центральной оси, а затем применить формулу переноса.Формула переноса переносит момент инерции сечения или площади с его собственной центральной оси на другую параллельную ось. Из исчисления известно, что:

Ix = Ic + Ad 2

Где:

Ix = момент инерции относительно оси x-x (в 4 )
Ic = момент инерции относительно центральной оси c-c, параллельной x-x (в 4 )
A = площадь сечения (в 2 )
d = перпендикулярное расстояние между параллельными осями x-x и c-c (дюймы)

Формула перевода

Дано:
клееный асимметричный застроенный разрез ниже.
Определить:
момент инерции составной площадки относительно оси x.




Центральная ось и формула переноса
Пример результатов компьютерной программы, доступных в нашем разделе бесплатного программного обеспечения





Список формул момента инерции для различных форм

Формулы момента инерции

В этом посте вы узнаете список формул момента инерции для различных фигур с примерами.
Комплектация:

  • Моменты инерции Определение
  • Формула момента инерции
  • Уравнение
  • Блок
  • Гораздо больше

Продолжайте читать…

Что такое момент инерции?

Момент инерции ( I ) определяется как сумма произведений массы каждой частицы тела на квадрат ее перпендикулярного расстояния от оси. Это также известно как вращательная инерция. Момент инерции отражает распределение массы тела или системы вращающихся частиц относительно оси вращения. Момент инерции зависит только от геометрии тела и положения оси вращения, но не зависит от сил, участвующих в движении.

Момент инерции отражает распределение массы тела или системы вращающихся частиц относительно оси вращения. Момент инерции зависит только от геометрии тела и положения оси вращения, но не зависит от сил, участвующих в движении.
Момент инерции играет роль, аналогичную роли инерционной массы в случае прямолинейного и равномерного движения. Это скалярное значение продольного углового момента твердого тела.

I = мр²

Для твердого тела, движущегося вокруг неподвижной оси, законы движения имеют ту же форму, что и законы прямолинейного движения, где момент инерции заменяет массу, угловой заменяет линейную скорость, угловой момент заменяет линейный и т. д. Отсюда кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, равно ½ω², что соответствует ½mv² для кинетической энергии тела массы m, переданной со скоростью v. См. также правило Рауса; теорема о параллельных осях.

Уравнение момента инерции

Рассмотрим груз m, прикрепленный к концу безмассового стержня. Предположим, что подшипник в точке вращения O не имеет трения. Пусть система находится в горизонтальной плоскости. Сила F действует на массу перпендикулярно стержню и, следовательно, она ускорит массу в соответствии с:

Ф = ма

При этом сила заставит массу вращаться вокруг O. Поскольку тангенциальное ускорение связано с угловым
ускорением α уравнением.

угловое ускорение = rα

Поскольку эффект вращения создается крутящим моментом τ, поэтому было бы лучше записать уравнение вращения в терминах крутящего момента. Это можно сделать, умножив обе части вышеприведенного уравнения на r. Таким образом,

rF = τ = крутящий момент = mr²α

Что является вращательным аналогом второго закона Ньютона?
Здесь F заменено на τ, a на α и m на mr². Величина mr² известна как момент инерции и обозначается буквой I.

Значение момента инерции

Момент инерции играет ту же роль в угловом движении, что и масса в прямолинейном движении. Можно заметить, что момент инерции зависит не только от массы m, но и от r².

Момент инерции Формулы

Вот список формул момента инерции различных форм:

  • Момент инерции обруча

момент инерции корпуса цилиндра
  • Момент инерции диска

Момент инерции диска
  • Момент инерции твердого шара

момент инерции сплошного цилиндра
  • Момент инерции полого цилиндра

момент инерции полого цилиндра
  • Момент инерции тонкого стержня

момент инерции длинного тонкого стержня

 

  • Момент инерции прямоугольника

момент инерции прямоугольника

 

 

  • Момент инерции длинного тонкого стержня

момент инерции тонкого стержня
  • Момент инерции сферической оболочки

момент инерции тонкой сферической оболочки
Момент инерции (видео)

Спасибо Arbor Scientific за то, что позволили мне одолжить демонстратор инерции вращения, чтобы… ммм… продемонстрировать инерцию вращения. Это тема AP Physics 1.

Содержание Время:
0:22 Демонстратор инерции вращения
0:58 Инерция вращения
1:40 Демонстрация #1
2:00 Демонстрация #2
2:55 Почему всегда сбалансирован?
4:30 Демонстрация №3
5:27 Демонстрация №4


  • Многоязычный? Пожалуйста, помогите перевести видео Flipping Physics!
  • Пожалуйста, поддержите меня на Патреоне!
  • Спасибо Скотту Картеру, Кристоферу Бекке, Джонатану Эверетту и Файазу Рахману за то, что вы были моей командой контроля качества для этого видео.​
  • Хотите демонстратор вращательной инерции?
  • Спасибо Джонатану Салливану-Вуду за расшифровку английских субтитров к этому видео.

Вы когда-нибудь пытались описать своим ученикам Вращательную Инерцию? Хуже того, вы когда-нибудь пытались понять вращательную инерцию самостоятельно. (Я знаю, что знаю. 😇) Знаете ли вы, что инерция вращения — это то же самое, что и момент инерции? Да, я с тобой там. Я не знал, что имя было изменено до недавнего времени.Тем не менее, я думаю, что «Инерция вращения» — более логичная фраза, чем «Момент инерции». Что ж, если вам нужна помощь с концепцией инерции вращения, то я настоятельно рекомендую Демонстратор инерции вращения от Arbor Scientific, потому что это простой способ продемонстрировать концепцию инерции вращения. Демонстратор состоит из трех шкивов разного размера, центрированных вокруг одной оси. К шкивам прикреплены четыре спицы, на которых можно разместить четыре груза. Расстояние от оси или оси вращения четырех масс на спицах можно регулировать.

Чтобы понять инерцию вращения, мы должны сначала рассмотреть уравнение для инерции вращения системы частиц:

Вращательная инерция системы частиц равна сумме количества массы каждой частицы, умноженной на квадрат расстояния, на котором каждая частица находится от оси вращения. Хотя демонстратор инерции вращения не является системой частиц, уравнение для инерции вращения системы частиц помогает нам понять, как изменяется инерция вращения демонстратора, когда мы корректируем положение четырех регулируемых масс. Чем ближе четыре регулируемые массы находятся к оси или оси вращения, тем меньше значение «r» в уравнении инерции вращения и тем меньше инерция вращения демонстратора.
 
Нам также необходимо рассмотреть форму вращения второго закона Ньютона, чтобы лучше понять инерцию вращения. Чистый крутящий момент, действующий на объект, равен произведению инерции вращения объекта на угловое ускорение объекта. Пожалуйста, помните, что крутящий момент и угловое ускорение являются векторами.

Обратите внимание на сходство с поступательной формой второго закона движения Ньютона. Суммарная сила, действующая на объект, равна произведению инерционной массы объекта на линейное ускорение объекта. Опять же, помните, что сила и линейное ускорение являются векторами.

Сила — это способность вызывать линейное ускорение объекта.
Крутящий момент — это способность силы вызывать угловое ускорение объекта.
 
Крутящий момент — это вращательный эквивалент силы.
Вращательная инерция является вращательным эквивалентом инерционной массы.
Угловое ускорение является вращательным эквивалентом линейного ускорения.
 
Но что означает, что вращательная инерция является вращательным эквивалентом инерционной массы? Инерционная масса является мерой сопротивления объекта линейному ускорению. Следовательно, вращательная инерция является мерой сопротивления объекта угловому ускорению .Другими словами, чем больше инерция вращения объекта, тем больше этот объект будет сопротивляться угловому ускорению. Возвращаясь к демонстратору инерции вращения, чем дальше четыре регулируемые массы от оси вращения, тем больше значение «r» в уравнении для инерции вращения системы частиц, следовательно, тем больше инерция вращения демонстратора. . Чем больше инерция вращения демонстратора, тем больше сопротивление демонстратора угловому ускорению.Таким образом, чем больше расстояние между четырьмя регулируемыми массами и осью, тем больше инерция вращения и, следовательно, больше сопротивление демонстратора угловому ускорению.
 
Это демонстрируется ниже путем подвешивания 100-граммового груза к самому большому шкиву в двух одновременных демонстрациях. На демонстрации слева четыре регулируемые массы расположены близко к оси вращения, поэтому инерция вращения системы меньше. На демонстрации справа четыре регулируемые массы находятся дальше от оси вращения, поэтому инерция вращения системы больше.Когда оба демонстратора одновременно выходят из состояния покоя, поскольку чистый крутящий момент, создаваемый 100-граммовыми массами, примерно одинаков, демонстратор с большей инерцией вращения справа имеет меньшее угловое ускорение. Другими словами, демонстратор с большей инерцией вращения ускоряется с меньшей скоростью. Возвращаясь к вращательной форме второго закона Ньютона, поскольку чистый крутящий момент почти одинаков, большая инерция вращения приводит к меньшему угловому ускорению.

Обратите внимание, что мы всегда держим четыре регулируемые массы на одинаковом расстоянии от оси или оси вращения. Это необходимо для того, чтобы центр масс системы находился на оси вращения системы. Когда четыре массы не находятся на равном расстоянии от оси вращения, центр масс системы смещен от оси вращения, и сила тяжести, действующая на систему, вызывает крутящий момент в системе. Сила гравитации, вызывающая крутящий момент в системе, значительно усложняет понимание демонстрации.В примерах, показанных ниже, демонстратор слева с четырьмя массами, расположенными на равном расстоянии от оси, вращается с почти постоянной угловой скоростью. Демонстратор справа имеет на одну массу дальше от оси вращения, и поэтому вся система фактически становится физическим маятником. Система колеблется вперед и назад в простом гармоническом движении. Хотя это интересно, это не дает очевидного способа узнать об инерции вращения. Таким образом, гораздо легче узнать об инерции вращения от демонстратора, если все четыре массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Давайте посмотрим на другой набор демонстраций ниже, чтобы узнать об инерции вращения. Как и в предыдущей демонстрации, справа у нас есть 100-граммовая масса, подвешенная к самому большому шкиву, и все четыре регулируемые массы далеко от оси вращения. Слева все четыре регулируемые массы все еще далеки от оси вращения, однако вместо них на самом маленьком шкиве висит 100-граммовая масса. Другими словами, оба демонстратора инерции вращения имеют одинаковую инерцию вращения, и сила тяжести, действующая на струну, одинакова, однако чистый крутящий момент , действующий на каждый демонстратор, отличается.Напомним, что крутящий момент равен вектору «r», умноженному на силу, вызывающую крутящий момент, умноженной на угол между направлением вектора «r» и направлением силы. Величина вектора «r» — это расстояние от оси вращения до места приложения силы к объекту:

Поскольку 100-граммовая масса висит на маленьком шкиве слева и на большом шкиве справа, вектор «r» для малого шкива меньше, и, следовательно, чистый крутящий момент, действующий на демонстратор через малый шкив, меньше . Следовательно, согласно вращательной форме второго закона движения Ньютона, угловое ускорение демонстратора слева меньше углового ускорения демонстратора справа.

В нашем последнем наборе демонстраций оба демонстратора имеют одинаковую инерцию вращения и массы, свисающие с самых маленьких шкивов. Кроме того, у обоих демонстраторов над левой стороной шкива висит 100-граммовый груз. Однако у демонстратора справа есть вторая масса, масса 200 граммов, висящая над правой стороной шкива.Это означает, что демонстратор справа имеет две разные массы, свисающие с самого маленького шкива.

Чтобы определить, что должно произойти, помните, что вращательная форма второго закона движения Ньютона включает чистый крутящий момент, а не только крутящий момент. В этом примере чистый крутящий момент от двух масс на демонстраторе справа на самом деле имеет примерно ту же величину 90 172 и 90 175, что и чистый крутящий момент, действующий на демонстратор слева, однако направления противоположны друг другу.
 
Опять же, оба демонстратора имеют одинаковую инерцию вращения, используют один и тот же шкив и груз массой 100 грамм висит над левой стороной шкива. Шкив справа добавляет 200-граммовую массу, нависающую над правой стороной шкива. Для демонстратора справа 100-граммовая масса, висящая над левой стороной шкива, по существу уравновешивает 100 граммов 200-граммовой массы, висящей над правой стороной шкива. Это фактически означает, что правый демонстратор имеет 100-граммовую массу, нависающую над правой стороной шкива.Следовательно, чистые крутящие моменты на обоих демонстраторах имеют по существу одинаковую величину и противоположные направления. Следовательно, угловые ускорения обоих демонстраторов должны иметь примерно одинаковую величину и противоположные направления. Вы можете видеть, что это правда в демонстрации.

Но почему два демонстратора имеют «примерно» одинаковые величины угловых ускорений? Добавление 200-граммовой массы к демонстратору справа увеличивает общую массу системы. Поскольку инерционная масса является сопротивлением ускорению, увеличение общей массы системы фактически немного уменьшает угловое ускорение системы, даже если чистый крутящий момент должен быть примерно таким же.Доказательство этого требует рисования диаграмм свободного тела, суммирования крутящих моментов на колесе и суммирования сил, воздействующих на каждую подвешенную массу, поэтому я не собираюсь доходить до этого решения здесь.
 
Существует много других способов настройки демонстратора инерции вращения, чтобы лучше понять инерцию вращения. Например, спросите себя, что произойдет с угловым ускорением демонстратора, если единственное изменение, которое мы внесем в него, — это увеличение массы, подвешенной к демонстратору? Увеличение массы, подвешенной к демонстратору, увеличивает чистый крутящий момент, действующий на демонстратор.Вращательная инерция остается прежней. Следовательно, согласно вращательной форме второго закона движения Ньютона, угловое ускорение демонстратора будет увеличиваться.
 
Что, если единственное изменение, которое мы вносим, ​​состоит в том, чтобы изменить расположение четырех регулируемых масс не в самых дальних крайних положениях, а на расположение двух регулируемых масс вблизи оси вращения и двух регулируемых масс вдали от оси вращения? Приведение двух регулируемых масс к оси вращения уменьшает инерцию вращения системы и, следовательно, согласно вращательной форме второго закона Ньютона, угловое ускорение демонстратора будет увеличиваться.Обратите внимание, это будет работать только тогда, когда две близкие регулируемые массы расположены друг напротив друга, а две дальние регулируемые массы также расположены друг напротив друга. Если это не так, центр масс демонстратора вращательной инерции не будет находиться на оси или оси вращения, что является проблемой, которую мы рассматривали ранее.
 
Размеры шкива демонстратора инерции вращения предоставлены Arbor Scientific. Они составляют 20,22 мм для малого шкива, 28,65 мм для среднего шкива и 38. В 2 раза больше синуса 90 градусов, что примерно равно 0,40 Н.

Таким образом, чистый крутящий момент, вызванный обеими массами, действующими на демонстратор до того, как он начнет ускоряться , представляет собой разницу между этими двумя крутящими моментами, поскольку они действуют в противоположных направлениях.

Обратите внимание, что эти расчеты крутящего момента верны только тогда, когда демонстратор находится в состоянии покоя. Как только демонстратор начинает ускоряться, сила тяжести и сила натяжения, действующая на подвешенную массу, перестают быть одним и тем же, и нам нужно будет нарисовать диаграммы свободного тела и суммировать силы, действующие на каждую подвешенную массу.
 
Спасибо за внимание. Надеюсь, вы воспользуетесь демонстратором инерции вращения от Arbor Scientific, чтобы лучше понять инерцию вращения!

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.