Нахождение производной: Вычисление производных. Правила дифференцирования. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Вычисление производных. Правила дифференцирования. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Главные формулы производной

Сложность: лёгкое

1
2. Угловой коэффициент касательной

Сложность: лёгкое

1
3. Производная многочлена

Сложность: лёгкое

3
4. Производная функции, состоящей из слагаемых

Сложность: лёгкое

8
5.
Нахождение функции по производной

Сложность: среднее

1
6. Производная произведения функций в данной точке

Сложность: среднее

2
7. Производная частного функций в данной точке

Сложность: среднее

2
8. Производная тригонометрических функций

Сложность: среднее

1
9. Производная сложной функции

Сложность: среднее

2
10. Производная сложной тригонометрической функции

Сложность: среднее

2
11. Производная третьего порядка

Сложность: среднее

1
12. Производная функции в данной точке

Сложность: среднее

2
13. Вычисление аргумента функции

Сложность: сложное

3
14. Производная сложной функции в неравенстве

Сложность: сложное

1

Как найти производную степенной функции: формула, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.

ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = x n, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

f(x) = (x n) = nx n-1

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

(y n)

= ny n-1 ⋅ y

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x3/5.

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x2 + √x – 6.

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f(x) = (x2 + √x – 6)‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f(x) = (x2) + (√x) – (6)‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x2)

= 2x2-1 = 2x

(-6) = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом получаем:

Урок 11. правила дифференцирования – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • разбор основных правил дифференцирования функций;
  • примеры вычисления производной линейной функции;
  • правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) – g(x))’ = f ‘(x) – g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

Решение:

f(x)=8x3+3x2-x

f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x3) ‘=8(x3) ‘=8·3x2=24x2

(3x2) ‘=3(x2) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x3) ‘+(3x2) ‘-x’=24x2+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x2+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4. 7$.

9. -1,5.

10. 236.

11. $x∈(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

12. $x=\frac{\pi}{24}; \frac{11\pi}{24}; \frac{13\pi}{24}; \frac{23\pi}{24}; \frac{25\pi}{24}; \frac{35\pi}{24}; \frac{37\pi}{24}; \frac{47\pi}{24}; \frac{49\pi}{24}; \frac{59\pi}{24}; \frac{61\pi}{24}; \frac{71\pi}{24}; \frac{73\pi}{24}; \frac{83\pi}{24}; \frac{85\pi}{24}; \frac{95\pi}{24}; \frac{97\pi}{24}$.

Нахождение производной — курсы по математике «Geniusmath»

После изучения самого понятия производной следующим вопросом встает нахождение производной функции. В данной статье мы рассмотрим основные методы и приведем примеры.

Таблица производных элементарных функций

Элементарными в математике называют следующий функции: многочлены, степенные функции, показательные функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмическая функция и их комбинации. Эти функциии достаточно изучены, в частности для них найдены их производные.

Приведем таблицу производных всех функций, которые изучаются в школе:

Доказательство данных формул лежит за пределами школьной программы, так как требует более глубокого понимания понятия предела функции.  

Правила нахождения производных

Процесс нахождения производных в математике называют дифференцированием. Именно это слово чаще всего употребляется в литературе по математическому анализу.

Для поиска производных для различных комбинаций элементарных функций применяются специальные правила дифференцирования. Основных правил пять:

  1. Правило суммы и разности 
  2. Правило умножения на константу
  3. Правило дифференцирования произведения
  4. Правило дифференцирования частного
  5. Правило дифференцирования сложной функции

1. Правило суммы и разности

Производная  суммы (разности) функций — это сумма (разность) производных функций.

Если говорить математическим языком: .

Если говорить более простым языком: для каждого слагаемого производная вычисляется отдельно.

Первое правило является довольно простым, приведем примеры:

В первом примере выражение состоит из двух слагаемых:  и . Производная первого слагаемого равна 1, производная второго слагаемоего равна . Выражение второго примера состоит из трех слагаемых, чьи производные посчитаны отдельно.

2. Правило умножения на константу 

Производная  произведения константы и функции — это произведение константы и  производной функции.

Математическим языком правило звучит так: . Простым языком: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Данное правило тоже не вызывает трудностей, примеры:

3. Правило дифференцирования произведения

Производная произведения двух функций — это сумма произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй.

Данное правило сложно воспринимать в текстовом виде. Куда лаконичнее оно выглядит на математическом языке: .

Эта формула заметно сложнее первых двух, приведем примеры:

Для нахождения производной произведения трех функций сгруппируем вторую и третью функцию:

Аналогичным образом можно поступить для нахождения производной от произведения большого количества функций.

4. Правило дифференцирования частного

Производная частного двух функций — разность произведения производной делимого на делитель и произведения делимого на производную делителя отнесенная к квадрату делителя.

Данное правило еще сложнее воспринимать в таком виде, так что приведем математическую запись: .

Примеры:

5. Правило дифференцирования сложной функции

Сложной называют функцию, аргументом которой является другая функция. Тогда саму функцию называют внешней, а её аргумент — внутренней. Например, , где внешняя функця синус вычисляется от внутренней функции, состоящей из многочлена. 

Дифференцирование сложной функции – процесс несложный, но формулировка правила можем изрядно напугать:

Производная сложной функции — произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции.

Так как производную функции по другой функции не рассматривают в школах, приведем альтернативную интерпретацию:

Производная сложной функции — это произведение производной внешней функции с подстановкой внутренней функции и производной внутренней функции.

Данное правило очень сложно воспринимать и на математическом языке: . 

Проще не стало? Попробуем разобраться: для начала нам нужно вычислить производную внешней функции по некой переменной t, после чего подставить в данную производную внутреннюю функцию вместо t, полученное выражение необходимо умножить на производную внутренней функции.

Куда проще понять его на примерах:

Разберем первый пример. Внешняя функция —  , внутренняя  — . Производная  равна , который будет вычисляться от внутренней функции, то есть нужно выполнить подстановку . Полученное выражение умножим на производную , то есть на 3.

Надеюсь, стало проще!

Вычисление производной обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)\neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $\left(f^{-1}(y_0)\right)’=\frac{1}{f'(x_0)}. {0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=\frac{1}{\frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

§ 1. Производная

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(xy) = 0.                                                                                                        (1)

Если функция = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию = f(x) неявно или что функция = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у’х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’х.

Пример 1. Вычислить у’х.

У5+ху-х= 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у’+у+ху’-2х=0Выразим у’. y(5у4) = 2х-у, у’ = (2х-у)/(5у4).

Пример 2.                                                                                                              

tg(x+yxy

Продифференцируем обе части по х. Получим  или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y‘ = g(xy)                                                                                                       (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х221=0. Найти у”.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = –. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим  или . Подставим , вместо у’. .

3.2: Производная как функция

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) – функция. Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция – это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.

Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

\ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} \)
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе. 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) – разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Построение графика производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в точках \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f ‘(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f ‘(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) – функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x – a \), имеем \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) не дифференцируемо в \ (0 \).

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
  2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

    Решение

    Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в точке \ (3 \).

    Подсказка

    Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

    Производные инструменты высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \)

Упростим числитель.
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель.
\ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

Затем найдите \ (f ” (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

\ (f ” (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \) Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

Подсказка

Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

Ответ

\ (а (т) = 6т \)

Ключевые понятия

  • Производная функции \ (f (x) \) – это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \).

Ключевые уравнения

\ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

Глоссарий

производная функция
дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
с дифференциацией при \ (a \)
функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \)
дифференцируемые на \ (S \)
функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
дифференцируемая функция
функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией
производная высшего порядка
производная производной, от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка

Авторы и авторство

  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

  • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость предполагает непрерывность.

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Наклон = Изменение Y Изменение X

Мы можем найти среднего уклона между двумя точками.

Но как найти наклон в точке ?

Измерять нечем!

Но с производными мы используем небольшую разницу …

… затем уменьшите до нуля .

Давайте найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в Y Изменение в X = Δy Δx

И (из схемы) видим, что:

С С
x отличается от х по х + Δx
г отличается от f (x) по f (x + Δx)

Теперь выполните следующие действия:

  • Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) – f (x) Δx
  • Упростите как можно лучше
  • Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция

f (x) = x 2

Мы знаем f (x) = x 2 , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 2
Развернуть (x + Δx) 2 : f (x + Δx) = x 2 + 2x Δx + (Δx) 2

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положим f (x + Δx) и f (x) : x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 – x 2 Δx

Упростить (x 2 и −x 2 отменить): 2x Δx + (Δx) 2 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: = 2x

Результат: производная от x 2 равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо “Δx голов в сторону 0” .

И «производная от» обычно пишется d dx вот так:

d dx x 2 = 2x
“Производная от x 2 равна 2x
или просто “d dx от x 2 9059 2x равно x 2 9059 2x


Итак, что означает

d dx x 2 = 2x ?

Это означает, что для функции x 2 наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f ’(x) также может использоваться как« производная от »:

f ’(x) = 2x
” Производная f (x) равна 2x “
или просто ” f-тире x равно 2x “

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

d dx x 3 ?

Мы знаем f (x) = x 3 и можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 3
Развернуть (x + Δx) 3 : f (x + Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положим f (x + Δx) и f (x) : x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 – x 3 Δx

Упростить (x 3 и −x 3 отменить): 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): 3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: 3x 2

Результат: производная от x 3 равна 3x 2

Поиграйте с этим, используя Derivative Plotter.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Но пользоваться правилами бывает непросто!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Мы получим неправильных ответа , если попытаемся умножить производную cos (x) на производную sin (x)…!

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И фактически получается, что cos 2 (x) – sin 2 (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:

f ’(x) = lim Δx → 0 f (x + Δx) – f (x) Δx

«Производная от f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f (x + Δx) – f (x) по Δx»

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

dy dx = f (x + dx) – f (x) dx

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы выполняете дифференциацию … до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

Найдите производную – WebMath

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производное вычисление, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Исчисление I – Определение производной

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Определение производного инструмента

В первом разделе главы «Пределы» мы увидели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в \ (x = a \) требует от нас вычислить следующий предел.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)}} {{x – a}} \]

Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел можно также записать как,

\ [\ begin {уравнение} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({a + h} \ right) – f \ left (a \ right)}} {h } \ label {eq: eq1} \ end {формула} \]

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, поэтому мы даем ему название. Мы называем это производной . Вот официальное определение производной.

Определение производного инструмента

Производная от \ (f \ left (x \ right) \) относительно x является функцией \ (f ‘\ left (x \ right) \) и определяется как, \ [\ begin {уравнение} f ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы заменили все a в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на x , чтобы признать тот факт, что производная на самом деле также является функцией.2} – 16x + 35 \] Показать решение

Итак, все, что нам действительно нужно сделать, это вставить эту функцию в определение производной, \ (\ eqref {eq: eq2} \), и заняться алгеброй. Хотя, по общему признанию, алгебра временами может быть несколько неприятной, но это всего лишь алгебра, так что не волнуйтесь, что мы сейчас вычисляем производные. 2} – 16x + 35} \ right)}} {h} \ end {align *} \]

Будьте осторожны и убедитесь, что вы правильно используете скобки при вычитании.2} – 16h}} {h} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждый член в числителе, в котором не было h , был сокращен, и теперь мы можем вынести h из числителя, которое сократится против h в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

\ [\ begin {align *} f ‘\ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({4x + 2h – 16} \ right )}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} 4x + 2h – 16 \\ & = 4x – 16 \ end {align *} \]

Итак, производная:

\ [f ‘\ left (x \ right) = 4x – 16 \] Пример 2 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [g \ left (t \ right) = \ frac {t} {{t + 1}} \] Показать решение

Этот будет немного запутаннее в плане алгебры. Однако в остальном он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Сначала мы подставляем функцию в определение производной,

\ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({t + h} \ right) »- g \ left (t \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{t + h }} {{t + h + 1}} – \ frac {t} {{t + 1}}} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали данной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подключить \ (h = 0 \). Итак, нам нужно будет немного упростить. В этом случае нам нужно будет объединить два члена числителя в одно рациональное выражение следующим образом.

\ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{\ left ({t + h} \ right) \ left ({t + 1} \ right) – t \ left ({t + h + 1} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1}) \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({ \ frac {{{t ^ 2} + t + th + h – \ left ({{t ^ 2} + th + t} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac { h} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \ end {align *} \]

Прежде чем закончить, отметим пару вещей. 2}}} \] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [R \ left (z \ right) = \ sqrt {5z – 8} \] Показать решение

Сначала подключитесь к определению производной, как мы делали с предыдущими двумя примерами.

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{R \ left ({z + h} \ right) »- R \ left (z \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} – \ sqrt {5z – 8}}} {h} \ end {align *} \]

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры? На уроках алгебры вы, вероятно, только рационализировали знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем числитель и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализация этой проблемы,

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} – \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} {h} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5z + 5h – 8 – \ left ({5z – 8} \ right)}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5h}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}}) \ right)}} \ end {align *} \]

Опять же, после упрощения в числителе осталось только х .Итак, отмените h и оцените предел.

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {5} {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}}} \\ & = \ frac {5} {{\ sqrt {5z – 8} + \ sqrt {5z – 8}}} \\ & = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z – 8}}} \ end {align *} \]

Итак, мы получаем производную от

. \ [R ‘\ left (z \ right) = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z – 8}}} \]

Давайте поработаем еще один пример.Этот будет немного другим, но нужно сказать о нем.

Пример 4 Определите \ (f ‘\ left (0 \ right) \) для \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \). Показать решение

Поскольку эта проблема запрашивает производную в определенный момент, мы продолжим и будем использовать ее в своей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, включите определение и упростите.

\ [\ begin {align *} f ‘\ left (0 \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({0 + h} \ right) »- f \ left (0 \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | {0 + h} \ right | – \ left | 0 \ right |}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \ end {align *} \]

Мы видели подобную ситуацию, когда смотрели на пределы бесконечности.+}} 1 \\ & = 1 \ end {выровнять *} \]

Два односторонних ограничения различны, поэтому

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \]

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которую мы ищем.

Если предела не существует, значит, не существует и производной.

В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой не существует производной в точке.Это жизненный факт, о котором мы должны знать. Деривативы будут существовать не всегда. Также обратите внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. Фактически, производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \ (x = 0 \).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \ (f \ left (x \ right) \) называется дифференцируемой в точке \ (x = a \), если существует \ (f ‘\ left (a \ right) \) и \ (f \ left ( x \ right) \) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошее соотношение между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе «Дополнительные возможности», чтобы увидеть доказательство этой теоремы.

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном направлении. Рассмотрим \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) и взглянем на,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ left | х \ право | = 0 = е \ влево (0 \ вправо) \]

Итак, \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) непрерывно в \ (x = 0 \), но мы только что показали выше в примере 4, что \ (f \ left ( x \ right) = \ left | x \ right | \) не дифференцируем в \ (x = 0 \).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной – это «простое» обозначение. Однако иногда используются и другие обозначения, поэтому давайте остановимся на этом.

Для функции \ (y = f \ left (x \ right) \) все нижеследующие эквивалентны и представляют собой производную от \ (f \ left (x \ right) \) по отношению к x .

\ [f ‘\ left (x \ right) = y’ = \ frac {{df}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (y \ right) \]

Поскольку нам также необходимо иногда оценивать производные, нам также нужна запись для оценки производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную в \ (x = a \), все следующие утверждения эквивалентны.

\ [е ‘\ влево (а \ вправо) = {\ влево. {y ‘} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{df}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} \]

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \ (\ left (x \ right) \) в функции, чтобы несколько упростить обозначения. В этих случаях следующие варианты эквивалентны.

\ [е ‘\ влево (х \ вправо) = е’ \]

В заключение в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных прямо из определения – довольно сложный (а иногда и болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок.В нескольких разделах мы начнем разрабатывать формулы и / или свойства, которые помогут нам взять производную от многих общих функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.

Распознавайте функции с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Нахождение производной от

включает в себя вычисление следующих предел:


Мягко говоря, этот расчет неприятен. Мы хотели бы найти способы вычисления производных без явного использования определения производная как предел разностного частного. Полезный предварительный результат: следующее:

Производная константы
lf c – любое действительное число, и если f (x) = c для всех x, то f ‘(x) = 0 для всех x.То есть производная постоянной функции – это нулевая функция.

Это легко увидеть геометрически. Обращаясь к рисунку 1, мы видим, что График постоянной функции f (x) = c представляет собой горизонтальную линию. Поскольку горизонтальный линия имеет наклон 0, а линия является собственной касательной, отсюда следует, что наклон касательная везде равна нулю.
Далее мы дадим правило дифференцирования f (x) = x n , где n – любое действительное число. Некоторые из следующих результатов уже были проверены в предыдущем разделе, а
другие можно проверить, используя определение производной.


Этот шаблон предлагает следующую общую формулу для степеней n, где n – это положительное число.

Правило питания

Фактически, правило мощности действительно для любого действительного числа n и, таким образом, может использоваться для дифференцировать множество неполиномиальных функций. Следующий пример иллюстрирует некоторые применения правила мощности.

Пример 1

Различайте каждую из следующих функций:


(a) Поскольку f (x) = 5, f – постоянная функция; следовательно, f ‘(x) = 0.

(b) При n = 15 в правиле мощности f ‘(x) = 15x 14

(c) Обратите внимание, что f (x) = x 1/2 . Следовательно, при n = 1/2 в правиле мощности


(d) Поскольку f (x) = x -1 , из правила мощности следует, что f ‘(x) = -x -2 = -1 / x 2

Правило дифференцирования постоянных функций и правило мощности явное правила дифференциации. Следующие правила говорят нам, как находить производные от комбинации функций в терминах производных составляющих их части.В каждом случае мы предполагаем, что f ‘(x) и g’ (x) существуют, а A и B суть константы.

Четыре перечисленных выше правила вместе с правилом дифференцирования константы функции и правило мощности, предоставляют нам техники для различения любых функция, которая выражается как степень или корень частного многочлена функции. Следующая серия примеров иллюстрирует это. Правило линейности и товарное правило будет обосновано в конце раздела; доказательство расширенное правило мощности появляется в разделе цепного правила.2 + 2bx + c

Пример 3 можно обобщить следующим образом:

Многочлен степени n всюду имеет производную, а производная есть многочлен степени (n – 1).

Пример 4 Пусть

Найдите f ‘(x).

Сначала мы используем правило произведения, поскольку f (x) задается как произведение x 2 и x 2 – х + 1:

Как оценить производную по графику

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Темпы изменений проявляются повсюду в науке, и особенно в физике, через такие величины, как скорость и ускорение.Производные описывают скорость изменения одной величины по отношению к другой математически, но их вычисление иногда может быть сложным, и вам может быть представлен график, а не функция в форме уравнения. Если вам представлен график кривой и вам нужно найти производную от него, вы, возможно, не сможете быть столь же точными, как с уравнением, но вы легко сможете сделать твердую оценку.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Выберите точку на графике, в которой нужно найти значение производной.

Проведите в этой точке прямую касательную к кривой графика.

Определите наклон этой линии, чтобы найти значение производной в выбранной вами точке на графике.

Что такое производный инструмент?

Если не считать абстрактной установки дифференцирования уравнения, вы можете немного запутаться в том, что на самом деле представляет собой производная. В алгебре производная функции – это уравнение, которое сообщает вам значение «наклона» функции в любой точке.Другими словами, он сообщает вам, насколько изменяется одно количество при небольшом изменении другого. На графике градиент или наклон линии показывают, насколько зависимая переменная (размещенная на оси y ) изменяется с независимой переменной (на оси x ).

Для прямолинейных графиков вы определяете (постоянную) скорость изменения, вычисляя наклон графика. Отношения, описываемые кривыми, не так просты, но принцип, согласно которому производная просто означает наклон (в этой конкретной точке), все еще остается в силе.

    Для отношений, описываемых кривыми, производная принимает разные значения в каждой точке кривой. Чтобы оценить производную графика, вам нужно выбрать точку, в которой будет производная. Например, если у вас есть график, показывающий пройденное расстояние в зависимости от времени, на прямолинейном графике наклон будет указывать вам постоянную скорость. Для скоростей, которые меняются со временем, график будет кривой, но прямая линия, которая только касается кривой в одной точке (линия, касательная к кривой), представляет скорость изменения в этой конкретной точке.

    Выберите место, где вам нужно знать производную. Используя пример зависимости пройденного расстояния от времени, выберите время, в которое вы хотите узнать скорость движения. Если вам нужно узнать скорость в нескольких разных точках, вы можете выполнить этот процесс для каждой отдельной точки. Если вы хотите узнать скорость через 15 секунд после начала движения, выберите точку на кривой через 15 секунд на оси x .

    Нарисуйте линию, касательную к кривой в интересующей вас точке.Не торопитесь, потому что это самая важная и самая сложная часть процесса. Ваша оценка будет лучше, если вы проведете более точную касательную. Поднесите линейку к точке на кривой и отрегулируйте ее ориентацию так, чтобы нарисованная вами линия касалась только кривой в единственной интересующей вас точке.

    Нарисуйте линию до тех пор, пока это позволяет график . Убедитесь, что вы легко можете прочитать два значения для координат x и y , одно в начале вашей строки, а другое в конце.Вам не обязательно рисовать длинную линию (технически подходит любая прямая линия), но более длинные линии, как правило, легче измерить наклон.

    Найдите два места на вашей линии и запишите для них координаты x и y . Например, представьте свою касательную линию в виде двух заметных точек x = 1, y = 3 и x = 10, y = 30, которые вы можете назвать точкой 1. и точка 2. Использование символов x 1 и y 1 для представления координат первой точки и x 2 и y 2 для представления координат второй точки уклон м определяется как:

    m = \ frac {y_2 – y_1} {x_2 – x_1}

    Это показывает производную кривой в точке, где линия касается кривой.В примере x 1 = 1, x 2 = 10, y 1 = 3 и y 2 = 30, поэтому:

    \ begin {align} m & = \ frac {30-3} {10-1} \\ \, \\ & = \ frac {27} {9} \\ \, \\ & = 9 \ end { выровнено}

    В этом примере результатом будет скорость в выбранной точке. Таким образом, если ось x была измерена в секундах, а ось y – в метрах, результат будет означать, что рассматриваемое транспортное средство движется со скоростью 3 метра в секунду.Независимо от конкретной величины, которую вы рассчитываете, процесс оценки производной одинаков.

AC Производная функции в точке

Мгновенная скорость изменения функции – это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, измеряющее, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта.В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки. Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.

Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Аналогичным образом дадим следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)

Определение 1.3.1.

Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением

.

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем

\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}

Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.

Предварительный просмотр 1.3.1.

Предположим, что \ (f \) – функция, заданная приведенным ниже графиком, а \ (a \) и \ (a + h \) – входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.

Рисунок 1.3.2. График \ (y = f (x) \) для предварительного просмотра 1.3.1.
  1. Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.

  2. Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Что такое длины соответствующих катетов этого треугольника?

  3. Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)

  4. Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.

Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке

Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах. Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)

Определение 1.3.3.

Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) формулой

\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}

при условии, что этот предел существует.

Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) – простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = текст{.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.

Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.

Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \). Мы можем представить себе одну конечную точку интервала как «скользящее навстречу» другому. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс установления предела является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. Один из вариантов – это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. Чтобы получить полезную коллекцию примеров, рассмотрите работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно важный пример. Для апплетов, которые были созданы в Geogebra 1 , см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.

Вы даже можете подумать о создании своих собственных примеров; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатной загрузки, ее легко изучить и использовать.

На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \). Эти линии (показанные на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text { .} \) Секущая кривой – это просто линия, проходящая через две точки на кривой.Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) – f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. На диаграмме видно, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {. } \) Если существует предел наклона секущих линий, мы говорим, что результирующее значение является наклоном касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(текст{.} \)

Рисунок 1.3.5. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \)

Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рисунке 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рисунке 1.3.5 в один слева и увеличьте масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная проходит по отношению к кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую около \ (x = a \ text {.2} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Затем мы удаляем общий множитель \ (h \) как в числителе, так и в знаменателе и находим, что

\ begin {уравнение *} f ‘(2) = \ lim_ {h \ to 0} (-3-h) \ text {. 2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.} \)

Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.

Мероприятие 1.3.2.

Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)

  1. Какой знакомый тип функции – \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
  2. Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
  3. Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) относительно \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
  4. Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?
Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.

  1. Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.

    Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
  2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
  3. Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \) Покажите свой используйте правильные обозначения, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
  4. На своем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

    1. Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.

      Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
    2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
    3. Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
    4. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.

      Оставить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *