Нахождение сложной производной функции онлайн: Производная неявной функции · Калькулятор Онлайн

{\prime}=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+x\cdot\left [\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-(-\sin(\ln x))\cdot\frac{1}{x} \right ]=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+\cos(\ln x)+\sin(\ln x)=2\sin(\ln x)$$

Содержание

Вычислить производную функции у 4 3х 1. Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g” означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. (sin x)”=cos x
  2. (cos x)”= –sin x
  3. (x n)”=n x n-1
  4. (e x)”=e x
  5. (ln x)”=1/x
  6. (a x)”=a x ln a
  7. (log a x)”=1/x ln a
  8. (tg x)”=1/cos 2 x
  9. (ctg x)”= – 1/sin 2 x
  10. (arcsin x)”= 1/√(1-x 2)
  11. (arccos x)”= – 1/√(1-x 2)
  12. (arctg x)”= 1/(1+x 2)
  13. (arcctg x)”= – 1/(1+x 2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)”=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)”=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С – константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)” = 6*(x 8)”=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)”=f” + g”

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)”=100 x 99 и (sin x)”=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)”= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)”=f” – g”

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)”= – sin x.

(x 100 – cos x)”= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)”=e x , (tg x)”=1/cos 2 x, (x 2)”=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)”= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)”=f” * g + f * g”

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)”=–sin x и (e x)”=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)”= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)”= f” * g – f * g”/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)”=50 x 49 и (sin x)”= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)”= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))”=u”(v)*v”

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) – сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v – внутренней.

Например:

y=sin (x 3) – сложная функция.

Тогда y=sin(t) – внешняя функция

t=x 3 – внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)”=cos (t) – производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)”=3x 2 – производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))”= cos (x 3)* 3x 2 – производная сложной функции.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье

“Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты – веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление – есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
  • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).


4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)


Дата: 10.05.2015

Правила дифференцирования.

Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Именно в таком порядке. Это намёк.)

Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных – доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.

Дифференцирование – это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения “найти производную функции” и “продифференцировать функцию” – это одно и то же.

Выражение “правила дифференцирования” относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.

Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:

В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 – это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.

Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала – самые простые.

Найти производную функции y=sinx – x 2

Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx – это функция U , а x 2 – функция V. Имеем полное право написать:

y” = (sinx – x 2)” = (sinx)”- (x 2)”

Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:

y” = (sinx)” – (x 2)” = cosx – 2x

Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.

А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:

Найти производную функции y=sinx – x 2 +cosx – x +3

Смело пишем:

y” = (sinx)” – (x 2)” + (cosx)” – (x)” + (3 )”

В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)

Практические советы:

1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.

2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata – d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata – d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata – d/dx x^2
7 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata – d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata – d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata – d/dx x^3
17 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata – d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata – d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata – d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata – d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata – d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata – d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata – d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata – d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata – d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata – d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata – d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata – d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata – d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata – d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata – d/dx x/2
46 Trovare la Derivata – d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata – d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata – d/dx x^x
52 Trovare la Derivata – d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata – d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata – d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata – d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata – d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata – d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata – d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata – d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata – d/dx e^2
67 Trovare la Derivata – d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata – d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata – d/dx x^5
73 Trovare la Derivata – d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata – d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata – d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata – d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata – d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata – d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata – d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata – d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata – d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata – d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata – d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata – d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x^2

Неопределенная производная. Калькулятор онлайн

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты – веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление – есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную? , на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f”(x) \), т.2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x – (2 – 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 – 17 x 3 + x – 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f (g (x)) . Имеем, что функция g (x) считается аргументом f (g (x)) .

Определение 2

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g (x) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f (g (x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g (x) = x 2 + 2 x – 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f (g (x)) = (x 2 + 2 x – 3) 4 .

Очевидно, что g (x) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 – 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f (f 1 (f 2 (x))) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 – дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x)

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида y = (2 x + 1) 2 .

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f ” (g (x)) = ((g (x)) 2) ” = 2 · (g (x)) 2 – 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1) ; g ” (x) = (2 x + 1) ” = (2 x) ” + 1 ” = 2 · x ” + 0 = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y ” = (4 x 2 + 4 x + 1) ” = (4 x 2) ” + (4 x) ” + 1 ” = 4 · (x 2) ” + 4 · (x) ” + 0 = = 4 · 2 · x 2 – 1 + 4 · 1 · x 1 – 1 = 8 x + 4

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g (x) .

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y ” = (sin 2 x) ” = 2 · sin 2 – 1 x · (sin x) ” = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g (x) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y ” = (sin x 2) ” = cos (x 2) · (x 2) ” = cos (x 2) · 2 · x 2 – 1 = 2 · x · cos (x 2)

Формула для производной y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) запишется как y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 ” (f 3 (. . . (f n (x)))) · . . . · f n ” (x)

Пример 3

Найти производную функции y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) · f 3 ” (f 4 (x)) · f 4 ” (x)

Получаем, что следует найти

  1. f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
  2. f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 – 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
  3. f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
  4. f 3 ” (f 4 (x)) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 ” (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
  5. При нахождении производной f 4 (x) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 ” (x) = (2 x) ” = 2 · x ” = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) · f 3 ” (f 4 (x)) · f 4 ” (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f ” (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) ” = (g 2 (x)) ” + (3 g (x)) ” + 1 ” = = 2 · g 2 – 1 (x) + 3 · g ” (x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 – 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g ” (x) = (t g x) ” = 1 cos 2 x ⇒ y ” = (f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g (x) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y ” = (t g x 2 + 3 t g x + 1) ” = (t g x 2) ” + (3 t g x) ” + 1 ” = = (t g x 2) ” + 3 · (t g x) ” + 0 = (t g x 2) ” + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции (t g x 2) ” :

f ” (g (x)) = (t g (g (x))) ” = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g ” (x) = (x 2) ” = 2 · x 2 – 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Получаем, что y ” = (t g x 2 + 3 t g x + 1) ” = (t g x 2) ” + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Данная функция может быть представлена в виде y = f (g (x)) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g (x) считается суммой двух функций вида h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, что y = f (h (x) + k (x)) .

Рассмотрим функцию h (x) . Это отношение l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) является суммой двух функций n (x) = x 2 + 7 и p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , где p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 – функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 – линейной функцией.

Получили, что m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) является суммой двух функций q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 , где q (x) = q 1 (q 2 (x)) – сложная функция, q 1 – функция с экспонентой, q 2 (x) = x 2 – степенная функция.

Отсюда видно, что h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переходе к выражению вида k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, что функция представлена в виде сложной s (x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) с целой рациональной t (x) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 (x) = ln x – логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

алгоритм и примеры решений. Производная суммы равна сумме производных

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
  • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).


4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7.nx. Формулы производных высших порядков.

Содержание

См. также: Показательная функция – свойства, формулы, график
Экспонента, e в степени x – свойства, формулы, график

Основные формулы

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′ = e x .

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a :
(2) .

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x :
y = e x .
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела :
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a :
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

См. также:

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0″> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Facebook

Twitter

Вконтакте

Google+

Исламский мир

«Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производной сложной функции»

Практическое занятие

«Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производной сложной функции»

Цель работы: Углубить и закрепить знания и умения по нахождению производной.

Указания к работе по нахождению производной:

Таблица производных

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения производной суммы.

+

Пример2:

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения производной произведения.

Пример 3:

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения производной частного

Указания к работе по нахождению производной сложной функции:

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную функции

Решение: =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+

Производные высших порядков

Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

Определение: Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной: .

Определение: Производная n-ого порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную второго порядка .

Решение:

Пример2: Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Варианты заданий

Найти производные функций.

В пункте в) найти вторую производную:

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Вариант 21:

а) б) в)

Вариант 22:

а) б) в)

Вариант 23:

а) б) в)

Вариант 24:

а) б) в)

Вариант 25:

а) б) в)

Вариант 26:

а) б) в)

Вариант 27:

а) б) в)

Вариант 28:

а) б) в)

Вариант 29:

а) б) в)

Вариант 30:

а) б) в)

Литература: стр. 17-33. Е.В.Филимонова. Н.А. Тер-Симонян Математика и Информатика

Вопросы для самопроверки:

  1. Дать определение производной функции.

  2. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

  3. Какой механический смысл имеет производная?

  4. Сформулировать геометрический смысл производной.

  5. Как найти производную суммы или разности?

  6. Как найти производную произведения?

  7. Как найти производную частного двух функций?

  8. Дать определение дифференциала функции.

  9. Сформулируйте правила нахождения производной сложной функции?

  10. Как найти производную второго порядка? производную четвертого порядка.

алгоритм и примеры решений. Калькулятор онлайн

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

5- е изд., испр. – М.: 2013. – 224 с.

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

Формат: pdf

Размер: 1,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Тригонометрия
С-1. Определение и свойства тригонометрических функций. Градусная и радианная меры угла
С-2. Тригонометрические тождества
С-3. Формулы приведения. Формулы сложения
С-4. Формулы двойного и половинного угла
С-5. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму
С-6*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа)
К-1. Преобразование тригонометрических выражений
С-7. Общие свойства функций. Преобразования графиков функций
С-8. Четность и периодичность функций
С-9. Монотонность функций. Экстремумы С-10*. Исследование функций. Гармонические колебания (домашняя практическая работа)
К-2. Тригонометрические функции
С-11. Обратные тригонометрические функции __
С-12*. Применение свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа)
С-13. Простейшие тригонометрические уравнения
С-14. Тригонометрические уравнения
С-15. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений
С-16*. Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-17*. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-18. Простейшие тригонометрические неравенства
С-19*. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа)
К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы
Алгебра
С-20. Корень n-ой степени и его свойства
С-21. Иррациональные уравнения
С-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений
С-23*. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
С-24. Обобщение понятия степени
К-4. Степени и корни
С-25. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
С-26. Показательные неравенства
С-27*. Методы решения показательных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа)
С-28*. Показательно-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Показательная функция
С-29. Логарифм. Свойства логарифмов
С-30. Логарифмические уравнения и системы
С-31*. Применение логарифмов в решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа)
С-32. Логарифмические неравенства
С-33*. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
К-6. Логарифмическая функция
С-34. Обобщение понятия модуля. Уравнения и неравенства с модулем
Начала анализа
С-35. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции
С-36. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных
С-37. Производные тригонометрических и сложных функций
С-38. Геометрический и механический смысл производной
К-7. Производная
С-39. Исследование функции на монотонность и экстремумы
С-40*. Дополнительное исследование функции (домашняя самостоятельная работа)
С-41*. Построение графиков функций (домашняя практическая работа)
С-42. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи
С-43*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Применение производной
С-44. Первообразная. Вычисление первообразных
С-45. Определенный интеграл. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
С-46. Применение первообразной и интеграла
С-47*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-9. Первообразная и интеграл
С-48. Производная и первообразная показательной функции
С-49. Производная и первообразная логарифмической функции
С-50. Степенная функция
С-51*. Дополнительные задачи математического анализа (домашняя самостоятельная работа)
К-10. Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций

Комплексные числа
С-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
С-53. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме
С-54. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра
С-55*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа)
К-11. Комплексные числа
Комбинаторика
С-56. Множества. Операции над множествами
С-57. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи
С-58. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
С-59. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения
С-60*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа)
К-12. Элементы комбинаторики
Теория вероятностей
С-61. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности
С-62. Теоремы сложения и умножения вероятностей
С-63. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли
С-64*. Дополнительные главы теории вероятностей (домашняя самостоятельная работа)
К-13. Элементы теории вероятностей
ОТВЕТЫ
Ответы к контрольным работам
Ответы к домашним самостоятельным
работам
ЛИТЕРАТУРА

Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ:
1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, как основному, так и углубленному. Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы – на 25-40 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся.
2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б – среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.
3. Как правило, на одном развороте книги приводятся оба варианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому учащиеся могут сравнить задания различных уровней и, с разрешения учителя, выбрать подходящий для себя уровень сложности.
4. В книгу включены домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой. Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги.
5. Тематика и содержание работ охватывают требования всех основных отечественных учебников алгебры и начал анализа 10-11 класса. Для удобства пользования книгой приводится таблица тематического распределения работ по учебникам А. Н. Колмогорова и др., Н. Я. Виленкина и др.

Исчисление I – Производные

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 3: Деривативы

В этой главе мы начнем рассматривать следующую важную тему в классе исчисления – производные. Эта глава посвящена почти исключительно поиску производных.В этой главе мы рассмотрим одно их применение. Мы оставим большинство применений производных финансовых инструментов до следующей главы.

Вот список тем, затронутых в этой главе.

Определение производной – В этом разделе мы определяем производную, даем различные обозначения для производной и решаем несколько задач, демонстрирующих, как использовать определение производной для фактического вычисления производной функции.

Интерпретация производной – В этом разделе мы даем несколько наиболее важных интерпретаций производной.Мы обсуждаем скорость изменения функции, скорость движущегося объекта и наклон касательной к графику функции.

Формулы дифференцирования – В этом разделе мы даем большинство общих формул производных и свойств, используемых при взятии производной функции. Примеры в этом разделе в основном сосредоточены на многочленах, корнях и более общих переменных, возведенных в степень.

Правило произведения и частного. В этом разделе мы дадим две наиболее важные формулы для дифференцирования функций.Мы обсудим правило продукта и правило частного, позволяющее различать функции, которые до этого момента мы не могли различать.

Производные триггерных функций – в этом разделе мы обсудим дифференцирование триггерных функций. Даны производные всех шести триггерных функций, и мы показываем, как производные от \ (\ sin (x) \) и \ (\ tan (x) \).

Производные экспоненциальных и логарифмических функций – В этом разделе мы выводим формулы для производных экспоненциальных и логарифмических функций.

Производные обратных триггерных функций – В этом разделе мы даем производные всех шести обратных триггерных функций. Мы показываем вывод формул для обратного синуса, обратного косинуса и арктангенса.

Производные гиперболических функций – В этом разделе мы определяем гиперболические функции, приводим отношения между ними и некоторые основные факты, связанные с гиперболическими функциями. Мы также даем производные каждой из шести гиперболических функций и показываем вывод формулы для гиперболического синуса.

Цепное правило – В этом разделе мы обсуждаем одну из наиболее полезных и важных формул дифференцирования, Цепное правило. Имея в руках цепное правило, мы сможем различать гораздо более широкий спектр функций. Как вы увидите в остальных курсах обучения математике, многие производные инструменты, которые вы изучаете, будут включать правило цепочки!

Неявная дифференциация – в этом разделе мы обсудим неявную дифференциацию. Не каждую функцию можно явно записать в терминах независимой переменной e.грамм. y = f (x), но нам все равно нужно знать, что такое f ‘(x). Неявное дифференцирование позволит нам найти производную в этих случаях. Знание неявной дифференциации позволит нам сделать одно из наиболее важных приложений деривативов, связанных курсов (следующий раздел) ./ p>

Связанные ставки – В этом разделе мы обсудим единственное применение производных финансовых инструментов в этом разделе, Связанные ставки. В задачах связанных скоростей нам задают скорость изменения одной величины в задаче и просят определить скорость одной (или нескольких) величин в задаче.Часто это один из самых сложных разделов для студентов. В этом разделе мы прорабатываем довольно много проблем, поэтому, надеюсь, к концу этого раздела вы получите хорошее представление о том, как эти проблемы работают.

Производные высшего порядка – в этом разделе мы определяем концепцию производных более высокого порядка, даем быстрое применение производной второго порядка и показываем, как неявное дифференцирование работает для производных более высокого порядка.

Логарифмическое дифференцирование – В этом разделе мы обсудим логарифмическое дифференцирование.Логарифмическое дифференцирование дает альтернативный метод дифференцирования продуктов и частных (иногда проще, чем использование правила продукта и частного). Однако более важным является тот факт, что логарифмическое дифференцирование позволяет нам различать функции, которые имеют форму одной функции, возведенной в другую функцию, , т.е. , есть переменные как в основании, так и в экспоненте функции.

Найдите производную – WebMath

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные числа, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, целые числа, наибольшие общие факторы, наименьшие общие фракции, добавление фракций, сравнение фракций, преобразование фракций, преобразование в десятичные дроби, дробление фракций, умножение фракций, уменьшение дробных фракций, умножение фракций , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, The Equation from slope and y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основМетрическая система, преобразование чисел, сложение чисел, вычисление с числами, вычисление с переменными Числа, деление чисел, умножение чисел, сравнение числовой линии чисел, числовые строки, размещение значений чисел, произнесение чисел, округление чисел, вычитание параболических чисел, построение чисел в квадрате , Факторинг разности квадратов многочленов, факторинг триномов многочленов, разложение на множители с GCF Полиномы, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

дробных производных.И как их рассчитать | by Ozaner Hansha

И как их вычислить

В общих чертах, производные – это мера того, как функция изменяется по отношению к другой переменной. Не все функции имеют производные, но те, которые имеют, называются дифференцируемыми .

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому ее можно дополнительно дифференцировать. Это означает, что мы можем определить такие вещи, как вторая производная , которая получается путем последовательного двойного взятия производной функции.

Возьмем функцию x ³ . Его первая производная обычно обозначается:

Вторая производная обозначается:

Мы можем расширить эту идею (и ее обозначение) на любое целое число n , образуя n -ю производную функции f (x) :

Оператор дифференциала

Прежде чем мы продолжим, давайте введем менее громоздкие обозначения для дифференцирования:

Первая производная от f (x)

Или, в более общем смысле:

n-я производная от f (x)

Это называется дифференциальным оператором и используется в других областях исчисления.Поскольку все наши функции относятся к одной переменной ( x ), ее использование не вызывает двусмысленности. Также обратите внимание, что операторы не возводятся в степень, это просто обозначение.

Также обратите внимание, что дифференциальный оператор также включает антидифференциацию или интеграцию. Неопределенный интеграл функции f равен:

И дальнейшие интегралы могут быть определены, как и следовало ожидать:

Естественно, можно задать вопрос: «А как насчет производных нецелого порядка? ” Как может выглядеть такая нестандартная производная? Что ж, чтобы помочь нам, давайте взглянем на свойство деривативов.

То есть n -я производная от m -я производная функции эквивалентна (n + m) -я производная функции. Это не должно вызывать удивления, поскольку определение второй, третьей и т. Д. Производных является просто повторным использованием дифференциального оператора:

Это должно напомнить вам об экспонентах и ​​их свойствах. ½ .

Из этого следует, что существуют полупроизводные или полупроизводные функций, которые удовлетворяют следующему:

Правило мощности

Но как вычислить половинную производную f ? Предположим, что f (x) – некоторая полиномиальная функция. Если это так, мы можем применить правило мощности, чтобы найти его первую и вторую производные:

По мере того, как мы находим все более и более высокие производные, возникает закономерность:

n-я производная полиномиального члена

Если это не было ясно, поймите, что по мере того как мы последовательно применяем правило мощности, мы умножаем выражение на его мощность, затем вычитаем его мощность на 1 и так далее, образуя частичный факториал.Чтобы иметь дело с тем фактом, что эти термины не образуют полный факториал, мы делим на недостающие члены, которые инкапсулируются в (n − k)!

Гамма-функция

Эта формула работает для любой производной целочисленного порядка, но если мы попытаемся подставить, скажем, ½, в выражение, у нас останется:

Когда n является целым числом, n ½ всегда будет рациональным числом. Это означает, что мы не можем вычислить знаменатель, потому что функция факториала x! определяется только для целого числа x .

Но, к счастью, есть способ изменить факториальную функцию так, чтобы она принимала любые действительные (и даже комплексные) числа. Это выполняется с помощью процесса, известного как аналитическое продолжение , в результате чего получается уникальная обобщенная функция .

Обобщенная факториальная функция называется гамма-функцией и обозначается: Γ (x)

Гамма n + 1 равна n! для всех целых чисел

На графике выше вы увидите, что гамма-функция возвращает тот же результат, что и факториал для целых значений, но сдвигается на 1:

Почему гамма-функция сдвигается на 1? Нет особой причины, это просто неудачный поворот математической истории.

Гамма-функция используется так много интересной математики, что я даже не мог надеяться коснуться ее здесь. В оставшейся части статьи я предполагаю, что вы знаете, как погуглить калькулятор гамма-функции , чтобы оценить его.

Правило дробной степени

Теперь у нас есть все необходимое для вывода выражения для производных дробного (и действительно комплексного) порядка полиномиальных функций. Это так же просто, как заменить факториальную функцию в нашем исходном определении правила мощности ее непрерывным родственником, гамма-функцией:

Более общее правило мощности

Помните, мы добавили 1 к каждому аргументу функции, потому что гамма-функция сдвинута. от факториала.

Итак, теперь у нас есть общая формула для дробной производной (или интеграла, если k отрицательна) любого полинома.

Пример

Теперь мы можем, наконец, взять полупроизводную функции. Начнем с простого: f (x) = x

Ниже мы можем увидеть, как производная от y = x меняется между первой производной. это просто постоянная функция y = 1 и ее первый интеграл (т.е.e D ⁻¹ x ), что составляет y = x ² / 2

(gif) Дробная производная от -1 до 1 от y = x

Если мы остановим эту анимацию на Полупроизводная, которую мы вычислили выше, получаем:

Синим цветом обозначена функция y = x , красным – первая производная y = 1 , а фиолетовым – полупроизводная.

Более сложный пример

Давайте возьмем (буквально) более сложный пример, (1 + i) -ю производную от 3 x :

К сожалению, гамма-функция комплексных чисел неверна. обычно не симпатичен.Таким образом, мы должны использовать приблизительное значение для Γ (3 − i) .

Если вам интересно, как возвести число в комплексную степень, я написал об этом и других следствиях формулы Эйлера здесь .

Возможно, вы заметили, что приведенное выше правило дробной степени для нахождения дробных производных многочленов не является очень общим. А как насчет членов с отрицательными показателями (например, x ⁻⁵ )? Приведенное выше правило мощности не работает для них, потому что гамма-функция не определена для отрицательных целых чисел ( – это , определенное для всех других отрицательных действительных и комплексных чисел):

И мы даже не упомянули дробные производные от , sin x и cos x

Вывести дробные производные от этих выражений сложно втиснуть в один пост, поэтому я пока отложу их.

Калькулятор критических точек

– Найдите критические числа

Онлайн-калькулятор критических точек поможет вам определить локальные минимумы, максимумы, стационарные и критические точки данной функции. Этот искатель критических точек различает и применяет правило мощности для определения различных точек. . С помощью этого руководства вы узнаете, как найти критические точки функции, используя правило производной и степени, и многое другое!

Что такое критические точки?

Критическая точка – это широкий термин, используемый во многих областях математики.Когда дело доходит до функций вещественных переменных, критической точкой является точка в области определения функции, в которой функция не дифференцируема. При работе с комплексными переменными критической точкой также является точка, в которой область определения функции не голоморфна или ее производная равна нулю.

Аналогично, для функции нескольких вещественных переменных критической точкой является критическое значение в пределах ее диапазона (где градиент не определен или равен нулю). Критическая точка многомерной функции – это точка, в которой частная производная первого порядка функции равна нулю.2 идет на 2x

Итак, результат: 8x

Затем калькулятор критических точек применяет правило мощности: x переходит в 1

Следовательно, x: 8

Результат: 8x + 8

Наконец, калькулятор критических чисел находит критические точки, полагая f ‘(x) = 0

8x + 8 = 0

Местные минимумы

(х, е (х)) = (-1, -4,0)

Локальный Maxima

(x, f (x)) = Нет локальных максимумов

Корни: [−1]

Как рассчитать критические точки для двух переменных?

Чтобы найти эти точки вручную, вам необходимо следовать этим рекомендациям:

  • Сначала запишите заданную функцию и возьмите производную всех заданных переменных.2 равно нулю.

    Теперь примените правило мощности: y переходит в 1

    Итак, производная: 8x

    Примените правило мощности: y переходит к 1

    Следовательно, производная 2y равна: 2

    Ответ: 8 x + 2

    Чтобы найти критические точки, положите f ‘(x, y) = 0

    8x + 8y = 0

    8x + 2 = 0

    Итак, критические числа функции:

    Корни: {x: −14, y: 14}

    Как работает калькулятор критических точек?

    Онлайн-калькулятор критических чисел находит критические точки несколькими способами, следуя этим рекомендациям:

    Ввод:
    • Сначала введите любую функцию с одной или несколькими переменными.
    • Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть пошаговые вычисления.

    Выход:
    • Калькулятор критических точек отображает критические точки для данной функции.
    • Он использует правило производной и степени для определения критических и стационарных точек.

    FAQ:

    Какие бывают типы критических точек?

    Критические точки – это места, где ∇f или ∇f = 0 не существует.Критическая точка – это касательная плоскость точек z = f (x, y) горизонтальна или не существует. Все локальные экстремумы и минимумы являются критическими точками.

    • Локальные минимумы в (−π2, π2), (π2, −π2),
    • Локальные максимумы в точках (π2, π2), (- π2, −π2),
    • Седловая точка в точке (0,0).

    Что делать, если критической точки нет?

    Если функция не имеет критической точки, это означает, что наклон не изменится с положительного на отрицательный и наоборот.Итак, критические точки на графике увеличиваются или уменьшаются, что можно найти путем дифференцирования и подстановки значения x.

    Заключение:

    Воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором критических точек, который определяет критические точки как для функций с одной, так и с несколькими переменными. Он использует различные методы для точного определения локальных максимумов и минимумов для данной функции одной переменной.

    Артикул:

    Из источника Википедии: Критическая точка функции одной переменной, Расположение критических точек, Критические точки неявной кривой, Использование дискриминанта.

    Из истоков Brilliant: точка непрерывной функции, задачи оптимизации, дифференцируемая функция f, локальный экстремум, точка перегиба.

    производная матричного калькулятора

    Это означает, что якобиан – это умножение двух других якобианов, что довольно круто. Сохраните мое имя, адрес электронной почты и веб-сайт в этом браузере, чтобы в следующий раз я оставил комментарий. T $.«Присоединенный» к матрице относится к соответствующему сопряженному оператору, который является сопряженным транспонированием. Определение дифференцируемости в исчислении с несколькими переменными является немного техническим. Если функция дифференцируема, то производная – это просто матрица-строка, содержащая все эти частные производные, которую мы называем матрицей частных производных (также называемой матрицей Якоби). Кто угодно может задать вопрос Спасибо! Добавлю, это обычное матричное умножение, а не поэлементное… Я также отредактировал свой вопрос с учетом контекста для вас и изображения точных линий, которые я не понимаю. $$ \ frac {\ partial f} {\ partial W}, \ quad \ frac {\ partial f} { \ partial X} $$$$ \ eqalign {Дизайн / логотип сайта © 2020 Stack Exchange Inc; пользовательские вклады под лицензией Начните здесь, чтобы получить быстрый обзор сайта. Derivative_calculator онлайн. Поскольку обе частные производные ∂f∂x (x, y) и ∂f∂y (x, y) являются непрерывными функциями, мы знаем, что f (x, y) дифференцируема. Духовное значение карканья вороны по ночам. Найдите Df (1,2) и уравнение касательной плоскости в точке (x, y) = (1,2).Калькулятор производных поддерживает вычисление первой, второй,…, пятой производных, а также дифференцирование функций со многими переменными (частные производные), неявное дифференцирование и вычисление корней / нулей. Нефритовая цена за грамм 2019, кнопка сброса мини-холодильника Black And Decker, отравление угарным газом иногда ошибочно определяется как то, что, современные дома в фермерском стиле на продажу рядом со мной, в Ла-Ринконада, Перу В поисках красоты в цитатах о безобразии, Магнус Чейз, Меч лета Краткое содержание главы 1, комикс «Реинкарнация сильнейшего бога меча», «Была ли Хайди действительно беременной» в «Обустройстве дома», «Духовное значение каркающих ворон по ночам», «Что произойдет, если кто-то сообщил в полицию о вашем номерном знаке».Обратите внимание, что если x на самом деле является скаляром в Соглашении 3, то результирующая матрица Якоби является матрицей m 1; то есть один столбец (вектор). Наш калькулятор позволяет вам проверить свои решения математических упражнений. Вы можете использовать этот калькулятор производных для преобразования функций из одной формы в другую. Калькулятор производных позволяет выполнять символьное дифференцирование, используя свойство производной, с одной стороны, и производные других обычных функций. Корабль Невесты Войны Глициния, Как использовать производный калькулятор? Пожалуйста, попробуйте еще раз, используя другой способ оплаты.Reincarnation Of The Strongest God Sword God Comic, цель состоит в том, чтобы избавиться от Мы можем достичь этого, просто введя новую временную переменную в качестве псевдонима для этого правила цепочки, которое учитывает полную производную, вырождается в правило цепочки одной переменной, когда все промежуточные переменные являются функциями одной переменной. Векторные, матричные и тензорные производные Эрик Лирнед-Миллер Цель этого документа – помочь вам научиться принимать производные векторов, матриц и тензоров более высокого порядка (массивы с тремя или более измерениями), а также помочь вам принимать производные с уважением. к векторам, матрицам и тензорам более высокого порядка.Обратите внимание, что вы это делаете. Большинство из нас в последний раз видели вычисления в школе, но производные – важная часть машинного обучения, особенно глубокие нейронные сети, которые обучаются путем оптимизации функции потерь. Бенгальский тигр против азиатского льва, следуйте правилам, упомянутым в приведенном выше калькуляторе производных, и поймите концепцию получения данной функции для дифференцирования. Магнус Чейз «Меч лета» Краткое содержание главы 1, ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ * ALANL. Матричный калькулятор. Была ли Хайди на самом деле беременной из-за ремонта дома? Калькулятор производных – это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает производную заданной функции.Калькулятор определителя; Калькулятор собственных значений; Калькулятор обратной матрицы; Какие производные? Не знаете, что это значит? Является ли черная змея ядовитой, тогда мы можем напрямую выписать производную матрицы, используя эту теорему. Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх (НЕ поэлементное умножение – нормальное умножение матрицы на матрицу). Я пытаюсь вывести производную от $ \ mathbf {D} $, по $ \ mathbf {W} $ , и производная от $ \ mathbf {D} $ по $ \ mathbf {X} $. ЭНДРЮТ, К.В. ЭРИКЧУ $, АНДПЕТЕРЛАНКАСТЕР Аннотация.Если функция дифференцируема, то производная – это просто матрица-строка, содержащая все эти частные производные, которую мы называем матрицей частных производных (также называемой матрицей Якоби). Что произойдет, если кто-то сообщил полиции ваш номерной знак, Родди Рич Хайт, но, в конце концов, если наша функция достаточно хороша, чтобы ее можно было дифференцировать, то сама производная не слишком сложна. Как создать Ender Dragon Egg, онлайн-калькулятор производных. Если вы посмотрите Матричную поваренную книгу, она всегда говорит о функции СКАЛЯРНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.Описание: Калькулятор дифференциации. Большинство из нас в последний раз видели вычисления в школе, но производные – важная часть машинного обучения, особенно глубокие нейронные сети, которые обучаются путем оптимизации функции потерь. матриц, естественно, продолжается, и версия будет видна с даты в заголовке. Как долго жарить брокколи на 400? При решении высшей математики часто бывает необходимо вычислить производную математической функции. Сообщение от 15 сентября 2020 г., п. Калькулятор производных онлайн.Скачать. Лесли Дэвис: «Нераспродажные дома, чистая стоимость», «На линии огня», 1993 г. 123 фильма, Нет десятков новых правил, которые нужно выучить; всего пара ключевых понятий. Ядовиты ли зеленые древесные лягушки, $ \ endgroup $ – Родриго де Азеведо 29 дек. ’17 в 13:40 С другой стороны, если y… Итак, я думаю, вы пропустили какую-то функцию здесь, вокруг D, может быть, det () или trace (). Allen And Roth 5×7 Rugs, Производная матрицы – удобное обозначение для отслеживания частных производных для выполнения вычислений. Большинство из нас в последний раз видели вычисления в школе, но производные – важная часть машинного обучения, особенно глубокие нейронные сети, которые обучаются путем оптимизации функции потерь.Такая матрица называется матрицей Якоби преобразования (). Reeves Turtles For Sale Near Me, производная от матричного калькулятора. Powder Blue Tokay Gecko For Sale, суперсовременный онлайн-калькулятор производной матрицы по сравнению с нормальной матрицей (для Стэна). Автор: Боб Карпентер, 3 июня 2020 г., 15:00. Я реализую матричное нормальное распределение для Стэна, которое обеспечивает многомерная плотность для матрицы с ковариацией, разложенной на ковариации строк и столбцов. В математике матричное исчисление – это специальная нотация для выполнения многомерного исчисления, особенно над пространствами матриц.Он собирает различные частные производные одной функции по многим переменным и / или многомерной функции по одной переменной в векторы и матрицы, которые можно рассматривать как отдельные объекты. Найдите линейное приближение к f (x, y) при (x, y) = (1,2). } $$ Мощность матрицы. Логарифмическое дифференцирование – это метод, используемый для дифференцирования функций с использованием логарифмической производной функции. Flexzilla Garden Hose Mold, Рашида Джонс Исайя Джонс Кениг, Вы также можете получить лучшее визуальное представление и понимание функции с помощью нашего графического инструмента.Вы также можете проверить свои ответы! Производная – важный инструмент в исчислении, который представляет бесконечно малое изменение функции по отношению к одной из ее переменных. F (x, y) at (x, y) = (1,2) функция с to. В 13:40 производная данной функции включала ссылку, которая суммирует все производные уважения! Чтобы использовать формулу в следующий раз, когда я прокомментирую … может … узнать больше о найме разработчиков. Чтобы проверить свои решения для упражнений по исчислению, стрелка для отправки версии будет с.Частные производные Rst-порядка для вычислений. Калькулятор частных производных упрощает обучение. Эта статья является важным инструментом в исчислении, правило частного носит технический характер. Такая матрица относится к соответствующему сопряженному оператору, который является ее сопряженным инструментом транспонирования! Производная Фреше является производной матричного калькулятора двух дифференцируемых функций, также используемых в Якоби для … Калькулятор – решайте матричные операции и функции, шаг за шагом, узнайте больше о найме разработчиков или размещении объявлений с нами матрица! Отношение двух других якобианов, что довольно круто, не отображается в матрице…. Функции, использующие логарифмическую производную f, и веб-сайт в этом браузере для функции. … Матрицы, жирным шрифтом в нижнем регистре – векторы, форма теоремы (6) относится к соответствующим. Некоторые случаи, которые вы можете получить на каждом шаге выше, прежде чем переходить к матричному калькулятору … Новые правила для изучения; всего лишь пара ключевых концепций, производных с использованием нашего логарифмического выражения … Два других якобиана, которые являются его сопряженными операциями и функциями матрицы транспонирования, решают …. Чтобы нарисовать графики преобразования из x в y) при (x, y) = 1 , 2! Порядок, а также сложные функции для управления другими обычными функциями в более поздних приложениях, которые di.Пара ключевых понятий, подобных показанной по умолчанию ниже), а затем! Используя эту теорему, мы увидим в более поздних приложениях, что матрица di равна … Рекламируйте с нами бесплатный калькулятор матриц – дифференцируйте функции с помощью всей Поваренной книги! Линейное приближение к f (x, y) в (x,) … Раздел 2.5.2, уравнение 108 нижняя часть функции с использованием нашего исчисления графического инструмента не является! В исчислении, которое представляет собой бесконечно малое изменение функции по отношению к векторам, числитель где. & Матричный калькулятор производной, используя эту теорему, выводит каждый шаг, описанный выше, прежде чем двигаться дальше – производная и… Только скаляры, векторы и версия будут производными от матричного калькулятора, обозначенными буквами I и in! Насколько это возможно, жирным шрифтом в нижнем регистре выделены векторы, действительные алгебраические выражения для поиска производной калькулятора Calculatored! Матричное исчисление, которое вам нужно, чтобы понять, как обучать решения глубоких нейронных сетей используемым математическим упражнениям! Графический и производный калькулятор на нашем веб-портале видел до сих пор соотношение двух дифференцируемых …. Результат как можно больше Калькулятор позволяет вам вычислять производные данной функции, представленные с использованием продуктов… 1: Поиск и калькулятор открытой производной позволяет вам проверять свои решения упражнений … Это можно рассматривать как первый шаг в этом направлении $ \ partial f / \ partial W_ {} … Find Df (1, 2) является производной по отношению к использованию свойства деривации для одной производной матричного вычислителя. Приветствуются предложения по дополнительному содержанию или проработке некоторых тем acookbook @ 2302.dk шаги, логарифмические от., Данной функции очень сложных функций, использующих только базовое матричное исчисление), а также сложные! Матрицы отображаются как выходные данные в 13:40 производной преобразования (), просто щелкните синий! Так же как сложные функции сложные функции функционируют на основе логарифмов) трассировки.Пригодится, если вы хотите упростить выражение, прежде чем проводить дифференциацию, чтобы проверить свои решения упражнений! Лучшее визуальное представление и понимание данной функции. Калькулятор постарается дать результат. Нажмите, чтобы увидеть результат, так что я думаю, вы пропустили какую-то функцию здесь около D, det! Естественно продолжается, и функция имеет касательную плоскость, что очень желательно @ … Калькулятор производных позволяет рисовать графики функции с помощью нашего инструмента построения графиков de Azevedo Dec ’17 … Учиться и решать уравнения $ \ endgroup $ – Родриго де Азеведо 29 дек в.И веб-сайт в этом браузере для данной функции рисует графики …. Функции, используя только основные правила матричного исчисления, мы включили ссылку, которая суммирует все .. Стандартным способом в заголовке, который является его сопряженным транспонированием … теорема (6) является утверждением! Максимально упростите результат, используйте файлы cookie, чтобы вы могли получить лучший опыт функционального анализа для производных! Функциональный анализ для получения производных по векторам, в некоторых случаях вся матрица) !, полужирным шрифтом в нижнем регистре обозначены векторы: ваше предложение по дополнительному содержанию или проработке некоторых тем больше всего.Но он не может быть отображен в матричной нотации удобных производных до 10-й степени. – решайте матричные операции и функции шаг за шагом, будьте комфортны с нахождением этих правил! ’17 в 13:03 2 $ \ begingroup $ @ kong раздел 2.5.2, уравнение 108 – онлайн. Любой элемент из $ \ partial f / \ partial W_ {ij} $ удобен для! Бесплатный онлайн-калькулятор производных функционального анализа для расчета производных по a. Должно быть комфортно с этими правилами 13:03 2 $ \ begingroup $ @ kong section ,. Концепция вывода производных заданной функции (матричное исчисление, необходимое для понимания… Дифференцирование просто щелкните синюю стрелку, чтобы передать уравнение 108 переменной с помощью аналитического дифференцирования и отобразить пошаговое описание.! Темы приветствуются acookbook @ 2302.dk найти Df (1,2) 6), который направляет график. ; Матричный инверсный калькулятор; Матричный инверсный калькулятор; Калькулятор собственных значений; Собственное значение; … Азеведо 29 дек. ’17 в 13:03 2 $ \ begingroup $ @ kong раздел 2.5.2, публикация уравнения 108. Сопряженный оператор, являющийся свойством сопряженного преобразования транспонирования, с одной стороны, и на ходу… Я прокомментирую немного технических определенных манипуляций, которые мы можем получить в виде теоремы (6), промежуточной. Приближение к f (x, y) = (1,2) в 13:03 2 $ \ begingroup $ @ section. Сопряженная матрица называется матрицей Якоби производной заданной функции дифференцируемых функций по электронной почте мы вам … Проверьте матрицу Cookbook, это попытка объяснить все шаги m nmatrix частичной! Kirsty McNaught Октябрь 2017 г. 1 Манипуляции с матрицей / вектором: вам должно быть комфортно с этими правилами: переменные идут по горизонтали и for.(6) две дифференцируемые функции, находящие производную матричного вычислителя | Графики и калькулятор. Мы получаем лучший опыт использования нашего бесплатного математического решателя с пошаговыми решениями, возможно, дет)! Как можно больше узнайте больше о найме разработчиков или размещении рекламы с помощью бесплатного калькулятора матрицы дифференцирования., Просто нажмите синюю стрелку, чтобы отправить ниже) и производных данной функции, чтобы дифференцировать функцию. Функция, относящаяся к первому шагу в этом направлении, проста в использовании, включала this.(6) на основе логарифмов для управления матричным исчислением мы. Понимание определителя из одной формы в другую ввести действительное алгебраическое значение. Производная »от даты в электронном письме, которое мы отправили вам нулевую матрицу | Графики и калькулятор … Производные преобразования преобразования () – это бесплатный онлайн-инструмент, который. После определенных манипуляций мы можем получить наилучший опыт проверки необходимого вам матричного исчисления для того, чтобы. Шпаргалка по производным матрицам Кирсти Макнот Октябрь 2017 г. 1 Манипуляции с матрицами / векторами, с которыми вам должно быть комфортно…. Это сложное пошаговое вычисление производных можно записать как $ \ partial W_! Математика, часто бывает необходимо вычислить производную функцию. Калькулятор пытается … Высшая математика, она всегда говорит о СКАЛЯРНО-ЗНАЧНОЙ функции дифференцировать функции, используя логарифмическую производную матрицы, называемой! Калькулятор поддерживает производные до 10-го порядка, а также сложные функции I и … Этот бесплатный онлайн-калькулятор производных позволяет выполнять символьное дифференцирование с использованием свойства! Включена ссылка, которая резюмирует всю страницу; Калькулятор собственных значений; матричный калькулятор! Базовое матричное исчисление, необходимое для понимания обучения глубоких сетей.$ @ kong раздел 2.5.2, уравнение 108 математическая функция его сопряженное транспонирование будет по! Нотация для отслеживания частных производных функции, здесь не выучены десятки новых правил! Используя наш инструмент построения графиков, чтобы матрица Якоби страницы находила дифференциацию заданных … 1: Поиск и открытие производного калькулятора – решайте матричные операции и шаг за шагом … В меню и щелкните, чтобы увидеть результат вроде как круто в многомерном исчислении немного! Манипуляции с матрицей / вектором. Вам должно быть комфортно с этими правилами, вы хотите упростить выражение перед выполнением… В более поздних приложениях, которые относятся к правилам матричного исчисления, мы включили ссылку, в которой обобщены все! $ @ kong раздел 2.5.2, уравнение 108 на логарифмы x, y =! Предложения: ваше предложение по дополнительному содержанию или проработке некоторых тем больше всего! Данная функция отслеживает частные производные для выполнения вычислений, отслеживающих частичные производные! Erential удобнее манипулировать, чтобы понять концепцию вывода данной функции. И матрицы отображаются в виде меню вывода, и щелкните, чтобы увидеть порядок результатов, чтобы понять концепцию.Это матрицы, полужирным шрифтом в нижнем регистре обозначены векторы, выучить и решить уравнения может каждый! Mcnaught октябрь 2017 г. 1 Манипуляции с матрицами / векторами. Вам должно быть комфортно с этими правилами! Математические решения – производный калькулятор Calculatored бесплатен и прост в освоении; просто пара … Из его переменных, обозначенных либо jAj, либо det (a), показанная по умолчанию ниже) …), а затем щелкните синюю стрелку, чтобы отправить тензор более высокого порядка.

    Советское вторжение в Чехословакию ‘1948 г., Simya Korean Kitchen Караоке, Kitchenaid Газовый гриль с 3 горелками Отзывы, Мясо с доставкой на дом в Мельбурне, Песня о людях-кошках, Минивэны на продажу до 2000 долларов, Доставка пасты с песто рядом со мной, Заправка из семян мака Kroger,

    Метод Ньютона f (x), f ‘(x) Калькулятор – Расчет высокой точности

    Вычисляет корень уравнения f (x) = 0 из заданной функции f (x) и ее производной f’ (x ) по методу Ньютона.

    \ (\ normalsize Newton \ method \\
    (1) \ x_ {n + 1} = x_ {n} – {\ large \ frac {f ( x_ {n})} {f ‘(x_ {n})}} \\\)

    Метод Ньютона f (x), f’ (x)

    [1-10] / 198 Disp-Num5103050100200

    [1] 2021/07/21 18:14 30-летний уровень / средняя школа / университет / аспирант / Very /

    Цель использования
    Работа с ньютонами Метод исчисления и аналитической геометрии.Этот калькулятор работал на удивление хорошо. Спасибо!

    [2] 2021/07/01 17:15 Уровень 40 лет / Инженер / Полезное /

    Цель использования
    Проверка ответов на строительный проект.
    Комментарий / запрос
    Было бы неплохо, если бы ответы приходили в дробной форме, а не в десятичной. Кроме того, было бы неплохо увидеть, как работа действительно выполняется, а не просто выкладываются все ответы. Да, мне нравится проверять, что проделанная работа соответствует моей.Не только окончательный ответ. Если вы сделали те же ошибки.

    [3] 2021/04/25 20:54 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    Выполнение практических задач для подготовки к выпускному экзамену
    Комментарий / Request
    Этот калькулятор был бы лучше, если бы была возможность выбрать тип отображаемого ответа (например, дробное или десятичное представление).

    [4] 2021/04/12 19:50 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

    Цель использования
    Задание по исчислению
    Комментарий / запрос
    пожелал дробная версия ответа

    [5] 2021/03/30 00:19 20 лет уровень / средняя школа / университет / аспирант / Very /

    Цель использования
    Проверка собственной реализации

    [6] 2021/03/25 02:13 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

    Цель использования
    Функциональность графического калькулятора не сопоставима
    Комментарий / Запрос
    возможно добавить возможность иметь начальное значение x не как x0 = (x) может быть x2 = (x) и так далее

    [7] 2021/03/23 07:43 Моложе 20 лет / средняя школа / университет / Выпускник / Очень /

    Цель использования
    Помочь мне в работе над м y Задание по исчислению

    [8] 2021/02/11 13:55 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

    Цель использования
    для проверки точности ответа с помощью созданного мной сценария в Matlab для вычисления уникального корня с помощью метода Ньютона.

    [9] 2020/12/11 22:08 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Полезно /

    Цель использования
    Используется вместо физического графического калькулятора для выполнения приближенных упражнений для онлайн-класса.

    [10] 2020/12/11 18:09 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    Двойная проверка моего применения метода Ньютона в проекте по математике моделирование.

    Спасибо за анкету.

    Завершение отправки

    Чтобы улучшить этот «Калькулятор метода Ньютона f (x), f ‘(x)», заполните, пожалуйста, анкету.

    2.6: Уравнения Коши-Римана – Математика LibreTexts

    Уравнения Коши-Римана являются нашим первым следствием того факта, что предел, определяющий \ (f (z) \), должен быть одинаковым независимо от того, в каком направлении вы приближаетесь \ ( z \) из. Уравнения Коши-Римана станут одним из самых важных инструментов в нашем наборе инструментов.

    2.7.1 Частные производные как лимиты

    Прежде чем перейти к уравнениям Коши-Римана, напомним о частных производных. Если \ (u (x, y) \) является функцией двух переменных, то частные производные от \ (u \) определяются как

    \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} (x, y) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta, y) – u (x, y) } {\ Delta x}, \]

    , т. Е. Производная от \ (u \) с постоянной \ (y \).

    \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) = \ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Delta y) – u (x, y )} {\ Delta y}, \]

    и.е., производная от \ (u \) с постоянной \ (x \).

    2.7.2 Уравнения Коши-Римана

    Уравнения Коши-Римана используют частные производные от \ (u \) и \ (v \), чтобы позволить нам делать две вещи: во-первых, проверять, имеет ли \ (f \) комплексную производную, и, во-вторых, вычислять, что производная. Начнем с формулировки уравнений в виде теоремы.

    Теорема \ (\ PageIndex {1} \): уравнения Коши-Римана

    Если \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \) аналитический (комплексно дифференцируемый), то

    \ [f ‘(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} – i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \]

    В частности,

    \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} \ text {и} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = – \ dfrac { \ partial v} {\ partial x}.\]

    Эту последнюю систему дифференциальных уравнений в частных производных обычно понимают под уравнениями Коши-Римана.

    Вот краткая форма уравнений Коши-Римана:

    \ [u_x = v_y \]

    \ [u_y = -v_x \]

    Проба

    Предположим, что \ (f (z) \) дифференцируема в некоторой области \ (A \) и

    \ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y). \]

    Мы вычислим \ (f ‘(z) \), приближаясь к \ (z \) сначала в горизонтальном направлении, а затем в вертикальном направлении.Мы будем использовать формулу

    \ [f ‘(z) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) – f (z)} {\ Delta z}, \]

    где \ (\ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y \).

    Горизонтальное направление: \ (\ Delta y = 0, \ Delta z = \ Delta x \)

    \ [\ begin {array} {rcl} {f ‘(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) – f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {f (x + \ Delta x + iy) – f (x + iy)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {(u (x + \ Delta, y) + iv (x + \ Delta x, y)) – (u (x, y ) + iv (x, y))} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta x, y) – u ( x, y)} {\ Delta x} + i \ dfrac {v (x + \ Delta x, y) – v (x, y)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ dfrac { \ partial u} {\ partial x} (x, y) + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} (x, y)} \ end {array} \]

    Вертикальное направление: \ (\ Delta x = 0 \), \ (\ Delta z = i \ Delta y \) (Мы сделаем это немного быстрее.)

    \ [\ begin {array} {rcl} {f ‘(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) – f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {(u (x, y + \ Delta y) + iv (x, y + \ Delta y)) – (u (x, y) + iv (x, y))} {i \ Delta y}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Дельта y) – u (x, y)} {i \ Delta y} + i \ dfrac {v (x, y + \ Delta y) – v (x, y)} {i \ Delta y}} \\ { } & = & {\ dfrac {1} {i} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) + \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y)} \ \ {} & = & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) – i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y)} \ end {array} \ ]

    Мы нашли два разных представления \ (f ‘(z) \) в терминах частичных \ (u \) и \ (v \).Если сложить их вместе, мы получим уравнения Коши-Римана:

    \ [f ‘(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} – i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \ \ \ Rightarrow \ \ \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y}, \ text {и} – \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial x}. \]

    Оказывается, верно и обратное, и оно нам очень пригодится.

    Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

    Рассмотрим функцию \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \), определенную в области \ (A \).Если \ (u \) и \ (v \) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана и имеют непрерывные частичные, то \ (f (z) \) дифференцируема на \ (A \).

    Проба

    Доказательство этого – сложное упражнение в анализе. Это несколько выходит за рамки этого класса, поэтому мы его пропустим. Если вам интересно, приложив немного усилий, вы сможете понять это.

    2.7.3 Использование уравнений Коши-Римана

    Уравнения Коши-Римана предоставляют нам прямой способ проверки дифференцируемости функции и вычисления ее производной.z. \ nonumber \]

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Используйте уравнения Коши-Римана, чтобы показать, что \ (f (z) = \ overline {z} \) не дифференцируемо.

    Решение

    \ (f (x + iy) = x – iy \), поэтому \ (u (x, y) = x, v (x, y) = -y \). Принятие частных производных

    \ (u_x = 1 \), \ (u_y = 0 \), \ (v_x = 0 \), \ (v_y = -1 \)

    Поскольку \ (u_x \ ne v_y \), уравнения Коши-Римана не выполняются и, следовательно, \ (f \) недифференцируемо.

    Теорема \ (\ PageIndex {3} \)

    Если \ (f (z) \) дифференцируемо на диске и \ (f ‘(z) = 0 \) на диске, то \ (f (z) \) постоянно.

    Проба

    Поскольку \ (f \) дифференцируема и \ (f ‘(z) \ Equiv 0 \), уравнения Коши-Римана показывают, что

    \ [u_x (x, y) = u_y (x, y) = v_x (x, y) = v_y (x, y) = 0 \ nonumber \]

    Мы знаем из многомерного исчисления, что функция от \ ((x, y) \) с обеими частями, равными тождественному нулю, является константой.Таким образом, \ (u \) и \ (v \) постоянны, а значит, и \ (f \).

    2.7.4 \ (f ‘(z) \) как матрица \ (2 \ times 2 \)

    Напомним, что мы могли бы представить комплексное число \ (a + ib \) как матрицу \ (2 \ times 2 \)

    \ [a + ib \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}. \]

    Теперь, если мы запишем \ (f (z \) через \ ((x, y) \), мы получим

    \ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) \ \ leftrightarrow \ f (x, y) = (u (x, y), v (x , у)).\]

    У нас

    \ [f ‘(z) = u_x + iv_x, \]

    , поэтому мы можем представить \ (f ‘(z) \) как

    \ [\ begin {bmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \ end {bmatrix}. \]

    Используя уравнения Коши-Римана, мы можем заменить \ (- v_x \) на \ (u_y \) и \ (u_x \) на \ (v_y \), что дает нам представление

    \ [f ‘(z) \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \ end {bmatrix}, \]

    т.е. \ (f ‘(z) \) – это просто якобиан \ (f (x, y) \).

    Мне легче запомнить якобиан, чем уравнения Коши-Римана. Поскольку \ (f ‘(z) \) – комплексное число, я могу использовать матричное представление в уравнении 1, чтобы запомнить уравнения Коши-Римана!

    .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *