Найти производную функции онлайн: Производная неявной функции · Калькулятор Онлайн

Содержание

Производная первого порядка онлайн. Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g” означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. (sin x)”=cos x
  2. (cos x)”= –sin x
  3. (x n)”=n x n-1
  4. (e x)”=e x
  5. (ln x)”=1/x
  6. (a x)”=a x ln a
  7. (log a x)”=1/x ln a
  8. (tg x)”=1/cos 2 x
  9. (ctg x)”= – 1/sin 2 x
  10. (arcsin x)”= 1/√(1-x 2)
  11. (arccos x)”= – 1/√(1-x 2)
  12. (arctg x)”= 1/(1+x 2)
  13. (arcctg x)”= – 1/(1+x 2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)”=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)”=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С – константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)” = 6*(x 8)”=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)”=f” + g”

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)”=100 x 99 и (sin x)”=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)”= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)”=f” – g”

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)”= – sin x.

(x 100 – cos x)”= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)”=e x , (tg x)”=1/cos 2 x, (x 2)”=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)”= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)”=f” * g + f * g”

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)”=–sin x и (e x)”=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)”= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)”= f” * g – f * g”/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)”=50 x 49 и (sin x)”= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)”= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))”=u”(v)*v”

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) – сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v – внутренней.

Например:

y=sin (x 3) – сложная функция.

Тогда y=sin(t) – внешняя функция

t=x 3 – внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)”=cos (t) – производная внешней функции (где t=x 3)

(x 3)”=3x 2 – производная внутренней функции

Тогда (sin (x 3))”= cos (x 3)* 3x 2 – производная сложной функции.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования.

Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями

(произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке

и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты – веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление – есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) . 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Производная первого порядка, все формулы и примеры

Производная первого порядка функции , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

  1. Константу можно выносить за знак производной:

       

  2. Производная суммы/разности:

       

  3. Производная произведения:

       

  4. Производная частного двух функций:

       

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции, заданной явно

   

Решение Искомая производная

   

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:

   

Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции тогда

   

Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:

   

А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:

   

Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле . Для будем иметь:

   

   

А таким образом, для заданной функции имеем:

   

Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция задана параметрически в виде – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

   

Производная первого порядка неявной функции

Если функция задана неявно равнение или то для нахождения первой производной поступают следующим образом:

  1. дифференцируют левую и правую части заданного равенства:

       

    или

       

  2. находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что – сложная функция;
  3. из полученного равенства выражают .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

SciPy, оптимизация / Хабр

SciPy (произносится как сай пай) — это пакет прикладных математических процедур, основанный на расширении Numpy Python. С SciPy интерактивный сеанс Python превращается в такую же полноценную среду обработки данных и прототипирования сложных систем, как MATLAB, IDL, Octave, R-Lab и SciLab. Сегодня я хочу коротко рассказать о том, как следует применять некоторые известные алгоритмы оптимизации в пакете scipy.optimize. Более подробную и актуальную справку по применению функций всегда можно получить с помощью команды help() или с помощью Shift+Tab.


Введение

Дабы избавить самого себя и читателей от поиска и чтения первоисточников, ссылки на описания методов будут в основном на википедию. Как правило, этой информации достаточно для понимания методов в общих чертах и условий их применения. Для понимания сути математических методов идем по ссылкам на более авторитетные публикации, которые можно найти в конце каждой статьи или в любимой поисковой системе.

Итак, модуль scipy.optimize включает в себя реализацию следующих процедур:


  1. Условной и безусловной минимизации скалярных функций нескольких переменных (minim) с помощью различных алгоритмов (симплекс Нелдера-Мида, BFGS, сопряженных градиентов Ньютона, COBYLA и SLSQP)
  2. Глобальной оптимизации (например: basinhopping, diff_evolution)
  3. Минимизация остатков МНК (least_squares) и алгоритмы подгонки кривых нелинейным МНК (curve_fit)
  4. Минимизации скалярной функций одной переменной (minim_scalar) и поиска корней (root_scalar)
  5. Многомерные решатели системы уравнений (root) с использованием различных алгоритмов (гибридный Пауэлла, Левенберг-Марквардт или крупномасштабные методы, такие как Ньютона-Крылова).

В этой статье мы рассмотрим только первый пункт из всего этого списка.


Безусловная минимизация скалярной функции нескольких переменных

Функция minim из пакета scipy.optimize предоставляет общий интерфейс для решения задач условной и безусловной минимизации скалярных функций нескольких переменных. Чтобы продемонстрировать ее работу, нам понадобится подходящая функция нескольких переменных, которую мы будем по-разному минимизировать.

Для этих целей прекрасно подойдет функция Розенброка от N переменных, которая имеет вид:

Несмотря на то, что функция Розенброка и ее матрицы Якоби и Гессе (первой и второй производной соответственно) уже определены в пакете scipy.optimize, определим ее самостоятельно.

import numpy as np

def rosen(x):
    """The Rosenbrock function"""
    return np.sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0, axis=0)

Для наглядности отрисуем в 3D значения функции Розенброка от двух переменных.


Код для отрисовки
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter

# Настраиваем 3D график
fig = plt.figure(figsize=[15, 10])
ax = fig.gca(projection='3d')

# Задаем угол обзора
ax.view_init(45, 30)

# Создаем данные для графика
X = np.arange(-2, 2, 0.1)
Y = np.arange(-1, 3, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = rosen(np.array([X,Y]))

# Рисуем поверхность
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap=cm.coolwarm)
plt.show()

Зная заранее, что минимум равен 0 при , рассмотрим примеры того, как определить минимальное значение функции Розенброка с помощью различных процедур scipy.optimize.


Симплекс-метод Нелдера-Мида (Nelder-Mead)

Пусть имеется начальная точка x0 в 5-мерном пространстве. Найдем ближайшую к ней точку минимума функции Розенброка с помощью алгоритма симплекса Nelder-Mead (алгоритм указан в качестве значения параметра method):

from scipy.optimize import minimize
x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead',
    options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 339
         Function evaluations: 571
[1. 1. 1. 1. 1.]

Симплекс-метод является самым простым способом свести к минимуму явно определенную и довольно гладкую функцию. Он не требует вычисления производных функции, достаточно задать только ее значения. Метод Нелдера-Мида является хорошим выбором для простых задач минимизации. Однако, поскольку он не использует оценки градиента, для поиска минимума может потребоваться больше времени.


Метод Пауэлла

Другим алгоритмом оптимизации, в котором вычисляются только значения функций, является метод Пауэлла. Чтобы использовать его, нужно установить method = ‘powell’ в функции minim.

x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='powell',
    options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 1622
[1. 1. 1. 1. 1.]

Алгоритм Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шанно (BFGS)

Для получения более быстрой сходимости к решению, процедура BFGS использует градиент целевой функции. Градиент может быть задан в виде функции или вычисляться с помощью разностей первого порядка. В любом случае, обычно метод BFGS требует меньше вызовов функций, чем симплекс-метод.

Найдем производную от функции Розенброка в аналитическом виде:

Это выражение справедливо для производных всех переменных, кроме первой и последней, которые определяются как:

Посмотрим на функцию Python, которая вычисляет этот градиент:

def rosen_der (x):
    xm = x [1: -1]
    xm_m1 = x [: - 2]
    xm_p1 = x [2:]
    der = np.zeros_like (x)
    der [1: -1] = 200 * (xm-xm_m1 ** 2) - 400 * (xm_p1 - xm ** 2) * xm - 2 * (1-xm)
    der [0] = -400 * x [0] * (x [1] -x [0] ** 2) - 2 * (1-x [0])
    der [-1] = 200 * (x [-1] -x [-2] ** 2)
    return der

Функция вычисления градиента указывается в качестве значения параметра jac функции minim, как показано ниже.

res = minimize(rosen, x0, method='BFGS', jac=rosen_der, options={'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 25
         Function evaluations: 30
         Gradient evaluations: 30
[1.00000004 1.0000001  1.00000021 1.00000044 1.00000092]

Алгоритм сопряженных градиентов (Ньютона)

Алгоритм сопряженных градиентов Ньютона является модифицированным методом Ньютона.
Метод Ньютона основан на аппроксимации функции в локальной области полиномом второй степени:

где является матрицей вторых производных (матрица Гессе, гессиан).
Если гессиан положительно определен, то локальный минимум этой функции можно найти, приравняв нулевой градиент квадратичной формы к нулю. В результате получится выражение:

Обратный гессиан вычисляется с помощью метода сопряженных градиентов. Пример использования этого метода для минимизации функции Розенброка приведен ниже. Чтобы использовать метод Newton-CG, необходимо задать функцию, которая вычисляет гессиан.
Гессиан функции Розенброка в аналитическом виде равен:

где и , определяют матрицу .

Остальные ненулевые элементы матрицы равны:

Например, в пятимерном пространстве N = 5, матрица Гессе для функции Розенброка имеет ленточный вид:

Код, который вычисляет этот гессиан вместе с кодом для минимизации функции Розенброка с помощью метода сопряженных градиентов (Ньютона):

def rosen_hess(x):
    x = np.asarray(x)
    H = np.diag(-400*x[:-1],1) - np.diag(400*x[:-1],-1)
    diagonal = np.zeros_like(x)
    diagonal[0] = 1200*x[0]**2-400*x[1]+2
    diagonal[-1] = 200
    diagonal[1:-1] = 202 + 1200*x[1:-1]**2 - 400*x[2:]
    H = H + np.diag(diagonal)
    return H

res = minimize(rosen, x0, method='Newton-CG', 
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 24
         Function evaluations: 33
         Gradient evaluations: 56
         Hessian evaluations: 24
[1.         1.         1.         0.99999999 0.99999999]

Пример с определением функции произведения гессиана и произвольного вектора

В реальных задачах вычисление и хранение всей матрицы Гессе может потребовать значительных ресурсов времени и памяти. При этом фактически нет необходимости задавать саму матрицу Гессе, т.к. для процедуры минимизации нужен только вектор, равный произведению гессиана с другим произвольным вектором. Таким образом, с вычислительной точки зрения намного предпочтительней сразу определить функцию, которая возвращает результат произведения гессиана с произвольным вектором.

Рассмотрим функцию hess, которая принимает вектор минимизации в качестве первого аргумента, а произвольный вектор — как второй аргумент (наряду с другими аргументами минимизируемой функции). В нашем случае вычислить произведение гессиана функции Розенброка с произвольным вектором не очень сложно. Если p — произвольный вектор, то произведение имеет вид:

Функция, вычисляющая произведение гессиана и произвольного вектора, передается как значение аргумента hessp функции minimize:

def rosen_hess_p(x, p):
    x = np.asarray(x)
    Hp = np.zeros_like(x)
    Hp[0] = (1200*x[0]**2 - 400*x[1] + 2)*p[0] - 400*x[0]*p[1]
    Hp[1:-1] = -400*x[:-2]*p[:-2]+(202+1200*x[1:-1]**2-400*x[2:])*p[1:-1] \
    -400*x[1:-1]*p[2:]
    Hp[-1] = -400*x[-2]*p[-2] + 200*p[-1]
    return Hp

res = minimize(rosen, x0, method='Newton-CG',
               jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p,
               options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 24
         Function evaluations: 33
         Gradient evaluations: 56
         Hessian evaluations: 66

Алгоритм доверительной области (trust region) сопряженных градиентов (Ньютона)

Плохая обусловленность матрицы Гессе и неверные направления поиска могут привести к тому, что алгоритм сопряженных градиентов Ньютона может быть неэффективным. В таких случаях предпочтение отдается методу доверительной области (trust-region) сопряженных градиентов Ньютона.

Пример с определением матрицы Гессе:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-ncg',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 20
         Function evaluations: 21
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 19
[1. 1. 1. 1. 1.]

Пример с функцией произведения гессиана и произвольного вектора:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-ncg', 
                jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p, 
                options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
print(res.x)
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 20
         Function evaluations: 21
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 0
[1. 1. 1. 1. 1.]

Методы Крыловского типа

Подобно методу trust-ncg, методы Крыловского типа хорошо подходят для решения крупномасштабных задач, поскольку в них используется только матрично-векторные произведения. Их суть в решении задачи в доверительной области, ограниченной усеченным подпространством Крылова. Для неопределенных задач лучше использовать этот метод, так как он использует меньшее количество нелинейных итераций за счет меньшего количества матрично-векторных произведений на одну подзадачу, по сравнению с методом trust-ncg. Кроме того, решение квадратичной подзадачи находится более точно, чем методом trust-ncg.
Пример с определением матрицы Гессе:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-krylov',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 20
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 18

print(res.x)

    [1. 1. 1. 1. 1.]

Пример с функцией произведения гессиана и произвольного вектора:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-krylov',
               jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_p,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 19
         Function evaluations: 20
         Gradient evaluations: 20
         Hessian evaluations: 0

print(res.x)

    [1. 1. 1. 1. 1.]

Алгоритм приближенного решения в доверительной области

Все методы (Newton-CG, trust-ncg и trust-krylov) хорошо подходят для решения крупномасштабных задач (с тысячами переменных). Это связано с тем, что лежащий в их основе алгоритм сопряженных градиентов подразумевает приближенное нахождение обратной матрицы Гессе. Решение находится итеративно, без явного разложения гессиана. Поскольку требуется определить только функцию для произведение гессиана и произвольного вектора, этот алгоритм особенно хорош для работы с разреженными (ленточными диагональными) матрицами. Это обеспечивает низкие затраты памяти и значительную экономию времени.

В задачах среднего размера затраты на хранение и факторизацию гессиана не имеют решающего значения. Это значит, что можно получить решение за меньшее количество итераций, разрешив подзадачи области доверия почти точно. Для этого некоторые нелинейные уравнения решаются итеративно для каждой квадратичной подзадачи. Такое решение требует обычно 3 или 4 разложения Холецкого матрицы Гессе. В результате метод сходится за меньшее количество итераций и требует меньше вычислений целевой функции, чем другие реализованные методы доверительной области. Этот алгоритм подразумевает только определение полной матрицы Гессе и не поддерживает возможность использовать функцию произведения гессиана и произвольного вектора.

Пример с минимизацией функции Розенброка:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-exact',
               jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
               options={'gtol': 1e-8, 'disp': True})
res.x
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 13
         Function evaluations: 14
         Gradient evaluations: 13
         Hessian evaluations: 14

array([1., 1., 1., 1., 1.])

На этом, пожалуй, остановимся. В следующей статье постараюсь рассказать самое интересное об условной минимизации, приложении минимизации в решении задач аппроксимации, минимизации функции одной переменной, произвольных минимизаторах и поиске корней системы уравнений с помощью пакета scipy.optimize.

Источник: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/

Самостоятельная работа “Наибольшее и наименьшее значения функции”

Самостоятельная работа. Наибольшее и наименьшее значения функции

Вариант 1

А1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

А2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

В1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

C1. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины – по 50 см. Найдите размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

Самостоятельная работа. Наибольшее и наименьшее значения функции

Вариант 2

А1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

А2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

В1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

C1. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найдите длины сторон параллелограмма.

Самостоятельная работа. Наибольшее и наименьшее значения функции

Вариант 1

А1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

А2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

В1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

C1. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины – по 50 см. Найдите размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

Самостоятельная работа. Наибольшее и наименьшее значения функции

Вариант 2

А1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

А2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

В1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

C1. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найдите длины сторон параллелограмма.

Самостоятельная работа. Функции. Вариант 1

А1. Найдите область определения функции .

А2. Найдите множество значений функции .

А3. Найдите производную функции .

А4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции .

А5. Найдите точки экстремумов функции .

В1. Через точку графика функции с абсциссой хо = -2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

С1. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60о вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

____________________________________________________________________

Самостоятельная работа. Функции. Вариант 2

А1. Найдите область определения функции .

А2. Найдите множество значений функции .

А3. Найдите производную функции .

А4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции .

А5. Найдите точки экстремумов функции .

В1. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t)=t3t2+5t+1 (tвремя движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.

С1. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной а указать треугольник наибольшей площади.

___________________________________________________________________________________________

Самостоятельная работа. Функции. Вариант 1

А1. Найдите область определения функции .

А2. Найдите множество значений функции .

А3. Найдите производную функции .

А4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции .

А5. Найдите точки экстремумов функции .

В1. Через точку графика функции с абсциссой хо = -2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

С1. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60о вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

____________________________________________________________________

Самостоятельная работа. Функции. Вариант 2

А1. Найдите область определения функции .

А2. Найдите множество значений функции .

А3. Найдите производную функции .

А4. Найдите промежутки возрастания, убывания функции .

А5. Найдите точки экстремумов функции .

В1. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t)=t3t2+5t+1 (tвремя движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.

С1. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной а указать треугольник наибольшей площади.

Калькулятор дифференцирования – Калькулятор производной с шагами

Калькулятор дифференцирования

Калькулятор производной можно использовать для вычисления производной функции. Он также известен как калькулятор дифференцирования, потому что он решает функцию, вычисляя ее производную для переменной.

ddx (3x + 92 – x) = 15 (2 – x) 2

Большинству студентов трудно понять концепции дифференциации из-за их сложности.В математике есть несколько типов функций, то есть постоянные, линейные, полиномиальные и т. Д. Этот дифференциальный калькулятор может распознавать каждый тип функции, чтобы найти производную.

В этом содержании мы объясним правила дифференцирования, как найти производную, как найти производную функции, такую ​​как производная от x или производная от 1 / x, определение производной, формула производной и некоторые примеры. для уточнения расчетов дифференцирования.

Как пользоваться калькулятором производной?

Вы можете использовать калькулятор дифференцирования для выполнения дифференцирования любой функции.Вышеупомянутый дифференциальный калькулятор умело анализирует заданную функцию, чтобы поместить в функцию любые отсутствующие операторы. Затем он применяет правило относительной дифференциации для вывода результата.

Чтобы использовать калькулятор производных ,

  • Введите функцию в данное поле ввода.
  • Нажмите кнопку Calculate
  • Используйте кнопку Reset , чтобы ввести новое значение.

Вы можете использовать этот калькулятор производной с шагами , чтобы понять пошаговое вычисление данной функции.Более того, вы также можете вычислить обратную производную функции с помощью нашего интегрального калькулятора.

Что такое производная?

Производная используется, чтобы найти изменение функции по отношению к изменению переменной.

Britannica определяет производные как:

В математике производная – это скорость изменения функции по отношению к переменной. Производные имеют фундаментальное значение для решения задач в области исчисления и дифференциальных уравнений. »

Википедия утверждает, что,

« Производная функции действительной переменной измеряет чувствительность к изменению выходного значения по отношению к изменению его входного значения.

После взятия первой производной функции y = f (x) ее можно записать как:

dydx = dfdx

Если в функции задействовано более одной переменной, мы можем выполнить частный вывод с использованием одной из этих переменных.Частную производную также можно рассчитать с помощью калькулятора частной производной, описанного выше.

Формула производной

Ниже вы найдете основные и расширенные правила производной финансовой системы, которые помогут вам понять весь процесс получения производной.

Правило сумм

(af + βg) ‘= af’ + βg ‘

Постоянное правило

Производная любой константы в любом случае будет 0 .

f ‘(x) = 0

Правило продукта

(fg)’ = f’g + fg ‘

Если приведенное выше уравнение вас смущает, воспользуйтесь калькулятором правила произведения, чтобы дифференцировать функцию с помощью правила произведения.

Правило частных

(fg) = f’g – fg’g 2

Цепное правило

Если f (x) = h (g (x))

f’ (x) = h ‘(g (x)). g’ (x)

Этот калькулятор также действует как калькулятор цепного правила , потому что он использует цепное правило для вывода всякий раз, когда это необходимо.

Деривативы не могут быть оценены с помощью одной статической формулы. Существуют определенные правила для оценки каждого типа функции.

Производная от:

· Полномочия

ddxx a = ax (a-1)

· Показатели

Для производной от e x ,

ddxe x = x

· Логарифмические функции

ddx a x = a x ln (a), a> 0

ddx ln (x) = 1x, x> 0

ddx log x (x) = 1x ln (a), x, x> 0

Калькулятор логарифмического дифференцирования легко реализует эти правила для заданных выражений.

· Тригонометрические функции

ddx sin (x) = cos (x)

ddx cos (x) = -sin (x)

ddx tan (x) = sec 2 (x) = 1cos 2 (x) = 1 + tan 2 (x)

· Обратные тригонометрические функции

ddx arcsin (x) = 11 – x 2

ddx arccos (x) = – 11 – x 2

ddx arctan (x) = 11 – x 2

Если вы хотите найти вторую производную, воспользуйтесь нашим калькулятором второй производной.

Как рассчитать производную?

Очень удобно находить производную любой функции с помощью средства поиска производных , , но рекомендуется изучить базовые концепции, чтобы освоить тему.

В этом разделе мы рассмотрим пошаговый метод вычисления производных. Вот шаги, чтобы найти производную без использования решателя производной.

  • Запишите функцию и при необходимости упростите ее.
  • Определите тип функции и запишите соответствующее правило.
  • Используйте применимое правило сверху, чтобы решить функцию.

Пример 1

Найдите производную следующей функции.

f (x) = (x 2 + 5) 3

Решение:

Шаг 1: Как видим, данная функция может быть оценена по цепочному правилу .

f (x) = (x 2 + 5) 3

Шаг 2: Запишите цепное правило.

f ‘(x) = h’ (g (x)). G ‘(x)

Шаг 3: Давайте применим цепное правило к заданной функции.

f ‘(x) = 3 (x 2 + 5) 3-1 f’ (x 2 + 5)

Вычисляется левая часть функции. Теперь, чтобы решить правую часть функции, мы можем применить правило сумм , потому что выражение содержит оператор суммы.

f ‘(x) = 3 (x 2 + 5) 2 (f’ (x 2 ) + f ‘(5))

f’ (x) = 3 (x 2 + 5) 2 ((2x) + (0)) → f ‘(x) = 0

f’ (x) = 6x (x 2 + 5)

Пример 2

Решите производную от данная функция.

f (x) = (x 3 – 2) (x 2 + x – 4)

Решение:

Шаг 1: Здесь мы будем использовать правило произведения решить данное выражение.

f (x) = (x 3 -2) (x 2 + x – 4)

Шаг 2: Запишите правило произведения.

(fg) ‘= f’g + fg’

Шаг 3: Примените правило произведения для решения выражения.

f ‘(x) = (x 2 + x – 4) f’ (x 3 -2) f ‘(x 2 + x -4)

f’ (x) = (x 2 + x – 4) f ‘(x 3 ) f’ (2)) + (x 3 -2) (f ‘(x 2 ) + f’ (x 2 ) + f ‘(x) -f’ (4))

f ‘(x) = (x 2 + x – 4) (3x 2 -0) + (x 3 -2) (2x + 1-0)

f ‘(x) = 3x 2 (x 2 + x – 4) + (x 3 -2) (2x + 2)

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать производные ?

Производные финансовые инструменты могут быть рассчитаны несколькими способами в соответствии с функцией.Производная константы будет равна нулю. Существует множество правил вывода, которые мы можем применять в зависимости от характера функции, например, сумма, произведение, правило цепочки и т. Д.

f (x) = x 2 + 2x – 3

f ‘(x ) = 2x 2-1 + 2 (1) – 0

f ‘(x) = 2x + 2

Как быстро найти производную?

Используйте калькулятор неявной производной, чтобы быстро найти производную функции или алгебраического выражения. Вы получите результат дифференциации через несколько секунд.

Почему мы рассчитываем деривативы?

Мы вычисляем производные для вычисления скорости изменения одного объекта из-за изменения другого объекта. Например, dxdysimply означает, что мы вычисляем общее изменение, которое произошло в объекте x из-за изменения объекта y .

Что такое производная в математике?

В математике производная – это мера скорости изменения переменной.Например, мы можем рассчитать изменение скорости автомобиля за определенный период времени, используя время в качестве переменной.

Калькулятор второй производной на

– Онлайн-калькулятор второй производной

Производные определяются как нахождение скорости изменения функции по отношению к другим переменным.

Что такое калькулятор второй производной?

«Калькулятор второй производной Cuemath» – это онлайн-инструмент, который помогает вычислить значение второй производной для заданной функции.Онлайн-калькулятор второй производной Cuemath поможет вам рассчитать значение второй производной за несколько секунд.

Как пользоваться калькулятором второй производной?

Чтобы найти значение второй производной, выполните следующие действия:

  • Шаг 1: Введите функцию относительно x в указанные поля ввода.
  • Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти значение второй производной.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести различные функции.

Как найти второй калькулятор производной?

Производные имеет дело с такими переменными, как x и y, функциями f (x) и соответствующими изменениями переменных x и y. Производная функции представлена ​​как f ‘(x). Это означает, что функция является производной y по переменной x.Символы dy и dx называются дифференциалами. Процесс нахождения производных называется дифференцированием.

Вторая производная определяется как производная производной функции, также известной как двойное дифференцирование данной функции. Он представлен как f ” (x) или d 2 f / dx 2

Существуют общие функции и правила, которым мы следуем, чтобы найти производные

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.Cuemath находит решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенный пример:

Найдите значение второй производной 5x 3 + 2x 2

Решение:

f ‘(x) = d / dx (5x 3 + 2x 2 )

= d / dx (5x 3 ) + d / dx (2x 2 )

Используя умножение на константу и правило мощности,

= (5 × 3x 3–1 ) + (2 × 2x 2–1 )

= 15x 2 + 4x

f ” (x) = d 2 f / dx 2

= d / dx (15x 2 + 4x)

= 30x + 4

Следовательно, значение второй производной 5x 3 + 2x 2 равно 30x + 4

Точно так же вы можете использовать калькулятор, чтобы найти значение второй производной для следующего:

Калькулятор производной

| Шаги по поиску производной функции

Ниже приведены некоторые важные правила производной, которые используются при решении производной любой функции.Посмотри на них.

  1. d / dx (a) = 0 (где a – постоянная)
  2. d / dx (x) = 1
  3. d / dx (x n ) = nx n-1 [правило власти]
  4. d / dx (e x ) = e x [правило экспоненты]
  5. d / dx (журнал x) = 1 / x
  6. d / dx (a x ) = a x logx
  7. d / dx (f + g) = d / dx (f) + d / dx (g)
  8. d / dx (f-g) = d / dx (f) – d / dx (g)
  9. d / dx (ay) = a dy / dx
  10. (ф.g) ‘= f’g + g’f [правило продукта]
  11. (f / g) ‘= (f’g – g’f) / (g 2 ) [правило частного]
  12. d / dx (f (g (x) = f ‘(g (x)) g’ (x) [цепное правило]]
  13. Для тригонометрических функций:
  • d / dx sin (x) = cos (x)
  • d / dx cos (x) = -sin (x)
  • d / dx tan (x) = sec 2 (x)
  • d / dx кроватка (x) = -cosec 2 (x)

Пример

Вопрос: Решите производную от 6 / √z 3 + 1 / (8z 4 ) – 1 / (3z 10 )

Решение:

Данная функция равна 6 / √z 3 + 1 / (8z 4 ) – 1 / (3z 10 )

d / dz (6 / √z 3 + 1 / (8z 4 ) – 1 / (3z 10 )) =?

= d / dz (6 z -3/2 + 1/8 (z -4 ) – 1/3 (z -10 )

= d / dz (6 z -3/2 ) + d / dz (1/8 (z -4 )) – d / dz (1/3 (z -10 ))

Примените правило мощности i.e d / dx x n = nx n-1

= 6 (-3/2) z -3/2 – 1 + 1/8 (-4) z -4-1 -1/3 (-10) z -10-1

= -9z -5/2 – 1/2 z -5 + 10/3 z -11

d / dz (6 / √z 3 + 1 / (8z 4 ) – 1 / (3z 10 )) = -9z -5/2 – 1/2 z -5 + 10/3 z -11

Онлайн калькулятор.У guru есть различные калькуляторы алгебры, которые можно использовать бесплатно и легко понять, и вы можете сделать любые свои вычисления легкими и быстрыми.

Калькулятор производной

с шагами – онлайн и бесплатно!

Почему может потребоваться расчет производной

На первый взгляд, деривативы нужны, чтобы набить головы уже перегруженным школьникам, но это не так.Рассмотрим машину, которая ездит по городу. Иногда он стоит, иногда едет, иногда тормозит, иногда ускоряется.

Допустим, он ехал 3 часа и проехал 60 километров. Затем, используя формулу из начальной школы, мы делим 60 на 3 и говорим, что она ехала со скоростью 20 км / ч. Мы правы? Что ж, отчасти верно. Получили «среднюю скорость». Но что от этого толку? На этой скорости машина может ехать 5 минут, а в остальное время ехать медленнее или быстрее.Что я должен делать?

А зачем нам знать скорость на все 3 часа маршрута? Разделим маршрут на 3 части по часу и рассчитаем скорость на каждом участке. Давайте. Допустим, у вас скорость 10, 20 и 30 км / ч. Здесь. Ситуация уже более ясная – в последний час машина ехала быстрее, чем в предыдущие.

Но это опять же в среднем.Что, если он просто ехал медленно полчаса за последний час, а затем внезапно ускорился и начал быстро двигаться? Да, может быть так.

Как мы видим, чем больше мы разбиваем наш трехчасовой интервал, тем точнее мы получим результат. Но нам не нужен «более точный» результат – нам нужен полностью точный результат. Это означает, что время нужно делить на бесконечное количество частей. А сама деталь – значит, будет бесконечно маленькой.

Если мы разделим на это время расстояние, которое машина прошла за бесконечно малый промежуток времени, мы также получим скорость. Но уже не средний, а «моментальный». И таких мгновенных скоростей тоже будет бесконечно много.

Если вы понимаете все вышеперечисленное, то вы понимаете значение производной. Производная – это скорость, с которой что-то меняется.Например, в нашем случае скорость – это скорость, с которой «пройденное расстояние» изменяется с течением времени. А может быть «скорость изменения температуры при изменении долготы к северу». Или «скорость исчезновения сладостей из вазы на кухне». В общем, если есть что-то, определенное значение «Y», которое зависит от некоторого значения «X», то, скорее всего, существует производная, которая записывается dy / dx. И это просто показывает, как значение y изменяется с бесконечно малым изменением значения x – как наше расстояние изменилось с бесконечно малым изменением во времени.

Создание производного калькулятора на Python | Джеймс Тейлор

Я впервые узнал о производных на втором курсе средней школы. Они поразили меня. Удивительно, что мы можем использовать бесконечность и пределы, чтобы найти определенные наклоны и скорости изменения. Конечно, мне пришлось применить это к своим знаниям в области информатики.

Одно из формальных определений производных:

Где f (x) – функция, a – точка, в которой нужно найти наклон, f ’(a) – наклон в точке.По сути, этот предел определяет скорость изменения между двумя точками, поскольку эти точки становятся все более близкими друг к другу и сходятся к точке без расстояния друг от друга (h = 0)

Я был вдохновлен на создание производной на моем компьютере. Для такой нормальной производной потребуется алгебра, а я не хотел преподавать ей алгебру. Мой компьютер тоже не понимал деления на ноль. Это усложняло задачу.

Я понял, что если мы сделаем h очень маленьким (h = 0,00000000001), мы сможем имитировать поведение вставки нуля без необходимости вставлять ноль в знаменатель и вызвать много шума.

Мое модифицированное уравнение выглядело так.

Это сделало его относительно простым. Мне просто нужна была функция, и я мог выполнить производную. Конечно, это не на 100% точно, но довольно близко.

Итак, я приступил к реализации своей программы. Мне понадобились некоторые базовые библиотеки, такие как математические, чтобы иметь наши тригнометрические, экспоненциальные и другие расширенные функции.

 из математического импорта * 

Затем я приступил к созданию уравнения, которое компьютер мог бы вывести.Он принимает значение, а затем возвращает результат функции.

 def f (x): 
return x ** 2 # Например, f (2) = 4

Достаточно просто. Теперь нам нужно вывести его. Я создал новую функцию Python, которая будет принимать два параметра. Первым параметром была функция – например, f – и значение, при котором нужно вычислить и найти наклон. Это было написано так.

 def derive (function, value): 
h = 0.00000000001
top = function (value + h) - function (value)
bottom = h
slope = top / bottom # Возвращает наклон до третьего десятичного знака
return float ( "%.3f "% slope)

Как видите, это работает очень хорошо.

 >>> derive (f, 2) 
4.0

Это хорошо, потому что даже если это приблизительное значение, оно все же вычисляет правильный наклон в x = 2 для f (x) = x² путем округления до ближайшего третьего десятичного знака

Вы можете попробовать это и с другими функциями, которые хотите определить. Например,

 def g (x): 
return sin (x) * cos (x) + exp (2 * x) + 2 * x ** 4-10

– это версия Python

Когда вы запускаете ее в функции извлечения Python со значением x = -1, вы получаете следующее .

 >>> g (-1) 
-8.319313430176228
>>> derive (g, -1)
-8.145

Если бы вы использовали калькулятор, WolframAlpha или свои навыки вычисления, вы бы обнаружили, что наклон функция при x = -1 на самом деле равна -8,145

Итак, теперь вы знаете, как реализовать производные от исчисления в программе на Python. Посмотрите, сможете ли вы вычислить площадь под кривой от a до b (интеграл), используя аналогичную логику!

Калькулятор производной с шагами | Калькулятор дифференцирования

Определение производного калькулятора

В математике есть два основных понятия: i.е. интеграция и дифференциация. Дифференциация – это обратная интеграция. Как и интеграция, расчет деривативов носит технический характер и требует должного внимания и внимания.

Калькулятор производных

– это онлайн-инструмент, который предоставляет комплексное решение для дифференциации. Калькулятор дифференциации помогает вычислить производные во время выполнения с помощью нескольких щелчков мышью.

Калькулятор производных

предоставляет полезные результаты в виде шагов, которые помогают пользователям и, в частности, студентам подробно изучить эту концепцию.

Для вычисления производных по x и y используйте калькулятор неявного дифференцирования с шагами.

Формулы, используемые калькулятором производных

Калькулятор производных обратных функций использует приведенную ниже формулу для нахождения производных функции. Формула производной:

$$ \ frac {dy} {dx} = \ lim \ limits_ {Δx \ to 0} \ frac {f (x + Δx) – f (x)} {Δx} $$

Помимо стандартной формулы производной, существует множество других формул, с помощью которых можно найти производные функции.{n-1} $$

  • Постоянное множественное правило:
  • $$ \ frac {d} {dx} [cf (x)] = c. \ frac {d} {dx} f (x) $$

    Здесь c = Действительное число

  • Правило суммы и разницы:
  • $$ \ frac {d} {dx} (f (x) \ pm g (x)) = \ frac {d} {dx} f (x) \ pm \ frac {d} {dx} g (x) $ $
  • Правило продукта:
  • $$ \ frac {d} {dx} [f (x) \ cdot g (x)] = f (x) \ frac {d} {dx} [g (x)] + g (x) \ frac {d } {dx} [f (x)] $$

    или

    $$ \ frac {d} {dx} [f (x) \ cdot g (x)] = f (x) g ‘(x) + g (x) f’ (x) $$
  • Правило частного:
  • $$ \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f (x)} {g (x)} \ right] = \ frac {g (x) \ frac {d} {dx} [f (x )] – f (x) \ frac {d} {dx} [g (x)]} {[g (x)] ^ 2} $$

    Этот веб-сайт предоставляет полное решение для дифференциации и всех расчетов, связанных с производными финансовыми инструментами.Найдите на этом веб-сайте калькулятор второй частной производной и производной векторного калькулятора, чтобы еще больше укрепить ваши представления о дифференциации.

    Как работает калькулятор производных финансовых инструментов?

    Калькулятор производных

    – это онлайн-инструмент, который использует формулы и правила производных для вычисления точных результатов. Калькулятор дифференциации позволяет пользователям вводить данные в форме уравнения.

    Затем калькулятор производной решает это уравнение, используя различные правила или формулы для производных.Если вы хотите рассчитать дальше, используйте калькулятор второй производной с шагами.

    Как найти производный калькулятор?

    Найти онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов несложно. Вы можете ввести полный URL-адрес этого калькулятора дифференциации в своей поисковой системе или выполнить поиск в Google по его имени. Вы можете выполнить поиск в Google с помощью «калькулятора производной» или «калькулятора обратной производной», и вы найдете наш последний и точный онлайн-инструмент.

    Как использовать калькулятор производных с шагами?

    Наш калькулятор дифференциации очень прост в использовании, так как вам необходимо следовать нижеприведенной процедуре:

    1. Напишите уравнение при первом вводе или загрузите любое уравнение, нажав кнопку.
    2. Выберите переменную, которую вы хотите дифференцировать.
    3. Выберите, сколько раз вы хотите различать.
    4. Щелкните по кнопке «РАССЧИТАТЬ».

    Сразу после нажатия кнопки «Рассчитать» наш калькулятор дифференциации решит ваше уравнение и предоставит подробные результаты. Эти результаты помогут вам понять и изучить концепцию, практикуясь во время выполнения.

    Калькулятор производных производных

    – Как это работает – Получить образование

    Калькулятор частной производной на этой веб-странице вычисляет частную производную введенной вами функции символически с помощью компьютерной системы алгебры, и все это за кулисами.Система компьютерной алгебры – это интересное программное приложение, которое может практически усваивать формулы, а также по порядку использовать все существующие производные правила. Он следует тем же шагам, что и человек при определении производной.

    О дифференциации и производных финансовых инструментах

    Дифференцирование и производные – чисто математические понятия. Тем не менее, важность этих инструментов применима и в повседневной жизни. Эти влиятельные устройства широко используются в биологии, медицине, физике, экономике, финансах, химии, космических технологиях, а также в различных других областях науки.Человек может усомниться в ценности этих математических приемов в повседневной жизни. Вы можете быстро понять эту простую идею. Ваш регулярный ежемесячный или двухмесячный расчет соответствует правилу дифференциации. Как именно? Эта пропорция дает вам размер оплаты труда, который является просто правилом дифференциации.

    Читайте также: Калькулятор двойного интеграла – полный обзор

    Дифференциация – это процедура оценки количества побочных продуктов.Эти суммы различаются. Связь зависимости или независимости помогает установить производные величин. Примечательно, что побочные продукты используются по-разному в разных разделах математики с небольшими вариациями в количествах, сохраняя при этом определение дифференциации одним и тем же. Например, в исчислении производная определяет изменение входных данных функции.

    Читайте также: Калькулятор расчетов – подробное руководство

    Что касается зависимых, а также независимых переменных, это скорость изменения зависимой переменной «y» относительно независимой переменной «x».«В дифференциальной геометрии принцип дифференциации несколько искажен. Производная – это наклон кривой на множитель на кривой. Другими словами, это наклон касательной с тем же коэффициентом на кривой. Следует иметь в виду, что побочный продукт линии является постоянным, поскольку для любой прямой линии нет цены корректировки.

    Калькулятор производных – понимание на примере

    Найти частную производную признака вручную чрезвычайно просто.Если вы в настоящее время понимаете, как делать типичную производную. При определении частичного побочного продукта мы управляем функцией 2 или более независимых переменных. Например, значение признака f (x, y) = x + y зависит от независимых переменных x. Так же, как и y, и, как следствие, это функция с двумя переменными.

    Частная производная этого признака относительно x обозначается как ∂ f ⁄ ∂ xf (x, y), где ∂ – частная производная. Тогда как f – это функция, а x – переменная, к которой она относится.Также целесообразно опустить f и записать обозначение как ∂ ⁄ ∂ x.

    При определении частной производной по переменной. Просто отдельные относительно этой переменной, обрабатывая другие независимые переменные как константы. Например, при вычислении ∂ f ⁄ ∂ x (yx2). Мы отделены друг от друга относительно x и работаем с y, как если бы он был непротиворечивым. Это приводит к тому, что ∂ f ⁄ ∂ x (yx2) = 2yx.

    Заключительные слова

    Поиск или вычисление производных элементарных функций – не сложная работа.Тем не менее, вычисление побочных продуктов более высокого порядка оказывается затруднительным. При решении математических задач оказывается необходимым не терять время. Тем не менее, расчет деривативов занимает много времени. Математики с помощью инженеров нашли прибыльный способ решить этот очень сложный калькулятор. Эти калькуляторы широко используются в настоящее время. Вам необходимо указать ценность или переменную, а ваше решение, несомненно, будет соответствовать. Несколько таких калькуляторов.Большинство из них предназначены для решения математических задач на элементарных уровнях. Тем не менее, несколько калькуляторов производных используют уникальные алгоритмы и настройки для исправления производных более высокой степени и проблем. Также доступны специальные программы, которые могут помочь вам решить математические задачи.

    Читайте также: Калькулятор определителей – легкий способ выучить

    Mathematica, а также Matlab – это два программных устройства для математики.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *