Онлайн найти пределы функции: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

Содержание

lim онлайн

Вы искали lim онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и бесконечный калькулятор, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «lim онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim онлайн,бесконечный калькулятор,вычисление пределов онлайн с подробным решением бесплатно,вычислить предел последовательности онлайн,вычислить предел последовательности онлайн с подробным решением,вычислить предел числовой последовательности,вычислить пределы не пользуясь правилом лопиталя,замечательные пределы калькулятор онлайн,замечательный предел калькулятор онлайн,замечательный предел онлайн калькулятор,калькулятор онлайн замечательный предел,калькулятор онлайн пределы с подробным решением,калькулятор онлайн решение пределов с подробным решением,калькулятор пределы с подробным решением,калькулятор решение пределов с подробным решением,мти найдите предел,найдите предел мти,найти предел онлайн,найти предел последовательности онлайн,найти предел последовательности онлайн с решением,онлайн вычислить предел последовательности,онлайн калькулятор замечательные пределы,онлайн лимиты,онлайн решение последовательностей,онлайн решение пределов подробно,онлайн решение пределов с дробями,правило лопиталя онлайн калькулятор с подробным решением,предел числовой последовательности калькулятор онлайн,решение лимитов онлайн с подробным решением,решение онлайн млит,решение последовательностей онлайн,решение пределов онлайн бесплатно с подробным решением,решение пределов онлайн с дробями,решение пределов подробно онлайн,решение пределов последовательности онлайн,решение пределов с дробями онлайн,решение пределов с подробным решением онлайн калькулятор,решить онлайн лимит.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление пределов онлайн с подробным решением бесплатно).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim онлайн Онлайн?

Решить задачу lim онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Онлайн-калькулятор вычисления пределов | СпецКласс

Как быстро решить предел? Воспользоваться любым онлайн-калькулятором, ибо их сейчас предоставляется невероятное множество. Но вот только не все онлайн калькуляторы вам с этим помогут.

Неделю назад меня попросили решить один простой пример, которые с помощью правила Лопиталя решался в 1 строчку. Как любой нормальный человек, я не стал решать его самостоятельно и решил найти онлайн-калькулятор, который сделает это за меня. Тем более, что пример был плёвый:

В итоге я нашел парочку онлайн-калькуляторов, которые посчитали мне правильный ответ примера, но к сожалению, содержали ошибки внутри самого решения. И вот как это у них получилось.

Есть классный математический сервис, который называется Wolframalpha. Это международная компания, которая выпускает серьезный софт для ученых: в частности Mathematica. У них есть онлайн-версия, которая позволяет получить ответы на множество вопросов, особенно если вы знаете английский. Виджет, взятый с их сайта, расположен ниже, и с его помощью вы можете получить ответ любого предела, который вам задали в институте.

Так вот, как работают многие онлайн-калькуляторы в Интернете? Сперва надо ввести ваш пример. Для этого в калькуляторе есть поля ввода самого предела и поле для ввода значения, к которой стремится переменная в вашем пределе. В случае с виджетом от wolframalpha, в поле “limit of ” нужно ввести сам предел (используя правила написания формул, такие же как в LaTex), а в поле “as x approaches” ввести значение, к которому стремится переменная Х из вашего предела. Например:

  • если Х стремится к 2, то пишем просто ” 2 “.
  • если Х стремится к единице слева, пишем ” 1-0 “
  • если Х стремится к минус бесконечности, пишем ” – infinity “

Не волнуйтесь, если ошибетесь: виджет либо выдаст ошибку, либо сам исправит ваш запрос. В любом случае помимо ответа вы увидите, какой предел возьмет виджет и чему он будет равен?

А что делают онлайн-калькуляторы на других сайтах? Они “парсят” ваш предел, и с помощью LaTex записывают его в красивом виде. Дальше им нужно его решить, но раз вы ищите решение предела онлайн, или же просто вбили в поиске онлайн-калькулятор решения пределов, то скорее всего вы сами толком не знаете, как должно выглядеть правильное решение этого примера. Из распарсенного выражения на калькуляторе происходит несколько преобразований (либо нахождение производных, либо стандартные упрощения), а затем подставляется правильный ответ пример. Который получен, например,с помощью того самого виджета, который вы видите на этой странице.

Еще один минус в работе таких “онлайн-калькуляторов” состоит в том, что их решение может быть неоптимальным. Очень часто вас просят найти предел определенным способом. Калькуляторы же ищут решения стандартным способом, одинаковым для всех. Так что если вы учитесь в серьезном техническом вузе, или ваш преподаватель серьезно относится к проверке ваших занятий, то вас скорее всего раскусят). Единственный способ избежать этого – понимать, что написано в решении вашего примера. В видеоуроках я разбираю, как подходить к тем или иным примерам, и на что стоит обращать внимание. Ну а после того, как вы самостоятельно решите пару десятков примеров, у вас выработается собственная “чуйка”.


как понять, вычислить, подробное объяснение с решением

 

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда

х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

 

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на

х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители.

Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

 

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Предел функции на бесконечности. (10 класс)

1. Занимательная математика

2. Предел функции на бесконечности.

3. Предел функции на бесконечности.

Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?
А, что такое бесконечность?
Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных,
неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характекстика чисел.
Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.
Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на
бесконечнсть, если ее безгранично продолжать влево или вправо(вних или вверх).

4. Предел функции на бесконечности.

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции
содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на
математическом языке:
Будем читать наше
выражение как:
предел функции y=f(x) при x
стремящимся к плюс
бесконечности равен b

5. Предел функции на бесконечности.

Посмотрим немного другой случай:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции
содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на
математическом языке:
Будем читать наше
выражение как:
предел функции y=f(x) при x
стремящимся к минус
бесконечности равен b

6.

Предел функции на бесконечности.Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:
Тогда принято записывать как:
или
предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

7. Предел функции на бесконечности.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) f(x)- непрерывная функция
3)
4)
Решение:
Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞).
Покажем пару примеров нашей функции.

8. Предел функции на бесконечности.

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими
утверждениями:
1) Для любого натурально числа m справедливо следующее
соотношение:
2) Если
то:
а) Предел суммы равен сумме пределов:
б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

9. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x.
Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:
Ребята, вспомните предел числовой последовательности.
Получим:
Ответ:

10. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к
бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

11. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к
бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

12. Предел функции на бесконечности.

1) Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой
что предел при x стремящимся к плюс бесконечности
равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
2) Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой
что предел при x стремящимся к плюс бесконечности
равен 5 и функция возрастает.
3) Найти пределы:
4) Найти пределы:

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Пояснения к калькулятору

  1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
  2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
  3. ⌫ – удалить в поле ввода символ слева от курсора.
  4. C – очистить поле ввода.
  5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
  6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. 2}(решить неравенство)

    Решение систем уравнений и неравенств

    Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

    Вычисление выражений с логарифмами

    В калькуляторе кнопкой loge(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием “e”: loge(x) – это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

    $$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

    Вычисление пределов функций

    Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

    Решение интегралов

    Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
    ∫ f(x) – для неопределенного интеграла;
    ba∫ f(x) – для определенного интеграла.

    В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

    Вычисление производных

    Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке “x”. Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
    f'(x) – производная первого порядка;
    f”(x) – производная второго порядка;
    f”'(x) – производная третьего порядка.
    fn(x) – производная любого n-о порядка.

    Действия над комплексными числами

    Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр. ). Комплексное число обзначается символом “i” и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

    .

    Предел функции – пределы. Предел функции в заданной точке

                                         

    Предел функции

    Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, – такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

    Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, предел функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, состоящий из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке предела, если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такой предел существует, то говорят, что функция расходится.

    Наиболее часто определение предела функции формулируется на языке окрестностей. тот факт, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки объема, это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к этой точке. но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, рассмотрим предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция, сами концы интервала в комплект не входит.

    В общем случае необходимо точно указать, как функции конвергенции, которые вводят т. н. выбор подмножества области определения функции, а затем сформулировать определение предела функции по заданной базе данных. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки-частный случай такой базы множеств.

    С расширенной реальной линии можно построить базу окрестностей бесконечно удаленной точки, это является допустимым описание предела функции в качестве аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности в заданную точку. предел последовательности, как предел функции натурального аргумента, как раз предоставляет пример сходимости по базе “стремление аргумента к бесконечности”.

    Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заданного значения области значений существует окрестность этого значения такова, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых будут находиться за пределами указанной области.

    Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция непрерывна в данной точке.

    Предел функции – одно из основных понятий математического анализа.

    Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

    1. Предел функции при стремлении х к бесконечности

    Сложность: лёгкое

    1
    2. Предел дробной функции в данной точке

    Сложность: лёгкое

    1
    3. Предел степенной функции

    Сложность: лёгкое

    1
    4. Приращение тригонометрической функции

    Сложность: среднее

    2
    5. Предел дробной функции, неопределённость (∞/∞)

    Сложность: среднее

    3
    6. Предел дробной функции, неопределённость (0/0)

    Сложность: среднее

    3
    7. Предел функции, содержащей квадратные корни, домножение на сопряжённое выражение

    Сложность: среднее

    4
    8. Предел функции, содержащей квадратные корни

    Сложность: среднее

    4
    9. Предел дробной функции, неопределённость (0/0), формула суммы кубов

    Сложность: сложное

    3
    10. Предел тригонометрической функции

    Сложность: сложное

    3
    11. Приращение квадратичной функции

    Сложность: сложное

    2
    Калькулятор лимитов

    : Wolfram | Alpha

    Что такое лимиты?

    Пределы, основополагающий инструмент в исчислении, используются для определения того, приближается ли функция или последовательность к фиксированному значению, когда ее аргумент или индекс приближается к заданной точке.

    Пределы могут быть определены для дискретных последовательностей, функций одного или нескольких действительных аргументов или комплексных функций. Для последовательности, индексированной по набору натуральных чисел, предел считается существующим, если, как, значение элементов произвольно близко к.

    Говорят, что функция с действительным знаком имеет предел, если, поскольку ее аргумент взят произвольно близким к, ее значение можно сделать сколь угодно близким к. Формально определенная функция имеет конечный предел в точке, если для всех существует такой, что всякий раз. Это определение может быть расширено или доведено до бесконечности и до многомерных и сложных функций.

    Для функций одной действительной переменной, к предельной точке можно приблизиться либо справа / сверху (обозначено), либо слева / снизу (обозначено).В принципе, это может привести к разным значениям, и считается, что предел существует тогда и только тогда, когда пределы как сверху, так и снизу равны:. Для многомерных или комплексных функций существует бесконечное количество способов приблизиться к предельной точке, и поэтому эти функции должны соответствовать более строгим критериям, чтобы существовало уникальное предельное значение.

    В дополнение к формальному определению существуют другие методы, которые помогают в вычислении пределов. Например, алгебраическое упрощение может использоваться для устранения рациональных особенностей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе, а правило Лопиталя используется при обнаружении неопределенных пределов, которые появляются в форме неприводимого или.

    Как Wolfram | Alpha решает проблемы с ограничениями

    Wolfram | Alpha вызывает встроенную функцию Limit системы Mathematica для выполнения вычислений, которые не обязательно выполняют вычисления так же, как это делал бы человек. Обычно функция ограничения использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложные математические операции.

    В дополнение к этому критически важно понимание того, как человек будет принимать ограничения и воспроизводить понятные человеку шаги, и благодаря нашей пошаговой функциональности Wolfram | Alpha также может продемонстрировать методы, которые человек будет использовать для вычисления пределов . Wolfram | Alpha использует такие методы, как правило Лопиталя, теорема сжатия, композиция пределов и алгебра пределов, чтобы в понятной форме показать, как вычислять пределы.

    Калькулятор лимита онлайн

    Студентам часто бывает очень сложно решить математические задачи, направленные на поиск предела. Они требуют времени и больших усилий. Использование калькулятора лимитов может быть простым и быстрым способом преодолеть эти трудности.Чтобы получить правильный ответ, вам сначала нужно ввести переменную и точку, в которой вы принимаете лимит. Введя правильное выражение и нажав соответствующую кнопку, вы окажетесь в секундах от правильного решения. Вы можете проверить, верен ли полученный ответ, и использовать другие возможности этого калькулятора, чтобы справиться с большим количеством математических заданий.

    Пример 1 . Для расчета лимита

    При прямой подстановке x = 1 показывает, что числитель и знаменатель функционируют

    становится равным нулю, то есть имеет неопределенность 0/0.
    Для выявления неопределенности умножьте выражение, содержащее сопряженный с ним корень, и примените разность квадратов. Для данного примера преобразование будет следующим

    Далее разложите числитель правила разности квадратов

    Пример 2. Для определения предела функции

    Смотрите, есть неопределенность 0/0.
    Рациональность избавиться от знаменателя

    Предел функции – 8.

    Пример 3. Для расчета лимита

    Многие из Вас не знают, как найти предел функции. Ниже раскрыта методика расчета.
    Существует предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножьте и разделите на сопряженный множитель и воспользуйтесь правилом разности квадратов

    .

    Граничные функции равны -2,5.

    Расчет таких пределов фактически ограничивается выявлением иррациональности, а затем заменой переменной

    Limit Calculator отзывы покупателей

    Помогите решить предел 2x-7 (рывок) 3x² + 4x + 5.X стремится к бесконечности.

    Чтобы научиться рассчитывать перераспределение, вам необходимо знать и понимать основные элементарные функции. Ниже представлена ​​таблица, в которой представлены перераспределения этих функций с пояснениями и подробным решением.

    Это больше похоже на магию, чем на математику …

    Помимо «математики для чайников» рассматриваются и более сложные темы и примеры, при этом в любом случае автор старается максимально подробно разъяснить практические задачи.

    По нашему правилу мы попробуем подставить бесконечность в функцию. Что мы получаем наверху? Бесконечность. А что происходит ниже? Тоже бесконечность. Итак

    Чертовы ограничения, как их решить? Не понимаю нихрена

    Мои методические разработки не отвечают на вопрос, ЗАЧЕМ МНЕ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас это никогда не понадобится. Это факт.

    Я сейчас ударю головой, если не решу это уравнение …

    Желаю успешной прохождения курса, успешной сдачи тестов, зачетов и экзаменов!

    Чертовы пределы, как их решить в гуманитарных науках


    Последнее обновление: среда, 31 марта 2021 г. – 20:21
    Калькулятор лимитов

    | Лучший калькулятор лимитов с бесплатными шагами

    Введение в калькулятор пределов

    В математике пределы определяют производные, интегралы и непрерывность.Калькулятор пределов шаг за шагом предоставляет онлайн-решение, с помощью которого любой может решать предельные уравнения. Калькулятор пределов с шагами экономит ваше время, которое вы тратите на ручные вычисления, поскольку он дает быстрый и точный ответ.

    Как производные и интегралы, Limit также является неотъемлемой частью исчисления. Надо научиться вычислять интеграл? и что такое производная? чтобы изучить концепции предельных функций и решить предельные уравнения.

    Как определить Предел функции?

    Предположим, что «f» – это функция, а «b» – непрерывная величина (действительное число), уравнение в соответствии с формулой предела будет следующим:

    $$ \ lim_ {x \ to \ b} f \ left (x \ right) = \ text {L} $$

    Это показывает, что f (x) можно установить как можно ближе к L, сделав x ближе к b. В этом случае приведенное выше выражение может быть определено как предел функции f от x, когда x приближается к b, равно L. Калькулятор квадратичных формул поможет вам понять квадратичные предельные значения, а калькулятор многомерных пределов поможет вам решить предельные функции в режиме онлайн. .

    Как решить функцию ограничения вручную?

    Для решения предельных функций предположим, что x = 1, x 2 -1 / x-1 = 1 2 -1 / 1-1 = 0/0. Поскольку это не определено или неопределенно, нам нужен другой способ решить эту проблему.

    Вместо x = 1 попробуем подойти немного ближе:

    x 2 – 1) / (х – 1)
    0,25 1.0625
    0,45 1,2025
    0,9 1,810
    0. 2-1} {x-1} = 2 $$

    Расчет предельных функций вручную может занять много времени и требует специальных знаний. Калькулятор пределов с пошаговыми инструкциями разработан, чтобы вы могли быстро учиться и практиковаться, так как вы можете легко найти таблицу предельных значений калькулятора значений. На этом портале вы можете найти наш калькулятор площади трапеции или узнать, как найти длину дуги?

    Как калькулятор лимитов определяет лимиты?

    Для любой выбранной степени близости ε вычислитель многомерных пределов определяет интервал около x 0 (или ранее предполагалось b).Поскольку данные значения f (x) могут отличаться от L на величину, меньшую ε (т.е. если ε = | x – x 0 | <δ, то | f (x) - L | <ε).

    Калькулятор лимита шаг за шагом определяет, является ли данное число пределом или нет. Оценка предельных коэффициентов включает в себя корректировку функции для того, чтобы записать ее в наглядной форме. После определения и оценки решатель пределов использует формулу предела для вычисления предела функции в режиме онлайн.

    Вы также можете попробовать другие наши математические калькуляторы, такие как калькулятор кросс-произведений или калькулятор площади сектора, чтобы учиться и практиковаться в Интернете.

    Калькулятор пределов правил

    использует для оценки пределов

    Пределы используются для вычисления скорости изменения функции на протяжении всего анализа для получения ближайшего возможного значения. Например, область внутри изогнутой области может быть описана как пределы близких оценок прямоугольниками.

    Калькулятор стандартного отклонения помогает измерить изменение определенного набора значений, которые мы обнаруживаем при использовании предельных функций.

    Существует ряд методов, используемых для вычисления пределов, правила, которые использует онлайн-калькулятор пределов:

    Правило №1: Правила умножения пределов

    Для правил умножения пределов предельные произведения остаются неизменными для двух или более функций.Калькулятор пределов функций использует методы решения предельных значений и новейшие алгоритмы для получения точных результатов.

    Если существующий предел конечен и его x стремится к f (x) и для того же g (x), то это произведение пределов.

    Функция f (x) обычно содержит значение x, но не является обязательным. Его лучший пример – если

    f (x) = (x – 4) (x – 6) / 2 (x – 6)

    не определено при значении

    х = 6

    из-за деления на

    2 (6–6) = 0

    Теперь мы можем взглянуть на функцию, когда она приблизится к пределу.Теперь, если значение функции равно x = 6, чем ближе функция x приближается к 6, ее значение y становится ближе к 1. Такое использование метода умножения делает этот инструмент лучшим пределом для калькулятора функций, который вы найдете на Интернет.

    Вы также можете найти другие полезные онлайн-калькуляторы, такие как матричный калькулятор и калькулятор окружности.

    Правило № 2: Включив значение x

    Это простой метод, в котором мы добавляем значение x, к которому мы приближаемся. Если вы получили 0 (неопределенное значение) вручную, перейдите к следующему методу. 2-4 * 5 + 8} {5-4} = \ frac {25-12} {1} = 13 $$

    Калькулятор пределов рассчитает значение x и следит за тем, чтобы функция не оставалась непрерывной, и шаг за шагом покажет вам результаты.

    Узнайте больше о вычислениях по теореме Пифагора или воспользуйтесь калькулятором площади прямоугольника для практики и обучения.

    Правило № 3: Факторинг

    При оценке пределов, если первый метод дает сбой, решатель пределов с шагами использует технику факторизации. Методы факторизации позволяют калькулятору предельных значений шаг за шагом решать задачи, связанные с полиномиальными выражениями.2-3x-28} $$

    Теперь разложите уравнение на множители $$ = \; \ frac {(x-7) (x + 1)} {(x + 4) (x-7)} $$

    Здесь x-7 будет сокращаться, следующим шагом будет установка значения x $$ = \; \ frac {(4 + 1)} {(4 + 4)} \; = \; \ frac {5} {8} $$ Используйте калькулятор логарифмов или антилогарифм, чтобы точно определить пределы логарифма.

    Правило №4: Рационализируя числитель

    Функции, имеющие квадратный корень в числителе и полиномиальное выражение в знаменателе, требуют от вас рационализации числителя. Здесь очень удобен поиск пределов, так как пошаговый онлайн-калькулятор пределов сделает работу за вас.

    Пример: рассмотрим функцию, где x стремится к 13:

    $$ g (x) = \ frac {\ sqrt {x-4} -3} {x-13} $$

    Здесь включение x не выполняется, потому что мы получаем 0 в знаменателе, а факторизация не выполняется, поскольку у нас нет полинома для факторизации. В этом случае калькулятор предельного табличного метода умножает числитель и знаменатель на сопряжение.

    Для глубокого изучения полиномиальных вычислений используйте калькулятор суммирования или калькулятор ожидаемого значения, чтобы предсказать значение.

    Шаги к умножению числителя и знаменателя

    Калькулятор таблицы функций использует ограничение в 3 шага для умножения числителя и знаменателя. Эти шаги

    Шаг № 1: Умножение конъюгата сверху и снизу.

    Сопряжение нашего числителя: $$ \ sqrt {x-4} + 3 $$

    $$ \ frac {\ sqrt {x-4} -3} {x-13}. \ Frac {\ sqrt {x-4} +3} {\ sqrt {x-4} +3} $$

    $$ (x-4) +3 \ sqrt {x-4} -3 \ sqrt {x-4} -9 $$

    Шаг № 2: Отменить. Теперь он будет еще больше упрощен до x-13 за счет отмены одинаковых средних условий.После аннулирования:

    $$ \ frac {x-13} {(x-13) (\ sqrt {x-4} +3)} $$

    Теперь отмените x-13 сверху и снизу, оставив:

    $$ \ frac {1} {\ sqrt {x-4} +3)} $$

    Шаг № 3: Теперь, после включения 13 в это упрощенное уравнение, мы получаем результат 1/6.

    Найдите на нашем портале другие полезные калькуляторы, такие как калькулятор средней точки и калькулятор округления, чтобы иметь возможность полностью рассчитывать числа.

    Что такое калькулятор лимитов Calculatored?

    Предельная функция относится к сложным понятиям математики.Чтобы изучить предельные функции и их вычисления, нужно много практиковаться.

    Калькулятор пределов

    с шагами – это онлайн-инструмент, разработанный Calculatored, чтобы упростить эти вычисления. Наш калькулятор лимитов с пошаговыми инструкциями помогает пользователям экономить время при выполнении расчетов вручную.

    Как пользоваться калькулятором пределов с шагом?

    Наш многопараметрический калькулятор пределов прост и удобен в использовании. Вы можете загрузить пример уравнения для оценки предельных функций. Вы легко найдете лучший калькулятор лимита онлайн.Просто следуйте инструкциям ниже.

    Шаг №1: Выберите направление ограничения.

    Шаг № 2: Введите значение лимита, которое вы хотите найти в поисковике лимитов.

    Шаг № 3: Введите требуемую функцию.

    Шаг №4: Нажмите кнопку «Найти».

    Наш калькулятор пределов со свободными шагами мгновенно найдет предел необходимой вам функции.

    Мы надеемся, что наш многовариантный калькулятор лимитов помог вам в вашем обучении и практике. Вы также можете бесплатно использовать другие полезные бесплатные инструменты, такие как калькулятор уклона и калькулятор объема конуса.

    Предел функции калькулятора

    $$ + \ infty + \ infty = + \ infty $$ $$ – \ infty – \ infty = – \ infty $$
    $$ + \ infty – \ infty =? $$ $$ – \ infty + \ infty =? $$
    $$ 0 + \ infty = + \ infty $$ $$ 0 – \ infty = – \ infty $$
    $$ + \ infty + 0 = + \ infty $$ $$ – \ infty + 0 = – \ infty $$
    $$ \ pm k + \ infty = + \ infty $$ $$ \ pm k – \ infty = – \ infty $$
    $$ + \ infty \ pm k = + \ infty $$ $$ – \ infty \ pm k = – \ infty $$
    $$ + \ infty \ times + \ infty = + \ infty $$ $$ + \ infty \ times – \ infty = – \ infty $$
    $$ – \ infty \ times + \ infty = – \ infty $$ $$ – \ infty \ times – \ infty = + \ infty $$
    $$ 0 \ times + \ infty =? $$ $$ 0 \ times – \ infty =? $$
    $$ + \ infty \ times 0 =? $$ $$ – \ infty \ times 0 =? $$
    $$ k \ times + \ infty = + \ infty $$ $$ k \ times – \ infty = – \ infty $$
    $$ -k \ times + \ infty = – \ infty $$ $$ -k \ times – \ infty = + \ infty $$
    $$ \ frac {+ \ infty} {+ \ infty} =? $$ $$ \ frac {+ \ infty} {- \ infty} =? $$
    $$ \ frac {- \ infty} {+ \ infty} =? $$ $$ \ frac {- \ infty} {- \ infty} =? $$
    $$ \ frac {0} {+ \ infty} = 0 $$ $$ \ frac {0} {- \ infty} = 0 $$
    $$ \ frac {+ \ infty} {0} = + \ infty $$ $$ \ frac {- \ infty} {0} = – \ infty $$
    $$ \ frac {+ \ infty} {k} = + \ infty $$ $$ \ frac {- \ infty} {k} = – \ infty $$
    $$ \ frac {+ \ infty} {- k} = – \ infty $$ $ $ \ frac {- \ infty} {- k} = + \ infty $$
    $$ \ frac {k} {+ \ infty} = 0 ^ + $$ $$ \ frac {k} { – \ infty} = 0 ^ – $$
    $$ \ frac {-k} {+ \ infty} = 0 ^ – $$ $$ \ frac {-k} {- \ infty} = 0 ^ + $$
    $$ \ frac {0} {0} =? $$ $$ \ frac {k} {k} = 1 $$
    $$ \ frac {k} {0} = + \ infty $$ $$ \ frac {-k} {0 } = – \ infty $$
    $$ \ frac {0} {k} = 0 $$ $$ \ frac {0} {-k} = 0 $$
    $$ (\ pm k) ^ 0 = 1 $$ $$ 0 ^ {\ pm k} = 0 $$
    $$ 1 ^ {\ pm k} = 1 $$ $$ (\ pm k) ^ 1 = (\ pm k) $$
    $$ + \ infty ^ 0 =? $$ $$ – \ infty ^ 0 =? $$
    $$ 0 ^ {+ \ infty} = 0 $$ $$ 0 ^ {- \ infty} = 0 $$

    Исчисление I – пределы вычислений

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-5: Пределы вычислений

    В предыдущем разделе мы видели, что существует большой класс функций, который позволяет нам использовать

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \]

    для вычисления пределов.2} – 2x}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{\ left ({x – 2} \ right) \ left ({x + 6} \ right)}} {{x \ left ({x – 2} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} \ end {align *} \]

    Итак, разложив на множители, мы увидели, что можем сократить \ (x – 2 \) как из числителя, так и из знаменателя. 2} – 2x}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} = \ frac {8} {2} = 4 \]

    Обратите внимание, что это на самом деле то, что мы предполагали.2} – 2x}} = \ frac {{x + 6}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {provided}} x \ ne 2 \]

    Другими словами, два уравнения дают одинаковые значения, за исключением точки \ (x = 2 \), и поскольку пределы касаются только того, что происходит вокруг точки \ (x = 2 \), предел двух уравнений будет равен . Что еще более важно, в упрощенной версии мы получаем «достаточно хорошее» уравнение, и поэтому то, что происходит вокруг \ (x = 2 \), идентично тому, что происходит в \ (x = 2 \).

    Таким образом, мы можем взять предел упрощенной версии, просто подставив \ (x = 2 \), даже если мы не могли вставить \ (x = 2 \) в исходное уравнение и значение предела упрощенного уравнения будет таким же, как предел исходного уравнения.

    Кстати, 0/0, которое мы изначально получили в предыдущем примере, называется неопределенной формой . Это означает, что мы действительно не знаем, что это будет, пока мы не продолжим работу. Обычно ноль в знаменателе означает, что он не определен. Однако это будет верно только в том случае, если числитель также не равен нулю. Кроме того, ноль в числителе обычно означает, что дробь равна нулю, если знаменатель также не равен нулю. Точно так же все, что делится само по себе, равно 1, если мы не говорим о нуле.

    Итак, здесь действительно есть три конкурирующих «правила», и неясно, какое из них победит. Также возможно, что ни один из них не выиграет, и мы получим что-то совершенно отличное от undefined, нуля или единицы. Мы могли бы, например, получить из этого значение 4, чтобы выбрать число наугад.

    При простой оценке уравнения 0/0 не определено. Однако, принимая предел, если мы получаем 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какое из них является правильным, – это фактически вычислить предел.2}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({- 12 + 2h} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \, \, – 12 + 2h = – 12 \ end {align *} \] Пример 3 Оцените следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} \] Показать решение

    Этот предел потребует немного больше усилий, чем два предыдущих. Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если пытаемся просто оценить предел.2} \]

    Итак, если в первом и / или втором члене есть квадратный корень, рационализация устранит корень (и). Этот может помочь в оценке предела.

    Давайте попробуем рационализировать числитель в этом случае.

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ на 4} \ frac {{\ left ({t – \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right)}} \, \ frac {{\ left ( {t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]

    Помните, что для обоснования мы просто берем числитель (поскольку это то, что мы рационализируем), меняем знак у второго члена и умножаем числитель и знаменатель на этот новый член. 2} – 3t – 4}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что мы также не умножали знаменатель. Большинство студентов заканчивают занятия по алгебре, и им в голову приходит мысль постоянно умножать эти вещи. Однако в этом случае умножение очень усложнит задачу, и в конце концов вы все равно просто вычтите ее обратно.

    На этом мы почти закончили. Обратите внимание, что числитель можно разложить на множители, так что давайте сделаем это.

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ до 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]

    Теперь все, что нам нужно сделать, это заметить, что если мы вычленим «-1» из первого члена знаменателя, мы можем произвести некоторое сокращение. В этот момент проблема деления на ноль исчезнет, ​​и мы сможем оценить предел.

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{- \ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t + 1}} {{ – \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = – \ frac {5} {8} \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что, если бы мы умножили знаменатель, мы не смогли бы выполнить это отмену и, по всей вероятности, даже не увидели бы, что какое-то сокращение могло быть выполнено.2} + 5 & \ hspace {0.25in} {\ mbox {if}} y

    Вычислите следующие ограничения.

    1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \)
    2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \)
    Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \) Показать решение

    В этом случае действительно особо нечего делать. Делая ограничения, помните, что мы всегда должны смотреть на то, что происходит по обе стороны от рассматриваемой точки, когда мы приближаемся к ней.В этом случае \ (y = 6 \) полностью находится внутри второго интервала для функции, поэтому есть значения \ (y \) по обе стороны от \ (y = 6 \), которые также находятся внутри этого интервала. Это означает, что мы можем просто использовать этот факт для оценки этого предела.

    \ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} (1 – 3y ) \\ & = – 17 \ end {align *} \]
    b \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \) Показать решение

    В этой части и есть суть проблемы.В этом случае точка, для которой мы хотим взять предел, – это точка отсечки для двух интервалов. Другими словами, мы не можем просто вставить \ (y = – 2 \) во вторую часть, потому что этот интервал не содержит значений \ (y \) слева от \ (y = – 2 \), и нам нужно чтобы знать, что происходит по обе стороны от точки зрения.

    Для выполнения этой части нам нужно вспомнить факт из раздела об односторонних ограничениях, в котором говорится, что если два односторонних ограничения существуют и одинаковы, то нормальный предел также будет существовать и иметь такое же значение.+}} g \ left (y \ right) \]

    и так как два односторонних ограничения не совпадают

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \]

    не существует.

    Обратите внимание, что очень простое изменение функции приведет к существованию предела в \ (y = – 2 \), поэтому не забывайте, что ограничения в этих точках отсечки в кусочной функции никогда не существуют, как следующие пример покажет.

    Пример 5 Оцените следующий предел.-} {\ mbox {подразумевает}} y – 2 \\ & = 9 \ end {align *} \]

    Односторонние ограничения такие же, поэтому получаем

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) = 9 \]

    Нам нужно сделать еще одно ограничение. Однако нам понадобится новый факт об ограничениях, который поможет нам в этом.

    Факт

    Если \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) и \ (a \ le c \ le b \), то

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) \ le \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]

    Обратите внимание, что этот факт должен иметь для вас некоторый смысл, если мы предположим, что обе функции достаточно хороши.Если обе функции «достаточно хороши», чтобы использовать факт оценки предела, то мы имеем

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = f \ left (c \ right) \ le g \ left (c \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]

    Неравенство верно, потому что мы знаем, что \ (c \) находится где-то между \ (a \) и \ (b \), и в этом диапазоне мы также знаем \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (х \ право) \).

    Обратите внимание, что на самом деле нам не нужно, чтобы две функции были достаточно точными, чтобы факт был правдой, но это действительно хороший способ дать быстрое «обоснование» факта.

    Также обратите внимание, что мы сказали, что мы предположили, что \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, точки \ (x = c \)). Поскольку ограничения не заботятся о том, что на самом деле происходит в \ (x = c \), нам действительно не нужно, чтобы неравенство сохранялось в этой конкретной точке. Нам нужно только, чтобы он держался около \ (x = c \), поскольку это то, о чем заботится предел.

    Мы можем пойти еще дальше и получить следующую теорему.

    Теорема о сжатии

    Предположим, что для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) имеем

    \ [е \ влево (х \ вправо) \ ле ч \ влево (х \ вправо) \ ле г \ влево (х \ вправо) \]

    Также предположим, что,

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) = L \ ]

    для некоторых \ (a \ le c \ le b \). Затем

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} h \ left (x \ right) = L \]

    Как и в случае с предыдущим фактом, нам нужно только знать, что \ (f \ left (x \ right) \ le h \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) истинно вокруг \ (x = c \), потому что мы работаем с ограничениями, и их интересует только то, что происходит вокруг \ (x = c \), а не то, что на самом деле происходит в \ (x = c \).

    Теперь, если мы снова предположим, что все три функции достаточно хороши (опять же, это не требуется для того, чтобы сделать теорему сжатия истинной, это только помогает с визуализацией), тогда мы можем получить быстрый набросок того, что говорит нам теорема сжатия. .На следующем рисунке показано, что происходит в этой теореме.

    Из рисунка видно, что если пределы \ (f (x) \) и \ (g (x) \) равны при \ (x = c \), то значения функций также должны быть равны при \ ( x = c \) (здесь мы используем тот факт, что мы предполагали, что функции «достаточно хороши», что на самом деле не требуется для теоремы). Однако, поскольку в этой точке \ (h (x) \) «зажато» между \ (f (x) \) и \ (g (x) \), то \ (h (x) \) должно иметь такое же значение. .2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \] Показать решение

    В этом примере нам не поможет ни один из предыдущих примеров. Здесь нет необходимости в факторинге или упрощении. Мы не можем рационализировать, и односторонние ограничения не работают. Есть даже вопрос, будет ли существовать этот предел, поскольку у нас есть деление на ноль внутри косинуса в \ (x = 0 \).

    Первое, что следует заметить, это то, что мы знаем следующий факт о косинусе.

    \ [- 1 \ le \ cos \ left (x \ right) \ le 1 \]

    Наша функция не имеет просто \ (x \) в косинусе, но пока мы избегаем \ (x = 0 \), мы можем сказать то же самое для нашего косинуса.2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 0 \]

    Мы можем проверить это с помощью графика трех функций. Это показано ниже.

    В этом разделе мы рассмотрели несколько инструментов, которые мы можем использовать, чтобы помочь нам вычислить пределы, в которых мы не можем просто оценить функцию в рассматриваемой точке. Как мы увидим, многие ограничения, которые мы будем делать в следующих разделах, потребуют одного или нескольких из этих инструментов.

    Исчисление III – Пределы

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-1: Пределы

    В этом разделе мы рассмотрим ограничения, связанные с функциями более чем одной переменной. -}} е \ влево (х \ вправо) \]

    является левым пределом и требует, чтобы мы смотрели только на значения \ (x \), которые меньше \ (a \).

    Другими словами, у нас будет \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \) при условии \ (f \ left (x \ right) \) подходов \ (L \) по мере продвижения к \ (x = a \) (не допуская \ (x = a \)) с обеих сторон.

    Теперь обратите внимание, что в этом случае есть только два пути, по которым мы можем двигаться по направлению к \ (x = a \). Мы можем войти либо слева, либо справа.Затем, чтобы существовал предел функции одной переменной, функция должна приближаться к тому же значению, что и каждый из этих путей в направлении \ (x = a \).

    С функциями двух переменных нам придется проделать нечто подобное, за исключением того, что на этот раз (потенциально) потребуется намного больше работы. Давайте сначала обратимся к обозначениям и почувствуем, что мы собираемся просить в такого рода ограничениях.

    Мы будем просить принять предел функции \ (f \ left ({x, y} \ right) \), когда \ (x \) приближается к \ (a \) и когда \ (y \) приближается к \ ( б \).Это можно записать несколькими способами. Вот пара наиболее стандартных обозначений.

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a \ atop y \ to b} f \ left ({x, y} \ right) \ hspace {0.5in} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({a, b} \ right)} f \ left ({x, y} \ right) \]

    В этом курсе мы будем чаще использовать второе обозначение. Второе обозначение также немного более полезно для иллюстрации того, что мы на самом деле делаем здесь, когда принимаем предел.Принимая предел функции двух переменных, мы действительно спрашиваем, что делает значение \ (f \ left ({x, y} \ right) \), когда мы перемещаем точку \ (\ left ({x, y } \ right) \) все ближе и ближе к точке \ (\ left ({a, b} \ right) \), фактически не позволяя ей быть \ (\ left ({a, b} \ right) \).

    Как и в случае с ограничениями функций одной переменной, для существования этого ограничения функция должна приближаться к одному и тому же значению независимо от пути, который мы выбираем, когда приближаемся к \ (\ left ({a, b} \ верно)\). Проблема, с которой мы сразу же сталкиваемся, заключается в том, что существует буквально бесконечное количество путей, по которым мы можем идти по направлению к \ (\ left ({a, b} \ right) \). Вот несколько примеров путей, по которым мы могли бы пойти.

    Мы добавили пару прямых путей, а также пару «незнакомых» путей, которые не являются прямыми путями. Кроме того, мы включили сюда только 6 путей, и, как вы можете видеть, просто варьируя наклон прямых путей, их бесконечное количество, и тогда нам нужно будет рассмотреть пути, которые не являются прямыми путями.

    Другими словами, чтобы показать, что ограничение существует, нам технически потребуется проверить бесконечное количество путей и убедиться, что функция приближается к одному и тому же значению, независимо от пути, который мы используем для приближения к точке.

    К счастью для нас, тем не менее, мы можем использовать одну из основных идей из пределов Calculus I, чтобы помочь нам установить пределы здесь.

    Определение

    Функция \ (f \ left ({x, y} \ right) \) является непрерывной в точке \ (\ left ({a, b} \ right) \) если,

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({a, b} \ right)} f \ left ({x, y} \ right) = f \ left ({a, b} \ right) \]

    С графической точки зрения это определение означает то же самое, что и тогда, когда мы впервые увидели непрерывность в исчислении I.Функция будет непрерывной в точке, если на графике нет дыр или разрывов в этой точке.

    Как это может помочь нам установить ограничения? Что ж, как и в исчислении I, если вы знаете, что функция непрерывна в \ (\ left ({a, b} \ right) \), то вы также знаете, что

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({a, b} \ right)} f \ left ({x, y} \ right) = f \ left ({a, b} \ right) \]

    должно быть правдой. Итак, если мы знаем, что функция непрерывна в точке, все, что нам нужно сделать, чтобы взять предел функции в этой точке, – это вставить точку в функцию.

    Все стандартные функции, которые, как нам известно, являются непрерывными, остаются непрерывными, даже если мы сейчас подключаем более одной переменной. Нам просто нужно следить за делением на ноль, квадратными корнями из отрицательных чисел, логарифмами нуля или отрицательных чисел, и т. Д.

    Обратите внимание, что идею путей нельзя забывать, поскольку это хороший способ определить, не существует ли ограничения. Если мы сможем найти два пути, по которым функция приближается к разным значениям, когда мы приближаемся к точке, мы будем знать, что предела не существует.2} \ left ({- 1} \ right) + \ left (1 \ right) \ left (2 \ right) \ cos \ left ({2 \ pi + \ pi} \ right) = – 14 \]
    б \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({5,1} \ right)} \ frac {{xy}} {{x + y}} \) Показать решение

    В этом случае функция не будет непрерывной вдоль линии \ (y = – x \), поскольку мы получим деление на ноль, когда это верно. Однако для этой проблемы нам не стоит беспокоиться об этом, поскольку точка, в которой мы принимаем предел, находится не на этой линии.

    Следовательно, все, что нам нужно сделать, это подключить точку, поскольку функция в этой точке является непрерывной.

    \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({5,1} \ right)} \ frac {{xy}} {{x + y}} = \ frac {5} {6} \]

    В предыдущем примере не было никаких ограничений. Функции были непрерывными в рассматриваемой точке, поэтому все, что нам нужно было сделать, это подключить точку. Это, конечно, не всегда так, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров, которые более типичны из тех, что вы здесь увидите.2}}} \] Показать решение

    В этом случае функция не является непрерывной в рассматриваемой точке (явно деление на ноль). Однако это не означает, что ограничение невозможно. Мы видели много примеров этого в исчислении I, где функция не была непрерывной в рассматриваемой точке, но предел все же существовал. 2}}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({1, 1} \ right)} \ frac {{\ left ({2x + y} \ right) \ left ({x – y} \ right)}} {{\ left ({x – y} \ right) \ left ( {x + y} \ right)}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({1,1} \ right)} \ frac {{2x + y}} {{x + y}} \]

    Итак, как мы видели во многих примерах в исчислении I, после разложения на множители и отмены общих множителей мы приходим к функции, которая на самом деле может принимать предел.2}}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, y} \ right) \ to \ left ({1,1} \ right)} \ frac {{2x + y}} {{ х + у}} = \ гидроразрыва {3} {2} \]

    Прежде чем мы перейдем к следующему набору примеров, мы должны отметить, что ситуация в предыдущем примере – это то, что обычно происходило во многих предельных примерах / задачах в исчислении I. Однако в исчислении III это, как правило, исключение в примерах / проблемы, как покажет следующий набор примеров. Другими словами, не следует ожидать, что большинство из этих типов ограничений будут просто множителями, а затем будут существовать, как в Исчислении I.4}}} \) Показать решение

    В этом случае функция не является непрерывной в рассматриваемой точке, поэтому мы не можем просто вставить точку. Также обратите внимание, что, в отличие от предыдущего примера, мы не можем факторизовать эту функцию и выполнить некоторую отмену, чтобы можно было взять лимит.

    Следовательно, поскольку функция не является непрерывной в данной точке и поскольку мы не можем выполнить факторинг, существует, по крайней мере, шанс, что предел не существует. Если бы мы могли найти два разных пути для приближения к точке, дающей разные значения предела, мы бы знали, что предела не существует.Два наиболее распространенных пути для проверки – это оси \ (x \) и \ (y \), поэтому давайте попробуем их.

    Прежде чем это сделать, нам нужно выяснить, что именно мы имеем в виду, когда говорим, что собираемся приблизиться к точке на пути. Когда мы приближаемся к точке на пути, мы сделаем это, зафиксировав \ (x \) или \ (y \), или связав \ (x \) и \ (y \) с помощью некоторой функции. Таким образом, мы можем уменьшить предел до предела, включающего одну переменную, что мы знаем, как это сделать из Исчисления I.4}}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({0, y} \ right) \ to \ left ({0,0} \ right)} 0 = 0 \]

    Итак, одинаковый лимит по двум путям. Не поймите это неправильно. Это НЕ означает, что предел существует и имеет нулевое значение. Это означает только то, что предел имеет одно и то же значение на двух путях.

    Давайте взглянем на третий довольно распространенный путь. В этом случае мы будем двигаться к началу координат по пути \ (y = x \). Это то, что мы имели в виду ранее, говоря о соотношении \ (x \) и \ (y \) через функцию.4}}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ left ({x, x} \ right) \ to \ left ({0,0} \ right)} \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} \]

    Значит, значение отличается от двух предыдущих путей, и это означает, что ограничение не может существовать. 2}}} \) Показать решение

    Хорошо, с этим последним у нас снова есть проблемы с непрерывностью в источнике, и снова нет факторинга, который мы можем сделать, который позволил бы взять предел.3}} \ right) \ to \ left ({0,0} \ right)} \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2} \]

    Теперь у нас есть два пути, которые дают разные значения предела, поэтому предела не существует.

    Как показал этот предел, мы можем и часто должны использовать пути, отличные от строк, как мы это делали в первой части этого примера.

    Итак, как мы видели в предыдущем примере, ограничения здесь немного отличаются от тех, которые мы видели в исчислении I. Пределы нескольких переменных может быть довольно сложно оценить, и мы показали несколько примеров, где потребовалась небольшая работа. чтобы показать, что предела не существует.

    Приблизительные пределы графического калькулятора – Видео и стенограмма урока

    Применение команды TRACE

    В этом случае мы будем искать предел, поскольку x приближается к 2 из ( x + 1/ x – 1) или lim → 2 ( x + 1/ х – 1).

    Прежде чем использовать любой из этих методов для аппроксимации lim → 2 ( x + 1/ x – 1), важно установить РЕЖИМ и ОКНО в калькуляторе.Эти две команды настраивают калькулятор для работы с функциями этого типа.

    РЕЖИМ определяет, как будет работать калькулятор. Он определяет, находится ли калькулятор в обычном, научном или инженерном режиме; до скольких знаков после запятой округлится калькулятор; и другие важные параметры. Убедитесь, что установлен следующий режим:

    ОКНО установит размеры нашей декартовой системы координат; то есть, какую часть графика мы видим.В нашем примере полезное окно: Xmin = -5, Xmax = 5, Xscl = 1, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 1 и Xres = 1. Минимальные и максимальные значения – это границы графика, в то время как Xscl и Yscl определяют, какие отметки на осях x и y представляют. Xres – это переменная, которую мы можем просто принять равной 1.

    Первым делом нужно поместить уравнение для y = ( x + 1/ x – 1) в Y =:

    Затем построим график функции:

    После того, как функция отобразится графически, мы нажимаем команду TRACE.Мы используем эту команду для ввода значений x , близких к 2, поскольку мы пытаемся найти предел ( x + 1/ x – 1) при приближении x к 2. Мы выбираем следующие Значения x : 2,1, 2,01 и 2,001, которые постепенно становятся ближе к x = 2 справа:

    x = 2,1 дает нам y = 2,81.

    x = 2,01 дает нам y = 2.98.

    И x = 2,001 дает нам y = 2,99.

    Мы также выбираем некоторые значения x , которые постепенно становятся ближе к x = 2 слева: x = 1,9, 1,99 и 1,999.

    x = 1,9 дает y = 3,22.

    x = 1.99 дает нам y = 3,02.

    И x = 1,999 дает нам y = 3,00.

    Из этих данных мы можем ясно вывести, что, поскольку x приближается к 2, y приближается к 3; следовательно, lim → 2 ( x + 1/ x – 1) = 3.

    Применение команды ТАБЛИЦА

    Еще один способ приблизить этот предел – получить доступ к ТАБЛИЦЕ.Во-первых, мы должны настроить нашу ТАБЛИЦУ на отображение подходящего диапазона. Для этого мы нажимаем команду TBLSET и устанавливаем приблизительное значение x , на котором мы хотели бы сосредоточиться, и приращения, которые мы хотели бы охватить:

    После ввода y = ( x + 1/ x – 1) в наш Y =, мы используем команду GRAPH для просмотра рассматриваемой функции, за которой следует 2-я клавиша и ТАБЛИЦА:

    Мы видим, что по мере приближения x к 2 из x > 2, y приближается к 3.

    И поскольку x приближается к 2 из x <2, y приближается к 3.

    Заключение, lim → 2 ( x + 1/ x – 1) = 3. Это это то же приближение, которое мы получили из использования команды TRACE в сочетании с вводом значений x .

    Краткое содержание урока

    Некоторые ограничения может оказаться трудным приблизить вручную, но графические калькуляторы значительно упрощают этот процесс.Вы можете приблизить пределы, используя Texas Instruments TI-84 , который является одним из наиболее распространенных графических калькуляторов на рынке, с помощью команды TRACE или TABLE.

    Чтобы использовать команду TRACE, установите параметры MODE , который определяет, как будет работать калькулятор, и WINDOW , который устанавливает размеры нашей декартовой системы координат. Они должны быть установлены в соответствии с функцией, используйте GRAPH для отображения и вставьте числа, близкие к заданному значению x .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *