Определение момент инерции материальной точки – mekhanik7

1. Момент инерции материальной точки

,

где m – масса материальной точки; r – расстояние от точки до оси вращения.

2. Момент инерции системы материальных точек

.

3. Момент инерции абсолютно твердого тела

.

Сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или деформируется (изменяет свою форму или размеры).

Механика использует различные модели для описания механического движения.

Материальная точка (м.т.)– это тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело (а.т.т.) – это тело, которое в процессе движения не деформируется, то есть расстояние между любыми двумя точками в процессе движения остается неизменным.

3.1.2.

Законы движения.

• Первый закон ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Те системы отсчета, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). Следовательно, первый закон Ньютона утверждает существование ИСО.

• Третий закон Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки

,

здесь – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

– сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

• Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками (телами) действуют силы взаимного притяжения , прямо пропорциональные произведению масс

  иэтих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояниямежду ними. Силы тяготения направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (тела).

,

здесь – гравитационная постоянная..

3.1.3.

Принцип относительности.

Принцип относительности Галилея: внутри равномерно движущейся системы все механические процессы протекают так же, как и внутри покоящейся.

Принцип относительности Галилея-Ньютона:

• во всех инерциальных системах отсчета (ИСО) механические процессы протекают одинаково;

• никакой механический эксперимент не позволяет нам выделить из совокупности ИСО какую-либо одну преимущественную систему отсчета;

• все законы природы одинаковы во всех ИСО (инвариантны относительно перехода из одной ИСО в другую ИСО).

Отсюда следует:

3.1.4.

Пространство и время.

Интуитивные представления о понятиях пространства и времени имеет каждый человек на основании повседневного опыта.

Пространство — это совокупность отношений, выражающих взаимное расположение материальных объектов – расстояния между ними и ориентацию.

Время — это совокупность отношений, выражающих длительность и последовательность событий.

Тем самым пространство — это пространственные отношения между материальными объектами, а время — это временные отношения событий друг к другу.

Наиболее общее свойство пространства и времени — их взаимозависимость. Говорить о пространстве без материальных объектов и о времени без каких-либо процессов не имеет никакого смысла. Не существует пространственных и временных отношений по отдельности – любой процесс в природе происходит в некоторой области пространства, а любой материальный объект как-то меняется со временем. Поэтому имеет смысл говорить лишь о единых пространственно-временных отношениях между событиями. Однако для первого знакомства с их свойствами рассмотрим сначала временные отношения в данной точке пространстве и пространственные отношения в данный момент времени порознь. Такое условное разделение допустимо, пока рассматриваемые нами объекты движутся медленно.

А). Временные отношения в природе

Чтобы описать временные отношения, вводится эталонный процесс, называемый часами. В качестве часов можно использовать любой процесс, в котором периодически повторяется одно и то же состояние материального объекта. Примеры таких процессов хорошо известны из повседневной жизни: пульс у человека, движение Земли вокруг оси (сутки) и вокруг Солнца (год), колебания маятника.

Время одномерно. Это значит, что ответ на вопрос «Когда произошло событие А?» требует измерения и указания лишь одного числа — момента времени события t_А. Моменты времени различных событий могут быть упорядочены в соответствии с правилом «раньше – позже», после чего им могут быть сопоставлены геометрические точки на оси времени. За начало отсчета на такой оси можно выбрать произвольный момент времени

t_o. Моменты времени одного и того же события относительны, т.е. зависят от выбора начала отсчета времени, сами по себе они не могут служить объективными характеристиками временных отношений.

В качестве объективной характеристики временных отношений принято выбирать промежуток времени , равный разности между двумя моментами времени, отвечающими началу и концу какого-либо процесса. В отличие от них промежуток времени

обладает тем свойством, что его значение уже не зависит от выбора начала отсчета времени. Иными словами, в данной точке пространства промежутки времени инвариантны, т.е. неизменны по отношению к выбору начала отсчета времени. В этом проявляется важнейшее свойство времени — егооднородность.

Время изменяется только от прошлого через настоящее к будущему.

studfiles.net

Момент – инерция – материальная точка

Момент – инерция – материальная точка

Cтраница 1

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до этой оси.  [1]

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.  [2]

Согласно определению момента инерции материальной точки.  [3]

Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.  [4]

Исходя из определений момента инерции материальной точки и системы материальных точек, получить выражение для момента инерции однородного сплошного цилиндра массой т и радиусом R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.  [5]

Величина mr2 называется моментом инерции материальной точки массой m относительно оси вращения, находящейся на расстоянии г от материальной точки.  [6]

Зная, что моментом инерции материальной точки называется произведение массы материальной точки и квадрата расстояния от оси вращения до данной материальной точки, получить выражение для момента инерции однородного тонкого диска массой т и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости диска.  [7]

Килограмм-метр в квадрате равен моменту инерции материальной точки массой 1 кг, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения.  [8]

Килограмм-метр в квадрате равен моменту инерции материальной точки массой 1 кг, находящейся на расстоянии 1 м от оси инерции.  [9]

Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки и тела. Что называется моментом силы. Какая физическая величина называется импульсом момента силы.  [10]

Считая известным выражение для определения момента инерции материальной точки, получить выражение для момента инерции однородного тонкостенного цилиндра массой т и радиусом R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.  [11]

Из курса механики известно, что моментом инерции материальной точки М с массой m относительно некоторой оси называется произведение массы на квадрат расстояния от точки М до этой оси. Момент инерции относительно оси системы материальных точек равен сумме моментов инерции всех точек относительно той же оси. G относительно осей координат.  [12]

Каждое слагаемое внутри скобок последнего равенства представляет собой момент инерции материальной точки твердого тела. Сумма моментов инерции всех отдельных точек тела называется моментом инерции тела и обозначается через /, как уже было указано на стр.  [13]

Каждое слагаемое внутри скобок последнего равенства представляет собой момент инерции материальной точки твердого тела. Сумма моментов инерции всех отдельных точек тела называется моментом инерции тела и обозначается через I, как уже было указано на стр.  [14]

Единицей измерения моментов инерции в технической системе единиц является момент инерции материальной точки, имеющей массу, равную одной технической единице массы, и находящейся на расстоянии одного метра от данной оси или от данной точки.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Момент инерции материальной точки, системы материальных точек, твердого тела. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения.

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Моментом инерции системы материальных точек (или тела) относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса

– момент инерции твердого тела относительно оси.

Теорема Штейнера:

Момент инерции твёрдого тела вокруг произвольной оси равен моменту инерции тела вокруг оси, проходящей через центр массы данного тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр.

Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции и угловым ускорением β:

 

Работа постоянной и переменной силы. Элементарная работа внешних сил при вращении твердого тела.

A = |F|·|S|·cosa = (F·S)

Работа постоянной силы равняется скалярному произведению силы на перемещение.

Единица измерения работы – Джоуль. 1 Дж = 1 Н·м.

Работа переменной силы
Пусть тело движется прямолинейно с равномерной силой под углом £ к направлению перемещения и проходит расстояние S/ Работой силы F называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектора перемещения. A=F·s·cos £. А=0, если F=0, S=0, £=90º. Если сила непостоянная (изменяется), то для нахождения работы следует разбивать траекторию на отдельные участки. Разбиение можно производить до тех пор, пока движение не станет прямолинейным, а сила постоянной │dr│=ds.. Работа, совершенная силой на данном участке определяется по представленной формуле dA=F· dS· cos £= = │F│·│dr│· cos £=(F;dr)=Ft·dS A=F·S· cos £=Ft·S . Таким образом работа переменной силы на участке траектории равна сумме элементарных работ на отдельных малых участках пути A=SdA=SFt·dS= =S(F·dr).

cyberpedia.su

Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Штейнера-Гюйгенса.

Момент инерцииматериальной точки относительно оси вращения – произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.

Момент инерции твердого тела – это величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица момента инерции – килограмм-метр в квадрате.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R – расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции телаотносительно некоторой оси

15. вопрос момент инерции однородного цилиндра или диска (вывод).

 

 

20 Применение закона сохранения импульса для абсолютно упругого и абсолютно неупругого взаимодействия.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При m << M почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

 

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ₁‘ = υ₁ – υ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Модель. Упругие и неупругие соударения

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

Рисунок 1.21.3. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей и после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей и шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей , и образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами и равен 90°.

 

Модель. Соударения упругих шаров

21.Закон сохранения полной механической энергии Превращение одного вида механической энергии в другой А как вы считаете, обладает ли эта несущаяся вниз стихия энергией? Никто не будет спорить с тем, что да. А вот какой энергией будет обладать вода – кинетической или потенциальной? И вот тут оказывается, что ни первый, ни второй варианты ответа не будут верны. А верным окажется ответ – падающая вниз вода обладает обоими видами энергии. То есть, одно и то же тело может обладать обоими видами энергии. Их сумму называют полной механической энергией тела: E=E_к+E_п. Более того, вода в данном случае не только обладает обоими видами энергии, но их величина меняется по ходу движения воды. Когда наша вода находится в верхней точке водопада и еще не начала падать, то она обладает максимальным значением потенциальной энергии. Кинетическая же энергия в данном случае равна нулю. Когда вода начинает падать вниз, у нее появляется кинетическая энергия движения. По ходу движения вниз потенциальная энергия уменьшается, так как уменьшается высота, а кинетическая, наоборот, возрастает, так как увеличивается скорость падения воды. То есть, происходит превращение одного вида энергии в другой. При этом полная механическая энергия сохраняется. В этом и заключается закон сохранения и превращения энергии. Закон сохранения полной механической энергии Закон сохранения полной механической энергии гласит: полная механическая энергия тела, на которое не действуют силы трения и сопротивления, в процессе его движения остается неизменной. Когда же присутствует, например, трение скольжения, тело вынуждено тратить часть энергии на его преодоление, и энергия, естественно будет уменьшаться. Поэтому в реальности, при передаче энергии практически всегда существуют потери, которые приходится учитывать. Закон сохранения энергии можно представить в виде формулы. Если мы обозначим начальную и конечную энергию тела как E_1 и E_2, то закон сохранения энергии можно выразить так: E_1=E_2. В начальный момент времени тело имело скорость v_1 и высоту h_1: E_1=(mv_1^2)/2+mgh_1. В конечный момент времени со скоростью v_2 на высоте h_2 энергия E_2=(mv_2^2)/2+mgh_2. В соответствии с законом сохранения энергии: (mv_1^2)/2+mgh_1=(mv_2^2)/2+mgh_2. Если мы знаем начальные значения скорости и энергии, то мы можем высчитать конечную скорость на высоте h, или, наоборот, найти высоту, на которой тело будет иметь заданную скорость. При этом масса тела не имеет значения, так как она сократится из уравнения. Энергия также может передаваться от одного тела к другому. Так, например, при выпуске стрелы из лука потенциальная энергия тетивы, превращается в кинетическую энергию летящей стрелы.   23.Потенциальная энергия поля силы тяжести Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по модулю и направлению сила тяжести Работа этой силы равна изменению некоторой физической величины mgh (где h – высота, отсчитываемая от некоторого нулевого уровня), взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести: Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень. В то же время она равна работе внешних сил на перемещение тела с нулевого уровня на требуемую высоту. Потенциальная энергия Eр зависит от выбора нулевого уровня отсчета. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEр = Eр2 – Eр1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

cyberpedia.su

Момент инерции материальной точки. — Студопедия.Нет

                                                

Величина

является моментом инерции тела относительно оси вращения.

Из этого выражения следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

.

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной

.

Момент инерции представим в виде:

,

где DV — микроскопический объем, занимаемый точечной массой.

Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела:

.

16.Момент инерции тела. Теорема Штейнера.

См. билеты номер 12 и 15.

В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=Jс+ma^2.

Например, момент инерции диска относительно оси О’ в соответствии с теоремой Штейнера:

Определение момента инерции тонкого стержня

Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рис.27), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции , т.е.
Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

(п.1)

Момент инерции тонкого диска.

.

          

Вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

,

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R2 b, получим: .

Момент инерции шара.

Сплошной шар массы m и радиуса R можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm , радиусом r, толщиной dr (рис.35).

Рассмотрим малый элемент сферического слоя delta m с координатами x, y, z. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя –delta J_x, delta J_y, delta J_z, равны

Т. е. можно записать (п.26)

Так как для элементов сферического слоя x²+y²+z²=r² то

После интегрирования по всему объему слоя получим (п.27)

Так как, в силу симметрии для сферического слоя dJ_x=dJ_y=dJ_z=dJ , а , то
Интегрируя по всему объему шара, получаем

Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен (п.28)

21.Поле. Силовое поле. Работа и кинетическая энергия

Рассмотрим тело или систему тел в отсутствие внешних сил. Система тел, на которую не действуют внешние силы (или векторная сумма этих сил равна нулю), является замкнутой. В этом случае F=0.

В отсутствие внешних сил сохраняется еще одна скалярная величина. Если умножить уравнение одновременно слева и справа на вектор скорости, в левой части окажется производная от полного дифференциала, и уравнение примет вид

.                                            

Пусть F = 0. Тогда постоянной во время движения является величина

Она называется кинетической энергией частицы. При отсутствии внешних сил, т. е. в замкнутой системе, сохраняется кинетическая энергия как в случае одного тела, так и для системы тел. Когда на частицу действует внешняя сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае приращение кинетической энергии за время dt равно скалярному произведению . Величина dA =  — это работа, совершаемая силой F на пути dr .

Проинтегрируем соотношение вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:

Левая часть представляет собой приращение кинетической энергии на пути между точками 1 и 2, а величина   есть работа силы на пути 1—2.

Таким образом, работа сил, действующих на частицу, расходуется на изменение ее кинетической энергии:

Соответственно, изменение кинетической энергии частицы служит мерой работы, произведенной над частицей.

Если частица в каждой точке пространства подвержена действию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. В случае силового поля действие силы распределено по всему пространству. Рассмотрим такое поле сил, действие которого на частицу зависит только от положения частицы в пространстве. Такое поле можно описать с помощью некоторой скалярной функции φ(r), зависящей, а соответствии со сказанным, только от координат. Это случай специального, но часто встречаемого в природе потенциального поля, а функция φ(r), характеризующая поле, является потенциалом поля. Сила связана с потенциалом в каждой точке соотношением

,                                                     

где постоянная определяется свойствами частицы, взаимодействующей с полем сил.

Подставим соотношение ,в   и опять проинтегрируем вдоль траектории от точки 1 до точки 2. Получим : T ₂– T ₁+const(φ₂ – φ₁) = О,

т.е. величина T ₂+const ·φ₂ = T ₁+const ·φ₁

остается постоянной при движении вдоль траектории. Таким образом, для частицы в потенциальном поле внешней силы сохраняется, т. е. является интегралом движения, величина E = T+const·φ(r).

       Величина U = const·φ(r) называется потенциальной энергией частицы в поле φ(r), а выражение представляет собой полную механическую энергию частицы E = T + U.

Работа и энергия.

Работа равнодействующей силы на элементарное перемещение частицы ведет к приращению ее кинетической энергии (теорема о кинетической энергии):   

В случае конечного перемещения частицы, будем иметь ,

т.е. работа равнодействующей силы, действующей на частицу, независимо от природы этой силы, равна приращению кинетической энергии частицы. Если работа положительна, то кинетическая энергия частицы возрастает. Силы сопротивления уменьшают кинетическую энергию частицы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n частиц, которые имеют кинетические энергии .

Кинетическая энергия i-той частицы равна работе равнодействующей силы, действующей на эту частицу: . Полная работа сил, действующих на систему, будет

,

где величина есть сумма кинетических энергий составляющих систему частиц, и называется кинетической энергией системы. Следовательно, полная работа сил, действующих в системе, равна приращению ее кинетической энергии.

 

Диссипативные силы, их работа.

Действующие в системе силы мы разделяем на внешние и внутренние, а по характеру совершаемой ими работы – на консервативные и неконсервативные силы. Работу консервативных сил всегда можно представить в виде убыли скалярной функции – потенциальной энергии, зависящей от координат.

К классу неконсервативных сил относятся диссипативные силы.

Диссипативные силы – это силы трения и сопротивления. Выяснение физической природы диссипативных сил выходит за рамки механики. Отметим только, что это сложно устроенные силы электромагнитной природы. Так что, здесь мы ограничимся изложением экспериментально полученных законов трения.

В отличие от сил упругости, кулоновских сил и сил всемирного тяготения, которые зависят только от взаимного положения взаимодействующих частиц, силы трения зависят от относительных скоростей диссипативно взаимодействующих тел. Любую силу диссипативного взаимодействия можно представить в виде ,

где – относительная скорость взаимодействующих тел, а – положительная функция. Диссипативная сила всегда направлена обратно относительному движению тел.

Диссипативные силы также можно делить на внешние и внутренние. Например, в случае движения автомобиля, силы, действующие на него со стороны воздуха и покрытия дороги, это внешние диссипативные силы, а силы трения, действующие во внутренних узлах автомобиля – внутренние диссипативные силы.

Работа внешних диссипативных сил, в зависимости от выбранной системы отсчета, может быть как положительной, так и отрицательной.

Независимо от выбора системы отсчета, работа внутренних диссипативных сил всегда отрицательна.

Полная работа, совершенная в системе диссипативными силами, есть сумма работ всех парных сил диссипативного взаимодействия:

Заметим, что в разных системах отсчета результаты, полученные для работы внутренних диссипативных сил, совпадают

Кинетическая энергия

Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ – в джоулях). В более общем смысле энергия – это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т. д. Механическая энергия является характеристикой движения и взаимодействия тел. Она зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v₁ до v₂.

Как было отмечено в §17, работу постоянной силы вычисляют по формуле А=Fscosa. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то cosa=1 и А=Fs. По второму закону Ньютона F=ma. В § 2 было показано, что для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула

v₂=v_o²+2as.

Из этой формулы при v_о=v₁ и v=v₂ Следует, что

s=(v₂²-v₁²)/2a.

Подставив значения F и s в формулу работы, получим

А=mv₂²/2-mv₁²/2 (3.12).

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины mv₂²/2.

Выше отмечалось, что механическая работа есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы (3.12) стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина mv₂²/2 представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается W_к. Следовательно,

W_к=mv₂²/2. (3.13)

С учетом (3.13) формулу (3,12) можно записать в виде

А=W_k2-W_k1=DW_k, (3.14)

т.е. работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела, работа силы положительна (т.е. A>0). Из формулы (3.14) видно, что в этом случае W_k2-W_k1>0, т.е. W_k2>W_k1. Следовательно, когда сила совершает положительную работу, кинетическая энергия тела увеличивается. Когда же направление силы противоположно направлению перемещения, то A<0 и W_k2-W_k1<0, т.е. W_k2<W_k1. Следовательно, когда сила совершает отрицательную работу, кинетическая энергия тела уменьшается.

Потенциальная энергия

 

Определим работу, совершаемую силой тяжести F_т при переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки Ds_k, каждый из которых можно считать прямолинейным.

На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F_т составляет с перемещением Ds_k угол a_k. Поэтому на данном участке работа силы тяжести

DA_k=F_т·Ds_k·cos(a_k). (3.15)

Спроецируем участок Ds_k на вертикаль BD. Его проекция

Dh_k=Ds_k·cos(a_k). (3.16)

Из (3.15) и (3.16) имеем DA_k=F_т·Dh_k. Очевидно, что работа A_BC силы тяжести F_т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ Dh_k на всех участках Ds_k этого пути:

ABC=F_т(h₁-h₂)=mgh₁-mgh₂ (3.17)

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W_п. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

W_п=mgh. (3.18)

С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде

A_BC=W_п1-W_п2=-(W_п2-W_п1)=-DW_п (3.19)

т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.

Из рис. видно, что работа A_BD, совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A_BC=mgh₁-mgh₂. Следовательно, A_BD=A_BC. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.

В § 12 отмечалось, что силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным. Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения – потенциальным. Из формулы (3.19) следует, что работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В § 10 было показано, что в результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W_п=kх²/2, где k – жесткость пружины, x – ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле

A=W_п1-W_п2= kх₁²/2- kх₂²/2=-DW_п (3.20)

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергией этого тела и обозначают W.

W=W_п+W_k (3.21)

 

studopedia.net

2. Динамика вращательного движения материальной точки и твердого тела Краткая теория

Эффективность воздействия силы на тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, определяется векторным произведением:

, (2.1)

где – радиус-вектор точки приложения силы, – момент силы относительно оси вращения (рис. 2.1). На рис. 2.1. ось вращения проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль момента силы можно представить в виде:

,

где –плечо силы относительно точки О (т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила). Рисунок 2.1 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент силы , и векторлежат в плоскости рисунка. Векторперпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Для отдельно взятой частицы момент импульса относительно точки О (рис. 2.2) определяется векторным произведением:

, (2.2)

где – импульс частицы. Модуль вектора момента импульса можно представить в виде:

г

O

де- длина перпендикуляра, опущенного из точкиО на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки О.

l

Р

2.1

Рис.2.2. Наглядное изображение момента импульса частицы массойm относительно точки О

исунок 2.2. выполнен в предположении, что точкаО, относительно которой берется момент импульса , и векторлежат в плоскости рисунка. Векторперпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения равен произведению m массы точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:

. (2.3)

Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси называется физическая величина, характеризующая способность данного тела запасать количество вращательного движения (т. е. момента импульса ):

, (2.4)

где w– угловая скорость. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения зависит от распределения массы данного тела вокруг выбранной оси и может быть рассчитан по формуле:

,

где r_i – расстояние элемента массы от оси вращения. То же в интегральной форме:

.

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объемуV, то:

. (2.5)

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой m и радиуса R	Проходит через центр шара

Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно произвольной оси:

, (2.6)

где J₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; – расстояние между осями;m – масса тела.

При вращении вокруг закрепленной оси выполняются законы, аналогичные первому и второму законам Ньютона для прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона для вращательного движения: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращения c постоянной угловой скоростью если равнодействующая всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю:

():. (2.7)

Второй закон Ньютона для вращательного движения: под действием момента внешних сил тело приобретает угловое ускорение

, (2.8)

Основное уравнение динамики вращательного движения для изолированной материальной точки:

, (2.9)

где – результирующий момент внешних сил, действующих на материальную точку, – момент импульса материальной точки.

Разбив тело на элементарные массы m_i, можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для материальной точки, входящей в систему точек имеет вид:

, (2.10)

где – результирующий момент внешних сил, действующих на-ю точку системы;– момент внутренних сил, действующих со стороны-ой точки на-ю;n – число точек в системе; -момент импульсаi–ой точки, входящей в состав системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек:

, (2.11)

где =главный момент внешних сил, действующих на систему материальных точек, = -момент импульса системы точек.

Частный случай системы материальных точек – твердое тело. Для твердого тела расстояние между точками не изменяется. Поэтому уравнение (2.11) справедливо и для твердого тела. В последнем случае есть момент импульса тела, – сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

ТАБЛИЦА АНАЛОГИЙ

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ	ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

studfiles.net

Мощность

Важнейшей инженерной динамической характеристикой является мощность, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени

. (53)

Уравнение (53) справедливо для работы, совершаемой равномерно во времени. В общем случае

. (54)

Динамика механической системы Основные определения

Механической системой называется такая совокупность материальных точек или тел, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Любое твердое тело является механической системой.

Внешние силы системы () – это такие силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела системы.

Внутренние силы системы () – это силы, с которыми тела данной системы действуют друг на друга.

Свойства внутренних сил системы: В соответствии с третьим законом Ньютона геометрическая сумма всех внутренних сил системы всегда равна нулю, аналогично геометрическая сумма моментов всех внутренних сил системы равна нулю.

(55)

Центр масс системы – это такая точка, которая определяется уравнением

(56)

При решении задач удобно пользоваться аналитическими выражениями для нахождения центра масс

, (57)

где x_C, y_C, z_C – координаты центра масс системы;

x_k, y_k, z_k, m_k – координаты и масса каждой точки системы;

r_C, r_k – радиус-вектор, проведенный соответственно в центр масс системы и каждую ее точку.

Масса системы определяется как арифметическая сумма масс всех ее точек

. (58)

Момент инерции механической системы.

При изучении произвольного (не поступательного) движения механической системы знание массы системы и ее центра не достаточно. Необходимо знать характер распределения масс. Такая характеристика называется моментом инерции системы.

Моментом инерции системы относительно некоторого центра называется сумма произведений масс точек на квадрат их расстояния до данного центра

. (59)

Чаще в технике используется понятие момента инерции тела относительно оси.

Моментом инерции системы относительно осиназывается арифметическая сумма произведений масс точек на квадрат их расстояний до одной оси.

(60)

Момент инерции тела относительно координатных осей можно вычислить по следующим формулам:

(61)

Центральным моментом инерции механической системы называется момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс системы.

Значения центральных моментов инерции некоторых простейших однородных тел приводятся в справочниках.

Теорема Гюйгенса:Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной центральной оси, равен сумме центрального момента инерции и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями

. (62)

Дифференциальные уравнения движения

механической системы

Для каждой материальной точки, входящей в данную систему, на основе второго закона Ньютона можно записать следующие ОУД

(63)

где  равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-точке;

равнодействующая всех внутренних сил приложенных к k-точке.

В общем случае для инженерных задач система дифференциальных уравнений (63) является нелинейной и ее аналитическое решение практически невозможно. Исследование таких систем выполняется численными методами с помощью ЭВМ.

Общие теоремы динамики механической системы

Разработаны некоторые общие приемы изучения движения механической системы, которые позволяют получить важные характеристики движения без интегрирования (63).

Теорема о движении центра масс механической системы

Перепишем уравнение (56) в следующем виде

(64)

и вычислим вторую производную

. (65)

В левой части (65) произведение массы системы на ускорение центра масс. Для выяснения физического смысла правой части уравнения просуммируем почленно все уравнения (63) для материальных точек системы

. (66)

Решая совместно (65) и (66) и учитывая, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, получим

. (67)

Уравнение (67) выражает следующую теорему.

Теорема: Центр масс механической системы движется как материальная точка, наделенная массой всей системы, в предположении, что все внешние силы приложены в центре масс системы.

При решении задач необходимо спроектировать (67) на координатные оси

. (68)

Из рассмотрения уравнений (67) и (68) вытекает закон сохранения движения центра масс системы: Если сумма всех внешних сил системы равняется нулю, то центр масс ее движется с постоянной по величине и направлению скоростью или покоится

. (69)

Другими словами, скорость центра масс нельзя изменить действием внутренних сил системы.

Частным случаем выполнения закона (69) является равенство нулю суммы проекций сил на одну из координатных осей, в этом случае центр масс вдоль этой оси не перемещается или движется с постоянной скоростью.

studfiles.net