Основные правила интегрирования: Недопустимое название — Викиучебник

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d – просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала – получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент (“внутренняя” функция исходной сложной функции, например, , , и т.

п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

,

где – “внешняя” функция, а – “внутренняя” функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Повторим: наиболее частый случай, когда выгодно применять подведение под знак дифференциала – подынтегральное выражение представляет собой сложную функцию. Но это не единственный случай, когда требуется применять этот метод интегрирования. Другой распространённый случай – когда нет смысла использовать замену переменной, так как это делает вычисления громоздкими. Тогда, чтобы вычисления были короче, можно использовать подведение под знак дифференциала.

Пример 1.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

.

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 3.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Следующие задачи – общий случай: решаются по определению дифференциала функции:

.

Пример 4.  Найти

подведением под знак дифференциала интеграл:

.

В следующих задачах используются правила дифференцирования и интегрирования констант:

Так как , то , иными словами, константу можно подвести под знак дифференциала.

Пример 6.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Так как , где C – произвольная константа, то .

---

Пример 8.  Найти

подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию – минус икс в квадрате. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на

калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 9.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию – логарифм икса. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12

:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 10.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию – ту, что в знаменателе. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

.

Пример 11.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 12.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Начало темы “Интеграл”

Продолжение темы “Интеграл”

Поделиться с друзьями

Правила интегрирования

Математика Правила интегрирования

просмотров – 113

1. Постоянный множитель A выносится за знак интеграла:

.

2. Интеграл суммы (разности) нескольких функций равен сумме (разности) их интегралов:

.

Таблицу неопределœенных интегралов можно получить, исходя из таблицы производных и правил дифференцирования:

Таблица простейших неопределœенных интегралов

Продолжение таблицы

Читайте также

– Правила интегрирования

Таблица интегрирования В данной таблице: – переменная величина, – константы, – постоянная интегрирования.   (2.1)   (2.2) Если , используйте формулу (2.3)   (2. 3)   (2.4)   (2.5)   (2.6)   (2.7) (2.8)   (2.9)   (2.10)   (2.11) … [читать подробенее]

– Правила интегрирования

1. Постоянный множитель A выносится за знак интеграла: . 2. Интеграл суммы (разности) нескольких функций равен сумме (разности) их интегралов: . Таблицу неопределенных интегралов можно получить, исходя из таблицы производных и правил дифференцирования: Таблица… [читать подробенее]

– Основные правила интегрирования.

Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция: где – любая фиксированная точка интервала Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая… [читать подробенее]

– Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)

Интегрирование по частям Непосредственное интегрирование. Замена переменных и ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1. Непосредственное интегрирование. Функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если F'(x) = f(x) или dF(x) = f(x) dx. Если функция f(x) имеет… [читать подробенее]

Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства геометрический и физический смысл определенного интеграла

Таблицы DPVA.ru – Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства геометрический и физический смысл определенного интеграла Поделиться:    Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Интегрирование по частям – Правила интегрирования einfach erklärt

Интегрирование по частям – это способ интегрирования произведения. Это обратное от правила произведения различных значений:

$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x)\cdot g(x) – \int f'(x)\cdot g(x) \, \mathrm{d}x$

i

Справка

Интегрирование по частям часто используется, когда интеграл является произведением двух функций, у одной из которых легко найти производную, а другую легко интегрировать.

!

Справка

Новый интеграл $\int f'(x)\cdot g(x)$ не должен быть сложнее предыдущего.
Для $f(x)$ нужно взять множитель, который упрощает интеграл, когда берется производная.

i

Способ

1. Определите $f(x)$ и $g'(x)$
2. Вычислите $f'(x)$: возьмем производную от $f(x)$
3. Вычислите $g(x)$: интегрируем $g'(x)$
4. Подставьте и решите интеграл

Пример

Решите интеграл $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ интегрированием по частям.

1. Определите $f(x)$ и $g'(x)$

   $f(x)=x$
   $g'(x)=\cos(x)$
   Производная от $x$ = 1, что упрощает интеграл.

2. Вычислите $f'(x)$: возьмем производную от $f(x)$

   $f(x)=x$
   $f'(x)=\color{blue}{1}$

3. Вычислите $g(x)$: интегрируем $g'(x)$

   $g'(x)=\cos(x)$
   $g(x)=\color{green}{\sin(x)}$
   Подсказка: Первообразную от $\cos(x)$ и некоторые другие основные функции следует запомнить.

4. Подставьте и решите интеграл

   Во-первых, используются $f'(x)$ и $g(x)$:
   $\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x$ $=f(x)\cdot \color{green}{g(x)} – \int \color{blue}{f'(x)}\cdot \color{green}{g(x)} \, \mathrm{d}x$

   $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\color{green}{\sin(x)} – \int \color{blue}{1}\cdot\color{green}{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$
   $=x\cdot\sin(x) – \color{red}{\int \sin(x) \, \mathrm{d}x}$

   Теперь необходимо решить интеграл.
   $\color{red}{\int \sin(x)\, \mathrm{d}x}=-\cos(x)$

   Подставьте решенный интеграл:
   $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\sin(x) – (-\cos(x))$ $=x\cdot\sin(x)+\cos(x)\color{purple}{+C}$
   

Основные правила и формулы интегрирования | Что такое основные правила и формулы интеграции – примеры и решения

Как упоминалось в модуле « Основы интеграции », эта глава полностью посвящена разработке инструментов и методов для нахождения антипроизводных произвольных функций. Читателям, которые не читали «Основы интеграции », рекомендуется сначала пройти эту главу, прежде чем читать эту.

Ниже приведен набор простых правил, относящихся к интеграции, которые следуют по определению:

(a) В выражение неопределенного интеграла всегда входит константа, т.е.д.,

 \[\begin{align} &if\;\;\; g’\left( x \right)=f\left( x \right),~then \\ & \int{f\left( x \right)dx=g\left( x \right)+C} \\ \конец{выравнивание}\]

Это потому, что, как упоминалось ранее, производная константы равна 0.

(б) Интеграл от производной дает ту же самую функцию (с константой):

\[\int {f’\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C} \]

Производная интеграла также дает ту же функцию:

\[\ frac {d}{{dx}}\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right) = f\left(x \right)\]

Эти два результата согласуются с тем фактом, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями.

(c) \(\int {\left\{ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right\}} \,dx = \,\,\int {f\left(x\right)dx + \int {g\left(x\right)dx} } \)

(d) \(\int {k\,f\left( x \right)dx\,\, = \,\,k\int {f\left( x \right)dx} } \)

(e) \(\int {f\left( x \right)dx\,\, = \,g\left( x \right) + C,} \) тогда

\[\int {f\left( {ax + b} \right)dx\,\, = \frac{1}{a}\,g\left( {ax + b} \right) + C}\ qquad\qquad\qquad …{\rm{}}\влево( я \вправо)\]

Как это правда? Поскольку \(g\left( x \right)\) является антипроизводной от \(f\left( x \right),\text{ }g’\left( x \right)\text{ }=\text { }f\left( x \right). \)

Теперь дифференцируем \(\left( i \right)\) :

\[\begin{align}& f\left(ax+b\right)=\frac{1}{a}\frac{d}{dx}\left(g\left(ax+b\right) \ справа) \\  &\qquad\qquad\, =\frac{1}{a}\cdot g’\left( ax+b \right)\cdot a \\ &\qquad\qquad\,  =g’\left ( ax+b \right) \\ & \qquad\qquad \,=f\left( ax+b \right) \\ \end{align}\]

Это показывает, что \(\left( i \right)\) верно.

Этот результат весьма полезен, как мы поймем в ходе изучения этой главы.

 Теперь мы представляем таблицу некоторых основных формул интегрирования. Вам предлагается проверить истинность этих формул, продифференцировав правую часть каждой формулы и проверив, равно ли полученное выражение выражению внутри интеграла в левой части или нет:

ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЦИИ

01.{ – 1}}\left( {\frac{{bx + c}}{a}} \right) + C\end{align}\] Внимательно посмотрите, как мы получили окончательное выражение. Существует множество методов, с помощью которых мы можем вычислять неопределенные интегралы. Мы можем разделить эти методы на пять основных категорий: (1) ПРОСТЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ:   Преобразуем данное выражение таким образом, чтобы получить комбинацию основных интегралов, которые мы только что обсуждали. (2) ПОДСТАВКИ:  Мы используем некоторую замену, чтобы преобразовать данное выражение в более удобную «интегрируемую» форму. (3) РАСШИРЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ:   Этот метод применим к рациональным алгебраическим функциям; мы используем разложение на частичные дроби, чтобы разбить такую ​​функцию на более простые функции, которые можно легко интегрировать. (4) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ:   Этот мощный метод можно применить к произведению любых двух произвольных функций. (5) ФОРМУЛЫ СВОДКИ:   Эти формулы позволяют свести интеграл, зависящий от индекса n > 0, называемого порядком интеграла, к интегралу того же вида, но с меньшим индексом. Теперь все эти методы будут подробно рассмотрены. Небольшой совет: отработайте как можно больше вопросов для интеграции; только тогда вы сможете «повесить» его. Вы даже должны попробовать решить примеры самостоятельно, прежде чем смотреть решения. Интеграция — свойства, примеры, формулы, методы Интеграция — это способ объединения частей для получения целого. В интегральном исчислении мы находим функцию, дифференциал которой задан.Таким образом, интегрирование является обратным дифференцированию. Интегрирование используется для определения и вычисления площади области, ограниченной графиком функций. Площадь криволинейной формы аппроксимируется путем отслеживания количества сторон вписанного в нее многоугольника. Этот процесс, известный как метод истощения, позже был принят как интеграция. Мы получаем два вида интегралов, неопределенные и определенные интегралы. Дифференциация и интегрирование являются фундаментальными инструментами исчисления, которые используются для решения задач в математике и физике. Принципы интеграции были сформулированы Лейбницем. Давайте двинемся дальше и узнаем об интеграции, ее свойствах и некоторых мощных методах. Что такое интеграция? Интегрирование — это процесс нахождения площади области под кривой. Это делается путем рисования как можно большего количества маленьких прямоугольников, покрывающих площадь, и суммирования их площадей. Сумма приближается к пределу, равному области под кривой функции. Интегрирование — это процесс нахождения первообразной функции.Если функция интегрируема и ее интеграл по области конечен в указанных пределах, то это определенное интегрирование. Если d/dx(F(x) = f(x), то ∫ f(x) dx = F(x) +C. Это неопределенные интегралы. Например, пусть f(x) = x 3 равно функция.Производная f(x) равна f'(x) = 3x 2 , а первообразная 3x 2 равна f(x) = x 3 Функция F(x) Производная F'(x) = f(x) Первообразная f(x) x 3 + 0 3x 2 x 3 + ? x 3 + 2 3x 2 x 3 + ? x 3 – 4 3x 2 x 3 + ? Таким образом, мы находим, что производные F(x) = f(x), однако первообразные f(x) не уникальны. Антипроизводная f(x) — это семейство бесконечно многих функций. На самом деле существуют бесконечные интегралы этой функции, потому что производная любой вещественной константы C равна нулю, и мы можем записать как ∫ cos x. dx = sin x + C. Правило интегрирования заключается в добавлении произвольной константы C из множества действительных чисел. Таким образом, мы заключаем, что если \(\dfrac{dy}{dx}=f(x)\), то мы пишем \(y=\int f(x) dx\), что читается как “Интеграл от f относительно до х.” Теорема: Если F(x) — частная первообразная функции f(x) на интервале I, то каждая первообразная функции f(x) на I задается формулой ∫ f(x) dx = F( х) + С. Здесь ∫ f(x) dx представляет весь класс интегралов. C — произвольная константа, и все первообразные f(x) на I могут быть получены путем присвоения C определенного значения. Здесь f(x) — подынтегральная функция, Переменная x в dx называется интегратором, а весь процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Знак ∫ обозначает сумму. Интеграция обратного процесса дифференцирования Нам дают производную функции и просят найти ее первообразную, то есть исходную функцию.Такой процесс называется антидифференциацией или интеграцией. Если нам дана производная функции, процесс нахождения исходной функции называется интегрированием. Производные и интегралы противоположны друг другу. Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Производная от f(x) равна f'(x) = cos x. Мы говорим, что функция cos x является производной функцией sin x. Точно так же мы говорим, что sin x является антипроизводной cos x. Правила интеграции Мы уже знаем формулы производных некоторых важных функций.Вот производные и соответствующие им стандартные интегралы нескольких функций, представленных в виде формул интегрирования. Для нахождения интегралов определены определенные правила. В том числе: Правила суммирования и разности: ∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx ∫ [f(x)-g(x)] dx =∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Степенное правило: ∫ x n dx = (x n+1 )/ (n+1)+ C. (Где n ≠ -1) Экспоненциальные правила: ∫ e x dx = e x + C ∫ a x dx = a x / ln(a) + C ∫ ln(x) dx = x ln(x) -x + C Правило постоянного умножения: ∫ a dx = ax + C, где a — постоянная. Правило взаимности: Свойства интеграции Некоторые свойства неопределенных интегралов: ∫ [f(x)±g(x)] dx =∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, где k — любое действительное число. ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx, если ∫ [f(x)-g(x)] dx = 0 Комбинация первых двух свойств приводит к \(\int [k_1 f_1(x) dx + k_2 f_2 (x) dx + ………k_n f(x)dx]\\\\= k_1 \int f_1(x) dx + k_2 \int f_2 (x) dx + …. +k_n \int f(x) dx\) Методы интеграции Иногда осмотра недостаточно, чтобы найти интеграл некоторых функций. Существуют дополнительные методы приведения функции к стандартной форме для нахождения ее интеграла. Известные методы обсуждаются ниже. Способы интеграции: Метод разложения Интеграция путем замены Интегрирование с использованием частичных дробей Интеграция по частям Метод 1: Интегрирование путем разложения Функции можно разложить в сумму или разность функций, индивидуальные интегралы которых известны.Заданное подынтегральное выражение будет алгебраическим, тригонометрическим или экспоненциальным, или комбинацией этих функций. Предположим, нам нужно проинтегрировать (x 2 -x +1)/x 3 dx, мы разложим функцию как: ∫ (x 2 -x +1)/x 3 dx = ∫ (x 2 /x 3 – x /x 3 +1/x 3 ) = ∫ (1/x)dx – ∫ (1/x 2 ) dx + ∫ (1/x 3 )dx Применяя правило взаимности и правило степени, мы получаем ∫ (x 2 -x +1)/x 3 dx = log|x| + 1/х – 1/2х 2 + С Метод 2: Интеграция путем замены Метод интегрирования подстановкой позволяет изменить переменную интегрирования так, чтобы подынтегральная функция интегрировалась легко. Допустим, нам нужно найти y =∫ f(x) dx. Пусть x=g(t). Тогда \(\dfrac{dx}{dt}=g'(t)\). Итак, y= ∫ f(x) dx можно записать как y= ∫ f(g(t)) g'(t). Например, найдем интеграл от f(x) = sin(mx) с помощью подстановки. Пусть mx = t. Тогда \(m\dfrac{dx}{dt}=1\). \(\begin{align}y&=\int \sin{mx}dx\\&=\dfrac{1}{m}\int \sin{t}dt\\&=-\dfrac{1}{m } \cos{t}+C\\&=-\dfrac{1}{m} \cos{mx}+C\end{align}\) y=∫ sin(mx)dx можно записать как ∫ f(g(t)) g'(t)dt Примечание: Замена переменной интегрирования может также использовать тригнонометрические тождества.Несколько важных стандартных результатов: ∫ тангенс x dx = log|secx| +С ∫ раскладушка x dx = log|sin x| +С ∫cosec x dx = log|cosec x -cot x| +С ∫ sec x dx = log|secx + tan x| +С Метод 3: интегрирование с использованием дробей Предположим, нам нужно найти \(y=\int \dfrac{P(x)}{Q(x)} dx\), где \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) неправильная рациональная функция. Мы уменьшаем его таким образом, что \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=T(x)+\dfrac{P_{1}(x)}{Q(x)}\).Здесь T(x) полиномиальна по x и \(\dfrac{P_{1}(x)}{Q(x)}\) является правильной рациональной функцией. В следующей таблице показаны некоторые рациональные функции и соответствующие им формы частных дробей. Например, давайте найдем интеграл от \(f(x)=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\), используя интегрирование по неполным дробям. Используя неполную дробь, мы имеем \(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2} \cdots (1)\). Определим значения A и B. При сравнении в уравнении (1) мы получаем 1=A(x+2)+B(x+1). Отсюда у нас есть набор из двух линейных уравнений. А+В=0 и 2А+В=1 Решив эти уравнения, мы получим A=1 и B=-1. Итак, уравнение (1) можно записать в виде \(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+ 2}\). Теперь решим интеграл \(\begin{align}\int \left(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\right)dx\\=\int \left(\dfrac{1}{x+ 1}-\dfrac{1}{x+2}\right)dx\\=\log{|x+1|}-\log{|x+2|}+C\\=\log{\left| \dfrac{x+1}{x+2}\right|}+C\end{align}\) Метод 4: Интеграция по частям Это правило интегрирования используется для нахождения интеграла двух функций. По правилу произведения производных имеем \(\dfrac{d}{dx}(uv)=u\dfrac{dv}{dx}+v\dfrac{du}{dx}\;\;\;\; \;\;\;\cdots (1)\) Интегрируя обе части уравнения (1), мы получаем \(\int u\dfrac{dv}{dx}dx=uv-\int v\dfrac{du}{dx} dx\;\;\; \;\;\;\;\cdots (2)\) Уравнение (2) может быть записано как \(uv=\int u\dfrac{dv}{dx}dx+\int v\dfrac{du}{dx} dx\) Пусть u=f(x) и \(\dfrac{dv}{dx}=g(x)\). Тогда имеем \(\dfrac{du}{dx}=f'(x)\) и v = ∫ g(x)dx.{х}+С\конец{выравнивание}\) Несколько важных стандартных результатов (формула Бернулли): ∫ e ax sin bx dx = e ax /(a 2 + b 2 )[a sin bx – b cos bx] + C ∫ e ax cos bx dx = e ax /(a 2 + b 2 )[a cos bx + b sin bx] + C Интеграция рациональных алгебраических функций Чтобы проинтегрировать рациональные алгебраические функции, числитель и знаменатель которых содержат некоторые положительные целые степени x с постоянными коэффициентами, мы используем интегрирование неполными дробями и получаем несколько стандартных результатов, которые можно непосредственно применять в качестве формул интегрирования. ∫1/ (a 2 – x 2 ) dx = (1/2a) log|(a+x)/(a-x)| +С ∫1/ (x 2 – a 2 ) dx = (1/2a) log|(x-a)/(x+a)| +С ∫1/ √(x 2 – a 2 ) dx = log |x + √(x 2 – a 2 )|+C ∫ 1/ √(x 2 + a 2 ) dx = log |x + √(x 2 + a 2 )|+C ∫ 1/ √(a 2 – x 2 ) dx = sin -1 (x/a) +C ∫1/ (a 2 + x 2 ) dx = (1/a) tan -1 (x/a) + C Важные примечания Интеграция — процесс, обратный дифференцированию. Всегда добавляйте постоянную интегрирования после определения интеграла функции. Если две функции, например f(x) и g(x), имеют одинаковые производные, то |f(x)-g(x)|= C, где C — некоторая константа. ☛ Также проверьте:   Часто задаваемые вопросы по интеграции Что такое интеграция? Процесс нахождения первообразных функций, также известных как интегралы, называется интегрированием. Это метод нахождения функции g(x), производная которой d/dx(g(x)), равна функции f(x). Он представляется как ∫ f(x) и называется неопределенным интегралом функции. ∫ f(x)dx представляет собой сумму произведения функции и ее смещения по x. Какая польза от интеграции? Определенные интегралы при интегрировании используются для нахождения таких величин, как площадь, объем и т. д., которые можно интерпретировать как площадь под кривой. Установлено, что первообразные помогают при вычислении определенных интегралов. Что такое интеграция 1? Интеграция 1 равна (x+C). Интегрирование константы, т. е. ∫ a. dx = ax + C, где a — постоянная. Здесь ∫1. дх = х + С Каковы методы интегрирования функции? Существует множество способов интеграции функции. Несколько стандартных интегралов просто находят первообразные, для которых используются основные формулы интегрирования. Есть несколько методов, которым нужно следовать, например, метод замены, интегрирование по частям и интегрирование с использованием неполных дробей. Они обсуждаются здесь, в этой статье. Каковы правила интеграции? Есть много правил интегрирования, которые помогают нам находить интегралы. правило степени, правила суммы и разности, экспоненциальное правило, правило взаимности, правило констант, правило подстановки и правило интегрирования по частям. Что такое интегрирование √x? Согласно степенному правилу интегрирования мы знаем, что ∫ x n dx = (x n+1 )/ (n+1)+ C. ∴ ∫ х ½ . dx = (x ½+1 )/ (½+1)+ C, = (х 3/2 )/ (3/2)+ С = (2/3) х 3/2 Как интеграция используется в реальной жизни? Применение интеграции в реальной жизни упомянуто ниже. В электротехнике нам нужен кабель для соединения двух подстанций, которые находятся на расстоянии миль друг от друга. Интеграция помогает нам найти точную длину кабеля. В физике интегрирование используется для нахождения центра масс, центра тяжести, скорости объекта и т. д. В эпидемиологии интегральное исчисление используется для изучения распространения инфекционного заболевания. Почему важна интеграция? Исчисление сосредоточено на концепциях производных и интегрирования. В математике мы используем интегрирование для нахождения площадей, объемов, перемещений и т. д. Фактически, концепция интегрирования в исчислении породила интегральное исчисление. Исчисление I – Интегралы Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Глава 5: Интегралы В этой главе мы будем рассматривать интегралы.Интегралы — третья и последняя основная тема, которая будет рассмотрена в этом классе. Как и в случае с производными, эта глава будет посвящена почти исключительно нахождению и вычислению интегралов. Приложения будут даны в следующей главе. На самом деле в этой главе мы рассмотрим два типа интегралов: неопределенные интегралы и определенные интегралы. Первая половина этой главы посвящена неопределенным интегралам, а вторая половина посвящена определенным интегралам. Как мы увидим во второй половине главы, если мы не знаем неопределенные интегралы, мы не сможем вычислить определенные интегралы. Вот краткий перечень материалов, содержащихся в этой главе. Неопределенные интегралы. В этом разделе мы начнем главу с определения и свойств неопределенных интегралов. В этом разделе мы не будем вычислять много неопределенных интегралов. Этот раздел посвящен простому определению того, что такое неопределенный интеграл, и описанию многих свойств неопределенного интеграла. Собственно вычисление неопределенных интегралов начнется в следующем разделе. Вычисление неопределенных интегралов. В этом разделе мы вычислим некоторые неопределенные интегралы. Интегралы в этом разделе будут, как правило, такими, которые не требуют большого количества манипуляций с функцией, которую мы интегрируем, чтобы фактически вычислить интеграл. Как мы увидим в следующем разделе, многие интегралы требуют некоторых манипуляций с функцией, прежде чем мы сможем вычислить интеграл. Мы также кратко рассмотрим применение неопределенных интегралов. Правило подстановки для неопределенных интегралов. В этом разделе мы начнем использовать один из наиболее распространенных и полезных методов интегрирования — правило подстановки. С помощью правила подстановки мы сможем интегрировать более широкий спектр функций. Все интегралы в этом разделе потребуют некоторых манипуляций с функцией перед интегрированием, в отличие от большинства интегралов из предыдущего раздела, где все, что нам действительно нужно, это основные формулы интегрирования. Дополнительное правило подстановки. В этом разделе мы продолжим рассмотрение правила подстановки.Проблемы в этом разделе, как правило, немного сложнее, чем в предыдущем разделе. Задача . В этом разделе мы начнем с обоснования определенных интегралов и дадим одну из интерпретаций определенных интегралов. Мы будем аппроксимировать площадь, лежащую между функцией и осью \(x\). Как мы увидим в следующем разделе, эта проблема приведет нас к определению определенного интеграла и будет одной из основных интерпретаций определенного интеграла, которые мы будем рассматривать в этом материале. Определение определенного интеграла. В этом разделе мы дадим формальное определение определенного интеграла, дадим многие его свойства и обсудим несколько интерпретаций определенного интеграла. Мы также рассмотрим первую часть основной теоремы исчисления, которая показывает очень тесную связь между производными и интегралами . Вычисление определенных интегралов. В этом разделе мы рассмотрим вторую часть основной теоремы исчисления.Это покажет нам, как мы вычисляем определенные интегралы без использования (часто очень неприятного) определения. Все примеры в этом разделе можно выполнить с базовыми знаниями о неопределенных интегралах и не потребуют использования правила подстановки. В примеры этого раздела включены вычисления определенных интегралов кусочных и абсолютных функций. Правило подстановки для определенных интегралов. В этом разделе мы вернемся к правилу подстановки применительно к определенным интегралам.Единственными реальными требованиями для выполнения примеров в этом разделе являются умение использовать правило подстановки для неопределенных интегралов и понимание того, как вообще вычислять определенные интегралы. Интегралы тригонометрических функций — Веб-формулы 1 x ∙ 1 x ∙ 1 x ∙ 1 x ∙ 1 x /2 x 2 x /2 x /2 1 x х = сек 2 х 3 3 Примера 1: Рассчитать следующую интеграл ∫x 2 SIN x 3 dx . Раствор : ∫x 2 sin x 3 dx = ∫ sin x 3 x 2 dx Положим u = x 3 и du = 3x 2 dx или du/3 = x 2 dx , тогда имеем: ∫x 2 sin x 3 dx = ∫ sin u du/3 = 1/3 * ∫ sin u du = 1/3 *(- потому что и) + С = 1/3 *(- cos x 3 ) + C Пример 2: Вычислить Решение : Пусть u = ln t . Итак, du = (1/ t ) dt . Тогда мы имеем: Пример 3: Вычислить ∫(3 sin x 4 сек 2 x) dx Решение : ∫(3 sin x 4 сек 2 x) dx = 3∫ sin xdx – 4∫ сек 2 x dx = -3 cos x – 4 тангенс x + C Пример 4: Интегрировать ∫(2+ tan x) 2 dx Решение : Основы исчисления: правила и формулы — видео и стенограмма урока Глядя на дифференцирование Прежде чем мы углубимся в формулы и правила дифференцирования, давайте рассмотрим некоторые обозначения для дифференцирования. Мы можем записать производную функции f( x ) как: Функция Интеграл sin x – cos x + c cos x sin x + c sin 2 x x /2 – x /2 x ∙ x ∙ x 2 х x /2 + x 9074 ∙ – пр. | x | + c кроватка x = – csc 2 x п | грех x | + с сек x п | сек x + коричневый x | + c csc x -лн | csc x + детская кроватка x | + c сек 2 x желтовато-коричневый x + c csc 2 x – COT x + C Мы читаем их как: d на d x f x , f’ простое число f x , df x и cap Df x . Хотя эти и другие обозначения используются для дифференцирования, в этом уроке мы будем использовать d на d x и простые обозначения. Вот некоторые формулы дифференцирования: Возможно, вы заметили, что в первой формуле дифференцирования есть основное правило. 0 равно единице.0. Ниже вы видите то, что мы хотели показать: В этом последнем примере мы использовали правило коэффициентов , которое утверждает, что производная константы, умноженная на функцию, равна произведению константы на производную функции. Вот некоторые другие полезные правила дифференцирования, такие как произведение, частное и цепные правила. Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.Например, ознакомьтесь с правилом продукта в действии сейчас: . Существует также способ найти производную одной функции, деленной на другую функцию, правило частного , которое гласит, что производная частного двух функций равна произведению числителя, умноженного на знаменатель, минус числитель, умноженный на производная от знаменателя, деленная на знаменатель в квадрате. Вы можете увидеть эту игру в примере ниже: Вместо того, чтобы просто иметь x в качестве аргумента функции, аргумент может быть другой функцией. В этих случаях мы используем цепное правило , которое гласит, что когда у нас есть функция g( x ) внутри функции f, результирующая производная является производной функции f, умноженной на производную функции g.Вы можете увидеть эту игру в этом последнем примере: Взгляд на интеграцию Обозначение для интеграции принимает форму: Мы читаем это как: интеграл f от x , умноженный на d x , который называется неопределенным интегралом . С другой стороны, определенный интеграл будет иметь нижний предел и верхний предел, которые мы запишем как: Мы читаем это как: интеграл от x 1 до x 2 от f x умноженный на d x . Вот некоторые формулы интегрирования для определенных интегралов: Теперь рассмотрим некоторые правила интеграции. Правило коэффициентов гласит, что интеграл от константы, умноженной на функцию, равен этой константе, умноженной на интеграл от функции, как показано ниже: Так же, как и в случае дифференцирования, для интегрирования существует степенное правило . ( n +1) разделить на ( n +1) плюс константа C. Вы можете увидеть это в нашем примере ниже: Правило подстановки позволяет нам упростить интеграл, когда мы можем определить переменную u , которую можно заменить функцией в интеграле. Давайте рассмотрим другой пример и найдем следующие ответы, которые вы можете увидеть здесь: Правило интегрирования по частям утверждает, что интеграл u d v равен u v минус интеграл 7 7 772 1d . х . Оттуда мы получаем решение, которое вы можете увидеть здесь: Резюме урока В основах исчисления мы изучаем правила и формулы для дифференцирования , метода, с помощью которого мы вычисляем производную функции, и интегрирования , который представляет собой процесс, с помощью которого мы вычисляем первообразная функции. Эти формулы позволяют нам иметь дело со степенями x , константами, экспонентами, натуральными логарифмами, синусами и косинусами.Правила дифференцирования включают следующее: Постоянные времена правило функции для дифференцирования Степенное правило для дифференцирования Правило произведения для дифференцирования Факторное правило дифференцирования Цепное правило для дифференциации вложенных функций Правила интегрирования включают следующее: Постоянное время правило функции для интегрирования Силовое правило для интеграции Правило замены для интеграции Интеграция по правилу частей тем и глав исчисления | Сократ Исчисление Наука Анатомия и физиология астрономия Астрофизика Биология Химия наука о планете Земля Наука об окружающей среде Органическая химия Физика Математика Алгебра Исчисление Геометрия Преалгебра Предварительный расчет Статистика Тригонометрия Гуманитарные науки Английская грамматика У. С. История Всемирная история … и не только Сократическая мета Избранные ответы Темы Введение в исчисление Что такое исчисление? Пролог и исторический контекст Понимание функции градиента Ограничения Введение в пределы Определение односторонних пределов Определение отсутствия предела Алгебраическое определение пределов Бесконечные пределы и вертикальные асимптоты Пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты Определение непрерывности в точке Классификация тем разрыва (устраняемые инесъемный) Графическое определение пределов Формальное определение предела в точке Непрерывные функции Теорема о промежуточном значении Пределы для теоремы сжатия Производные Касательная линия к кривой Нормальная линия к касательной Наклон кривой в точке Средняя скорость Мгновенная скорость Предельное определение производной Первые принципы Пример 1: x² Первые принципы Пример 2: x³ Первые принципы Пример 3: квадратный корень из x Стандартные обозначения и терминология Дифференцируемый vs. Недифференцируемые функции Скорость изменения функции Средняя скорость изменения за интервал Мгновенная скорость изменения в точке Основные правила дифференциации Силовое правило Правило цепи Правило суммы Правило продукта Доказательство правила продукта Частное правило Неявное дифференцирование Краткое изложение правил дифференциации Доказательство частного правила Дифференцирование тригонометрических функций Пределы, связанные с тригонометрическими функциями Интуитивный подход к производной от y=sin(x) Производные правила для y=cos(x) и y=tan(x) Отличие sin(x) от первых принципов Специальные ограничения, включающие sin(x), x и tan(x) Графическая взаимосвязь между sin(x), x и tan(x) с использованием радианного измерения Производные y=sec(x), y=cot(x), y= csc(x) Дифференцирование обратных тригонометрических функций Дифференцирование экспоненциальных функций Из первых принципов Дифференцирование экспоненциальных функций с помощью калькуляторов Дифференцирование экспоненциальных функций с основанием e Дифференцирование экспоненциальных функций с другими основаниями Дифференцирование логарифмических функций Дифференцирование логарифмических функций с основанием e Дифференцирование логарифмических функций без основания e Обзор различных функций График с первой производной Интерпретация знака первой производной (возрастающая и убывающая функции) Определение стационарных точек (критических точек) для функции Определение поворотных точек (локальных экстремумов) для функции Классификация критических точек и экстремальных значений функции Теорема о среднем значении для непрерывных функций График со второй производной Связь между первой и второй производными функции Анализ вогнутости функции Обозначение второй производной Определение точек перегиба для функции Тест первой производной против теста второй производной для локальных экстремумов Частный случай x⁴ Критические точки перегиба Применение второй производной (ускорение) Примеры рисования кривых Применение деривативов Введение Решение проблем оптимизации Использование касательной для аппроксимации значений функций Использование метода Ньютона для аппроксимации решений уравнений Использование неявного дифференцирования для решения проблем связанных ставок Введение в интеграцию Сигма-нотация Интеграция: проблема площади Формальное определение определенного интеграла. Определенные и неопределенные интегралы Интегралы полиномиальных функций Определение основных скоростей изменения с помощью интегралов Интегралы тригонометрических функций Интегралы экспоненциальных функций Интегралы рациональных функций Основная теорема исчисления Основные свойства определенных интегралов Методы интеграции Оценка константы интегрирования Интеграция путем замены Интеграция по частям Интегрирование тригонометрической подстановкой Интеграл от частных дробей Использование интегралов для нахождения площадей и объемов Вычисление площадей с использованием интегралов Вычисление объема с использованием интегралов Получение формул, связанных с кругами, с помощью интегрирования Симметричные области Определенные интегралы с заменой Методы приближения интегралов Интеграция с использованием метода Эйлера RAM (метод прямоугольной аппроксимации/сумма Римана) Интеграция с использованием правила Симпсона Анализ ошибки аппроксимации Интеграция с использованием правила трапеций Приложения определенных интегралов Решение разделимых дифференциальных уравнений Наклонные поля Модели экспоненциального роста и распада Модели логистического роста Чистое изменение: движение по линии Определение площади поверхности тела вращения Определение длины кривой Определение объема тела вращения Определение работы и силы жидкости Среднее значение функции Параметрические функции Введение в параметрические уравнения Производная параметрических функций Определение длины параметрической кривой (параметрическая форма) Определение площади поверхности тела вращения Определение объема тела вращения Полярные кривые Введение в полярные координаты Определение наклона и касательных линий для полярной кривой Определение длины полярной кривой Определение площади поверхности тела вращения Определение объема тела вращения Вычисление полярных площадей Силовая серия Введение в серию Power Дифференциация и интегрирование степенных рядов Построение ряда Тейлора Построение ряда Маклорена Лагранжева форма остаточного члена ряда Тейлора Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда Применение серии Power Представления функций в степенном ряду Степенной ряд и точные значения числового ряда Степенные ряды и оценка интегралов Степенной ряд и пределы Продукт серии Power Биномиальный ряд Решения степенных рядов дифференциальных уравнений Тесты сходимости/расхождения Геометрическая серия Тест N-го члена на расходимость бесконечного ряда Критерий прямого сравнения сходимости бесконечного ряда Относительный критерий сходимости бесконечного ряда Интегральный признак сходимости бесконечного ряда Предельный сравнительный тест сходимости бесконечного ряда Признак знакопеременного ряда (теорема Лейбница) для сходимости бесконечного ряда Бесконечные последовательности Корневой тест для сходимости бесконечного ряда Бесконечная серия Стратегии проверки бесконечного ряда на сходимость Гармоническая серия Неопределенные формы и правило де Лопиталя Частичные суммы бесконечных рядов iOS Андроид Конфиденциальность Условия Помощь Раздел 8. 1. Базовые правила интеграции. Соответствие интегрантов базовым правилам . 332460_0801.qxd 02.11.04 15:04 Страница 518518 ГЛАВА 8 Методы интегрирования, правило Лопиталя и несобственные интегралыРаздел 8.1Основные Интеграция Правила • Просмотрите процедуры для подгонки подынтегрального выражения к одному из основных правил интеграции.Подгонка Integrand в основные правила В этой главе вы изучите несколько методов интеграции которые значительно расширяют интегралы setof, to, к которым могут быть применены основные правила интегрирования. Эти правила рассмотрены на стр. 520. Важным шагом в решении любой проблемы интеграции является определение того, какое основное правило интеграции использовать.Как показано в примере 1, небольшие различия в подынтегральном выражении могут привести к очень разным методам решения. правила интеграции? Для всех, которые можно оценить, сделайте это. Для тех, которые не могут, объясните, почему.a.31 x dx 23xb.1 x dx 23xc. 21 x dx 2ПРИМЕЧАНИЕ Обратите внимание, что в примере 1(c) требуется некоторая предварительная алгебраическая обработка перед применением правил интегрирования, и что впоследствии требуется более одного правила, для вычисления результирующего интеграла.Найдите каждый интеграл.44xa. б. c.x x 2 9 dx2 9 dxРешение а. Используйте правило арктангенса и пусть u x и a 3.4x 2 9 dx 4 1x 2 3 dx 2Constant Multiple RuleArctangent RuleSimplify.b. Здесь правило арктангенса не применяется, потому что числительноекr содержит множителькr x. Рассмотрим правило журнала и пусть u x 2 9. Тогда du 2x dx, и у вас есть 4xConstant Multiple Rulex 2 9 dx 2 2x dxx 2 9 2 du Замена: u x 2 9u 2 ln u C 2 lnx 2 9 C. Правило журнала c.Поскольку степень числительногодоr равна до степени деноминациидоr, сначала следует использовать деление до. Оставить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Имя E-mail Сайт Меню Поиск: