Первообразные и интегралы: Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Определение 1

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

  • Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫f(x)dx’=F(x)+C’=f(x)

  • Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

  • Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

  • Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k·∫f(x)dx’=k·∫d(x)dx’=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx’=∫f(x)dx’±∫g(x)dx’=f(x)±g(x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d(ln x)=(ln x)’dx=dxx=f(x)dx∫f(x)dx=∫dxx=∫d(ln(x))

Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

Пример 2

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим ∫2sinx2cosx2dx=∫sin xdx.

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

d(cos x)=cos x’dx=-sin xdx⇒sin xdx=-d(cos x)

То есть, ∫sin xdx=∫(-d(cos x))

Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫-d(cos x)=-∫d(cos x).

По второму свойству получаем -∫d(cos x)=-(cos x+C)

Следовательно, ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C.

Проверим полученный результат дифференцированием.

Продифференцируем полученное выражение:
-cos x-C’=-(cos x)’-(C)’=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе  «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Первообразная и интеграл | Конспекты лекций Алгебра

Скачай Первообразная и интеграл и еще Конспекты лекций в формате PDF Алгебра только на Docsity! Тема: «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства» Изучив данную тему, вы ознакомитесь с понятиями первообразной и неопределенного интеграла, основными свойствами неопределенного интеграла, овладеете навыками нахождения первообразной и неопределённого интеграла. План лекции 1.Понятие первообразной. 2. Геометрический смысл первообразной функции. 3. Понятие неопределенного интеграла. 4. Свойства неопределенного интеграла. 5. Таблица интегралов. 6. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла. 1. Понятие первообразной. Допустим дана производнаяf′(х)=х)=6хх5. Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х)=х6х. Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной. (х)=Запишите определение1) Определение1: Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого x∈D выполняется равенство F ‘ ( x )=f ( x ) . Пример 1: Докажем что для любого хϵ(х)=-∞;+∞) функция F(х)=x)=х5-5х является первообразной для функцииf(х)=х)=5х4-5. Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции F’ ( x ) =( х5-5х)′=(х)= х5)′-(х)=5х)′=5х4-5. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например: Производная функции f(х)=х)=х9,мы знаем чтоf′(х)=х)=9х8.Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна. Пример 2: Докажем что для любого хϵ(х)=-∞;+∞) функция F(х)=x)= −3 х2 является первообразной для функцииf(х)=х)= 6 х3 . Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции F’ ( x )=(− 3 x2 ) ′ =(−3 x−2) ′ =−3⋅(−2) x−2−1=6x−3= 6 x3 Основное свойство первообразной: Теорема1: Если F(х)=x)- одна из первообразных для функцииf(х)=х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(х)=x)=F(х)=x)+C, где С действительное число. Пример 3. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2). Решение. F (x)= x-x²+C, т.к. F ‘ ( x )=( x−x2+C ) ′ =1−2 x Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство: 2=3-3²+С; 2=3-9+С; 2=-6+С → С=8. Тогда F (x)=x-x²+8. Ответ: F (x)=x-x²+8. 2. Геометрический смысл первообразной функции. Геометрическим смыслом первообразной является совокупность параллельных кривых (рис.1). Рисунок 1. 3. Понятие неопределенного интеграла. Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием. Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции. Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы. Пример 1: Вычислить ∫ x 2dx Решение: для вычисления интеграла воспользуемся табличным интегралом степенной функции ∫x n dx= x n+1 n+1 +C ,(n≠−1 ) Получим ∫ x2 dx= x2+1 2+1 +C= x3 3 +C . Ответ: ∫ x2 dx= x2+1 2+1 +C= x3 3 +C . Пример2: Вычислите ∫(x 3 −3 x+sin x )dx Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы: ∫(x 3 −3 x+sin x )dx=∫ х 3 dx−3⋅∫ xdx+∫ sin xdx= x 3+1 3+1 −3⋅ x 1+1 1+1 −cos x+C= = х 4 4 − 3 2 ⋅х 2 −cos x+С Пример 3: Вычислите ∫ 3+2 x−x 2 x dx Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы ∫ 3+2 x−x 2 x dx=∫ 3 x dx+∫ 2 x x dx−∫ x 2 x dx=3⋅∫ dx x +2⋅∫dx−∫ xdx=3 ln x+2 x− 1 2 ⋅x 2 +c 2. Метод замены переменной (метод подстановки) Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием. Пример 3: Вычислите ∫(3 x−4) 3 dx Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда dt=t ‘⋅dx=(3 x−4 )’⋅dx=3dx , откуда dx= dt 3 . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо dx подставим dt 3 ). ∫(3 x−4) 3 dx=∫t 3 ⋅ dt 3 = t 4 12 +C Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ. ∫(3 x−4) 3 dx= (3 х−4 ) 4 12 +С Домашнее задание: 1) Прочитать лекцию и записать конспект в тетрадь вместе с примерами. В ТЕТРАДИ ФИКСИРУЙТЕ ДАТУ НАПИСАНИЕ ЛЕКЦИИ И ТЕМУ!!!! 2) Решить самостоятельно следующие примеры в тетради. а) ∫sin xdx б) ∫ dx x3 , (х)=указание: подынтегральную функцию привести к виду x −3 ) в) ∫ ( x 2+2 x+1 ) dx г) ∫ ( x 3+3 ) dx д) ∫cos xdx 3. Для закрепления материала просмотреть видео https://www.youtube.com/watch? v=PpIgV30hneY

5.1: Первообразные и неопределенное интегрирование

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    4178
    • Gregory Hartman et al.
    • Военный институт Вирджинии

    Мы потратили много времени на рассмотрение производных функций и их приложений. В следующих главах мы начнем думать «в другом направлении». То есть, учитывая функцию \(f(x)\), мы будем рассматривать функции \(F(x)\) такие, что \(F'(x) = f(x)\).

    Есть множество причин, по которым это окажется полезным: эти функции помогут нам вычислить площади, объемы, массу, силу, давление, работу и многое другое.

    Для заданной функции \(y=f(x)\) дифференциальным уравнением является уравнение, которое включает \(y\), \(x\) и производные от \(y\). Например, простое дифференциальное уравнение: 92 + 123 456 789\) также имеет производную от \(2x\). Дифференциальное уравнение \(y’ = 2x\) имеет много решений. Это приводит нас к некоторым определениям.

    Определение \(\PageIndex{1}\): первообразные и неопределенные интегралы

    Пусть задана функция \(f(x)\). Первообразная функции \(f(x)\) — это функция \(F(x)\) такая, что \(F'(x) = f(x)\).

    Множество всех первообразных \(f(x)\) есть неопределенный интеграл от \(f\) , обозначаемый

    $$\int f(x) \ dx.\]

    Обратите внимание на наше определение: мы ссылаемся на как на первопроизводную \(f\), в отличие от как на первопроизводную \(f\), поскольку всегда бесконечное число. Мы часто используем заглавные буквы для обозначения первообразных.

    Зная одну первообразную \(f\), мы можем найти бесконечно больше, просто добавляя константу. Это не только дает нам еще первообразных, но и

    всех из них.

    Теорема \(\PageIndex{1}\): первообразные формы

    Пусть \(F(x)\) и \(G(x)\) – первообразные \(f(x)\). Тогда существует константа \(С\) такая, что

    $$G(x) = F(x) + C.\]

    Для данной функции \(f\) и одной из ее первообразных \(F\) мы знаем , что все первообразных функции \(f\) имеют вид \(F(x) + C\) для некоторой константы \( С\). Используя определение \(\PageIndex{1}\), мы можем сказать, что

    $$\int f(x) \ dx = F(x) + C.\]

    Давайте проанализируем это неопределенное целочисленное представление.

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Понимание обозначения неопределенного интеграла.

    На рисунке \(\PageIndex{1}\) показаны типичные обозначения неопределенного интеграла.

    Символ интегрирования \(\int\) на самом деле представляет собой «удлиненную букву S», означающую «возьмите сумму». Позже мы увидим, как связаны суммы и первообразных .

    Функция, для которой мы хотим найти первообразную, называется подынтегральной функцией . Он содержит дифференциал переменной, по которой мы интегрируем. Символ \(\int\) и дифференциал \(dx\) не являются “форзацами” с зажатой между ними функцией; скорее, символ \(\int\) означает «найти все первообразные следующего за ним», а функции \(f(x)\) и \(dx\) перемножаются; \(dx\) не “просто сидит там”.

    Давайте попрактикуемся в использовании этих обозначений.

    Пример \(\PageIndex{1}\): вычисление неопределенных интегралов

    Вычислить \(\displaystyle \int \sin x\ dx.\)

    Решение

    Нас просят найти все функции \(F(x)\) такие, что \(F'(x) = \sin Икс\). Некоторое размышление приведет нас к одному решению: \(F(x) = -\cos x\), потому что \(\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\).

    Таким образом, неопределенный интеграл от \(\sin x\) равен \(-\cos x\) плюс постоянная интегрирования. Итак:

    $$\int \sin x \ dx = -\cos x + C.\]

    Часто задаваемый вопрос: “Что случилось с \(dx\)?” Непросветленный ответ: «Не беспокойтесь об этом. Это само пройдет». Полное понимание включает следующее.

    Этот процесс антидифференциации действительно решает дифференциальный вопрос. Интеграл

    $$\int \sinx\dx\]

    представляет нам дифференциал \(dy = \sin x\ dx\). Он спрашивает: “Что такое \(y\)?” Мы нашли множество решений, все вида \(y = -\cos x+C\).

    Пусть \(dy = \sin x\ dx\), переписать

    $$\int \sin x \ dx \quad \text{as}\quad \int dy.\]

    Это вопрос: “Какие функции имеют дифференциал вида \(dy\)?” Ответ: «Функции вида \(y+C\), где \(C\) — константа». Что такое \(у\)? У нас есть много вариантов, все они отличаются на константу; самый простой выбор – \(y = -\cos x\). 92+4х+5\).

    Этот последний шаг “проверки нашего ответа” важен как с практической, так и с теоретической точки зрения. В общем, брать производные легче, чем находить первообразные, поэтому проверять нашу работу легко и важно по мере обучения.

    Мы также видим, что производная от нашего ответа возвращает функцию под интегралом. Таким образом, мы можем сказать, что:

    $$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)\ dx\right) = f(x).\]

    Дифференциация «отменяет» работу антидифференцировки.

    Теорема 27 дала список производных общих функций, которые мы узнали к тому моменту. Мы повторяем здесь часть этого списка, чтобы подчеркнуть взаимосвязь между производными и первообразными. Этот список также будет полезен в качестве глоссария общих первообразных производных по мере нашего изучения.

    Теорема \(\PageIndex{2}\): производные и первообразные

    92\большой)\)). Пример:

    $$\int 5\cos x\ dx = 5\cdot\int \cos x\ dx = 5\cdot (\sin x+C) = 5\sin x + C. 2+5x+C \end{выравнивание}\] 90+C\)”; скорее см. Правило №14.

  • Мы представляем антидифференцировку как «операцию, обратную» дифференцировке. Вот полезная цитата для запоминания: «Обратные операции делают противоположные вещи в обратном порядке».
    При построении производной с помощью Степенного правила мы сначала умножаем на степень, затем секунд вычитаем из степени 1. Чтобы найти первообразную, выполните противоположные действия в обратном порядке: сначала прибавить единицу к степени, затем секунд разделить на степень.
  • Обратите внимание, что Правило №14 включает абсолютное значение \(x\). Упражнения помогут читателю понять, почему это так; на данный момент знайте, что абсолютное значение важно и его нельзя игнорировать.
  • Задачи с начальными значениями

    В разделе 2.3 мы видели, что производная функции положения дает функцию скорости, а производная функции скорости описывает ускорение. Теперь мы можем пойти «другим путем»: первообразная функции ускорения дает функцию скорости и т. д. Хотя существует только одна производная данной функции, существует бесконечное количество первообразных. Поэтому мы не можем спрашивать: «Что такое 92\). В момент времени \(t=3\) падающий объект имел скорость \(-10\) футов/с. Найдите уравнение скорости тела.

    Решение

    Мы хотим знать функцию скорости \(v(t)\). Мы знаем две вещи:

    1. Ускорение, т. е. \(v'(t)=-32\), и
    2. скорость в конкретный момент времени, т. е. \(v(3) = -10\).

    Используя первую часть информации, мы знаем, что \(v(t)\) является первообразной \(v'(t)=-32\). Итак, начнем с нахождения неопределенного интеграла от \(-32\):

    $$\int (-32)\ dt = -32t+C=v(t).\]

    Теперь воспользуемся тем, что \(v(3)=-10\), чтобы найти \(C\ ):

    \[\begin{align} v(t) &= -32t+C \\ v(3) &= -10 \\ -32(3)+C &= -10\\ C &= 86 \end{align}\]

    Таким образом, \(v(t)= -32t+86\). Мы можем использовать это уравнение, чтобы понять движение объекта: когда \(t=0\), объект имел скорость $v(0) = 86$ фут/с. Поскольку скорость положительна, объект двигался вверх.

    Когда объект начал двигаться вниз? Сразу после \(v(t) = 0\):

    $$-32t+86 = 0 \quad \Rightarrow\quad t = \frac{43}{16} \приблизительно 2,69\text{s}.\]

    Признать, что мы можем довольно много определить о путь объекта, зная только его ускорение и скорость в один момент времени.

    Пример \(\PageIndex{4}\): Решение задач с начальными значениями

    Найти \(f(t)\), учитывая, что \(f”(t) = \cos t\), \(f’ (0) = 3\) и \(f(0) = 5\).

    Решение

    Начнем с нахождения \(f'(t)\), которая является первообразной \(f”(t)\):

    $$\int f”(t)\ dt = \int \cos t\ dt = \sin t + C = f'(t).\]

    Итак, \(f'(t) = \sin t+C\) для правильного значения \(C\). Нам дано, что \(f'(0) = 3\), поэтому:

    $$f'(0) = 3 \quad \Rightarrow \quad \sin 0+C = 3 \quad \Rightarrow \quad C= 3. \]

    Используя начальное значение, мы нашли \(f'(t) = \sin t+ 3.\)

    Теперь найдем \(f(t)\) путем повторного интегрирования.

    $$f(t)=\int f'(t) \ dt = \int (\sin t+3)\ dt = -\cos t + 3t + C.\]

    Нам дано, что \( f(0) = 5\), поэтому

    \[\begin{align} -\cos 0 + 3(0) + C &= 5 \\ -1 + C &= 5\\ C &= 6 \end{align}\]

    Таким образом \( f(t) = -\cos t + 3t + 6\).

    В этом разделе представлены первообразные и неопределенный интеграл. Мы обнаружили, что они необходимы при поиске функции с учетом информации о ее производной (производных). Например, мы нашли функцию положения по заданной функции скорости.

    В следующем разделе мы увидим, как положение и скорость неожиданно связаны площадями определенных областей на графике функции скорости. Затем, в разделе 5.4, мы увидим, как тесно связаны друг с другом площади и первообразные.

    Авторы и ссылки

    • Грегори Хартман (Вирджинский военный институт). Свой вклад внесли Трой Симерс и Димплекумар Чалишаяр из VMI, а также Брайан Хейнольд из Университета Маунт-Сент-Мэри. Авторские права на этот контент защищены некоммерческой лицензией Creative Commons Attribution (BY-NC). http://www.apexcalculus.com/

    • Интегрировано Джастином Маршаллом.


    Эта страница под названием 5.1: Первообразные производные и неопределенная интеграция распространяется под лицензией CC BY-NC 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Грегори Хартманом и соавт. через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Грегори Хартман (Вершина)
        Лицензия
        CC BY-NC
        Версия лицензии
        3,0
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. производная
        2. постоянное множественное правило
        3. Правило различия
        4. независимая переменная
        5. силовое правило
        6. источник@http://www. apexcalculus.com/ 9х_а f(t)\, dt\] является первообразной для $f$, так как можно показать, что $F(x)$ построенная таким образом, непрерывна на $[a,b]$ и $F'(x)=f(x)$ для все $x\in (a,b)$.

          Свойства

          Пусть $F(x)$ — любая первообразная для $f(x)$.

          • Для любой константы $C$ $F(x)+C$ является первообразной для $f(x)$.

            Доказательство: Поскольку $\displaystyle \frac{d}{dx}[F(x)]=f(x)$, \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}[F(x)+C ]&=&\frac{d}{dx}[F(x)]+\frac{d}{dx}[C]\\ &=&f(x)+0\\ &=&f(x) \end {eqnarray}, поэтому $F(x)+C$ является первообразной для $f(x)$.

          • Любая первообразная $f(x)$ может быть записана в виде \[F(x)+C\] для некоторого $C$. То есть каждые две первообразные $f$ отличаются не более чем на константу.

            Доказательство: Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные $f(x)$. Тогда $F'(x)=G'(x)=f(x)$, так что $F(x)$ и $G(x)$ отличаются не более чем на константу, что требует доказательства — это показано в большинстве исчисления текстов и является следствием теоремы о среднем значении.

          Процесс нахождения первообразных называется антидифференциация или интеграция : \[ \begin{массив}{l@{\qquad}l@{\qquad}l} \displaystyle\frac{d}{dx}[F(x)]=f(x) & \Longleftrightarrow & \displaystyle\int f(x)\, dx=F(x)+C.\\ \displaystyle\frac{d}{dx}[g(x)]=g'(x) & \Longleftrightarrow & \displaystyle\int g'(x)\, dx=g(x)+C. \конец{массив} \]

          Свойства неопределенного интеграла
      Общие правила дифференцирования Общие неопределенные правила интеграции