Предел числовой последовательности для чайников: Пределы для чайников, с подробными примерами

Содержание

Понятие предела числовой последовательности. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Окрестность точки

Сложность: лёгкое

2
2. Предел последовательности, заданной показательной

Сложность: лёгкое

2
3. Вычисление предела

Сложность: лёгкое

2
4. Нахождение номера члена последовательности

Сложность: лёгкое

1
5. Номер члена последовательности, принадлежащий окрестности точки

Сложность: среднее

1
6. Предел последовательности, заданной дробью

Сложность: среднее

3
7. Нахождение предела последовательности

Сложность: среднее

4
8. Предел последовательности, заданной аналитически

Сложность: среднее

2
9. Окрестность точки b радиуса r

Сложность: среднее

2
10. Сходящиеся последовательности

Сложность: сложное

4
11. Теорема Вейерштрасса

Сложность: сложное

6

Предел числовой последовательности и функции /qualihelpy

Число   является  пределом числовой последовательности   , если для любого  найдется такой номер , что при всех  выполняется неравенство  . Записывают: 

.

Другими словами (геометрический смысл предела): число  является пределом последовательности  , если в любой его  -окрестности содержатся почти все члены последовательности или вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов.

Такая числовая последовательность называется  сходящейся . Если же предел последовательности равен бесконечности или не существует, то такая числовая последовательность называется расходящейся.

Например, числовая последовательность   сходится и  , а числовая последовательность   расходится.

Числовая последовательность может быть как ограниченной так и не ограниченной. Числовая последовательность 

ограничена , если  , такое, что : . 

Числовая последовательностьне ограничена , если :  .

Например: числовая последовательность   ограничена снизу.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Числовая последовательность бесконечно малая , если  такой, что :  . 

Числовая последовательность бесконечно большая , если   такой, что : . Например, последовательность бесконечно малая, а последовательность   бесконечно большая.

Число  называют  пределом функции  в точке  , если  такое, что   , выполняется неравенство  (рис.

5.5). Записывают:   .

Другими словами число  называют  пределом функции  в точке  , для любой последовательности  аргументов функции, сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к . 

Различают  левосторонний предел  функции в точке   и  правосторонний предел  . 
  ;  (5.5)
  ; (5.6)
  ;  (5.7)
  ;  (5.8)  
 . (5.15)
 , если   (5.16) 
 , если   (5.17)
 , если   (5.18) 
 , если   (5. 19)

объяснение, теория, примеры решений. Как вычислить пределы последовательностей

(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0
2) для любой последовательности { x n } , сходящейся к x 0 :
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность { f(x n )} сходится к a :
.

Здесь x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.


.

Второе определение предела функции (по Коши)

Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δ ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δ ε – окрестности точки x 0 :
,
значения функции f(x) принадлежат ε – окрестности точки a :
.

Точки x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей
Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция определена;
2) для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих проколотой окрестности точки x 0 :
,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки ».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Точки a и x 0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне .
Число a не является пределом функции f(x) в точке x 0 : ,
если существует такая последовательность { x n } , сходящаяся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность { f(x n )} не сходится к a :
.
.

По Коши .
Число a не является пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если существует такое положительное число ε > 0 , так что для любого положительного числа δ > 0 , существует такое x , принадлежащее проколотой δ – окрестности точки x 0 :
,
что значение функции f(x) не принадлежит ε – окрестности точки a :
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0 : . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0 : . Но поскольку , то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a . Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , с которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей окрестности точки и имеющей предел
(1) ,
предел последовательности равен a :
(2) .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a . Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3) для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x n – a|

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε

которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε , можно найти такое δ >0 (зависящее от ε ), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 x-a , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A|

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т. е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , – являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

,

и непрерывной слева в точке x o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода – в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение. .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 .4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 . 5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Виджет для вычисления пределов on-line

В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .

Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .

Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод : т. к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя определение предела, доказать, что

Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

9.1: Последовательности — Математика LibreTexts

В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что означает сходимость или расхождение последовательности. Мы покажем, как находить пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, обсуждавшихся ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости — инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.

Терминология последовательностей

Для работы с этой новой темой нам нужны новые термины и определения.∞_{n=1},\номер\]

или просто \(\{a_n\}\), чтобы обозначить эту последовательность. Подобное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, тогда как набор не является упорядоченным. Поскольку для каждого положительного целого числа \(n\) существует определенное число \(a_n\), мы также можем определить последовательность как функцию, областью определения которой является множество положительных целых чисел.

Рассмотрим бесконечный упорядоченный список

\[2,4,8,16,32,….\номер\]

Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются как \(a_1=2, a_2=4,\) и \(a_3=8.{\text{th}}\) термин \(a_n\) через предыдущий термин \(a_{n−1}\). В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность \(\{a_n\}\), где \(a_1=2\) и для всех \(n≥2\) каждый член an определяется повторением отношение

\[a_n=2a_{n−1}. \]

Определение: бесконечная последовательность

Бесконечная последовательность \(\{a_n\}\) представляет собой упорядоченный список чисел вида

\(a_1,\,a_2,\,…,\,a_n,\,….\)

Нижний индекс \(n\) называется индексной переменной последовательности.Каждое число \(a_n\) является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, в этом случае \(a_n=f(n)\) для некоторой функции \(f(n)\), определенной над положительными целыми числами. В других случаях последовательности определяются с использованием рекуррентного отношения . В рекуррентном отношении один член (или более) последовательности задается явно, а последующие члены определяются в терминах более ранних членов последовательности.

Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с \(n=1\), но может начинаться с других целых чисел.Например, последовательность, заданная явной формулой \(a_n=f(n)\), может начинаться с \(n=0\), и в этом случае последовательность будет равна

.

\[a_0,\,a_1,\,a_2,….\номер\]

Аналогично, для последовательности, определяемой рекуррентным соотношением, термин \(a_0\) может быть задан явно, а термины \(a_n\) для \(n≥1\) могут быть определены в терминах \(a_{ n−1}\). Поскольку последовательность \(\{a_n\}\) имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа \(n\), ее можно описать как функцию, областью определения которой является множество положительных целых чисел.п\)}.

Часто встречаются два типа последовательностей, которым даются специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой последовательных членов одинакова. Например, рассмотрим последовательность

.

\[3,\,7,\,11,\,15,1\,9, \,\ldots\номер\]

Вы видите, что разница между каждой последовательной парой терминов равна \(4\). Предполагая, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения

\[\begin{case}a_1=3\\a_n=a_{n−1}+4, \text{ для }\ n≥2\end{case}.\номер\]

Обратите внимание, что

\[a_2=3+4\не число\]

\[a_3=3+4+4=3+2⋅4\без числа\]

\[a_4=3+4+4+4=3+3⋅4.\номер\]

Таким образом, последовательность также может быть описана с помощью явной формулы

\[a_n=3+4(n−1)=4n−1.\не число\]

В общем случае арифметическая последовательность — это любая последовательность вида \(a_n=cn+b.\)

В геометрической последовательности , отношение каждой пары последовательных членов одинаково. Например, рассмотрим последовательность

.

\[2,\,-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2}{9},\,-\dfrac{2}{27},\,\dfrac{2}{81} ,….\номер\]

Мы видим, что отношение любого члена к предыдущему равно \(−\dfrac{1}{3}\). Предполагая, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является геометрической последовательностью. Его можно определить рекурсивно как

. {n−1}.п}\).

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите явную формулу для рекурсивно определенной последовательности, такой что \(a_1=−4\) и \(a_n=a_{n−1}+6\).

Подсказка

Это арифметическая последовательность.

Ответить

\(a_n=6n−10\)

Ограничение последовательности

Фундаментальный вопрос, возникающий в отношении бесконечных последовательностей, заключается в поведении членов по мере того, как \(n\) становится больше.n}{n}→0\) как \(n→∞.\) Рисунок \(\PageIndex{2}\): (a) Члены последовательности становятся сколь угодно большими при \(n→∞\). (b) Члены последовательности приближаются к \(1\) как \(n→∞\). (c) Члены последовательности чередуются между \(1\) и \(−1\) при \(n→∞\). (d) Члены последовательности чередуются с положительными и отрицательными значениями, но приближаются к \(0\) как \(n→∞\).

Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности при \(n→∞\). В двух последовательностях члены приближаются к конечному числу при \(n→∞.\) В двух других последовательностях членов нет. Если члены последовательности приближаются к конечному числу \(L\) при \(n→∞\), мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число L является пределом последовательности. Здесь мы можем дать неформальное определение.

Определение: сходящиеся и расходящиеся последовательности

Для данной последовательности \({a_n},\), если члены an становятся сколь угодно близкими к конечному числу \(L\), когда n становится достаточно большим, мы говорим, что \(\{a_n\}\) является сходящейся последовательностью , а \(L\) — предел последовательности .n\right\}\) — сходящаяся последовательность, предел которой равен \(1\). Напротив, из рисунка видно, что члены последовательности \(1+3n\) не приближаются к конечному числу, когда \(n\) становится больше. Мы говорим, что \(\{1+3n\}\) — расходящаяся последовательность.

В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «сколь угодно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты. Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и показываем эти идеи графически на рисунке.

Определение: Конвергенция

Последовательность \(\{a_n\}\) сходится к действительному числу \(L\), если для всех \(ε>0\) существует целое число \(N\) такое, что для всех \(n ≥ N\) \(|a_n−L| < ε\). Число \(L\) является пределом последовательности, и мы пишем

.

\[\lim_{n→∞}a_n = L \text{  или  } a_n→L.\]

В этом случае мы говорим, что последовательность \(\{a_n\}\) является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, то это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.

Заметим, что сходимость или расходимость последовательности \(\{a_n\}\) зависит только от того, что происходит с членами \(a_n\) при \(n→∞\). Следовательно, если конечное число терминов \(b_1,b_2,…,b_N\) помещается перед \(a_1\), чтобы создать новую последовательность

\[b_1,\,b_2,\,…,\,b_N,\,a_1,\,a_2,\,…,\номер\]

эта новая последовательность будет сходиться, если \(\{a_n\}\) сходится, и расходиться, если \(\{a_n\}\) расходится. Далее, если последовательность \(\{a_n\}\) сходится к \(L\), то эта новая последовательность также сходится к \(L\).n\right\}\) расходится, потому что термины чередуются между \(1\) и \(−1\), но не приближаются к одному значению при \(n→∞\). С другой стороны, последовательность \(\{1+3n\}\) расходится, потому что члены \(1+3n→∞\) при \(n→∞\). Мы говорим, что последовательность \(\{1+3n\}\) расходится к бесконечности, и пишем \(\displaystyle \lim_{n→∞}(1+3n)=∞\). Важно понимать, что это обозначение не означает, что предел последовательности \(\{1+3n\}\) существует. На самом деле последовательность расходится. Написание того, что предел равен бесконечности, предназначено только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится.Последовательность также может расходиться к отрицательной бесконечности. Например, последовательность \(\{−5n+2\}\) расходится к отрицательной бесконечности, потому что \(−5n+2→−∞\) при \(n→−∞\). Мы записываем это как \(\displaystyle \lim_{n→∞}(−5n+2)=→−∞.\)

Поскольку последовательность — это функция, областью определения которой является множество положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность. Например, рассмотрим последовательность \(\{a_n\}\) и связанную с ней функцию \(f\), определенную на всех положительных действительных числах, таких что \(f(n)=a_n\) для всех целых чисел \(n≥1 \).Поскольку область определения последовательности является подмножеством области определения \(f\), если \(\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)\) существует, то последовательность сходится и имеет тот же предел. Например, рассмотрим последовательность \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) и связанную с ней функцию \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Поскольку функция \(f\), определенная на всех действительных числах \(x>0\), удовлетворяет условию \(f(x)=\dfrac{1}{x}→0\) при \(x→∞\), последовательность \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) должна удовлетворять \(\dfrac{1}{n}→0\) при \(n→∞.\)

Ограничение последовательности, определяемой функцией

Рассмотрим последовательность \(\{a_n\}\) такую, что \(a_n=f(n)\) для всех \(n≥1\).n\right\}\) сходится к \(0+0=0\). Точно так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций \(f\) и \(g\), взглянув на пределы \(f\) и \(g\) (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой являются алгебраическими комбинациями \(a_n\) и \(b_n\), оценивая пределы \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\ ).

Алгебраические предельные законы

Даны последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\) и любое действительное число \(c\), если существуют константы \(A\) и \(B\) такие, что \ (\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A\) и \(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B\), затем

  1. \(\displaystyle \lim_{n→∞}c=c\)
  2. \(\displaystyle \lim_{n→∞}ca_n=c\lim_{n→∞}a_n=cA\)
  3. \(\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n±b_n)=\lim_{n→∞}a_n±\lim_{n→∞}b_n=A±B\)
  4. \(\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n⋅b_n)=\big(\lim_{n→∞}a_n\big)⋅\big(\lim_{n→∞}b_n\big)=A⋅ Б\)
  5. \(\displaystyle \lim_{n→∞}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)=\dfrac{\lim_{n→∞}a_n}{\lim_{n→∞}b_n}= \dfrac{A}{B}\), если \(B≠0\) и каждый \(b_n≠0. \)

Доказательство

Докажем часть III.

Пусть \(ϵ>0\). Поскольку \(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A\), существует постоянное натуральное число \(N_1\), такое что для всех \(n≥N_1\). Поскольку \(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B\), существует константа \(N_2\) такая, что \(|b_n−B|<ε/2\) для всех \(n≥N_2\ ). Пусть \(N\) будет наибольшим из \(N_1\) и \(N_2\). Следовательно, для всех \(n≥N\) \(|(a_n+b_n)−(A+B)|≤|a_n−A|+|b_n−B|<\dfrac{ε}{2}+\ dfrac{ε}{2}=ε\).

Алгебраические предельные законы позволяют нам оценивать пределы для многих последовательностей.x\right]=\lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)\).

Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенный вид \(∞⋅0\), перепишем ее в виде дроби, чтобы применить правило Лопиталя. Напишите

\(\displaystyle \lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=\lim_{x→∞}\dfrac{\ln\left(1+4) /х\справа)}{1/х}\).

Поскольку правая часть теперь представлена ​​в неопределенной форме 0/0, мы можем применить правило Лопиталя. Делаем вывод, что

\(\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln(1+4/x)}{1/x}=\lim_{x→∞}\dfrac{4}{1+4/x} =4.n\right\}.\) Определить, сходится ли последовательность. Если оно сходится, найти его предел.

Подсказка

Используйте правило Лопиталя.

Ответить

Последовательность сходится, и ее предел равен \(0\)

Напомним, что если \(f\) является непрерывной функцией при значении \(L\), то \(f(x)→f(L)\) при \(x→L\). Эта идея применима и к последовательностям. Предположим, что последовательность \(a_n→L\) и функция \(f\) непрерывна в \(L\).2})}=\sqrt{5}.\номер\]

Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях

Рассмотрим последовательность \(\{a_n\}\) и предположим, что существует действительное число \(L\) такое, что последовательность \(\{a_n\}\) сходится к \(L\). Предположим, что \(f\) — непрерывная функция в \(L\). Тогда существует целое число \(N\) такое, что \(f\) определено при всех значениях an для \(n≥N\), и последовательность \(\{f(a_n)\}\) сходится к \ (f(L)\) (Рисунок \(\PageIndex{4}\)).

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Поскольку \(f\) является непрерывной функцией, поскольку входы \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,…\) приближаются к \(L\), выходы \(f(a_1),\,f(a_2),\,f(a_3),\,…\) подход \(f(L)\).

Доказательство

Пусть \(ϵ>0.\) Поскольку \(f\) непрерывна в \(L\), существует \(δ>0\) такое, что \(|f(x)−f(L)|< ε\), если \(|x−L|<δ\). Поскольку последовательность \(\{a_n\}\) сходится к \(L\), существует \(N\) такое, что \(|a_n−L|<δ\) для всех \(n≥N\). Следовательно, для всех \(n≥N\) \(|a_n−L|<δ\), откуда следует \(|f(a_n)−f(L)|<ε\). Мы заключаем, что последовательность \(\{f(a_n)\}\) сходится к \(f(L)\).

Пример \(\PageIndex{4}\): ограничения, включающие непрерывные функции, определенные для сходящихся последовательностей

Определите, сходится ли последовательность \(\left\{\cos(3/n^2)\right\}\). 2}\справа)=\cos 0=1.\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Определите, сходится ли последовательность \(\left\{\sqrt{\dfrac{2n+1}{3n+5}}\right\}\). Если оно сходится, найти его предел.

Подсказка

Рассмотрим последовательность \(\left\{\dfrac{2n+1}{3n+5}\right\}.\)

Ответить

Последовательность сходится, и ее предел равен \(\sqrt{2/3}\).

Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждавшейся во введении к пределам.

Теорема сжатия для последовательностей

Рассмотрим последовательности \(\{a_n\}, \, \{b_n\},\) и \(\{c_n\}\). Предположим, что существует целое число \(N\) такое, что

\(a_n≤b_n≤c_n\) для всех \(n≥N.\)

Если существует действительное число \(L\) такое, что

\[\lim_{n→∞}a_n=L=\lim_{n→∞}c_n,\]

, то \(\{b_n\}\) сходится и \(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=L\) (рис. \(\PageIndex{5}\)).

Рисунок \(\PageIndex{5}\): каждый терм bn удовлетворяет условию \(a_n≤b_n≤c_n\), а последовательности \(\{a_n\}\) и \(\{c_n\}\) сходятся к одному и тому же предел, поэтому последовательность \(\{b_n\}\) также должна сходиться к тому же пределу.

Доказательство

Пусть \(ε>0.\) Поскольку последовательность \(\{a_n\}\) сходится к \(L\), существует целое число \(N_1\) такое, что \(|a_n−L|<ε \) для всех \(n≥N_1\). Точно так же, поскольку \(\{c_n\}\) сходится к \(L\), существует целое число \(N_2\) такое, что \(|c_n−L|<ε\) для всех \(n≥N_2\ ). По условию существует целое число \(N\) такое, что \(a_n≤b_n≤c_n\) для всех \(n≥N\). Пусть \(M\) будет наибольшим из \(N_1,\, N_2\) и \(N\). Мы должны показать, что \(|b_n−L|<ε\) для всех \(n≥M\). Для всех \(n≥M\),

\[−ε<−|a_n−L|≤a_n−L≤b_n−L≤c_n−L≤|c_n−L|<ε\номер\]

Следовательно, \(−ε n\right\} \text{ расходится, если }  r≤−1\)

Ограниченные последовательности

Обратимся теперь к одной из самых важных теорем, касающихся последовательностей: теореме о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам необходимо ввести некоторую терминологию и мотивировку. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.

Определение: связанные последовательности

Последовательность \(\{a_n\}\) ограничена выше , если существует действительное число \(M\) такое, что

\(a_n≤M\)

для всех положительных целых чисел \(n\).

Последовательность \(\{a_n\}\) ограничена ниже , если существует действительное число \(m\) такое, что

\(m≤a_n\)

для всех положительных целых чисел \(n\).

Последовательность \(\{a_n\}\) является ограниченной последовательностью , если она ограничена сверху и снизу.

Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность.

Например, последовательность \(\{1/n\}\) ограничена сверху, потому что \(1/n≤1\) для всех положительных целых чисел \(n\).n\right\}\) — неограниченная последовательность.

Обсудим теперь связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность \(\{a_n\}\) неограничена. Тогда оно не ограничено сверху, или не ограничено снизу, или и то, и другое. В любом случае существуют члены an, величина которых сколь угодно велика по мере того, как \(n\) становится больше. В результате последовательность \(\{a_n\}\) не может сходиться. Следовательно, ограниченность является необходимым условием сходимости последовательности.

Сходящиеся последовательности ограничены

Если последовательность \(\{a_n\}\) сходится, то она ограничена.n\right\}\) ограничено, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между \(1\) и \(−1\) и никогда не приближается к конечному числу. Обсудим теперь достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.

Рассмотрим ограниченную последовательность \(\{a_n\}\). Предположим, что последовательность \(\{a_n\}\) возрастает. То есть \(a_1≤a_2≤a_3….\) Поскольку последовательность возрастает, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности. Последовательность может расходиться до бесконечности, а может и сходиться.Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху, и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что \(\{a_n\}\) сходится. Например, рассмотрим последовательность

.

\[\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{4}{5},\ ,…\право\}.\]

Поскольку эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность

\[\left\{2,\,0,\,3,\,0,\,4,\,0,\,1,\,−\dfrac{1}{2},\,−\dfrac {1}{3},\,−\dfrac{1}{4},\,…\right\}.\]

Несмотря на то, что последовательность не возрастает для всех значений \(n\), мы видим, что \(−1/2<−1/3<−1/4<⋯\).Следовательно, начиная с восьмого члена, \(a_8=−1/2\), последовательность возрастает. В этом случае мы говорим, что последовательность в конечном счете возрастает. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Также верно, что если последовательность убывает (или в конце концов убывает) и ограничена снизу, она также сходится.

Определение

Последовательность \(\{a_n\}\) возрастает для всех \(n≥n_0\), если

\(a_n≤a_{n+1}\) для всех \(n≥n_0\).

Последовательность \(\{a_n\}\) убывает для всех \(n≥n_0\), если

\(a_n ≥ a_{n+1}\) для всех \(n≥n_0\).

Последовательность \(\{a_n\}\) является монотонной последовательностью для всех \(n≥n_0\), если она возрастает для всех \(n≥n_0\) или убывает для всех \( n≥n_0\).

Теперь у нас есть необходимые определения, чтобы сформулировать теорему о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.

Определение: теорема о монотонной сходимости

Если \(\{a_n\}\) — ограниченная последовательность и существует натуральное число \(n_0\) такое, что \(\{a_n\}\) монотонно для всех \(n≥n_0\), то \(\{a_n\}\) сходится.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки этого текста. Вместо этого мы приводим график, чтобы наглядно показать, почему эта теорема имеет смысл (рис. \(\PageIndex{6}\)).

Рисунок \(\PageIndex{6}\): Поскольку последовательность \(\{a_n\}\) возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.

В следующем примере мы покажем, как можно использовать теорему о монотонной сходимости для доказательства сходимости последовательности.

Пример \(\PageIndex{6}\): использование теоремы о монотонной сходимости

Для каждой из следующих последовательностей используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что последовательность сходится, и найти ее предел.n}{n!}=\dfrac{4}{n+1}⋅a_n≤a_n\), если \(n≥3.\)

Следовательно, последовательность убывает для всех \(n≥3\). Кроме того, последовательность ограничена снизу \(0\), потому что \(4n/n!≥0\) для всех натуральных чисел \(n\). Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.

Чтобы найти предел, мы используем тот факт, что последовательность сходится, и пусть \(\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n\). Теперь обратите внимание на это важное наблюдение. Рассмотрим \(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}\). С

\(\{a_{n+1}\}=\{a_2,\,a_3,\,a_4,\,…\},\)

единственная разница между последовательностями \(\{a_{n+1}\}\) и \(\{a_n\}\) заключается в том, что \(\{a_{n+1}\}\) пропускает первый срок.Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}a_n=L.\)

Комбинируя этот факт с уравнением

\(a_{n+1}=\dfrac{4}{n+1}a_n\)

и предел обеих частей уравнения

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{4}{n+1}a_n\),

можно сделать вывод, что

\(L=0⋅L=0.\)

б. Выписывая первые несколько терминов,

\(\left\{2,\,\dfrac{5}{4},\,\dfrac{41}{40},\,\dfrac{3281}{3280},\,…\right\}.2_н\).

Разделив обе части на \(2a_n\), мы получим

\(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n. \)

Используя определение \(a_{n+1}\), мы заключаем, что

\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n\).

Поскольку \(\{a_n\}\) ограничено снизу и убывает, по теореме о монотонной сходимости оно сходится.

Чтобы найти предел, пусть \(\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n\). Затем, используя рекуррентное соотношение и тот факт, что \(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}a_{n+1}\), мы имеем

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n})\),

и, следовательно,

\(L=\dfrac{L}{2}+\dfrac{1}{2L}\).2=1\), откуда следует \(L=±1\). Поскольку все члены положительны, предел \(L=1\).

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Рассмотрим последовательность \(\{a_n\}\), определенную рекурсивно так, что \(a_1=1\), \(a_n=a_{n−1}/2\). Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найти ее предел.

Подсказка

Показать, что последовательность убывает и ограничена снизу.

Ответить

\(0\).

Определение: Числа Фибоначчи

чисел Фибоначчи определяются рекурсивно последовательностью \(\left\{F_n\right\}\), где \(F_0=0, \, F_1=1\) и для \(n≥2,\)

\(F_n=F_{n−1}+F_{n−2}.\)

Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.

1. Запишите первые двадцать чисел Фибоначчи.

2. Найдите замкнутую формулу для последовательности Фибоначчи, выполнив следующие действия.

а.н\). Используя начальные условия \(F_0\) и \(F_1\), определите значения констант \(c_1\) и \(c_2\) и напишите замкнутую формулу \(F_n\).

3. Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что

\[\lim_{n→∞}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.\nonumber\]

Число \(ϕ=(1+\sqrt{5})/2\) известно как золотое сечение (рисунок и рисунок).

Рисунок \(\PageIndex{7}\): Семена подсолнуха имеют спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо. Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эссдраса Кальдерана, Wikimedia Commons) Рисунок \(\PageIndex{8}\): пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с учетом этих пропорций, и это соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr).

Ограничение последовательности

Марко Табога, доктор философии

В этой лекции мы вводим понятие предела последовательность .Начнем с простого случая, когда является последовательностью действительных чисел, то мы имеем дело с общим случаем, когда может быть последовательностью объектов, которые не обязательно являются действительными числами.

Предел последовательности действительных чисел

Сначала мы даем неформальное определение, а затем более формальное определение предел последовательности действительных чисел.

Неформальное определение предела последовательности реальные числа

Позволять быть последовательностью действительных чисел.Позволять . Обозначим через последствие получается отбрасыванием первого условия , то есть, Ниже приводится интуитивное определение предела последовательности.

Таким образом, является пределом если, отбрасывая достаточно большое количество начальных членов , мы можем составить оставшиеся члены как можно ближе к как нам нравится. Интуитивно, является пределом если становится все ближе и ближе к позволив уйти в бесконечность.

Формальное определение предела последовательности реальные числа

Расстояние между двумя действительными числами есть абсолютное значение их разница. Например, если а также является членом последовательности , расстояние между а также , обозначается , это по используя понятие расстояния, приведенное выше неформальное определение может быть сделано тщательный.

Для тех, кто не знаком с универсальными кванторами (любой) и (существует), обозначение читает следующим образом: «Для любого сколь угодно малого числа , существует натуральное число такое, что расстояние между а также меньше чем на все условия с участием “, который также можно переформулировать как «Для любого сколь угодно малого числа , можно найти подпоследовательность такое, что расстояние между любым членом подпоследовательности и меньше чем ” или как «Отбрасывая достаточно большое количество начальных членов , вы можете сделать остальные условия как можно ближе к как хочешь”.

Также можно доказать, что сходящаяся последовательность имеет единственный предел, т. е. если имеет предел , тогда является уникальным пределом .

Пример Определить последовательность характеризуя его -й элемент так как следует: элементы последовательности , , , и так далее. Выше есть, чем меньше есть и чем ближе . Поэтому интуитивно предел последовательности должен быть :Это просто доказать, что действительно является пределом с помощью приведенного выше определения. Выберите любой . Нам нужно найти такое, что все члены подпоследовательности иметь расстояние от нуля меньше, чем :Примечание во-первых, что расстояние между общим членом последовательности а также это здесь последнее равенство получается из того, что все члены последовательности равны положительные (следовательно, они равны своим абсолютным значениям).Поэтому нам нужно найти такое, что все члены подпоследовательности удовлетворять кондиционис удовлетворен, если , что эквивалентно . Поэтому достаточно выбрать любой такой, что удовлетворить состояниеВ Подводя итог, мы только что показали, что для любого , мы можем найти такое, что все члены подпоследовательности иметь расстояние от нуля меньше, чем . Как следствие является пределом последовательности .

Ограничение последовательности вообще

Теперь рассмотрим более общий случай, когда члены последовательности не обязательно действительные числа. Как и прежде, мы сначала даем неформальную определение, а затем более формальное.

Неформальное определение предела — общий случай

Позволять быть набором объектов (т.г., действительные числа, события, случайные переменные) и пусть быть последовательностью элементов . Предел определяется следующим образом.

Определение то же, что мы дали выше, за исключением того факта, что теперь оба и условия последовательности относятся к общему набору объектов .

Метрики и определение расстояния

В приведенном выше определении мы неявно предполагали, что понятие расстояние между элементами хорошо определен. Таким образом, чтобы приведенное выше определение имело какой-либо смысл, нам необходимо правильно определить расстояние.

Нам нужна функция который ассоциируется с любой парой элементов действительное число, измеряющее расстояние между этими двумя элементами. Например, если а также являются двумя элементами , должно быть действительным числом, измеряющим расстояние между а также .

Функция считается допустимой функцией расстояния (и она называется метрикой на ) если оно удовлетворяет некоторым свойствам, перечисленным в следующем предложении.

Все четыре свойства очень интуитивно понятны: свойство 1) говорит, что расстояние между двумя точками не может быть отрицательного числа; свойство 2) говорит о том, что расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти две точки совпадают; свойство 3) говорит о том, что расстояние от к такое же, как расстояние от к ; свойство 4) говорит (грубо говоря), что расстояние, которое вы преодолеваете, когда идете от к прямо меньше (или равно) расстоянию, которое вы преодолеваете, когда идете от к переход из третьей точки (если не на пути от к вы увеличиваете пройденное расстояние).

Всякий раз, когда мы сталкиваемся с последовательностью объектов и хотим оценить, сходится, нам нужно сначала определить функцию расстояния на множестве объекты, которым принадлежат члены последовательности, и убедиться, что предложенные функция расстояния удовлетворяет всем свойствам правильной функции расстояния (метрика). Например, в теории вероятностей и статистике мы часто имеем дело с последовательностями случайных величин. Чтобы оценить, являются ли эти последовательности сходящимся, нам нужно определить метрику для измерения расстояния между двумя случайные переменные.Как мы увидим в лекции под названием Последовательности случайных величин и их конвергенции, существует несколько способов определения понятия расстояния между двумя случайными величинами. Все эти способы законны и полезны в разные ситуации.

Формальное определение предела — общий случай

Определив понятие метрики, мы теперь готовы сформулировать формальную определение предела последовательности.

Также и в этом случае можно доказать (см. ниже), что сходящаяся последовательность имеет единственный предел, т.е.е., если имеет предел , тогда является уникальным пределом .

Доказательство

Критерий сходимости

На практике обычно трудно оценить сходимость последовательности используя приведенное выше определение. Вместо этого конвергенцию можно оценить с помощью следующий критерий.

Доказательство

Итак, на практике задача оценки сходимости общего последовательность объектов упрощается следующим образом:

  1. найти метрику измерить расстояние между членами последовательности и лимит кандидатов ;

  2. определить новую последовательность , куда ;

  3. изучить сходимость последовательности , это простая проблема, потому что представляет собой последовательность действительных чисел.

Как указать

Пожалуйста, укажите как:

Табога, Марко (2021). “Предел последовательности”, Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Прямая публикация Kindle. Онлайн приложение. https://www.statlect.com/mathematical-tools/limit-of-a-sequence.

Исчисление для начинающих – Пределы последовательностей | Даниэль Чикос

Стенограммы

1. Добро пожаловать на курс!: Добро пожаловать на мой курс.Позвольте мне представиться на моем курсе о пределах последовательностей только в природе. Я закончил здесь, Чико. Sh Я инженер-механик, который предпочитает улыбаться и калечить жизнь, чем проектировать в скучном офисе. В средней школе у ​​меня была чрезвычайная нехватка математики. Не могу сказать, что я был лучшим, но у меня были лучшие тренировки. Это вдохновило меня заполучить тебя. Я не хочу, чтобы вы боролись с математикой. Это прекрасная тема, но, к сожалению, она не всегда хорошо освещается. У меня многолетний опыт преподавания, и я могу поставить себя на ваше место. Так что я думаю, что я Дюваль. Кто может вам помочь? Я разработал этот курс для студентов, у которых есть проблемы с вычислением пределов последовательностей. Расскажу теорию в двух словах, как мне и хотелось. Сконцентрируйтесь на решении проблем. Поэтому я покажу вам много числовых примеров, так как я считаю, что это лучший способ изучения любой темы. Но недостаточно просто увидеть решение. Я хотел бы, чтобы вы приняли участие.Вы получите тренировочные задачи, разработанные специально для вас. Они должны будут действительно понять тему, применяя все, что вы узнали. Так что же будет на курсе? Краткое введение в терра-радикале об основах? Но последовательности — это что я имею в виду под пределом и душой? Ничего математического. Затем мы углубимся в расчет пределов. Во-первых, вы можете научиться вычислять пределы дробей. Тогда вы сможете рассчитать порядковые номера для описания сходимости.После этого я научу вас обращаться с квадратными и кубическими корнями в трудных ситуациях, с некоторыми последовательностями и фактически сдавать корни даже в других темах. Тогда вы станете экспертом за пределами пределов по Э. Он. Наконец, мы обсудили практическое применение этой изменчивой эпохи. Это все, что вам нужно, если вы хотите определить пределы последовательностей, так что присоединяйтесь ко мне и давайте изучим все на практике. 2. Определение последовательностей: сначала я познакомлю вас с фундаментальными понятиями. Итак, в этом уроке вы узнаете, что такое последовательности.Первое и самое главное — знать, в какой последовательности приемы пищи. По сути, это список чисел. Эти числа просто записываются в определенном порядке. Это представлено обозначениями AM, означающими, что муравьиный термин вне последовательности, где и является нижним индексом. Если я упоминаю Avon, то думаю о первом члене последовательности. Двойка – вторая. Дерево является третьим, и поэтому технически вам не нужно начинать индекс с A 4 к 1. Но тем не менее, это очень распространено. Выделю очень важную деталь.Южный сценарий может быть только целым числом. Таким образом, последовательности — это просто сданные в аренду числа. Они сильно отличаются от непрерывных функций. Функции могут быть дифференцированы или интегрированы, но нет способа определить последовательность. Просто помните, что самое важное отличие функции от последовательности состоит в том, что график функции может быть непрерывным. Но график последовательности содержит только некоторые точки, как вы можете видеть на графике. Термины от блесток управляются формулой.Например, a равно 21 больше. В этом случае муравьи умирают. Последовательность можно рассчитать по этой формуле. Это ругательная формула, но анстром можно рассчитать с половиной нижнего индекса, что также может быть рекурсивной формулой, где вы можете вычислить анстром только с предыдущими условиями. Если мы вернемся к заданной последовательности, то ее члены легко выпишутся. Это Бомба 1/2 1/3 1/4. Так вот, в случае 1-го 1 надо списывать вместо двух, а не 2-го. Так оно и есть.Это довольно простая последовательность, но главное уметь вычислять все члены по формуле. 3. Определение сходимости: узнав, что такое последовательность, давайте узнаем, что мы подразумеваем под ее сходимостью? Когда мы можем сказать, что последовательность сходится? Всякий раз, когда секретам нет предела? Можно сказать, что оно сходится, но дальше мы не пошли. Что я имею в виду под лимитом? Обозначение для вычисления предела выглядит так, что эта ветвь AM равна аду. Здесь Lim является сокращением от латинского Burger Lima, что в основном означает ограничение дилемм.Укажем, что n стремится к бесконечности. Это означает, что предел исследуется с условием, которое должно увеличиваться до тех пор, пока его значение не уйдет в бесконечность. В случае последовательностей вы можете проверить предел только в бесконечности, так как другого значимого предела нет. Если I am сходится в бесконечности, то существует предел, который я обозначил L. Это l — постоянное число. Мы хотели бы знать, когда существует этот предел и какова его ценность? Существует предел, если абсолютное значение неравенства a минус l меньше абсолютного, выполняется всякий раз, когда или нижний индекс, и больше числа, отмеченного прописной.Но означает ли это, что al обозначается номером-разделителем. Следовательно, A и минус L — это разница в ответе. Выключите последовательность и ограничьте последовательность. Абсолютное значение этой разницы представляет собой положительное число, которое описывает расстояние от предела. Абсолютно — это очень маленькое число, которое может быть любым положительным числом в риале. Если предел действительно существует для каждого возможного абсолюта, то заглавная буква и число, которые вы можете использовать во втором неравенстве, были вместе. Все предложение означает, что после определенного члена вне последовательности каждый член вне последовательности находится в пределах заданного расстояния до предела.Таким образом, каждый член находится в окрестности предельного числа. Как я уже упоминал в случае прощенного абсолютного, мы можем рассчитать достаточное значение, чтобы вы могли определить, что я есть, но я собираюсь научить вас этому позже. Теперь вам нужно просто запомнить, что последовательности сходятся, если после определенного члена, все, если его члены настолько близки к пределу, насколько вы хотите. Так было, когда последовательность сходится. Но если она не сходится, если нет предела, то можно сказать, что последовательность расходится. Дивергенция означает противоположность конвергенции. Всякий раз, когда последовательность не сходится, мы можем сказать, что это девственницы. Однако есть несколько способов расхождения последовательности. Я просто хочу отметить особый случай. Если предел последовательности равен двум плюс-минус бесконечность, то можно сказать, что последовательность сходится плюс-минус бесконечность или в других произведениях. Можно сказать, что последовательность расходится. Это единственный случай, когда и конвергентное, и дивергентное можно использовать в других случаях.Если нет схождения, то последовательность просто девственницы. 4. Пределы общих последовательностей: позвольте мне показать вам пределы общих последовательностей. Вы можете использовать их в качестве отправной точки, когда сталкиваетесь с более сложными проблемами. Начнем с простых МВД Полины. Предел em на бесконечности, очевидно, равен бесконечности. Последовательность содержит положительные целые числа в порядке возрастания. Таким образом, последовательность сходится к плюс бесконечности. То же самое происходит, если берется любое положительное питание и отключается питание.K также сходится к плюс бесконечности as и уходит в бесконечность, если быть более точным. Это через выключение в квадрате и в кубе И поэтому мы так технически перебраны и это то же самое, что равно 10 в выключенной степени один над тем, что это тоже последовательность с возрастающими членами. На его пределе находится бесконечность, поэтому всякий раз и возводится в положительную степень. Последовательность уходит в бесконечность. А как же отрицательные силы? Они означают дроби, например, единица больше и равна вводу мощности минус один. Лимит можно вернуть по половине предыдущих результатов.Числитель стремится к единице, а знаменатель стремится к бесконечности. Таким образом, все выражение сводится к единице на бесконечность. Это означает ноль, поскольку единица, деленная на огромное число, означает очень маленькое число. По словам Инфинити, если взять единицу в степени К, где К положительно, произойдет то же самое, что и со знаменателем. Дробь стремится к нулю на бесконечности. Просто имейте это в виду, когда вам придется иметь дело с едой или фракциями Полины. Продолжим экспоненциальные выражения, например, два в выключенном состоянии и уходит в бесконечность, если и уходит в бесконечность.Последовательность включает в себя брусчатку из двух, поэтому она начинается с двух для 8 16 и продолжается до бесконечности. С другой стороны, один до отключения питания идет в ноль. В бесконечности последовательность начинается с числа 2 1/4, и поэтому вы можете видеть, что члены уменьшаются. Они идут к нулю, или вы можете подумать. Предыдущий результат равен 1/2 в степени it 1st 1/2 в степени выключения питания, и вы получаете результат, в котором фон делится на бесконечность, что на самом деле стремится к нулю. Давайте поймем концепцию. После этого первая последовательность была расходящейся, а другая сходящейся, с пределом, отличным от нуля, поэтому, если вы возьмете а в степень нашего, но абсолютное значение а будет больше вниз по фону. Тогда последовательность расходится, так как удаление отца означает, что абсолютная ценность увеличивается с каждым материалом. Если вы видите то же выражение, но абсолютное значение a меньше дампа, вы знаете, что это нули с разделителями. Просто подумайте об этом. Если вы снимете бумагу с более гладких тупых бомб, вы всегда получите меньшее число. Вы могли заметить, что я не включил случай, но абсолютное значение a — это бомба. Если a равно единице, которую только хочет соревнование последовательности, последовательность, очевидно, сходится к ферме.Если a минус единица, то вы получаете чередующуюся последовательность. Предела в данном случае не существует. Наконец, последовательность состоит из единицы и минус монах неоднократно, в последовательности бесконечное количество единиц и минус хочет. Но ни одно из этих чисел нельзя считать пределом. В случае запрета. Вы можете сказать, что они оба являются определенным термином. Каждый член находится в малой окрестности предела. Здесь. Это просто неправда. И один на минус один наши так называемые предельные точки, вокруг которых можно найти бесконечное количество терминов.Однако предельные точки не обязательно являются пределами последовательности. Всегда существует только одна ограниченная последовательность. Помимо полномочий, важно видеть корни. Если вы получаете условия последовательности, взяв отброшенное число риалов, последовательность становится сходящейся к бомбе LTD. Как вы помните, если вы выберете более длинный маршрут, результат будет ближе к единице. Но что, если под маршрутом есть что-то еще? Введенный офф м тоже идет носком. Что, если и уходит в бесконечность? Это отличный результат, с которого вы можете начать, если столкнетесь с более сложными проблемами.Пожалуйста, помните об этом, есть еще одна интересная распространенная последовательность, которая хвасталась в почте экспоненциальным происхождением, пределом от одного плюс один и до отключения питания, и это число Ойлерз E в бесконечности. Это можно прекрасно доказать, но я не хочу утомлять вас этим. На самом деле, это определение числа Ойлерз, поэтому вы можете просто использовать его, если вам встретится подобная последовательность. В более общем случае фон плюс К закончился, и питание всегда отключено, а также сходится. Его предел есть до отключения питания K раз l.Это можно было бы доказать с помощью предыдущего результата. На самом деле, я покажу вам это на примерах задач. А пока просто знайте, что подобные последовательности имеют ограничения, связанные с числом Ойлерз. 5. Необходимое условие конвергенции: этот урок совершенно еретический. Но позвольте мне вкратце сообщить вам необходимое условие сходимости, которое вы могли бы использовать, если вы не можете связать последовательность с общим пределом или, что еще хуже, вы можете применить определение сходимости напрямую. К счастью, есть необходимое условие сходимости, которое гораздо проще использовать, чем определение сходимости само по себе.На практике вы обычно принимаете решение о сходимости, зная некоторые общие последовательности. Но с этим условием вы можете принимать решения о любых последовательностях. Сходимость. Последовательность сходится, если она возрастает и имеет полосы сверху, или сходится, если она убывает и ограничена снизу. В первом случае существует верхний предел, к которому термины становятся все ближе и ближе по мере увеличения их значения. Однако они никогда не могут пересечь этот верхний предел. Поскольку значение привязано сверху, вы можете найти наименьшее число, которое можно использовать в качестве этого верхнего предела.Последовательность собирается сходиться к смерти. Верхний предел. На практике вам не нужно определять наименьший верхний предел, чтобы сказать, что последовательности сходятся, если вы не можете сказать о числе, которое больше, чем члены последовательности, и вы также можете доказать, что члены последовательности последовательность в порядке возрастания, то вы можете быть уверены, что последовательность сходится. То же самое касается второго случая, когда нижний предел членов вне последовательности приближается к пределу. Так что на самом деле последовательность сходится к наибольшему нижнему пределу.Позвольте мне уточнить детали. Если вы хотите понять предыдущее определение, еще более монотонное Е можно определить двумя способами. Последовательность можно назвать возрастающей, если данный член последовательности больше или хотя бы равен предыдущему, так что единица плюс единица больше или равна а. Этого достаточно, если вы исследуете сходимость. Однако если кто-то говорит, что последовательность строго возрастает, условие говорит больше. В этом случае качество недопустимо. Я просто хотел упомянуть об этом, чтобы ознакомиться с терминологией.Кроме того, существуют убывающие последовательности, в которых данный член последовательности всегда меньше или равен предыдущему. И есть убывающие последовательности Стрита Ли, в которых данный член всегда меньше предыдущего. Что это значит? что последовательность ограничена просто, последовательность ограничена сверху. Если существует число, которое больше каждого члена последовательности. Это не очень официальное определение, но оно охватывает главное в другом направлении. Последовательность ограничена снизу.Если существует число, меньшее, чем Африка вне последовательности. Теперь, когда все выяснено, позвольте мне показать вам необходимое условие сходимости. Опять же, последовательность сходится либо в том случае, если она возрастает, образуя полосы от обоих, либо если она убывает и ограничена снизу. 6. Основные операции: важно знать, какие операции можно выполнять с последовательностями. Например, каков предел двух последовательностей? Если они в этом, давайте начнем с определения предела двух последовательностей.Предел AM — это заглавная буква A. На пределе за пределами — заглавная буква B. Эти последовательности будут использоваться в основных операциях. Если вы добавляете последовательности, добавляя каждый термин в последовательности к соответствующему термину в других секретах, вы получаете результат в последовательности. Предел для некоторых последовательностей такой же, как и для некоторых пределов для каждой последовательности. То же самое и с этой разницей. Вы можете просто взять разницу в пределах двух отдельных последовательностей. Если вы умножите каждый член из секретов на одну и ту же действительную константу, вы получите последовательность, для которой предел равен константе, умноженной на оригинал в ней.Естественно, если каждый член больше развернут, лимит нужно умножать на одинаковые костюмы. Если вы умножите члены последовательностей, чтобы получить новую последовательность, результирующий предел будет просто произведением пределов двух исходных больных Франции. Эти знания очень полезны. Вы можете столкнуться с довольно сложным продуктом, но если вы можете определить предел каждой части в отдельности, вы можете определить результирующий предел, решая простые задачи. Точно так же, если вы разделите члены последовательности на члены другой последовательности, вы также можете разделить пределы, чтобы получить предел результирующей последовательности от курса.Вы никогда не сможете делить на ноль, поэтому ни термины be an, ни заглавная B не могут быть равны нулю. Эти четыре основные операции часто используются на практике, поэтому обязательно применяйте их. Иногда даже лучше использовать последствия предыдущих минимумов. Позвольте мне показать вам некоторые случаи сейчас и позже. Вы увидите все на практике на числовых примерах. Итак, начнем. Если последовательность с пределом бесконечности задана на условиях выкл. Эта последовательность, умноженная в рамках известной теории, является константой, чем произведение, также расходящееся.Его предел будет бесконечностью. IFC не думает о нуле, если вы имеете дело с произведением, из которого одна часть стремится к нулю, а другая часть ограничена, чем произведение также стремится к нулю на бесконечности. Когда я говорю, что последовательности объединены, просто подумайте о любой последовательности, которая имеет партнерский лимит. Важно то, что be as limit не является классом для минус бесконечности. В этом случае предел продукта становится пределом нулевого умножения на что-то, что должно быть равно нулю. Если am стремится к бесконечности, вы можете рассуждать аналогичным образом, если предел B равен не нулю, а положительному числу, чем предел произведения равен бесконечности.Очевидно, бесконечность, умноженная на ненулевое число. Это была плюс-минус бесконечность. Если умножить на положительное число, получится плюс бесконечность. Если умножить на отрицательное число, получится минус бесконечность. Просто подумайте о продукте пределов в случае этих результатов, после того, как продукт будет. Давайте посмотрим на связи в случае дробей. Если am уходит в бесконечность и высмеивается чем-либо, отличным от бесконечности, результат становится бесконечным. Это тот случай, когда B M считается ограниченным.Его предел – некоторое законченное число. Если вы разделите бесконечность на это конечное число, у вас все равно будет бесконечность. Что, если М ее чувствует, но ни один серийный предел бытия не имеет нулевого предела. Если вы разделите что-то с числом, близким к нулю, результатом будет большое число. Если приблизиться к нулю в знаменателе, результат стремится к бесконечности. Если предел от AM положителен, то вы получаете плюс бесконечность. Если бы оно было отрицательным, результат был бы бин минус бесконечность. Важно отметить, что мы не делим на ноль.Мы просто делим на число, которое стремится к нулю, поэтому оно очень близко к нему, но никогда не достигает нуля, что важно, локальный рецепт от такого числа стремится к бесконечности. В последнем случае не быть ограниченным пределом за пределами бесконечности. Если разделить аффинити-число на бесконечную единицу, результат станет нулевым. Таким образом, этот результирующий предел равен нулю. Эти последствия можно легко применить на практике. Если они еще не ясны, не волнуйтесь. Будет лучше после того, как вы увидите образцы задач 7.Порядок величины: он основан на порядке величины функций по сравнению друг с другом. Если вы знаете это, вы можете легко вычислить пределы, даже если в последовательности присутствуют функции разных типов. Что я имею в виду, когда говорю о порядке величины? Даже в простых случаях существует различие по порядку величины между функциями одного вида. Например, а квадрат на порядок больше, чем это важно? Это определяет пределы этой котировки. Предел выключения и царапины над АМ бесконечен, так как вписано на порядок.Больше этого можно легко увидеть на языке, пишущем Кроче, и увидеть, что оно равно двум. Впрочем, выражения есть, но вот так просто перевыставить цитату и так просто не получится, а надо еще определить предел. Позвольте мне просто показать, как функции соотносятся друг с другом. Я пропустил доказательство, но каждое неравенство может быть доказано и в степени и имеет наибольший порядок. Следующим является факториал, а затем экспоненциальная функция, которая означает а в степени и где а больше сделано фон Со, например, а факториал на порядок больше вниз на два в степени выключения или на три в степень выключить.Но все же, в силу М больше, чем любая еда в выражении еды, как и в квадрате или мило. Если мы продолжим, вы увидите, что целое число pavers off больше, чем и в квадрате, что также означает отключение питания. И то с меньшим показателем. Самый низкий порядок величины принадлежит логарифмам. Выключен из этого списка ответов. Все эти выражения имеют бесконечную середину, но вы можете расположить их по порядку. Эти отношения важны на практике. Вы всегда можете использовать то, что выражение может быть разделено на другое выражение более чем на порядок, а фруктовое и бычье напряжены.Бесконечность, например, и степени выключения над факториалом имеет бесконечный предел. Если вы переключите числитель на знаменатель, предел станет равным нулю. Например, доходный em сверх и в степени К равен 20. Даже несмотря на то, что Бозель в знаменателе и числителе стремится к бесконечности, а в степени К составляет порядок, сказал Грейтер, результат становится равным нулю. Точно так же вы сравниваете любые функции и видите предел. Так вы доказываете родство между ними. А теперь просто наслаждайтесь этим. Вы можете использовать эти результаты. 8. Границы дробей – 1. Пример: после знакомства с этической основой террора на границах общих последовательностей. Теперь пришло время решить все виды задач, которые начинаются с пределов дробей. В первом примере мы должны определить пределы заданной последовательности, а термин “секреты” равен “и” “скрести”, “плюс пять” и “сверху” и “в кубе” плюс шесть и в квадрате “плюс девять” и “плюс один”. Предел исследуется на бесконечность, так и уходит в бесконечность, если и уходит в бесконечность, так вот и списывается.Следовательно, номинатор уходит в бесконечность. Точно так же все члены в знаменателе стремятся к бесконечности, кроме класса. Следовательно, размещенные, числитель и знаменатель расходятся. Мы должны определить предел вне суда и вне выражений, которые расходятся, но не очень. Давайте просто изменим более позднее выражение, чтобы избежать формата бесконечности над бесконечностью. Существует базовый трюк, который вы всегда можете использовать, когда вам нужно вычислить пределы дробей. Просто разделите каждое слагаемое на наибольшее.Под наибольшим термином понимается свод, который является наибольшим на бесконечности, например, в данном случае, а Куб гладче шести и скрежет, если и равен единице или двум. Но, конечно, куб больше подходит для огромных значений. Off and Cube на порядок больше всего остального в выражении. Таким образом, мы должны разделить числитель и знаменатель на милое вообще. Вам просто нужно искать самый большой показатель в случае с бедным Нахмиасом. И тогда вы должны просто делить с этим на практике, хвастаться числителем и знаменателем, может реформировать как милые времена, что-то н в кубе и в кубе просто бомба.Можно даже не записывать. Остальная часть выражения важна. В числителе слишком больше и плюс пять больше в квадрате, плюс три больше и мило, а в знаменателе одно классическое серебро и плюс девять в квадрате, плюс один больше в кубе. Разлом точно такой же, как и раньше, но легче обрабатывать пределы каждого члена в отдельности. Начнем с номинатора. Первое слагаемое равно to over as и стремится к бесконечности To делится на число, уходящее в бесконечность, следовательно, to over и boost 01 over и стремится к нулю.Это даже общий предел. Умножение на два не меняет его поведения. То же самое относится и к другим условиям до пяти и в квадрате также идет к нулю. По мере того, как толпа муравьев растет до бесконечности, и то же самое происходит с деревом и милой, как призрачная бесконечность куба, четыре члена в числителе стремятся к нулю в бесконечности. Точно так же вы можете иметь дело с племенами в знаменателе. Члены, разделенные на um и возведенные в квадрат или в куб, просто стремятся к нулю. Так что все идет в ноль, кроме классовой бомбы.Что вместе предел числителя равен нулю, так как это ноль плюс ноль плюс ноль. Доминатору нужно плюс ноль плюс ноль плюс ноль. Так что это предел один. Наконец, дробь идет к нулю, было весело, что означает ноль. У тебя не могло быть формальностей, Бёрк. После окончательного уравнения можно просто написать результат для предела без права Англии. Лима, как она есть, наконец, число, в котором последовательности сходятся в бесконечности, прежде чем получить результат, проголосовали за использование стрелок, чтобы отметить, что когда-либо выполняется каждое из них.Вы не можете просто проехать на этом до Антихриста ноль. Вы можете просто указать, что он стремится к нулю, если углы до бесконечности. Вот почему вы все время можете видеть, как я использую эти стрелки. 9. Пределы дробей – 2. Пример: продолжим определять пределы дробей. Во втором примере муравьиный член исследуемой последовательности пять раз в степени восемь плюс два раза и милый плюс 7/7 раз. Введите мощность в выключенном состоянии восемь плюс четыре раза и в степени пять плюс девять раз и в квадрате плюс один.Предел определяется, если и стремится к бесконечности. Чтобы решить эту проблему, мы можем применить то, что узнали на предыдущей лекции. Во-первых, давайте найдем член, который будет наибольшим для больших и значений. Наибольший член равен восьми в степени, так как он имеет наибольший показатель степени. Это разделить знаменатель и знаменатель. С этим термином числитель становится пятью плюс два больше введенной степени пять плюс семь больше и в степени выключенной восемь. В знаменателе получается семь плюс четыре в сумме и в кубе, плюс девять в степени шестой.Последний овер вошел в степень восьми. Мы можем просто написать единицу вместо того, чтобы вводить число восьми снова и снова в степени восьмерки, так как после этого шага записать его просто формально. Давайте просто исследуем каждое слагаемое отдельно, так как n стремится к бесконечности, каждое слагаемое, включающее единицу, закончилось, и мы победили, отключили питание. Что-то стремится к нулю на бесконечности. Вы можете отметить это для каждого термина. После этого можно проверить, какие члены не стремятся к нулю. Предел числителя будет равен пяти, а предел знаменателя — семи.Следовательно, предел дроби равен 5/7. Все остальные термины имеют нулевую ограниченную бесконечность, поэтому вам на самом деле не нужно заботиться о них. Вы можете применить эту материю для дробей. Это всегда будет работать. 10. Пределы дробей – 3. Пример: давайте посмотрим пример 1/3, который похож на предыдущие, но нам нужно сделать немного другое решение. На этот раз мы должны вычислить предел три раза в степени четыре плюс два раза и в квадрате, плюс восемь больше и в кубе плюс Т один. Давайте воспользуемся обычным значением и найдем наибольшую степень, в которую он введен, чтобы мы могли разделить все с помощью а в степени четырех и религиозного решения.После деления знаменатель читается как три плюс два в квадрате, плюс восемь в степени четыре в знаменателе оценивается как один больше плюс два больше и мило. Мы можем просто умножить на пять, так как он в любом случае равен единице. И после этого мы можем использовать то, что константа, деленная на am, всегда стремится к нулю при бесконечности в числителе, только тройка не будет стремиться к нулю. Все остальное стремится к ней в знаменателе. Все просто стремится к нулю на бесконечности. Таким образом, предел кажется 3/0.Нехорошо записывать это как этот момент, просто подумайте о конечном результате, у вас есть ненулевой предел для числителя, так как он будет равен трем. Это дерево делится на число, которое стремится к нулю, когда вы делите его, что-то настолько маленькое, что в результате деления получается большое число, так что вся дробь стремится к бесконечности. Он сквозной, как собственно вы уже могли узнать об этом на еретических уроках. По сути, вы можете использовать эти 3/0 для Инфинити Стигалл. В результате ездить на 3/0 не высокомерно.Поэтому я просто заключил его в скобки. Позвольте мне показать вам более высокомерное решение, которое позволяет избежать деления на ноль. Давайте просто учтем, что наибольший член в знаменателе — мило, давайте просто разделим на расстояние. Это приведет к результату, в котором знаменатель, безусловно, имеет нулевой предел. После деления числитель читается как три и плюс два к последним восьми больше и мило, а знаменатель читается как один плюс сделать больше и команда. Вы можете видеть, что на самом деле знаменатель не равен 10 к 0, так как предел от одного равен единице, только два больше, и он одет.Доходит до нуля в числителе, два больше и восемь больше, а милый идет до нуля, но три и уходит в бесконечность. Вы можете записать это в номинаторе. Есть термин, уходящий в бесконечность, и к нему можно добавить нули. Номинатор просто уходит в бесконечность. Знаменатель идет к единице. Так что, если вы разделите бесконечность на от, вы просто получите бесконечность как искусство ответов. Это оружие результат такой же, как и с другими вопросами. Но, возможно, решение простое, поскольку мы не можем делить с нулевым пределом в соответствии с исходной популяцией. Те, что я показывал вам ранее.Однако оба решения верны. Вы можете выбрать любой из них, который вы предпочитаете. 11. Пределы дробей – 4. Пример: пожив с Полиной едой, пора исследовать экспоненциальные выражения. В этом вынужденном примере мы должны исследовать дробь, включающую несколько экспоненциальных членов. Три в степени выключено плюс два в степени гм плюс 10 в степени 100 свыше пяти в степени и плюс мотористы хотят. Степень M – это дробь. По сути, мы должны сделать то же самое, что и раньше.Давайте искать величайшую девушку безраздельно с ней. 10 в степени 100 — довольно большое число, но все же это просто константа, поэтому она не может быть наибольшей ERM, экспоненциальные члены быстро становятся еще больше. Давайте выберем среди них, вам в основном нужно искать экспоненту с наибольшим основанием, которое будет равно пяти в выключенном состоянии. Гм, это срок, с которым мы должны делить все остальное после деления, мы можем пятничные термины, как хотим. Лучше писать 3/5 в степени и вместо того, чтобы просто использовать, обработать правильное над пятью в степени Почему так, если вы умножаете число более гладкое, чем единица, на себя, вы получаете меньшее число.Так что, если база объяснений показывает более гладкую, чем терм стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности, давайте проверим все члены. По термину нам действительно не нужен множитель впереди. Просто укажите, что разделить на пять в степени Итак, это всего лишь 3/5 в степени интенсивного 20, когда n стремится к бесконечности, как я уже упоминал об экспоненциальном, с более сглаженным основанием, один просто стремится к нулю, когда он становится меньше и меньше с каждым умножением аналогично более пяти в степени Ангуса от нуля до минус 1/5 в степени, гм в основном тот же случай.Не беспокойтесь о знаке минус. Это просто означает, что наука всегда меняется и становится больше. Но все же термин идет от 0 до 10 в степени 100, это постоянное число пять до отца АМ стремится к бесконечности. Поэтому, если вы разделите константу с ним, вы получите нулевой результат. Следовательно, этот член также стремится к нулю. Что вместе? Весь числитель обнуляется. Вы можете найти только единицы Нет нулевого числа в знаменателе, который равен единице. Результатом становится 0/1, который он закрыл нулем. Как видите, дело в решении такое же, как и в случае с перетаскиванием еды. Только наибольший член имеет законченный предел после деления. Таким образом, вы, очевидно, получите результат. 12. Пределы дробей – 5. Пример: позвольте мне показать вам, как вы можете использовать все, что вы узнали до сих пор. Разлом и содержимое, вытягивающее пищу без еды, и объяснение показывают 22 в выключенном состоянии, три выхода плюс один плюс три в степени один плюс два, плюс 25 в степени от более до более девяти до выключения питания am плюс и до степень шести умножить на два до отключения питания и исследуется Поскольку n стремится к бесконечности, решение должно быть обычным.Давайте найдем наибольшую сейчас, сразу найти наибольшую нелегко. 1 25 кажется наибольшей базой из всех финансовых показателей, но ее показатель не такой, как у других. Это разнообразие всего. Лучше иметь один и тот же показатель степени для всех экспертов на коротких сроках, которые используют эксперимент, и для каждого срока мы можем сделать некоторые перестановки для достижения этой цели. Вы можете видеть результат, но позвольте мне провести вас через шаги, с которых мы можем начать из-за отключения питания три и плюс один. Плюс один только в пути.Давайте заставим это исчезнуть. Плюс один в эксперименте с умножением на два, мы можем просто записать этот множитель Так что только два от отца от трех и остается Неважно, если вы возьмете два в степени трех были гордому отцу трех и тогда это в степени милый означает восемь. Так что это то, что вы можете видеть. Таким образом, мы идем два раза по восемь к выключению питания и заказываем другие термины таким же образом. Сила до и плюс два – следующий месяц.Последние два означают, что два умножения на три. Таким образом, в основном умножение на девять относилось к степени L, что равно девяти в выключенной степени. Хм, так как три отряда – это девять, и это возводится в степень 25, возводится в степень над делением двумя способами, извлекая квадратный корень. Давайте сначала сделаем это, а потом мчимся к силе муравьев. Прямо. 25 минут пять. Так что это на власти муравьев. Это было довольно много информации, но просто держите в уме поведение вне экспоненциальных терминов. С горькими плодами вы можете просто переформулировать эту формулировку довольно быстро.Теперь вы можете проверить наибольший срок, поскольку он будет означать наибольший срок, основанный на всех финансовых показателях. Почему мне все равно? С числом в степени шесть? Это просто трата Меллера в терминах на порядок выше, чем в экспоненциальных терминах. Я показал вам сравнение моих заказов. Это было раньше. Просто подумайте об этом. Максимальный срок девять до отключения питания. Эм, это самая большая база? Давайте просто разделим. Сделав это, числитель становится дважды умноженным на 8/9 в выключенном состоянии один плюс девять плюс пять за одну ночь.Отключение питания в знаменателе становится одним плюс введенное отключение питания шесть раз до более чем девяти. К власти лучше ездить кругами. Таким образом, он должен распознавать пределы каждого выражения. Множитель всего один, поэтому мы упрощаем, а затем давайте посмотрим на термины. Если что-то меньше единицы поднимает ставку, Отец, это будет 10 к 0. Следовательно, 8/9 в выключенном состоянии и идет 0 5/9 в степени нуля Антона, а предел выключен до более чем девяти в степени. выключено и также равно нулю.На самом деле вам не нужно заботиться о константе, где находятся игроки, так как постоянная годичной давности также равна нулю. Однако следует поговорить и о степени шести. Оно уходит в бесконечность, так что в основном происходит умножение, в том числе на бесконечность на нулевом пределе. На этот раз вы можете просто подумать о порядках величин, как я уже показывал вам ранее. Объяснение. Короткие термины имеют больший порядок величины, чем полиномиальные члены, поэтому, когда вы их умножаете, лишняя моя рубашка доминирует над поведением продукта.Таким образом, предел произведения равен нулю. Вы всегда можете использовать порядки величины, если есть разные типы функций. Что вместе предел числителя не меньше предела знаменателя? Ответьте, что предел дроби равен девяти. Вот как можно решить сложнейшее дело такого рода. 13. Поиск порядкового номера – 1. Пример: Теперь, когда вы знаете, как определять пределы дробей, давайте сделаем шаг вперед и найдем порядковый номер для сходимости.Позвольте мне показать вам все. Через пример дана последовательность. Это еще два раза в степени четыре минус и в кубе плюс четыре и более и в степени четыре минус и в кубе плюс восемь. Сначала должен быть определен предел, а затем необходим порядковый номер, для которого, если N больше этого порядкового номера, член муравья вне последовательности ожидает абсолютное расстояние до предела вне последовательности. Во-первых, просто забудьте номер индекса и сосредоточьтесь на расчете предела.Затем я покажу вам, как вычислить это в слабом числе. Найдем наибольшее слагаемое в дроби, которое находится под поверо на. Поделим на него каждое слагаемое. После деления числитель равен два минус один плюс плюс четыре плюс. Мило в знаменателе – это один минус один на плюс восемь и в степени четыре, как обычно. Все, что делится на и или его степени от 10 до 0, когда N стремится к бесконечности, поэтому числитель стремится к два плюс ноль плюс ноль . Если поставить галочку обратно, то в знаменателе получается единица минус ноль плюс ноль.Предел становится больше одного, что равно двум. До сих пор все шло как обычно. Приступим к решению второй части проблемы. Предел нужен как ввод, поэтому вы должны определить его, даже если это не отдельный вопрос. Собственно, вопрос немного, так как дано условие, с помощью которого мы можем определить порядковый номер. Члены последовательности записываются в обратном порядке на расстоянии до предела после этого конкретного порядкового номера. Это означает, что через некоторое время разница между членами последовательности и пределом меньше, чем Эпсилон.Это легко записать в виде формулы. N – это ответ. Отключите секреты Капитал Эл – это предел секретов, до которых он добрался в вашем случае. И, наконец, ab молчание — это просто произвольное число, которое показывает, насколько близкой должна быть последовательность к ее реальному состоянию. Разница исследована, но вы можете видеть, что я использую абсолютное значение разницы. Неважно, меньше я или больше предела. Нам просто нужно, чтобы эта разница была меньше, чем заданный ипсилон.Например, если верхний предел равен 0,18 и должен быть в пределах 1,9 на 2,4, в принципе, вы можете просто увеличить это неравенство и отпилить это абсолютное значение. Минус меньше эпсилон. Выражение общее. Теперь давайте посмотрим, как мы можем решить это математическое неравенство. Во-первых, было бы неплохо узнать, является ли выражение в абсолютном значении положительным или отрицательным. Глядя на них, как это не помогает мне. Я просто не в курсе. Лучше переформулировать. Первая идея состоит в том, чтобы использовать только одну дробь, в которой используется общий знаменатель для терминов, два умножаются, а также делятся на знаменатель другой дроби.Таким образом, мы можем получить общий знаменатель. Вы можете сделать умножение на. Тогда вы можете просто вычесть второй числитель из первой бомбы. Именно так мы получаем одну фракцию, которую мы можем исследовать. Эта дробь находится в кубе плюс четыре и минус 16 над введенным питанием при выключении четыре минус и в кубе плюс восемь. Давайте посмотрим, положительное оно или отрицательное, потому что я хочу оставить сторону абсолютного значения. Не забывайте, что M — целое положительное число. Согласно определению, знаменатель заведомо положителен, если ан больше или равен единице, а в степени четвертой также больше или равен мити.Единственный случай восторга ЭБУ – это равенство единице. Но в этом случае плюс восемь гарантирует, что знаменатель положительный. Со знаменателем сложнее. Оно будет положительным, если can достаточно велико в кубе и равно четырем, и оно будет положительным, и они будут становиться все больше и больше, так что в конце концов они будут больше 16. Вы должны проверить, что является первым положительным целое число, у которого знаменатель положительный. Попробовав, вы легко обнаружите, что даже для яичного дерева номинатор уже положителен.Таким образом, если а больше или равно трем, абсолютное значение положительного числа берется, так как и числитель, и знаменатель положительны. Таким образом, если а больше или равно трем, мы можем просто оставить знак абсолютного значения, который будет продолжаться без абсолютного значения в этой форме, которая в нашей политике очень устроена, и М может быть выражено половиной эпсилона. Однако я не делаю эту перестановку сразу. Почему бы нет? Потому что теоретически я мог бы это сделать. Но я никак не мог бы решить принудительный порядок в творении на практике, если вы гений и можете просто идти вперед.Если вы такой же, как я, вам лучше использовать оценку. В задаче никогда не говорилось, что мы должны давать наименьший возможный номер индекса. Нас попросили дать костюм выше, гм, про который последовательность написана вверх ногами на Это танцевали в пределе. Имейте это в виду. Вы можете просто использовать оценки. Я хочу гарантировать, что это исходное неравенство исчезнет. Итак, рассмотрим большее выражение с левой стороны. Если это меньше, чем вверх по происхождению, то оно тоже меньше. Чтобы использовать завышенную оценку, можно переоценить числитель или занизить знаменатель.Я завышаю числитель, не вычитая 16. Это определенно увеличивает знаменатель. Знаменатель занижен. Если восемь не прибавляется по мере уменьшения знаменателя, вся дробь становится больше. Это выражение, которое мы получили, проще исходного, но все же не самое лучшее. В чем моя проблема? В первом порядке есть выражение порядка 1/4. Выражение к разнице равно трем. Это означает, что даже если я разделю все на, гм, мне нужно будет обработать 1/3 порядка создания, чтобы найти правильное решение.Максимум, я могу справиться с созданиями второго порядка, поэтому нам все еще нужна недооценка. Это еще больше увеличивает числитель, чтобы член первого порядка исчез, а мило, безусловно, больше или равно, поскольку является положительным целым числом, поэтому четыре можно переоценить на четыре. острый. Это увеличивает все выражение. Следовательно, если пять и куб больше входят в степень четырех месяцев, а симпатичный меньше, чем Абсалон, исходное выражение будет меньше, чтобы, наконец, я получил неравенство, которое я могу решить.Это понадобится для первого заказа. На самом деле, это разделить на милое и решить неравенство. Пять больше и минус один меньше, чем эпсилон, мы можем переставить, чтобы получить условие для исходного неравенства, которое является полным полем, если число больше пяти на верхней стороне прошлой бомбы, это было решением. Но не забывайте, что было условие, которое мы использовали, чтобы оставить подписанным абсолютное значение. Это неравенство справедливо только в том случае, если n больше или равно дереву. Следовательно, подходящий номер индекса больше, чем максимальное значение off.Три на пять больше Ипсилон плюс Мама, зачем я это написал? Если пять больше эпсилон плюс бомба больше трех и в ней конец больше, то члены последовательности записываются абсолютным расстоянием до предела. Если пять больше эпсилон плюс связь меньше трех, то этого определенно недостаточно, чтобы сказать, что возможно больше пяти больше ипсилон. Вам также нужно, чтобы на этом больше или равно обращались, чтобы получить ценный результат на практике, просто обязательно используйте условие street ist. Если вы используете несколько условий при оценках и переформулировке, то просто укажите их все здесь.Максимальное отключение или условия – это то, что вам нужно от этого максимума, вы можете выбрать номер индекса по своему желанию. Это будет капитал, и это постоянное число. Прощенный Ипсилон. Если мелкие на сабе соскоблили, то последовательность больше этой столицы и чем сроки секретности достаточно близки к пределу. Проблема решена, если еще не ясно, просто присоединился ко мне в следующем уроке, чтобы увидеть дополнительный пример. 14. Поиск порядкового номера – 2. Пример: в предыдущей лекции я показал вам материю, с помощью которой можно искать порядковый номер.Теперь давайте посмотрим на дополнительный пример. Предок последовательности вписан минус 100 над тремя и мило, минус и квадрат, умноженный на кознак и квадрат. Мы должны определить предел от дроби на. Затем нам следует указать числовой индекс, выше которого Африка просыпается на пределе молчания. Начнем с лимита. Какой самый большой член в дроби? Это мило, поэтому мы можем разделить все в кубе после деления, числитель – это один плюс минус 100 плюс и куб, а знаменатель – три майнера, один больше и Times Co.Сторона и отряд. Пределы на один больше на 100 больше на симпатичных, очевидно, равны нулю. Поскольку n стремится к бесконечности, сосредоточимся на побережье. Знак продолжается. Scrat может принимать значения от нуля до бомбы. Простой со-знак или знак может варьироваться от минус один плюс один. Но, взяв квадрат, когда вы можете быть только положительными. Главное – найти, что береговая линия и квадрат связаны между собой. Оно не может уйти в бесконечность, а мы знаем, что единица больше, чем у Антона 20. Следовательно, их произведение также стремится к нулю как произведение числа сродства, а ноль всегда равен нулю.Это могут быть только сомнения, может ли Cosan стремиться к бесконечности, но он этого не делает. Итак, вернемся к дроби: числитель стремится к нулю, и это дерево, проверенное знаменателем. Предел последовательности становится равным нулю. Теперь, когда мы знаем предел, мы можем определить номер индекса. Давайте исправим неактивную идею. Абсолютное значение от разницы от муравьев выключается. Последовательность на лимите должна быть меньше верхней. Таким образом, мы берем муравьиный член из последовательности, которая представляет собой квадрат минус 100 над деревом, минус в кубе и квадрат времени вместе со знаком и отрядом субстрата. Предел, который равен нулю вниз. Мы берем абсолютное значение, мы должны проверить, есть ли положительное или отрицательное число в абсолютном значении. Мы должны получить одну фракцию, чтобы сделать. Наше решение – ваше. К сожалению, есть только одна фракция. Если бы предел не был равен нулю, нам нужно было бы привести слагаемые к общему знаменателю. Теперь изменим знак дробей. Знаменатель, безусловно, положительный. На кубе больше, чем на квадрате, так как это целое положительное число, так как квадрат более развернут, причем число не больше единицы.Товар однозначно меньше, хоть и симпатичный. А тут у нас трое и мило. Давайте проверим номинатора. Если он велик, он будет положительным. Точно. Если запрошено, то числитель равен нулю и выше смерти, а числитель положительный. Таким образом, если an больше или равно абсолютному значению nun, берется отрицательное число, поскольку знаменатель положителен, а знаменатель равен нулю или положителен. По сути, мы не можем забывать только об абсолютном значении. Знак рычага.Если выражение внутри абсолютного значения отрицательное, вы должны умножить его на минус единицу. Когда вы оставляете абсолютное значение, абсолютное значение отрицательного числа всегда равно минус одному, умноженному на это отрицательное число. Теперь у нас есть положительное число. Это абсолютное значение само по себе, поэтому мы должны найти значение, для которого квадрат минус 100 больше трех, а куб – четыре раза. Школа Сан и отряд. Он меньше, чем Эпсилон. Если бы я переставил это, я бы получил качество Анака с третьим Орденом, как есть и в кубе, и с константой.Также довольно трудно выразить l. Если есть и в кубе и по Коулсону и в одном и том же неравенстве, давайте избавимся от береговой линии и получим неравенство. С меньшим порядком мы можем переоценить левую часть. Номинатора довольно легко переоценить. Просто опустите минус 100. Если мы не вычтем 100, числитель станет больше. Это всегда стих, оставляя как можно больше терминов. Это облегчает вашу жизнь, особенно если вы просто их оставляете, а это приводит к переоценке. Со знаменателем немного сложнее, но если вы переоцените отряд косанов с одним, вы переоцените всю дробь. Отряд Хусейна находится между нулевой наковальней. Если вы используете фон вместо этого, то квадрат получает больший множитель, который для большего числа вычитается из знаменателя в этом лабиринте. Знаменатель меньше, если знаменатель меньше, чем дробь больше, поэтому на самом деле полезно использовать это в оценке. Если мы просто оставим термин с и в квадрате, мы получим недооценку, что нехорошо.Всегда обязательно обдумывайте это после получения завышенной оценки. Это довольно просто выразить. С дном. Мы можем просто пять его в квадрате. Остается только 1/3 на минус один. Он должен быть меньше, чем в перевернутом виде. Это, на самом деле, стоит, если больше, чем веселье над Абсалоном плюс одно над деревом. Не забывайте, что это верно только в том случае, если абсолютное значение от известных отрицательных чисел, взятых ранее, поэтому и должно быть больше или равно городу. Таким образом, подходящие порядковые номера больше 10 и больше единицы на аб молчание плюс 1/3. Так что максимум офф вниз и один над ипсилон плюс человек над тремя подходит. Кроме того, допустимы любые порядковые номера, которые превышают это значение для данного полуподписанта. Вы можете выбрать любой капитал, удовлетворяющий этому неравенству. Просто не забудьте использовать более строгие условия 15. Проблемные последовательности с квадратными корнями – 1. Пример: позвольте мне показать вам отличный материал, который вы можете использовать, когда имеете дело с квадратным корнем. Я хотел бы показать это на примере. Мы должны определить пределы от квадратного корня до квадратного корня, умноженного на три часа ночи, плюс два минус квадрат +03 на минус пять.Если вы посмотрите на эту последовательность, или вы увидите, что она известна прямоугольной дорогой и стремится к бесконечности, как уходит в бесконечность. Как каждый квадратный корень и уходит в бесконечность, так и те, что в скобках. Вот где проблема становится неприятной. Существует разница между двумя расходящимися членами, поэтому следует вычислить разницу между бесконечностью и бесконечностью. Мы не имеем никакого представления о пределе разницы в скобках. Вы можете видеть, что два члена имеют одинаковый порядок величины, так что разница может быть даже бесконечной.А может даже и ноль. Что, если ограниченный ноль Это не обязательно так, но если бы предел был бы нулевым для его разности, то у нас была бы проблема еще раз скребется к бесконечности, поэтому может быть бесконечно время нуля, так что все вместе вы можете видеть много сомнений. Мы, конечно, должны переформулировать это выражение. Что мы можем сделать. В основном все, что вам нужно, это тождество, которое поможет нам избавиться от квадратного корня. Это тождество есть минус в квадрате. B в квадрате равно двум a минус B, умноженным на a плюс B.Если вы примените разницу к некоторым, состоящим из одних и тех же терминов, вы получите пустые термины, отличные от нашего происхождения. Таким образом, вы действительно можете устранить квадратные оды. Давайте продолжим и сделаем это, поэтому нам нужно умножить. Но будь осторожен. Если просто умножить, получится другое выражение. Вы также должны разделить произведение на множитель. При этом рейт мы в основном умножаем на фарм, поэтому условия секретов не меняются. Только вид у них получается совсем другой, поэтому у нас получается умножение на деление.Мы должны сделать умножение, чтобы избавиться от квадратных корней в числителе. После умножения мы получили квадратный корень Реон Плюс два в квадрате, то есть три на плюс два, а чтобы получить майнеры в квадрате +03 и минус пять. Скретч, то есть минус три на минус пять. Все делается по идентичности. Наконец, мы получаем гораздо более простой числитель, который будет иметь предел сходства, или, по крайней мере, вы можете видеть, что знаменатель стремится к бесконечности. Но вы можете разобраться с этим позже. На следующем шаге мы можем просто вычислить разницу в знаменателе от дроби, а также умножить на возведение в квадрат.Следовательно, отсюда числитель становится семикратным в квадрате. Все идет. Как вы узнали ранее, когда я должен. Вы должны рассчитать пределы дроби. И числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, но нам не о чем беспокоиться. Это как раз право на термины с наибольшей, конечно, означает квадратный корень и, как это есть, единственный вид на который появляется. Итак, давайте разделим все на квадратный корень. В числителе семь умножается на квадрат, а в знаменателе становится квадратная добыча на дороге, плюс два над плюсом три минус пять над.Вы могли заметить, что езда с квадратным корнем и означает деление на нижеописанное. Именно поэтому, чтобы на пять поделены. Мы можем видеть, что пределы каждого члена два больше и пять больше и идут к нулю, а другие члены, которые не включают, просто идут к себе. Следовательно, предел числителя равен семикратному квадрату, а предел знаменателя равен квадратному корню из трех плюс ноль плюс квадратный корень относится к младшим нулям. Результат становится семикратным квадратом к более чем двукратному скрэбл-дереву.Это дело всегда работает так. Но позвольте мне показать вам несколько примеров для практики. А затем я также покажу вам, как работать со взглядами на путешествия, которые включают кубические корни. 16. Проблемные последовательности с квадратными корнями – 2. Пример: Продолжаем избавляться от квадрата. Устанавливают предел из квадратного корня для неповрежденных плюс минус квадратный корень для вписанного минуса и определяют на бесконечности. Если вы присмотритесь, то увидите, что предел обоих квадратных корней равен бесконечности. Следовательно, следует катлет бесконечность минус бесконечность.Еще раз, мы должны реформировать поздно это выражение, можно использовать обычное тождество. А в квадрате минус В в квадрате равно два минус три умножить на плюс Б. А минус В в основном верно. Вы можете увидеть в или оригинальной последовательности. Следовательно, мы можем умножить это на звук вне тех же терминов, поскольку произведение равно разнице в терминах нуля. Итак, давайте умножим на квадратный корень для и вписанный плюс два ну плюс квадратный корень для вписанного минус на. Но не забывайте. Также разделите с этим. Таким образом, мы в основном размножались по телефону.Возьмем продуктивное выражение в скобках по знаменателю. Новый числитель становится для всех прочерченных плюс два и минус для вписанных минус, и если вы вычисляете, разница для и в квадрате выпадает, и, наконец, выражение не будет в форме, пределом будет бесконечность минус бесконечность. В этом вся суть процесса. Номинатор становится равным трем, и после взятия разницы и, что более важно, мы убрали предка из последовательности за четыре месяца, где мы можем применить предыдущие знания о пределах переломов.Найдем наибольший член в выражении. Наибольший член числителя, очевидно, знаменатель. Наибольшее значение под квадратным корнем находится в квадрате, а квадрат – под квадратным корнем. Это означает тот же порядок величины. На этот раз это в основном, гм, так что это лучший вариант для обоих номинаторов на соединителе ужина. Мы можем разделить все с ним на знаменатель, ставший улицей и знаменателем. Мы работаем под квадратным корнем, поэтому надо делить все на шанс Краба. Вот так четыре в квадрате превращается в 42, а там два больше и минус и превращается в минус один больше. Теперь мы можем изменить предел каждого термина, делать это снова и снова, и мы будем равны нулю. И нет другого. И в конечном выражении, таким образом, предел знаменателей три в знаменателе идет на квадратный корень для плюс ноль плюс квадратный корень для минус ноль, что на самом деле означает на Таймс-сквер дорогу для как бордовый. Если вы устали от результатов, поговорите сначала с 3/4. 17. Проблемные последовательности с квадратными корнями – 3.Пример: позвольте мне показать вам еще более сложную задачу. Ответом на исследуемую последовательность является квадратный корень из и плюс один минус квадрат, два на минус один из квадратного корня и минус квадрат. Корень в служении. Мы должны определить предел как уход в бесконечность. Вы можете видеть, что все маршруты так и уходят в бесконечность. В этом случае мы могли бы получить соответствующий предел после деления на наибольший член, который устарел. Однако после деления пределы как числителя, так и знаменателя равны нулю.Поэтому нам нужно будет решить, что означает предел 0/0. Брат просто переформулирует все выражение. Избавимся от квадрата. Искорените это исходное выражение, чтобы иметь возможность принять различия. Как обычно, мы используем идентификатор. Писец минус B в квадрате равен минус B, умноженному на плюс B. Числитель и знаменатель выглядят как минус B. Мы можем проделать с ними тот же трюк. Умножаем и делим одновременно с квадратным на один плюс один плюс квадратный корень на один минус один, а также умножаем и делим одновременно с беличьим АМ плюс квадратный корень на министерство.Перейдем к продуктам. Номинатор первой дроби следует умножить на вторую дробь. Числитель и знаменатель первой дроби надо умножить на знаменатель третьей дроби. Таким образом, в первой дроби нет квадратного корня. Числитель тоже делается, и плюс один минус два и минус один, а знаменатель становится на минус и минус дерево. Вторые дроби, числитель и знаменатель третьей дроби становятся одним целым, когда мы используем их в произведении. Я просто сложил вторую и третью фракции вместе, так как мы продолжаем анализ в первой фракции, вы можете просто посчитать различия как следствие и выпадает из фракции только до более чем трех остатков от первого разлома. Его действительно упростили. Теперь нам нужно вычислить лимит вторых дробей. Это лучше, чем роман о происхождении, так как он не будет 0/0. В бесконечности мы можем просто разделить все на наибольший член, который равен квадрату. После деления с замешательством знаменатель становится один плюс квадратный корень, одно министерство больше и и знаменатель становится квадратным корнем два плюс один больше и плюс возводится в квадрат, чтобы это падение было больше, чем три, и веселье закончилось.И я собираюсь обнулить, как углы до бесконечности. Если мы запишем это, мы в основном получим результат. Предел второй дроби, числитель становится один плюс квадратный корень один, который равен двум, а предел его знаменателя становится умножить на квадрат, так что все вместе, предел становится Scrafford более трех. Как видите, снова Эдвард, хотя первоначальная задача была не такой, как раньше, я просто прошу вас помнить, что если вы столкнетесь с проблемами, содержащими квадратные корни, вы всегда можете использовать это значение.Кроме того, вы можете сделать что-то подобное в случае кубических корней. Уверяю вас, что на следующей лекции 18. Проблемные последовательности с кубическими корнями. Пример: позвольте мне показать вам, как получить кубический корень. Если вы не можете просто определить предел последовательности, это более сложная задача, чем в предыдущем месяце, но вы всегда можете подумать в тот же день. Ответом на последовательность является кубический корень и в кубе минус два и минус кубическая добыча и милый плюс шесть. Мы должны определить предел, когда N стремится к бесконечности.Оба плода расходятся, поэтому предел в настоящее время выглядит как бесконечность минус бесконечность. Давайте переформулируем. Однако кубический корень — это не то же самое, что квадратный корень, с которым вы легко справитесь. Сталь. Давайте использовать тот же тотализатор вместо минуса. Б. Было бы неплохо иметь их симпатичными, чтобы избавиться от кубического корня. К счастью, для этого существует надлежащее тождество дерьмового порядка, минус в кубе равен минусу. B умножить на A в квадрате плюс умножить на B плюс краб BCE. Это здорово для нас. Исходное выражение может сократить число минус би.Нам просто нужно взять его произведение с соответствующим множителем, и тогда мы получим то, что хотим. Мы можем расширить выражение, умножив и разделив одновременно. Это выглядит намного уродливее, чем процесс с квадратными корнями. Но это тоже работает. Откат A относится к добыче Кубы и в кубе минус два, а правило B относится к кубическому корню и милому плюс шесть. Соответственно этому отчислению от правил мы получили выражение, которое вы можете видеть теперь, когда мы знаем тождество. Так что просто взять продуктивное выражение в скобках в знаменателе.В результате должна быть разница между симпатичным и милым. Согласно розе, которую мы присвоили и поместили в куб, минус два — это мило, а мило плюс шесть — это мило. Знаменатель остается довольно сложным, но кого это волнует? Вам лучше сосредоточиться на номинаторе. Разницу можно вычислить и мило выпадает. Так что остается только минус два и минус шесть. Меня все еще не очень волнует, что вы формулируете знаменатель. Давайте просто попробуем найти наибольший член в выражении, которое является нашей главной целью.Сейчас. Наибольший ERM в числителе, очевидно, зависит от того, что больше в знаменателе. Кубический корень и милый равняется двум. Вы можете видеть, что Q Boots R в квадрате в первом и третьем члене знаменателя. Это означает, что они находятся в том же порядке, что и отряд. Второй будет также в том же порядке, что и мой. Это было. Есть чтение в кубе. Кубические корни подчинения Scoob Eudes имеют тот же порядок величины. Этот продукт относится к и в квадрате, поэтому наибольший член знаменателя становится отрядом.Это больше, чем на том, что было в номинаторе. Следовательно, мы должны делить все с ломом после деления, числитель становится минус два сверх на минус шесть сверх и лом. Номинатор немного сложнее, но я надеюсь, что вы можете следовать за мной. Простейший способ мышления состоит в том, чтобы понять, что деление на квадраты было сделано для того, чтобы исключить миловидность, которая находится внутри кубического корня, который также был поднят. Вторая власть в принципе только что поняла, что надо делить на n в кубе.Внутри кубического корня, например, первый член становится один минус два больше и царапина, как мило над кубом это один и два и больше, а мило слишком больше и царапается. Все делается аналогично. Позвольте мне показать вам другой способ мышления. Мы должны разделить на n в квадрате в знаменателе. В основном каждый кубический корень возведен во вторую степень. Если вы хотите ввести разделение в термин переписчиков, вам нужно только вывести его. Гм Теперь мы просто хотим разделить каждый кубический корень на. Если вы хотите провести деление на m внутри куба Ute, вы должны разделить каждый член на куб, потому что кубический корень из на кубе будет равен . Так вот как вы можете узнать, что для его получения. Это может быть сложной задачей, если у вас есть проблемы с экспонентой. Но, пожалуйста, теперь позвольте мне сосредоточиться на определении предела последовательности. Основная цель состояла в том, чтобы достичь этого этапа, когда мы можем проверить предел каждого термина. Оба члена в числителе от 10 до 0, т.к. и уходят в бесконечность. То же самое касается всего, что делится на квадраты и кубики. По разгону или по нулям видно, что осталось. Ноль делится на ненулевое число, вы получаете ноль.В результате это предел последовательности. В данном случае 19. Пределы, связанные с числом Эйлера (е) – 1. Пример: существует некоторая группа последовательностей, где предел может быть определен только с помощью определения числа Ойлерса. Позвольте мне показать их вам. Теперь давайте посмотрим на пример, в котором мы должны определить предел от одного плюс бомба на бумаге от трех и плюс два. Как я уже упоминал, определение числа победителей, которое может случиться, на самом деле является ограничением валиума. Известно, что предел один плюс один в степени равен быть. Если вы этого не знали, пожалуйста, запомните этот результат. Если вам нужно рассчитать пределы последовательностей, это часто возникает каждый раз. Если вы видите дробь, в том числе и в ее числителе и знаменателе, гонящиеся за правильным также в том числе и на, вы должны использовать этот результат вместе с пределом. Давайте попробуем найти этот плюс один и отключить наши собственные пайетки. На самом деле формат — это главное.Должен быть один плюс один над чем-то, о чем вам не нужно заботиться. Это что-то единственно важное, чтобы на этот раз иметь тот же показатель степени в знаменателе, и это знаменатель, поэтому я хочу видеть, и как показатель степени, чтобы сделать это, мы должны быть устроены. Текущий показатель степени, который равен трем и плюс к плюсу, означает только то, что вы должны умножить на один плюс один и удвоить это настроение, приложения можно просто делать отдельно, и тогда мы можем иметь дело с показателем степени три. Плюс два приводит к множителю один плюс один в степени до вместо показателя степени три, и вы можете использовать и в качестве показателя степени, и вы умножили этот плюс один на степень и сам по себе три раза.Вот как вы получаете три и в качестве показателя степени. И именно поэтому все выражение кубируется. На самом деле, все, что вам нужно, это экспоненциальные тождества. Если вы их знаете, вы можете легко переформулировать такие функции. Теперь мы можем просто перейти к проверке пределов за пределами пляжа до предела от 1/0, как обычно, и до бесконечности, его обратного призрачного нуля. Так что на самом деле выражение в скобках относится к Бонну, а также к эволюциям девушек из скретч-версии. Таким образом, Multipliers LTD – это всегда так, если эксперимент является законченным числом.Но если an — это показатель степени, стремящийся к бесконечности, то поведение будет совершенно другим: один плюс один сверх и в степени и стремится к e. Но почему, когда я говорю, что один плюс один больше, и переходит к единице, так что, принимая его схваченное выражение, руль переходит к единице? А то я говорю, что поднимая его муравьям надоедать. Результирующее выражение не увеличивается до 11 плюс один, а действительно доходит до единицы. Но это совсем другое дело иметь конечную или бесконечную экспоненту, равную единице плюс единице, и она немного больше, чем она умножается сама на себя.Бесконечные времена. Результаты могут быть больше, чем вы не должны быть в состоянии показать это, но, к счастью, мы знаем, что один плюс один в силе и будет, давайте вернемся к вашей проблеме. У нас действительно есть результат. Это e в степени 31 плюс один сверх и в степени и становится милым, поэтому все выражение становится милым, а затем этот предел следует умножить на телефон. Вот как вы можете справиться с такого рода проблемами. В следующих лекциях обещаю вам более сложные примеры, так что оставайтесь со мной, чтобы попрактиковаться.20. Пределы, связанные с числом Эйлера (e) – 2. Пример: после вводного примера, скажем, что-то более сложное, предел от плюс несколько сверх и минус желание в степени то и диез определяется как гнев до бесконечности. Сейчас мы обсуждаем тему, где каждый лимит привязан к номеру Ойлерз. Итак, у вас есть идея, что делать сейчас. Однако, если вы просто видите извлечение, в котором дробь, содержащая on, возводится в степень, также содержащую, и вы также должны подумать об ограничении значения один плюс один сверх и в степени и будет равно n, стремящемуся к бесконечности.Это результат, который мы можем использовать в решении, которое мы должны искать месяцами. Есть один плюс один над чем-то, возведенным в степень, равную знаменателю. Давайте получим этот формат, чтобы получить его. Мы действительно должны выполнить деление, и плюс семь должны быть разделены на n минус один как Пелино Миа. Как мы можем это сделать? Давайте переформулируем числитель, чтобы увидеть, как он связан со знаменателем, так что на самом деле это скорее знаменатель в числителе. Главное следить за числителем и в числителе, константы тут не при чем.Итак, сначала плюс семь эквалайзеров и минус один плюс восемь. Теперь, если вы разделите и минус один на конец минус месяц, вы получите один. Другая часть номинатора может просто остаться восьмеркой. Итак, у нас есть один плюс дробь, то есть восемь плюс минус один. Вот мы и приблизились к желаемому. Ибо есть один плюс дробь. Мы хотели бы повеселиться как знаменатель этого перелома. Чтобы получить это, они могут просто разделить числитель и знаменатель на восемь. Таким образом, предок сикхского Вэнса становится один плюс 1/1 более восьми раз и минус один в степени до теперь, единственное, чего не хватает.Чтобы соответствовать известному результату, показатель степени и знаменатель перелома должны совпадать. Вы можете просто записать знаменатель в показатель степени, а затем вам нужно преобразовать выражение, чтобы оно было равно оригиналу. Вы можете увидеть решение, если оно есть, но позвольте мне пройти через шаги. Как я уже говорил, мы просто записываем знаменатель в показатель степени. Затем мы должны выразить оригинал для эксперимента с 1/8 умножить на минус мама до равно 2 16 умножить на 1/8 умножить и минус один плюс два 16 умножить на 1/8 умножить и получить два вниз 16 умножить, 1/8 умножить минус хорошо дает U минус два, которых изначально не было. Следовательно, нужно добавить to, чтобы вы могли видеть, что эксперимент 1/8 раз и минус один нужно провести 16 раз. Именно поэтому он находится в 16-й степени. Тем не менее, осталось умножить от одного вида. Вы можете просто написать их отдельно. Это дает вам второй член продукта, который вы видите. Теперь, когда у нас есть последние четыре месяца, мы можем определить лимит. Предел выключения 1/1 более восьми раз и минус один равен нулю. Итак, один плюс ноль будет vom. Если вы возьмете Scrabble, выражение в скобках, предел все еще Ну, а как насчет другого термина от продукта, вы можете заметить, что формат один плюс один сверх и в степени am появляется здесь, конечно, потому что мы хотели см., что эта часть идет, чтобы быть согласно фургону.Один результат. Вы можете видеть, что это выражение поднято 16-м парикмахером. Таким образом, результатом будет e в 16-й степени. Как выражение, идущее в ногу, он возводится в 16-ю степень, а затем более развертывается с чем-то, что идет в единицу в бесконечности. Это была непростая задача. Но вы всегда должны найти единицу плюс единицу над N в степени и в исходном выражении, и тогда все готово. 21. Пределы, связанные с числом Эйлера (е) – 3. Пример: позвольте мне показать вам еще один пример. Вне ограничений, связанных с количеством «Ойлерз».Последовательность для исследования вписана. Управляйте один раз в квадрате, плюс пять до отключения питания и в квадрате плюс три. Подобно последовательности, увиденной в предыдущей лекции о Материи, она также остается прежней. Мы знаем, что предел один плюс один сверх и в степени и равен двум e Давайте получим или последовательность в этом первом. В качестве первого шага мы можем выразить знаменатель через числитель. Числитель может быть записан как квадрат плюс 5 +906. Это равно двум и квадрату минус мама.Но теперь легче увидеть результат деления один минус шесть больше и в квадрате плюс пять возводится в выключенное состояние и возводится в квадрат Blustery. У нас есть несколько вариантов следующего шага. Этот подход к машине отличается от предыдущего. Пусть показатель степени будет равен знаменателю дроби. Таким образом, новый показатель степени равен n в квадрате плюс пять, поскольку n в квадрате плюс пять больше исходного расширения. Мы должны разделить новые экспоненциальные члены на что-то, чтобы вернуть исходное выражение в виде царапины.Плюс три плюс два равно два л в квадрате плюс пять. Нам нужно дважды разделить выражение в скобках. Вы можете проверить, что результирующее расширение действительно равно квадрату плюс три. Продолжим переформулировку. Я хочу иметь один в номинатор перелома. Кроме того, я хотел быть плюсом, как один плюс один сверх силы и сикхского поста без ограничений. Вот и делим знаменатель и знаменатель на минус шесть. Таким образом, новый числитель будет плюс падение знаменателя.Множитель минус 1/6 появляется после того, как мы разделим на 96. Поместите четыре месяца от экспрессионистского правильного с показателем степени, который должен быть переформулирован Вэнсом снова, новый знаменатель становится новым показателем степени. Чтобы было оригинальное выражение. Это новое превосходство следует умножить на минус шесть. Следовательно, все экспоненциальные члены возводятся в степень минус шесть. Вот так мы получаем окончательный формат. Эта последовательность, выражение в квадратных скобках идентичны результату Valium. Эта часть будет приближаться к бесконечности, это очевидно.Это сделанная ценность или усилие. Эта часть возведена в выключенное состояние минус шесть, что и должно появиться в результате. Но сначала давайте позаботимся о множителе. Предел от шести в квадрате плюс пять определенно равен единице, так как уходит в бесконечность. Если вычесть это из единицы, предел останется единицей. Если вы возвысите это до второго правильного, предел будет начат. Стальная мама, ну что ж, если брать ответку, предел далеко. Это всегда так. Все множители, которые появляются из-за компенсации экспоненты, будут уменьшаться, поскольку будут стремиться к бесконечности.Результат становится e в степени минус шесть, поскольку первая часть возведена в степень минус шесть. На этой Е в степени минус шесть умножается платформа. Если вы поняли этот пример, вы можете решать практически любые задачи в этой теме. 22. Теорема сжатия: эта теорема о сгибе или что-то вроде хорошего бутерброда с вашей рукой – это Т-образная форма, которая очень часто используется для них. Практикуйтесь в соответствии с бутербродом к евро, если мы знаем, что лимит отключен от А и Б и на одном и том же реальном числе. И есть последовательность Терка, которая находится между ними, что CNN также сходится, и ее предел – то же число риелей.Я сказал, что ЦРУ находится между двумя другими эпизодами. Это означает, что если вы сравните термины off, см. термины M, каждый член будет больше, чем соответствующий термин A. Кроме того, если вы устроите соревнование, чтобы каждый термин бытия был больше, чем соответствующие термины выключенный. Видите, следовательно, недооценка. Переоценки Andan достаточно, чтобы определить предел последовательности. Вам просто нужны последовательности, которые на практике имеют известные пределы. Вы должны изучить секреты, посмотреть, не сможете ли вы сразу получить его предел.Затем вы можете использовать оценки. Вы можете создать недооценку, уменьшив условия ЦРУ. Вы просто должны быть осторожны, чтобы выбрать недооценку, для которой вы можете рассчитать предел. Кто так вы можете выбрать завышение. Если две оценки имеют одинаковый предел, то вы получили ограничение от CNN до тех пор, пока эти две оценки не имеют одинакового предела. Но у них есть предел, по крайней мере, вы знаете, что ЦРУ сходится, и его предел находится между пределами двух других последовательностей. На экранах также может быть небольшой поворот.Можно использовать только по занижению. Если я меньше, чем см. термин барристер и А, и расходится, то с и также расходится. В принципе, бесконечность можно рассматривать как завышенную оценку КВМ. Так ты вернешь бутерброд в Европу. Этот метод хорош, если вы подозреваете, что имеете дело с последовательностью дивергенции. Если это ваша интуиция, вы можете просто написать недооценку. Есть и другой случай, когда он использует только завышение. Если абсолютное значение off см. меньше, чем абсолютное значение am почленно на live it off am ноль, то ограничитель.ЦРУ тоже ноль. Поэтому, если вы подозреваете, что последовательность стремится к нулю на бесконечности, вы можете просто переоценить то, что также стремится к нулю. И вы доказали, что ваш подозреваемый Шин. Если вы думаете о последовательности нулей, у вас сразу нет недооценки. Так что на самом деле это означает диск Reese с мочой в любой ее форме. Сэндвич-дирхам очень полезен, так что давайте продолжим и воспользуемся им. 23. Теорема о выдавливании – 1. Пример: в этой лекции я покажу вам, как применять осыпной руль. Гм, на практике исследуется предел от маршрута тети и плюс три.По мере приближения к бесконечности. Вы не можете получить этот лимит напрямую. Но есть две похожие последовательности, в которых мы можем быть куклой, и через C потребуется постоянная площадь меток милосердия. Это просто. Чем больший маршрут пройден, тем ближе результат к тому, что сложнее увидеть. Но предел от сквозного и тоже один, как и уходит в бесконечность, хотя и уходил бы в бесконечность. Маршрут доминирует над поведением вне Stroot. Так что предел действительно бомба. Вам не нужно доказывать это.Просто используйте их, если они вам нужны. Теперь мы можем применить эту складчатую эру. Приходится недооценивать исходное выражение. Мы должны быть осторожны с выбором оценок. Мы должны получить более легкую задачу, чем исходная печь, а также обе оценки должны иметь одинаковый предел. Давайте начнем с недооценки и бросили их меньше, чем Trude on Blustery Mystery не добавляется к Это отличная оценка, поскольку предел сквозной и, как известно, идет к единице, как углы к бесконечности.Так что с недооценкой мы уже разобрались. Посмотрим на завышение и будем надеяться, что у него такой же предел. Я показал вам пределы, которые мы знаем. Было бы неплохо иметь только один член под маршрутом, чтобы получить, что мы можем просто переоценить дерево на три часа ночи, так как положительное значение в дереве рывков определенно больше трех. Если больше чем и они апрель. Если паниковать, то в первую очередь это неравенство означает положительное целое число и значения, которых вместе имеется четыре на подмаршруте.Это более простое выражение, чем предложение происхождения, но все же оно ограничено. И, гм впрочем, его можно еще расширить до двух чуваков и через четыре раза и кинуть их, это лучшая форма на пределе этих уже известных и через константу и андрю и тоже собирается до одного, так как n стремится к бесконечности, так как они оба будут бомбить, то и продукт тоже будет один, так что у нас есть лимит на завышение. К сожалению, это то же самое, что и предел недооценки. Здесь неправильно используется осыпной руль, поскольку пределы оценок одинаковы.Предел исходной последовательности также такой же, как и должен быть между двумя оценками, поэтому и через плюс дерево тоже заходит слишком далеко. Это то, что мы искали, Сильвия уже. В основном каждый порт в еде и фруктах имеет ограничение в один. Но это то, как вы проходите через это. 24. Теорема сжатия – 2. Пример: позвольте мне показать вам еще один пример, в котором бутерброд к вашему, гм, должен быть применен предел и выбросил четыре и в степени пять плюс семь. Шабби определился.До сих пор неизвестно, что маршрут тети См. идет к одному. Если видит площадь постоянную и лимит отключается Эндрю и тоже заканчивается. Давайте поищем оценки, с помощью которых мы можем использовать их, чтобы найти предел исходной последовательности. Начнем с недооценки. Мы можем опустить плюс семь, чтобы уменьшить выражение, или мы можем просто опустить для и в степени пять. Оба они могли бы работать, поскольку оба они сдаются в аренду по предварительной оценке, конечно, если мы просто опустим плюс семь. Оценка ближе к исходному выражению.Однако ответил. Семь может быть легче 100. Итак, теперь я пытаюсь использовать это как оценку, поскольку семь — это постоянное число, а неправда семи — это неверный расчет. Предел теперь один. Таким образом, мы получили ограничение на последовательность, меньшую исходной. Давайте продолжим с завышенной оценкой и будем надеяться, что ее предел плохой. Таким образом, просто мы можем переоценить семь в семь раз и в степени пять, так как это положительное целое число. Эта оценка верна. Что вместе есть 11 и в степени пять.Мы не знаем предела напрямую, но мы можем использовать пределы с точки зрения продукта, и сквозное 11 умножается на сквозное и в пятой степени, которое может быть съедено рекой как сквозное и в пятой степени. . Здесь я использую, что не имеет значения, рассчитываете ли вы маршрут по мощности для или в обратном порядке. Технически, показатель степени пять больше. Но давайте не будем усложнять и воспользуемся этой формой. Важно, чтобы мы сначала сняли ответ с них, потому что предел этого выражения теперь составляет один Юстус.Предел от до 11 далеко. Предел произведения также становится единицей, поэтому предел переоценки такой же, как и предел недооценки, согласно этому сморщенному уху, гм, поскольку пределы оценок одинаковы, предел исходной последовательности равен тоже самое. Следовательно, предел исходной последовательности исчерпан. Слишком далеко, 25. Теорема сжатия – 3. Пример: позвольте мне показать вам более сложную задачу. Муравьи терминируют исследуемые последовательности и через дерево и в квадрат, минус 1/5 и в квадрат.Кроме того, мы должны рассчитать его предел. Поскольку мы на самом деле не знаем этого напрямую, мы можем обратиться за помощью к бутерброду. Еще известно, что лимиты от ан через Си и Андрея на нашем хозяйстве надо использовать именно эти. Давайте найдем подходящий способ недооценить последовательность. Под маршрутом есть дробь. Существуют различные термины до второго порядка, причем что, если бы все термины были бы одного вида, например, только и в квадрате были бы дробью. Тогда мы могли бы легко упростить перелом.Я сделал оценку. По предыдущему старту номинатор занижен, так как я оставляю в стороне, что однозначно было бы больше или равно нулю. Там было три метра в квадрате, смотри минус один, и я пропустил и отряд минус мама для любого первого из одного. Оно равно нулю, но для всех остальных значений выключено и положительно. Поэтому я действительно пропустил выражение, которое либо равно нулю, либо положительно. Они исключили его из числителя, из-за чего числитель меньше, а дробь меньше знаменателя, поэтому дробь должна быть увеличена.Именно поэтому я переоценил по внесенным. Это не единственный способ недооценки, но это определенно недооценка, которая работает после того, как вы получили какую-либо недооценку, вы можете просто бороться сейчас. Таким образом, я могу просто сражаться отрядом только до шести оставшихся. Предел того, что один, как есть, и скинул постоянное число. С недооценкой все в порядке. У меня есть результат. Теперь возьмем завышенную оценку. Моя цель та же, что и в случае другой оценки.Давайте просто иметь члены второго порядка. Я увеличиваю числитель, опуская минус. Это увеличивает количество переломов. Разрушение также увеличивается при уменьшении знаменателя. Поэтому я опускаю плюс, который действительно увеличивает знаменатель. Я могу упростить эту оценку. Так что это неправда 3/5. Его предел равен +12, так как пределы оценок одинаковы. Предел исходной последовательности такой же, так что это равносильно желанию 26. Спасибо!: Поздравляю. Вы достигли конца баллов.Спасибо за внимание и за то, что остаётесь со мной. В конце курса. Я рад, что вы решили учиться со мной. И я надеюсь, вам понравились лекции. Если вы еще не выполнили классный проект, попробуйте решить задачи самостоятельно. Если вы найдете сложную задачу, вы можете поделиться ею с другими. Мы можем решить это вместе. Увидимся.

лимитов. Начало исчисления | Каспер Мюллер

Начало исчисления

Табуретка / Wikimedia Commons

Это вторая часть из серии статей, где моя цель — научить исчислению с нуля.

Первую можно найти здесь.

Самая фундаментальная и важная концепция для понимания в исчислении — это предел .

Как и многие другие объекты математики, пределы можно понимать с разных уровней. В этой статье я постараюсь предоставить вам несколько различных уровней понимания, чтобы вы могли понять внутреннюю работу исчисления по мере того, как мы продвигаемся по этому предмету.

Как вы увидите в следующих статьях, ограничения так же важны для вычислений, как числа для арифметики и формы для геометрии.Поэтому мы должны убедиться, что действительно хорошо поняли ограничения, прежде чем продолжить.

Предел в каком-то смысле так и звучит. Все дело в том, что некоторая последовательность чисел все ближе и ближе приближается к определенному числу.

Зачем нам это?

Представьте, что у вас есть функция, скажем, f(x) = sin(x)/x . Давайте посмотрим на график его графика:

sin(x) / x

Это выглядит как хорошо работающая функция, также при x=0. Но подождите… Как мы определяем эту функцию при x=0? Все мы давно усвоили, что на ноль делить нельзя.Это самая незаконная вещь в математике!

А вот очень красивый график этой функции. Чтобы правильно определить эту функцию, нам действительно нужно определить ее при x ≠ 0 и при x = 0 отдельно, потому что да, вы не можете делить на ноль.

Но вы можете спросить себя, есть ли значение, которое имеет смысл в качестве выхода для этой функции в 0. В частности, существует ли значение, которое делает функцию непрерывной в 0? Несмотря на то, что нам не разрешено подставлять 0, нам разрешено , чтобы x было произвольно близко к 0 в выражении sin(x)/x .

Тогда возникает естественный вопрос:

Есть ли способ, которым можно подойти бесконечно близко к числу?

Давайте подумаем, как мы могли бы сделать это математически более точным. Нам нужно математическое определение того, что мы подразумеваем под «приближением» или «движением к» некоторому числу.

Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность действительных чисел:

Тогда можно сказать, что действительное число L есть предел этой последовательности, если верно следующее:

Независимо от того, насколько маленькое число я выберу, скажем, ε > 0, вы можете дать мне достаточно большое число, такое, что если я выберу любое число больше, чем, скажем, n , то n-й элемент приведенной выше последовательности имеет расстояние до L меньше ε.

Другими словами, последовательность сколь угодно близка к L. На математическом языке мы можем сформулировать вышеизложенное следующим образом.

но опять же, вам не нужно понимать это определение эпсилон-дельта. Ограничения лучше всего усваиваются на практических задачах.

Мы обозначаем предел двумя разными способами. Вышеприведенное можно записать как

, но тогда вы должны знать, что предел существует, потому что иначе это не имеет никакого смысла. Другой распространенный способ записать то же самое следующий:

однако здесь предел не обязательно должен существовать, то есть L может быть бесконечностью.Вы можете ограничивать не только последовательности, но и функции в целом. Таким образом, в общем, если f — функция с действительным знаком, а c — действительное число, мы пишем:

Вы должны думать об этой нотации как о вычислении f по c , если возможно, или иначе по числу «бесконечно близко к» c . Конечно, вы знаете, что на самом деле происходит определение эпсилон-дельта.

Вопрос в том, как рассчитать лимиты?

В некоторых случаях ответ очевиден.Например, совершенно очевидно, что если c ≠ 0, то

Но если c = 0, то нужно быть осторожным. Функция 1/x не является непрерывной в 0, поэтому предел зависит от того, каким образом мы приближаемся к 0. Если мы приближаемся к 0 сверху (справа), то ответ будет ∞. однако, если мы подойдем к 0 снизу (слева), то ответ будет -∞.

Вернемся к нашей задаче выше с f(x) = sin(x)/x . Нам не разрешено подставлять 0 , но нам разрешено приближать x к 0 в выражении.Но как мы на самом деле рассчитываем предел?

Оказывается, есть много решений этой проблемы. Но все они зависят от инструмента под названием деривативы, и я не предполагаю, что читатель знаком с деривативами (хотя я знаю, что многие из вас знакомы). В конце концов, это введение в исчисление, и мы еще не говорили о производных, поэтому нам нужно найти другой способ вычисления этого предела.

Подумайте немного о функции sine .

В качестве входных данных принимает число, соответствующее углу θ, и выдает длину противоположной стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность.

Stephan Kulla / Wikimedia Commons

Давайте попробуем представить, что произойдет с выходными данными, если мы позволим θ стать очень близким к 0. если подумать, мы видим, что они делают это примерно с одинаковой скоростью. Другими словами, кажется, что отношение между длиной противоположной стороны треугольника и углом θ становится близким к 1, когда угол приближается к 0.

Это действительно можно уточнить, и мы уточним его в более поздняя статья с использованием производных, ряда Тейлора и правила, называемого правилом Лопиталя.

Теперь мы можем определить нашу функцию:

Удивительно то, что эта функция не только непрерывна в 0, но и дифференцируема в 0.

Мы никоим образом не закончили с ограничениями. Они пронизывают исчисление и все его поддисциплины как упрямый старый друг, от которого мы, кажется, не можем избавиться. В следующих статьях, по мере нашего развития, мы будем развивать инструменты для вычисления пределов, такие как

Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ позволяет создавать список последовательных чисел в массиве, например 1, 2, 3, 4.

В следующем примере мы создали массив из 4 строк в высоту и 5 столбцов в ширину с помощью =SEQUENCE(4,5) .

Примечание. В настоящее время эта функция доступна подписчикам Microsoft 365 в Current Channel. Он будет доступен подписчикам Microsoft 365 в полугодовом корпоративном канале, начиная с июля 2020 г. Дополнительные сведения о развертывании функций для подписчиков Microsoft 365 см. в статье Когда я получу новейшие функции для Microsoft 365.

Синтаксис

=ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(строки,[столбцы],[начало],[шаг])

Аргумент

Описание

строк

Обязательно

Количество возвращаемых строк

[столбцов]

Дополнительно

Количество столбцов для возврата

[начало]

Дополнительно

Первое число в последовательности

[шаг]

Дополнительно

Сумма для увеличения каждого последующего значения в массиве

Примечания:

  • Массив можно рассматривать как строку значений, столбец значений или комбинацию строк и столбцов значений. В приведенном выше примере массив для нашей формулы ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — это диапазон C1:G4.

  • Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ вернет массив, который будет разлит, если это окончательный результат формулы. Это означает, что Excel динамически создаст диапазон массивов соответствующего размера, когда вы нажмете ENTER .Если ваши вспомогательные данные находятся в таблице Excel, размер массива будет автоматически изменяться при добавлении или удалении данных из диапазона массива, если вы используете структурированные ссылки. Дополнительные сведения см. в этой статье о поведении перенесенного массива.

  • Excel имеет ограниченную поддержку динамических массивов между книгами, и этот сценарий поддерживается, только если открыты обе книги . Если вы закроете исходную книгу, все связанные формулы динамического массива вернут ошибку #ССЫЛКА! ошибка при обновлении.

Пример

Если вам нужно создать быстрый пример набора данных, вот пример использования ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ с ТЕКСТ, ДАТА, ГОД и СЕГОДНЯ для создания динамического списка месяцев для строки заголовка, где базовой датой всегда будет текущий год. Наша формула: =ТЕКСТ(ДАТА(ГОД(СЕГОДНЯ()),ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(1,6),1),”ммм”) .

Вот пример вложения SEQUENCE с INT и RAND для создания массива из 5 строк на 6 столбцов со случайным набором возрастающих целых чисел. Наша формула:  =ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(5,6,ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*100),ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*100)) .

Кроме того, вы можете использовать =SEQUENCE(5,1,1001,1000) для создания последовательного списка кодов GL в примерах.

Нужна дополнительная помощь?

Вы всегда можете обратиться к эксперту в техническом сообществе Excel или получить поддержку в сообществе ответов.

См. также

ФИЛЬТР

Функция СЛУЧАЙ

Функция СОРТИРОВКИ

СОРТИРОВАТЬ функцию

УНИКАЛЬНАЯ функция

#ПРОЛИВАТЬ! ошибки в экселе

Динамические массивы и поведение разлитого массива

Неявный оператор пересечения: @

Зарегистрируйте контакты в последовательности

Используйте последовательности для автоматизации работы с вашими контактами. Вы можете зарегистрировать отдельные контакты из записи контакта или выбрать несколько контактов для массовой регистрации.

Настройте время отправки электронной почты, отредактируйте задержки между этапами последовательности, а затем персонализируйте каждое электронное письмо перед регистрацией контактов, чтобы увеличить количество ответов.

Последовательности больше не обновляют свойство этапа жизненного цикла контакта . Если вы хотите обновить свойство стадии жизненного цикла для зарегистрированных контактов, вы можете сделать это с помощью действия Установить значение свойства в рабочем процессе.

Обратите внимание: для последовательной регистрации контактов необходимо назначенное платное место Центр продаж или Центр обслуживания Professional или Enterprise . Также существует ограничение на количество последовательных электронных писем, которые пользователь может отправлять каждый день. HubSpot не сможет увеличить лимит отправки электронной почты.

Вы можете зарегистрировать один контакт из его записи в HubSpot. Каждый контакт может быть зарегистрирован только в одной последовательности одновременно.Чтобы зарегистрировать контакт в другой последовательности, его необходимо сначала отменить из текущей последовательности.

  • В своей учетной записи HubSpot перейдите к Контакты > Контакты .
  • Выберите контакт для регистрации.
  • На левой панели щелкните значок Электронная почта Электронная почта.

  • Во всплывающем окне щелкните Последовательности .
  • В диалоговом окне наведите указатель мыши на последовательность и щелкните Выберите .
  • В верхней части диалогового окна Зарегистрировать последовательность щелкните раскрывающееся меню Начать с и выберите шаг, с которого вы хотите, чтобы контакт начал последовательность. Затем щелкните раскрывающееся меню Часовой пояс и выберите часовой пояс. Все электронные письма и задачи последовательности будут отправлены или созданы в выбранном часовом поясе.
  • Чтобы переопределить настройки последующих действий последовательности по умолчанию, в правом верхнем углу щелкните Настройки . Эти настройки применяются только к сообщениям электронной почты и задачам, которые выполняются после первого шага в последовательности.
  • По умолчанию первое письмо в последовательности будет отправлено как можно скорее. Чтобы указать время отправки для первого шага, щелкните раскрывающееся меню Отправить сейчас и выберите Отправить позже . Затем используйте средства выбора даты и времени и выберите дату и время .
  • Для каждого электронного письма, которое следует за первым автоматическим электронным письмом в последовательности, щелкните раскрывающееся меню Отправить электронное письмо в и выберите, сколько дней или недель должно пройти после предыдущего шага, прежде чем электронное письмо будет отправлено.
  • Если вы используете токены-заполнители в электронном письме, а значения для выбранного контакта отсутствуют, токены будут отображаться красным цветом вверху. Щелкните токен , затем введите значение и нажмите Обновить все . Повторите для каждого токена в шаблоне.
  • В нижней части шаблона электронной почты используйте панель инструментов форматированного текста, чтобы отформатировать текст или вставить ссылку, фрагмент, документ или добавить видео.
  • Для каждой задачи последовательности можно настроить количество дней или недель, которые пройдут до создания следующей задачи.
    • Чтобы создать задачу сразу после выполнения предыдущего шага, на шаге задачи щелкните раскрывающееся меню и выберите Создать задачу немедленно . Или щелкните раскрывающееся меню и выберите количество дней или недель, которые должны пройти после предыдущего шага, прежде чем будет создана следующая задача.
    • Вы также можете изменить название задачи. В задаче последовательности введите новый заголовок в поле Заголовок задачи
    • .
    • По умолчанию последовательность приостанавливается до завершения предыдущей задачи.Чтобы продолжить последовательность, даже если эта задача не завершена, установите флажок Продолжить без завершения задачи .

Обратите внимание: если есть задержка между задачей и запланированным выполнением следующего шага, задержка не начинается, пока задача не будет завершена. Это означает, что если вы запланировали отправить электронное письмо через два дня после задачи, последовательность не начнет двухдневную задержку, пока задача не будет завершена.

  • Если у вашего пользователя есть несколько почтовых ящиков, подключенных к HubSpot, в нижней части щелкните раскрывающееся меню От и выберите адрес электронной почты, с которого будут отправляться очередные электронные письма.
  • Когда вы будете готовы зарегистрировать свой контакт, нажмите Начать последовательность в левом нижнем углу.

Если напоминание о последующей задаче включает шаблон электронной почты, задача будет создана, когда контакт достигнет этого шага последовательности. Если вы добавили задачу в очередь, перейдите на панель задач и щелкните имя задачи. Составитель электронной почты откроется в записи контакта с уже заполненным содержимым шаблона электронной почты.

Если вы не добавили задачу в очередь, средство создания электронной почты не откроется автоматически при переходе к записи контакта.Найдите задачу Ручная электронная почта в записи контакта, затем нажмите Проверить и отправить . Композитор электронной почты откроется с содержимым шаблона электронной почты.

Вы также можете запустить последовательность из своего почтового ящика, используя расширение HubSpot Sales. Узнайте, как регистрировать контакты последовательно из папки «Входящие» с помощью расширения HubSpot Sales для Chrome, настольной надстройки HubSpot Sales Outlook или надстройки HubSpot Sales Office 365.

Пользователи с разрешениями Массовая регистрация последовательностей могут зарегистрировать до 50 контактов в последовательности одновременно.Зарегистрируйте несколько контактов, когда вам нужно связаться с контактами после выставки или конференции, повторно связаться с контактами из неактивных учетных записей или отправить целевые сообщения сегментированному списку потенциальных клиентов.

Каждый контакт может быть одновременно зарегистрирован только в одной последовательности. Если вы хотите зарегистрировать контакты в другой последовательности, необходимо сначала отменить регистрацию контактов в их текущей последовательности.

Обратите внимание: можно отправить не более трех писем в минуту.

Выберите несколько контактов для регистрации из дома контактов:

  • В своей учетной записи HubSpot перейдите к Контакты > Контакты .
  • Установите флажки рядом с контактами, которые вы хотите зарегистрировать.
  • В верхней части таблицы нажмите Зарегистрироваться в последовательности .

При регистрации нескольких контактов сначала необходимо настроить параметры и задержки последующих действий для всех контактов в последовательности.

  • Чтобы выбрать все контакты, на левой панели нажмите Все контакты .

  • В верхней части диалогового окна Зарегистрировать последовательность щелкните раскрывающееся меню Начать с и выберите шаг, на котором вы хотите, чтобы контакт начал последовательность.Затем щелкните раскрывающееся меню Часовой пояс и выберите часовой пояс. Все электронные письма и задачи последовательности будут отправлены или созданы в выбранном часовом поясе.
  • Чтобы переопределить настройки последующих действий последовательности по умолчанию, в правом верхнем углу щелкните Настройки . Эти настройки применяются только к сообщениям электронной почты и задачам, которые выполняются после первого шага в последовательности.
  • По умолчанию первое письмо в последовательности будет отправлено как можно скорее. Чтобы указать время отправки для первого шага, щелкните раскрывающееся меню Отправить сейчас и выберите Отправить позже .Затем используйте средства выбора даты и времени и выберите дату и время .
  • Для каждого электронного письма, которое следует за первым автоматическим электронным письмом в последовательности, щелкните раскрывающееся меню Отправить электронное письмо в и выберите, сколько дней или недель должно пройти после предыдущего шага, прежде чем электронное письмо будет отправлено.
  • Для каждой задачи последовательности можно настроить количество дней или недель, которые пройдут до создания следующей задачи.
    • Чтобы создать задачу сразу после выполнения предыдущего шага, на шаге задачи щелкните раскрывающееся меню и выберите Создать задачу немедленно .Или щелкните раскрывающееся меню и выберите количество дней или недель, которые должны пройти после предыдущего шага, прежде чем будет создана следующая задача.
    • По умолчанию последовательность приостанавливается до завершения предыдущей задачи. Чтобы продолжить последовательность, даже если эта задача не завершена, установите флажок Продолжить без завершения задачи .

  • Если у вашего пользователя есть несколько почтовых ящиков, подключенных к HubSpot, в нижней части щелкните раскрывающееся меню От и выберите адрес электронной почты, с которого будут отправляться последовательные электронные письма.

Затем персонализируйте содержимое электронной почты для каждого контакта. При регистрации нескольких контактов вам необходимо выбрать каждый контакт на левой панели по одному и настроить содержимое электронной почты по мере необходимости.

  • На левой панели щелкните контакт . Используйте панель поиска по мере необходимости для поиска определенных контактов. Будет оповещение о любых контактных отсутствующих значениях для токенов-заполнителей, включенных в электронное письмо.

  • Если вы используете токены-заполнители в электронном письме, а значения для выбранного контакта отсутствуют, токены будут отображаться красным цветом вверху.Щелкните токен, затем введите значение и нажмите Обновить все . Повторите для каждого токена в шаблоне.

  • Вы можете вносить любые изменения в шаблоны электронной почты, используемые в последовательности. В нижней части шаблона электронной почты используйте панель инструментов форматированного текста, чтобы отформатировать текст или вставить ссылку, фрагмент, документ или добавить видео
  • .
  • Вы также можете изменить название задачи. В задаче последовательности введите новое название в поле Название задачи .

Когда вы будете готовы зарегистрировать свои контакты, вы можете зарегистрировать каждый контакт по одному или все сразу:

  • Чтобы зарегистрировать контакты по одному, нажмите Зарегистрировать [имя контакта ] , затем в диалоговом окне нажмите Зарегистрировать .
  • Чтобы зарегистрировать все контакты сразу, в правом нижнем углу нажмите Зарегистрировать [все] из [всего #] контактов . Затем в диалоговом окне нажмите Зарегистрировать [всего #] контактов .

  • Если вы не готовы зарегистрировать контакт в последовательности, нажмите Удалить контакт в правом верхнем углу.

Обратите внимание: если у вас есть задачи, включенные в последовательность, вы не можете выполнять задачи в пакетном режиме. Вам нужно будет перейти к каждой записи контакта после создания задачи, чтобы выполнить задачу.

Регистрация контактов последовательно с использованием рабочих процессов (только для

Sales и Service Hub Enterprise )

С помощью рабочих процессов можно автоматизировать регистрацию и отмену регистрации последовательностей. Узнайте больше о различных вариантах использования и ограничениях, о которых нужно знать, прежде чем вы начнете регистрировать контакты в последовательностях с помощью рабочих процессов.

После регистрации контактов вы можете отслеживать, как они взаимодействуют с вашей последовательностью, на странице сводки последовательности. Вы также можете проанализировать эффективность своей последовательности с течением времени, чтобы убедиться, что вы видите успешное количество ответов и запланированных встреч. Если у вас есть комбинация Marketing Hub Enterprise и Sales Hub Professional или Enterprise , вы можете создавать отчеты атрибуции, которые измеряют тип взаимодействия последовательной регистрации.

конвергенция

Эта запись о понятии предела в анализе и топологии. Об одноименном понятии в теории категорий см. limit .

Контекст

Топология

топология (точечная топология, бесточечная топология)

см. также дифференциальная топология , алгебраическая топология , функциональный анализ и топологическая гомотопическая теория

Введение

Основные концепции

  • открытое подмножество, закрытое подмножество, окрестности

  • топологическое пространство, локаль

  • База

    для топологии, база окрестности

  • более тонкая/грубая топология

  • закрытие, внутреннее, граничное

  • разлука, трезвость

  • непрерывная функция, гомеоморфизм

  • равномерно непрерывная функция

  • встраивание

  • открытая карта, закрытая карта

  • последовательность, сеть, подсеть, фильтр

  • сходимость

  • категорияTop

Универсальные конструкции

Дополнительный материал, структура, свойства

  • красивое топологическое пространство

  • метрическое пространство, метрическая топология, метризуемое пространство

  • Пространство Колмогорова, Хаусдорфово пространство, регулярное пространство, нормальное пространство

  • трезвое пространство

  • компактное пространство, правильная карта

    секвенциально компактно, счетно компактно, локально компактно, сигма-компактно, паракомпактно, счетно паракомпактно, сильно компактно

  • компактно сгенерированное пространство

  • второй счетный пробел, первый счетный пробел

  • сжимаемое пространство, локально сжимаемое пространство

  • подключенное пространство, локально подключенное пространство

  • односвязное пространство, локально односвязное пространство

  • клеточный комплекс, CW-комплекс

  • заостренный пробел

  • топологическое векторное пространство, банахово пространство, гильбертово пространство

  • топологическая группа

  • топологическое векторное расслоение, топологическая K-теория

  • топологический коллектор

Примеры

  • пустое пространство, точечное пространство

  • дискретное пространство, содискретное пространство

  • Площадь Серпинского

  • топология порядка, топология специализации, топология Скотта

  • Евклидово пространство

  • цилиндр

    , конус

  • сфера, шар

  • круг, тор, кольцо, лента Мебиуса

  • многогранник, многогранник

  • проективное пространство (действительное, комплексное)

  • место для классификации

  • пространство конфигурации

  • путь, цикл

  • пространства отображений: компактно-открытая топология, топология равномерной сходимости

  • Топология Зарисского

  • пространство Кантора, пространство Мандельброта

  • Кривая Пеано

  • линия с двумя исходными пунктами, длинная линия, линия Sorgenfrey

  • K-топология, пространство Даукера

  • Варшавский круг, пространство для гавайских сережек

Основные положения

Теоремы

Теоремы анализа

топологическая теория гомотопий

Идея

Предел последовательности (или сети) точек (xi)(x_i) в топологическом пространстве (или другом пространстве сходимости) XX — это точка xx, такая, что последовательность в конечном итоге оказывается сколь угодно близкой к xx. Мы также можем говорить об ограничении фильтра на XX.

Понятие имеет особое историческое значение в анализе, где оно служит для определения, например, понятия производной.

Определения

Точное определение зависит от типа пространства XX.

Определение

Если XX — топологическое пространство, а II — множество натуральных чисел (или, вообще говоря, любое направленное множество) и ν=(xi)i∈I:I→X\nu = (x_i)_{i\in I}\colon I \to X есть последовательность (или сеть) точек в XX, говорят, что точка x∈Xx \in X является пределом ν\nu или что ν\nu сходится к xx, если для каждой окрестности UU в XX из xx существует n∈In \in I такое, что xi∈Ux_i \in U для каждого i≥ni \geq n.

Важный частный случай (оригинал):

Определение

Если XX — действительная строка, а II — набор натуральных чисел (или, вообще говоря, любой направленный набор) и ν=(xi)i∈I:I→X\nu = (x_i)_{i\in I}\двоеточие I \to X является последовательностью (или сетью) действительных чисел, говорят, что точка x∈Xx \in X является пределом ν\nu или что ν\nu сходится к xx, если для каждого положительного числа ϵ\epsilon существует n∈In \in I такое, что |xi−x|<ϵ{|x_i - x|} \lt \epsilon для каждого i≥ni \geq n.

Важным обобщением (возможно, самым общим) является:

Определение

Если XX — пространство сходимости, а II — множество натуральных чисел (или, вообще говоря, любое направленное множество) и ν=(xi)i∈I:I→X\nu = (x_i)_{i\in I}\colon I \to X является последовательностью (или сетью) точек в XX, говорят, что точка x∈Xx \in X является пределом ν\nu или что ν\nu сходится к xx, если фильтр событий ν\nu сходится к xx (что является примитивным понятием в пространствах сходимости).

Другими типами пространств, для которых мы могли бы дать определения (или которые могут иметь определения на отдельных страницах), являются (расширенные) (квази)-(псевдо)-метрические пространства, (квази)-однородные пространства, претопологические пространства и ( квази)-равномерные пространства сходимости.

Обозначение

Когда выполняется одно из приведенных выше условий, мы можем написать любое из следующего, где «→\to» читается как «сходится к»:

  • ν→x\nu \to x,
  • xi→ixx_i \to_i х,
  • xi→xx_i \to x (с подавлением индекса ii из-за злоупотребления обозначениями).

Или мы можем написать любое из следующего, где lim\lim читается как «множество пределов»:

  • x∈limνx \in \lim \nu,
  • x∈limixix \in \lim_i x_i,
  • x∈limxix \in \lim x_i (индекс ii исключен из-за неправильного обозначения).

Конечно, правая часть имеет смысл сама по себе, как и сам набор пределов (подмножество базового множества XX или подпространство самого XX).

Если XX — хаусдорфово пространство, то существует не более одной точки xx, обладающей тем свойством, что последовательность (или сеть) ν\nu сходится к xx.Тогда мы можем написать любое из следующего, если теперь lim\lim читается как «предел»:

  • х=limνx = \lim\nu,
  • х=limixix = \lim_i x_i,
  • x=limxix = \lim x_i (индекс ii исключен из-за неправильного обозначения).

Теперь правая часть сама по себе является, возможно, неопределенным термином для самого предела (если он существует).

Пределы фильтров

В более общем смысле, чем последовательности и, что то же самое, сети, мы можем говорить о пределах фильтров на XX. Это понятие аксиоматизируется непосредственно в понятии пространства сходимости. В случае топологического пространства XX фильтр подмножеств XX сходится к точке xx, если каждая окрестность xx содержится в фильтре.

В приведенных выше определениях эквивалентные сети (с одинаковыми фильтрами событий) всегда сходятся к одной и той же точке. Поскольку каждый правильный фильтр является фильтром возможности некоторой сети, правильный фильтр сходится к xx, если любая из этих сетей сходится к xx; несобственный фильтр сходится к каждой точке.(В конструктивной математике мы можем охватить все фильтры, сказав: FF сходится к xx, если в предположении, что FF является правильным, любая из его сетей сходится к xx.)

Свойства

Отношение к пределам в смысле теории категорий

Пределы теории категорий являются большим обобщением аналогии с обсуждаемыми здесь пределами. Однако оказывается, что пределы в топологических пространствах (по крайней мере) можно рассматривать как теоретико-категориальные пределы.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.