Предел функции на бесконечности и в точке примеры: Предел функции в точке и на бесконечности — определение, свойства, примеры решения

Содержание

Предел функции на бесконечности с примерами решения

Подавляющее большинство функций, с которыми вы ознакомились ранее, определены на бесконечных промежутках. Исследуя такие функции, желательно установить их поведение для сколь угодно больших по модулю значений аргумента 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого  существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого  существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого 

существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Геометрически это означает, что для любого  существует число  такое, что для всех  соответствующие значения функции  попадают в  -окрестность точки  то есть соответствующие точки графика этой функции лежат в полосе, ограниченной прямыми  (рис. 53).

Для предела функции на бесконечности выполняются те же свойства и теоремы о пределах, что и для предела функции в точке (см. с. 102), а также те правила, которые используются при вычислении предела числовой последовательности. А именно:

1 .Для того чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при  числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны бесконечности, необходимо сначала каждый член многочленов числителя и знаменателя дроби разделить на степень  с наибольшим показателем, а затем находить предел.

Пример:

Вычислите 

Решение:

 
 

2. Для того чтобы вычислить предел функции, содержащей up рациональные выражения, в случае, когда каждый из слагаемых имеет бесконечный предел, необходимо умножить и разделить выражение, задающее функцию, на выражение, сопряжённое к нему, после этого выполнить необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение и т.

д.) и вычислить предел.

Пример:

Вычислите 

Решение:


Исследуя функции, желательно также установить их поведение для тех значений аргумента  в которых функция бесконечно возрастает или убывает.

Функция  называется бесконечно большой при  (имеющей предел   если для произвольного  существует такое число  что для всех  таких, что  выполняется неравенство 

Пишут: 

Понятие предела функции на бесконечности и бесконечного предела используются для нахождения асимптот.

 Прямая  называется асимптотой кривой, если расстояние  от точки  кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки  в бесконечность.

Асимптотами, например, есть оси координат для графика функции 

 — вертикальная асимптота;

 — горизонтальная асимптота.

Кривая  имеет горизонтальную асимптоту  если существует конечный предел функции  и этот предел равен  то есть 

Пример:

Найдите горизонтальную асимптоту кривой 

Решение:

Вычислим предел  Следовательно,  – горизонтальная асимптота.

Пример:

Исследуйте поведение функции  если: 

Решение:

 

Пример:

Вычислите 

Решение:

Пример:

Найдите горизонтальные асимптоты кривой:

Решение:

а) Вычислим пределы при  Имеем: 

Следовательно,  — горизонтальная асимптота для  а для  — асимптоты нет.

Следовательно,  — горизонтальная асимптота. 

Предел функции – Документ

11

Тема «Предел функции»

предел функции

Содержание

  1. Предел функции в точке и на бесконечности.

  2. Основные свойства пределов.

  3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

  4. Раскрытие неопределенностей , .

  5. Первый замечательный предел.

  6. Второй замечательный предел. Число , натуральные логарифмы.

  7. Эквивалентные бесконечно малые функции

  8. Непрерывность функции, точки разрыва.

1. Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть – функция с областью определения , причем – некоторое число.

    Предел называется пределом слева данной функции в точке .

    Предел называется пределом справа данной функции.

    Если область определения функции содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения , то в этом случае можно рассматривать предел функции на бесконечности.

        Пример 1. .

        2. Основные свойства пределов

        Все свойства имеют смысл, если пределы функций существуют.

        1. Если предел функции в точке существует, то он единственный.

        2. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

        .

        3. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен соответственно сумме (разности) пределов этих функций:

        .

        4. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

        .

        Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

        .

        5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

        (если ).

        Если предельная точка принадлежит области определения элементарной функции , то вычисление предела сводится к подстановке в функцию вместо числа , вычислению значения и записи .

        Пример 2. Вычислить пределы.

        1) . Точка принадлежит области определения функции , значит, .

        2)= .

        3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

          Пример 3.

          1. Функция – б.м.ф. в точках , т.к. .

          2. Функция – б.м.ф. при , т.к. .

            Пример 4. Функция – б.б.ф. при , т.к. .

            Теорема (Свойства б.м.ф

            .)

            1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. и произведение конечного числа б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

            2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

            3. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую в точке ненулевой предел, есть б. м.ф.

            4. Функция, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая функция.

            Теорема (Свойства б.б.ф.)

            1. Произведение конечного числа б.б.ф. есть бесконечно большая функция.

            2. Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую предел, не равный нулю, есть бесконечно большая функция.

            3. Функция, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая функция.

            Пример 5. Вычислить пределы.

            1) (возрастающая показательная функция для и при ).

            2) (убывающая показательная функция для и при ).

            4. Раскрытие неопределенностей ,

            Пример 6.

            1) . Имеем неопределённость

            . «Раскроем» эту неопределённость (т.е. избавимся от неё), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель :

            .

            2) .

            3) .

            4) Вычислить . Имеем неопределенность . Разделим почленно числитель и знаменатель дроби на х в старшей степени, то есть разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на :

            .

            5. Первый замечательный предел

            Если функция содержит тригонометрические функции, то для раскрытия неопределенности следует применить «первый замечательный предел», используя тригонометрические тождества.

            Пример 7. Вычислить пределы:

            1) .

            2) . Имеем неопределённость. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на и воспользуемся первым замечательным пределом:

            .

            3) ;

            4) .

            6. Второй замечательный предел.

            Число , натуральные логарифмы

            Число иррациональное и приближенно равно .

            Логарифмы с основанием называются натуральными логарифмами, и обозначаются .

            Связь десятичного логарифма с натуральным логарифмом:

            .

            Показательная функция с основанием называется экспонентой.

            Пример 8. Вычислить предел:

            .

            7. Эквивалентные бесконечно малые функции

            Бесконечно малыми в точке являются пары функций:

            1. ~ . 2. ~ .

            3. . 4. . 5. .

            Свойство. Предел отношения двух б.м.ф. в точке не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной б. м.ф.:

            .

            Пример 9. Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции при x 0.

            1) . Здесь использовано, что ;

            2) ;

            3)

            8. Непрерывность функции, точки разрыва

            Функция называется непрерывной в точке , если .

            Данное определение требует выполнения следующих условий:

            • Функция определена в точке и некоторой её окрестности;

            • Пределы слева и справа существуют и равны между собой ;

            • .

            Если в точке не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то эта точка называется точкой разрыва функции.

            В случае, когда , но эти пределы конечные, то точку называют точкой разрыва первого рода.

            Если хотя бы один из пределов или не существует или равен бесконечности, то называется точкой разрыва второго рода.

            Величина называется скачком функции в точке разрыва .

            Если функция непрерывна во всех точках отрезка , то она называется непрерывной на этом отрезке.

            Пример 10. Исследовать на непрерывность функцию . Найдем область определения функции: х ≠ 0, x + 1 > 0. Следовательно, функция непрерывна в области D = (-1,0)(0,+).

            Пример 11. В точке функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности: не определена при .

            у

            0 х

            Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы:

            • Сумма конечного числа непрерывных функций в точке непрерывна в этой точке.

            • Произведение конечного числа непрерывных функций в точке непрерывно в этой точке.

            • Частное двух непрерывных функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

            • Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.

            • Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

            Если функция задана несколькими аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то она может иметь разрывы в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

            ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

            1. Элементарные функции и их свойства.

            2. Понятие предела функции в точке и в бесконечности.

            3. Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их свойства.

            4. Первый и второй замечательные пределы.

            5. Правила раскрытия неопределенностей.

            6. Понятие непрерывности функции, классификация точек разрыва.

            7. Свойства непрерывных функций.

            КОНТРОЛЬНЫе вопросы

            1. Сформулируйте определения: 1) предела функции при стремлении аргумента к числу , 2) предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

            2. Дайте определения предела функции при стремлении аргумента к числу справа и слева.

            3. Дайте определение предела функции y = f(x) при х  . Приведите аналитический и графический примеры.

            4. Какая функция называется бесконечно малой? Приведите пример. Каковы свойства бесконечно малых?

            5. Какая функция называется бесконечно большой? Приведите пример. Каковы свойства бесконечно больших функций?

            6. Какая связь существует между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Приведите примеры.

            7. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.

            8. Как раскрываются неопределенности вида , содержащие в числителе и знаменателе: 1) многочлены, 2) иррациональности?

            9. Как раскрываются неопределенности вида , содержащие числителе и знаменателе многочлены?

            10. Как раскрываются неопределенности вида , содержащие числителе и знаменателе тригонометрические функции?

            11. Запишите первый замечательный предел.

            12. Запишите второй замечательный предел. Чему равно число ?

            13. Как определяются натуральные логарифмы? Какова их связь с десятичными логарифмами?

            14. Дайте определение непрерывной в точке х0 функции. Сформулируйте необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

            15. Сформулируйте правило исследования непрерывности функции в точке.

            16. Сформулируйте свойства непрерывных функций.

            17. Какая точка называется точкой разрыва функции? Какая точка называется точкой разрыва первого рода; точкой разрыва второго рода? Приведите графические примеры.

            18. Дайте определение функции, непрерывной на отрезке. Укажите области непрерывности основных элементарных функций.

            19. Сформулируйте основные теоремы о функциях, непрерывных в точке. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

            КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

            1. Областью определения функции является промежуток:

            a) ; б) ; в) ;

            г) .

            2. Предел функции равен:

            а) 0; б) 10; в) 5; г) другой ответ.

            3. Предел функции равен:

            а) ; б) 1; в) ; г) 0.

            4. Предел функции равен:

            а) ; б) 40; в) ; г) -40.

            5. Предел функции равен:

            а) -; б) ; в) 2; г) -1.

            6. Предел функции равен:

            а) -; б) 1; в) 0; г) -1.

            7. Предел функции равен:

            а) ; б) 1; в) ; г) -1.

            8. Число точек разрыва функции   равно…

            а) 1 б) 4; в) 3; г) 0.

            9. Установите соответствие между пределом и его значением

            а) б)

            в) г)

            А) 2 B) 1 C) 0 D) 2/3 E) 1/3 F)

            10. Значение предела  равно…

            ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) 0 2) 1 3) ¼ 4) ¾

            11. Установите соответствие между графиком функции и характером точки .

            1. 2.

            3. 4.

            ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

            A) 

            точка разрыва 2-го рода

              

            B) 

            точка устранимого разрыва

            C) 

            точка минимума

              

            D) 

            точка непрерывности

            E) 

            точка разрыва 1-го рода

              

            12. Число точек разрыва функции, заданной на отрезке , график которой имеет вид

            (введите ответ).

            Предел функции в бесконечности С понятием предела последовательности

            Предел функции в бесконечности С понятием предела последовательности тесно связано понятие функции в бесконечности.

            Этот предел функции обозначается или при С помощью логических символов определение запишется

            Геометрический смысл предела функции в бесконечности.

            n Замечание. Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при и В первом случае основное неравенство выполняется для всех случае для всех а во втором

            ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ n Определение 2. Число A называется пределом (по Коши) функции в точке a (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство: Для обозначения предела используют символику: (или при ).

            Геометрический смысл предела функции в точке

            n Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке. Т. е. стремится к , но не достигает значения. Замечание 2. Если при стремлении к переменная принимает лишь значения меньшие , или, наоборот, лишь значения, большие и при этом функция стремится к некоторому числу A , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа

            Односторонние пределы Определение 3. Число A называется левым (правым) пределом функции в точке a (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию ( ), справедливо неравенство: n Используют символику: для правого предела, для левого предела.

            n Определение 4. Говорят, что функция имеет в точке a предел если для любого положительного числа M можно указать отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство: n При этом используют символику:

            Бесконечно малые величины их свойства n Определение 4. Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: n Теорема 1. Если функция имеет при предел, равный A , то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой величины при , т. е.

            n Теорема 2. Если функцию можно представить как сумму числа A и бесконечно малой величины при , то число A есть предел этой функции при , т. е.

            Основные свойства бесконечно малых величин n n n 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечная малая. 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая. 3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которого отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

            ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА n 1) n 2) Справедливо равенство (первый замечательный предел): ; n 3) Если n 4) Справедливо равенство (второй замечательный предел): то ( или где ), – основание натурального логарифма,

            n 5) Если то n Если существуют конечные пределы: то справедливы следующие равенства: n 6) n 7) n 8) , если

            n 9) n 10)

            n а) Если при замене на под знаком предела получают определенное число, то оно и будет значением предела: n б) Если при замене получают n n где c число, то в) Если при замене на на под знаком предела получают то говорят, что под знаком предела неопределенность.

            n В таком случае задача вычисления предела сводится к раскрытию неопределенности: тождественными преобразованиями «убирают» неопределенность, если это возможно, и вычисляют предел.

            Примеры n П р и м е р 1. Вычислить предел: Р е ш е н и е: n П р и м е р 2. Вычислить предел: Р е ш е н и е:

            n П р и м е р 3. Вычислить предел: Р е ш е н и е: n П р и м е р 4. Вычислить: предел. Р е ш е н и е:

            О т в е т: 0. n П р и м е р 5. Вычислить предел: Р е ш е н и е:

            n П р и м е р 7. Найти предел: Р е ш е н и е: Согласно свойству 7, имеем Ответ:

            n П р и м е р 8. Найти предел: Р е ш е н и е: Согласно свойству 8, имеем Ответ:

            Непрерывность функции. О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей области определения , если функция имеет в точке конечный предел, равный числу , то есть О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке из , если в точке существует конечный правый (левый) предел функции, равный числу , то есть

            n n Из свойств предела вытекает следующее утверждение. Т е о р е м а 1. Функция непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда в этой точке справедливы равенства:

            n Пример: Рассмотрим функцию 1 1 ,

            ¨О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в любой его точке. Функция на отрезке интервале называется непрерывной , если она непрерывна в , непрерывна справа в точке непрерывна слева в точке .

            Точки разрыва функции n О п р е д е л е н и е. Точка , являющаяся предельной точкой множества , называется точкой разрыва функции , если в точке эта функция либо не определена, либо определена, но нарушено условие непрерывности.

            О п р е д е л е н и е. Точка разрыва называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке предел функции существует, но в точке либо не определена, либо значение не совпадает с найденным пределом, то есть Пример: Функция при х =0 Имеет в точке х=0 устранимый разрыв, т. к:

            n О п р е д е л е н и е. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные другу правый и левый пределы, то есть: n Пример: «знак» числа х имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т. к:

            О п р е д е л е н и е. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности. у 1 0 х -1

            n Пример. Функция имеет в точке х=0 разрыв второго рода, так как в данном случае число y(0) не определено у 0 х

            Т е о р е м а 1. Если функция непрерывна в точке и существует конечный предел n , то справедливо равенство: n Т е о р е м а 2. Сумма, разность, произведение, частное, суперпозиция конечного числа непрерывных функций (то есть любая элементарная функция) есть функция, непрерывная во всех точках области определения.

            Предел функции в точке

            Вопросы занятия:

            ·     познакомиться с понятием непрерывной функции;

            ·     познакомиться с понятием предел функции в точке;

            ·     рассмотреть примеры использования данных понятий для решения задач.

            Материал урока.

            Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

            Упражнение.

            Давайте посмотрим на графики некоторых функций.

            Вроде бы на всех трёх графиках изображена одна и та же кривая. Но, если мы внимательно посмотрим на эти графики, то увидим, что они отличаются своим поведением в точке x = a.

            Для функции, график которой изображён на первом рисунке значение f(a) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции, график которой изображён на втором рисунке значение f(a) существует, но оно отличается от, казалось бы, естественного значения b. Наконец, для функции, график которой изображён на третьем рисунке, значение f(a) существует, и оно равно b.

            Таким образом, перед нами графики различных функций, если же точку x = a исключить из рассмотрения, то функции совпадут: при x < a и при x > a графики одинаковы.

            Для всех трёх случаев можно использовать одну и ту же запись:

            Давайте теперь, глядя на наши рисунки ответим на вопрос: «Какая же из этих функций является непрерывной в точке x = a?» Очевидно, что это функция, график которой изображён на третьем рисунке.

            Раньше мы с вами встречались с понятием непрерывная функция, но давали его чисто интуитивно. Если мы видели, что график функции – непрерывная линия, то такую функцию мы называли непрерывной.

            Теперь давайте дадим точное определение непрерывной функции.

            Определение.

            Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие:

            Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

            Давайте перечислим известные нам непрерывные функции.

            Опять же, свойства непрерывности этих функций мы давали, опираясь на их графики. Теперь давайте сформулируем чёткое правило:

            Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

            Давайте рассмотрим несколько примеров.

            Пример.

            Пример.

            Рассмотрим ещё один пример.

            Пример.

            Для вычисления предела в точке, можно сформулировать теорему, аналогичную тем, которые мы формулировали для вычисления предела последовательности и предела функции на бесконечности.

            Давайте вернёмся к рассмотренным примерам и решим их, используя сформулированную теорему.

            Пример.

            Пример.

            Исчисление I – Бесконечные пределы

            Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

            Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

            Раздел 2-6: Бесконечные пределы

            В этом разделе мы рассмотрим пределы, значение которых равно бесконечности или минус бесконечности. Эти виды ограничений будут довольно регулярно появляться в последующих разделах и на других курсах, поэтому вам нужно будет справляться с ними, когда вы сталкиваетесь с ними.

            Первое, что мы, вероятно, должны сделать здесь, это определить, что именно мы имеем в виду, когда говорим, что предел имеет значение бесконечности или минус бесконечности.

            Определение

            Мы говорим

            \[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \]

            , если мы можем сделать \(f(x)\) произвольно большим для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не допуская \(x = a\).

            Мы говорим

            \[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = – \infty \]

            , если мы можем сделать \(f(x)\) сколь угодно большим и отрицательным для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не позволяя \(x = a\).- }} \ frac {1} {x} \ hspace {0,5 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \] Показать решение

            Итак, здесь мы рассмотрим пару односторонних ограничений, а также обычный предел. Обратите внимание, что во всех трех случаях мы не можем просто подставить \(x = 0\). Если бы мы это сделали, мы бы получили деление на ноль. Также помните, что приведенные выше определения можно легко изменить, чтобы дать аналогичные определения для двух односторонних пределов, которые нам здесь понадобятся.

            Теперь есть несколько способов получить значения для этих пределов.Один из способов — подставить несколько точек и посмотреть, к какому значению приближается функция. В предыдущем разделе мы сказали, что больше не будем этого делать, но в данном случае это хороший способ проиллюстрировать, что происходит с этой функцией.

            Итак, вот таблица значений \(x\) слева и справа. Используя эти значения, мы сможем оценить значение двух односторонних пределов, и как только мы это сделаем, мы сможем использовать тот факт, что нормальный предел будет существовать только в том случае, если два односторонних предела существуют и имеют одинаковое значение. .

            \(х\) \(\displaystyle \frac{1}{x}\) \(х\) \(\displaystyle \frac{1}{x}\)
            -0,1 -10 0,1 10
            -0,01 -100 0,01 100
            -0.001 -1000 0,001 1000
            -0,0001 -10000 0,0001 10000

            Из этой таблицы видно, что по мере того, как мы делаем \(x\) все меньше и меньше, функция \(\frac{1}{x}\) становится все больше и больше и сохраняет тот же знак, что и \(x\ ) изначально было. Вполне логично, что эта тенденция сохранится для любого меньшего значения \(x\), которое мы решили использовать. Функция представляет собой константу (в данном случае единицу), деленную на все меньшее число. Результирующая дробь должна быть все большим числом, и, как отмечалось выше, дробь сохранит тот же знак, что и \(x\).

            Мы можем сделать функцию настолько большой и положительной, насколько захотим, для всех \(x\), достаточно близких к нулю, оставаясь положительной (, т.е. справа).- }} \frac{1}{x} = – \infty \]

            Еще один способ увидеть значения двух односторонних пределов здесь — построить график функции. Опять же, в предыдущем разделе мы упомянули, что не будем делать это слишком часто, поскольку большинство функций нельзя просто быстро набросать, а также проблемы с точностью считывания значений с графика. Однако в этом случае не так уж сложно нарисовать график функции, и в этом случае, как мы увидим, точность не будет проблемой.Итак, вот краткий набросок графика.

            Итак, на этом графике видно, что функция ведет себя во многом так, как мы предсказывали, исходя из наших табличных значений. Чем ближе \(х\) к нулю справа, тем больше (в положительном смысле) становится функция, а чем ближе \(х\) к нулю слева, тем больше (в отрицательном смысле) становится функция. .

            Наконец, нормального предела в этом случае не будет, так как два односторонних предела имеют разные значения.- }} \frac{1}{x} = – \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\mbox{ не существует}}\]

            Для большинства оставшихся примеров в этом разделе мы попытаемся «обговорить» каждое ограничение. Это означает, что мы посмотрим, сможем ли мы проанализировать, что должно произойти с функцией, когда мы подойдем очень близко к рассматриваемой точке, фактически не вставляя какие-либо значения в функцию. Для большинства следующих примеров такой анализ не должен быть слишком сложным.2}}}\] Показать решение

            Как и в предыдущем примере, начнем с рассмотрения двух односторонних пределов. Как только мы получим их, мы сможем определить значение нормального предела.

            Итак, давайте сначала взглянем на правый предел и, как отмечалось выше, посмотрим, сможем ли мы выяснить, что будет делать каждый предел, фактически не подставляя в функцию какие-либо значения \(x\). Поскольку мы берем все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь положительными, возведение их в квадрат только уменьшит их (вспомним, что возведение в квадрат числа между нулем и единицей уменьшит его) и, конечно, оно останется положительным.2}}} = \infty\]

            Теперь давайте посмотрим на левый предел. В этом случае мы будем брать все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь на этот раз отрицательными. Когда мы возведем их в квадрат, они станут меньше, но после возведения в квадрат результат будет положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом, как и в случае правого предела, будет все большее положительное число, поэтому левый предел будет равен

            . 2}}} = \infty\]

            Теперь в этом примере, в отличие от первого, нормальный предел будет существовать и будет бесконечностью, поскольку оба односторонних предела существуют и имеют одинаковое значение.- }} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\] Показать решение

            Снова начнем с правого предела. С правым пределом мы знаем, что у нас есть

            \[x > – 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 > 0\]

            Кроме того, по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2, тогда \(x + 2\) будет все ближе и ближе к нулю, оставаясь при этом положительным, как отмечалось выше.Итак, для правого предела у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. Итак, похоже, что правый предел будет равен отрицательной бесконечности.

            Для левого предела у нас есть

            \[x

            и \(x + 2\) будут все ближе и ближе к нулю (и будут отрицательными), поскольку \(x\) все ближе и ближе к -2. В этом случае у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее отрицательное число.- }} \frac{{ – 4}}{{x + 2}} = \infty \hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\ limit_{x \to – 2} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\,\,{\mbox{не существует}}\]

            Здесь мы должны кратко отметить идею вертикальных асимптот. На каждом из трех предыдущих графиков было по одному. Вспомните из класса алгебры, что вертикальная асимптота — это вертикальная линия (пунктирная линия в точке \(x = -2\) в предыдущем примере), на которой график будет стремиться к бесконечности и/или минус бесконечности с одной или обеих сторон линия.+ }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \pm \ ,\infty\]

            Обратите внимание, что для того, чтобы функция имела вертикальную асимптоту в \(x = a\), требуется только один из указанных выше пределов.

            Используя это определение, мы можем видеть, что первые два примера имели вертикальную асимптоту в точке \(x = 0\), а третий пример имел вертикальную асимптоту в точке \(x = – 2\).

            На самом деле мы не собираемся много делать здесь с вертикальными асимптотами, но хотели упомянуть их сейчас, так как мы достигли подходящего момента для этого.3}}}\] Показать решение

            Начнем с правого предела. Для этого предела мы имеем

            \[x > 4\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}4 – x

            также, \(4 – x \to 0\) как \(x \to 4\). Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все большее отрицательное число, поэтому правый предел будет равен отрицательной бесконечности.

            Для левого предела у нас есть,

            \[х 0\hпробел{0.3} > 0\]

            , и у нас все еще есть \(4 – x \to 0\) как \(x \to 4\). В этом случае мы имеем положительную константу, деленную на все меньшее положительное число. Результатом будет все большее положительное число, и поэтому похоже, что левый предел будет положительной бесконечностью.

            Нормальный предел не будет существовать, так как два односторонних предела не совпадают. 3}}} = – \infty \хспейс{0.- }} \frac{{2x}}{{x – 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x – 3} }\] Показать решение

            Сначала рассмотрим правый предел. Для этого предела у нас будет

            \[x > 3\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5in}x – 3 > 0\]

            Основное отличие здесь от этого примера заключается в поведении числителя по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3. В этом случае мы имеем следующее поведение как для числителя, так и для знаменателя.

            \[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

            Таким образом, по мере того, как мы позволяем \(x\) все ближе и ближе приближаться к 3 (всегда оставаясь справа, конечно), числитель, хотя и не является константой, все ближе и ближе к положительной константе, в то время как знаменатель становится все ближе и ближе. ближе к нулю и будет положительным, так как мы находимся на правой стороне.

            Это означает, что у нас будет числитель, который все ближе и ближе к ненулевой и положительной константе, деленной на все меньшее положительное число, и поэтому результатом должно быть все большее положительное число. Тогда правый предел должен равняться положительной бесконечности.

            Для левого предела у нас будет

            \[x

            Как и в случае правого предела, у нас будет следующее поведение для числителя и знаменателя,

            \[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]

            Основное отличие в этом случае состоит в том, что знаменатель теперь будет отрицательным. Итак, у нас будет числитель, который приближается к положительной, отличной от нуля константе, деленной на все меньшее отрицательное число.- }} \frac{{2x}}{{x – 3}} = – \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{ x – 3}}{\mbox{ не существует}}\]

            Как и в большинстве примеров в этом разделе, нормального предела не существует, поскольку два односторонних предела не совпадают.

            Вот краткий график для проверки наших пределов.

            До сих пор все, что мы сделали, это посмотрели на пределы рациональных выражений, давайте сделаем пару быстрых примеров с некоторыми другими функциями. + }} \ln \влево( х \вправо)\] Показать решение

            Во-первых, обратите внимание, что здесь мы можем оценить только правосторонний предел. Мы знаем, что областью определения любого логарифма являются только положительные числа, поэтому мы даже не можем говорить о левостороннем пределе, потому что это потребовало бы использования отрицательных чисел. Точно так же, поскольку мы не можем иметь дело с левосторонним пределом, мы не можем говорить и о нормальном пределе.

            Этот предел довольно просто получить из быстрого наброска графика.- }} \tan \left( x \right) = \infty \]

            Обратите внимание, что нормального предела не будет, поскольку два односторонних предела не совпадают.

            Мы закончим этот раздел несколькими фактами о бесконечных пределах.

            Факты
            Учитывая функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\), предположим, что мы имеем, \[\ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to c} f \ left ( x \ right) = \ infty \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to c} g\left( x \right) = L\]

            для некоторых действительных чисел \(c\) и \(L\). Тогда

            1. \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \infty \)
            2. Если \(L > 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \infty\)
            3. Если \(L < 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty\)
            4. \(\displaystyle \mathop {\lim}\limits_{x \to c} \frac{{g\left(x\right)}}{{f\left(x\right)}} = 0\)

            Чтобы увидеть доказательство этого набора фактов, см. раздел «Доказательство различных предельных свойств» в главе «Дополнительно».

            Заметим также, что приведенный выше набор фактов справедлив и для односторонних пределов. Они также будут выполняться, если \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = – \infty \) со сменой знака бесконечностей в первых трех частях. Доказательства этих изменений в фактах почти идентичны доказательствам первоначальных фактов и поэтому оставлены на ваше усмотрение.

            Объяснение урока: Пределы в бесконечности

            В этом объяснении мы узнаем, как оценивать пределы функции, когда 𝑥 стремится к бесконечности.

            Предел функции на бесконечности описывает поведение выходных значений функции как 𝑥 стремится до бесконечности. В отличие от предела функции в конечной точке, метод прямой подстановки не годится для этих целей. пределы, так как бесконечность не является числом. Вместо этого нам нужно рассмотреть поведение значения функции как 𝑥 становится больше без ограничений.

            Рассмотрим пример из жизни, связанный с радиоактивным элементом в объекте. Мы знаем, что радиоактивные элементы распадаются (экспоненциально) во времени; следовательно, радиоактивный элемент в объекте со временем постепенно исчезает.Если мы обозначим 𝑓(𝑡) количество (по массе) радиоактивного элемента в объекте в момент времени 𝑡, это означает, что значение 𝑓(𝑡) будет приближаться к нулю, когда 𝑡 стремится к положительной бесконечности. Это мотивирует определение предела на бесконечности.

            Определим формально предел на бесконечности.

            Определение: предел на бесконечности

            Если значения 𝑓(𝑥) приближаются к некоторому конечному значению 𝐿 как значение 𝑥 стремится к бесконечности, то говорят, что предел 𝑓(𝑥) при 𝑥 приближается к положительной бесконечности, существует и равен 𝐿, и мы обозначаем это как lim→∞𝑓(𝑥)=𝐿.

            Если значения 𝑓(𝑥) неограниченно увеличиваются (или уменьшаются) по мере того, как 𝑥 стремится к бесконечности, то говорят, что предел 𝑓(𝑥) на бесконечности равен положительному (или отрицательному) бесконечность соответственно.

            Заметим, что все предельные законы относительно предела суммы, разности, произведения и частных пары функций применить точно так же для предела на бесконечности.

            Правило: законы пределов

            Пусть 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) функции, области определения которых простираются до положительных бесконечность, и пусть 𝑐 — ненулевая константа. Тогда следующие тождества выполняются до тех пор, пока правая часть сторона уравнения не является неопределенной формой, 00,∞∞,0⋅∞, или ∞−∞: limlimlimlimlimlimlimlimlim, если правая часть определена корректно )=𝑐𝑓(𝑥),(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥),(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥),( 𝑓(𝑥))=𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)≠0.

            Рассмотрим, как изображается предел на бесконечности на графике функции 𝑓(𝑥).

            Чтобы найти предел этой функции на бесконечности, нам нужно найти значение 𝑓(𝑥), приближающееся к 𝑥 стремится к бесконечности.Это означает, что мы рассматриваем 𝑦-координаты точек на графике по мере продвижения к правому краю графика. Следуя заданному графику таким образом, 𝑦-координаты точек на графике ведут к числу 2. Это говорит нам о том, что lim→∞𝑓(𝑥)=2.

            Этот предел на бесконечности тесно связан с горизонтальной асимптотой графика функции, которая представляет собой горизонтальную линию график приближается по мере того, как мы движемся вправо или влево от графика.

            Определение: предел на бесконечности и горизонтальные асимптоты

            Предположим, что предел функции 𝑓(𝑥) на бесконечности существует и определяется выражением lim→∞𝑓(𝑥)=𝐿.

            Тогда график 𝑦=𝑓(𝑥) имеет горизонтальную асимптоту 𝑦=𝐿.

            Поскольку ранее мы обнаружили, что lim→∞𝑓(𝑥)=2, мы можем заключить, что 𝑦=2 — это горизонтальная асимптота этой функции, как показано ниже.

            Мы также можем понять предел на бесконечности, взглянув на таблицу значений функции по мере увеличения 𝑥.Например, рассмотрим таблицу значений функции 1𝑥 для больших значений.

            𝑥 𝑥 1 10 100 1 000
            1𝑥 1 0,1 0,01 0.001

            от таблицы выше, мы видим это значение функции 1𝑥 стремится к нулю, когда 𝑥 стремится к положительной бесконечности. Это ведет к lim→∞1𝑥=0.

            Этот предел также говорит нам о том, что граф 𝑦=1𝑥 имеет горизонтальную асимптоту 𝑦=0, как мы видим ниже.

            Хотя в основном мы будем рассматривать пределы на положительной бесконечности, мы должны помнить, что пределы на отрицательной бесконечности аналогично можно определить и вычислить. Для пределов на отрицательной бесконечности нам нужно следить за точками на графике, когда мы движемся к левому краю графика.

            Например, мы можем рассмотреть левую часть графика 𝑦=1𝑥.

            Из этого графика можно сделать вывод, что 𝑦-координаты точек на графике стремятся к 0 как 𝑥 стремится к отрицательной бесконечности.Мы можем выразить это как lim→∞1𝑥=0.

            Заметим, что предел на отрицательной бесконечности этой функции совпадает с пределом на положительной бесконечности. Когда пределы на как положительные, так и отрицательные бесконечности одинаковы, мы можем записать предел как 𝑥→±∞. Например, мы обнаружили, что lim→±∞1𝑥=0.

            Также для любой константы 𝑎 и натурального числа 𝑛 можно применить предельный закон для степеней и скалярные умножения для записи limlimlimlim→∞→∞→∞→∞𝑎𝑥=𝑎1𝑥=𝑎1𝑥=𝑎1𝑥=𝑎×0=0.

            Мы видим, что вывод будет таким же, если мы применим предел на отрицательной бесконечности. Это приводит к более общему правилу, которые мы будем использовать для решения различных задач предела на бесконечности.

            Правило: предел на бесконечности обратных функций

            Для любого действительного числа 𝑎 и натурального числа 𝑛, lim→±∞𝑎𝑥=0.

            Как мы увидим, это правило очень полезно для нахождения предела на бесконечности для самых разных функций. Чтобы изобразить главное Для того, чтобы применить это правило, мы рассмотрим предел на бесконечности полиномиальной функции в нашем первом примере.

            Пример 1: вычисление пределов многочленов на бесконечности

            Рассмотрим многочлен 𝑓(𝑥)=5𝑥+9𝑥−2𝑥−𝑥+11.

            1. Что из следующего равно lim→∞𝑓(𝑥)?
              1. Lim → ∞11
              2. –𝑥
              3. -𝑥𝑥lim → ∞
              4. -2𝑥𝑥lim → ∞
              5. 5𝑥
              6. 5𝑥
            2. Отсюда, найдите Lim → ∞𝑓 (𝑥).

            Ответ

            Часть 1

            В этой части нам нужно найти предел многочлена на бесконечности. Напомним, что предел функции при бесконечность описывает поведение значений функции при неограниченном увеличении 𝑥.Когда мы рассмотрите возможность замены 𝑥 очень большим значением, скажем, 𝑥=1000000, первый член 5𝑥 будет иметь наибольшую величину из пяти членов этого многочлена. Это потому что этот термин содержит множитель с наибольшей степенью 𝑥, то есть 𝑥. В по сравнению с этим членом, остальные четыре члена этого полинома будут пренебрежимо малы. Это приводит к представление о том, что предел этой функции на бесконечности будет вести себя как предел 5𝑥 на положительная бесконечность.

            Мы можем сделать эту идею более строгой, обосновав такое поведение алгебраически. Начнем с факторизации 𝑥 из многочлена. Мы можем написать 5𝑥+9𝑥−2𝑥−𝑥+11=𝑥5+9𝑥−2𝑥−1𝑥+11𝑥.

            Напомним, что предельные законы применимы к пределу на бесконечности таким же образом. Используя предельные законы относительно суммы, разность и произведение пары функций можно написать limlimlimlimlim→∞→∞→∞→∞→∞→∞5𝑥+9𝑥−2𝑥−𝑥+11=𝑥5+9𝑥−2𝑥+1𝑥−1 .

            Напомним также, что для любого действительного числа 𝑎 и натурального числа 𝑛 lim→∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что limlimlim→∞→∞→∞→∞9𝑥=0,2𝑥=0,1𝑥=0,11𝑥=0.

            Это приводит к limlim→∞→∞5𝑥+9𝑥−2𝑥−𝑥+11=5𝑥.

            Это вариант D.

            Часть 2

            В предыдущей части мы обнаружили, что данный предел на бесконечности совпадает с 5𝑥.lim→∞

            Этот предел описывает поведение функции 𝑥 при неограниченном увеличении 𝑥.Если мы рассмотрим подстановку больших значений 𝑥 в это выражение, мы увидим, что результирующее значение будет расти без ограничений. Напомним, что когда значение функции становится больше по мере того, как 𝑥 стремится к бесконечности, мы говорим, что предел функции на бесконечности равен бесконечности. Следовательно, 5𝑥=5×∞=∞.lim→∞

            Это означает lim→∞5𝑥+9𝑥−2𝑥−𝑥+11=∞.

            В предыдущем примере мы нашли предел полиномиальной функции на бесконечности, выделив на множитель наивысшую степень 𝑥 из полинома и применяя пределы обратных функций на бесконечности.В результате мы нашли что предел этого многочлена совпадает с пределом старшего члена, который является членом, содержащим наибольшую степень из 𝑥. Мы можем обобщить этот результат для любого многочлена, следуя аналогичным рассуждениям.

            Правило: предел на бесконечности полиномиальной функции

            Пусть 𝑝(𝑥) — полиномиальная функция, заданная формулой 𝑝(𝑥)=𝑎𝑥+𝑎𝑥+⋯+𝑎𝑥+𝑎,𝑎≠0.

            Тогда limlim→∞→∞𝑝(𝑥)=𝑎𝑥.

            Этот предел равен положительной или отрицательной бесконечности, если знак 𝑎 положительный или отрицательный соответственно.

            Важная идея, вытекающая из этого правила, заключается в том, что многочлен на бесконечности растет как старший член или член, содержащий высшая сила 𝑥. Используя эту идею, мы также можем найти предел рациональной функции на бесконечности, как мы увидим в следующем примере.

            Пример 2. Вычисление пределов рациональных функций на бесконечности

            Рассмотрим рациональную функцию 𝑓(𝑥)=3𝑥−8𝑥9−2𝑥.

            1. Что из следующего равно lim→∞𝑓(𝑥)?
              1. 3−89−2лим→∞→∞
              2. 3+89+2лимлим→∞→∞
              3. 8−лим 3 ∞
              4. 3−89+2lim→∞
              5. 3−89−2lim→∞
            2. Найти lim→∝).

            Ответ

            Часть 1

            В этой части нам нужно найти предел рациональной функции на отрицательной бесконечности. Так как рациональная функция есть частное многочленов, мы можем найти этот предел, рассматривая свойство многочленов относительно числителя и знаменателя рациональная функция. Напомним, что предел полинома на бесконечности контролируется старшим членом или членом с высшая сила. В числителе данной рациональной функции старший член равен 3𝑥, а старший член знаменателя равен −2𝑥. Следовательно, данная рациональная функция должна вести себя одинаково при бесконечность как частное 3𝑥−2𝑥, которое можно привести к константе 3−2.

            Уточним эту идею с помощью алгебры. Начнем с деления числителя и знаменателя частного высшей степенью 𝑥, которая равна 𝑥. Это ведет к 3𝑥−8𝑥9−2𝑥=3𝑥−8𝑥×(9−2𝑥)×=3−−2.

            предел на бесконечности таким же образом.Использование предельных законов относительно разности и частное пары функций, мы можем написать limlim→∞→∞→∞3𝑥−8𝑥9−2𝑥=3−89−2.

            Это вариант А. части, получили, что заданный предел на бесконечности равен 3−89−2.limlim→∞→∞

            Напомним, что для любого действительного числа 𝑎 и натурального числа 𝑛 lim→±∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что limlim→∞→∞1𝑥=0,1𝑥=0.

            Подставляя эти пределы выше, мы получаем 3−8×09×0−2=3−2=−32.

            Следовательно, lim→∞𝑓(𝑥)=−32.

            В предыдущем примере мы нашли предел рациональной функции, разделив числитель и знаменатель частного по высшей степени 𝑥 и применяя предел на бесконечности обратных функций. Этот метод может быть применяется для многих различных функций при нахождении предела на бесконечности.

            Практическое руководство. Нахождение предела рациональной функции на бесконечности

            Пусть 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥) — многочлены, и пусть 𝑚 быть степенью знаменателя 𝑞(𝑥).Чтобы найти предел lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), нужно

            1. умножить числитель и знаменатель частного на 1𝑥,
            2. упростить числитель и знаменатель частного,
            3. применить правило lim →±∞𝑎𝑥=0 и найдите ответ.

            Заметим, что мы умножаем числитель и знаменатель частного на обратную величину наибольшей степени знаменателя. В предыдущем примере это не повлияло на наш метод, так как и числитель, и знаменатель частного имели одинаковые значения. степень.Когда у нас есть рациональная функция с разными степенями, лучше умножить на обратную величину наибольшая степень знаменателя, чтобы избежать ситуации, когда мы получим ноль в знаменателе.

            В следующем примере мы рассмотрим предел на бесконечности рациональной функции, где числитель и знаменатель частные являются полиномами разных степеней.

            Пример 3. Нахождение предела рациональной функции на бесконечности

            Найти lim→∞−5𝑥−9−2𝑥+5.

            Ответ

            В этом примере нам нужно найти предел на бесконечности рациональной функции. Напомним, что для нахождения предела рациональной функции, мы можем начать с умножения числителя и знаменателя частного на величину, обратную наибольшая степень 𝑥 в знаменателе. В заданной рациональной функции высшая степень 𝑥 в знаменателе равно 𝑥, поэтому мы можем умножить числитель и знаменатель частное на 1𝑥.Это ведет к −5𝑥−9−2𝑥+5=(−5𝑥−9)×(−2𝑥+5)×=−−2+.

            предельные законы, мы можем написать limlimlim→∞→∞→∞→∞−5𝑥−9−2𝑥+5=−−−2+.

            Напомним, что для любого действительного числа 𝑎 и натуральное число 𝑛, lim→∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что limlim→∞→∞→∞5𝑥=0,9𝑥=0,5𝑥=0.

            Подставляя эти пределы выше, мы получаем lim→∞−5𝑥−9−2𝑥+5=−0−0−2+0=0.

            Следовательно, lim→∞−5𝑥−9−2𝑥+5=0.

            В следующем примере мы найдем предел на бесконечности рациональной функции, где числитель имеет большее степень.

            Пример 4. Нахождение предела рациональной функции на бесконечности

            Найти lim→∞−𝑥−7𝑥+3𝑥+7𝑥+4−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4.

            Ответ

            В этом примере нам нужно найти предел на бесконечности рациональной функции. Напомним, что для нахождения предела рациональной функции на бесконечности, мы можем начать с умножения числителя и знаменателя частного на обратную наибольшей степени 𝑥 для знаменателя.В заданной рациональной функции высшая степень 𝑥 в знаменателе равно 𝑥, поэтому мы можем умножить числитель и знаменатель частное на 1𝑥. Это ведет к −𝑥−7𝑥+3𝑥+7𝑥+4−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4=−𝑥−7𝑥+3𝑥+7𝑥+4×(−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4)×=−𝑥−7++ +−8−−+. 

            Применяя предельные законы, можно написать limlimlimlimlimlimlim→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞−+7𝑥 +4−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4=−𝑥−7+++−8−−+.

            Напомним, что для любого действительного числа 𝑎 и натурального числа 𝑛 lim→∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что limlimlimlim→∞→∞→∞→∞→∞3𝑥=0,7𝑥=0,4𝑥=0,6𝑥=0,6𝑥=0.

            Подставляя эти пределы выше, мы получаем limlim→∞→∞→∞−𝑥−7𝑥+3𝑥+7𝑥+4−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4=−𝑥−7−8=𝑥+78.

            Мы знаем, что lim→∞𝑥=∞; следовательно, lim→∞𝑥+78=∞+78=∞.

            Это дает нам lim→∞−𝑥−7𝑥+3𝑥+7𝑥+4−8𝑥−6𝑥−6𝑥+4=∞.

            В предыдущих примерах мы нашли предел на бесконечности различных рациональных функций. Более пристальное изучение нашего метода приводит к следующий общий вывод.

            Правило: пределы на бесконечности рациональных функций

            Пусть 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥) — многочлены.

            • Если 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥) совпадают градусов, то lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) определяется отношением старших коэффициентов, которые равны коэффициенты высшей степени 𝑥 как в числителе, так и в знаменателе частного.
            • Если 𝑝(𝑥) имеет более низкую степень, чем 𝑞(𝑥), тогда lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)=0.
            • Если 𝑝(𝑥) имеет более высокую степень, чем 𝑞(𝑥), тогда lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) равно положительной или отрицательной бесконечности.

            Мы могли бы использовать это свойство для более быстрого решения предыдущих примеров. Хотя это полезное правило, о котором следует помнить, находя предел алгебраически применим в более широком круге задач. Привыкание к алгебраическому методу нахождения предела на бесконечность также приведет к более конкретному пониманию этого предмета.

            В следующем примере мы применим это правило для идентификации неизвестных констант в функции из заданного предела на бесконечности.

            Пример 5. Нахождение неизвестных в рациональной функции с заданным пределом на бесконечности

            Найдите значения 𝑎 и 𝑏, учитывая, что lim→∞5𝑥−2𝑥+3(𝑎+4)𝑥+(1−𝑏)𝑥+5𝑥=∞.

            Ответ

            В этом примере нам дан предел рациональной функции на бесконечности. Мы знаем, что предел на бесконечности рационального функция зависит от степеней многочленов в числителе и знаменателе функции. Напомним правило для предел на бесконечности рациональных функций.

            Пусть 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥) — многочлены.

            • Если град 𝑝(𝑥)=𝑞(𝑥), то lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) равно отношению старших коэффициентов.
            • Если градус𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), тогда lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)=0.
            • Если градус𝑝(𝑥)>𝑞(𝑥), тогда lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)=±∞.

            В частности, отметим, что предел на бесконечности равен конечному числу для первых двух случаев. Поскольку предел на бесконечности в этом примере бесконечна, наша рациональная функция должна принадлежать третьему случаю. Это степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.Рассмотрим степени этих многочленов в нашей функции.

            Числитель нашей функции равен 5𝑥−2𝑥+3, который является многочленом степени 5. Следовательно, степень многочлена в знаменателе должно быть меньше 5. Знаменатель нашей функции равен (𝑎+4)𝑥+(1−𝑏)𝑥+5𝑥. Если 𝑎+4 отлично от нуля, то степень этого многочлена будет равна 6, что больше 5. Таким образом, мы должны иметь 𝑎+4=0, что приводит к 𝑎=−4. В этом случае первый коэффициент равен нулю, а значит, знаменатель нашей функции записывается как (1−𝑏)𝑥+5𝑥.Точно так же, если 1−𝑏 не равно нулю, степень этого полинома равна 5, что соответствует степени числителя. Это не может быть правдой на основании данного предел на бесконечности. Следовательно, мы должны иметь 1−𝑏=0, что приводит к 𝑏=1. Это означает, что знаменатель нашей функции равен 5𝑥, степень которого равна 4. Заметим, что, поскольку 5 > 4, степень числителя больше степени степень знаменателя. Это помещает нашу функцию в третью категорию указанного выше правила, вывод которого согласуется с заданным пределом на бесконечности.

            Следовательно, 𝑎=−4, 𝑏=1.

            Мы рассмотрели пределы на бесконечности многочленов и рациональных функций. В этих примерах мы использовали тот факт, что многочлен на бесконечности ведет себя как член высшей степени. Эта идея оказалась полезной для оценки пределов на бесконечности рациональные функции.

            Аналогичную стратегию можно использовать в функции, где либо числитель, либо знаменатель содержит подкоренной корень. В этом случае, а не выбирать член высшей степени (который может находиться под корнем), нам нужно идентифицировать общее поведение числителя и знаменателя с учетом корня.Мы рассмотрим это в следующем примере.

            Пример 6. Нахождение предела комбинации корней и многочленов на бесконечности

            Найти lim→∞√6𝑥+95𝑥+1.

            Ответ

            В этом примере нам нужно найти предел в бесконечности частного. Мы знаем, что предел на положительной бесконечности описывает поведение значения функции при увеличении 𝑥. Рассмотрим поведение числителя и знаменатель частного отдельно для больших значений 𝑥.

            В числителе √6𝑥+9 является квадратным корнем полиномиальной функции 6𝑥+9. Мы знаем, что многочлен растет как старший член, который является членом с наибольшей степенью 𝑥. В этом случае старший член этого полинома равен 6𝑥. Используя эту идею с правилом мощности для пределов, мы получаем limlimlimlimlim→∞→∞→∞→∞→∞√6𝑥+9=6𝑥+9=6𝑥=√6𝑥=√6𝑥.

            Это означает, что числитель ведет себя как функция √6𝑥 при 𝑥 приближается к бесконечности.

            Далее рассмотрим знаменатель 5𝑥+1.Поскольку знаменатель представляет собой многочлен со старшим членом 5𝑥 ведет себя как 5𝑥 на бесконечности. Это приводит к выводу, что данное частное ведет себя как √6𝑥5𝑥, что упрощается до константы √65.

            Мы можем сделать этот аргумент более строгим, используя алгебру. Мы видели, что и числитель, и знаменатель частного ведут себя как постоянные времена 𝑥. Значит, разделим числитель и знаменатель этого частного на 𝑥. Это ведет к √6𝑥+95𝑥+1=√6𝑥+9×(5𝑥+1)×=(6𝑥+9)×5+=6+5+.

            Используя предельные законы, мы можем написать limlim→∞→∞→∞√6𝑥+95𝑥+1=6+5+.

            Напомним, что для любого действительного числа 𝑎 и натурального числа 𝑛 lim→∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что limlim→∞→∞1𝑥=0,1𝑥=0.

            Подставляя эти пределы выше, мы получаем lim→∞√6𝑥+95𝑥+1=√65.

            В предыдущем примере мы нашли предел на бесконечности функции, числитель которой содержит функцию квадратного корня. Мы можно использовать ту же стратегию, чтобы найти предел на бесконечности функции, которая содержит разность квадратных корней.Вначале На первый взгляд, эти задачи не похожи друг на друга, так как не даются в виде частного. Но умножая на сопряженное выражения квадратного корня, мы можем записать эти функции в виде частного, что делает ранее установленный метод доступный. Мы рассмотрим такой предел в нашем последнем примере.

            Пример 7. Нахождение предела функций корней на бесконечности с помощью рационализации

            Определить lim→∞√16𝑥−5𝑥−4𝑥, если он существует.

            Ответ

            В этом примере нам нужно найти предел функции на бесконечности.Наша функция задается как разность двух функции, √16𝑥−5𝑥 и 4𝑥. Обе эти функции стремятся к бесконечности как 𝑥 стремится к бесконечности, что означает, что этот предел можно символически записать ∞−∞. Это тип неопределенной формы, что означает, что мы не можем определить значение этот предел основан на текущей форме. Чтобы найти предел функции в неопределенной форме, мы должны алгебраически упростим данную функцию, пока мы не сможем оценить предел.

            Поскольку данная функция представляет собой разность функции извлечения квадратного корня и многочлена, мы можем думать о сопряженном методе, который часто используется для упрощения таких алгебраических выражений. Напомним, что выражение √𝑎−√𝑏 сопряжено с √𝑎+√𝑏; следовательно, сопряжение данной функции, √16𝑥−5𝑥−4𝑥 можно записать как √16𝑥−5𝑥+4𝑥.

            Чтобы упростить данную функцию, начнем с умножения функции на частное, числитель и знаменатель которого равны к этому сопряженному выражению: √16𝑥-5𝑥-4𝑥 = √16𝑥-5𝑥-4𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥 = √16𝑥-5𝑥-4𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥 .

            Чтобы умножить числитель этой дроби, мы можем использовать формулу разности квадратов: (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎−𝑏. Поскольку квадрат отменяет квадратный корень из первого члена, это выражение упрощается до 16𝑥-5𝑥- (4𝑥) √16𝑥-5𝑥 + 4𝑥 = 16𝑥-5𝑥-16𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥 = -5𝑥√16𝑥-5𝑥 + 4𝑥.

            Теперь, когда у нас есть упростив данную функцию, рассмотрим предел на бесконечности. Мы можем написать limlim→∞→∞√16𝑥−5𝑥−4𝑥=−5𝑥√16𝑥−5𝑥+4𝑥.

            Мы знаем, что предел на положительной бесконечности описывает поведение значения функции при 𝑥 становится больше. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя частного отдельно для больших значений из 𝑥.

            Чтобы найти предел на бесконечности функции частного, мы умножаем числитель и знаменатель на обратную величину термин высшей степени. Числитель частного представляет собой многочлен, где член высшей степени равен 𝑥. В знаменателе у нас есть сумма функции квадратного корня, √16𝑥−5𝑥, и полинома, 4𝑥. Хотя выражение квадратного корня содержит член второй степени 16𝑥, это член находится под квадратным корнем, что означает, что он ведет себя как √16𝑥=4𝑥, который имеет то же самое степень как полиномиальный член.Следовательно, член высшей степени знаменателя также равен 𝑥.

            Таким образом, мы можем умножить числитель и знаменатель этого частного на 1𝑥, что приводит к −5𝑥√16𝑥−5𝑥+4𝑥=−5𝑥×√16𝑥−5𝑥+4𝑥×=−5×(16𝑥−5𝑥)+4=−516−+4. 

            Используя предельные законы, мы можем написать limlim→∞→∞−516−+4=−516−+4.

            Напомним, что для любого действительного числа 𝑎 lim→∞𝑎𝑥=0.

            Это означает, что lim→∞5𝑥=0.

            Подставляя этот предел выше, мы получаем limlim→∞→∞√16𝑥−5𝑥−4𝑥=−516−+4=−5√16+4=−54+4=−58.

            Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

            Ключевые моменты

            • Если значения 𝑓(𝑥) приближаются к некоторому конечному значению 𝐿 как значения 𝑥 стремятся к бесконечности, то мы говорим, что существует предел 𝑓(𝑥) в бесконечности и равно 𝐿, и мы обозначаем это как lim→∞𝑓(𝑥)=𝐿. Аналогично определяется предел на отрицательной бесконечности.
            • Если значения 𝑓(𝑥) неограниченно увеличиваются (или уменьшаются) при стремлении 𝑥 до бесконечности, то говорят, что предел 𝑓(𝑥) на бесконечности равен положительной (или отрицательной) бесконечности.
            • Предельные законы применяются тем же образом к пределу в бесконечности, пока правая часть тождества не приводит к в неопределенной форме: 00,∞∞,0⋅∞ или ∞−∞.
            • Полиномиальная функция на бесконечности ведет себя как ее старший член, который является членом, содержащим наивысшую степень 𝑥.
            • Для любой константы 𝑎 и положительного числа 𝑚, lim→±∞𝑎𝑥=0.
            • Пусть 𝑝(𝑥) и 𝑞(𝑥) полиномы, и пусть 𝑚 быть степенью знаменателя 𝑞(𝑥).Чтобы найти предел lim→±∞𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), нужно
              • умножить числитель и знаменатель частного на 1𝑥,
              • упростить числитель и знаменатель частного,
              • применить правило lim→±∞𝑎𝑥=0 и найти ответ.

            4.6 Пределы на бесконечности и асимптоты. Исчисление, том 1

            Шаг 1. Функция ff определена до тех пор, пока знаменатель не равен нулю. Следовательно, областью определения является множество всех действительных чисел xx, кроме x=±1.х=±1.

            Шаг 2. Найдите точки пересечения. Если x=0,x=0, то f(x)=0,f(x)=0, так что 00 — точка пересечения. Если y=0,y=0, то x2(1−x2)=0,x2(1−x2)=0, откуда следует x=0. x=0. Следовательно, (0,0)(0,0) — единственный перехват.

            Шаг 3. Оцените пределы на бесконечности. Поскольку ff — рациональная функция, разделите числитель и знаменатель на наибольшую степень в знаменателе: x2.x2. Получаем

            limx→±∞x21−x2=limx→±∞11×2−1=−1.limx→±∞x21−x2=limx→±∞11×2−1=−1.

            Следовательно, ff имеет горизонтальную асимптоту y=−1y=−1 при x→∞x→∞ и x→−∞.х→−∞.

            Шаг 4. Чтобы определить, имеет ли ff вертикальные асимптоты, сначала проверьте, есть ли нули в знаменателе. Мы находим, что знаменатель равен нулю, когда x=±1.x=±1. Чтобы определить, являются ли линии x=1x=1 или x=-1x=-1 вертикальными асимптотами f,f, вычислите limx→1f(x)limx→1f(x) и limx→−1f(x).limx→ −1f(x). Рассматривая каждый односторонний предел как x→1,x→1, мы видим, что

            limx→1+x21−x2=−∞и limx→1−x21−x2=∞.limx→1+x21−x2=-∞andlimx→1−x21−x2=∞.

            Кроме того, рассматривая каждый односторонний предел как x→−1,x→−1, мы находим, что

            limx→−1+x21−x2=∞ и limx→−1−x21−x2=−∞.limx→−1+x21−x2=∞ и limx→−1−x21−x2=−∞.

            Шаг 5. Вычислить первую производную:

            f′(x)=(1−x2)(2x)−x2(−2x)(1−x2)2=2x(1−x2)2.f′(x)=(1−x2)(2x)− х2(-2х)(1-х2)2=2х(1-х2)2.

            Критические точки возникают в точках xx, где f'(x)=0f'(x)=0 или f'(x)f'(x) не определено. Мы видим, что f′(x)=0f′(x)=0, когда x=0.x=0. Производная f′f′ не определена ни в одной точке области определения f.f. Однако x=±1x=±1 не входят в область определения ф.ф. Следовательно, чтобы определить, где ff возрастает, а где ff убывает, разделите интервал (−∞,∞)(−∞,∞) на четыре меньших интервала: (−∞,−1),(−∞,−1), (−1,0),(−1,0), (0,1),(0,1) и (1,∞),(1,∞), и выбрать контрольную точку в каждом интервале, чтобы определить знак f′(x)f′(x) в каждом из этих интервалов.Значения x=-2,x=-2, x=-12,x=-12, x=12,x=12 и x=2x=2 являются хорошим выбором для контрольных точек, как показано в следующей таблице.

            Интервал Контрольная точка Знак f′(x)=2x(1−x2)2f′(x)=2x(1−x2)2 Заключение
            (-∞,-1)(-∞,-1) х=-2х=-2 -/+=–/+=- ff уменьшается.
            (−1,0)(−1,0) х=-1/2х=-1/2 -/+=–/+=- ff уменьшается.
            (0,1)(0,1) х=1/2х=1/2 +/+=++/+=+ ff увеличивается.
            (1,∞)(1,∞) х=2х=2 +/+=++/+=+ ff увеличивается.

            Из этого анализа мы делаем вывод, что ff имеет локальный минимум при x=0x=0, но не имеет локального максимума.

            Шаг 6. Вычислить вторую производную:

            f″(x)=(1−x2)2(2)−2x(2(1−x2)(−2x))(1−x2)4=(1−x2)[2(1−x2)+8×2 ](1−x2)4=2(1−x2)+8×2(1−x2)3=6×2+2(1−x2)3. f″(x)=(1−x2)2(2)−2x(2(1−x2)(−2x))(1−x2)4=(1−x2)[2(1−x2)+8×2 ](1−x2)4=2(1−x2)+8×2(1−x2)3=6×2+2(1−x2)3.

            Чтобы определить интервалы, где ff вогнута вверх и где ff вогнута вниз, нам сначала нужно найти все точки xx, где f″(x)=0f″(x)=0 или f″(x)f″(x) не определено. Поскольку числитель 6×2+2≠06×2+2≠0 для любых x,x, f″(x)f″(x) никогда не равен нулю. Кроме того, f″f″ не является неопределенным для любого xx в области определения f.f. Однако, как обсуждалось ранее, x=±1x=±1 не находятся в области f.f. Поэтому, чтобы определить вогнутость f,f, мы разделим интервал (−∞,∞)(−∞,∞) на три меньших интервала (−∞,−1),(−∞,−1), (− 1,−1),(−1,−1) и (1,∞),(1,∞), и выбрать контрольную точку в каждом из этих интервалов для оценки знака f″(x).f″(х). в каждом из этих интервалов. Значения x=-2,x=-2, x=0,x=0 и x=2x=2 являются возможными контрольными точками, как показано в следующей таблице.

            Интервал Контрольная точка Знак f″(x)=6×2+2(1−x2)3f″(x)=6×2+2(1−x2)3 Заключение
            (-∞,-1)(-∞,-1) х=-2х=-2 +/-=-+/-=- ff имеет вогнутую форму.
            (-1,-1)(-1,-1) х=0х=0 +/+=++/+=+ ff имеет вогнутую форму.
            (1,∞)(1,∞) х=2х=2 +/-=-+/-=- ff имеет вогнутую форму.

            Объединяя всю эту информацию, мы приходим к графику ff, показанному ниже. Обратите внимание, что хотя ff меняет вогнутость в точках x=−1x=−1 и x=1,x=1, ни в одном из этих мест нет точек перегиба, поскольку ff не является непрерывным в точках x=−1x=−1 или x= 1.х=1.

            Бесконечные пределы и вертикальные асимптоты – исчисление

            Вертикальная асимптота – это место, где функция не определена и предел функции не существует. -)f(x) = -oo#”

            В приведенном выше определении верхний индекс + обозначает правый предел #f(x)# как #x->a#, а верхний индекс обозначает левый предел.

            Что касается других аспектов исчисления, то в общем случае нельзя дифференцировать функцию на ее вертикальной асимптоте (даже если функция может быть дифференцируема в меньшей области) и нельзя интегрировать на этой вертикальной асимптоте, потому что функция там не непрерывна.

            В качестве примера рассмотрим функцию #f(x) = 1/x#.(й) # изд. Бельмонт: Высшее образование Томсона, 2008. Печать.

            Пределы на бесконечности – определение, примеры решенных задач

            По мере того, как x становится все больше и больше (большое положительное или большое отрицательное), вы можете видеть, что значения f(x) становятся все ближе и ближе к 1.

            Пределы на бесконечности

            В предыдущем разделе мы исследовали бесконечные пределы и вертикальные асимптоты. Там мы позволили x приблизиться к числу, и в результате значения y стали сколь угодно большими (очень большими положительными или очень большими отрицательными).В этом разделе мы позволим x стать произвольно большим (положительным или отрицательным) и посмотрим, что произойдет с y.

            Давайте начнем с исследования поведения f : R → R , определяемого как


            . Мы сведем в таблицу значения этой функции, как в видим, что значения f(x) все ближе и ближе к 1. На самом деле кажется, что мы можем приблизить значения f(x) к 1, взяв x достаточно большим.Эта ситуация выражается символически записью


            . Если мы посмотрим на график:

            Геометрически (см. рис. 9.25) эта ситуация также приводит к тому, что мы имеем


            Определение 9.6

            Линия y = l называется Горизонтальный асимпте кривой y = f (x) Если либо








            9. 599

            9.59



            Раствор

            Если мы могли бы попытаться использовать предельные теоремы для расчета этого предела, мы попадаем в следующие ситуации.

            (2×2 – 2x + 3) →∞ при x →∞

            ( x2 – 4x + 3) →∞ при x →∞


            Но фактические расчеты и таблицы дают следующее:

            707779 5 значения показывают, что по мере того, как x становится достаточно большим, f(x) становится все ближе и ближе к 2. Тогда


            К счастью, мы можем упростить задачу, разделив числитель и знаменатель на x2. У нас есть


            Обратите внимание, что степень выражений числителя и знаменателя одинакова.

            В общем, пределы рациональных выражений при x→±∞ можно найти, сначала разделив числитель и знаменатель на наибольшую степень x, которая появляется в знаменателе, а затем вычислив предел при x→ ∞ (или x→ – ∞) как числителя, так и знаменателя.



            Теги : определение, решенные примеры задач | Математика, 11-й курс Математика: РАЗДЕЛ 9: Пределы и непрерывность дифференциального исчисления

            Учебный материал, Лекционные заметки, Задание, Справочник, Вики-описание, краткое описание

            11-й Математика: РАЗДЕЛ 9: Пределы и непрерывность дифференциального исчисления: Пределы на бесконечности | определение, решенные примеры задач | Математика

            MakeTheBrainHappy: ограничения в исчислении

            Объект2), предел будет равен значению функции (y-значению) указанной функции.

            Объект. 2: Обзор непрерывных функций.

            Правильно сопоставьте буквенное число с названием функции.

            Варианты: рациональный (1), тригонометрический (2), логарифмический (3), степенной (4), полиномиальный (5), экспоненциальный (6).

            Ответы находятся внизу статьи.


            Полиномиальные, рациональные, степенные, экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции непрерывны в своих соответствующих областях. 2) – разрыв из-за вертикальной асимптоты. Предел все еще может быть принят, потому что он смотрит на то, какое значение функция приближается к , в отличие от того, как функция определена (или не определена) в этой функции. К этой концепции мы еще вернемся, когда будем исследовать пределы, которых не существует. Основная идея здесь состоит в том, что непрерывность не является требованием для существования предела.

            Объект. 4: Графическая оценка пределов

            Пределы могут быть оценены графически посредством человеческого приближения (т.3 учитывая информацию в таблице?
            Объект. 5. Алгебраическая оценка пределов
            Приведенные выше предельные законы можно использовать для упрощения различных задач или других ограничений, когда они не могут быть решены путем традиционной прямой замены, упрощения или рационализации. Замена включает в себя подстановку числа, упрощение обычно включает разложение на множители, а рационализация включает умножение на сопряженное число. Пример последней техники показан ниже.
            Объект. 6: Формальное определение непрерывности
            Функция является непрерывной в конкретной точке/аргументе, если этот аргумент находится в области определения функции, существует предел и эта точка, и если эти два значения эквивалентны друг другу.2 по мере приближения аргумента к нулю равно нулю.

            Два значения равны? 0 = 0.

            Объект. 7: Односторонние ограничения

            Принимая ограничение с помощью таблицы, вы проверяете аргументы обеих сторон ограничения, чтобы определить. Вы также можете описать лимиты всего из односторонних  от лимита. Это обеспечивает два варианта: левосторонний предел (обозначается – (тире) в значении аргумента) и правый предел (обозначается + (знак добавления) в значении аргумента).3)/х.


            Объект. 8: Несуществующие ограничения
            Пределы технически не существуют, если предел не ограничен (т. е. стремится к бесконечности), хотя они все же могут описывать
            поведение функции. Пределов также не существует, если функция колеблется вокруг аргумента или если левый и правый пределы не эквивалентны. Следующие графики иллюстрируют эти принципы. A.) Предела 1/x в нуле не существует, потому что левый и правый пределы не эквивалентны (правый предел = + бесконечность), (левый предел = – бесконечность).2 в нуле не существует, потому что он неограничен, но утверждение все еще верно, когда вы пытаетесь описать
            общее поведение функции.

            C.) Предела sin(1/x) в нуле не существует, потому что функция начинает колебаться по мере приближения к значению.

            D.) Предел |x|/x в нуле не существует, потому что левый и правый пределы не эквивалентны (левый предел = -1), (правый предел = +1)

            Объект2, который имеет тенденцию к бесконечности.


            Пределы также могут быть взяты бесконечно, чтобы найти горизонтальные асимптоты. Это возвращает к предыдущему содержимому, включающему в себя верхний предел (степень числителя > степень знаменателя), равенство (степень числителя = степень знаменателя) и нижний предел (степень числителя

            ). Правила по-прежнему применяются, когда предельный аргумент принимается за бесконечности (как в случае ниже).Если функция имеет тяжелое дно, предел равен нулю (т. е. горизонтальная асимптота x=0).Если функция тяжелая, предел равен +бесконечности (т. е. горизонтальная асимптота не существует), и если две степени равны, вы можете найти значение, разделив числитель и знаменатель на переменную до наибольшего степень. Все члены, меньшие этого, исчезают, когда вы доводите предел до бесконечности. Этот процесс иллюстрируется примером ниже.


            На основании этого расчета график приведенной выше функции должен иметь горизонтальную асимптоту при y=3. Вот представление этого, и вы можете видеть, что график имеет горизонтальную асимптоту, к которой он стремится:
            Объект.10: Теорема о промежуточном значении, Теорема об экстремальном значении, Теорема о среднем значении

            Мы еще раз вернемся к теме непрерывности, поскольку она является существенным условием для трех упомянутых выше теорем. Вот графические пояснения к этим теоремам.

            Теорема о среднем значении также зависит от наличия непрерывной функции. Взяв наклон между точками (a,f(a)) и (b,f(b)), вы будете знать, что на кривой должна быть хотя бы одна точка, где наклон равен этому «секущему» наклону. .Источник: Роберт Ортис (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mvt2.svg)

            Это обсуждение наклонов, упомянутое в определении теоремы о среднем значении, станет очень важным в уроке Производных .

            Ответы:


            Первая практика (сопоставление функций с графиками): A–5, B–1, C–4, D–6, E–3, F–2

            Вторая практика (ограничение на основе таблицы): ограничение составляет прибл. .511 или .512.

            Кредиты:

            Графики были сделаны с помощью Desmos и графического калькулятора Symbolab. .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.