Пределы с корнями: примеры с решением
Поиск значений пределов с корнями мало чем отличается от каких-либо других пределов.
Замечание 1
Основная цель в данном случае — это избавление от знака корня с помощью тождественных преобразований.
Например, если необходимо иметь дело с дробью с корнем в знаменателе, можно домножить всё выражение на такой множитель, который позволит получить в знаменателе разность квадратов.
Такой способ хорош если приходится иметь дело с неопределённостями вида $[\frac00]$.
Пример 1
Решите пример: $\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{5-\sqrt{x+20}}$.
Решение:
$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{5-\sqrt{x+20}} =\frac{0}{0}= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5) \cdot (5+\sqrt{x+20})}{(5-\sqrt{x+20})\cdot (5+\sqrt{x+20})}= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5) \cdot (5+\sqrt{x+20})} {25-(x+20)}= -\lim_{x \to 5} (5 + \sqrt{x+20}) = -(5+\sqrt{5+20}) = -10$.
Если же приходится иметь дело с неопределённостью, представляющей собой деление бесконечности на бесконечность, то хорошим способом избавиться от неё будет вынос икса с наибольшей степенью за скобки как в числителе, так и в знаменателе и затем его сокращение.
Пример 2
Найдите предел от функции, зависящей от x $f(x)= \frac{x^2 + 5x}{\sqrt{x+6}}$ при $x \to \infty$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x}{\sqrt{x+6}} = \lim_{x \to infty} \frac{x^2 \cdot(1+\frac{5}{x})}{x^2 \cdot (\sqrt{\frac{x}{x^4} + \frac{6}{x^4}}} = \frac{1+0}{\sqrt{0+0}}=\frac10=\infty$.
Также с корнями встречается и ещё один вид неопределённостей — вычитание бесконечности из бесконечности. Вычисление предела от такого типа разности также хорошо вычисляется посредством домножения на множители, позволяющие выделить, например, разность квадратов.
Пример 3
Найдите, чему равно данное выражение $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-4x} – x)$.
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-4x} – x) =\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-4x} + x) (\sqrt{x^2-4x} – x)}{(\sqrt{x^2-4x} + x)}= \lim_{x \to \infty}\frac{x^2 – 4x – x^2}{(\sqrt{x^2-4x} + x)}= \lim_{x \to \infty} -\frac{4x}{\sqrt{x^2-4x} + x}=-\frac{4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}} + 1} = -\frac{4}{\sqrt{1-0}+1} = -2$.
spravochnick.ru
Пределы. Примеры решений – matematika
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В
практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно
любое число, а также бесконечность ().
Сама запись читается так: «предел функции
www.sites.google.com
пределы бесконечность минус бесконечность | Математика
Рассмотрим пределы на раскрытие неопределенности бесконечность минус бесконечность на конкретных примерах.Найти предел функции:
Чтобы найти предел, то есть раскрыть неопределенность бесконечность минус бесконечность, домножим и разделим на выражение, сопряженное данному (чтобы затем по формуле разности квадратов избавиться от квадратного корня):
Аналогично: умножаем и делим на выражение, сопряженное данному:
Умножим и разделим на выражение, сопряженное данному. В данном примере, чтобы избавиться от кубического корня, мы должны получить формулу суммы кубов. То есть умножаем и делим на неполный квадрат разности:
В общем случае, чтобы раскрыть неопределенность вида бесконечность минус бесконечность, пробуем действовать по одной из схем:
или
adminПредел функции