Пределы с синусами как решать: Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами

Содержание

Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Для базовых тригонометрических функций используются стандартные обозначения (первые буквы в именах функций – заглавные):

In[1]:=
Sin[x]/Cos[x] == Tan[x]
Out[1]=

Добавим ключевое слово “Arc” для получения обратных функций:

In[2]:=
ArcTan[1]
Out[2]=

Для работы с радианами зачастую необходимо использовать константу Pi:

(Наберите ESCpiESC для ввода символа π.)
In[1]:=
Sin[\[Pi]/2]
Out[1]=

Или наберите ESCdegESC для использования встроенного символа Degree:

In[2]:=
Sin[90 \[Degree]]
Out[2]=

Разложим (или упростим) тригонометрические выражения, используя известные тождества:

In[1]:=
TrigExpand[Sin[2 x]]
Out[1]=

Выполним факторизацию тригонометрического полинома:

In[2]:=
TrigFactor[Cos[x]^2 - Sin[x]^2]
Out[2]=

Такие функции, как Solve, также позволяют решать подобные уравнения:

In[1]:=
Solve[Cos[x]^2 + Sin[x]^2 == x]
Out[1]=

Уточним интересующую область решений:

In[2]:=
Solve[{Tan[x] == 1, 0 < x < 2 Pi}]
Out[2]=

Справочная информация: Тригонометрические функции »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА практического занятия для преподавателя по изучению темы 1.

1. Функции, пределы функций учебной дисциплины «Математика» по специальности 34.02.01 Сестринское дело, базовой подготовки

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия для преподавателя

по изучению темы 1.1. Функции, пределы функций

учебной дисциплины «Математика»

по специальности 34.02.01 Сестринское дело, базовой подготовки

Составила:

Федорова Ю.В.,

преподаватель

учебной дисциплины

«Математика»

Канск, 2018 г.

ТЕМА: Функции, пределы функций

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

учебная:

развивающие:

  • развивать логическое мышление;

  • совершенствовать полученные знания, умения, навыки;

  • развивать навыки речевого общения, самостоятельности в приобретении знаний, работы с литературой.

воспитательные:

  • возбудить интерес к дисциплине и стремление к качественному овладению материалом;

  • воспитывать аккуратность, ответственность, требовательность к себе и товарищам, взаимопонимание, взаимопомощь;

  • воспитывать гуманистическое отношение к самому себе;

  • формировать навыки самообразования.

ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЕТЕНЦИЙ:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение квалификации.

Перечень знаний и умений

С целью формирования ОК в ходе освоения данной темы студент должен

Знать:

З1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ.

З2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

З4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

Уметь:

У1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

ТИП ЗАНЯТИЯ: практическое занятие

МЕТОДЫ И ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ:

  • методы контроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности – письменный, устный, самоконтроль;

  • методы организации учебно-познавательной деятельности – объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый;

  • формы организации учебной деятельности – групповая.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЗАНЯТИЯ: 90 минут

ОСНАЩЕНИЕ ЗАНЯТИЯ: методическая разработка для преподавателя, методическая разработка для студента, практическое пособие «Сборник задач по математике», раздаточный материал, таблицы формул, контрольные задания по теме.

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ:

а) обеспечивающие: математический анализ.

б) обеспечиваемые: генетика.

ВНУТРИПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ: исследование функций.

ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ:

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация учебной деятельности. Целевая установка.

  3. Повторение основных сведений по изучаемой теме.

  4. Контроль базового уровня знаний.

  5. Объяснение нового материала.

  6. Закрепление материала.

  7. Самостоятельная работа.

  8. Подведение итогов.

  9. Задание на дом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Основные источники:

  1. Баврин И.И. Высшая математика для химиков, биологов и медиков: учебник и практикум для прикладного бакалавриата / 2-е изд., испр.и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2016.

  2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учебное пособие для СПО. – 5-е изд. М.: Юрайт, 2015.

  3. Григорьев В.П. Элементы высшей математики – М., 2013.

  4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. / В.С.Михеев. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2014.

  5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2012.

Электронные учебники:

  1. Колесов В. В. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д, 2015.

  2. Луканкин А.Г. Математика. – М., 2014.

  3. Омельченко В.П. Математика. – М., 2017.

Дополнительные источники:

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. / Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2014.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

www.mathprofi.ru

www.function-x.ru

www.wmede.org

www.biblio-online.ru

www.windows.edu.ru

Ход занятия

Основные понятия функции.

Предел функции в точке и на бесконечности.

Свойства пределов.

Правила вычисления пределов функций в точке и на бесконечности.

Контроль базового уровня знаний

10 мин

Преподаватель проводит письменный математический диктант на знание студентами основных формул

Объяснение нового материала

15 мин

Преподаватель объясняет новый материал, студенты записывают в тетрадь

Осмысление и систематизация полученных знаний и умений

15 мин

Закрепление материала и практических умений осуществляется с помощью решения заданий

Самостоятельная работа студентов по формированию ОК

30 мин

Студенты письменно выполняют задания в тетради, решив упражнения с карточки. У каждого студента номер варианта соответствует порядковому номеру в журнале

Подведение итогов

3 мин

Обсуждаются итоги самостоятельной работы студентов и выставляются оценки с комментариями. Оценка выставляется с учетом всех этапов занятия

Задание на дом

2 мин

1) Прочитать: Богомолов Н.В. с.75-83

2) Письменно решить упражнения из учебника Пехлецкий И.Д. с.242, № 3.17-3.26

Приложение 1

Значимость изучаемой темы

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 – 1727), а также математиками 18 века – швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 – 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 – 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 – 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 – 1857) в 1821 году.

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

Приложение 2

Повторение

Ответьте на вопросы:

  1. Основные понятия функции.

  2. Определение предела функции в точке. Приведите пример.

  3. Определение предела функции на бесконечности. Приведите пример.

  4. Свойства пределов.

  5. Правило вычисления пределов функций в точке.

  6. Правило вычисления пределов функций на бесконечности.

Приложение 3

Контроль базового уровня знаний

Математический диктант:

  1. Запишите обозначение предела функции в точке.

  2. Запишите обозначение предела функции на бесконечности.

  3. Сформулируйте свойства пределов.

  4. Правило вычисления предела функции в точке.

  5. Правило вычисления предела функции на бесконечности.

  6. Запишите пример предела функции, которого не существует.

  7. Чему равен предел функции обратной пропорциональности на бесконечности?

Приложение 4

Объяснение нового материала

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:  (вместо родной буквы «х» – греческая буква «альфа»).

Согласно нашему правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

 – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра  может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , , 

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

Пример 1

Найти предел 

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». 
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:


Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:


Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:



Используем первый замечательный предел 

Пример 2

Найти предел 

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность  и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел 

Подставляем ноль в выражение под знаком предела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле  

 В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра  может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 4

Найти предел 

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение  ,

Нетрудно заметить, что при  основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:


Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 5

Найти предел 

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Наконец-то долгожданное  устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились. Делим числитель и знаменатель на :

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 6

Найти предел 

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :

Выражение  со спокойной душой превращаем в букву :

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

А что такое  и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Заключение:

 Теорема (первый замечательный предел). 

       

 Следствие 1. 

       

 Следствие 2. 

       

 Следствие 3. 
 Теорема (второй замечательный предел). 

       

 Следствие 1.  

       

 Следствие 2. 

       

 Следствие 3. 

Приложение 5

Закрепление

Вычислите предел функции:

1. lim 2x2 + 6x – 1 , при а) х0 = ∞; б) х0 = 1

х→ х0 x2 + 4

2. lim 105 . х , при х0 =

х→ х0 105 + х

3. lim 2x2 + х ­­– 1

х→ -1 х2 – 6х – 7

4. lim 2x3 – х2 + 1 , при х0 =

х→ х0 1 + 3х – х3

5. lim 4x2 – 3х_ , при а) х0 = ∞; б) х0 = 0

х→ х02 – 9х

6. lim 3x4 – 2х2 + 1 , при х0 =

х→ х0 10х5 – х4 + 3

7. lim x3 – 1

х→ 1 х – 1


8. lim x3 x2 , при х0 =

х→ х0 2 – 1 2х + 1

9. lim cos 2x , при х0 = π/4

хх0 sin x + cos x

10. lim x2 + 2х – 8

х→ 2 х3 – 8

Приложение 6

Самостоятельная работа

Вычислить пределы

1)

2 ­– 5х – 3

3х2 – 4х –15

при а) х0 = ∞

б) х0 = 2

в) х0 = 3

2)

2 ­– 7х – 2

2х2 – х – 6

при а) х0 = ∞

б) х0 = 2

в) х0 = 0

3)

2 ­+ 5х – 3

х2 + 5х + 6

при а) х0 = ∞

б) х0 = 3

в) х0 = -3

4)

2 ­+ 11х + 10

2х2 + 5х + 2

при а) х0 = ∞

б) х0 = -3

в) х0 = -2

5)

2 ­– 14х + 8

2х2 – 7х – 4

при а) х0 = ∞

б) х0 = 4

в) х0 = 2

6)

2 ­– 25х + 25

2х2 – 15х + 25

при а) х0 = ∞

б) х0 = 5

в) х0 = 2

7)

2 ­+ 26х – 33

2х2 + х – 3

при а) х0 = ∞

б) х0 = -1

в) х0 = 1

Самостоятельная работа №1

2 ­+ 15х + 25

х2 + 15х + 50

при а) х0 = ∞

б) х0 = 5

в) х0 = -5

9)

2 ­+ 13х + 7

3х2 + 8х + 5

при а) х0 = ∞

б) х0 = -1

в) х0 = -2

10)

2 ­+ 5х – 8

2х2 + 3х – 5

при а) х0 = ∞

б) х0 = 1

в) х0 = -2

11)

х2 + 4х – 5

х2 – 1

при а) х0 = ∞

б) х0 = 1

в) х0 = 1/2

12)

х3 + х

х3 – 3х2 + х

при а) х0 = ∞

б) х0 = 0

в) х0 = –1

13)

х – 2

2 – 7х + 2

при а) х0 = ∞

б) х0 = 2

в) х0 = 0

Эталоны ответов

1

а) 2/3

б) 5/11

в) 0,5

2

а) 2

б) 1 2/7

в) 1/3

3

а) 2

б) 1

в) 7

4

а) 1,5

б) 4/5

в) 1/3

5

а) 1,5

б) 1 1/9

в) 0,8

6

а) 2

б) 3

в) -3

7

а) 3,5

б) 26

в) 8

8

а) 2

б) 1

в) -1

9

а) 2

б) 1/2

в) 5

10

а) 1,5

б) 1 4/7

в) 2

11

а) 1

б) 3

в) 3 2/3

12

а) 1

б) 1

в) 0,4

13

а) 0

б) 0,2

в) -1

Два определения предела функции в точке.

Предел функции – определения, теоремы и свойства

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи

Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .

Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров)

, но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил

известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части.

Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .

Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся».

И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание

: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение .

Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод : т. к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя определение предела, доказать, что

Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )

Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.

а. База; определение и основные примеры

Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:

Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.

Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.

Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо

Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.

то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).

Запись будет употребляться вместо

При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать

Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.

Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру

b. Предел функции по базе

Определение 12. Пусть – функция на множестве X; В – база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности

Если А – предел функции по базе В, то пишут

Повторим определение предела по базе в логической символике:

Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:

В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).

Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.

Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:

или, что то же самое,

Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать

Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.

Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого

В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.

Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!


Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.


Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Найти предел функции в точке:

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.

Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

Пример 49. Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0} . Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2) .
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2) .
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.

Пример 50. Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0} .
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

Пример 51. Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

Пример 52. Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.


Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него


где a и b – произвольные числа.

Пример 53. Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.


Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:

Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2) .
Однако числитель дальше содержит (x+2) , а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.

Пример 55. Имеем дробную функцию – в числителе разница корней, в знаменателе – поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0} .
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1) .
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке

Пример 56. С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x) , и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби

Пример 57. Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.


На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x n – a|

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε

которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т. е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε , можно найти такое δ >0 (зависящее от ε ), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 x-a , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A|

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , – являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

,

и непрерывной слева в точке x o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода – в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение. .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 .4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Виджет для вычисления пределов on-line

В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Неопределенные пределы — Синусоидальные формы. Как решить, примеры, практика задач с работой

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

Краткий обзор

  • $$\displaystyle \lim_{\theta\to0} \frac{\sin(\theta)} \theta = 1$$
  • Этот предел был получен на уроке по теореме сжатия
  • Знаменатель должен быть таким же, как аргумент синуса, и оба должны приближаться к нулю в пределе.

Примеры

Пример 1

Вычислите $$\displaystyle \lim_{\theta\to0}\frac{\sin(4\theta)} \theta$$

Шаг 1

Умножьте на $$\frac 4 4$$, чтобы знаменатель совпал с аргументом.

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{\theta\to0}\,\frac{\sin(4\theta)} \theta % & = \lim_{\theta\to0} \left(% \ гидроразрыв {\ красный 4} {\ красный 4} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех (4 \ тета)} \ тета \справа)\\[6pt] % & = \lim_{\theta\to0}\left(% \frac{\red 4} 1\cdot \ гидроразрыва {\ грех (4 \ тета)} {\ красный 4 \ тета} \справа)\\[6pt] % & = \ red {4} \, \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to0} \, \ frac {\ sin (4 \ theta)} {\ red 4 \ theta} \конец{выравнивание*} $$

Шаг 2

Оценить предел.

Поскольку знаменатель совпадает с аргументом функции синуса, и оба стремятся к 0, предел равен 1.

$$ 4 \, \ синий {\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to0} \, \ гидроразрыв {\ грех (4 \ тета)} {4\тета}} = 4 (\ синий 1) = 4 $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{\theta\to0}\,\frac{\sin(4\theta)} \theta = 4$$

Пример 2

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\,\frac{\sin(5x)}{2x}$$

Шаг 1

Вынесите двойку из знаменателя.

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\,\frac{\sin(5x)}{\blue{2}x} % = \displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв 1 {\ синий {2}} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха (5x)} {x} \правильно) % = \ frac 1 {\ blue 2} \ cdot \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin (5x)} x $$

Шаг 2

Умножьте на $$\frac 5 5$$, чтобы знаменатель совпал с аргументом функции синуса.

\начать{выравнивать*} \ frac 1 2 \ cdot \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin (5x)} {x} % & = \frac 1 2\cdot\lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ красный 5} {\ красный 5} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха (5x)} {x} \справа)\\[6pt] % & = \frac 1 2\cdot\displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \frac{\red 5} 1\cdot \ гидроразрыв {\ грех (5x)} {\ красный 5 х} \справа)\\[6pt] % & =\frac{\red 5} 2 \cdot \lim_{x\to0}\,\frac{\sin(5x)}{\red 5 x} \конец{выравнивание*}

Шаг 3

Оценить предел.

$$ \ frac 5 2 \ cdot \ blue {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ гидроразрыва {\ греха (5x)} {5x}} = \frac 5 2 (\blue 1) = \фракция 5 2 $$

Ответ: $$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\,\frac{\sin(5x)}{2x} = \frac 5 2$$

Пример 3

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0} \,\frac{6x}{\sin 3x}$$

Шаг 1

Вынесите из числителя 2 на множитель.

$$ \displaystyle\lim_{x\to0} \,\frac{\blue 6 x}{\sin 3x} % = \displaystyle\lim_{x\to0} \left(% \frac{\blue 2} 1 \cdot \ гидроразрыв {\ синий 3 х} {\ грех 3 х} \правильно) % = \ blue 2 \ cdot \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ blue 3 x} {\ sin 3x} $$

Шаг 2

Перепишите дробь как обратную в степени -1.{-1} % = 2 $$

Ответ: $$\displaystyle\, \lim_{x\to0} \,\frac{6x}{\sin 3x} = 2$$

Важный! Пример 3 показывает нам, что $$\displaystyle \lim_{x\to 0}\, \frac{\theta}{\sin\theta} = 1. $$

Пример 4

Вычислить $$\displaystyle \lim_{t\to0} \,\frac{\sin 3t}{\sin 8t}$$

Шаг 1

Переписать отдельными дробями.

$$ \displaystyle\lim_{t\to0}\, \ гидроразрыв {\ грех 3t} {\ грех 8т} = \displaystyle\lim_{t\to0}\, \осталось(% \ гидроразрыва {\ sin 3t} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 8t} \правильно) $$

Шаг 2

Умножить на $$\frac{3t}{3t}$$ и $$\frac{8t}{8t}$$.

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{t\to0}\, \осталось(% \ гидроразрыва {\ sin 3t} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 8t} \правильно) % & = \lim_{t\to0}\, \осталось(% \ гидроразрыва {\ blue {3t}} {\ blue {3t}} \cdot \ гидроразрыва {\ sin 3t} 1 \cdot \ frac{\ red {8t}} {\ red {8t}} \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 8t} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{t\to0}\, \осталось(% \ гидроразрыва {\ синий {3t}} {1} \cdot \ гидроразрыва {\ грех 3т} {\ синий {3т}} \cdot \frac{1}{\red{8t}} \cdot \ гидроразрыва {\ красный {8t}} {\ грех 8t} \правильно) \конец{выравнивание*} $$

Шаг 3

Упростите нетригонометрические дроби

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{t\to0} \влево(% \ синий {\ гидроразрыва {3t} {1}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 3t} {3t} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва {1} {8t}} \ cdot \ гидроразрыва {8т} {\ грех 8т} \правильно) % & = \lim_{t\to0} \left(% \ синий {\ гидроразрыва {3t} {1}} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва {1} {8t}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 3t} {3t} \ cdot \ гидроразрыва {8т} {\ грех 8т} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{t\to0} \left(% \ гидроразрыв {\ синий {3t}} {\ красный {8t}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 3t} {3t} \ cdot \ гидроразрыва {8т} {\ грех 8т} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{t\to0} \left(% \ гидроразрыва {\ синий {3}} {\ красный {8}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 3t} {3t} \ cdot \ гидроразрыва {8т} {\ грех 8т} \справа)\\[6pt] % & = \frac{\blue{3}}{\red{8}} \cdot \lim_{t\to0} \left(% \ гидроразрыв {\ грех 3t} {3t} \ cdot \ гидроразрыва {8т} {\ грех 8т} \правильно) \конец{выравнивание*} $$

Шаг 4

Оценить каждый из пределов.

$$ \ гидроразрыв 3 8 \ влево (% \ синий {\ displaystyle \ lim_ {t \ to0} \ frac {\ sin 3t} {3t}} \ right) \ влево (\ красный {\ displaystyle \ lim_ {t \ to0} \ frac {8t} {\ sin 8t}} \правильно) % = \frac 3 8 (\синий 1)(\красный 1) % = \ гидроразрыв 3 8 $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{t\to0} \frac{\sin 3t}{\sin 8t} = \frac 3 8$$

Практические задачи

Проблема 1

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 7x}x$$

Покажи ответ Шаг 1

Умножить на $$\frac 7 7$$.

Шаг 1 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{x\to0} \frac{\sin 7x}x % & = \lim_{x\to0} \left(% \ синий {\ гидроразрыва 7 7} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 7x} х \справа)\\[6pt] % & = \lim_{x\to0}\left(% \frac{\blue 7} 1 \cdot \ гидроразрыв {\ грех 7x} {\ синий 7 х} \справа)\\[6pt] % & = \ blue 7 \ cdot \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin 7x} {\ blue 7 x} \конец{выравнивание*} $$

Шаг 2 Отвечать

$ $ 7 \ cdot \ blue {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin 7x} {7 x}} = 7 (\ blue 1) = 7 $ $

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 7x}x =7$$

Проблема 2

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{18x}{\sin 9x}$$

Покажи ответ Шаг 1

Вынесите из числителя 2 на множитель.

Шаг 1 Ответ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0} \,\frac{\blue{18}x}{\sin 9x} % = \displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \синий{2}\cdot \ гидроразрыва {\ синий {9} х} {\ грех 9x} \правильно) % = \ blue 2 \ cdot \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ blue {9} x} {\ sin 9x} $$

Шаг 2 Отвечать

$ $ 2 \ cdot \ blue {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {9x} {\ sin 9x}} = 2 (\ blue 1) = 2 $ $

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{18x}{\sin 9x} = 2$$

Проблема 3

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 6x}{8x}$$

Покажи ответ Шаг 1

Вынесите 8 из знаменателя.

Шаг 1 Ответ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\, \frac{\sin 6x}{\blue 8 x} % = \displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв 1 {\ синий 8} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 6x} х \правильно) % = \ frac 1 {\ blue 8} \ cdot \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin 6x} x $$

Шаг 2

Умножить на $$\frac 6 6$$.

Шаг 2 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \frac 1 8\cdot\lim_{x\to0}\, \frac{\sin 6x} x % & = \frac 1 8\cdot\lim_{x\to0}\left(% \ синий {\ гидроразрыва 6 6} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 6x} х \справа) \\[6pt] % & = \frac 1 8\cdot\lim_{x\to0}\left(% \frac{\blue 6} 1\cdot \ гидроразрыв {\ грех 6x} {\ синий 6 х} \справа)\\[6pt] % & = \frac{\blue 6} 8\cdot\lim_{x\to0}\, \frac{\sin 6x}{\blue 6 x}\\[6pt] % & = \frac 3 4\cdot\lim_{x\to0}\, \frac{\sin 6x}{6 x} \конец{выравнивание*} $$

Шаг 3 Отвечать

$$ \ frac 3 4 \ cdot \ blue {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin 6x} {6x}} % = \ гидроразрыв 3 4 (\ синий 1) % = \ гидроразрыв 3 4 $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0} \,\frac{\sin 6x}{8x} = \frac 3 4$$

Проблема 4

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{5x}{\sin 9x}$$

Покажи ответ Шаг 1

Вынесите 5 из числителя.

Шаг 1 Ответ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\, \frac{\blue 5 x}{\sin 9x} % = \displaystyle\lim_{x\to0} \left(% \frac{\blue 5} 1 \cdot \ гидроразрыв х {\ грех 9x} \правильно) % =\blue5\cdot\displaystyle\lim_{x\to0} \,\frac{x}{\sin 9x} $$

Шаг 2

Умножить на $$\frac 9 9$$.

Шаг 2 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} 5\cdot\lim_{x\to0}\,\frac x {\sin 9x} % & = 5\cdot\lim_{x\to0}\left(% \ синий {\ гидроразрыва 9 9} \ cdot \ гидроразрыв х {\ грех 9x} \справа)\\[6pt] % & = 5\cdot\lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв 1 {\ синий 9} \ cdot \ гидроразрыв {\ синий 9 х} {\ грех 9 х} \справа)\\[6pt] % & = \ frac 5 {\ blue 9} \ cdot \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ blue 9 x} {\ sin 9x} \конец{выравнивание*} $$

Шаг 3 Отвечать

$$ \ frac 5 9 \ cdot \ blue {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {9 x} {\ sin 9x}} % = \frac 5 9 (\blue 1) % = \фракция 5 9 $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{5x}{\sin 9x} = \frac 5 9$$

Проблема 5

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 4x}{\sin 11x}$$

Покажи ответ Шаг 1 Шаг 1 Ответ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\,\frac{\sin 4x}{\sin 11x} % = \displaystyle\lim_{x\to0} \left(% \frac{\sin 4x} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 11x} \правильно) $$

Шаг 2

Умножить на $$\frac{4x}{4x}$$ и $$\frac{11x}{11x}$$.

Шаг 2 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{x\to0} \left(% \frac{\sin 4x} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 11x} \правильно) % & = \lim_{x\to0} \left(% \ синий {\ гидроразрыва {4x} {4x}} \ cdot \frac{\sin 4x} 1 \cdot \ красный {\ гидроразрыва {11x} {11x}} \ cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 11x} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{x\to0} \left(% \ гидроразрыва {\ синий {4x}} {1} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 4x} {\ синий {4x}} \ cdot \ гидроразрыв 1 {\ красный {11x}} \ cdot \ гидроразрыва {\ красный {11x}} {\ грех 11x} \справа)\\[6pt] \конец{выравнивание*} $$

Шаг 3 Шаг 3 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{x\to0} \left(% \ синий {\ гидроразрыва {4x} 1} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 4x} {4x} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва 1 {11x}} \ cdot \frac{11x}{\sin 11x} \правильно) % & =\lim_{x\to0} \left(% \ гидроразрыва {\ синий {4x}} {\ красный {11x}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 4x} {4x} \ cdot \frac{11x}{\sin 11x} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ синий {4}} {\ красный {11}} \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 4x} {4x} \ cdot \frac{11x}{\sin 11x} \справа)\\[6pt] % & = \frac{\blue 4}{\red{11}}\cdot \lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ грех 4x} {4x} \ cdot \frac{11x}{\sin 11x} \правильно) \конец{выравнивание*} $$

Шаг 4

Найдите предел каждого фактора.

Отвечать

$$ \frac 4 {11}\cdot\displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \ синий {\ гидроразрыва {\ грех 4x} {4x}} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва {11x} {\ грех 11x}} \правильно) % = \ слева (% \ синий {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {\ sin 4x} {4x}} \правильно) % \осталось(% \ красный {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, \ frac {11x} {\ sin 11x}} \правильно) % = \ гидроразрыв 4 {11} (\ синий 1) (\ красный 1) = \ гидроразрыв 4 {11} $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 4x}{11x} = \frac 4 {11}$$

Проблема 6

Вычислите $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$$

Покажи ответ Шаг 1

Запишите числитель и знаменатель отдельными дробями.

Шаг 1 Ответ

$$ \displaystyle\lim_{x\to0}\,\frac{\sin 5x}{\sin 2x} % = \displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \frac{\sin 5x} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 2x} \правильно) $$

Шаг 2

Умножить на $$\frac{5x}{5x}$$ и $$\frac{2x}{2x}$$.

Шаг 2 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{x\to0}\слева(% \frac{\sin 5x} 1 \cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 2x} \правильно) % & = \lim_{x\to0}\left(% \ синий {\ гидроразрыва {5x} {5x}} \ cdot \frac{\sin 5x} 1 \cdot \ красный {\ гидроразрыва {2x} {2x}} \ cdot \ гидроразрыв 1 {\ грех 2x} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ синий {5x}} 1 \ cdot \ гидроразрыв {\ грех 5x} {\ синий {5x}} \ cdot \ гидроразрыв 1 {\ красный {2x}} \ cdot \ гидроразрыва {\ красный {2x}} {\ грех 2x} \правильно) \конец{выравнивание*} $$

Шаг 3 Шаг 3 Ответ

$$ \начать{выравнивать*} \lim_{x\to0}\слева(% \ синий {\ гидроразрыва {5x} 1} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 5x} {5x} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва 1 {2x}} \ cdot \ гидроразрыв {2x} {\ грех 2x} \правильно) % & = \lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ синий {5x}} {\ красный {2x}} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 5x} {5x} \ cdot \ гидроразрыв {2x} {\ грех 2x} \справа)\\[6pt] % & = \lim_{x\to0}\left(% \ гидроразрыв {\ синий {5}} {\ красный {2}} \ cdot \ гидроразрыва {\ греха 5x} {5x} \ cdot \ гидроразрыв {2x} {\ грех 2x} \справа)\\[6pt] % & = \ frac {\ blue {5}} {\ red {2}} \ cdot \ lim_ {x \ to0} \ left (% \ гидроразрыва {\ греха 5x} {5x} \ cdot \ гидроразрыв {2x} {\ грех 2x} \правильно) \конец{выравнивание*} $$

Шаг 4

Оцените пределы каждого фактора.

Отвечать

$$ \frac 5 2 \cdot\displaystyle\lim_{x\to0}\left(% \ синий {\ гидроразрыва {\ грех 5x} {5x}} \ cdot \ красный {\ гидроразрыва {2x} {\ грех 2x}} \правильно) % =\frac 5 2\cdot\left(% \ синий {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin 5x} {5x}} \правильно) % \осталось(% \ красный {\ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {2x} {\ sin 2x}} \правильно) % = \frac 5 2 (\синий 1)(\красный 1) % = \фракция 5 2 $$

Ответ: $$\displaystyle \lim_{x\to0}\, \frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \frac 5 2$$

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

World Web Math: полезные ограничения срабатывания

World Web Math: полезные ограничения срабатывания Предлагаемые предпосылки: Теорема сжатия, Введение в триг
Есть несколько полезных тригонометрических пределов, необходимых для вычисление производных тригонометрических функций. Начнем с с указанием некоторых (надеюсь) очевидных ограничений:
Поскольку каждая из перечисленных функций непрерывна в точке  x   = 0, значение ограничения на x  = 0 – это значение функции в 90 198 x 90 199 = 0; это следует из определения пределов.

Для оценки производных от синус и косинус нам нужно вычислить

Чтобы найти эти пределы, нам понадобится следующая теорема геометрия:
Если x – мера центральной угол окружности радиусом r , тогда площадь A сектор, определяемый x , равен
A = r 2 x/2

Давайте начнем с просмотра

Если

имеем ситуацию на рисунке слева. Предположим, что круг единичный круг, параметризованный x = cos t , y  = sin  t
(для остальных странице аргументы триггерных функций будут обозначаться т вместо х , в попытке уменьшить путаница с декартовой координатой).

Если A 1 площадь треугольника AOP , A 2 площадь круглой сектор AOP и A 3 – это площадь треугольник AOQ ,

A 1 2 3 .

Площадь треугольника равна половине произведения основания раз больше высоты. Используя этот известный результат и приведенную выше теорему для площади сектора круга (с t в качестве центрального угол), получаем:

Следует, что и, следовательно что эквивалентно Эти три функции легко построить; желтая линия это сюжет постоянной функции 1, пурпурный — это косинус, а красный — sin( t )/ t .

Из теоремы сжатия следует это

Найти делаем некоторые алгебраические манипуляции и тригонометрические приведения: Следовательно, следует, что Подводя итоги этой страницы:
Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math
ватко@мит.образование
Последняя редакция от 21 августа 1998 г.

Исчисление I – Доказательство пределов срабатывания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В этом разделе мы собираемся предоставить доказательство двух пределов, которые используются при выводе производной синуса и косинуса в разделе «Производные триггерных функций» главы «Производные».

Это доказательство этого предела использует теорему сжатия. Однако подготовка вещей для использования теоремы сжатия может быть довольно сложным геометрическим аргументом, которому может быть трудно следовать, поэтому мы постараемся сделать это довольно медленно.

Начнем с предположения, что \(0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\).Поскольку мы доказываем предел, который имеет \(\theta \to 0\), можно предположить, что \(\theta \) не слишком велико ( т.е. \(\theta \le \frac{\pi }{2 }\)). Кроме того, предполагая, что \(\theta \) положительна, мы на самом деле собираемся сначала доказать, что указанный выше предел верен, если это правый предел. Как вы увидите, если мы сможем это доказать, доказательство предела будет легким.

Итак, теперь, когда мы позаботились о нашем предположении относительно \(\theta \), давайте начнем с единичного круга, описанного восьмиугольником с небольшим срезом, отмеченным, как показано ниже.

Точки \(A\) и \(C\) являются серединами соответствующих сторон восьмиугольника и фактически касаются окружности в этой точке. Назовем точку, где встречаются эти две стороны, \(B\).

Из этого рисунка видно, что длина окружности меньше длины восьмиугольника. Это также означает, что если мы посмотрим на выделенный выше срез фигуры, то длина части окружности, входящей в срез, должна быть меньше длины части восьмиугольника, входящего в срез.

Поскольку мы собираемся выполнять большую часть нашей работы только над частью фигуры, давайте вырежем ее и посмотрим только на нее. Вот набросок только среза.

Теперь обозначим часть круга как \({\mathop{\mbox{дуга}}\nolimits}AC\), а длины двух частей восьмиугольника, показанные как \(\left| {AB} \right| \) и \(\left| {BC} \right|\). Тогда по наблюдениям о длинах, которые мы сделали выше, мы должны иметь

\[\begin{equation}{\mathop{\mbox{arc}}\nolimits} AC

Затем удлините линии \(AB\) и \(OC\), как показано ниже, и назовите точку их пересечения \( Д\). Треугольник, образованный теперь \(AOD\), является прямоугольным треугольником. Все это показано на рисунке ниже.

Треугольник \(BCD\) прямоугольный с гипотенузой \(BD\), поэтому мы знаем \(\left| {BC} \right| < \left| {BD} \right|\). Также обратите внимание, что \(\left| {AB} \right| + \left| {BD} \right| = \left| {AD} \right|\). Если мы используем эти два факта в \(\eqref{eq:eq1}\), мы получим

\[\begin{align}{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC &

Далее, как уже отмечалось, треугольник \(AOD\) является прямоугольным, и поэтому мы можем использовать небольшую тригонометрию прямоугольного треугольника для напишите \(\left| {AD} \right| = \left| {AO} \right|\tan \theta \).Также обратите внимание, что \(\left| {AO} \right| = 1\), поскольку это не что иное, как радиус единичного круга. Использование этой информации в \(\eqref{eq:eq2}\) дает

\[\begin{align}{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC &

Следующее, что нам нужно вспомнить, это то, что длина части круга определяется радиусом круга, умноженным на угол (в радианах!), очерчивающий часть окружности, которую мы пытаемся измерить. Для нашей части это означает, что

\[{\mathop{\mbox{дуга}}\nolimits} AC = \left| {AO} \right|\theta = \theta \]

Прежде чем продолжить, небольшое примечание.Студенты часто спрашивают, почему мы всегда используем радианы на уроках исчисления. Вот почему! Формула длины части окружности, использованная выше, предполагала, что угол выражен в радианах. Формула для углов в градусах другая, и если бы мы использовали ее, то получили бы другой ответ. Итак, не забывайте всегда использовать радианы.

Итак, помещая это в \(\eqref{eq:eq3}\), мы видим, что

\[\theta = {\mathop{\mbox{arc}}\nolimits} AC

или, если немного переставить, получится

\[\begin{equation}\cos \theta

Через некоторое время мы вернемся к \(\eqref{eq:eq4}\).Давайте теперь добавим еще пару строк на наш рисунок выше. Соединим \(A\) и \(C\) линией и опустим прямую вниз от \(C\) до пересечения с \(AO\) под прямым углом, и назовем точку пересечения \(E\ ). Все это показано на рисунке ниже.

Итак, первое, на что следует обратить внимание, это то, что

\[\begin{уравнение}\left| {СЕ} \право|

Также обратите внимание, что треугольник \(EOC\) является прямоугольным треугольником с гипотенузой \(\left| {CO} \right| = 1\).Используя триггер прямоугольного треугольника, мы можем увидеть, что

\[\слева| {СЕ} \право| = \ влево | {CO} \right|\sin \theta = \sin \theta \]

Подставив это в \(\eqref{eq:eq5}\) и вспомнив, что \({\mathop{\mbox{arc}}\nolimits} AC = \theta \), мы получим

\[\sin\theta=\left| {СЕ} \право|

и немного переписав получаем,

\[\begin{equation}\frac{{\sin\theta}}{\theta}

Итак, мы почти закончили.Соединяя \(\eqref{eq:eq4}\) и \(\eqref{eq:eq6}\), мы видим, что

\[\cos \theta

при условии \(0 \le \theta \le \frac{\pi} {2}\). -}} \ frac {{\ sin \ theta}} {\ theta} = 1 \]

Теперь мы показали, что два односторонних предела одинаковы, поэтому мы также должны иметь

\[\ mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \frac{{\sin\theta}}{\theta} = 1\]

Это было довольно длинное доказательство, и если вы не очень хорошо разбираетесь в геометрических аргументах, оно может быть пугающим и запутанным.2}\theta}}{{\theta\left({\cos\theta+1}\right)}}\\ & = \mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \frac{{\ грех \ тета} {\ тета} \ гидроразрыв {{ – \ грех \ тета}} {{\ соз \ тета + 1}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ тета \ до 0} \ frac{{\sin\theta}}{\theta}\,\,\,\mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \frac{{ – \sin\theta}}{{\cos\ тета + 1}}\конец{выравнивание*}\]

На данный момент, поскольку мы только что доказали первый предел, а второй можно использовать напрямую, мы почти закончили.Все, что нам нужно сделать, это принять ограничения.

\[\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \ frac {{\ cos \ theta – 1}} {\ theta} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \ frac{{\sin\theta}}{\theta}\,\,\,\mathop {\lim}\limits_{\theta\to 0} \frac{{ – \sin\theta}}{{\cos\ тета + 1}} = \влево( 1 \вправо)\влево( 0 \вправо) = 0\] Видео с вопросами

: нахождение пределов с использованием тригонометрических функций

Стенограмма видео

Найдите предел, когда 𝑥 приближается к нулю четырех 𝑥 в квадрате, разделенных на квадрат греха пяти 𝑥.

Мы видим, что вопрос просит нас оценить предел, когда 𝑥 приближается к нулю частного двух функций. В данном случае это частное полиномиальной функции и квадрат тригонометрической функции. Первое, о чем мы должны подумать, когда нас просят оценить такое ограничение, как это, разрешено ли нам использовать прямую замену?

И в этом случае мы можем попытаться вычислить это с помощью прямой подстановки, так как мы можем вычислять многочлены и квадраты тригонометрических функций с помощью прямой подстановки.Подставляя 𝑥 равно нулю, мы получаем четыре раза ноль в квадрате, деленный на квадрат греха пяти раз ноль. И если мы вычислим это выражение, то получим неопределенную форму деления ноль на ноль. И это не значит, что мы не можем оценить этот предел.

Это говорит нам о том, что мы не можем определить значение этого предела, используя этот метод. Поэтому нам нужно придумать другой способ попытаться оценить этот предел. Например, мы могли бы попробовать переписать этот предел в терминах пределов, которые мы знаем, как оценивать. Например, мы знаем стандартный результат тригонометрического предела, что предел, когда 𝑥 приближается к нулю, для греха 𝑥, деленного на 𝑥, равен единице. И это похоже на ограничение, данное нам в вопросе.

Однако в этом случае у нас есть 𝑥 в числителе и функция синуса в знаменателе. К счастью, мы знаем результат о пределах, который позволит нам взять обратную функцию внутри нашего предела. Мы знаем, что если предел при приближении 𝑥 к 𝑎 некоторой функции 𝑓 от 𝑥 равен 𝐿, то предел при приближении 𝑥 к 𝑎 обратной величины 𝑓 от 𝑥 равен единице, деленной на 𝐿.И, конечно же, при условии, что значение 𝐿 не равно нулю.

Мы хотим применить это к нашему стандартному результату тригонометрического предела: предел, когда 𝑥 приближается к нулю, деления 𝑥 на 𝑥 равен единице. Итак, мы установим 𝑓 из 𝑥 как грех 𝑥, деленный на 𝑥, а 𝐿 равным единице. Поскольку значение 𝐿 не равно нулю, мы можем использовать тот факт, что предел обратной величины равен обратной величине предела. Это говорит нам, что предел, когда 𝑥 приближается к нулю обратной величины греха 𝑥, деленной на 𝑥, равен обратной единице.

Конечно, величина, обратная единице, равна единице. И мы можем взять обратную величину греха 𝑥, деленную на 𝑥, чтобы получить 𝑥, деленную на грех 𝑥. Итак, мы показали, что предел, когда 𝑥 приближается к нулю 𝑥, деленному на грех 𝑥, равен единице.

Давайте посмотрим, как мы можем использовать это, чтобы оценить предел, заданный нам в вопросе. Во-первых, мы возьмем постоянную четверку за пределы нашего предела. Далее мы замечаем, что берем частное двух квадратов. Таким образом, используя наши законы показателей, мы можем вместо этого возвести в квадрат все частное.Теперь мы можем переписать это, используя правило мощности для пределов. Это говорит нам о том, что для положительного целого числа 𝑛 предел, когда 𝑥 приближается к 𝑎 из 𝑔 из 𝑥 в 𝑛-й степени, равен пределу, когда 𝑥 приближается к 𝑎 из 𝑔 из 𝑥, возведенному в 𝑛-ю степень. Другими словами, предел мощности равен мощности предела. Это дает нам четыре, умноженные на квадрат предела, поскольку 𝑥 приближается к нулю 𝑥, деленного на грех пяти 𝑥.

Теперь мы хотим оценить этот предел, используя предел, который мы придумали ранее.Однако мы видим, что берем в знаменателе грех в пять 𝑥. Предел, к которому мы пришли, имеет только грех 𝑥 в знаменателе. Мы обойдем это, заменив все значения 𝑥 в этом правиле ограничения на пять 𝑥. Таким образом, это дает нам предел, когда пять 𝑥 приближаются к нулю из пяти 𝑥, разделенных на грех пяти 𝑥, равно единице.

В этот момент мы должны быть осторожны, так как теперь у нас есть предел, когда пять 𝑥 приближаются к нулю, а 𝑥 приближаются к нулю. Однако если пять 𝑥 все ближе и ближе к нулю, то 𝑥 становится все меньше и меньше.На самом деле 𝑥 все ближе и ближе к нулю. Таким образом, мы можем просто переписать этот предел, поскольку 𝑥 приближается к нулю.

Далее мы можем взять постоянную пятерку за пределы нашего предела. На самом деле, мы можем просто разделить на эту константу, равную пяти. И это говорит нам о том, что предел, когда 𝑥 приближается к нулю от 𝑥, деленного на грех пяти, 𝑥 равен одной пятой. Таким образом, мы можем оценить этот предел. Она равна одной пятой. Это дает нам четыре, умноженные на одну пятую в квадрате. И мы можем вычислить это выражение, чтобы получить четыре, деленные на 25.

Итак, мы показали предел, когда 𝑥 приближается к нулю из четырех 𝑥 в квадрате, деленном на квадрат греха пяти 𝑥 равно четырем, деленным на 25.

6.1.3 Пределы тригонометрических функций

Исчисление одной действительной переменной автора Pheng Kim Ving

Глава 6: Тригонометрические функции и их обратные значения Раздел 6.1.3: Пределы тригонометрических функций

 

6.1.3
Ограничения О тригонометрических функциях

 

 

Возврат К содержанию
Перейти к проблемам и решениям

 

 

Следующие бесконечные пределы могут легко представить на рис. 1.1.

 

 

 

Конечно, эти пределы можно доказать используя определения функций через синус и косинус функции.Для
пример:

 

 

Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

 

 

 

Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

 

 

 

 

 

Теорема 3.1

 

Пусть x будет углом измеряется в радианах. Тогда:

 

 

 

Доказательство
Предположим, что x маленькое и положительное. Ссылаться на Рис. 3.1. Ясно:

 

(площадь треугольника ОПУ ) < (площадь кругового сектора OPA ) < (площадь треугольника ОЗА ).

 

 

Теперь предположим, что x мало. и отрицательный. Пусть т = х > 0. Затем, используя тождество sin ( x ) = sin x получаем:

 


Распродажа

 

Необходимость радианного измерения

 

В приведенном выше доказательстве гипотеза о том, что x измеряется в радианах, чтобы получить тот факт, что значение площади
круговой сектор OPA составляет (1/2) x .Что произойдет, если x не в радианах? Давайте сделаем некоторые числовые расчеты, как показано в
. Рис. 3.3, чтобы увидеть, что произойдет, если измерить x в градусах.

 

 

 

 

ОК. Что произойдет, если x не в радианах? это уравнение[3.1] больше не действует. Следовательно, условие теоремы 3.1, что
угол x измеряется в радианах, действительно необходимое для заключения, уравнение [3.1], чтобы быть действительным.

 

Обратите внимание, что тригонометрические тождества, такие как sin 2 x + cos 2 x = 1 или sin ( х + у ) = грех x , потому что у + потому что x sin y не требуется
что угол x выражен в радианах.Для таких идентичности, единицей измерения для x может быть градус, а также радиан.
Для их установления не требовалось, чтобы они были в каком-то конкретном подразделении.

 

Это А Основной предел

 

Предел в уравнении. [3.1] классифицируется как фундаментальный тригонометрический предел. Причина в том, что это, ну, фундаментальное или базовое,
в развитии исчисления тригонометрических функций.Как мы увидим, производные тригонометрических функций,
среди прочего, получаются при использовании этого лимита.

 

Примечание 3.1

 

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

4. Фундаментальный предел, применяемый к синусу функций

 

Пример 4.1

 

Найти:

 

 

Решение 1

ЭОС

 

 

Решение 2

ЭОС

 

Общий случай

 

В целом мы можем использовать это правило:

 

 

 

 

 

Чтобы использовать это правило, аргумент греха и знаменатель должен быть той же функцией. В приведенном выше утверждении правила
аргумент sin и знаменатель являются функцией f ( x ).

 

Пример 4.2

 

Оценка:

 

 

Решение

ЭОС

 

 

Пример 4.3

 

Найти:

 

 

Решение

ЭОС

 

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к началу Страница

 

5.Предел частных, включающих косинус

 

 

 

Итак:

 

 

 

 

Примечания 5. 1

 

я. Так как мы используйте уравнение [3.1], чтобы вывести уравнение [5.1], угол x в уравнении.[5.1] должны быть измерены в радианах, чтобы это уравнение
было действительным.

 

 

Вернуться к началу страницы

 

 

1. Найти каждый из следующих пределов, если он существует.

 

 

Раствор

 

 

Вернуться к началу страницы

 

 

2. Найти каждый из следующих пределов, если он существует.

 

 

Раствор

 

 

не существует.

 

Вернуться к началу страницы

 

 

3. Найти каждый из следующих пределов, если он существует.

 

 

Раствор

 

 

Вернуться к началу страницы

 

 

4. Найти каждый из следующих пределов, если он существует.

 

 

Раствор

 

 

Вернуться к началу страницы

 

 

5. Найти каждый из следующих пределов, если он существует.

 

 

Раствор

 

 

Вернуться к началу страницы Возврат К содержанию

 

Пределы триггерных функций — свойства, методы и примеры

Поскольку тригонометрические функции также подлежат оценке на предмет их предела и производной (вы узнаете об этом больше на занятиях по математическому анализу), мы должны понимать их пределы.

Это означает, что мы можем наблюдать за поведением различных тригонометрических функций по мере их приближения к различным значениям с помощью формул и свойств, используемых при оценке пределов тригонометрических функций.

Пределы тригонометрических функций, как и пределы любых функций, будут возвращать значение функции по мере приближения к определенному значению $\boldsymbol{x}$.

В этой статье мы сосредоточимся на пределах тригонометрических функций и, в частности, узнаем следующее:

  • Пределы основных тригонометрических функций.
  • Два важных предела тригонометрических функций.
  • Изучение способов получения пределов более сложных тригонометрических функций.

Мы также будем применять то, что узнали на наших уроках по тригонометрии, а также на наших предыдущих уроках по ограничениям, поэтому убедитесь, что ваши заметки всегда под рукой, когда вы будете читать эту статью.

Мы можем оценить пределы тригонометрических функций, используя их различные свойства, которые мы можем наблюдать по их графикам и алгебраическим выражениям.В этом разделе мы установим следующее:

  • Предел всех шести тригонометрических функций, когда $x$ приближается к $a$, где $a$ находится в области определения функции.
  • Предел всех шести тригонометрических функций при $x$ приближается к $\pm \infty$.
  • Предел $\dfrac{\sin x}{x}$ и $\dfrac{1 – \cos x}{x}$ при приближении $x$ к $0$.

Давайте посмотрим на графики $y = \sin x$ и $y = \cos x$, как показано ниже.

Мы можем видеть, что пока $a$ находится в пределах области определения каждой функции, предел $y = \sin x$ и $y = \cos x$, когда $x$ приближается к $a$, может быть оценен с помощью метод замещения.

Это также относится к четырем оставшимся тригонометрическим функциям — имейте в виду, что $a$ должен принадлежать заданной области определения функции. Это означает, что когда $x = a$ является, например, вертикальной асимптотой $y = \tan x$, метод неприменим.

Пределы тригонометрических функций в виде $\boldsymbol{x \rightarrow a}$

Сведем эти пределы в таблицу:

$\boldsymbol{\lim_{x \rightarrow a} f(x) }$
$\lim_{x \rightarrow a} \sin x = \sin a$ $\lim_{x \rightarrow a} \csc x = \csc a$
$\lim_{ x \rightarrow a} \cos x = \cos a$ $\lim_{x \rightarrow a} \sec x = \sec a$
$\lim_{x \rightarrow a} \tan x = \ tan a$ $\lim_{x \rightarrow a} \cot x = \cot a$

Как видно из графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ , функции приближаются к разным значениям между $-1$ и $1$. Другими словами, функция колеблется между значениями, поэтому мы не сможем найти предел $y = \sin x$ и $y = \cos x$ при $x \pm \infty$.

Этот аргумент применим и к остальным тригонометрическим функциям.

Пределы тригонометрических функций в виде $\boldsymbol{x \rightarrow \pm \infty}$

$\boldsymbol{\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)}$
\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \sin x\\ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \csc x  \end{aligned} Для все шесть тригонометрических функций.
\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \cos x\\ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \sec x  \end{align}
\ begin{align}\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \tan x\\ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \cot x  \end{aligned}

Это самый фундаментальный предел свойства тригонометрических функций. Давайте продолжим и углубимся в более сложные выражения и посмотрим, как выглядит их поведение, когда $x$ приближается к разным значениям.

Вывод других пределов тригонометрических функций

Теорема сжатия играет важную роль в выводе пределов тригонометрических функций, поэтому обязательно просмотрите свои заметки или статью по ссылке, чтобы быстро освежить в памяти.

Мы также будем использовать предельные законы и алгебраические методы для оценки пределов в этом разделе, поэтому обязательно ознакомьтесь с этими темами.

Используя темы высшей математики и теорему сжатия, мы можем доказать, что $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.Это одно из наиболее часто используемых свойств при нахождении пределов сложных тригонометрических выражений, поэтому обязательно запишите это свойство.

Теперь давайте используем $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$, чтобы показать, что $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{ х} = 0$.

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} &= \dfrac{1 – \cos 0}{0}\\&= \dfrac{1 – 1}{0}\\&= \color{red} \dfrac{0}{0}\end{aligned}$

Мы видим, что мы не сможем вычислить $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$ методом подстановки. 2 \theta$.2 x}{x(1 + \cos x)}&=\lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{ 1+ \cos x} \right )\end{aligned}$

Мы можем применить закон произведения, $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} g(x)$. Используйте $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1} и метод подстановки для оценки предела.

$\begin{align}\lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{1+ \cos x} \ right )&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin{x}}{1+ \cos x} \\&= 1  \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin{0}}{1+ \cos 0}\\&= 1 \cdot \dfrac{0}{2}\\&= 0\end{aligned}$

Таким образом, мы только что получили важное предельное свойство тригонометрических функций: $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$.

У нас есть еще два важных свойства, которые мы только что узнали из этого раздела:

  • $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
  • $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$.

Используя пределы наших шести тригонометрических функций, два специальных предела, которые мы только что изучили, и наши знания в области алгебраических и тригонометрических вычислений, мы сможем находить пределы сложных тригонометрических выражений.

Почему бы нам не проверить это и не применить то, что мы только что узнали, оценивая другие тригонометрические функции, показанные в следующих примерах?

Пример 1

Оцените значение следующего, если ограничения существуют.

а. $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 6x}{6x}$
б. $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 2x}{x}$
c. $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 7x}{\sin 9x}$

Решение

Судя по форме трех тригонометрических выражений, можно предположить, что мы можем использовать $\ lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Задача состоит в том, чтобы переписать три выражения в виде $\dfrac{\sin x}{x}$.

Начиная с $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 6x}{6x}$, мы можем принять $u$ равным $6x$.

Когда $x \rightarrow 0$, $6x$ также приближается к $0$. Это также означает, что $u \rightarrow 0$.

Переписав выражение через $u$ и используя свойство $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$, мы получим следующее:

$\begin{ выровнено} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 6x}{6x} &= \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{\sin u}{u}\\&=1\end{выровнено} $

а. Это означает, что $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 6x}{6x} = 1$.

Почему бы нам не применить аналогичный процесс для второй функции?

Если $u = 2x$ и $x \rightarrow 0$, имеем следующее:

  • $2x $ и, следовательно, $u$ также будет приближаться к $0$
  • Деление обеих частей $u = 2x$ на $2$ приведет к $\dfrac{u}{2} = x$

. Переписав выражение нашего заданного, мы теперь можем оценить его предел, когда $x$ приближается к $0$, как показано ниже.

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 2x}{x} &= \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{\sin u}{\dfrac{u}{ 2}}\\&=\lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{\sin u}{\dfrac{1}{2}u}\\&= 2\lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{\ sin u}{u}\\&=2 \cdot 1\\&=2\end{aligned}$

b. Следовательно, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 2x}{x} = 2$.

Третий немного сложнее, так как нам нужно будет алгебраически манипулировать выражением, поэтому мы можем применить формулу предела, которую мы уже знаем: $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{ х} = 1$.{-1} \end{aligned}$

В таблице ниже показано, как $\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin 7x}{x}$ и $\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{ \sin 7x}{x}$ можно вычислить, переписав $m$ как $7x$, а $n$ как $9x$.

$\boldsymbol{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin 7x}{x}}$ $\boldsymbol{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin 9x} {x}}$
$\begin{align} m &= 7x\\ \dfrac{m}{7}&= x \end{align}$ $\begin{aligned} n &= 9x \\ \dfrac{n}{9}&= x \end{aligned}$
Поскольку $x \rightarrow 0$, $7x \rightarrow 0$ и, следовательно, $m \rightarrow 0$. Поскольку $x \rightarrow 0$, $9x \rightarrow 0$ и, следовательно, $n \rightarrow 0$.
$ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 7x}{x}&=\lim_{m \rightarrow 0} \dfrac{\sin m}{\dfrac{m }{7}}\\&= 7 \cdot \lim_{m \rightarrow 0} \dfrac{\sin m}{m} \\&= 7 \cdot 1\\&= 7\end{align}$ $\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 7x}{x}&=\lim_{n \rightarrow 0} \dfrac{\sin n}{\dfrac{n}{9 }}\\&= 9 \cdot \lim_{n \rightarrow 0} \dfrac{\sin n}{n} \\&= 9 \cdot 1\\&= 9\end{aligned}$

Мы использовали подход, аналогичный предыдущему пункту, для оценки двух пределов. {-1}\\&= 7 \cdot \dfrac{1}{9}\\&= \dfrac{7}{9} \end{aligned}$

c. Это означает, что $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 7x}{\sin 9x} = \dfrac{7}{9}$.

Пример 2

Оцените предел $\dfrac{\sec x -1}{x}$, когда $x$ приближается к $0$.

Решение

Замена не применима к этой задаче, поэтому мы должны использовать свойство, которое мы уже знаем. Самое близкое, что у нас может быть, это $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$, поскольку $\sec x$ и $\cos x$ являются отрицательными обратными величинами друг к другу.

Перепишем $\sec x$ как $\dfrac{1}{\cos x}$. Умножьте числитель и знаменатель нового выражения на $\cos x$ и посмотрим, что получится.

$\begin{align}\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sec x -1}{x} &=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x } – 1}{x}\\&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x} – 1}{x} \cdot \dfrac{\color{blue} \cos x}{\color{blue} \cos x}\\&=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x} \cdot {\color{blue} \cos x} – 1\cdot {\color{blue} \cos x}}{x\cdot{\color{blue} \cos x}}\\&= \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x} {x\cos x}\end{aligned}$

Мы можем переписать $\dfrac{1-\cos x}{x\cos x}$ как произведение двух множителей: $\dfrac{1-\cos x {x}$ и $\dfrac{1}{\cos x}$.

  • Применим закон произведения, $\lim_{x \rightarrow 0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \cdot \lim_{x \ стрелка вправо 0} g(x)$, чтобы переписать выражение.
  • Теперь мы можем использовать $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$ для первого фактора и использовать метод подстановки для второго фактора.

$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x\cos x}&= \lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{1- \cos x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\right)\\&= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{x}\cdot \lim_ {x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos x}\\&=0 \cdot \dfrac{1}{\cos 0}\\&=0 \cdot 1\\&= 0\end{выровнено }$

Отсюда имеем $\dfrac{\sec x -1}{x} = 0$.

Пример 3

Оцените предел $\dfrac{2 – 2\tan x}{\cos x – \sin x}$, когда $x$ приближается к $\dfrac{\pi}{4} $.

Решение

Давайте сначала посмотрим, можно ли сразу подставить $x = \dfrac{\pi}{4}$, чтобы найти предел выражения.

$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 – 2\tan x}{\cos x – \sin x} &= \dfrac{2 – 2\tan \dfrac{\pi}{4}}{\cos \dfrac{\pi}{4} – \sin \dfrac{\pi}{4}}\\&= \dfrac{2 – 2(1) )}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\&= \color{red} \dfrac{0}{0}\end{aligned }$

Это подтверждает, что нам придется проявить изобретательность, чтобы найти предел данной функции, поскольку он приближается к $\dfrac{\pi}{4}$.

Напомним, что $\tan{x} = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, поэтому мы можем переписать числитель через $\sin x$ и $\cos x$. Получив новое выражение, умножьте и числитель, и знаменатель на $\cos x$.

$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 – 2\tan x}{\cos x – \sin x} &= \lim_{x \ стрелка вправо \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 – 2 \cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\cos x – \sin x}\\&=\lim_{x \ стрелка вправо \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 – 2 \cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\cos x – \sin x} \cdot \dfrac{\color{blue }\cos x}{\color{blue} \cos x}\\&=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 \cdot {\color{blue} \cos x } – 2 \cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot {\color{blue} \cos x}}{(\cos x – \sin x)\cdot{\color{blue} \cos x}}\\&=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2\cos x – 2\sin x}{\cos x(\cos x -\sin x)} \end{aligned}$

Мы можем вынести $2$ из числителя и сократить общий множитель, общий для числителя и знаменателя.

$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2\cos x – 2\sin x}{\cos x(\cos x -\sin x) } &= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2(\cos x – \sin x)}{\cos x(\cos x -\sin x)}\\& =\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2\cancel{(\cos x – \sin x)}}{\cos x\cancel{(\cos x -\sin x )}}\\&= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2}{\cos x} \end{aligned}$

Значение $\cos \dfrac{ \pi}{4}$ равно $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому на этот раз знаменатель не будет равен нулю, когда мы используем метод подстановки.

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2}{\cos x}&= \dfrac{2}{\cos \dfrac{\pi} {4}}\\&= \dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\&= \dfrac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}}\\&= \dfrac{8}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\&= 4\sqrt{2}\end{aligned}$

Это означает что $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \dfrac{2 – 2\tan x}{\cos x – \sin x} = 4\sqrt{2}$.

Этот пример также показывает, что некоторые пределы тригонометрических функций не потребуют от нас использования двух важных свойств: $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ и $\lim_{ х \rightarrow 0} \dfrac{1 – \cos x}{x} = 0$. ) Ӣuxs_GGX+KR*FA >G˲lj GI8}7h=\7x ?”ϋ8hM)$QI饈>;/eh44.)C3wizq_ ~G1mV7X W)S1۶\T1(ͼ2.2uUwv,3c{bህFR/[email protected]࡬’ar̥DJ лӬйҧС.*o7’F5 конечный поток эндообъект 8 0 объект > эндообъект 11 0 объект > эндообъект 14 0 объект > эндообъект 17 0 объект > эндообъект 20 0 объект > эндообъект 21 0 объект [380.8 380.8 489.6 761.6 272 326,4 272,6 272 326.4 272 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.68 489.6 489.6 272 272 311.3 761.6 462,4 46244.4 652.8 647 649.9 625.6 704.6 647. 649.9 625.6 704.66.3. 26.9. 459.5. 674.25.686,3 722,2 5 622,7 722,2 630,2 544 667,8 666,7 647 919 647 647 598,4 283 489,6 283 489,6 272 272 468,7 502,3 435,2 502,3 435,2 299,2 489,6 502,3 230,3 257,5 475,1 230,3 774,3 502,3 489,6 502,3 502,3 332,8 375,3 353,6 502,3 447,9 665,5 447,9 447,9 424,8 489,6 979,2] эндообъект 23 0 объект [285.58 285.5 325.6 799.4 485.3 485.3 685.2 485.3 485.3 685.2 686.7 686 656.6 743 617.3 588.7 685.2 726.8 287.7 685.27 726.8 287 486,1 715.8 759.9 898,4 726.8 759.9. 657,4 759.3 665.9 571 702.277.7.7 666.7 971.2007.6.6.7 686.7 628.19.9 26 513.9 29,6 513.9 285.5 285,5 493.8 530.9 456.8 530.9 456.8 530.9 456.8 314 530.9 456.8 314 513.9 530.9 245.4 273.9 530.9 245.4 273.9 502.9 245.4 816,3 530.9 513.9 530.9 530.9 351.1 394 371.1 530.9 473.8 702.2 473,8 473,8 млрд. эндообъект 25 0 объект [586,1 586,1 891,7 891,7 255,6 286,1 550 550 550 550 550 733,3 488,9 565,3 794,4 855,6 550 947,2 1069,4 855,6 255,6 366,7 558,3 916,7 550 1029,1 830,6 305,6 427,8 427,8 550 855,6 305,6 366,7 305,6 550 550 550 550 550 550 550 550 550 550 550 305,6 305,6 366,7 855,6 519,4 519,4 733,3 733,3 733,3 702,8 794,4 641,7 611,1 733,3 794.4 330,6 519,4 763,9 580,6 977,8 794,4 794,4 702,8 794,4 702,8 611,1 733,3 763,9 733,3 1038,9 733,3 733,3 672,2 343,1 558,3 343,1 550 305,6 305,6 525 561,1 488,9 561,1 511,1 336,1 550 561,1 255,6 286,1 530,6 255,6 866,7 561,1 550 561,1 561,1 372,2 421,7 404,2 561,1 500 744,4 500 500 476,4 550 1100 550 550] эндообъект 27 0 объект [583.3 536.1 536,1 813,9 813,9 238,9 266,7 500 500 500 500 5006,7 500 500 500 500 500 666,7 4444,4 480,6 722,2744,8 500,67,6 722,2 777,8 500 861,1 972,2 777,8 238,9 г.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.