Примеры производных сложных: Производная сложной функции. Примеры. | Математика

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции. – Дифференцирование сложной функции.

Комментарии преподавателя

Слож­ную функ­цию мы уже  диф­фе­рен­ци­ро­ва­ли, но ар­гу­мен­том слу­жи­ла ли­ней­ная функ­ция, а имен­но, умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать функ­цию . На­при­мер, . Сей­час таким же об­ра­зом будем на­хо­дить про­из­вод­ные от слож­ной функ­ции, где вме­сто ли­ней­ной функ­ции может быть дру­гая функ­ция.

Нач­нем с функ­ции

1. 

Итак, нашли про­из­вод­ную си­ну­са от слож­ной функ­ции, где ар­гу­мен­том си­ну­са была квад­ра­тич­ная функ­ция.

2. .

Если надо будет найти зна­че­ние про­из­вод­ной в кон­крет­ной точке, то эту точку нужно под­ста­вить в най­ден­ную про­из­вод­ную.

Итак, на двух при­ме­рах уви­де­ли, как ра­бо­та­ет пра­ви­ло диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ной функ­ции.

1. 

2. 

3. . На­пом­ним, что .

При­мер. .

4. .

При­мер. .

5. 

6. 

7. 

8. .

Таким об­ра­зом, таб­ли­цу диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ных функ­ций, на дан­ном этапе, за­кон­чим. Даль­ше, ко­неч­но, она будет еще боль­ше обоб­щать­ся, а сей­час пе­рей­дем к кон­крет­ным за­да­чам на про­из­вод­ную.

В прак­ти­ке под­го­тов­ки к ЕГЭ пред­ла­га­ют­ся сле­ду­ю­щие за­да­чи.

Найти ми­ни­мум функ­ции .

Ре­ше­ние.

ОДЗ:   .

Най­дем про­из­вод­ную . На­пом­ним, что , .

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю   . Точка  – вхо­дит в ОДЗ.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной (ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти функ­ции) (см. рис.1).

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти для функ­ции .

Рас­смот­рим точку  и вы­яс­ним, яв­ля­ет­ся ли она точ­кой экс­тре­му­ма. До­ста­точ­ный при­знак экс­тре­му­ма за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы про­из­вод­ная при пе­ре­хо­де через точку  ме­ня­ет знак. В дан­ном слу­чае про­из­вод­ная ме­ня­ет знак, зна­чит, – точка экс­тре­му­ма. Так как про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с «-» на «+», то  – точка ми­ни­му­ма. Най­дем зна­че­ние функ­ции в точке ми­ни­му­ма: . На­ри­су­ем схему (см. рис.2).

Рис.2. Экс­тре­мум функ­ции .

На про­ме­жут­ке  – функ­ция убы­ва­ет, на  – функ­ция воз­рас­та­ет, точка экс­тре­му­ма един­ствен­ная. Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет толь­ко в точке .

Ответ: .

На уроке рас­смот­ре­ли  диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние слож­ных функ­ций, со­ста­ви­ли таб­ли­цу и рас­смот­ре­ли пра­ви­ла диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ной функ­ции, при­ве­ли при­мер при­ме­не­ния про­из­вод­ной из прак­ти­ки под­го­тов­ки к ЕГЭ.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/differentsirovanie-slozhnyh-funktsiy-zadacha-iz-praktiki-podgotovki-k-ege-po-matematike

http://www.youtube.com/watch?v=2myuElRhSwA

http://www.youtube.com/watch?v=q1mWJb8IUcI

http://crossfitkidslakehighlands.com/wp-admin/css/ghjbpdjlyfz-jykfqy-i3.gif

http://www. mathprofi.ru/proizvodnaya_slozhnoi_funkcii.html

Производная сложной функции. Примеры.

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

Урок математики “Производная сложной функции”

Шайхина Гульназира Кажибаевна

учитель математики и физики

второй квалификационной категории

третьего базового уровня

КГУ «Средняя школа № 2 г.Тайынша»

Тайыншинский район

Северо-Казахстанская область

Дата проведения: 6 февраля 2015 года

Открытый урок по алгебре и начала анализа в 10 классе

Тема урока: Производная сложной функции.

Цель: Изучить правила нахождения производной сложной функции.

Критерии успеха:

1) Я знаю определение сложной функции;

2) Я понимаю правила нахождения производной сложной функции;

3) Я могу объяснить как находить производные сложной функции.

ХОД УРОКА

I этап.Игра на сотрудничество «Пожелания», каждый учащийся говорить своему соседу пожелание на этот день.

II этап. Деление на группы. Раздается карточки для самооценки. Критерии оценивания баллы выставляют по всем этапам урока, в конце урока суммируется и выставляется в журнал.

«0» баллов ничего не понял; «1» баллов понял могу решить примеры; «2» баллов понял, могу решить и объяснить решение заданий.

III этап. «Мозговой штурм» Устный счет. Найдите производную функций. (на 8, 10, 12, 14, 16 учащиеся не смогут их решить)

1) y = x; 2) y = 150; 3) y = 9x; 4) y = x¹⁰; 6) y = 2x⁴ + 3x³ – 6x² + 4; 7) y = x⁵ + 3; 8) y = (x⁵ + 3) ⁴;

9) y = ; 10) y = ; 11) y = cos x; 12) y = cos 4x; 13) y = sin x; 14) y =x; 15) y = tgx; 16) y = tg (10x + ).

IV этап.Определение темы, цели и критерии успеха. Задаются вопросы:

1) Почему не можем найти производную?

2) Как называется тема урока?

3) Определите цель урока.

V этап. Самостоятельное изучение новой темы по раздаточному материалу, в котором даны определение сложной функции, алгоритм нахождение производной и примеры с решение, а также задания для решения в группе, (для каждой группе свои примеры). Учащиеся сами себя оценивают как они поняли материал.

VI этап. Групповая работа, (по принципу Джиксоу учащиеся меняются местами). Решение заданий, раздаются карточки с задачами. Каждый учащийся группы решает свой пример с объяснениями, и записывают на ватман.

VII этап. Взаимопроверка. Группы обмениваются своими решениями, проверяют, затем снова обмениваются и проверяют решение с доски. И выставляют оценки за решение (критерии оценивания показаны на доске).

VIII этап. Самостоятельная работа. Раздаются карточки для самостоятельного решения примеров, их оценивает учитель.

IX этап. Домашнее задание. § 14. № 216, 217.

X этап. Рефлексия. Раздаются карточки

Я понял(а)___________________________

Я могу______________________________

Мне на уроке понравилось__________________________________________

На уроке мне было трудно__________________________________________

Эмоциональная рефлексия. На столе лежат смайлики трех цвета: «красный» – мне урок не понравился; «желтый» – безразлично , «зеленый» – мне понравился урок.

XI этап. Оценивание. Учащиеся суммируют свои баллы и выставляют оценки.

Калькулятор производных

• С шагами!

Поддержка

Пожертвование

Помог ли вам этот калькулятор? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку. Вы можете сделать пожертвование через PayPal.

Выше введите функцию для получения. Переменная дифференциации и более может быть изменена в “ Опции “. Нажмите « Go! », чтобы начать вычисление производной. Результат будет показан далее.

Как работает калькулятор производных

Для тех, кто имеет техническое образование, в следующем разделе объясняется, как работает калькулятор производных.

Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см. рисунок ниже). При этом производный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор производных должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.

Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере. Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX. MathJax позаботится об отображении его в браузере.

Когда “Вперед!” После нажатия кнопки Калькулятор производных отправляет математическую функцию и настройки (переменную дифференцирования и порядок) на сервер, где они снова анализируются. На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.

Maxima фактически вычисляет производную математической функции. Как и любая система компьютерной алгебры, она применяет ряд правил для упрощения функции и вычисления производных в соответствии с общеизвестными правилами дифференцирования. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю.

Отображение шагов вычисления немного сложнее, потому что Калькулятор производных не может полностью зависеть от Maxima для этой задачи. Вместо этого производные должны рассчитываться вручную шаг за шагом. Правила дифференциации (правило произведения, частное правило, цепное правило и т. д.) были реализованы в коде JavaScript. Существует также таблица производных функций для тригонометрических функций и квадратного корня, логарифма и экспоненциальной функции. На каждом шаге расчета выполняется или переписывается одна операция дифференцирования. Например, из операций дифференцирования вытягиваются постоянные множители, а суммы дробятся (правило сумм). Это, а также общие упрощения, делает Maxima. Для каждой вычисляемой производной LaTeX-представления результирующих математических выражений помечаются тегами в HTML-коде, чтобы можно было выделить их.

Функция “Проверить ответ” должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima. Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена. В противном случае применяется вероятностный алгоритм, который оценивает и сравнивает обе функции в случайно выбранных местах.

Графики интерактивных функций рассчитываются в браузере и отображаются в элементе холста (HTML5). Для каждой отображаемой функции калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется небольшими шагами, чтобы построить график. При построении графика особенности (например, полюса) обнаруживаются и обрабатываются особым образом. Управление жестами реализовано с помощью Hammer.js.

Если у вас есть какие-либо вопросы или идеи по улучшению калькулятора производных, не стесняйтесь писать мне по электронной почте.

Примеры частных производных 3 – Mathonline

Сложите Содержание Частные производные Примеры 3 Пример 1 Пример 2

Мы только что рассмотрели несколько примеров определения частных производных функции на страницах Примеры частных производных 1 и Примеры частных производных 2. Теперь мы рассмотрим нахождение частных производных для более сложных функций.

94} \end{align}

Теперь обратите внимание, что если мы оцениваем этот предел вдоль линии $x = 0$, то получаем, что $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\ частичное f}{\partial x} (x, y) = 0$ (что уже говорит нам о том, что наша частная производная разрывна), но также, если мы оцениваем этот предел вдоль линии $y = 0$, то мы получаем, что $ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 2$.