Производная частного двух функций: Производная частного, формула и примеры

{\prime }}=1\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt{x}}= \\& =\sqrt{x}-1+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Содержание

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются.

Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень
n
-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n ― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k ), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени. {2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left(x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left(x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\, мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left(x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\, т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\, читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя.

{2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. {\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 .

Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Производная произведения двух функций примеры

Формула производной произведения двух функций

Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1) .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x , которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :

.
Теперь находим производную:

.

Итак,
.
Правило доказано.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x . Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1) .

Следствие

Пусть являются функциями от независимой переменной x . Тогда
;
;
и т. д. .

Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций и , а затем – для функций и :

.

Аналогично доказываются другие подобные формулы.

Примеры

Пример 1

Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1) .
.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1) .
.

Пример 3

Найти производную функции
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-10-2016 Изменено: 05-12-2016

Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя:

Следует отметить, что не в коем случае производная произведения функций НЕ РАВНА произведению производных каждого множителя!

Примеры решений

Определение

Находим производные от каждого из множителей. <3x>$$

Используя правило получаем:

Выносим экспоненты за скобки для упрощенной записи ответа:

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Пример 1
Найти производную произведения двух функций $ y = xln x $
Решение

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье “Производная произведения и частного функций”.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое uv , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций”.

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Пример 9. Найти производную функции

, где a и b — константы.

Пример 10. Найти производную функции

.

Пример 11. Найти производную функции

.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях “Производная произведения и частного функций” и “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

“Производная степенной функции с натуральным показателем. Производные суммы, произведения и частного двух функций.

Производная сложной функции” в условиях ДОТ

КГП на ПХВ «Павлодарский монтажный колледж» Тема урока: Производная степенной функции с натуральным показателем. Производные суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции.

Цель урока: ввести понятие производной степенной функции,сложной функции, применение правил вычисления производных в решении примеров

Производная степенной функции с натуральным показателем

Производная от  x  в степени  a  равна  a , умноженному на  x  в степени  a  минус один:

Пример

Производные суммы Чтобы найти производную суммы некоторых функций или их разности, необходимо просто воспользоваться первой теоремой производных: Производная суммы или разности некоторой функции равна сумме или разности производных: (u + v)’ = u’ + v’, (u – v)’ = u’ – v’.

Производная произведения Если необходимо найти производную произведения или частного, то здесь уже дела обстоят посложнее, поскольку необходимо запомнить две основные формулы: (u * v)’ = u’ v + v’ u. То есть производная произведения двух некоторых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.

Производная частных двух функции Для нахождения производной частного двух некоторых функций необходимо воспользоваться следующей формулой: (u / v)’ = (u’ v – v’ u) / v 2 .

Производная сложной функции Производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции

Производная произведения двух дифференцируемых функций определяется формулой. Формулы производных. Защита персональной информации

С правочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:

Правила вычисления производных

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!


Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

Производная от произведения числа на функцию . Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций ” .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями “.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями” .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций” .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Что такое производная функция – это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол? будет?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от?x-0 tg ? = lim от?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных . Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.

В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.

Производные тригонометрических функций

Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=\sin x$, а также $y=\cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$. {\prime }}=1\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt{x}}= \\& =\sqrt{x}-1+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n -ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n ― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k ), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени. {2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left(x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left(x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\, мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left(x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\, т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\, читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. {2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. {\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. 2} + v\Delta v}}.3}}}.\)

Пример 5

Найдите производную функции \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x – 1}}\) при \(x = 1.\)

Пример 6

Вычислите производную от \(y = \tan x\), используя правило частных.

Пример 7

Найдите производную функции котангенса \(y = \cot x.\)

Пример 8

Найдите производную функции секущей \(y = \sec x.\)

Пример 1.2}x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \frac{1}{{\cos x}} = \tan x\sec x.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Дифференциальное исчисление. Правило частных

Правило частного дает нам производную частного двух функций (одна функция делится на другую функцию). Мы знаем, что можем найти дифференциал полиномиальной функции, складывая дифференциалы отдельных членов полинома, каждый из которых является функцией сам по себе.Поэтому заманчиво предположить, что для функции, являющейся частным двух функций, мы можем просто разделить производную числителя на производную знаменателя. К сожалению, все будет не так просто. Итак, как нам найти производную? Давайте посмотрим на пример. Предположим, нам нужно найти производную следующего выражения:

9 =
= x 2 + 5
3 x – 9

Справа от знака равенства находится частное двух функций.Найти производную каждой функции по отдельности относительно легко. Однако, чтобы найти производную от частного, нам нужно будет использовать правило отношения. Правило гласит, что производная частного двух функций равна произведению знаменателя и производной числителя за вычетом произведения числителя и производной знаменателя , на всем протяжении знаменатель в квадрате . Сформулируем это алгебраически.Предположим, у нас есть выражение:

где u и v — обе функции. Производная находится по следующей формуле:

Давайте воспользуемся формулой правила частного, чтобы найти производную от y = ( x 2 + 5) / (3 x – 9). Начнем с нахождения производной каждой функции отдельно:

Теперь присвоим функции соответствующим переменным в формуле:

u ( x )  =   x 2  + 5

v ( x )  =  3

Подставив приведенные выше значения в формулу частного правила, мы получим:

г г   =     =   (3 x  – 9)(2 x )  –  ( x 2  + 5)(3)
D x V 9 (3 9 – 9) 2
9 x 2 – 54 x + 81
d y = 6 x 2  – 18 x  – 3 x 2  – 15
D x 9
9 x 2 – 54 x + 81
d y = 3 x 2  – 18 x  – 15
D x 9
d y = x 2  – 6 x  – 5
D 5 9 3 x 2 – 18 x + 27
d y = = x 2  – 6 x  – 5
d x 3( x 2  – 6 x  + 9)

Здесь следует отметить несколько вещей. Во-первых, числитель в формуле правила частного почти такой же, как формула для правила произведения , с той лишь разницей, что оператор сложения заменен оператором вычитания. Второе, на что следует обратить внимание, это то, что, поскольку используется вычитание, члены в числителе должны стоять в правильном порядке. Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз мы найдем производную от y = (4 x – 2) / ( x 2 + 1).И снова ищем производную от частного двух функций. Как и прежде, начнем с нахождения производной каждой функции в отдельности:

Далее мы присваиваем функции переменным формулы:

u ( x )  =  4 x  – 2

v ( x )  =   x + 2

4

Подставляя эти значения в формулу частного правила, мы получаем:

г г   =     =   ( x 2  + 1)(4)  –  (4 x  – 2)(2 x )
D x 9 9 ( x 2 + 1) 2
D Y = (4 x 2  + 4)    (8 x 2  – 4 x )
D D x 9 + 1) 2
D Y = -4 x 2  + 4 x  + 4
d x ( x 2  + 1) 2

Теперь предположим, что у нас есть такое выражение:

Используя формулу правила отношения, чтобы найти производную, мы получаем:

г г   =     =   (7)(3 x 2  + 2)  –  ( x 3  + 2 x )(0)
D x 49
D y = = 21 x 2  + 14
d x 49
d y   =   3 x 2  + 2
г x 7

Действительно ли нам нужно было использовать правило частного здесь? Предположим, мы просто перепишем выражение как:

Y = 1 · ( x 3 + 2 x )
7

Теперь мы можем просто применить основные правила дифференцирования, включая правило постоянного коэффициента:

· 9 + 2 9 9 9 7
d ( 1 ( x 3 + 2 ) ) = 1 D ( x 3 + 2 x ) = 9
7 D x Всякий раз, когда вам нужно дифференцировать выражение, включающее частное двух функций, всегда стоит проверить, можете ли вы переписать выражение, как мы сделали здесь. Если это так, вы сможете найти производную без применения правила частного. Есть еще один сценарий, связанный с частным, на который мы должны обратить внимание. Что произойдет, если нам нужно найти , обратное функции? Нам еще предстоит дифференцировать дробь, у которой знаменатель будет функцией, но числитель всегда будет один (1). Рассмотрим следующее выражение:

Используя формулу правила отношения, чтобы найти производную, мы получаем:

г г   =     =   ( x 2  + 3)(0)  –  (1)(2 x )
D
D x V 9 ( x 2 + 3) 2
D y = = -2 х
d x ( x 2  + 3) 2

Оказывается, мы можем получить производную обратной величины любой функции u , используя следующую несколько менее сложную формулу:

Итак, мы могли бы просто написать:

d y   =   -2 x
d x ( x 2  + 3) 2

Исходя из этого, предположим, что у нас есть следующее выражение:

y = 5
x 2 + 2 x + 3

Поскольку эта функция представляет собой просто обратное число, умноженное на , пять (5), мы можем рассматривать пять в числителе как постоянный коэффициент и просто использовать формулу для производной обратной величины, как мы делали выше:

д у   =  5  ·  
D d x ( x 2 + 2 x + 3) 2
D y = 5 · -2( x  + 1)
D D x x 2 + 3) 2

3

2 Неизбежно возникнут ситуации, когда вам нужно найти производную от частного двух функций. Если вы имеете дело не с обратной величиной (или с некоторым кратным обратной величиной) и не можете упростить функцию так, чтобы она не была частной (например, если знаменатель является постоянной величиной), то вам, вероятно, потребуется использовать Правило отношения для нахождения производной.


AC Правила произведения и частного

Подраздел 2.3.1 Правило произведения

Как показано в части (b) предварительного задания 2.3.1, в общем случае неверно, что производная произведения двух функций является произведением производных этих функций.Чтобы понять, почему это так, рассмотрим пример с значимыми функциями.

Допустим, инвестор регулярно покупает акции определенной компании. Пусть \(N(t)\) представляет собой количество акций, принадлежащих в день \(t\text{,}\), где \(t = 0\) представляет собой первый день, когда акции были куплены. Пусть \(S(t)\) дает стоимость одной акции акции в день \(t\text{;}\) обратите внимание, что единицами на \(S(t)\) являются доллары за акцию. Чтобы вычислить общую стоимость акций в день \(t\text{,}\), мы берем произведение

.

\begin{уравнение*} V(t) = N(t) \, \text{акции} \cdot S(t) \, \text{доллары на акцию}\text{,} \end{уравнение*}

Обратите внимание, что с течением времени как количество акций, так и стоимость данной акции будут меняться.Производная \(N'(t)\) измеряет скорость изменения количества акций, а \(S'(t)\) измеряет скорость изменения стоимости одной акции. Как эти соответствующие скорости изменения влияют на скорость изменения функции общей стоимости?

Чтобы помочь нам понять взаимосвязь между изменениями в \(N\text{,}\) \(S\text{,}\) и \(V\text{,}\), давайте рассмотрим некоторые конкретные данные.

  • Предположим, что на 100-й день инвестор владеет 520 акциями, и текущая стоимость акции составляет 27 долларов.50 за акцию. Это говорит нам о том, что \(N(100) = 520\) и \(S(100) = 27,50\text{.}\)
  • На 100-й день инвестор покупает еще 12 акций (таким образом, количество имеющихся акций увеличивается со скоростью 12 акций в день).
  • В тот же день цена акции растет со скоростью 0,75 доллара за акцию в день.

В исчислении последние два факта говорят нам, что \(N'(100) = 12\) (акций в день) и \(S'(100) = 0,75\) (долларов на акцию в день). С какой скоростью изменяется стоимость общих активов инвестора на 100-й день?

Обратите внимание, что увеличение общей стоимости происходит из двух источников: растущего числа акций и роста стоимости каждой акции.Если увеличивается только количество акций (а стоимость каждой акции постоянна), скорость, с которой будет расти общая стоимость, является произведением текущей стоимости акций и скорости, с которой меняется количество акций. То есть скорость изменения общей стоимости равна

.

\begin{уравнение*} S(100) \cdot N'(100) = 27,50 \, \frac{\text{доллары}} {\text{доли}} \cdot 12 \, \frac{\text{акции}} {\text{день } } = 330 \, \frac{\text{доллары} }{\text{день} }\text{.} \end{уравнение*}

Обратите особое внимание на то, что единицы измерения имеют смысл и показывают скорость изменения общей стоимости \(V\), измеряемой в долларах в день.

Если вместо этого количество акций остается постоянным, но стоимость каждой акции растет, скорость, с которой будет расти общая стоимость, является произведением количества акций на скорость изменения стоимости акций. Общая стоимость растет со скоростью

\begin{уравнение*} N(100) \cdot S'(100) = 520 \, \text{доли} \cdot 0.75 \, \frac{\text{долларов на акцию} }{\text{день} } = 390 \, \frac{\text{долларов} }{\text{день}}\text{.} \end{уравнение*}

Конечно, когда меняется как количество акций, так и стоимость каждой акции, мы должны включать оба этих источника. В этом случае скорость, с которой общая стоимость растет, составляет

.

\begin{уравнение*} V'(100) = S(100) \cdot N'(100) + N(100) \cdot S'(100) = 330 + 390 = 720 \, \frac{\text{доллары}} {\text{ день} }\текст{.} \end{уравнение*}

Мы ожидаем, что общая стоимость активов инвестора вырастет примерно на 720 долларов на 100-й день.  1 

Хотя в этом примере показано, почему правило произведения верно, есть несколько тонких моментов, которые необходимо распознать. Во-первых, если стоимость акций действительно возрастает ровно на 0,75 доллара на 100-й день, а количество акций действительно увеличивается на 12 на 100-й день, то мы ожидаем, что \(V(101) = N(101) \cdot S( 101) = 532 \cdot 28,25 = 15029\text{.}\) Если, как отмечалось выше, мы ожидаем, что общая стоимость вырастет на 720 долларов, то при \(V(100) = N(100) \cdot S(100 ) = 520 \cdot 27.50 = 14300\text{,}\) то, кажется, мы должны найти, что \(V(101) = V(100) + 720 = 15020\text{.}\) Почему два результата отличаются на 9? Один из способов понять, почему возникает эта разница, состоит в том, чтобы признать, что \(N'(100) = 12\) представляет мгновенную скорость изменения , в то время как в нашем (неформальном) обсуждении это число также рассматривалось как общее изменение в количество акций в течение одного дня. Формальное доказательство правила произведения решает эту проблему, беря предел, когда изменение входных данных стремится к нулю.

Далее мы расширяем нашу перспективу от приведенного выше конкретного примера к более общему и абстрактному определению произведения \(p\) двух дифференцируемых функций, \(f\) и \(g\text{. }\) Если \(P(x) = f(x) \cdot g(x)\text{,}\), наша работа выше предполагает, что \(P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.}\) В самом деле, формальное доказательство с использованием предельного определения производной может быть дано, чтобы показать, что следующее правило, называемое правилом произведения , выполняется в общем случае.

Правило продукта.

Если \(f\) и \(g\) — дифференцируемые функции, то их произведение \(P(x) = f(x) \cdot g(x)\) также является дифференцируемой функцией, и

\begin{уравнение*} P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.} \end{уравнение*}

В свете более раннего примера с акциями правило произведения также интуитивно понятно: скорость изменения \(P\) должна учитывать как быстроту \(f\), так и \(g\) меняется, а также насколько велики \(f\) и \(g\) в точке интереса. На словах правило произведения гласит: если \(P\) есть произведение двух функций \(f\) (первая функция) и \(g\) (вторая), то «производная \(P\) первая производная от второй, плюс вторая производная от первой. {-1} \cdot (2(-1) + 1) = 0 + \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2}\text{.}\) Таким образом,

\begin{уравнение*} L(x) = g(-1) + g'(-1)(x+1) = 0 – \frac{1}{2}(x+1) = -\frac{1}{2}(x +1)\текст{.} \end{уравнение*}

Подраздел 2.3.2 Факторное правило

Поскольку частное и произведение тесно связаны, мы можем использовать правило произведения, чтобы понять, как получить производную от частного. Пусть \(Q(x)\) определяется выражением \(Q(x) = f(x)/g(x)\text{,}\), где \(f\) и \(g\) оба дифференцируемы. функции.Оказывается, \(Q\) дифференцируемо везде, где \(g(x) \ne 0\text{.}\) Нам нужна формула для \(Q’\) в терминах \(f\text{ ,}\) \(g\text{,}\) \(f’\text{,}\) и \(g’\text{.}\) умножая обе части формулы \(Q = f/g \) по \(g\text{,}\) мы наблюдаем, что

\begin{уравнение*} f(x) = Q(x) \cdotg(x)\text{.} \end{уравнение*}

Теперь мы можем использовать правило произведения, чтобы различать \(f\text{.}\)

\begin{уравнение*} f'(x) = Q(x) g'(x) + g(x) Q'(x)\text{. 2}\text{.т}\текст{.} \end{уравнение*}

В общем, мы должны быть осторожны при выполнении любого такого упрощения, так как мы не хотим правильно выполнить правило отношения, а затем сделать алгебраическую ошибку.

Мероприятие 2.3.3.

Используйте правило частных, чтобы ответить на каждый из вопросов ниже. Везде не забудьте тщательно пометить любое производное, которое вы найдете, по имени. То есть, если вам дана формула для \(f(x)\text{,}\), четко обозначьте формулу, которую вы найдете для \(f'(x)\text{.}\). Нет необходимости алгебраически упростить любую производную, которую вы вычисляете.4} \приблизительно -2,695\текст{,}\) каждое измеряется в свечах в миллисекунду. Эти результаты показывают, что при \(t = 0,5\text{,}\) интенсивность вспышки быстро возрастает, а при \(t = 2\) и \(t = 5\text{,}\) интенсивность уменьшается, причем интенсивность уменьшается быстрее, когда \(t = 2\text{.}\)

Подраздел 2.3.3 Объединение правил

Чтобы правильно применять правила быстрого доступа к производным, мы должны понимать фундаментальную структуру функции. 2}\текст{.2}\текст{.} \end{уравнение*}

Хотя возможно некоторое упрощение, мы оставляем \(s'(y)\) в его нынешнем виде.

Успех в применении производных правил начинается с распознавания структуры функции, за которым следует тщательное и усердное применение соответствующих производных правил. Лучший способ освоить этот процесс — выполнить большое количество примеров.

Мероприятие 2.3.4.

Используйте соответствующие производные правила, чтобы ответить на каждый из приведенных ниже вопросов.t}\text{.}\) Найти мгновенную скорость частицы в момент \(t = 1\text{.}\)

  • Предположим, что \(f(x)\) и \(g(x)\) – дифференцируемые функции и известно, что \(f(3) = -2\text{,}\) \(f'( 3) = 7\text{,}\) \(g(3) = 4\text{,}\) и \(g'(3) = -1\text{.}\) Если \(p(x ) = f(x) \cdot g(x)\) и \(\displaystyle q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{,}\) вычислить \(p’ (3)\) и \(q'(3)\text{.}\)

  • Подсказка
    1. Обратите внимание, что \(f\) в основе своей является произведением. 2 + \cos(r)]\text{.2} = \frac{13}{8}\text{.} \end{уравнение*}

    Поскольку алгебраическая сложность функций, которые мы можем дифференцировать, продолжает расти, важно помнить, что все значение производной остается в силе. Независимо от структуры функции \(f\text{,}\) значение \(f'(a)\) говорит нам о мгновенной скорости изменения \(f\) по отношению к \(x\) в момент \(x = a\text{,}\), а также наклон касательной к \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text {.3-3x)$? В более общем плане мы бы как иметь формулу для вычисления производной $f(x)/g(x)$, если мы уже знаете $f'(x)$ и $g'(x)$. Вместо того, чтобы атаковать эту проблему в лоб, заметим, что мы уже решили часть задачи: $f(x)/g(x)= f(x)\cdot(1/g(x))$, то есть это “действительно” произведение, и мы можем вычислить производную, если знаем $f'(x)$ и $(1/г(х))’$. Так что на самом деле единственный новый бит информации, который нам нужен, это $(1/g(x))’$ через $g'(x)$. Как и в случае с правилом произведения, установим это и посмотреть, как далеко мы можем получить: $$ \выравнивание{ {d \ над dx} {1 \ над g (x)} & = \ lim _ {\ Delta x \ to0} {{1\over g(x+\Delta x)}-{1\over g(x)}\over\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {{g(x)-g(x+\Delta x)\over g(x+\Delta x)g(x)}\over\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} {g(x)-g(x+\Delta x)\over g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}\cr &=\lim_{\Delta x\to0} -{g(x+\Delta x)-g(x)\over \Delta x} {1\over g(x+\Delta x)g(x)}\cr &=-{г'(х)\над г(х)^2}\кр }$$ Теперь мы можем объединить это с правилом продукта: $${d\over dx}{f(x)\over g(x)}=f(x){-g'(x)\over g(x)^2}+f'(x){1\ над g(x)}={-f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\над g(x)^2}= {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\над g(x)^2}. 2)$ является примером класса кривых, каждая из которых называется ведьмой Аньези . Нарисуйте кривую и найдите касательную к кривой в точке $х= 5$. (Слово ведьма здесь является неправильным переводом оригинальный итальянский, как описано на http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html и http://witchofagnesi.org/. (отвечать)

    Пример 3.4.9 Если $f'(4) = 5$, $g'(4) = 12$, $(fg)(4)= f(4)g(4)=2$ и $g(4) = 6$ , вычислить $f(4)$ и $\ds{d\over dx}{f\over g}$ в 4.2}}}$$. Другими словами, мы можем прочитать это так: производная частного двух функций равна второй функции как она есть, а производная первой функции минус первая функция как она есть и производная второй функции, деленная на квадрат второй функции. Это правило можно доказать, используя первый принцип или производную по определению.

    Рассмотрим функцию вида $$y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$$.

    Сначала возьмем приращение или небольшое изменение функции:
    \[\begin{gathered}y + \Delta y = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right)}}{{g \left( {x + \Delta x} \right)}} \\ \Rightarrow \Delta y = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right)}}{{g\left( { x + \Delta x} \right)}} – y \\ \end{собрано} \]

    Подставив значение функции $$y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$$ в приведенное выше уравнение, мы получим
    \[\begin {собранные} \Rightarrow \Delta y = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)}} – \frac {{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \\ \Rightarrow \Delta y = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) g\left( x \right) – f\left( x \right)g\left( {x + \Delta x} \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)g \left( x \right)}} \\ \end{собрано} \]

    Вычитая и добавляя $$f\left( x \right)g\left( x \right)$$ в правой части, мы получаем
    \[\begin{gathered}\Rightarrow \Delta y = \frac{{ f\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right) – f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\ влево( x \вправо) – f\влево( x \вправо)g\влево( {x + \Delta x} \right)}}{{g\влево( {x + \Delta x} \вправо)g\влево ( x \right)}} \\ \Rightarrow \Delta y = \frac{{g\left( x \right)\left[ {f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)} \right] + f\left( x \right)\left[ {g\left( x \right) – g\left( {x + \Delta x} \right)} \right]}} {{g\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)}} \\ \Стрелка вправо \Delta y = \frac{{g\left( x \right)\left[ { f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)} \right] – f\left( x \right)\left[ {g\left( {x + \Delta x } \right) – g\left( x \right)} \right]}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)}} \\ \end{ собрал} \]

    Разделив обе части на $$\Delta x$$, мы получим
    \[\begin{gathered}\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{g\left( x \right)\left[ {f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right)} \right] – f\left( x \right)\left[ {g\ влево( {x + \Delta x} \right) – g\left( x \right)} \right]}}{{\Delta xg\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)}} \\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \left[ {\frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) – f \left( x \right)}}{{\Delta x}}} \right]\frac{{g\left( x \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right) g\left( x \right)}} – \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)} }\left[ {\frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) – g\left( x \right)}}{{\Delta x}}} \right] \\ \end{ собрал} \]

    Принимая предел обеих сторон как $$\Delta x \to 0$$, мы имеем
    \[\begin{gathered}\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{f\left({x + \Delta x} \ справа) – f\left( x \right)}}{{\Delta x}}} \right]\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( x \ right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, – \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \ до 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( {x + \Delta x} \right)g\left( x \right)}}\mathop {\lim }\ limit_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{g\left( {x + \Delta x} \right) – g\left( x \right)}}{{\Delta x}}} \right] \\ \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f’\left( x \right)\frac{{g\left( x \right)}}{{g\left( { x + 0} \right)g\left( x \right)}} – \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( {x + 0} \right)g\left( x \right)}}g’\left( x \right) \\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{g\left( x \right)f’\left( x \right) – f\left( x \right)g’\left( x \right)}}{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}} \ \ \ frac {d} {{dx}} \ left [ {\ frac {{f \ left ( x \ right)}} {{g \ left ( x \ right)}}} \ right] = \ frac {{ g\left( x \right)f’\left( x \right) – f\left( x \right)g’\left( x \right)}}{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}} \\ \end{собраны} \]

    Пример : Найдите производную \[y = \frac{{{x^3} – 8}}{{{x^3} + 8}}\]

    У нас есть данная функция как
    \[y = \frac{{{x^3} – 8}}{{{x^3} + 8}}\]

    Дифференцируя по переменной $$x$$, получаем
    \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{x ^3} – 8}}{{{x^3} + 8}}} \справа)\]

    Теперь, используя частное правило производной, мы имеем
    \[\begin{gathered}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\left( {{x^3} + 8} \ справа)\frac{d}{{dx}}\left( {{x^3} – 8} \right) – \left( {{x^3} – 8} \right)\frac{d}{{ dx}}\left( {{x^3} + 8} \right)}}{{{{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} \\ \frac{ {dy}}{{dx}} = \frac{{\left( {{x^3} + 8} \right)3{x^2} – \left( {{x^3} – 8} \right )3{x^2}}}{{{{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} \\ \frac{{dy}}{{dx}} = \ frac{{\left( {3{x^5} + 24{x^2}} \right) – \left( {3{x^5} – 24{x^2}} \right)}}{{ {{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} \\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{48{x^2}}} {{{{\left( {{x^3} + 8} \right)}^2}}} \\ \end{собрано} \]

    Частное правило

    Это обсуждение будет сосредоточено на правиле частного дифференцирования . Это правило гласит, что:

    Производная частного двух функций равна знаменателю, умноженному на производную числителя минус числитель, умноженному на производную знаменателя, все делится на знаменатель в квадрате.

    ЧАСТНОЕ ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

    ddx[f(x)g(x)]=g(x)ddx[f(x)]−f(x)ddx[g(x)][g(x) ]2

    Давайте поработаем с некоторыми примерами

    Для работы с этими примерами необходимо использовать различные правила дифференцирования.Если вы не знакомы с правилом, перейдите в соответствующую тему для ознакомления.

    х3-5х+8х2-15

    D y = -10( x  + 1)
    d x ( x 2  + 2 x  + 3) 2

    Шаг 1: Упростите числитель и знаменатель.

    И числитель, и знаменатель уже упрощены.

    х3-5х+8х2-15

    Шаг 2. Примените правило отношения.

    ddx[f(x)g(x)]=g(x)ddx[f(x)]−f(x)ddx[g(x)][g(x)]2

    ддх[х3-5х+8х2-15]

    [(x2−15)ddx(x3−5x+8)]−[(x3−5x+8)ddx(x2−15)](x2−15)2

    Шаг 3. Вычислите две производные.

    ddx(x3−5x+8)Исходный

    ddxx3−ddx5x+ddx8   Правило суммы/различия

    ddxx3−5ddxx+ddx8   Константа Несколько

    3x 2 – 5(1) + 0 Мощность и постоянная

    3×2−5

    ____________________________

    ddx(x2−15)Исходный

    ddxx2−ddx15  Разностное правило

    2x 1 – 0 Мощность и постоянная

    2x

    Шаг 4: Подставьте производные и упростите.

    [(x2−15)(3×2−5)]−[(x3−5x+8)(2x)](x2−15)2

    (3×4−5×2−45×2+75)−(2×4−10×2+16x)(x2−15)2

    (3×4−50×2+75)+(−2×4+10×2−16x)(x2−15)2

    х4-40х2-16х+75(х2-15)2

    Пример 1:      3exx

    Шаг 1: Упростите числитель и знаменатель.

    И числитель, и знаменатель уже упрощены.

    3exx

    Шаг 2. Примените правило отношения.

    ddx[f(x)g(x)]=g(x)ddx[f(x)]−f(x)ddx[g(x)][g(x)]2

    ддкс[3exx]

    [(x)ddx(3ex)]−[(3ex)ddx(x)](x)2

    Шаг 3. Вычислите две производные.

    ddx(3ex)     Оригинал

    3ddxex Константа Мульт.

    3e x        Естественная экспир.

    3ex

    ____________________________

    ddx(x)   Исходный

    12x−12      Мощность

    12x

    Шаг 4: Подставьте производные и упростите.

    [(x)3ex]−[(3ex)12x] (x)2

    3ex(x−12x)x

    Пример 2:      2×31−3×2

    Шаг 1: Упростите числитель и знаменатель.

    И числитель, и знаменатель уже упрощены.

    2×31−3×2

    Шаг 2. Примените правило отношения.

    ddx[f(x)g(x)]=g(x)ddx[f(x)]−f(x)ddx[g(x)][g(x)]2

    ддкс[2×31-3×2]

    [(1−3×2)ddx(2×3)]−[(2×3)ddx(1−3×2)](1−3×2)2

    Шаг 3. Вычислите две производные.

    ddx(2×3)   Исходный

    2ddxx3   Константа Несколько

    2(3x 2 ) Власть

    6х2

    _____________________________

    ddx(1−3×2)Исходный

    ddx1−ddx3x2Разностное правило

    ddx1−3ddxx2Constant Multiple

    0–3 (2 раза) Постоянная/мощность

    −6x

    Шаг 4: Подставьте производные и упростите.

    [(1−3×2)6×2]−[(2×3)(−6x)](1−3×2)2

    6×2−18×4+12×4(1−3×2)2

    6×2−6×4(1−3×2)2

    Правило монотонности отношения двух функций и его применение | Журнал неравенств и приложений

    Для \(r\in(0,1)\) полный эллиптический интеграл Лежандра [27] второго рода равен

    $$ \mathcal{E}(r)= \int_ {0}^{\pi/2}\sqrt{1-r^{2}\sin^{2}(t)}\,dt. {2}-7\ текст{,}532n+1\текст{,}944, \end{выровнено}$$

    (3.{2}-2\text{,}918\text{,}064n+675\text{,}360, \end{выровнено}$$

    (3.7)

    $$\begin{aligned}& w_{n}=-648np_{1}(n) \biggl( \frac{1}{4} \biggr) _{n-2}+p_{2}(n) \biggl( \frac{1}{2} \biggr) _{n-3}+\frac{5np_{3}(n)}{2n-5} \biggl( \frac{3}{4} \biggr ) _{n-3}, \end{выровнено}$$

    (3.8)

    соответственно . Затем \(w_{n}\geq0\) для всех \(n\geq3\).{2} \\& \quad \qquad {}+7\text{,}980\text{,}844n+298\text{,}140, \end{align}$$

    (3.11)

    $$\begin{aligned}& \alpha_{n}=\frac{p_{4}(n)}{n(n+1)} \biggl( \frac{1}{2} \biggr) _{ n-3}, \end{выровнено}$$

    (3.12)

    $$\begin{aligned}& \beta_{n}=\frac{10(n-1)p_{5}(n)}{(2n-3)(2n-5)} \biggl( \frac{ 3}{4} \biggr)_{n-3}, \end{aligned}$$

    (3. 13)

    соответственно.

    Тогда из (3.5)-(3.13) и подробных вычислений получаем

    $$\begin{aligned}& w_{3}=w_{4}=w_{5}=w_{6}=0, \end{ выровнено}$$

    (3.14)

    $$\begin{align}& w_{7}=\frac{2\text{,}848\text{,}355}{16}>0, \end{align}$$

    (3.15)

    $$\begin{aligned}& \frac{w_{n+1}}{(n+1)p_{1}(n+1)}-\frac{(n-7/4)w_{n} }{np_{1}(n)} \\& \quad = \frac{p_{2}(n+1)}{(n+1)p_{1}(n+1)} \biggl( \frac {1}{2} \biggr) _{n-2}- \frac{(n-7/4)p_{2}(n)}{np_{1}(n)} \biggl( \frac{1 }{2} \biggr) _{n-3} \\& \quad \quad {}+\frac{5p_{3}(n+1)}{(2n-3)p_{1}(n+1 )} \biggl( \frac{3}{4} \biggr) _{n-2}- \frac{5(n-7/4)p_{3}(n)}{(2n-5)p_{ 1}(n)} \biggl( \frac{3}{4} \biggr) _{n-3} \\& \quad = \biggl[ \frac{(n-5/2)p_{2}( n+1)}{(n+1)p_{1}(n+1)}-\frac {(n-7/4)p_{2}(n)}{np_{1}(n)} \ biggr] \biggl( \frac{1}{2} \biggr) _{n-3} \\& \quad \quad {}+ \biggl[ \frac{5(n-9/4)p_{3} (n+1)}{(2n-3)p_{1}(n+1)}-\frac {5(n-7/4)p_{3}(n)}{(2n-5)p_{ 1}(n)} \biggr] \biggl( \frac{3}{4} \biggr) _{n-3} \\& \quad = \frac{p_{0}(n+1)p_{4 }(n)}{4n(n+1)p_{1}(n)p_{1}(n+1)} \biggl( \frac {1}{2} \biggr) _{n-3} \ \& \quad \quad {}+\frac{5(n-1)p_{0}(n+1)p_{5}(n)}{2(2n-3)(2n-5)p_{1 }(n)p_{1}(n+1)} \biggl( \frac{3}{4} \biggr) _{n-3} \\& \quad = \frac{p_{0}(n+ 1)}{4p_{1}(n)p_{1}(n+1)} ( \alpha_{n}+\beta_{n} ) , \end{выровнено}$$

    (3. 16)

    $$\begin{align}& \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}=\frac {(2n-3)(2n-5)p_{4}(n)}{10n( n-1)(n+1)p_{5}(n)} \frac{ ( \frac{1}{2} ) _{n-3}}{ ( \frac{3}{4} ) _{ n-3}}, \end{выровнено}$$

    (3.17)

    $$\begin{aligned}& \frac{\alpha_{7}}{\beta_{7}}=-\frac{7\text{,}313\text{,}056}{7\text{, }313\текст{,}875}, \end{выровнено}$$

    (3.{-1/4}}{\Гамма ( \frac{1}{2} ) } $$

    (3.21)

    для всех \(n\geq7\).

    Из (3.10), (3.11), (3.17), (3.18), (3.20) и (3.21) получаем

    $$ \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\geq\ frac{\alpha_{7}}{\beta_{7}}>-1 $$

    (3.22)

    для всех \(n\geq7\).

    Поэтому лемма 3.3 легко следует из (3.14) — (3.16) и (3.22) вместе с тем, что \(p_{1}(n)>0\), \(p_{0}(n+1)> 0\) и \(p_{1}(n+1)>0\) для \(n\geq7\). {н}}. \end{выровнено}$$

    (3.31)

    Из (3.9), (3.29), (3.30) и проведенных вычислений следует, что

    $$\begin{aligned}& \frac{u_{3}}{v_{3}}=1, \end{aligned }$$

    (3.32)

    $$\begin{align}& u_{n+1}-\frac{v_{n+1}}{v_{n}}u_{n}=-\frac{15(2n-5)}{8 (n+1)p_{0}(n)(n+1)!}w_{n}, \end{выровнено}$$

    (3.{-}\bigr)= \frac{51\pi}{160}=1,00138\ldots. \end{выровнено}$$

    (3,45)

    Из (3.3), (3.4), (3.23) и (3.39) — (3.45) ясно видно, что существует достаточно малое \(\delta\in(0, 1)\) такое, что нижняя оценка, данная в ( 3.23) для \(\mathcal{E}(r)\) лучше, чем нижняя оценка, данная в (3.3) для \(r\in(\delta, 1-\delta)\), нижняя оценка, данная в ( 3.23) для \(\mathcal{E}(r)\) лучше, чем нижняя оценка, данная в (3. {\prime})}{1-\frac{2}{\pi}\mathcal{E}(r)} \biggr] = \biggl[ 1-\frac{2}{\pi}\mathcal{E} (r) \biggr] \bigl[1-F(r)\bigr]. \end{выровнено}$$

    (3.49)

    Из (3.49) и доказательства теоремы 3.4 мы знаем, что \(F(r)\) строго убывает на \((0, 1)\) и \(A(r)\) строго возрастает на \( (0, 1)\). Поэтому неравенство (3.46) следует из (3.47) и (3.48) вместе с монотонностью \(A(r)\) на отрезке \((0, 1)\).{\ простое число} \ bigr) – \ frac {2} {\ pi} \ mathcal {E} (r) \ biggr] +1 = \ frac {A (r)} {\ frac {2} {\ pi} \ математический{E}(r)}+1. \end{выровнено}$$

    (3.53)

    Из (3.53) и доказательства следствия 3.6 мы знаем, что и \(A(r)\), и \(B(r)\) строго возрастают на \((0, 1)\). Поэтому неравенство (3.50) следует из (3.51) и (3.52) вместе с монотонностью \(В(г)\) на отрезке \((0, 1)\). □

    Замечание 3.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.