Производная от интеграла: Производная интеграла

Содержание

Производная от интеграла по подвижному объему



Производная от интеграла по подвижному объему

[ •• ]

Производная от интеграла по подвижному объему

(По книге Л. И. Седого [121-122 с.])

Масса жидкой частицы не зависит от времени, поэтому: , и если бы мы умели вычислять такие производные, то мы смогли бы использовать это для получения условия неразрывности сплошной среды. Однако вычисления осложняются тем, что в этом случае от времени зависит не только подынтегральное выражение, но и граница интегрирования (поверхности частицы). Рассмотрим данную проблему подробнее.

Пусть V – объем некоторой жидкой частицы, ограниченной поверхностью Σ. За малый промежуток времени этот объем переходит в объем V’ с поверхностью Σ’.

Представим, что нас интересует производная интеграла . По определению производной

Как видно из картинки , поэтому последнее слагаемое равно

Последний интеграл представляет собой поток вектора через поверхность Σ. Используя теорему Гаусса-Остроградского, перейдем от поверхностного интеграла к объемному

Собрав все вместе, получим:

Полученный результат удобнее представить в виде двух формул

(1)

(2)

Теперь мы можем вернуться к выводу уравнения неразрывности.

Масса жидкой частицы не зависит от времени, поэтому:

и поскольку это равенство справедливо для любого индивидуального объема, то . 2

Разница между производным и интегралом (Наука и природа)

Производная против Интеграла

Дифференцирование и интеграция являются двумя фундаментальными операциями в исчислении. Они имеют многочисленные приложения в нескольких областях, таких как математика, инженерия и физика. И производные, и интегральные обсуждают поведение функции или поведения физического объекта, который нас интересует.

Что такое производная?

Предположим, что у = ƒ (х) и х0 находится в области ƒ. Тогда лим→ ∞? XΔy / Δx = limΔх → ∞[ƒ (х0+Δx) – ƒ (x0)] / Δx называется мгновенной скоростью изменения ƒ при x0, если этот предел существует конечно. Этот предел также называется производной от at и обозначается через ƒ (x).

Значение производной функции е в произвольной точке Икс в области функции задается лим

Δх → ∞[ƒ (x + Δx) – ƒ (x)] / Δx. Это обозначается любым из следующих выражений: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, DИксY.

Для функций с несколькими переменными определим частную производную. Частная производная функции с несколькими переменными является ее производной по одной из этих переменных, предполагая, что другие переменные являются константами. Символом частной производной является ∂.

Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон кривой функции ƒ (x).

Что такое Интеграл?

Интеграция или антидифференциация – это обратный процесс дифференциации. Другими словами, это процесс поиска исходной функции, когда дается производная функции. Следовательно, интеграл или антипроизводная функции ƒ (x), если, ƒ (x) =

F(х) может быть определена как функция F(x), для всех x в области ƒ (x).

Выражение ∫ƒ (x) dx обозначает производную функции ƒ (x). Если ƒ (x) =F(x), тогда ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, где C – постоянная, ∫ƒ (x) dx называется неопределенным интегралом от ƒ (x).

Для любой функции ƒ, которая не обязательно неотрицательна и определена на интервале [a, b], бƒ (x) dx называется определенным интегралом ƒ на [a, b].

Определенный интеграл бƒ (x) dx функции ƒ (x) можно геометрически интерпретировать как площадь области, ограниченной кривой ƒ (x), осью x и линиями x = a и x = b.

В чем разница между производным и интегральным?

• Производная является результатом дифференциации процесса, а интегральная является результатом интеграции процесса.

• Производные функции представляют наклон кривой в любой заданной точке, в то время как интегральные представляют область под кривой.

Производные и интегралы функций общего вида

Глава 2.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
ФУНКЦИЙ ОБЩЕГО ВИДА
2.1. Производная функции одной переменной
В отличие от линейной зависимости, крутизна (скорость изменения)
нелинейной изменяется от точки к точке. Местной мерой крутизны
служит производная – угловой коэффициент касательной к графику
функции в данной точке (здесь x0).
Процедура нахождения производной
называется дифференцированием.
Касательная
есть
предельное
положение секущей при сближении
точек пересечения вплоть до их
слияния в одну (см. рис. 2.1). Тогда
производная есть предел отношения
приращений функции и аргумента при
стремлении последнего (а значит,
обоих) к нулю:
рис. 2.1.
y
y’ lim
x 0 x
(2.1)
Функции, для которых этот предел существует, называются
дифференцируемыми;
для них производная есть
непрерывная функция того же аргумента. Это равнозначно
возможности в каждой точке графика провести одну и только
одну (не вертикальную!) касательную, которая плавно
перекатывается по кривой при переходе от точки к точке.
Заметим, что формулу 2.1 можно изначально принять за
определение производной, и так поступают авторы
большинства учебников. Мы нарушили эту традицию,
прибегнув вначале к наглядному геометрическому языку.
Но геометрический образ не исчерпывает всего содержания
понятия производной, и теперь, введя общепринятое ее
определение, мы можем в большей мере основываться на
нем.
2.2. Дифференциалы
2.2.1. Дифференциал аргумента.
Приняв за местное начало отсчета точку касания (x0, y0), через
которую проходит и секущая, заменим приращение исследуемой функции
равным ему приращением по секущей: y=kc• x.
При изменении
положения секущей ее угловой коэффициент меняется. Выразим его как
сумму постоянной и переменной частей: kc=k+ k.
Первая есть угловой коэффициент касательной, а вторая – разность
угловых коэффициентов секущей и касательной. С приближением к точке
касания эта разность – по определению дифференцируемой функции –
стремится к нулю. Соответственно, и приращение функции распадается на
сумму двух частей: y = kc•dx = (k+ k)•dx = k•dx+ k•dx.
Обратим внимание на новое обозначение для приращения аргумента:
вместо x использовано обозначение dx. Этим подчеркивается, что
рассматривается переменное приращение и его предельный переход к
нулевому значению.
Такое приращение аргумента называется его дифференциалом.
2.2.2. Дифференциал функции.
Дифференциалом функции называется главная (линейная) часть ее
приращения. Он обозначается аналогично дифференциалу аргумента и
определяется как dy=k•dx; это выражение одновременно есть
уравнение касательной. Итак, дифференциал функции пропорционален
дифференциалу аргумента.
Вторая – нелинейная часть – есть произведение двух сомножителей, с
приближением к точке касания стремящихся к нулю. Поэтому она убывает
по закону второго порядка малости по сравнению с линейной, где
стремится к нулю только dx. Иными словами, в достаточно малой
окрестности исследуемого значения аргумента дифференцируемая
функция ведет себя почти как касательная, и одну можно заменять другой
с тем большей точностью, чем меньше расстояние от точки касания.

Производную можно рассматривать как отношение дифференциалов
функции и аргумента, откуда следует второй способ ее обозначения:
dy
k y’ .
dx
(2.2)
2.3. Производная функции двух переменных
Обычно дифференцирование функций двух переменных изучают после
обстоятельного знакомства с техникой дифференцирования функций одной
переменной. Мы нарушим и эту традицию, потому что использование понятий из
области функций нескольких переменных облегчает дифференцирование
сложных функций одной переменной. Здесь не потребуется развитая теория таких
функций – достаточно нескольких простейших сведений.
Чисто формально дифференцирование функции нескольких аргументов
по одному из них ничем не отличается от дифференцирования функции
одной переменной. Просто, дифференцируя по одному аргументу,
остальные нужно считать постоянными. Получаемый при этом результат
называется частной производной. При обозначении дробью значок d
заменяется значком . Индексом указывается аргумент.
Обратим внимание на то, что при
обозначении штрихом индекс относится к
меняющемуся
аргументу,
а
при
обозначении дробью – к аргументу,
остающемуся постоянным.
z
z
z ‘ x , z ‘ y ( 2.3).
x y
y x
Последнее используется в тех случаях, когда
необходимо предотвратить возможные недоразумения.
Приведем простые примеры. Если z=x+y, где x и y – аргументы, а z –их
функция, то z/ x=1, z/ y=1 –точно так же, как для z=x+a или z=b+y.
Если z=x•y, то z/ x=y, z/ y=x (здесь аргументы поочередно служат
угловыми коэффициентами).
Заметим, что хотя обозначение частной производной по форме напоминает
дробь, на самом деле его нужно рассматривать как единый символ – в
отличие от обычной производной функции одного переменного.
Рассмотрим линейную функцию двух независимых переменных y=f(u, v).
Ее геометрический образ – плоскость в трехмерном пространстве.
Примем произвольную точку на ней
(u0, v0 ,y0) за местное начало
координат (см. рис. 2.2). и образуем
прямоугольную призму из четырех
вертикальных плоскостей: двух
координатных (на осях u, y и v, y),
и двух попарно параллельных им
на расстояниях, равных
приращениям аргументов.
В горизонтальном сечении имеем прямоугольник со сторонами u и v.
При пересечении призмы плоскостью y=f(u, v) на гранях, проходящих
через ось y, получим отрезки прямых – графиков частных зависимостей
y от u и от v, с угловыми коэффициентами – частными производными
y
u
и
y
, соответственно, а на противолежащих гранях – попарно
v
параллельные и равные им отрезки.
Эти отрезки служат гипотенузами попарно равных прямоугольных
треугольников, горизонтальные и вертикальные катеты которых –
приращения аргументов и частные приращения функции, соответственно.
(В равенстве треугольников читатель может убедиться самостоятельно).
На гранях, противолежащих координатным плоскостям, эти треугольники
смещены вверх на величину вертикального катета другой их пары. Отсюда
следует, что полное приращение линейной функции равно сумме ее
частных приращений. Это непосредственно видно из рисунка 2.2, где
приращения показаны жирными вертикалями. В конечную точку вертикали
y из местного начала координат можно попасть двумя путями – обходя
участок наклонной плоскости по часовой стрелке, либо против нее. В
первом случае вначале даем приращение yv, затем yu, во втором
случае – вначале yu, затем yv .
Для функции двух переменных общего вида геометрический образ – не
плоская, а криволинейная поверхность. По аналогии с функциями одной
переменной, признак ее дифференцируемости – возможность провести к
ней касательную плоскость (см. рис. 2.3). В любом вертикальном сечении,
проходящем через точку касания, получим кривую – след поверхности, и
касательную к ней прямую – след касательной плоскости. На
координатных плоскостях, как и в линейном случае, имеем частные
зависимости. Произведения частных производных на приращения
аргументов называются частными дифференциалами:
y
dyu du ,
u
y
dyv du .
v
Проведя вертикальную плоскость
через диагональ прямоугольника,
образованного приращениями
аргументов, применим к ее
следам рассуждения п.2.1,
доказывающие второй порядок
малости нелинейной части
приращения функции (см. рис. 2.3,
пунктирные диагонали и линия с
жирными точками ).
Из них следует, что поведение функции в малой
окрестности точки касания приближенно описывается
поведением касательной плоскости, и погрешность такой
замены стремится к нулю с приближением к этой точке.
Для общего случая, в отличие от линейного, полное
приращение функции не равно сумме частных приращений.
Но полный дифференциал в любом случае равен сумме
частных дифференциалов:
y
y
dy du dv .
u v
v u
(2.4)
Этот вывод естественным образом
распространяется и на функции с любым числом
независимых переменных.
2.2. Интеграл
2.2.1. Интегральная сумма и ее предел
Определенным интегралом, как и раньше, назовем (на
геометрическом языке) площадь фигуры, ограниченной сверху
графиком функции, снизу осью абсцисс, слева и справа
вертикальными границами области интегрирования. В простейшем
случае мы вычисляли эту величину, как площадь прямоугольника.
Этот подход используют и в общем случае, когда график
криволинеен.
y
Для этого разбивают площадь
фигуры под графиком функции на
вертикальные полоски,
заменяя
“крышу”
каждой
полоски
горизонтальной линией и получая
тем самым ряд прямоугольников
(рис. 2.4).
x
a
b
Рис. 2.4. Разбиение
площади под кривой на
прямоугольные полоски
За высоту каждого прямоугольника принимают значение функции в
одной из точек в пределах данной полоски. Приближенной оценкой
интеграла при разбиении площади на n полосок служит выражение:
i n
S f xi x .
(2.5)
i 1
Оценим возможные пределы ошибки этой оценки. Величина Sn
будет минимальной (максимальной), если принимать минимальное
(максимальное) значение функции в пределах каждой полоски. При
этом очевидно, что истинное значение площади S будет заключено
между крайними оценками Smin и Smax. Их разность S = Smax–Smin
и можно принять за величину искомой ошибки. Она выразится
суммой площадей прямоугольников, ограниченных в каждой
полоске с боков ее границами, а сверху и снизу максимальным и
минимальным значениями функции (см. рис. 2.4).
Если изменение функции в пределах каждой полоски
монотонно (а это достижимо при достаточно малом x),
то ошибка пропорциональна ширине полосок (рис.2.5).
Это видно непосредственно: при разбиении полоски
пополам по ширине ошибка уменьшается вдвое.
По мере увеличения n ошибка
неуклонно сокращается, и в
пределе, при n (или, что то же,
при x 0), она стремится к нулю.
Суммирование площадей полосок
с таким предельным переходом и
называется интегрированием, и
обозначается следующим образом:
b
S f x dx .
a
(2.6)
Это та запись, в которую превратилось выражение для
суммы. Знак интеграла похож на вытянутое изображение
латинской буквы S – начальной в слове “сумма”, а
приращение аргумента заменилось его дифференциалом.
Снизу и сверху от знака интеграла указаны нижний и
верхний пределы интегрирования. Их смысл совпадает с
линейным случаем.
Еще раз отметим отличия от простейшего случая (гл. 1).
Там не нужно было разбивать измеряемую площадь на
полоски – ее значение вычислялось сразу по
элементарной формуле. Поэтому не было и операций
суммирования и перехода к пределу. Теперь, из-за
нелинейности, в этом возникла необходимость, и в
каждой полоске мы проделываем то, что раньше
проделывали сразу со всей площадью.
2.2.2. Производная интеграла по верхнему пределу
В главе 1 выяснилось, что для линейных функций действия
дифференцирования и интегрирования взаимно обратны. Нетрудно
догадаться, что это относится и к любым другим функциям.
Осталось это доказать. Чтобы определить производную интеграла
по верхнему пределу, составим выражение для разности двух
интегральных сумм: S = Sn–Sn-1 =fn• x
(величину x указываем без индекса, считая ее одинаковой для всех
полосок). Отношение приращений функции и аргумента выразится
как S/ x = fn , то есть равно значению подынтегральной
функции на верхней границе суммирования. При x 0 эта
граница превращается в верхний предел интегрирования. Иными
словами, производная определенного интеграла по его верхнему
пределу равна подынтегральной функции, и тем самым наше
предположение доказано. Выражение для производной после
перехода к пределу выразится следующим образом:
d x
f t dt f x .
dx a
(2.7)
Здесь t – “немая” переменная, по которой ведется интегрирование,
а аргумент в выражении для производной – величина x, по ней
ведется дифференцирование. Нередко используют и запись:
d x
f x dx f x .
dx a
(2.7а)
Она не является ошибочной, но нужно помнить, что переменная x
под знаком интеграла и переменная x- верхний предел – это разные
переменные, лишь одинаково обозначенные и откладываемые по
одной и той же оси. Разница в том, что на результат при
интегрировании влияют все значения “немой” переменной между
верхним и нижним пределами, в то время, как при
дифференцировании нас интересует только значение верхнего
предела, и в окончательном выражении стоит именно оно.
2.2.3. Теорема Ньютона-Лейбница
В главе 1 для линейных функций была выведена формула
Ньютона-Лейбница (ФНЛ), позволяющая вычислять значения
определенного интеграла через значение неопределенного
интеграла поочередной подстановкой в него
верхнего
и нижнего пределов интегрирования
и
последующего вычитания второго из первого.
В действительности эта формула по-настоящему нужна именно
для общего случая, и теперь требуется доказать, что она к нему
применима. Главное для этого доказательства уже сделано:
выяснено, что для любых функций производная интеграла по
верхнему пределу равна подынтегральному выражению.
Следовательно, площадь криволинейной трапеции с переменной
правой границей выражается графиком первообразной, для
которой исходная функция есть производная.
Фиксированное значение
аргумента (не обязательно
совпадающее с нижним пределом
интегрирования!), от которого
отсчитывается эта площадь,
соответствует нулевому значению
первообразной. Определенный
интеграл – площадь между
заданными границами – равен
разности значений первообразной
на этих границах (рис. 2.6):
Рис.2.6. Первообразная и формула
Ньютона-Лейбница для общего случая.
b
S f x dx F b F a .
a
(2.8)
Как и прежде, геометрический
смысл ФНЛ состоит в том, что при
выборе любой первообразной
значение определенного интеграла
равно разности значений
первообразной на верхнем и
нижнем пределах интегрирования.
Переход от одной из них к другой
равнозначен вертикальному
перемещению треугольника,
гипотенуза которого теперь стала
криволинейной (ср. рис. 1.6 и 2.7).
Рис.2.7. Геометрический
смысл ФНЛ для общего случая.
Применяют также сокращенную запись для подстановки
пределов интегрирования в выражение первообразной:
S F x F b F a .
b
a
(2.8а)
Все, что было сказано о первообразных в главе 1, остается в
силе и здесь. Первообразных для данной функции существует
неограниченное количество, и все они могут быть получены
произвольным вертикальным смещением любой из них.
Еще раз напомним: при подстановке левого и правого пределов
используется одна и та же первообразная. Серьезный источник
трудностей для начинающих в понимании смысла ФНЛ – в том, что
начало отсчета для используемой первообразной не обязано
совпадать с левой границей интервала интегрирования. Обычно
отсчет ведется от x=0, но и это совсем не обязательно, если удобнее
окажется другой вариант.
Заключение к главе 2
Итак, мы познакомились с обобщениями понятий производной и
интеграла на нелинейный случай. Такая
последовательность
изложения совершенно не соответствует истории их возникновения.
Они изначально были созданы именно для общего случая, ибо для
линейных функций все, что требуется, с успехом делалось без
использования этих понятий задолго до их появления. Когда же они
появились, линейные задачи сразу превратились в их вырожденный
частный случай.
Но учебная задача отличается от научной, ибо новичков
затрудняют не только проблемы, волнующие первооткрывателей, и
часто даже в первую очередь не они. Автор счел полезным
нарушить традицию, чтобы максимально облегчить усилия
начинающих.
В свойствах производной и интеграла и действиях с ними
есть два слоя информации: то, что одинаково для линейных и
нелинейных зависимостей, и то, что их различает. В принятой здесь
трактовке первое выделено в отдельную первую главу, второе
рассмотрено здесь. Тем самым соблюден принцип не накладывать
трудность на трудность.
Главное добавление, сделанное во второй главе: здесь
введены понятия дифференциала и интегральной суммы и
используется предельный переход при определении значений
производной и интеграла.
Венец данного раздела – теорема Ньютона-Лейбница,
позволяющая вычислять значения определенного интеграла через
неопределенный интеграл. Благодаря выделению первого слоя, эту
теорему, так же, как показ обратности действий интегрирования и
дифференцирования, удалось ввести без дополняющих усложнений,
а их добавление осуществить после того, как основа уже создана.
Это позволило упростить то и другое.

Пропорционально-интегрально-производная (ПИД) Обзор

Что такое пропорциональная интегральная производная?

Управление технологическим процессом стало жизненно важной технологией еще в 1940-х годах, когда стал необходим стандартный инструмент для управления такими процессами, как регуляторы генератора. В то время как многие регуляторы контура находили применение в отрасли автоматизации на протяжении многих лет, один из них сохранил свои позиции: Пропорционально-интегрально-дифференциальный контроллер (ПИД) .Сегодня 95% всех контуров управления относятся к ПИД-регуляторам и используются во всех сферах, где требуется управление.

ПИД-регуляторы

процветали на протяжении многих лет перед лицом нескольких изменений в технологии от механики до пневматики и микропроцессоров. Новейшие используемые технологии (микропроцессоры на основе транзисторов) оказали огромное влияние на ПИД-регуляторы. Почти все ПИД-регуляторы, используемые сегодня, основаны на микропроцессорах, что дает им огромные возможности обработки, широкие возможности настройки и надежность.

Контур управления имеет механизм обратной связи для исправления любой ошибки между измеренной переменной процесса и заданным значением. Специальный компьютер, называемый контроллером, устанавливается на место, чтобы прилагать выпрямляющие усилия через исполнительный механизм для увеличения или уменьшения переменной процесса. Мгновенным примером может быть домашняя печь, которая увеличивает или уменьшает нагрев в зависимости от показаний, выдаваемых термостатом.

На промышленном конце ПИД-регулятор:

  • Отслеживает любую ошибку между переменной процесса и заданным значением.
  • Вычисляет интеграл последних ошибок.
  • Вычисляет производную сигнала ошибки.
  • Рассчитывает корректирующее значение на основе взвешенной суммы этих трех условий.
  • Применяет результат к процессу.
  • Ожидание следующего измерения.

Процесс повторяется до тех пор, пока ошибка не исчезнет.

В соответствии с идеальными стандартами или стандартами Международного общества автоматизации ПИД-регулятор имеет ПИД-алгоритм, работающий по следующему принципу:

Значение e(t) соответствует разнице между переменной процесса и заданным значением в любой момент времени.Формула PID весит:

  • Пропорциональный член с коэффициентом п.
  • Интегральный член с коэффициентом P/Ti
  • Производный член с коэффициентом PxTd

Где P — усиление контроллера, Ti — время интегрирования и Td — время производной.

Усиление определяется как процент, на который сигнал ошибки будет увеличиваться или уменьшаться при прохождении через контроллер. Значение коэффициента усиления имеет большое значение, и его правильная установка жизненно важна для уменьшения ошибок на выходе. Как правило, ПИД-регулятор с высоким коэффициентом усиления должен генерировать агрессивно правильный выходной сигнал.

Интегральное время относится к воображаемой последовательности событий, где ошибка начинается с нуля и достигает определенного значения. ПИД-регулятор с большим временем интегрирования более склонен к пропорциональному действию, чем к мгновенному действию.

Наконец, время производной показывает относительное влияние члена производной в формуле PID. Естественно, ID-регулятор с большим временем дифференцирования будет более склонен к производному действию, чем к пропорциональному действию.

Когда были введены первые контроллеры с обратной связью, они включали только пропорциональные члены, но когда был введен интегральный член, операторы заметили, что это сделало контроллер интеллектуальным при автоматическом устранении ошибок. Производный термин был введен через некоторое время и получил название «управление скоростью».

Основной целью ПИД-регулятора является предотвращение колебаний выходного сигнала при скорейшем устранении ошибок. Таким образом, настройка контура — это искусство, при котором значения P, Ti и Td должны быть тщательно подобраны.

Настройка ПИД-контуров непроста и требует таких методов, как Ziegler-Nicholas Open и Closed loop . Правила настройки меняются когда:

  • Производные/интегральные действия отключены.
  • Рассматриваемый процесс является колебательным.
  • Процесс содержит собственный интегральный член.

Другие методы, такие как правила настройки Коэна-Куна, также заняли свое место, уступив место саморегулирующимся процессам, управляемым микропроцессорами.Но, в конце концов, настройка петли становится больше искусством, требующим от инженера по управлению больше опыта, чем необработанных знаний.

Тем не менее, все современные системы управления технологическими процессами не могли бы существовать без ПИД-регуляторов, которые, несомненно, являются базой для всех технологий промышленной автоматизации.

Вам также может быть интересно прочитать:

Основы ПИД-регулирования (пропорциональное+интегральное+производное)

Функции ПИД-регулятора, присутствующие в контурах управления современных контроллеров, позволили нам добиться гораздо большей точности в наших коммерческих системах управления по привлекательной цене по сравнению с ценой, доступной всего несколько лет назад. назад.

При настройке контура ПИД-регулирования достижение правильной работы может быть затруднено из-за сложных параметров настройки и необходимости понимания последовательности их реализации. Надлежащее операционное управление может быть определено как «способность контролировать переменную в заданной заданной точке с приемлемой степенью точности». Это нелегкий подвиг из-за динамики системы управления. При неправильной настройке резкие изменения заданного значения или загрузки системы могут привести к колебаниям элементов управления системы или чрезмерной ошибке управления между заданным и фактическим контрольным значением.

Период цикла (колебания) – это время от пика до пика. Все контуры управления имеют тенденцию к колебаниям из-за встроенных временных констант компонентов системы управления и динамически изменяющихся переменных, таких как сдвиги уставок или изменения нагрузки. Типичные значения периода, встречающиеся в контурах системы управления, находятся в диапазоне от 30 секунд до двадцати минут. Все контуры можно заставить колебаться, установив слишком низкий диапазон дросселирования (слишком большое усиление контура). Колебания контура нежелательны в системах управления и легко устраняются увеличением полосы пропорциональности контура.

Обычно называется диапазоном регулирования (TR), полоса пропорциональности определяется как величина изменения регулируемой переменной, необходимая для управления выходным сигналом контура от 0 до 100 %.  Системы, подверженные резким изменениям нагрузки или заданного значения, обычно требуют более широкой полосы пропорциональности для достижения стабильности управления во время таких сбоев системы. Очень быстрое время отклика системы, такое как при регулировании статического давления, потребует гораздо более широких пропорциональных диапазонов, чтобы предотвратить «перерегулирование», наиболее распространенную причину колебаний.Коэффициент усиления контура обратно пропорционален диапазону дросселирования или зоне пропорциональности. Как правило, уменьшение диапазона дросселирования увеличивает величину перерегулирования. И наоборот, чем больше диапазон регулирования, тем медленнее будет реагировать контур.

Коэффициент усиления представляет собой отношение изменения выхода (%) к изменению измеряемой переменной (%), которое его вызвало.

 

                                                   Где PB — зона пропорциональности.

Пример:  Если PB равно 20 %, коэффициент усиления равен 5. 3 %-ное изменение сигнала ошибки (уставка-переменная процесса) приведет к 15-процентному изменению выходного сигнала контроллера из-за пропорционального действие. Если коэффициент усиления равен 2, то PB равен 50%.

Общей характеристикой пропорционального управления является ошибка между уставкой и контрольной точкой, которая называется смещением или статизмом. По мере увеличения нагрузки системы и/или полосы пропорциональности увеличивается и диапазон регулирования.Например, при 10-градусном диапазоне дросселирования и 100-процентном выходе контура фактическая контрольная точка будет смещена на 5 градусов от заданного значения. Смещение является нежелательной характеристикой только пропорциональных контуров управления, и его легко устранить, добавив интегральное действие.

Неотъемлемый компонент контура управления имеет эффект непрерывного увеличения или уменьшения выходного сигнала до тех пор, пока сохраняется какое-либо смещение или спад . Это действие перемещает контроллер в направлении, необходимом для устранения ошибки, вызванной смещением.

Интеграл, или сброс, регулирует выход контроллера в соответствии как с величиной отклонения от уставки, так и со временем, в течение которого оно длится.

Контроллер выполняет эту коррекцию, определяя величину ошибки, которая существует между фактическим значением регулируемой переменной и значением уставки контура, а затем действует так, как если бы он автоматически сбрасывал уставку на эту величину ошибки в течение заданного интервала времени. Интегральное действие иногда определяют как «повторения в минуту покоя в направлении заданного значения.”  Диапазон или корректировка обычно находится в диапазоне от 0,01 до 2,0 повторов в минуту. Интеграл работает, заставляя выходной сигнал контроллера перемещаться в направлении уставки на величину, равную разнице между выходным сигналом контура, когда уставка равна контрольной точке (допустим, 50%), и фактическим выходным сигналом контура, вызванным смещением.

Рассмотрим контур, который находится в заданном значении, когда его выход равен 50 %. Если смещение или ошибка приводят к тому, что выход контура составляет 20 % (пропорциональный член 30 %), интегральное значение, равное одному повтору в минуту, изменит выход контура на 30 % в минуту в направлении возврата контрольной точки к заданному значению. .Обратите внимание, что изменение выхода цикла происходит постепенно в течение минуты. (Величина этих приращений зависит от контроллера.) Если циклический блок имеет время обновления в пять секунд, изменение на 30 % в результате интегрального действия с одним повтором в минуту будет происходить за 12 шагов примерно по 2,5 % каждый.

Помните, что динамика системы будет меняться с каждым приращением интегрального действия. Контур может достичь заданного значения задолго до того, как будет достигнуто полное 30% интегральное изменение. Именно к этому относится термин «повторения в минуту», когда он используется в контексте интегрального действия.

Производное действие добавляет эффект дифференциала или скорости изменения ошибки . Это означает, что когда ошибка изменяется более чем на заданный процент в течение заданного периода времени, часть ошибки добавляется к вычисляемому выходному сигналу для повышения выходного отклика. Как правило, использование дифференциального воздействия эффективно только в том случае, если контур может очень быстро отреагировать на «всплеск» выходного сигнала.

Производное действие отслеживает, насколько быстро фактическое состояние приближается к желаемому состоянию, и производит управляющее действие на основе этой скорости.Это дополнительное действие предвосхищает сближение фактических и желаемых условий. По сути, он противодействует управляющему сигналу, создаваемому пропорциональными и интегральными элементами. Предполагаемый результат – уменьшение перерегулирования.

Как правило, контурное управление, с которым мы сталкиваемся в управлении HVAC, не требует использования производного управления. Трудно точно определить, как его настроить; неправильная настройка может принести больше вреда, чем пользы. Производное действие чаще используется в отрасли управления технологическими процессами, которая обычно включает оборудование с чрезвычайно малым временем отклика и большими перерегулированиями.

Для обзора, только пропорциональное управление не может удерживать процесс на точном заданном значении. Пропорциональное смещение всегда присутствует, потому что управляющий выход равен 0% при заданном значении. Любая нагрузка на систему приведет к смещению контрольной точки от уставки. Чем больше нагрузка на систему, тем дальше контрольная точка будет смещена от уставки и при максимальной нагрузке эта ошибка будет приближаться к диапазону регулирования. См. Рисунок 1 .

Рисунок 1.

Добавление интегрирования приводит к гораздо меньшей ошибке, чем только пропорциональное. См. Рисунок 2 .

Рисунок 2.

В пропорционально-интегральном управлении величина коррекции может стать слишком большой, если нагрузка системы превышает возможности оборудования. Когда приводимое в действие устройство (клапан или заслонка) полностью открыто или закрыто, а уставка все еще не может быть достигнута, ошибка интегрирования продолжает расти. Результат называется «интегральное завершение».”  Чрезвычайно важно правильно подобранное оборудование, чтобы избежать интегрального скручивания.

При правильной настройке функции ПИД в контурах управления современных контроллеров позволяют достичь высокой точности по очень доступной цене. Следующие рекомендации помогут вам преодолеть сложность параметров настройки ПИД-регулятора для достижения правильной работы.

 

Шаг 1 .            Перед стабилизацией контура путем увеличения диапазона регулирования (TR) измерьте период колебаний — время (в минутах) от одного пика до другого (один полный цикл).

 

Шаг 2 .             Затем добейтесь стабильности контура, используя только пропорциональное управление. Сделайте это, увеличивая значение атрибута TR до тех пор, пока управление контуром не станет стабильным без колебаний, а затем добавьте дополнительные 10%, чтобы избежать будущих колебаний. Не стесняйтесь увеличивать TR, если это необходимо, потому что некоторые петли, такие как смешанный воздух, могут потребовать TR 25 градусов или более для достижения стабильности. Если стабильность не может быть достигнута за счет увеличения TR, следует пересмотреть установку и конструкцию механической системы, поскольку добавление интегрального и/или производного воздействия к нестабильному контуру управления может вызвать только дальнейшую нестабильность.

 

Шаг 3 .             После достижения стабильной работы контура с использованием только пропорционального управления увеличьте значение атрибута TR на 20–30 %, чтобы подготовиться к добавлению интеграла.

 

Шаг 4 .             Используйте следующую формулу для расчета используемого интегрального значения. Это послужит хорошей отправной точкой для целостного действия:

                                                       

 

Шаг 5 .             Мониторинг контура управления для оценки реакции. Если отклик медленный при интегральном действии, немного увеличьте значение «I». Возможно, потребуется расстроить контур, чтобы получить хороший тест отклика контура. Для этого можно изменить уставку для имитации внезапного изменения нагрузки, а затем отследить время, необходимое для достижения новой уставки. Обычно не рекомендуется превышать 1,0 для интеграла, поэтому лучше начать со слишком малого, чем со слишком большого. Опыт показывает, что числа между 0,1 и 0.5 обычно эффективны в обеспечении «близкого» контроля.

 

Шаг 6 .             Как правило, контуры управления, используемые в отрасли HVAC, не требуют производных действий. Производное действие, как правило, не рекомендуется, потому что неправильное значение производной приведет к худшему контролю, чем полное отсутствие. Опыт показывает, что пропорциональное и интегральное управление может обеспечить точность. Если требуется производная, используйте следующую формулу для определения значения производной:

          

                                 

Многие системы DDC предлагают функцию автоматической самонастройки контура, которая устраняет необходимость замерять период контура, вычислять правильное интегральное значение и выбирать правильную зону пропорциональности. Хотя самонастраивающиеся контуры представляют собой идеальное решение для достижения хорошего контроля и экономии времени, следует соблюдать осторожность при использовании функции самонастраивающихся контуров, особенно в более сложных стратегиях управления.

Например, использование контуров самонастройки в системах, требующих последовательного включения двух или более регулирующих клапанов и/или заслонок, может непреднамеренно привести к перекрытию, которое одновременно включает обогрев и охлаждение. Это может произойти, когда самонастраивающийся контур приводит к чрезмерно широкому диапазону регулирования, эффективно уменьшая или устраняя предполагаемое расстояние между нагревательными и охлаждающими устройствами.Еще одно предостережение: никогда не используйте функцию самонастройки контура для настройки контура, используемого для последовательного управления двумя двухпозиционными нагревательными или охлаждающими устройствами. Такая стратегия управления обычно зависит от конкретного значения диапазона регулирования, необходимого для получения желаемых результатов секвенирования.

Контуры самонастройки имеют тенденцию повышать параметры ПИД-регулятора (диапазон регулирования, интеграл и производная) с относительно высокой скоростью в попытке добиться стабильной работы. Если какое-либо из этих значений по какой-либо причине выходит за пределы нормы, алгоритму обычно требуется гораздо больше времени, чтобы вернуть их к более реалистичным значениям.При использовании функции самонастройки контура следите за производительностью системы достаточно долго, чтобы убедиться, что вся система управления работает правильно и функционирует как система. После того, как значения самонастройки ПИД-регулятора стабилизируются, а работа системы будет проверена на предмет правильного и стабильного управления, функцию самонастройки можно отключить, чтобы предотвратить изменение параметров ПИД-регулятора в будущем из-за неожиданных системных помех.

Основные принципы ПИД-регулирования и самонастраивающихся ПИД-контуров одинаковы для всех систем управления DDC.Однако конкретные детали и конструкция алгоритма могут варьироваться от одного производителя к другому.

ПИД-регулятор

представляет собой значительный шаг вперед в индустрии управления. Это очень эффективная техника для обеспечения точного контроля. Хотя ПИД-регулирование является относительно сложной функцией, инженеры по управлению и техники обнаружат, что хорошо спроектированные продукты также делают его удобным для пользователя.

Важно понимать, что ПИД-регулирование может сделать для вашей работы, и научиться настраивать эффективный контур ПИД-регулирования.В то время как неправильная настройка может привести к ненужным обратным вызовам, правильно настроенный контур ПИД-регулирования доставит удовлетворение.

Интегральная производная дебита – обзор

11.5.1 Типичные ошибки при построении кривых типа Блейсингейма

Как описано в главе 1, Феткович (1980) ввел уравнение нестационарного потока в анализе ГДИС для анализа падения и применил тип Арпса кривая к переходному периоду потока перед потоком с преобладанием границы. Кроме того, Феткович объединил кривую падения добычи и уравнение падения скорости Арпса, чтобы интуитивно показать закономерность падения добычи и граничный эффект. Наконец, Феткович разработал набор относительно полных методов сопоставления кривых снижения добычи по логарифмическим и каротажным диаграммам, подобных тем, которые используются для анализа испытаний скважин. Наибольшее преимущество этих методов заключается в том, что они позволяют надежно определить, находится ли добыча в переходном периоде притока или в периоде притока с преобладанием границы. И метод Арпса, и метод Фетковича предполагают постоянную BHFP в добыче и в основном анализируют данные о дебите без учета изменения давления-объема-температуры (PVT) в зависимости от давления.Palacio и Blasingame (1993) ввели добычу, нормализованную по псевдодавлению, и псевдовремя материального баланса для построения кривой типа падения добычи, которая учитывает добычу при переменной BHFP и изменение PVT в зависимости от пластового давления. Этот метод также вводит кривые интеграла скорости и производной интеграла скорости в качестве вспомогательной кривой согласования, чтобы уменьшить неоднозначность результатов интерпретации.

Несмотря на то, что усовершенствованный метод анализа падения добычи, представленный Блазингеймом, разрабатывался в течение 20 лет, некоторые исследователи путаются с понятиями псевдовремени материального баланса Блазингейма и безразмерного времени Фетковича, что приводит к ошибке типовой кривой.В этом разделе мы берем в качестве примера замкнутый круговой однородный коллектор, анализируем причины ошибок и представляем решения в пространстве доменов Лапласа и кривые падения моделей продуктивности для закрытого кругового однородного коллектора, коллектора с двойной пористостью и коллектора с тройной пористостью.

Внедряя концепцию времени материального баланса, Blasingame устанавливает мост между производством с постоянным давлением и производством с постоянной производительностью. После того, как добыча вступает в период доминирования граничного притока, будь то добыча при постоянном давлении или постоянном дебите, безразмерная кривая скорости падения q Dd должна быть кривой гармонического падения, то есть наклоном «–1». прямой линией, как показано на рисунке 11.14 (подробности см. в главе 4).

Рисунок 11.14. q D , 1/ p D vs. (в этой книге в качестве примера мы берем модель замкнутого кругового однородного резервуара). После вступления в гранично-доминантный период наклон безразмерной кривой типа дебита q Dd усугубляется, кривые безразмерного интеграла дебита q Ddi и безразмерной производной интеграла дебита q Ddid приобретают вид “ –1” с наклоном прямой линии и демонстрируют характеристику гармонического спада.

Рисунок 11.15. Ошибка Кривые типа Блейсингейма замкнутого кругового однородного пласта

Есть еще много вопросов. Например, как создается рисунок 11.15? Почему кривые наклона безразмерного интеграла скоростей q Ddi и производной безразмерного интеграла скоростей q Ddid равны «–1»?

Красная линия на рисунке 11. 15 представляет кривую зависимости безразмерной скорости снижения q Dd и безразмерного времени t Dd .При построении модели BHFP принят за константу, которая по существу представляет собой кривую безразмерного дебита Фетковича q Dd скважины в центре замкнутого кругового однородного пласта. Решение в пространстве областей Лапласа q Dd (подробности см. в главе 3) равно I0(σ)K0(σ)I0(σ)+K1(reDσ)I1(reDσ)

где

α=112reD2−1lnreD−12  β=lnreD−12  σ=αs

расход в гранично-доминантный период добычи постоянного напора соответствует экспоненциальной закономерности падения.Следовательно, красная линия на рисунке 11.15 действительно представляет собой группу кривых экспоненциального снижения. Эта типовая кривая по существу представляет собой кривую Паласио-Блазингейма. Кроме того, после входа в период течения с преобладанием границ течение соответствует закономерности экспоненциального снижения, как показано на рисунке 11. 16.

Рисунок 11.16. Кривые типа Паласио-Блазингейма для замкнутого кругового однородного коллектора с преобладанием границы периода

На рисунке 11.15 безразмерный интеграл скорости q Ddi и безразмерная производная интеграла скорости q Ddid заимствуют определения метода Блейсингейма. , где

(11.174)qDdi=1tDd∫0tDdqDd(τ)dτ

(11.175)qDdid=-dqDdidlntDd=-tDddqDdidtDd

Таким образом, рисунок 11.15 по существу представляет собой кривую типа Фетковича. После входа в период преобладания граничного стока он вынужден подчиняться закономерности экспоненциального снижения. В результате эту типовую кривую можно использовать только для анализа данных добычи при постоянном давлении.

Как указано в главе 2, для экспоненциального спада типа мы имеем

(11,176)qDdi=1-e-tDdtDd=1-qDdtDd

(11.177) QDDID = 1-E-TDDTDDD-QDD = 1-QDDDDDD-QDD

на основе рисунка 11.15, когда T DD > 4 и Q DD <0,01, Q DD незначительный. У нас

(11.178) qddi ≈1tdd

(11.179) qddid ≈1tdd

, следовательно, безразмерная скорость интеграла q DDI и безразмерная скорость интеграл производной Q DDID – «-1» прямая линия наклона на логарифмическом графике.

Важно отметить, что мы никогда не должны путать наклон «–1» кривых безразмерного интеграла скорости q Ddi и производной безразмерного интеграла скорости q Ddid на рисунке 11.15 с наклоном «–1» (гармонический спад) Безразмерная кривая Blasingame rate q Dd .

Пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы – MATLAB & Simulink

Пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы

Вы можете представлять ПИД-регуляторы с помощью специализированных объектов модели pid и pidstd .В этой теме описывается представление ПИД-регуляторов в MATLAB ® . Для получения информации об автоматической настройке ПИД-регулятора см. Настройка ПИД-регулятора.

Представления ПИД-регулятора с непрерывным временем

Вы можете представлять пропорционально-интегрально-производную с непрерывным временем (ПИД) регуляторы в параллельной или стандартной форме. Две формы отличаются параметрами, используемыми для выражения пропорциональных, интегральных, и производные действия и фильтр по производному члену, как показано в следующей таблице.

Форма Формула
Параллельный ( pid

1 объект)

где:

Стандарт ( pidstd объект)

где:

Используйте форму контроллера, удобную для вашего приложения. Например, если вы хотите выразить интегратор и производную действия в терминах постоянных времени, используйте стандартную форму.

Для получения информации о представлении ПИД-регуляторов в дискретном времени см. Пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы с дискретным временем.

Создание ПИД-регулятора параллельной формы с непрерывным временем

В этом примере показано, как создать Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор в параллельной форме с использованием pid .

Создайте следующий параллельный ПИД-регулятор: C=29,5+26,2с-4,3с0,06с+1.

 Кр = 29.5;
Ки = 26,2;
Кд = 4,3;
Тф = 0,06;
C = pid(Kp,Ki,Kd,Tf) 

C — это объект модели pid , который является контейнером данных для представляющие ПИД-регуляторы параллельной формы. Для получения дополнительных примеров того, как создать PID контроллеры, см. справочную страницу pid .

Создать ПИД-регулятор стандартной формы с непрерывным временем

В этом примере показано, как создать непрерывный Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор в стандартной форме с использованием pidstd .

Создайте следующий стандартный ПИД-регулятор: C=29,5(1+11,13 с+0,15 с0,152,3 с+1).

 Кр = 29,5;
Ti = 1,13;
Тд = 0,15;
N = 2,3;
C = pidstd(Kp,Ti,Td,N) 

C — это объект модели pidstd , который является контейнером данных для представляющие ПИД-регуляторы стандартной формы. Дополнительные примеры создания стандартные ПИД-регуляторы, см. справочную страницу pidstd .

См. также

pid | pidstd | подстройка | pidTuner

Связанные примеры

Подробнее о

Почему производная ответа на интеграл равна основной функции, от которой мы хотим взять интеграл? Я ищу концепцию.

Для этого объяснения я предполагаю, что мы не интегрируем и не дифференцируем постоянные функции.

 

Когда мы берем производную функции, мы вычисляем значение наклона этой функции и смотрим, как оно изменяется по отношению к переменной. Используя эти значения, мы создаем график новой функции, значения которого отражают значения наклона функции, от которой мы взяли производную. т. е. глядя на то, как наклон функции изменяется по отношению к переменной.

 

Если мы посмотрим на определенную точку на графике, мы сможем определить конкретное значение этой функции. То, как эти значения изменяются по отношению к переменной, является определением наклона.

 

Когда мы берем интеграл функции, мы смотрим на сложение площади под кривой функции. Эта область дает нам диапазон значений, которые, если мы построим график, дадут нам другую функцию. Помните, как значения этой новой функции изменяются по отношению к переменной, и есть определение наклона!

 

Таким образом, если я возьму интеграл одной функции, я могу построить график полученных значений и построить график другой функции.Эта новая функция будет иметь наклоны, связанные с диапазоном значений, полученных областью под кривой. Теперь, взяв производную от этой новой функции, то есть посмотрев, как значение наклона изменяется по отношению к переменной, мы получим исходную функцию, которую мы сначала проинтегрировали.

 

Пример:

 

Проще всего это увидеть, рассмотрев функции sin θ и cos θ. Это легко увидеть, если вы выстроите функцию cos θ непосредственно под функцией sin θ.

 

 

 

Взяв интеграл от cos θ, мы находим значение функции sin θ в разных точках графика относительно θ. То есть, когда мы суммируем площадь под функцией cos θ от 0 до pi/2, мы получаем число, отражающее наибольшее положительное значение функции sin θ. Если затем мы продолжим складывать площадь под кривой cos θ от 0 до pi, мы получим число, представляющее значение функции sin θ. В данном конкретном случае значение равно нулю, поскольку площадь cos θ от 0 до pi/2 является положительной величиной, а от pi/2 до pi — той же величиной, но отрицательной.Складывание этих значений компенсирует друг друга и дает нам нулевое значение.

 

И наоборот, взяв производную функции sin θ, мы получим функцию cos θ, которая говорит нам, как наклон функции sin θ изменяется в зависимости от θ. Когда функция sin θ имеет наибольшее положительное значение, функция cos θ имеет нулевое значение. Это связано с тем, что наклон sin θ в точке pi/2 выравнивается и, следовательно, имеет нулевое значение. Когда функция sin θ имеет наклон, значение которого отражает ее наибольший отрицательный наклон, значение функции cos θ имеет наибольшее отрицательное значение.И так далее.

 

 

Надеюсь, это поможет!

Мэтуэй | Популярные проблемы

1 Найдите производную - d/dx натуральное бревно х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найдите производную - d/dx е^х
4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x
5 Найдите производную - d/dx 1/х
6 Найдите производную - d/dx х^2
7 Найдите производную - d/dx 1/(х^2)
8 Найдите производную - d/dx грех(х)^2
9 Найдите производную - d/dx сек(х)
10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x
11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x
12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x
13 Найдите производную - d/dx кос(х)^2
14 Оценить интеграл интеграл от 1/x относительно x
15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x
16 Найдите производную - d/dx х^3
17 Найдите производную - d/dx сек(х)^2
18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x
19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x
20 Найдите производную - d/dx е^(х^2)
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найдите производную - d/dx грех(2x)
23 Найдите производную - d/dx загар(х)^2
24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x
25 Найдите производную - d/dx 2^х
26 График натуральное бревно
27 Найдите производную - d/dx cos(2x)
28 Найдите производную - d/dx хе^х
29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х
30 Найдите производную - d/dx (натуральный логарифм x)^2
31 Найдите производную - d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Найдите производную - d/dx 3x^2
33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x
34 Найдите производную - d/dx 2е^х
35 Найдите производную - d/dx натуральное бревно 2x
36 Найдите производную - d/dx -грех(х)
37 Найдите производную - d/dx 4x^2-x+5
38 Найдите производную - d/dx y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4
39 Найдите производную - d/dx 2x^2
40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x
42 Найдите производную - d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x
44 Оценить e^бесконечность
45 Найдите производную - d/dx х/2
46 Найдите производную - d/dx -cos(x)
47 Найдите производную - d/dx грех(3x)
48 Найдите производную - d/dx 1/(х^3)
49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 по x
50 Оценить интеграл интеграл от 1 по x
51 Найдите производную - d/dx х^х
52 Найдите производную - d/dx х натуральное бревно х
53 Найдите производную - d/dx х^4
54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3)
55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x
56 Найдите производную - d/dx f(x) = квадратный корень из x
57 Найдите производную - d/dx х^2sin(x)
58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x
59 Найдите производную - d/dx 3е^х
60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x
61 Найдите производную - d/dx у=х^2
62 Найдите производную - d/dx квадратный корень из x^2+1
63 Найдите производную - d/dx грех(х^2)
64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x
65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х
66 Найдите производную - d/dx е^2
67 Найдите производную - d/dx х^2+1
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найдите производную - d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x
71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x
72 Найдите производную - d/dx х^5
73 Найдите производную - d/dx 2/х
74 Найдите производную - d/dx натуральное бревно 3x
75 Найдите производную - d/dx х^(1/2)
76 Найдите производную - d/[email protected] f(x) = квадратный корень из x
77 Найдите производную - d/dx потому что (х^2)
78 Найдите производную - d/dx 1/(х^5)
79 Найдите производную - d/dx кубический корень из x^2
80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x
81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x
82 Найдите производную - d/[email protected] е(х)=х^3
83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x
84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по x
85 Найдите производную - d/dx лог х
86 Найдите производную - d/dx арктан(х)
87 Найдите производную - d/dx натуральное бревно 5x
88 Найдите производную - d/dx 5е^х
89 Найдите производную - d/dx cos(3x)
90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x
91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x
92 Найдите производную - d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
93 Найдите производную - d/dx х/(е^х)
94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x)
95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96 Найдите производную - d/dx 3^х
97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x
98 Найдите производную - d/dx 2sin(x)
99 Оценить сек(0)^2
100 Найдите производную - d/dx натуральный логарифм x^2

Пропорциональные, интегральные и производные | УЧИТЬ.

PARALLAX.COM

Контур ПИД-регулирования включает некоторые вклады каждого из трех видов управления: пропорционального, интегрального и дифференциального. Величину вклада каждого элемента управления можно регулировать, изменяя их константы пропорциональности Kp, Ki и Kd. Увеличивая или уменьшая эти константы, вы можете сделать вклад одного из элементов управления более доминирующим или менее заметным в системе. Одной системе может потребоваться только легкое интегральное управление, некоторое пропорциональное и сильное производное, в то время как другой системе может потребоваться сильное интегральное и пропорциональное управление, но не большое производное, в то время как третьей системе могут потребоваться примерно равные меры каждого из них.

Вот несколько важных моментов, о которых следует помнить при работе с контурами ПИД-регулирования:

  • Ошибка — это разница между желаемым уровнем и уровнем, который измеряется, и контуры регулирования работают для исправления ошибки.
  • Пропорциональное управление предотвращает ошибку, применяя противоположное влияние, пропорциональное ошибке.
  • Интегральное управление обнаруживает и корректирует тенденции ошибок с течением времени.
  • Производное управление обнаруживает резкие изменения в системе и противодействует им.

Следующий пример программы будет выполнять этот контур ПИД-регулирования. Чтобы упростить сравнение, Kp, Ki и Kd установлены равными 10.

Пример программы — PidAlgorithm.bs2

Имейте в виду, что пропорциональность всегда работает, когда есть какая-то ошибка. Однако интеграл и производная готовы выполнить дополнительную работу по исправлению ошибки, интеграл — по исправлению трендов, а производная — по исправлению резких изменений.

  • Введите, сохраните и запустите PidAlgorithm.бс2.
  • Вот ряд входных сигналов датчика, которые интегральное управление обнаружит как тенденцию и будет сопротивляться гораздо сильнее, чем пропорциональное или производное: 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
  • Вот ряд датчиков измерения, которые производная будет трудно исправить, в то время как пропорциональные и интегральные не делают почти столько же: 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 5 -5 4 -4
 'PidAlgorithm. bs2
' Демонстрирует, как сочетание пропорциональных, интегральных и
' дифференциальное управление влияет на коррекцию ошибок в контуре обратной связи.' {$ШТАМП БС2}
' {$PBASIC 2.5}
 
SetPoint CON 0 ' Уставка
Kp CON 10 ' Константа пропорциональности
Ki CON 10 ' Интегральная постоянная
Kd CON 10 ' Производная константа
 
Current CON 0 ' Индекс массива - текущая ошибка
Accumulator CON 1 ' Индекс массива - накопленная ошибка
Предыдущий CON 2 ' Индекс массива - предыдущая ошибка
Delta CON 3 ' Индекс массива - изменение по ошибке
 
SensorInput VAR Word ' Входная переменная датчика
error VAR Word(4) ' Четыре разных типа ошибок
p VAR Word ' Пропорциональный член
i VAR Word ' Интегральный член
d VAR Word ' Производный термин
диск VAR Word ' Выход
 
ДЕЛАТЬ
 
  DEBUG "Введите входное значение датчика: "
  Датчик DEBUGIN SDECВход
 
  'Ошибка расчета.error(Current) = SetPoint - sensorInput
 
  ' Рассчитать пропорциональный член.
  p = Kp * ошибка (текущая)
 
  ' Вычислить интегральный член.
  ошибка (накопитель) = ошибка (накопитель) + ошибка (текущая)
  i = Ki * ошибка (аккумулятор)
 
  ' Вычислить производный член. 
  ошибка(Дельта) = ошибка(Текущая) - ошибка(Предыдущая)
  d = Kd * ошибка (дельта)
 
  'Рассчитать выход.
  диск = р + я + д
 
  ' Отображение значений.
  ОТЛАДКА CR, CR, "ОШИБКА", CR,
        СДЭК? Уставка, SDEC? вход датчика, SDEC ? ошибка (текущая), CR,
        "ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ", ЧР,
        СДЭК? КП, СДЭК? ошибка (текущая), SDEC ? р, кр,
        "ИНТЕГРАЛ", ЧР,
        СДЭК? Ки, СДЭК? ошибка(аккумулятор), SDEC ? я, ЧР,
        "ПРОИЗВОДНАЯ", ЧР,
        СДЭК? Кд, СДЭК? ошибка(Дельта), SDEC ? д, кр,
        "ВЫХОД", КР,
        СДЭК? р, СДЭК? я, СДЭК? д, СДЭК? драйв, кр, кр
 
  ' Сохранить текущую ошибку как предыдущую перед следующей итерацией.ошибка (предыдущая) = ошибка (текущая)
 
петля 

 

Предположим, что входные данные вашего датчика будут находиться в диапазоне от -10 до 10. Отрегулируйте константы ( Kp, Ki и Kd ) так, чтобы максимальный вклад любого элемента управления в выходной сигнал находился в диапазоне от 650 до 850. Чтобы получить интегрального управления, чтобы придерживаться этого требования, вам также придется использовать операторы MIN и MAX.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.