Путь в физике формула: Формула скорости пути времени и их единицы измерения

Траектория, путь, время. Единицы пути и времени

Для решения научных и практических задач необходимо уметь описывать механическое движение тела или его частей, определять характеристики движения и устанавливать связи между ними.

Какими физическими величинами описывается механическое движение?

Траектория

Проведите мелом по доске. Мел при движении описывает линию, которая хорошо видна на доске. В голубом небе часто отчетливо видны белые следы позади летящих самолетов. Быстро мчащийся катер оставляет на поверхности воды пенистую дорожку.

Линия, которую описывает тело при своем движении, называется траекторией.

Мы привели примеры движений, когда траектория – видимая линия. Но чаще всего она невидима. Однако траекторию всегда можно изобразить, если отметить точками положения движущегося тела в различные моменты времени, а затем соединить эти точки. Несложно, например, представить траекторию летящего ядра.

Если траектория движения – прямая линия, движение называется прямолинейным. Например, такова траектория падающего с дерева яблока. Если же траектория – кривая линия, то движение называется криволинейным.

Длина той части траектории, которую описывает тело за данный промежуток времени, называется путем, пройденным телом за этот промежуток времени.

Путь

Обозначается путь обычно буквой s. Путь – это физическая величина. Его можно измерить или вычислить по формуле. Единицей пути в СИ является 1 метр (1 м). На практике путь часто измеряют в кратных единицах – километрах – или в дольных – сантиметрах, миллиметрах, микрометрах.

Время

А что такое промежуток времени? Допустим, вы отправляетесь в путешествие на поезде «Минск – Москва». Поставим вопрос: за какой промежуток времени поезд пройдет путь s = 212 км от Минска до Орши? Ответить на этот вопрос очень легко. Во-первых, нужно знать момент времени, когда поезд отправляется из Минска. Обозначим его буквой t с индексом 1, т. е. t₁. Во-вторых, нужно знать момент времени, когда поезд прибывает в Оршу. Обозначим его t₂. Промежуток времени, за который поезд проходит путь от Минска до Орши, равен:

Δt = t₂ − t₁

(Δ – греч. «дельта» – знак, обозначающий в математике и физике изменение величины, т. е. разность ее конечного и начального значений). Так, если в нашем примере t₁ = 20 ч 10 мин, t₂ = 23 ч 15 мин,то Δt = 3 ч 5 мин.

Для краткости вместо «промежуток времени» будем говорить «время».

Единицей времени в СИ является 1 секунда (1 с). Иногда удобнее использовать кратные единицы времени: минуту (мин) и час (ч). Существуют и такие единицы времени, как сутки (сут), год. Вы, конечно, знаете, что одни сутки равны 24 ч, 1 год равен 365 (366) сут.

Для измерения времени служат различные приборы, например метроном, часы, секундомер.

Для практических целей полезно научиться отсчитывать про себя секунды, произнося числа через равные интервалы времени.

При прохождении лечебных процедур иногда необходимо фиксировать определенный промежуток времени, например 1 мин или 5 мин. В таких случаях удобно использовать песочные часы.

Для измерения пройденного пути в автомобилях имеется специальный прибор – одометр (от греч. «дорога» и «мера»). Одометр включает:

• датчик, фиксирующий обороты колеса;
• счетчик, подсчитывающий обороты;
• индикатор, фиксирующий путь, который проехал автомобиль.

Главные выводы:

1. Траектория – линия, которую описывает тело при своем движении.
2. Если траектория – прямая линия, то движение называется прямолинейным, если траектория – кривая линия, то движение криволинейное.
3. Путь – длина той части траектории, которую описывает тело за данный промежуток времени.

Читать далее

← Механическое движение. Относительность покоя и движения

Равномерное движение. Скорость. Единицы скорости →

1. Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости.

Простейшей, предельно абстрактной идеализацией движущегося тела в механике явля­ется материальная точка – тело, размерами и формой которого в условиях соответствующей конкретной задачи можно пренебречь

.

Относительный характер механического движения предполагает и требует введения систем отсчёта при его описании. Под системой отсчёта понимают систему координат (обычно декартову), начало которой связывается с некоторым телом отсчёта. Предполагается также наличие в системе отсчета линеек и часов, то есть инструментов для отсчета пространственных и временных интервалов (длин и длительностей). Исходная кинематическая определённость точечного тела – его поло­жение – задаётся с помощью радиус-вектора r, проводимого из начала системы координат в движущееся тело (точку

), или скалярно с помощью координат точки х, у, z. Векторный(Символы векторных величин обозначаются в данном тексте жирным шрифтом.) и скалярный способы задания положения тела взаимосвязаны:

r

= iх + kу + jz, где х, у, z – проекции точки (конца радиус – вектора r) на соответствующие оси координат, а i,k, j – орты (единичные векторы) осей Х, Y, Z.

При движении тела конец его радиус – вектора описывает линию, называемую траек­торией

(линия, вдоль которой движется тело). Уравнение траектории движения точки пред­ставляет взаимосвязь ее координат и для плос­кого (двумерного) движения обычно выражается зависимостью у =  (х).

Изменение местоположения тела за время t задаётся или вектором перемещения r, проводимым из начального в конечное местоположение тела, или скаляром – путем S, – расстоянием, отсчитываемым вдоль траектории тела в направлении его перемещения.

Из чертежа видно, что r = r – r_о, т. е. вектор перемещения 

r, представляет собой приращение радиус – вектора r тела (разность между ко­нечным и начальным значениями r).

Обычно модуль перемещения r меньше пройденного точкой пути S. Однако при t  0, r  dr и модуль |dr| элементарного (физически бесконечно малого) перемещения dr стремится к длине дуги, то есть к пути dS (длина дуги dS траекто­рии сравнивается с длиной dr секущей).

Быстрота движения, т. е. быстрота изменения местоположения тела, быстрота прохождения им пути или совершения перемещения характеризуется, величиной, называемой скоростью. Различают среднюю и мгновенную

скорости, которые, в свою очередь, подразделяют на скалярные (выражаемые через путь) и векторные скорости, выражаемые через перемещение.

П

одсредней путевой скоростью  понимают

величину, из­меряемую отношением всего пройденного телом пути S ко времени t его прохождения

:

 = S/t, [] = м/с.

Под мгновенной скоростью  понимают предел средней скоро­сти при стягивании интервала времени( Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю. ) t в момент, в мгновение (при t = t  0), то есть

 = lim S/t = dS/dt = S^.

С формальной стороны мгновенная путевая скорость  = dS/dt представляет собой производную от пути по времени. В физике ее допускается трактовать как отношение элементарных (физически бесконечно малых) приращений пути dS и времени dt.

Мгновенная векторная скорость  понимается как предел отношения совершённого телом перемещения r ко времени t его совершения, при условии, что t  0:

 = lim r/t = dr/dt = r^ – производная от радиус – вектора по времени, которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения dr и времени dt.

Так же, как и радиус – вектор r, мгновенная векторная скорость  может быть записана через проекции на оси координат:

 = dr/dt = d/dt(iх + jу + kz) = idх/dt + jdу/dt + kdz/dt = i_х + j_у + k_z

Численное значение (модуль) скорости равно:  = (_х² + _у² + _z²). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элемен­тарного перемещения d

r, направленного по вектору касательной  траектории в сторону перемещения тела:

 = dr/dt    dr; dr = lim r при t  0.

 = , где  – единичный вектор ( = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.

Мгно­венная путевая скорость  = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости  = dr/dt, так как при t  0 (при t = dt) длина дуги dS траекто­рии стремится к длине dr секущей.

Сколько существует способов сделать черную дыру? · Frontiers for Young Minds

Abstract

Гравитация – это универсальная сила притяжения, которая пытается заставить материю слипаться. Это означает, что в различных физических системах, от звезд в конце своей жизни, сжигающих ядерное топливо, до газовых облаков, схлопывающихся под тяжестью собственной гравитации, естественной конечной точкой может быть образование черной дыры. Это объект, материя которого упакована настолько плотно, что даже свет не может избежать гравитационного притяжения на его поверхности или горизонте событий. Черные дыры одновременно и обыденны — в центре нашей галактики Млечный Путь находится гигантская черная дыра! — и загадочны. В этой статье мы обсуждаем современные представления об одной из загадок черных дыр — как можно объяснить количество различных (но похожих) физических состояний, которые они скрывают за своим горизонтом событий. Физики называют это энтропией черной дыры.

1. Что такое энтропия?

энтропия в физической системе является мерой степени беспорядочности или произвольности, характеризующей систему. Системы в очень особых состояниях — почти любой кусок обычной материи при очень низких температурах или, например, очень чистая спальня — имеют низкую энтропию. В обоих случаях это происходит потому, что у составляющих системы нет выбора, где им быть. При низкой температуре в куске материала каждый атом находится в месте, которое минимизирует энергию системы. В очень чистой комнате каждый предмет одежды сложен и сложен в ящик. Напротив, материя при высокой температуре или в грязной комнате имеет высокую энтропию. Атомы могут летать во все стороны в горячей материи. В грязной спальне рубашки и шорты могут быть разбросаны по комнате волей-неволей. Энтропия системы определяется как логарифм числа возможных конфигураций ее составляющих (атомы вместо материи, рубашки и шорты вместо грязной комнаты), которые для случайного наблюдателя выглядели бы примерно одинаково.

Для обычных объектов, таких как столы, комнаты или свинцовые плиты, неудивительно, что можно связать систему с энтропией. Мы знаем, из чего состоят эти системы и как считать конфигурации составляющих их частей. К большому удивлению физиков-теоретиков в начале 1970-х годов было обнаружено, что к этому списку банальных систем с энтропией можно добавить черные дыры.

2. Черные дыры и взгляд Бекенштейна

Что такое черная дыра? Представьте, что вы берете кусок материи с некоторой фиксированной массой 9.0017 M и раздавить его. Теория гравитации Эйнштейна утверждает, что если вы втиснете его в достаточно маленькую область пространства — с размером, известным как радиус Шварцшильда, R _S ( M ), — объект станет качественно новым видом зверя, черная дыра. Черная дыра — это сгусток материи настолько плотный, что даже свет не может покинуть ее поверхность, или горизонт событий . Поэтому его внутренняя работа остается загадкой для внешнего мира, в том числе и для нас! Если вы хотите более подробно узнать, что значит «достаточно маленький регион», то можно сказать

RS(M)=2GMc2,

, где G — гравитационная постоянная, а c — скорость света. Ничего страшного, если вы не будете следить за деталями уравнения; Суть в том, что если вы поместите массу M или больше в сферу радиусом меньше R _S ( M ), то вуаля — она станет черной дырой.

Мы говорим о действительно плотной материи. Например, чтобы сжать Землю до размера, необходимого для образования черной дыры, вам придется уменьшить ее радиус с сегодняшних 4000 миль до примерно 9мм! К счастью, природа предоставила нам реальные примеры черных дыр, поэтому нам не нужно выполнять работу по их созданию. На самом деле, теперь вы даже можете увидеть черную дыру, а точнее ее окрестности. Впечатляющее изображение черной дыры, находящейся в галактике M87 — огромной черной дыры, вес которой почти в 7 миллиардов раз больше нашего Солнца — было недавно получено коллаборацией Event Horizon Telescope [1]!

Будучи аспирантом Принстона в 1970-х годах, Джейкоб Бекенштейн задумался над следующим загадочным вопросом. Наблюдатель за пределами черной дыры может видеть только горизонт событий — внутренняя часть скрыта. Физические свойства горизонта событий полностью характеризуют всего несколько чисел: в простейшем случае масса M черной дыры.

Но, подумал Бекенштейн, не мог ли я образовать черную дыру массой M многими различными способами? Я мог бы сформировать его, добавив много слонов или, наоборот, много вомбатов. Что случилось с информацией о том, как образовалась черная дыра? У черной дыры должна быть энтропия!

Работа Бекенштейна — а позже более точная работа Бардина, Картера и Хокинга — позволила вне всякого разумного сомнения доказать, что черные дыры действительно обладают энтропией. И они смогли вывести формулу зависимости энтропии черной дыры от ее массы9.0017 S ( M ) [2]. Но точная природа физических состояний, которые могли объяснить S ( M ), оставалась загадочной.

3. Считаем с Харди и Рамануджаном

Ненадолго сменим тему, на другую пару героев. Одна из самых драматических историй в математике 20-го века — история Харди и Рамануджана [3]. Рамануджан, самоучка в области высшей математики, работавший днем ​​клерком в порту Мадраса, а по ночам занимавшийся математическими исследованиями, разослал письма с описанием своих результатов нескольким известным математикам. В конце концов на его письма ответил видный теоретик чисел из Кембриджского университета Г. Харди, который сказал о формулах, включенных Рамануджаном в письма:

Одного взгляда на них достаточно, чтобы понять, что написать их мог только математик высочайшего класса. Они должны быть истинными, потому что, если бы они не были истинными, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать .

На основании этих формул Харди привел Рамануджана в Кембридж, где они участвовали в одном из самых известных совместных проектов в истории математики.

Один из их центральных результатов легко объясним: предположим, у вас есть 5 апельсинов, и вы хотите разделить их между разными друзьями. Сколькими способами вы могли бы их разделить? Хорошо:

5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1

Итак, мы видим, что их 7 способы деления 5 апельсинов: на одну группу по 5, на две группы по 4 и 1 и т.д. Мы говорим, что количество разделов 5 равно 7. Если мы напишем функцию, которая сопоставляет каждому целому числу количество разделов p ( n ), то мы можем переписать это как

p(5) =7.

Для небольших чисел ( n ), таких как 3, 4 или 5, вычисление p ( n ) легко. А как насчет р (100)? Если вы начнете пытаться в этом разобраться, то увидите, что номера разделов быстро растут из-под контроля! Как нам их определить?

Харди и Рамануджан преуспели в этом, разработав остроумный прием под названием «метод круга». Они придумали формулу, которая позволила им грубо определить p ( n ) и, используя эту формулу, можно было построить график, подобный тому, что показан на рисунке 1. На оси абсцисс имеем n , а по оси ординат мы имеем точность их оценки для p ( n ). (Разделения имеют смысл только для целых чисел n , но их формула дает ответ — и может быть построена — для всех значений n .)

• Рисунок 1 – График точности оценки Харди-Рамануджана для p ( n ) по сравнению с n для значений n до 100.
• Метка на оси y показывает дробную ошибку оценки (поэтому значение y 0,05 близко к x = 100 означает, что формула получает p (100) с точностью около 5 %. Изображение предоставлено Джоном Д. Куком.

4. Что насчет черных дыр?

Мы начали с черных дыр, а затем перешли к разбиениям положительных целых чисел. Как связаны эти две проблемы?

Чтобы объединить эти два предмета, нам сначала нужно поговорить о третьем предмете, называемом теорией струн. Теория струн — одна из теорий, которую ученые используют для описания мельчайших вещей — даже меньше атомов, — из которых состоит Вселенная. В теории струн эти фундаментальные объекты представляют собой (крошечные) петли струны. Самое низкое энергетическое состояние крошечной петли струны было бы совершенной неподвижностью. Вы также можете добавить энергии к струне, чтобы создать волны, которые могут перемещаться с различными 9 направлениями.0009 частота по всему контуру. Например, на рисунке 2 (где мы используем гитарную струну вместо замкнутого контура струны для простоты иллюстрации) мы видим, что самая низкая частота волны, которую вы можете наложить на струну, имеет один пик, в то время как более высокие частоты (часто называемые более высокими частотами) гармоники в музыке!) имеют два, три и более пика. Это допускает несколько возможных различных волн на струне с частотами, заданными положительными целыми числами.

• Рисунок 2. Гитарная струна имеет самую низкую частоту вибрации, а также более высокие гармоники, которые являются целыми кратными этой самой низкой частоты.
• Изображение предоставлено cronodon.com.

Важно отметить, что мы также можем возбудить струну двумя волнами самой низкой частоты, тремя и более. Здесь мы используем тот факт, что энергии, присутствующие в волнах данной частоты на струне, подчиняются квантовой механике. Струна классической гитары позволяет дергать самую низкую частоту с любой амплитудой (и, следовательно, вкладывать любое количество энергии в струну на этой частоте). Но квантовая механика квантует энергию, присутствующую на данной частоте, в дискретные куски — так что у вас есть целое число (например, 1,2 или 1729)., но не в 2,718 раз больше энергии, связанной с волной на данной частоте.

Теперь мы всего в нескольких шагах от того, чтобы вычислить энтропию черной дыры в теории струн! Мы полагаемся на следующие наблюдения:

1. Мы можем представить, что на струне одновременно присутствуют волны со многими различными частотами. Помните, что все частоты — положительные целые числа, и мы хотим отслеживать количество «квантовых сгустков», присутствующих на каждой частоте.

2. Энергетическая стоимость этих квантовых кусков увеличивается на к . Более высокие частоты потребляют больше энергии, при этом k -я частота использует в k раз больше энергии, чем самая низкая частота.

3. Самое известное уравнение Эйнштейна говорит нам, что

E=mc2.

То есть энергия вибрирующей струны проявляется в виде массы.

Мы заключаем, что мы можем вычислить количество состояний массивной струны с энергией в N раз больше, чем у самой низкой энергии, следующим образом, используя метод Харди-Рамануджана, описанный ранее. Мы можем достичь уровня энергии N при наличии любого количества возбуждений низшей частоты n (1), любого числа n (2) второй низшей частоты, любого числа n (3) третьей частоты и т. д. . Однако, чтобы получить полную энергию N , мы должны иметь

N=n(1)+2n(2)+3n(3)+⋯

Но каждый выбор набора чисел [ n (1), n (2) и т. д.], появляющееся в правой части этой формулы, точно демонстрирует разделение Н ! Количество состояний массивной строки на уровне массы строки N определяется количеством разбиений N на положительные целые числа, p(N) .

Это связано с черными дырами, потому что сильно возбужденная, извивающаяся струна в теории струн теоретически может лежать в пределах ее радиуса Шварцшильда и образовывать черную дыру. Поскольку мы знаем массу состояний струны как функцию N , а количество таких состояний струны мы знаем из p ( N ), мы можем вывести формулу для энтропии S ( M ). Это дает (правильный) прогноз энтропии подходящих черных дыр в терминах чисел разбиения [4]!

Глоссарий

Энтропия : ↑ Степень беспорядка или произвольности, которая возникает при описании данной физической системы (или, грубо говоря, количество способов ее создания).

Горизонт событий : ↑ Поверхность черной дыры. Если вы находитесь на горизонте событий или ближе к центру, вы не сможете избежать засасывания, даже если вы луч света, самый быстро движущийся объект, известный современной физике!

Частота : ↑ Для волны (например, воды или смещения струны) это количество раз, когда волна достигает максимальной высоты в единицу времени.

Амплитуда : ↑ Амплитуда — это мера высоты пиков, например, волн воды или волн смещения струн.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Эта работа была частично поддержана Национальным научным фондом в рамках гранта PHY-1720397.

---

Каталожные номера

[1] ↑ Телескоп горизонта событий. Доступно в Интернете по адресу: https://eventhorizontelescope.org (по состоянию на 24 апреля 2020 г.).

[2] ↑ Хокинг, С. 1998. Краткая история времени . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Бантам.

[3] ↑ Канигель, Р. 2016. Человек, который знал бесконечность . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Washington Square Press.

[4] ↑ Susskind, L. 2009. Война черных дыр . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Back Bay Books.

ИИ только что независимо открыл альтернативную физику: ScienceAlert

(MR.Cole_Photographer/Момент/Getty Images)

Возьмите любой учебник по физике, и вы найдете формулу за формулой, описывающую, как вещи качаются, летают, отклоняются и останавливаются. Формулы описывают действия, которые мы можем наблюдать, но за каждым из них может стоять набор факторов, которые не сразу очевидны.

Теперь новая программа искусственного интеллекта, разработанная исследователями из Колумбийского университета, по-видимому, открыла собственную альтернативную физику.

После просмотра видеороликов о физических явлениях на Земле ИИ не смог заново открыть текущие переменные, которые мы используем; вместо этого он фактически придумал новые переменные, чтобы объяснить то, что он видел.

Чтобы было ясно, это не означает, что наша современная физика ошибочна или что существует более подходящая модель для объяснения окружающего мира. (Законы Эйнштейна оказались невероятно надежными.) Но эти законы могли существовать только потому, что они были построены на уже существовавшем «языке» теории и принципов, установленных веками традиции.

Учитывая альтернативную временную шкалу, когда другие умы решали те же проблемы с несколько иной точки зрения, будем ли мы по-прежнему формулировать механику, объясняющую нашу Вселенную, таким же образом?

Даже с новыми технологиями визуализации черных дыр и обнаружения странных далеких миров эти законы снова и снова подтверждаются (примечание: квантовая механика — это совсем другая история, но давайте здесь остановимся на видимом мире).

Этот новый ИИ просматривал только несколько видеороликов с несколькими физическими явлениями, поэтому он никоим образом не может придумать новую физику для объяснения Вселенной или попытаться превзойти Эйнштейна. Это не было целью здесь.

“Мне всегда было интересно, если бы мы когда-нибудь встретили разумную инопланетную расу, открыли бы они те же законы физики, что и мы, или они могли бы описать Вселенную по-другому?” — говорит робототехник Ход Липсон из Creative Machines Lab в Колумбии.

“В экспериментах количество переменных было одинаковым при каждом перезапуске ИИ, но конкретные переменные каждый раз были разными. Так что да, есть альтернативные способы описания Вселенной, и вполне возможно, что наш выбор не идеально.”

Кроме того, команда хотела узнать, может ли ИИ на самом деле находить новые переменные и, следовательно, помогать нам объяснять сложные новые явления, возникающие в нашем текущем потоке данных, которые у нас в настоящее время нет теоретического понимания, чтобы идти в ногу с ними.

Например, новые данные, полученные в результате гигантских экспериментов, таких как Большой адронный коллайдер, намекают на новую физику.

“Какие еще законы мы упускаем только потому, что у нас нет переменных?” — говорит математик Цян Ду из Колумбийского университета.

Так как же ИИ находит новую физику? Для начала команда загрузила в систему необработанные видеозаписи явлений, которые они уже поняли, и задала программе простой вопрос: каковы минимальные фундаментальные переменные, необходимые для описания того, что происходит?

В первом видео был показан качающийся двойной маятник, который, как известно, имеет четыре переменных состояния: угол и угловая скорость каждого из двух маятников.

ИИ обдумывал отснятый материал и вопрос в течение нескольких часов, а затем выдал ответ: для объяснения этого явления потребуется 4,7 переменных, сказал он.

Это достаточно близко к четырем, о которых мы знаем… но это все еще не объясняет, что ИИ считает переменными.

Затем команда попыталась сопоставить известные переменные с переменными, выбранными ИИ. Две из них примерно соответствовали углам рук, но две другие переменные оставались загадкой. Тем не менее, ИИ мог делать точные прогнозы относительно того, что система будет делать дальше, поэтому команда решила, что ИИ, должно быть, был в чем-то, чего они не могли понять.

«Мы пытались сопоставить другие переменные со всем, что только можно было придумать: угловой и линейной скоростью, кинетической и потенциальной энергией и различными комбинациями известных величин», — говорит исследователь программного обеспечения Боюань Чен, ныне доцент Университета Дьюка. кто руководил работой.

“Но ничего не совпало идеально… мы еще не понимаем математический язык, на котором он говорит.”

Затем команда показала ИИ другие видео. На первом изображена волнистая рука «воздушного танцора», развевающаяся на ветру (ИИ сказал, что у этого есть восемь переменных). Кадры из лавовой лампы также дали восемь переменных.