Решение определенных интегралов: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = (cos(x))/x dx ((косинус от (х)) делить на х)

Содержание

Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов (Практическое занятие № 3)

Задание для студентов на практическое №3 по теме

 «Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1.  Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2.   Интегрирова­ние.

3.   Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

4.  Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

5.  Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.  

6.  Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах. (самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Примеры

Найти интегралы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

 Вычислить интегралы:

1)                                 

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

Тема

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xndx=xn+1/  (n+1) +C    (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫axdx=ax/lna +C

∫exdx=ex+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos2x=tgx+C

∫dx/sin2x=-ctgx+C

∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx

∫dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫ ln хdх.

Полагаем  и=lпх, dv = dx, тогда  dи =dx/x, v = x

Используя  формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример метод непосредственного интегрирования

Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx 

На основании свойства интеграла суммы запишим

у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C

Пример; метод замены переменной( метод подстановки)

∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx  обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть

-sinxdx=dt  найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx)  =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C

Определенный  интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной  суммы

lim∑f(ki)Δxi    ( от i=1 до  n и Δx→0)

где ki — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя  кривыми y=.f

1(x)  и у = = f2(x)    [ f’2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yn) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C1,C2,     , Сn)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y’) = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

 1 Дифференциальное уравнение типа y’=f(x)

        dy/dx=f(х) ,        dx = f(x)dx

 Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

Дифференциальное уравнение типа

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана

Конспекты лекций

 (1-й курс, 2-й семестр)
Модуль 1 — «Неопределенные и определенные интегралы»

pdf  Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

pdf  Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

pdf  Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей. 

pdf  Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

pdf  Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении. 

pdf  Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. 

Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»

pdf  Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf  Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. 

pdf  Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах. 

pdf  Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.

Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»

pdf  Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения. 

pdf  Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли. 

pdf  Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка. 

pdf  Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.

Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»

pdf  Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении). 

pdf  Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 

pdf  Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

pdf  Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных. 

pdf  Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).

Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

ГБПОУ КК «Славянский сельскохозяйственный техникум»

Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

г. Славянск –на- Кубани.

2016г.

Определенный интеграл.

1. Задачи приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Определение определенного интеграла.

3. Свойства определенного интеграла.

4. Вычисление определенного интеграла.

5. Формула Ньютона -Лейбница.

6. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле.

7. Интегрирование по частям.

8. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.

Задачи приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача1.

Пусть материальная точка М движется прямолинейно неравномерно по закону v=v (t) . Найти путь, пройденный точкой за время от T 1 до T 2 .

Рассмотрим частный случай, когда движение равномерно, т.е. V (t)=const=v* .

Решение:

Путь пройденный материальной точкой М за время от T 1 до T 2

определяется по формуле: AB= ∆ S= v*(t 1 –t 2 )= v* ∆ t . Если v=v (t) , т. е. скорость есть функция от времени, то применим идею определенного интегрирования ( суммирования), которая состоит в следующем: Разобьем временной отрезок AB произвольным образом на n отрезков:

Определение определенного интеграла.

Определенным интегралом называется предел , к которому стремится n -я интегральная сумма (А) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.

Замечание. Подразумевается, что этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на n частей, ни от способа выбора точек . Числа А и называется пределами интегрирования ( нижний и верхний).

Формула Ньютона -Лейбница.

Определенный интеграл есть приращение первообразной функции при изменении переменной интегрирования x от a до b .

Формула Ньютона –Лейбница.

Правило: Чтобы вычислить определенный интеграл

достаточно:

1.Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив с=0;

2. Подставив в выражение первообразной вместе аргумента x сначала верхний предел b , затем нижний предел a , из первого результата вычесть второй.

Свойства определенного интеграла. Понятие «определенного интеграла»введено для случая» а

. Пусть b

. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] , то функция k f (x) , где k –постоянная,

также интегрируема на этом отрезке, при этом

Свойства определенного интеграла. Понятие «определенного интеграла»введено для случая» а

. Если две функции f (x) и g (x) интегрируемы на [a, b] , то их сумма и разность также интегрируема на [a, b] и имеет место равенство

Замена переменной в определенном интеграле производится по формуле

Пример 1 . Найти

1.Находим неопределенный интеграл, полагая с=0. Имеем

2 .Вычисляем приращение первообразной :

При наличии навыка запись решения примера должна выглядеть так:

Пример 2 . Найти

Этот интеграл вычисляется с помощью замены:

И при , а при

Поэтому

Пример3. Найти

Этот интеграл следует вычислять по частям, т.е. по формуле

Пусть

тогда

Поэтому

Приложение определенного интеграла.

1.Площадь плоской фигуры.

2. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

3.Вычисление объема тела вращения.

4.Работа совершаемая переменной силой.

5.Прирост численной популяции.

Площадь плоской фигуры.

Абсолютная величина выражает

искомую площадь, т. е.

Этот интеграл определяет площадь

фигуры, заключенной между

графиком функции y=f(x), осью Ox

и двумя прямыми x=a и x=b.

Площадь плоской фигуры.

Если график функции y=f(x) на интервале

[a,b] несколько раз пересекает ось Ox , то

необходимо вычислять площади

фигур, расположенных выше оси Ox , а

также площади фигур, которые

лежат ниже оси Ox , и сложить их

абсолютные величины. Так,

площадь заштрихованной фигуры равна

Площадь плоской фигуры.

Если плоская фигура ограничена

несколькими линиями, то формула

для вычисления имеет вид

Площадь плоской фигуры. Пример №1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Это криволинейная

трапеция, поэтому ее площадь

равна:

Площадь плоской фигуры. Пример №1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Фигура ограничена снизу

параболой, сверху прямой.

Найдем координаты точек

пересечения этих линий. Для этого

нужно решить систему.

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ox , может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S=S (x) (a

Вычисление объема тела вращения.

Пусть вокруг оси Ox вращается

криволинейная трапеция,

ограниченная линиями:

Тогда объем полученного тела

вращения можно найти по формуле:

Вычисление объема тела вращения.

Пример1.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y 2 =2x,y=0,x=1.

Решение:

Вычисление объема тела вращения.

Пример1. Предположим, что фигура, ограниченная прямыми и осью Ox , вращается вокруг оси Ox . Вычислить его объем.

Решение: Полученное тело вращения –косинус. Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения прямых с осью Ox . Решаем системы

Итак, а=0, b=4. Далее находим

Работа совершаемая переменной силой .

Пусть на материальную точку в положительном направлении оси Ox действует сила F(x) , в результате чего точка перемещается из положения х = а

в положение х = b . Найдем совершаемую при этом работу. ( Если величина силы меняется в зависимости от точки приложения, то эта формула непригодна.)

Вывод: Величина работы, совершаемой переменной силой, направление которой совпадает с направлением движения, равна определенному интегралу от величины силы по длине пути.

Работа совершаемая переменной силой .

Пример1. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см., если известно , что от нагрузки в 1Н она растягивается на 1см?

(См. справочный материал.)

Решение:

Согласно закону Гука , сила Х Н, растягивающая пружина на х м , равна Х= k x. коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если х=0,01м, то Х=1Н; следовательно, k =1\0,01=100 и Х=100х. Тогда

Прирост численной популяции.

Пусть известна скорость v (t) роста некоторой популяции. Требуется найти прирост численности за время от до T . Если скорость роста постоянна, то

Прирост популяции равен определенному интегралу от скорости по интервалу времени ее размножения.

Заключение.

Данное методическое пособие может быть использовано преподавателями и студентами при подготовке к занятиям по теме «Интегральное исчисление», а также при проектировании курсовых проектов студентов агрономического и бухгалтерского отделения.

4.7: Определенные интегралы подстановкой.

Замена определенных интегралов

Подстановку можно использовать и с определенными интегралами. Однако использование подстановки для вычисления определенного интеграла требует изменения пределов интегрирования. Если мы изменим переменные в подынтегральном выражении, пределы интегрирования также изменятся.

Замена определенными интегралами

Пусть \ (u = g (x) \) и \ (g ‘\) непрерывно на интервале \ ([a, b] \), и пусть \ (f \) непрерывно на интервале \ ( и = д (х).3) \, dx. \]

Подсказка

Используйте процесс из примера для решения проблемы.

Ответ

\ (\ dfrac {2} {3π} ≈0,2122 \)

Замена может быть только одним из методов, необходимых для вычисления определенного интеграла. Все свойства и правила интегрирования применяются независимо, и, возможно, потребуется переписать тригонометрические функции с использованием тригонометрического тождества, прежде чем мы сможем применить замену.2} \).

Подсказка

Следуйте процедурам из примера для решения проблемы.

Ответ

\ [\ dfrac {π} {8} \]

Как упоминалось в начале этого раздела, экспоненциальные функции используются во многих реальных приложениях. Число e часто ассоциируется со сложным или ускоряющимся ростом, как мы видели в предыдущих разделах о производной.Хотя производная представляет собой скорость изменения или скорость роста, интеграл представляет собой общее изменение или общий рост. Давайте посмотрим на пример, в котором интеграция экспоненциальной функции решает обычное бизнес-приложение.

Функция цена – спрос сообщает нам о взаимосвязи между объемом спроса и ценой продукта. Как правило, цена снижается по мере увеличения объема спроса. Функция предельная цена-спрос является производной функции цена-спрос и сообщает нам, насколько быстро изменяется цена на данном уровне производства.Эти функции используются в бизнесе для определения эластичности спроса по цене и для помощи компаниям в определении прибыльности изменения уровня производства.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск уравнения цены и спроса

Найдите уравнение цены и спроса для определенной марки зубной пасты в сети супермаркетов, когда спрос составляет 50 тюбиков в неделю по цене 2,35 доллара за тюбик, учитывая, что предельная цена — функция спроса, \ (p ′ (x), \) для x количество пробирок в неделю, дается как

\ [p ‘(x) = – 0.{0.01t}, \) и начальная популяция мух составляет 100 мух. Сколько мух в популяции через 15 дней?

Подсказка

Используйте процесс из примера для решения проблемы.

Ответ

Есть 116 мух. 2} \, dx.2_1 = [\ ln 2− \ ln 1] = \ ln 2 \]

Решения RD Sharma, класс 12 Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.1

Решения RD Sharma, класс 12 Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.1

  • Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.2
  • Глава 20 Определенные интегралы Пр. 20.3
  • Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.4
  • Глава 20 Определенные интегралы Пр.20.5

Определенные интегралы Ex 20.1 Q1

Определенные интегралы Ex 20.1 Q2

Определенные интегралы Ex 20.1 Q3

Определенные интегралы Ex 20.1 Q4

Определенные интегралы Ex 20.1 Q5

Определенные интегралы Ex 20.1 Q6

Определенные интегралы
1 Q6 Определенные интегралы Ex 20.1 Q8

Определенные интегралы Ex 20.1 Q9

Определенные интегралы Ex 20.1 Q10

Определенные интегралы Ex 20.1 Q11

Определенные интегралы Ex 20.1 Q12

Определенные интегралы Ex 20.1 Q13

Определенные интегралы Ex 20.1 Q14

Определенные интегралы Ex 20.1 Q15

Определенные интегралы Q15
Определенные интегралы Ex 20.1 Q17

Определенные интегралы Ex 20.1 Q18

Определенные интегралы Ex 20.1 Q19

Определенные интегралы Ex 20.1 Q20

Определенные интегралы Ex 20.1 Q21

Определенные интегралы Ex 20.1 Q22

Определенные интегралы Ex 20.1 Q23

Определенные интегралы Ex 20.1 Q24

Определенные интегралы
1 Q25 Определенные интегралы Ex 20.1 Q26

Определенные интегралы Ex 20.1 Q27

Определенные интегралы Ex 20.1 Q28

Определенные интегралы Ex 20.1 Q29

Определенные интегралы Ex 20.1 Q30

Определенные интегралы Ex 20.1 Q31

Определенные интегралы Ex 20.1 Q32

Определенные интегралы Ex 20.1 Q33

Определенные интеграла Определенные интегралы Ex 20.1 Q35

Определенные интегралы Ex 20.1 Q36

Определенные интегралы Ex 20.1 Q37

Определенные интегралы Ex 20.1 Q38

Определенные интегралы Ex 20.1 Q39

Определенные интегралы Ex 20.1 Q40

Определенные интегралы Ex 20.1 Q41

Определенные интегралы Ex 20.1 Q42

Определенные интегралы Определенные интегралы Ex 20.1 Q44

Определенные интегралы Ex 20.1 Q45

Определенные интегралы Ex 20.1 Q46

Определенные интегралы Ex 20.1 Q47

Определенные интегралы Ex 20.1 Q48

Определенные интегралы Ex 20.1 Q49

Определенные интегралы Ex 20.1 Q50

Определенные интегралы Ex 20.1 Q51

определенные интегралы Определенные интегралы Ex 20.1 Q53

Определенные интегралы Ex 20.1 Q54

Определенные интегралы Ex 20.1 Q55

Определенные интегралы Ex 20.1 Q56

Определенные интегралы Ex 20.1 Q57

Определенные интегралы Ex 20.1 Q58

Определенные интегралы Ex 20.1 Q59

Определенные интегралы Ex 20.1 Q60
8 Определенные интегралы Q60 Определенные интегралы Ex 20.1 Q62

Определенные интегралы Ex 20.1 Q63


Определенные интегралы Ex 20.1 Q64

Определенные интегралы Ex 20.1 Q65

Определенные интегралы Ex 20.1 Q66

Определенные интегралы Ex 20.1 Q67

Решения NCERT Класс 12 Наука Решения RD Sharma

RD Sharma Class 12 Математические решения Глава 20

Краткий обзор решений RD Sharma класса 12 Определенные интегралы:

  • Определенные интегралы как предел суммы.

  • Первая основная теорема интегрального исчисления.

  • Вторая основная теорема интегрального исчисления.

  • Основные свойства определенных интегралов.

  • Вычисление определенных интегралов.

Решения Rd Sharma для класса 12 по математике Глава 20 – Бесплатная загрузка PDF-файла

Мы предоставили пошаговые решения для всех вопросов упражнений, приведенных в pdf-формате для класса 12 RD Sharma, глава 20 – Определенные интегралы. Все вопросы упражнения с решениями в главе 20 – Определенные интегралы приведены ниже:

Exercise 20.1

Exercise 20.{a} f (x) dx \] (только если f (x) четное)

Заключение

Определенный интеграл – одна из самых важных глав с точки зрения экзамена. Книга Р. Д. Шарма очень полезна и содержит подробное объяснение каждой темы в этой главе. Примеры и практические задания по каждой теме даются отдельно. Студенты могут скачать решения определенных интегралов Rd Sharma class 12 по указанной выше ссылке. Решения RD Sharma, предоставленные профильными экспертами Vedantu, очень ясны и просты для понимания.Формула, используемая на этапах решения любой задачи, четко указана в решении, поэтому ученикам становится легко практиковать достаточное количество вопросов из этой главы и хорошо подготовиться.

Integral (Definite) – веб-формулы

, где F (x) – антипроизводная от f (x). Мы называем a и b нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Интегрируемая функция f (x) называется интегрируемой функцией.

Обратите внимание, что константы интегрирования не записываются в определенных интегралах, поскольку они всегда сокращаются в них:

Определение определенного интеграла с использованием сумм Римана:
Для функции f (x), непрерывной на интервале [a, b], мы делим интервал на n подинтервалов равной ширины Δx и из каждого интервала выбираем точку,.Тогда определенный интеграл от f (x) от a до b равен

Свойства определенного интеграла:
1. Мы можем поменять местами пределы любого определенного интеграла; все, что нам нужно сделать, это прикрепить знак минус к интегралу, когда мы это сделаем.

2. Если верхний и нижний пределы совпадают, то работы делать не нужно, интеграл равен нулю.

3., где c – любое число. Итак, как и в случае с пределами, производными и неопределенными интегралами, мы можем вычесть константу.

4.Мы можем разбить определенные интегралы на сумму или разность.

5. где c – любое число. Это свойство более важно, чем мы могли подумать вначале. Одно из основных применений этого свойства – сообщить нам, как мы можем интегрировать функцию по соседним интервалам, [a, c] и [c, b]. Однако обратите внимание, что c не обязательно должно быть между a и b.

6. Смысл этого свойства состоит в том, чтобы заметить, что пока функция и пределы одинаковы, переменная интегрирования, которую мы используем в определенном интеграле, не повлияет на ответ.

7. c – любое число.

8. Если f (x) ≥ 0 и a ≤ x ≤ b, то

9. Если f (x) ≥ g (x) и a ≤ x ≤ b, то

10. Если m ≤ f (x) ≤ M для a ≤ x ≤ b, тогда

11.

Пример 1: Оценить
Решение: Использование интеграции по частям с:

что приводит к

Пример 2: Учитывая это, и определить значение.

Этот пример в основном является примером свойства 5, хотя в решении также есть несколько вариантов использования свойства 1.

Нам нужно выяснить, как правильно разбить интеграл, используя свойство 5, чтобы мы могли использовать заданные фрагменты информации. Сначала отметим, что есть интеграл, в одном из пределов которого стоит «-5». Это не нижний предел, но мы можем использовать свойство 1, чтобы в конечном итоге это исправить. Другой предел – 100, поэтому это число c, которое мы будем использовать в свойстве 5.

Мы сможем получить значение первого интеграла, но второго все еще нет в списке известных интегралов. .Однако у нас есть второй предел, в котором есть предел 100. Другой предел для этого второго интеграла – -10, и это будет c в этом приложении свойства 5.

На этом этапе все, что нам нужно сделать, это использовать свойство 1 для первого и третьего интеграла, чтобы получить пределы до совпадают с известными интегралами. После этого мы можем подключиться к известным интегралам.

Пример 3: Оценить
Решение: В этом случае интеграл может быть найден, поскольку две точки разрыва t = ± 1/2 находятся за пределами интервала интегрирования.Пределы замены и преобразования в этом случае:

Тогда интеграл будет:

Пример 4: Используйте определение предела определенного интеграла для вычисления.
Решение: разделите интервал [0,3] на n равных частей по длине.

для i = 1,2,3, …… п. Выберите точки выборки, которые будут правыми конечными точками подынтервалов и заданы как

для i = 1,2,3, …… п. Функция f (x) = x2 -1.

Таким образом, определенный интеграл равен:

Разница между определенным и неопределенным интегралами

Исчисление – важный раздел математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении.Обратный процесс дифференцирования известен как интегрирование, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный процесс дифференцирования дает интеграл. На основании полученных ими результатов интегралы делятся на два класса: определенные и неопределенные интегралы.

Определенный интеграл

Определенный интеграл f (x) представляет собой ЧИСЛО и представляет площадь под кривой f (x) от x = a до x = b .

Определенный интеграл имеет верхний и нижний пределы интегралов, и он называется определенным, потому что в конце задачи у нас есть число – это определенный ответ.

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от f (x) является ФУНКЦИЕЙ и отвечает на вопрос: «Какая функция при дифференцировании дает f (x)

С неопределенным интегралом здесь нет верхнего и нижнего пределов интеграла, и мы получим ответ, который все еще содержит x и также будет иметь константу (обычно обозначаемую ). C ) в нем.

Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.

Неопределенный интеграл – это более общая форма интегрирования, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции.

Предположим, что дифференцирование функции F приводит к другой функции f , а интегрирование f дает интеграл. Символически это записывается как

.

F (x) = ∫ƒ (x) dx

или

F = ∫ƒ dx

, где F и ƒ являются функциями x , а F является дифференцируемым.В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана, и полученная функция сопровождает произвольную константу.

Неопределенный интеграл часто дает семейство функций; следовательно, интеграл неопределенен.

Интегралы и процесс интегрирования лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от этапов дифференциации, этапы интеграции не всегда следуют четкому и стандартному распорядку. Иногда мы видим, что решение не может быть явно выражено в терминах элементарной функции.В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.

Основная теорема исчисления

Определенный и неопределенный интеграл связаны основной теоремой исчисления следующим образом: чтобы вычислить определенный интеграл , найдите неопределенный интеграл (также известный как антипроизводная) функции и оценить в конечных точках x = a и x = b .

Разница между определенным и неопределенным интегралами станет очевидной, если мы вычислим интегралы для одной и той же функции.

Рассмотрим следующий интеграл:

ОК. Давайте проделаем их оба и увидим разницу.

Для интеграции нам нужно добавить единицу к индексу, что приводит нас к следующему выражению:

На данный момент C для нас просто константа. Для определения точного значения C в задаче требуется дополнительная информация.

Оценим один и тот же интеграл в его определенной форме, то есть с учетом верхнего и нижнего пределов.

С графической точки зрения, теперь мы вычисляем площадь под кривой f (x) = y 3 между y = 2 и y = 3 .

Первый шаг в этой оценке такой же, как и при неопределенной интегральной оценке. Единственная разница в том, что на этот раз мы не добавляем константу C .

Выражение в этом случае выглядит следующим образом:

Это очередь ведет к:

По сути, мы подставили 3, а затем 2 в выражение и получили разницу между ними.

Это определенное значение в отличие от использовавшейся ранее константы C .

Давайте рассмотрим постоянный множитель (относительно неопределенного интеграла) более подробно.

Если дифференциал y 3 равен 3y 2 , то

3 года 2 dy = y 3

Однако 3y 2 может быть дифференциалом многих выражений, некоторые из которых включают y 3 -5 , y 3 +7 и т. Д.. Это означает, что обращение не является уникальным, поскольку константа не учитывается во время операции.

Итак, в общем случае 3y 2 – это дифференциал y 3 + C , где C – любая константа. Между прочим, C известна как «константа интегрирования» .

Запишем это как:

3 года 2 .dx = y 3 + C

Методы интеграции для неопределенного интеграла, такие как поиск в таблице или интеграция Риша, могут добавлять новые разрывы в процессе интеграции.Эти новые разрывы появляются из-за того, что антипроизводные могут потребовать введения комплексных логарифмов.

Комплексные логарифмы имеют разрыв скачка, когда аргумент пересекает отрицательную действительную ось, и алгоритмы интегрирования иногда не могут найти представление, в котором эти скачки отменяются.

Если определенный интеграл вычисляется сначала вычислением неопределенного интеграла, а затем подстановкой границ интегрирования в результат, мы должны знать, что неопределенное интегрирование может привести к разрывам.Если это так, дополнительно, мы должны исследовать разрывы в интервале интегрирования.

Последние сообщения Ашока Кумара (посмотреть все)

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.

Цитируйте
APA 7
Кумар, А. (20 сентября 2018 г.). Разница между определенным и неопределенным интегралами. Разница между похожими терминами и объектами. http: // www.разница между.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-definite-and-indefinite-integrals/.
MLA 8
Кумар, Ашок. «Разница между определенными и неопределенными интегралами». Различия между похожими терминами и объектами, 20 сентября 2018 г., http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-definite-and-indefinite-integrals/.

Решение определенных интегралов путем преобразования подынтегрального выражения в эквивалентную форму | Исчисление

Шаги для решения определенных интегралов путем преобразования подынтегрального выражения в эквивалентную форму

Шаг 1: Дан интеграл вида {eq} F (x) = \ int_a ^ b f (x) \ dx {/ eq}, упростите функцию {eq} f (x) {/ eq} как можно больше.3} \ dx = \ dfrac {200} {9} {/ eq}

Получите доступ к тысячам практических вопросов и объяснений!

Определенный интеграл | Математика вики

Определенный интеграл как площадь под функцией между и

Определенный интеграл , когда

– это область со знаком между функцией и осью x, где диапазон от до. Согласно Основной теореме исчисления, если

Определенный интеграл можно вычислить следующим образом:

Чтобы получить определенный интеграл от этой функции, нужно найти первообразную функции в точке и вычесть из нее значение.Это будет равно области со знаком под функцией в.

Определенный интеграл можно представить как сумму Римана бесконечно малых прямоугольников, или

Если прямоугольники одинаковой ширины, то

Интеграцию можно рассматривать как обобщение умножения. Если f (x) = constant, то определенный интеграл сводится к обычному умножению:

Приложения

Определенные интегралы имеют множество приложений в геометрии, физике и других областях.Например, объем – это интеграл площади, а скорость – интеграла ускорения. Например, с помощью интегралов можно вычислить объем твердого объекта, такого как твердое тело вращения или пирамида.

Площадь под кривой

Определенный интеграл в равен площади со знаком между кривой и осью абсцисс. Например, чтобы вычислить площадь под графиком на интервале, сначала нужно взять интеграл следующим образом и оценить в конечных точках:

Объем твердого тела

См. Также: Тело вращения, Объем по поперечным сечениям и Кратный интеграл

Предположим, мы хотим найти объем конуса с радиусом и высотой.Мы можем сделать это, интегрировав круглые сечения от 0 до. Радиус будет равен расстоянию между осью x и функцией, поэтому площадь поперечного сечения будет равна или. Следовательно, объем конуса будет равен

Участок с полярными координатами

Учитывая полярную функцию, площадь под функцией в виде суммы Римана равна

В качестве интеграла это будет

Длина дуги

Длину дуги можно рассчитать, суммируя бесконечное количество бесконечно малых отрезков линии вдоль кривой.Формула для этого с обычными функциями:

В параметрическом уравнении это равно

В полярных координатах длина дуги равна

См. Также

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *