Решение пределов последовательности онлайн: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

Содержание

Программы, Фильмы, Образование – программа

Решение пределов функции онлайн. Найти предельное значение функции в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. Определить предел числовой последовательности онлайн. Сайт www.MatCabi.net позволяет найти пределы онлайн числовых последовательностей и предельное значение функции на бесконечности и в точке из области определения функции. Достаточно указать заданную функцию, указать предельную точку или указать бесконечность, и МатКабинет вычислит значение предела онлайн. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.MatCabi.net вычислит значение предела онлайн на бесконечности. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода, пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения пределов онлайн

. Решая задачи по нахождению предела функции или предела числовой последовательности, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение пределов на сайте www.MatCabi.net. Необходимо ввести заданную функцию или числовую последовательность, указать к чему стремится переменная, получить онлайн решение предела и сравнить ответ с вашим решением. Решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн, достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции. Одним из основных понятий математического анализа является предел функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы, используя известные методы решения, затем сравнить полученный результат с полученным
решением предела онлайн
на сайте www.MatCabi.net. Вычисляя пределы онлайн, можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www. MatCabi.net, что приведет с успешному выполнению задачи.

Пределы. Примеры решений – matematika

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать,

динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если , попробуйте построить последовательность  , , . Если , то  , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.


Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности  необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о

бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.





Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа  встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать?  у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,  мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность  не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:





Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

  1. Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

  2. Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.

  3. Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

  1. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

  2. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.

Теорема 2

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.

Теорема 3

Теорема – Критерий Больцано-Коши

Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $. 2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

пределов последовательностей | Блестящая вики по математике и науке

Здесь мы обсудим аспекты, которые вам необходимо знать для понимания концепции сходимости последовательности. Мы предоставим вам пошаговую презентацию всех концепций. Во-первых, что такое последовательность?

Последовательность – это функция f: N → Rf: \ mathbb N \ rightarrow \ mathbb Rf: N → R, определенная как f (n) = xnf (n) = x_nf (n) = xn, и обычно обозначается на x1, x2, …, xnx_1, x_2, …, x_nx1, x2,.3} {3 + 1}, \ ldots1 + 113, 2 + 123, 3 + 133,….

Поскольку мы теперь знакомы с последовательностями, давайте попробуем понять, что представляет собой предел последовательности. Проще говоря, предел – это математически точный способ говорить о приближении к значению без необходимости оценивать его напрямую.

Действительное число LLL – это предел последовательности xnx_nxn, если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к LLL, а не к любому другому числу. В общем смысле предел последовательности – это значение, к которому она приближается с произвольной близостью.

Например, если xn = cx_n = cxn = c для некоторой константы c, c, c, то lim⁡n → ∞xn → c, \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n \ to c, n → ∞lim xn → c, и если xn = 1n, x_n = \ frac 1n, xn = n1, то lim⁡n → ∞xn → 0 \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n \ to 0n → ∞lim xn → 0.

Когда предел последовательности при n → ∞n \ to \ inftyn → ∞ приближается к одному значению, мы говорим, что последовательность сходится. Определим сходимость последовательности формально:

Мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится к , если существует x0∈Rx_0 \ in \ mathbb Rx0 ∈R такое, что для любого ϵ> 0 \ epsilon> 0ϵ> 0 существует натуральное число NNN такое, что xn∈ (x0 −ϵ, x0 + ϵ) x_n \ in (x_0 – \ epsilon, x_0 + \ epsilon) xn ∈ (x0 −ϵ, x0 + ϵ) или ∣xn − x0∣ <ϵ | x_n -x_0 | <\ epsilon∣xn −x0 ∣ <ϵ для всех n≥Nn \ geq Nn≥N.

Легко проверить, что если такое число x0x_0x0 существует, то оно уникально. В этом случае мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится к x0x_0x0, и называем x0x_0x0 пределом последовательности xnx_nxn. Если x0x_0x0 является пределом xnx_nxn, мы пишем lim⁡n → ∞xn = x0 \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x_0n → ∞lim xn = x0.

Примечание: Сходимость каждой последовательности, приведенной в приведенных выше примерах, проверяется непосредственно из определения. В общем, проверка сходимости непосредственно из определения – сложная задача.Мы увидим некоторые способы найти пределы определенных последовательностей и некоторые достаточные условия сходимости последовательности.

Теперь, когда мы получили концепцию сходимости с теоретической точки зрения, пришло время разработать несколько примеров и построить прочный фундамент сходимости последовательностей. Поехали ::

Сходится ли следующая последовательность:

11,12,13,…, 1n,…? \ frac {1} {1}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ ldots, \ frac {1} {n}, \ ldots \ ,? 11, 21, 31,…, n1,…?


Последовательность приближается к нулю. Чем больше становится nnn, тем меньше и меньше член становится равным нулю. Таким образом, последовательность сходится. □ _ \ квадрат □

Доказательство:
Для произвольного ϵ> 0 \ epsilon> 0ϵ> 0 неравенство ∣xn∣ = 1n <ϵ | x_n | = \ frac 1n <\ epsilon∣xn ∣ = n1 <ϵ верно для всех n> 1ϵn> \ frac {1} {\ epsilon} n> ϵ1 и, следовательно, для всех n> Nn> Nn> N, где NNN – любое натуральное число такое, что N> 1ϵ N> \ frac {1} {\ epsilon} N> ϵ1. Таким образом, для любого ϵ> 0 \ epsilon> 0ϵ> 0 существует натуральное число NNN такое, что ∣xn∣ <ϵ | x_n | <\ epsilon∣xn ∣ <ϵ для любого n≥Nn \ geq Nn≥N.n} f (n) = 1 + 10n1 сходятся:

1.1, 1.01, 1.001,…? 1.1, \ 1.01, \ 1.001, \ \ ldots \,? 1.1, 1.01, 1.001,…?


В этой последовательности мы видим, что значения уменьшаются по мере увеличения nnn и в конечном итоге приближаются к единственному значению. Чем больше мы берем значение nnn, тем ближе и ближе член становится к 1. Следовательно, элементы данной последовательности приближаются к 1, когда nnn приближается к бесконечности. n} {n} f (n) = n (−1) n:

−11,12, −13,…? \ Dfrac {-1} {1}, \ dfrac 12, \ dfrac {-1} {3}, \ ldots \,? 1−1, 21, 3− 1,…?


Последовательность приближается к нулю.n} {n} n (−1) n колеблются, они «в конце концов приближаются» к единственной точке 0. Общей чертой этих последовательностей является то, что члены каждой последовательности «накапливаются» только в одной точке. □ _ \ квадрат □

журнал⁡2 \ журнал 2log2 ln⁡2 \ ln 2ln2 111 222

Пусть g (n) = n − ⌊n2⌋ + ⌊n3⌋ − ⌊n4⌋ + ⋯. {n + 1}, \ ldots \,? 1, -1,1, -1,1, -1,… , (- 1) n + 1,…?


Ясно, что последовательность колеблется между 1 и -1 и не сводится к значению.n (-1) n колеблется между двумя разными точками -1 и 1, что означает, что элементы последовательности приближаются к -1 и 1 «часто» по мере увеличения nnn. □ _ \ квадрат □

Мы говорим, что функция расходится до бесконечности , если она стремится к положительной бесконечности или отрицательной бесконечности.

Например, такими функциями являются f (n) = nf (n) = nf (n) = n и f (n) = ln⁡nf (n) = \ ln nf (n) = lnn.

Сходится ли следующая последовательность:

1,2,3,…, n,…? 1, 2, 3, \ ldots, n, \ ldots \,? 1,2,3,…, n,…?


Последовательность целых чисел выше не ограничена.\ text {nd} 2-й пример), \ big),) то такая последовательность расходится. Ниже будет показано, что если последовательность сходится, то предел разницы между последовательными членами равен 0.

Примечание 2 : Это правда, что если положительная последовательность неубывающая, то предел существует. Однако, возможно, нам не удастся легко определить предел.

5.1 Последовательности – Исчисление Том 2

Задачи обучения

  • 5.1.1 Найдите формулу для общего члена последовательности.
  • 5.1.2 Вычислить предел последовательности, если он существует.
  • 5.1.3 Определение сходимости или расхождения заданной последовательности.

В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что значит сходиться или расходиться последовательность. Мы показываем, как найти пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, которые обсуждались ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости, инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.

Терминология последовательностей

Для работы с этой новой темой нам нужны новые термины и определения. Во-первых, бесконечная последовательность – это упорядоченный список чисел вида

. a1, a2, a3,…, an,… .a1, a2, a3,…, an,….

Каждое из чисел в последовательности называется термином. Символ nn называется индексной переменной для последовательности. Мы используем обозначение

{an} n = 1∞, или просто {an}, {an} n = 1∞, или просто {an},

для обозначения этой последовательности. Аналогичное обозначение используется для наборов, но последовательность – это упорядоченный список, а набор – неупорядоченный.Поскольку конкретное число anan существует для каждого положительного целого числа n, n, мы также можем определить последовательность как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел.

Рассмотрим бесконечный упорядоченный список

2,4,8,16,32,… .2,4,8,16,32,….

Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются формулами a1 = 2, a1 = 2, a2 ​​= 4, a2 = 4 и a3 = 8. a3 = 8. Вы, вероятно, видите, что термины в этой последовательности имеют следующий шаблон:

a1 = 21, a2 = 22, a3 = 23, a4 = 24 и a5 = 25. a1 = 21, a2 = 22, a3 = 23, a4 = 24 и a5 = 25.

Предполагая, что этот шаблон продолжается, мы можем записать n-й член в последовательности по явной формуле an = 2n.an = 2n. Используя это обозначение, мы можем записать эту последовательность как

{2n} n = 1∞или {2n}. {2n} n = 1∞или {2n}.

В качестве альтернативы мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член вдвое больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив n-й член anan в терминах предыдущего члена an-1.an-1. В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность {an} {an}, где a1 = 2a1 = 2 и для всех n≥2, n≥2 каждый член anan определяется рекуррентным соотношениемan = 2an − 1.ан = 2ан − 1.

Определение

Бесконечная последовательность {an} {an} – это упорядоченный список чисел в форме

a1, a2,…, an,… .a1, a2,…, an,….

Индекс nn называется индексной переменной последовательности. Каждое число анан является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, и в этом случае an = f (n) an = f (n) для некоторой функции f (n) f (n), определенной над положительными целыми числами. В других случаях последовательности определяются с помощью рекуррентного отношения. В рекуррентном отношении один член (или несколько) последовательности задается явно, а последующие термины определяются в терминах более ранних терминов в последовательности.

Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с n = 1n = 1, но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой an = f (n) an = f (n), может начинаться с n = 0, n = 0, и в этом случае последовательность будет

a0, a1, a2,… .a0, a1, a2,….

Аналогично, для последовательности, определенной рекуррентным соотношением, член a0a0 может быть задан явно, а члены anan для n≥1n≥1 могут быть определены в терминах an − 1.an − 1. Поскольку последовательность {an} {an} имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа n, n, ее можно описать как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел. В результате имеет смысл обсудить график последовательности. График последовательности {an} {an} состоит из всех точек (n, an) (n, an) для всех натуральных чисел n.n. На рисунке 5.2 показан график {2n}. {2n}.

Рисунок 5.2 Построенные точки представляют собой график последовательности {2n}. {2n}.

Часто встречаются два типа последовательностей, которым даны специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница между каждой парой следующих друг за другом членов одинакова.Например, рассмотрим последовательность

3,7,11,15,19,… .3,7,11,15,19,….

Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой терминов равна 4,4. Если предположить, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения

{a1 = 3an = an − 1 + 4forn≥2. {a1 = 3an = an − 1 + 4forn≥2.

Обратите внимание, что

a2 = 3 + 4a3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 · 4a4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 · 4. a2 = 3 + 4a3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 · 4a4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 · 4.

Таким образом, последовательность также можно описать с помощью явной формулы

ан = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1.ан = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1.

В общем, арифметическая последовательность – это любая последовательность вида an = cn + b.an = cn + b.

В геометрической последовательности соотношение каждой пары следующих друг за другом членов одинаково. Например, рассмотрим последовательность

2, -23,29, -227,281,… .2, -23,29, -227,281,….

Мы видим, что отношение любого члена к предыдущему члену равно -13.-13. Если предположить, что этот узор продолжается, эта последовательность представляет собой геометрическую последовательность. Его можно рекурсивно определить как

а1 = 2ан = -13 · ан-1forn≥2.а1 = 2ан = -13 · ан-1forn≥2.

Альтернативно, с

a2 = −13 · 2a3 = (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 2 · 2a4 = (- 13) (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 3 · 2 , a2 = −13 · 2a3 = (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 2 · 2a4 = (- 13) (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 3 · 2,

мы видим, что последовательность может быть описана с помощью явной формулы

an = 2 (−13) n−1. an = 2 (−13) n − 1.

Последовательность {2n} {2n}, которую мы обсуждали ранее, является геометрической последовательностью, где отношение любого члена к предыдущему члену составляет 2,2. В общем, геометрическая последовательность – это любая последовательность вида an = crn.an = crn.

Пример 5.1

Поиск явных формул

Найдите явную формулу для n-го члена последовательности для каждой из следующих последовательностей.

  1. −12,23, −34,45, −56,… −12,23, −34,45, −56,…
  2. 34,97,2710,8113,24316,… 34,97,2710,8113,24316,…
Решение
  1. Во-первых, обратите внимание, что последовательность чередуется с отрицательной на положительную. Нечетные члены в последовательности отрицательны, а четные – положительны.Следовательно, n-й член включает множитель (−1) n. (- 1) n. Затем рассмотрим последовательность числителей {1,2,3,…} {1,2,3,…} и последовательность знаменателей {2,3,4,…}. {2,3,4,…}. Мы видим, что обе эти последовательности являются арифметическими последовательностями. N-й член в последовательности числителей равен n, n, а n-й член в последовательности знаменателей равен n + 1.n + 1. Следовательно, последовательность можно описать явной формулой
    an = (- 1) nnn + 1.an = (- 1) nnn + 1.
  2. Последовательность числителей 3,9,27,81,243,… 3,9,27,81,243,… представляет собой геометрическую последовательность.Числитель n-го члена равен 3n3n. Последовательность знаменателей 4,7,10,13,16,… 4,7,10,13,16,… является арифметической последовательностью. Знаменатель n-го члена равен 4 + 3 (n − 1) = 3n + 1,4 + 3 (n − 1) = 3n + 1. Следовательно, мы можем описать последовательность явной формулой an = 3n3n + 1.an = 3n3n + 1.

КПП 5.1

Найдите явную формулу для n-го члена последовательности {15, −17,19, −111,…}. {15, −17,19, −111,…}.

Пример 5.2

Определяется отношениями повторения

Найдите явную формулу для каждой из следующих рекурсивно определенных последовательностей.

  1. a1 = 2, a1 = 2, an = −3an − 1an = −3an − 1 для n≥2n≥2
  2. a1 = 12, a1 = 12, an = an − 1 + (12) nan = an − 1 + (12) n для n≥2n≥2
Решение
  1. Выписывая первые несколько терминов, получаем
    a1 = 2a2 = −3a1 = −3 (2) a3 = −3a2 = (- 3) 22a4 = −3a3 = (- 3) 32.a1 = 2a2 = −3a1 = −3 (2) a3 = −3a2 = ( −3) 22a4 = −3a3 = (- 3) 32.
    В целом
    an = 2 (−3) n−1.an = 2 (−3) n − 1.
  2. Запишите несколько первых терминов:
    a1 = 12a2 = a1 + (12) 2 = 12 + 14 = 34a3 = a2 + (12) 3 = 34 + 18 = 78a4 = a3 + (12) 4 = 78 + 116 = 1516.a1 = 12a2 = a1 + (12) 2 = 12 + 14 = 34a3 = a2 + (12) 3 = 34 + 18 = 78a4 = a3 + (12) 4 = 78 + 116 = 1516.
    Из этого шаблона мы выводим явную формулу
    an = 2n − 12n = 1−12n.an = 2n − 12n = 1−12n.

КПП 5.2

Найдите явную формулу для последовательности, определенной рекурсивно, такой что a1 = −4a1 = −4 и an = an − 1 + 6. an = an − 1 + 6.

Предел последовательности

Фундаментальный вопрос, который возникает относительно бесконечных последовательностей, – это поведение членов при увеличении nn. Поскольку последовательность – это функция, определенная на натуральных числах, имеет смысл обсудить предел членов при n → ∞.п → ∞. Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение при n → ∞n → ∞ (см. Рисунок 5.3):

  1. {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. Члены 1 + 3n1 + 3n становятся сколь угодно большими при n → ∞.n → ∞. В этом случае мы говорим, что 1 + 3n → ∞1 + 3n → ∞ при n → ∞.n → ∞.
  2. {1− (12) n} = {12,34,78,1516,…}. {1− (12) n} = {12,34,78,1516,…}. Слагаемые 1− (12) n → 11− (12) n → 1 при n → ∞.n → ∞.
  3. {(−1) n} = {- 1,1, −1,1,…}. {(- 1) n} = {- 1,1, −1,1,…}. Члены чередуются, но не приближаются к одному значению при n → ∞.п → ∞.
  4. {(−1) nn} = {- 1,12, −13,14,…}. {(- 1) nn} = {- 1,12, −13,14,…}. Члены этой последовательности также чередуются, но (−1) nn → 0 (−1) nn → 0 при n → ∞.n → ∞.
Рисунок 5.3 (a) Члены последовательности становятся сколь угодно большими при n → ∞.n → ∞. (b) Члены последовательности приближаются к 11 при n → ∞.n → ∞. (c) Члены в последовательности чередуются от 11 до −1−1 при n → ∞.n → ∞. (d) Члены в последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями, но приближаются к 00 при n → ∞.n → ∞.

Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности при n → ∞.п → ∞. В двух последовательностях члены стремятся к конечному числу при n → ∞.n → ∞. В двух других последовательностях термины нет. Если члены последовательности приближаются к конечному числу LL при n → ∞, n → ∞, мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число LL является пределом последовательности. Здесь мы можем дать неформальное определение.

Определение

Для данной последовательности {an}, {an}, если члены anan становятся сколь угодно близкими к конечному числу LL по мере того, как nn становится достаточно большим, мы говорим, что {an} {an} – сходящаяся последовательность, а LL – предел последовательности . В этом случае мы пишем

limn → ∞an = L. limn → ∞an = L.

Если последовательность {an} {an} не сходится, мы говорим, что это расходящаяся последовательность.

Из рисунка 5.3 мы видим, что члены в последовательности {1− (12) n} {1− (12) n} становятся произвольно близкими к 11, когда nn становится очень большим. Мы заключаем, что {1− (12) n} {1− (12) n} сходящаяся последовательность и ее предел равен 1.1. Напротив, из рисунка 5.3 мы видим, что члены в последовательности 1 + 3n1 + 3n не приближаются к конечному числу по мере того, как nn становится больше.Мы говорим, что {1 + 3n} {1 + 3n} расходящаяся последовательность.

В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «произвольно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты. Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и графически показываем эти идеи на рисунке 5. 4.

Определение

Последовательность {an} {an} сходится к действительному числу LL, если для всех ε> 0, ε> 0 существует целое число NN такое, что | an − L | <ε | an − L | <ε, если n≥ Н.n≥N. Число LL является пределом последовательности, и мы пишем

limn → ∞an = Лоран → L.limn → ∞an = Loran → L.

В этом случае мы говорим, что последовательность {an} {an} является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.

Заметим, что сходимость или расходимость последовательности {an} {an} зависит только от того, что происходит с членами anan при n → ∞.n → ∞. Следовательно, если конечное число членов b1, b2,…, bNb1, b2,…, bN помещается перед a1a1 для создания новой последовательности

b1, b2,…, bN, a1, a2,…, b1, b2,…, bN, a1, a2,…,

эта новая последовательность будет сходиться, если {an} {an} сходится, и расходиться, если {an} {an} расходится. Кроме того, если последовательность {an} {an} сходится к L, L, эта новая последовательность также сходится к L.L.

Рисунок 5.4 По мере увеличения nn члены anan становятся ближе к LL Для значений n≥N, n≥N расстояние между каждой точкой (n, an) (n, an) и линией y = Ly = L меньше, чем ε.ε.

Как определено выше, если последовательность не сходится, она называется расходящейся последовательностью. Например, последовательности {1 + 3n} {1 + 3n} и {(−1) n} {(- 1) n}, показанные на рисунке 5.4, расходятся. Однако разные последовательности могут отличаться по-разному.Последовательность {(−1) n} {(- 1) n} расходится, потому что члены чередуются между 11 и −1, −1, но не приближаются к одному значению при n → ∞.n → ∞. С другой стороны, последовательность {1 + 3n} {1 + 3n} расходится, поскольку слагаемые 1 + 3n → ∞1 + 3n → ∞ при n → ∞.n → ∞. Скажем, что последовательность {1 + 3n} {1 + 3n} расходится на бесконечность, и запишем limn → ∞ (1 + 3n) = ∞.limn → ∞ (1 + 3n) = ∞. Важно понимать, что это обозначение не означает, что существует предел последовательности {1 + 3n} {1 + 3n}. На самом деле последовательность расходится. Запись о том, что предел равен бесконечности, предназначена только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится.Последовательность также может расходиться до отрицательной бесконечности. Например, последовательность {−5n + 2} {- 5n + 2} расходится до отрицательной бесконечности, поскольку −5n + 2 → −∞ − 5n + 2 → −∞ при n → −∞.n → −∞. Запишем это как limn → ∞ (−5n + 2) = → −∞.limn → ∞ (−5n + 2) = → −∞.

Поскольку последовательность – это функция, домен которой является набором положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность. Например, рассмотрим последовательность {an} {an} и связанную с ней функцию ff, определенную для всех положительных действительных чисел, такую ​​что f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥1.n≥1. Поскольку область определения последовательности является подмножеством области определения f, f, если существует limx → ∞f (x) limx → ∞f (x), то последовательность сходится и имеет тот же предел. Например, рассмотрим последовательность {1n} {1n} и связанную с ней функцию f (x) = 1x.f (x) = 1x. Поскольку функция ff, определенная на всех действительных числах x> 0x> 0, удовлетворяет условию f (x) = 1x → 0f (x) = 1x → 0 при x → ∞, x → ∞, последовательность {1n} {1n} должна удовлетворять 1n → 01n → 0 при n → ∞.n → ∞.

Теорема 5.1

Предел последовательности, определяемой функцией

Рассмотрим последовательность {an} {an} такую, что an = f (n) an = f (n) для всех n≥1.n≥1. Если существует действительное число LL такое, что

limx → ∞f (x) = L, limx → ∞f (x) = L,

, затем {an} {an} сходится и

limn → ∞an = L. limn → ∞an = L.

Мы можем использовать эту теорему для вычисления limn → ∞rnlimn → ∞rn для 0≤r≤1.0≤r≤1. Например, рассмотрим последовательность {(1/2) n} {(1/2) n} и связанную с ней экспоненциальную функцию f (x) = (1/2) x.f (x) = (1/2) x. Поскольку limx → ∞ (1/2) x = 0, limx → ∞ (1/2) x = 0, заключаем, что последовательность {(1/2) n} {(1/2) n} сходится и ее предел составляет 0,0. Аналогично, для любого действительного числа rr такого, что 0≤r <1,0≤r <1, ​​limx → ∞rx = 0, limx → ∞rx = 0, и, следовательно, последовательность {rn} {rn} сходится.С другой стороны, если r = 1, r = 1, то limx → ∞rx = 1, limx → ∞rx = 1, и поэтому предел последовательности {1n} {1n} равен 1.1. Если r> 1, r> 1, limx → ∞rx = ∞, limx → ∞rx = ∞, и поэтому мы не можем применить эту теорему. Однако в этом случае, так же как функция rxrx неограниченно растет при n → ∞, n → ∞, члены rnrn в последовательности становятся сколь угодно большими при n → ∞, n → ∞, и мы заключаем, что последовательность {rn} {rn} расходится до бесконечности, если r> 1.r> 1.

Мы суммируем эти результаты относительно геометрической последовательности {rn}: {rn}:

rn → 0, если 0 1.rn → 0, если 0 1.

Далее в этом разделе мы рассмотрим случай, когда r <0.r <0.

Теперь рассмотрим несколько более сложные последовательности. Например, рассмотрим последовательность {(2/3) n + (1/4) n}. {(2/3) n + (1/4) n}. Члены в этой последовательности более сложные, чем в других последовательностях, которые мы обсуждали, но, к счастью, предел этой последовательности определяется пределами двух последовательностей {(2/3) n} {(2/3) n} и {( 1/4) n}. {(1/4) n}. Как мы описываем в следующих алгебраических предельных законах, поскольку {(2/3) n} {(2/3) n} и {1/4) n} {1/4) n} сходятся к 0,0, последовательность {(2/3) n + (1/4) n} {(2/3) n + (1/4) n} сходится к 0 + 0 = 0.0 + 0 = 0. Так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций ff и gg, глядя на пределы ff и gg (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой являются алгебраическими комбинациями функций anan и bnbn, оценив пределы {an} {an} и {bn}. {bn}.

Теорема 5.2

Алгебраические предельные законы

Для заданных последовательностей {an} {an} и {bn} {bn} и любого действительного числа c, c, если существуют такие константы AA и BB, что limn → ∞an = Alimn → ∞ an = A и limn → ∞bn = B, limn → ∞bn = B, тогда

  1. limn → ∞c = набег → ∞c = c
  2. limn → ∞can = climn → ∞an = cAlimn → ∞can = climn → ∞an = cA
  3. limn → ∞ (an ± bn) = limn → ∞an ± limn → ∞bn = A ± Blimn → ∞ (an ± bn) = limn → ∞an ± limn → ∞bn = A ± B
  4. limn → ∞ (an · bn) = (limn → ∞an) · (limn → ∞bn) = A · Blimn → ∞ (an · bn) = (limn → ∞an) · (limn → ∞bn) = A · B
  5. limn → ∞ (anbn) = limn → ∞anlimn → ∞bn = AB, limn → ∞ (anbn) = limn → ∞anlimn → ∞bn = AB, если B ≠ 0B ≠ 0 и каждое bn ≠ 0. bn ≠ 0.
Проба

Докажем часть iii.

Пусть ϵ> 0.ϵ> 0. Поскольку limn → ∞an = A, limn → ∞an = A, существует постоянное натуральное число N1N1 такое, что | ан-А | <ε2 | ан-А | <ε2 для всех n≥N1.n≥N1. Поскольку limn → ∞bn = B, limn → ∞bn = B, существует постоянная N2N2 такая, что | bn − B | <ε / 2 | bn − B | <ε / 2 для всех n≥N2.n≥N2. Пусть NN будет большим из N1N1 и N2.N2. Следовательно, для всех n≥N, n≥N,

| (an + bn) – (A + B) | ≤ | an − A | + | bn − B | <ε2 + ε2 = ε. | (An + bn) - (A + B) | ≤ | an− А | + | bn − B | <ε2 + ε2 = ε.

Алгебраические предельные законы позволяют нам оценивать пределы для многих последовательностей. Например, рассмотрим последовательность {1n2}. {1n2}. Как было показано ранее, limn → ∞1 / n = 0. limn → ∞1 / n = 0. Аналогично, для любого натурального числа k, k можно заключить, что

limn → ∞1nk = 0. limn → ∞1nk = 0.

В следующем примере мы используем этот факт вместе с законами пределов для оценки пределов для других последовательностей.

Пример 5.3

Определение сходимости и определение пределов

Для каждой из следующих последовательностей определите, сходится ли последовательность.Если он сходится, найдите его предел.

  1. {5−3n2} {5−3n2}
  2. {3n4−7n2 + 56−4n4} {3n4−7n2 + 56−4n4}
  3. {2nn2} {2nn2}
  4. {(1 + 4n) n} {(1 + 4n) n}
Решение
  1. Мы знаем, что 1 / n → 0,1 / n → 0. Используя этот факт, мы заключаем, что
    limn → ∞1n2 = limn → ∞ (1n) .limn → ∞ (1n) = 0. limn → ∞1n2 = limn → ∞ (1n) .limn → ∞ (1n) = 0.
    Следовательно,
    limn → ∞ (5−3n2) = limn → ∞5−3limn → ∞1n2 = 5−3 · 0 = 5.limn → ∞ (5−3n2) = limn → ∞5−3limn → ∞1n2 = 5−3 · 0 = 5.
    Последовательность сходится и ее предел равен 5.5.
  2. Вынося n4n4 из числителя и знаменателя и используя приведенные выше законы пределов, получаем
    limn → ∞3n4−7n2 + 56−4n4 = limn → ∞3−7n2 + 5n46n4−4 = limn → ∞ (3−7n2 + 5n4) limn → ∞ (6n4−4) = (limn → ∞ (3) −limn → ∞7n2 + limn → ∞5n4) (limn → ∞6n4 − limn → ∞ (4)) = (limn → ∞ (3) −7 · limn → ∞1n2 + 5 · limn → ∞1n4) (6 · limn → ∞1n4 − limn → ∞ (4)) = 3−7 · 0 + 5 · 06 · 0−4 = −34. limn → ∞3n4−7n2 + 56−4n4 = limn → ∞3−7n2 + 5n46n4−4 = limn → ∞ (3−7n2 + 5n4) limn → ∞ (6n4−4) = (limn → ∞ (3) −limn → ∞7n2 + limn → ∞5n4) (limn → ∞6n4 − limn → ∞ (4)) = (limn → ∞ (3) −7 · limn → ∞1n2 + 5 · limn → ∞1n4) (6 · limn → ∞1n4 − limn → ∞ (4)) = 3−7 · 0 + 5 · 06 · 0 −4 = −34.
    Последовательность сходится, и ее предел равен −3 / 4. − 3/4.
  3. Рассмотрим связанную функцию f (x) = 2x / x2f (x) = 2x / x2, определенную для всех действительных чисел x> 0.x> 0. Поскольку 2x → ∞2x → ∞ и x2 → ∞x2 → ∞ при x → ∞, x → ∞, примените правило Л’Опиталя и напишите
    limx → ∞2xx2 = limx → ∞2xln22x Возьмите производные числителя и знаменателя. = limx → ∞2x (ln2) 22 Возьмите производные снова. = ∞.limx → ∞2xx2 = limx → ∞2xln22x Возьмите производные числителя и знаменателя. = limx → ∞2x (ln2) 22 Снова возьмем производные. = ∞.
    Делаем вывод, что последовательность расходится.
  4. Рассмотрим функцию f (x) = (1 + 4x) xf (x) = (1 + 4x) x, определенную для всех действительных чисел x> 0. x> 0. Эта функция имеет неопределенный вид 1∞1∞ при x → ∞.x → ∞. Пусть
    y = limx → ∞ (1 + 4x) x.y = limx → ∞ (1 + 4x) x.
    Теперь, взяв натуральный логарифм обеих частей уравнения, получим
    ln (y) = ln [limx → ∞ (1 + 4x) x]. ln (y) = ln [limx → ∞ (1 + 4x) x].
    Поскольку функция f (x) = lnxf (x) = lnx непрерывна в своей области определения, мы можем поменять местами предел и натуральный логарифм. Следовательно,
    ln (y) = limx → ∞ [ln (1 + 4x) x].ln (y) = limx → ∞ [ln (1 + 4x) x].
    Используя свойства логарифмов, запишем
    limx → ∞ [ln (1 + 4x) x] = limx → ∞xln (1 + 4x) .limx → ∞ [ln (1 + 4x) x] = limx → ∞xln (1 + 4x).
    Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенный вид ∞ · 0, ∞ · 0, перепишите ее в виде дроби, чтобы применить правило Л’Опиталя. Написать
    limx → ∞xln (1 + 4x) = limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x.limx → ∞xln (1 + 4x) = limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x.
    Поскольку правая часть теперь имеет неопределенную форму 0 / 0,0 / 0, мы можем применить правило Л’Опиталя. Делаем вывод, что
    limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x = limx → ∞41 + 4 / x = 4.limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x = limx → ∞41 + 4 / x = 4.
    Следовательно, ln (y) = 4ln (y) = 4 и y = e4.y = e4. Следовательно, поскольку limx → ∞ (1 + 4x) x = e4, limx → ∞ (1 + 4x) x = e4, мы можем заключить, что последовательность {(1 + 4n) n} {(1 + 4n) n} сходится на e4.e4.

КПП 5,3

Рассмотрим последовательность {(5n2 + 1) / en}. {(5n2 + 1) / en}. Определите, сходится ли последовательность. Если он сходится, найдите его предел.

Напомним, что если ff – непрерывная функция при значении L, L, то f (x) → f (L) f (x) → f (L) при x → L.х → L. Эта идея применима и к последовательностям. Предположим, что последовательность an → L, an → L и функция ff непрерывна в L.L. Тогда f (an) → f (L) .f (an) → f (L). Это свойство часто позволяет нам находить пределы для сложных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность 5−3n2,5−3n2. Из Примера 5.3а. мы знаем последовательность 5−3n2 → 5. 5−3n2 → 5. Поскольку xx – непрерывная функция при x = 5, x = 5,

limn → ∞5−3n2 = limn → ∞ (5−3n2) = 5. limn → ∞5−3n2 = limn → ∞ (5−3n2) = 5.

Теорема 5.3

Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях

Рассмотрим последовательность {an} {an} и предположим, что существует действительное число LL такое, что последовательность {an} {an} сходится к L.L. Предположим, что ff – непрерывная функция в LL. Тогда существует целое число NN такое, что ff определено при всех значениях anan для n≥N, n≥N, и последовательность {f (an)} {f (an)} сходится к f (L) f (L) (рисунок 5.5).

Проба

Пусть ϵ> 0.ϵ> 0. Поскольку ff непрерывна в L, L, существует такое δ> 0δ> 0, что | f (x) −f (L) | <ε | f (x) −f (L) | <ε, если | x − L | <б. | х - L | <б. Поскольку последовательность {an} {an} сходится к L, L, существует такое NN, что | an − L | <δ | an − L | <δ для всех n≥N.n≥N. Следовательно, для всех n≥N, n≥N, | an − L | <δ, | an − L | <δ, откуда следует | f (an) −f (L) | <ε. | f (an) – f (L) | <ε. Мы заключаем, что последовательность {f (an)} {f (an)} сходится к f (L) .f (L).

Рисунок 5.5 Поскольку ff является непрерывной функцией, поскольку входы a1, a2, a3,… a1, a2, a3,… приближаются к L, L, выходы f (a1), f (a2), f (a3),… f ( a1), f (a2), f (a3),… приблизиться к f (L) .f (L).

Пример 5.4

Пределы, включающие непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях

Определите, сходится ли последовательность {cos (3 / n2)} {cos (3 / n2)}. Если он сходится, найдите его предел.

Решение

Поскольку последовательность {3 / n2} {3 / n2} сходится к 00 и cosxcosx непрерывна при x = 0, x = 0, мы можем заключить, что последовательность {cos (3 / n2)} {cos (3 / n2 )} сходится и

limn → ∞cos (3n2) = cos (0) = 1.limn → ∞cos (3n2) = cos (0) = 1.

КПП 5,4

Определите, сходится ли последовательность {2n + 13n + 5} {2n + 13n + 5}. Если он сходится, найдите его предел.

Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждаемых во введении в пределы.

Теорема 5.4

Теорема сжатия для последовательностей

Рассмотрим последовательности {an}, {an}, {bn}, {bn} и {cn}. {Cn}. Предположим, что существует целое число NN такое, что

an≤bn≤cn для всехn≥N.an≤bn≤cn для всехn≥N.

Если существует действительное число LL такое, что

limn → ∞an = L = limn → ∞cn, limn → ∞an = L = limn → ∞cn,

, то {bn} {bn} сходится и limn → ∞bn = Llimn → ∞bn = L (рисунок 5.6).

Проба

Пусть ε> 0.ε> 0. Поскольку последовательность {an} {an} сходится к L, L, существует целое число N1N1 такое, что | an − L | <ε | an − L | <ε для всех n≥N1.n≥N1. Аналогично, поскольку {cn} {cn} сходится к L, L, существует целое число N2N2 такое, что | cn − L | <ε | cn − L | <ε для всех n≥N2.n≥N2. По предположению существует целое число NN такое, что an≤bn≤cnan≤bn≤cn для всех n≥N.n≥N. Пусть MM будет наибольшим из N1, N2, N1, N2 и N.N. Мы должны показать, что | bn − L | <ε | bn − L | <ε для всех n≥M.n≥M. Для всех n≥M, n≥M,

−ε <- | an − L | ≤an − L≤bn − L≤cn − L≤ | cn − L | <ε. − ε <- | an − L | ≤an − L≤bn − L≤cn− L≤ | cn − L | <ε.

Следовательно, −ε

Рисунок 5.6. Каждый член bnbn удовлетворяет условию an≤bn≤cnan≤bn≤cn, а последовательности {an} {an} и {cn} {cn} сходятся к одному пределу, поэтому последовательность {bn} {bn} должна сходиться к такой же предел.

Пример 5.5

Использование теоремы о сжатии

Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.

  1. {cosnn2} {cosnn2}
  2. {(−12) n} {(- 12) n}
Решение
  1. Поскольку −1≤cosn≤1−1≤cosn≤1 для всех целых чисел n, n, имеем
    −1n2≤cosnn2≤1n2. − 1n2≤cosnn2≤1n2.
    Поскольку −1 / n2 → 0−1 / n2 → 0 и 1 / n2 → 0,1 / n2 → 0, мы заключаем, что cosn / n2 → 0cosn / n2 → 0.
  2. С
    −12n≤ (−12) n≤12n − 12n≤ (−12) n≤12n
    для всех натуральных чисел n, n, −1 / 2n → 0−1 / 2n → 0 и 1 / 2n → 0,1 / 2n → 0, мы можем заключить, что (−1/2) n → 0.(-1/2) п → 0.

КПП 5.5

Найдите limn → ∞2n − sinnn.limn → ∞2n − sinnn.

Используя идею из Примера 5.5b. заключаем, что rn → 0rn → 0 для любого действительного числа rr такого, что −1 rn → 0, если | r | <1 rn → 0, если | r | <1

(5.1)

rn → 1ifr = 1rn → 1ifr = 1

(5.2)

rn → ∞ifr> 1rn → ∞ifr> 1

(5,3)

{rn} расходится, еслиr≤ − 1 {rn} расходится, еслиr≤ − 1

(5.4)

Ограниченные последовательности

Теперь обратим наше внимание на одну из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теорему о монотонной сходимости. Прежде чем сформулировать теорему, нам нужно ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.

Определение

Последовательность {an} {an} ограничена сверху, если существует действительное число MM такое, что

для всех натуральных чисел n.п.

Последовательность {an} {an} ограничена снизу, если существует вещественное число MM такое, что

для всех натуральных чисел n.n.

Последовательность {an} {an} является ограниченной последовательностью, если она ограничена сверху и ограничена снизу.

Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность.

Например, последовательность {1 / n} {1 / n} ограничена выше, потому что 1 / n≤11 / n≤1 для всех положительных целых чисел n.n. Он также ограничен снизу, потому что 1 / n≥01 / n≥0 для всех натуральных чисел n. Следовательно, {1 / n} {1 / n} – ограниченная последовательность. С другой стороны, рассмотрим последовательность {2n}. {2n}. Поскольку 2n≥22n≥2 для всех n≥1, n≥1, последовательность ограничена снизу. Однако последовательность не ограничена сверху. Следовательно, {2n} {2n} – неограниченная последовательность.

Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность {an} {an} неограничена. Тогда он не ограничен сверху, не ограничен снизу или и тем, и другим. В любом случае есть члены anan, которые сколь угодно велики по величине с увеличением nn.В результате последовательность {an} {an} не может сходиться. Следовательно, ограниченность – необходимое условие сходимости последовательности.

Теорема 5.5

Сходящиеся последовательности ограничены

Если последовательность {an} {an} сходится, то она ограничена.

Обратите внимание, что ограниченность последовательности не является достаточным условием для сходимости последовательности. Например, последовательность {(−1) n} {(- 1) n} ограничена, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между 11 и −1−1 и никогда не приближается к конечному числу.Теперь обсудим достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.

Рассмотрим ограниченную последовательность {an}. {An}. Предположим, что последовательность {an} {an} возрастает. То есть a1≤a2≤a3… .a1≤a2≤a3…. Поскольку последовательность возрастает, члены не колеблются. Следовательно, есть две возможности. Последовательность могла расходиться до бесконечности, а могла сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что {an} {an} сходится.Например, рассмотрим последовательность

{12,23,34,45,…}. {12,23,34,45,…}.

Поскольку эта последовательность возрастает и ограничена сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность

{2,0,3,0,4,0,1, −12, −13, −14,…}. {2,0,3,0,4,0,1, −12, −13, −14 ,…}.

Несмотря на то, что последовательность не увеличивается для всех значений n, n, мы видим, что −1/2 <−1/3 <−1/4 <⋯. −1 / 2 <−1/3 <−1/4 <⋯. Следовательно, начиная с восьмого члена, a8 = −1 / 2, a8 = −1 / 2, последовательность возрастает. В этом случае мы говорим, что последовательность равна , в конечном итоге возрастает.Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Верно также и то, что если последовательность убывает (или со временем убывает) и ограничена снизу, она также сходится.

Определение

Последовательность {an} {an} возрастает для всех n≥n0n≥n0, если

an≤an + 1 для всех n≥n0.an≤an + 1 для всехn≥n0.

Последовательность {an} {an} убывает для всех n≥n0n≥n0, если

an≥an + 1 для всех n≥n0.an≥an + 1 для всехn≥n0.

Последовательность {an} {an} является монотонной последовательностью для всех n≥n0n≥n0, если она увеличивается для всех n≥n0n≥n0 или убывает для всех n≥n0.n≥n0.

Теперь у нас есть необходимые определения для формулировки теоремы о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.

Теорема 5.6

Теорема о монотонной сходимости

Если {an} {an} – ограниченная последовательность и существует натуральное число n0n0 такое, что {an} {an} монотонно для всех n≥n0, n≥n0, то { an} {an} сходится.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного текста. Вместо этого мы предоставляем график, который интуитивно показывает, почему эта теорема имеет смысл (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7 Поскольку последовательность {an} {an} возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.

В следующем примере мы показываем, как теорему о монотонной сходимости можно использовать для доказательства сходимости последовательности.

Пример 5.6

Использование теоремы о монотонной сходимости

Для каждой из следующих последовательностей используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что последовательность сходится, и найдите ее предел.

  1. {4nn!} {4nn!}
  2. {an} {an} определяется рекурсивно, так что
    a1 = 2andan + 1 = an2 + 12an для всех n≥2.a1 = 2andan + 1 = an2 + 12an для всех n≥2.
Решение
  1. Выписывая первые несколько терминов, мы видим, что
    {4nn!} = {4,8,323,323,12815,…}. {4nn!} = {4,8,323,323,12815,…}.
    Сначала сроки увеличиваются. Однако после третьего срока сроки сокращаются. Фактически, члены уменьшаются для всех n≥3.n≥3. Мы можем показать это следующим образом.
    an + 1 = 4n + 1 (n + 1)! = 4n + 1 · 4nn! = 4n + 1 · an≤anifn≥3.an + 1 = 4n + 1 (n + 1)! = 4n + 1 · 4nn ! = 4n + 1 · an≤anifn≥3.
    Следовательно, последовательность убывает для всех n≥3.n≥3. Далее, последовательность ограничена снизу числом 00, поскольку 4n / n! ≥04n / n! ≥0 для всех натуральных чисел n.n. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.
    Чтобы найти предел, воспользуемся тем, что последовательность сходится, и положим L = limn → ∞an.L = limn → ∞an. Обратите внимание на это важное наблюдение. Рассмотрим limn → ∞an + 1.limn → ∞an + 1. С
    г. {an + 1} = {a2, a3, a4,…}, {an + 1} = {a2, a3, a4,…}, единственное различие между последовательностями {an + 1} {an + 1} и {an} {an} состоит в том, что {an + 1} {an + 1} опускает первый член.Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,
    limn → ∞an + 1 = limn → ∞an = L. limn → ∞an + 1 = limn → ∞an = L.
    Объединив этот факт с уравнением

    и взяв предел обеих частей уравнения
    limn → ∞an + 1 = limn → ∞4n + 1an, limn → ∞an + 1 = limn → ∞4n + 1an,
    можно сделать вывод, что
  2. Выписка первых нескольких терминов,
    {2,54,4140,32813280,…}. {2,54,4140,32813280,…}.
    мы можем предположить, что последовательность убывает и ограничена снизу единицей.1. Чтобы показать, что последовательность ограничена снизу числом 1,1, можно показать, что
    an2 + 12an≥1.an2 + 12an≥1.
    Чтобы показать это, сначала перепишите
    an2 + 12an = an2 + 12an.an2 + 12an = an2 + 12an.
    Поскольку a1> 0a1> 0 и a2a2 определяется как сумма положительных членов, a2> 0.a2> 0. Аналогично все члены an> 0.an> 0. Следовательно,

    тогда и только тогда, когда

    Переписывая неравенство an2 + 1≥2anan2 + 1≥2an как an2−2an + 1≥0, an2−2an + 1≥0 и используя тот факт, что
    an2−2an + 1 = (an − 1) 2≥0an2−2an + 1 = (an − 1) 2≥0
    поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы можем заключить, что
    an2 + 12an≥1.an2 + 12an≥1.
    Чтобы показать, что последовательность убывает, мы должны показать, что an + 1≤anan + 1≤an для всех n≥1.n≥1. Поскольку 1≤an2,1≤an2, то
    an2 + 1≤2an2.an2 + 1≤2an2.
    Разделив обе части на 2an, 2an, получим
    an2 + 12an≤an.an2 + 12an≤an.
    Используя определение an + 1, an + 1, мы заключаем, что
    an + 1 = an2 + 12an≤an.an + 1 = an2 + 12an≤an.
    Поскольку {an} {an} ограничен снизу и убывает по теореме о монотонной сходимости, он сходится.
    Чтобы найти предел, пусть L = limn → ∞an.L = limn → ∞an. Тогда, используя рекуррентное соотношение и тот факт, что limn → ∞an = limn → ∞an + 1, limn → ∞an = limn → ∞an + 1, имеем
    limn → ∞an + 1 = limn → ∞ (an2 + 12an), limn → ∞an + 1 = limn → ∞ (an2 + 12an),
    и, следовательно,

    Умножая обе части этого уравнения на 2L, 2L, приходим к уравнению

    Решая это уравнение относительно L, L, мы заключаем, что L2 = 1, L2 = 1, откуда L = ± 1. L = ± 1. Поскольку все члены положительны, предел L = 1.L = 1.

КПП 5,6

Рассмотрим последовательность {an} {an}, определенную рекурсивно так, что a1 = 1, a1 = 1, an = an − 1/2.ан = ан − 1/2. Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найдите ее предел.

Студенческий проект

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи определяются рекурсивно последовательностью {Fn} {Fn}, где F0 = 0, F0 = 0, F1 = 1F1 = 1 и для n≥2, n≥2,

Fn = Fn − 1 + Fn − 2. Fn = Fn − 1 + Fn − 2.

Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.

  1. Запишите первые двадцать чисел Фибоначчи.
  2. Найдите замкнутую формулу для последовательности Фибоначчи, выполнив следующие шаги.
    1. Рассмотрим рекурсивно определенную последовательность {xn} {xn}, где xo = cxo = c и xn + 1 = axn.xn + 1 = axn. Покажите, что эту последовательность можно описать замкнутой формулой xn = canxn = can для всех n≥0.n≥0.
    2. Используя результат части а. в качестве мотивации ищите решение уравнения
      Fn = Fn − 1 + Fn − 2Fn = Fn − 1 + Fn − 2
      вида Fn = cλn.Fn = cλn. Определите, какие два значения λλ позволяют FnFn удовлетворять этому уравнению.
    3. Рассмотрим два решения из части b: λ1λ1 и λ2.λ2.Пусть Fn = c1λ1n + c2λ2n. Fn = c1λ1n + c2λ2n. Используйте начальные условия F0F0 и F1F1 для определения значений констант c1c1 и c2c2 и запишите замкнутую формулу Fn.Fn.
  3. Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что
    limn → ∞Fn + 1Fn = 1 + 52.limn → ∞Fn + 1Fn = 1 + 52.
    Число ϕ = (1 + 5) / 2ϕ = (1 + 5) / 2 известно как золотое сечение (рисунок 5.8 и рисунок 5.9).

    Рис. 5.8. Семена подсолнечника имеют спиралевидные узоры, изгибающиеся влево и вправо. Количество спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи – всегда.(кредит: модификация работы Эсдраса Кальдерана, Wikimedia Commons)


    Рис. 5.9 Пропорция золотого сечения присутствует во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с такими пропорциями, и соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr)

Раздел 5.1. Упражнения

Найдите первые шесть членов каждой из следующих последовательностей, начиная с n = 1.п = 1.

1.

an = 1 + (- 1) nan = 1 + (- 1) n для n≥1n≥1

2.

an = n2−1an = n2−1 для n≥1n≥1

3.

a1 = 1a1 = 1 и an = an − 1 + nan = an − 1 + n для n≥2n≥2

4.

a1 = 1, a1 = 1, a2 = 1a2 = 1 и an + 2 = an + an + 1an + 2 = an + an + 1 для n≥1n≥1

5.

Найдите явную формулу для anan, где a1 = 1a1 = 1 и an = an − 1 + nan = an − 1 + n для n≥2.n≥2.

6.

Найдите формулу anan для n-го члена арифметической последовательности, первый член которой a1 = 1a1 = 1, такой, что an + 1 − an = 17an + 1 − an = 17 для n≥1.n≥1.

7.

Найдите формулу anan для n-го члена арифметической последовательности, первый член которой a1 = −3a1 = −3, такой, что an + 1 − an = 4an + 1 − an = 4 для n≥1.n≥1.

8.

Найдите формулу anan для n-го члена геометрической последовательности, первый член которой a1 = 1a1 = 1, такой, что an + 1an = 10an + 1an = 10 для n≥1.n≥1.

9.

Найдите формулу anan для n-го члена геометрической последовательности, первый член которой a1 = 3a1 = 3, такой, что an + 1an = 1 / 10an + 1an = 1/10 для n≥1.n≥1.

10.

Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, первые несколько членов которой равны {0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}.{0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}. ( Подсказка: Сначала добавьте по одному к каждому члену.)

11.

Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, удовлетворяющего условиям a1 = 0a1 = 0 и an = 2an − 1 + 1an = 2an − 1 + 1 для n≥2.n≥2.

Найдите формулу для общего члена каждой из следующих последовательностей.

12.

{1,0, −1,0,1,0, −1,0,…} {1,0, −1,0,1,0, −1,0,…} ( Подсказка: Найдите где sinxsinx принимает эти значения)

13.

{1, −1 / 3,1 / 5, −1 / 7,…} {1, −1 / 3,1 / 5, −1 / 7,…}

Найдите функцию f (n) f (n), которая идентифицирует n-й член anan следующих рекурсивно определенных последовательностей, как an = f (n).ан = f (n).

14.

a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = −anan + 1 = −an для n≥1n≥1

15.

a1 = 2a1 = 2 и an + 1 = 2anan + 1 = 2an для n≥1n≥1

16.

a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = (n + 1) anan + 1 = (n + 1) an для n≥1n≥1

17.

a1 = 2a1 = 2 и an + 1 = (n + 1) an / 2an + 1 = (n + 1) an / 2 для n≥1n≥1

18.

a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = an / 2nan + 1 = an / 2n для n≥1n≥1

Постройте первые члены NN каждой последовательности. Укажите, указывает ли графическое свидетельство, что последовательность сходится или расходится.

19.

[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 ​​= 2, а для n≥2, n≥2, an = 12 (an − 1 + an − 2); an = 12 (an −1 + an − 2); N = 30N = 30

20.

[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 ​​= 2, a3 = 3a3 = 3 и для n≥4, n≥4, an = 13 (an − 1 + an − 2 + an −3), an = 13 (an − 1 + an − 2 + an − 3), N = 30N = 30

21.

[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 ​​= 2, а для n≥3, n≥3, an = an − 1an − 2; an = an − 1an − 2; N = 30N = 30

22.

[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 ​​= 2, a3 = 3, a3 = 3, а для n≥4, n≥4, an = an − 1an − 2an − 3; ан = ан-1ан-2ан-3; N = 30N = 30

Предположим, что limn → ∞an = 1, limn → ∞an = 1, limn → ∞bn = −1, limn → ∞bn = −1 и 0 <−bn 23.

limn → ∞ (3an − 4bn) limn → ∞ (3an − 4bn)

24.

limn → ∞ (12bn − 12an) limn → ∞ (12bn − 12an)

25.

limn → ∞an + bnan − bnlimn → ∞an + bnan − bn

26.

limn → ∞an − bnan + bnlimn → ∞an − bnan + bn

Найдите предел каждой из следующих последовательностей, используя при необходимости правило L’Hôpital.

28.

(п – 1) 2 (п + 1) 2 (п – 1) 2 (п + 1) 2

30.

n1 / nn1 / n ( Подсказка: n1 / n = e1nlnn) n1 / n = e1nlnn)

Для каждой из следующих последовательностей, для которых указаны n-е члены, укажите, является ли последовательность ограниченной и будет ли она в конечном итоге монотонной, возрастающей или убывающей.

36.

n − 1 / n, n − 1 / n, n≥3n≥3

38.

Определите, имеет ли последовательность, определенная следующим образом, предел. Если да, найдите предел.

a1 = 2, a1 = 2, a2 ​​= 22, a2 ​​= 22, a3 = 222a3 = 222 и т. Д.

39.

Определите, имеет ли последовательность, определенная следующим образом, предел. Если да, найдите предел.

a1 = 3, a1 = 3, an = 2an − 1, an = 2an − 1, n = 2,3,… .n = 2,3,….

Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.

41.

cos (1 / n) −11 / ncos (1 / n) −11 / n

43.

an = sinnsin (1 / n) an = sinnsin (1 / n)

Для следующих последовательностей нанесите первые 2525 членов последовательности и укажите, указывает ли графическое свидетельство, что последовательность сходится или расходится.

Определите предел последовательности или покажите, что последовательность расходится. Если он сходится, найдите его предел.

46.

an = tan − 1 (n2) an = tan − 1 (n2)

47.

an = (2n) 1 / n − n1 / nan = (2n) 1 / n − n1 / n

48.

ан = ln (n2) ln (2n) an = ln (n2) ln (2n)

50.

an = ln (n + 2n2−3) an = ln (n + 2n2−3)

53.

AN = (N!) 2 (2N)! AN = (N!) 2 (2N)!

Метод Ньютона направлен на аппроксимацию решения f (x) = 0f (x) = 0, которое начинается с начального приближения x0x0 и последовательно определяет последовательность xn + 1 = xn − f (xn) f ′ (xn) .xn + 1 = xn − f (xn) f ′ (xn). Для данного выбора ff и x0, x0 запишите формулу для xn + 1.xn + 1. Если последовательность кажется сходящейся, дайте точную формулу для решения x, x, затем определите предел xx с точностью до четырех знаков после запятой и наименьшее nn, такое, что xnxn согласовывается с xx до четырех знаков после запятой.

54.

[T] f (x) = x2−2, f (x) = x2−2, x0 = 1×0 = 1

55.

[T] f (x) = (x − 1) 2−2, f (x) = (x − 1) 2−2, x0 = 2×0 = 2

56.

[T] f (x) = ex − 2, f (x) = ex − 2, x0 = 1×0 = 1

57.

[T] f (x) = lnx − 1, f (x) = lnx − 1, x0 = 2×0 = 2

58.

[T] Предположим, вы начали с одного литра уксуса и несколько раз удалили 0,1 л, 0,1 л, заменили водой, перемешали и повторили.

  1. Найдите формулу для концентрации после nn шагов.
  2. Через сколько этапов смесь будет содержать менее 10% 10% уксуса?
59.

[T] Первоначально в озере содержится 2 000 000 особей рыбы. Предположим, что при отсутствии хищников или других причин выведения популяция рыб увеличивается на 6% 6% каждый месяц. Однако с учетом всех причин ежемесячно теряется 150–150 рыб.

  1. Объясните, почему популяция рыб через nn месяцев моделируется как Pn = 1.06Pn − 1−150Pn = 1.06Pn − 1−150 с P0 = 2000.P0 = 2000.
  2. Сколько рыбы будет в пруду через год?
60.

[T] Ежемесячный доход с банковского счета составляет 5% 5% годовых. Предположим, что 1000 долларов США изначально вносятся на счет, но эти 10 долларов США снимаются каждый месяц.

  1. Покажите, что сумма на счете через nn месяцев равна An = (1 + 0,05 / 12) An − 1−10; An = (1 + .05 / 12) An − 1−10; A0 = 1000.A0 = 1000.
  2. Сколько денег будет на счету через 11 лет?
  3. Сумма увеличивается или уменьшается?
  4. Предположим, что вместо 10 долларов каждый месяц снимается фиксированная сумма dd долларов.Найдите такое значение dd, чтобы сумма на счете после каждого месяца оставалась 1000 долларов США. 1000 долларов США.
  5. Что произойдет, если dd больше этой суммы?
61.

[T] Студент берет ссуду колледжа в размере 10 000 долл. США 10 000 долл. США с годовой процентной ставкой 6%, 6%, начисляемой ежемесячно.

  1. Если студент платит 100 долларов США в месяц, сколько он должен платить по прошествии 1212 месяцев?
  2. Через сколько месяцев кредит будет погашен?
62.

[T] Рассмотрим ряд, сочетающий геометрический рост и арифметическое убывание. Пусть a1 = 1.a1 = 1. Зафиксируем a> 1a> 1 и 0 63.

[T] Двоичное представление x = 0.b1b2b3 … x = 0.b1b2b3 … числа xx между 00 и 11 можно определить следующим образом. Пусть b1 = 0b1 = 0, если x <1 / 2x <1/2, и b1 = 1b1 = 1, если 1 / 2≤x <1.1 / 2≤x <1. Пусть x1 = 2x − b1.x1 = 2x − b1. Пусть b2 = 0b2 = 0, если x1 <1 / 2x1 <1/2, и b2 = 1b2 = 1, если 1 / 2≤x <1.1 / 2≤x <1. Пусть x2 = 2x1 − b2x2 = 2x1 − b2 и, вообще говоря, xn = 2xn − 1 − bnxn = 2xn − 1 − bn и bn − 1 = 0bn − 1 = 0, если xn <1 / 2xn <1/2 и bn− 1 = 1bn − 1 = 1, если 1 / 2≤xn <1.1 / 2≤xn <1. Найдите двоичное разложение 1 / 3,1 / 3.

64.

[T] Чтобы найти приближение для π, π, положите a0 = 2 + 1, a0 = 2 + 1, a1 = 2 + a0, a1 = 2 + a0 и, как правило, an + 1 = 2 + ан.ан + 1 = 2 + ан. Наконец, положим pn = 3.2n2−an.pn = 3.2n2 − an. Найдите первые десять членов pnpn и сравните значения с π.π.

Для следующих двух упражнений предположим, что у вас есть доступ к компьютерной программе или Интернет-источнику, который может генерировать список нулей и единиц любой желаемой длины. Генераторы псевдослучайных чисел (ГПСЧ) играют важную роль в моделировании случайного шума в физических системах, создавая последовательности нулей и единиц, которые выглядят как результат многократного подбрасывания монеты. Один из простейших типов ГПСЧ рекурсивно определяет произвольную последовательность из NN целых чисел a1, a2,…, aNa1, a2,…, aN, фиксируя два специальных целых числа KK и MM и позволяя + 1an + 1 быть остатком после деления К.anK.an в M, M, затем создает битовую последовательность из нулей и единиц, у которых n-й член bnbn равен единице, если anan нечетен, и равен нулю, если anan четно. Если биты bnbn являются псевдослучайными, то поведение их среднего (b1 + b2 + ⋯ + bN) / N (b1 + b2 + ⋯ + bN) / N должно быть аналогично поведению средних значений истинно случайно сгенерированных битов.

65.

[T] Начиная с K = 16 807 K = 16 807 и M = 2 147 483 647, M = 2 147 483 647, используя десять различных начальных значений a1, a1, вычислить последовательности битов bnbn до n = 1000, n = 1000 и сравнить их среднее значение до десяти таких последовательностей, генерируемых генератором случайных битов.

66.

[T] Найдите первые 1000–1000 цифр числа ππ с помощью компьютерной программы или Интернет-ресурса. Создайте последовательность битов bnbn, положив bn = 1bn = 1, если n-я цифра ππ нечетная, и bn = 0bn = 0, если n-я цифра ππ четная. Вычислить среднее значение bnbn и среднее значение dn = | bn + 1 − bn |, dn = | bn + 1 − bn |, n = 1, …, 999.n = 1, …, 999 . Кажется ли последовательность bnbn случайной? Кажутся ли различия между последовательными элементами bnbn случайными?

пределов последовательностей – предметный тест GRE: математика

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Калькулятор последовательности – Solumaths

Описание:

Калькулятор последовательностей позволяет вычислять в режиме онлайн члены последовательности, индекс которой находится между двумя пределами. 2; 1; 4; n`) после вычисления возвращается результат` u_1 = 1; u_2 = 4; u_3 = 9; u_4 = 16`.

Последовательности также могут быть вычислены путем повторения, для этого необходимо использовать калькулятор последовательностей, определяемых повторением .

Вычисление элементов арифметической последовательности

Калькулятор позволяет вычислить членов арифметической последовательности между двумя индексами этой последовательности.

Таким образом, чтобы получить членов арифметической последовательности , определяемой `u_n = 3 + 5 * n` между 1 и 4, введите: sequence (`3 + 5 * n; 1; 4; n`) после вычисления возвращается результат.n; 1; 4; n`) после расчета возвращается результат.

Вычисление суммы членов последовательности

Калькулятор рассчитывает сумма членов последовательности между двумя индексами этого ряда, его можно использовать, в частности, для расчета частичные суммы некоторых серий. 2; 1; 4; n`), возвращает` u_1 = 1; u_2 = 4; u_3 = 9; u_4 = 16`.Расчет онлайн с последовательностью (калькулятор последовательности) Онлайн-калькулятор серии

с шагами

Почему все говорят о калькуляторе серий … Открыта простая правда

Калькулятор серии

и калькулятор серии – идеальное сочетание

Таким образом, несколько резисторов могут разделять одинаковый ток.Преимущество использования сети резисторов для наушников на этой странице заключается в том, что она добавит затухание, а также предоставит вашему усилителю нагрузку на динамик, для которой он был предназначен. Все остальные кнопки делают свою работу.

Калькулятор хороших, плохих и серий

В различных задачах может быть полезно написать еще пару терминов, чтобы найти практический образец. Результат впоследствии рассчитывается в его конкретной форме. Чтобы использовать счетчик суточной экспозиции, вам необходимо знать количество шума и продолжительность воздействия, составляющие рабочий день человека.

Испытанный и верный метод для пошагового расчета рядов

Поскольку SeriesData представляет собой документированную структуру данных, она кажется подходящей, чтобы максимально использовать ее. Если размер выборки невелик, используется t-распределение, а не нормальное распределение. Например, если вы используете Antminer S9, конфигурация выглядит примерно так.

Для запуска эмуляторов вам потребуется программа с именем Ndless, способы получения которой я опишу в следующем разделе.Здесь вы можете получить бесплатные радиокоды для каждой модели и типа автомобиля. Это означает, что каждый из элементов в списке будет использоваться вместе.

Использование калькулятора безжалостных серий

Но на самом деле этого не произошло. Здесь можно посмотреть! Вот как вы можете стать одним из них.

Это важное число, потому что это инструмент, который дает инвестору возможность сравнивать инвестиции. В противном случае вы можете дать щедрую зарплату работодателю.Выберите поставщика RESP, который лучше всего соответствует вашим потребностям.

Новая пошаговая дорожная карта для калькулятора рядов

По правде говоря, это могло быть даже благодаря ему, что результат в программе. Пожалуйста, посетите мой коммерческий сайт, если вам интересно. Приведенная стоимость также может использоваться, чтобы дать вам общее представление о сумме денег, необходимой в начале выхода на пенсию для покрытия ваших потребностей в расходах.

Как розничный продавец, можно легко использовать этот калькулятор для определения цен на ваши товары и решения.Осуществлять ежедневные или даже ежемесячные изменения в использовании кредита может быть непросто, особенно если у вас много кредитных карт. Если ваша организация предлагает такой вариант, вы определенно должны извлечь из этого выгоду.

Могут быть включены соответствующие налоги и сборы. Кроме того, использование кредитного рейтинга, которое влияет на ваш кредитный рейтинг, основано на информации в вашем кредитном файле, которая может отличаться от вашего текущего баланса. Поскольку годовая процентная ставка включает в себя другие расходы, помимо истинного количества ипотеки, она выше, чем процентная ставка, которая используется для расчета ежемесячных выплат по ипотеке.

Что нужно знать о калькуляторе серий

На этой самой важной странице вы сможете найти руководства, как найти правильный способ использования радиогенератора, который подходит для вашего заблокированного автомобильного радиоприемника. Начнем с рассмотрения плохого примера. Ваш уникальный автомобильный радиокод будет доступен из базы данных автомобильных радиокодов.

Даже если процесс камеры близок к дифракционному пределу или просто превышает его, другие элементы, такие как точность фокусировки, размытость при движении и несовершенные линзы, вероятно, будут более значимыми.Начнем с того, что невозможно достичь абсолютного фокуса, работая с какой-либо оптической системой, использующей частицы с волнообразными свойствами, из-за дифракции и интерференции. Таким образом, фактическая предельная величина звездных объектов, которую можно достичь с помощью вашего телескопа, может быть основана на используемом увеличении, учитывая условия неба в вашем сообществе.

Краткий обзор калькулятора серии

Это как маленький мольберт! Это интересная область математики, имеющая множество приложений.В то время как визионерское искусство использовалось на протяжении всей истории, чтобы помочь в развитии этой внутренней ясности божественного танца, большинство из нас участвовало в этой вселенной.

Где найти калькулятор серий

Вы ищете его сумму X, так что у вас есть. Чтобы найти повторяющийся образец, вы делите все на 2 (то есть вы делаете с общим рядом то, что вы обычно делаете, чтобы встретить следующий член). Таким образом, 9 терминов должны соответствовать истинной ценности коллекции.Как правило, чтобы указать бесконечную серию, вам нужно указать бесконечное количество терминов.

Примером

1 является экспоненциальная функция, степенной ряд которой представлен ниже, а также другой степенной ряд, который вы видели в классе. Мы могли бы обнаружить связанный ряд Тейлора, применив те же шаги, которые мы предприняли здесь, чтобы получить ряд Маклуарина. Серии скидок обычно обозначаются строкой чисел, разделенных косой чертой.

Если соотношение между последовательными членами непостоянно, то последовательность не является геометрической.Введите необходимые переменные или цифры и подождите несколько секунд, и вы увидите желаемый график всего за пару секунд. Возможно, вы захотите измерить этот показатель с течением времени, когда у вас будет контрольный показатель и вы нацелитесь выше.

Шина большего размера имеет большую окружность, поэтому за каждый оборот проходит большее расстояние. Вообще говоря, для принятия решения, скорее всего, потребуется больше работы, как только точность суммы станет приемлемой и никаких дальнейших итераций вычислять не потребуется.Вы хотите понять, сколько у вас будет к концу n-го года.

Калькуляторы

HP известны тем, что используют обратную польскую нотацию (RPN). Этот калькулятор позволяет получать точные графики. Хотя в некоторых случаях этот программируемый калькулятор не допускается на экзаменах. однако это действительно может помочь учителям и ученикам глубже понять математику и графики.

Испытанный и верный метод для пошагового расчета рядов

Этот java-апплет демонстрирует коллекцию Фурье, которая является способом выражения произвольной периодической функции для количества условий косинуса.Приближение будет показано красным цветом. Они используются в математике, особенно в алгебре, исчислении, в котором вам нужно будет исправить уравнение, а затем построить графики соответствующих переменных.

Вам следует еще раз убедиться в том, что самая первая и предыдущая формулы действительно одинаковы, выписав явным образом самые первые несколько условий каждой из двух формул! Доказательство очень похоже на аргумент, который мы уже видели. Действительно, в этом случае дифференцирование должно быть проще, чем алгебраические манипуляции.

Калькулятор выбора подходящей серии

Программируемые калькуляторы HP позволяют пользователям создавать свои собственные программы. Недостаточное охлаждение приведет к выходу из строя любого ноутбука, и некоторые из имеющихся на рынке бутик-ноутбуков продаются с процессорами, которые они не могут охладить. Энтузиастам-геймерам всегда следует выбирать дискретный графический процессор.

Лучшие варианты калькулятора серии

Как выбрать калькулятор серии

Расчет использования вашего собственного кредита может помочь вам управлять балансом вашей платежной карты.Администратор вашего плана должен иметь возможность помочь. Выберите поставщика RESP, который лучше всего соответствует вашим потребностям.

Этот java-апплет демонстрирует коллекцию Фурье, которая является способом выражения произвольной периодической функции для количества условий косинуса. Приближение будет показано красным цветом. На самом деле калькулятор использует какой-то алгоритм, основанный на фундаментальных операциях, не только для вычисления тригонометрических значений, но и для вычисления квадратных корней, значений гиперболических функций и прочего.

Если вы хотите заниматься реальной наукой, мы рекомендуем вам проверить расчеты самостоятельно. Один из способов получить приближение – сложить некоторый диапазон терминов и после этого остановиться. Для тех, кто хочет узнать больше о деталях и сложных уравнениях, вы можете скачать статью здесь.

30-секундный трюк для калькулятора рядов

Следовательно, обычно используется t-распределение, а не z-распределение, поскольку оно верно как для больших, так и для малых размеров выборки, где z-распределение просто правильно для больших выборок.Напряжение на каждом конденсаторе внутри этой конфигурации нормальное. Если вы хотите вычислить последовательную емкость как минимум 10 конденсаторов, тогда просто начните с первых 10 конденсаторов и определите эквивалентную последовательную емкость.

Калькулятор преобразования размера шин или калькулятор диаметра шин – это идеальный способ найти ответы, которые вы ищете, когда речь идет о размерах шин. Представленные цвета, безусловно, являются наиболее точным отображением. Некоторые 62256 потребляют довольно много тока в режиме ожидания и быстро разряжают батареи.

Поразительный факт о раскрытом калькуляторе серий

Помимо количества людей, на этикетках лодки должна быть указана максимальная мощность, с которой лодка может безопасно справиться. Кнопки на соответствующей стороне калькулятора не работают через несколько лет. Этот калькулятор имеет заднюю крышку, а все кнопки сделаны из материала более высокого качества, что делает его более прочным.

Где найти калькулятор серий

Не считая рассказчика, мы можем вычислить общую сумму. Эта сумма повышающих сил называется геометрическим рядом.Но этого условия недостаточно, чтобы зафиксировать сходимость числовых рядов в режиме онлайн. Можно выразить любую полиномиальную функцию для набора мощности.

Следовательно, гораздо лучше держаться подальше от набора танксов Маклаурина или Тейлора, потому что вам нужно дифференцировать его каждый раз в какой-то момент, если вы хотите знать о следующем, что действительно отнимает много времени. Это то, что мы называем сбором энергии. У этой серии не было бы предыдущего термина.

Калькулятор битвы за серию и как ее выиграть

Как розничный продавец, можно легко использовать этот калькулятор для определения цен на ваши товары и решения.Опять же, ни одна из ссылок, которые я публикую, не требует наличия кредитной карты или какой-либо оплаты или регистрации. В случае если бизнес растет более высокими темпами, чем его общий риск и будущая цена заимствования, его стоимость бесконечна.

Имейте в виду, что n – это диапазон равных выплат. Если ваша кредитная карта не соответствует максимально допустимому пределу кредита, вы можете подумать о подаче заявки на увеличение ее лимита, и что именно вам нужно сделать, чтобы двигаться дальше, зависит от поставщика вашей карты.Используя фиксированные выплаты в размере, вам потребуются месяцы, чтобы избавиться от долга, и вы будете платить примерно в виде процентов.

Чтобы выявить шаги, калькулятор применяет точно такие же методы интеграции, которые применил бы человек. Этот раздел не является рецептом для вашего эксперимента. Сюжет создает прекрасную картину.

Что нужно сделать, чтобы узнать о калькуляторе серий, прежде чем вы останетесь позади

Вы можете сохранить свой инвентарь, чтобы иметь возможность эффективно обновлять стоимость облигаций.Сотрудник, освобожденный от требований к оплате сверхурочных, не имеет права на получение сверхурочной оплаты FLSA. Последний результат, полученный с помощью калькулятора лимитов, будет упрощен, поэтому он может отличаться от того, что вы могли ожидать.

Как начать работу с калькулятором серий?

Вы увидите несколько различных программ упражнений, к которым вы можете приступить, вам просто нужно будет найти ту, которая подходит для вашего характера и распорядка. Операция не такая сложная, как кажется.Хотя увеличение вашего кредитного лимита может выглядеть как решение ваших финансовых проблем, есть ряд соображений, с которыми вы также должны быть осторожны, прежде чем подавать заявку на увеличение.

Серии Калькулятор Хроники

Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень удобна для поиска первообразной, но, с другой стороны, он может опробовать большое количество возможностей за короткий промежуток времени. Другой способ увидеть, что это естественно, – это подумать о том, как мы доказываем, что утверждение, что продукт ограничений является пределом товаров.Например, при 6,56,5 вы проигнорируете десятичную дробь и поместите ее в конце расчета.

Но на самом деле этого не произошло. Мы можем сделать его еще более впечатляющим. Вы должны купить по цене 57,69 доллара.

Калькулятор серии

– Обзор

Если соотношение между последовательными членами непостоянно, то последовательность не является геометрической. В числовой последовательности порядок следования имеет решающее значение, и в зависимости от последовательности одни и те же термины могут встречаться много раз.Вообще говоря, всегда есть интервал, в котором a.

Следовательно, область желтой цифры – это размер n-й частичной суммы. В случае, если набор чисел увеличивается, способность корня также увеличивается, и наоборот. Приведенный выше пример может позволить вам понять процедуру геометрического среднего и будет полезен для вычисления среднего геометрического. Вы хотите понять, сколько у вас будет к концу n-го года.

Несмотря на то, что программа была тщательно протестирована, в ней все же может быть пара ошибок.Если размер выборки невелик, используется t-распределение, а не нормальное распределение. Чтобы рассчитать размер выборки с использованием AQL, вы должны знать, используете ли вы обычную таблицу AQL или таблицы выборки на основе нуля.

Что нужно знать о калькуляторе серий

Цена не включает опции, добавленные дилером. Продавец обычно встречает встречное предложение, если вы просите слишком много. Убедитесь, что у вас есть информация за идеальный год, прежде чем принимать решения на основе этой информации.

Калькулятор лучших серий

Остальная часть этого поста организована следующим образом. Это проиллюстрировано на этих примерах. Для получения дополнительных данных о влиянии употребления алкоголя на ваше самочувствие загляните на нашу страницу «Влияние алкоголя».

Игра-калькулятор серий

Секреты калькулятора серии

Онлайн-калькулятор

упрощает решение сложных задач и, следовательно, помогает быстро и просто изучить любой предмет.Несмотря на то, что приведенные выше диаграммы помогают понять идею дифракции, только фотография реального мира может представить ее визуальные эффекты. В то время как визионерское искусство использовалось на протяжении всей истории, чтобы помочь в развитии этой внутренней ясности божественного танца, большинство из нас участвовало в этой вселенной.

Это уменьшает влияние выбросов, хотя в этой ситуации средние арифметические и геометрические очень близки друг к другу. Например, интеграл имеет центральное значение в теории вероятностей.Они используются в математике, особенно в алгебре, исчислении, в котором вам нужно будет исправить уравнение, а затем построить графики соответствующих переменных.

Если вы хотите заниматься реальной наукой, мы рекомендуем вам проверить расчеты самостоятельно. Если порядок имеет значение, вам нужно использовать перестановку. Действительно, в этом случае дифференцирование должно быть проще, чем алгебраические манипуляции.

Новые вопросы о калькуляторе серий

Каждый штат немного отличается, но, как правило, покупатели несут ответственность за определенные продукты.При покупке на 200 000 долларов это может быть дополнительные 6000 долларов при использовании традиционной ссуды. Независимо от того, запрашиваете ли вы новую кредитную карту или желаете увеличить кредитный лимит существующей карты, банк или провайдер появятся в ассортименте элементов для оценки вашего заявления.

Ввод цены покупки в калькулятор ссуды FHA покажет, сколько вы можете попросить продавца заплатить. Управление использованием кредита имеет важное значение для поддержания очень хорошего кредитного рейтинга. Поскольку годовая процентная ставка включает другие расходы, помимо истинной суммы ипотеки, она выше, чем процентная ставка, которая используется для расчета ежемесячных выплат по ипотеке.

В различных задачах может быть полезно написать еще пару терминов, чтобы найти практический образец. Результат впоследствии рассчитывается в его конкретной форме. Чтобы использовать счетчик суточной экспозиции, вам необходимо знать количество шума и продолжительность воздействия, составляющие рабочий день человека.

Дополнительный кеш лишь незначительно влияет на производительность. Досягаемость постоянного множителя, отличного от 0, может отличаться от охвата оригинала.Вы можете выбрать, какую единицу измерения следует использовать.

Калькулятор чистой приведенной стоимости прост в использовании, а результаты легко настраиваются в соответствии с вашими потребностями. Сотрудник, освобожденный от требований к оплате сверхурочных, не имеет права на получение сверхурочной оплаты FLSA. Последний результат, полученный с помощью калькулятора лимитов, будет упрощен, поэтому он может отличаться от того, что вы могли ожидать.

Это совершенно противоречит интуиции. Наши удобные в использовании калькуляторы диаметра шин всегда будут полезны в тот или иной момент.Вот как вы можете стать одним из них.

По крайней мере, вы должны получить очень хороший знак того, чего ожидает ваш провайдер. Использование этого калькулятора домена и диапазона также гарантирует, что вы нашли правильный ответ. Тогда вы не сможете распознать работоспособный метод, как найти радиокод вашего транспортного средства, особенно если вы второй владелец транспортного средства и не поддерживаете телефонный контакт с самым первым владельцем.

Лучший калькулятор серий

Проще говоря, ряд Фурье можно использовать для выражения функции по отношению к частотам (гармоникам), из которых он состоит.Конечный результат будет таким же, как если бы вы рассчитали каждый из конденсаторов одновременно. Таким образом, фактическая предельная величина звездных объектов, которую можно достичь с помощью вашего телескопа, может быть основана на используемом увеличении, учитывая условия неба в вашем сообществе.

Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень удобна для поиска первообразной, но, с другой стороны, он может опробовать большое количество возможностей за короткий промежуток времени.Другой способ увидеть, что это естественно, – это подумать о том, как мы доказываем, что утверждение, что продукт ограничений является пределом товаров. Например, при 6,56,5 вы проигнорируете десятичную дробь и поместите ее в конце расчета.

Неизвестный секрет вычислителя серий

Этот новый калькулятор предусматривает быстрый, простой и точный подход к последовательному вычислению теплового сопротивления. Бесконечный ряд – это просто бесконечная сумма. С другой стороны, если вам нужно вывести бесконечный геометрический ряд, вы можете использовать этот калькулятор геометрических рядов.

Дональдина Кэмерон была иллюстрацией такого ангела. Мы могли бы обнаружить связанный ряд Тейлора, применив те же шаги, которые мы предприняли здесь, чтобы получить ряд Маклуарина. Если нет, это расходящийся ряд.

Калькулятор серии

– развлечение для всех

Еще одно преимущество процедуры чистой приведенной стоимости – это способ сравнения инвестиций. Помимо выплаты основной суммы, вам также необходимо выплачивать проценты, которые со временем могут добавить довольно значительную сумму.Формула аннуитета в будущем может также использоваться для определения разнообразия платежей, процентной ставки и количества повторяющихся платежей.

Если вы уверены, что получите максимум от всех или некоторых функций, о которых я упоминал ранее, выберите обновление. Программирование также может быть выполнено в сборке TI, состоящей из сборки Z80 и набора системных вызовов, предоставленных TI. Немного удивительно понимать, сколько аппаратного обеспечения Haswell все еще находится в канале.

Калькулятор самых популярных серий

Существует подразумеваемый домен, в котором r не может равняться 1, но, поскольку он подразумевается, его не нужно указывать. Весь расчет задается 5 числами, которые присваиваются в выписках на пике интернет-формы и которые вы можете редактировать. Внутри этого футляра только цифра 3 перед цифрой 5.

Испытанный и верный метод для пошагового расчета рядов

Наш калькулятор цветового кода выполняет эту проверку автоматически, и в случае, если результат не соответствует типичному значению, он покажет небольшую подсказку.Вы должны быть особенно осторожны, например, с проблемами, которые кажутся явно сложными. Например, если вы используете Antminer S9, конфигурация выглядит примерно так.

А как насчет калькулятора серий?

Наш онлайн-калькулятор может помочь вам подсчитать количество единиц и калорий в ваших напитках, чтобы вы могли оставаться в рамках предлагаемых рекомендаций, учитывая диапазон потребляемых калорий. Кроме того, при вычислении количества серий необходимым состоянием сходимости является условие бесконечности предела пропорции коллекции.Если точное значение недоступно, выберите следующее значение, которое выше.

Диапазон терминов зависит от значения x. Обратите внимание, что каждый член в суммировании положителен, иначе суммирование будет сходиться к истинному значению снизу. В геометрической бесконечной последовательности дополнительно существует типичный коэффициент между последовательными членами, известный как типичное соотношение. Третий член умножается на r дважды и т. Д.

Расчет суммы серий онлайн

Выберите переменную: х г г н к м

Выберите меньшее значение Введите самостоятельно + Infinity – Infinity 0 и верхнее значение Напечатайте самостоятельно + Бесконечность – Бесконечность

Введите ряд, чтобы вычислить его сумму:

x y π e 1 2 3 ÷ Триггерная функция
a 2 a b a b exp 4 5 6 ×

удалить

( ) | a | пер. 7 8 9
3 C журнал a 0 . +
TRIG: sin cos tan детская кроватка csc sec Назад
ОБРАТНЫЙ: arcsin arccos arctan acot acsc asec

удалить

HYPERB: sinh cosh tanh coth x π
ДРУГОЕ: , y = < >

Калькулятор для вычисления суммы ряда взят от Wolfram Alpha LLC.Все права принадлежат собственнику!

Сумма ряда

OnSolver.com позволяет найти сумму ряда в Интернете. Помимо нахождения суммы числовой последовательности онлайн, сервер находит частную сумму ряда онлайн. Это полезно для анализа, когда необходимо представить сумму ряда в режиме онлайн и найти как решение пределов частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами, www.OnSolver.com имеет огромное преимущество, потому что вы можете найти сумму не только числовых, но и функциональных рядов, которые будут определять область сходимости исходного ряда, используя наиболее известные методы.Согласно теории, необходимым условием сходимости числовой последовательности является то, что предел общего члена ряда равен нулю, когда переменная стремится к бесконечности. Однако этого условия недостаточно для определения сходимости числового ряда в режиме онлайн. Если ряды не сходятся, OnSolver.com укажет на это соответствующим сообщением. Для определения сходимости ряда найдено множество достаточных критериев сходимости или расходимости ряда. Наиболее популярные и часто используемые из них – это критерии Даламбера, Коши, Раабе; сравнение числовых рядов, а также интегральный критерий сходимости числовых рядов.Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные значения числового ряда монотонно спадают. Оказывается, для таких числовых рядов достаточно и необходимого знака сходимости, то есть предел общего члена ряда равен нулю, когда переменная стремится к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда , а также для преобразования функций в ряд в некоторой точке домена этой функции.Для этих серверов нетрудно превратить функцию в серию в режиме онлайн, но добавление функциональных рядов, каждый член которых, в отличие от числового ряда, не является числом, а функция практически невозможна из-за отсутствия необходимых технических Ресурсы. Для www.OnSolver.com такой проблемы нет.

Сходимость по вероятности

Марко Табога, доктор философии

В этой лекции обсуждается сходимость по вероятности, сначала для последовательностей случайные величины, а затем для последовательностей случайных векторов.

Сходимость по вероятности последовательности случайных величин

Как мы уже говорили в лекции под названием «Последовательности» случайных величин и их сходимости, различные концепции конвергенция основана на разных способах измерения расстояния между двумя случайные величины (насколько «близки друг к другу» две случайные величины есть).

Концепция сходимости по вероятности основана на следующей интуиции: две случайные величины “близки друг к другу”, если есть большая вероятность что разница их очень мала.

Позволять последовательность случайных величин, определенных на образец пространства . Позволять быть случайной величиной и строго положительное число.

Рассмотрим следующие вероятность:

Интуитивно считается далеким от когда ; следовательно, вероятность того, что далеко от .

Если сходится к , должен становиться все меньше и меньше по мере того, как увеличивается. Другими словами, вероятность быть далеко от должен упасть до нуля, когда увеличивается.

Формально мы должны имеют

Обратите внимание, что представляет собой последовательность действительных чисел. Следовательно, указанный выше предел является обычным пределом последовательности действительных чисел.

Кроме того, условие должно быть удовлетворено для любого (также для очень маленьких , это означает, что мы очень ограничиваем наш критерий определения того, далеко от ). Это приводит нас к следующему определению сходимости.

Следующий пример иллюстрирует концепцию сходимости по вероятности.

Пример Позволять быть дискретным случайным переменная с служба поддержки и вероятностная масса функция последовательность случайных величин чей общий термин мы хочу доказать, что сходится по вероятности к .Возьми любой . Обратите внимание, что Когда , что случается с вероятностью , у нас есть что и конечно, . Когда , что случается с вероятностью , у нас есть это и только если (или только если ). Следовательно, и Таким образом, тривиально сходится к , потому что он тождественно равен нулю для всех такой, что .С было произвольно, мы получили желаемый результат: для любой .

Сходимость по вероятности последовательность случайных векторов

Приведенное выше понятие сходимости обобщается на последовательности случайных векторов в прямолинейно.

Позволять последовательность случайных векторов, определенных на пространство для образцов , где каждый случайный вектор имеет размер .

В случае случайных величин последовательность случайных величин сходится по вероятности тогда и только тогда, когда для любой , куда это расстояние из .

В случае случайных векторов определение сходимости по вероятности остается прежним, но расстояние измеряется евклидовой нормой разница между двумя векторы: где второй индекс используется для обозначения отдельных компонентов векторов и .

Ниже приводится формальное определение.

Обозначим теперь через последовательность -го компоненты векторов . Можно доказать, что последовательность случайных векторов сходится по вероятности тогда и только тогда, когда все последовательности случайных величин сходятся по вероятности.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть случайной величиной, имеющей равномерное распределение на интервале . Другими словами, является непрерывным случайная величина с поддержка и плотность вероятности functionNow, определить последовательность случайных величин в виде следует: где индикаторная функция события .

Найдите предел вероятности (если он существует) последовательности .

Решение

Упражнение 2

Выполняет ли последовательность из предыдущего упражнения также сходятся почти обязательно?

Решение

Мы можем идентифицировать пространство для образцов при поддержке :и точки выборки с реализацией : т.е. когда реализация , потом . Почти верная конвергенция требует это где событие с нулевой вероятностью и надстрочный индекс обозначает дополнение набора.Другими словами, набор точек выборки для которого последовательность не сходится к должен быть включен в событие с нулевой вероятностью . В нашем случае легко увидеть, что для любой фиксированной точки выборки , последовательность не сходится к , потому что бесконечно много членов в последовательности равны . Следовательно, и, тривиально, не существует события с нулевой вероятностью, включающего множество Таким образом, последовательность почти наверняка не сходится к .

Упражнение 3

Позволять быть IID-последовательностью непрерывных случайные величины, имеющие равномерное распределение с поддержка и плотность вероятности функция

Найдите предел вероятности (если он существует) последовательности .

Решение

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Сходимость по вероятности», Лекции по теории вероятностей и математической статистике, Третье издание.Kindle Direct Publishing. Онлайн-приложение. https://www.statlect.com/asymptotic-theory/convergence-in-probability.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *