Решение пределов с подробным решением калькулятор: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

Содержание

Решение пределов с подробным решением

Примеры введения данных в калькулятор пределов онлайн, в том числе дробей, показан на картинке ниже. Для её облегчения предлагаю вашему вниманию калькуляторы уравнений: квадратное уравнение решение онлайн. Тупо вставили функцию, тупо получили произво…

Примеры введения данных в калькулятор пределов онлайн, в том числе дробей, показан на картинке ниже. Для её облегчения предлагаю вашему вниманию калькуляторы уравнений: квадратное уравнение решение онлайн. Тупо вставили функцию, тупо получили производную, переписали решение, ткнули в нос математику и забыли навсегда. Для всех жаждущих халявы даю ссылку на страницу, где можно получить графический метод решения системы уравнений сразу и бесплатно. А варианты “нет решений” и “бесконечное множество решений” будут отсеиваться на этапе анализа. Она не заморачивается с системами уравнений, у которых нет решений или решений бесконечное множество.
Подводя итог, можно сказать, что данный калькулятор производных избавляет нас от необходимости ломать голову в поиске решения производной.
Следует заметить, что общение с калькулятором пределов основано на всеобщем математическом равенстве: калькулятору абсолютно безразлично, кто с ним общается – двоечник из 5-Б класса или профессор математики – все должны выражать свои мысли на языке компьютера, а не на своем собственном.

Квадратное уравнение, взятое с потолка (как это обычно делается для учебников), может не иметь решений.
Наша задача взять ту функцию, которую нам задали математики и найти производную функции, что бы могли отмахнуться этим решением от математиков, как от назойливых мух.

В результате вы получите решение системы уравнений, к которому прилагается графический метод решения.
Если вас не устраивает этот калькулятор, то решение пределов онлайн можно посмотреть на других сайтах.
Лично я тем математикам, которые выдают комплексные решения, платил бы комплексную зарплату: действительная часть равна минимальной зарплате, а в комплексной части зарплаты можно обещать всё, что угодно. Уравнения ради решений – это маразм или дрессировка обезьян (воспитание тупых бюрократических функций, пригодных для использования в любых бюрократических системах).

Mathsolution пределы – Калькулятор онлайн – Решение пределов

Mathsolution пределы – Калькулятор онлайн – Решение пределов

  • by alexxlab
  • Советы абитуриенту

Решение задач по математике онлайн

Данный сайт обращён к учащимся в том или ином объеме изучающим математику и/или геометрию и призван помочь школьникам и студентам в изучении курса математики, освободить их от многих рутинных вычислений, и подсказать метод решения.
Основу сайта составляют математические программы (калькуляторы) для решения задач онлайн.

Все вычисления производятся на сайте, программы не нужно скачивать и устанавливать на компьютер.
На каждую задачу приводится поэтапный процесс получения ответа, т. {2}\right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot \left( sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) \cdot \left( 2 \cdot x\right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) \cdot 2= $$ $$ = 4 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) $$
Ответ:
$$ f'(x) = 4 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) $$

В разделе Книги вы найдете большой список книг, учебников, решебников, ГДЗ, тестов и контрольных работ с ответами по математике и геометрии для всех классов общеобразовательных школ.
Все книги в электронном виде и доступны для скачивания бесплатно.

Отдельно стоит упомянуть программу для построения графиков функций онлайн.
Программа работает в вашем браузере, её не нужно устанавливать на компьютер.

Для её работы нужен только установленный Adobe Flash Player.

Возможности программы:
– можно строить несколько графиков в одном окне
– можно менять цвет и толщину линии постоения графика
– можно скрывать и отображать как сетку так и графики
– можно изменять масштаб отображения
– можно трассировать графики
– можно сохранять построение графиков в виде картинки

www.mathsolution.ru

Калькулятор онлайн – Решение показательных уравнений

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит

подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о показательной функции и общие методы решения показательных уравнений.

Примеры подробного решения >>

Введите показательное уравнение

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени.

n} \)

6) an > 0

7) an > 1, если a > 1, n > 0

8) anm, если a > 1, n

9) an > am, если 0

В практике часто используются функции вида y = ax, где a – заданное положительное число, x – переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a

x, где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a

x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = ax при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.

Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 23x • 3x = 576
Так как 23x

= (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3х + 1 – 2 • 3x – 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х – 2, получаем 3х – 2(33 – 2) = 25, 3х – 2 • 25 = 25,
откуда 3х – 2 = 1, x – 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3х = 7х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac{3^x}{7^x} = 1 \), откуда \( \left( \frac{3}{7} \right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9х – 4 • 3х – 45 = 0
Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 – 4t – 45 = 0. {x-2} = 1 \)
x – 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3|х – 1| = 3|х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х – 1)2 = (х + 3)2, откуда
х2 – 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

www.mathsolution.ru

Калькулятор онлайн – Упрощение многочлена (умножение многочленов) (с подробным решением)

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
– умножает многочлены
– суммирует одночлены (приводит подобные)
– раскрывает скобки
– возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т. е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Примеры подробного решения >>

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. 3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. 2 = (a – b)(a + b) \) – разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

www.mathsolution.ru

Калькулятор корней онлайн – особенности извлечения корней с подробным объяснением

Калькулятор

Заполните поля для вычисления корня из числа

Онлайн-калькулятор – удобный ресурс, помогающий решать задачи, примеры, в котроых встречаются квадратные или степенные корни. Чтобы правильно извлекать корни уравнения онлайн, важно хорошо знать терминологию, основные математические понятия. Что такое квадратный корень – это процесс, обратный возведению натурального числа в квадрат (перемножению числа или понимаемого под ним математического объекта на самое себя).

Таблица корней от 0 до 99

Извлечение корней

Представить работу калькулятора можно с помощью таблицы квадратов двузначных чисел. По горизонтали в каждом из столбцов указаны единицы от одного до девяти, по вертикали – десятки. Достаточно выяснить, в какой из ячеек находится подкоренное число. Несложно догадаться, что по горизонтали в левой крайней колонке указаны десятки, в верхней строчке таблицы – единицы.

Допустим, под корнем стоит 7056. Находим значение в таблице. Это 8 десятков и 4 единицы, число 84. То есть, 84 это квадратный корень онлайн из 7056. Онлайн-калькулятор находит значения любого подкоренного выражения по подобным таблицам.

При перемножении отрицательных величин получается величина, больше нуля. Извлечение арифметического квадратного корня возможно только из положительного числа (матрицы).

Свойства арифметического квадратного корня

Пользоваться онлайн-калькулятором будет проще, если сначала упростить выражение, привести в удобный для вычисления вид. Чтобы преобразовать подкоренное значение, стоит воспользоваться правилами умножения, деления корней, возведение их в степень. Свойства корней стоит вызубрить, их всего три. Каждое рассмотрено ниже отдельно. Решение корней онлайн упрощается после математических преобразований подкоренного значения или выражения. Для этого достаточно знаний арифметики и азов алгебры.

Умножение корней

Если произведение подкоренного выражения можно представить в виде двух множителей, достаточно перемножить корни, извлеченные из этих множителей: допустим, под корнем стоит число 576. Преобразуем его в два множителя: 64 и 9. Затем извлекаем корень из 64, он равен 8, подобную процедуру проводим со вторым из множителей. Квадратный корень из девяти равен 3. Осталось найти результат: 8х3=24. Корень 576 равен 24.

Формулой свойство изображается так:

Раскладывая подкоренное значение на множители, можно значительно упростить процесс вычисления квадратных корней.

Деление корней

Следующее свойство удобно для извлечения корней из дробных чисел. Когда подкоренное выражение представлено в виде дроби, следует воспользоваться правилом деления. Проще запомнить это свойство по формуле:

Обратная формула трактуется следующим образом: корень из частного равен частному корней.

Допустим, нужно извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Для этого необходимо извлечь корень из 25, это 5. Затем подобную манипуляцию произвести с делителем дроби: корень 144 равен двенадцати. После извлечения корня из 25/144 получаем дробь 5/8. Если корень необходимо вычислить из десятичной дроби, нужно представить ее в виде натуральной. Например, 0,64 это 64/100. В результате получаем 8/10 или 0,8. Все довольно просто. Если из делимого или делителя корень не извлекается, при решении примеров или задач его оставляют под знаком корня.

Возведение в степень

Последнее свойство корней – это возведение его в степень. Тут все просто: достаточно перенести степень под корень, подставить к подкоренному выражению.

При возведении подкоренного числа в квадрат с последующим извлечением квадратного корня получаем первоначальное подкоренное выражение. На слух выражение воспринимается сложно. Проще усвоить формулу:

Из формулы видно, что этим свойством удобно пользоваться при возведении квадратного корня в четную степень, ее можно сразу делить на два и убирать знак корня. Как всегда, пример: чтобы возвести в шестую степень квадратный корень числа 3, необходимо возвести число 3 в куб, степенной показатель 6 поделить пополам.

Внесение под знак корня

При решении задач и примеров возникает необходимость вносить под корень множитель. Например, чтобы вычислить 4 корня из 4, можно представить выражение в виде двух корней: первым подкоренным выражением будет 42, второе останется неизменным. Финальное выражение нетрудно произвести, воспользовавшись формулами:

Формулу запомнить легко, она может пригодиться на экзамене.

Сравнение корней

Для графического решения уравнений нередко приходится сравнивать корни. Как это сделать быстро при сравнении квадратных корней? Воспользоваться еще одним правилом: чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня. Допустим, нужно сравнить

2√3 и 3√2. Вносим числа в подкоренные выражения. Получаем под знаками корней два выражения: 22х3 и 32х2. Осталось сравнить числа 12 и 18. Второе больше.

Свойства квадратных корней распространяются на другие коренные значения: четные или нечетные. Важно помнить, что в подкоренном выражении с четным показателем не может быть отрицательных чисел. С нечетными числами такое возможно. Результат в этом случае тоже будет отрицательным.

На этом экскурс по свойствам, сравнению корней можно считать исчерпывающим. Зная эти правила обращения с корнями, можно упростить сложное выражение. Пользоваться нашим онлайн-калькулятором с подсказками очень просто.

Найдите пределы функций в исчислении

Найдите пределы различных функций, используя разные методы. Представлено несколько примеров с подробными решениями. Другие упражнения с ответами находятся в конце этой страницы.

Примеры с подробными решениями

Пример 1

Найдите предел

Решение примера 1:
Обратите внимание, что мы ищем предел, когда x приближается к 1 слева (x → 1 -1 означает, что x приближается к 1 на значения меньше 1). 2 + х-30}

Решение примера 2:
Хотя рассматриваемый предел – это отношение двух многочленов, x = 5 делает и числитель, и знаменатель равными нулю. Нам нужно разложить на множители числитель и знаменатель, как показано ниже.

= \ lim_ {x \ to \ 5} \ dfrac {(x-5) (x + 5)} {(x-5) (x + 6)}


Упростите, чтобы получить

= \ lim_ {x \ to \ 5} \ dfrac {(x + 5)} {(x + 6)} = \ dfrac {10} {11}

Пример 3

Рассчитать предел
Решение для примера 3:
Нам нужно посмотреть на предел слева от 2 и предел справа от 2. Когда x приближается к 2 слева, x – 2 <0, следовательно,
| x – 2 | = – (х – 2)
Подставьте, чтобы получить предел слева от 2 следующим образом:

= – 8
Когда x приближается к 2 справа, x – 2> 0, следовательно,
| x – 2 | = х – 2
Замените, чтобы получить предел справа от 2 следующим образом.

= 8 Предел справа от 2 и предел слева от 2 не равны, поэтому данный предел НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Пример 4

Рассчитать предел
Решение примера 4:
Когда x приближается к -1, кубический корень x + 1 приближается к 0, а ln (x + 1) приближается – бесконечность, следовательно, неопределенная форма 0. (1 / (x + 1) -1) стремится к 0, следовательно, неопределенная форма бесконечности. 0

Давайте перепишем предел так, чтобы он имел неопределенную форму 0/0.

Примените теорему Лопиталя, чтобы найти предел.

= – 1

Пример 6

Найдите предел

Решение для примера 6:

Когда x приближается к 9, числитель и знаменатель приближаются к нулю. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение числителя.


Расширяйте и упрощайте.

а теперь найди предел.

= 1/6

Пример 7

Найдите предел

Решение для примера 7:
Диапазон функции косинуса составляет.
-1 <= соз х <= 1
Разделите все члены указанного неравенства на x, так как x положительное.
-1 / х <= соз х / х <= 1 / х
Теперь, когда x принимает большие значения без ограничений (+ бесконечность), оба -1 / x и 1 / x стремятся к 0. Следовательно, по теореме сжатия указанный выше предел равен
.

Пример 8

Найдите предел

Решение примера 8:
Когда t приближается к 0, и числитель, и знаменатель приближаются к 0, и мы имеем неопределенную форму 0/0. Следовательно, для вычисления указанного выше предела используется теорема Л’Опиталя:

Пример 9

Найдите предел

Решение для примера 9:
Сначала мы вычитаем 16 x 2 под квадратный корень из знаменателя, извлекаем квадратный корень и переписываем предел как
Поскольку x приближается к большим положительным значениям (бесконечность) | х | = х. Упростите и найдите предел.

= 3/4

Пример 10

Найдите предел

Решение примера 10:
Если x приближается к 2 слева, то x – 2 приближается к 0 слева или x – 2 <0. Числитель приближается к 5, а знаменатель приближается к 0 слева, поэтому предел равен
.

Пример 11

Найдите предел

Решение для примера 11:
Фактор x 2 в знаменателе и упрощение.

Поскольку x принимает большие значения (бесконечность), члены 2 / x и 1 / x 2 приближаются к 0, следовательно, предел равен
= 3/4

Пример 12

Найдите предел

Решение примера 12:
Фактор x 2 в числителе и знаменателе и упрощение.

Поскольку x принимает большие значения (бесконечность), члены 1 / x и 1 / x 2 и 3 / x 2 приближаются к 0, следовательно, предел равен
= 0/2 = 0

Пример 13

Найдите предел

Решение примера 13:
Умножьте числитель и знаменатель на 3t.

Используйте свойства пределов и теоремы, чтобы переписать вышеуказанный предел как произведение двух пределов и константы.
Теперь вычислим первый предел, положив T = 3t и отметив, что когда t приближается к 0, то же самое и T.Мы также используем тот факт, что sin T / T приближается к 1, когда T приближается к 0. Следовательно,
Второй предел легко вычисляется следующим образом:
Конечное значение данного предела составляет

Пример 14

Найдите предел

Решение для примера 14:
Фактор x 2 внутри квадратного корня и использование того факта, что sqrt (x 2 ) = | х |.

Так как x принимает большие значения (бесконечность), то | х | = х. Следовательно, неопределенная форма

Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение и упростите
Выделяем множитель x из числителя и знаменателя и упрощаем
По мере увеличения x члены 1 / x и 1 / x 2 приближаются к нулю, а предел равен
= 1/2.

Пример 15

Найдите предел

Решение для примера 15:
Пусть z = 1 / x, так что по мере увеличения x x приближается к 0.Подставьте и рассчитайте лимит следующим образом.

Упражнения

Рассчитайте следующие пределы
1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответы на вышеуказанные упражнения


1) 3
2) 1
3) 1
4) 1/4
5) 0
6) 4

Дополнительные ссылки и ссылки

Учебные пособия и проблемы по исчислению
Вопросы по функциям абсолютных значений
электронная почта
Домашняя страница

Дифференциальные уравнения – определения

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первое определение, которое мы должны рассмотреть, должно заключаться в дифференциальном уравнении .Дифференциальное уравнение – это любое уравнение, которое содержит производные, обыкновенные производные или частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, – это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \ (m \) движется с ускорением \ (a \) и на него действует сила \ (F \), то нам говорит Второй закон Ньютона. 2}}} = F \ left ({t, u, \ frac {{du}} {{dt }}} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2 \ partial t}} = 1 + \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ label {eq: eq10} \ end {уравнение} \]

Заказать

Порядок дифференциального уравнения – это наибольшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) – это дифференциальное уравнение первого порядка, \ (\ eqref {eq: eq4} \), \ (\ eqref {eq: eq5} \), \ ( \ eqref {eq: eq6} \), \ (\ eqref {eq: eq8} \) и \ (\ eqref {eq: eq9} \) – дифференциальные уравнения второго порядка, \ (\ eqref {eq: eq10} \ ) – дифференциальное уравнение третьего порядка, а \ (\ eqref {eq: eq7} \) – дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли у вас обыкновенные или частные производные в дифференциальном уравнении.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ode, , если в нем есть обыкновенные производные.Аналогичным образом, дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) – \ (\ eqref {eq: eq7} \) – это оды, а \ (\ eqref {eq: eq8} \) – \ (\ eqref {eq: eq10} \) являются PDE.

Подавляющее большинство этих заметок относится к одам. y} \).

Коэффициенты \ ({a_0} \ left (t \ right), \, \, \ ldots \, \ ,, {a_n} \ left (t \ right) \) и \ (g \ left (t \ right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \ (y \ left (t \ right) \) и ее производные используются для определения, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение не может быть записано в форме \ (\ eqref {eq: eq11} \), то оно называется нелинейным дифференциальным уравнением .

В \ (\ eqref {eq: eq5} \) – \ (\ eqref {eq: eq7} \) только выше \ (\ eqref {eq: eq6} \) нелинейно, два других – линейные дифференциальные уравнения. . Мы не можем классифицировать \ (\ eqref {eq: eq3} \) и \ (\ eqref {eq: eq4} \), так как не знаем, какую форму имеет функция \ (F \). Они могут быть как линейными, так и нелинейными, в зависимости от \ (F \).

Решение

Решение дифференциального уравнения на интервале \ (\ alpha В этой форме ясно, что нам нужно будет избегать как минимум \ (x = 0 \), так как это даст деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это эмпирическое правило: начинайте с реальных чисел, заканчивайте действительными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также необходимо избегать отрицательных значений \ (x \).

Итак, мы видели в последнем примере, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, вызванных решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

В последнем примере обратите внимание, что на самом деле существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]

Мы оставим вам детали, чтобы проверить, действительно ли это решения. Можете ли вы предложить какие-либо другие решения дифференциального уравнения на этих примерах? На самом деле существует бесконечное число решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное количество решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим…), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос подводит нас к следующему определению в этом разделе.

Начальные условия

Начальные условия – это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение мы ищем. Начальные условия (часто сокращенно обозначаемые как i.c., когда нам лень …) имеют вид

. \ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

Другими словами, начальные условия – это значения решения и / или его производной (ей) в определенных точках. Как мы вскоре увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны и, следовательно, только одно решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, которые требуются для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2} y ” + 12xy ‘+ 3y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (4 \ right) = \ frac {1} {8}, \, \, \, \, y’ \ left (4 \ right) = – \ frac {3} {{64}} \]

Пример 4 Вот еще одна IVP.

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, y \ left (1 \ right) = – 4 \]

Как мы отметили ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Интервал действия

Интервал действия для IVP с начальным условием (ями)

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

– это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \ ({t_0} \). Их легко определить, но бывает сложно найти, поэтому мы не будем больше говорить об этом, пока не перейдем к фактическому решению дифференциальных уравнений и не будем нуждаться в интервале достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принимать решение, и не учитывает никаких начальных условий.2}}} \) – общее решение \ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \]

Мы предоставим вам возможность проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. Фактически, все решения этого дифференциального уравнения будут в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать и вскоре сможете убедиться в этом сами.

Фактическое решение

Фактическое решение дифференциального уравнения – это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям. 2}}} \]

Все, что нам нужно сделать, это определить значение \ (c \), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}} \]

Из этого последнего примера мы можем видеть, что как только у нас есть общее решение дифференциального уравнения, нахождение фактического решения является не чем иным, как применением начального условия (й) и решения для константы (й), которые находятся в общем решении.

Неявное / явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать вам, чем не является неявное решение, а затем привести пример, чтобы показать разницу.Итак, вот что мы будем делать.

Явное решение – это любое решение, заданное в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Другими словами, единственное место, где действительно появляется \ (y \), – это когда-то слева и только в первой степени. Неявное решение – это любое решение, которое не указано в явной форме. 2} – 3 \) является фактическим неявным решением для \ (y ‘= \ frac {t} {y}, \, \, \, \, \, y \ влево (2 \ вправо) = – 1 \)

Здесь мы попросим вас поверить в то, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} – 3} \]

В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Однако следует отметить, что не всегда можно будет найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое поможет нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Мы разобрались с большинством основных определений и теперь можем перейти к другим темам.

Использование калькулятора количественных показателей GRE (для испытуемых)

Иногда вычисления, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос в критерии количественного мышления Общего теста GRE ® , отнимают много времени, например, деление в столбик или квадратные корни. Для таких вычислений вы можете использовать калькулятор, поставляемый с вашим тестом.

Хотя калькулятор может сократить время, необходимое для выполнения вычислений, имейте в виду, что калькулятор предоставляет результаты, которые дополняют, но не заменяют ваши знания математики. Вы должны использовать свои математические знания, чтобы определить, являются ли результаты калькулятора разумными и как их можно использовать для ответа на вопрос.

Вот несколько общих рекомендаций по использованию калькулятора для измерения количественного мышления:

Рекомендации, относящиеся к экранному калькулятору

Ниже приведены несколько примеров вычислений с использованием калькулятора.

  1. Вычислить

    Пояснение

    Введите, чтобы получить 7,365. Или введите, чтобы получить 3,365, а затем введите, чтобы получить 7,365.

  2. Вычислить

    Пояснение

    Поскольку деление имеет приоритет перед сложением в порядке операций, вам необходимо переопределить этот приоритет, чтобы вычислить эту дробь. Вот два способа сделать это. Вы можете использовать круглые скобки для добавления в числитель, вводя, чтобы получить Или вы можете использовать знак равенства после 9.3, ввод для получения того же результата. Обратите внимание на то, что во втором способе нажатие первой имеет важное значение, потому что без нее будет выполняться ошибочное вычисление. Между прочим, точное значение выражения – это повторяющаяся десятичная дробь, где цифры 285714 повторяются без конца, но калькулятор округляет десятичную дробь до

    .

  3. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 21 и 54 с точностью до 0,01; то есть использовать теорему Пифагора и вычислить

    Пояснение

    Введите, чтобы получить 57.939624. Опять же, нажатие перед умножением необходимо, потому что вычисление будет ошибочным. Это потому, что квадратный корень будет иметь приоритет над умножением в порядке операций. Обратите внимание, что можно использовать круглые скобки, как в, но в них нет необходимости, потому что умножение уже имеет приоритет над сложением. Между прочим, точным ответом является неповторяющееся десятичное число или иррациональное число, но калькулятор округляет десятичное число до 57,939624. Наконец, обратите внимание, что проблема требует ответа с точностью до нуля.01, поэтому правильный ответ – 57,94.

  4. Вычислить

    Пояснение

    Введите, чтобы получить

  5. Перевести 6 миль в час в футы в секунду.

    Пояснение

    Для решения этой проблемы используются коэффициенты преобразования и следующие:

    Введите, чтобы получить 8.8. Или введите, чтобы получить результат 31 680, а затем введите, чтобы получить 8,8 футов в секунду.

  6. На мероприятии по сбору средств 43 участника пожертвовали по 60 долларов каждый, 21 участник – по 80 долларов каждый, а 16 участников – по 100 долларов каждый.Каково было среднее (среднее арифметическое) пожертвование на одного участника в долларах?

    Пояснение

    Решением этой проблемы является вычисление взвешенного среднего. Вы можете использовать кнопки памяти и круглые скобки для этого вычисления следующим образом:

    Введите

    , чтобы получить 73,25, или 73,25 доллара за участника.

    При первом использовании кнопки число на дисплее калькулятора сохраняется в памяти, а слева от дисплея появляется буква M, указывающая на то, что функция памяти используется.При каждом последующем использовании кнопки число на текущем дисплее прибавляется к числу, хранящемуся в памяти, и заменяет число, хранящееся в памяти, на сумму. Когда кнопка нажата в вычислении выше, отображается текущее значение в памяти, 5,860. Чтобы очистить память, используйте кнопку, и M рядом с дисплеем исчезнет.

См. Также:

Символьная математика в Python – конспект лекции Scipy

Автор : Фабиан Педрегоса

Цели

  1. Вычисляйте выражения с произвольной точностью.
  2. Выполнять алгебраические манипуляции с символическими выражениями.
  3. Выполнение основных вычислительных задач (пределы, дифференцирование и
    интегрирование) с символьными выражениями.
  4. Решайте полиномиальные и трансцендентные уравнения.
  5. Решите некоторые дифференциальные уравнения.

Что такое SymPy? SymPy – это библиотека Python для символьной математики. Это стремится быть альтернативой таким системам, как Mathematica или Maple, сохраняя при этом код максимально простой и легкий расширяемый.SymPy полностью написан на Python и не требует никаких внешние библиотеки.

Документацию

Sympy и пакеты для установки можно найти на http://www.sympy.org/

3.2.1.1. Использование SymPy в качестве калькулятора

SymPy определяет три числовых типа: Real , Rational и Integer .

Класс Rational представляет рациональное число как пару из двух Целые числа: числитель и знаменатель, поэтому Rational (1, 2) представляет 1/2, Rational (5, 2) 5/2 и так далее:

 >>> импортировать sympy как sym
>>> a = симв.Рациональный (1, 2)

>>> а
1/2

>>> а * 2
1
 

SymPy использует mpmath в фоновом режиме, что позволяет выполнять вычисления с использованием арифметики произвольной точности. Что Кстати, некоторые специальные константы, например,, (Бесконечность), рассматриваются как символов и может быть вычислено с произвольной точностью:

 >>> sym.pi ** 2
пи ** 2

>>> sym.pi.evalf ()
3,1415

58979 >>> (sym.pi + sym.exp (1)). evalf () 5,85987448204884

, как видите, evalf вычисляет выражение как число с плавающей запятой.

Существует также класс, представляющий математическую бесконечность, называемый oo :

 >>> sym.oo> 99999
Правда
>>> sym.oo + 1
оо
 

Упражнения

  1. Вычислить со 100 десятичными знаками.
  2. Расчет по рациональной арифметике.

3.2.1.2. Символы

В отличие от других систем компьютерной алгебры, в SymPy вы должны объявить символьные переменные явно:

 >>> x = симв.Символ ('x')
>>> y = симв. символ ('y')
 

Тогда вы можете ими манипулировать:

 >>> х + у + х - у
2 * х

>>> (х + у) ** 2
(х + у) ** 2
 
Символами

теперь можно управлять с помощью некоторых операторов Python: + , -`, `` * , ** (арифметика), &, | , ~, >>, << (логическое).

Печать

Sympy позволяет управлять отображением вывода. Отсюда мы используем следующая настройка для печати:

 >>> сим.init_printing (use_unicode = False, wrap_line = True)
 

SymPy может выполнять мощные алгебраические манипуляции. Хорошо ознакомьтесь с некоторыми из наиболее часто используемых: расширять и упрощать.

3.2.2.1. Развернуть

Используйте это, чтобы развернуть алгебраическое выражение. Он будет пытаться опровергнуть степени и умножения:

 >>> симв. Развернуть ((x + y) ** 3)
 3 2 2 3
х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
>>> 3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3
 3 2 2 3
х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
 

Дальнейшие варианты можно задать в форме по ключевым словам:

 >>> сим.развернуть (x + y, комплекс = True)
re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)
>>> sym.I * sym.im (x) + sym.I * sym.im (y) + sym.re (x) + sym.re (y)
re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)

>>> sym.expand (sym.cos (x + y), trig = True)
-sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
>>> sym.cos (x) * sym.cos (y) - sym.sin (x) * sym.sin (y)
-sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
 

3.2.2.2. Упростить

Используйте упрощение, если вы хотите преобразовать выражение в более простая форма:

 >>> сим.упростить ((x + x * y) / x)
у + 1
 

Упрощение – это несколько расплывчатый термин, более точный. существуют альтернативы упрощению: powsimp (упрощение экспоненты), trigsimp (для тригонометрических выражений), logcombine , radsimp вместе.

Упражнения

  1. Рассчитать развернутую форму.
  2. Упростить тригонометрическое выражение

3.2.3.1. Лимиты

Limits легко использовать в SymPy, они соответствуют синтаксису limit (function, переменная, точка) , поэтому для вычисления предела как , вы должны выдать limit (f, x, 0) :

 >>> сим.предел (sym.sin (x) / x, x, 0)
1
 

, вы также можете рассчитать предел на бесконечности:

 >>> sym.limit (x, x, sym.oo)
оо

>>> sym.limit (1 / x, x, sym.oo)
0

>>> сим. предел (х ** х, х, 0)
1
 

3.2.3.2. Дифференциация

Вы можете различать любое выражение SymPy, используя diff (func, var) . Примеры:

 >>> sym.diff (sym.sin (x), x)
cos (x)
>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x)
2 * соз (2 * х)

>>> сим.diff (sym.tan (x), x)
   2
загар (х) + 1
 

Проверить правильность можно по:

 >>> sym.limit ((sym.tan (x + y) - sym.tan (x)) / y, y, 0)
   2
загар (х) + 1
 

Высшие производные можно вычислить с помощью метода diff (func, var, n) :

 >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 1)
2 * соз (2 * х)

>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 2)
-4 * грех (2 * x)

>>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 3)
-8 * соз (2 * х)
 

3.2.3.3. Расширение серии

SymPy также знает, как вычислить ряд Тейлора выражения в точка.Используйте серию (expr, var) :

 >>> sym.series (sym.cos (x), x)
     2 4
    х х / 6 \
1 - - + - + O \ x /
    2 24
>>> sym.series (1 / sym.cos (x), x)
     2 4
    х 5 * х / 6 \
1 + - + ---- + O \ x /
    2 24
 

Упражнения

  1. Рассчитать
  2. Вычислить производную для.

3.2.3.4. Интеграция

SymPy поддерживает неопределенную и определенную интеграцию трансцендентальных элементарные и специальные функции через средство интеграции () , которое использует мощный расширенный алгоритм Риша-Нормана и некоторые эвристики и шаблоны соответствие.Можно интегрировать элементарные функции:

 >>> sym.integrate (6 * x ** 5, x)
 6
Икс
>>> sym.integrate (sym.sin (x), x)
-cos (х)
>>> sym.integrate (sym.log (x), x)
х * журнал (х) - х
>>> sym.integrate (2 * x + sym.sinh (x), x)
 2
х + сш (х)
 

Также легко обрабатываются специальные функции:

 >>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2) * sym.erf (x), x)
  ____ 2
\ / пи * erf (х)
--------------
      4
 

Можно вычислить определенный интеграл:

 >>> сим.интегрировать (x ** 3, (x, -1, 1))
0
>>> sym.integrate (sym.sin (x), (x, 0, sym.pi / 2))
1
>>> sym.integrate (sym.cos (x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2))
2
 

Также поддерживаются несобственные интегралы:

 >>> sym.integrate (sym.exp (-x), (x, 0, sym.oo))
1
>>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2), (x, -sym.oo, sym.oo))
  ____
\/ Пи
 

SymPy может решать алгебраические уравнения в одном и нескольких переменные с использованием функции solutionset () :

 >>> сим.набор решений (x ** 4-1, x)
{-1, 1, -I, I}
 

Как видите, первым аргументом является выражение, которое предполагается равным 0. Он также имеет (ограниченную) поддержку трансцендентного уравнения:

 >>> sym.solveset (sym.exp (x) + 1, x)
{I * (2 * n * pi + pi) | n в целых числах}
 

Системы линейных уравнений

Sympy может решить большую часть полиномиальные уравнения, а также может решать несколько уравнения относительно нескольких переменных, дающие кортеж в качестве второго аргумент.Для этого вы используете команду solution () :

 >>> решение = sym.solve ((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
>>> решение [x], решение [y]
 

(-3, 1)

Другой альтернативой в случае полиномиальных уравнений является фактор . Фактор возвращает полином, разложенный на несократимые условия, и способен вычислять факторизацию по различным домены:

 >>> е = х ** 4 - 3 * х ** 2 + 1
>>> сим.фактор (f)
/ 2 \ / 2 \
\ x - x - 1 / * \ x + x - 1 /

>>> sym.factor (f, модуль = 5)
       2 2
(х - 2) * (х + 2)
 

SymPy также может решать логические уравнения, то есть определять, определенное логическое выражение выполнимо или нет. Для этого мы используем выполнимая функция:

 >>> симв. Удовлетворительно (x & y)
{x: верно, y: верно}
 

Это говорит нам, что (x & y) истинно, когда x и y оба истинны.Если выражение не может быть истинным, т.е. никакие значения его аргументов не могут сделать выражение True, оно вернет False:

 >>> сим. Удовлетворительно (x & ~ x)
Ложь
 

Упражнения

  1. Решите систему уравнений,
  2. Существуют ли логические значения x , y , которые делают (~ x | y) & (~ y | x) истинным?

3.2.5.1. Матрицы

Матрицы создаются как экземпляры из класса Matrix:

 >>> сим.Матрица ([[1, 0], [0, 1]])
[1 0]
[]
[0 1]
 

, в отличие от массива NumPy, в него также можно поместить символы:

 >>> x, y = симв. Символы ('x, y')
>>> A = sym.Matrix ([[1, x], [y, 1]])
>>> А
[1 х]
[]
[y 1]

>>> А ** 2
[х * у + 1 2 * х]
[]
[2 * y x * y + 1]
 

3.2.5.2. Дифференциальные уравнения

SymPy может решать (некоторые) обыкновенные дифференциалы. Для решения дифференциальных уравнений используйте dsolve. Сначала создайте неопределенная функция, передав cls = Function в функцию symbols:

 >>> f, g = симв.символы ('f g', cls = симв. функция)
 

f и g теперь являются неопределенными функциями. Мы можем назвать f (x), и он будет представлять неизвестная функция:

 >>> f (x)
f (x)

>>> f (x) .diff (x, x) + f (x)
         2
        d
е (х) + --- (е (х))
         2
       dx

>>> sym.dsolve (f (x) .diff (x, x) + f (x), f (x))
f (x) = C1 * sin (x) + C2 * cos (x)
 

Аргументы ключевого слова могут быть переданы этой функции, чтобы помочь, если найти наилучшую возможную систему разрешения. Например, если вы знаете что это разделяемые уравнения, вы можете использовать ключевое слово hint = 'separable' чтобы заставить dsolve разрешить его как разделяемое уравнение:

 >>> сим.dsolve (sym.sin (x) * sym.cos (f (x)) + sym.cos (x) * sym.sin (f (x)) * f (x) .diff (x), f (x) , подсказка = 'разделимый')
               / C1 \ / C1 \
 [f (x) = - acos | ------ | + 2 * пи, f (x) = acos | ------ |]
               \ соз (х) / \ соз (х) /
 

Упражнения

  1. Решите дифференциальное уравнение Бернулли

  1. Решите то же уравнение, используя подсказку = 'Бернулли' . Что вы наблюдаете?

1.Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построим график функций \ (log_b \) для нескольких значений b> 1 (рисунок).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Графики \ (y = log_b (x) \) изображены для \ (b = 2, e, 10 \).

Прежде чем решать некоторые уравнения, включающие экспоненциальные и логарифмические функции, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов

Если \ (a, b, c> 0, b ≠ 1 \) и \ (r \) – любое действительное число, то

  1. \ (log_b (ac) = log_b (a) + log_b (c) \) (Свойство продукта)
  2. \ (log_b (\ dfrac {a} {c}) = log_b (a) −log_b (c) \) (Свойство частного)
  3. \ (log_b (a ^ r) = rlog_b (a) \) (Свойство мощности)

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение уравнений, включающих экспоненциальные функции

Решите каждое из следующих уравнений относительно \ (x \).3) −4 \ ln (x) = 1 \).

Подсказка

Сначала используйте свойство мощности, затем свойство произведения логарифмов.

Ответ

\ (x = \ dfrac {1} {e} \)

При вычислении логарифмической функции с помощью калькулятора вы могли заметить, что единственными параметрами являются \ (log_10 \) или log, называемый десятичным логарифмом , или \ ln, который является натуральным логарифмом.Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены с помощью любого желаемого основания \ (b \). Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другой базой, вы можете сначала применить формулы замены базы. Используя это изменение основания, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах естественных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций.

Правило: формулы замены базы

Пусть \ (a> 0, b> 0 \) и \ (a ≠ 1, b ≠ 1 \).

1.ж \). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что \ (u⋅v = w \).

\ (\ квадрат \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \): изменение баз

Используйте вычислительную утилиту, чтобы вычислить \ (log_37 \) с помощью формулы изменения базы, представленной ранее.

Решение

Используйте второе уравнение с \ (a = 3 \) и \ (e = 3 \): \ (log_37 = \ dfrac {\ ln 7} {\ ln 3} ≈1.77124 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Используйте формулу замены базы и вычислительную утилиту для вычисления \ (log_46 \).

Подсказка

Используйте изменение основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, содержащих функцию натурального логарифма.

Ответ

\ (1,29248 \)

Пример \ (\ PageIndex {7} \): шкала Рихтера для землетрясений

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (кредит: модификация работы Робба Ханнавакера, NPS)

В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкалу (теперь известную как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясения баллов и .Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: Рассмотрим одно землетрясение с магнитудой \ (R_1 \) по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой \ (R_2 \) по шкале Рихтера. Предположим, \ (R_1> R_2 \), что означает, что землетрясение магнитудой \ (R_1 \) сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды сейсмических волн. Если \ (A_1 \) – это амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а \ (A_2 \) – это амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:

\ (R_1-R_2 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем

\ (8-7 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

Следовательно,

\ (log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) = 1 \),

, что означает \ (A_1 / A_2 = 10 \) или \ (A_1 = 10A_2 \). {1.7} \), и мы заключаем, что землетрясение в Японии было примерно в 50 раз сильнее землетрясения на Гаити.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Сравните относительную силу землетрясения магнитудой \ (8,4 \) с землетрясением магнитудой \ (7,4 \).

Подсказка

\ (R_1-R_2 = log_ {10} (A1 / A2) \).

Ответ

Землетрясение с магнитудой \ (8.4 \) примерно в \ (10 ​​\) раз сильнее, чем магнитуда \ (7.х = 0. \)

Ответ

\ (\ Displaystyle \ lim_ {х → ∞} е (х) = \ гидроразрыва {3} {5}, \ lim_ {х → −∞} е (х) = – 2 \)

Калькулятор многопараметрических пределов

Автор Сообщение
indomeco

Зарегистрирован: 07.11.2004
Из:


Размещено: 28 декабря, четверг, 18:39

Завтра днем ​​у меня тест.Но я застрял с проблемами, основанными на многомерном калькуляторе пределов. Я сталкиваюсь с проблемами понимания полномочий и умножения матриц, потому что я просто не могу найти способ решения проблем, основанных на них. Я позвонил своим друзьям и попытался найти в Интернете, но ни одно из этих действий не помогло. Я все еще пытаюсь, но время на исходе, и я не могу сдвинуть дело с мертвой точки. Кто-нибудь может показать мне дорогу? Мне действительно нужна помощь от вас в завтрашнем задании.Пожалуйста, ответьте.
Вернуться к началу
AllejHat

Зарегистрирован: 16.07.2003
Вылет: Оденсе, Дания


Размещено: 30 декабря, суббота, 12:26

Как насчет более подробной информации о ваших трудностях с многопараметрическим калькулятором лимитов? Я мог бы предложить.Если вы не можете получить хорошую помощь или кого-нибудь, чтобы сесть и разобраться с вашей проблемой, или если это слишком дорого, то может быть другой выход. Есть несколько хороших программ алгебры, которые вы можете проверить. Я сам их проверял. Мне он показался блестящим, как может быть любой наставник. Я бы выбрал Алгебратор для того ответа, который вы ищете. Что в этом умного, так это то, что он помогает вам шаг за шагом к решениям, а не просто дает ответ.Почему бы не попробовать?
Вернуться к началу
Джрахан

Зарегистрирован: 19.03.2002
Откуда: Великобритания


Размещено: суббота, 30 декабря, 20:14

Алгебратор – это идеальный математический инструмент, который поможет вам с домашними заданиями.Он охватывает все, что вам нужно знать о квадратичных неравенствах, простым и исчерпывающим образом. Мне никогда не было легко понять алгебру, но этот продукт облегчил ее понимание. Логичный и пошаговый метод решения проблем – действительно благо, и вскоре вы обнаружите, что любите решать проблемы.
Вернуться к началу
GSNovir

Зарегистрирован: 05.11.2002
От: Bridge USS Enterprise-E Посещение фильмов: телефонная будка & amp; amp; Чего хочет девушка


Размещено: 31 декабря, воскресенье, 16:25

Прежде всего спасибо за ответы друзьям! Мне интересна эта программа.Подскажите, пожалуйста, как приобрести эту программу? Можем ли мы заказать его через Интернет или купить в розничном магазине?
Вернуться к началу
Koem

Зарегистрировано: 22.10.2001
Вылет: Швеция


Вернуться к началу
MichMoxon

Зарегистрировано: 21.08.2001
Из:


Размещено: 2 января, вторник, 15:29

Я помню, что у меня были проблемы с добавлением матриц, квадратичных неравенств и наибольшего общего множителя.Алгебратор – действительно отличная математическая программа. Я использовал его на нескольких математических курсах – алгебре 2, алгебре 1 и алгебре колледжа. Я просто набираю проблему и, нажимая «Решить», появляется пошаговое решение. Программа очень рекомендуется.
Вернуться к началу

Калькулятор посторонних растворов

деление трехчлена на бином

решение совместных нелинейных уравнений

марка алгебры дугопольски

онлайн эмулятор ти-84

Рабочие листы вероятностной практики

Упростить уравнение

бесплатные печатные листы по математике для 4-го класса

рабочий лист обзора целых чисел

рационализировать радикальные фракции

какулятор в ВБ

онлайн искатель gcf бесплатно

программа для решения сложных дробей

хитрости графического калькулятора для решения полиномиальных уравнений

решить y перехватить

деление дробей на целые числа

факторный квадратный калькулятор

бесплатные упражнения по алгебре для начинающих

решить формулу для указанной переменной

Упрощение алгебраических выражений бесплатные распечатываемые рабочие листы для четвертого класса

Ответы на задачи теоремы Пифагора

значения таблицы найти уравнение

распознавание десятичных, десятых, сотых рабочих листов

частичная дробь корня четвертой степени

“Алгебра Меррилла два” учебное пособие для учащихся

план урока ged процент

Поэма о сложении и вычитании целых чисел

Распечатки четвертого класса бесплатно

рабочий лист системных уравнений

бесплатное программное обеспечение для решения квадратного уравнения

рабочий лист “деление на десятичную дробь”

Книга с заданиями по алгебре 2 макгроу-хилла

решение сложения дробей и вычитания как

формулы алгебраических процентов

Упроститель логических выражений

решение квадратного корня с десятичными знаками

бесплатные рабочие листы для 10 класса

рабочие листы по решению систем линейных уравнений с помощью построения графиков

Загадки на тему математики

лист операций с матрицами

рабочие листы по тригонометрическим соотношениям + подшипники

упростить выражения квадратного корня

преобразовать угол наклона в процентах

ПОЛНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ УЧЕБНИКОВ СТОИМОСТЬ

бесплатные рабочие листы с простым соотношением

программа расчета экспоненциальных выражений

Решите и изобразите уравнения числовая строка

мощность в алгебре.swf

поиск шаблонов + «7 класс» + рабочие листы по математике

распечатанные листы проверки правописания для 6-го класса

Алгебраические уравнения 6 класс бесплатно

статистика холт курс 1

переводить дроби в десятичные без калькулятора

читерская алгебра

перестановка формулы рабочего листа

шпаргалка по калифорнии ged

использование циклов for для вычисления показателей в C

matlab второго порядка ode

Пазлы для подготовки к алгебре Pearson Education Inc.6 класс

как вычесть радикалы дроби

еще о математике стихи

уравнения дробей гленко

emulador texas t86 windows

программирование формулы квадратного уравнения на калькуляторе

Бесплатные читы на алгебру

Рабочий лист умножения и деления дробей

ti – 83 программы, диапазон домена

Калькулятор для решения трех переменных уравнений

функциональные листы для сложения целых чисел

графический калькулятор читерские программы

решить множественное нелинейное уравнение

решение квадратных уравнений + онлайн

Рабочие листы Iowa Algebra Aptitude Test

онлайн-алгебраический решатель

решение с дробными показателями

решение основных уравнений сложения и вычитания

схема упрощающих радикалов

Образец бумаги для проверки способностей

корневой упрощитель на ti84

Решать сложные линейные уравнения

Игры с тройной диаграммой Венна для детей

выполнять домашнее задание по математике для шестиклассника в Техасе

сложение дробей Рабочий лист 8-го класса для печати

предварительно алгебра с pizzazz книга.

калькулятор предварительной алгебры

Факторинг с двумя одинаковыми переменными

стихи о математике

задача математической экспоненты pdf

помощник по математическим уравнениям год 9

математика HUNGERFORD ebook

логарифмические алгоритмы gcse

рабочие листы трансформации бесплатно

вопросы для печати по периметру

решать линейные комбинации

хозрасчет на манекены

эмулятор калькулятора ти-84

Многочлен Factorer

Бесплатный репетитор по Calulator

порядок работы математической десятичной свободной таблицы

программа для решения одновременных уравнений

сложить / вычесть радикалы онлайн

как найти наибольшее из трех значений

решение уравнений с простыми дробями

Бесплатная таблица перестановок для младшего возраста

добавление вычитания подобных терминов игра

операция вычисления квадратного корня

ответы на предварительную алгебру Холта

квадратичная функция для “увлекательных занятий”

Лист положительных + отрицательных целых чисел

распечатки пересмотра математики

уравнение для всех чисел, которые нельзя записать как разность двух квадратов

Макдугал Литтел рабочая тетрадь по алгебре

калькулятор наименьшего общего знаменателя

оценить формулы prealgabra

бесплатные распечатанные рабочие листы для шестого класса по математике

C ++ программа для решения квадратных уравнений

ответы на курс glencoe два приложения и подключения

как делить целые числа на дроби

лист перестановок

справка по алгебре [softmath

как сделать смешанное число десятичным

бесплатные онлайн-решатели

кто изобрел линейные графики?

математика в средней школе с pizzazz book C ключ ответа

java получить общий множитель или 5 целых чисел

Средство решения задач системных уравнений

бесплатная книга для бухгалтерии

Учебное пособие по алгебре Холта 2

Рабочие листы 8-го класса с целыми числами

онлайн TI-84

наибольший общий знаменатель

Тест по математике для 9 класса

как я могу получить бесплатные ответы на домашнее задание по алгебре?

как сделать простую радикальную форму?

двоичный 8-битный калькулятор Java

химия прентис холла 11.3 реакции в водных растворах обзорные листы

бесплатная химия для чайников

T1 83 Графический онлайн-калькулятор

Решить одновременные уравнения онлайн

линейное дифференциальное уравнение второго порядка неоднородное

Рабочий лист современной биологии ответы

преобразовать десятичную дробь в ближайшую дробь

SOFTMATH

калькулятор чит

таблица gmat по математике, радикалы

Координатные листы 3-й

бесплатные рабочие листы по нахождению общего знаменателя

КАЛЬКУЛЯТОР ПОЛИНОМ

простая работа по использованию скобок в математике

построить уравнение второго порядка в matlab

квадратные уравнения объясняют

как извлекать квадратный корень по ti 83

преобразование Лапласа на ти-89

Didviding дробь

использование математических индексов и сурдов

бесплатные рабочие листы по математике по преобразованию дробей в проценты

образцы документов для 8 класса

математические викторины

сложение рациональных выражений с равными знаменателями

математика геометрия мелочи с ответами

сложение и вычитание нескольких целых чисел

коэффициент квадратичный

что означает 3R = 150 в математике

вопросы о способностях

смешанное число как десятичное

калькулятор для записи уравнений в стандартной форме

дробь от наименьшей к наибольшей

построение графика квадратного уравнения с использованием только переменных

написание рабочего листа определений в Prentice Hall Biology

бесплатно tI-83

решение ax + by = c уравнений граф

Элементарный / средний уровень алгебры Университета Феникса с руководством пользователя ALEKS

уравнения вычитания, чтобы сделать

запись задач на квадратный корень в форме a + bi

рабочая тетрадь по алгебре 2

большой общий множитель

листы подшипников

онлайн-практика по математике с письменными экзаменами

корень квадратного уравнения + компьютерная программа BASIC

glencoe algebra 1 ключ ответа

индекс квадратный корень

бесплатный тест по английскому языку для шестого класса

уравнения с листами вычитания

НАЧАЛО АЛГЕБРЫ ДЛЯ ЧАЙНИКОВ

Поль Фёрстер

Бесплатные репетиторы 8 класса

логарифмы для начинающих онлайн-учебник

Printice Hall Alegbra 2 ответы

решатель уравнения подстановки

математика процент объема

форма вершины к факторизованной

калькулятор радикального упрощения

целые числа сложение вычитание рабочих листов

добавление к 20 листам практики

рабочие листы по математике бесплатно 9-12 курсов

6 класс + комбинированные задачи

простые направления для решения абсолютных уравнений

калькулятор для вычисления квадратного корня-упрощителя

ответы на ПРЕДАЛГЕБРА С ПИЦЦАЦ! КНИГА CC

ДОБАВЛЕНИЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА

Элементарный анализ ross solution

как ввести уравнения квадратного корня в Excel

программное обеспечение для решения трех одновременных уравнений

диаграмма квадратного корня алгебры

таблица преобразования

документы о возможностях для hplc + pdf

Тест по концептуальной физике Прентис Холл

рабочие листы по тригонометрии

поиск доменов по алгебре

использовать свойство распределения для вычисления выражений

алгебра Холта

в алгебре в чем разница между выражением и уравнением?

Стихи про тригонометрию

третий корень

Практический тест, штат Айова, 3-й класс, естествознание,

дробь скалы отмечает

ti-89 почему я получаю сообщение об ошибке при перестановках

как я могу заставить мои ответы отображаться в виде квадратного корня вместо десятичного числа на моем ti83

пятый класс деление для печати тест

деление фрактоном

Программа калькулятора ti84 простые множители

математика онлайн бесплатно ks2

Бесплатная онлайн-справка по предварительной алгебре

ti89 комплексные корни лапласа

Prentice Hall, Inc.ответы

бесплатная помощь по вероятности gmat

Как рассчитать экспоненты с помощью калькулятора Texas Instrument Calculator TI-84 Plus

легкий способ выучить алгебру

абсолютное значение линейных уравнений дроби

формула расстояния в физике Glencoe

«Мастер практики уровня В»

онлайн-исследования и приложения Glencoe Algebra 1

algebra solver скачать бесплатно

структура и метод алгебры.book1

ЮГО-ЗАПАДНАЯ АЛГАБРА 1

решатель вопросов дроби онлайн

образцы математического журнала

деятельность по вычислению выражений

значение y ti-83

ti-83 программирование по квадратичным формулам

математика круг вращения ks3

рабочие листы гиперболы

Рабочие листы LCM и GCF с переменными

Демонстрационный апплет RSA

подготовка к экзамену iowa test algebra

мод алгебра домашнее задание сайты помощь

структура и методика алгебры и тригонометрии 2 ответы

промежуточная алгебра четвертое сложение k.Элайн Мартин-Гей справка

реальные математические задачи для печати для шестого класса

логические примеры упрощения алгебры

математическая тригонометрия с ответами

квадратный корень из показателей

Ti 89 факторизация выражений

калькулятор с нулевым коэффициентом

формула наибольшего общего множителя

Сложить проще, чем вычитать

ОТ ЛАЙНЕРА ДО QUADRATIC

преобразовать смешанные числа в рабочие листы с неправильными дробями

ti89 решить

бесплатные рабочие листы по алгебре и простому упрощению

t83 стандартное отклонение

ЛОГАРИФМ формулы средней школы закон

Glencoe Mathematics Algebra 2 Руководство по решениям

добавить номера рабочих листов mac

процентная клавиша на калькуляторе ти-83

математика в средней школе с pizzazz ответы

Линейная система интегральная

рабочий лист факторинговых трехчленов

Вычисление квадратной формулы

бесплатная онлайн алгебра 101

рабочий лист по неравенству

бесплатные рабочие листы по математике с отрицательными квадратными корнями

Формула интерполяции прямой разности Ньютона в C #

рабочий лист алгебры для начинающих

современный инструмент алгебры

бесплатный рабочий лист по алгебре и диапазону

решать дифференциальные уравнения на ти-89

читы glencoe pre-algebra

Эмулятор ТИ-84

завершение площади деятельности

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: ЗАМЕНА

квадратичная разность нулей и корней

упрощающие переменные

генератор свободных дробей

поиск LCD с переменными

краткий ключ теста / ответа по алгебре 1 для 7-го класса

решение переменных общих факторов

Решение Hungerford Algebra hw

калькуляторы с наименьшим общим числом

умножение для начинающих за 3 класс

сложение и вычитание выражений

математические вероятностные сайты для шестиклассников

как решать радикальные уравнения, неравенства

Radicales ti 89

11 класс Алгебра 2 (совпадения вершин и фокусы)

решение комбинированных математических задач

среднеквадратичная задача журнала

докторматематический режим, медиана, среднее значение, основной график и прямоугольная диаграмма

алгебра 2 dolciani онлайн

метод подстановки для линейных уравнений

решение уравнений в Matlab

Формула от десятичной дроби к дробной

произведение корней квадратиков GCSE

Формулы Excel gcse

математические трюки

Рабочая тетрадь по физическим наукам Калифорнии, печать

алгебра одновременных уравнений пример задачи слова

Merrill Advanced Mathematical Concepts, 5-е издание,

как вы составляете факторные уравнения

множество решений квадратного уравнения в комплексной плоскости

промежуточные математические решения модельные работы бесплатно

gre, математические формулы

Примеры перестановок GRE

algbrator

предалгебра с pizzazz.com

Как упростить кубические уравнения

Факторинг по группирующему решателю

подшипники в тригонометрии учебник

калькулятор дробной алгебры

72812415811696

“соотношение свойств” математика

бесплатная электронная хозрасчетная книга

Ответы на листы домашних заданий a и c black maths

как решать уравнения алгебры

Общее объяснение коэффициента разницы

algebre.инструменты для изменения мира ответы

метод Ньютона-Рэфсона для решения нелинейных уравнений с использованием Matlab

как построить график полинома 3-го порядка

домашнее задание физика третье издание джеймс уокер ответы решения

система уравнений ti-89

бесплатные тесты по математике для пятого класса онлайн, чтобы получить мгновенные ответы

уменьшающие радикальные числа

определить линейные уравнения с дробями и двумя переменными

факторизация алгебры два

калькулятор неопределенного интеграла

наименее распространенная онлайн-игра

упростить деление на экспоненту

Рабочий лист для заметок по естественным наукам в 9 классе

таблица упрощенных радикалов

программа для решения сложных алгебраических уравнений

Почему важно упростить радикальные выражения перед сложением или вычитанием?

тест по математике глава 4 glencoe

«Структура и методика, книга 2» + 7-4

смешивать числа с десятичными

как наносить точки TI-83 plus

формулы алгебры

Бесплатные рабочие листы A-level Бухгалтерия

решать нелинейные уравнения matlab

программное обеспечение алгебры

Таблицы вероятностей за год 6

Алгебра 1 искатель точки пересечения оси Y

логарифмические игры

“математический анализ” составные функции графического листа

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПЕЧАТИ ГОД 8 РАБОЧИЕ ЛИСТЫ

Решенные документы о приеме на работу

Математика C # И кривая И экстраполировать

гр.9 тестов по математике

уменьшить каждое смешанное число в процентах

Рабочие листы MCDOUGAL Littell по геометрии

как ti89 системы уравнений

Умножение корневой дроби

ti84 +. от

рабочая тетрадь основные понятия о компьютере третье издание ответы онлайн бесплатно

Алгебра Гленко 2 ответы

ответы на мою домашнюю работу по математике

экспоненциальные формы, бесплатные обучающие программы, седьмой стандарт

glencoe math 8 класс

Простая алгебра среднего уровня

калькулятор базового преобразования дробей

математика глава 5

класс

Комплексные числа ti-83 плюс программы

какова формула преобразования прямого времени в десятичное?

викторина по алгебре gcse

скотт форсман калифорния + математика пятый класс

бесплатный тест по математике для пятого класса

онлайн-калькулятор со знаком доллара

Калькулятор ТИ-84 в параметрическом режиме с логическими переменными

определение следственного проекта

как решать дифференциальные уравнения

Бесплатная распечатка рабочего листа по математике для 8-го класса

3 уравнения 3 неизвестных

Грузия учебник по математике 6 класс учебное пособие и ключ ответов

“словарь такс” цель

математические решающие программы

Эмулятор Ti 84

биномы вопросы

Кумон читы

Алгебра глава 7 тест чит

окружность участка в Excel

рабочие листы пропорций

решение уравнения 3-й степени

решить квадратное уравнение

оценка квадратных корней с точностью до десятых

Рабочий лист вычитания целочисленного сложения

Ответы на освоение физики

рабочий лист по абсолютным значениям 6 класс

алгебра 10 класс

Правило основные правила алгебры

преобразование системы счисления

в Java

перестановки формулы алгебра ученики начальной школы

область поиска с десятичными знаками

Образец вопросов и ответов для теста на профессиональную пригодность

онлайн ти-82

Макдугал Литтел геометрия ответы

четвертый класс начальные алгебраические уравнения

рабочие листы с уравнениями

Рабочий лист по алгебре для 9 класса

простые вопросы по алгебре

алгебра с pizzazz! / ответы на рабочие листы

бесплатные учебные мероприятия для первого выпускника

простой способ найти наименьшее общее кратное

Классные работы 10 GCSE по алгебре

бесплатные рабочие листы оценочные выражения

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *