Решение производных сложных функций: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

Содержание

Производная сложной функции. Вычисление производных сложных функций.

План

проведения открытого урока № 5

Дата:

Группа:

Дисциплина: Математика

Раздел дисциплины: Математический анализ.

Тема дисциплины 1.1 Дифференциальное исчисление.

Тема занятия: Производная сложной функции. Вычисление производных сложных

функций.

Тип учебного занятия: Комбинированное занятие.

Цели занятия:

Предметные: Обобщить и систематизировать знания о производной, отработать

навыки вычисления производной. Сформировать понятие

производной сложной функции. Закрепить

умение производить вычисления по формулам.

Метапредметные: Формировать умение воспринимать и осмысливать знания в готовом

виде, умение выделять главное. Развивать умение работать в

должном темпе, приемы запоминания.

Личностные: Формировать познавательную потребность, стремление к глубокому

усвоению материала, стремление к высокому качеству результатов

труда.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие дисциплины: Математика.

Обеспечиваемые дисциплины: Техническая механика. Устройство автомобилей.

Методы: словесные – лекция; практические – решение упражнений по образцу;

наглядные с использованием презентации и раздаточного материала.

Демонстрационный материал:

  1. Компьютер.

  2. Оргтехника.

  3. Презентация к уроку.

Раздаточный материал:

  1. Карточки с заданиями для индивидуальной работы.

  2. Комплект заданий для устной работы.

  3. Карточки для самостоятельной работы.

ХОД ЗАНЯТИЯ:

  1. Организационно-мотивационная часть (10 минут).

  1. Приветствие.

  2. Сообщение темы занятия.

  3. Постановка цели занятия.

  4. Письменный опрос у доски (2 человека).

  5. Письменный опрос на местах (4 человека).

  6. Первый ряд пишет наизусть формулы из таблицы производных.

  7. Фронтальный опрос.

  8. Проверка домашнего задания.

  9. Сбор решенных заданий.

  1. Устная работа (задания на экране) (10 минут).

Вычислить производные функций (работает вся группа).

  1. Самостоятельная работа (10 минут).

Вычислить производные функций.

(проверка преподавателем решенных ранее заданий).

  1. Объявление результатов проверки заданий, решенных ранее. (2 минуты).

  1. Актуализация опорных знаний. (2 минуты).

  1. Изложение нового материала. (20 минут).

  1. Закрепление (32 минуты).

Мини-тренинг с использованием элементов проблемного обучения и метода мозгового штурма.

Вычислить производные сложных функций.

  1. Домашнее задание. (2 минуты).

  1. Подведение итогов занятия. (2 минуты).

ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ:

Производная сложной функции.

  1. Сложная функция.

Понятие сложной функции широко используется в математике. Со

сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов.

Пусть заданы две функции и , причем область определения функции содержит множество значений функции . Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функции и , или суперпозицией функций и .

Например, функция есть сложная функция, составленная из более простых функций и .

Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций. Например, функция может быть рассмотрена как суперпозиция следующих функций:

, , .

Пример. Для функций и составьте .

Используя определение сложной функции, получаем:

Рассмотренный пример показывает, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще говоря, если .

  1. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция , , имеет производную в точке , а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле или, опуская значение аргументов,

.

Примеры:

Найти производные следующих функций:

1. .

Решение:

Полагая и , применяя правило дифференцирования сложной функции, имеет:

2. .

Решение:

Полагая , найдем, используя соответствующие формулы:

.

3.

Решение:

Полагая , найдем:

.

4. ;

.

5. .

.

6. Найти производную функции при данном значении

аргумента:

.

7. ; ;

;

.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

Мозговой штурм

Мозговой штурм (мозговая атака, брейнсторминг, brainstorming) включает в себя два этапа:

  1. Группа выдвигает идеи по заданной теме. Все идеи фиксируются, в том числе на первый взгляд абсурдные. Критиковать нельзя.

  2. Оценка и развитие идей. Отбор лучших идей.

Суть метода — в отделении процесса генерации идей (первый этап) от их анализа и отбора (второй этап).

Подготовка мозгового штурма

Сформируйте группу генераторов идей (как правило, 5-10 человек). Это должны быть творческие люди, обладающие подвижным, активным умом.

Сформируйте экспертную группу, которой предстоит подвергнуть анализу все выдвинутые идеи и отобрать лучшие. На практике нередко сами генераторы, завершив выдвижение идей, выступают как эксперты. В рекламных агентствах в роли эксперта выступает креативный директор.

За день-два до штурма разошлите участникам оповещение о штурме с кратким описанием темы и задачи (бриф). Возможно, кто-то придёт с готовыми идеями.

Подготовьте всё необходимое для записи идей и демонстрации списка. Варианты:

Доска и мел

Листы бумаги на планшетах и фломастеры

Разноцветные стикеры

Ноутбук в связке с проектором

Назначьте ведущего мозгового штурма. В большинстве случаев ведущий известен изначально, он и организует брейнсторминг.

Выберите одного или двух секретерей, которые будут фиксировать все идеи.

Назначьте продолжительность первого этапа. Обычно около часа, в креативных агентствах, конечно, дольше. Ведь генерация идей — их основная работа.Участники должны знать, что время ограничено, и им необходимо выдать как можно больше идей в сжатые сроки. Это активизирует, заставляет выложиться. Чёткий тайминг — такое же обязательное условие для участников штурма, как длина дистанции для бегунов.

Поставьте задачу. Что конкретно нужно получить в результате мозговой атаки? Запишите задачу так, чтобы она всё время была на виду. Формулировка задачи и полезная информация содержатся также в брифе, который роздан в печатном виде.Участники должны чётко представлять, зачем они собрались и какую проблему собираются решить. В мозговой атаке приветствуется сумятица идей, но не сумятица задач.

Проведение мозгового штурма

1. Этап генерации идей (Фаза «мечтателя»)

Спустите фантазию с поводка! Пусть каждый выдвинет как можно больше идей. Приветствуются озарения и необузданная фантазия в альтернативных направлениях. Можно высказывать безответственные, причудливые, прикольные, нелепые идеи. Самые лучшие — это сумасшедшие идеи. В глазах современников Галилей тоже, наверное, нёс ахинею.

Каждая идея полезна уже потому, что она стимулирует другие. Стремитесь развивать, комбинировать и улучшать высказанные ранее идеи, получать от них новые ассоциативные идеи.

Создатель метода мозгового штурма Алекс Осборн (Alex F. Osborn) говорил: «Количество идей переходит в качество. В каждой идее есть рациональное зерно».

Высказывайте свои идеи без доказательств и объяснений. Излагайте идеи кратко, в нескольких словах. Тем не менее, ведущий и группа должны понять суть предложения. Если это не так, ведущий помогает автору сформулировать идею под запись.

Записываются все идеи. Нет плохих идей! Все идеи приветствуются. На первом этапе количество идей предпочтительнее качества. Осборн говорил: «Количество, количество и ещё раз количество, вот девиз дня. Чем больше попыток, тем больше вероятность попадания в цель».

Критика идей на этапе генерации абсолютно запрещена. Наложено табу на реплики: «Это глупо», «Детский лепет», «Ерунда», «Это невозможно», «Мы делали это раньше, но безрезультатно» и т. п. Критика запрещается даже в форме жестов, ироничных взглядов и скептических усмешек. Иначе у генераторов может пропасть всякая охота генерировать.

В агентстве Saatchi & Saatchi запрещалось использовать словосочетание «Да, но…». Вместо него надо было говорить «Да, и…».

Приветствуются юмор, смех. Поддерживайте и создавайте атмосферу уважительного радостного общения умных и остроумных, заинтересованных в хорошем решении людей.

Прямолинейное мышление не может обнаружить скрытые идеи, лежащие в стороне. Вместо того, чтобы напрягаться, расслабьтесь, смейтесь, и такое дурачество поможет вам двинуться в новом направлении.

Самый интересный момент штурма — наступление пика, ажиотажа, когда идеи начинают просто фонтанировать. Происходит непроизвольная генерация гипотез участниками. Этот пик был теоретически обоснован Зигмундом Фрейдом в работах о бессознательном.

Правильный сеанс мозгового штурма — особое психологическое состояние группы, когда думается без волевых усилий и принимается во внимание «всё, что придёт в голову». Такое состояние оказывается продуктивным, поскольку позволяет использовать подсознание человека — мощный ресурс творческого мышления.

После завершения активной фазы генерации участники штурма коллективно редактируют список наработанных идей. На этом этапе уже возможно полукритичное отношение к ним и расширение списка новыми идеями, возникшими в процессе редактирования.

«Сухой остаток» первого этапа — начерно отредактированный список идей, зафиксированных кратко, торопливо. Из этой «руды» предстоит извлечь бриллиант. Или несколько бриллиантов.

Перерыв.

2. Этап оценки идей (Фаза «реалиста»)

Самая лучшая идея — та, которую вы рассматриваете сейчас. Анализируйте её так, как будто других идей нет вообще. Это правило подразумевает предельное внимание к каждой записанной идее.

Хотя критика уже не возбраняется, она должна быть конструктивной. Постарайтесь найти рациональное зерно в каждой идее. Если время позволяет, на этапе оценки лучше не спешить.

Используйте метод контрольных вопросов.

Как минимум, каждую идею желательно протестировать по краткому вопроснику типа:

Решение в рамках закона?

Идея реализуема до 10 июня?

Разумны ли предполагаемые затраты?

Каким образом данная идея, если её реализовать, провалится?

Когда есть бриф, общий критерий такой: идея по брифу или не по брифу? Решающее слово в оценке идей принадлежит креативному директору.

Развивайте идеи. Группируйте их в тренды. Пытайтесь «поженить» элементы разных гипотез. Иногда самые лучшие идеи получаются в результате объединения двух менее ярких предложений. Креативность превосходно проявляет себя не только при создании новых идей, но и в работе с уже имеющимися.

Используйте морфологический метод: не поленитесь начертить таблицу по типу таблицы футбольного чемпионата, где каждой команде,.. — то есть идее — предстоит «сыграть» с каждой.

Помечайте идеи вашего списка:

+ + очень хорошая, оригинальная идея

+ неплохая идея

0 не удалось найти конструктива

Отбросьте явно банальные, тупиковые, неплодотворные идеи.

Считается, что лишь 10-15% идей оказываются приемлемыми, зато среди них встречаются весьма оригинальные. Ценно, если «выжившие» идеи выстраиваются в логичную цепь — рекламную кампанию.

Ведущий мозговой атаки:

Ведущий (фасилитатор, модератор) поочередно даёт слово генераторам идей, чтобы они не галдели все одновременно. Следит, чтобы все участники штурма имели равную возможность высказаться. Ведущий может вносить свои идеи наравне со всеми.

Корректно, но решительно пресекает критику идей, которая почти всегда непроизвольно возникает, особенно поначалу. Типичные фразы idea killers (убийц идей), и как на них нужно отвечать:

— Из этого ничего не выйдет. — «Конечно, если не развивать эту идею, из неё ничего не получится».

— Это не работает — «Но идея ведь неплохая?»

— Это чересчур — «И что?»

— Клиент никогда это не одобрит — «А что если одобрит?»

— Ну и что в этом оригинального? — «То, что это раньше никто не предлагал».

— Кто угодно может придумать такое — «Точно!»

Ведущий обеспечивает непрерывность выдвижения идей. Он всеми мерами не допускает зажима «плохих» идей, снимает боязнь участников «ляпнуть что-нибудь не то». Доброжелательность ведущего стимулирует рождение новых идей у членов группы. Но он не должен слишком хвалить даже явно удачные гипотезы, чтобы не нарушить равенство участников штурма.

Ведущий следит за регламентом. Напоминает, сколько времени осталось до конца сеанса. Тактично останавливает креатора, который высказывает свою идею дольше полуминуты. Мозговой штурм — это интенсивный, быстро протекающий творческий процесс.

Искусство ведущего мозговой атаки заключается в умении раскрепостить мышление членов творческой группы, вдохновить их на свободное самовыражение.

Что может и чего не может мозговой штурм

Метод мозгового штурма эффективен:

При решении задач, которые не имеют однозначного решения, и задач, где решения требуются нетрадиционные. Таковы все задачи по созданию рекламного креатива.

Когда необходимо быстро найти выход из критической ситуации.

Везде, где нужно получить много идей за короткое время. Методика мозгового штурма универсальна.

Несовершенство метода заключается в том, что поиск идей идёт случайным образом, наобум. Вы никогда не останетесь совсем без идей. Но нет гарантии, что среди ваших решений окажется действительно превосходное.

Метод мозгового штурма — эффективная помощь в генерации идей. Но он не замещает целиком творческий процесс.

Технология проблемного обучения

Под проблемным обучение понимается такая организация учебных занятий, которая предлагает создание под руководством преподавателя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей.

Уникальность проблемного обучения состоит в его многофункциональности, эффективном решении следующих задач:

стимулирование внутренней мотивации учения;

повышение познавательного интереса;

формирование самостоятельности;

развитие творческих способностей, воображения;

создание условия для самоопределения в профессиональной образовательной сфере;

развитие коммуникативных навыков;

прочное изучение изученного;

формирование убеждений;

овладение первичными навыками исследовательской деятельности.

Структура, состоящая из следующих элементов:

учебная проблема, вызывающая соответствующую (проблемную) ситуацию;

гипотеза или предположения по ее разрешению;

обоснование выдвинутой гипотезы, т. е. различного рода доказательства (теоретическое, экспериментально-практическое, фактическое;)

Вывод.

Этот блок элементов является основным и называется проблемно-структурированным блоком (ПСБ).

Исследовательская работа являет собой самый высокий уровень, при котором обучающиеся самостоятельно выдвигаю проблему и решают ее. Этому уровню соответствует исследовательский метод, форма реализации которого – проблемные практические и теоретические задания.

Частично-поисковый уровень предполагает выдвижение проблемы (проблемной ситуации) преподавателем, а решение предлагается найти обучающимся самостоятельно под руководством преподавателя. Это средний уровень проблемности, он может быть организован методом эвристического диалога, форма реализации которого – беседа эвристического характера.

Самый низкий уровень проблемности – проблемное изложение, в ходе которого преподаватель сам выдвигает проблему, создавая у студентов проблемную ситуацию, сам выдвигает гипотезу и сам доказывает. Метод, соответствующий этому уровню, так и называется – проблемное изложение; форма его реализации – лекция проблемного характера.

Проблемная ситуация – основная категория проблемного обучения.

Обнаружение противоречий и осознание их как трудностей в проблемной ситуации должно сопровождаться возникновением интереса.

Проблемная ситуация – это психическое состояние обучающегося, в которой он:

  1. видит противоречия, какие-либо несоответствия;

  2. осознает их как трудности, преодоление которых требует новой информации;

  3. хочет разрешить данные противоречия.

В результате возникновения проблемной ситуации в сознании обучающихся (студентов) формулируется проблема. Она, как правило, реализуется в форме вопроса, причем чем глубже сформулирована проблема, тем острее интерес к ней, а следовательно, и успешнее ее разрешение.

Этапы построения проблемного занятия:

  1. актуализация опорных знаний;

  2. анализ проблемного задания;

  3. вычленение проблемы;

  4. выдвижение всевозможных предположений;

  5. сужение поля поиска;

  6. доказательство рабочих гипотез;

  7. проверка правильности решения.

Этап 1-й, актуализация опорных знаний. Цель: вспомнить и актуализировать имеющиеся знания (что мы знаем или должны знать?).

Путь реализации: фронтальный опрос, рассказ-вступление, решение задачи, индивидуальный устный ответ с последующими необходимыми уточнениями и добавлениями.

Результат: наличие у студентов опорных знаний, необходимых для осмысленного восприятия противоречий.

Спектр изменений личности студента: формируется умение соотносить ответы с образцом, четко формулировать ответы, управлять своим вниманием, развивать стремление к взаимопомощи и оказанию поддержки.

Этап 2-й, анализ проблемного задания. Цель: понять начальные условия. (Почему это происходит?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, изложение преподавателя, постановка проблемного опыта.

Результат: понимание существования, наличия какого-то несоответствия.

Спектр изменений личности студента: формируется умение ответственно относиться к своей позиции и сопоставлять ее с позицией другого, корректировать свою точку зрения.

Этап 3-й, вычленение проблемы. Цель: выявление сути противоречия. (В чем наше затруднение? Что мы не знаем?)

Путь реализации: работа в группах («мозговой штурм»), индивидуальные суждения-выступления, коллективное обсуждение, изложение преподавателем.

Результат: вербальная формулировка проблемы.

Спектр изменений личности студента: формируется развитие логического мышления, вербализация перехода от анализа противоречия к поиску направления его разрешения, самостоятельность суждений, развитие навыков интеллектуального взаимодействия с партнерами по образовательному процессу.

Этап 4-й, выдвижение возможных предположений. Цель: выдвижение предположений по решению проблемы. (Как можно ответить на вопрос, какие могут быть гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, «мозговая атака», индивидуальные суждения, предположения, выдвинутые преподавателем (изложение).

Результат: наличие ряда гипотез.

Спектр изменений личности студента: проявляется гибкость мышления, формируется умение мысленно прослеживать путь решения, аналитико-прогностические умения.

Этап 5-й, сужение поля поиска. Цель: проработать каждое из выдвинутых предложений с целью отсева неперспективных. (Какие гипотезы неперспективны? Какие более перспективны?)

Путь реализации: коллективное обсуждение, групповая работа, индивидуальные суждения, изложение-рассуждение преподавателя.

Результат: сужение поля поиска решения, определение рабочей гипотезы.

Спектр изменений личности студента: формируется умение делать эскизные проект решения проблемы, анализировать перспективность гипотез, определять недостатки и достоинства предложений, несмотря на их авторство.

Этап 6-й, доказательство рабочих гипотез. Цель: доказать рабочую гипотезу. (Какое теоретическое или практическое обоснование мы можем предложить? Как доказать справедливость выдвинутой гипотезы?)

Путь реализации: групповая работа, последовательное проведение доказательства несколькими студентами или представителем группы. Доказательство гипотезы самим преподавателем (мини-лекция, объяснение). Коллективное доказательство под руководством преподавателя (фронтальная беседа).

Результат: наличие стройной системы доказательство и уяснение ее сути.

Спектр изменений личности студента: формируется умение формулировать и выстраивать логику доказательства, конструировать цепочку причинно-следственных связей, выстраивать свою позицию и быть готовым к ее коррекции или замене.

Этап 7-й, проверка гипотез. Цель: осуществить рефлексию проделанной работы, сделать вывод. (Как проверить правильность решения? Или: Как доказать правильность доказательства?)

Пути реализации: задание (на поэтапную проверку правильности выполненных действий, соотнесение начальных условий с характером и содержанием решения и т.д.). Упражнения (на проверку правильности вывода путем переноса его на другие аналогичные исходной, ситуации).

Результат: убежденность в правильности полученного вывода.

Спектр изменений личности студента: формируется способность к объяснению, оценке собственных действий, убежденность.

Ранее мы указывали на существование трех уровней проблемности: 1) низкий, 2) средний, 3) высокий.

При реализации первого уровня преподаватель сам формулирует проблему, показывает противоречия, формулирует задание или вопрос, сам выдвигает гипотезу, обосновывает и доказывает ее, делает вывод.

На втором уровне преподаватель лишь формулирует проблему, создавая проблемную ситуацию, а студенты под его руководством выдвигают гипотезы, стремятся доказать их, делают вывод.

На третьем уровне преподаватель организует обучение таким образом, что студенты сами обнаруживают противоречия, сами выдвигают и доказывают гипотезы, делают выводы.

Каждому уровню соответствует свой метод. Первому соответствует метод проблемного изложения, чаще всего реализуемый в форме проблемной лекции. Второму уровню соответствует метод эвристической беседы, который чаще всего используется на семинарских и практических занятиях. Третьему – исследовательская работа, доминирующая на практических занятиях.

При чередовании этапов (преподаватель – студенты – преподаватель – студенты) можно получить второй уровень проблемности, реализуемый через беседу проблемного характера. Если же все этапы реализуются самими студентами при минимальной необходимой помощи преподавателя, то имеем третий уровень проблемности – исследовательскую работу. Если все этапы указанной выше схемы реализуются через изложение преподавателя, то получаем проблемную лекцию, соответствующую первому уровню проблемности.

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1. Омельченко В.П. «Математика», Ростов-на-Дону, «Феникс»,2005 г.

2. Дадаян А.А. «Математика», Москва, «ФОРУМ-ИНФРА-М», 2003г.

3. Богомолов Н.В. «Математика», Москва, «Дрофа», 2005г.

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Москва,

изд. «Высшая школа», 2002г.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. « Высшая математика

в упражнениях и задачах». Москва, ОНИКС 21 век. «Мир и

образование», 2002г.

Интернет-ресурсы:

www. exponenta.ru – Образовательный математический сайт

www.math34.ru – Математический анализ.

http://www.allmath.ru- Математический портал

ПРИЛОЖЕНИЕ

Раздаточный материал для студентов.

1.

  1. Письменный опрос у доски 2 человека.

  1. при х=-2;

  2. при у=1.

  1. Письменный опрос на местах 4 человека.

Найдите частные производные функций:

1. а) ; б) при х=0;

2. а) ; б) при х=1;

3. а) , ; б) ;

4. а) б) , .

Найдите значение производной функции

при х=-2.

———————————————————————————————————————

Найдите значение производной функции

при х=1.

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=0.

————————————————————————————————-

Вычислить производные функций:

1.;

2. при х=1.

Вычислить производные функций:

1.

2. .

———————————————————————————————————————

Вычислить производные функций:

7. Фронтальный опрос.

Содержание опроса:

а) Дайте определение производной.

б) В чем состоит физический смысл производной?

в) В чем состоит геометрический смысл производной?

г) Как называется операция нахождения производной?

д) Перечислите правила дифференцирования.

е) Как найти производную суммы или разности нескольких функций?

ж) Как найти производную произведения двух функций?

з) Как найти производную частного двух функций?

2.

Устная работа (задания на экране).

Вычислить производные функций.

3.

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1 вариант.

Вычислить производные функций:

———————————————————————————————————————

Самостоятельная работа

2 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. .

Самостоятельная работа

3 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

———————————————————————————————————————

Самостоятельная работа

4 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

5 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

—————————————————————————————

Самостоятельная работа

6 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

7 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

—————————————————————————————

Самостоятельная работа

8 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

9 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

Самостоятельная работа

10 вариант.

Вычислить производные функций:

  1. ;

  1. .

6. Изложение нового материала

Содержание: а) Определение производной сложной функции.

б) Примеры производных сложных функций.

в) Правило вычисления производной сложной функции.

г) Методика вычисления производных сложных функций.

7. Закрепление: мини-тренинг с использованием элементов технологии мозгового

штурма:

Вычислить производные сложных функций: -33

1) ;

;

; .

8. Домашнее задание:

а) Выучить теорию.

б) Вычислить производные сложных функций:

9. Подведение итогов занятия:

Кратко обобщить информацию, сделать выводы по занятию.

Оценка работы группы в целом и отдельных студентов.

Преподаватель Е.Ю. Богина

Производная сложной функции – Энциклопедия по экономике

Цепное правило связывает частные производные сложной функции h = g о f с частными производными функций fug. Обсудим теперь следствие из цепного правила, которое связывает дифференциал h с дифференциалами g и /. Этот результат (известный как правило инвариантности Коши 1) весьма полезен при вычислении дифференциалов.  [c.132]


В одномерном случае первая и вторая производные сложной функции h = go/, заданной уравнением  [c.153]

Функция х тождественно равна нулю на множестве Т, а значит, все ее частные производные также равны нулю на Т. В частности, Dx( 0) = 0. Далее, поскольку h дифференцируема в IQ и g дифференцируема в (ZQ to), то по правилу производной сложной функции  [c. 181]

Автором учтены также изменения в математике, произошедшие в 90-х гг. XX в. — появление универсальных пакетов символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи отыскивать производные сложных функций, строить графики, вычислять непростые пределы, решать системы уравнений и многое другое.  [c.10]

Если у есть дифференцируемая функция от и (у = /(w)), а и есть дифференцируемая функция от х (и = м(ж)), то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т. е.  [c.116]


Более кратко сформулированное утверждение можно записать так производная сложной функции равна произведению производных, из которых она состоит.  [c.116]

П Вначале докажем формулу вычисления производной сложной функции в предположении Aw ф 0  [c.117]

Производная сложной функции 291  [c.291]

Производная сложной функции  [c. 291]

Частные производные, дифференциал и связь между ними. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции.  [c.15]

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.  [c.14]

Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению неявной функции у = /(ж) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от ж, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции, получаем  [c.298]

Второй метод определения оптимальной мощности предприятия – аналитический. Он основан на построении сложных экономико-математических моделей затрат, как функции объемов выпускаемой предприятием продукции. Оптимальную мощность в этом случае находят, приравнивая нулю первую производную рассматриваемой математической функции.  [c.168]

Газовая промышленность, включающая добычу газа, магистральные газопроводы, газоперерабатывающие заводы, машиностроение и другие подотрасли, представляет собой сложное хозяйство с неодинаковыми функциями и разной производственно-хозяйственной направленностью ее объектов. Однако все элементы газовой промышленности объединены основной целью — производство и доставка газа и его производных к потребителям в заданных планом количествах.  [c.121]


Таким способом решаются многие задачи предельного анализа экономики. Применение В.з. в экономике, в исследовании операций имеет ряд ограничений 1) поиск экстремума реально приходится вести не только в точках, где производные обращаются в нуль, но и на границе области допустимых решений 2) нередко применяются функции, для которых производные могут просто не существовать (напр. , разрывные, кусочно-линейные) 3) само решение системы уравнений, полученной путем дифференцирования основной функции, может оказаться не проще, а сложнее, чем поиск экстремума другими методами.  [c.41]

Физическое содержание задачи. Уравнения (1) описывают средние значения концентраций радиоактивных ксенона (ж1) и йода (ж2) в ядерном реакторе, причем используется простейшая точечная математическая модель. В действительности а 1 и ж2 — суть функции не только времени, но и трех пространственных координат, а уравнения (1) в более точной постановке задачи были бы заменены существенно более сложной системой уравнений с частными производными. Функция и (t) есть среднее значение потока нейтронов в реакторе. Это значение поддается регулированию и в данной постановке задачи играет роль управления. Ограничение и (t) 0 имеет очевидный физический смысл, ограничение и (t) 1 связано с техническими возможностями аппарата. А, В, С, D, А — некоторые заданные постоянные  [c.295]

Эти рассуждения возможны только потому, что функция потребления (2. 6) является простой в математическом отношении (имеет один максимум, вторая производная нигде не меняет своего знака). В более сложных случаях методы классического анализа дают отказ — обстоятельство, приведшее к созданию нелинейного программирования. Наша задача является простейшей задачей нелинейного программирования, не требующей применения тонких и сложных методов, характерных для этой области математической экономики.  [c.60]

РИС. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции “цена-доходность” на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т. д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации.  [c.139]

Проблема вычисления сил к моментов, действующих на твердое тело в жидкости, крайне сложна. Поэтому естественно использовать вариационное уравнение. (10.3) для определения сил и моментов, задавая функционалы Л”-и 3) из феноменологических соображений. Заметим, что между X и 3) имеется универсальная зависимость, в силу которой их нельзя задавать произвольно. Действительно, положим в (10.3) в момент времени t 8qK =0. Тогда для любых функций 8qK(r), обращающихся в нуль вместе со своими первыми и вторыми производными в начальный момент времени и равными нулю в момент времени /, должно выполняться равенство  [c.252]

О других формах классической теории оболочек. . Плотность энергии Ф является сложной нелинейной функцией от производных закона движения оболочки f (Jf, t). Возникает вопрос об упрощении выражения для Ф, учитывая, что оно является приближенным. Меры растяжения А квадратичны по г а и от этой нелинейности вряд ли можно избавиться в общем случае. Поэтому энергия растяжения будет полиномом по г а четвертой степени. Компоненты второй” квадратичной формы, а следовательно, меры изгиба Вар, зависят от производных г крайне сложным образом  [c.268]

Оценка потерь эффективности при помощи изменения потребительского излишка. Как было отмечено выше, для возможности сравнения наиболее широкого класса размещений от функции общественного благосостояния требуется наличие свойства отделимости. В частном случае такая отделимость обеспечивается, когда функция общественного благосостояния равна сумме полезностей отдельных экономических агентов. Сопоставимость функций, отражающих индивидуальные предпочтения, можно обеспечить, например, переходя к функции полезности в денежном выражении или к функции расходов. Непосредственная оценка функции расходов сложна из-за необходимости наличия большого массива данных для такой оценки. Поэтому благосостояние потребителей обычно анализируется на основе оценки функции спроса и производных из нее показателей.  [c.99]

Положения о подразделениях и ДИ являются производными от основополагающих и общих нормативно-технических документов, регламентирующих функционирование предприятия в целом. Такими документами могут быть классификаторы функций и управленческих решений, схемы функциональных взаимосвязей или регламенты по распределению прав и ответственности между органами управления высшего уровня, технологические карты принятия управленческих решений со сложной технологией, проекты организации рабочих мест служащих, регламенты рабочей недели, месяца руководителей, документы по делегированию прав и ответственности руководителей всех уровней управления, словари производственных ситуаций и варианты их решений и др.  [c.88]

Цепное правило для матриц Гессе дает выражение для вторых производных сложной функции h = go/ в терминах производных первого и второго порядка функций g и /. Следующая теорема дает представление второго дифференциала h в терминах первого и второго дифференциалов функций g и /.  [c.154]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х”) -= ах” 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных.  [c.92]

Производная суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.  [c.14]

Фактическое вычисление (численное, например) производной Гато (10) существенно сложнее вычисления производных Фреше для функционалов, рассмотренных в 3 вычисление и использование последних требует однократного решения краевой задачи типа (3.8) и запоминания функции одного переменного ф (t). Для того чтобы работать с производной Гато, нужно вычислить и запомнить функцию двух переменных ф (t, t ). Вводя на М некоторую достаточно плотную конечную сетку t lt t z,.. ., t t, мы можем получить достаточно точную аппроксимацию производной Гато после /-кратного решения краевых задач типа (8), запомнив функции ф (t, t j), ф (t, t 2),. . ., ф (t, t t). Хотя эта процедура отпугивает своей громоздкостью, именно она использовалась автором в многочисленных расчетах в сочетании с некоторыми дополнительными приемами, этот подход позволил эффективно решить ряд сложных задач с функционалами типа (1), причем расход машинного времени был сравнительно невелик. Теперь обсудим одну нестрогость, допущенную в проведенном выше анализе. Речь идет о переходе  [c.36]

Однако и сведение вариационной задачи (1)—(3) к конечномерной задаче минимизации Ф (а) еще не дает метода, поскольку поиск минимума Ф (а) оказывается чрезвычайно трудоемким и большие затраты машинного времени приводят к довольно ненадежным результатам. Причины этого подробно обсуждаются в 25, здесь же заметим только, что при очень малом е в функционале (4) основную роль играют невязки х—/ (х, и), на фоне которых теряется исходный подлежащий минимизации функционал F0. Основной целью процесса поиска минимума Ф (а) является минимизация х—/ (х, и) , и лишь после того как эта величина более или менее минимизирована, принимается во внимание значение F0. Другими словами, определяемая конструкцией (4) функция Ф (а) оказывается очень негладкой, и для нее не удается построить эффективный процесс минимизации. Именно с этим обстоятельством связана та довольно сложная и громоздкая конструкция поиска минимума Ф (а), которая опирается на обширную информацию, включающую не только значения функции Ф (а) и ее производных, но и значения производных отдельных составляющих Ф (а) компонент.  [c.137]

Вычислительные методы предназначены прежде всего для решения задач, возникающих в приложениях. Авторами таких задач являются инженеры, физики, медики и т. д., т. е. специалисты, не искушенные в изобретении хитроумных примеров функций, не имеющих, например, производной нигде, и т. д. Для таких специалистов термины функция и формула (имеется в виду формула не очень сложная) — практически равнозначны. Поэтому, на первый взгляд, от них не следует ожидать задач с недифференцируемыми функциями. Однако это не так. Есть две весьма популярные в приложениях операции, с помощью которых из сколь угодно гладких функций образуются негладкие. Это операции max и . Вычислитель должен быть готов к задачам минимизации функций  [c.407]

В любой сложной системе существует многоуровневая иерархи ческая структура подсистем и их элементов, а следовательно должна быть и многоуровневая организационная структура. Нг каждом уровне — свои управленческие задачи, функции, службы свои права, обязанности и ответственность, свой уровень компе тентности и самостоятельности. Но самостоятельность предполагает возможность принятия оптимальных на данном уровне организационной структуры планово-управленческих решений, кото рые должны находиться в рамках интересов всей системы в целом А для этого нужен объективный критерий оптимизации, производный от критерия вышестоящего звена.  [c.196]

Любая дополнительная единица продукции вызывает увеличение затрат фирмы на 66,90. Прирост прибыли определяется несколько сложнее, поскольку она изменяется при увеличении объема выпуска. Коэффициент наклона (математически первая производная) функции суммарного дохода компании “Almeria” определяется из уравнения  [c. 300]

Производная сложной функции презентация, доклад

Текст слайда:

Слайд №

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж-(1736-1813)-французский математик , астроном и механик . Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание. В  1755 году Лагранж был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине. В 1766  Лагранж переехал в Берлин . Здесь он вначале руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом Академии. агранж внёс существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление(1736-1813)-французский математик , астроном и механик . Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание. В  1755 году Лагранж был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине. В 1766  Лагранж переехал в Берлин . Здесь он вначале руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом Академии. агранж внёс существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа(1736-1813)-французский математик , астроном и механик . Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание. В  1755 году Лагранж был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине. В 1766  Лагранж переехал в Берлин . Здесь он вначале руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом Академии. агранж внёс существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей.  Формула конечных приращений и несколько других теорем названы его именем.

Урок 13. производные элементарных функций – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №13. Производные элементарных функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение элементарной функции;

2) производная показательной функции;

2) производные тригонометрических функций;

3) производная логарифмической функции.

Глоссарий по теме

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

  1. (ex)= ex
  2. (ekx+b)=kekx+b
  3. (ax)=axlna
  4. (sin x)=cosx
  5. (cos x)= -sinx

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

1.Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=ax, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

ax=exln a (1)

так как exln a= (eln a)х= ах.

Стоит отметить свойств о функции ех: производная данной функции равна ей самой

(ex)= ex. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(ekx+b)= kekx+b. (3)

Производная для ax:

(ax)= axlna. (4)

2.Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

(5)

Производная функции lnх выражается формулой

(6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

(7)

(8)

3.Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти производную:

  1. f(x) = 3lnx

Решение:

Ответ:

  1. f(x) = 3·e2x

Решение: (3e2x)= 3·2· e2x = 6 ·e2x

Ответ: 6 ·e2x

  1. f(x) = 2x

Решение: (2x) ‘ = 2xln2

Ответ: 2xln2

Решение:

Ответ:

  1. f(x) = sin (2x+1) – 3cos(1-x)

Решение: (sin (2x+1) – 3cos(1-x)) = 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)

Ответ: 2cos(2x+1) – 3sin(1-x)

Семинар 8 Производная сложной функции Производная обратной функции

Семинар 8. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной неявно Производная сложной функции Теорема Если дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х . Производная обратной функции Пусть y=f(x) – дифференцируемая функция от аргумента х в некотором интервале (a, b). Рассмотрим где -обратная функция. Задача Зная производную функции y=f(x) найти производную обратной функции предполагая, что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем интервале. Теорема Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

Производная функции заданной неявно Рассмотрим способы нахождения производных функций заданных неявно. Пример. Найти производную функции y(y>0), определенную уравнением (уравнение эллипса) Разрешая это уравнение относительно y и, выбирая знак плюс в силу начального условия получаем функцию в явном виде Однако в некоторых случаях уравнение элементарными средствами нельзя разрешить относительно y и приходится рассматривать y как неявную функцию от x. Существует другой способ нахождения производной. Предполагая, что в уравнение подставлено вместо y явное выражение получим тождество: причем y функция от x. Очевидно, если две функции тождественно равны другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей тождества и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем Примеры с решениями 1. Найти производные сложных функций

Решение. Обозначим имеем Решение По правилу дифференцирования сложной функции

Решение. Преобразуем функцию 2. Для функции Решение найти 3. Найти производные для функций заданных неявно Решение

Решение Примеры для самостоятельного решения. 1. Продифференцировать функции 1. 2. 3. 5. 9. 6. 10. 7. 4. 8. 2. Найти производную обратной функции 1. 2. 3. Найти производные от функций y, заданных неявно 1. 2. 3. 4.

Дифференцирование сложных экспонент

Теперь напишем e zt = u ( t ) + iv ( t ), где u и v равны реальные функции.
Тогда имеем:

u ‘+ IV ‘ = ZE ‘= ZE ZT = ( A + IB ) ( U + IV ) = AU BV + I ( ав + бу ).


Таким образом, мы получаем пару реальных уравнений:

u ” – au ‘ = au ‘ – bv ‘ – a ( au bv )


= а.е. ‘ – б ( ав + бу ) – а ( а.е. бв ) = а.е. ‘- ( а 2 + б 2 )( u ),


u ” – 2 au ‘ + ( a 2 + b 2 ) u = 0.


Аналогично имеем:

v ” – 2 AV ‘+ ( A 2 + B 2 ) V = AV ‘ + BU ‘- 2 AV ‘ + ( A 2 + б 2 ) v


= B ( AU BV ) – A ( AV ( AV + BU ) + ( A 2 + B 2 ) V = 0.


Таким образом, и действительная, и мнимая части e zt являются решениями реальное дифференциальное уравнение второй степени:

у ” – 2 ау ‘ + ( а 2 + б 2 ) у = 0.


Написано в терминах z , это:

Мы можем проверить непосредственно, что y = Ae zt подчиняется этому уравнению, для A любая комплексная константа.
Если y = Ae zt , тогда у ‘ = азэ зт и y ” = Az 2 e zt , значит получаем:



Этому же уравнению подчиняется комплексное сопряжение Ae zt и то складывая решение и его комплексно-сопряженное, получаем действительное решение уравнения:

И наоборот, мы можем показать, что это общее решение, если z не реально.
Предположим, что y удовлетворяет: .
Положить г ‘ – чз = ч .
Тогда:

Так а также , для некоторых постоянный Б .
Так .
Положить y = e zt x , для некоторой функции x .
Тогда .
Так .
Теперь есть два случая: Наконец, чтобы и были реальными, нам нужно .
Мы показали, что общее действительное решение уравнения у ” – 2 у ‘ + ( a 2 + b 2 ) y = 0 есть , куда z = a + ib .

Использование цепного правила для дифференциации сложных функций — видео и расшифровка урока

Понимание правила цепочки

Чтобы вычислить эту и другие более сложные производные, вам нужно знать правило цепочки . Цепное правило используется для связывания частей уравнений вместе или для дифференциации сложных уравнений, таких как вложенных уравнений . Итак, если у вас есть f(x) и эта функция действительно g(h(x)) , у вас есть функция внутри другой функции.2.

Правило цепочки на самом деле довольно простое: используйте его всякий раз, когда видите круглые скобки. Иногда вы будете использовать его, когда не видите круглых скобок, но они подразумеваются. Но эмпирическое правило заключается в том, что когда вы видите круглые скобки, вы собираетесь использовать цепное правило. Чтобы применить его, возьмите производные снаружи внутрь. Итак, если у вас есть f(x) = g(h(x)) , то вы будете дифференцировать внешнюю функцию. Затем вы собираетесь умножить его на производную внутренней функции.2 – тогда у нас действительно две функции. Наша первая функция — это квадрат скобок, а вторая функция — это то, что внутри, 2 x — 4.

Во-первых, я собираюсь на секунду проигнорировать внутреннюю часть и просто назову ее «скобки в квадрате». Я возьму производную квадрата скобок, которая будет в 2 раза больше того, что в скобках. Затем мне нужно умножить это на производную от того, что указано в скобках. Итак, если я подставлю то, что в скобках, 2 x – 4, у меня будет 2 (2 x – 4) * d/dx (2 x – 4).2) равно (2( x + 2) * d/dx ( x + 2)). Производная от x + 2 равна всего лишь 1, и тогда я могу упростить, как только разберусь со всеми скобками. Это также относится к таким примерам, как f(x) =cos (3 x ). f`(x) равно производной внешней стороны, -sin(3 x ), умноженной на производную внутренней части (производная 3 x равна всего 3).

Использование стратегии работы извне в
f` (x) x e
e x e e E x

Урок

Трюк с правилом цепи должен пробраться внутрь.Обычно используется, когда у вас есть скобки. Итак, если вы хотите найти f`(x) , когда f(x) = g(h(x)) , вам сначала нужно найти производную от внешней стороны – производную от g , g`(h(x)) – и вы собираетесь умножить его на производную от внутренней части, h`(x) .

Сложные производные, представление Виртингера и цепное правило

Два дня назад в Лаборатории Джулии Джарретт, Спенсер, Алан и я обсуждали наилучшие способы выражения производных для автоматического дифференцирования в комплекснозначных программах.Вдохновленный этим обсуждением, я хочу поделиться своим пониманием предмета и, в конечном счете, представить цепное правило для сложных производных.

Производная

\mathbb{R}реалистичный  вид:  производная – это действительное число, которое говорит вам, насколько быстро значение изменяется по отношению к переменной.

D = \ гидроразрыв {dy} {dx}
Производные очень полезны! А именно, если вы знаете производную y по x, вы можете написать: dy = Ddx

Это означает, что можно рассчитать изменение y относительно небольшого изменения x. 2 :

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_1} {dx} & \ frac {\ partial f_1} {dy} \ \ frac {\ partial f_2} {dx} & \ frac {\ partial f_2} {dy} \end{bmatrix}

Якобианы очень полезны! Если вы знаете якобиан функции, то вы можете вычислить изменение функции при небольшом изменении любого из ее входных параметров.

\begin{bmatrix}df_1 \ df_2 \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dx \ dy \end{bmatrix}
Производные комплексной функции: якобиан

Комплексное число x+iy состоит из двух частей: действительной и мнимой.2

Следовательно,

J = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Re}} & \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Im}} \ \ frac {\ partial f_ {Im} }{dz_{Re}} & \frac{\partial f_{Im}}{dz_{Im}} \end{bmatrix}

Итак, еще раз: каждая запись в матрице Якоби дает изменение функции, когда соответствующие входные данные изменяются на небольшую величину.

\begin{bmatrix}df_{Re} \ df_{Im} \end{bmatrix} = J\begin{bmatrix}dz_{Re} \ dz_{Im} \end{bmatrix}
Нативный вид для сложных функций: Wirtinger

Хотя \mathbb{R}реалистическое представление легко понять, родное представление для сложных функций может быть проще выразить для AD. Матрица {2m} в поле \mathbb{C}. Итак, вот где вид Wirtinger вступает в игру.

Вместо производных \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}} мы будем использовать следующие производные:

\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial z_{Re}} – i \frac{\partial f}{\ частичное z_{Im}} \right) \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} + i \ frac {\ partial f} {\ парциальное z_ {Im}} \ справа)

Пусть f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и рассматривается как функция z и \bar z.С приведенными выше производными мы можем выразить J как:

J = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar z}\end{bmatrix}

Давайте посмотрим, дает ли эта версия матрицы Якоби изменения в функции по отношению к изменениям ее входных данных, как обычно.

df=J\begin{bmatrix}dz \ d\bar z \end{bmatrix}

Здесь dz = dz_{Re}+idz_{Im}, d\bar z = dz_{Re}-idz_{Im} — бесконечно малые изменения, которые мы внесли во входные данные, а df=df_{Re}+idf_{Im} — соответствующие изменение на выходе.

После того, как мы подставим J в приведенное выше уравнение, мы получим полное дифференциальное уравнение с помощью операторов \frac{\partial}{dz} и \frac{\partial}{d \bar z}, вы получите полную производную уравнение:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Если мы также подставим производные \frac{\partial f}{dz_{Re}} и \frac{\partial f}{dz_{Im}}, мы получим правильное полное дифференциальное уравнение с действительными производными операторами:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} dz_ {Re} + \ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Im}} dz_ {Im}

Итак, мы показали, что уравнение Якоби, которое мы пишем для уравнения Виртингера, действительно верно!

Резюме: Если мы подумаем о сложной функции f(z_1,z_2,…) как f(z_1,\bar z_1,z_2\bar z_2,…), уравнения для производных Виртингера точно такие же, как те, которые мы знаем из исчисления вещественных функций.

Цепное правило для производных Wirtinger

Учитывая, f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} и g: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}, мы хотели бы получить тождества для \frac{\partial (f \circ g )}{dz} и \frac{\partial (f \circ g)}{d\bar z}.

Запишем полный дифференциал для g(z):

dg = \ frac {\ partial g} {\ partial z} dz + \ frac {\ partial g} {\ partial \ bar z} d \ bar z

Тогда полный дифференциал для \bar g(z):

d \ бар г = \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное z} dz + \ гидроразрыва {\ парциальное \ бар г} {\ парциальное \ бар z} d \ бар z

Запишем полный дифференциал для f(g):

d (f \ circ g) = \ frac {\ partial f} {\ partial g} dg + \ frac {\ partial f} {\ partial \ bar g} d \ bar g

Подставьте dg и d\bar g в уравнение:

d (f \ circ g) = (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {dz}) dz + (\ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \bar g}{d \bar z})d\bar z

Итак, это правила цепочки, и они точно такие же, как те, которые мы знаем для реальных функций! (как если бы f(g,\bar g), g(z,\bar z) были реальными функциями с несколькими переменными)

\ frac {\ partial (f \ circ g)} {dz} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {dz} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ гидроразрыв {\ парциальное \ бар g} {dz} \ frac {\ partial (f \ circ g)} {d \ bar z} = \ frac {\ partial f} {dg} \ frac {\ partial g} {d \ bar z} + \ frac {\ partial f} {d \ bar g} \ frac {\ partial \ bar g} {d \ bar z}
Производные Wirtinger полезны

Вместо того, чтобы вычислять производные в стандартных направлениях Im и Re, мы каким-то образом вычисляем их в направлениях \hat z и \hat {\bar z}. 2= z \bar z

Как вы можете догадаться, производные Wirtinger:

\ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное г} = \ бар г \ гидроразрыв {\ парциальное е} {\ парциальное \ бар г} = г
Заключение

Так что выразительность производных Виртингера замечательна.Каждое уравнение с производными Виртингера становится тем же уравнением, которое вы узнали в реальном исчислении. Посмотрим, будет ли это полезно для целей AD…

Каталожные номера

участников Википедии. «Производные Виртингера». Википедия, Бесплатная энциклопедия . Википедия, Бесплатная энциклопедия, 8 января 2019 г. Интернет. 28 января 2019.

Приложение
Приложение I

Просто чтобы уточнить значение производной комплексной функции по действительной переменной:

\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {Re}} = \ frac {\ partial f_ {Re}} {dz_ {Re}} + i \ frac {\ partial f_ {Im}} {dz_ {Re}}
Приложение II

Строгий вывод цепного правила в \mathbb{R}реалистическом представлении:

Производные более сложных функций

Чуть более сложные функции

Программа SL не требует, чтобы учащиеся могли выводить следующие производные. 2(x)$… возможности практически безграничны. Есть несколько основных правил, которые позволяют вам иметь дело с этими более сложными функциями, не прибегая к использованию «основных принципов».

Правило суммы/разности

Функцию можно определить как сумму (или разность) двух или более других функций, таких как $f(x)=g(x)+h(x)$. Нетрудно показать из первых принципов, что производная этой функции равна:

. (1)

\begin{уравнение} f'(x)=g'(x)+h'(x) \end{уравнение}

или в нотации Лейбница:

(2)

\begin{align} \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}g(x) + \frac{d}{dx} h(x) \end{align}

Этого нет в буклете с формулой IB, но мы все надеемся, что вы помните.

Правило продукта

Функцию можно определить как произведение двух (или более) функций, например $f(x)=g(x)h(x)$. Приложив некоторые усилия и смекалку, можно показать, что производная произведения двух функций равна:

. (3)

\begin{equation} f'(x)=g(x)h'(x) + h(x) g'(x) \end{equation}

или в нотации Лейбница:

(4)

\begin{align} \frac{d}{dx}f(x)=g(x)\frac{d}{dx} h(x) + h(x) \frac{d}{dx} g( х) \end{выравнивание}

Частное правило

Функцию можно определить как частное двух функций, например $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}]$. 2} \end{выравнивание}

Цепное правило

Последнее часто оказывается самым сложным. Это включает в себя нахождение производной сложной функции. Например, функция $f(x)=g(h(x))$. Производная составной функции:

(7)

\begin{equation} f'(x)=g'(h(x)) h'(x) \end{equation}

На словах это означает, что производная равна производной “внешней” функции, вычисленной как “внутренняя” функция, умноженной на производную внутренней функции.

Да уж, полный рот.В обозначениях Лейбница правило цепи может выглядеть совсем иначе. Если мы определим:

(8)

\begin{уравнение} y=g(u) \end{уравнение}

с

(9)

\begin{уравнение} u=f(x) \end{уравнение}

Обратите внимание, что $y=g(f(x))$ просто старая добрая составная функция. Тогда мы можем сказать, что:

(10)

\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \end{align}

Честно говоря, я нахожу их обоих немного запутанными. Просто требуется немного практики, чтобы иметь дело с любым способом написания правила.

Примеры

Любые предложения, например проблемы? Опубликуйте их в комментариях ниже.


Хотите добавить или прокомментировать эти заметки? Сделайте это ниже.

404 Не найдено

404 Не найдено

Запрошенный URL-адрес /~ebender/supplements/stewart/complex.pdf не найден на этом сервере.


Наиболее распространенные причины этой ошибки:
  • Вы неправильно указали URL-адрес, к которому пытаетесь получить доступ. Внимательно проверьте орфографию, пунктуацию и регистрозависимость URL-адреса и повторите попытку.
  • Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
Если вам нужна помощь в решении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.
Веб-сайты классов см. в списке веб-сайтов классов по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня факультета математики UCSD по адресу http://www. math.ucsd.edu/.


Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу веб-мастер@математика.ucsd.edu.

Чтобы мы могли правильно устранить проблему, пожалуйста, включите:

  • ТОЧНЫЙ URL-адрес, который вы пытаетесь открыть, указанный в вашем веб-браузере:
         REQUEST_URI = http://euclid.ucsd.edu/~ebender/supplements/stewart/complex.pdf
  • Предыдущая веб-страница или ссылка, которая привела вас к этому URL-адресу:
         HTTP_REFERER = (нет)
  • Полное имя используемого веб-браузера, включая номер его версии:
         HTTP_USER_AGENT = Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:33.0) Gecko/20100101 Firefox/33.0
  • Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
  • Имя вашей операционной системы, включая номер ее версии.
  • Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
         REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 85. 140.7.239 (239.mtsnet.ru)
  • Точная дата и время возникновения проблемы:
         DATE_LOCAL = среда, 09 марта 2022 г., 12:48:10 PST
Спасибо!

Грунтовка комплексного номера

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Прежде чем я начну, позвольте мне пояснить, что этот документ не предназначен для того, чтобы научить вас всему, что нужно знать о комплексных числах. Это предмет, для изучения которого может потребоваться (и требуется) целый курс. Цель этого документа — дать вам краткий обзор комплексных чисел, обозначений, связанных с комплексными числами, и некоторых основных операций с комплексными числами.

Этот документ был написан с предположением, что вы видели комплексные числа в какой-то момент в прошлом, знаете (или, по крайней мере, знали в какой-то момент времени), что комплексные числа могут быть решениями квадратных уравнений, знаете (или помните) \(i=\sqrt{-1}\), и что вы видели, как выполнять базовые арифметические действия с комплексными числами.Если вы не помните, как выполнять арифметические действия, я покажу один или два примера, чтобы напомнить вам, как выполнять арифметические действия, но я предполагаю, что вам не нужно больше этого в качестве напоминания.

Для большинства учащихся предположения, которые я сделал выше об их подверженности комплексным числам, являются степенью их подверженности. Однако проблемы, как правило, возникают из-за того, что большинство преподавателей, похоже, предполагают, что либо студенты увидят что-то большее на каком-то более позднем занятии, либо уже увидят дальше на каком-то более раннем занятии. Затем внезапно ожидается, что учащиеся будут знать больше, чем базовую арифметику комплексных чисел, но часто фактически нигде этого не видели и должны быстро освоить ее самостоятельно, чтобы выжить в классе.

Это цель этого документа. Мы выйдем за рамки основ, с которыми в какой-то момент знакомо большинство учащихся, и покажем вам некоторые обозначения и операции с комплексными числами, которые многие учащиеся никогда не увидят, когда научатся обращаться с комплексными числами как с решениями квадратных уравнений.Мы также увидим несколько иной взгляд на некоторые основы, которых вы, вероятно, не видели, когда впервые познакомились с комплексными числами и доказательством некоторых основных фактов.

Первый раздел представляет собой более математическое определение комплексных чисел и не требуется для понимания остальной части документа. Он представлен исключительно для тех, кому это может быть интересно.

Предполагается, что второй раздел (арифметика) в основном представляет собой обзор для тех, кто читает этот документ, и его можно прочитать, если вам нужно быстро освежить в памяти базовые арифметические действия с комплексными числами. В этот раздел также включено более точное определение вычитания и деления, чем обычно дается, когда человек впервые знакомится с комплексными числами. Опять же, понимание этих определений не требуется для остальной части документа, они представлены только для того, чтобы вы могли сказать, что видели его.

Остальные разделы составляют суть этого документа и включают темы, которые обычно не изучаются, когда учащиеся впервые знакомятся с комплексными числами.

Итак, с этим покончено, давайте начнем…

Один странный трюк, чтобы сделать исчисление более красивым

В нашем последнем выпуске «Моей любимой теоремы» мы с моим соведущим Кевином Кнудсоном были рады поговорить со Стивеном Строгацем, прикладным математиком из Корнелла и автором нескольких популярных книг по математике.Эпизод можно прослушать здесь или на сайте kpknudson.com, где также есть стенограмма.

Строгац рассказал нам об интегральной теореме Коши, также известной как теорема Коши–Гурса, в комплексном анализе. Как, вероятно, знают давние читатели блога Roots of Unity, в данном контексте сложное не значит сложное. Он относится к комплексным числам, числам вида a+bi , где a и b — действительные числа, а i определяется как квадратный корень из −1.Вы можете думать о комплексных числах как о плоскости x-y с небольшой дополнительной структурой. Как и в случае с действительными числами, мы можем складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Мы можем определить сложные функции, которые принимают комплексные числа в качестве входных данных и производят комплексные числа в качестве выходных данных, что также позволяет нам делать все те забавные вещи, которые мы любим делать с реальными функциями.

Интегральная теорема Коши — это хорошая теорема, связанная с тем, как ведут себя функции на комплексной плоскости, и мне особенно понравилось слышать личную реакцию Строгаца на эту теорему, когда он впервые узнал о ней.Но я подумал, что кое-что еще, о чем мы говорили в эпизоде, было еще более интересным: что такого хорошего в комплексном анализе?

Комплексный анализ — это в основном исчисление на комплексной плоскости. Исчисление, изучение непрерывных изменений, — одно из наших любимых занятий с реальными функциями. Область анализа расширяет исчисление из области функций одной переменной в более сложные области и функции многих переменных. Наивно вы можете предположить, что если комплексная плоскость — это просто двумерная плоскость с одним дополнительным правилом (i 2 = −1), то комплексный анализ с одной переменной будет подобен реальному анализу с двумя переменными.

Большинство математиков так не думают. Сложный анализ кажется безупречным и совершенным, в то время как реальный анализ кажется грязным и диким. В реальном анализе полно «чудовищных» объектов, таких как функция Вейерштрасса, о которой Бен Орлин говорил несколько месяцев назад, но в комплексном анализе все просто работает. Например, если функция дифференцируема один раз в смысле комплексного анализа, она бесконечно дифференцируема. Немного гладкость означает, что функция бесконечно гладкая. С другой стороны, реальные функции могут быть дифференцируемы 17 раз, а 18 раз ломаться. Нет никаких гарантий.

Я люблю сложный анализ, почти до благоговения. Но пока мы разговаривали, я начал думать о том, почему комплексный анализ кажется гораздо более совершенным, чем реальный анализ. Все сводится к тому, какие функции мы впускаем в дверь. Такие теоремы, как интегральная теорема Коши, применимы только к функциям, которые являются комплексно-аналитическими, что означает, что их производные подчиняются ограничительным правилам, касающимся их взаимодействия. Эквивалентное понятие в реальном анализе допускает гораздо более беспорядочные функции.Теоремы о сложных аналитических функциях применимы к более узкому кругу функций. Это все равно, что сравнивать подтанцовку Бейонсе со всеми, кто когда-либо устраивал сольную танцевальную вечеринку на своей кухне. Хореограф мог бы сделать гораздо больше с первым, чем со вторым. Точно так же математик может доказать гораздо более сильные теоремы со сложными аналитическими функциями, чем с реальными аналитическими функциями.

Я немного теряюсь: красив ли сложный анализ, потому что его функции почти чудесным образом работают, или он поверхностен, потому что применим к столь ограниченному набору функций? Я почти уговорил себя поверить в последнее, но потом вернулся к источнику различия между комплексным и реальным анализом: и .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.