Решить интеграл: ∫∫ Двойной интеграл – Калькулятор Онлайн

Содержание

∫∫ Двойной интеграл – Калькулятор Онлайн

Введите подинтегральную функцию,


для которой надо найти двойной интеграл

Найдём подробное решение для двойного интеграла от функции f(x, y).

Введите вверхние и нижние пределы для области интегрирования и подинтегральную функцию.
Если подинтегральной функции нет, то укажите 1.

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция – арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция – арктангенс от
x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция – экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция – Синус от x
cos(x)
Функция – Косинус от x
sinh(x)
Функция – Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция – Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция – квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция – Квадрат x
ctg(x)
Функция – Котангенс от x
arcctg(x)
Функция – Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция – Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция – Тангенс от x
tgh(x)
Функция – Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция – кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x – 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число “Пи”, которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности – знак для бесконечности

Интегралы от функций, содержащих квадратное уравнение в знаменателе

Данная статья учит решать интегралы в которых в знаменателе имеем квадратное уравнение

Для нахождения таких интегралов требуется преобразование их в формулы интегрирования, для этого необходимо сначала выделить полный квадрат с квадратного уравнения.

где

Дальнейшее интегрирование сводится к отысканию табличных интегралов. Рассмотрим конкретные примеры, для закрепления данного материала.

Пример 1.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а) Выделим полный квадрат из уравнения

Искомый интеграл примет вид

Для сведения к табличному виду интеграла выполним замену переменных

и проинтегрируем

б) Данный тип интеграла сложнее предыдущего тем, что в числителе имеем функцию от Такие интегралы находят следующим образом. Сначала делаем замену переменных в интеграле

Для получения в числителе выражения порядке умножим и разделим наш числитель на 2.

Получим

Если в числителе вместо имели , то интегрирование можно свести к отысканию одного интеграла. Однако такой вариант выбран специально, чтобы научить Вас больше. С такой заменой разбиваем интеграл на два слагаемых

Замену мы делали для того, чтобы легко было свести первое слагаемое к табличному виду

В нашем случае получим

Второе слагаемое сводится по схеме, приведенной в предыдущем примере. Для этого в знаменателе выделяем полный квадрат

Далее находим интеграл

Окончательно, искомый интеграл равен сумме двух

Схема возведения хорошо работает когда в знаменателе легко выделяется полный квадрат, в других случаях приходится иметь дело с корнями.

Также встречаются примеры когда в числителе встречаются функции высших порядков – квадратные уравнения и старше. В таких случаях их делим на знаменатель и сводим к рассматриваемому виду.

в) Делаем замену переменных

Чтобы получить в числителе выражение, содержащее умножим и разделим наш числитель на 2:

Наш интеграл запишем в виде суммы двух

Первое слагаемое даст следующий вклад

Для нахождения второго выделим в знаменателе полный квадрат

Применяя табличную формулу ко второму слагаемому, получим

Суммируя слагаемые, будем иметь

Рассмотренные три примера описывают самые распространенные интегралы данной темы. Если Вам встретятся сложные интегралы попробуйте найти решение самостоятельно, если не сможете решить обращайтесь к нам.

Практикуйте и подобные интегралы не будет у Вас препятствием в обучении.

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata – d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata – d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata – d/dx x^2
7 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata – d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata – d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata – d/dx x^3
17 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata – d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata – d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata – d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata – d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata – d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata – d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata – d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata – d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata – d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata – d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata – d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata – d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata – d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata – d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata – d/dx x/2
46 Trovare la Derivata – d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata – d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata – d/dx x^x
52 Trovare la Derivata – d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata – d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata – d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata – d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata – d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata – d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata – d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata – d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata – d/dx e^2
67 Trovare la Derivata – d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata – d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata – d/dx x^5
73 Trovare la Derivata – d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata – d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata – d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata – d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata – d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata – d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata – d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata – d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata – d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata – d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata – d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata – d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x^2

калькулятор интегралов – калькулятор первообразных

Калькулятор интегралов – это онлайн-инструмент, который вычисляет первообразную функции. Он работает как калькулятор определенного интеграла, а также как калькулятор неопределенного интеграла и позволяет мгновенно вычислить интегральное значение.

Если вы изучаете исчисление, вы можете иметь представление о том, насколько сложны интегралы и производные. Что ж, отбросьте свои заботы, потому что калькулятор интеграции здесь, чтобы облегчить вам жизнь. Вы можете оценить интеграл, только поместив функцию в наш инструмент.

Теперь мы обсудим определение интеграла, как использовать интегральный калькулятор с пошаговыми инструкциями, как решать интегралы с помощью интегрального решателя и многое другое.

Что такое интегральное?


Интеграл является обратной производной. Он такой же, как и первообразная. Его можно использовать для определения площади под кривой. Вот стандартное определение интеграла
Википедия.

“В математике интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы можно было описать смещение, площадь, объем и другие понятия, возникающие при объединении бесконечно малых данных. Интегрирование – одна из двух основных операций исчисления; его обратная операция, дифференцирование, является другим.”

С интервалом [a, b] действительной прямой и действительной переменной x определенный интеграл заданной функции f может быть выражен как:

Как правило, есть два типа интегралов.

Oпределенный интеграл онлайн : если интегралы определяются с использованием нижнего и верхнего пределов, они называются определенными интегралами. Стандартный вид определенных интегралов может быть представлен как:

Hеопределенный интеграл онлайн : если не определены нижний или верхний предел, предел указывается постоянной интегрирования. Эти типы интегралов называются неопределенными интегралами, потому что для них нет ограничений.

Стандартная форма неопределенных интегралов:

∫ f (x) dx

Как  работает интеграл онлайн?


Калькулятор первообразных вычисляет функцию, заданную пользователем, и преобразует ее в интегрирование, применяя верхний и нижний пределы, если это определенный интеграл. Если это неопределенный интеграл, калькулятор интегралов просто использует константу интегрирования для вычисления выражения.

Кроме того, калькулятор интегральных вычислений дает ощущение простоты в расчетах интегрирования, только принимая функцию от пользователя. Вам не нужно ничего делать, кроме как вводить данные, и этот итерационный калькулятор интегралов делает все это самостоятельно, причем в кратчайшие сроки.

Чтобы использовать этот калькулятор линейного интеграла, выполните следующие действия:

Введите свое значение в данное поле ввода.
Нажмите кнопку “Рассчитать”, чтобы получить интеграл.
Используйте кнопку Reset, чтобы ввести новое значение.
Калькулятор интеграции по частям даст вам полностью оцененную интегральную функцию, которую можно в дальнейшем использовать в различных областях. Как упоминалось выше, интегрирование является обратной функцией производных. Если вам нужно решить производную, воспользуйтесь нашим калькулятором производной.

Как вычислить интеграл?


Теперь, когда вы знаете, что такое интегралы и как использовать приведенную выше производную интегрального калькулятора для решения интеграла, вы также можете узнать, как решать интегралы вручную. Это может как-то раздражать тех, кто только начинает с интегралов.

Но не волнуйтесь. Мы продемонстрируем расчеты на примерах, чтобы вы могли легко понять. Кроме того, вы можете подготовить тему к экзаменам, используя приведенное ниже руководство.

Чтобы вычислить интегралы, выполните следующие действия:

Определите и запишите функцию F (x).
Возьмем первообразную функции F (x).
Вычислите значения верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).
Вычислите разницу верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).
Давайте воспользуемся примером, чтобы понять метод вычисления определенного интеграла.

Пример – Определенный интеграл
Для функции f (x) = x – 1 найти определенный интеграл, если интервал равен [2, 8].

Решение:

Шаг 1: Определите и запишите функцию F (x).

F (x) = x – 1, интервал = [2, 8]

Шаг 2: Возьмите первообразную функции F (x).

F (x) = ∫ (x − 1) dx = (x2 / 2) – x

Шаг 3: Рассчитайте значения верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).

As, a = 1 и b = 10,

F (а) = F (1) = (22/2) – 2 = 0

F (б) = F (10) = (82/2) – 8 = 24

Шаг 4: Рассчитайте разницу верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).

F (б) – F (а) = 24-0 = 24

Этот метод можно использовать для вычисления определенных интегралов, имеющих пределы. Вы можете использовать калькулятор двойного интеграла выше, если не хотите заниматься интегральными вычислениями.

Пример – интеграл тригонометрической функции
Для функции f (x) = sin (x) найдите определенный интеграл, если интервал равен [0, 2π].

Решение:

Шаг 1: Определите и запишите функцию F (x).

F (x) = sin (x), интервал = [0, 2π]

Шаг 2: Возьмите первообразную функции F (x).

F (x) = ∫ sin (x) dx = cos (x)

Шаг 3: Рассчитайте значения верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).

As, a = 0 и b = 2π,

F (а) = F (0) = cos (0) = 0

F (b) = F (2π) = cos (2π) = 0

Шаг 4: Рассчитайте разницу верхнего предела F (a) и нижнего предела F (b).

F (б) – F (а) = 0 – 0 = 0

Наряду с ручным расчетом вы также можете использовать наш калькулятор тригонометрической подстановки выше, чтобы решить тригонометрический интеграл за доли секунды.

FAQs

Что такое вычисление интегралов?


Интегральное вычисление обращает функцию производной, беря первообразную этой функции. Он используется для определения площади под кривой. Интегральные вычисления могут быть определенными, если есть верхний и нижний пределы. Если интервалов нет, используется интегральная константа C, и этот тип функции называется неопределенным интегралом.

Какая производная от интеграла?


Если мы возьмем производную интеграла, оба они будут компенсировать друг друга, потому что производная и интеграл являются обратными функциями друг к другу. Согласно основной теореме исчисления, интеграл – это то же самое, что и первообразная.

Кто отец интеграции?


Готфрид Вильгельм Лейбниц и Исаак Ньютон независимо предложили правила интеграции в конце 17 века. Они приняли интеграл как бесконечную сумму прямоугольников чрезвычайно малой ширины. Бернхард Риман описал интегралы строго математически.

Что такое интеграл от 1?


Интеграл от 1 равен x или x + c, потому что если мы добавим интегральную константу. Это можно выразить как диагональная линия, лежащая в 1-м и 3-м квадрантах графика.

∫ 1 dx = x + C

Какой интеграл от sin 2x?


Интеграл от sin 2x можно вычислить методом подстановки. Это будет неопределенный интеграл из-за отсутствия интервала или верхнего и нижнего пределов. Вот интеграл от sin 2x.

∫ sin (2x) dx = – (1/2) cos (2x) + C

Вычислить определенный интеграл dx x 3. Решение неопределённых интегралов. Калькулятор решения интегралов

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.

Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x) (первообразную функции).3 – возведение в степень x + 7 – сложение x – 6 – вычитание
Другие функции: floor(x) Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция – Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно найти решение неопределеленного интеграла от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн .

Решить неопределенный интеграл

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение интеграла онлайн быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте. Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт сайт поможет решить интеграл онлайн и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте сайт, вы всегда получите точный ответ.

Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу. Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением.

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?

Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!

Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Интегральный (первообразный) калькулятор

с шагами

Этот онлайн-калькулятор попытается найти неопределенный интеграл (первообразную) заданной функции с указанными шагами.

Введите функцию:

Интегрировать относительно: autoxtuvwyzabcdfghklmnopqrs

Пожалуйста, пишите без каких-либо различий, таких как `dx`,` dy` и т. Д.

Определенный интеграл см. В калькуляторе определенного интеграла.

Некоторые интегралы могут занять много времени. Потерпи!

Если интеграл не рассчитывался или потребовалось слишком много времени, напишите об этом в комментариях. Алгоритм будет улучшен.

Если калькулятор что-то не вычислил, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение / отзыв, напишите об этом в комментариях ниже. {2} \ right)}} {2} + C $$$

Как решить интеграл | Интегралы | Математические упражнения

Интегралы – это сумма бесконечных слагаемых, бесконечно малых.

Дана функция f действительной переменной x и интервал [a, b] вещественной прямой, определенный интеграл

Bioprofe | Решить интеграл | 01

неофициально определяется как площадь области в плоскости xy, ограниченная графиком f, осью x и вертикальными линиями x = a и x = b, так что площади над осью добавляют к общей сумме. , а площадь под осью x вычесть из общей суммы.

Bioprofe | Решить интеграл | 02

Термин «интеграл» может также относиться к понятию первообразной функции F, производной которой является заданная функция f.В этом случае он называется неопределенным интегралом и записывается:

Bioprofe | Решить интеграл | 03

ИЗВЕСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Bioprofe | Решить интеграл | 04

Bioprofe | Решить интеграл | 05

Bioprofe | Решить интеграл | 06

Bioprofe | Решить интеграл | 07

Bioprofe | Решить интеграл | 08

Bioprofe | Решить интеграл | 09

Bioprofe | Решить интеграл | 10

Bioprofe | Решить интеграл | 11

Bioprofe | Решить интеграл | 12

Bioprofe | Решить интеграл | 13

Bioprofe | Решить интеграл | 14

Bioprofe | Решить интеграл | 15

Bioprofe | Решить интеграл | 16

Bioprofe | Решить интеграл | 17

Bioprofe | Решить интеграл | 18

Bioprofe | Решить интеграл | 19

Bioprofe | Решить интеграл | 20

ИНТЕГРАЦИЯ ЗАМЕЩЕНИЕМ

Всякий раз, когда интеграл можно записать как:

Bioprofe | Решить интеграл | 21

, если мы изменим t = u (x), интеграл преобразуется в:

Bioprofe | Решить интеграл | 22

может быть проще решить.

ИНТЕГРАЦИЯ ПО ЧАСТЯМ

Этот метод полезен в тех случаях, когда при интегрировании можно положить произведение функции на дифференциал другой функции

Bioprofe | Решить интеграл | 23

ИНТЕГРАЦИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рациональная функция – это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций.

Bioprofe | Решить интеграл | 24

Правильный: если степень полиномиального делителя больше делимого.

Неправильно: если степень полинома делимого больше или равна делителю.

ТЕОРЕМА

Любая несобственная рациональная функция может быть разложена на сумму полинома плюс правильная рациональная функция.

Bioprofe | Решить интеграл | 25

Следовательно, интеграл от несобственной рациональной функции можно записать:

Bioprofe | Решить интеграл | 26

Для решения интеграла рациональной функции разлагается на сумму простых дробей:

1) Знаменатель разлагается на следующие множители:

Bioprofe | Решить интеграл | 27

2) Затем пишется

Bioprofe | Решить интеграл | 28

, а затем получить следующее выражение:

Bioprofe | Решить интеграл | 29

3) Коэффициенты A, B,…, N определяются как последовательно x = a, x = b и т. Д.

Например:

Bioprofe | Решить интеграл | 30

4) Коэффициенты получены, интегрируем выражение.

Случай, когда многочлен знаменателя имеет кратные корни

Bioprofe | Решить интеграл | 31

Bioprofe | Решить интеграл | 32

ИНТЕГРАЦИЯ ПУТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАМЕНЫ

Это замена тригонометрических функций на другие выражения.Можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения.

Bioprofe | Решить интеграл | 33

Bioprofe | Решить интеграл | 34

Bioprofe | Решить интеграл | 35

Bioprofe | Решить интеграл | 36

Bioprofe | Решить интеграл | 37

Bioprofe | Решить интеграл | 38

Решение интеграла ln (x) – видео и стенограмма урока

Приложение

Давайте применим эти шаги к интегралу ln ( x ).Мы знаем, что наши две функции – это ln ( x ) и 1. Поскольку производная ln ( x ) хорошо известна как 1/ x , вероятно, было бы неплохо позволить u = ln ( x ). Точно так же интеграл от 1 известен как x + C , где C – постоянная величина. Таким образом, положим dv = 1 dx . Важно отметить, что мы не включаем константы при нахождении различных интегралов в процессе решения.Это связано с тем, что все константы, которые будут отображаться повсюду, будут обработаны в конце процесса, когда у нас будет наша последняя константа.

На этом этапе мы фактически выполнили шаги 1 и 2, и у нас есть наши u , du , v и dv .

u = ln ( x ) дв = 1 dx
du = (1/ x ) dx v = x

Все, что нам нужно сделать, это вставить результаты в нашу формулу и упростить.

Решение

Мы видим, что интеграл ln ( x ) равен x ln ( x ) – x + C .

Интеграция по частям

Итак, мы нашли интеграл ln ( x ), но использование интеграции по частям может быть для вас в новинку и может оставить у вас некоторые вопросы. Чтобы исправить это, давайте подробнее рассмотрим интеграцию по частям.

Как мы уже говорили, интегрирование по частям используется для нахождения интеграла произведений функций. Фактически мы можем вывести формулу для интегрирования по частям из правила произведения для производных. Посмотрим, как это делается.

Начнем с формулы произведения для производных финансовых инструментов.

Затем мы интегрируем обе стороны функции. Вы можете задаться вопросом, почему, но этот подход будет становиться все более и более ясным по мере нашего продвижения.

Мы можем довольно легко упростить левую часть этого уравнения. Поскольку нахождение интеграла чего-либо – это то же самое, что нахождение антипроизводной, мы имеем, что интеграл производной f ( x ) * g ( x ) равен f ( x ). ) * г ( x ) + C . Опять же, мы можем отбросить константу, потому что константы, которые появляются по мере продвижения, будут обработаны в конце процесса, когда все они останутся одной константой.Таким образом, имеем:

Теперь, согласно приведенной ранее формуле интегрирования по частям, мы находим интеграл от u dv . Если мы допустим u = f ( x ) и dv = g ‘( x ) dx , заметите ли вы какие-либо интегралы в нашей формуле, которые выглядят как интеграл от у дв ? Что ж, глядя на уравнение, последний интеграл имеет функцию f , умноженную на производную функции g .Ага! Этот интеграл будет интегралом от u dv , где u f ‘( x ), а dv g ( x ) dx . Поэтому давайте решим этот интеграл, используя полученную формулу.

Хорошо, у нас есть формула. Но подождите секунду. Это не похоже на нашу первоначальную интеграцию по формуле частей. Не волнуйтесь! Мы можем сделать здесь несколько замен, и все станет кристально ясным.

u = f ‘( x ) дв = г dx
du = f ‘( x ) dx v = g ( x )

Подставив их в формулу, мы получим следующее:

Вот такая формула! Теперь мы видим, откуда взялась формула интегрирования по частям и почему мы можем ее использовать.Если все детали вывода формулы не были полностью ясны, это нормально, если вы признаете, что она была получена из правила произведения для производных финансовых инструментов.

Знание происхождения формулы может улучшить наше понимание самой формулы и помочь нам определить связи между различными математическими концепциями и идеями. Теперь вы не только знаете, как найти интеграл от ln ( x ), но также знаете, почему мы можем использовать для этого процесс решения интегрирования по частям.

Интеграция путем замены

В этом разделе мы увидим важный метод вычисления многих сложных интегралов.

Замена интегралов соответствует цепному правилу для производных.

Предположим, что \ (F \ left (u \ right) \) является первообразной от \ (f \ left (u \ right): \)

\ [\ int {f \ left (u \ right) du} = F \ left (u \ right) + C. \]

Предполагая, что \ (u = u \ left (x \ right) \) – дифференцируемая функция, и используя цепное правило, мы имеем

\ [\ frac {d} {{dx}} F \ left ({u \ left (x \ right)} \ right) = F ^ \ prime \ left ({u \ left (x \ right)} \ right ) u ^ \ prime \ left (x \ right) = f \ left ({u \ left (x \ right)} \ right) u ^ \ prime \ left (x \ right).\ prime \ left (x \ right)} dx} = \ int {f \ left (u \ right) du}, \; \; \ text {where} \; \; u = u \ left (x \ right) . \]

Это формула правила замены для неопределенных интегралов.

Обратите внимание, что интеграл слева выражается через переменную \ (x. \). Интеграл справа выражается через \ (u. \)

Метод подстановки (также называемый подстановкой \ (u – \)) используется, когда интеграл содержит некоторую функцию и ее производную. В этом случае мы можем установить \ (u \) равным функции и переписать интеграл в терминах новой переменной \ (u.6}}} {{18}} + C. \]

Пример 3.

Найдите интеграл \ [\ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt {1 + 4x}}}}. \]

Решение.

Мы можем попробовать использовать замену \ (u = 1 + 4x. \) Следовательно,

\ [du = d \ left ({1 + 4x} \ right) = 4dx, \]

т.

\ [dx = \ frac {{du}} {4}. \]

Это дает

\ [\ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt {1 + 4x}}}} = \ int {\ frac {{\ frac {{du}} {4}}} {{\ sqrt u }}} = \ frac {1} {4} \ int {\ frac {{du}} {{\ sqrt u}}} = \ frac {1} {4} \ int {{u ^ {- \ frac { 1} {2}}} du} = \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {{u ^ {\ frac {1} {2}}}}} {{\ frac {1} {2} }} + C = \ frac {1} {4} \ cdot 2 {u ^ {\ frac {1} {2}}} + C = \ frac {{{u ^ {\ frac {1} {2}} }}} {2} + C = \ frac {{\ sqrt u}} {2} + C = \ frac {{\ sqrt {1 + 4x}}} {2} + C. 4}}}}} {4} + C.2} + 2x – 5} \ right | + C. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

Как решать интегралы: ускоренный курс AP® Calculus

Внимание: Этот пост был написан несколько лет назад и может не отражать последние изменения в программе AP®. Мы постепенно обновляем эти сообщения и удалим этот отказ от ответственности после обновления этого сообщения. Спасибо за ваше терпение!

Интеграция может быть самой сложной концепцией в учебниках AP® Calculus, но она также, пожалуй, самая важная! При этом нет ничего постыдного в том, чтобы нервничать перед предстоящим экзаменом AP®.Чтобы помочь вам подавить ваши страхи, я расскажу вам о наиболее важных концепциях решения даже самых сложных интегралов. Прочитав этот обзор AP® Calculus, вы узнаете обо всех необходимых вам инструментах и, надеюсь, успокоите бабочек в вашем желудке.

Интегралы можно разделить на две отдельные категории: определенные и неопределенные. Определенный интеграл имеет границы и дает числовой ответ, в то время как неопределенный интеграл не имеет границ и дает алгебраический ответ. Неопределенные интегралы будут рассмотрены в первую очередь, поскольку метод их решения также используется как часть вычисления определенных интегральных решений.

Неопределенные интегралы могут быть решены двумя разными методами: методом антицепочечных правил и методом подстановки. Решение неопределенного интеграла – это то же самое, что решение для первообразной или отмена производной и решение для исходной функции.

Теперь мы переходим к самой интересной части: рассмотрим несколько примеров. Метод антицепочечных правил, по сути, противоположен методу цепных правил, реализованному в производном разделе вашего учебника. Вместо того, чтобы вычитать единицу из показателя степени, вы добавляете единицу и вместо умножения величины на новую экспоненту делите ее.2 + с

Термин c представляет собой постоянное значение, которое является результатом интеграции, и о нем никогда не следует забывать, особенно в вопросах с несколькими вариантами ответов экзамена AP® Calculus.

Пока все хорошо, правда? Становится хуже. Теперь рассмотрим метод подстановки, также известный как u-подстановка. Что произойдет, если вам предложат функцию, которую нельзя интегрировать с правилом античейна? Это происходит, когда несколько функций умножаются вместе способами, которые не могут быть расширены, например, функция в Примере 2 ниже.9 + с

Теперь мы ясно видим два основных метода решения неопределенных интегралов. Это было не так уж плохо, правда?

Давайте сделаем небольшое примечание, чтобы обсудить, как мы рассматриваем триггерные функции в интегралах. Я уверен, что вы уже знакомы с триггерами и их особенностями на предыдущих уроках математики. Это чрезвычайно важные функции, но их интегралы относительно просты. Единственный способ решить эти интегралы – это запомнить решение. Они были доказаны известными математиками давным-давно, и в AP® Calculus нам не нужно беспокоиться о том, откуда они взялись.2 {-колыбина \ влево (x \ вправо)} + c {csc \ left (x \ right)} {cot \ left (x \ right)} {-csc \ left (x \ right)} + c

Теперь, когда мы разогрелись в способах решения неопределенных интегралов, мы можем перейти к определенным интегралам. Это обсуждение будет включать в себя некоторую теорию, но имейте в виду, что понимание некоторой теории, лежащей в основе исчисления, поможет вам понять.

Определенные интегралы, возможно, являются наиболее важным понятием в исчислении, потому что они часто дают действительные точные числа.{{\ mathbf b}} _ {{\ mathbf a}} {{\ mathbf f} \ left ({\ mathbf x} \ right) {\ mathbf dx}}

Этот интеграл представляет собой площадь под кривой на графике. Это сложная для понимания концепция. Область под кривой может представлять что угодно и обычно зависит от концепции, лежащей в основе проблемы. Для AP® Calculus концепция не имеет значения, и мы просто сосредотачиваемся на математике; однако могут возникнуть концептуальные вопросы, которые задают вопрос, что представляет собой интеграл и каков ответ? Правильно, площадь под кривой.2dx}

Затем мы графически отображаем эту функцию и раскрашиваем ее в интересующем нас разделе от -2 до 2.

Как видите, окрашена только область, которая буквально находится между функцией и осью x. {\ dfrac {3} {2}}, и поэтому мы вычисляем F \ left (2 \ right) и F \ left (1 \ right).c_b {f \ left (x \ right) dx}}}

Определенные интегралы также могут быть включены в другие теоремы. Например, теорему о среднем значении можно скорректировать для применения к интегралам. Вспомните из ваших предыдущих знаний в области исчисления, что теорема о среднем значении обычно определяется как

.

f ‘\ left (c \ right) = \ dfrac {f \ left (b \ right) -f (a)} {b-a}

Мы знаем, что теорема о среднем значении применима, когда f (x) является непрерывной и определенной функцией между x = a и b, тогда мы знаем, что существует по крайней мере одно значение c, такое, что вышеупомянутое уравнение выполняется.b_a {е \ влево (х \ вправо) dx}

Это значение c также известно как среднее значение или среднее значение функции, и оно может быть вычислено с учетом функции и интересующего интервала.

Другая важная теорема, в которой используются определенные интегралы, – это Вторая основная теорема исчисления. x_a {f \ left (t \ right) d t} \ right) = f \ left (x \ right)

Логично, верно? Я знаю, что эти теоремы – не самая захватывающая часть интеграции, но они определенно так же важны, как и возможность решить интеграл на экзамене AP® Calculus!

Практика исчисления

AP® – один из лучших способов подготовиться к большому экзамену.2) для tge \ quad 0.

1. В каком направлении (вверх или вниз) движется частица в момент времени t = 1,5? Почему?

2. Найдите ускорение частицы в момент времени t = 1,5. Увеличивается ли скорость частицы? Почему или почему нет?

3. Учитывая, что y (t) – это положение частицы в момент времени t и y \ left (0 \ right) = 3, найдите y (2).

4. Найдите полное расстояние, пройденное частицей от t = 0 до t = 2.

Во-первых, давайте сделаем шаг назад и рассмотрим структуру проблемы.Как и все задачи бесплатного реагирования AP® Calculus, этот пример состоит из нескольких частей, требующих множества вещей. Части (a) и (b) не требуют интеграции, поэтому мы пропустим эти проблемы в этом упражнении.

Часть (c) запрашивает положение частиц в определенное время. Мы знаем, что скорость является производной от положения, и поэтому нам нужно будет интегрировать данное уравнение, чтобы найти профиль скорости. Используем ли мы определенный или неопределенный интеграл? Мы видим, что определенный интеграл даст нам полное смещение частицы.2 \ right) dt} = y \ left (2 \ right) -y (0)

Мы понимаем, что мы уже рассчитали оба этих значения! Поэтому просто подключаемся и решаем:

Смещение = y \ влево (2 \ вправо) -y \ влево (0 \ вправо) = 3,527 – 3 = 0,527

Эврика! Экзамен AP® Calculus часто заполнен небольшими ярлыками, подобными этому, потому что экзамен рассчитан по времени. Обязательно следите за ними, чтобы сдать экзамен!

Как мы видели, интеграция не так уж и плоха. Теперь у вас есть все инструменты для овладения экзаменом AP® Calculus! Однако имейте в виду, что практика ведет к совершенству! Как вы думаете, мы что-то упустили? Дайте нам знать! О приложениях для интеграции читайте в других статьях!

Ищете методику исчисления AP®?

Ознакомьтесь с другими нашими статьями о исчислении AP®.

Вы также можете найти тысячи практических вопросов на Albert.io. Albert.io позволяет настроить процесс обучения так, чтобы он ориентировался на практику там, где вам больше всего нужна помощь. Мы зададим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам овладеть AP® Calculus.

Начните практиковать здесь .

Вы преподаватель или администратор, заинтересованный в улучшении результатов учащихся AP® Calculus?

Узнайте больше о наших школьных лицензиях здесь .

Как найти интегральные выражения

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Искусство решения проблем

Интеграл – одно из двух основных понятий исчисления, наряду с производной.

Начальный уровень

Во вводных текстах средней школы интеграл часто представлен в двух частях: неопределенный интеграл и определенный интеграл .Хотя этому подходу не хватает математической формальности, он имеет то преимущество, что его легко понять и удобно использовать в большинстве приложений, особенно в физике.

неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл, или первообразная, является частичным обратным производной. То есть, если производная функции записывается как, то неопределенный интеграл от равен, где – действительная константа. Это потому, что производная константы равна.

Обозначение
Правила неопределенных интегралов

Определенный интеграл

Определенный интеграл – это также площадь под кривой между двумя точками и.Например, площадь под кривой между и, как и площадь под осью x, считается отрицательной областью.

Определение и обозначения
Правила определенных интегралов
  • для любого.

Официальное использование

Понятие интеграла – одна из ключевых идей в нескольких областях высшей математики, включая анализ и топологию. Интеграл можно определить несколькими способами, которые можно применить к нескольким различным настройкам.Однако наиболее распространенным определением, которое больше всего напоминает «определенный интеграл», является Интеграл Римана

Riemann Integral

Пусть

Пусть

Мы говорим, что это Интегрируемая по Риману тогда и только тогда, когда

таким образом, что if – это разделение с тегами на, где – сумма Римана относительно

.

, как говорят, является интегралом on и записывается как

2f3876024e3b8d9e4506f2173c591cbgeogebra65de








Другой интеграл, обычно используемый во вводных текстах, – это интеграл Дарбу (который часто называют интегралом Римана).

Интеграл Дарбу

Пусть

Мы говорим, что это интегрируемый по Дарбу в том и только в том случае, если, где и являются соответственно нижней суммой и верхней суммой по отношению к разбиению

Обозначения, используемые для интеграла Дарбу, такие же, как для интеграла Римана. интеграл.


Изображение должно находиться здесь. Вы можете помочь нам, создав его и отредактировав. Спасибо.


Другие определения

Другие важные определения интегрирования включают интеграл Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега, интеграл Хенстока-Курцвейла и т. Д.

Значение

  • Слово интеграл является прилагательной формой существительного «целое число». Таким образом, является цельным, пока не является.

См. Также

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *