Системы уравнений. Способы решения систем уравнений
- Способ подстановки
- Способ сравнения
- Способ сложения или вычитания
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
x – 4y = 2 | |
3x – 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
x – 4y = 2 | |
3x – 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
x – 4y = 2;
x = 2 + 4y.
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
3x | – 2y = 16; |
3(2 + 4y) | – 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
3(2 + 4y) – 2y = 16; |
6 + 12y – 2y = 16; |
6 + 10y = 16; |
10y = 16 – 6; |
10y = 10; |
y = 10 : 10; |
y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
x – 4y = 2 | |
3x – 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
x | 3x – 2y = 16 |
-4y = 2 – x | -2y = 16 – 3x |
y = (2 – x) : – 4 | y = (16 – 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
2 – x | = | 16 – 3x |
-4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
2 – x = 32 – 6x | ||||||
–x + 6x = 32 – 2 | ||||||
5x = 30 | ||||||
x = 30 : 5 | ||||||
x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
x – 4y = 2 | 3x – 2y = 16 |
6 – 4y = 2 | 3 · 6 – 2y = 16 |
-4y = 2 – 6 | -2y = 16 – 18 |
-4y = -4 | -2y = -2 |
y = 1 | y = 1 |
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Рассмотрим систему:
x – 4y = 2 | |
3x – 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
(3x – 2y) · -2 = 16 · -2
-6x + 4y = -32
Получим:
x – 4y = 2 | |
-6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
+ | x – 4y = 2 |
-6x + 4y = -32 | |
-5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x – 4y) · 3 = 2 · 3
3x – 12y = 6
Получим:
3x – 12y = 6 | |
3x – 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
– | 3x – 12y = 6 |
3x – 2y = 16 | |
-10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
3x – 2y = 16 |
3x – 2 · 1 = 16 |
3x – 2 = 16 |
3x = 16 + 2 |
3x = 18 |
x = 18 : 3 |
x = 6 |
Ответ: x = 6, y = 1.
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
Решение системы линейных уравнений методом сложения: алгоритм, примеры
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
Например: $ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$
Шаг 1
Умножаем первое уравнение на 2
${\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$
Шаг 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
5x = 5
Шаг 3
Находим x:
x = 1
Шаг 4
Находим y из первого уравнения:
y = 5-3x = 2
Шаг 5
Ответ: (1;2)
В последовательной записи:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end{array} \right. } \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end{array} \right.} $$
Ответ: (1;2)
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{3y+4}{2} = -1 \\ y=-2 \end{array} \right.} $
Ответ: (-1;-2)
$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = 21 \\ x = \frac{4}{3} y \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4 \\ y = 3 \end{array} \right.} $
Ответ: (4;3)
$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -23b = 23 \\ a = \frac{-3b-1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -1 \end{array} \right.} $
Ответ: (1;-1)
$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = \frac{1-3a}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = -4 \end{array} \right.}$
Ответ: (3;-4)
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4}-y = 7 \\ 3x+ \frac{y}{2} = 9 | \times 2\end{array} \right. } \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4} -y = 7 \\ 6x+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 6 \frac{1}{4} x = 25 \\ y = 18-6x\end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 25: \frac{25}{4} = 25 \cdot \frac{4}{25} = 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end{array} \right.} $$
Ответ: (4;-6)
$б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} = \frac{1}{6} |\times 2 \\ \frac{x}{3}+ \frac{y}{2} = -\frac{1}{6}| \times 3 \end{array} \right.}\Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} x+ \frac{2}{3} y = \frac{1}{3} \\ x+ \frac{3}{2} y = – \frac{1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \left( \frac{2}{3}- \frac{3}{2}\right) y = \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{3}- \frac{2}{3} y\end{array} \right.} \Rightarrow$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = \frac{5}{6}:\left(-\frac{5}{6}\right) = -1 \\ x = \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} = 1\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right. } $$
Ответ: (1;-1)
$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end{array} \right.} \Rightarrow $
$$ \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = -14 \\ x+8y = 25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 11x = 11 \\ y = \frac{25-x}{8} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 3 \end{array} \right.}$$
Ответ: (1;3)
$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.}$$
Ответ: (5;1)
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} – \frac{5}{y} = 11 \end{array} \right.} $
Введём новые переменные: $ {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{array} \right.} $
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ {\left\{ \begin{array}{c}2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 19b = -19 \\ a = \frac{1-3b}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 2 \\ b = -1 \end{array} \right.} $$
Исходные переменные:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{b} = -1 \end{array} \right. } $$
Ответ:$ \left(\frac{1}{2} ;-1 \right)$
Нулевые решения: у знак равно − 2 Икс + 4 у знак равно − 2 Икс − 3 | |
Одно решение: у знак равно 0,5 Икс + 2 у знак равно − 2 Икс − 3 | |
Бесконечное множество решений: у знак равно − 2 Икс − 4 у + 4 знак равно − 2 Икс | Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:
См. второй график выше. Решение находится там, где две линии пересекаются, точка ( − 2 , 1 ) . Пример 1: Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19 Решите второе уравнение для у . у знак равно 19 − 7 Икс Заменять
19
−
7
Икс
за
у
в первом уравнении и решить
Икс
. 3 Икс + 2 ( 19 − 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 − 14 Икс знак равно 16 − 11 Икс знак равно − 22 Икс знак равно 2 ![]() у знак равно 19− 7 ( 2 ) у знак равно 5 Решение ( 2 , 5 ) .Пример 2: Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно − 2 8 Икс − 2 у знак равно 12 Умножьте первое уравнение на
−
2
и добавьте результат ко второму уравнению. − 8 Икс − 6 у знак равно 4 8 Икс − 2 у знак равно 12 _ − 8 у знак равно 16 Решить для
у
. у знак равно − 2 Замена для у в любом из исходных уравнений и решить для Икс . 4 Икс + 3 ( − 2 ) знак равно − 2 4 Икс − 6 знак равно − 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1 Решение
(
1
,
−
2
)
. |
Решение систем уравнений: какой метод использовать?
Системы уравнений — это несколько уравнений, имеющих общее решение. Учащиеся сталкиваются с этими системами уравнений, когда есть несколько «неизвестных» или переменных, которые им еще не заданы. Когда это происходит, цель учащихся состоит в том, чтобы использовать данную информацию в уравнениях для решения всех переменных.
Для решения систем уравнений учащимся полезно иметь базовые знания о простых алгебраических уравнениях, переменных и графических линейных уравнениях.
Как решить систему уравнений?
Для решения систем уравнений используются три метода: построение графика, замена и исключение.
Чтобы решить систему с помощью графика, вы просто рисуете заданные уравнения и находите точки, в которых они все пересекаются. Координата этой точки даст вам значения переменных, которые вы решаете. Это наиболее эффективно, когда уравнения уже записаны в форме пересечения наклона.
Следующий метод — подстановка. Подстановку лучше всего использовать, когда одно из уравнений выражает одну из переменных, например y=2x+4, но уравнениями всегда можно манипулировать. Первым шагом в этом методе является решение одного из уравнений для одной переменной. Как только выражение для переменной найдено, замените или вставьте выражение в другое уравнение, где исходная переменная должна была найти числовое значение следующей переменной. Последним шагом является замена найденного числового значения на соответствующую переменную в исходном уравнении.
Третий метод — исключение. Исключение — это сложение уравнений вместе, чтобы создать уравнение только с одной переменной. Это можно сделать только в том случае, когда коэффициенты одной переменной в обоих уравнениях противоположны и будут компенсировать друг друга после сложения. Исключение лучше всего использовать, когда это уже происходит в уравнениях, но уравнения также можно манипулировать для создания общих коэффициентов путем умножения или деления уравнений на определенное число. Следующим шагом будет использование уравнения, которое мы создали, чтобы найти значение переменной, а затем подставить это значение обратно в исходное уравнение, чтобы найти оставшуюся переменную.
Вот пример задачи, в которой необходимо решить систему уравнений:
Логан ответил на 0,8 вопросов по математике больше, чем вопросов по испанскому, и на 5 вопросов по английскому языку больше, чем по испанскому. Если Логан ответил в общей сложности на 33 вопроса, на сколько математических вопросов ответил Логан?
Как решить эту проблему?
Первым шагом является создание уравнений из задачи со словами. Для этого мы должны присвоить переменные каждой неизвестной части задачи. Переменные x, y и z будут представлять количество математических, испанских и английских вопросов, на которые Логан ответил соответственно.
Поскольку Логан ответил в 0,8 раза на большее количество математических вопросов, чем на испанский, уравнение, представляющее это, будет 0,8y=x. Второе уравнение будет выглядеть так: z=y+5, чтобы представить, как Логан ответил на пять английских вопросов больше, чем испанских. Окончательное уравнение будет x+y+z=33, чтобы показать, как Логан ответил в общей сложности на 33 вопроса.
Оглядываясь назад на исходный вопрос, цель этой задачи — найти, на сколько математических вопросов ответил Логан. Поскольку первое уравнение, которое мы нашли, было 0,8y=x, мы видим, что нам нужна только переменная y, чтобы найти значение x или количество математических вопросов, на которые были даны ответы. Поскольку два уравнения уже решены с двумя переменными, 0,8y=x и z=y+5, подстановка будет наиболее эффективным методом. Чтобы использовать этот метод, мы заменим этими уравнениями переменные x и y третьего уравнения, что даст нам (0,8y)+y+(y+5)=33.
Следующим шагом будет решение этого уравнения для переменной y путем объединения одинаковых членов: 2,8y=28, что даст нам y=10 или 10 ответов на испанские вопросы. Теперь, когда мы нашли значение переменной y, мы можем снова подставить его в уравнение 0,8y=x, чтобы найти значение x. Заменив y его значением 10, мы получим 0,8(10)=x, что даст нам значение 8 для x.
Какой ответ?
Логан ответил на 8 математических вопросов.
Какие понятия мы использовали?
Чтобы решить эту примерную задачу, мы использовали несколько различных математических концепций. Первым, что мы использовали, было то, как писать уравнения из текстовых задач. Благодаря нашему пониманию проблемы мы смогли присвоить каждому неизвестному аспекту проблемы переменную, а затем создать уравнения, основанные на их отношениях в проблеме, которые мы затем распознали как систему уравнений.