Ряды математика для чайников: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

Содержание

Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа | Александр Шуравин.

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.

Предыдущая глава: Математика для чайников. Глава 8. Логарифмы

Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .

Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:

· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.

· Теория комплексной переменной. По сути, это та же теория функций, но связанная с комплексными числами. Комплексное число – это число, состоящее из «нормального» числа и мнимой единицы, умноженной на некий коэффициент. А мнимая единица – это корень из минус единицы, которого как бы не существует, но он на самом деле существует.

· Функциональный анализ. Это, по сути теория функций, но скрещенная с топологией. То есть туда добавлены такие понятия, как «пространство». Данный раздел математики изучает поведение и взаимоотношения функций в различных пространствах, плюс всякие линейные операторы и прочее тому подобное.

· Вариационное исчисление. Объект изучения этого раздела так называемые «вариации функционалов». Что это такое? Это обобщенное понятие дифференциала функции. Дифференциал – это, по сути, бесконечно малая часть приращения функции. С ним тесно связано понятие производной – скорости изменения функции. Для чего все это нужно? Чтобы найти экстремумы функции – ее минимумы и максимумы. А для чего их искать? Это нужно в задачах оптимизации. Например, в задачах искусственного интеллекта и машинного обучения необходимо найти минимум ошибки.

· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.

· Дифференциальные и интегральные уравнения. Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором фигурирует производная или дифференциал. Их решение сводиться к тому, чтобы преобразовать уравнения так, чтобы его можно было проинтегрировать. Ну а дальше решаем интеграл и получаем ответ. А интеграл – это сумма бесконечно малых кусочков функции, если говорить простыми словами, ну или площадь фигуры которую «вырезает» график функции. Нетрудно догадаться, что интегральные уравнения – это уравнения, где есть интеграл. А вот как решать такие уравнения – целая наука. Существует много методик, например, преобразование Лапласса.

· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.

· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.

· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.

· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.

Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу второго множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.

Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.

Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе – это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность – это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.

Всякое отображение:

множества натуральных чисел N в заданное множество X называется последовательностью.

Теперь пояснение к строгому определению. Под отображением как раз таки понимают функцию, определение которой я дал выше. То есть, отображение – это соответствие элементов одного множества элементам другого множества. Другое множество может быть тем же самым, что и первое множество. В частности, отображение натуральных чисел на натуральные числа.

Вы только что увидели сходство последовательности и функции. Скажу более, по сути, последовательность – это и есть функция, только аргумент в ней – натуральное число.

А теперь рассмотрим понятие ряд . Для этого берем последовательность и считаем суммы от первого элемента для каждого из его элементов. У нас получиться последовательность сумм. А если последовательность бесконечная? В принципе, мы тоже можем сложить все ее бесконечность членов. Теперь смотри что получается. У нас есть последовательность сумм, уходящих в бесконечность. Это и есть ряд. Как вы думаете, эти сумму будут уменьшаться, увеличиваться, к конце концов, чему будет равна самая последняя сумма? А это заливист от того, какую последовательность мы так суммируем. Очевидно, что если это будет последовательность натуральных чисел, которые «уходят» в бесконечность, то и сумма у нас тоже уйдет в бесконечность. В таком случае говорят, что ряд «расходится ».

А теперь анекдот. Заходит в бар математик, заказывает кружку пива и садиться за столик. Заходит второй математик, заказывает полкружки пива и тоже садиться за столик. Потом еще один, и заказывает уже четверть кружки. Следующий оду восьмую. А бар этот волшебный, он вмещает сколько угодно много посетителей. Да и бармен не обычный, он тоже математик и поэтому говорит:

– Ну, началось…. Вот вам на всех две кружки пива.

Для тех, кто не понял юмора. Это был ряд:

Нетрудно догадаться, что его сумма равна двум. На самом деле, этому даже есть строгое математическое доказательство, но мы пока не будем вдаваться в эти дебри. В общем, запомните, бывает, что сумма последовательности, которая образует ряд, равна не бесконечности, а какому – то определенному конечному числу. В этом случае говорят, что ряд сходится .

Теперь перейдем, пожалуй, к одному из самых важным понятий в математическом анализе. Предел . Надо сказать, что строгое определение предела появилось не сразу. Сначала его интуитивно понимали как предельный переход. Затем стали различать предел последовательности и предел функции. В первом случае, это некоторое число, к которому постепенно приближается последовательность при возрастании номеров ее членов. По своей сути, предел последовательности – это такое число, которое имеет бесконечный номер последовательности. Иначе то число, к которому стремиться последовательность, уходя в бесконечность. А вот предел функции – это значение, к которому стремиться функция, приближаясь к данной точке. Вроде, казалось бы, чего проще. Функция приближается к ее значению. В общем случае, это так. Но что вы скажете о значении функции

В точке x =2? Если вы попробуете сосчитать «в лоб» то у вас получиться 0/0. Но на нуль, как вы знаете делить нельзя. Тем более нуль делить на нуль. И как же быть? Дык можно просто вспомнить алгебру (см. Математика для чайников. Глава 5. Основы элементарной алгебры ). И упростить выражение:

Теперь мы без труда вычислим, что в данной точке значение функции равно 4.

Давайте проверим, построив ее график в Excel – e :

Что характерно, Excel даже сам правильно посчитал предел.

А вообще, предел записывается вот так:

Теперь разберемся с производной и интегралом. Давайте представим некоторую функцию вот с таким вот графиком:

Как я уже говорил выше, производная – это скорость изменения функции. Как ее найти? Надо изменения значения функции разделить на значение изменения ее аргумента:

Но если мы возьмем слишком большие приращения, то производную мы вычислим неточную. Чтобы вычислит точно нам надо взять бесконечно малое приращение по x . Если мы решим данный предел, то это и будет производная:

Где dy и dx – дифференциал (бесконечно мало приращение) функции и аргумента соответственно. Таким образом, производная функции – это функция ее скорости, или тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл).

Это краткое изложение что такое производная. Более подробно об этом будет в будущих уроках.

А теперь переедем к интегралу. Отметим на этом же графике некоорую область:

Так вот, площадь закрашенной желтым цветом области – это определенный интеграл, обозначается таким изогнутым значком и является пределом суммы бесконечно малых кусочков функции:

Есть еще неопределенный интеграл, это по сути, операция, обратная нахождению производной – то есть, нахождение первообразной.

С интегралами мы подробнее познакомимся в будущих уроках. А на сегодня пока все.

Следующая глава: Математика для чайников. Глава 10. Линейная алгебра

Генератор простых арифметических примеров для чайников и не только / Хабр

Привет!

В этой «статье», а вернее сказать очерке, покажу очень простой способ развлечься зная самые основы latex и python.

Зачем?

Ну, можно генерировать простые выражения для детей чтобы считали. Или просто так. Да хоть на обои поставить, если вы такой же фанатик, как и я.

Как это по идее должно работать?

Идея действительно очень простая, написать такую программу может абсолютно каждый. Мы хотим сгенерировать выражение, равное некоторому числу n (которое вводит пользователь). Любое число можно заменить на арифметическое выражение, например, 3 = 1 + 2. А 2 это 4 / 2. Вот так мы сгенерировали 3 = 1 + 4/2. Аналогично, мы введем несколько разных операций и завернем это в LaTeX, язык формул.

Вам понадобится…

Одна неделя опыта в python и matplotlib. Я серьезно.


Основной механизм

Нам нужно распарсить выражение так, чтобы вытащить оттуда числа. Назовем наш класс как генератор проблем (нам всем его так не хватает!)

import random
from math import log
import math
import sys
sys.setrecursionlimit(1000)   # Эта магия делает нерабочий код рабочим


class ProblemGenerator:
    def extract_nums(self, exp):
        symbols = list(exp)
        NUM = "1234567890."
        for i in range(len(symbols)):
            symbols[i] = "N" if symbols[i] in NUM else "T"
        begins = []
        ends = []
        for i in range(len(symbols) - 1):
            fn = symbols[i] + symbols[i + 1]
            if fn == "TN":
                begins.append(i)
            elif fn == "NT":
                ends.append(i)
        if exp[-1] in NUM:
            ends.append(len(exp) - 1)
        if exp[0] in NUM:
            begins = [-1] + begins
        return [(x + 1, y + 1) for x, y in zip(begins, ends)]

Смысл функции extract_nums в том, чтобы получить n пар чисел (a, b), где a — позиция первого символа, b — позиция последнего + 1.

Например, если мы запустим следующий код:

gen = ProblemGenerator()
print(gen.extract_nums("13+256/355+25"))

Увидим:

[(0, 2), (3, 6), (7, 10), (11, 13)]

То есть это массив tuple. (0, 2) означает, что есть число между 0 (включительно) и 2 (не включительно).

Теперь нам хотелось бы сделать разные операторы, начнем с умножения и суммы. Объявим три функции

def unmin(*args, acc=2):
    r = []
    for arg in args:
        f = round(arg, acc)
        if f > 0:
            f = str(f)
        else:
            f = "(" + str(f) + ")"
        r.append(f)
    return r

def __c_sum(num):
    a = round(random.random() * 100, 3)
    b = num - a
    a, b = unmin(a, b)
    return a + " + " + b

def __c_mul(num):
    a = num / (random.random() * 100 + 10)
    if a == 0.0:
        b = random.random()
    else:
        b = num / a
    a, b = unmin(a, b)
    return a + " * " + b

Суть функции unmin не только в том, чтобы просто преобразовать все аргументы в строки, но и в том, чтобы заключить в скобки какой-то из операндов, если он меньше нуля.

К примеру, мы получили числа a=3, b=-4. Если мы напишем

a = 3
b = -4
a, b = unmin(a, b)

То a=«3», b=”(-4)”

Ну а остальные функции понятные: __c_sum возвращает строку вида «13 + 4», а __c_mul «13 * 4».
Остается соединить эти две штуки и заменять каждое число в выражении на выражение.
Добавим в ProblemGenerator следующий код:

class ProblemGenerator:
...
    def __init__(self):
        self.funcs = []
    
    def add_expander(self, func):
        self.funcs.append(func)
    
    def complexify(self, num):
        return random.choice(self.funcs)(num)
    
    def __rxp__(self, exp):
        x, y = random.choice(self.extract_nums(exp))
        exp = exp[:x] + "(" + self.complexify(float(exp[x:y])) + ")" + exp[y:]
        return exp
    
    def randexpr(self, ans, steps):
        e = str(ans)
        for i in range(steps):
            e = self.__rxp__(e)
        return e

complexify принимает какое-то число, а возвращает строку — усложненное выражение. Например, если напишем:

gen = ProblemGenerator()
gen.add_expander(__c_sum)
print(gen.complexify(13))

Получим:

31.2 + (-18.2)

Как работает __rxp__? Мы выбираем позицию случайно числа из выражения (к примеру, если есть выражение «13+35/45», то допустим мы выбрали (3, 5)) и заменяем это число на выражение, равное этому числу. То есть хотелось бы:

«13+35/45» — рандомное число (3, 5)
«13+» + “(12 + 23)” + “/45”
«13+(12+23)/45»

Так и работает __rxp__
Ну а randexpr работает совсем просто. Например, если у нас четыре шага, то раскрывать выражение будет так:

13
(5.62 + 7.38)
((20.63 + (-15.01)) + 7.38)
((20.63 + (-(67.5 + (-52.49)))) + 7.38)
((20.63 + (-((15.16 + 52.34) + (-52.49)))) + 7.38)

Попробуем запустить:

gen = ProblemGenerator()
gen.add_expander(__c_sum)
gen.add_expander(__c_mul)
exp = gen.randexpr(1, 5)
print(exp)

Результат:

((6.
{" + b + "} i*" + c

Добавим все функции в gen:

gen = ProblemGenerator()
gen.add_expander(__l_sum) # Сумма двух чисел
gen.add_expander(__l_div)   # Дробь
gen.add_expander(__l_pow) # Степень
gen.add_expander(__l_sqrt) # Квадратный корень
gen.add_expander(__l_int)   # Определенный интеграл
gen.add_expander(__l_sig)   # Оператор сигма

И наконец добавим вывод результата:

import matplotlib.pyplot as plt
plt.axis("off")
latex_expression = gen.randexpr(1, 30)  # 30 раз заменяем. Выражение будет равно 1
plt.text(0.5, 0.5, "$" + latex_expression + "$", horizontalalignment='center', verticalalignment='center', fontsize=20)
plt.show()

Вот и всё.

Весь код
import random
from math import log
import math
import sys
sys.setrecursionlimit(1000)


class ProblemGenerator:
    def extract_nums(self, exp):
        symbols = list(exp)
        NUM = "1234567890."
        for i in range(len(symbols)):
            symbols[i] = "N" if symbols[i] in NUM else "T"
        begins = []
        ends = []
        for i in range(len(symbols) - 1):
            fn = symbols[i] + symbols[i + 1]
            if fn == "TN":
                begins.
append(i) elif fn == "NT": ends.append(i) if exp[-1] in NUM: ends.append(len(exp) - 1) if exp[0] in NUM: begins = [-1] + begins return [(x + 1, y + 1) for x, y in zip(begins, ends)] def __init__(self): self.funcs = [] def add_expander(self, func): self.funcs.append(func) def complexify(self, num): return random.choice(self.funcs)(num) def __rxp__(self, exp): x, y = random.choice(self.extract_nums(exp)) exp = exp[:x] + "(" + self.complexify(float(exp[x:y])) + ")" + exp[y:] return exp def randexpr(self, ans, steps): e = str(ans) for i in range(steps): e = self.__rxp__(e) return e def unmin(*args, acc=2): r = [] for arg in args: f = round(arg, acc) if f > 0: f = str(f) else: f = "(" + str(f) + ")" r.append(f) return r def __c_sum(num): a = round(random.
{" + b + "} i*" + c gen = ProblemGenerator() gen.add_expander(__l_sum) gen.add_expander(__l_div) gen.add_expander(__l_pow) gen.add_expander(__l_sqrt) gen.add_expander(__l_int) gen.add_expander(__l_sig) import matplotlib.pyplot as plt plt.axis("off") latex_expression = gen.randexpr(1, 30) # 30 раз заменяем. Выражение будет равно 1 plt.text(0.5, 0.5, "$" + latex_expression + "$", horizontalalignment='center', verticalalignment='center', fontsize=15) plt.show()


Результат (3 скриншота)

Электоральная статистика для чайников и профессионалов

Михаил Гельфанд подготовил рецензию на книгу канд. биол. наук и юрид. наук А. Е. Любарева* «Занимательная электоральная статистика» (М.: Голос консалтинг, 2021). Видеозапись презентации книги с участием автора и других видных электоральных статистиков см. на youtube.com/watch?v=98EwJWxrMw8.

Нынешние времена таковы, что первым делом надо сообщить: автор книги «Занимательная электоральная статистика» Аркадий Любарев* с 29 сентября 2021 года числится за номером 60 в так называемом «Списке иностранных средств массовой информации, выполняющих роль иностранного агента» [1].

Этот реестр заведен и поддерживается Министерством юстиции РФ в соответствии с законом № 426-ФЗ от 2 декабря 2019 года. Следует напомнить и то, что петиция за отмену всей пачки так называемых законов об иноагентах собрала на Change.org более 250 тыс. голосов (по состоянию на конец ноября 2021 года) и всякий волен к ней присоединиться [2].

Вторым делом надо предостеречь читателя: вопреки названию, ничего занимательного в этой книге нет. Ни веселых фотографий с избирательных участков, иллюстрирующих статистические методы обнаружения вбросов, ни детективных историй про переписывание протоколов с последующим преследованием, ни стенограмм горячих дискуссий в территориальных, да и Центральной избирательных комиссиях — дискуссий, наглядно показывающих особенности законодательства и правоприменения. Ничего этого нет.

В начальных разделах нет даже и статистики выборов. Они рассказывают об источниках данных, структуре документов и тому подобных крайне полезных (как шпинат), но ни разу не занимательных вещах. Впрочем, в конце второй главы уже начинаются приложения — сначала в форме проверки простых арифметических соотношений. Эта тема развивается в главе 3, где подробно описаны методы обнаружения электоральных аномалий и статистические критерии; здесь же приводится ряд поучительных примеров. Две оставшиеся главы посвящены собственным результатам — анализу общих электоральных тенденций и детальным исследованиям отдельных регионов.

И теперь ясно, что первая половина книги — это учебное пособие, а вторая — естественнонаучная монография. Надо сказать, что издатели намекали на нечто подобное; не знаю, случайно ли так получилось, но все трое рецензентов, реплики которых вынесены на обложку, имеют ученые степени сразу по двум наукам (канд. юрид. наук + канд. физ.-мат. наук, докт. полит. наук + канд. ист. наук, докт. ист. наук + канд. физ.-мат. наук).

В рецензии интереснее говорить про то, чего в книге нет. Мне не хватило обсуждения официальных реакций на статистическую критику выборов (некоторые примеры приведены во врезке). Вообще, самостоятельный интерес могло бы представлять исследование того, как на динамику электоральных аномалий влияет развитие методов обнаружения этих аномалий. О том, что таковое должно иметь место, свидетельствует, например, совещание в ЦИК накануне президентских выборов 2018 года [3].

В разделе 5.6, посвященном Саратовской области, упоминается чудесный пик на 62,2% за «Единую Россию» в Саратове в 2016 году — но как же было забыть про аналогичный пик на 64,3% явки и чудесное арифметическое соотношение: 62,2% × 64,3% = 40% с точностью до третьего знака. Интересен был проведенный не припомню кем анализ двух видов искажений: приписывания голосов (например, в 2011 году в Нижнем Новгороде: официальные результаты ЦИК на графике «явка в УИК / голоса за ЕР» съезжают вправо и вверх по сравнению с результатами в исходных протоколах УИК, зафиксированных наблюдателями) и перекидывания голосов (санкт-петербургская практика: точки идут строго вверх, явка не увеличивается).

В разделе, посвященном исследованию корреляций между явкой и результатами лидера (на них основан, в частности, так называемый метод Шпилькина [4]), было бы поучительно обсудить, что подобные корреляции иногда возникают и в других странах из-за неоднородности округов. В свое время вокруг этого было сломано много копий, участники дискуссий приводили разные красивые примеры; при этом можно было бы показать различия «естественных» корреляций в таких странах, как Польша и Израиль, и тяжелых хвостов а-ля рюс.

Ясно, что подробное изложение зарубежных практик не входило в намерения автора, но некоторые сопоставления сильно добавили бы к занимательности изложения. Так, обычно признаком фальсификации выборов является статистически значимое избегание круглых чисел, обусловленное особенностями человеческой психологии (см., например, обсуждение в [5]), — не то в России.

Как принято писать в официальных отзывах, сделанные замечания носят редакционный характер и не умаляют достоинств. Это действительно очень хорошая, интересная и полезная книга. Аркадий Ефимович полностью заслужил свое почетное 60-е место [1].

1*. minjust.gov.ru/ru/documents/7755/

2. change.org/p/государственная-дума-мы-требуем-отмены-законов-об-иноагентах.

3. Иванов М., Карпенко М. Дню выборов обозначили рамки аномального. В ЦИКе провели инструктаж региональных избиркомов // Коммерсантъ. 11.05.2018.

4. Шпилькин С. Статистическое исследование результатов российских выборов 2007–2009 гг. // ТрВ-Наука. № 40 от 27.10.2009.

5. Элленберг Дж. Как не ошибаться. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.

6. Эксперты «Единой России» не советуют оппозиционным математикам лезть в политику // Полит.ру., 19.10.2009.

7. Кузнецова Е., Дергачев В. Кириенко назвал лженаучным приложение кривой Гаусса к выборам // РБК. 28.03.2018.

Политолог Виталий Иванов считает, что математикам в социальных и политических исследованиях делать нечего: «Не надо математикам со своими моделями лезть в политику, анализировать выборы, придумывать какие-то свои версии. Это просто смешно, когда математик рассуждает о выборах. Давайте еще биолога спросим! Или узнаем, что по поводу результатов выборов думает физик-ядерщик! У них наверно, тоже найдутся идеи, как высчитать, какой на самом деле должен быть результат. Я считаю, всерьез обсуждать здесь нечего!» Генеральный директор ВЦИОМ Валерий Фёдоров заметил, что уже сам термин «сложные математические вычисления» выглядит неубедительным, поскольку метод, которым пользовались исследователи, так и не раскрыт. Также Федоров напомнил, что на Западе подобные математические методики вообще не используются [6].Первый замглавы администрации президента Сергей Кириенко, выступая перед политологами, назвал «лженаукой» проверку выборов по кривой Гаусса. Однако голосование в Москве соответствовало идеальному распределению голосов, отметил он [7].

В ЦИКе выработали несколько параметров, которые должны выявить аномалии в день голосования. После этого демонстрировали слайды, в том числе с лучшими или худшими субъектами РФ. <…> В ЦИКе предложили коллегам из регионов следить за кривой Гаусса при подведении итогов голосования (на графике при нормальной явке выглядит как колокол без пиков и отклонений) <…> продемонстрировали также список регионов, в которых отклонения от кривой Гаусса были самыми сильными (среди них Алтайский край) или, напротив, самыми слабыми (Москва) [3].

 

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

См. также:

Математика для ИИ: линейная алгебра

В мире IT сейчас часто можно услышать о машинном обучении, нейронных сетях и искусственном интеллекте. И не удивительно — эти отрасли быстро развиваются и используются для решения различного рода задач.

Большинство концепций были открыты ещё 50 лет назад, и множество из них основаны на математических принципах. Поэтому у людей, пытающихся войти в данную нишу, часто возникает вопрос: «На каком уровне нужно знать математику?». Эта статья даст представление о некоторых необходимых основах, в частности, о базовых концепциях линейной алгебры.

Базовые термины

По сути, вся линейная алгебра вертится вокруг нескольких понятий: векторы, скаляры, тензоры и матрицы, — всё это очень важно для машинного обучения, ведь благодаря им можно абстрагировать данные и модели. Например, каждая запись в каком-нибудь наборе данных может быть представлена в виде вектора в многомерном пространстве, а параметры нейронных сетей абстрагируются как матрицы. Каждое из понятий по своему специфично, так что рассмотрим их подробнее.

Скаляр

Скаляр — это просто число, в отличие от вектора или матрицы. Скаляры определены как элементы поля, предназначенные для описания пространства вектора. Несколько скаляров образуют вектор. Скаляры могут быть представлены разными типами чисел: вещественными, действительными или натуральными. Обозначаются скаляры строчными и прописными буквами латинского и греческого алфавита:

Вектор

Вектор — это упорядоченный массив скаляров. Скаляры выступают в роли координат точек в пространстве. Скопление векторов становится так называемым векторным пространством. Векторы можно складывать вместе, перемножать друг на друга и масштабировать. Они обозначаются жирным шрифтом. Каждый элемент вектора имеет индекс.

Матрица

Матрица — это двумерный массив скаляров. Обозначается жирным шрифтом в верхнем регистре. Например, если говорить о матрице из вещественных чисел, где m рядов и n столбцов, записывается такая матрица вот так:Поскольку матрица — двумерный массив, элементы матрицы имеют два индекса:Две матрицы могут быть сложены или вычтены одна из другой, только если у матриц одинаковое количество рядов и столбцов. Две матрицы могут быть перемножены только тогда, когда количество столбцов первой матрицы соответствует количеству рядов второй. Например, вы можете умножить матрицу A размера m, n на матрицу B размера n, p. В результате вы получите матрицу C размера m, p. Формула умножения выглядит вот так:

Важно заметить, что матричное произведение дистрибутивно и ассоциативно:

Однако, иногда может понадобиться перемножить элементы матриц между собой. Такую операцию называют произведением Адамара (обозначается  A ∘ B). Матрицы также можно умножать на векторы и на скаляры. Интересно, что произведением матрицы и вектора будет вектор:

Тензор

Тензор — это многомерный массив чисел. Обычно в нём больше двух измерений, так что он может быть изображён как многомерная сетка, состоящая из чисел. На самом деле, матрицы — те же тензоры, только они двухмерные, вот и все их отличия. Тензоры получили известность благодаря фреймворку для машинного обучения TensorFlow.

Операции

Есть несколько операций, которые можно производить с матрицами, и знание которых пригодится для понимания принципов работы ИИ.

Транспонирование матрицы

В результате выполнения этой операции появляется так называемая транспонированная матрица. По сути, это зеркальное отображение матрицы по главной диагональной линии, которая начинается в верхнем левом и идёт в правый нижний угол. Транспонированной матрицей от матрицы A будет матрица AT (также A′AtrtA или At). Кроме того, транспонированную матрицу можно получить, записав ряды матрицы A как столбцы матрицы AT, а столбцы матрицы A — как ряды матрицы AT.

Умножение единичной матрицы на вектор

Существует такое понятие как единичная матрица. Если умножить её на вектор, значения вектора не меняются. Элементы главной диагонали единичной матрицы имеют значение 1, а все остальные равны 0:

Перед тем, как вы продолжите, немного информации о диагональной матрице (она очень похожа на единичную). Все элементы матрицы, за исключением тех, что находятся на главной диагонали, равны нулю. Но, в отличие от единичной, на главной диагонали диагональной матрицы элементы имеют значение, не равное 1. Получается, единичная матрица — это вид диагональной матрицы. Они очень полезны для некоторых алгоритмов.

Умножение на обратную матрицу

Обратная матрица определяется следующим образом:

Если умножить матрицу A на обратную ей матрицу A-1, получится единичная матрица. Обратная матрица похожа на обратное число. То есть для a обратным числом будет 1/a. Если обычное число умножить на обратное ему, получится единица: a * 1/a = 1. Здесь то же самое, только с матрицами. Но, увы, это работает только с квадратными матрицами.

Псевдоинверсия Мура-Пенроуза

Для неквадратных матриц нужно применять псевдоинверсию Мура-Пенроуза:Где U, D и V — сингулярное разложение матрицы A. Псевдоинверсия D+ матрицы D создаётся путём взятия элементов, обратных элементам матрицы, и её дальнейшим транспонированием. Но будьте осторожны с концепцией обратной матрицы A-1, потому что пока что она больше используется в теории, чем на практике. Это обусловлено тем, что вычислительные способности современных компьютеров позволяют дать лишь приблизительный ответ.

Преобразование матрицы в скаляр

Бывает, что нужно преобразовать матрицу в скаляр, для этого нужно найти определитель, он обозначается det(A) или |A|. Так как преобразование возможно только с ними, вот пример с матрицей 2×2:Напоследок про линейную зависимость. Набор векторов будет линейно зависим, если хотя бы один вектор может быть представлен как комбинация других векторов из набора. Иначе набор будет линейно независим. Обычно векторы x и y будут линейно независимы, только если значения для скаляров a и b, удовлетворяющих ax + by = 0, будут равны a = b = 0.

Нормы

Иногда для работы с вектором нужно знать его размер. Для этого существуют специальные функции, которые называют нормами — Ln. Маленькая буква n обозначает количество измерений, в которых находится вектор. В зависимости от того, сколько измерений в вашем векторном пространстве, нормы будут разными. Наиболее известная норма — норма двумерного пространства (Евклидова норма). Чаще всего она представляет собой Евклидово расстояние от начала вектора до точки в пространстве, находящейся на конце этого вектора. При обобщении пространства на несколько измерений используют глобальную норму:На самом деле, нормой может быть любая функция, удовлетворяющая следующим требованиям:

  1. f(x + y) ≤ f(x) + f(yv) (удовлетворяет неравенству треугольника).
  2. f(ax) = |a| f(x) (является абсолютно масштабируемой).
  3. Если f(x) = 0, то = 0 (определена положительно).

Часто, когда вы создаёте ИИ-приложение, очень важно различать элементы, равные 0, и элементы, имеющие значение, близкое к 0. Для этого используется норма L1. Она проста и растёт с одинаковой скоростью во всех точках векторного пространства. Если любой элемент вектора x движется от 0 к a эта функция вырастает на a:Как упоминалось выше, в глубоком обучении параметры нейронных сетей абстрагируются как матрицы. Следовательно, нужно знать размер матрицы, и с этим нам поможет норма Фробениуса:

Заключение

В этой статье мы затронули основы линейной алгебры, которые пригодятся, чтобы понять, что же происходит в мире нейронных сетей и искусственного интеллекта. Надеемся, эта статья поможет вам начать свой путь в этой сфере. Успехов!

Перевод статьи «Mathematics for Artificial Intelligence – Linear Algebra»

Дизайн чипов — творчество, наука, экономика

В студии Зеленоград. ру Александр Эрлих. Вы слушаете программу «Микроэлектроника для чайников». Сегодня мы поговорим о дизайне чипов, о творческой, научной и рыночной составляющих этого процесса. В гостях у нас Григорий Хренов — заместитель главного конструктора завода «Микрон».

— Если дизайн чипов подразумевает под собой некое творчество, то самое важное в любом творчестве — люди. Разработчики чипов, дизайнеры на «Микроне» — что это за люди, откуда они берутся? Кто их воспитывает, выращивает?

— Мы стараемся подбирать себе лучшие кадры, которые только может нам предоставить российская и не только действительность. Во-первых, мы опираемся на тот костяк опытных разработчиков, которые работают в этой индустрии уже многие десятилетия. Во-вторых, мы используем молодые кадры. Здесь у нас большие связи с Московским Институтом Электронной Техники. Сейчас мы достаточно сильно омолодили свой кадровый состав — у нас работает очень много молодых талантливых ребят. Большинство — выпускники МИЭТа. Есть и сотрудники, которые, уже работая на «Микроне», прошли стажировку в иностранных компаниях, в частности, у нашего технологического партнёра [французской компании STMicroelectronics]. Есть ряд сотрудников, у которых за плечами опыт работы в ведущих иностранных компаниях микроэлектронной индустрии — в американских, европейских. Так что кадровый потенциал у нас очень мощный, разносторонний. Много очень перспективных молодых ребят, что особо радует.

— Вот есть студент МИЭТа, который учится на эту специальность. Как можно сказать подходит он или нет? Какие у него должны быть черты характера, качества души, по которым можно определить — «да, из него получится хороший дизайнер»?

— Это скорее не качества, а, прежде всего, желание. Научить можно практически любого человека. Но если нет желания, то хорошо и творчески — как сейчас говорят «креативно» — он это делать не будет. Поэтому человек должен сам для себя решить хочет ли он связать свою судьбу с микроэлектроникой, разработкой, проектированием. Это фантастически удивительный мир, в котором можно реализовывать себя каждый день, находя что-то новое, выигрывая сражения не с другим человеком, а с материальным миром. Это очень жёсткий мир, его законы нарушать нельзя, с ним нельзя «договориться».

— Дизайнер заставляет мир прогнуться под потребности заказчика, можно так сказать?

— Да. Если тебе нравится эта жизнь, если это твоё, то люди остаются в индустрии раз и навсегда. Но сказать заранее, всё-таки, нельзя. Нет таких специфических особенностей человеческого характера, которые были бы свойственны разработчикам интегральных схем, но не свойственны разработчику самолётов. Инженерная практика, с точки зрения человеческих качеств, если отвлечься от знаний и навыков, всегда требует некоторой скрупулёзности, дотошности. Ну и ответственности за то, что ты делаешь. Потому, что за тобой проверять уже, как правило, никто не будет — все считают, что всё сделано как надо. Эта ответственность должна воспитываться с молодых лет, чтобы человек чувствовал, что это не только его труд. Особенно сейчас, когда над разработкой сложных современных изделий работают большие коллективы. Если ты не будешь скрупулёзен, дотошен, то ты подведёшь не только себя, а всех, в конечном счёте. Люди, которые хотят связать свою жизнь с разработкой схем должны себе представлять, что есть такое требование — склонность к скрупулёзности, аккуратность.

— Вы сказали, что есть старый костяк и есть молодое пополнение, например, из МИЭТа. Есть, наверное, люди, которые работали еще в микроэлектронной промышленности Советского Союза, но затем уехали за рубеж. Они сейчас возвращаются?

— Я сам много лет проработал за рубежом, и в Японии — профессором в университете, и в американских компаниях. Вернулся и совершенно не жалею об этом. Просто были сложные годы, сейчас их принято называть «лихие 90-е», «мрачные 90-е». Перспективы были непонятны, тяжело было оставаться в профессии и работать здесь. А начиная с 2000-х годов, стал восстанавливаться интерес к индустрии высоких технологий. Это касается не только микроэлектроники, но и многих производств, которые всегда были хорошо развиты. Государство стало проявлять интерес, частный бизнес стал чувствовать поддержку государства и вкладываться — риски, всё-таки, меньше, раз поддержка есть.

Другое дело, что мобильность людей разная. Кто-то легко принимает такие решения и возвращается, а кто-то уже привык. Но я считаю, что возможности, которые открываются сегодня здесь для людей, кому интересно работать — очень большие. Долгие годы мы не имели возможности заниматься разработкой микроэлектронных изделий современного уровня, а сейчас она появилась. Да, у нас есть какие-то чисто методологические проблемы, которые надо преодолевать. Но это интересно, я так считаю. Это «вызовы». Или, как говорят американцы, challenge. Если ты любишь сhalleng-ы — вот тебе хороший, добротный сhallenge.

— Есть ли дефицит дизайнерских кадров? Я знаю, что в стране дизайн-центров не хватает. Говорят, на один большой фаб в мире приходится сотни дизайн-центров. У нас их, наверное, в несколько раз меньше. Это связано с тем, что они невостребованы на рынке или с нехваткой квалифицированных кадров?

— В советские времена подготовка разработчиков велась во многих университетах, институтах. Во многих случаях эти университеты и направления их педагогической деятельности остались, и кадры даже остались. Скорее это было связано с не востребованностью этих специальностей на рынке. Когда люди, выходя в жизнь в качестве разработчика, обнаруживали, что работать им негде. Одна из самых ёмких индустрий была программирование, IT-технологии. Люди, имея хорошее инженерное образование, уходили в эту сферу. Вспоминая прошлое, я могу сказать так. Кстати, многие из моих однокашников, которые уехали работать в США, уехали работать не в микроэлектронику, а в тогда быстроразвивающуюся область IT. Я не могу вспомнить никого из тех, с кем я учился когда-то, кто работал бы именно в электронике. Те, кто живут в Штатах, в основном, работают в IT. Многие выпускники, не видя себе применения, уходили в IT и другие более доходные и перспективные сферы бизнеса. Произошла такая ситуация, что какое-то время мы выпускали специалистов, а они, не будучи востребованными индустрией, уходили куда-то. Этот дефицит стал накапливаться. Сейчас мы достаточно мощно стартуем, пытаемся развиваться во всех направлениях, а подпитки теми ресурсами, которые были в своё время подготовлены, нет. Причем если посмотреть на кадровый состав и не только у нас на «Микроне», а вообще в индустрии, то достаточно большое количество зрелых уже людей и очень много молодых. Есть провал в середине, и он фиксируется во всём хайтеке.

Это печальный факт. Я в своё время, работая в Академии Наук, обратил внимание, что у нас в институте людей моего возраста двое. Мне было тогда тридцать с небольшим лет. Двое! Люди среднего возраста, очень креативного, когда уже наработаны большие знания и в то же время ты еще молод и энергичен, амбициозен… Этот слой был вымыт. Эта дыра уходит сейчас, мне уже побольше лет чем тогда, конечно. Но эта яма есть и будет еще сказываться. Но время идёт — всё зарастает.

— Вы сказали, что специалистов готовит МИЭТ. А вообще МИЭТ в состоянии сейчас подготовить специалистов для современного производства? Именно в силу технологического отставания тех же «лихих 90-х» не было ли этого вакуума, ямы в научных знаниях?

— Всё-таки инжиниринг вещь более практическая, чем фундаментальная наука. Я лично сейчас сотрудничаю с МИЭТом. Конечно, приходится адаптировать к современным реалиям, к современной микроэлектронике те знания, наработки, курсы которые были когда-то созданы. Надо сказать, что МИЭТ тоже двигается очень быстро, видя потенциальный рынок для своих выпускников. А профессура видит рынок для приложения своих научных идей, разработок. МИЭТ тоже очень быстро прогрессирует, и начал прогрессировать не вчера.

Современное проектирование в значительной степени опирается на мощные современные средства автоматизации. Это достаточно дорогостоящие программные продукты. Стоимость одной лицензии исчисляется сотнями тысяч долларов в год.

Специалист должен обязательно уметь работать с этими инструментами. Если он не умеет работать с инструментами такого класса, то он не интересен рынку. На рынке САПРов — систем автоматизированного проектирования — есть три больших игрока. Все они работают в партнёрских отношениях с МИЭТом. Это Synopsys, Cadence Design Systems и Mentor Graphics. Все три больших игрока работают с МИЭТом, там совершенно замечательно поставлено это дело, я здесь не кривлю душой.

— Может получиться универсальный студент, который умеет работать во всех трёх системах?

— Было бы желательно. Это разнородные системы, и каждая компания имеет в своей продуктовой линейке сильный продукт и более слабые. Практически всегда при проектировании и западные, и наши компании используют набор продуктов разных фирм — микс. Я знаю лишь одну компанию, которая работает только с Cadence. Большая компания, я не буду её называть, чтобы не рекламировать. И то она всё равно немного использует продукты других компаний. В остальном, все работают на миксе. Что-от от Synopsys, что-то от Cadence, что-то от Mentor Graphics.

В этом смысле МИЭТ — уникальная площадка, где есть все основные продукты этих производителей. У студентов есть возможность с этим работать. Преподавательский состав готовит специальные курсы, которые позволяют изучать проектирование интегральных схем с использованием конкретных промышленных, индустриальных продуктов, что важно. То есть, это не какие-то там теоретические размышления о том, как можно было бы всё это сделать. Нет — берёте проект, вот инструментарий — пожалуйста, приступайте. В этом смысле они очень хорошо подготовлены, с точки зрения владения системными средствами САПР. Всё, на самом деле, упирается в то, что в инжиниринге очень много зависит от личного опыта конкретного человека. Этому научить нельзя, он набирается, к сожалению, только с годами, с количеством удачно законченных проектов.

— Насколько я понимаю, все проекты собираются из неких кусочков, из кусочков старых проектов, можно использовать какие-то наработки…

— Я понимаю. То, что вы говорите, совершенно верно. Это немного по-другому называется в индустрии — это «re-use» предыдущего, накопленного богатства.

— Существует такая общая база знаний?

— Не только база знаний, но и база отдельных элементов, блоков. Это то, что принято называть IP-блоками. Это целая индустрия. В мире есть компании, которые живут тем, что разрабатывают и продают IP-блоки компаниям-разработчикам конечных изделий, схем, например. Для того, чтобы ваше знание было превращено в этот IP-блок, требуется достаточно большая работа. Но без учёта времени проектирования вы не будете конкурентоспособны. Важен «time to market» — как быстро вы выходите на рынок. Вы можете сделать отличную разработку за пять лет, но через пять лет она никому не будет нужна. Она нужна через год-два. И вот вы видите, что можете разработать какой-то блок сами, но тогда это займёт пять лет. Или вы можете купить готовое сертифицированное, проверенное решение у поставщиков IP и использовать в своём дизайне, сократив время разработки. Это практика, которой сейчас все пользуются. Весь мир теперь так устроен.

— Вы уже сказали, что рынок накладывает некие ограничения на работу дизайнера вообще. Как происходит рождение чипа? Сначала появляется какая-то идея, потребность заказчика. Затем она поступает в дизайн-центр, к дизайнеру. И что он делает дальше? Его фантазию ограничивает рынок, технология, начальство, деньги, время?

— Всё. Рождается всё ровно так, как вы сказали. За редким исключением, когда дизайнеры сами что-то придумали и начали реализовывать — это стартап. Это когда дизайнеры сами инициируют процесс разработки. Люди поработали в большой компании, узнали дефекты компании, не в том смысле, что она как-то плохо устроена, а что есть нишевой продукт, которым компания, например, не хочет заниматься, не видит перспективы, в силу, например, размера этой ниши или повышенной рискованности вложений. И зачастую люди уходят, создают маленькие стартапы, рождают этот проект. Знания о рынке к ним приходят после работы в предыдущей компании.

Дизайнеры внутри компаний — откуда они получают знания? Конечно, от маркетологов — от людей, которые исследуют рынки. Разговаривают со своими заказчиками, оптимально — поговорить еще с заказчиками вашего заказчика. Потому что ваш заказчик тоже может ошибаться. Вы сделали для него продукт, но если это не конечный продукт, а ваш заказчик ошибся и дальше развитие не пошло, то он перестанет у вас покупать. Всё на этом кончится. Поэтому только после большой работы маркетинга в дело вступают дизайнеры.

Обычно это люди уровня архитекторов, которые делают первичный анализ — возможна ли реализация этого проекта. Маркетологи могут вам наговорить что угодно, причём поставить перед вами несовместимые требования. Они хотят, чтобы был вот такой функционал, чтобы по цене было вот столько и чтобы на маленькой батарейке работало год. Вы начинаете всё складывать и говорите: «Нет, я могу сделать год, но он не будет показывать mpeg-файлы, потому что вычислительная сложность большая, потребление большое».

— Сначала идёт притирка требований.

— Да, потому что маркет говорит, «меньше, дешевле, дольше времени работы». Всё, что можете — отдайте. Но так не бывает — нужно найти компромисс. На следующем этапе эти «архитекторы» пытаются понять, что реально может быть достигнуто современной технологией, доступны ли эти технологические возможности. Потому, что не для каждой компании-разработчика доступно всё, что есть в мире. Есть технологии, которые используются только той компанией, которая ими владеет. Есть ли эта технология на рынке — своя или контрактная? Можно ли достичь и сколько примерно будет стоить процесс разработки? Только после этого executive stuff принимает решение, «маркет» говорит — «да», чип-дизайнеры говорят — «это можно сделать за разумные деньги». Будем принимать решение.

— Кстати, по времени разработки. Допустим, если мы возьмём компьютерные процессоры, сколько человеко-часов требуется для разработки нового процессора у Intel?

— Вы имеете в виду — тысяч человеко-лет? Это меряется такими единицами.

— То есть, тысяча человек делает год?

— Нет, я сказал, что это меряется в тысячах человеко-лет. Сколько точно — неизвестно. Intel — очень закрытая компания и крайне не любит рассказывать о том, как и что она делает, сколько это стоит.

Тут надо только понимать следующее. У Intel есть разные процессоры, один от другого может отличаться немного… А есть ключевые изделия, которые перевернули всё. Это когда компания переходила на новую архитектуру, например, на Pentium — абсолютно новое изделие, с новой архитектурой, с новыми подходами — всё новое.

— Pentium разрабатывался тысячи человеко-лет?

— Да. Но это не так страшно, как вам может показаться. Возьмите популярный телефон iPhone. В нём стоит чип, в нём стоит девятиядерный процессор. Я не могу сказать, что все ядра разные, но многие из них отличаются друг от друга, там тоже большая работа. И серьёзные процессоры, серьёзные системы на кристаллах делают большие коллективы, это десятки человек всегда. Если что-то из разряда «супер» — это команда в несколько сотен, возможно, пятьсот человек, и они работают не один год над такими переломными в развитии изделиями. Практика показывает, что на разработку какого-то изделия требуется полтора — два с половиной года. При хорошей погоде — полтора года…

— Вы сказали, компания пятьсот человек, естественно, это опытные разработчики, нормальное финансирование. Но у того же «Микрона» такой большой команды нет. Что вы можете создать теми разработчиками, которые есть сейчас?

— Мы можем разрабатывать промышленные контроллеры, кристаллы для смарт-карт. ..

— Чип для ГЛОНАСС-приёмника можете сделать?

— Чип для ГЛОНАСС мы могли бы сделать в кооперации. Тут нужно понимать, что современная система на кристалле — это не просто чип. Это смесь железа, то есть, микроэлектронной схемы и встроенного программного обеспечения. Сейчас практически всегда это так. Вообще, само решение о том, какие функции передать в программное обеспечение, а какие реализовать на уровне железа — это отдельная история. Это отдельные люди разбираются, как лучше, как хуже. Можно сделать разные решения с разной стоимостью, отдавая приоритет либо мощному процессору, либо софту.

— Это уже маркетологи решают?

— Не только, хотя и они тоже. В зависимости от выбранного вами решения по разделению межу софтом и хардом будет разный размер кристалла, может быть, разная цена, потребительские свойства, понимаете? Вот в ГЛОНАСС есть специфическая математика, например. Лично я ею не владею, поэтому не понятно, как лучше реализовывать — софтом или железом. Если я не умею работать с этой математикой, значит надо скооперироваться с людьми, которые профессионально этим занимаются. Современный хайтек не очень любит дилетантизм.

— А сколько таких компаний, как Intel, которые делают всё сами, от идеи до массового производства?

— Их несколько всего. Причём у Intel есть одна интересна особенность — он ещё сам разрабатывает технологии. Многие компании, типа Qualcomm, используют контрактное производство, т.е. китайские, тайваньские фабрики для производства своих изделий, у них нет своих заводов. Intel всё в основном производит на своих заводах. То есть, ему нужно разрабатывать технологии, изделия, опережая всех остальных конкурентов.

— Как вы считаете, будущее за такими вертикально интегрированными компаниями, как Intel, у которых есть и разработка и производство, или за фаблесс-компаниями отдельно и производствами отдельно?

— Если бы вы меня спросили лет десять назад, когда тренд был совершенно очевидный, однонаправленный что ли, происходило разделение производства и разработки, появлялись фаундри и фаблесс-компании, это было просто бурное развитие фаблессных компаний, тогда бы я вам точно сказал. Сейчас я был бы немножко более сдержан в оценках, потому что эти процессы разделения, где-то дошли до своего логического завершения.

Более того, контрактное производство, в основном, в юго-восточной Азии, это создаёт дополнительные риски. Я имею ввиду не российскую экономику, а те экономики, которые ориентируются на это производство. Сейчас подрастают довольно интересные фаблесс-компании на Тайване, в Китае, и они планируют загрузить эти производственные мощности своими разработками. После этого, к сожалению, многим фаблесс-компаниям просто не будет места на массовом рынке. Сейчас говорят о том, что надо подумать, стоит ли всё это до конца переводить в Азию или, может быть, что-то оставить себе.

— Вы уже много говорили о том, что есть множество ограничений: размер, цена, энергопотребление и т.д. Все слышали о законе Мура, который говорит, что мы будем дальше расти, размеры будут уменьшаться, производительность расти… Понятно, что это не может быть до бесконечности. Когда и на чём мы остановимся?

— Понятно, что меньше, чем размер атома мы транзистор сделать не можем.

— Точно?

— Это будет что-то другое. Чтобы сделать транзистор требуется несколько атомных размеров. Совершенно понятно, где предел. Когда я был студентом — это был конец семидесятых годов — мне попался в руки журнал, и там была статья, которая называлась «О достижениях физических границ дальнейшей минитюаризации микроэлектроники». И там люди говорили, что всё — век микроэлектроники заканчивается, разве можем мы себе представить транзистор, у которого затвор будет меньше микрона — это чума! Примерно то же самое я читал в конце восьмидесятых годов — там уже было понятно, что с микроном мы разобрались, ушли гораздо дальше. Там свои ужасы возникали и так далее… Мне раз в десять лет обязательно попадаются на глаза статьи достаточно серьёзных людей о том, что закат микроэлектроники будет завтра. А он всё не наступает. Хотя есть совершенно понятные, очевидные пределы. Делались экспериментальные транзисторные структуры с длиной затвора порядка 10 нанометров. Сейчас самые топовые технологии — в районе 30.

— 22?

— Это еще вопрос. Это еще не массовая продукция, это пробы пера. Есть куда расти. Но тут надо понимать одну интересную вещь — достаточно долго закон Мура исполнялся так, что когда на смену одному технологическому поколению приходило следующее, оно, естественно, вытесняло полностью предыдущее. И так продолжалось я даже не могу сейчас сходу сказать до какого точно времени. Но то, что я наблюдал несколько лет назад, разговаривая с видными американскими специалистами, мы обсуждали тогда интересную вещь — одновременно на рынке присутствуют изделия нескольких технологических поколений. Причём многие из них были освоены как технологии массового производства того времени уже, дай бог памяти, больше десяти лет назад. И всё равно представляли собой массовое производство. Не происходит полного вытеснения новыми технологиями старых. Это связано с определёнными физическими процессами, которые свойственны нанометровым структурам. Не для всех применений нужен очень маленький канал, затвор.

— Мне кажется, это связано с экономикой, в первую очередь. Наверное, не имеет смысла билеты для метро делать по технологии 90 нанометров.

— Совершенно верно. Во-первых, чисто экономика. Во-вторых, транзисторы с маленькими размерами обладают рядом эффектов, проявляют некие свойства, не очень хорошие для многих применений. На них не очень хорошо делать аналоговые приборы, совершенно невозможно делать, условно скажем, высоковольтные приборы. Когда учат студентов говорят, что традиционная КМОПовская технология хороша тем, что в статическом режиме она не потребляет — только во время переключения. Когда размеры очень маленькие — 45 и дальше, 65 даже — то инверторы «текут». Он не переключается, а потребляет — это большая беда. И чем меньше мы делаем, тем эти процессы становятся более и более ощутимыми. А что такое потребляет? Высасывает батарейку моментально. А мы все любим, чтобы телефон работал долго, чтобы плейер играл долго, чтобы маленький нетбук работал долго. Мы хотим реже перезаряжать всё это.

— Получается, развитие для части продуктов уже остановилось, произошла дифференциация продуктов по технологиям?

— Во-первых, произошла дифференциация. Часть изделий производится по другой технологии. Часть изделий производится по новейшим технологиям. Процессоры и память для компьютеров, графические процессоры — они бегут всегда немного впереди. Там нет выбора — нам нужна производительность и мы готовы заплатить чем-то. Это развивалось и будет развиваться. Для каких-то применений мы говорим, что мы здесь не готовы платить много денег за разработку и производство этих схем, нам эти уникальные свойства не нужны. Во-вторых, мы знаем, как спроектировать в предыдущих поколениях, с точки зрения потребителя всё будет точно так же, только дешевле.

Тем не менее, я вижу, как старые технологии уходят. Находятся приёмы, продукты диффундируют, они всё равно текут в сторону уменьшения. Просто есть продукты, которые идут на гребне первой волны внедрения новых технологий, а есть те, которые идут сзади. Но всё равно тренд известен.

Плюс надо, конечно, заметить, что инженерное сообщество, чтобы преодолеть негативные физические явления, которые мы наблюдаем в нанометровых приборах, придумало много не самых замысловатых приёмов. Я всегда уважал людей, которые могут решить задачу изящными, простыми способами. Очень много изящных решений — честное слово. Я с большим уважением отношусь к людям, которые это придумали. Вместо того, чтобы насочинять бог знает что, они подумали и устранили какие-то причины, фундаментально лежащие в основе всего. Простенько, со вкусом и это работает, это воспроизводится многими компаниями, которые заняты разработкой. Это не секрет.

— Компания Plastic Logic, которая сейчас собирается строить в Зеленограде завод, делает гибкие дисплеи на основе некремниевой электроники, полимеров. Может быть, сюда будет микроэлектроника идти?

— Всё может быть. Если посмотреть ретроспективно в прошлое электроники, были лампы и одним из основных достоинств, показателей качества вакуумных приборов была чистота вакуума, пытались создать как можно более чистый вакуум… Среда, в которой обрабатывалась информация, был вакуум. После этого мир перешёл к приборам к информационной среде совершенно противоположного свойства — к полупроводникам, материалам, кристаллическим структурам. Вместо пустоты, в которой перемещаются электронные пучки, мы перешли к плотно упакованным решёткам. Что будет следующей средой?

Сначала мы пытаемся сделать вакуум всё чище и чище, а потом — бах! — и получаем твёрдое тело. Я думаю, и здесь будет какой-то очень качественный прорыв, что-то другое. Не обязательно, что мы вернёмся к вакууму или перейдём, например, к жидкости. Может это будут кристаллы. Но принципы построения систем обработки информации, а электроника — это, в основном, обработка какой-то информации, будут, наверное, другие. И чем быстрее мы дойдём до того физически понятного размера, где электроника, наверное, заканчивается, тем быстрее лучшие умы человечества озадачатся проблемой «Что же дальше?».

— Если вернуться к дизайну, непосредственно работа дизайнера не изменится? Ведь всё равно он будет пользоваться некими средствами проектирования. Собирать те же самые схемы, которые будут что-то делать. В принципе, будет всё то же самое. Это такая вечная работа?

— Да, совершенно верно. Вы хотели узнать, когда выпускники МИЭТа перестанут быть нужны? Отвечу — никогда. Это я могу вам точно сказать. Смотрите, вы правильно говорите, что сейчас самые передовые технологии — 20 с небольшим нанометров. Тем не менее, есть ряд компаний, которые основные доходы получают с технологий 0.6 микрона — 600 нанометров. Есть приложения в автомобильной, в высоковольтной электронике, где 28 нанометров не нужны, а 0.6 микрона — очень даже хорошо. Поэтому я говорю, что рынки есть всегда. Для всяких ниш, где удобно пользоваться не сверхновыми технологиями, а по разным причинам удобнее пользоваться старыми.

— Я вас всё пытаюсь столкнуть в какие-то абстрактные размышления о будущем, а вы меня всё в экономику, в рыночные ниши.

— Наверное, это уже практический взгляд человека средних, зрелых лет. Если говорить о перспективах, то развитие всегда очень плохо предсказуемо. Я приведу пример: в 47-м году президент компании IBM где-то сказал, что совершенно понятно, что рынок компьютеров во всём мире будет исчисляться несколькими единицами…

— А Билл Гейтс сказал, что 640 килобайт хватит всем.

— Для всех и навсегда. А президент компании Digital Equipment Corporation — вторая после IBM компания, сказал: «Совершенно непонятно куда мы будем продавать персональные компьютеры». Люди, вовлечённые в индустрию, знающие её не по наслышке, принимающие в ней ответственейшие решения делают, как бы сейчас сказали, безответственные заявления. Делают заявления, которые оказываются не пророческими, а прямо противоположными тому, что случилось. Потому что предсказать будущее очень сложно.

— Предсказать будущее сложно, но дизайнеры будут нужны в любом случае.

— Всегда. И смена материального носителя или способа обработки информации, среды, она изменит что-то, но многие вещи останутся такими же.

— Спасибо, на этой оптимистической ноте мы закончим. У нас в гостях был Григорий Хренов, заместитель главного конструктора завода Микрон. Мы говорили о дизайне чипов, о творчестве, науке и рынке в этой работе.

Автор: Александр Эрлих

Рекуррентные соотношения и производящие функции

1. Производящие функции и действия над ними

Определение. Пусть — произвольная (бесконечная) последовательность чисел (целых, рациональных, вещественных или комплексных). Производящей функцией (производящим рядом) называется запись вида

   

Замечание. Не следует думать, что мы можем сказать, чему равно значение производящей функции в точке . Переменная является формальной, и ряд смысла не имеет. Единственное, что мы можем сказать про функцию , это что ее значение в нуле равно . Если, однако, производящий ряд является полиномом (т.е. все его коэффициенты кроме конечного числа равны нулю), то значение этого ряда в любой точке выражается конечной суммой и поэтому имеет смысл.

Определение. Суммой двух производящих функций

и

называется производящая функция

   

Произведением производящих функций и называется производящая функция

   

Определение. Пусть и — две производящие функции, причем . Подстановкой производящей функции в функцию называется производящая функция

   

Если, например , то

Очевидно, что если обе производящие функции являются многочленами, то определения суммы, произведения и подстановки производящих функций совпадают с определениями суммы, произведения и подстановки многочленов.

2. Элементарные производящие функции

Поскольку неудобно каждый раз записывать производящую функцию в виде ряда, то для некоторых часто встречающихся функций введены сокращенные записи.

Определение.

   

где — произвольное комплексное число.

Коэффициент при в этой записи называется числом сочетаний из по и обозначается или .

   

При натуральном значении часть 1) определения совпадает с обычным определением степени многочлена. Пользуясь этим, можно получить простейшие комбинаторные тождества. Подставляя, например, и , получаем тождества:

   

Между введенными функциями имеются соотношения, которые также связаны с комбинаторными тождествами. Докажем, например, что

   

Действительно, свободный член произведения равен , а при получаем

   

что совпадает с левой частью равенства 2) при \alpha=n, откуда получаем требуемое.

Можно также доказать следующие равенства (сделайте это самостоятельно):

   

3. Деление производящих функций

С делением производящих функций дело обстоит сложнее. Так, например, не существует формального степенного ряда , такого, что .

Утверждение. Пусть — формальный степенной ряд, такой, что . Тогда существует единственный формальный степенной ряд , такой, что .

Доказательство. Проведем доказательство по индукции. . Пусть теперь все коэффициенты ряда вплоть до степени однозначно определены. Коэффициент при степени определяется из условия . Это линейное уравнение относительно , причем . Поэтому это уравнение имеет единственное решение.

Замечание. Только что доказанное утверждение очевидно неверно, если мы рассматриваем формальные степенные ряды с целыми коэффициентами. Оно будет верно только в том случае, если .

4. Производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи определяется соотношением , при . Ее члены Выведем производящую функцию для этой последовательности.

Определяющее соотношение для последовательности означает, что ее производящая функция удовлетворяет соотношению , откуда .

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

   

здесь .

Отсюда

   

Здесь мы воспользовались тем, что .

5. Числа Каталана

Еще одна известная последовательность: последовательность Каталана Она задается соотношением , >. Так, например, при получаем .

Рассмотрим производящую функцию для чисел Каталана:

   

Определяющее соотношение для производящей функции означает, что она удовлетворяет следующему уравнению:

   

из которого легко найти саму производящую функцию

   

Этот вид производящей функции позволяет найти формулу для чисел Каталана. Согласно общей формуле бинома Ньютона имеем

   

или, умножая числитель и знаменатель на и сокращая на , получаем

   

Эта формула дает и более простое рекуррентное соотношение для чисел Каталана:

   

6. Рациональные производящие функции

Теорема. Пусть последовательность задается линейным рекуррентным соотношением порядка

   

и числа фиксированы. Тогда производящая функция рациональна, , причем степень многочлена равна , а степень не превосходит .

Доказательство теоремы, по существу, повторяет рассуждение для чисел Фибоначчи. Рекуррентное соотношение можно переписать в виде уравнения на производящую функцию:

   

Разрешая это линейное уравнение относительно , получаем утверждение теоремы.

Оказывается, что и наоборот, последовательность коэффициентов всякой рациональной производящей функции удовлетворяет рекуррентному соотношению.

Теорема. Пусть , причем степень многочлена равна , а степень меньше . Тогда коэффициенты производящей функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению с постоянными коэффициентами.

Скажем несколько слов о производящих функциях несколько более общего вида.

Пусть и степень многочлена не меньше степени многочлена . Тогда можно представить в виде , и степень многочлена уже меньше степени . Тем самым, по предыдущей теореме, коэффициенты данной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению, начиная с некоторого номера. Обратное утверждение, очевидно, тоже справедливо.

7. Произведение Адамара рациональных производящих функций

Определение. Произведением Адамара производящих функций

   

и

   

называется производящая функция

   

Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей — это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей.

Лемма. Производящая функция для последовательности рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа и такие многочлены , что начиная с некоторого номера

   

Выражение в правой части этого равенства называется квазимногочленом от переменной .

Доказательство. Заметим прежде всего, что производящая функция имеет вид

   

Коэффициент при в этой производящей функции равен

   

где — многочлен от степени . Всякая рациональная функция от переменной представляется виде линейной комбинации многочлена и простейших дробей вида , поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.

Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена соответствующая производящая функция рациональна.

Пусть степень многочлена равна . Многочлены , коэффициенты которых определяются равенством, приведенным выше, образуют базис в пространстве многочленов степени не выше . Действительно, любая последовательность многочленов степеней образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен представляется в виде линейной комбинации многочленов , и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций , . Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при различных . Лемма доказана.

Теорема. Произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.

Доказательство. Принимая в расчет лемму, для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы, приведенной в лемме.

8. Дифференцирование и интегрирование производящих функций

Определение. Пусть — производящая функция. Производной этой функции называется функция

   

Интегралом этой функции называется функция

   

Замечание. Нетрудно видеть, что для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом

   

Это позволяет находить производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Найдем, например, производящую функцию

   

Легко видеть, что

   

поэтому

   

Задачи.

1. Решите последовательности

а) , , , .

б) , , , .

2. Докажите равенства (3)–(7).

3. Найдите производящие функции для последовательностей

а) ;

б) ;

в) .

4. Рациональны ли производящие функции для последовательностей

а) ;

б) ?

5. Пусть — производящая функция для последовательности Найдите производящие функции для последовательностей

а) ;

б)

6. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, доказать для них тождества

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Пусть . Докажите, что

   

Докажите, что .

8. Последовательность такова, что

   

Найдите .

9. Пусть . Найдите рекуррентное уравнение

   

Оцените сходимость и вычислите .

10. Пусть

   

Доказать, что для некоторого .

11. Доказать, что при любых натуральных

   

— целые числа, удовлетворяющие рекуррентному соотношению

   

12. Пусть

   

Докажите, что

   

Источник: С.К. Ландо “Лекции о производящих функциях”, МЦНМО, Москва, 2004.

Преобразование Фурье для чайников

У древних греков была теория, согласно которой Солнце, Луна и планеты движутся вокруг Земли по кругу. Вскоре было доказано, что это неверно. Проблема заключалась в том, что если внимательно наблюдать за планетами, то иногда они двигаются по небу в обратном направлении. Поэтому Птолемей придумал новую идею: планеты движутся по одному большому кругу, но одновременно с этим движутся по маленькому кругу. Представьте, что вы держите длинную палку и вращаете ее, а в это время на конце палки вращается колесо. Планета движется как точка на краю колеса.

Ну, когда они начали наблюдать очень внимательно, они поняли, что даже это не работает, поэтому они наложили круги на круги на круги…

В конце концов, у них получилась карта Солнечной системы, которая выглядела следующим образом:

Эта идея “эпициклов” оказалась плохой теорией. Одна из причин, почему она плоха, заключается в том, что теперь мы знаем, что планеты обращаются по эллипсам вокруг Солнца. (Эллипсы не идеальны, потому что они возмущены влиянием других гравитирующих тел и релятивистскими эффектами).

Но это неверно по еще более серьезной причине, как показано в этом замечательном youtube video.

В видео, сложив достаточное количество кругов, они сделали планету, очерчивающую лицо Гомера Симпсона. {ik \omega_0 t}$$$

где $\omega_0$ – угловая частота, связанная с повторением всего происходящего – частота самого медленного круга. Единственные круги, которые нам нужны, это самый медленный круг, затем один в два раза быстрее этого, затем один в три раза быстрее самого медленного и т. д. Кругов по-прежнему бесконечно много, если вы хотите идеально воспроизвести повторяющийся путь, но теперь они счетно-бесконечны. Если вы возьмете первые двадцать или около того, а остальные отбросите, вы должны приблизиться к желаемому ответу. Таким образом, вы можете использовать анализ Фурье для создания собственного эпициклического видео с любимым мультипликационным героем.

Вот что говорит анализ Фурье. Остаются вопросы, как это сделать, для чего это нужно и почему это работает. Я думаю, что в основном оставлю их в покое. Как это сделать – как найти $R(\omega)$, учитывая $z(t)$, можно найти в любом вводном курсе, и это довольно интуитивно понятно, если вы понимаете ортогональность. Почему это работает – довольно глубокий вопрос. Это следствие спектральной теоремы.

Его применение имеет огромный диапазон. Он полезен при анализе реакции линейных физических систем на внешний вход, например, электрической цепи, реагирующей на сигнал, принимаемый антенной, или массы на пружине, реагирующей на толчок. Он полезен в оптике; интерференционная картина от рассеяния света на дифракционной решетке является преобразованием Фурье решетки, а изображение источника в фокусе линзы – его преобразованием Фурье. Оно полезно в спектроскопии и при анализе любых волновых явлений. Оно преобразует между позиционным и импульсным представлениями волновой функции в квантовой механике. Более подробные примеры смотрите в этом вопросе на сайте physics.stackexchange. Методы Фурье полезны в анализе сигналов, обработке изображений и других цифровых приложениях. Наконец, они, конечно же, полезны с математической точки зрения, как описано во многих других сообщениях здесь.

Конечная математика для чайников | Уайли

Введение 1

1

Об этой книге 1

глупые предположения 2

Иконки, используемые в этой книге 2

за пределами книги 3

, где перейти отсюда 3

Часть 1: Начало работы с конечными Математика 5

Глава 1: Чувство отлично с конечным математикой 7

70004

вход в соответствии с линейными заявлениями 8

, максимально используя матрицы 8

Пребывание с программой

Установка набора 10

Представление вероятность 11

Образование в финансовых факторах 13

Найти статистическое удовлетворение 14

Учитывая логическую сторону математики 15

Разблокировка цепей 16

Открытие в Gaming 18

Глава 2: Подкладка линейных Функции 19

Распознавание уравнений прямых 20

Определение наклона и его масштаба 20

Создание различных форм уравнения 21

Написание уравнения прямой 21

Построение линий на координатной плоскости 22

Построение линии по двум точкам 23

Использование наклона и Y-пересечение для построения линии 24

Рисование специальных линий 25

Определение отношений между линиями 27

Параллельные и перпендикулярные линии 27

Пересекающиеся и совпадающие линии 29

Решение переменных 30 Системы

7 линейных уравнений

33

Решение систем с исключением 34

Решение системы двух линейных уравнений с помощью исключения 34

Использование исключения для решения системы трех линейных уравнений 36

Решение систем с помощью подстановки 38

7 9 система двух линейных уравнений с использованием su bstitution 38

Получение системы из трех линейных уравнений с помощью подстановки 39

Работа со слишком большим количеством решений или их отсутствием 41

Слишком много решений 41

Отсутствие решения вообще 42

Заставить линейные уравнения работать на вас 43

2 Определение Прибыль 44

смешивая его с решением 44

Подсчет 44

Подсчет на изменении 46

Глава 4: Принимаясь по системам неравенств 49

, постановление с неравенствами 49

Графические линейные неравенства 51

Создание графов Системы 53

Изготовление графов Работа для вас 56

Часть 2: Использование доступных методов 63

63

Глава 5: Производительность для матриц 65

65

Спасение с матрицей Основы 65

Определение матрицы и их компоненты 66

Выравнивающие и транспонирующие матрицы ICES 67

Выполнение матричных операций и процессов 68

Операции по исследованиям 68

Операции ROW 75

Выполнение операций ROW 75

Создание матриц 77

Применение матриц и их операций 80

Матрицы и мотоциклы 81

Принимая матрицы в зоопарку 84

Глава 6: Делать матрицы Работа для вас 87

87

Решая системы уравнений с использованием матриц 88

Решение линейной системы в двух переменных 89

Ковка с четырьмя переменными 90

Остановка коротким 92

Умножение по обратным 94

Обнаружение множества решений 97 20007

Применение матриц к задачам 99 20007

с учетом ввода и вывода 99

Распределение температуры 99

Управляющие температуры 103

Управляющие преимущества специальных формул 105

Irapers 2 × 2 матрицы 105

из 3 × 3 матрицы 107

Глава 7: Выровняются с линейным программированием 109

109

Настройка проблем линейных программиров 110

, создание проблемной структуры Работа 110

Решение задачи максимизации 112

115

Идя трехмерный 118

Максимизация в трех измерениях 119

Переход на минимум 122

Глава 8: Просто Симплекс Метод 125

Ограничение Съемки Съемки Шаги для максимизации 126

Настройка для Симплекс Способ 126

Решение приложения максимизации 131

Улучшение минимизации 135

Обработка формата 135

Степпинг через минимизацию 136

, дающий минимизацию 130

. Часть 3: Использование конечной математики для решения мира Ситуации 145

Глава 9: Настройки наборов 147

14000

вводящий набор набор 147

Описание больших и небольших наборов 148

Специальные типы находов 149

Выполнение базовых операций 151

с использованием диаграмм Venn для лучших видов 152

Элементы показаны 152

Количество элементов, показанных 156

Глава 10: Обработка вероятности 161

161

, вводящие методы подсчета 161

Способ размножения 160007

Способ подсчета 162

Использование перестановок для подсчета 163

Подсчет с комбинациями 165

Определение вероятности события 167

биномиальные дистрибутивы 169

с использованием вероятности деревьев 171

Применение методов вероятностей 174

Игры шанс 174

Вероятность выбрана 177

Глава 11: Подсчет О математике финансов 181

, учитывая простой интерес 181

Составление вещей со сложным интересом 182

Непрерывное упреждение 184

Эффективная процентная ставка 185

Представление настоящего значения 185

Анализ аннуитетов 188

будущая стоимость Annituit 188

Настоящая ценность аннуитета 189

Допускные фонды 190

Амортизация 191

Создание амортизации График 191

Ускорение на выплату 193

Глава 12: Рассказывание правды с статистикой 195

Представление данных графически 195

Запрет № 1

Нет с гистограммами Гистограммы 196

Гистограммы 197 20007

Выброс круговой диаграммы 198

Графики стеблевых листьев 199

Меры центральной тенденции 200

, что означает его со средним 200

Верховая езда владеть серединой с медианой 202

Максимально использовать моду 202

Распознавать среднее геометрическое 203

Сравнение мер центральной тенденции 203

Графики типа «ящик с усами» 207

Дисперсия и стандартное отклонение 90 08 208 208

Стандартное отклонение 209

Исследование нормального распределения 210

Глава 13: логика 213

213

213

213

Найти правду с таблицами истины 215

, учитывая соединение 215

Диссекация 216

, глядя в негативность 217

условно делает заявления 217

анализ составных утверждений 218

эквивалентные высказывания 219

Изучение условных 221

Анализ аргументов 222

222

Применение логики к цепям 225

Часть 4: Использование инструментов конечной математики для расширения и расследования 229

Глава 14: Глава Марков

231

231

Признание Markov Chyth 231

Приход с цепочками Markov 232

Работа Матрицы перехода 233

с использованием диаграмм и деревьев 233

Работа с диаграммами 236 2007

Вежение вероятности 236

Поглощающие цепочки 242

Сделание долгосрочных прогнозов 244

Избегание Руины 244

Черемении даже и нечетных 246

Глава 15: Играть в игры с теорией игры 249

902

Игра на правилах 252

Матрицы 252

словарный запас 252

словарный запас иллюстрированный 253

Получение стратегических 255

Удажность доминирования 258

Определение движения ES 259 ​​

Недоставление No Soddle Point 259

спускаться к Business 263

Глава 16: Применение матриц и теории игр 267

Traffic Flow 267

Битва за Бисмарк Море 270

Chicky 271

Дилемма заключенного 270007

Traveler’s Dilmma 273

Правила Blotto 274

Джек 274

гнезда 270007

NIM с двумя кучами 275

Управляя складывания NIM на три 277

Часть 5: Часть Десятки 279

281

281

Соотношение 72 281

Коэффициент плеча 72 281

80002

Приготовки и убытки 282

Определение амортизации 283

Общая прибыль на инвестиции 283

Ожидаемый доход 284

Доход с поправкой на инфляцию 284

Остаток Нин Баланс 285

Будущая стоимость аннуитета 28000

ценообразование облигаций 286

ценообразование облигаций 286

Глава 18: десять важных функций калькулятора графиков 289

Линии гравирования для пересечений 2807

Регулировка окна 290

Ввод матриц 291

Добавление, вычитание и умножение матрицы 292

Матрицы включения матриц 2

находки 293

Найтими систем решения 294

Уравнения уравнений с использованием матриц 295

Данбиели до фракций 296

Подсчет с перестановками и комбинациями 296

Создание статистических утверждений 298

Глоссарий 301

Алфавитный указатель 305

Как работать с математическими формулами Excel (Руководство по основам)

Трудно увлечься изучением математики. Это то, чего большинство из нас избегает всю жизнь. Это также одна из лучших причин использовать Microsoft Excel для точных расчетов каждый раз.

Не думайте об этих формулах Excel как о математике ради математики. Вместо этого представьте, как эти формулы могут помочь вам автоматизировать вашу жизнь и избавиться от ручных вычислений. В конце этого урока у вас будут навыки, необходимые для выполнения всего следующего, например:

.
  • Подсчитайте средний балл ваших экзаменов.
  • Быстро суммируйте промежуточные суммы счетов, выставленных клиентам.
  • Используйте базовую статистику для просмотра набора данных тенденций и индикаторов.

Однако вам не нужно быть бухгалтером, чтобы освоить математику в Excel. Чтобы следовать этому руководству, обязательно загрузите пример книги Excel  здесь или нажмите синюю кнопку Загрузить вложение  в правой части этого руководства — в любом случае ее можно использовать бесплатно.

В книге Excel есть комментарии и инструкции по использованию этих формул.Пока вы будете следовать этому уроку, я научу вас некоторым основным «математическим» навыкам. Давайте начнем.

Видео о базовых математических формулах Excel (смотрите и изучайте)

Если вы предпочитаете обучаться с помощью скринкастов, посмотрите видео ниже, чтобы пройти обучение. В противном случае продолжайте читать для подробного описания того, как работать с каждой математической формулой Excel.

Основы формулы

Прежде чем мы начнем, давайте посмотрим, как использовать любую формулу в Microsoft Excel.Независимо от того, работаете ли вы с математическими формулами в этом учебнике или любых других, эти советы помогут вам освоить Excel.

1. Каждая формула в Excel начинается с “=”

Чтобы ввести формулу, щелкните любую ячейку в Microsoft Excel и введите на клавиатуре знак равенства. Это запускает формулу.

Каждая базовая формула Excel начинается со знака равенства, а затем с самой формулы.

После знака равенства в ячейку можно положить невероятное множество вещей. Попробуйте ввести =4+4  в качестве самой первой формулы и нажмите клавишу ВВОД, чтобы вернуть результат.Excel выведет 8 , но формула по-прежнему скрыта в электронной таблице.

2. Формулы отображаются в строке формул Excel

Когда вы вводите формулу в ячейку, вы можете увидеть результаты ячейки после нажатия клавиши ввода. Но когда вы выбираете ячейку, вы можете увидеть формулу для этой ячейки в строке формул.

Нажмите на ячейку в Excel, чтобы отобразить содержащуюся в ней формулу, например, формулу умножения, которая дает 125. строка формул покажет, что ячейка добавляет 4 и 4.

3. Как составить формулу

В приведенном выше примере мы ввели простую формулу сложения, чтобы сложить два числа. Но вам не нужно вводить числа, вы также можете ссылаться на другие ячейки.

Excel представляет собой сетку ячеек, в которой столбцов расположены слева направо, каждому присвоена буква, а строк пронумерованы. Каждая ячейка представляет собой пересечение строки и столбца. Ячейка, в которой пересекаются столбец A и строка 3, называется A3, например .

Формулы Excel могут быть написаны так, чтобы использовать значения в нескольких ячейках, например, умножая A1 и B1, чтобы получить значение в C1, равное 125.

Допустим, у меня есть две ячейки с простыми числами, например 1 и 2, и они в ячейках А2 и А3. Когда я набираю формулу, я могу начать формулу с  “=”  , как всегда . Затем я могу ввести:

=А2+А3

…чтобы сложить эти два числа. Очень часто есть лист со значениями, а затем отдельный лист, на котором выполняются вычисления.Помните обо всех этих советах при работе с этим учебным пособием. Для каждой из формул вы можете ссылаться на ячейки или напрямую вводить числовые значения в формулу.

Если вам нужно изменить уже введенную формулу, дважды щелкните ячейку. Вы сможете настроить значения в формуле.

Арифметика в Excel

Теперь мы рассмотрим математические формулы Excel и рассмотрим, как их использовать. Давайте начнем с изучения основной арифметической формулы. Это основа математических операций.

1. Сложение и вычитание

Сложение и вычитание — две основные математические формулы в Excel. Добавляете ли вы свой список деловых расходов за месяц или балансируете свою чековую книжку в цифровом виде, операторы сложения и вычитания невероятно полезны.

Используйте вкладку “Сложение и вычитание” в рабочей тетради для практики.

Добавить значения

Пример:

=24+48

или опорные значения в ячейках с:

=А2+А3

Совет: попробуйте добавить пять или шесть значений, чтобы посмотреть, что произойдет. Разделяйте каждый пункт знаком плюс.
Добавить значения в Excel так же просто, как ввести два числа и знак «+» или добавить две ссылки на ячейки.
Вычитание значений

Пример:

=75-25-10

или контрольные значения в ячейках с:

=А3-А2

Вычтите два значения в Excel, введя числа непосредственно в поле, разделенные знаком ” – ” , или укажите две ячейки со знаком ” -” между ними.

2. Умножение

Чтобы умножить значения, используйте оператор * . Используйте умножение вместо добавления одного и того же элемента снова и снова.

Используйте вкладку “Умножение” в рабочей тетради для практики.

Пример:

=5*4

или опорные значения в ячейках с:

=А2*А3

Умножение в Excel использует символ * между двумя значениями или ссылками на ячейки.

3. Отдел

Раздел полезен, например, при разделении элементов на группы. Используйте оператор  “/”  , чтобы разделить числа или значения в ячейках электронной таблицы.

Используйте вкладку “Разделить” в рабочей тетради для практики.

Пример:

=20/10

или контрольные значения в ячейках с:

=A5/B2

Разделите значения в Excel с помощью оператора / либо со значениями в формуле, либо между двумя ячейками.

Базовая статистика

Используйте вкладку “Основная статистика” в рабочей тетради для практики.

Теперь, когда вы знаете основные математические операторы, давайте перейдем к чему-то более сложному. Базовые статистические данные полезны для обзора набора данных и вынесения обоснованных суждений о них. Давайте рассмотрим несколько популярных простых статистических формул.

1. Среднее

Чтобы использовать формулу среднего значения в Excel, откройте формулу с помощью  =СРЗНАЧ(  , а затем введите свои значения.Разделите каждое число запятой. Когда вы нажмете Enter, Excel рассчитает и выведет среднее значение.

=СРЕДНЕЕ(1,3,5,7,10)

Лучший способ вычислить среднее значение — ввести значения в отдельные ячейки одного столбца.

=СРЕДНЕЕ(A2:A5)

Используйте формулу =СРЗНАЧ для усреднения списка значений, разделенных запятыми, или набора ячеек, как показано в нижнем примере.

2. Медиана

Медиана набора данных — это значение, которое находится посередине.Если вы возьмете числовые значения и упорядочите их от наименьшего к наибольшему, медиана окажется прямо в середине этого списка.

=МЕДИАНА(1,3,5,7,10)

Я бы рекомендовал ввести ваши значения в список ячеек, а затем использовать формулу медианы для списка ячеек с введенными в них значениями.

=МЕДИАНА(A2:A5)

Используйте формулу =МЕДИАНА , чтобы найти среднее значение в списке значений, разделенных запятыми, или используйте формулу в списке ячеек со значениями в них.

3. Мин.

Если у вас есть набор данных и вы хотите следить за наименьшим значением, полезна формула MIN  в Excel. Вы можете использовать формулу MIN  со списком чисел, разделенных запятыми, чтобы найти наименьшее значение в наборе. Это очень полезно при работе с большими наборами данных.

= МИН(1,3,5,7,9)

Возможно, вы захотите найти минимальное значение в списке данных, что вполне возможно с помощью такой формулы:

= МИН(A1:E1)

Используйте формулу Excel MIN  со списком значений, разделенных запятыми, или с диапазоном ячеек, чтобы отслеживать наименьшее значение в наборе.

4. Макс.

Формула MAX в Excel является полной противоположностью MIN ; он сообщает вам, какое значение в наборе является самым большим. Вы можете использовать его со списком чисел, разделенных запятыми:

=МАКС(1,3,5,7,9)

Или вы можете выбрать список значений в ячейках, и Excel вернет наибольшее значение в наборе с помощью следующей формулы:

=МАКС(А1:Е1)

Формула Excel MAX очень похожа на MIN, , но поможет вам следить за наибольшим значением в наборе и может использоваться в списке значений или списке данных, разделенных запятыми.

Резюме и продолжение обучения

Я надеюсь, что этот учебник по математическим формулам Excel помог вам лучше понять, что Excel может сделать для вас. При достаточной практике ваши навыки работы с Excel скоро покажутся более естественными, чем использование калькулятора или математические вычисления на бумаге. Электронные таблицы собирают данные, а формулы помогают нам понять или изменить эти данные. Операции могут быть простыми, но они лежат в основе важных электронных таблиц в каждой компании.

Всегда полезно использовать одно руководство для дальнейшего обучения.Вот несколько предложений

Какие еще математические навыки вы используете в Excel? Оставьте ответ в комментариях, если вы знаете отличную формулу, которой не знаю я.

Создайте простую формулу в Excel

Вы можете создать простую формулу для сложения, вычитания, умножения или деления значений на листе. Простые формулы всегда начинаются со знака равенства ( = ), за которым следуют константы, представляющие собой числовые значения, и операторы вычисления, такие как плюс ( + ), минус (), звездочка ( * ) или косая черта. ( / ) знаки.

Возьмем пример простой формулы.

  1. На рабочем листе щелкните ячейку, в которую вы хотите ввести формулу.

  2. Введите = (знак равенства), а затем константы и операторы (до 8192 символов), которые вы хотите использовать в расчетах.

    В нашем примере введите =1+1 .

    Примечания:

    • Вместо того, чтобы вводить константы в формулу, вы можете выбрать ячейки, содержащие значения, которые вы хотите использовать, и ввести операторы между выбранными ячейками.

    • В соответствии со стандартным порядком математических операций умножение и деление выполняются перед сложением и вычитанием.

  3. Нажмите Введите (Windows) или Верните (Mac).

Возьмем еще один вариант простой формулы.Введите =5+2*3 в другую ячейку и нажмите Введите или Верните . Excel умножает два последних числа и прибавляет к результату первое число.

Использовать автосумму

Вы можете использовать автосумму для быстрого суммирования столбца, строки или чисел. Выберите ячейку рядом с числами, которые вы хотите просуммировать, щелкните AutoSum на вкладке Home , нажмите Enter (Windows) или Return (Mac), и все!

Когда вы нажимаете Автосумма , Excel автоматически вводит формулу (которая использует функцию СУММ) для суммирования чисел.

Примечание. Вы также можете ввести в ячейку ALT+= (Windows) или ALT++= (Mac), и Excel автоматически вставит функцию СУММ.

Вот пример. Чтобы добавить числа за январь в этот бюджет развлечений, выберите ячейку B7, ячейку непосредственно под столбцом чисел. Затем нажмите AutoSum . В ячейке B7 появляется формула, и Excel выделяет ячейки, которые вы суммируете.

Нажмите Enter, чтобы отобразить результат (95.94) в ячейке B7. Вы также можете увидеть формулу в строке формул в верхней части окна Excel.

Примечания:

  • Чтобы просуммировать столбец чисел, выберите ячейку непосредственно под последним числом в столбце. Чтобы просуммировать ряд чисел, выберите ячейку сразу справа.

  • Создав формулу, вы можете скопировать ее в другие ячейки вместо того, чтобы вводить ее снова и снова.Например, если вы скопируете формулу из ячейки B7 в ячейку C7, формула в ячейке C7 автоматически подстроится под новое место и вычислит числа в ячейках C3:C6.

  • Вы также можете использовать автосумму для нескольких ячеек одновременно. Например, вы можете выделить ячейки B7 и C7, щелкнуть AutoSum и одновременно подвести итоги по обоим столбцам.

Примеры

Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового рабочего листа Excel.При необходимости вы можете настроить ширину столбцов, чтобы увидеть все данные.

Примечание. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите Введите (Windows) или Верните (Mac).

Данные

2

5

Формула

Описание

Результат

=А2+А3

Складывает значения в ячейках A1 и A2

=А2+А3

=А2-А3

Вычитает значение в ячейке A2 из значения в ячейке A1

=А2-А3

=А2/А3

Делит значение в ячейке A1 на значение в ячейке A2

=А2/А3

=А2*А3

Умножает значение в ячейке A1 на значение в ячейке A2

=А2*А3

=А2^А3

Повышает значение в ячейке A1 до экспоненциального значения, указанного в ячейке A2

=А2^А3

Формула

Описание

Результат

=5+2

Добавляет 5 и 2

=5+2

=5-2

Вычесть 2 из 5

=5-2

=5/2

Делит 5 на 2

=5/2

=5*2

Умножает 5 раз 2

=5*2

=5^2

Возводит 5 во вторую степень

=5^2

Нужна дополнительная помощь?

Вы всегда можете обратиться к эксперту в техническом сообществе Excel или получить поддержку в сообществе ответов.

Обзор формул в Excel

Функция СУММ

Как использовать массив умножения, чтобы помочь вашему ребенку освоить таблицы умножения – Кейт Сноу

Что такое массивы умножения, почему они так полезны для обучения концепции умножения и как использовать массив умножения, чтобы помочь вашему ребенку освоить таблицу умножения. Включает бесплатный печатный массив умножения, который можно использовать для моделирования задач на умножение от 1×1 до 10×10.

Практические манипуляторы помогают детям разобраться в математике. Они делают математику конкретной и помогают детям понять математику на более глубоком уровне.

Но когда дело доходит до запоминания фактов умножения, практические материалы могут стать довольно громоздкими. В конце концов, подсчет 8 групп по 7 может занять весь урок математики! И все это время, потраченное на счет, не поможет вашему ребенку запомнить, что 8 умножить на 7 равно 56.

Я люблю математические манипуляции, но они могут отнимать много времени (и не очень полезны), когда дело доходит до изучения фактов умножения.

 

Вот почему массивы умножения так полезны. Вместо того, чтобы считать кучки и кучки маленьких пластиковых предметов, вы можете моделировать задачи на умножение, просто сдвигая лист бумаги. Более того, массивы умножения представляют собой простую визуальную модель, которая не только помогает детям понять концепцию умножения, но и помогает детям быстрее запоминать таблицу умножения .

Что такое массив умножения?

Массив — это любое расположение строк или столбцов.Карточки, выложенные в ряды для игры в «Память», места, выстроенные в ряды для сольного концерта, или числа, выстроенные в электронной таблице Excel, — все это примеры массивов.

Массив умножения – это просто расположение строк или столбцов, соответствующее уравнению умножения. Вы можете создавать массивы из объектов или изображений, и вы можете использовать любую форму. Например, вот 3 разных массива, каждый из которых показывает 3 × 4.

(Как правило, первое число относится к количеству строк, а второе число — к количеству столбцов. Таким образом, все перечисленные выше массивы считаются массивами 3 × 4, а не 4 × 3, хотя общее число (12) в любом случае будет одинаковым.)

Каковы преимущества массива умножения?

1. Массивы умножения упрощают визуализацию задач на умножение.

Практические объекты отлично подходят для ознакомления с умножением, но они могут быть немного болезненными, когда вы решаете много задач или работаете с большими числами. С массивом бумажных точек вы можете надеть L-образную крышку на верхнюю часть массива и показать любой факт умножения, который вы хотите, от 1 × 1 до 10 × 10.Вот как выглядит массив точек и L-покрытие.

 

Вот как их использовать. Например, допустим, мы хотели помочь вашему ребенку понять, как выглядит 6 × 8. 6 × 8 означает «6 групп по 8», поэтому сдвиньте L-образную крышку, чтобы массив точек выглядел так.

В каждом из 6 рядов по 8 точек, поэтому имеется 6 групп по 8 точек. Таким образом, общее количество точек в массиве является ответом на 6 × 8. Показано 48 точек, поэтому 6 × 8 = 48,

.

2. Массивы умножения помогают детям использовать стратегии, а не механическое запоминание, чтобы найти ответы.

Давайте возьмем 6 × 8. Это один из самых сложных фактов для запоминания детьми, но большинству детей довольно легко, когда они используют 5 × 8 в качестве трамплина.

Вот как научить этому ребенка:

5 × 8 равно 40. (5 × 8 — хорошая ступенька, поскольку знакомство детей с цифрами 5 с первых лет обучения арифметике обычно упрощает изучение фактов ×5.)

6 × 8 всего на одну группу из 8 больше, чем 5 × 8.

Итак, вы можете просто сложить 40 + 8, чтобы найти ответ: 6 × 8 = 48.

Эта стратегия работает для всех фактов ×6. И хорошая новость заключается в том, что для всех фактов умножения есть похожие стратегии!

3. Массивы умножения позволяют детям легко увидеть свойство коммутативности в действии.

Свойство коммутативности говорит о том, что вы можете умножать числа в любом порядке и получать один и тот же ответ. Например, 2 × 7 и 7 × 2 дают один и тот же ответ: 14.

.

Чтобы показать ребенку этот факт, используйте массив точек, чтобы показать факт умножения.Затем поверните массив на 90 градусов. Теперь массив точек показывает соответствующий факт умножения, но общее количество точек не изменилось.

2×7. Поверните его на 90 градусов… и вы получите 7×2.

Чтобы получить дополнительную информацию об использовании массивов умножения для обучения таблице умножения, ознакомьтесь со статьей «Неизменные факты умножения».

Руководство для манекена по созданию фиктивных переменных | Роуэн Лэнгфорд

Как математик, я стараюсь количественно оценивать все в своей повседневной жизни, поэтому, когда я вижу набор данных с большим количеством качественных переменных, мой разум, естественно, пытается их количественно оценить.К счастью, есть хорошая, аккуратная функция, которая может помочь нам в этом!

Как человек, который плохо знаком с миром науки о данных, открытие панд сильно изменило его жизнь. Между pandas и scikit Learn я думаю, что каждый может завоевать мир (или, по крайней мере, мир науки о данных). В Pandas есть функция, которая может превратить категориальную переменную в серию нулей и единиц, что значительно упрощает их количественную оценку и сравнение.

Я начал с загрузки своих данных, которые я получил с веб-сайта «http://data.Princeton.edu/wws509/datasets/#salary». Это очень небольшой набор данных, состоящий из данных о заработной плате 52 профессоров небольшого колледжа, классифицированных по полу, профессорскому званию, высшей степени и стажу работы в сочетании с заработной платой. Я использовал этот набор данных для этого примера, потому что он короткий и имеет несколько категориальных переменных.

sx = пол, rk = ранг, yr = год в текущем ранге, dg = степень, yd = количество лет с момента получения высшей степени, sl = зарплата

Поскольку я загрузил данные с помощью pandas, я использовал функцию pandas pd.get_dummies для моей первой категориальной переменной пола. Так как у этой переменной всего два варианта ответа: мужской и женский (не самый прогрессивный набор данных, но он 1985 года). pd.get_dummies создает новый кадр данных, состоящий из нулей и единиц. В этом случае фрейм данных будет иметь значение, зависящее от пола профессора.

Поскольку мы создали совершенно новый фрейм данных, чтобы сравнить его с нашим исходным фреймом данных, нам нужно либо объединить, либо объединить их для правильной работы с ними.При создании фиктивных переменных мы, по сути, создали новые столбцы для нашего исходного набора данных. У старого и нового набора данных нет общих столбцов, поэтому было бы разумнее объединить их (хотя я собираюсь использовать оба способа).

Я решил поместить свою фиктивную переменную в правую часть моего фрейма данных, поэтому, когда я использую pd.concat (функция конкатенации) и сначала помещаю свой фрейм данных, а затем объявленную мной фиктивную переменную. Поскольку это столбцы, я объединяю их по оси = 1.

Объединение этих фреймов данных немного сложнее, так как нет перекрывающихся столбцов. Однако это можно сделать!

Чтобы выполнить слияние по индексу (наш крайний левый столбец), все, что нам нужно сделать, это установить значения left_index=True и right_index=True!

С помощью всего двух строк кода мы можем теперь сравнить нашу переменную пола с другими нашими числовыми столбцами!

28 математических карточных игр, которые понравятся учащимся и учителям

Нужен способ заинтересовать учащихся в развитии математических навыков? Колода игральных карт может быть просто ответом. Эти математические карточные игры подходят как для самых маленьких, так и для детей старшего возраста, и все они бесплатны для обучения и игры.Нарисуйте несколько, чтобы добавить к вашей победной руке на уроке математики сегодня!

1. Сопоставьте одиннадцать

Выложите три ряда по три карты в каждом лицом вверх. Затем проверьте, сможете ли вы найти любые две карты, сумма которых равна одиннадцати. Если это так, удалите эти карты и отложите в сторону. Замените их новыми картами из колоды. Продолжайте, пока у вас не закончатся карты или вы больше не сможете делать совпадения.

Подробнее: Правила игры

2. Гонка до 100

Переверните карту и добавьте ее значение к промежуточной сумме.Выигрывает тот, кто первым наберет 100 очков без перебора! (Уберите лицевые карты для младших игроков; используйте эти значения для детей постарше: Валет-11, Дама-12, Король-13, Туз-0.)

Узнайте больше: 123Homeschool4Me

3. Сыграйте в игру 21

В Вегасе эту игру называют «Блэкджек», но она также является отличной обучающей игрой для детей (не нужно делать ставки). Они не только тренируют свои навыки сложения, но и получают немного практики в логическом мышлении и расчете шансов.

Узнайте больше: Планирование с детьми

4. Играйте в пасьянс «Пирамида» в одиночку или в команде

Некоторые версии пасьянса на самом деле представляют собой просто хитрые математические карточные игры, и пирамида — одна из них. Попытайтесь найти карты, сумма которых равна 10, очищая свою пирамиду ряд за рядом. Узнайте, как играть по ссылке ниже.

Узнайте больше: Multiplication.com

5. Переверните и добавьте один или вычтите один!

Существует несколько версий этой простой игры на сложение и вычитание.Нам нравится этот: удалите лицевые карты из колоды. Переверните карту. Если он красный, добавьте единицу и произнесите сумму вслух. Если он черный, вычтите один. Сделай это правильно? Вы можете сохранить карту!

Узнать больше: Plus One Minus One/Creative Family Fun

6. Идите ловить пары, которые составляют 10

Возможно, ваши ученики уже знают, как играть в «Рыбалку», но в этой версии они ловят пары, сумма которых составляет 10. Попросите их спросить: «У меня есть 2. У вас есть 8, чтобы получилось 10?» Замените тузы на 1 для этой игры и полностью исключите лицевые карты.

Узнайте больше: Go Fish/The First Grade Roundup

7.

Рассчитайте прибыль или убыток

Каждый игрок начинает с 15 очков. Первый игрок переворачивает карту (сначала удалите лицевые карты или назначьте им очки). Если карта черная, они добавляют ее к своей сумме. Если он красный, они вычитают его. Победит тот, кто наберет наибольшее количество очков, когда все карты исчезнут! Получите бесплатный печатный лист для использования с этой игрой по ссылке.

Узнать больше: Управляемая математика

8.Потренируйтесь считать с картами

Удалите лицевые карты для этого и возьмите кубик. Игроки переворачивают карту и бросают кубик. Начиная с числа на карточке, они «рассчитывают», используя число на кубике. Например, если игрок подбрасывает 7 и выбрасывает 4, он скажет: «Семь… восемь, девять, десять, одиннадцать». Если они понимают это правильно, они сохраняют карту.

Узнайте больше: Творческое семейное развлечение

9. Оборот и умножение (или сложение)

Это так просто! Предложите учащимся объединиться в пары. Один человек переворачивает две карты из колоды. Первый учащийся, который умножит (или сложит, в зависимости от того, что вы хотите потренировать) их правильно и назовет ответ, побеждает и берет обе карточки. Игра продолжается до тех пор, пока не закончатся все карты, и победителем станет тот, у кого больше карт.

Узнайте больше: Текучесть/преподавание на высшем уровне

10. Попробуйте в общей сложности 10

Играйте в эту математическую карточную игру в одиночку или в команде. Выложите на стол 20 карт (лицевые карты пропустите или измените их так, чтобы они были равны 0, а тузы равнялись 1).Дети убирают наборы карточек, которые в сумме дают 10, в конечном итоге пытаясь убрать все карточки со стола. Это сложнее, чем вы думаете!

Подробнее: Всего 10/Обзор результатов первого класса

11. Упражнение на упорядочивание чисел с помощью «Рая для строителей»

Простые математические карточные игры помогут детям научиться раскладывать числа по порядку. Чтобы сыграть в строительный рай, сбросьте лицевые карты и разложите 4 семерки в колоде рядом. В каждом раунде игроки работают над добавлением следующего большего или меньшего числа в каждой масти, пытаясь первыми избавиться от всех своих карт.Получите полную инструкцию по ссылке ниже.

Узнать больше: Builder’s Paradise/Math Geek Mama

12. Добавляйте десятичные дроби, чтобы «заработать»

Возьмите, поменяйте местами и сбросьте, чтобы составить руку, равную 1 доллару. Узнайте, чему равны лицевые карты, и получите все правила по ссылке.

Узнать больше: Заработай на деньги/Математика Мама

13. Объявить войну фракции

War — одна из оригинальных математических карточных игр, но в этой версии добавлен аспект дроби.Учащиеся раздают две карты, числитель и знаменатель, затем определяют, чья дробь наибольшая. Победитель сохраняет все четыре карты, и игра продолжается до тех пор, пока карты не закончатся. (Нажмите здесь, чтобы увидеть больше веселых и бесплатных фракционных игр. )

Узнайте больше: Math File Folder Games

14. Учим числа с карточным бинго

Уберите лицевые карты и попросите каждого учащегося разложить игральную «доску» карт 4 x 4. Остальные карты (или другая колода) кладутся лицевой стороной вниз, и вызывающий переворачивает карту.Любой игрок, у которого на доске есть это число, переворачивает карту лицевой стороной вниз. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не перевернет ряд по горизонтали, вертикали или диагонали и не объявит «Бинго!»

Узнать больше: Card Bingo/Top Notch Teaching

15. Сыграйте в игру «Я шпион»

Разложите карты на столе и по очереди давайте подсказки. «Я вижу две карты, сумма которых дает 12». Для детей помладше используйте такие варианты, как «Я вижу карту, число которой меньше 4», или для детей постарше: «Я вижу две карты, которые имеют коэффициент 12.

Узнайте больше: Учение Сьюзен Джонс

16. Используйте порядок операций, чтобы добраться до 24

Математические карточные игры

предназначены не только для маленьких детей; даже взрослые найдут это немного сложным. Каждому игроку раздается по четыре карты, затем он использует правила порядка действий, чтобы попытаться составить число как можно ближе к 24. Простой, но сложный!

Узнайте больше: Учитесь с математическими играми

17. Сыграйте в азартную игру с трехзначным вызовом

Каждый игрок получает три карты и самостоятельно определяет наибольшее трехзначное число, которое он может составить (вы можете использовать десятичные дроби или нет, в зависимости от возраста).Затем у каждого игрока есть очередь использовать имеющиеся у него карты, поменяться одной из колоды или украсть одну из карт другого игрока. Затем все игроки выкладывают свой лучший номер, чтобы увидеть, кто победит. Подробнее смотрите по ссылке ниже.

Узнайте больше: Уголок преподавателя математики

18. Сдавайте карты и округляйте до десятков, чтобы выиграть

Каждый игрок сдает по две карты и кладет их на доску. Затем округлите до ближайших десяти, чтобы найти победителя этой руки.

Подробнее: Приключения в третьем классе

19.Найдите способ заработать 10

Одна из замечательных особенностей математических карточных игр заключается в том, что многие из них можно настроить для различных концепций и уровней навыков. Первоначальная цель этой игры состояла в том, чтобы посмотреть на карты, которые вам сдали, чтобы найти те, которые в сумме дают 10, но это может быть изменено на 15, 20 или любое другое число по вашему выбору. Вы также можете увеличить сложность, разрешив сложение и вычитание (например, вы можете использовать 8+4=12 и 12-2=10). Получите правила и бесплатные маты для печати по ссылке ниже.

Узнать больше: Мама.Папа.Бубба

20. Используйте Close Call, чтобы попрактиковаться в сложении или вычитании двузначных чисел

Лучшие математические карточные игры просты в сердце. Чтобы сыграть в Close Call, каждый игрок сдает себе четыре карты, а затем определяет, как расположить их так, чтобы они составили два двузначных числа, которые в сумме максимально приближаются к 100, не перебирая. Для версии с вычитанием постарайтесь максимально приблизиться к нулю. Узнайте, как играть по ссылке.

Узнать больше: Close Call/Math Geek Mama

21.Пусть цвет карты указывает отрицательное или положительное значение

В этой игре красные карты — это отрицательные числа, а черные — положительные. Учащиеся пытаются разыграть пары карт, сумма которых равна 6 или -6. Вы можете изменить номер цели по мере необходимости.

Узнайте больше: Обработка кадра с обучением

22. Совершите путешествие по карточной спирали, чтобы попрактиковаться в математических фактах

Для этой математической карточной игры вам понадобится пара игральных костей. Разложите карты случайным образом по спирали, как показано на рисунке, и установите маркер для каждого игрока на центральной карте.Первый игрок бросает кубик, а затем перемещает свою фишку на указанное количество клеток. Затем они должны умножить (или добавить или вычесть, в зависимости от предпочтений) номер карты на число на кубике. Если они получают правильный ответ, они остаются на месте. Если нет, они возвращаются к своей исходной карте. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не дойдет до конца.

Подробнее: Моя Баба

23. Переверните, чтобы получить простое число

Переверните две карты. Если вы можете сложить, вычесть или умножить их, чтобы получить простое число (используйте одну или все эти операции), вы сохраните их.

Подробнее: Flip для Prime/Games4Learning

24. Станьте самым быстрым в гонке за pi

В этой игре дети должны расставить цифры числа пи по порядку. Это простая игра «нарисуй и играй», но она поможет познакомить учащихся с этим важным числом. Вы можете сначала выписать цифры или посмотреть, кто знает их по памяти. Узнайте, как играть по ссылке ниже.

Узнайте больше: Race to Pi/Math Geek Mama

25. Выберите три, чтобы составить числовые предложения

Переверните любые три карты. Если вы можете использовать их для составления правильного числового предложения (8-3=5), вы сохраняете карты!

Узнать больше: Числовые предложения/Games4Learning

26. Попрактикуйтесь в быстрых фактах

Дайте вашим карточкам отдохнуть и вместо этого попрактикуйтесь в математических карточных играх. Просто выложите две карты из колоды (сначала удалите лицевые карты) и сложите, вычтите или умножьте их. Дети могут работать над этим самостоятельно, или вы можете устроить соревнование, чтобы увидеть, кто первым назовет правильный ответ.

Узнайте больше: математические факты/преподавание на высшем уровне

27. Призовите их победить учителя

Практикуйтесь в расстановке карт, вытягивая карты и пытаясь построить максимально возможное количество. Дети играют против учителя, чтобы увидеть, кто победит! Получить правила по ссылке ниже. (Здесь вы найдете другие интересные занятия с ценой места.)

Узнайте больше: Фестиваль любви к обучению/TpT

28.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.