Штейнера формула: Теорема Штейнера

Содержание

Теорема Штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции

При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:

M = I*α

Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними – I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:

I = ∫m (r2*dm)

Здесь r – это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.

Момент инерции и теорема Штейнера

Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:

IZ = IO + m*l2

IZ и IO – моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l – расстояние между прямыми Z и O.

Теорема позволяет, зная величину IO, рассчитать любой другой момент IZ относительно оси, которая параллельна O.

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции IO которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x2 + y2), тогда получаем интеграл:

IO = ∫m (r2*dm) = ∫m ( (x2+y2) *dm)

Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

IZ = ∫m (( (x+l)2+y2)*dm)

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

IZ = ∫m ( (x2+l2+2*x*l+y2)*dm) = ∫m ( (x2+y2)*dm) + 2*l*∫m (x*dm) + l2*∫mdm

Первое из этих слагаемых является величиной IO, третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l2*m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Проверка формулы Штейнера на примере стержня

Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.

Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции IO (ось проходит через центр масс) равен m*L2/12, а момент IZ (ось проходит через конец стержня) равен m*L2/3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент IZ:

IZ = IO + m*(L/2)2 = m*L2/12 + m*L2/4 = m*L2/12 = m*L2/3

То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для IZ, что и в источнике.

Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.

Момент инерции и перпендикулярные оси

Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:

Iz = Ix + Iy

Здесь z, x, y – три взаимно перпендикулярные оси вращения.

Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.

Штейнера теорема – Энциклопедия по машиностроению XXL

Шарнир цилиндрический Ш Штейнера теорема Ь75  [c.346]

Гюйгенса — Штейнера теорема 170  [c.638]

Шаг винта 41 Штейнера теорема 133  [c.367]

Штейнера теорема 124 Шулера закон 206  [c.367]

Аргумент широты перицентра 276 Гюйгенса-Штейнера теорема 175  [c.473]

Гравитационного маятника применения 61—64 Граница самовозбуждения 131 Граничные условия 45 Гюйгенса — Штейнера теорема 62  [c.295]


Теорема (Гюйгенса —Штейнера). Момент инерции тела Ji относительно произвольной оси I равен моменту инерции тела Jq относительно оси, параллельной I и проходящей через центр инерции С, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, т. е.  [c.174]

Этот член равен нулю в связи с тем, что по построению ось z проходит через начало координат, и следовательно, координата г/с центра инерции равна нулю.

Теорема Гюйгенса— Штейнера доказана.  [c.175]

Теорема Гюйгенса — Штейнера удобна в том отношении, что она позволяет использовать приведенные в справочниках моменты инерции типичных фигур и тел относительно стандартных осей, проходящих через центр инерции, для вычисления моментов инерции относительно других осей, параллельных стандартным. Теорема эта не помогает, однако, вычислить моменты инерции относительно осей, образующих заданные углы со стандартными. Поэтому естественно возникает вопрос о том, как меняется момент инерции при повороте оси.  [c.175]

Теорема Штейнера о зависимости между моментами инерции твердого тела относительно параллельных осей формулируется так момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести тела С, и произ-ведения массы твердого тела на квадрат расстояния между параллельными осями (рис. 129), т. е.  

[c.195]

Решение. Применение теоремы Штейнера показывает, что при наличии системы параллельных осей момент инерции твердого тела является наименьшим относительно оси, проходящей через центр инерции С твердого тела. Остается выбрать направление оси, проходящей  

[c.251]

Момент инерции /о эксцентрика относительно оси О, перпендикулярной к его плоскости, вычисляем по теореме Штейнера  [c.424]

Момент инерции полушара относительно мгновенного центра скоростей может быть выражен на основании теоремы Штейнера следующим образом  [c.591]

Расстояние центра инерции полушара от точки равно 1 = – г. Воспользовавшись теоремой Штейнера, находим  [c.592]

Эту теорему часто, но совершенно необоснованно, называют теоремой Штейнера. Якоб Штейнер никогда этой теоремы не доказывал, а найденное им (1840 г.) соотношение для распределения точек на плоскости имеет к (202) весьма отдаленное отношение. Теорема была известна еще Гюйгенсу и строго доказана Эйлером (1749 г.

).  [c.338]


Пример 1.10.1. Из теоремы Гюйгенса-Штейнера следует неравенство  [c.53]

Для расчета /22 и / з воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера  [c.64]

Доказательство. Пусть момент инерции тела относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс, равен Мр . По теореме 1.10.2 Гюйгенса-Штейнера найдем  [c.458]

Первая из формул (122.34) составляет содержание теоремы Штейнера при переходе от оси, проходящей через центр масс тела, к другой оси ей параллельной момент инерции тела увеличивается на произведение его массы и квадрата расстояния между этими осями.  

[c.175]

Перестроено изложение статики, позволяющее сократить число лекций на изучение ее основ. Материал кинематики изменен незначительно. Существенной переработке подверглись некоторые главы динамики. Полностью переработана и значительно расширена глава, посвященная малым линейным колебаниям систем. Из теории прямолинейных колебаний точки приведено изложение только собственных, линейных колебаний. Переработано также изложение невесомости, принципа Даламбера, центра удара, теоремы Штейнера и теории астатического гироскопа.  

[c.4]

Таким образом для определения момента инерции тела относительно оси / нужно знать только главные моменты инерции тела в точке. Особенно важны главные центральные оси инерции тела. Знание этих осей и моментов инерции тела относительно их позволяет определить по теореме Штейнера момент инерции тела относительно любой оси.  [c.251]

Приведенная длина физического маятника больше расстояния от точки привеса до центра масс, т. е. 1> к. Для доказательства теоремы применим к физическому маятнику теорему Штейнера о связи моментов инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Получим  

[c.429]

Кинетическая энергия обруча (по формуле Кенига) и теореме Штейнера  [c. 518]

ТЕОРЕМА О МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ (ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА)  [c.264]

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса—Штейнера момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.  

[c.265]

Из теоремы Штейнера следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси, проходящей через центр масс.  [c.265]

Моменты инерции относительно осей Ох и Оу вычисляем с использованием теоремы Штейнера. Имеем  [c.477]

Теорема Эйлера ( Пуансо, Кориолиса, Дирихле, Гюйгенса, Гюльдена, Кёнига, Резаля, Даламбера – Эйлера, Кастильяно, Эйлера -Шаля, Кронекера – Капелли, Штейнера). Теорема живых сил (-кинетической энергии, количества движения, моментов, сохранения механической энергии. ..). Теорема о трёх центрах ( о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении момента количества движения, о работе сил, об изменении кинетической энергии, о моментах инерции…). Теоремы сложения.  

[c.88]

Шаровые точки твердого тела 193 Шартш маятниковый копер 630 Шлика паллограф 518 Штейнера теорема 166  [c.638]

Гюйгенса — Штейнера теорема 478, ятника 508 485, 486  [c.721]

Моментинерции стержня относительно оси Сг, проходящей через центр масс и параллельной оси Ог, определяется по теореме Штейнера  

[c.267]


Болиду Мазепина не хватит запчастей в случае очередной аварии :: Формула-1 :: РБК Спорт

По словам главы Haas Гюнтера Штайнера, после двух крупных аварий на Гран-при Саудовской Аравии команда не может позволить себе еще одну из-за нехватки запчастей

Читайте нас в

Новости Новости

Фото: Getty Images

После аварий Никиты Мазепина и Мика Шумахера на Гран-при Саудовской Аравии у команды «Формулы-1» Haas заканчиваются запчасти, заявил Motorsport. com глава команды Гюнтер Штайнер.

«У нас впереди еще одна гонка, у нас достаточно запчастей, чтобы восстановить болиды, но в случае аварий в Абу-Даби их уже не хватит. Мы не ожидали, что в последней гонке будут разбиты обе машины», — сказал Штайнер.

В воскресенье на Гран-при в Джидде оба пилота Haas попали в аварии. Немец Мик Шумахер разбил болид, врезавшись в ограждение трассы на десятом круге. А на 15-м круге случилась авария с участием нескольких болидов — в нее попал Мазепин, который в итоге не смог продолжить гонку.

Мазепин сошел с Гран-при «Формулы-1» в Саудовской Аравии после аварии

Гран-при Саудовской Аравии состоялся впервые в истории, его победителем стал британец Льюис Хэмилтон (Mercedes). Заезды прошли на городской трассе в Джидде при искусственном освещении.

Последний этап «Формулы-1» пройдет в Абу-Даби 10–12 декабря. Шумахер занимает 19-е место в чемпионате, Мазепин — последнее, 21-е. В Кубке конструкторов Haas не набрал очков и располагается на последней, десятой строчке.

Автор

Анна Сатдинова

Теорема Штейнера – Лемуса / math5school.

ru

 

 

Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Стоит только вспомнить три знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга. Попытки решить эти задачи привели к развитию новых ветвей математики. Даже сейчас существуют псевдоматематики, которые присылают в редакции «решения» этих задач и требуют публикации или доказательства ложности своих «решений».

Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:

Теорема Штейнера – Лемуса:

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник является равнобедренным. 

Это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства. Этот факт тем более удивителен, что заменив слово “биссектрисы” на “медианы” или “высоты”, получаем утверждения, доказательства которых элементарны.

Эта теорема была послана великому шведскому геометру, члену Берлинской академии наук, Якобу Штейнеру в 1840 году Кристианом Лудольфом Лемусом, немецким математиком, профессором Берлинского университете, с просьбой дать чисто геометрическое доказательство.

Якоб Штейнер 

(1796–1863)

Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера – Лемуса появлялись в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1864 год, а также в большом количестве и в течение следующего столетия.  

 

Доказательство теоремы Штейнера – Лемуса 

Одно из простейших доказательств опирается на следующие две леммы:

 

Лемма 1. 

Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство.

Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

 

Лемма 2. 

В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой

Доказательство.

Пусть ABC — треугольник, в котором угол B меньше угла C, как на рисунке выше; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы B и C. Мы хотим доказать, что BM < CN. Возьмем точку M′ на отрезке BM так, чтобы 

∠M′CN = 1/∠B.

Так как этот угол равен углу M′BN, то четыре точки N, B, C, М′ лежат на одной окружности. Поскольку

∠B < 1/(∠B + ∠C) <  1/(∠A + ∠B + ∠C),

то

∠CBN < ∠M′CB < 90°.

По лемме 1: CN < M′B. Следовательно, BM > BM′ > CN.

 

Вернёмся теперь непосредственно к доказательству теоремы Штейнера – Лемуса. Часто случается, что теорема может быть выражена в форме “противоположной к обратной” – эквивалентной первоначальной. Например, вместо того, чтобы сказать: “Все люди смертны”, мы можем также сказать “Бессмертные не есть люди”. Вместо доказательства самой теоремы Штейнера – Лемуса для нас будет достаточно доказать, что

если в треугольнике  ABC  ∠B ≠ ∠C,  то  BM ≠ CN.

Но это есть прямое следствие леммы 2.

 

Лирико–математическое отступление

Вышеприведенное доказательство этой леммы имеет занятную историю. Оно было придумано двумя английскими инженерами Г. Джильбертом и Д. Мак-Доннеллом и опубликовано в 1963 году в журнале American Mathematical Monthly со следующим редакционным примечанием:

Мартин Гарднер в своем обзоре книги Коксетера “Введение в геометрию” описал эту знаменитую теорему столь интересно, что сотни читателей прислали ему свои доказательства. Он взял на себя труд по обработке этого громадного материала и совершенствовал его до тех пор, пока не заблистала, очищенная от наслоений, жемчужина, которую мы приводим здесь.

Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что “воздушное” доказательство Джильберта и Мак-Доннелла является косвенным: вместо самой теоремы Штейнера – Лемуса они доказывают теорему, противоположную к обратной (лемма 2).

Было предложено несколько якобы прямых доказательств; но каждое из них в действительности является в скрытой форме косвенным. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство – прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных.

Стоит ли об этом сожалеть? Великий английский математик Годфри Харольд Харди (1877–1947) говорил по этому поводу:

Reductio ad absurdum (лат. приведение к абсурду), столь любимое Евклидом, является тончайшим инструментом математика. Оно является намного более тонким гамбитом, чем любой шахматный гамбит: шахматист может предложить в жертву пешку или другую фигуру, а математик предлагает в жертву всю игру.

Приведем полное прямое, хотя и несколько тяжеловесное, доказательство теоремы Штейнера – Лемуса. Для этого воспользуемся следующей теоремой:

 

Пусть Х – точка на стороне АС треугольника АВС, причём АВ = с, ВС = а, АС = b, ВХ = р, АХ = m, XC = nТогда  

b (p2 + mn) = a2m + c2.

 

Этот результат называется теоремой Стюарта в честь английского математика М.  Стюарта, который сформулировал её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Роберт Симсон (1687–1768)  который опубликовал и доказал эту теорему лишь в 1749 году (по другим сведениям, – в 1751 году).

 

Доказательство.

По теореме косинусов из треугольников АВХ и ВСХ имеем:

c2 = р2 + m2 – 2рm · cos α ,

а2 = р2 + n2 – 2рn · cos ( π – α) = р2 + n2 + 2рn · cos α .

Тогда

c2n = р2n + m2n – 2рmn · cos α ,

а2m = р2m + n2m + 2рmn · cos α

и

c2n + а2m = р2 (m + n) + mn (m + n) ,

c2n + а2m = (m + n) ( р2 + mn) ,

c2n + а2m = b ( р2 + mn) ,

что и требовалось доказать.

m =  bc   и  n =  ab .
a + c a + c

Тогда по теореме Стюарта

c· ab  +  а2 · bc
 = b (р2 +  ab2c ,
a + c a + c (a + c)2
acа2c  = р2 +  ab2c  ,
a + c (a + c)2
ac (c + a)  = р2 +  ab2c  ,
a + c (a + c)2
ac = р2 + ac ·  b2  ,
(a + c)2
р2 = ac (1 –  b2 ) .                                                             (*)
(a + c)2

 

Приступим к непосредственному доказательству теоремы Штейнера – Лемуса. 

Пусть k и l – равные биссектрисы треугольника АВС, проведённые к сторонам АВ = с и ВС = а. Тогда 

k2 = l2

и, согласно полученному выше равенству (*), имеем:

bc (1 –  a2 ) = ab (1 –  c2 ) ,
(b + c)2 (a + b)2
c (1 –  a ) (1 +  a ) = a (1 –  c ) (1 +  c ) ,
b + c b + c a + b a + b
c (b + c – a) (a +b + c)  =  a (a + b – c) (a +b + c)  ,
(b + c)2 (a + b)2
(b + c – a)  =  (a + b – c)  ,
(b + c)2 (a + b)2

a ((a – c) + b) (b + c)2 + c ((a – c) – b) (a + b)2 = 0 ,

a (a – c) (b + c)2 + ab (b + c)2 + c (a – c) (a + b)2 – bc (a + b)2 = 0 ,

(a – c) (a (b + c)2 + c (a + b)2) + (ab (b + c)2 – bc (a + b)2) = 0 ,

(a – c) (b2(a + c) + ac (a + c) + 4abc) + b3(a – c) – abc (a – c) = 0 ,

(a – c) ((a + c) (b2 + ab) + 3abc + b3) = 0 , 

откуда

a – c = 0

и, следовательно,

а = с,

что и требовалось доказать.

 

P. S.

1. Ещё с одним прямым доказательством теоремы Штейнера – Лемуса можно познакомиться на сайте Математика, которая мне нравится.

2. В советской и российской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников:

если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

Использованные источники: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер “Новые встречи с геометрией” (Москва, “Наука” ГРФМЛ, 1978) и Википедия.

 

  <<< Назад

 

Дополнительные главы геометрии. 8 класс: О курсе

Курс ориентирован на слушателей, владеющих школьной программой 8 класса по геометрии. Учащиеся познакомятся с яркими геометрическими сюжетами, систематизируют теоретические знания, научатся решать задачи повышенной сложности.

Курс поможет школьникам не только на уроках геометрии в школе, но и позволит успешнее выступать на олимпиадах, а учителям математики — лучше понять аспекты теории и задачные акценты, примыкающие к школьной программе и характерные для математических олимпиад, использовать задачную базу курса на занятиях в школе.

Курс состоит из 14 обязательных и 5 лекционных модулей, 50 видеолекций с конспектами, 290 обязательных упражнений и факультативных задач для самостоятельного решения.

Учебные модули

– Вписанные углы
 – Теорема Штейнера-Лемуса
– Перекладывание площадей
– Площадь треугольника
– Формула Пика
– Луночки Гиппократа
– Подобие и теорема Фалеса
– Теоремы Чевы и Менелая
– Теорема Пифагора
– Теорема Карно

– Вписанные окружности
– Касательные к окружности
– Геометрические построения
– Пересечение биссектрис и высот
– Дополнительные построения
– Дополнительные построения. Движения
– Вспомогательные квадраты
– Изопериметрическая задача
– Сети Штейнера

Внутри каждого модуля есть:

– видео с кратким конспектом, где обсуждается теория и разбираются примеры решения задач,
– упражнения с автоматической проверкой, позволяющие понять, как усвоена теория,
– задачи для самостоятельного решения, которые не учитываются в прогрессе и не идут в зачет по модулю, но позволяют качественно повысить свой уровень. 

В каждом разделе есть ответы на популярные вопросы, где можно уточнить свое понимание теории или условия задачи, но нельзя получить подсказки по решению.

По итогам обучения выдается электронный сертификат. Для его получения необходим зачет по всем учебным модулям, кроме лекционных. Условие получения зачета по модулю — успешное выполнение не менее 70% упражнений. Сертификаты могут учитываться при отборе на очные программы по направлению «Наука».

Если ученик не успеет получить зачет по отдельным модулям, то он не сможет получить сертификат, но сможет возобновить обучение, когда курс стартует в следующий раз. При этом выполнять пройденные модули заново не потребуется (но может быть предложено, если соответствующие учебные материалы обновятся).

В следующий раз курс будет открыт весной 2021 года.

Формула Штейнера для оценок Минковского

Adv Math (NY). 20 июня 2012 г .; 230(3): 978–994.

Лука Парапатиц

A Университет Зальцбурга, Hellbrunner Strasse 34, 5020 Зальцбург, Австрия

Franz E. Schuster

B Венский университет технологии, Wiedner Hauptstrasse 8-10, 1040 Вена, Австрия

a University of Salzburg, Hellbrunner Strasse 34, 5020 Salzburg, Austria

b Vienna University of Technology, Wiedner Hauptstrasse 8–10, 1040 Vienna, Austria

Поступила в редакцию 4 февраля 2011 г.; Принято 14 марта 2012 г.

Abstract

Установлена ​​формула типа Штейнера для непрерывных трансляционно-инвариантных оценок Минковского. В сочетании с недавним результатом о симметрии однородных биоценок, инвариантных к твердому движению, эта новая формула типа Штейнера используется для получения семейства неравенств типа Брунна – Минковского для жесткого движения, переплетающих оценки Минковского.

Ключевые слова: формула Штейнера, оценка, неравенство Брунна–Минковского

1. Введение

Знаменитая формула Штейнера, датируемая XIX веком, выражает объем параллельного множества выпуклого тела K на расстоянии r ≥ 0 как многочлен от r .С точностью до констант (в зависимости от размерности объемлющего пространства) коэффициенты этого многочлена являются собственными объемами K . Формула Штейнера — один из самых влиятельных результатов первых дней выпуклой геометрии. Ее разветвления и множество приложений можно найти даже сегодня в нескольких областях математики, таких как дифференциальная геометрия (начиная с формулы трубы Вейля [65] ; более свежие результаты см., например, [14,20] ), геометрическая теория меры (возвращаясь к фундаментальной работе Федерера о мерах кривизны [13] ; см. также [15,16,53,51] ), выпуклой и стохастической геометрии (см.грамм. [28,54,56] ), геометрический функциональный анализ (см. [11,12] ), а в последнее время также в алгебраической геометрии (см. [27,62] ).

В евклидовом пространстве ℝ n параллельный набор K на расстоянии r равен сумме K и евклидова шара радиуса r . Фундаментальным расширением классической формулы Штейнера является теорема Минковского о полиномиальном разложении объема суммы Минковского нескольких выпуклых тел, ведущая к теории смешанных объемов (см.грамм. [54] ). Совсем недавно Макмаллен [47] (а позже, независимо, Мейер [48] и Шпигель [61] ) установили существование подобного полиномиального разложения для функций на выпуклых телах, которые являются значительно более общими, чем обычные объем, а именно инвариант непрерывного перевода (действительно оцененный) оценок .

Истоки понятия оценки (точное определение см. в разделе 2) можно проследить до решения Деном Третьей проблемы Гильберта.Однако отправной точкой для систематического исследования общих оценок была фундаментальная характеристика Хадвигером [26] линейных комбинаций собственных объемов как непрерывных оценок, которые являются жесткими инвариантами движения (см. [1,2,6,38] для последних важных вариантов). Глубокий результат Макмаллена [47] о полиномиальном разложении трансляционно-инвариантных оценок является одним из основополагающих вкладов в структурную теорию пространства трансляционно-инвариантных оценок, которая быстро развивалась в течение последнего десятилетия (см. [2,3,5 ,9,17] ).Эти недавние структурные идеи, в свою очередь, предоставили средства для более полного понимания интегральной геометрии групп, действующих транзитивно на сфере (см., например, [3,6,7,10] и обзор [8] ).

В то время как классические результаты оценок были в основном связаны с действительными и тензорными оценками, совсем недавнее развитие исследует тесные связи между выпуклыми телами оценок и изопериметрическими и связанными с ними неравенствами (см. [4,25,36,59] ).Это новое направление исследований уходит своими корнями в работу Людвига [32–35] , который впервые получил классификации выпуклых и звездозначных оценок, совместимых с линейными преобразованиями (см. также [21–24,37,49, 60,64] ). В этой области остается большой открытым вопрос о том, возможно ли также полиномиальное разложение трансляционно-инвариантных выпуклых объемнозначных оценок (подробности см. в разделе 2).

В этой статье мы устанавливаем формулу типа Штейнера для инварианта непрерывного переноса оценок Минковского (т.е. нормирования, принимающие значения в топологической полугруппе выпуклых тел, снабженной сложением Минковского). На самом деле, мы получаем более общую формулу полиномиального разложения для инвариантных к сдвигу оценок Минковского, когда аргументы являются суммами Минковского зоноидов. Это частично следует из связи между оценками Минковского и положительными скалярными оценками. Наша новая формула типа Штейнера приводит к оператору Лефшеца на оценках Минковского, который мы используем вместе с недавним результатом о симметрии твердого движения, переплетающем однородные биоценки [4] , чтобы получить семейство неравенств типа Брунна–Минковского для собственных объемов жесткого движения, переплетающего оценки Минковского. Эти новые неравенства обобщают ряд предыдущих частичных результатов [4,43,57,59] .

2. Заявление основных результатов

Настройка для этой статьи N -Dimence Euclidean Space ℝ N с N ≥ 3. Обозначим через 𝒦 N пространство выпуклых тел in ℝ n наделен метрикой Хаусдорфа. Функция Φ Определена на 𝒦 N N и принимать значения в абелевой полугруппе, называется оценка , если

Φ ( K ) + Φ ( л ) = φ ( K L ) + Φ ( K L )

Всякий раз, когда K L ∈ 𝒦 N .Оценка φ , называется перевод на перевод , если φ ( K + x ) = Φ ( k ) для всех x ∈ ℝ и K  ∈ 𝒦 n .

Самая известная реальная стоимостная оценка — это, конечно, обычный объем V n . Фактически, свойство оценки объема переносится на ряд основных функций, которые выводятся из него: Согласно классическому результату Минковского, объем линейной комбинации Минковского (или вектора) λ 1 K 1 + ⋯ + Λ M K M M M K 1 , …, K M ∈ 𝒦 N с реальным Коэффициенты λ λ 1 , …, λ м ≥ 0 могут быть выражены в виде однородного многочлена степени N ,

Vn (λ1k1 + ⋯ + λmkm) = σj1, …, jn = 1mV(Kj1,…,Kjn)λj1⋯λjn,

(2.1)

Где коэффициенты V ( K j 1 , …, K

5 J N ), называемый Смешанные тома из K J J 1 , . .., K J

5 N , симметричны в индексах и зависят от K J 1 j , …, K j n .Теперь, если I ∈ {1, …, N } и AN ( N I ) -Tuple L 1 , …, L N I Выпуклых тел фиксированы, то функция Φ : 𝒦 N → ℝ, определенные Φ ( K ) = k ( K , …, K , l 1 , …,  L n i ), представляет собой непрерывную трансляционно-инвариантную оценку (см.грамм. [54] ).

В очень влиятельной статье Алескер [2] показал (тем самым подтвердив гипотезу Макмаллена), что на самом деле каждая непрерывная трансляционно-инвариантная действительнозначная оценка является пределом линейных комбинаций смешанных объемов. Одним из важнейших компонентов доказательства знаменательного результата Алескера является следующее существенное обобщение полиномиального разложения (2.1):

Теорема 1
Макмаллена
[47] х — топологическое векторное пространство.Предположим, что φ :𝒦 n  →  X является оценкой инварианта непрерывного перевода, и пусть . Потом

Φ ( λ 9003 1 K 1 + ⋯ + λ M K M M ), λ 1 , …, λ m ≥ 0,

можно выразить полиномом от λ 1 , …,  λ m суммарного градуса не более п .При этом на каждые ( i 1 , …,  i m ) , коэффициент λ1i1⋯λmim — непрерывный трансляционный инвариант и однородная оценка степени и и в К j .

В качестве частного случая теоремы 1 отметим следующее расширение классической формулы Штейнера для объема (см. раздел 5): 0,

φ(K+rBn)=∑j=0nrn−jφ(j)(K),

(2.2)

, где функции коэффициента φ ( j ) : 𝒦 N x , 0 ≤ j N N , определенные by (2.2), являются непрерывно-инвариантным переводом оценки. Ясно, что φ ( n ) = φ .

Определение

Карта Φ : 𝒦 N N → 𝒦 N называется Minkowski оценка IF

Φ ( K ) + Φ ( л ) = φ ( K L ) + φ ( k l ),

всякий раз, K , L , K L ∈ 𝒦 N и дополнение на 𝒦 n . добавление Минковского.

Хотя первые результаты оценок Минковского были получены в 1970-х годах Шнайдером [52] , они стали объектом повышенного интереса (и получили свое название) совсем недавно благодаря работе Людвига [32,34] . Там было показано, что такие центральные понятия, как операторы проекции, центроида и разностного тела, могут быть охарактеризованы как уникальные оценки Минковского, совместимые с аффинными преобразованиями ℝ n (см. соответствующие результаты).

Поскольку пространство выпуклых тел 𝒦 n не имеет линейной структуры, важным открытым вопросом (ср. [59] ) является формула типа Штейнера (2.2) или даже , также справедливы для непрерывных трансляционно-инвариантных оценок Минковского. В качестве нашего основного результата мы устанавливаем утвердительный ответ на первый вопрос:

Теорема 2

Предположим, что Φ :𝒦 n  → 𝒦 n является непрерывным инвариантом сдвига оценки Минковского и пусть K  ∈ 𝒦 n . Затем Φ ( K + r B n ), r ≥ 0 , может быть выражено как многочлен от 90 р степени не более п , коэффициенты которых являются выпуклыми телами, скажем,

Φ(K+rBn)=∑j=0nrn−jΦ(j)(K).

(2.3)

Кроме того, карты Φ ( j ) : 𝒦 N → 𝒦 N , 0 ≤ j N , определенные на (2.3) , также являются непрерывными трансляционно-инвариантными нормами Минковского.

В доказательстве теоремы 2 критически используется вложение Клайна [31] инвариантных трансляций непрерывных четных (вещественных) оценок в пространстве непрерывных функций на грассманиане. На самом деле наше доказательство дает более сильный результат, чем Теорема 2 , см. Следствие 4.3 , где евклидов единичный шар B n в (2. 3) можно заменить произвольным зоноидом (т. е. хаусдорфовым пределом конечных сумм Минковского отрезков). Кроме того, в теореме 4.4 мы получаем формулу полиномиального разложения для непрерывных трансляционно-инвариантных нормирований Минковского, когда слагаемые являются зоноидами. Совсем недавно, в процессе рецензирования этой статьи, Ваннерер и первый автор [50] показали, что полиномиальное разложение (аналогично Теореме 1 ) непрерывных трансляционно-инвариантных оценок Минковского в общем случае , а не возможно.

Частный случай Теорема 2 был ранее получен вторым автором [58] , когда оценка Минковского Φ дополнительно равна SO( n ) эквивалентен и имеет степень N – 1, т.е. Φ ( θ k ) = θ Φ ( K ) и φ ( λ k ) = λ N -1 Φ ( k ) Для каждого k ∈ 𝒦 N , θ ∈ Afl ( N ) и Real λ > 0. В качестве приложения этого частного случая теоремы 2 массив геометрических неравенств для собственных объемов V i из производных оценок Минковского Φ

степени j j  – 1) был получен в [57] . В частности, был установлен следующие неравенство типа Брунн-Минковского типа: если K , L ∈ 𝒦 N и 3 ≤ J N , 1 ≤ I N , затем

V I

8 ( Φ ( J ) ( K + L )) 1/ I ( J -1) v I ( Φ ( J ) ( K )) 1/ I ( J -1) + V I ( Φ j ) ( L )) 1/ i ( j −1) .

(2.4)

В [57] также показано, что если Φ является нетривиальным , т. е. не отображает каждое выпуклое тело в начало координат, то равенство в (2.4) выполняется для выпуклых тел K и L с непустой внутренней частью тогда и только тогда, когда они гомотетичны.

Семейство неравенств (2.4) одновременно расширило ранее установленные неравенства Лютвака для проекционных тел [43] и знаменитые классические неравенства Брунна–Минковского для собственных объемов (см.грамм. [54] и отличный обзор [18] ). Мы предполагаем, что неравенство (2.4) на самом деле выполняется для всех непрерывных трансляционно-инвариантных и SO( n ) эквивариантных нормирований Минковского заданной произвольной степени j  ∈ {2, …,  n  − 1}.

Недавно, уточнив методы из оригинальной работы Лютвака [43] , эта гипотеза была подтверждена в случае i = j + 1, сначала для четных оценок в [59] , а затем для общего оценки в [4] .В качестве приложения Теоремы 2 мы распространяем эти результаты на случай 1 ≤ i j + 1.

Теорема 3

Предположим, что Φ j :𝒦 n  → 𝒦 n является нетривиальным инвариантом непрерывного перевода8 и 9003 ТАК( п ) эквивариантная оценка Минковского данной степени j  ∈ {2, …,  n  − 1} . Если K , L  ∈ 𝒦 n и 1 ≤ I J + 1 , затем

V I

8 ( Φ J ( K + L )) 1/ I J V I ( Φ

5 J ( K )) 1/ I J + V I ( φ j ( L )) 1/ i j .

Если К и л относятся к классу C+2 , тогда равенство выполняется тогда и только тогда, когда К и л являются гомотетическими.

Доказательство теоремы 3 также использует недавний результат о симметрии инвариантных к движению однородных биоценок, которые мы описываем в разделе 6. Для обсуждения предположения о гладкости мы отсылаем к разделу 7.

3.Исходный материал для доказательства теоремы

 2

В этом разделе мы сначала напомним некоторые основные сведения о выпуклых телах и, в частности, о зоноидах (см., например, [54] ). Кроме того, мы собираем результаты инвариантных к переводу (в основном вещественных) оценок, необходимых в последующих разделах. В частности, напомним важное вложение Клейна [31] четных трансляционно-инвариантных непрерывных нормирований в пространство непрерывных функций на грассманиане.

выпуклое тело K ∈ 𝒦 N однозначно определяется значениями его поддержки H ( K , x ) = Max { x y : y  ∈  K },  x  ∈ ℝ n . Ясно, что h ( K , ⋅ ) положительно однородно первой степени и субаддитивно для каждого K  ∈ 𝒦 n . Обратно, каждая функция с этими свойствами является опорной функцией выпуклого тела.

Сумма Минковского конечного числа отрезков называется зонотопом. Выпуклое тело, которое можно аппроксимировать в метрике Хаусдорфа последовательностью зонотопов, называется зоноидом . За последние четыре десятилетия стало очевидным, что зоноиды возникают естественным образом в нескольких различных контекстах (см., например, [54, глава 3.5] и ссылки в нем). Несложно показать, что выпуклое тело K  ∈ 𝒦 n является зоноидом с центром в начале координат тогда и только тогда, когда его опорная функция может быть представлена ​​в виде

h ( K

, x ) = ∫ S n −1 | x ⋅  и | D μ K K ( u ), x ∈ ℝ
N
,

7 N ,

с некоторыми даже негативными) мерами μ K на S п -1 . В этом случае мера μ K уникальна и называется порождающей мерой из K .

Обозначим через V al векторное пространство непрерывного инварианта сдвига вещественных значений оценок и используем V al i для обозначения его подпространства всех оценок степени i . Напомним, что карта Φ из 𝒦 N N до ℝ (или 𝒦 N ), как говорят, имеет степень I , если Φ ( λ K ) = λ i φ ( K ) для каждого K  ∈ 𝒦 n и λ  > 0.Оценка Φ ∈ V Al называется даже (соответственно нечетным), если φ (- φ ) = (-1) ε Φ ( K ) с ε = 0 (соответственно ε = 1) для каждого K  ∈ 𝒦 n . Мы пишем V ali+⊆V ali для подпространства четных нормирований степени i и V ali− для подпространства нечетных нормирований степени i .

из важных особого случая M = 1 из Теорема 1 , мы выводим, что если Φ ∈ V Al, то существуют (уникальные) Φ I ∈ V AL I , 0 ≤ I N N , такая, что

φ ( λ φ ) = φ 9005 0 ( K ) + λ Φ 1 ( K ) +  ⋯  +  λ n φ n ( K )

31)

для каждого K  ∈ 𝒦 n и λ  > 0. Фактически, простой индуктивный аргумент показывает, что (3.1) эквивалентно Теорема 1 . Поскольку, очевидно, каждая вещественная оценка является суммой четной и нечетной оценки, мы немедленно получаем следующее следствие, известное как Макмалленовское разложение пространства V al:

Следствие 3.1

V al=⨁i=0n( V али+⊕V али−).

Легко показать, что пространство V al 0 одномерно и натянуто на эйлерову характеристику V 0 . Аналогичное нетривиальное утверждение для V al n было доказано Хадвигером [26, с. 79] :

Лемма 3.2

Если φ  ∈ V al n , затем ф кратно обычному объему В п .

Предположим, что Φ ∈ V AL ∈ V AL I с 1 ≤ I N – 1. Если K 1 , …, K M ∈ 𝒦 N N и λ и λ 1 , …, λ m m > 0, затем, на Теорема 1 ,

Φ (λ1k1 + ⋯ + λmkm) = σj1, …, Ji = 1mφ (KJ1, …, KJI) λj1 ⋯ λ λji,

Где коэффициенты симметричны в индексах и зависят только на K J 1 9008 , …, K J я .Более того, коэффициент λ1i1 ⋯ λmim, где I 1 + ⋯ + I M = I , является непрерывный перевод инвариантной оценки степени I J в K j , называемая смешанной оценкой , полученной из φ . Ясно, что мы имеем φ ( K , …,  K ) =  φ ( K ).

Обратимся теперь к оценкам Минковского.Пусть MV al обозначает множество непрерывных трансляционно-инвариантных оценок Минковского, а MV ali± обозначает его подмножество всех четных/нечетных оценок Минковского степени i .

Из Леммы 3.2 и частного случая m = 1 из Теорема 1 , применяемая к нормированиям со значениями в векторном пространстве S n −1 , можно вывести следующий результат разложения (ср. [55, с. 12] ):

Лемма 3.3

Если Φ  ∈ MV al , тогда для каждого K  ∈ 𝒦 n , существуют выпуклые тела L L 0 , L N ∈ 𝒦 N N Такие, что

H (φ (k), ⋅) = h (l0, ⋅) + σi = 1n– 1gi(K,⋅)+V(K)h(Ln,⋅),

(3. 2)

где для каждого i  ∈ {1, …,  n  − 1} :

  • (i)

    Функция г i ( K ,  ⋅ ) – это разница вспомогательных функций.

  • (ii)

    Карта K  ↦  г i ( K ,  ⋅ ) – это инвариантная оценка непрерывного перевода степени . я .

Натуральный вопрос будь то для каждого K ∈ 𝒦 N , каждая функция г I ( K ( K , ⋅) – функция поддержки выпуклого тела эквивалентна следующая проблема.

Задача 3.4

Пусть Φ  ∈ MV al и K  ∈ 𝒦 n . Существуют ли выпуклые тела L 0 , Φ 1 ( k ), …, Φ N -1 ( K ), L N ∈4 𝒦 N N таких, что

Φ ( λ K ) = L 9005 0 + λ φ 1 ( K ) + ⋯ + λ N -1 -1 Φ N -1 ( K ) + λ N N V ( K ) L N

(3 . 3)

на каждые λ  > 0?

В процессе рецензирования этой статьи Ваннерер и первый автор [50] показали, что ответ на задачу  3.4 в целом отрицательный. Однако в следующем разделе мы покажем, что (3.3) выполняется для любых Φ  ∈ MV al и λ  > 0, если тело K является зоноидом. Ключевым компонентом в доказательстве этого результата является вложение K i Val+ в пространство C (Gr i ) непрерывных функций на грассманиане Gr i i -мерных подпространств в ℝ n , построенных Клайном [31] :

Предположим, что φ∈V ali+,1≤i≤n−1.Тогда, на лемма 3.2 , ограничение φ к любому подпространству E ∈ GR I I пропорциональна I -Dimence Volume Vol E на E , скажем,

Непрерывная функция K i φ :Gr i  → ℝ, определенная таким образом, называется функцией Клайна φ 3 8 . Индуцированное отображение

называется вложением Клайна .

Теорема 3.5
Клейна
[31]

Вложение Клайна инъективно.

Теорема 3.5 следует из объемной характеристики Клейна [30] . Однако обратите внимание, что карта K i не соответствует; его образ был описан в терминах разложения под действием группы SO( n ) Алескером и Бернштейном [5] .

На естественный вопрос, как восстановить нормирование φ∈V ali+ по его функции Клейна K i φ , ответил Клейн [31] для центрально-симметричных выпуклых множеств.Поскольку нам нужна формула обращения Клейна только для зоноидов, мы сформулируем именно этот частный случай. К этому концу, мы обозначаем со [ u u u , …, u i ] I -Dimence Объем параллелотопа Спадин на U 1 , . .., U i  ∈  S n −1 .

Теорема 3.6
Клейн
[31]

Предположим, что φ∈V ali+ с 1 ≤ i n  − 1 .Если Z 1 , …,  Z i  ∈ 𝒦 n являются зоноидами с производящими мерами μ Z Z 1 , …, μ Z 9002 I I , затем

φ (z1, …, Zi) = 1i! ∫sn-1 ⋯ ∫ Sn−1(K¯iφ)(u1,…,ui)[u1,…,ui]dµZ1(u1)⋯dµZi(ui),

, где

(K¯iφ)(u1,…,ui )={(Kiφ)(span{u1,…,ui}), если [u1,…,ui]>0,0, иначе  .

В частности, для любого зоноида Z  ∈ 𝒦 n , имеем

φ(Z)=1i!∫Sn−1⋯∫Sn−1(K¯iφ)(u1,…,ui)[u1,…, ui]dµZ(u1)⋯dµZ(ui).

Прежде чем мы сможем представить доказательство Теоремы 2 , нам понадобится следующий вспомогательный результат.

Лемма 4.1

Для K  ∈ 𝒦 n следующие операторы эквивалентны:

  • (a)

    φ  ∈ V al , его однородные компоненты φ i удовлетворить φ i ( К ) ≥ 0 для 0 ≤ i n .

  • (б)

    Для каждого Φ  ∈ MV al , существует L 0 L n  ∈ 𝒦 n (зависит только от Ф ) и Φ Φ 1 ( K ), …, Φ N -1 N -1 ( K ) ∈ 𝒦 N N Так что (3.3) проводится на каждые λ  > 0 .

Доказательство

Пусть K ∈ 𝒦 N N Быть фиксированным и первым предположить, что Φ I ( K ) ≥ 0, 0 ≤ I N , для однородные компоненты φ i любого неотрицательного φ  ∈ V al. Предположим, что Φ  ∈ MV al. Затем на лемме 3.3 , для каждого л ∈ 𝒦 N , есть выпуклые тела , 9005 0 , N N ∈ 𝒦 N и непрерывные функции г i ( L , ⋅ ) такие, что

h(Φ(λL),⋅)=h(L0,⋅)+∑i=1n−1λigi(L,⋅)+λnV( L)h(Ln,⋅)

(4.1)

для любых λ  > 0. Для доказательства (b) осталось показать, что для каждого i  ∈ {1, …,  n  − 1} функция g i ( K ,  ⋅ ) — опорная функция выпуклого тела Φ i ( K ). С лемма 3.3 , функции G г I ( K , ⋅) положительно однородны из степени, доказано, что

G I ( K , x + Y ) ≤ G G I ( K , x ) + G I ( K , Y )

(4 . 2)

для каждых x , y  ∈ ℝ n и i ∈ {1, …, n  − 1}. С этой целью Fix x , y ∈ ℝ n и определяют ∈ V Al на

8 ( л ) = H ( φ ( л ), x ) + h ( φ ( л ), y ) – h ( φ ( л ), x + y ), l ∈ 𝒦 n .

Поскольку опорные функции сублинейны, ψ неотрицательно. Более того, by (4.1), однородные компоненты ψ I 9008, 1 ≤ I N – 1, ψ задаются

ψ I ( L ) = G

5 I ( L , x ) + G I

8 ( L , Y ) – G I ( L , x + y ).

Поскольку ψ i ( K ) ≥ 0 при 0 ≤ i n , получаем (4. 2). Таким образом, из (а) следует (б).

Теперь предположим, что выполняется (b). Предположим, что φ  ∈ V al неотрицательно, и пусть φ i , 0 ≤ i n обозначают его однородные компоненты. Определить оценку Minkowski Φ ∈ MV Al на

8 ∈ MV AL на

8 ( л ) = Φ ( л ) B N , L ∈ 𝒦 N .

Поскольку φ ≥ 0, оценка Φ корректно определена. Используя (3.1), легко увидеть, что, с одной стороны,

H ( φ ( λ K ), ⋅) = Φ 0 ( K ) + λ Φ Φ 1 ( K ) + ⋯ + λ N N Φ N ( K )

(4.3)

для каждого λ > 0.С другой стороны, это следует из (b), что там существует л 0 , Φ 1

8 ( K ), . .., Φ N -1 ( K ) ,  L n  ∈ 𝒦 n такие, что

h(Φ(λK),⋅)=h(L0,⋅)+∑i=1n−1λih(Φ), )+λnV(K)h(Ln,⋅)

(4.4)

для каждого λ  > 0. Сравнение коэффициентов в (4.3) и (4.4) показывает, что φ 0 ( K ) = h ( l l

5 0 , ⋅), φ N ( K ) = V ( K ) H ( L N , ⋅) и φ φ I ( K ) = H ( Φ I ( K ( K ), ⋅) для 1 ≤ I N – 1.Это возможно, только если φ i ( K ) ≥ 0 для каждого i  ∈ {0, …,  n }. □

Лемма 4.1 показывает, что Задача 3.4 эквивалентна вопросу о том, являются ли однородные компоненты любого неотрицательного нормирования в V al также неотрицательными. (Результат последнего типа для монотонных оценок был недавно установлен Бернигом и Фу [10] .)

Используя Теорема 3.6 и Лемма 4.1 , установим теперь положительный ответ на Задачу 3.4 для класса зоноидов:

Теорема 4.2

Если Φ  ∈ MV al , тогда для каждого зоноида Z  ∈ 𝒦 n , существуют выпуклые тела L L 0 , φ 1 ( Z ), …, Φ N -1 N -1 L N ∈ 𝒦 N Такие, что

Φ ( λ Z ) = L 9005 0 + λ Φ 1 ( Z ) + ⋯ + λ N -1 -1 Φ N -1 ( Z ) + λ N V V ( Z ) L N

на каждые λ  > 0 .

Доказательство

на лемма 4.1 , достаточно, чтобы показать, что Φ I ( Z ) ≥ 0, 0 ≤ I N , для однородных компонентов Φ i любого неотрицательного φ  ∈ V al и каждого зоноида Z  ∈ 𝒦 n . С этой целью, первое обратите внимание, что, по (3.1), для любого K ∈ 𝒦 N ,

7 N
,

0 ≤ Φ ( λ K ) = Φ 0 ( K ) + λ Φ 1 ( K ) + ⋯ + λ N N Φ N ( K )

для каждого λ > 0.Устремляя λ к нулю, мы видим, что φ 0 всегда неотрицательно для любого неотрицательного φ  ∈ V al. Точно так же, разделив на λ n и устремив λ к бесконечности, получим, что φ n всегда неотрицательно.

Осталось показать, что Φ I 9008 ( Z ) ≥ 0, 1 ≤ I N – 1, для любого зоноида Z ∈ 𝒦 N .Чтобы убедиться в этом, пусть K  ∈ 𝒦 n — центрально-симметричное выпуклое тело, содержащееся в i -мерном подпространстве E с объемом E 8 ( K >0 038 8 . По лемме 3.2 имеем ψ ( K ) = 0 для любого ψ  ∈ V al j с j 03> 8 90. Следовательно, следует, что для любого неотрицательного φ ∈ V Al,

0 ≤ Φ ( λ K ) = Φ 9005 0 ( K ) + λ φ 1 ( K ) + ⋯ + λ I -1 Φ I -1 ( K ) + λ I Φ i ( K )

для каждого λ  > 0. Снова разделив на λ i и устремив λ к бесконечности, мы получим, что φ i i ( K 0 ) φ и соответственно. Поскольку K центрально-симметричен, заключаем, что φi−(K)=0 и

0≤φi(K)=φi+(K)=(Kiφi+)(E)volE(K).

Поскольку подпространство E было произвольным, мы видим, что Kiφi+≥0. Следовательно, по теореме 3.6 , φi+(Z)≥0 для любого зоноида Z  ∈ 𝒦 n . Более того, поскольку зоноиды центрально-симметричны, мы имеем φi−(Z)=0, а значит, φi(Z)=φi+(Z)≥0. □

Теорема 2 теперь является простым следствием Теоремы 4.2 . Это частный случай Z B n следующего:

Следствие 4.3

Предположим, что Φ  ∈ MV al и пусть K  ∈ 𝒦 n . Тогда для каждого зоноида Z  ∈ 𝒦 n существует (уникальный) ΦZ(j)∈MV al такое, что

Φ(K+rZ)=∑j=0nrn−jΦZ(j)(K)

(4.5)

для каждого r  > 0 .

Доказательство

Пусть K ∈ 𝒦 N Be фиксированных и определить K : 𝒦 → 𝒦 N на

7

ψ K ( L ) = Φ ( K + L ), L  ∈ 𝒦 n .

Легко видеть, что на самом деле Ψ K  ∈ MV al. Таким образом, по теореме 4.2 для каждого зоноида Z существуют Ψ0K(Z),…,ΨnK(Z)∈Kn такие, что

Φ(K+rZ)=ΨK(rZ)=Ψ0K(Z) +rΨ1K(Z)+⋯+rn−1Ψn−1K(Z)+rnΨnK(Z)

для каждого r  > 0. Определим ΦZ(j):Kn→Kn по

ΦZ(j)(L) =Ψn−jL(Z),L∈Kn.

Ясно, что отображения ΦZ(j) удовлетворяют (4. 5). Более того, из применения формулы Штейнера (2.2) к оценке φ ( K ) = h ( Φ ( K ),  ⋅ ) (со значениями в векторном пространстве C ( S n −1 )) и единственности полученных оценок φ ( j ) , следует, что ΦZ(j)∈MV al.□

Мы заканчиваем этот раздел дальнейшим обобщением Теоремы 4.2 .

Теорема 4.4

Предположим, что Φ  ∈ MV al и пусть Z 1 , …,  Z m  ∈ 𝒦 n – зоноиды. Потом

Φ ( λ 9003 1 Z 1 + ⋯ + м м Z M M ), λ 1 , …, λ m ≥ 0,

можно выразить полиномом от λ 1 , …,  λ m суммарного градуса не более п , коэффициенты которого являются выпуклыми телами.

Доказательство

Использование аргументов как в доказательстве лемма 4.1 , мы видим, что достаточно доказать, что Φ I ( Z J 1 , …, Z J J I I ) ≥ 0, 1 ≤ J J j I m , удерживает для смешанных оценок, полученных из любых неотрицательных оценка φ i  ∈ V al i с 1 ≤ i n  − 1.Для этого обозначим через φi± четную и нечетную части числа φ i соответственно. При доказательстве теоремы 4.2 мы видели, что Kiφi+≥0. Следовательно, по теореме 3.6 φi+(Zj1,…,Zji)≥0. Более того, поскольку зоноиды центрально-симметричны, имеем φi−(Zj1,…,Zji)=0. Таким образом, заключаем, что φi(Zj1,…,Zji)=φi+(Zj1,…,Zji)≥0. □

5.

 Исходный материал для доказательства теоремы  3

Для быстрой справки мы сформулируем ниже геометрические неравенства (за которыми мы отсылаем читателя к книге Шнайдера  [54] ) и другие ингредиенты необходимо для доказательства Теоремы 3 .

для K , L ∈ 𝒦 N и 0 ≤ I N , мы пишем V ( K [ I ], N [ N −  i ]) для смешанного тома с i экземпляров K и n  −  i экземпляров L . Для K , K , K K K , K I 9008 ∈ 𝒦 N и C = ( K 1 , …, K I ), обозначим V I ( K , C ) Смешанный том V ( K , …, K , K 1 , . .., K i ), где K появляется n  −  i раз.Для 0 ≤ I N – 1, мы используем – 1, мы используем W

5 I ( K , л ) для обозначения смешанного тома V ( K [ N i  − 1],  B n [ i ],  L ). Смешанный том W I ( K , K ) будет записан как W

5 I 9008 ( K ) и называется I Th Quermassintegral из К . i й внутренний объем V V I I 9008 ( K ) K определяют

κn-ivi (k) = (ni) wn-i (k),

(5.1)

где κ м – это м -мерный объем евклидова единичного шара в ℝ м . Частным случаем (2. 1) является классическая формула Штейнера для объема параллельного множества K на расстоянии r  > 0,

V(K+rBn)=∑i=0nriniWi(K)= ∑i=0nrn−iκn−iVi(K).

, связанные с выпуклом корпусом K ∈ 𝒦 N N – это семейство борелей S I ( K , ⋅), 0 ≤ I N – 1 , на S n −1 , именуемый мерами площади порядка i из K , такие что для каждого L  ∈ 𝒦 n ,

Wn−1−i(K,L)=1n∫Sn−1h(L,u)dSi(K, у).

(5.2)

На самом деле мера S i ( K ,  ⋅ ) однозначно определяется тем свойством, что (5.2) выполняется для всех L  ∈ 𝒦

7 90. Существование полиномиального разложения инвариантной оценки перевода W n −1− i ( ⋅ , L ), таким образом, переносится на меры площади поверхности. В частности, для r  > 0 имеем формулу типа Штейнера

Sj(K+rBn,⋅)=∑i=0jrj−ijiSi(K,⋅).

(5.3)

Обозначим через Kon множество выпуклых тел в ℝ n с непустой внутренностью. Одним из фундаментальных неравенств для смешанных объемов является общее неравенство Минковского: если K,L∈Kon и 0 ≤ i n  − 2, то L ) N I I W I ( K ) N I -1 W I ( л ) ,

(5.4)

с равенством тогда и только тогда, когда K и L гомотетичны.

Следствием неравенства Минковского (5.4) является неравенство Брунна-Минковского для qermassintegrals: Если K,L∈Kon и 0 ≤ i n  − 2, то

W ( K + L ) 1 / ( N I ) W 9003 I ( K ) 1 / ( N I ) + W i ( L ) 1/( n i ) ,

(5. 5)

с равенством тогда и только тогда, когда K и L гомотетичны.

Дальнейшее обобщение неравенства (5.5) (где условия равенства еще не известны) состоит в следующем: Если 0 ≤ i n − − 2, K , L , K 8 1 , …, K I ∈ 𝒦 N и C и C и C = ( K K I ), затем

V i ( K + L , C ) 1 / ( N I ) V I ( K , C ) 1 / ( N I ) + V + V

5 I ( л , C ) 1 / ( N I ) .

(5.6)

Точка Штейнера S ( K ) K ∈ 𝒦 N – это точка в K , определяется

S ( K ) = N S N N N -1 -1 h ( k , u ) u d u ,

, где интеграция относится к измерению вероятностной вероятности вращения на S N – 1 . Нетрудно показать, что s является непрерывным, жестким эквивариантным движением и аддитивным по Минковскому.

Теорема 5.1
См., например,
[54, с. 307]

Карта точек Штайнера s :𝒦 n  → ℝ n — уникальная векторнозначная жесткая эквивариантность движения и непрерывная оценка.

Выпуклое тело K называется классом C+2, если граница K является C 2 подмногообразием ℝ n кривизны с всюду положительной гаувизианом.Полезным будет следующее свойство тел класса С+2 (см. [54, с. 150] ):

Лемма 5.2

Если K  ∈ 𝒦 n — выпуклое тело класса C+2 , то существует выпуклое тело L  ∈ 𝒦 n и действительное число р  > 0 такое, что K = L + r B n .

В оставшейся части этого раздела мы напоминаем понятие гладких нормирований, а также определение важного оператора дифференцирования в пространстве V al, которое понадобится в следующем разделе. Для этого сначала снабдим пространство V al нормой

φ ‖ = sup{| φ ( K )|: K B n }, φ  ∈ V al.

Хорошо известно, что V al таким образом становится банаховым пространством.Группа GL ( N ) действует на V AL постоянно на

( A Φ ) ( k ) = φ ( A -1 K ), A ∈ GL( n ), φ  ∈ V al.

Заметим, что подпространства V ali±⊆V al инвариантны относительно этого действия GL( n ). На самом деле они также неприводимы. Этот важный факт был установлен Алескером [2] ; из него прямо следует гипотеза Макмаллена о том, что линейные комбинации смешанных объемов плотны в V al. Другое плотное подмножество V al можно определить следующим образом. бесконечно дифференцируемо.

Мы используем V al для обозначения пространства непрерывного инварианта сдвига и гладких нормирований. Для подпространств однородных нормирований заданной четности в V al будем писать V ali±,∞.Хорошо известно (ср. [63, с. 32] ), что Val±,∞ является плотным GL( n ) инвариантным подпространством в Val±. Более того, из следствия 3.1 следует, что пространство V al допускает разложение в прямую сумму на свои подпространства однородных нормирований заданной четности.

Формула Штейнера (2.2) приводит к важному оператору вывода Λ :V al → V al, определенному как

(Λφ)(K)=ddt|t=0φ(K+tBn).

Заметим, что Λ коммутирует с действием ортогональной группы O ( n ).Более того, если φ  ∈ V al i , то Λ φ  ∈ V al i −1 .

Значение линейного оператора Λ видно из следующей теоремы жесткого типа Лефшеца, установленной для четных оценок Алескером [3] и для общих оценок Бернигом и Брокером [9] :

Теорема 5.3

Если 2 i n , затем Λ2i−n:V ali∞→V aln−i∞ — изоморфизм.В частности, Λ:V ali∞→V ali−1∞ инъективно, если 2 i  − 1 ≥  n и сюръективно, если 2 i  − 1 ≤  n .

Теорема 5.3 предполагает, что (иногда) возможно вывести результаты оценок степени i из результатов оценок степени j  >  i . Мы воспользуемся этой идеей в доказательстве теоремы 3 . С этой целью мы используем Теорема 2 для определения оператора дифференциации Λ для трансляционно-инвариантных непрерывных норм Минковского:

Следствие 5.4

Предположим, что Φ  ∈ MV al . Тогда существует Λ Φ  ∈ MV al такое, что на каждые K  ∈ 𝒦 n и u  ∈  S n −1 ,

h((ΛΦ)(K),u)=ddt|t=0h(Φ(K+tBn),u).

Кроме того, если Φ  ∈ MV al i с 1 ≤ i n , затем Λ Φ  ∈ MV al i −1 .

Заметим, что теорема типа Лефшеца, подобная Теорема 5.3 означает, что , а не выполняется для множеств MV al i вообще. Это следует из результатов Кидерлена [29] и второго автора [58] о трансляционно-инвариантных и SO( n ) эквивариантных оценках Минковского степени 1 и n  – 1 соответственно.

6. Симметрия бивалютаций

Напомним здесь понятие бивалютаций и, в частности, недавний результат о симметрии инвариантных к движению однородных бивалютаций. В качестве справочного материала в этом разделе мы ссылаемся на недавнюю статью [4] .

Определение

Карта ϕ :𝒦 n  × 𝒦 n  → ℝ называется биоценкой ϕ , если каждый аргумент равен 80938, если . Биоценка ϕ называется биинвариантом трансляции , если ϕ инвариантна относительно независимых трансляций своих аргументов, а ϕ называется O ( n ). Инвариант Если Φ ( θ K , θ L ) = Φ ( K , l ) для всех K , L ∈ 𝒦 N и ϑ  ∈  O ( n ).Мы говорим, что ϕ имеет бистепеней ( I , J ) Если Φ ( α K , β L I I β J Φ ( K , л , л ) Для всех K , и ∈ 𝒦 и α , β > 0.

Важные примеры инвариантных бивалесов могут быть построены с использованием смешанных объемов и оценок Minkowski :

Примеры
  • (A)

    для 0 ≤ I N , биваляция Φ : 𝒦 N × 𝒦 N → ℝ, Определенные на

    φ ( K , L ) = V ( K [ k [ I ], N I ]), K , L ∈ 𝒦 N ,

    является биинвариантом трансляции и O ( n ) инвариантна и имеет бистепень ( i , n  −  i ).

  • (b)

    (b)

    Предположим, что 0 ≤ I , j N и пусть Φ J ∈ MV AL J o ( N ) Equivaniant , то есть Φ J ( θ K ) = θ φ Φ J ( K ) для всех K ∈ 𝒦 N N и ϑ  ∈  O ( n ). Тогда бивация ψ : 𝒦 N × 𝒦

    7 N → ℝ, Определен

    ψ ( K , L ) = W I -1 ( K , Φ , Φ

    J j K , L ∈ 𝒦 N ,

    – Биинвариант перевода и O ( n ) инвариантна и имеет бистепень ( i , j ).

Первые результаты классификации инвариантных бивалютаций были получены совсем недавно Людвигом [37] . Систематические исследования непрерывных трансляционных биинвариантных бивалуаций были начаты в [4] годах. Чтобы описать некоторые из полученных там результатов, пусть BV al обозначает векторное пространство всех непрерывных трансляционно биинвариантных (вещественнозначных) биоценок. Мы пишем BV al i , j для его подпространства всех биоценок бистепеней ( i , j ) и используем BV al O (n) для обозначения соответствующих подпространств O ( n ) инвариантных биоценок.

Из разложения Макмаллена пространства Val, сформулированного в Следствии 3.1 , немедленно выводится соответствующий результат для пространства BV al:

Оценки Минковского естественным образом возникают из данных о проекциях или сечениях выпуклых тел. Например, оператор тела проекции Π  ∈ MV al n −1 определяется следующим образом: Тело проекции π ( K ) K – выпуклый корпус, определяемый H ( π ( k ), u ) = Vol N -1 ( K | u ),  u  ∈ S n −1 , где K | u обозначает проекцию K на гиперплоскость, ортогональную u .Введенные еще Минковским, проекционные тела за последние десятилетия стали важным инструментом в нескольких областях (см., например, [25,39,43,45,54,56] ; об их особой роли в теории оценок см. ). [32,37,60] )

Чрезвычайно полезным и хорошо известным свойством симметрии оператора проекционного тела является следующее: ( π ( K ), L , …, L ) = V ( π ( л ), K , …, K ).

(6.1)

Варианты этого тождества и его обобщения широко использовались для установления геометрических неравенств, связанных с выпуклыми и звездозначными оценками (см., например, [19,21,25,36,39–43,45,44 ,46,57–59] ).

В [4] установлено следующее обобщение свойства симметрии (6.1):

Теорема 6.2

Если ϕ∈BV ali,iO(n),0≤i≤n , тогда

для каждого K L  ∈ 𝒦 n .

на м = 1, 2 Пусть Частичные операторы деривации λ M M : BV AL → BV AL Определяется (CF. Следствие 5.4 )

(λ1φ) (k, l )=ddt|t=0ϕ(K+tBn,L)

(6. 2)

и

(Λ2ϕ)(K,L)=ddt|t=0ϕ(K,L+tBn).

(6.3)

четко, если Φ ∈ BV AL I , J , затем λ 1 φ ∈ BV AL I -1, J и Λ 2 ϕ  ∈ BV al i , j −1 .

также определяют оператор T : BV AL → BV AL на

( T Φ ) ( k , л ) = Φ ( л , K ).

По теореме 6.2 ограничение T на BV ali,iO(n) действует как тождество. Таким образом, мы получаем следующее непосредственное следствие из Теорема 6.2 :

Следствие 6.3

Предположим, что 0 ≤ j n и 0 ≤ i j .Тогда следующая диаграмма коммутативна:

Доказательство

Предположим, что ϕ∈BV alj,jO(n),0≤j≤n, и пусть K L  ∈ 𝒦 n . Тогда, на Теорема 6.2 , у нас

Φ ( L , K + T B N ) = Φ ( K + T B n L )

за каждые т  > 0.Следовательно, по определениям (6.2) и (6.3) получаем

(TΛ2j−iϕ)(K,L)=(Λ1j−iϕ)(K,L).

В доказательстве Теоремы 3 мы неоднократно критически используем следующее следствие Следствие 6.3 :

Следствие 6.4

Пусть Φ j ∈ MV al j , 2 ≤ j n − 1 3 , be ТАК( п ) эквивалент. Если 1 ≤ i j + 1 , затем

Wn−i(K,Φj(L))=(i−1)!j!Wn−1−j(L,(Λj+1− iΦj)(K))

для каждого K L  ∈ 𝒦 n .

Доказательство

Прежде всего заметим, что любой SO( n ) эквивариант Φ  ∈ MV al также является O ( n ) эквивариантом (см. [4, лемма 7.1] ). Define φ∈BV alj, jo (n) на

Φ ( K , L ) = W N -1- J ( K , Φ j ( L )), K L  ∈ 𝒦 n .

Из (5.2) и (5.3), следует, что

Wn−i(K,Φj(L))=(i−1)!j!(Λ1j+1−iϕ)(K,L).

Таким образом, приложения следствий 5.4 и 6.3 завершают доказательство. □

7. Неравенства типа Брунна–Минковского

В этом заключительном разделе мы представляем доказательство теоремы 3 . Частные случаи этого результата для j = n − 1 были получены в в [4] и [59] .Условия равенства для тел класса C+2 являются новыми для j n  − 2.

Теорема 7.1

Пусть Φ j ∈ MV al j , 2 ≤ j n − 1 3 , be ТАК( п ) эквивариантных и нетривиальных. Если K , L  ∈ 𝒦 n и 1 ≤ I J + 1 , затем

W 9003 N I Φ ( Φ J ( K + L )) 1 / I J J W

5 N I ( Φ J ( K )) 1/ I J + W n i ( Φ j ( L )) 1/ i j

(7.1)

Если К и л относятся к классу C+2 , тогда равенство выполняется тогда и только тогда, когда К и л являются гомотетическими.

Доказательство

Из Следствие 6.4 , для Q  ∈ 𝒦 n ,

Wn−i(Q,Φj(K+L))=(i−1) 1−j(K+L,(Λj+1−iΦj)(Q)).

(7.2)

Из применения неравенства (5.6), получим

W N -1- J J j + L , ( λ J + 1- I Φ J ) ( Q )) 1/ J W 9002 N -1- J -1- J j ( K , ( λ J + 1- I Φ Φ J J ) ( Q )) 1/ J + W N -1- J ( L , ( λ j +1− i Φ j )( Q )) 1/ j .

(7.3)

(7.3)

Комбинация (7.2) и (7.3) и другое приложение следствие 6.4 , поэтому покажите, что

W 9005 N I ( Q , φ J j ( K + L )) 1/ J W 9002 N I ( Q , Φ J K )) 1/ J + W N I ( Q , Φ J ( L )) 1/ J .

(7.4)

Это следует из неравенства Минковского (5.4), что

W N I ( Q , φ J ( K )) I I W

5 N I ( Q ) I -1 W 9005 N I ( Φ J ( К )),

(7.5)

и, так же,

W N I ( Q , φ J ( L )) I W N I I ( Q ) I -1 I -1 W 9002 I I ( Φ J ( л )).

(7.6)

Заглушки (7.5) и (7.6) в (7.4) и подставляя Q = Φ j ( K + L ), теперь получаем требуемое неравенство (7. 1).

Чтобы вывести условия равенства для выпуклых тел класса C+2, мы сначала покажем, что такие тела отображаются посредством Φ j в тела с непустой внутренностью. За следующую краткую аргументацию авторы благодарны Т. Ваннереру. Пусть Q  ∈ 𝒦 n принадлежит классу C+2.К лемме 5.2 , существует выпуклое тело м ∈ 𝒦 N и номер R > 0 такое, что Q = M + R B N . Используя тот факт, что Φ j имеет степень j , мы получаем из Теоремы 2 , что

Φj(Q)=Φj(M+rBn)=rjΦj(0)(M)+⋯+Φ (j)(M),

, где Φj(m)∈MV alm,1≤m≤j и Φj(0)(M)=Φj(Bn). С Φ J J j ) Эквивариант, у нас должен быть φ J ( B N ) = T B N N N N N N N N N N для некоторых т ≥ 0. С Φ J J J нетривиальна, он следует из приложения следствия 6,4 I = 1 и K = B N ), что на самом деле т.  > 0. Следовательно, Φj(Q)∈Kon.

Теперь предположим, что K L  ∈ 𝒦 n относятся к классу C+2 и равенство выполняется в (7.1). Пусть s будет точечной картой Штейнера. Поскольку Q s ( Φ j ( Q )) + s ( Q ) есть непрерывный и жесткий вариант оценки 50.1 означает, что s ( Φ j ( Q )) = 0 для каждого Q  ∈ 𝒦 n

8. Таким образом, мы выводим из условий равенства (7,5) и (7.6), что там существуют λ 1 , λ 2 > 0 такого, что

Φ J ( K ) = λ 1 Φ J ( K + L ) и Φ J L = λ 2 Φ j ( K + L )

(7. 7)

и

Кроме того, (7,7) и другое приложение следствие 6.4 I = 1 и K = B N ) подразумевают, что

W N J ( K ) = λ 1 W

5 N J ( K + L ) и W 9005 N j ( L ) =  λ 2 W n j ( L

+ 8

8).

Следовательно, у нас

W N J ( K + л ) 1/ J = W

5 N J ( K ) K ) 1/ J + W N J ( L ) 1/ J ,

, которые, по (5.5), подразумевают, что K и L гомотетичны.

Заметим, что наше доказательство показывает, что предположение о гладкости в условиях равенства может быть опущено для тел с непустой внутренностью, если Φ j снова отображает эти тела в выпуклые тела с непустой внутренностью.Это всегда так, если j = n  – 1 (ср. [57] ), но в общем случае неизвестно.

Заметим также, что, поскольку инвариантные к сдвигу непрерывные нормирования Минковского степени один линейны относительно сложения Минковского (см., например, [26] ), неравенство (7.1) выполняется и в случае j = 1 (это следует из (5.5)). Однако условия равенства в этом случае другие.

Благодарность

Работа авторов выполнена при поддержке Австрийского научного фонда (FWF) в рамках проекта «Оценки Минковского и геометрические неравенства», номер проекта: P 22388-N13.

Примечания

Сообщение Эрвина Лутвака

Ссылки

1. Алескер С. Инвариантные оценки непрерывного вращения на выпуклых множествах. Анна. математики. (2) 1999;149:977–1005. [Google Академия]2. Алескер С. Описание трансляционно-инвариантных нормирований на выпуклых множествах с решением гипотезы П. Макмаллена. геом. Функц. Анальный. 2001; 11: 244–272. [Google Академия]3. Алескер С. Жесткая теорема Лефшеца для оценок, комплексной интегральной геометрии и унитарно-инвариантных оценок.J. Дифференциальная геометрия. 2003; 63: 63–95. [Google Академия]4. Алескер С., Берниг А., Шустер Ф.Э. Гармонический анализ трансляционно-инвариантных оценок. геом. Функц. Анальный. 2011;21:751–773. [Google Академия]5. Алескер С., Бернштейн Дж. Диапазонная характеристика косинусного преобразования высших грассманианов. Доп. Мат. 2004; 184: 367–379. [Google Академия]6. Берниг А. Теорема типа Хадвигера для специальной унитарной группы. геом. Функц. Анальный. 2009; 19: 356–372. [Google Scholar]

7. Берниг А. Инвариантные оценки на кватернионных векторных пространствах.Инст. Мат. Жюссье (в печати).

9. Берниг А., Брокер Л. Нормирование на многообразиях и когомологии Рюмина. J. Дифференциальная геометрия. 2007; 75: 433–457. [Google Академия] 10. Берниг А., Фу Дж.Х.Г. Эрмитова интегральная геометрия. Анна. математики. (2) 2011; 173:907–945. [Google Академия] 11. Колесанти А. Формула типа Штейнера для выпуклых функций. Математика. 1997;44:195–214. [Google Академия] 12. Колесанти А., Хуг Д. Формулы типа Штейнера и взвешенные меры особенностей для полувыпуклых функций. Транс. амер.Мат. соц. 2000;352:3239–3263. [Google Академия] 13. Федерер Х. Меры кривизны. Транс. амер. Мат. соц. 1959; 93: 418–491. [Google Академия] 14. Фу Дж.Х.Г. Трубчатые окрестности в евклидовых пространствах. Герцог Математика. Дж. 1985; 52: 1025–1046. [Google Академия] 15. Фу Дж.Х.Г. Меры кривизны и классы Черна особых многообразий. J. Дифференциальная геометрия. 1994; 39: 251–280. [Google Академия] 16. Фу Дж.Х.Г. Меры кривизны субаналитических множеств. амер. Дж. Матем. 1994; 116: 819–880. [Google Академия] 17. Фу Дж.Х.Г. Структура унитарной алгебры нормирования.J. Дифференциальная геометрия. 2006; 72: 509–533. [Google Академия] 18. Гарднер Р.Дж. Неравенство Брунна–Минковского. Бык. амер. Мат. соц. 2002; 39: 355–405. [Google Академия] 19. Гарднер Р.Дж. Второе изд. Издательство Кембриджского университета; Кембридж: 2006. Геометрическая томография. [Google Академия] 20. Грей А. Аддисон-Уэсли; Редвуд-Сити: 1990. Тубы. [Google Академия] 21. Haberl C. L p кузова пересечения. Доп. Мат. 2008; 217:2599–2624. [Google Академия] 22. Хаберл К. Звездные оценки ценности тела.Университет Индианы. Мат. Дж. 2009; 58: 2253–2276. [Google Академия] 23. Оценки Хаберла К. Блашке. амер. Дж. Матем. 2011; 133:717–751. [Google Академия] 24. Хаберл К., Людвиг М. Характеристика тел пересечения L p . Междунар. Мат. Рез. Нет. 2006:29. ID статьи 10548. [Google Scholar]25. Haberl C., Schuster F.E. General L p Аффинные изопериметрические неравенства. J. Дифференциальная геометрия. 2009; 83: 1–26. [Google Академия] 26. Хадвигер Х.Спрингер; Берлин: 1957. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. [Google Академия] 27. Хенк М., Эрнандес Чифре М.А. Заметки о корнях многочленов Штейнера. Преподобный мат. Ибероам. 2008; 24: 631–644. [Google Академия] 28. Хуг Д., Ласт Г., Вейл В. Локальная формула типа Штейнера для общих замкнутых множеств и приложений. Мат. З. 2004; 246: 237–272. [Google Академия] 29. Кидерлен М. Эндоморфизмы Бляшке и Минковского выпуклых тел. Транс. амер. Мат. соц. 2006; 358: 5539–5564. [Google Академия] 30.Клейн Д.А. Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера. Математика. 1995; 42: 329–339. [Google Академия] 31. Клейн Д.А. Даже нормирования на выпуклых телах. Транс. амер. Мат. соц. 2000; 352:71–93. [Google Академия] 32. Людвиг М. Проекционные тела и оценки. Доп. Мат. 2002; 172: 158–168. [Google Академия] 33. Людвиг М. Эллипсоиды и матричные оценки. Герцог Математика. Дж. 2003; 119: 159–188. [Google Академия] 34. Оценки Людвига М. Минковского. Транс. амер. Мат. соц. 2005; 357:4191–4213. [Google Академия] 35.Людвиг М. Тела пересечения и оценки. амер. Дж. Матем. 2006; 128:1409–1428. [Google Академия] 36. Людвиг М. Общие аффинные площади поверхности. Доп. Мат. 2010; 224:2346–2360. [Google Академия] 37. Площади Людвига М. Минковского и оценки. J. Дифференциальная геометрия. 2010; 86: 133–161. [Google Академия] 38. Людвиг М., Рейцнер М. Классификация инвариантных оценок SL ( n ). Анна. математики. (2) 2010;172:1223–1271. [Google Академия] 39. Лутвак Э. Смешанные проекционные неравенства. Транс. амер. Мат. соц.1985; 287: 91–105. [Google Академия]40. Лутвак Э. О некоторых аффинных изопериметрических неравенствах. J. Дифференциальная геометрия. 1986; 23:1–13. [Google Академия] 41. Лутвак Э. Тела пересечения и двойные смешанные объемы. Доп. Мат. 1988; 71: 232–261. [Google Академия]42. Лутвак Э. Центроидные тела и двойные смешанные объемы. проц. Лонд. Мат. соц. (3) 1990;60:365–391. [Google Академия]43. Лутвак Э. Неравенства для смешанных проекционных тел. Транс. амер. Мат. соц. 1993;339(2):901–916. [Google Академия]44. Лутвак Э., Ян Д., Чжан Г.Новый эллипсоид, связанный с выпуклыми телами. Герцог Математика. Дж. 2000; 104: 375–390. [Google Академия] 45. Лутвак Э., Ян Д., Чжан Г. L p Аффинные изопериметрические неравенства. J. Дифференциальная геометрия. 2000;56:111–132. [Google Академия] 46. Лутвак Э., Чжан Г. Неравенства Блашке–Сантало. J. Дифференциальная геометрия. 1997; 47:1–16. [Google Академия] 47. Макмаллен П. Нормирование и отношения типа Эйлера на некоторых классах выпуклых многогранников. проц. Лонд. Мат. соц. (3) 1977; 35: 113–135.[Google Академия] 48. Мейер К. Мультилинейность с многокомпонентным сложением. Арка Мат. 1977; 29: 210–217. [Google Scholar]

49. Л. Парапатиц, С.Л.( n )-контравариант L p -Оценки Минковского, Пер. амер. Мат. соц. (в прессе).

50. Парапатиц Л., Ваннерер Т. Об устойчивости карты Клейна (в подготовке).

51. Ратай Й. , Целе М. Нормальные циклы липшицевых многообразий аппроксимацией параллельными множествами. Дифференциальная геом. заявл. 2003; 19: 113–126.[Google Академия]52. Шнайдер Р. Эквивариантные эндоморфизмы пространства выпуклых тел. Транс. амер. Мат. соц. 1974; 194: 53–78. [Google Академия]53. Schneider R. Bestimmung konvexer Körper durch Krümmungsmaße. Комментарий. Мат. Хелв. 1979; 54: 42–60. [Google Академия]54. Шнайдер Р. Издательство Кембриджского университета; 1993. Выпуклые тела: теория Брунна – Минковского. [Google Академия]55. Шнайдер Р., Шустер Ф.Э. Вращательно-эквивариантные оценки Минковского. Междунар. Мат. Рез. Нет. 2006:20. ID статьи 72894. [Google Scholar]56.Шнайдер Р., Вейл В. Спрингер; Берлин: 2008. Стохастическая и интегральная геометрия. [Google Академия] 57. Шустер Ф.Э. Объемные неравенства и аддитивные отображения выпуклых тел. Математика. 2006; 53: 211–234. [Google Академия] 58. Шустер Ф.Э. Свертки и преобразования множителей. Транс. амер. Мат. соц. 2007; 359: 5567–5591. [Google Академия] 59. Шустер Ф.Э. Меры Крофтона и оценки Минковского. Герцог Математика. Дж. 2010; 154:1–30. [Google Академия] 60. Шустер Ф.Э., Ваннерер Т. Г.Л. ( n ) контравариантные оценки Минковского.Транс. амер. Мат. соц. 2012; 364: 815–826. [Google Академия] 61. Spiegel W. Ein Beitrag über add, translationsinvariante, stetige Eikörperfunktionale. геом. Посвященный. 1978; 7: 9–19. [Google Академия] 62. Тесье Б. Семинар по дифференциальной геометрии. об. 102. Издательство Принстонского университета; Принстон, Нью-Джерси: 1982. Неравенства типа Боннесена в алгебраической геометрии. I. Введение в проблему; стр. 85–105. (Анналы математических исследований). [Google Академия] 63. Уоллах Н.Р. Вещественные редуктивные группы. I. том.132. Академик Пресс, Инк.; Бостон, Массачусетс: 1988. (Чистая и прикладная математика). [Google Scholar]

64. T. Wannerer, GL( n ) эквивариантные оценки Минковского, Indiana Univ. Мат. Дж. (в печати).

65. Weyl H. Об объеме труб. амер. Дж. Матем. 1939; 61: 461–472. [Google Scholar]

Формула Штейнера | СпрингерЛинк

‘) переменная голова = документ.getElementsByTagName(“голова”)[0] var script = document.createElement(“сценарий”) script.type = “текст/javascript” script.src = “https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js” script.id = “ecommerce-scripts-” ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(“[data-id=id_”+ метка времени +”]”).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(“.вариант-покупки”)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка. querySelector(“.цена-варианта-покупки”) подписка.classList.remove(“расширенный”) var form = подписка.querySelector(“.форма-варианта-покупки”) если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(“действие”) документ.querySelector(“#ecommerce-scripts-” ​​+ timestamp).addEventListener(“load”, bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(“.Информация о цене”) var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(“роль”, “кнопка”) toggle.setAttribute(“tabindex”, “0”) переключать.addEventListener(“щелчок”, функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(“aria-expanded”) === “true” || ложный toggle. setAttribute(“aria-expanded”, !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(“расширенный”) } еще { покупкаOption.classList.удалить (“расширить”) } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window.fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Модальный: ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = “ecomm-modal_” + метка времени + “_” + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal. domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(“кнопка[тип=отправить]”).фокус() } вар корзинаURL = “/корзина” var cartModalURL = “/cart?messageOnly=1” форма.установить атрибут ( “действие”, formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { форма.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма. setAttribute( “действие”, formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.отправить() } ) form.addEventListener (“отправить”, formSubmit, ложь) документ.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener (“нажатие клавиши”, функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains(“цена-варианта-покупки”) && (event.code === “Пробел” || event.code === “Enter”)) { если (document.activeElement) { мероприятие. предотвратить по умолчанию () документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { вар buyboxWidth = buybox.offsetWidth ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(“.опция покупки”)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(“.цена-варианта-покупки”) вар форма = вариант.querySelector(“.форма-варианта-покупки”) var priceInfo = option.querySelector(“.Информация о цене”) если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключить.щелчок() } еще { toggle. setAttribute («ария-расширенная», «ложь») форма.скрытый = “скрытый” priceInfo.hidden = “скрытый” } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Формула Штейнера для выпуклых подмножеств

‘) переменная голова = документ.getElementsByTagName(“голова”)[0] var script = document.createElement(“сценарий”) script.type = “текст/javascript” script. src = “https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js” script.id = “ecommerce-scripts-” ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(“[data-id=id_”+ метка времени +”]”).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(“.вариант-покупки”)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(“.цена-варианта-покупки”) подписка.classList.remove(“расширенный”) var form = подписка.querySelector(“.форма-варианта-покупки”) если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(“действие”) документ.querySelector(“#ecommerce-scripts-” ​​+ timestamp).addEventListener(“load”, bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка. querySelector(“.Информация о цене”) var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(“роль”, “кнопка”) toggle.setAttribute(“tabindex”, “0”) переключать.addEventListener(“щелчок”, функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(“aria-expanded”) === “true” || ложный toggle.setAttribute(“aria-expanded”, !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(“расширенный”) } еще { покупкаOption.classList.удалить (“расширить”) } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window. fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Модальный: ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = “ecomm-modal_” + метка времени + “_” + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(“кнопка[тип=отправить]”).фокус() } вар корзинаURL = “/корзина” var cartModalURL = “/cart?messageOnly=1” форма.установить атрибут ( “действие”, formAction. replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { форма.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( “действие”, formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.отправить() } ) form.addEventListener (“отправить”, formSubmit, ложь) документ.body.appendChild(modal. domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener (“нажатие клавиши”, функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains(“цена-варианта-покупки”) && (event.code === “Пробел” || event.code === “Enter”)) { если (document.activeElement) { мероприятие.предотвратить по умолчанию () документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { вар buyboxWidth = buybox.offsetWidth ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(“.опция покупки”)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(“. цена-варианта-покупки”) вар форма = вариант.querySelector(“.форма-варианта-покупки”) var priceInfo = option.querySelector(“.Информация о цене”) если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключить.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») форма.скрытый = “скрытый” priceInfo.hidden = “скрытый” } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

Формула Минковского-Штайнера

В математике формула Минковского-Штайнера представляет собой формулу, связывающую площадь поверхности и объем компактных подмножеств евклидова пространства. Точнее, он определяет площадь поверхности как «производную» замкнутого объема в соответствующем смысле.

Формула Минковского–Штайнера используется вместе с теоремой Брунна–Минковского для доказательства изопериметрического неравенства. Он назван в честь Германа Минковского и Якоба Штайнера.

Формула Минковского-Штайнера

Позвольте и пусть будет компактным множеством. Пусть µ( A ) обозначает меру Лебега (объем) A . Определим количество по формуле Минковского-Штайнера

где

обозначает замкнутый шар радиуса δ > 0, а

есть сумма Минковского A и , так что

Размер поверхности

Для «достаточно регулярных» множеств A величина действительно соответствует ( n − 1)-мерной мере границы A .См. Federer (1969) для полного рассмотрения этой проблемы.

Выпуклые наборы

Когда множество A является выпуклым множеством, указанный выше lim-inf является истинным пределом, и можно показать, что

, где λ i — некоторые непрерывные функции A (см. интегралы квермассы), а ω n обозначает меру (объем) единичного шара в :

, где Γ обозначает гамма-функцию.

Пример: объем и площадь поверхности шара

Взятие дает следующую известную формулу площади поверхности сферы радиусом R , :

= n R n − 1 ω n ,

, где ω n такое же, как указано выше.

Каталожные номера

  • Дакоронья, Бернар (2004). Введение в вариационное исчисление .Лондон: Издательство Имперского колледжа. ISBN 1-86094-508-2.
  • Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры . Нью-Йорк: Springer-Verlag.

Руководитель Haas F1 Гюнтер Штайнер выразил сомнение по поводу планов проведения спринтерских гонок на 2022 год

Руководитель команды Haas Гюнтер Штайнер выразил сомнение в том, что план Формулы-1 по проведению шести спринтерских гонок в 2022 году будет реализован, поскольку ведущие команды требуют увеличения затрат на спорт шапка.

В прошлом году Формула-1 опробовала формат спринтерских гонок на трех этапах: квалификация была перенесена на пятницу, а гонка на 100 км состоялась в субботу, чтобы определить стартовую решетку воскресного Гран-при.

В этом сезоне спорт планировал внедрить формат в шести турнирах.

1 Связанные

«Я точно не знаю, что происходит», — сказал Штайнер на виртуальном брифинге для прессы в пятницу, вскоре после того, как американская команда представила цифровую визуализацию своей машины 2022 года.

“Через 10 дней у нас будет заседание комиссии Формулы-1, и тогда мы увидим, что с ним дальше.

“Я думаю, у нас будет три спринтерских гонки, но … Я этого не знаю. Итак, давайте посмотрим, к чему мы можем прийти, но у меня пока нет ответа».

Верхний предел, введенный в 2021 году на уровне 145 миллионов долларов, в этом году был снижен до базовой цифры в 140 миллионов долларов. увеличение количества спринтерских гонок в сезоне, когда они также будут разбираться с автомобилями, разработанными по радикально новым правилам.

Getty Images

Босс McLaren Зак Браун в открытом письме, опубликованном на веб-сайте команды в прошлом месяце, обвинил команды в лоббировании повышения предельных затрат на удержание спортивного заложника.

Боссы Формулы-1 намерены предложить компромисс на заседании комиссии Формулы-1 14 февраля, сохранив потолок затрат без изменений, но сократив количество спринтерских гонок до трех, как и в прошлом году.

Для принятия компромисса потребуется как минимум 28 голосов из 30, а это означает, что три команды, требующие увеличения максимальной стоимости, могут помешать заключению сделки.

Однако Штайнер надеется, что компромисс может быть достигнут.

«Мы должны лоббировать другую сторону, чтобы этого [увеличения предельной стоимости] не произошло», — сказал Штайнер.

“На мой взгляд, существует система управления, которая решит проблему.”

Формула Штейнера и полярный момент инерции для замкнутых плоских гомотетичных движений в комплексной плоскости

Формула Штейнера и полярный момент инерции были выражены при однопараметрических замкнутых плоских гомотетичных движениях в комплексной плоскости. Понятия точки Штейнера или нормали Штейнера были описаны в зависимости от того, было ли число вращения отличным от нуля или равным нулю, соответственно. Точка движущегося полюса была задана с ее компонентами, и было указано ее отношение между точкой Штейнера или нормалью Штейнера. В качестве примера рассмотрено сагиттальное движение лебедки. Это движение описывалось двойным шарниром, состоящим из неподвижного пульта управления лебедкой и подвижного плеча лебедки. Для этого движения были применены результаты, полученные во втором разделе настоящего исследования.

1. Введение

Для геометрического объекта, катящегося по прямой и совершающего полный оборот, некоторые свойства площади пути точки были даны в [1]. Формула площади Штейнера и теорема Холдича при однопараметрических замкнутых плоских гомотетичных движениях выражены в [2]. Вычислено выражение формулы Штейнера относительно подвижной системы координат при однопараметрических замкнутых плоских гомотетичных движениях в комплексной плоскости. Если точки движущейся плоскости, ограничивающие одну и ту же площадь, лежат на окружности, то центр этой окружности называется точкой Штейнера () [3, 4].Если эти точки лежат на прямой, мы используем нормаль Штейнера вместо точки Штейнера. Затем мы получили подвижную точку полюса для замкнутых плоских гомотетичных движений. Мы имели дело с полярным моментом инерции пути, порожденного замкнутым плоским гомотетическим движением. Кроме того, мы выразили связь между площадью, ограниченной путем, и полярным моментом инерции. В качестве примера рассмотрено сагиттальное движение лебедки, которое описывается неподвижным и подвижным двойным шарниром. Для этого движения были рассчитаны формула площади Штейнера, подвижная полюсная точка и полярный момент инерции.Кроме того, была выражена связь между формулой Штейнера и полярным моментом инерции.

2. Замкнутые гомотетичные движения в комплексной плоскости

Рассматривается однопараметрическое замкнутое плоскостное гомотетическое движение между двумя системами отсчета: неподвижной и подвижной , с началом и ориентацией в комплексной плоскости. Затем учитываем движение относительно неподвижной системы координат (прямое движение).

Взяв векторы перемещений и и полный угол поворота , движение, определяемое преобразованием, называется однопараметрическим замкнутым плоским гомотетическим движением и обозначается , где – гомотетичный масштаб движения и – векторы положения относительно подвижная и неподвижная прямоугольные системы координат точки соответственно.Гомотетическая шкала и векторы и являются непрерывно дифференцируемыми функциями вещественного параметра .

В (1) – траектория относительно неподвижной системы точки, принадлежащей подвижной системе. Если мы заменим в (1), движение можно записать как Координаты приведенного выше уравнения Используя эти координаты, мы можем написать Из (4), компоненты могут быть даны как Используя координаты (2) как и матрицу вращения мы можем получить Если дифференцируем (5), имеем

2.1. Формула Штейнера для гомотетических движений

Формула площади замкнутой плоской кривой точки имеет вид Если (5) и (9) подставить в (10), то (11): Скалярный член, который связан с траекторией начала координат движущейся системы, может быть задан следующим образом, если взять: Коэффициент с числом вращения определяет, являются ли линии с = const. описывать окружности или прямые линии. Если , то у нас есть круги. Если , окружности превращаются в прямые.Если (12), (13) и (14) подставить в (11), то можно получить.

2.1.1. Другая параметризация для интегральных коэффициентов

Уравнение (8) путем дифференцирования по доходности Если взять (полюсную точку), можно записать. Тогда если решается из (17), находятся.

Если (18) поставить в (12), можно переписать. Также (19) можно выразить отдельно как Используя (20) и (21), находится формула площади.

2.2. Точка Штейнера или нормаль Штейнера для гомотетичных движений

Взяв точку Штейнера для замкнутого плоского гомотетического движения, можно записать Тогда находится.Если (24) поместить в (20) и с учетом (22), получается. Уравнение (25) называется формулой площади Штейнера для замкнутого плоского гомотетического движения.

Разделив это на и дополнив квадраты, можно получить уравнение окружности. Все неподвижные точки движущейся плоскости, которые при движении проходят вокруг равных участков орбиты, лежат на одной окружности с центром в движущейся плоскости.

В случае , так как точка и точка Штейнера совпадают [3]. Также взяв , если его заменить в (22), то мы имеемУравнение (28) представляет собой прямую линию.Если полного цикла не происходит, то и окружности сводятся к прямым, иначе говоря, к окружности, центр которой лежит в бесконечности. Нормаль к линиям равных площадей в (28) задается формулой, которая называется нормалью Штейнера [5].

2.3. Подвижная полюсная точка для гомотетических движений

Используя (18), если решается, то получается полюсная точка движения.

При с помощью (14) и (23) приходим к соотношению в (24) между точкой Штейнера и точкой полюса.

Для , используя (20) и (29), приходим к соотношению между нормалью Штейнера и точкой полюса следующим образом:

2.4. Полярные моменты инерции для гомотетичных движений

Полярные моменты инерции «» символизируют путь для замкнутых гомотетичных движений. Находим формулу с помощью , , и в этом разделе и приходим к соотношению между полярными моментами инерции «» и формулой площади «» (см. (37)). Связь между формулой Штейнера и полярным моментом инерции вокруг полюса на момент дана в [6].Мюллер [3] также продемонстрировал связь с полярным моментом инерции вокруг начала координат, в то время как Тёльке [7] исследовал ту же зависимость для замкнутых функций, а Куруоглу и др. [8] обобщили результаты Мюллера для гомотетичных движений.

Если мы используем в качестве параметра, нам нужно вычислить по пути . Тогда, используя (5), получается.

Нам нужно рассчитать полярные моменты инерции начала координат движущейся системы; следовательно ; получается. Если (34) подставить в (33), можно записать.Также, если (18) поместить в (35), получается и, рассматривая (22) и (36) вместе, мы приходим к соотношению между полярными моментами инерции и формуле для площади ниже:

3. Применение : Движение лебедки

В предыдущих разделах мы выделили три понятия: геометрические объекты, такие как точка Штейнера или нормаль Штейнера, полюсная точка и полярные моменты инерции для замкнутых гомотетичных движений в комплексной плоскости. В этом разделе мы хотим визуализировать экспериментально измеренное движение этих объектов.Соответственно, мы рассматриваем эти характерные направления для этого движения.

Мы покажем, как можно применять кинематические объекты, которые использовались в предыдущих разделах. В исследовании Dathe и Gezzi [5] они рассматривали походку человека при плоскостных движениях. В качестве примера мы выбрали сагиттальную часть движения лебедки при движении. Мы выбрали лебедку, потому что плечо лебедки может выдвигаться или втягиваться при однопараметрическом замкнутом плоскостном гомотетическом движении. Движение лебедки имеет двойной шарнир, а «двойной шарнир» означает, что она имеет две системы: неподвижный рычаг и подвижный рычаг лебедки (рис. 1).В начале стационарной системы находится панель управления лебедкой. «» рука может выдвигаться или втягиваться по параметру.


3.1. Математическая модель

Начнем с записи уравнений двойного шарнира в декартовых координатах. Затем определим с помощью условия нормаль Штейнера и полный угол относительно двойного шарнира.

Взяв векторы смещения и и общий угол поворота, движение можно определить преобразованием. Взяв мы имеем Также мы знаем, что .Поэтому можно написать. Таким образом, двойной шарнир можно записать так. Начнем с вычисления производной по времени от (42). Таким образом, мы получаем скорости , которые должны быть вставлены в (10): Теперь мы интегрируем предыдущее уравнение, используя периодические граничные условия, принимая подынтегральные функции как периодические функции. Из периодичности следует, что интегралы следующих типов равны нулю: . В результате этого часть интегралов (43) не равна нулю, и окончательно мы получаем упрощенное выражение для площади. Из (44) могут быть получены следующие выражения: Дифференцируя (41) по и затем используя результат в (45), мы получаем (12) для приложения.

В разделе 2.1.1 с помощью (18) находятся и имеем прямую ниже: В этом случае имеем нормаль Штейнера

3.
2. Подвижная полюсная точка движения лебедки

Если (41) заменить в (30), полюсная точка с компонентами получается и может быть записана. Также используя (46) и (48), мы получаем связь между нормалью Штейнера и точкой полюса (31).

3.3. Полярные моменты инерции движения лебедки

Используя (32) и (42), если (41) заменить в (33), получается.Рассматривая (46), (47) и (51) вместе, мы приходим к соотношению между полярными моментами инерции и формуле для площади ниже:

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов относительно публикации этой статьи.

Благодарность

Данное исследование проводится при поддержке Университета Ондокуз Майис (проект № PYO.FEN.1904.14.019).

Штайнер удивился Haas сократила отставание от полузащиты Формулы-1 в конце 2021 года

Haas отказалась от разработки своей машины в прошлом году, чтобы сосредоточиться на подготовке к новым техническим регламентам, которые вступят в силу в 2022 году, полагая, что у них есть больше возможностей сделать шаг вперед и получить производительность.

Он отправил команду на переходный год в 2021 году, когда она не смогла набрать ни одного очка с пилотами-новичками Миком Шумахером и Никитой Мазепиным, оставив ее последней в Кубке конструкторов.

Но в последних трех гонках сезона Хаас приблизился к соперникам из нижней полузащиты, Alfa Romeo и Williams, с точки зрения прямого темпа. Шумахер квалифицировался с точностью до двух десятых секунды от автомобиля Alfa Romeo как в Катаре, так и в Абу-Даби, и даже меньше чем в десятой части отстал от Лэнса Стролла из Aston Martin в квалификации к гонке в Саудовской Аравии.

Босс Haas F1 Штайнер подчеркнул важность сохранения мотивации команды, несмотря на ее конкурентоспособность, но признал, что был удивлен успехами остальной части полузащиты в конце сезона.

«Вы должны следить за тем, чтобы люди не успокаивались, привыкали к этому и больше не делали все возможное», — сказал Штайнер Motorsport.com.

«[Вы должны] сказать им, что ‘ребята, вы не тупые и не плохие, все наладится, просто наша машина не доработана’. Это слишком простой ответ: если вы не делаете ничего в течение года, на этом вы и закончите.

«Опять же, в последних двух гонках я не мог поверить, что мы были всего в десятой или двух десятых от конца полузащиты. Я не понимаю этого с машиной, которой почти два года».

На вопрос, были ли успехи частично связаны с растущим опытом его гонщиков, Штайнер по-прежнему считает, что другие команды должны были создать больший отрыв от Haas, развиваясь в 2021 году.

Гюнтер Штайнер, руководитель команды, Haas F1, Мик Шумахер , Haas F1, Никита Мазепин, Haas F1

Фото: Andy Hone / Motorsport Images

«Другие должны были увеличить разрыв, они усовершенствовали свои машины», — сказал Штайнер.

«Последние две гонки были для меня очень странными. В Саудовской Аравии, где круг очень длинный, мы отставали всего на полторы десятых. И мы сражались в гонке с одним из Williams. Может быть, они шли медленнее?

«Как только вы можете за что-то бороться, это другой сценарий, другая атмосфера, другой образ жизни».

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.