Уравнения примеры решения: Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение

Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

126.3K

Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: a^х = b, где a > 0, a ≠ 1 и a^x = a^y.

Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.

Показательной функцией называют такую: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать

Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a^x при а ≤ 0 корней не имеет.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.

am · an	am+n
am:an	am-n
(a · b)n	an · bn
(a : b)n	an : bn
(an)m	an · m
a−n

Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Методы решения показательных уравнений

Самые короткие и простые показательные уравнения решаются легко при помощи свойств степеней. Например:

4^х = 64.

Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.

4 · 4 · 4 = 64

4³ = 64

4^x = 4³

Х = 3

Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.

Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.

В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Приведение к одинаковому основанию

Весомую часть уравнений вида а^х = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общее основание.

Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.

Пример 1

Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.

Мы знаем, что 64 и 8 являются степенями 2. Попробуем использовать это, и тогда 64² = 2¹², а 8 = 2³.

Ответ: .

Пример 2

В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.

(0,5)^х2 · 4^х+1 = 64^-1

Найдем общее основание показательных функций:

0,5 = 1/2 = 2⁻¹

4 = 2²

64 = 2⁶

В результате у нас получается:

(2⁻¹)^х2 · (2²)^х+1 = (2⁶)⁻¹

2^−х2 · 2^2х+2 = 2⁻⁶

2^−х2+2х+2 = 2⁻⁶

−х² + 2х + 2 = −6

х²− 2х − 8 = 0

Ответ: x = −2; 4.

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): a^xb^x = (ab)^x.

Пример

5^2х−4 = 49^2−х

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

5^2х−4 = 49^2−х

5^2х−4 = 7^4−2х

5^2х−4 = (1/7)^2х−4

35^2х−4 = 1

2х − 4 = 0

х = 2

Пример 2

2^х−2 = 5^2−х

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2^х−2 = 1/5

х−2

Теперь умножим обе части на 5^2−х и придем к уравнению:

2^х−2 × 5^2−х = 1

10^х−2 = 1

10^х−2 = 10⁰

х − 2 = 0

х = 2

Замена переменной

Суть этого способа решения показательных уравнений проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4^x– 2^x+1– 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4

х = 2^2х, а 2^х+1 = 2 × 2^х.

2^2х – 2 × 2^х – 8 = 0

Что-то напоминает. 🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2^х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2^х новой переменной — допустим, y.

Если 2^х = y, y > 0, то получается: у²– 2у – 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у

2 = -2.

Проведем обратную замену: 2^х = 4 (подходит по ограничениям).

х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 2

25^х – 6 × 5^х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5^х = у, y > 0.

у² – 6у + 5 = 0

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5^х = 1, значит х = 0.

5^х = 5, значит х = 1.

Ответ: x = 0; 1.

Вынесение общего множителя

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить.

Общий множитель — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение.

Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3^х+1 + 3^х – 3^х-2 = 35

Вынесем 3^3-x за скобки и получим:

3^х-2(3³ + 3² – 1) = 35

3^х-2 × 35 = 35

3^х-2 = 1

Поскольку 1 равно любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3^х-2 = 3⁰

х – 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2

5 × 3^-3х+1 + 3^-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3^-3х+2 = 3^-3х+1+1 = 3 · 3^-3х+1.

Теперь у нас есть общий множитель 3^-3х+1, который можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3^-3х+1(5+3) = 24

8 · 3^-3х+1 = 24

3^-3х+1 = 3¹

-3х + 1 = 1

х = 0

Ответ: х = 0.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Яна Кононенко

К предыдущей статье

Показательные неравенства

К следующей статье

Параллельность прямых

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Алгебра.

Учебник для 6-8 классов Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры” А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

Решения систем уравнений: объяснение, обзор и примеры

Решение — это слово, которое мы часто используем в математике, но оно может означать разные вещи в зависимости от контекста. Однако в общем случае решение представляет собой значение или набор значений, которые делают уравнения верными. Хотя идея истины может показаться чем-то более подходящим для таких дисциплин, как наука и философия, чем математика, мы ищем истину, когда ищем решения систем уравнений.

Что такое решение системы уравнений?

Чтобы понять, что такое решение системы уравнений, давайте начнем с рассмотрения некоторых уравнений и их решений.

Equation	Solution
5+4=s	s=9
n+7=9	n=2

What do the two общего между уравнениями и их решениями? Решения делают уравнения верными. Когда с=9, то 5+4=с. Когда n=2, то n+7=9.

Система уравнений включает два или более уравнений. Каждое из уравнений должно иметь как минимум две переменные, например, x и y.

Чтобы узнать, что такое система уравнений, ознакомьтесь с нашим постом: Написание систем уравнений .

набор решений системы уравнений будет координатами упорядоченной пары (пар), которые удовлетворяют всем уравнениям в системе. Другими словами, эти значения x и y сделают уравнения верными. Соответственно, при построении системы уравнений решением будут все точки пересечения графиков.

Заинтересованы в лицензии школы Альберта?

Количество решений системы уравнений

Количество решений системы уравнений зависит от самих уравнений. Системы могут иметь одно решение, несколько решений, бесконечно много решений или даже не иметь решения.

Системы линейных уравнений классифицируются по количеству решений, которые они имеют. Существуют две основные категории систем уравнений:

• An несовместная система, не имеющая решений
• непротиворечивая система, имеющая одно или несколько решений

непротиворечивые системы могут быть далее подразделены на:

• независимая система, имеющая ровно одно решение
• Зависимая система , с бесконечным числом решений

Начните практиковать Алгебру 1 на Альберте прямо сейчас!

Системы уравнений без решения (пример)

Давайте начнем с рассмотрения несовместимых систем, как мы это называем, когда у систем уравнений нет решений. Мы знаем, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Следовательно, если наша система уравнений состоит из двух или более параллельных прямых, то не будет мест пересечения графиков прямых, а значит, не будет и решений.

Обзор параллельных линий см. в нашем обзорном руководстве Параллельные и перпендикулярные линии .

Прямые y=x+3 и y=x-2 параллельны. Их графики показаны справа.

Из графика видно, что линии никогда не пересекаются с , и, следовательно, у этой системы уравнений нет решений. Таким образом, хотя каждое линейное уравнение в системе имеет бесконечное число решений, система уравнений, состоящая из обоих этих линейных уравнений, не имеет решений. Мы можем классифицировать систему как несовместимую.

Системы нелинейных уравнений также могут не иметь решений. Ниже приведен график системы двух квадратных уравнений, которые никогда не пересекаются. Вместе эти уравнения составляют систему, не имеющую решений.

Как насчет систем с более чем двумя уравнениями? Решения должны удовлетворять всем уравнениям системы. Графически только точки пересечения всех графов в системе считаются решениями.

Например, на приведенном ниже графике показана система из трех уравнений: две параллельные прямые и одна прямая, пересекающая параллельные прямые. Эта система уравнений не имеет решения, потому что нет места, где все три прямые пересекаются друг с другом одновременно.

Заинтересованы в лицензии школы Альберта?

Система уравнений с бесконечными решениями (пример) 

Теперь давайте впадем в противоположную крайность и рассмотрим системы уравнений, которые являются одновременно непротиворечивыми и зависимыми, что происходит, когда существуют бесконечные решения систем уравнений. Графически мы ищем систему уравнений, которая пересекается в бесконечном числе точек. Как это может случиться? Это происходит всякий раз, когда два уравнения на самом деле являются одним и тем же уравнением.

Например, рассмотрим систему:

y=x+3

х=у-3

Хотя второе уравнение не записано в форме точки пересечения, мы можем видеть, что уравнение имеет тот же наклон, 1, и ту же точку пересечения по оси y, 3, что и y=x+3.

Краткий обзор форм линейных уравнений можно найти в нашем блоге Форма пересечения наклонов .

Тот факт, что два уравнения идентичны, станет очевидным, если мы перепишем x=y-3 в форме пересечения наклона:

х=у-3

x{\color{red}{-y}}=y-3{\color{red}{-y}}

х-у=-3

х-у {\ цвет {красный} {-x}} = -3 {\ цвет {красный} {-x}}

-у=-х+-3

{\ color {красный} {(-1)}} (-y) = {\ color {красный} {(-1)}} (-x + -3)

у=х+3

Таким образом, мы также можем записать эту систему как:

y=x+3

у=х+3

Графики этих двух уравнений показаны справа.

Как видно из графика, эти уравнения представляют собой одну и ту же прямую на координатной плоскости. Поскольку все точки на одной прямой находятся и на другой прямой, у этой системы существует бесконечное число решений.

Обратите внимание: это не означает, что каждый набор координат является решением этого уравнения. Например, координаты (0,5) не являются решением системы уравнений, так как эта точка не лежит на прямых. Однако, поскольку линия простирается до бесконечности в обоих направлениях, на каждой линии существует бесконечное количество точек и, следовательно, бесконечное количество решений системы уравнений.

Другие системы уравнений, которые являются как непротиворечивыми, так и зависимыми, включают любые комбинации уравнений, такие как уравнения для окружностей, парабол и других фигур, где графики уравнений полностью перекрываются.

Начните практиковать Алгебру 1 на Альберте прямо сейчас!

Система уравнений с одним решением (пример) 

Сколько решений системы уравнений существует для системы, которая одновременно независима и непротиворечива? Такая система имеет ровно одно решение, что означает, что она имеет один набор значений, который делает все уравнения в системе верными.

Линейные уравнения в приведенной ниже системе соответствуют этому описанию: 

y=x+3

y=-x-1

Линии, представляющие эти уравнения на координатной плоскости, будут пересекаться ровно в одной точке, как показано ниже.

Поскольку эти прямые пересекаются в точке (-2,1), эта точка является единственным решением системы. Мы можем использовать алгебру, чтобы убедиться, что координаты (\color{red}{-2},\color{blue}{1}) превращают каждое уравнение в истинное утверждение.

Начнем с первого уравнения:

y=x+3

{\color{синий}{1}}={\color{красный}{-2}}+3

1=1

А теперь давайте проверим второе уравнение:

y=-x-3

{\color{синий}{1}}=-({\color{красный}{-2}})-1

1=2-1

1=1

Обратите внимание: мы могли бы определить, что эта система уравнений имеет одно решение, просто взглянув на сами уравнения, если бы мы заметили, что они имеют разные наклоны. Наклон y=x+3 равен 1, а наклон y=-x-1 равен -1. Линии с разным наклоном никогда не бывают параллельными, а прямые, лежащие в одной плоскости, но не параллельные, всегда пересекаются ровно в одной точке.

Заинтересованы в лицензии школы Альберта?

Как найти решение системы уравнений

Существует несколько методов решения систем уравнений, в том числе: Такие инструменты, как Desmos и Geogebra, предлагают графические онлайн-калькуляторы, помогающие в этом процессе.

Использование алгебраических стратегий, таких как замена или исключение, для нахождения значений переменных, которые делают все уравнения в системе верными.

Каждый из этих методов может помочь нам найти не только количество решений систем уравнений, но и то, что это за решения.

Когда мы находим решение или решения системы уравнений, мы можем подставить значения обратно в уравнения, чтобы убедиться, что они верны.

Начните практиковать Алгебру 1 на Альберте прямо сейчас!

Решения систем уравнений: ключи для запоминания

• Решение систем уравнений — это набор координат, который делает все уравнения в системе верными.
• Системы уравнений могут иметь любое количество решений от нуля до бесконечности.
• Мы можем классифицировать системы уравнений как несовместные, зависимые или независимые и непротиворечивые в зависимости от количества решений.
• Системы уравнений без решений несовместны, а системы с бесконечными решениями зависимы. Системы уравнений, имеющие ровно одно решение, называются независимыми и непротиворечивыми.
• Решения систем уравнений можно найти графически или алгебраически.

Заинтересованы в школьной лицензии?​

Пригласите Альберта в свою школу и предоставьте всем учителям лучший в мире банк вопросов для:

➜ SAT® и ACT®
➜ AP®
➜ ELA, математика, естественные науки и социальные науки
➜ State Assessments

Варианты для учителей, школы, районы.

УЗНАТЬ О ВАРИАНТАХ

Уравнения с бесконечными решениями (6 примеров и объяснений) – JDM Educational

При решении уравнения мы можем обнаружить, что решения нет, есть одно решение, несколько решений или бесконечные решения (мы также можем сказать «бесконечно много решений»). решения»). Полезно знать, как выглядят некоторые из них, чтобы вы могли узнать их в случае, если вы столкнетесь с ними.

Итак, какие есть уравнения с бесконечными решениями? Некоторые уравнения с тригонометрическими функциями (например, sin(x) = 0) имеют бесконечно много решений. Существуют некоторые уравнения с одной переменной (например, (x+1) ² = x ² + 2x + 1), которые имеют бесконечно много решений. Существуют также уравнения с двумя или более переменными (например, x = y), которые имеют бесконечно много решений.

Конечно, существует множество уравнений с бесконечными решениями – приведенные выше лишь несколько примеров.

В этой статье мы поговорим о том, что означает, что уравнение имеет бесконечные решения. Мы также рассмотрим несколько примеров и объясним, почему в этих случаях существует бесконечное число решений.

Начнем.

Уравнения с бесконечными решениями

Существуют некоторые общие признаки того, что уравнение может иметь бесконечные решения. Например:

• Если обе части уравнения равны (или эквивалентны после перестановки членов), то всегда есть бесконечные решения. Это может произойти для уравнений с одной или несколькими переменными. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 одинаково с обеих сторон после того, как мы используем Распределительное свойство слева. Значит, она имеет бесконечные решения.
• Если в уравнении две или более переменных, то может быть бесконечное количество решений. Например, y = x ² имеет бесконечные решения: для любого действительного числа x мы можем легко найти решение y, возведя x в квадрат.
• Если имеется осциллирующая или периодическая функция (например, синус или косинус), то решений может быть бесконечно много. Например, sin(x) = 0 имеет бесконечно много решений, поскольку каждое целое число, кратное π радианам, является решением (таким образом, π, 2π, 3π, 4π,… все являются решениями).

Некоторые тригонометрические уравнения имеют бесконечно много решений.

*Примечание: когда мы говорим, что уравнение имеет бесконечные решения (или бесконечно много решений), мы не имеем в виду, что ∞ является решением уравнения. Мы имеем в виду, что существует неограниченное число решений уравнения (каждое решение — конечное число).

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров уравнений с бесконечными решениями, а также объяснение каждого из них.

Когда квадратное уравнение не имеет решения. ..

Включите JavaScript

Когда у квадратного уравнения нет решения?

Пример 1. Уравнение с одной переменной и бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с одной переменной:

• (x + 1) ² + 4x = (x + 3) 2
  – 40 90

Нам нужно будет выполнить некоторую работу (используя FOIL и комбинируя подобные термины), чтобы увидеть, существуют ли бесконечные решения:

• (x ² + 2x + 1) + 4x = (x + 3) ² – 8   [(x + 1) ² = (x ² + 2x + 1), по ФОЛЬГЕ]
• (x ² + 2x + 1) + 4x 7 = (7 902 + 6x + 9) – 8   [(x + 3) ² = (x ² + 6x + 9), по ФОЛЬГЕ]
• x ² + 6x + 1 = x ^{+ 2 6x + 1}   [объедините одинаковые члены с обеих сторон]
• 0 = 0

Последнее утверждение всегда истинно, независимо от того, какое значение x мы выбираем. Итак, исходное уравнение имеет бесконечное число решений — подойдет любое реальное значение x!

Пример 2. Уравнение с двумя переменными и бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

• y = 2x ² – 5x + 1

У этого уравнения бесконечно много решений . В этом случае мы можем выбрать любое реальное значение x и найти y, подставив выбранное значение x в уравнение.

Например:

• При x = 0 получаем y = 2(0) ² – 5(0) + 1 = 2*0 – 0 + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
• Для x = 1 получаем y = 2(1) ² – 5(1) + 1 = 2*1 – 5 + 1 = 2 – 5 + 1 = -2
• Для x = 2, получаем y = 2(2) ² – 5(2) + 1 = 2*4 – 10 + 1 = 8 – 10 + 1 = -1
• и т. д.

График ниже показано множество решений (парабола, которая является графиком квадратного).

График квадратного уравнения y = 2x ² – 5x + 1, имеющего бесконечно много решений.

Пример 3. Уравнение с тремя переменными с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

• z = x + y

У этого уравнения бесконечно много решений. В этом случае мы можем выбрать любое действительное значение для x и любое действительное значение для y и найти z, подставив выбранные нами значения x и y в уравнение.

Например:

• Для x = 0 и y = 0 получаем z = 0 + 0 = 0
• Для x = 0 и y = 1 получаем z = 0 + 1 = 1
• Для x = 1 и y = 1 получаем z = 1 + 1 = 2
• и т. д. космос.
  Плоскость (например, z = x + y) отображается в трехмерном пространстве. У уравнения z = x + y есть бесконечные решения.

  Пример 4. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

  Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • 2sin(x) = 1
  • sin(x) = ½
  • x = (12k + 1)π/6, (12k + 5)π/6 для любого целого числа k

  Поскольку k может быть любым целым числом, существуют бесконечно много решений уравнения. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = 2sin(x) и y = 1.

  Здесь показаны некоторые решения уравнения 2sin(x) = 1. Синяя кривая — часть графика y = 2sin(x), а красная линия — горизонтальная линия y = 1. Решения уравнения бесконечны. уравнение 2sin(x) = 1,

  Заметьте, что тот же самый тип шаблона будет иметь место для любой периодической функции (синуса, косинуса и т.д.)

  Пример 5: Уравнение с триггерными функциями с бесконечным числом решений

  Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • cos(x) = 1
  • x = kπ для любого целого числа k

  Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

  Здесь показаны некоторые решения уравнения cos(x) = 1. Синяя кривая — часть графика y = cos(x), а красная линия — горизонтальная линия y = 1. Существует бесконечное количество решений уравнения уравнение cos(x) = 1.

  Пример 6. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

  Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • sin(x) = cos(x)
  • sin(x)/cos(x) = cos(x)/cos(x)
  • tan(x) = 1

  Это происходит, когда x = (8k+1)π/4 и x = (8k+5)π/4 для каждого целого числа k.

  *Примечание: поскольку мы делили на cos(x), мы должны проверить случай, когда cos(x) = 0, что имеет место, когда x = kπ/2 для каждого k. В этом случае sin(x) равен 1, что не равно 0.

  Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

  Здесь показаны некоторые решения уравнения sin(x) = cos(x). Синяя кривая является частью графика y = sin(x), а красная линия является частью графика y = cos(x).