Векторная скорость: Вычисление средней векторной и скалярной скорости (видео)

Скорость – векторная величина

☰

Скорость тела можно определить как расстояние, которое это самое тело проходит за единицу времени. В системе СИ измеряется в м/с (метрах в секунду). Однако в физике скорость рассматривают как расстояние, которое тело проходит в определенном направлении за единицу времени. Так как указывается направление, то скорость становится векторной величиной.

Также нередко в физике понятие «скорость» заменяют на «вектор скорости». Однако часто в русском языке под просто «скоростью» понимают как раз векторную величину. В английском есть два понятия скорости: velocity — скорость как векторная величина, speed – скорость как скалярная величина, обозначающая быстроту перемещения.

Чтобы указать перемещение тела за единицу времени (т. е. его скорость), надо показать 1) насколько переместилось тело за единицу времени и 2) в каком направлении.

На графиках зависимости координаты тела от времени отражается не только скорость тела, но и направление скорости тела.

Так, если координата с течением времени увеличивается, то тело движется в положительном направлении. Если координата с течением времени уменьшается, то тело движется в отрицательном направлении. В первом случае скорость будет положительной величиной, во втором отрицательной. Таким образом и отсюда следует, что скорость — векторная величина.

Для прямолинейного равномерного движения координата (x) тела в момент времени t определяется по формуле x = x₀ + vt. Здесь x₀ — координата тела в момент начала измерения (t₀), v — скорость тела, т. е. его перемещение за 1 единицу времени (обычно секунду). Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то скорость будет иметь отрицательное значение, и тогда формула примет вид x = x

0 – vt.

Ниже в системе координат изображены графики движения трех тел. По графикам видно, как с течением времени менялись координаты тел. Тело, чей график изображен зеленым цветом, двигалось в положительном направлении оси X (которая изображена вертикально), так как чем больше секунд проходило, тем координата x тела становилась больше. То же самое можно сказать о движении тела, чей график синий. Оранжевый график показывает, что тело двигалось в отрицательном направлении оси X (по вертикали вниз), так как с каждой последующей секундой движения его координата уменьшалась.

«Синее» тело двигалось быстрее «зеленого», так как его график имеет более крутой подъем, т. е. координата с каждой секундой менялась сильнее. Это можно увидеть и по формулам. У одного тела v = 2 м/с, у другого v = 4 м/с. Векторная скорость «оранжевого» тела равна -1 м/с. Минус говорит, что оно двигалось в противоположном положительному направлению. Модуль же скорости равен 1 м/с.

Минус перед численным значением скорости вовсе не значит, что тело двигается медленнее, чем то, у которого плюс. Так тело, имеющее вектор скорости -10 м/с, движется быстрее, чем тело, у которого скорость равна 9 м/с. Минус отражает лишь то, что тело движется в обратном направлении.

То, что скорость в физике принимают за векторную величину, есть в том числе следствие того, что в зависимости от направления движения изменение координаты тела на графике может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Изменение координаты находится как разность между последующим и предыдущим моментом времени. Если, например, тело в момент времени через 5 с от начала измерения было в точке с координатой 12 м, а через 6 с — в точке с координатой 16 м, то изменение равно 16 – 12 = 4 м (величина положительная). Если же тело сначала было в точке 12 м, а потом 8 м, то 8 – 12 = -4 м (величина отрицательная).

Неравномерное движение и средняя скорость

Неравномерное движение — движение с переменной скоростью, которая может менять как направление, так и модуль.

Неравномерное движение можно охарактеризовать средней скоростью. Различают среднюю векторную и среднюю скалярную скорости.

Средняя векторная скорость

Определение и формулы

Средняя векторная скорость — это скорость, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого это перемещение было совершено.

v_ср — средняя векторная скорость, s — перемещение тела, совершенное за время t

Направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения.

Чтобы вычислить среднюю векторную скорость, нужно поделить сумму всех перемещений на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти перемещения были совершены:

Пример №1. Миша пробежал стометровку за 16 секунд. Через 1 минуту он вернулся на старт. Найти среднюю векторную скорость мальчика.

Миша совершил одинаковые по модулю, но разные по направлению перемещения. При сложении этих векторов получается 0. Поэтому средняя векторная скорость также равна нулю:

Средняя скалярная скорость

Определение и формулы

Средняя скалярная (путевая) скорость — это скорость, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого этот путь был пройден.

v_ср — средняя путевая скорость, s — путь, пройденный телом за время t

Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, нужно поделить сумму всех путей на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти пути были преодолены:

Пример №2. Мальчик пробежал по периметру квадратного поля сто стороной 100 м. На первые две стороны мальчик потратил по 15 секунд, а на последние две — по 20 секунд. Найти среднюю путевую скорость мальчика.

У квадрата 4 стороны, поэтому путь мальчика составляют 4 дистанции по 100 м каждая. Поэтому средняя путевая скорость равна:

Средняя скалярная скорость всегда больше или равна модулю средней векторной скорости:

• v_ср=v_ср, если путь равен модулю перемещения. Так бывает в случае равномерного прямолинейного движения.
• v_ср>v_ср, если путь больше модуля перемещения. Так бывает в случае неравномерного прямолинейного или любого криволинейного движения.

Пример №3. Рыболов остановился на берегу круглого пруда и увидел на противоположном берегу удобное для рыбалки место. Он к нему шел в течение 2 минут. Вычислите среднюю путевую и среднюю векторную скорости рыболова после того, как он придет на новое место, если радиус пруда равен 50 м.

Две противоположные точки окружности соединяются отрезком, проходящим через его центр — диаметром. Поэтому модуль вектора перемещения равен двум радиусам пруда:

Чтобы дойти до диаметрально противоположной точки окружности, нужно пройти путь, равный половине окружности:

Переведя 2 минуты в СИ, получим 120 с. Модуль средней векторно скорости равен:

Полезные советы и формулы

• Если известны значения отдельных участков пути и скорости на этих участках, средняя скорость равна:

• Если известны скорости на первой и второй половине пути (s₁=s₂), средняя скорость равна:

• Если известно время прохождения отдельных участков пути и скорости движения на этих участках, средняя скорость равна:

• Если тело движется прямолинейно и равноускорено, его средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости:

• Если известны скорости тела за равные промежутки времени, его средняя скорость равна:

Пример №4. Первые полчаса автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч, а потом 1 час он двигался со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Нам известны скорости на каждом из участков пути и время, в течение которого каждый из этих участков был преодолен. Поэтому:

Алиса Никитина | Просмотров: 5.2k

Скорость как касательный вектор

Скорость как касательный вектор

Часть 2:

Скорость как касательный вектор

Если r ( t ) вектор положения движущегося объект в момент времени t , тогда вектор r ( t +D t ) – r

( t ) является секущим вектором , начальный и конечные точки находятся на кривой, очерченной конечным концом р ( т ) .

Таким образом, по мере приближения D t к 0 результирующие секущие векторы все больше и больше напоминает саму кривую в районе r ( t ),

так что, когда D t приближается к 0, коэффициент разности

р ( т +Д т ) – р ( т ) Д т

приближается к касательному вектору, показанному красным выше. Поскольку разница частное также приближается к v ( t ) как D t приближается к 0, получаем следующую теорему:

Теорема 6.2: Вектор скорости v = d r / dt есть касательная к параметризованной кривой в точке с позицией r ( t ) .

Кривая, имеющая касательный вектор в каждой точке, называется гладкой , а параметризация р ( т ), t в [ a,b ], называется гладким , если он параметризует гладкую кривую. Конкретно, r ( t ), t в [ a,b ], является гладким, если v(t) существует, и отличен от нуля для всех t в [ а,б ].

ПРИМЕР 3    Эскиз v (1) в точке касание к r ( t ) = á т ³ , т ² с .

Решение: Для этого сначала продифференцируем, чтобы получить

v ( т ) = д р дт знак равно á3 т 2 ,2 т –

Затем мы принимаем t = 1, чтобы получить

против ( 1) = 3,2 –

что при графическом сравнении r ( t ) дает следующее:

ПРИМЕР 4    Эскиз v ( 5п/2) на точка касания спирали r ( t ) = á 4cos( t ), 4sin( t ), t с .

Решение: Для этого заметим, что

v ( т ) = á -4 sin( t ), 4 cos( t ),1 –

так что вектор скорости в точке t = 5p/2 равен

в 5 шт. 2 = -4 грех 5 шт. 2 , 4 кос 5 шт. 2 ,1  знак равно б-4,0,1 –

который изображен на графике вместе с кривой ниже:

Проверьте свое чтение: Какой самолет v ( p) параллельно if r ( t ) = á cos( t ), sin( t ), t с ?

Касательный вектор (вектор скорости) – Статистика Как

Определения исчисления >

Касательный вектор T (также называемый вектором скорости ) показывает направление движения. Он указывает в направлении касательной и имеет основание в точке касания кривой, а не в начале координат. Они часто используются для изучения изгибов на кривой, потому что изгибы являются результатом изменения направления.

Определение единичного касательного вектора

Единичный касательный вектор определяется как

Где r′(t) — производная вектора положения.

Единичный вектор касательной и единичный вектор нормали находятся на кривой под прямым углом друг к другу. Единичные касательные векторы «слетают» с кривой, как автомобиль на американских горках, а единичные векторы нормали всегда указывают «внутрь» кривой:

Гладкая кривая имеет касательный вектор в каждой точке.

Как найти единичный касательный вектор

Пример вопроса: Найдите единичный касательный вектор для компонентов функции
r( t ) = t, 3cos t , 3sin t >.

Шаг 1: Возьмем производные компонентов. У нас есть три компонента, поэтому нам нужно найти три производных:

Компонент	Производная
т	1
3 cos т	-3sin т
3sin т	3cos т

Это дает нам числитель формулы касательного вектора:
r′(t) = t, 3 cos t >

Шаг 2 Найдите величину r′(t) из шага 1. Это знаменатель в формуле касательного вектора.

1. Подровняйте каждый из компонентов:
   • 1 ² = 1
   • 3sin т ² = 9sin ² т
   • 3 cos t > ² = 9cos ² t
2. Сложите компоненты в квадрате вместе: 1 + 9sin ² t + 9cos ² t
3. Извлеките квадратный корень: √ ( 1 + 9sin ² t + 9cos ² t )
4. Упростите, вынеся 9: √ ( 1 + 9(sin ² t + cos ² т ))
5. Подставляем с помощью тригонометрического тождества sin ² t + cos ² t = 1, что оставляет нам √(10).