Вычисление определенных интегралов: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = (cos(x))/x dx ((косинус от (х)) делить на х)

Содержание

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция y=y(x) является непрерывной из отрезка [a; b] ,а F(x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда

формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫abf(x)dx=F(b)-F(a).

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y=f(x) непрерывна из отрезка [a; b], тогда значение аргумента x∈a; b, а интеграл имеет вид ∫axf(t)dt и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫axf(t)dt=Φ(x), она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫axf(t)dt’=Φ'(x)=f(x).

Зафиксируем, что приращении функции Φ(x) соответствует приращению аргумента ∆x, необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ(x+∆x)-Φx=∫ax+∆xf(t)dt-∫axf(t)dt==∫ax+∆xf(t)dt=f(c)·x+∆x-x=f(c)·∆x

где значение c∈x; x+∆x.

Зафиксируем равенство в виде Φ(x+∆x)-Φ(x)∆x=f(c).  По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆x→0, тогда получаем формулу вида Φ'(x)=f(x). Получаем, что Φ(x) является одной из первообразных для функции вида y=f(x), расположенной на [a; b]. Иначе выражение можно записать

F(x)=Φ(x)+C=∫axf(t)dt+C, где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F(a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F(a)=Φ(a)+C=∫aaf(t)dt+C=0+C=C, отсюда получаем, что C=F(a). Результат применим при вычислении F(b) и получим:

F(b)=Φ(b)+C=∫abf(t)dt+C=∫abf(t)dt+F(a), иначе говоря, F(b)=∫abf(t)dt+F(a). Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫abf(x)dx+F(b)-F(a).

Приращение функции принимаем как Fxab=F(b)-F(a). С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫abf(x)dx=Fxab=F(b)-F(a).

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) из отрезка [a; b] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла ∫13x2dx по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y=x2 является непрерывной из отрезка [1;3], тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что  функция y=x2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x, значит, x∈1; 3 запишется как F(x)=∫x2dx=x33+C. Необходимо взять первообразную с С=0, тогда получаем, что F(x)=x33.

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫13x2dx=x3313=333-133=263.

Ответ: ∫13x2dx=263

Пример 2

Произвести вычисление определенного интеграла ∫-12x·ex2+1dx по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Заданная функция непрерывна из отрезка [-1;2], значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫x·ex2+1dx при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫x·ex2+1dx=12∫ex2+1d(x2+1)=12ex2+1+C.

Отсюда имеем множество первообразных функции y=x·ex2+1, которые действительны для всех x, x∈-1; 2.

Необходимо взять первообразную при С=0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫-12x·ex2+1dx=12ex2+1-12==12e22+1-12e(-1)2+1=12e(-1)2+1=12e2(e3-1)

Ответ: ∫-12x·ex2+1dx=12e2(e3-1)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Произвести вычисление интегралов ∫-4-124×3+2x2dx и ∫-114×3+2x2dx.

Решение

Отрезок -4; -12 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y=4×3+2×2. Получаем, что

∫4×3+2x2dx=4∫xdx+2∫x-2dx=2×2-2x+C

Необходимо взять первообразную F(x)=2×2-2x, тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫-4-124×3+2x2dx=2×2-2x-4-12=2-122-2-12-2-42-2-4=12+4-32-12=-28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [-1;1] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как limx→04×3+2×2=+∞, тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости  из отрезка. Тогда F(x)=2×2-2x не является первообразной для y=4×3+2×2из отрезка [-1;1], так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4×3+2×2 из отрезка [-1;1].

Ответ: ∫-4-124×3+2x2dx=-28, имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y=4×3+2×2 из отрезка [-1;1].

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y=f(x) является определенной и непрерывной из отрезка [a;b], тогда имеющееся множество [a;b] считается областью значений функции x=g(z), определенной на отрезке α; β с имеющейся непрерывной производной, где g(α)=a и gβ=b, отсюда получаем, что ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz.

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫abf(x)dx, где неопределенный интеграл имеет вид ∫f(x)dx, вычисляем при помощи метода подстановки.

Пример 4

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫9181x2x-9dx.

Решение

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2x-9=z⇒x=g(z)=z2+92. Значение х=9, значит, что z=2·9-9=9=3, а при х=18 получаем, что z=2·18-9=27=33, тогда gα=g(3)=9, gβ=g33=18. При подстановке полученных значений в формулу ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz получаем, что

∫9181x2x-9dx=∫3331z2+92·z·z2+92’dz==∫3331z2+92·z·zdz=∫3332z2+9dz

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2z2+9 принимает значение 23arctgz3. Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫3332z2+9dz=23arctgz3333=23arctg333-23arctg33=23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫abf(x)dx=∫αβf(g(z))·g'(z)dz.

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫1x2x-9dx, то можно прийти к результату ∫1x2x-9dx=23arctg2x-93+C.

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫9182z2+9dz=23arctgz3918==23arctg2·18-93-arctg2·9-93==23arctg3-arctg 1=23π3-π4=π18

Результаты совпали.

Ответ: ∫9182x2x-9dx=π18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [a;b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x), тогда их производные первого порядка v'(x)·u(x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u'(x)·v(x) равенство ∫abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-∫abu'(x)·v(x)dx справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫abf(x)dx, причем ∫f(x)dx необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Пример 5

Произвести вычисление определенного интеграла ∫-π23π2x·sinx3+π6dx.

Решение

Функция x·sinx3+π6 интегрируема на отрезке -π2; 3π2, значит она непрерывна.

Пусть u(x)=х, тогда d(v(x))=v'(x)dx=sinx3+π6dx, причем d(u(x))=u'(x)dx=dx, а v(x)=-3cosπ3+π6. Из формулы ∫abv'(x)·u(x)dx=(u(x)·v(x))ab-∫abu'(x)·v(x)dx получим, что

∫-π23π2x·sinx3+π6dx=-3x·cosx3+π6-π23π2-∫-π23π2-3cosx3+π6dx==-3·3π2·cosπ2+π6–3·-π2·cos-π6+π6+9sinx3+π6-π23π2=9π4-3π2+9sinπ2+π6-sin-π6+π6=9π4-3π2+932=3π4+932

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x·sinx3+π6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫x·sinxx3+π6dx=u=x, dv=sinx3+π6dx⇒du=dx, v=-3cosx3+π6==-3cosx3+π6+3∫cosx3+π6dx==-3xcosx3+π6+9sinx3+π6+C⇒∫-π23π2x·sinx3+π6dx=-3cosx3+π6+9sincosx3+π6—3·-π2·cos-π6+π6+9sin-π6+π6==9π4+932-3π2-0=3π4+932

Ответ: ∫x·sinxx3+π6dx=3π4+932

Онлайн калькулятор. Решение определенных интегралов онлайн

Оператор

Описание

Простейшие математические операции

+ – * / ()

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы: + – * / () .x

Тригонометрические функции

sin(x)

Синус от x: sin(x)

cos(x)

Косинус от x: cos(x)

tg(x)

Тангенс от x: tan(x)

ctg(x)

Котангенс от x: 1/tan(x)

arcsin(x)

Арксинус от x: arcsin(x)

arccos(x)

Арккосинус от x: arccos(x)

arctan(x)

Арктангенс от x: arctan(x)

arcctg(x)

Арккотангенс от x: \pi/2 – arctan(x)

Некоторые константы

e

Число Эйлера e: \e

π

Число π: \pi

Приближённые вычисления определённых интегралов с помощью рядов.{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $\varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $\int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена.

Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

  1. Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
  2. Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
  3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}$.

    Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во второй части.

    Численное вычисление интегралов

    

    Численное вычисление интегралов  5.3. Численное вычисление определенных интегралов

     Технология приближенного вычисления

    Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

    Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла. Технологию численного вычисления определенного интеграла в Excel с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

    Пример 19. Требуется вычислить определенный интеграл      Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

    Решение:

    1. Табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 с шагом 0,2 (рис. 30)

     Рисунок 30

    2. В ячейку С2 введите формулу = (A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2, которая реализует часть приведенной выше формулы, размещенной правее знака суммы, т.е вычисляет величину элементарной площадки (трапеции).

    3. Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С2 до значения ар-гумента х = 2,8.

    4. В ячейке С17 просуммируйте с помощью автосуммирования полученные ре-зультаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла – 9.

    Технология точного вычисления

    Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления нужно выполнить следующие операции:

    1.   Определить на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде количества итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов.

    2.  Выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций введем число 10000. Если установлен флажок Итерации, то выключим его. Закроем диалоговое окно Параметры.

    3.  В ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 31).

    Рис. 31

    В ячейке В6 формула =(B4-B2)/B5 вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула = 0+C3+B6 – вычисляет текущее значение аргумента х. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку  – С3 +В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела.

    В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

    4.  После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат (рис. 44).

    5.  После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

      К предыдущей    К следующей    Открыть содержание темы

    “Приближенные методы вычисления определенных интегралов”

    ТЕМА: Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

    ЦЕЛЬ: рассмотреть приближенные методы вычисления интегралов на основании геометрического смысла интеграла.

    ЗАДАЧИ:

    образовательные:

    – изучение приближенных методов вычисления определенных интегралов: метода прямоугольников и метода трапеций, параболических трапеций;

    – формирование умений и навыков вычисления определенных интегралов методами прямоугольников и трапеций, параболических трапеций;

    воспитательные:

    – воспитание самостоятельности, инициативности, решительности, уверенности в себе, стремления к творческому поиску и исследовательской деятельности;

    развивающие:

    – развитие концентрации внимания, абстрактно-логического мышления,

    ТИП: урок новых знаний.

    МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:  проблемное изложение учебного материала.

    ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ

    Дифференциальное исчисление.

    Дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям.

     Интегральное исчисление.

    и определенный интегралы, методы их решений.

    МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ

    1. Дисциплина «Естествознание».

    Современные естественнонаучные знания о мире.

    2.5. Вещество и поле, их взаимодействие.

    2. Дисциплина «Экономическая статистика».

    Отражение результатов производства.

    МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ: презентация, раздаточный материал.

    Студент должен

    знать:

    формулы приближенного вычисления определенного интеграла:

    – формулу прямоугольников;

    – формулу трапеций;

    – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона).

    уметь:

    – вычислять определенные интегралы приближенно методами прямоугольников и трапеций, параболических трапеций.

    ХОД ЗАНЯТИЯ

    1. Организационный момент

    Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

    Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально.

    2. Сообщение темы, целей занятия

    Преподаватель объявляет тему занятия, привлекает студентов к постановке целей и задач занятия.

    3. Мотивация

    Чтобы вдохновиться на изучение нового материала, вспомним о полезности интеграла.

    Выясним, в чем состоит экономический смысл интеграла:

    Экономический смысл интеграла

    Z(t) — функция производительности труда от времени

    V(t) — функция объема произведенной продукции от времени

    Z(t) =V'(t)

    V(t) — первообразная Z(t)

    Объем произведенной продукции есть первообразная производительности труда

    Применение интеграла в естествознании.

    Перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:

      

    Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:

    4. Актуализация опорных знаний.

    а) фронтальный опрос.

    1. Что называют неопределенным интегралом функции ?

    2. Что называют определенным интегралом от a до b функции ?

    3. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

    4) Какие два метода интегрирования вы знаете?

    5) Какие вопросы можно задать об этих двух методах? (выбранный студент опрашивает группу о том, на чем основан метод непосредственного интегрирования и в каких случаях применяется метод замены переменной).

    6) Что называют прямоугольником? Начертите изображение прямоугольника и запишите формулу его площади.

    7) Выполните те же задания, но для трапеции.

    б) тестирование по теме “Интеграл”.

    Вариант 1.

    1) Вычислите:

    Ответ: а) 27 б) 24 в) 18 г) 21

    Ответ: а) -2 б) 2 в) -3 г) 3

    Ответ: а) 26/3 б) 28/3 в) 15/2 г) 47/6

    2) Найдите интеграл: 

    Ответ: а) 1.5 б) 2/3 в) -2/3 г) не существует.

    3) При каком значении “а” выполняется равенство ?

    Ответы: а) 2/3 б) 8/3 или -2 в) 2 или -1/3 г) -3

    4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x2+x+2

    Ответы: а) 13/3 б) 29/6 в) 16/3 г) 4,5

    Вариант 2.

    1) Вычислите:

    •  

    Ответы: а) 25/3 б) 28/3 в) 26/3 г) 29/3

    Ответы: -3.5 б) 1.5 в) -1.5 г) -3.5

    Ответ: а) 22/9 б) -14/9 в) -22/9 г) 14/9

    2) Найдите интеграл. 

    Ответ: а) 0 б) -12 в) не существует. Г) 12

    3) При каком значении “а” выполняется равенство ?

    Ответы: а) 2, -13/3 б) -4 в) 4, -5/2 г) -3,9/4

    Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x2+4x-3

    Ответы: а) 4/3 б) -1,5 в) 11/6 г)7/6

    5.  Формирование новых знаний и способов действий

    Организация деятельности

    Предполагается, проводить работу 3-мя группами.

    1-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования — формулой прямоугольников

    2-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой трапеций

    3-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона)

    Описание

    Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Но вычислить интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.

    Вычислить интеграл точно по формуле Ньютона – Лейбница с целью оценки погрешности при приближенном вычислении этого же интеграла.

    Все три группы одновременно вычисляют интеграл :

    Пример 1

     =  .

    Блок 1

    Разделим интервал интегрирования  на  равных частей (частичных интервалов) и заменим данную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции  в начальных или конечных точках частичных интервалов. Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла  .

    Если обозначить значения функции  в точках деления через , то будем иметь следующую формулу — формулу прямоугольников :

    или

    Блок 2

    Оставим разбиение интервала  прежним, но заменим теперь каждую дугу линии  , соответствующую частичному интервалу . хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию  прямолинейными. Площадь каждой трапеции, построенной на частичном интервале, равна полусумме площадей , соответствующих этому интервалу прямоугольников. Суммируя все эти площади, получим формулу трапеций :

    Блок 3

    Разобьем интервал  на  равных частей , но предположим, что  – четное число: . Заменим дугу линии , соответствующую интервалу  , дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги , среднюю точку  , конечную точку  . Площадь данной трапеции приближенно равна сумме площадей получающихся параболических трапеций и выражается формулой :

    1 группа

    Решает пример 1 по формуле прямоугольников : при 

    Таблица расчетов :

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1

    0,9615

    0,8621

    0,7353

    0,6098

    0,5

    2 группа

    Решает пример 1 по формуле трапеций : при 

    Таблица расчетов :

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1

    0,9615

    0,8621

    0,7353

    0,6098

    0,5

    3 группа

    Решает пример 1 по формуле параболических трапеций : при 

    Таблица расчетов :

    1

    2

    3

    4

    0

    1

    Занесем итоги расчета в таблицу и сравним:

    абсолютная погрешность

    относительная погрешность

    формула Н-Л

    0,7854

    фор-ла прям-ков

    0,8337

    6,1 %

    фор-ла трапеций

    0,7837

    фор-ла Симпсона

    0,7854

    0

    0

      = 6,1 %

     

    Вывод : гипотеза о том, что с помощью формул численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы подтвердилась. Однако, при одном и том же значении  формула Симпсона дает лучшее приближение.

    6. Закрепление материала

    Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

    Решение:

    Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

    х k = a + k  х

    х0 = 2 + 0* = 2 х1 = 2 + 1* = 2,5 х2 = 2 + 2* =3

    х3 = 2 + 3 * = 3,5 х4 = 2 + 4* = 4 х5 = 2 + 5 * = 4,5

    f (x0) = 22 = 4

    f (x 1 ) = 2 ,52 = 6,25

    f (x 2 ) = 32 = 9

    f (x 3 ) = 3,52 = 12,25

    f (x 4 ) = 42 = 16

    f (x 5 ) = 4,52 = 20,25

    х 2 2,5 3 3,5 4 4,5

    у 4 6,25 9 12,25 16 20,25

    По формуле (1):

    Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

    Пример 2.Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

    а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
    б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

    Решение: 
    а)
    По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
    Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом.

    Сколько будет точек  (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:

    Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

    Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

    Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой.

    Окончательно:

    б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

    Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

    Найдем шаг разбиения:
    , то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

    При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

    В первой строке записываем «счётчик»

    Как формируется вторая строка– сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

    В результате:

    Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило, то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

    Пример 3

    Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков 

    Решение:  Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

    Вычислим шаг разбиения: 

    Заполним расчетную таблицу:


    В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

    Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

    В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

    В результате:

    Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

    Вычислим шаг разбиения: 

    Заполним расчетную таблицу:

    Таким образом:

    Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

    Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
    , и точность здесь уже не страдает:

    Рассмотрим другое решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как  больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

    Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

    Вычислим шаг: 

    И снова заполним расчетную таблицу:

    Таким образом:

    Оцениваем погрешность:

    Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

    Ответ:  с точностью до 0,001

    Приведенные правила численного интегрирования помогают решать прикладные задачи.

    Прикладная задача

    Ширина реки равна 20м; промеры глубины в некотором поперечном ее сечении через каждые 2м дали следующую таблицу :

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    0.2

    0,5

    0,9

    1,1

    1,3

    1,7

    2,1

    1,5

    1,1

    0,6

    0,2

    Расстояние (в метрах) от одного из берегов обозначено через  , соответствующая глубина реки ( также в метрах) – через Требуется найти площадь  поперечного сечения реки.

    По формуле Симпсона находим :

    7. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. Самостоятельная работа студентов:

    Вариант 1

    Вариант 2

    Обсуждение решения.

    8. Подведение итогов занятия

    Обобщаются новые знания, делаются выводы студентами о достигнутых целях. Отмечаются активные студенты.

    9. Домашнее задание

    Студенты записывают домашнее задание, преподаватель объясняет способ его выполнения.

    Домашнее задание:

    Вычислить интеграл приближенно методами: 1) прямоугольников; 2) трапеций и точно – по формуле Ньютона-Лейбница; найти абсолютные погрешности приближений:


    Литература

    1. Пахомова Н.Ю. Метод учебного проекта в образовательном учреждении: Пособие для учителей и студентов пед.вузов, — М:АРКТИ, 2005г.

    2. Чечель И.Д Исследовательский проекты в практике обучения. «Практика административной работы в школе» , 6/2003 г.

    3. Богомолов Н.В. Практические задания по математике. – М.:Высшая школа, 1990.

    4. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов. — М.: Наука, 1967.

    5.2: Определенный интеграл – математика LibreTexts

    Цели обучения

    • Укажите определение определенного интеграла.
    • Объясните термины «интеграция», «пределы интегрирования» и «переменная интегрирования».
    • Объясните, когда функция интегрируема.
    • Опишите взаимосвязь между определенной интегральной и чистой площадью.
    • Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.
    • Вычислить среднее значение функции.∗ _i) Δx. \]

      Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \ (f (x) \) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

      Определение и обозначения

      Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \ (f (x) \) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗ _i) Δx, \]

      при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция \ (f (x) \) называется интегрируемой на \ ([a, b] \) или интегрируемой функцией.

      Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без \ (a \) и \ (b \) сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают.Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл – это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

      Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования \ (∫ \) – удлиненный \ (S \), обозначающий сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала \ ([a, b]. \) Числа \ (a \) и \ (b \) являются \ (x \) – значениями и называются пределами интеграции ; в частности, \ (a \) – нижний предел, а \ (b \) – верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово limit двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Сначала поговорим о пределе суммы при \ (n → ∞.\) Во-вторых, границы области называются пределами интеграции .

      Мы называем функцию \ (f (x) \) подынтегральным выражением , а \ (dx \) указывает, что \ (f (x) \) является функцией по отношению к \ (x \), называемой переменная интегрирования . Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла. В качестве переменной интегрирования мы можем использовать любую понравившуюся переменную:

      \ [∫ ^ b_af (x) \, dx = ∫ ^ b_af (t) \, dt = ∫ ^ b_af (u) \, du \]

      Ранее мы обсуждали тот факт, что если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b], \), то предел \ (\ displaystyle \ lim_ {n → ∞} \ sum_ {i = 1 } ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx \) существует и единственно.Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

      Интегрируемые непрерывные функции

      Если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b] \), то \ (f \) интегрируемо на \ ([a, b]. \)

      Функции, которые не являются непрерывными на \ ([a, b] \), могут быть интегрируемыми, в зависимости от природы разрывов. Например, функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке интегрируемы.

      Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.2 \, dx. \) Используйте приближение правой конечной точки для генерации суммы Римана.

      Решение

      Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \ (a = 0 \) и \ (b = 2 \). Для \ (i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (P = {x_i} \) – регулярное разбиение \ ([0,2]. \), Тогда

      \ [Δx = \ dfrac {b − a} {n} = \ dfrac {2} {n}. \ nonumber \]

      Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого \ (i \) нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала \ ([x_ {i − 1}, x_i].3_0 (2x − 1) \, dx \).

      Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

      Подсказка

      Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {1} \).

      Ответ

      6

      Вычисление определенных интегралов

      Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений.Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без , взяв пределы сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислять определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси \ (x \).4_2 (2х + 3) \, dx \).

      Подсказка

      Постройте график функции \ (f (x) \) и вычислите площадь под функцией на интервале \ ([2,4]. \)

      Ответ

      18 квадратных единиц

      Площадь и определенный интеграл

      При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности \ (f (x) \). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \ (f (x) \) отрицательно?

      Чистая подписанная площадь

      Вернемся к сумме Римана.∗ _i) Δx = (\ text {Площадь прямоугольников над} x \ text {-axis}) – (\ text {Площадь прямоугольников под} x \ text {-axis}) \ nonumber \]

      Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): для функции, которая частично отрицательна, сумма Римана – это площадь прямоугольников над осью \ (x \) за вычетом площади прямоугольников под \ (x \) -ось.

      Принимая предел как \ (n → ∞, \), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \ (x \) и осью \ (x \), за вычетом площади между кривой ниже \ (x \) – ось и \ (x \) – ось, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).nf (c_i) Δx = A_1 − A_2. \]

      Величина \ (A_1-A_2 \) называется чистой подписанной областью .

      Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В пределе определенный интеграл равен площади \ (A_1 \) за вычетом площади \ (A_2 \) или чистой подписанной области.

      Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью \ (x \) больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью \ (x \) – больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси \ (x \) равны, чистая подписанная область равна нулю.

      Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск чистой подписанной области

      Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции \ (f (x) = 2x \) и осью \ (x \) на интервале \ ([- 3,3]. \)

      Решение

      Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \ (x = −3 \) до \ (x = 0 \), а другой от \ (x = 0 \) до \ (x = 3 \) ( Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)). Используя геометрическую формулу для площади треугольника \ (A = \ dfrac {1} {2} bh \), площадь треугольника \ (A_1 \) над осью равна

      .

      \ (A_1 = \ dfrac {1} {2} 3 (6) = 9 \),

      , где \ (3 \) – основание, а \ (2 (3) = 6 \) – высота.3 _ {- 3} 2x \, dx = A_1 − A_2 = 9−9 = 0. \)

      Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Площадь над кривой и под осью \ (x \) равна площади под кривой и над осью \ (x \).

      Анализ

      Если \ (A_1 \) – это площадь над осью \ (x \) – и \ (A_2 \) – это площадь под \ (x \) – осью, то чистая площадь равна \ (A_1 − A_2 \) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

      Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

      Найдите чистую знаковую площадь \ (f (x) = x − 2 \) на интервале \ ([0,6] \), как показано на следующем рисунке.

      Подсказка

      Используйте метод решения, описанный в примере \ (\ PageIndex {3} \).

      Ответ

      6

      Общая площадь

      Одно из применений определенного интеграла – это нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \ (v (t) \) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

      Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью \ (70 \) миль в час в течение \ (2 \) часов, то он находится на расстоянии \ (140 \) миль от исходного положения (рис. \ (\ PageIndex {5} \)).2_0 70 \, dt = 140 \, \ text {миль}. \ nonumber \]

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Площадь под кривой \ (v (t) = 70 \) показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

      В контексте смещения, чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).5_2−40 \, dt = 120−120 = 0. \ Nonumber \]

      В этом случае смещение равно нулю.

      Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Площадь над осью и область под осью равны, поэтому чистая подписанная область равна нулю.

      Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \ (t \), независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью .

      С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).5_240 \, dt = 120 + 120 = 240. \ Nonumber \]

      Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

      Определение: Чистая подписанная площадь

      Пусть \ (f (x) \) – интегрируемая функция, определенная на интервале \ ([a, b] \). Пусть \ (A_1 \) представляет область между \ (f (x) \) и \ (x \) – осью, которая лежит над осью, и пусть \ (A_2 \) представляет область между \ (f (x) \ ) и \ (x \) – ось, лежащая ниже оси. b_af (x) \, dx = A_1 − A_2.b_a | f (x) | \, dx = A_1 + A_2. \]

      Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение общей площади

      Найдите общую площадь между \ (f (x) = x − 2 \) и осью \ (x \) на интервале \ ([0,6]. \)

      Решение

      Вычислить \ (x \) – точку пересечения как \ ((2,0) \) (установить \ (y = 0, \) решить для \ (x \)). Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси \ (x \) на подынтервале \ ([0,2] \) и добавьте ее к области над осью \ (x \) на подынтервале \ ( [2,6] \) (Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).2 \)

      Свойства определенного интеграла

      Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

      Правило: свойства определенного интеграла

      1. a_af (x) \, dx = 0 \ end {уравнение} \]

      Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.2_1f (х) \, dx. \)

      Подсказка

      Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {6} \) и правило свойств определенных интегралов.

      Ответ

      \ (- 7 \)

      Сравнительные свойства интегралов

      Изображение иногда может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции.Интуитивно можно сказать, что если функция \ (f (x) \) находится над другой функцией \ (g (x) \), то область между \ (f (x) \) и \ (x \) – ось больше, чем область между \ (g (x) \) и \ (x \) – осью. Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, \ (a b \). Однако следующие свойства относятся только к случаю \ (a≤b \) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

      Теорема сравнения

      и.2} \) и \ (g (x) = \ sqrt {1 + x} \) на интервале \ ([0,1] \).

      Решение

      Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале \ ([0,1]. \). Первоначально, при построении графика на графическом калькуляторе, \ (f (x) \) кажется выше \ (g (x )\) где угодно. Однако на интервале \ ([0,1] \) графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \ ([0,1], \, g (x) \) находится выше \ (f (x) \). Две функции пересекаются в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).1_0f (x) \, dx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале \ ([0,1]. \)

      Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) График показывает, что на интервале \ ([0,1], g (x) ≥f (x), \), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

      Среднее значение функции

      Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка – это ваше среднее значение результатов теста, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,

      \ [\ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ dfrac {482} {6} ≈80,33. \ nonumber \]

      Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

      Однако предположим, что у нас есть функция \ (v (t) \), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \ (t \), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \ (v (t) \) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

      Пусть \ (f (x) \) непрерывно на интервале \ ([a, b] \) и пусть \ ([a, b] \) разделен на n подинтервалов шириной \ (Δx = (b − a ) / п \).b_af (x) \, dx. \ label {averagevalue} \]

      Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск среднего значения линейной функции

      Найдите среднее значение \ (f (x) = x + 1 \) на интервале \ ([0,5]. \)

      Решение

      Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).

      Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График показывает площадь под функцией \ ((x) = x + 1 \) над \ ([0,5]. \)

      Область представляет собой трапецию, лежащую на ее стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \ (A = \ dfrac {1} {2} h (a + b), \), где \ (h \) представляет высоту, а \ (a \) и \ (b \) представляют две параллельные стороны.5_0x + 1 \, dx = \ dfrac {1} {5} ⋅ \ dfrac {35} {2} = \ dfrac {7} {2} \).

      Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

      Найдите среднее значение \ (f (x) = 6−2x \) на интервале \ ([0,3]. \)

      Подсказка

      Используйте формулу среднего значения (Equation \ ref {averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

      Ответ

      \ (3 \)

      Ключевые понятия

      • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой подписанной площади, которая представляет собой площадь над осью \ (x \) за вычетом площади под осью \ (x \).Чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой.
      • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральное выражение, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
      • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
      • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
      • Площадь под кривой многих функций может быть вычислена с использованием геометрических формул.b_cf (х) \, dx \)

        Глоссарий

        среднее значение функции
        (или \ (f_ {ave}) \) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала
        определенный интеграл
        первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \ (x \) на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
        интегрируемая функция
        функция интегрируема, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при \ (n \) стремится к бесконечности, существует
        подынтегральное выражение
        функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
        пределы интеграции
        эти значения появляются рядом с верхней и нижней частью знака интеграла и определяют интервал, в котором функция должна быть интегрирована
        чистая подписанная площадь
        область между функцией и осью \ (x \) – такая, что область ниже оси \ (x \) вычитается из области над осью \ (x \); результат совпадает с определенным интегралом функции
        общая площадь
        общая площадь между функцией и осью \ (x \) вычисляется путем сложения площади над осью \ (x \) и площади под осью \ (x \); результат такой же, как и определенный интеграл от модуля функции
        переменная интегрирования
        указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \ (x \), то за функцией в подынтегральном выражении следует \ (dx \)

        Авторы и авторство

        • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

        Определенные интегралы и площади – Концепция

        Определенные интегралы можно использовать для определения площади под, над или между кривыми. Если функция строго положительна, область между ней и осью x является просто определенным интегралом. Если он просто отрицательный, площадь равна -1, умноженному на определенный интеграл. При нахождении площади между двумя положительными функциями площадь представляет собой определенный интеграл от более высокой функции за вычетом нижней функции или определенный интеграл от (f (x) -g (x)).

        Я хочу поговорить о том, как можно использовать определенные интегралы для определения площади. Прежде всего, есть 2 основных типа проблем местности. Сначала область между y = f некоторой кривой x и осью x от x = a до x = b. Эта ситуация выглядит так.
        Итак, если это ваш график y = f от x. Если ваш график, если ваша функция полностью не отрицательна на этом интервале, то есть выше оси x, то определенный интеграл даст вам точную площадь.Однако, если ваша функция y = f of x находится здесь, если она ниже оси x, если она не положительна, определенный интеграл не дает вам площадь, которую он дает вам, противоположную площади. Поэтому, если вы ищете эту область, вы можете использовать определенный интеграл, но вам просто нужно не забыть перевернуть знак. Вы получите отрицательное число, вы должны сделать его положительным. Так что просто имейте это в виду. Когда функция отрицательная, вы получите противоположную площадь, когда положительная, вы получите площадь.
        И вторая проблема – это область между двумя кривыми. Итак, скажем, наши 2 кривые – это y = f для x и y = g для x. И нас интересует область между x = a и x = b, и вот ситуация. y = f of x – это верхняя из двух кривых, y = g of x – нижняя. Вот что я здесь сказал. Когда f x больше или равно g x на интервале площади, здесь эта область, эта полоса будет равна площади под y = f x. Это вся площадь под этой кривой и над осью x за вычетом площади под y = g для x.Вот эта область. Так что возьмите всю область, вычтите это. И каждая из этих областей может быть представлена ​​интегралами. Итак, это площадь под f x. Это площадь под g для x, и мы вычитаем, потому что оказывается, что вы можете записать эту разность интегралов как интеграл разности функций. Таким образом, вы можете объединить в один интеграл и получить всю площадь между двумя кривыми. Это интеграл от a до b, от левой конечной точки до правой конечной точки верхней функции минус нижней функции.{b} {f \ left (x \ right) dx \, = \, F \ left (b \ right) \, – \, F \ left (a \ right)}, $$

        , где f ( x ), скажем, является непрерывной функцией на [ a , b ], а F ( x ) является ее примитивной функцией, затрудняется тем фактом, что фактическое определение F ( x ) возможно только в редких случаях. По этой причине большое значение имеют формулы для приближенного вычисления интегралов. В этой главе мы познакомимся с наиболее важными из них.{\ left (n \ right)} \ right)}} $$

        (1.1)

        и называются механическими квадратурными формулами . Сумма в правой части (1.1) называется квадратурной суммой . Числа x k ( n ) принадлежат интервалу [ a , b ] и называются узлами квадратурной формулы, а числа A k ( n ) – это коэффициенты квадратурной формулы.{\ left (n \ right)}. $$

        Интервал интегрирования [ a , b ] также может быть бесконечным. Подынтегральное выражение записывается в виде произведения двух функций: p ( x ) и f ( x ). Первый из них, p ( x ), считается фиксированным для данной формулы (1.1) и называется весовой функцией . Функция f ( x ) принадлежит к некоторому достаточно широкому классу функций, например, непрерывных и таких, что интеграл в левой части (1.1) существует.

        [Python] Как вычислить определенный интеграл

        Для вычисления интеграла, определенного в python, мы используем функцию integration () библиотеки sympy

        интегрировать (y, (x, a, b))

        • Первый аргумент y – это подынтегральное выражение , функция f (x) .
        • Второй аргумент – это переменная интегрирования dx и интервал интегрирования (a, b).

        Эта инструкция вычисляет определенный интеграл функции f (x).

        Примечание . Переменная интегрирования (x) должна быть определена как символ. Вывод функции также возвращается в символьной форме.

        Примеры

        Пример 1

        Этот скрипт вычисляет определенный интеграл от f (x) = 3x в интервале (5,7)

        импорт sympy as sp
        x = sp. {3} 5x \: \: dx = 20 $$

        Пример 3

        Этот скрипт выполняет те же предыдущие вычисления с использованием метода Integration () в качестве метода

        .

        импорт sympy as sp
        х = пр.Символ (‘x’)
        у = 5 * х
        y.integrate ((x, 1,3))

        Результат следующий

        20

        Это тот же результат, что и в предыдущем упражнении, определенный интеграл 5x в интервале (1,3). Однако это достигается не функцией, а методом.

        http://how.okpedia.org/en/python/how-to-calculate-the-definite-integral-in-python


        Интегральный калькулятор

        ∫ онлайн – с шагом

        Наверное, никто не станет спорить, что решать математические задачи иногда бывает сложно.Особенно если речь идет об интегральных уравнениях. Если у вас возникнут трудности с ними, вы можете воспользоваться этим калькулятором, который предлагает пошаговое решение. Использовать онлайн-калькулятор интегралов очень просто, просто введите уравнение, которое нужно решить. Как вариант, вы можете использовать кнопку по умолчанию, чтобы не терять время. Когда вы видите каждый шаг процесса, легко найти ошибки в своих расчетах. Используйте дополнительные параметры калькулятора, если вас не совсем устраивают результаты.Не нужно плакать и нервничать из-за математической задачи. Просто поищите альтернативные решения, такие как этот онлайн-инструмент.

        Виды интегралов

        Неопределенные и определенные интегралы

        Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных некоторая функция

        Пример:

        Определенный интеграл функции f (x) на интервале [a; b] – это предел интегральных сумм, когда диаметр разбиения стремится к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных сегментов.

        Пример:

        Собственные и несобственные интегралы

        Собственный интеграл – это определенный интеграл, который ограничен как расширенной функцией, так и областью интегрирования.

        Пример:

        Неправильный интеграл – это определенный интеграл, который является неограниченной или расширенной функцией, или областью интегрирования, или обоими вместе

        Пример:

        Тогда функция, определенная на полупрямой и интегрируемая на любом интервале Предел интеграла и называется несобственным интегралом первого вида функции от а до и

        Пособие содержит основы теории некоторого интеграла.Приведены примеры решения типовых задач. Представлено большое количество задач для самостоятельного решения, в том числе варианты индивидуальной расчетной задачи, содержащие ситуационные (прикладные) задачи.
        Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в рамках учебной программы.
        Учебное пособие предназначено для студентов биомедицинского факультета с целью оказания помощи в освоении учебного материала, а теоретическая часть учебного материала может рассматриваться как конспект лекций.В статье даны определения основных понятий и формулировки теорем, рабочие формулы и математические выражения, даны практические рекомендации по анализу примеров с целью облегчения усвоения материала и выполнения курсовой расчетной задачи.

        Калькулятор определенного интеграла

        Понятие особого интеграла и процедура вычисления – интегрирования используются в самых разных задачах физики, химии, технологии, математической биологии, теории вероятностей и математической статистики.Необходимость использования определенного интеграла приводит к задаче расчета площади криволинейной области, длины дуги, объема и массы тела с переменной плотностью, пути, пройденного движущимся телом, работы переменной силы, потенциала электрического поля и многого другого.
        Общим для этого типа задач является подход к решению проблемы: большое может быть представлено как сумма малого, площадь плоской области может быть представлена ​​как сумма площадей прямоугольников, в которые область мысленно делится, объем – сумма объемов частей, масса тела – сумма масс частей и т. д..
        Математика обобщает прикладные задачи, заменяя физические геометрические величины абстрактными математическими понятиями (функция, диапазон или область интегрирования), исследует условия интегрируемости и предлагает практические рекомендации по использованию определенного интеграла.
        Теория определенного интеграла является неотъемлемой частью раздела математического анализа – интегрального исчисления функции одной переменной.
        Вы можете изменить направление. Результатом будет отрицательное выражение исходной функции:

        Если вы рассматриваете интегральный интервал, который начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат будет 0:

        .

        Вы можете сложить два соседних интервала вместе:

        Историческая справка

        История понятия интеграла тесно связана с проблемами нахождения квадратур, когда задачами квадратуры той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи по вычислительным областям.Латинское слово «quadratura» переводится как «дающий

        ».

        квадратной формы. Необходимость особого термина объясняется тем, что в древности понятия

        реальных

        чисел, поэтому математики оперировали их геометрическими аналогами или скалярными величинами. Тогда задача нахождения площадок была сформулирована как задача «квадрата круга»: построить квадрат, изометричный этому кругу. Ученым, предвидевшим понятие интеграла, был древнегреческий ученый Евдокс Книдский, живший примерно в 408–355 годах до нашей эры.Он дал полное доказательство теоремы об объеме. пирамиды, теоремы о том, что площади двух окружностей соотносят как квадраты их радиусы. Чтобы доказать это, он применил метод «истощения», который нашел применение в трудах его последователей. Вслед за Евдоксом метод «исчерпания» и его варианты расчета объемов и квадратов использовал древний ученый Архимед. Успешно развивая свои идеи переделки, он определил окружность, площадь круга, объем и поверхность шара. Он показал, что определение объема шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема цилиндра.Архимед предвосхитил многие идеи интегральных методов, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем они получили четкую математическую схему и превратились в интегральное исчисление.

        Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчисления, связанные с операциями дифференцирования и интегрирования, а также их применение для решения прикладных задач. Теория была

        разработан в конце 17 века и основан на идеях, сформулированных европейским ученым И.Кеплер. Он в 1615 году нашел формулы для расчета объема ствола и объемов самых разных тел вращения.

        Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, часто очень изобретательные методы, которые были крайне неудобными. Попытки найти общие, но главное простые методы решения подобных задач и привели к появлению интегрального исчисления, теория которого И. Кеплер в

        г.

        разработал в своем эссе «Новая астрономия», опубликованном в 1609 году.

        С помощью этих формул он выполняет вычисление, эквивалентное вычислению определенного интеграла:

        В 1615 году он написал эссе «Стереометрия винных бочек», где правильно рассчитал количество площадей, например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом, и объемы, а тело было разрезано на бесконечно тонкие пластины. Эти исследования продолжили итальянские математики Б. Кавальери и Э. Торричелли. В 17 веке много открытий, связанных с интегральным исчислением.Так, П. Фарм в 1629 г.

        г.

        Я исследовал проблему возведения в квадрат любой кривой в году, нашел формулу для их вычисления и на этой основе решил ряд задач по нахождению центра тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу,

        Учитель Ньютона вплотную подошел к пониманию связи интеграции и дифференциации. Большое значение имели работы английских ученых по представлению функций в виде степенных рядов.

        Немецкий ученый Г. Лейбниц одновременно с английским ученым И. Ньютоном в 80-х годах 17 века разработал основные принципы дифференциального и интегрального исчисления. Теория приобрела силу после того, как Лейбниц и Ньютон доказали, что дифференциация и интегрирование – взаимно обратные операции. Это свойство хорошо известно Ньютону, но только Лейбниц увидел здесь ту чудесную возможность, которая открывает использование символического метода.

        Интеграл Ньютона или «беглый» предстал прежде всего как неопределенный, то есть как примитивный.Напротив, понятие интеграла у Лейбница выступало прежде всего в форме определенного интеграла в виде сумм бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, на которые разбивается та или иная величина. Введение понятия интеграла и его обозначений Г. Лейбница относится к осени 1675 года. Знак интеграла был опубликован в статье Лейбница в 1686 году. Термин «интеграл» впервые в печати был использован Швейцарский ученый Дж. Бернулли в 1690 году.Тогда

        также вошло в употребление выражение «интегральное исчисление», до этого Лейбниц говорил о «суммирующем исчислении». Вычисление интегралов произведено Г. Лейбницем и его учениками, первыми из которых были братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они свели вычисление к операции, обратной

        .

        дифференциация, то есть поиск первообразных. Постоянная интеграция в печати появилась в статье Лейбница в 1694 году.

        Проблема:

        Решение:

        Вот краткое и простое объяснение природы интегралов для лучшего понимания такого рода математических задач.

        Интеграл является результатом непрерывного суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых членов. Интеграция функции берет бесконечно малые приращения ее аргументов и вычисляет бесконечную сумму приращений функции в этих секциях. В геометрическом смысле удобно рассматривать интеграл от двумерной функции в определенном сечении как площадь фигуры, замкнутую между графиком этой функции, осью X и прямыми линиями, соответствующими выбранный интервал перпендикулярно ему.

        Пример: Интегрирование функции Y = X² на интервале от X = 2 до X = 3. Для этого нам нужно вычислить первообразную интегрируемой функции и взять разность ее значений за концы интервал.
        X³ / 3 в точке X = 3 занимает 9, а в точке X = 2 мы имеем 8/3. Следовательно, значение нашего интеграла 9 – 8/3 = 19/3 ≈ 6,33.

        Integral Calculator Отзывы покупателей

        Час до турнирной таблицы и я ничего не понял :(…

        Добавлены примеры решения интегралов. Спасибо за комментарий.

        Спасибо за статью, учебники пишут такую ​​чушь! Мол, вот, напишите сюда и все понятно, вот вам все решение, без объяснения причин! По крайней мере, теперь я понимаю, что все такие интегралы, т.е. суть понятны. И таблица очень хорошая, полная.

        Здесь все ясно, нужно сидеть и думать. И попробуйте решать задачи по физике с помощью интегралов… В частности теоретические основы электротехники, там можно гнуть про излучение и оптику вообще молчу :)))) (

        Большое человеческое спасибо .. Учебники непонятные и все четко написано доступным языком.

        спасибо большое оч помогло, пока не прочитал не понял что это и как решить =)

        Добавлено

        примера решения интегралов. статья немного расширена.

        Спасибо за статью, в учебниках пишут такую ​​чушь! Мол, напишите сюда soE, здесь все понятно, вот вам и все решение, без пояснений! теперь я, по крайней мере, понял, что такое интегралы вообще, т.е.е. Я понял суть. И таблица очень хорошая, полная.

        Admin: добавлены примеры решения интегралов. 3).Интегрируемая функция такая же. Рассчитывать интеграл в таком виде не обязательно – просто запишите его.

        Пишу по просьбе подруги, настоящее имя которой не указываю по ее просьбе, пусть условно Лиза. Ситуация с пространственным воображением у Лизы плохая (и не только), поэтому, столкнувшись с темой «Геометрические приложения некоего интеграла» в своем университете, Лиза специально загрузилась, в том смысле, что ей было грустно, потому что она даже не плакала .В связи с описанной выше ситуацией у меня вопрос: в какой книге тема «Геометрические приложения некоторого интеграла» представлена ​​в наиболее доступной форме?
        Заранее благодарю за исчерпывающий ответ.

        Какой метод сравнения используется для определения сходимости несобственных интегралов?

        Какие физические проблемы сводятся к вычислению определенных или несобственных интегралов?

        У вас есть инструкция по использованию интегрального калькулятора?

        Большое спасибо! Я буду рекомендовать другим продолжать пользоваться вашими сайтами

        Этот калькулятор спас мне задницу на экзамене 🙂


        Последнее обновление: четверг, 10 сентября 2020 г. – 15:58
        Интегральный калькулятор

        | Лучший калькулятор интеграции

        Определение интегрального калькулятора

        Калькулятор интегралов – это математический инструмент, который упрощает вычисление интегралов.Онлайн-калькулятор интеграла обеспечивает быстрый и надежный способ решения различных интегральных запросов. онлайн-калькулятор интеграции и его процесс отличается от обратного производный калькулятор, поскольку эти два являются основными концепциями исчисления.

        Ковариация, помимо математического интеграла, определяется таким же образом. Ознакомьтесь с примерами ковариационного уравнения и расчета.

        Что такое интеграция?

        Интеграция находит дифференциал уравнение математических интегралов.Интегральная функция дифференцирует и вычисляет площадь под кривой графика.

        Определение интеграла помогает найти площадь, центральную точку, объем и т. Д. Онлайн-калькулятор интеграции определяет интеграл, чтобы найти площадь под кривой следующим образом:

        Где,

        F (x) – функция, а

        А – площадь под кривой.

        Связанные: Что такое дисперсия и как ее рассчитать.

        Что такое интеграция в калькуляторе интеграции?

        Интегральное выражение – это интеграл уравнение или формула интегрирования, она обозначается как функция f (x).В калькуляторе интеграции вам нужно будет ввести значение, чтобы оно работало правильно.

        Связанный: Узнайте, как вычислить логарифм и как найти антилогарифм числа?

        Как калькулятор интегралов работает с интегральным представлением?

        Для интегрального уравнения

        ∫ 2x dx

        ∫ – это интегральный символ, а 2x – это функция, которую мы хотим интегрировать.

        В этом интегральном уравнении dx – это дифференциал переменной x. Он подчеркивает, что переменная интеграции – x.Dx показывает направление по оси x, а dy показывает направление по оси y.

        Интегральный символ и интегральные правила используются калькулятором интегралов для быстрого получения результатов. Узнайте больше о научных обозначениях и их расчетах здесь.

        Как рассчитать интеграл?

        Мы можем вычислить функцию, выполнив несколько простых шагов. Сначала разделите область на кусочки и сложите ширину этих кусочков Δx. Тогда ответ не будет точным.(см. рисунок 1)

        Если мы сделаем Δx намного меньшей шириной и сложим все эти маленькие кусочки, тогда точность ответа станет лучше. (см. рисунок 2)

        Если ширина срезов приближается к нулю, то ответ приближается к истинному или фактическому результату. Итак,

        Теперь мы говорим, что dx означает, что срезы Δx приближаются к нулю по ширине.

        Обратите внимание, что интеграл является обратной производной

        Узнайте, как найти и вычислить значение уклона, прежде чем решать интегральное уравнение.

        Вычисляет ли калькулятор интегралов определенный интеграл и неопределенный интеграл?

        Этот онлайн-калькулятор интегрирования позволит вам вычислять определенные интегралы и неопределенные интегралы. Вам просто нужно указать значения с помощью в поле ввода. Определенный интеграл имеет как начальное, так и конечное значение. Вычислительные интегралы функции f (x) представляют площадь под кривой от x = a до x = b.

        Неопределенный интеграл не имеет верхнего и нижнего пределов функции f (x).Неопределенный интеграл также известен как первообразная.

        Узнайте, как найти предел функции здесь.

        Попробуйте калькулятор квадратной формулы и калькулятор формулы расстояния, чтобы узнать о различных математических формулах, используемых для решения различных математических уравнений.

        Как вычислить двойные интегралы?

        Одна из трудностей при вычислении двойных интегралов состоит в том, чтобы определить пределы интегрирования. Пределы интегрирования как порядок dxdydxdy требуются для определения пределов интегрирования для эквивалентного интегрального порядка dydxdydx.

        Трудность вычисления двойных интегралов заключается в определении пределов интегрирования. Пределы интегрирования как порядок dxdydxdy определяют пределы интегрирования для интегрального порядка dydxdydx.

        Узнайте разницу между средним и средним значением. Также узнайте, как рассчитать, используя среднее значение калькулятор и калькулятор средней точки.

        Есть ли в интегральном калькуляторе шаги?

        Наш калькулятор интегрального исчисления предоставляет вам пошаговые инструкции, чтобы вы могли увидеть, как рассчитывается ваш запрос.Вы можете расширить свои знания и понимание, глядя на пошаговый ответ.

        Этот интегральный решатель очень эффективен для сложных проблем интеграции, поскольку он обеспечивает быстрый ответ на сложные проблемы интеграции и решения.

        Используйте калькулятор площади трапеции и калькулятор площади прямоугольника, чтобы еще больше укрепить свои математические концепции, связанные с площадью и поверхностью.

        Как найти лучший интегральный калькулятор?

        Calculatored имеет лучший калькулятор частичных интегралов с точки зрения точности, скорости и результатов.Методы калькулятора для интегрального исчисления могут быть разными, но методы и концепции остаются теми же. Вы можете выполнить поиск по калькулятору или найти наш онлайн-калькулятор интеграла в Google.

        Как пользоваться калькулятором интегралов с шагом?

        Для простых примеров интеграции и решений очень эффективен калькулятор линейного интеграла. Калькулятор интеграции по частям прост и удобен в использовании. Все, что вам нужно сделать, это выполнить следующие шаги:

        Шаг №1: Заполните интегральное уравнение, которое вы хотите решить.

        Шаг № 2: Выберите переменную как X или Y.

        Шаг № 3: Введите значение верхней границы.

        Шаг №4: Введите значение нижней границы.

        Шаг № 5: Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ».

        После того, как вы выполните вышеуказанные шаги и нажмете кнопку «Рассчитать», онлайн-калькулятор интеграции с шагами немедленно решит интеграл по частям. Вы увидите результаты Antiderivative, Integral Steps, Parsing Tree и график результата.

        Вы также можете заполнить примеры интегральных примеров для решения интегралов на практике.Мы надеемся, что вы найдете полезную информацию об интегралах и их вычислениях.

        Вы также можете использовать наши другие бесплатные калькуляторы, такие как Standard Калькулятор отклонений и калькулятор перекрестных произведений бесплатно.

        Пожалуйста, поделитесь своими ценными отзывами ниже. Удачи в обучении и расчетах. Ваше здоровье!

        Изучение интегралов в Python. Хотите узнать больше об интеграции… | Хана Штурлан | Analytics Vidhya

        Как видите, в этом нет ничего сложного, поэтому давайте рассмотрим подробнее.Мы можем спросить себя, а как насчет белого пространства под кривой ? А вот и интегрирование в нашем уравнении. Его можно использовать для поиска объемов, площадей, центральных точек и многих других полезных значений, но в основном он известен как – площадь под кривой (функция) .

        Небольшая визуализация на случай, если вы не поняли:

        Понимая, что представляет собой интеграл, мы можем провести небольшое вычисление. При разрешении интеграла мы делаем следующее – находим функцию, вывод которой является функцией до интегрирования.Я знаю, это звучит немного запутанно, поверьте мне, это несложно.

        Для начала возьмем простую постоянную функцию:

        Теперь интеграционное исчисление простое:

        Я думаю, вы поняли, что за этим стоит. Мы добавили 1 к показателю переменной x, а затем разделили его на то же значение показателя.

        Примечание: Пожалуйста, не запутайтесь в решении. Я не мог просто написать топор, потому что маленький математик во мне начнет кричать.Константа C называется константой интегрирования, и она представляет все числа, которые могут быть в решении. Мы не знаем, будет ли наше решение (ax + 2) или (ax + 3), и так далее – поэтому мы пишем + C, чтобы охватить все возможные варианты.

        Вычисление интеграла от x:

        Мы снова применили тот же метод, что и раньше – добавили 1 к показателю степени и делили целое значение на показатель степени.

        Неопределенный и определенный интегралы

        Неопределенный интеграл , который мы уже вычислили выше, это функция, которая отвечает на вопрос: «Какая функция после вывода дает f (x)?».Напротив, определенный интеграл – это число, которое представляет площадь под кривой от x = a до x = b .

        Расчет продолжается до последнего шага; пример:

        1. Для неопределенного интеграла – решение вычисляется функцией:

        2. Для определенного интеграла – есть дополнительный расчет для границ, которые задаются для интеграла [a, b] = [- 2,2] . Вы можете видеть, что границы вводятся в вычисленном выше решении.
        Сначала ставим верхнюю границу b в x и записываем ее. Затем мы помещаем нижнюю границу , в x. Наконец, мы вычитаем первое и последнее выражение, чтобы получить окончательный результат.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *